(a k cos kx + b k sin kx) k=1. cos θk = sin θ 1 ak. , b k. k=1

Transkript

1 SEKTION 7 FOURIERANALYSE 7 Fouriernlyse Periodiske funktioner er vigtige i mnge smmenhænge, både videnskbeligt og teknisk Vi vil normlisere, så ntger, t perioden er π Disse funktioner er bedst nlyseret ved hjælp f pproksimtioner med trigonometriske polynomier Et trigonometrisk polynomium f grd n er en funktion f form t n (x) = 0 + ( k cos kx + b k sin kx) k= Hvis vi skriver r k = k + b k og lde θ k bestemme ved [ ] [ ] cos θk = sin θ k r k k, b k så er k cos kx + b k sin kx = r k (cos θ k cos kx + sin θ k sin kx) =r k cos(kx θ k ) Så t n (x) er en sum f n simple bølgefunktioner f forskellige størrelser (r k ), fse (θ k ), og heltls frekvens (k) Den bedste pproksimtion til en funktion f f periode π ved et trigonometrisk polynomium f grd n fås ved t finde den ortogonle projektion f f på mht indreproduktet, i C([ π, π]) givet ved S n = Spn(, cos x, sin x,, cos nx, sin nx) f, g = π π π f(x)g(x) dx Vi hr tidligere set, t {, cos x, sin x,, cos nx, sin nx} er en ortogonl bsis for S n, så med og P Sn (f) = 0 + ( k cos kx + b k sin kx) k= π π 0 = π f(x) dx, så 0 = π f(x) dx, π π k = π π π f(x) cos kx dx, b k = π π π f(x) sin kx dx Vi kn således pproksimere en kontinuert π periodisk funktion f med en sum f simple bølge funktioner f frekvens,, ; det kn vises (men ikke i dette kursus) t disse pproksimtioner P Sn (f) konverger til f når n, og t k,b k 0 når k Denne Fouriernlyse er meget brugt; repræsenttionen f et signl som sum f signler f frekvens,, er nem t fortolke, nem t udregne, og egnet til brug ved korrektioner f forvrængede signler 5

2 SEKTION 7 FOURIERANALYSE I prksis er det ofte nemmere, f beregningsmæssige grunde, t rbejde med n nden bsis, {e imx k Z, m n}, for den komplekse version S n (C) f S n : S n (C) = Spn(, cos x, sin x,, cos nx, sin nx) = Spn(,e ix,e ix,, e inx,e inx ) i C([ π, π], C); de to Spn er ens, fordi e imx = cos mx + i sin mx, og Mn ser nemt, t cos mx = (eimx + e imx ), sin mx = i (eimx e imx ) når så t n (x) = 0 + = c 0 + ( k cos kx + b k sin kx) k= (c k e ikx + c k e ikx ) k= c 0 = 0,c k = ( k ib k ),c k = ( k + ib k ); 0 =c 0, k = c k + c k,b k = i(c k c k ) Læg mærke til, t c k = c k når t n er en reel funktion Vi hr tidligere set, t {,e ix,e ix,, e inx,e inx } er ortonorml mht det indre produkt, givet ved π g, h = π g(x)h(x) dx, π så den ortogonle projektion f f på S n (C) er hvor P Sn(C)(f) =c 0 + c e ix + c e ix + + c n e inx + c n e inx π c m = f, e imx = π f(x)e imx dx for m Z; π Denne kompleks projektion P Sn(C)(f) er lig den reelle projektion P Sn (f): selv om vi hr brugt to forskellige indre produkter i C([ π, π]), C), er forskellen kun en fktor, fr π π g(x)h(x) dx til π π π g(x)h(x) dx, så den ændrer ikke på ortogonlitet, så ændrer heller ikke ortogonl projektion π Vi kn vælge t rbejde over et vilkårligt intervl f længde π i stedet for [ π, π], for lle de integrler, der skl beregnes, er f π periodiske funktioner, så vil hve de smme værdier over lle intervller f længde π Vi vil bruge intervllet [0, π] i det efterfølgende 6

