GRAFISK INTRODUKTION TIL FOURIER-RÆKKE TRANSFORMATIONEN

Transkript

1 GRAFISK INTRODUKTION TIL FOURIER-RÆKKE TRANSFORMATIONEN UNDERVISNINGSELEMENT # E3 UNDERVISNING I MÅLETEKNIK

2 UNDERVISNINGSELEMENT # E3

3 GRAFISK INTRODUKTION TIL FOURIER-RÆKKE TRANSFORMATIONEN Knud A. Balsen 2. udgave Maj 2017 Copyrigh 2017 merologi.dk Maeriale må ikke anvendes il kommerciel brug, uden illadelse fra merologi.dk. Merologi.dk er finansiere af Syrelsen for Forskning og Innovaion i perioden Maeriale er udarbejde i e samarbejde mellem GTS-insiuerne DFM A/S, FORCE Technology og DELTA - a par of FORCE Technology. Læs mere om projeke på Parerne i Merologi.dk kan ikke gøres ansvarlig for fejl og mangler i indholde af undervisnings maeriale eller i indholde på websie, sam indholde i de ekserne dokumener og websies, der linkes il, medmindre ande følger af dansk res almindelige regler. Grafisk design af: Henriee Schäfer Høyrup og David Balslev-Harder. UNDERVISNINGSELEMENT # E3

4 Indholdsforegnelse 1 Indledning Om dee undervisningselemen (UE) Læringsudbye af dee UE Forudsæninger De digiale signal Ideel digial signal med duy cycle = 50 % Tidsdomæne og frekvensdomæne Grafisk ilgang il Fourier-række ransformaionen En kombinere analyisk og grafisk ilgang il Fourier-række ilnærmelsen Fourier-koefficienerne an for digial signal karakerisere ved h og samme værdier for Tr og Tf Reelle digiale signaler Ideel digial signal med duy cycle forskellig fra 50 % Sammenhæng mellem beregnede og måle værdier Afsluning og opsummering Referencer UNDERVISNINGSELEMENT # E3

5 1 Indledning 1.1 Om dee undervisningselemen (UE) I dee modul foreages en grafisk relaere analyse for a belyse sammenhængen mellem ids- og frekvensdomænerepræsenaion. I den nødvendige udsrækning suppleres med analyiske udryk for a opnå resulaer, som giver realisisk overenssemmelse mellem observaioner og eori. 1.2 Læringsudbye af dee UE A inroducere begreberne ids- og frekvensdomænerepræsenaion A behandle Fourier-række ransformaionen overvejende grafisk, men supplere med analyiske udryk, således a konvereringen fra idsdomæne il frekvensdomæne gøres umiddelbar inuiiv og forsåelsesmæssig meningsfuld A sammenligne de fremkomne eoreiske resulaer med målinger for derved a gøre eorien plausibel og roværdig 1.3 Forudsæninger A læseren har basal viden om virkemåden for e oscilloskop og en spekrumanalysaor A læseren har basal viden om de rigonomeriske funkioner cosinus og sinus A læseren har basal viden om inegraionseknik UNDERVISNINGSELEMENT # E3 SIDE 1

6 2 De digiale signal Ved figur 1 inroduceres de idsmæssige begreber for e forenkle digial signal, som er nødvendige for den videre behandling. De digiale signal er forenkle, ide de skarpe knæk ikke vil opræde for prakiske digiale signaler. Der vil her alid opræde forskellige ind- og udsvingningsforløb, som vis ved figur 2. T Figur 1. Tidsmæssige begreber for e forenkle digial signal. For figur 1 gælder (med engelske begreber i parenes) T : Periodeiden (period value) h : Halvværdiiden (half ime value) f : Faldiden (fall ime) fra 90 % af højese niveau il 10 % af højese niveau Tf : Faldiden (fall ime) fra 100 % af højese niveau il 0 % af højese niveau r : Sigiden (rise ime) fra 10 % af højese niveau il 90 % af højese niveau Tr : Sigiden (rise ime) fra 0 % af højese niveau il 100 % af højese niveau Duy cycle : Forholde h T I praksis anvendes udelukkende f og r -værdierne, ide de sædvanligvis er beydelig nemmere a faslægge niveauerne for 10 % og 90 % for de digiale signal, ide rippelen (ind - og udsvingningsforløbe) sjælden inerfererer med 10 % og 90 % niveauerne. Dee er vis ved de indegnede 10 % og 90 % grænser på figur 2. Her er f og r -værdierne enydige for de digiale signal, mens Tf og Tr -værdierne ville være flerydige (f.eks. passeres 100 % værdien flere gange i idsinervalle 0,25 µs il 0,0 µs). I hele den følgende behandling anvendes for beregningsmæssig nemhed dog T f og Tr værdierne. UNDERVISNINGSELEMENT # E3 SIDE 2

7 3 Ideel digial signal med duy cycle = 50 % 90 % Rippel 10 % Figur 2. E ideel og mere prakisk forekommende digial signal med rippel (ind- og udsvingningsforløb). Figur 3 viser e eksempel på e digial signal, som er ideel, dvs. f = Tf = r = Tr = 0 (der skifes momenan fra høj ilsand (5,0 V) il lav ilsand (0,0 V) og omvend). Figur 3. Digial spændingssignal i idsdomænerepræsenaion. UNDERVISNINGSELEMENT # E3 SIDE 3

