Indholdsfortegnelse Side 1. Abstract: Infinity and Periodicity Side 2. Indledning Side 3. De komplekse tal Side 3

Transkript

1 Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse Side 1 Abstract: Infinity and Periodicity Side Indledning Side 3 De komplekse tal Side 3 Komplekse tal på formen a 1 + ia Side 4 Regneregler for komplekse tal Side 4 Den komplekse talplan Side 5 Iterationer Side 7 Fikspunkter og baner for komplekse tal i og uden for Mandelbrots mængde Side 9 STOF Side 1 Sommerfugledalen Side 18 Uendelighed og periodicitet Side 0 Konklusion Side Litteraturliste Side 3 Bilag 1 Side 4 Bilag Side 6 Bilag 3 Side 9 Bilag 4 Side 31 Bilag 5 Side 3 Bilag 6 Side 33 Side 1 af 34

2 Infinity and Periodicity This paper tests the possibility that the mathematical and artistic ideas of the general concepts of infinity and periodicity can be connected. It begins with an account of complex numbers. Using these as a stepping stone the paper examines the complex plane, selected rules of arithmetics and iterations, focusing especially on the iteration that leads to the Mandelbrot Set. In addition the Mandelbrot Set is explored in the following topics: fixed points and orbits for complex numbers inside and outside the Mandelbrot Set. The study is carried out both theoretically and practically, which makes its conclusion(s) more reliable. The work on these topics progresses into an analysis and interpretation of Niels Lyngsø s poetry collection STOF. The analysis and interpretation do not only attach great importance to the two concepts of infinity and periodicity, but also to the composition and the relation between the lyrical I and nature. In these aspects it is possible to recognize more of the above mentioned mathematical structures and ideas. Moreover the paper focuses on the existing similarities between STOF and a poetry collection by Inger Christensen, Sommerfugledalen. Hereby it also brings into focus the prevailing ideas of the period in which these collections were written. Side af 34

3 Indledning Indenfor videnskaben findes der i det moderne samfund forskellige fakulteter, der alle opererer med forskellige begreber. Nogle af disse begreber går igen i to eller flere af fakulteterne, selvom de ikke nødvendigvis beskriver samme fænomener, måske er de vidt forskellige. To af disse begreber, nemlig uendelighed og periodicitet, behandles i denne opgave. Selvom disse sandsynligvis findes i flere fakulteter, fokuseres der i denne opgave på opfattelserne af de to begreber indenfor æstetikken/humanismen og matematikken. For at finde frem til de to opfattelser af begreberne, er det væsentligt først at nå til en forståelse af, hvad opfattelserne indebærer. I arbejdet med matematik fokuseres først og fremmest på de komplekse tal, der først blev skabt af den dansk/norske Caspar Wessel, der udvidede den daværende opfattelse af tal til de komplekse tal, der ikke er ligeså begrænsede, for at benytte dem rent praktisk til landmåling. 1 De komplekse tal er en god indfaldsvinkel til at forstå de uendelighed og periodicitet. I arbejdet med æstetik fokuseres på særlige æstetiske virkemidler i digtsamlingerne STOF, af Niels Lyngsø, og Sommerfugledalen, af Inger Christensen, der ligeledes åbner op for de to begreber blot i et andet fakultet. Ud fra de to forskellige indfaldsvinkler påvises en sammenligning, hvis muligt. De komplekse tal Definition 1 I mængden af talpar er addition og multiplikation bestemt ved 1) (a 1,a ) + (b 1.b ) = (a 1 + b 1, a + b ) ) (a 1,a ) (b 1.b ) = (a 1 b 1 - a b, a 1 b + a b 1 ) Den således organiserede mængde kaldes de komplekse tal og betegnes med C. Der findes to former for komplekse tal: 1) imaginære de komplekse tal, der ikke er reelle og ) rent imaginære de komplekse tal, der er af formen (0,y), y 0, g altså ikke har nogen reel del. 1 Wessel, se bilag 1 Komp. tal, s.1-15 Side 3 af 34

4 Komplekse tal på formen a 1 +ia 3 Det rent imaginære tal (0,1) betegnes i, hvilket medfører en ny betegnelse: i = -1, der ses af følgende udregning: i (0,1) (0,1) ( , ) ( 1,0) 1 Vha. i og et par udregninger er det muligt at bevise, at formen a 1 +ia er identisk med a = (a 1,a ). Først og fremmest er det nødvendigt, at a betegner et reelt tal, så udregningerne kan foregå efter de reelle regneregler. 4 ia ( 0,1)( a,0) (0 a 1 0,0 0 1 a) (0, a), hvilket giver: ( a, a ) ( a,0) (0, a a ia. 1 1 ) 1 Endvidere vil det her klargøres, at a 1 -ia kaldes a s konjugerede tal. Dette betegnes a. Regneregler for komplekse tal 5 Det ses af definition 1, at addition og multiplikation er nødvendig for regning med komplekse tal. I definition 1 var der dog kun tale om udregninger med tallene (a 1,a ) og (b 1, b ). Idet formen a 1 +ia nu er fundet, undersøges det, hvordan udregninger med komplekse tal på denne form ser ud. Addition: a 1 +ia + b 1 +ib = a 1 +b 1 + i(a +b ) Multiplikation: (a 1 +ia )(b 1 +ib ) = a 1 b 1 + i a b + ia 1 b + ia b 1 = a 1 b 1 - a b + i(a 1 b + a b 1 ) Der findes naturligt nok også regneregler for konjugerede tal, hvor følgende gør sig gældende 6 : 1) a b a b og ) ab a b, hvor a = a 1 +ia, b = b 1 +ib og a = a 1 -ia,b = b 1 -ib Bevis 1) a b = a 1 -ia + b 1 -ib = (a 1 +b 1 ) i(a +b ) = a b og ) a b = (a 1 -ia )( b 1 -ib ) = (a 1 b 1 a b ) i(a 1 b + a b 1 ) = ab 3 Komp. tal, s Se bilag 5 Komp. tal, s Komp. tal, s. 17, sætning Side 4 af 34

5 Den komplekse talplan 7 For at anskueliggøre komplekse tal, er det muligt at indsætte dem i planen ved at indsætte et punkt med koordinaterne x og y, der kommer af tallet x + iy. I et koordinatsystem, hvor komplekse tal afsættes som punkter, afsættes det reelle tal, på x-aksen, også kaldet den reelle akse. Omvendt kaldes y-aksen den imaginære akse, da det imaginære tal afsættes op af denne. Den pil/linie, der fremkommer ved at tegne fra 0 til a = a 1 +a kaldes stedvektoren for a. Det er muligt at afbilde addition og multiplikation i talplanen. Resultatet af to komplekse tal, der adderes, findes ved at tegne de to tals stedvektorer og derefter tegne det parallelogram, kræfternes parallelogram, der opstår mellem dem. Diagonalen fra 0 til parallelogrammets fjerneste hjørne er dermed tallenes sum. På eksemplet til venstre ses to vektorer (røde) med tallene -i og +4i. Kræfternes parallelogram tegnes (blå), og diagonalen (grøn) er så stedvektoren fra 0 til det fjerneste hjørne, hvilket er lig summen af de to tal, der i dette tilfælde er 4+i. Multiplikation i talplanen kræver indførelsen af to nye begreber: Definition Ved den numeriske værdi a af det komplekse tal a = a 1 + ia forstås afstanden fra 0 til a, dvs. a a 1 a. Ved argumentet for a forstås vinklen mellem de reelle tals akse og stedvektoren for a; argumentet betegnes arg a og regnes med fortegn. Tallet 0 tillægges ikke nogen argument. Det skal bemærkes, at arg a ikke er entydigt bestemt, da alle tallene arg a + pπ, p ϵ Z, også er argumenter for a. Normalt benyttes dog de såkaldte hovedargumenter, der er de argumenter, der ligger i [-π, π[, eller hvis vi regner i grader [-180,180 [. 8 7 Komp. tal, s.19 1 og Mette Hjelmborg? 8 Komp tal, s. 0 under definitionen Side 5 af 34