3 SEKTION 7 FOURIERANALYSE Den diskrete Fourier trnsformtion I nvendelser hr mn ikke en formel for signlfunktionen f; i stedet for er signlet smplet ved tiderne x 0,, x N, x j = πj N, og f er repræsenteret lene med værdierne f(x 0),, f(x N ) Integrtionerne må så pproksimeres: c k = π Vi ser, t d N k = d k, idet π 0 f(x)e ikx dx erstttes med d k = N N j=0 e i(n k)xj = e ikxj e inxj = e ikxj e πij = e ikxj f(x j )e ikxj Følgen d 0,, d N kldes den diskrete Fourier trnsformtion f y 0,, y N ; den tilsvrende pproksimtion p N til signlet f er givet ved d 0 + m k= p N (x) = (d ke ikx + d N k e ikx ) når N =m, d 0 + m k= (d ke ikx + d N k e ikx )+d m cos mx når N =m Det er nemt t se, t p N er reel når f(x 0 ),, f(x N ) er reelle En udregning viser, t p N (x j )=f(x j ) for j =0,, N Det kn vises, t p N er den entydige funktion i S N (C), som opfylder dette Det kn også vises, når f er periodisk og kontinuert, t p N konvergerer mod f når N Ld os skrive og y j = f(x j ); så er og dvs hvor d 0 d N ω N = e πi N = cos π N i sin π N, = N d k = N N j=0 y j ω jk N, ω N ω N N ω N N ω (N ) N d = N F Ny, d =[d 0 d N ] T, y =[y 0 y N ] T, y 0 y N og F N Mt N,N (C) er en N N kompleks mtrix med (i, j) te indgng for i, j N ω (i )(j ) N, 7

4 SEKTION 7 FOURIERANALYSE Fst Fourier Trnsform Når N er stor er mtrixmultipliktionen F N y ret tidskrævende; en direkt udregning kræver N multipliktioner f komplekse tl, så 4N multipliktioner f reelle tl, (forend en msse dditioner; men d ddition kræver meget mindre tid end multipliktion, vil vi nøjes med ntllet f multipliktioner som et mål for tidsforbruget) D N er typisk over en million er dette et problem Ld være givet ved σ m : {,, m} {,, m} σ m(p + ) = p +for p =0,, m,σ m(q) =m + q for q =,, m σ m er en permuttion; den ssocierede permuttionsmtrix er Hvis A =[,, m ] er en n m mtrix er P m = P σm =[e, e 3,, e m, e,, e m ] AP m =[, 3,, m,,, m ] så ωm ω m m ω m ω m m F m P m = ; ω (m ) m ω (m )(m ) m ωm m ω (m ) F m D m F m = F m D m F m hvor D m er en m m digonlmtrix, med digonlindgngene,ω m,, ωm m t og ω m m =, ω m+j m Udregningen med m =og m =4giver ideen: F = F 4 = i i,f 4P 4 = i i = ωj m,ωm m =, ω m = ω m F = [ ] ; [ ] = F P,D = [ ] ; i i,d = i i [ ] 0 0 i ; der bruges her, 8

5 SEKTION 7 FOURIERANALYSE Vi hr F m y =F m P m (P m ) y =(F m P m )(P m ) T y F m = F m D m F m D m F m y 0 y m y y m fordi (P m ) T y =(y T P m ) T, så fås f y ved t permutere indgngene mh σ m Ld os sige, t der bruges M m reelle multipliktioner til t beregne F m z for z C m Så beregnes F m y fr ovenstående med M m reelle multipliktioner y 0 y (for F m og F m ) y m y m og m kompleks multipliktioner (når der gnges med D m ), dvs M m +4m reelle multipliktioner i lt For m = k fås successivt Det ses ved induktion t M =0, M = = 4, M 4 = 4+4 = 6, M 8 = = 48, M 6 = = 8, M k = k k+ (dette psser når k =0; og hvis det psser for k så er og det psser for k +) M k+ = M k +4 k =k k+ + k+ =(k + ) k+, Metoden kldes "Fst Fourier Trnsform"(FFT) Den blev egentligt opfundet f Guss i 805, men genopfindelsen ved Cooley og Tukey i 965 hr været fgørende; uden den, ingen CD er, ingen mp3 er Metoden er meget hurtigere end den direkte udregning: den direkte udregning f F my kræver 4 ( k ) = k+ reelle multipliktioner, mens FFT metoden kræver k k+ reelle multipliktioner, så er k+ /(k k+ )= k+ /k gnge hurtigere Feks hvis k = 0 (så k = ) er FFT /0 = 0 /0 gnge hurtigere, dvs mere end gnge hurtigere 9