8 Selv om figur 3 kun viser e idsforløb på i al 2,00 µs forudsæes, a der er ale om e periodisk forløbende digial signal (de genager sig selv mange gange) med en oal idsmæssig udsrækning mege sørre end de 2,00 µs. Den id de ager for signale for a genage sig selv er periodeiden T, og den ses a være T = 1,00 µs. Her er der alså ale om e digial signal med den digiale frekvens f D = 1/T = 1,00 MHz. For halvværdiiden h gælder h = T/2 = 0,50 µs. Tidspunke = 0,00 µs er placere mid på den horisonale akse. Med e moderne digial oscilloskop kan man vælge a placere dee idspunk hvor man vil, - denne placering bevirker, a de digiale signal er spejlsymmerisk mh. den verikale akse (de digiale signal er hermed en lige funkion, de samme som gælder f.eks. for en cosinus-funkion). Hermed opnås en idsmæssig symmeri, som senere vil blive udnye. Spændingsinervalle A, som de digiale signal bevæger sig over er 5,0 V. Hvis signale blev ensree ideel vil man få middelværdien a0. Man kan umiddelbar her indse, a a0 = A/2 = 2,5 V. Man kan definere den digiale ampliude ad som de symmeriske spændingssving ud fra a0, - for signale i figur 1 er ad = 2,5 V. De ovennævne foregår alså i de, som defineres som idsdomæne, - der er ale om e forløb hen over iden. E begreb, som supplerer idsdomæne er frekvensdomæne. Som navne anyder udskifer man idsaksen med en frekvensakse. I frekvensdomæne har man alså en række af rene svingninger, hvis frekvensværdier vises ud af den horisonale akse. Den verikale akse i frekvensdomæne viser en signalsørrelse, - der er alså alid ale om en posiiv eller en 0-værdi. Typisk vises de rene svingningers ampliude. Dee er en forskel i forhold il idsdomæne, hvor man har mulighed for en polariesangivelse. De o begreber er illusrere ved figurerne 4 og 5, og de er fakisk sådan, a de digiale signal i idsdomænerepræsenaionen figur 4 macher frekvensdomænerepræsenaion som vis ved figur 5. Signale vis ved figur 3 vil danne basis for hele den følgende behandling med følgende fase paramere: A = 5,00 V (begyndende ved 0,00 V og sluende ved 5,00 V) fd = 1,00 MHz. Der vil blive variere på følgende paramere: Sig- og faldiderne Tr og Tf Duy cycle UNDERVISNINGSELEMENT # E3 SIDE 4

9 4 Tidsdomæne og frekvensdomæne Ved idsdomænerepræsenaion vises e idsmæssig forløb af e signal. De mes ypiske måleinsrumen, som udfører idsdomænerepræsenaion er e oscilloskop, der jo viser de idsmæssige forløb af en indgangsspænding. Niveau af indgangsspænding Tidsdomæne Signalsørrelse af indgangsspænding Frekvensdomæne Tid Frekvens Figur 4: Signal i idsdomæne Figur 5: Den ilsvarende repræsenaion i frekvensdomæne Tidsdomænerepræsenaionen og frekvensdomænerepræsenaionen er o billeder af samme sag, og man kan ransformere sig fra idsdomæne il frekvensdomæne ved hjælp af de maemaiske hjælpeværkøj benæ vn Fourier-ransformaionen. Denne ransformaion vil opræde i den mes simple form, når der er ale om en omsæning af en idsmæssig periodisk funkion, som de f.eks. ved figur 4 vise digiale signal. Man aler her om Fourier-række ransformaionen. E oscilloskop viser e idsmæssig forløb af måle spændingsniveauer, - de viser dermed ingene i idsdomæne. E insrumen som en spekrumanalysaor viser derimod e signal ved des frekvensindhold og de enkele frekvensers ampliuder, - den viser dermed ingene i frekvensdomæne. En spekrumanalysaor kan kor beskrives som e måleinsrumen, hvor indgangssignale er en idsvarierende spænding. Man kan anskue spekrumanalysaorens virkemåde ved, a denne besidder e båndpasfiler, hvis cenerfrekvens er variabel og hele iden sweeper hen over de frekvensområde man har valg (den horisonale akse på figur 5). Sørrelsen af spændingen af den frekvens, som passerer gennem båndpasfilere vises ilsvarende op af den verikale akse på figur 5. Bapise-Joseph Fourier s usandsynlige opdagelse Fourier-ransformaionen er opkald efer den franske maemaiker Bapise-Joseph Fourier, som i 1822 opdagede den maemaiske sammenhæng mellem signaler i ids- og frekvensdomæne i forbindelse med undersøgelser vedrørende varmeledning (alså ikke relaere il signalanalyse!). I [1] anføres, a Fourier ikke gav e maemaisk korrek bevis for opdagelsen, og opdagelsen forekom idens førende maemaikere a være så usandsynlig, a de i en længere årrække var umulig for Fourier a få opage sine arikler i de kende idsskrifer. De er da også ankevækkende, a Fourier udlede denne maemaiske ransformaion se ud fra, a man førs lang over 100 år senere, prakisk kunne begynde a anvende sammenhængen. En prakisk anvendelse af Fourier-ransformaionen (Fas Fourier Transform (FFT)) blev beskreve i 1965, og den førse kommerciel ilgængelige spekrum analysaor basere på anvendelse af dee princip, så førs dagens lys i 1967 [2]. UNDERVISNINGSELEMENT # E3 SIDE 5

10 5 Grafisk ilgang il Fourier-række ransformaionen Førs udføres en grafisk ilgang il Fourier-rækkeransformaionen, dernæs ilføjes nødvendige maemaiske beregninger. Fourier s opdagelse, a en funkion f() periodisk i iden, kunne opbygges af en uendelig række af ren e svingninger vil i de følgende blive eferprøve på en prøv-og-re-fejl basis. Førs ilnærmes de ideelle digiale signal fra figur 3 med en ren svingning med frekvens f 1 lig med fd = 1,00 MHz. Denne beegnes som den 1. harmoniske. Hermed fås figur 6. Figur 6. Ideel digial signal ilnærme med ren svingning af samme frekvens. Fasen for den 1. harmoniske er valg a have samme foregn som de digiale signal for = 0,00 µs. De noeres, a den rene svingning har e valg niveau sørre end de digiale signal f.eks. for = 0,00 µs, og har lavere niveau f.eks. for = 0,50 µs og for = 0,50 µs. Dernæs ilføjes yderligere en ren svingning, - den 2. harmoniske, med frekvens f2 = 2,00 MHz. Dee sker ved figur 7. Fasen er valg a have samme foregn som den 1. harmoniske for = 0,00 µs. UNDERVISNINGSELEMENT # E3 SIDE 6