6 For at finde argumentet for a indtegnes gerne en retvinklet trekant fra de reelle tals akse og til stedvektorens spids. Herfra er det lettere at udregne argumentet vha. cosinus og sinus relationerne (begge dele udregnes gerne, idet hovedargumentet ikke er entydigt bestemt). Disse udregninger a giver: arg a = v cos (v) = 1 a sin(v) = a a På figuren til højre er a = 4-i (rød) og b = -4+4i (grøn) afsat, hvilket giver: a = 4 ( ) 5 og b = ( 4) 4 4 De retvinklede trekanter er ligeledes indtegnet (blå). I den retvinklede trekant med a som stedvektor sættes arg a = v, og i den retvinklede trekant med b som stedvektor sættes arg b = u. Udregningerne foretages i radianer. 4 cos( v ) sin( v) 5 5 reelle akse, der udregnes. v 0,46. Resultatet bliver minus, da det er vinklen under den 4 4 cos( u ) u,36 sin( u) u 0,78. Resultaterne bliver forskellige, idet sinus 4 4 relationen regner på den vinkel, der fremkommer, hvis b var spejlet i den imaginære akse. Det ses dog, at cosinus relationen giver det rigtige svar, idet 0,78, 36. Tallene a og b multipliceres nu, hvor deres produkt kaldes c: c (4 i) ( 4 4i) 16 8i 16i 8i i 8 4i c indtegnes nu i planen (grøn linie på figuren til højre), og vinklen mellem c og den reelle akse kaldes w. Der foretages samme udregninger angående c som ovenstående med a og b. c ( 8) sin( w ) w 1,5 cos( w) w 1,89 Her ses det igen, at resultaterne bliver forskellige. Dog kan forskellen denne gang forklares ud fra a og b. Det ses ovenfor, at c 8 5. Dette resultat er identisk med a b Samtidig er der en sammenhæng mellem argumenterne for a og b, idet,36 0,46 1, 90. Side 6 af 34

7 Altså må det, ud fra eksemplet, sandsynligvis gælde, at c a b og arg( c) arg( a) arg( b), og dermed, at produktet af to komplekse tal giver et nyt komplekst tal, der findes som: ( a,arg( a)) ( b,arg( b)) ( a b;arg( a) arg( b)). Derudover gælder det, at da a+b og a-b er diagonalernes længder i det parallelogram, hvis sider er stedvektorerne til a og b, følger trekantsuligheder a b a b. Iterationer 9 Iteration betyder gentagelse. I matematik består en iteration i, at en given funktion udregnes, hvorefter resultatet heraf benyttes i næste udregning osv. F.eks. gives funktionen f(x) med startværdi x 0. Dette giver så: x 1 =f(x 0 ), x =f(f(x 0 )) = f(x 1 ), osv. Definition s. 43 beskriver nogle vigtige begreber angående iterationer: Iterativt system Banen et givent element i en talfølge (z 0, z 1, z,,) afhænger af det foregående ved en given iterationsfunktion f, hvor n 0 giver, at: z n+1 = f(z n ) talfølgen z 0, z 1, z,, Begyndelsesværdien/-punktet z 0 Iteration den handling, der gør, at hvert element fremgår af det forudgående. Det også er muligt at iterere ved at sammensætte en funktion. Man kan således falde over skrivemåden f n, hvor dette ikke betyder f i n te potens, men derimod, at f er sammensat med sig selv n gange. Det er herigennem også væsentlig, at f n (z 0 ) kan skrives som z n. En særlig iteration fremkommer ved at anvende funktionen f(z) = z + c. Det særlige ved den er, at den fører til en mængde, der kaldes Mandelbrot-mængden. Iterationen vil her behandles, inden der fokuseres på mængden. 10 Først er det nødvendigt at vide, hvad der sker med z n ved forskellige begyndelsesværdier for funktionen f(z) = z (= z z ). Dette forklares ud fra de antagne egenskaber omkring et komplekst tals numeriske værdi ved multiplikation ovenfor, hvilket giver: - Hvis z 0 > 1 bliver iterationerne større og større, da to tal større end 1 altid vil blive større og større, jo flere gange de multipliceres med sig selv. Grafisk giver det en cirkel, hvis radius hele tiden bliver større. - Hvis z 0 = 1 vil iterationen fortsætte med at være 1. Grafisk giver dette enhedscirklen. - Hvis z 0 < 1 bliver iterationerne mindre og mindre, da to tal mindre end 1 altid vil blive mindre og 9 Komp. tal, s Komp. tal, s Side 7 af 34

8 mindre, jo flere gange de multipliceres med sig selv. Grafisk giver det en cirkel, hvis radius hele tiden bliver mindre. I alle tre tilfælde, vil z have O som centrum. 11 Ved geometrisk fremstilling af f (z) = z + c viser det sig, at f(z) vil gennemløbe en cirkel med centrum c, hvis z gennemløber en cirkel med centrum O, der har radius z. Det ses ved at nøjes med at kigge på z i stedet for z + c: f ( z) c z c c z z To sætninger, der letter arbejdet med funktionen vil her bevises. Sætning 17 For funktionen f(z) = z + c gælder, at f(z) z - c. Bevis Ved både at benytte udtrykket for z ovenfor og ydermere gøre brug af trekantsuligheden ved første større-end-tegn findes beviset for sætningen: z f ( z) c f ( z) c f ( z) z c Sætning 18 For iterationen bestemt af f(z) = z + c med begyndelsesværdien z 0 gælder c : hvis z 0 > vil z n for n Bevis I sætningen gælder, at z0 c og z 0. Dette giver, sammen med sætning 17: f ( z) z c z z z z 1 c > : hvis z 0 c vil z n for n For at lette udtrykket en smule indsættes k = z -1, hvor k > 1, da z >. Derfor ser udtrykket nu således ud: f(z) k z. Altså ligger f(z) længere væk fra 0 end z gør. Iterationen vises nu ved at sammensætte den fundne funktion: f n n ( z) f ( f ( z)) k f ( z) k z. Dette kan nu omskrives til noget generelt: f ( z) k z, der også kan skrives: z n n k z0. For at kunne drage en konklusion af ovennævnte sættes k n = z n -1, hvilket giver: z 1 z0 z1 1 z0 1 k1 k0 1. Hvis k 0 indsættes i disse udregninger giver resultaterne, at k 0 er mindst, k 1 er lidt større osv. Derfor kan det konkluderes, at k n for n. Dermed gælder det også, at z n. 11 Komp. tal, s. 51 Side 8 af 34

