Projekt 4.11 Produkt- og brøkreglerne for differentiation
|
|
- Thor Ipsen
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 ISBN Projekter: Kapitel. Projekt. Produkt- o brøkrelere for differetiatio Projekt. Produkt- o brøkrelere for differetiatio Materialere i dette projekt idår for e stor del i rudboe til A-iveau. Det iver derfor mulihed for, at ma på et hold til A-iveau ka afslutte eemae af differetialreie i.. Formle for differetiatio af e brøk er supplerede stof. Vi har i B-boes kapitel behadlet reerelere for differetiatio af fuktioers sum, differes o produkt med e kostatfaktor. Vi har edvidere bevist formlere for differetiatio af her e tekik der kue eeraliseres, hvorved vi kue få formler for differetiatio af skal blot kue udree pareteser som: 5 o, o avedte 5,,... osv. Vi ( h), ( h), osv. Vi kue her ete avede et værktøjsprorams epad-fuktio eller udree i håde med bru af Pascals trekat, der iver os koefficietere til poteser af sådae to-leddede størrelser. Øvelse a) Se beviset for differetiatio af b) Udre ( h) ieem. c) eemfør et bevis for differetiatio af efter samme møster som ved Efter at have eemført et par af disse beviser, ville vi måske være i stad til at bevise det eerelle tilfælde, ved at udskrive e formel for ( h. Me vi kue oså betrate ) 5,,... osv. som produkter af fuktioer: 5, osv Vi har styr på, hvorda vi differetierer o, o hvis vi havde e reel for differetiatio af produkter, kue vi få e formel for differetiatio af. Har vi u fået styr på, hvorda vi differetierer, kue ie avede e såda produktreel o få e 5 formel for differetiatio af. Osv., osv. E såda produktreel fides. De er lidt mere kompliceret at bevise, ed de adre reereler, o det er vitit at huske, at der ikke ælder de reel, ma måske ville ætte, emli af ma differetierer et produkt ved at differetiere hver for si o ae samme. Vi ka illustrere eometrisk, hvorfor sae er lidt mere kompliceret her. Lad os betrate to fuktioer, At (), der aiver atal arbejdstimer e bestemt virksomhed råder over pr da, o Pt (), der aiver de eemsitlie produktivitet pr arbejder, målt i værdie af det ma producerer på e time. Værdie af produktioe på e da er så V( t) P( t) A( t). t aiver tide. Værdie ka stie både ved at P vokser o ved at A vokser. Lad os atae at efter at der er ået tide h er der sket e tilvækst i produktivitet på P o e tilvækst i atal arbejdstimer på A. De samlede værdi ka u illustreres således:. A P A P A A P A A P L&R Uddaelse A/S Vomaerade DK-8 Købehav K Tlf: 5 ifo@lru.dk
2 ISBN Projekter: Kapitel. Projekt. Produkt- o brøkrelere for differetiatio P P Vi ser her, at de to væsetliste bidra til de samlede tilvækst er P A o A P. Det vil vise si, at produktet af tilvækstere PAiver et forsvidede bidra i e ræseovera. Tilvækst pr tid er etop differetialkvotiete. Differetialkvotiete af et produkt (produktrele) I matematik avedes berebet kotiuert om fuktioer, hvis rafiske billeder er sammehæede kurver, der pricipielt ka tees i e stre, ude vi behøver at løfte blyate fra papiret. Dee sprolie præsetatio af berebet udtrykker vi i symbolspro således: Defiitio. Kotiuitet i et bestemt pukt E fuktio f sies at være kotiuert i, hvis der ælder: Når vil f f Eksempel. Kotiuert o diskotiuert i et pukt. er ikke kotiuert i =, da () =, o e føle af tal,,, der fra højre ærmer si ikke vil ive e føle ( ), der ærmer si (). h er kotiuert i = - me ikke differetiabel I beviset får vi bru for, at differetiable fuktioer oså er kotiuerte. Dette viser vi i A-boe, me det er oså vist i projektet om kotiuitet. Sæti. Differetiatio af et produkt. Ata fuktioere f o bee er differetiable i puktet. Så er oså produktet h f differetiabel i med følede differetialkvotiet: h( ) f ( ) f( ) ( ) f( ) ( ) Bevis. Iføle forudsætiere har vi, at f er differetiabel i, o er differetiabel i dvs: f( ) f( Når vil ) ( ) ( f( ) o ) ( ) Vi får edvidere bru for, at er kotiuert i i, dvs: Når vil ( ) ( ) Idee i de omskrivier der føler edefor er, at å frem til de to udtryk ovefor for sekathældiere for heholdsvis f o. Vi udersøer h ved hjælp af tretrisreles første versio: L&R Uddaelse A/S Vomaerade DK-8 Købehav K Tlf: 5 ifo@lru.dk
3 ISBN Projekter: Kapitel. Projekt. Produkt- o brøkrelere for differetiatio. Opskriv sekathældie for fuktioe h h( ) h( ) f ( ) f ( ). Omskriv sekathældie: f ( ) f ( ) f( ) ( ) f( ) ( ) f( ) ( ) f( ) ( ) f( ) ( ) f( ) ( ) f( ) f( ) ( ) f( ) ( ) ( ) f( ) f( ) ( ) f( ) ( ) ( ) f ( ) f ( ) ( ) ( ) ( ) f( ) Aved defiitioe på f ( ) Samme led trækkes fra o læes til Sæt udefor paretes Aved brøkreel for sum af brøker Aved brøkreel for at ae på brøker Vi har u fået skilt de to brøker ud, der etop er dem vi har styr på, år vi lader. I det første led aes ( ) på brøke. Me pa. at er kotiuert har vi oså styr på dee, år vi lader.. Lad : f ( ) er e kostat o ædrer si ikke uder ræseoverae. De to brøker har vi som omtalt styr på iføle ataelse. O for ( ) ved vi, at år vil ( ) ( ). Samlet får vi: f( ) f( ) ( ) ( ) ( ) f( ) f( ) ( ) f( ) ( ) h( ) h( Dvs ) f( ) ( ) f( ) ( ) <beviset er slut> Eksempel. Differetiatio af Opskriv som, o sæt f() o ( ) Så er f( ) o Aved u produktrele: f( ) ( ) ( ) f( ) ( ) f( ) ( ) Produktreel Idsæt de afledede L&R Uddaelse A/S Vomaerade DK-8 Købehav K Tlf: 5 ifo@lru.dk