11 Resulae af summaionen er vis ved figur 8. Figur harmoniske ilføje figur 6. Figur 8. Ideel digial signal ilnærme med rene svingninger i form af 1. og 2. harmoniske. Her forbedres ilnærmelsen for de lave niveauer af de digiale signal, mens ilnærmelsen forværres for de høje niveauer. Vælges foregne omvend kan man indse, a ilnærmelsen nu forbedres for de høje niveauer, mens de forværres for de lave niveauer. Dee er karakerisisk for en addiion af den 2. harmoniske, så der vælges a se bor fra addiion af den 2. harmoniske (ampliuden sæes il a være 0). UNDERVISNINGSELEMENT # E3 SIDE 7

12 Ved figur 9 er den 3. harmoniske f3 = 3,00 MHz ilføje. For a opnå en anvendelig summaion, er dens fase valg a have modsa foregn i forhold il den 1. harmoniske for = 0,00 µs. Resulae af summaionen er vis ved figur 10. Figur harmoniske ilføje figur 6. Figur 10. Ideel digial signal ilnærme med rene svingninger i form af 1. og 3. harmoniske. Tilnærmelsen forbedres for begge niveauer af de digiale signal. UNDERVISNINGSELEMENT # E3 SIDE 8

13 Den 4. harmoniske, f4 = 4,00 MHz ilføjes il figur 10. Dee sker ved figur 11. Fasen er forsøgsvis valg a have samme foregn som den 1. harmoniske for = 0,00 µs. Resulae af summaionen er vis ved figur 12. Figur harmoniske ilføje figur 10. Figur 12. Ideel digial signal ilnærme med rene svingninger i form af 1., 3. og 4. harmoniske. De samme forhold gør sig gældende som for addiionen af den 2. harmoniske; enen forbedres ilnærmelsen for de høje digiale niveauer og forværres for de lave niveauer eller omvend. Så her vælges ligesom for den 2. harmoniske a se bor fra den 4. harmoniske (ampliuden sæes il a være 0). UNDERVISNINGSELEMENT # E3 SIDE 9

14 Ved figur 13 er den 5. harmoniske f5 = 5,00 MHz ilføje il figur 10. Fasen er valg a have de samme foregn som den 1. harmoniske for = 0,00 µs. Resulae af summaionen er vis ved figur 14. Figur harmoniske ilføje figur 10. Figur 14. Ideel digial signal ilnærme med rene svingninger i form af 1., 3. og 5. harmoniske. Addiionen af 5. harmoniske forbedrer ilnærmelsen for begge niveauer af de digiale signal. UNDERVISNINGSELEMENT # E3 SIDE 10

15 På baggrund af den foregående undersøgelse posuleres * ), a ilnærmelsen udelukkende skal foreages med de ulige harmoniske, alså 3., 5., 7. osv. harmoniske, og der skal ske foregnsskife undervejs (således a 3., 7., 11. osv. harmoniske har omvend foregn i forhold il den 1. harmoniske for = 0,00 µs, mens 1., 5., 9. osv. harmoniske har samme foregn som 1. harmoniske for = 0,00 µs). Der ses bor fra alle de lige harmoniske (2., 4., 6. osv.). Ved figur 15 er vis ilnærmelsen op il og med 11. harmoniske. Figur 15. Ideel digial signal ilnærme med rene svingninger i form af harmoniske. * ) Baggrunden for dee posula spinkel, men her udnyes, a sluresulae kendes! UNDERVISNINGSELEMENT # E3 SIDE 11

16 Endelig er ved figur 16 vis ilnærmelsen op il og med 21. harmoniske. Rippel Figur 16. Ideel digial signal ilnærme med rene svingninger i form af harmoniske. De ses, a ilnærmelsen bliver bedre og bedre jo flere af de ulige harmoniske (med passende foregnsskife), som medages. Rippelen (ind- og udsvingningsforløbe) på samme niveau som den flade del af de ideelle signal er dog sadig markan, om end de mege langsom formindskes jo flere bid rag som medages. UNDERVISNINGSELEMENT # E3 SIDE 12