9 Fikspunkter og baner for komplekse tal i og uden for Mandelbrots mængde 1 Indenfor iterationer, der ikke er lineære, er der behov for indførelse af nogle centrale begreber Definition 3 Tallet z* kaldes et fikspunkt for funktionen f, hvis f(z*) = z* Tallet z kaldes et præfikspunkt, hvis det efter et endeligt antal iterationer går over i et fikspunkt z*, dvs. hvis f n (z) = z* Ydermere kan et fikspunkt eller en bane være enten tiltrækkende, frastødende eller neutral, alt efter om den tiltrækker, frastøder eller forholder sig neutral overfor baner omkring den/det. Definition 4 Et tal z som efter et endeligt antal iterationer afbildes i sig selv, kaldes et periodisk punkt. Det mindste antal iterationer, der fører punktet tilbage i sig selv kaldes punktets periode. En bane, der begynder i et periodisk punkt, kaldes en periodisk bane. Banens periode er lig med punktets periode. Hvis en bane har perioden n, kaldes den en peiode-n-bane. Et tal z som efter et endeligt antal iterationer afbildes i en periodisk bane, som det ikke selv tilhører, kaldes et præperiodisk punkt. Det vil her klargøres, hvordan man bestemmer fikspunkter for f(z) = z + c. Det fremgår af definitionen, at f(z) = z, hvis z er fikspunkt: z c z z z c 0. Herudaf fremkommer altså en andengradsligning, hvor et udtryk for z nu findes: 1 z hvis c er et reelt tal: ( 1) 4 1 c 1 1 4c. Af dette kommer tre muligheder for fikspunkter, Hvis c = : 4 z. Altså findes der her ét fikspunkt noget 1 - Hvis c < : z. Dette giver d > 0, hvilket giver to reelle fikspunkter noget 1 - Hvis c > : z. Dette giver d < 0, hvilket giver nul reelle fikspunkter. Til 4 gengæld giver det to imaginære fikspunkter, da de komplekse løsninger ikke er afhængige af d. Hvis c derimod er et komplekst tal, vil der til alle værdier af c findes to imaginære fikspunkter. Tillige indføres et par betegnelser, og derefter to sætninger, der siger noget om disse: 0 - det kritiske punkt f(0) = c - den kritiske værdi 1 Komp. tal, s Side 9 af 34

10 Baner med begyndelsesværdien 0 eller c - kritiske baner Sætning 19 Hvis iterationsfunktionen f(z) = z + c har en tiltrækkende periodisk bane, vil den specielt tiltrække den kritiske bane. Heraf følger, at den kritiske bane kan have en ud af tre mulige egenskaber: 1. Den kritiske bane nærmer sig en periodisk bane, der pga. sætning 19 så er tiltrækkende.. Den kritiske bane går mod uendelig, hvorfor der iflg. Sætning 19 ikke kan være en tiltrækkende periodisk bane. 3. Den kritiske bane går hverken mod uendelig eller mod en tiltrækkende periodisk bane; i dette tilfælde befinder vi os ikke i Julia-mængden. 13 Derudover følger en anden sætning: Sætning 0 Hvis c > vil den kritiske bane for f(z) = z + c gå mod uendelig. Bevis Da det tidligere er bevist, at banen med z som begyndelsesværdi vil gå mod uendelig, hvis z c >, vil det også gælde for den kritiske bane, da dennes begyndelsesværdi er z = 0. I 1970 erne blev der så at sige skabt en mængde, der havde til formål at klargøre, hvilke f(z) = z + c, der har kritiske baner, der går mod uendelig, og hvilke, der ikke har. Den nævnte mængde kaldes Mandelbrot-mængden, efter Benoit B. Mandelbrot, der konstruerede den, og den opdeler således følgende: - De c-værdier hvis bane ikke går mod uendelig ligger i M - De c-værdier hvis bane går mod uendelig ligger udenfor M. 14 Idet M er en mængde i c-planen, findes der kun én Mandelbrotmængde, hvorimod de mængder (f.eks. Juliamængden), der tegnes i z-planen vil blive forskellig alt afhængig hvilken c- værdi, der vælges. Den største del af M kaldes kardioiden, og kanten rundt om denne kaldes M s rand. Ud fra kardioiden udgår en række knopper i flere forskellige størrelser. Disse kan kaldes baby-mandelbrot. En baby- Mandelbrot er ofte første led i en hel række baby-mandelbrot, der kun kan ses ved forstørrelse. Helt yderst i en sådan række vil man se en række antenner, der udgår herfra. Disse forbinder de forskellige baby-mandelbrot med hinanden og med kardioiden. Nogle af dem er dog så tynde, at de 13 Komp. tal, s Se yderligere Explorer, Exploration # 1 Side 10 af 34

11 Den imaginære akse Den imaginære akse Astrid Keitum. 3m, Odense Katedralskole ikke kan afbildes, hvorfor mængden kan ligne at være usammenhængende. Baby-Mandelbrot kan også navngives på en anden måde, idet der gælder følgende: - c-værdierne i kardioiden giver kritiske baner, der tiltrækkes af et fikspunkt: periode-1-punkt - c-værdierne i den største knop til venstre giver kritiske baner, der tiltrækkes af periode-- baner - c-værdierne i den største knop ovenpå giver kritiske baner, der tiltrækkes af periode-3-baner osv. Derfor navngives de forskellige knopper også som periode-n-knop, hvor n betegner den kritiske banes tiltrækning i den pågældende knop. Disse tal kan også aflæses ved at se, hvor mange antenner, der springer ud af antennernes midtpunkt 15 Herudover er det væsentligt, at M farvelægges. Selve M farves i én farve (ofte sort), hvorimod feltet omkring mængden farvelægges på to måder: 1) hvid og ) forskellige farver, der klargør hvor lang tid, der går, før den kritiske bane i det pågældende punkt er kommet uden for cirklen med centrum 0 og radius her bevæger den sig nemlig mod uendelig (se beviset for sætning 18). Et begreb, der har væsentlig betydning for M er ordet kaos, der kan defineres således: Bare en mikroskopisk ændring i begyndelsesværdien ændrer banen fuldstændigt. ( ) Ovenstående er et eksempel på det, man i matematikken kalder kaos. 16 (1) Herunder ses et eksempel på kaos: Ud fra c = 0, ,6565i fås en periode-6-bane, mens der ud fra c = 0, , i fås en uendelig bane 17 : Periode-6-knop Uendelig 1,5 1 0, ,5-1 -0,5-0,5 0 0,5 1 1,5-1 -1,5 - Den reelle akse 1,5 1 0, ,5-1 -0,5-0,5 0 0,5 1 1,5-1 -1,5 - Den reelle akse Det kaotiske i disse udregninger er også at finde i digtsamlingen STOF, der her vil behandles, så det bliver lettere at sammenligne den med nogle af de matematiske egenskaber ved M. 15 Se yderligere Explorer, Exploration # 6 16 Komp. tal, s. 58, l Explorer, The Mandelbrot Set Iterator, se ydermere bilag for iterationernes udregninger Side 11 af 34