4 ISBN Projekter: Kapitel. Projekt. Produkt- o brøkrelere for differetiatio Reducer Koklusio: Eksempel. Formle for differetiatio af Vi kue fortsætte et stykke tid som vi jorde i det tidliere eksempel. Me år vi skal vise oet ælder for alle aturlie tal, så har vi e særli tekik, der kaldes matematisk iduktio. Idee heri er følede: Formle vises for e eller ole få værdier i starte af talrække. Her har vi foreløbi vist formle for =,, o. Deræst vises, at ælder formle for et bestem tri i talrække, så ælder de oså for det æste tal,. Har vi vist de to pukter, så ælder formle for alle aturlie tal. For ethvert aturlit tal ka vi jo - i teorie i alt fald - å ved at å et bestemt edelit atal tri frem. Ata derfor formle ælder for tallet : Vi udersøer om formle så oså ælder for æste tri i række,. Opskriv som, o sæt f() o ( ) Så er f( ) o Aved u produktrele: f( ) ( ) () f( ) ( ) f( ) ( ) Produktreel Idsæt de afledede Udyt e potesreel, samt at udefor paretes ( ) Sæt Koklusio: ( ) Me så har vi vist pukt, at vi ka å et skridt frem. O dermed er formle iføle pricippet bi matematisk iduktio vist for alle aturlie tal. Øvelse. Differetier følede fuktioer o bestem evt. lokale ekstrema a) h ( ) l( ), b) h ( ) e, c) h ( ) e l( ), d) h ( ) si, ` Differetialkvotiete af e brøk (brøkrele supplerede stof) Ovefor beviste vi sætie om differetiatioe af, hvor er et aturlit tal. Hvis er et eativt tal, a ka vi klare differetiatioe ved at betrate fuktioe som e potesfuktio,, der behadles uder L&R Uddaelse A/S Vomaerade DK-8 Købehav K Tlf: 5 ifo@lru.dk
5 ISBN Projekter: Kapitel. Projekt. Produkt- o brøkrelere for differetiatio sammesat fuktio. Me vi ved jo, at, o der fides aturlivis oså e brøkreel, på lije med produktrele, o som vi ka brue i dette tilfælde. Sæti. Differetiatio af e brøk. Ata fuktioere f o bee er differetiable i puktet, o ata at ( ) i et iterval om Så f er oså brøke h differetiabel i med følede differetialkvotiet: f f( ) ( ) f( ) ( ) h( ) ( ) ( ) Vi iver tre forskellie beviser. I hver af versioer skal du selv øre e del af arbejdet. f o. versio. Omskrivi o bru af produktrele f Vi tillader os i dette bevis, at arumetere ituitivt for at h er differetiabel, hvis de to fuktioer f, o er det: Hvis de to rafer ikke har kæk, me er latte år vi bevæer os ieem puktet heholdsvis, ( ), ( ), så ka der heller ikke opstå et kæk på rafe for h. Så vi ka operere med differetialkvoiete h ( ). Vi omskriver o udytter produktrele: f h h f ae ( ) over ( ) ( ) differetier på hver side h f h( ) ( ) h( ) ( ) f( ) udyt produktrele f ( ) h( ) ( ) ( ) f( ) Idsæt h ( ) h( ) ( ) f( ) ( ) f( ) ( ) ae ieem med ( ) h( ) ( ) f( ) ( ) f( ) ( ) flyt over i liie f( ) ( ) f( ) ( ) ( ) divider med ( ) ( ) h hvilket er det øskede resultat... versio. Bevis med bru af tretrisrele. Iføle forudsætiere har vi, at f er differetiabel i, o er differetiabel i dvs: f( ) f( Når vil ) ( ) ( f( ) o ) ( ) Vi får edvidere bru for, at er kotiuert i i, dvs: Når vil ( ) ( ) Idee i de omskrivier der føler edefor er, at å frem til de to udtryk ovefor for sekathældiere fro heholdsvis f o.. Opskriv sekathældie for fuktioe h L&R Uddaelse A/S Vomaerade DK-8 Købehav K Tlf: 5 ifo@lru.dk
6 ISBN Projekter: Kapitel. Projekt. Produkt- o brøkrelere for differetiatio f f ( ) ( ) h( ) h( ). Omskriv sekathældie (forklar i hvert tri, hvad der sker): f f f ( ) f ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f Aved defiitioe på ( ) f ( ) f ( ) ( ) ( ) f( ) ( ) ( ) f( ) ( ) ( ) f( ) ( ) f( ) ( ) ( ) f ( ) f ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f( ) f( ) ( ) f( ) ( ) ( ) f( ) f( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f( ). Lad : Så får vi, at oveståede udtryk vil å mod følede: f( ) ( ) f( ) ( ) ( ) ( ) f( ) ( ) f( ) ( ) ( ) hvilket iver de øskede koklusio. versio. Bevis med bru af sammesat differetiatio o produktrele. Vi omskriver først: h( ) f( ) ( ) L&R Uddaelse A/S Vomaerade DK-8 Købehav K Tlf: 5 ifo@lru.dk