17 6 En kombinere analyisk og grafisk ilgang il Fourierrække ilnærmelsen Den maemaiske sammenhæng mellem en idsperiodisk og koninuer funkion f() og en sum af rene svingninger (dvs. cosinus- og sin-funkioner) som Fourier opdagede i 1822 kan maemaisk beskrives som f() = a 0 + n=1 a n cos( nω) + n=1 b n sin(nω), (1) hvor ω = 2π/T er vinkelfrekvensen (2) og T er periodeiden for den periodiske funkion f(). (3) Ligning (1) besår alså af e bidrag a 0, som ikke varierer med iden (e konsan bidrag) og af o uendelige rækker af bidrag, der varierer med iden som henholdsvis cosinus- og sinusfunkioner. Alle cosinus-bidragene skal mulipliceres med de idsuafhængige koefficiener a n, som defineres nedenfor, mens alle sinus-bidragene skal mulipliceres med de idsuafhængige koefficiener b n, som også defineres nedenfor. Medager man kun e endelig anal bidrag får man en ilnærmelse il f(), som f.eks. de 21 bidrag i ovensående figur 16. Ved den ovenfor gennemgåede grafiske behandling af Fourier-rækkerne valges de digiale signal a være spejlsymmerisk omkring midpunke ( = 0,00 µs) for den horisonale akse, som de fremgår af alle figurerne 3 og Generel gælder, a hvis f() er spejlsymmerisk omkring = 0, kan Fourier-koefficienerne a0, an og bn udrykkes ved nedensående ligninger (4) - (6). Den maemaiske udledning af disse ligninger er omfaende, så derfor opskrives de blo her. Der kan f.eks. henvises il [1] for de maemaiske udredninger. a 0 = 1 T a n = 2 T b n = 2 T +T/2 T/2 +T/2 T/2 +T/2 T/2 f()d f() cos (nω) d f() sin (nω) d De digiale signal vis ved figur 1 (med duy cycle = 50 %) er neop spejlsymmerisk omkring = 0,00 µs, og des forløb f() kan beskrives som: f() = 0,0 V i idsinervalle T/2 = 0,50 µs < T/4 = 0,25 µs. f() = 5,0 V i idsinervalle T/4 = 0,25 µs < T/4 = 0,25 µs. f() = 0,0 V i idsinervalle T/4 = 0,25 µs < T/2 = 0,50 µs. I den følgende behandling vil en angivelse af den relevane duy cycle ilføjes Fourier-koefficienerne, således vil f.eks. a0-50 indikere a koefficienen a0 beregnes for duy cycle = 50 %. For a0-50 fås dermed: 1 a0-50 = 1,0 µs (0,0 V 0,25 µs + 5,0 V 0,50 µs + 0,0 V 0,25 µs) = ½ 5,0 V = 2,5 V (7), hvilke neop er middelværdien af de beragede digiale signal, hel generel gælder, a a0-koefficienen er middelværdien af de digiale signal. (4) (5) (6) Ovensående inegraludryk, (6) og (5) for bn og an, vurderes nemmes ved a foreage grafiske beragninger i form af arealberagninger med foregn. Til de formål vil førs funkionsforløbe for f() sin(nω), og dernæs for f() cos(nω) i inervalle T/2 = 0,50 µs il T/2 = 0,50 µs og for n = 1, 2, 3, 4 og 5 blive vis i de følgende. UNDERVISNINGSELEMENT # E3 SIDE 13

18 For sin(nω) fås for de digiale signal sin(nω) = sin(n 2π ) (8), 1,0 µs ide ω og T = 1,0 µs er definerede ved (2) og (3). Til besemmelse af b1-50 berages figur 17. Figur 17. Funkionsforløbe for de digiale signal f() og produke f() sin1 = f() sin(1 2π b1-50 er neoareale (areale regne med foregn) mellem kurven for f() sin1 og den horisonale akse. Fra figur 17 ses dee neoareal bliver 0, og dermed er b1-50 = 0 (9). Til besemmelse af b2-50 il b5-50 berages følgende figurer 18 21, og igen berages neoarealerne. UNDERVISNINGSELEMENT # E3 SIDE 14

19 Figur 18. Funkionsforløbe for de digiale signal f() og produke f() sin2 = f() sin(2 2π Figur 19. Funkionsforløbe for de digiale signal f() og produke f() sin3 = f() sin(3 2π UNDERVISNINGSELEMENT # E3 SIDE 15

20 Figur 20. Funkionsforløbe for de digiale signal f() og produke f() sin4 = f() sin(4 2π Figur 21. Funkionsforløbe for de digiale signal f() og produke f() sin5 = f() sin(5 2π De indses, a alle neoarealer bliver 0. Dee vil gælde for alle værdier af n, og dermed fås bn-50 = 0, n = 1, 2, 3,.. (10) En ilsvarende fremgangsmåde anvendes il besemmelse af a n-50. UNDERVISNINGSELEMENT # E3 SIDE 16

21 Figur 22. Funkionsforløbe for de digiale signal f() og produke f() cos1 = f() cos(1 2π Værdien af a1-50 er neoareale mellem kurven for f() cos1 og den horisonale akse. Her må der foreages en inegralberegning. Inegralsammenhængen cos ω d = sin ω ω anvendes sammen med (5) i følgende beregning. a1-50 = = 5,0 V π 0,25 µs 2 5,0 V cos(1 2π ) d = 5,0 V 2 1,0 µs 0,25 µs 1,0 µs [sin(2π 0,25 µs 1,0 µs 1,0 µs (11) µs [1,0 sin(1 2π )] 0,25 µs 2π 1,0 µs 0,25 µs 0,25 µs 5,0 V 2 5,0 V ) - sin(2π )] = [1 ( 1)] = = 3,2 V (12) 1,0 µs π a1-50 = 3,2 V er ampliudeværdien af den 1. harmoniske. Denne værdi bevirker, som man også ser for figur 6, a den 1. harmoniske har e niveau sørre end de digiale signal f.eks. for = 0,00 µs, og har lavere niveau f.eks. for = 0,50 µs og for = 0,50 µs. π UNDERVISNINGSELEMENT # E3 SIDE 17

22 Til besemmelse af a2-50 berages figur 23. Figur 23. Funkionsforløbe for de digiale signal f() og produke f() cos2 = f() cos(2 2π I lighed med de idligere neoarealberagninger indses, da neoareale for figur 23 er 0, a a2-50 = 0 (13) Til besemmelse af a3 berages figur 24. Figur 24. Funkionsforløbe for de digiale signal f() og produke f() cos3 = f() cos(3 2π UNDERVISNINGSELEMENT # E3 SIDE 18

23 Ved figur 22, hvor n = 1, er der ale om e halv cosinus forløb. Her, i figur 24, er der ale om re mindre halve cosinusforløb. De indses, a hver af disse mindre arealer er 1/3 af areale fra figur 22, ide kurveformen og ampliuden på 5,0 V er den samme, men den idsmæssige udsrækning er 1/3 1,0 µs. Neoareale, som er lig med a3-50, bliver negaiv, og dermed a3-50 = 1/3 a1 = 2 5,0 V = 1,0 V (14) 3 π Til besemmelse af a4-50 berages figur 25. Figur 25. Funkionsforløbe for de digiale signal f() og produke f() cos4 = f() cos(4 2π I lighed med de idligere neoarealberagninger indses, da neoareale for figur 25 er 0, a a4-50 = 0 (15) UNDERVISNINGSELEMENT # E3 SIDE 19

