Side 1/6

Transkript

1 Fortællingen som tilgang til matematik Spørger man manden på gaden, eller vore elever for den sags skyld, vil de typisk opfatte mennesket som et fornuftsvæsen, dvs. mene, at vi i bund og grund er styret af vor fornuft. Forstanden sidder som en øverste instans, nærmest som en direktør i en mindre virksomhed, og har overblik over alt, hvad der foregår i "virksomheden", som illustreret i denne figur: Forstand Tale og handling At undervise sådanne elever burde være ret enkelt. Der er een vej til indlæring, og den går gennem forstanden. Har man derfor fortalt eleverne noget nyt, og de kan gengive det, må man også forvente, at de både forstår det og kan bruge det i praksis. Man kalder også denne læringsteori for "beholdermodellen", fordi man opfatter eleverne som en slags beholder, som man kan hælde viden på, som man hælder vin på flaske. Hælder man stille og roligt, fyldes flaskerne også stille og roligt. Man skal som lærer blot have en god strategi, som man også skal, når man hælder vin på flaske. En anden meget udbredt læringsteori er konstruktivismen, som ikke på samme måde opfatter mennesket som et fornuftsvæsen. Til gengæld opfatter man eleven som en slags videnskabsmand, der selv konstruerer sin egen viden, men på baggrund af egne oplevelser. Derfor skal man heller ikke forelægge eleven færdige og finpussede forløb, som man skal ifølge ovenstående beholdermodel, men tværtimod planlægge nogle forløb, hvor elevens egenforståelse bliver udfordret. Man skal undervise "med udgangspunkt i eleven". Man skal altså væk fra den hårde lærerstyring over i undervisningsformer, hvor eleven selv kommer på banen, som man f.eks. gør i projektarbejde. Det er selvfølgelig to meget forskellige læringsteorier, som jeg her kort har præsenteret, men der er også ligheder. Først og fremmest har de begge en kerne, dvs. et urokkeligt synspunkt som bærer hele teorien. For beholdermodellen er det eksistensen af fornuften og i konstruktivismen er det opfattelsen af eleven som en lille konstruktør, der helt af sig selv konstruerer sin viden om verden. Sjovt nok er alle andre læringsteorier opbygget lidt på samme måde, nemlig med et eller flere centrale postulater, der fungerer som omdrejningspunkter for læringsteorien. Der er tale om urokkelige punkter, som hele teorien står og falder med. Et sådant punkt benævnes også et archimedisk punkt efter oldtidens store matematiker, fysiker og opfinder Archimedes. Blandt mange ting formulerede han vægtstangsprincippet, som vi alle kender fra vippen på legepladsen. Det er også det princip man benytter sig af, når man med en lang stang og et fast punkt flytter tunge genstande: For at illustrere, at man kan flytte tunge genstande, skulle Archimedes have sagt: Giv mig et fast punkt hvor jeg kan stå, og jeg skal bevæge jorden. Det har været en god illustration, thi det er sidenhen blevet en metafor for noget fast og uforanderligt i andre sammenhænge, som f.eks. i læringsteorier. Det er ikke kun læringsteorier, der er bygget op omkring sådanne archimediske punkter. Det samme kan man generelt sige om alle menneskesyn, men er der da problemer i det? Ja, det er der. Det giver Side 1/6