7 ISBN Projekter: Kapitel. Projekt. Produkt- o brøkrelere for differetiatio Udtrykket ( ) ka vi opfatte som e sammesat fuktio, hvor de ydre fuktio er ly ( ), o de idre fuktio er (). y Derfor får vi: ( ) ( ) ( ) Avedes u produktrele på h ( ) får vi: h ( ) f ( ) ( ) ( ) ( ) f h( ) f( ) f( ) ( ) ( ) ( ) f( ) f( ). ( ) h( ) ( ) ( ) f( ) ( ) f( ). ( ) h( ) h( ) ( ) ( ) f( ) ( ) f( ). ( ) ( ) hvilket iver de øskede koklusio. Øvelse. versio af beviset udyttede e vide om de afledede af fuktioe, (eller: ). Dette er behadlet i y B-boes kapitel, afsit. side 77. Me for alle øvrie poteser med eativ ekspoet ka vi u udytte brøkrele, idet vi har: Øvelse De trioometriske fuktio taes, ta( ) er defieret ved: si( ) ta( ). cos( ) Vis ved bru af brøkrele de to formler for de afledede af taes: ta( ) o ta( ) ta ( ) cos ( ) Øvelse Bestem defiitiosmæde o te rafere til følede polyomiumsbrøker. Bestem mootoiforhold o evt lokale ekstrema. L&R Uddaelse A/S Vomaerade DK-8 Købehav K Tlf: 5 ifo@lru.dk
8 ISBN Projekter: Kapitel. Projekt. Produkt- o brøkrelere for differetiatio a) f ( ) 6 b) f ( ) 7 7 c) f ( ) L&R Uddaelse A/S Vomaerade DK-8 Købehav K Tlf: 5 ifo@lru.dk
Supplerende noter II til MM04
Supplerede oter II til MM4 N.J. Nielse 1 Uiform koverges af følger af fuktioer Vi starter med følgede defiitio: Defiitio 1.1 Lad S være e vilkårlig mægde og (X, d et metrisk rum. E følge (f af fuktioer
Læs mereElementær Matematik. Polynomier
Elemetær Matematik Polyomier Ole Witt-Hase 2008 Køge Gymasium Idhold 1. Geerelle polyomier...1 2. Divisio med hele tal....1 3. Polyomiers divisio...2 4. Polyomiers rødder....4 5. Bestemmelse af røddere
Læs mereProjekt 2.3 Det gyldne snit og Fibonaccitallene
Projekter: Kapitel Projekt.3 Det glde sit og Fiboaccitallee Forslag til hvorda klasses arbejde med projektet ka tilrettelægges: Forløbet:. Præsetatio af emet med vægt på det glde sit.. Grppere arbejder
Læs mereProjekt 4.8 De reelle tal og 1. hovedsætning om kontinuerte funktioner
Projekter: Kapitel 4 Projekt 48 De reelle tal og hovedsætig om kotiuerte fuktioer Projekt 48 De reelle tal og hovedsætig om kotiuerte fuktioer Kotiuitet og kotiuerte fuktioer Ord som kotiuert og kotiuerlig
Læs mereProjekt 9.1 Regneregler for stokastiske variable middelværdi, varians og spredning
Hvad er matematik? Projekter: Kaitel 9 Projekt 9 Regeregler for stokastiske variable middelværdi, varias og sredig Projekt 9 Regeregler for stokastiske variable middelværdi, varias og sredig Sætig : Regeregler
Læs mereStudyGuide til Matematik B.
StudyGuide til Matematik B. OVERSIGT. Dee study guide ideholder følgede afsit Geerel itroduktio. Emeliste. Eksame. Bilag 1: Udervisigsmiisteriets bekedtgørelse for matematik B. Bilag 2: Bilag 3: Uddrag
Læs mereORDEN OG UDVALG: KUNSTEN AT TÆLLE KOMBINATORIK N H
ORDEN OG UDVALG: UNSTEN AT TÆLLE OMBINATORI Edeligt symmetrisk sadsylighedsfelt I et edeligt symmetrisk sadsylighedsfelt ( P ) U, ka sadsylighede for e give hædelse H, hvor altså H U, som bekedt bereges
Læs mereMatematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet.
Matematik A Studetereksame Forsøg med digitale eksamesopgaver med adgag til iterettet Forberedelsesmateriale Vejledede opgave Forår 0 til stx-a-net MATEMATIK Der skal afsættes 6 timer af holdets sædvalige
Læs mereBjørn Grøn. Analysens grundlag
Bjør Grø Aalyses grudlag Aalyses grudlag Side af 4 Idholdsfortegelse Kotiuerte og differetiable fuktioer 3 Differetial- og itegralregiges udviklig 5 3 Hovedsætiger om differetiable fuktioer 8 Opgaver til
Læs mereDATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Bin Packing Problemet
DATV: Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse, 2007 Bi Packig Problemet David Pisiger, Projektopgave 2 Dette er de ade obligatoriske projektopgave på kurset DATV: Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse.
Læs mereog Fermats lille sætning
Projekter: Kaitel 0. Projekt 0. Modulo-regig, restklassegruer og Fermats lille sætig Projekt 0. Modulo-regig, restklassegruere ( { 0 }, ) og Fermats lille sætig Vi aveder moduloregig og restklasser mage
Læs mereNoter om polynomier, Kirsten Rosenkilde, Marts Polynomier
Noter om polyomier, Kirste Rosekilde, Marts 2006 1 Polyomier Disse oter giver e kort itroduktio til polyomier, og de fleste sætiger æves ude bevis. Udervejs er der forholdsvis emme opgaver, mes der til
Læs mereog Fermats lille Projekt 0.4 Modulo-regning, restklassegrupperne sætning ..., 44, 20,4,28,52,... Hvad er matematik? 3 ISBN
Projekt 0.4 Modulo-regig, restklassegruppere sætig ( p 0, ) og Fermats lille Vi aveder moduloregig og restklasser mage gage om dage, emlig år vi taler om tid, om hvad klokke er, om hvor lag tid der er
Læs mereArealer under grafer
HJ/marts 2013 1 Arealer under grafer 1 Arealer og bestemt integral Som bekendt kan vi bruge integralregning til at beregne arealer under grafer. Helt præcist har vi denne sætning. Sætning 1 (Analysens
Læs mereFUNKTIONER del 1 Funktionsbegrebet Lineære funktioner Eksponentialfunktioner Logaritmefunktioner Rentesregning Indekstal
FUNKTIONER del Fuktiosbegrebet Lieære fuktioer Ekspoetialfuktioer Logaritmefuktioer Retesregig Idekstal -klassere Gammel Hellerup Gymasium November 08 ; Michael Szymaski ; mz@ghg.dk Idholdsfortegelse FUNKTIONSBEGREBET...