24 Sluelig, il besemmelse af a5-50 berages figur 26. Figur 26. Funkionsforløbe for de digiale signal f() og produke f() cos5 = f() cos(5 2π I lighed med de foregående beragninger indses, a der her på figur 26 er ale om 5 halve cosinusforløb, hvis areal hver er 1/5 af areale fra figur 22, og a neoareale, som er lig med a5, bliver posiiv. Hermed fås a5-50 = 1/5 a1 = 2 5,0 V = 0,64 V (16) 5 π Ved a videreføre de foregående grafiske overvejelser kan an for sørre n-værdier end 5 findes. I abel 1 er an-50- værdierne op il og med n = 31 opskreve for de værdier, som er forskellige fra 0. n an50 [V] n an50 [V] 1 3,2 17 0,19 3-1,1 19-0,17 5 0, ,15 7-0, ,14 9 0, , , , , , , ,10 Tabel 1. an-50-værdier forskellige fra 0 for de ideelle digiale signal fra figur 3. n op il og med 31 er vis. Værdierne for n = 1, 3 og 5 er neop de værdier, som valges for ampliuderne af de harmoniske for henholdsvis figurerne 6, 9 og 13. Værdierne for ampliuderne for de indsae lige harmoniske valges som rimelige sørrelser i forhold il de nærmese ulige harmoniske. Som idligere omal svarer n = 1 il 1. harmoniske f1 = 1,00 MHz, n = 3 svarer il 3. harmoniske f3 = 3,00 MHz, osv. Ampliudeværdierne er de absolue værdier af de ilsvarende a n-50-værdier. UNDERVISNINGSELEMENT # E3 SIDE 20

25 Hermed kan man vise hvorledes signale fra figur 3 ser ud i frekvensdomæne. Dee er vis på figur 28, for frekvenser op il 30 MHz. For sammenligningens skyld er figur 3 genage ved figur 27, således a man umiddelbar kan sammenholde billederne af idsdomæne og frekvensdomæne af de samme ideelle digiale signal. Figur 27. Digial signal i idsdomænerepræsenaion. Figur 28. Tilsvarende frekvensdomænerepræsenaionen for signale ved figur 27, vis for frekvenser op il 30 MHz. De digiale signal i figur 27 er e ideel digial signal, hvor f = Tf = r = Tr = 0 (der skifes momenan fra høj ilsand (5,0 V) il lav ilsand (0,0 V) og omvend). UNDERVISNINGSELEMENT # E3 SIDE 21

26 7 Fourier-koefficienerne a n for digial signal karakerisere ved h og samme værdier for T r og T f E sadig forenkle, men dog mere realisisk signal som udviser både sig- og faldider er vis ved figur 29. Sigiden Tr og faldiden Tf er ens og lig med 0,10 µs. Figur 29. Tidsdomænerepræsenaion af digial spændingssignal med ens fald - og sigider Tf = Tr = 0,10 µs. Som for figur 27 er spændingsinervalle A = 5,0 V og periodeiden T = 1,0 µs. For e digial signal karakerisere ved h og Tr = Tf gælder for an værdierne a n = 2 A h sin x h sin x r (17), T x h x r hvor h og A er definerede henholdsvis på siderne 3 og 5. xh og xr i (17) er definerede ved x h = n π T h T (18) x r = n π T r T hvor Th og Tr er definere på side 3. For baggrund og udledning af disse udryk henvises il [3] og [4]. Den il figur 29 ilsvarende frekvensdomænerepræsenaion er vis på figur 30, hvor ampliudeværdierne er beregnede ved brug af (17), (18) og (19). (19), UNDERVISNINGSELEMENT # E3 SIDE 22

27 Figur 30. Tilsvarende frekvensdomænerepræsenaionen for signale ved figur 29, vis for frekvenser op il 30 MHz. Ved sammenligning af figur 30 med figur 28 kan man bemærke følgende 1. Ampliuden af 1. harmoniske er nærmes de samme, ca. 3,2 V, for figur 28 og figur Ampliuderne af 3. harmoniske og højere er lavere for figur 30 end for figur 28. For de højere harmoniske (fra 7. og opad) er ampliuderne beydelig lavere. Dee er en følge af de endelige værdier af T f = Tr = 0,10 µs for figur 29 i modsæning il værdierne Tf = Tr = 0,0 µs gældende for figur Man bemærker lige neop a ampliudeniveauerne har en signing for de 13. og 15. harmoniske. Dee skyldes funkionsudrykke sin x r i (17). Den absolue værdi af sin x funkionen har de karakerisiske forløb som vis ved figur x r x 31. UNDERVISNINGSELEMENT # E3 SIDE 23