2 under alle omstændigheder nogle meget firkantede syn på mennesket, som næsten er så fastlåste, at de i praksis bliver uanvendelige som teoretisk grundlag. Og det er ikke så verdensfjern en problematik, som det umiddelbart lyder. Faktisk er det en problematik, som de fleste kender, f.eks. når man diskuterer arv og miljø. Spørgsmålet er her om det primært er vores arv eller det miljø, som man vokser op i, der er bestemmende for vores udvikling. Selvom det er to modstridende synspunkter, kan man alligevel fremføre gode argumenter og eksempler for begge synspunkter. Det er netop en sådan diskussion mellem to rigmænd, der ligger til grund for filmen "Bossen og Bumsen" med Eddie Murphy. Spørgsmålet ligger derfor lige for. Findes der i det hele taget et sådant archimedisk punkt for mennesket? Kan man en gang for alle fastslå noget uangribeligt om mennesket, som kunne ligge til grund for et menneskesyn eller for en læringsteori for den sags skyld? Eller for at sige det samme med andre ord: Findes der en essens for mennesket, som kan siges at være tilfældet til alle tider og i alle kulturer? Her vil jeg antage, at det gør der ikke. Men er det så slut med enhver form for teori om mennesket? Det er det selvfølgelig ikke, men det er klart, at det bliver med et helt andet indhold og med en helt anden opbygning end de traditionelle læringsteorier. For at gøre en lang historie kort, vil jeg her blot demonstrere, at man faktisk kan sige en hel del om at undervise i matematik ud fra følgende to antagelser: 1. Der findes ikke et sådant archimedisk punkt for mennesket. 2. Der findes flere uafhængige punkter, som ligger til grund for vore handlinger og vore tanker. Disse punkter er uafhængige, thi var der en afhængighed, ville man dermed have etableret en bagvedliggende sammenhæng, og derved netop have introduceret et nyt archimedisk punkt, og det ville jeg for alt i verden undgå. Tankegangen kan illustreres med følgende figur: Traditionel læringsteori archimedisk punkt Denne læringsteori Kort og godt har jeg med denne læringsteori dermed detroniseret enhver form archimedisk punkt og dermed fjernet ethvert grundlag for alle de traditionelle læringsteorier og didaktiske teorier. Der er dermed intet overordnet at henvise til f.eks. i forbindelse med planlægning af undervisning. Eksempelvis henviser vi i matematik ofte til logik og forstanden, men en sådan instans findes slet ikke ifølge ovenstående. Begynderundervisning i matematik Kan man så slet ikke sige noget om undervisning? Ja, man kan faktisk sige en hel del. Her vil jeg skitsere et forløb, som ikke direkte er en logisk konsekvens af ovenstående læringsteori, men som alligevel er inspireret af denne tankegang. Lad os se nærmere på, hvorledes man kunne starte op med nogle elever, som lige er begyndt i gymnasiet. Vi starter ud med nogle små opgaver, som disse: 1) 2 3 2) 2 3 3) 2 3 4) Side 2/6

3 5) Det går fint med de første opgaver. Ofte skal man lige repetere, hvordan det nu er med plus gange minus og minus gange minus, men ellers går det normalt fint med at regne opgaver, som 1) 4). Helt anderledes stiller det sig med 5) Her går mange elever galt i byen, særligt hvis man skriver 2 3 4, så der er større afstand imellem 3 og end mellem og 3 Og hvad gør vi så ved det? Der er intet overordnet at henvise til, dvs. ingen almengyldige regneregler, ingen fornuft eller logik, som kunne bibringe eleverne en forklaring. Men i mange tilfælde har jeg haft held med, hvad man kunne benævne for kvalitative metoder, som ikke er nogen særlig præcis betegnelse, men som under et betegner metoder, der ikke direkte henviser til logik og fornuft. Det kan f.eks. være historier, analogier, tegninger, metaforer, huskeregler eller lignende. I denne artikel fokuserer jeg på fortællinger som introduktion til de svære emner i matematik. Historier er et fantastisk virkemiddel. Mennesket bruger simpelthen historier til at organisere en ellers kompleks verden. Det lyder banalt men i synspunktet ligger der også en afstandtagen fra, at der findes et eller andet centralt i mennesket, som konstituere vore handlinger og vore tanker. Noget sådant findes ikke. Der er kun disse enheder, som altså også kan være dannet på baggrund af historier og fortællinger. Med disse ord vender vi så tilbage til matematikken og hvorledes vi kan begrunde, at vi skal gange før vi skal lægge sammen? Til dette bruger jeg ofte følgende historie: Spørgsmålet er om vi skal gange før vi skal lægge sammen eller omvendt. Ret beset er det lige meget om man gør det ene eller det andet, men for at få samme resultater skal vi alle gøre det samme, og her har man en gang for alle besluttet, at man ganger først. En matematikkens færdselsregel, der sikre, at vi altid får samme resultat, hvis man vel at mærke overholder "færdselsreglen". Faktisk henviser jeg også til en huskeregel her, nemlig følgende: prik før streg, for at angive at man ganger eller dividerer før vi lægger sammen eller trækker fra. Og så kan vi ellers fortsætte, f.eks. med følgende: 6) ) ) osv. Ja, hvad skete der så lige her? Ja, først og fremmest fik vi dannet et nyt punkt ved at fortælle historien. Efterfølgende fik vi det trænet, og sådan kan man ellers fortsætte med først at danne og derefter træne. Det, man danner, er selvfølgelig nogle af de føromtalte punkter og det, man træner, er de punkter, der blev dannet. Sådan kan man ellers fortsætte med disse faser med at danne punkter med efterfølgende træning af de dannede punkter, dvs. man benytter historier til at introducere eleverne for den svære matematik, som efterfølgende trænes og atter trænes. Og så kunne man ellers tro, at der var frit slag, men, men men. Her skal man være opmærksom på, at man ikke bare skal slå sig løs f.eks. i tilfældige historier. Det er vigtigt at vælge sig nogle historier, som så vidt muligt kan anvendes igen og igen, og som har et vist indhold, dvs. som måske ikke er formuleret så præcist, men som i en eller anden forstand alligevel rammer, så det bliver forståeligt og håndterbart for eleverne. Så kan formuleringen måske genbruges andre steder, og det er en stor fordel. Genbrug er velbrug. Det gør det simpelthen nemmere at danne nye punkter, når det minder om noget, man før har hørt. Vi går godt nok ud fra, at der ingen generel mekanisme findes for dannelsen af nye punkter, men alligevel kan man godt stimulere dannelsen af nye punkter. Det er nemlig meget nemt, thi det er oplagt nemmere at danne nye punkter, hvis man i forvejen har nogle punkter, der minder om de nye, der helst skal dannes. Her vil jeg give et par eksempler på kvalitative metoder, som jeg selv benytter, fordi de kan bruges igen og igen. Side 3/6