Læs mereMatematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 7. Ligninger, polynomier og asymptoter
Matematikkes mysterier - på et obligatorisk iveau af Keeth Hase 7. Ligiger, polyomier og asymptoter Hvad er e asymotote? Og hvorda fides de? 7. Ligiger, polyomier og asymptoter Idhold 7.0 Idledig 7.1 Udsag
Læs mereTalfølger og -rækker
Da Beltoft og Klaus Thomse Aarhus Uiversitet 2009 Talfølger og -rækker Itroduktio til Matematisk Aalyse Zeos paradoks om Achilleus og skildpadde Achilleus løber om kap med e skildpadde. Achilleus løber
Læs mereAnalyse 1, Prøve maj 2009
Aalyse, Prøve 5. maj 009 Alle hevisiger til TL er hevisiger til Kalkulus (006, Tom Lidstrøm). Direkte opgavehevisiger til Kalkulus er agivet med TLO, ellers er alle hevisiger til steder i de overordede
Læs mereGamle eksamensopgaver. Diskret Matematik med Anvendelser (DM72) & Diskrete Strukturer(DM504)
Gamle eksamesopgaver Diskret Matematik med Avedelser (DM72) & Diskrete Strukturer(DM504) Istitut for Matematik& Datalogi Syddask Uiversitet, Odese Alle sædvalige hjælpemidler(lærebøger, otater etc.), samt
Læs mereAsymptotisk optimalitet af MLE
Kapitel 4 Asymptotisk optimalitet af MLE Lad Y 1, Y 2,... være uafhægige, idetisk fordelte variable med værdier i et rum (Y,K). Vi har givet e model (ν θ ) θ Θ for fordelige af Y 1 (og dermed også for
Læs mereNoter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, februar 2008 1. Kombinatorik
Noter om ombiatori, Kirste Roseilde, februar 008 Kombiatori Disse oter er e itrodutio til ombiatori og starter helt fra bude, så e del af det idledede er siert edt for dig allerede, me der ommer også hurtigt
Læs mereLøsningsforslag til skriftlig eksamen i Kombinatorik, sandsynlighed og randomiserede algoritmer (DM528)
Løsigsforslag til skriftlig eksame i Kombiatorik, sadsylighed og radomiserede algoritmer (DM58) Istitut for Matematik & Datalogi Syddask Uiversitet Madag de 3 Jauar 011, kl. 9 13 Alle sædvalige hjælpemidler
Læs merevejer (med fortegn). Det vil vi illustrere visuelt og geometrisk for (2 2)-matricer og (3 3)-matricer i enote 6.
enote 5 enote 5 Determiater I dee enote ser vi på kvadratiske matricer. Deres type er altså for 2, se enote 4. Det er e fordel, me ikke absolut ødvedigt, at kede determiatbegrebet for (2 2)-matricer på
Læs mereUge 37 opgaver. Opgave 1. Svar : Starter med at definere sup (M) og inf (M) :
Uge 37 opgaver Opgave Svar : a) Starter med at defiere sup (M) og if (M) : Kigge u på side 3 i kompedie og aveder aksiom (.3) Kotiuitetsaksiomet A = x i x 2 < 2 Note til mig selv : Har søgt på ordet (iequalities)
Læs mereIntroduktion til uligheder
Itroduktio til uligheder Dette er e itroduktio til ogle basale uligheder om det aritmetiske geemsit, det geometriske geemsit, det harmoiske geemsit og det kvadratiske geemsit. Først skal vi ved fælles
Læs mereLokalplan nr. 391. Ringkøbing-Skjern Kommune
Lokalpla r. 391 For et område til erhvervsformål ved Tøstrupvej syd for Ådum o Tillæ r. 59 til Kommuepla 2013-2025 Rikøbi-Skjer Kommue Ortofoto@Rikøbi-Skjer Kommue Rikøbi-Skjer Kommue 12. april 2016 Lokalplae
Læs mereProjekt 3.7. En algebraisk tilgang til udvidelsen af potensbegrebet
Hvd er tetik? ISBN 978877879 Projekter: Kitel. Projekt.7.E lgebrisk tilgg til udvidelse f otesbegrebet Projekt.7. E lgebrisk tilgg til udvidelse f otesbegrebet Ld i det følgede tllet være et ositivt tl.
Læs mereProjekt 3.7. En algebraisk tilgang til udvidelsen af potensbegrebet
Hvd er tetik? C ISBN 97 887 7 79 Projekter: Kitel. Projekt.7.E lgebrisk tilgg til udvidelse f otesbegrebet Projekt.7. E lgebrisk tilgg til udvidelse f otesbegrebet Ld i det følgede tllet være et ositivt
Læs merecos(t), v(t) = , w(t) = e t, z(t) = e t.
Aalyse Øvelser Rasmus Sylvester Bryder. og. oktober 3 Bevis for Cotiuity lemma Theorem. Geemgås af Michael Staal-Olse. Bevis for Lemma.8 Dee har vi faktisk allerede vist; se Opgave 9.5 fra Uge. Det er
Læs mereTankegangskompetence. Kapitel 9 Algebraiske strukturer i skolen 353
Takegagskompetece Hesigte med de følgede afsit er først og fremmest at skabe klarhed over de mere avacerede regeregler i skole og give resultatet i de almee form, der er karakteristisk for algebra. Vi
Læs mereVejledende opgavebesvarelser
Vejledede opgavebesvarelser 1. Atal hæder er lig med K(52,5), altså 2598960. Ved brug af multiplikatiospricippet ka atal hæder med 3 ruder og 2 spar udreges som K(13, 3) K(13, 2), hvilket giver 22308.