28 Figur 31. De karakerisiske forløb af den absolue værdi af sin x x funkionen. UNDERVISNINGSELEMENT # E3 SIDE 24

29 8 Reelle digiale signaler I de foregående eksempler har værdierne af både T og h være konsane, T = 1,00 µs og h = 0,50 µs. Dee er som ofes ikke ilfælde for virkemåden af en SMPS, ide både T og h kan variere. Disse variaioner bevirker en ydelig ændring af billede af frekvensdomænerepræsenaionen. Som e prakisk forekommende eksempel viser figur 32 måleresulae fra emis sionen fra en Swich Mode Power Supply (SMPS) ud på lysneilsluningen. Level in dbµv Figur 32. Måleresulae for en SMPS af emissionen ud på lysnee i frekvensområde 150 khz il 30 MHz. De blå rhomber og de røde kryds markerer udvælgelser af nogle måleekniske dealjer i forbindelse med den lovgivningsmæssige begrænsning af emissionen ud på lysnee af elekromagneisk søj. SMPS en passerer esen med god margin, da den øverse røde kurve er grænseværdien for den blå målekurve, og den siplede røde er grænseværdien for den grønne målekurve. For SMPS ens digiale oscillaorfrekvens gælder, a den er sa op il a variere/modulere over frekvensområde ca. 650 khz il ca. 750 khz. Oscillaorens arbejdsprincip bevirker, a dee frekvensområde ikke opræder speciel markan på måleblade figur 32, og a der opræder mange andre frekvenser. De gælder bl.a. de frekvenser man bemærker under ca. 400 khz, - disse opsår som følge af oscillaorens modulaionsfrekvens. Hvis oscillaoren var udforme il a afgive en fas frekvens, ville denne og de ilhørende harmoniske (i lighed med figur 28 og 32) opræde med beydelig syrke, som måske kunne oversige grænseværdien. Dee princip med a variere den digiale oscillaorfrekvens benævnes spread specrum. Princippe udsm ører således syrken af de anvende frekvenser over måleområde. Man opnår dermed, a de bliver nemmere a overholde grænseværdierne. Over ca. 750 khz bemærkes de karakerisiske forløb af den absolue værdi af sin x funkionen. x UNDERVISNINGSELEMENT # E3 SIDE 25

30 9 Ideel digial signal med duy cycle forskellig fra 50 % I de følgende berages e ideel digial signal, for hvilke de er valg a dc = 70 %. I lighed med den foregående behandling berages figur 33 il besemmelse af b1-70. Figur 33. Funkionsforløbe for de digiale signal f() og produke f() sin1 = f() sin(1 2π Som før er b170 lig med neoareale (areale regne med foregn) mellem kurven for f() sin1 og den horisonale akse. Fra figur 33 ses dee neoareal bliver 0, og dermed er b1-70 = 0 (20). Til besemmelse af b2-70 il b5-70 berages følgende figurer 34 37, og igen berages neoarealerne. UNDERVISNINGSELEMENT # E3 SIDE 26

31 Figur 34. Funkionsforløbe for de digiale signal f() og produke f() sin2 = f() sin(2 2π Figur 35. Funkionsforløbe for de digiale signal f() og produke f() sin3 = f() sin(3 2π UNDERVISNINGSELEMENT # E3 SIDE 27

32 Figur 36. Funkionsforløbe for de digiale signal f() og produke f() sin4 = f() sin(4 2π Figur 37. Funkionsforløbe for de digiale signal f() og produke f() sin5 = f() sin(5 2π Som for dc = 50 % indses, a alle neoarealer for dc = 70 % også bliver 0. Dee vil gælde for alle værdier af n, og dermed fås bn-70 = 0, n = 1, 2, 3,.. (21). Inden an-70-koefficienerne evalueres gennemføres en ilsvarende beragningsmåde il evaluering af b n-30- koefficienerne for e digial signal med dc = 30 %. E signal med denne dc kan berages som de komplemenære signal il signale med dc = 70 %. UNDERVISNINGSELEMENT # E3 SIDE 28

33 Figur 38 berages il besemmelse af b1-30. Figur 38. Funkionsforløbe for de digiale signal f() og produke f() sin1 = f() sin(1 2π Som før er b1-30 lig med neoareale (areale regne med foregn) mellem kurven for f() sin1 og den horisonale akse. Fra figur 38 ses dee neoareal bliver 0, og dermed er b1-30 = 0 (22). Til besemmelse af b2-70 il b5-70 berages følgende figurer 39 42, og igen berages neoarealerne. Figur 39. Funkionsforløbe for de digiale signal f() og produke f() sin2 = f() sin(2 2π UNDERVISNINGSELEMENT # E3 SIDE 29

34 Figur 40. Funkionsforløbe for de digiale signal f() og produke f() sin3 = f() sin(3 2π Figur 41. Funkionsforløbe for de digiale signal f() og produke f() sin4 = f() sin(4 2π UNDERVISNINGSELEMENT # E3 SIDE 30

35 Figur 42. Funkionsforløbe for de digiale signal f() og produke f() sin5 = f() sin(5 2π Ikke hel overraskende indses, a alle neoarealer for dc = 30 % også bliver 0 som for dc = 70 %. Dee vil gælde for alle værdier af n, og dermed fås bn-30 = 0, n = 1, 2, 3,.. (23). UNDERVISNINGSELEMENT # E3 SIDE 31

36 Herefer berages an-koefficienerne. Førs an-70 ved figur 43. Figur 43. Funkionsforløbe for de digiale signal f() og produke f() cos1 = f() cos(1 2π Dernæs an-30 ved figur 44. Figur 44. Funkionsforløbe for de digiale signal f() og produke f() cos1 = f() cos(1 2π Umiddelbar bemærkes, a både a1-70 og a1-30 er posiive, og ved a nærsudere figurerne indses, a arealerne er lige sore, og dermed a1-70 = a1-30. De numeriske beregninger foreages senere. UNDERVISNINGSELEMENT # E3 SIDE 32

37 Til evaluering af a2-70 og a2-30 berages henholdsvis figurerne 45 og 46. Figur 45. Funkionsforløbe for de digiale signal f() og produke f() cos2 = f() cos(2 2π Figur 46. Funkionsforløbe for de digiale signal f() og produke f() cos2 = f() cos(2 2π Her bemærkes, a a2-70 er negaiv og a2-30 er posiiv, og ved a nærsudere figurerne indses, a de absolue værdier af arealerne er lige sore, og dermed a2-70 = - a2-30. De numeriske beregninger foreages senere. Disse resulaer beyder også, a nu eksiserer den 2. harmoniske for en duy cycle forskellig fra 50 %. For denne duy cycle på 50 % var neop alle de lige harmoniske ikke-eksiserende. UNDERVISNINGSELEMENT # E3 SIDE 33