6 SEKTION 7 GRAM-SCHMIDT-PROCESSEN 7 Grm-Schmidt-processen Vi hr set, t det er meget prktisk t kunne ngive en ortonormlbsis for et indre-produkt rum, eller et underrum derf Vi ser her, hvordn en ortonorml bsis kn konstrueres med udgngspunkt i en vilkårlig bsis Sætning 7 ([L], 56) Ld V være et indre-produkt rum; skriv, for indre-produktet Ld {x,, x n } være en bsis for V Definer u = x x, og definer u,, u n rekursivt ved hvor u k+ = x k+ p k (x k+ p k ), p k = x k+, u u + + x k+, u k u k, den ortogonle projektion f x k+ på Spn(u,, u k ) D er {u,, u k } en ortonorml bsis for Spn(x,, x k ), for k =,, n; specielt er {u,, u n } en ortonorml bsis for V Skriv S k = Spn(x,, x k ) for k =,, n Det er klrt, t Spn(u ) = Spn(x )=S, og t {u } er en ortonorml bsis for S Antg induktivt, t u,, u k, k < n, er konstruerede, og t {u,, u k } er en ortonorml bsis for S k Ld p k være projektionen f x k+ på S k, så (Sætning 644) p k = x k+, u u + + x k+, u k u k D p k S k kn p k skrives som lineær kombintion f x,, x k : og p k = c x + + c k x k, x k+ p k = x k+ c x c k x k D x,, x k+ er ufhængige, er x k+ p k 0 (fordi højresiden f ( ) er en ikke-triviel lineær kombintion f x,, x k+ ) Bemærk også, t x k+ p k Spn(x,, x k+ )= S k+ Ifølge Sætning 644 er x k+ p k Sk, så x k+ p k u i for i =,, k Ld nu u k+ = x k+ p k (x k+ p k ) Så er {u,, u k+ } ortonorml og indeholdt i S k+ D u,, u k+ er k +ufhængige elementer i rummet S k+ f dimension k +udgør de en bsis; og {u,, u k+ } er en ortogonl bsis for S k+ Induktionsskridtet er tget, og resulttet dermed bevist ( ) 0

7 SEKTION 7 GRAM-SCHMIDT-PROCESSEN Eksempel 7 (Exmple, s 75 i [L]) Find en ortonorml bsis for P 3 (R) mht det indre produkt p, q = 3 p(x i )q(x i ), i= hvor x =, x =0, og x 3 = (At dette er et indre produkt vises på s 46 i [L]) Vi tger udgngspunktet i bsen {, x, x }, =3, så u = 3 Vi hr p = x, 3 3 ; = ( ) 3 =0, så x p = x og x p = x, x = =, og u = x Vi hr p = x, x, x x = x = 3 Nu beregnes x 3 = x 3,x 3 =(x 3 ) x= +(x 3 ) x=0 +(x 3 ) x= = = 3 Så u 3 = x /3 (x 3 /3) = (x 3 ) Eksempel 73 Find en ortonorml bsis for W = Ld Vi ser, t x x x 3 x 4 R4 x + x x 3 + x 4 =0 v = W = Spn (v ), så det er nok t finde en ortonorml bsis {u,, u 4 } for R 4, med u = v v ; så er {u, u 3, u 4 } en ortonorml bsis for W Vi vil derfor tge udgngspunkt i en bsis for R 4 med første vektor v

8 SEKTION 7 GRAM-SCHMIDT-PROCESSEN Eksempel 73, fortst Med bgtnken, t vi søger vektorer ortogonle til v, vælges 0 0 v = 0, v 3 = 0 ; og v 4 = {v,, v 4 } er en bsis for R 4, idet en rækkereduktion viser p = v, u u =0 u = 0, så [v, v, v 3, v 4 ] I u = v u = 0 u = v v = 0 0 p = v 3, u u + v 3, u u =0 u +0 u = 0, så u 3 = v 3 v 3 = 0 0 p 3 = v 4, u u + v 4, u u + v 4, u 3 u 3 = 0 u +0 u u 3 = 0 0 /5 0 = /5 /5, 3/5 så og u 4 = v 4 p 3 = v 4 p 3 (v 4 p 4 )= /5 /5 /5 /5 = 5 0/5 5 = 0

9 SEKTION 7 GRAM-SCHMIDT-PROCESSEN Vi kn udlede resultter om ortogonlkomplement og projektion f Grm-Schmidt-processen: Korollr 74 Enhver ortonorml mængde i et indre-produkt rum kn udvides til en ortonorml bsis Ld dim V = n Antg, t {u,, u k } V er ortonorml {u,, u k } kn udvides til en bsis {u,, u k, v,, v n k } f V; når Grm-Schmidt-processen nvendes på denne bsis fås en bsis {u,, u k, u k+,, u n } som udvider {u,, u k } Korollr 75 Ld V være et indre-produkt rum f dimension n Ld S være et underrum () dim S = n dim S () (S ) = S (3) Hvis S {0},V, og {x,, x r } er en bsis for S, {x r+,, x n } en bsis for S, så er {x,, x n } en bsis for V (4) V = S S for (): Resulttet er klrt, når S = {0} eller V, idet {0} = V og V = {0} Hvis S {0}, V, ld {u,, u r } være en ortonorml bsis for S, og udvid til en ortonorml bsis {u,, u n } for V Vi påstår, t {u r+,, u n } er en bsis for S D u r+,, u n er ufhængige, er det nok t se, t de udspænder S Vi hr x S x s for lle s S x α u + + α r u r for lle α,, α r K x u,, x u r Ifølge Sætning 648 kn vi skrive x = c u + c n u n, hvor c i = x, u i Så Så dim S = n r, som påstået x S c =0,, c r =0 x = c r+ u r+ + + c n u n x Spn(u r+,, u n ) erne for (), (3), (4) er som i Sætning 57, (), Sætning 58 og Sætning 59; der erstttes bre sklrprodukt med indre produkt Detljer overldes til Jer 3