Læs mereProjekt 3.2 Anlægsøkonomien i Storebæltsforbindelsen. Indhold. Hvad er matematik? 1 ISBN
Projekt 3.2 Alægsøkoomie i Storebæltsforbidelse Dette projekt hadler, hvorda økoomie var skruet samme, da ma byggede storebæltsforbidelse. Store alægsprojekter er æste altid helt eller delvist låefiasieret.
Læs mereKonfidens intervaller
Kofides itervaller Kofides itervaller for: Kofides iterval for middelværdi, varias kedt Kofides iterval for middelværdi, varias ukedt Kofides iterval for adel Kofides iterval for varias Bestemmelse af
Læs mereIntroduktion til uligheder
Itroduktio til uligheder, marts 0, Kirste Rosekilde Itroduktio til uligheder Dette er e itroduktio til ogle basale uligheder om det aritmetiske geemsit, det geometriske geemsit, det harmoiske geemsit og
Læs mereMikroøkonomi, matematik og statistik Eksamenshjemmeopgave 14. 20. december 2007
Mikroøkoomi, matematik og statistik Eksameshjemmeopgave 14. 20. december 2007 Helle Buzel, Tom Egsted og Michael H.J. Stæhr 14. december 2007 R E T N I N G S L I N I E R F O R E K S A M E N S H J E M M
Læs mereSandsynlighedsteori 1.2 og 2 Uge 5.
Istitut for Matematiske Fag Aarhus Uiversitet De 27. jauar 25. Sadsylighedsteori.2 og 2 Uge 5. Forelæsiger: Geemgage af emere karakteristiske fuktioer og Mometproblemet afsluttes, og vi starter på afsittet
Læs mereProjekt 1.3 Brydningsloven
Projekt 1.3 Brydigslove Når e bølge, fx e lysbølge, rammer e græseflade mellem to stoffer, vil bølge ormalt blive spaltet i to: Noget af bølge kastes tilbage (spejlig), hvor udfaldsvikle u er de samme
Læs merehvor i er observationsnummeret, som løber fra 1 til stikprøvestørrelsen n, X i
Normalfordeliger For at e stokastisk variabel X ka være ormalfordelt, skal X agive værdie af e eller ade målig, f.eks. tid, lægde, vægt, beløb osv. Notatioe er: Xi ~ N( μ, σ hvor i er observatiosummeret,
Læs mereMATEMATISK FORMELSAMLING
MATEMATISK FORMELSAMLING GUX Grøld Mtemtisk formelsmlig til C-iveu, GUX Grøld Deprtemetet for uddelse 05 Redktio: Rsmus Aderse, Jes Thostrup MtemtiskformelsmligtilC-iveu GUX Grøld FORORD Dee formelsmlig
Læs mereMeningsmålinger KLADDE. Thomas Heide-Jørgensen, Rosborg Gymnasium & HF, 2017
Meigsmåliger KLADDE Thomas Heide-Jørgese, Rosborg Gymasium & HF, 2017 Idhold 1 Meigsmåliger 2 1.1 Idledig................................. 2 1.2 Hvorda skal usikkerhede forstås?................... 3 1.3
Læs mereBjørn Grøn. Det gyldne snit og Fibonacci-tallene
jør Grø Det glde sit og Fiboacci-tallee Det glde sit og Fiboacci-tallee Side af 4 Det glde sit og Fiboacci-tallee Fordsætiger: Kedskab til ligedaethed. Grdlæggede geometrisk vide. Kedskab til adegradsligige.
Læs mereDifferentiation af potensfunktioner
Hvd er mtemti? B, i-bog ISBN 978 87 766 494 3 Hjemmesideevisig: Differetitio f potesfutioer, Kpitel 4, side 76 Differetitio f potesfutioer. Pscls tret og biomilformle Vi strter med t mide om t poteser
Læs mereVariabel- sammenhænge
Variabel- sammenhænge Udgave 2 2009 Karsten Juul Dette hæfte kan bruges som start på undervisningen i variabelsammenhænge for stx og hf. Hæftet er en introduktion til at kunne behandle to sammenhængende
Læs mereDe Platoniske legemer De fem regulære polyeder
De Platoiske legemer De fem regulære polyeder Ole Witt-Hase jauar 7 Idhold. Polygoer.... Nogle topologiske betragtiger.... Eulers polyedersætig.... Typer af et på e kugleflade.... Toplasvikle i e regulær
Læs mereRenteformlen. Erik Vestergaard
Reteformle Erik Vestergaard 2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard, 2010. Billeder: Forside: istock.com/ilbusca Side 4: istock.com/adresrimagig Desude ege illustratioer. Erik Vestergaard
Læs mereLys og gitterligningen
Fysik rapport: Lys og gitterligige Forfatter: Bastia Emil Jørgese.z Øvelse blev udført osdag de 25. jauar 202 samme med Lise Kjærgaard Paulse 2 - Bastia Emil Jørgese Fysik rapport (4 elevtimer), februar
Læs mereDet danske sundhedsvæsen
Det danske sundhedsvæsen Undervisningsmateriale til sprogskoler Kapitel 8: Undersøgelse for brystkræft (mammografi) 8 Undersøgelse for brystkræft (mammografi) Brystkræft Brystkræft er en alvorlig sygdom.