12 STOF STOF er skrevet af den norske digter Niels Lyngsø, der bl.a., rent litterært, lader sig inspirere meget af den danske digter Inger Christensen 18, hvorfor Lyngsø har skrevet en artikel 19 om hendes digtsamling Sommerfugledalen, hvor han nedskriver sine overvejelser omkring denne. Artiklen bruges i det følgende som udgangspunkt for arbejdet med STOF og også til at sammenligne de to digteres skrivestil. Lyngsø redegør bl.a. for den måde, hvorpå Christensen beskriver litteraturens efterligning af virkeligheden og begrebet uendelighed. I redegørelsen gør Lyngsø brug af tre væsentlige ord; mimesis, mise-en-abîme og mimicry, der også på påvises i STOF: ( ) at spørgsmålet [om mimesis] i korthed går på om, hvordan og i hvilket omfang kunsten eller litteraturen kan siges at gengive mime en virkelighed. ( ): Mimesis kan forstås som mimicry og som mise-en-abîme. 0 () Generelt kan man sige at der er tale om mise-enabîme når en del af en helhed viser sig at være en helhed som helt eller delvis ligner den helhed den er en del af. ( ) i nogle tilfælde ad infinitum. 1 (3) Biologien bruger begrebet mimicry som betegnelse for det velkendte fænomen at visse dyr beskytter sig ved at efterligne deres omgivelser. (4) Mise-en-abîme findes flere steder i STOF, her vil dog fokuseres på de mange referencer til æsker indeholdende flere æsker indeni. Selvom der findes mange beskrivelser af disse, f.eks. s. og 7, er formuleringen s. 59 meget væsentlig: I den inderste æske findes den æske som rummer alle de andre. (5) Her ses en tydelig mise-en-abîme struktur, idet en hvilken som helst æske er en helhed i sig selv, men også en del af en række æsker. Samtidig er en række af æsker både en helhed og en del af de rækker, der går igen i den inderste æske. Denne æske beskriver samtidig det uendelige: Hvis den inderste æske rummer alle de andre, bliver udtrykket den inderste æske en umulighed for da vil den blive den yderste. Denne æske er muligvis den inderste af en række, men alle æskerne vil gå 18 Marstein, se bilag 3, 1. afsnit 19 Kritik se bilag 4 0 Kritik, s. 90, l.6-18 (1. spalte), se bilag 4 1 Kritik, s. 90, l. 3-8 (1. spalte), se bilag 4 Kritik, s. 97, l. 4-7 (. spalte), se bilag 4 Side 1 af 34

13 igen i den inderste æske og gå igen i den inderste af disse osv. Det er samtidig muligt at se det omvendt, da den inderste æske bliver lig den yderste. Idet man starter indefra og på et tidspunkt når den yderste æske, vil rækken af æsker fortsætte, indtil man endnu engang når til den yderste osv. I modsætning til det uendelige ses også referencer til periodicitet, bl.a. s. 33, l. 15-0: hinder svinger/under bølgers/periodiske kærtegn/jeg ved/der er andre/uden for mit skind/som også er mig. (6) 3 På s. 8 er der ligeledes referencer til, hvordan sansesignaler og erindringsfragmenter gemmes i kredsløb og sløjfer, der i denne forbindelse er en slags endelige størrelser. Disse kan sammenlignes med jeg et i (6). Jeg et selv, men også andre udenfor jeg et, er jeg et. Dette er en form for endelighed, eller periodicitet, idet det vil være muligt for jeg et at hoppe rundt mellem disse forskellige jeg er. Denne periodicitet er dog paradoksal, idet den også er uendelig: rejsen rundt i en sløjfe vil aldrig ende. Alligevel er det en form for periodisk uendelighed, da det er en afgrænset uendelighed: rejsen vil aldrig forlade sløjfen. Det er dog muligt at lægge endnu et lag på den uendelige mise-en-abîme, nemlig forholdet mellem stof og form. Endnu en gang benyttes et citat af Lyngsø selv til at definere forholdet: Spørgsmålet om del og helhed kan gives en mere (meta)fysisk formulering: Det der for én betragtning er stof, dvs. uorganiserede, kaotiske dele, er for en anden betragtning form, dvs. organiserede, velordnede dele: helhed. 4 (7) På s. 7, l. 1-15, findes en beskrivelse af stof og form, der både sammenkobler og beskriver mellemvejen mellem dem: en flosset form i konstant fornyen,/som dog til hver en tid er færdigdannet,/og strømmer, mens den hviler i sit leje,/utællelig, urørlig, synlig, blandet. (8) En flosset form beskriver dét fænomen, at formen ikke er fuldt organiseret, men derimod indeholder visse kaotiske dele (stoffet), der gør den flosset. Jeg et opdager, at der er en evig vekslen mellem stof og form. Dette ses f.eks. på s. 53, hvor jeg et prøver at flette et reb ud af dagens tråde. Rebet symboliserer de faste holdepunkter, dagens form, hvorimod trådene symboliserer stoffet, dagens brudstykker. Det lykkes ikke jeg et at flette rebet, og på resten af siden beskrives forhandlinger med stoffets fortalere (det diplomatiske korps af skyer spiraler og folder i stof (9)), der 3 Dette citat forekommer i DNA struktur. Se s. 33 for at se liniernes placering. 4 Kritik, s. 9, l (1. spalte), se bilag 4 Side 13 af 34