38 Til evaluering af a3-70 og a3-30 berages henholdsvis figurerne 47 og 48. Figur 47. Funkionsforløbe for de digiale signal f() og produke f() cos3 = f() cos(3 2π Figur 48. Funkionsforløbe for de digiale signal f() og produke f() cos3 = f() cos(3 2π Fra figurerne ses, a både a3-70 og a3-30 er posiive, og ved a nærsudere figurerne indses, a arealerne er lige sore, og dermed a3-70 = a3-30. Igen foreages de numeriske beregninger senere. UNDERVISNINGSELEMENT # E3 SIDE 34

39 Til evaluering af a4-70 og a4-30 berages henholdsvis figurerne 49 og 50. Figur 49. Funkionsforløbe for de digiale signal f() og produke f() cos4 = f() cos(4 2π Figur 50. Funkionsforløbe for de digiale signal f() og produke f() cos4 = f() cos(4 2π Her bemærkes, a a4-70 er posiiv og a4-30 er negaiv, og ved a nærsudere figurerne indses, a de absolue værdier af arealerne er lige sore, og dermed a 4-70 = - a4-30. De numeriske beregninger foreages senere. Hermed eksiserer også den 4. harmoniske for en duy cycle forskellig fra 50 %. UNDERVISNINGSELEMENT # E3 SIDE 35

40 Til evaluering af a5-70 og a5-30 berages henholdsvis figurerne 51 og 52. Figur 51. Funkionsforløbe for de digiale signal f() og produke f() cos5 = f() cos(5 2π Figur 52. Funkionsforløbe for de digiale signal f() og produke f() cos5 = f() cos(5 2π Fra figurerne ses, a både a570 og a530 er negaive, og ved a nærsudere figurerne indses, a arealerne er lige sore, og dermed a570 = a530. De numeriske beregninger foreages senere. UNDERVISNINGSELEMENT # E3 SIDE 36

41 De omale numeriske beregninger foreages ved a anvende (17), (18) og (19). Resulaerne er vis grafisk ved figur 53. Figur 53. Udvide frekvensdomænerepræsenaionen for ideelle digiale signaler med du y cycle henholdsvis på 70 % og 30 %. I lighed med de idligere grafer er frekvensområde begrænse op il 30 MHz. De bemærkes, a der ikke hel er ale om de idligere frekvensdomænegrafer som ved f.eks. figur 28, ide der her er medage informaioner om de indbyrdes faseforhold for de enkele harmoniske. Herfor beegnelsen udvide frekvensdomænerepræsenaion og brug af beegnelsen Fase-ampliude i grafen. Til figur 53 kan man også bemærke følgende 1. Ved en duy cycle forskellig fra 50 % vil også de lige harmoniske opræde. Ampliuderne af de 10., 20. og 30. harmoniske er dog 0. Ved en duy cycle på 50 % er alle de lige harmoniske ikke-eksiserende. 2. Ampliudeværdierne af alle de harmoniske er lige sore, men faseforholdene varierer. For de ulige harmoniske har de 3., , 21. og 29. harmoniske samme fase som den 1. harmoniske, mens resen har modsa fase. Dee gælder uanse om duy cycle er 70 % eller 30 %. For de lige harmoniske afhænger faserelaionerne også af, om der er ale om duy cycle på 70 % eller 30 %, og bemærk også de indbyrdes faseskif for voksende lige harmoniske. 3. Ved anvendelse af en spekrumanalysaor ville man ikke kunne bemærke de indbyrdes faseskif mellem de o værdier af duy cycle. En spekrumanalysaor viser alid kun ampliud eværdierne, og de er jo neop ens for alle de harmoniske. Den grafiske meode viser her sin syrke ved umiddelbar a udpege de indbyrdes faseforhold. UNDERVISNINGSELEMENT # E3 SIDE 37

42 Endelig vises på figur 54 indflydelsen af sin x h x h funkionen. Figur 54. Frekvensdomænerepræsenaionen for de ideelle digiale signal med duy cycle = 70 % begrænse af sin x h funkionen for frekvenser op il 30 MHz. x h UNDERVISNINGSELEMENT # E3 SIDE 38

43 10 Sammenhæng mellem beregnede og måle værdier Ved anvendelse af en arbirær funkionsgeneraor (Agilen 33521A) for generering af de digiale signaler forbunde il e digial oscilloskop (Tekronix TPS2024) er der foreage sammenligninger mellem de beregnede værdier og de måle. De anvende oscilloskop har indbygge en Fas Fourier Transform (FFT) basere spekrumanalysaor, som anvendes il måling af de digiale signaler i frekvensdomæne. Ved denne anvendelse skal man udvælge en vægningsfunkion, og il de følgende målinger valges Fla op - funkionen, ide denne funkion fremhæves a give den mindse ampliude-måleusikkerhed. Der eksiserer en lang række af disse udglaningsfunkioner. Her skal kun fremhæves, a hvis man ønskede mindse usikkerhed for frekvensbesemmelsen ville man så sig ved a vælge Hann -vægningsfunkionen (denne benævnes også i Hanning vægningsfunkionen). For en hurig indføring i frekvensdomæneanalyse og valg af vægningsfunkioner kan henvises il [5]. På de følgende billeder, figur 55 og 56, er vis frekvensdomæne mål med TPS2024 med henholdsvis Fla op - og Hann vægningsfunkionerne. Figur 55. Frekvensdomæneanalyse udfør på TPS2024 med Fla op vægningsfunkion. UNDERVISNINGSELEMENT # E3 SIDE 39