Læs mereBaggrundsnote til sandsynlighedsregning
Baggrudsote til sadsylighedsregig Kombiatorik. Multiplikatiospricippet E mægde beståede af forskellige elemeter kaldes her e -mægde. Elemetere i e m-mægde og elemetere i e -mægde ka parres på i alt m forskellige
Læs mereDK / -- MAG SYSTEM. Gulvrengøring
DK / -- MAG SYSTEM Gulvregørig Mag System Kocept 2 www.vermop.com Di fordel Mag System Iovativt og ekeltståede Mag System fra VERMOP står for e helt y måde at fiskere vaskbetræk på fremførere (eller skaftet)
Læs mereNoter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, februar Kombinatorik
Noter om ombiatori, Kirste Roseilde, februar 008 Kombiatori Disse oter er e itrodutio til ombiatori og starter helt fra bude, så e del af det idledede er siert edt for dig allerede, me der ommer også hurtigt
Læs mereantal gange krone sker i første n kast = n
1 Uge 15 Teoretisk Statistik, 5. april 004 1. Store tals lov Eksempel: møtkast Koverges i sadsylighed Tchebychevs ulighed Sætig: Store tals lov. De cetrale græseværdisætig 3. Approksimatio af sadsyligheder
Læs mereFACITLISTE TIL KAPITEL 3 ØVELSER ØVELSE 1. a) Voksende. b) Voksende. c) Konstant. d) Aftagende ØVELSE 2. a) f aftagende i f voksende i
1 af 41 MATEMATIK B hhx Udskriv siden FACITLISTE TIL KAPITEL 3 ØVELSER ØVELSE 1 Voksende Voksende Konstant Aftagende ØVELSE 2 f aftagende i f aftagende i f aftagende i f aftagende i ØVELSE 3 Hældningen
Læs mereGiv eksempler på hvordan forskellige ligningstyper (lineære, eksponentielle eller potens) løses.
Eksamesspørgsmål matematik C, sommer 018. (Foreløbig udgave, små ædriger ka forekomme) Spørgsmål 1: Ligiger Du skal redegøre for løsig af ligiger og heruder behadle omformigsreglere for ligiger. Giv eksempler
Læs mereRiemann-integraler. enote Indledning
enote 1 1 enote 1 Riema-itegraler I dee enote vil vi opstille og give eksempler på de tekikker, metoder, og resultater, som er helt ødvedige hjælpemidler år vi skal fide lægder af kurver, arealer af plae
Læs mereTermodynamik. Indhold. Termodynamik. Første og anden hovedsætning 1/18
ermodyamik. Første og ade hovedsætig /8 ermodyamik Idhold. Isoterme og adiabatiske tilstadsædriger for gasser...3 3. ermodyamikkes. hovedsætig....5 4. Reversibilitet...6 5. Reversibel maskie og maksimalt
Læs mereKompendie Komplekse tal
Kompedie Komplekse tal Prebe Holm 08-06-003 "!#!%$'&($)+*-,. cos(s + t) )0/ si(s + t) Trigoometri er måske ikke så relevat, år ma såda umiddelbart sakker om komplekse tal. Me faktisk avedes de trigoometriske
Læs mereMatematisk Modellering 1 Hjælpeark
Matematisk Modellerig Hjælpeark Kaare B. Mikkelse 2005090 3. september 2007 Idhold Formler 2 2 Aalyse af k ormalfordelte prøver 2 2. Modelcheck............................................ 2 2.2 Test af
Læs mereMOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Fourieranalyse
MOGENS ODDERSHEDE LARSEN Fourieraalyse. udgave 7 FORORD Dette otat giver e kort idførig i teorie for fourierrækker og fouriertrasformatio. Det forudsættes i dette otat, at ma har rådighed over matematiklommeregere
Læs mereForslag til løsning af Opgaver til ligningsløsning (side172)
Forslag til løsning af Opgaver til ligningsløsning (side17) Opgave 1 Hvis sønnens alder er x år, så er faderens alder x år. Der går x år, før sønnen når op på x år. Om x år har faderen en alder på: x x
Læs mere- et værktøj til fejlrettende QR-koder. Projekt 0.3 Galois-legemerne. Indhold. Hvad er matematik? A, i-bog
Projekt 0.3 Galois-legemere GF é ëp û - et værktøj til fejlrettede QR-koder Idhold De karakteristiske egeskaber ved de tre mest almidelige talsystemer, og... De kommutative, associative og distributive
Læs mereKvantemekanik 4 Side 1 af 11 Energi og tid. Hamiltonoperatoren
Kvateekaik 4 Side 1 af 11 ergi og tid Hailtooperatore Af KM3 fregik det, at ehver observabel er repræseteret ved e operator, f.eks. jf. udtryk (3.1) og (3.). Ispireret af det klassiske udtryk for kietisk
Læs mereReelle tal. Symbolbehandlingskompetencen er central gennem arbejdet med hele kapitlet i elevernes arbejde med tal og regneregler.
Det første kapitel i grundbogen til Kolorit i 9. klasse handler om de reelle tal. Første halvdel af kapitlet har karakter af at være opsamlende i forhold til, hvad eleverne har arbejdet med på tidligere
Læs mereFinde invers funktion til en 2-gradsfunktion - ved parallelforskydning. John V Petersen
Finde invers funktion til en 2-gradsfunktion - ved parallelforskydning John V Petersen Finde invers funktion til en 2-gradsfunktion - ved parallelforskydning 2015 John V Petersen art-science-soul Indhold
Læs merePolynomier et introforløb til TII
Polynomier et introforløb til TII Formål At introducere polynomier af grad 0, 1, 2 samt højere, herunder grafer og rødder At behandle andengradspolynomiet og dets graf, parablen, med fokus på bl.a. toppunkt,
Læs mereGiv eksempler på hvordan forskellige ligningstyper (lineære, eksponentielle eller potens) løses.
Eksamesspørgsmål MAT C, 017-018. (Foreløbig udgave, små ædriger ka forekomme) Spørgsmål 1: Ligiger Du skal redegøre for løsig af ligiger og heruder behadle omformigsreglere for ligiger. Giv eksempler på
Læs mereMotivation. En tegning
Motivatio Scatter-plot at det mådelige salg mod det måedlige reklamebudget. R: plot(salg ~ budget, data = salg) Økoometri Lektio Simpel Lieær Regressio salg 400 450 500 550 20 25 30 35 40 45 50 budget
Læs mereFacitliste til Trigonometri i praksis 8.-9. klasse Erik Bilsted 1.udgave, 1. oplag
[1] Facitliste til Trigonometri i praksis 8.-9. klasse Erik Bilsted 1.udgave, 1. oplag 2009 Alinea København Kopiering af denne bog er kun tilladt ifølge aftale med COPY-DAN Forlagsredaktion: Heidi Freiberg
Læs mereMOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Komplekse tal
MOGENS ODDERSHEDE LARSEN Komplekse tal a b. udgave 004 FORORD Dette otat giver e kort idførig i teorie for komplekse tal, regeregler, røddere i polyomier bl.a. med heblik på avedelser ved løsig af lieære
Læs mereOpgave 1 Alle tallene er reelle tal, så opgaven er at finde den mindste talmængde, som resultaterne tilhører.