14 forsøger at skille trådene, og jeg et, til stof, mens jeg et samtidig stædigt prøver at samle stumperne til form. Det er en skys form, der beskrives i (8), og da skyerne er meget centrale i STOF, er det muligt at argumentere for, at netop skyerne er rammen om STOF. For det første er skyerne del af fortalerne for stoffet og for det andet er det karakteristisk, at skyernes beskrivelser flere steder indeholder enten mimicry eller mise-en-abîme. Mimicry ses bl.a. på s. 35, hvor skyerne efterligner to forskellige former og dermed selv bliver en form, samtidig med, at de konstant ændrer sig (se (8)), så de ikke har en fast form, men derimod er et udtryk for noget kaotisk, der her kan symboliseres med uendelighed. Altså er skyerne et billede på sammenblandingen af stof og form, der er en miseen-abîme struktur. Det er dog også karakteristisk, at skyerne selv kan vælge, hvilken form de vil efterligne for at beskytte deres kaotiske eksistens (den flossede form) fra at gå fra hinanden: ( ) og med den majestæt, en sky kan eje,/som spejler alt og blir som alt, fordi den/i labyrinten vælger alle veje. 5 (10) På s beskrives det yderligere, at skyerne synes at indeholde de fire grundelementer; vand, ild, jord og luft: Den mindste brise, de største storme forviklede vindfloder snor sig og fletter sig/ind i hinanden i lufthavets vævning Skyerne: kontinentaldrift i highspeed/det faste der flyder i luften som ild. 6 (11) Lyngsø forsøger muligvis at identificere skyerne med et slags verdensstof, der indeholder alle stoffer og elementer. Det er dog ikke kun skyerne, der indeholder de fire elementer det gør STOF og jeg et også. Mellem forordet og efterskriftet består STOF af fire dele, der både har nogle fælles- og særtræk. Fælles for digtene er tre forskellige digtstrukturer: 1) strofeform (venstre- eller højrejustering), ) fri opbygning (DNA struktur 7 ) og 3) tersin digte 8 (midterjustering). Det er ydermere fælles, at hver del er knyttet til både et af de fire grundelementer og til en filosof/videnskabsmand (Serres, Schopenhauer, Leibniz og Lucretius). Hver del har dog sit eget element og sin egen filosof. Lyngsøs definition af jeg et i efterskriftet (s. 59, 9-1) gør det muligt at ligestille skyerne, STOF og jeg et (her tillægges et par citater (m. rød), der findes andetsteds i STOF): 5 STOF, s. 7, l STOF, s.40, l. -4 og s. 4, l. 1-7 Se bilag 5 8 Særlig digtform med strukturen: aba, bcb, cdc, osv Side 14 af 34

15 o Jeg: en bevægelig søjle af sivende vand. s. 15, l. 16: Vandets hud minder om min ( ) o Jeg: en langsomt brændende flamme. s. 9, l. 1: Ildens hud minder om min ( ) o Jeg: hænger mig ud af halsen som dampende ånde. s. 37, l. 0-1: Luftens hud/minder om min ( ) o Jeg: stadig allerede humus. s. 51, l. 8: jordens forrevne hud- minder om min ( ) (1) Idet både STOF og jeg et ligesom skyerne indeholder de fire grundelementer, og idet begge dele ligeledes kan opdeles i stof og form bliver disse også til verdensstof: I STOF gør DNA strukturen det muligt for Lyngsø at fortælle flere ting på én gang: ( )en slags hypertekst, som man kan gå inn i hvor som helst for så å følge nye og egne betydningsrekker. Meninger og mønstre genereres som i en Mandelbrot-mengde, lovmessig men like fullt vilkårlig, overraskende. 9 (13) Denne karakteristiske form, gør det også muligt at finde en mise-en-abîme struktur i STOF, da et digt kan læses som en del af en af de fire store dele eller bare som sig selv, hvorefter mise-en-abîme kan fortsættes både udad og indad. 30 Konstruktionen gør det ligeledes muligt at læse digtene som både periodiske og uendelige. Det kan være et enkelt ord eller linie, der adskiller de to tilfælde. Derfor bliver DNA strukturen ligeledes symbol på det matematiske kaos: Starten på eksemplet til højre (s. ) er matematisk kaotisk, da det både kan læses cyklisk og kaotisk udviklende nedad (i princippet uendeligt). Det cykleriske har måske endda en slags fikspunkt, der er beskrivelsen af rytmen som stof. Først når cirklen forlades handler det om form i stedet (trådene, der samles). For jeg ets vedkommende kan dets eksistens enten findes som form (menneske) eller som stof (del af naturen). Jeg et giver selv udtryk for at ville være en del af naturen på s. 15, l. 4-5, hvor der ses mimicry: jeg vil findes som folder/i verdens stof (14). Her ses der dog også en klar reference til (9), hvor netop disse folder i stoffet forhindrer jeg et i at fuldføre dets mål; at skabe en form (rebet) jeg ets eksistentielle mål ændres i løbet af digtene. Dét at jeg et forsøger at danne håndgribelige forme vha. trådene kan relateres skabelsen af M. 9 Marstein, se bilag 3,. afsnit 30 Marstein, se bilag 3, 3. afsnit Side 15 af 34

16 Mandelbrot skabte M for at kategorisere, hvilke kritiske baner, der går mod uendelig og hvilke, der ikke gør. Relationen underbygges af følgende: Tøjret af tusind usynlige tråde svæver et hjernevæv (15) 31 og stjerner på himlen/punkter på papiret/satellitter trækker streger og forbinder stjernepunkter/til figurer (16). 3 Figurer kan både referere til M, der er en sammenhængende mængde, men også til vektorer og den komplekse talplan i al almindelighed. Dét at være stof eller form har i STOF også en anden funktion. Det er nemlig væsentligt hvilket stof jeg ets sjæl udgøres af. På s. 17 beskrives det, at sjælen udgøres af det mørke stof, der som en rose trækker sig sammen og folder (jeg ets) liv ind i stof (naturen). Dog hedder det sig på s. : (17) Her ses to kontraster: 1) Mørk rose >< hvid rose og ) folde sammen/ind >< foldes ud. Jeg ets eksistens skifter altså mellem at være en del af naturen (blive trukket ind i denne) og at være form (foldes ud af naturen menneske). Yderligere ses det, at når jeg et er form, er stoffet vissent, ældet. Så selvom stof og form afhænger af hinanden, kan den ene del godt have overtaget i en situation. Idet jeg ets sjæl, der er et symbol på menneskets underbevidsthed, udgøres af det mørke stof, og siden det i (17) ikke er mørkt, men skumring, bliver jeg ets sjæl nødt til at ligge i æg vente på en genfødsel i stoffet, mens det befinder sig i formens, bevidsthedens, verden, der kendetegnes ved dag og lys. Det er også muligt at identificere jeg ets sjæl med M. I tersinen s. 39 beskrives jeg ets opfattelse af sin egen sjæl som en konstant vekslen mellem sjælens form og de brudstykker af stof, den udgøres af. Identifikationen med M ses f.eks. i beskrivelsen af, hvordan små atomer dannes til et hele dette kan både tilskrives sjælens, men også M s opbygning, idet der findes uendelig mange koordinat sæt (atomerne), der tilsammen udgør hele M, der ydermere er denne sammenhængende mængde. Endvidere står det på samme side: 31 STOF, s. 8, l STOF, s. 3, l. -6 Side 16 af 34