44 Figur 56. Frekvensdomæneanalyse udfør på TPS2024 med Hann (Hanning) vægningsfunkion. De bemærkes, a der kun kan konsaeres minimale forskelle for de vise ampliudeværdier mellem valge af de o vægningsfunkioner. Denne lille forskel kan f.eks. konsaeres ved a berage visningen for ampliudeværdierne umiddelbar il vensre for skærmens mide (markere med de gule pile). Værdien hørende il Hann vægningen er knap en delsreg mindre en den ilsvarende visning ved brug vaf Fla op vægningen. For oscilloskope blev en selvkalibrering foreage før målingerne. Ud fra de oplyse i daablade for TPS2024 [6] skønnes måleusikkerhed a være i sørrelsesordenen ± 4 % for ampliudemålingerne og væsenlig mindre for frekvensmålingerne. De mindse Tr - og Tf værdier, som impulsgeneraoren kunne generere var 0,010 µs, og derfor er disse værdier anvend ved beregningerne efer (17), (18) of (19). Med oscilloskopfunkionens målemuligheder indsilledes impulsgeneraoren således il duy cycle på henholdsvis 30 %, 50 % og 70 %. I alle re ilfælde var A = 5,00 V og fd = 1,00 MHz. Via curser-funkionen kan de harmoniske udvælges. Funkionen hjælper med il a udvælge niveaue for den pågældende harmoniske, ide maksimalniveaue udpeges auomaisk, når curseren er placere æ ved frekvensen for den harmoniske. Niveaue udlæses i db med referenceniveaue 0 db = 1 V RMS. Den måle spændingsampliude anmål findes hermed fra den aflæse db-ampliude andb ved følgende formel a nmål = 2 10 a ndb 20 (24) UNDERVISNINGSELEMENT # E3 SIDE 40

45 I skemaform opnåedes følgende Paramere: Tr = Tf = 0,010 µs Duy cycle = 50 % Posulere frekvens Mål frekvens Beregne ampliude [MHz] [MHz] [V] Mål ampliude andb anmål [db] [V] 1,00 1,00 3,18 7,03 3,18 2,00 Ikke målelig (i søjgulv) 0 Ikke målelig (i søjgulv) 3,00 3,00 1,06-2,57 1,05 4,00 Ikke målelig (i søjgulv) 0 Ikke målelig (i søjgulv) 5,00 5,00 0,63-6,97 0,63 6,00 Ikke målelig (i søjgulv) 0 Ikke målelig (i søjgulv) 7,00 7,00 0,45-10,2 0,44 8,00 Ikke målelig (i søjgulv) 0 Ikke målelig (i søjgulv) 9,00 9,00 0,35-12,6 0,33 10,00 Ikke målelig (i søjgulv) 0 Ikke målelig (i søjgulv) 11,00 11,00 0,28-14,2 0,28 Der er således særdeles god overenssemmelse mellem de forvenede og de måle værdier. Paramere: Tr = Tf = 0,100 µs Duy cycle = 50 % Posulere frekvens [MHz] Mål frekvens [MHz] Beregne ampliude [V] Mål ampliude andb [db] anmål 1,00 1,00 3,13 7,03 3,18 2,00 Ikke målelig (i søjgulv) 0 Ikke målelig (i søjgulv) 3,00 3,00 0,91-3,37 0,96 4,00 Ikke målelig (i søjgulv) 0 Ikke målelig (i søjgulv) 5,00 5,00 0,41-10,2 0,44 6,00 Ikke målelig (i søjgulv) 0 Ikke målelig (i søjgulv) 7,00 7,00 0,17-16,2 0,22 8,00 Ikke målelig (i søjgulv) 0 Ikke målelig (i søjgulv) 9,00 9,00 0,04-24,2 0,09 10,00 Ikke målelig (i søjgulv) 0 Ikke målelig (i søjgulv) 11,00 11,00 0,03-39,8 0,01 Der konsaeres god overenssemmelse mellem de forvenede og de måle værdier, ide måleusikkerheden må forvenes a være beydelig for de mindse måle ampliudeværdier (mindre end 0,1 V). For de mindse ampliudemålinger konsaeredes også beydelige ilfældige flukuaioner i sørrelsesordenen ± % for måleværdierne. [V] UNDERVISNINGSELEMENT # E3 SIDE 41

46 For Tr = Tf = 0,010 µs og duy cycle på 30 % og 70 % opnåedes samme gode overenssemmelse for de førse 5 frekvenser (1,00 MHz, 2,00 MHz, 3,00 MHz, 4,00 MHz og 5,00 MHz) både for frekvens og ampliude. Speciel noeredes også, a der ikke var synlig og målbar forskel for de vise frekvensdomænespekrum mellem de o duy cycle på 70 % og 30 %. Den grafiske analyse undersøe af numeriske beregninger påviser imidlerid, a der vil opræde e foregnsskife for fasen af de harmoniske ved e skife i duy cycle mellem 70 % og 30 %. Som før nævn kan disse faseskif ikke erkendes ved måling vha. en spekrumanalysaor. UNDERVISNINGSELEMENT # E3 SIDE 42

47 11 Afsluning og opsummering Transformaionen fra ids- il frekvensdomæne blev behandle overvejende grafisk for a fremme den inuiive forsåelse af koblingen mellem de o begreber. Den grafiske behandling blev undersøe af få nødvendige analyiske udryk for a faslægge numeriske sørrelser. Ved den grafiske behandling belyses de frekvens- og speciel fasemæssige relaioner, som opsår når e digial signals duy cycle varierer. Endelig blev de eoreiske resulaer sammenknye med resulaerne af fakiske målinger udvisende god overenssemmelse. 12 Referencer [1] H. Elbrønd Jensen, Maemaisk Analyse Bind 4, Maemaisk Insiu, Danmarks Tekniske Højskole, [2] hp:// [3] I. S. Sokolnikof & R. M. Redheffer, Mahemaics of Physics and Modern Engineering, McGraw-Hill, New York, [4] A. Hock, Hochfrequenz-Messechnik, Teil 1, Lexika: Grafenau, [5] hp:// [6] hp:// UNDERVISNINGSELEMENT # E3 SIDE 43