Opgave 1 Alle tallene er reelle tal, så opgaven er at finde den mindste talmængde, som resultaterne tilhører. A. Q B. R (sidelængden er 5, som er irrational) C. Q Opgave 2 A. 19 = 1 19 24 = 2 3 3 36 =
Læs mereUdledning af formel for pyramidestubbens rumfang
Udlednin af formel for pyramidestubbens rumfan Rumfan af pyramidestub: V = 1/3 * h * ( + + ( * ) = den lille rundflade (dvs. pyramidestubbens top) = den store rundflade (dvs. pyramidestubbens bund) h =
Læs mereMatematik projekt 4. Eksponentiel udvikling. Casper Wandrup Andresen 2.F 16-01-2009. Underskrift:
Matematik projekt 4 Eksponentiel udvikling Casper Wandrup Andresen 2.F 16-01-2009 Underskrift: Teorien bag eksponentiel udvikling er som sådan meget enkel. Den har forskriften: B er vores begndelsesværdi
Læs mereOm Følger og Rækker. Nyttige Grænseværdier. Nyttige Rækker. Carsten Lunde Petersen. lim. lim = 0. lim (1 + x n n )n = e x. n n n.
IMFUFA Carste Lude Peterse Om Følger og Ræer Nyttige Græseværdier lim = 1 lim! = x = 0! lim lim (1 + x ) = e x! lim = e 1 Nyttige Ræer 1 p < p > 1 1 log p ( + 1) < p > 1 x = = x 1 x for x < 1 og Z, diverget
Læs mereBrøkregning. Navn: Klasse: Matematik Opgave Kompendium. Opgaver: 24 Ekstra: 5 Point:
Navn: Klasse: Matematik Opgave Kompendium Brøkregning Følgende gennemgås: Brøk typer Forlængning Forkortning Addition Subtraktion Blandede tal Multiplikation Division Heltal & Brøk Brøk & decimal & Procent
Læs mereUndersøgelse af numeriske modeller
Udersøgelse af umeriske modeller Formål E del af målsætige med dette delprojekt er at give kedskab til de begræsiger, fejl og usikkerheder, som optræder ved modellerig. I de forbidelse er følgede udersøgelse
Læs mere3y MA, Steen Toft Jørgensen side 1/5 Helsingør Gymnasium. Definitioner, formler, sætninger og ideen i beviserne så det er muligt at huske beviserne.
3y MA, Stee Toft Jørgese side /5 Helsigør Gymasium Vektorregig i 3D Formålet er at skabe overblik over emet. Boge Mat3A af Jes Carstese, kapitel 3 og 4, side 83-5. Defiitioer, formler, sætiger og idee
Læs merea b cos. n=1 er positiv på N. Vi kan nu benytte sammenligningskriteriet (sætning ) og sammenligne 2a sin ( )
Opgve Vi skl bestemme de tlpr (, for hvilke række b cos = er koverget. Først beytter vi divergeskriteriet (sætig 2..4) til t kræve t leddee må gå mod ul for gåede mod uedelig. Dette giver os t = b cos()
Læs mereNanomaterialer Anvendelser og arbejdsmiljøforhold
F O A F A G O G A R B E J D E Naomaterialer Avedelser og arbejdsmiljøforhold Dee Kort & Godt pjece heveder sig til dig, som er medlem af FOA. Pjece giver iformatio om: Hvad er et aomateriale? Eksempler
Læs mereKap 1. Procent og Rentesregning
Idhold Kp. Procet og Retesregig.... Regig med proceter.... Reteformle.... Geemsitlig retefod (vækstrte)... Kp Opsprigs- og gældsuiteter...5. Auiteter...5. Sumformel for e kvotietrække...5. Opsprigsuitet...6.
Læs mereTemaopgave: Parameterkurver Form: 6 timer med vejledning Januar 2010
Temaopgave: Parameterkurver Form: 6 timer med vejledning Januar 1 Parameterkurver Vi har tidligere set på en linjes parameterfremstilling, feks af typen: 1 OP = t +, hvor t R, og hvor OP er stedvektor
Læs mereBegreber og definitioner
Begreber og defiitioer Daske husstades forbrug på de medierelaterede udgiftsposter stiger og udgør i 2012*) 11,3 % af husstadees samlede forbrug mod 5,5 % i 1994. For husstade med de laveste idkomster
Læs mereFormelskrivning i Word 2. Sådan kommer du i gang 4. Eksempel med skrivning af brøker 5. Brøker skrevet med småt 6. Hævet og sænket skrift 6
Dee udgave er til geemkig på ettet. Boge ka købes for kr. 5 hos EH-Mat. E y og udvidet udgave med title»symbol- og formelskrivig«er udkommet september 00. Se mere om de her. Idholdsfortegelse Formelskrivig
Læs mereUddannelsesparathed. Vejledning om processerne ved vurdering af uddannelsesparathed (UPV) og ansøgning til ungdomsuddannelserne
Uddaelsesparathed Vejledig om processere ved vurderig af uddaelsesparathed (UPV) og asøgig til ugdomsuddaelsere Uddaelsesparathed Vejledig om processere ved vurderig af uddaelsesparathed (UPV) og asøgig
Læs mereDefinition: Normalfordelingen. siges at være normalfordelt med middelværdi µ og varians σ 2, hvor µ og σ er reelle tal og σ > 0.