17 hvilken tone man end synger/i havets hvide støj,/vil havet svare/med samklang, for i disse dråbedynger/er alle svar og toner lige klare. (18) Et hvilket som helst koordinat sæt i M vil give et ganske klart svar: periode-1-knop, peiode-- knop, periode-3-knop og tilsvarende udenfor M: uendelig. Nederst i tersinen er der en reference til æskerne. Denne slutning kan muligvis kobles sammen med starten, hvor der står: udvides roligt, lidt på samme måde/som sjælen: ( ): disse æsker. (19) Æskerne, der åbner sig ind i hinanden, passer perfekt til definitionen af en iteration: i matematik gentagen anvendelse af en funktion, der afbilder en mængde ind i sig selv 33 og ud fra (19) bliver æskerne et billede på sjælens udvidelse, der derfor skiftevis samles og splittes i brudstykker i sig selv. Ordet monade nævnes på s. 1 i STOF. Dette ord har igennem tiden haft mange forskellige betydninger, dog tillagde videnskabsmanden og filosoffen Leibniz ordet en betydning, der er særlig væsentlig i denne sammenhæng: monaderne er usammensatte substanser og dermed åndelige atomer, der er et billede på hver eneste sjæl. Derudover er det væsentligt, at hver sjæl så at sige er programmeret til at kunne fungere med andre sjæle. Derfor kan jeg ets sjæl ligeledes være en del af denne monade-teori, der ligeledes indebærer dele, der bliver til helhed, da alle monaderne tilsammen udgør den præetablerede harmoni. 34 Ligeledes ses en beskrivelse af nogen/noget, der zapper rundt på den inde sjæleskærm af televisioner, hvilket kan være en henvisning til æstetikeres og kunstneres evige zappen rundt i sjælen for at finde det helt rigtige motiv på samme måde som matematikere udforsker M og andre mængder ved at zappe rundt i den pågældende mængde. Både på s. 5 og 6 ses beskrivelser af jeg et som stof, idet jeg et her er forskellige ting, bl.a. elektromagnetiske bølger, den lille knitren i zappet mellem to kanaler og mellemrummet mellem lamellerne. Alt dette foregår i mørke, hvilket viser væsentligheden i at have fokus på beskrivelserne af lys kontra mørke, når det skal afgøres, om det lyriske jeg er form eller stof. På de samme sider beskriver jeg et sig selv som værende det røde, blå, sorte og hvide, hvilket kan være endnu en reference til M, der jo tegnes i forskellige farver. Når M blot tegnes i sort/hvid, er referencen indlysende: hvid beskriver uendelighed, mens sort beskriver periodicitet. Derimod er det røde og blå mere tvivlsomt, da M farvelægges på mange forskellige måder. Det vil dog være 33 DSD, se bilag 6, 1. opslag. Se evt. forrige afsnit om iterationer 34 DSD, se bilag 6,. opslag Side 17 af 34

18 karakteristisk, at blå og rød begge beskriver, hvornår en iteration så at sige bliver uendelighed, hvilket derfor kan referere til tællelig uendelighed i stoffet. Verdensstoffet, skyerne, indeholder nogle matematiske elementer, som jeg et observerer gennem skyerne: gennem snekrystallers/klare geometri kan jeg se/skymassers bløde topologi( ) linier ned ad ruden med 35 (0) Geometri, topologi og linier henviser alle til bestemte størrelser og former i matematikken, hvilket viser, at den organiserede form findes indeni verdensstoffet. De udgør blot mindre dele af dette. Måske er verdensstoffet selv en del af en organiseret form indeni noget udenfor liggende stof, hvilket giver endnu en mise-en-abîme struktur, der også kan fortsættes indad. Tillige står der på s. 17: tallenes storm/gennem kolonner, hvilket synes at være en sammenligning til skyers vandring under en storm. Her ses mimicry, hvor de uendelige skyer efterligner de uendelige rækker af tal og kolonner, der dog stadig udgør en mere håndgribelige form, som skyerne gerne vil være en del af. Derudover er det pudsigt, at skyer har en fraktal-lignende struktur, hvilket kæder hele digtsamlingens omdrejningspunkt, skyerne, sammen med den fraktale matematik. 36 Modsat denne håndgribelige form findes på s en frustreret beskrivelse af, hvordan det er umuligt for jeg et at blive en fuldstændig del af stoffet: jeg et laver aftryk i jorden, ligesom fossiler og bliver forstenet i harpiks, hvilket udtrykker, at jeg et kun kan påvirke stoffet, måske selv påvirkes af stoffet, men aldrig kan i lyset (bevidstheden) i det mindste, hvor jeg et er en form blive en del af stoffet. Sommerfugledalen Ligesom både STOF og jeg et kan sættes lig skyerne i STOF, sættes jorden, mennesket og digteren lig sommerfugle i Sommerfugledalen. 38 I mens denne lepidopteromorfisering (lepidoptera: sommerfugl) finder sted, ses der også eksempler på både mise-en-abîme og mimicry her: 35 STOF, s. 50, l DSD, se bilag 6, 3. opslag 37 STOF, f.eks. l Kritik, s. 9, l (1. spalte) og s (Digteren og mennesket som sommerfugl), se bilag 4 Side 18 af 34

19 1. Mise-en-abîme: Udover de af Niels Lyngsø fundne 39 kan nævnes strofe VI og VII. I strofe VI nævnes flygtigt en terningfugl, der i næste strofe tillægges større betydning: ( ) at der er andre verdner til, hvor guderne kan både gø og råbe og kalde os tilfældigt terningspil (1). Hvis dette er tilfældet, er det muligt både at forestille sig, at der uden for hver verden vil være en større verden, der spiller tilfældigt terningspil, og at der indeni ethvert terningspil findes en mindre verden, og således kan begge dele fortsætte i det uendelige.. Mimicry: Udover de af Niels Lyngsø fundne 40 kan nævnes strofe XIII: Så jeg kan svare døden, når den kommer:/jeg leger sandrandøje, tør jeg håbe,/at jeg er billedet på evig sommer? (). Digteren forsøger at beskytte sig selv mod døden ved at efterligne en evig del af naturen. Sammenhængen mellem den mere metafysiske mise-en-abîme struktur (stof >< form) findes i STOF som kontrasten mellem lys/bevidsthed og mørke/ubevidsthed. I Sommerfugledalen findes denne sammenhæng dog i to afskygninger: 1) kontrasten mellem lys/glæde 41 og mørke/sorg 4 og ) dilemmaet omkring døden, set som forløsning kontra smerte. Nr. er muligvis den mest gældende sammenhæng, da Sommerfugledalen har undertitlen et requiem : Det gode, strofe XI, l. 1-3: Og sommersyner af forsvundne døde,/hvidtjørnens sommerfugl, der svæver/som en sky af hvidt ( ) (3) Det onde, strofe IV, l. 1-13: at alt hvad sjælelivet har at håbe/hinsides alt er sorgens symmetri ( ) (4) Herudover er det væsentligt, at både Niels Lyngsø og Inger Christensen er systemdigtere, hvilket betyder, at specielle digtforme udvælges til den pågældende digtning. I Sommerfugledalen ses systemet som en sonetkrans, der er et meget fast system. 43 Christensen mestrer også andre systemer i andre digtsamlinger, hvor f.eks. Alfabet både systematiseres ud fra alfabetet og Fibonacci-tallene. I STOF ses systemet i de fire tersiner, der dog er de eneste digte med system i samlingen. Resten er så at sige fri digtning. Denne frihed genfindes dog også i systemdigtningen: 39 Kritik, f.eks. s. 9, l (1. spalte), se bilag 4 40 Kritik, f.eks. s. 97, l (. spalte) se bilag 4 41 Sommerfugl, strofe XI, l Sommerfugl, strofe III, l Kritik, s. 90 (nederst 1. spalte), se bilag 4 Side 19 af 34