4 Opskriv formel, indsæt tal og beregn: I matematik C lærer man en række formler, som kan anvendes til forskellige beregninger. Selvom det stort set er det samme, man altid gør, er det alligevel uoverskueligt for mange at finde en bestemt størrelse ud fra en given formel. Jeg har nu efterhånden på mange hold haft held med følgende opstilling: 1. Noter oplysninger. 2. Opskriv formel. 3. Indsæt tal. 4. Løs ligning. Fordelen er at man altid kan følge dette skema. Desuden bliver eleven vha. skemaet hjulpet i gang: Noter først de givne oplysninger ect. Derved bliver en stor og lidt uoverskuelig opgave delt op i mindre delopgaver. De gode elever finder efterhånden ud af, at det faktisk er lettere at omskrive formlen inden man indsætter tal. Men det skal man lade dem selv opdage, thi det er først, når man har opnået en vis træning og øvelse med at løse ligninger, at man kan se fordelen i først at omskrive ligningen, inden der indsættes tal. Fra konkret eksempel til generel formel: Vi gennemregner først et konkret eksempel. I stedet for at fokusere på at få et resultat som et tal, fokuserer vi på at få skrevet resultatet, så vi kan genkende, hvorledes resultatet fremkommer. Her benytter vi altså igen, at mange elever har langt lettere ved at regne med tal end med bogstaver. Eks. Udled renteformlen: 500 kr indsættes i banken. Renten er 2% pr. år, dvs. r = 2% = 0,02 Fremskrivningsfaktoren: 1 + r = 1 + 0,02 = 1,02 Løbetid: n Indestående: Kn I fællesskab udfylder vi nu følgende skema. Vi er ikke fokuseret på slutresultatet, men er mere interesserede i, hvordan resultatet er fremkommet, så vi til sidst kan generalisere: n Kn ,02= ,02= 500 1,02 1,02=500 1,02 2 =520, ,20 1,02= 500 1,02 2 1,02=500 1,02 3 =530, ,60 1,02= 500 1,02 3 1,02=500 1,02 4 =541,22 n Generelt: 500 1,02 n K n =K 0 (1+r) n Et bevis: Mange beviser kan opfattes som en generel fremgangsmåde, som kan benyttes i alle tilfælde. Beviset består så i at gøre det en gang for alle. Side 4/6

5 Eks. Bevis, at a= y 2 y 1 x 2 x 1 Her kan man selvfølgelig benytte metoden "Fra konkret eksempel til formel", men man kan også gøre noget helt andet, nemlig regne sig frem til resultatet. Det kan man gøre ved først at tage et eksempel med to givne punkter, hvor vi skal finde ligningen for den rette linie, der går gennem de to punkter. Derefter tager vi endnu et eksempel. Og måske endnu et. Indtil næsten alle kan se, at det er samme fremgangsmåde, som vi bruger igen og igen. Evt. man nu gennemregne eksemplet med to vilkårlige punkter (x 1, y 1 ) og (x 2, y 2 ) Tilsvarende fremgangsmåde kan man benytte sig af f.eks. med sinus og cosinus i en retvinklet trekant. Efterhånden bliver de så fortrolig med fremgangsmåden, at man ikke behøves så mange eksempler mere. De ved efterhånden, hvad et bevis er. En anden fordel ved denne fremgangsmåde er, at man regner med konkrete tal. Det falder langt nemmere for mange at regne med tal end med bogstaver. I hvert fald i starten af forløbet. Efterhånden som eleverne bliver mere trænede, bliver det langt lettere for eleverne, at regne med bogstaver, og dermed kan vi også klare beviser uden først at skulle gennemregne mange eksempler. Ovenstående eksempler indikerer en meget lærerstyret undervisning, og det er det selvfølgelig også set fra en meget overordnet betragtning. Til gengæld kan man tilstræbe at aktivere eleverne så meget som muligt i den enkelte time. Det er "styret induktion" et eksempel på. Styret induktion: Eksempelvis startede vi på logaritmer her i sidste uge. Jeg introducerede 10-talslogaritmen, så de kunne finde logaritmen til nogle pæne tal uden lommeregner og også finde logaritmen vha. lommeregneren. Som enhver matematiker ved, er vi nu kommet til logaritmeregnereglerne. Traditionelt kunne jeg nu præsentere disse regneregler og hurtigt bevise dem, men i sidste uge gjorde jeg noget andet. De blev nemlig bedt om at udregne følgende: log 2 log 3 log 2 log 3 log 6 log 2 log 4 log 8 log 6 log 2 log 3 Derefter skulle de se på tallene og se om de kunne se nogen sammenhænge. Mange ser hurtigt at nogen af tallene er ens, og der er sikkert også nogen, der ser en sammenhæng. Er man rigtig heldig kan enkelte af eleverne også formulere nogle generelle regneregler. Den slags små eksperimentelle forløb virker rigtigt godt, fordi de svage elever får lidt ekstra træning i at bruge loggaritmefunktionen på lommeregneren, man får trænet et lidt mere kompliceret udtryk, som log 2 log 3 og de matematikstærke elever også bliver udfordret. Faktisk bliver de involveret i at forklare resten af klassen logaritmeregnereglerne, og det er fedt :) Alle i klassen bliver aktiveret på en helt anden måde end hvis man blot havde fortsat med at fortælle om logaritmereglerne. Og det er utroligt vigtigt at aktivere eleverne af den simple grund, at man langt nemmere danner og træner disse punkter ved selv at være aktiv. Kan man tilrettelægge undervisningen, så eleverne næsten selv opdager regneregler og matematiske sætninger, er det selvfølgelig uovertruffen. Det er i hvert fald sjovt og virker utrolig befordrende for Side 5/6