Repetitio: Normalfordelige Ladmåliges fejlteori Lektio Trasformatio af stokastiske variable - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/udervisig/lf13 Istitut for Matematiske Fag Aalborg Uiversitet
Læs mereProjekt 9.10 Differentiation af potensfunktioner ved hjælp af binomialformlen
Projet 9.1 Differetitio f potesfutioer ved jælp f iomilformle 1. Pscls tret og iomilformle Vi strter med t mide om t poteser f toleddede størrelser, de såldte iomer, udreges ved jælp f Pscls tret, idet
Læs mereFP9. 1 Køb af smartphone 2 Skærmstørrelsen på en smartphone. 3 Mobilabonnement 4 På Facebook 5 En ydre og to indre cirkler 6 Talfølger i en gangetabel
FP9 9.-klasseprøven Matematisk problemløsning Maj 2015 Et svarark er vedlagt til dette opgavesæt 1 Køb af smartphone 2 Skærmstørrelsen på en smartphone 3 Mobilabonnement 4 På Facebook 5 En ydre og to indre
Læs mereSTATISTISKE GRUNDBEGREBER
MOGENS ODDERSHEDE LARSEN STATISTISKE GRUNDBEGREBER 18 15 1 9 6 3 0 Histogram for ph 6,9 7,1 7,3 7,5 7,7 7,9 ph 13 udgave 013 FORORD Der er i dee bog søgt at give letlæst og askuelig fremstillig af de statistiske
Læs merebrøker basis+g brikkerne til regning & matematik preben bernitt
brikkerne til regning & matematik brøker basis+g preben bernitt brikkerne til regning & matematik brøker G ISBN: 978-87-92488-04 06 2. udgave som E-bog 202 by bernitt-matematik.dk Denne bog er beskyttet
Læs mereTALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning.
Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning, marts 2007, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan
Læs mereRettevejledning til HJEMMEOPGAVE 1 Makro 1, 2. årsprøve, foråret 2007 Peter Birch Sørensen
Rettevejledig til HJEMMEOPGAVE Makro, 2. årsprøve, foråret 2007 Peter Birch Sørese Opgave... Udsaget er forkert. De omtalte skatteomlægig må atages at øge beskæftigelse p.gr.a. e positiv substitutioseffekt
Læs mereTIMEGLASSETS FASER: Introen er et foto og nogle spørgsmål til hele kapitlet. Meningen med introen er, at du og
TIMEGLASSETS FASER: INTRO Itroe er et foto og ogle spørgsmål til hele kapitlet. Meige med itroe er, at du og di klasse skal få e ide om, hvad kapitlet hadler om, og hvad I skal lære. Prøv at svare på spørgsmålee
Læs mereVelkommen. Program. Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Sandsynlighedstætheder og kontinuerte fordelinger på R. Praktiske ting og sager
Program Statistik og Sadsylighedsregig 2 Sadsylighedstætheder og kotiuerte fordeliger på R Helle Sørese Uge 6, madag Velkomme I dag: Praktiske bemærkiger Hvad skal vi lave på SaSt2? Sadsylighedstætheder
Læs mere9. Binomialfordelingen
9. Biomialfordelige 9.. Gekedelse Hvert forsøg ka ku resultere i to mulige udfald; succes og fiasko. I modsætig til poissofordelige er atallet af forsøg edeligt. 9.. Model X : Stokastisk variabel, der
Læs mereTALTEORI Primfaktoropløsning og divisorer.
Primfaktoropløsning og divisorer, oktober 2008, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Primfaktoropløsning og divisorer. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan få i Marianne
Læs mereMatematikkens mysterier - på et højt niveau. 1. Integralregning
Mtemtikkes mysterier - på et højt iveu f Keeth Hse. Itegrlregig Hvd er relet f de skrverede puktmægde? . Itegrlregig Idhold. Stmfuktioer og det uestemte itegrl. Regeregler for det uestemte itegrl 7 Prtiel
Læs mereLøsninger til kapitel 7
Løsiger til kapitel 7 Opgave 7.1 a) HpoStat giver resultatet: Pop. varias er ukedt, me 30, så Normalf. bruges approksimativt = 54,400 s 1.069,90 = 00,000 0,95 49,868 58,93 Dette betder, at med 95% sikkerhed
Læs mereKOMPLEKSE TAL x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium
KOMPLEKSE TAL x-klassere Gammel Hellerup Gymasium Idholdsfortegelse E kort historie om imagiært og virkeligt... Tallegemet De Komplekse Tal... Idførelse af realdel og imagiærdel samt i... 8 Subtraktio,
Læs mereOpgave 1. a) f : [a, b] R er en begrænset funktion for hvilken. A ε = {x [a + ε, b] f(x) 0}
Opgve ) f : [, b] R er e begræset fuktio for hvilke er edelig for ethvert < ε < b. Vi skl vise t f er itegrbel og t A ε = { [ + ε, b] } d =. Vi bemærker først t f er itegrbel på [, b] hvis og ku hvis de
Læs mereGENEREL INTRODUKTION.
Study Guide til Matematik C. OVERSIGT. Dee study guide ideholder følgede afsit - Geerel itroduktio. - Emeliste. - Eksame. - Bilag. Udervisigsmiisteriets bekedtgørelse for matematik C. GENEREL INTRODUKTION.
Læs merePsyken på overarbejde hva ka du gøre?
Psyke på overarbejde hva ka du gøre? Idhold Hvorår kommer ma uder psykisk pres? 3 Hvad ka øge det psykiske pres på dit arbejde? 4 Typiske reaktioer 6 Hvorda forløber e krise? 7 Hvad ka du selv gøre? 9
Læs mere1RWHWLOGLIIHUHQWLDOOLJQLQJHU
ote til differentialligninger rik Bennike marts 00 ROGIIUQOOJQQJU Først skal man naturligvis gøre sig klart hvilken orden differentialligningen er af. G G,? Indgår,, ( ) kun, eller er der også, ( ) 'IIUQOOJQQJUII
Læs mere