20 Det valgte skelet udfyldes af et indhold, og på denne måde bliver digtet til i en på en gang bunden og fri proces. 44 (5) Lyngsøs fascination af Christensen kan bevises i STOF, hvor her ses en mulig direkte henvisning til Sommerfugledalen (s. 47). Her beskrives sommerfugle, der forsvinder i støv, hvilket henviser til Christensens mise-en-abîme omkring disse sommerfugle: sommerfuglene har støv på vingerne, der ligeledes er sommerfugle, der har støv på vingerne, der samtidig med at sommerfuglene selv er støv, der findes på større sommerfugles vinger, der selv er støv på 45 Uendelighed og periodicitet Med udgangspunkt i M er det ikke muligt fuldt ud at afgøre, om der er tale om periodicitet, for selvom iterationerne i en kritisk bane ser ud til at fortsætte periodisk, er det umuligt at afgøre, om de på et tidspunkt vil gå mod uendelig. 46 For at bekræfte periodiciteten må man paradoksalt nok følge periodiciteten i al uendelighed, hvilket dog ikke er muligt. Måske er det netop i denne umulighed, at det paradoksale ligger gemt, for er periodicitet ikke blot en anden form for uendelighed? Som tidligere påstået er en sløjfe vel en slags periodisk uendelighed, idet den er en afgrænset størrelse. Det er dog også muligt at fremstille en definitiv uendelighed: geometriske fraktaler 47, der er en del af den matematiske verden, og selv-similare 48 billeder. Altså findes der både eksempler på en uendelighed, der ikke er definitiv og en der er det er altså svært at definere begreberne uendelig og periodicitet indenfor matematik. Det er dog karakteristisk, at uendelighed skal være tydelig, før denne fastslås. Vil det derfor være forkert at påstå, at periodiciteten er gældende, indtil det modsatte er bevist? De to begreber findes dog også i kunsten, hvor forskellen måske blot består i, at det her er kunstneren, der bestemmer. Det er f.eks. muligt, i princippet, at fortsætte Lyngsøs tersiner, og 44 LV, s. 56, l (1. spalte) 45 Kritik, s.9, l. -30 (1. spalte), se bilag 4 46 Komp. tal, s. 103 under definitionen 47 F.eks. Sierpinski-trekanten og Kochs snefnugkurve 48 Når en del af en figur ikke kun er en del, men også viser den helhed, den er en del af. Ligesom mise-en-abîme Side 0 af 34

21 systemdigtning i det hele taget, i det uendelige. Uendeligheden ses ligeledes i det æstetiske fænomen mise-en-abîme. Når denne først er indsat i et stykke kunst, kan den ikke stoppes igen. Tersinerne i STOF har blot det særtræk, at Lyngsø på et tidspunkt vælger at stoppe dem, hvilket gør dem endelige, selvom de måske forsøgte at give sig ud for at være uendelige (en slags mimicry). Er dette ligeledes tilfældet i matematikken? Måske giver nogle kritiske baner sig ud for at være periodiske, men er det slet ikke i længden. Systemdigtning gør altså ligeledes uendelighed og periodicitet til paradoksale begreber indenfor æstetikken. Når udgangspunktet ligges i M, der først opfindes i erne, og systemdigtningen, der ligeledes først tillægges en moderne anerkendelse i modernismen, er det væsentligt, at der bliver skabt nogle helt nye rammer omkring de to begreber. Uendelighed bliver mere paradoksal efter skabelsen af M, og det er tillige væsentlig, at der ikke er tale om en mængde i traditionel forstand, da periodiciteten ikke er endeligt bestemt. 49 Systemdigtningen gør det muligt for digteren at bevæge sig frit på et alligevel bundet plan (se (5)), hvilket igen er et paradoksalt forhold. Samtidig er det væsentligt, at kunstnerens nære og eviggyldige følelser og holdninger skubbes væk for at gøre plads til en attituderelativisme 50, der gør det muligt at ændre sine holdninger efter forgodtbefindende. Lyngsø bruger attituderelativismen på en særlig måde: STOF skrives ikke efter, hvordan jeg et (formen) har det, men i stedet efter, hvor i stoffet jeg et befinder sig. Og attituden ændres herefter. 51 På samme måde som Lyngsø beskriver forholdet og opbruddet mellem stof og form, bliver den sene modernisme et bevis på, hvordan forholdet mellem tid og rum ændres. Kløften mellem tid og rum bliver større og større og ser ud til at vokse uendeligt, selvom de to begreber egentlig har meget med hinanden at gøre. Denne tendens kan forklares som kaotisk. Kaos har dog to forskellige betydninger: 1) Matematisk kaos: selvom både tid og rum, stof og form og de afrundede eller ikke-afrundede kritiske baner ligger tæt ved hinanden, er det muligt, at en lille ændring i forholdet mellem dem kan få alting til at forandres. ) Æstetisk kaos: Der er en forvirring og/eller uorden i hverdagen (tid og rum) eller måske endda i universet (stof og form). 49 Komp. tal, s. 103 under definitionen 50 LV, s. 481,. spalte øverst 51 LV, s. 475,. spalte øverst Side 1 af 34

22 Alt efter, om samtiden anskues matematisk/naturvidenskabeligt eller æstetisk, vil det give nogle vidt forskellige forklaringen på denne tendens. Selv om det måske ikke virker fornuftigt at sætte de forskellige fakulteters opfattelse af uendelighed og periodicitet lig med hinanden, er det dog stadig muligt at sammenligne dem. Den største forskel på de to opfattelser er sandsynligvis, at det kunstneriske udtryk i æstetikken afgøres af kunstneren, hvorimod det matematiske udtryk udelukkende bestemmes af nogle fuldstændig fastlagte definitioner. Ved en sådan anskuelse af matematikken, kan denne beskrives som et statisk element, mens æstetikken er foranderlig, idet denne altid vil forsøge at efterligne noget andet ellers fandtes der vel ingen kunst. Dermed bliver den et udtryk for mimesis lad det være af menneskelige forhold, naturen eller matematikken. Konklusion Det ses, at det er muligt at sammenligne begreberne uendelighed og periodicitet i det matematiske og humanistiske/æstetiske fakultet, om end det dog ikke lader sig gøre at sætte dem lig hinanden. I arbejdet med matematik og de komplekse tal viste det sig, at iterationer med f(z) = z + c giver en mængde, der kaldes Mandelbrotmængden (M). M forsøger at definere de to begreber, der dog ikke er helt entydige pga. den særlige egenskab, at et punkts periodicitet ikke er fuldt påviseligt. I det æstetiske arbejdede var det specielt virkemidlerne mise-en-abîme og mimicry, der var i fokus. Disse dannede ligeledes påvisninger og forklaringer af uendelighed og periodicitet. Sammenhængen mellem de to fakulteters opfattelse af begrebet ses specielt mellem mise-en-abîme og iterationerne, der er udgangspunkt for M. Derudover blev det klart, at der findes et paradoks de to begreber i mellem, da periodicitet egentlig er en form for tællelig uendelighed, hvilket må siges at være selvmodsigende. Der opstod dog også et nyt og centralt begreb i løbet af arbejdet, nemlig kaos, der er meget forskellig i de to fakulteter. Bl.a. derfor er det ikke muligt at sætte de to opfattelser uendelighed og periodicitet lig med hinanden, men kun at sammenligne dem. Side af 34