6 indlæringen og lysten til matematik. Tænker vi tilbage på denne lille læringsteori, er det måske ikke så underligt endda. Som tidligere nævnt er der ingen direkte tilgang til disse punkter, og dermed heller ikke en direkte tilgang til at danne punkter. Og det er hårdt at være elev og hele tiden skulle forholde sig til, hvad der bliver serveret for dem. Det er meget sjovere selv at lege matematiker og selv forsøge sig. Begrundelsen er som før: Man danner og træner disse punkter langt lettere ved selv at være aktiv. Ovenfor er præsenteret forskellige eksempler på kvalitative metoder, som kan bruges mange gange, men faktisk kan ovenstående læringsteori også inspirere til andre tiltag og overvejelser. Det skal vi lige se et par eksempler på her: Matematikken opdages forlæns, men præsenteres baglæns: I ovenstående eksempel med "styret induktion" får man foræret en fin fortælling om matematik, og det skal man benytte sig af. Det er nemlig vigtigt, at eleverne får en vis forståelse for matematikkens væsen, så de har en ide om, f.eks hvad definition og sætning er for noget. Men ovenstående eksempel kan bruges til at eksemplificere, hvorledes matematikere arbejder, f.eks. med følgende lille historie: Engang har store matematikere også siddet og leget, som vi nu har siddet og leget, som i ovenstående eksempel med logaritmer. De havde ikke helt de redskaber, som vi nu har til rådighed i form af lommeregnere, så det har været langsommeligt og meget tidskrævende at lege dengang. Pludselig har man set en sammenhæng. Efter at have leget og prøvet endnu mere har man måske fået formuleret en regneregel og endda fået den bevist. Når alt dette præsenteres i en matematikbog starter man sådan set lige omvendt, nemlig ved at præsentere det, som de gamle matematikere sidst fandt ud af, nemlig den præcise definition, sætningen og beviset. Med andre ord finder man frem til matematikken nærmest i den omvendte rækkefølge af den måde, matematikken introduceres i matematikbogen. Viden er kvantiseret: En umiddelbar konsekvens af tankegangen i denne artikel er, at viden ikke er noget man stille og roligt tilegner sig. Man tilegner sig viden i klumper, fordi der hele tiden skal dannes nye passende punkter. Derfor er det vigtigt at undgå store spring, dvs. man skal planlægge, så næste trin ligger tæt på forrige trin. Det er vigtigt at være opmærksom på, thi med mange store spring bliver matematikken let for uoverskuelig for eleverne, og så giver de op. Eksempelvis har mange elever svært ved bogstaver, som f.eks. at aflæse koefficienterne i forskriften for en lineær funktion. Men det kan man da heldigvis træne. Giv dem en 5-10 lineære funktioner, hvor det eneste man skal gøre er at aflæse koefficienterne. På den måde trænes at bruge bogstaver og man får brudt en stor udfordring op i mindre dele. Desuden tager en sådan opgave ikke lang tid, og man får aktiveret eleverne, hvilket er utroligt vigtigt :) God fornøjelse Ole Andersen August Side 6/6