23 Litteraturliste Primære kilder Frandsen, Jesper, Komplekse tal og fraktaler. 199, systime a/s, Herning. Forkortes Komp. tal. Lyngsø, Niels, STOF. 1. udgave, 1. oplag 1996, Borgens Forlag. Forkortes STOF. Sekundære kilder Christensen, Inger, Sommerfugledalen, et requiem. 3. udgave, 5. oplag, Gyldendal (008), trykt i 010. Forkortes Sommerfugl. Forkortes Explorer. Forkortes DSD. Forkortes Marstein. Forkortes Wessel. Lyngsø, Niels, Mimesis: mimicry, mise-en-abîme, Kritik, 1997, Årg. 9, nr. 15/16, s (tidsskriftskopi). Forkortes Kritik. Fibiger, Johannes og Lütken, Gerd, Litteraturens Veje,. udgave, 11. oplag, Systime A/S 009. Forkortes LV. Side 3 af 34

24 Bilag 1 Uddrag fra: ARBEJDET som landmåler bragte Caspar Wessel i tæt kontakt med matematiske problemstillinger. En landmålers opgave er at opmåle længder og vinkler i landskabet og derefter udregne den nøjagtige placering af landskabets enkelte dele i et gradnet. Der er altså tale om geometriske beregninger, hvis bestanddele er rette liniestykker med forskellige længder og retninger. Caspar Wessel regnede liniestykker med fortegn. Hvis AB betegner et liniestykke, som går fra punkt A til punkt B, så er -AB det samme liniestykke blot med modsat retning. Liniestykkerne 3AB og -3AB er begge tre gange så lange som AB, men de er rettet hver sin vej. Det ses, at man kan forandre et liniestykkes længde og retning ved at gange det med et passende tal. Men det ses også, at man med denne form for linieregning kun kan ændre et liniestykkes retning til den modsatte. Man kan altså dreje et liniestykke 180 ved at gange det med et negativt tal, men man kan ikke på samme måde dreje det for eksempel 45. Begrænsningen skyldes naturligvis, at der foruden nul kun findes positive og negative tal. Denne erkendelse af tallenes utilstrækkelighed gav Caspar Wessel ideen til at udvide den almindelige opfattelse af talbegrebet. Og det lykkedes ham virkelig at finde nogle nye tal, de såkaldte komplekse tal, som er mere righoldige end de sædvanlige. De sædvanlige reelle tal ligger som nævnt ordnet efter størrelse på talaksen. De positive tal ligger til højre for nul, og de negative til venstre. Hvis tallene opfattes som liniestykker, der udgår fra nul, kan man sige, at 3 har længden 3 og retningen 0. På samme måde kan tallet -3 beskrives som det tal, der har længden 3 og retningen 180. Caspar Wessels idé var at slippe tallene løs. I stedet for at begrænse dem til kun to retninger, tillod han alle mulige retninger. På den måde kom tallene til at fylde ikke bare en talakse men en hel talplan. Talplanen er som et uendeligt stykke papir, hvorpå den reelle talakse er tegnet. På talaksen ligger alle de gamle tal, og uden for talaksen finder man de nye. Tallene er liniestykker, som udgår fra nul, og som er karakteriseret ved en længde og en retning. Da Caspar Wessel fastsatte regnereglerne for disse nye tal, tog han udgangspunkt i de gamle tals regneregler, som han formulerede så fikst, at de umiddelbart lod sig overføre til de nye tal. For eksempel bemærkede han, at man ganger to tal med hinanden ved at gange de to tals længder og addere deres retninger. Lad os prøve at gange med -3 efter denne opskrift. Produktet af de to tals længder er 3, og summen af deres retninger er Resultatet er altså det tal, som har længden 6 og retningen 180. Men dette tal er jo -6. Altså er (- 3) lig med -6, hvilket stemmer med den sædvanlige regning. Side 4 af 34

25 Der er ét af de nye tal, som har en ganske særlig interesse. Det er det tal, som har længden 1 og retningen 90. Caspar Wessel kaldte dette tal for epsilon. Det er hverken positivt (retning 0 ) eller negativt (retning 180 ) men en besynderlig mellemting. Når man ganger epsilon med sig selv, skal man gange dets længde med sig selv og addere dets retning med sig selv. Længdernes produkt er 1 1, og retningernes sum er Resultatet er altså det tal, som har længden 1 og retningen 180. Men dette tal er jo -1. CASPAR WESSEL har hermed som den første i verden fundet et tal, som giver -1, når man ganger det med sig selv. Det betyder, at han har fundet kvadratroden af -1. I skolen lærer man ellers, at man ikke kan tage kvadratroden af negative tal. Men denne begrænsning gælder altså ikke for de nye komplekse tal. Når man regner med de komplekse tal, løber man ikke så ofte ind i umulige operationer som tilfældet er med de gamle reelle tal. Derved kan de matematiske teorier forenkles og formuleres mere klart. At man uden forbehold kan uddrage kvadratroden af vilkårlige tal, er blot et enkelt eksempel på denne forenkling. Også i mere praktiske beregninger er de komplekse tal uundværlige. For eksempel bruges de af svagstrømsingeniørerne ved beregning af elektroniske kredsløb. Side 5 af 34

26 Bilag Regneregler angående addition og multiplikation for de rationelle tal, R R1. Hvis a, b R, gælder det også, at a+b R og ab R R. a+b = b+a R3. a+(b+c) = (a+b)+c R4. Der findes et nulelement 0: 0+a =a+0 = 0 R5. Alle tal har et modsat element a så a+(-a) = (-a)+a = 0 R6. ab = ba R7. a(bc) = (ab)c R8. Der finds et ételement 1: a 1 = 1 a = a R9. Alle a 0 har et reciprokt element a -1 = 1/a, så 1 1 Når en mængde a er organiseret a 1 med to regneregler på denne måde, kaldes den for et legeme, a a hvorfor (R, +, ) er et legeme. R10. a(b+c) = ab+ac Side 6 af 34

27 Periode 6 realdel+i*imaginærdel c= 0, ,656 z f(z) nr realdel imaginær realdel imaginær , ,656 0, ,656 0, , , , , , , , , , , , ,05 0, ,05 0,615 0, , , ,0863 0, , , , , , , , , , , , ,4374 0, ,4374 0, ,1497 0, ,1497 0, ,0504-0, ,0504-0, , , , , , , , , , , , , ,4745 0, ,4745 0, ,1068 0, ,1068 0,6513 0, , , , , , , ,1905 0, , , ,3939 0, ,613 0, ,613 0, , , ,8181-0,0858 0, ,0858 0,6547 0, , , , , , , ,1906 0, , , , , , , , , , , , ,0995 0, ,0995 0,6176 0, , , ,0384 0, , , ,1896 0, , , , , , , , ,458 0, ,458 0, ,104 0,6456 Side 7 af 34