10 SEKTION 7 GRAM-SCHMIDT-PROCESSEN Ld V være et indre-produkt rum, S et underrum Den entydige opskrivning v = P S (v)+w med P S (v) S, w S definer en fbildning P S : V V Læg mærke til, t v P S (v) S ; P S (v) er bestemt f dette Proposition 76 P S S = I S : S S P S (V )=S 3 P S er en lineær trnsformtion Dette kn bevises som i Proposition 5, eller vi kn bruge, hvis dim S< og {s,, s k } er en ortonorml bsis for S, t (ifølge Sætning 644);,,3 følger nemt P S (v) = v, s s + + v, s k s k Vi kn nu vise, t et indre produkt i et endelig-dimensionlt indre produkt rum ltid er induceret f sklrproduktet mh en bsis Proposition 77 Ld V være et indre produkt rum f dimension n; skriv, for indre produktet Ld U = {u,, u n } være en ordnet ortonorml bsis for V Så er, =, U Ld v, w V Skriv v = u + + n u n, w = b u + + b n u n med i,b j K R-tilfælde : Ifølge Sætning 649 er v, w = n j= jb j, mens så v, w = v, w U v, w U = ([v] U ) T [w] U =[,, n ] b b n C-tilfælde : Ifølge Sætning 649 er v, w = n j= jb j, mens så v, w = v, w U v, w U = ([w] U ) T [v] U =[b,, b n ] n = = j b j ; j= b j j ; j= 4

11 SEKTION 7 GRAM-SCHMIDT-PROCESSEN Hvis vi holder styr på beregningerne, kn vi få en mtrixfktorisering ud f Grm-Schmidtprocessen Sætning 78 ([L], 56) (QR-fktorisering) Ld A Mt m,n (K), hvor K er R eller C; ntg, t rng A = n Så er A = QR, hvor Q Mt m,n (K) hr ortonormle søjlevektorer mht sklrproduktet i K m, og R Mt n,n (K) er en øvre trekntsmtrix med lle digonlindgnge reelle og positive Ld {,, n } være søjlerne i A; d disse er ufhængige, er de en bsis for Spn(,, n ) Vi nvender Grm-Schmidt-processen og definerer successivt q =, q k+ = k+ p k ( k+ p k ) for k =,,, n, hvor p k = k+, q q + + k+, q k q k Ld r =, r kk = k p k for k =,, n, og, for i =,, k, k=,, n, { qi T r ik = k, q i = k R-tilfælde qi H k C-tilfælde Grm-Schmidt-processen omskrives til og videre til r q =, r kk q k = k r k q r k q r k,k q k for k =,, n; = r q, k = r k q + r k q + + r kk q k for k =,, n Ld nu r r r n r Q =[q,, q n ],R= Den k te søjle i QR er Q {den k te søjle i R}, dvs den k te søjle i QR =[q,, q n ] r kk 0 0 r k 0 r nn = r k q + + r kk q k = k ; så QR = A 5

12 SEKTION 7 GRAM-SCHMIDT-PROCESSEN Eksempel 79 ([L], Ex 3, s 78) Vi finder QR-dekompositionen for A = A er f rng 3, idet A kn rækkereduceres til REF med tre pivot er r = = = 5 = 5 q = r = 5 4 r =, q = 5 ( 8) = p = r q = q p = 8/5 4/5 6/5 8/5 r = p = = = 4 q = r ( p )= 5 4 = r 3 = q T 3 = 5 ( ( ) ) = r 3 = q T 3 = 5 (( ) ( ) + + ( 4) + 0) = 3 p = r 3 q + r 3 q = q q = 5 6 r 33 = 3 p = q 3 = r 33 ( 3 p )= 5 Vi hr 4 3 p = 8/5 4/5 4/5 /5 = R = 0 4,Q=

13 SEKTION 7 GRAM-SCHMIDT-PROCESSEN Bemærkning 70 Ld A være som i Sætning 78 Mtricen R f QR-dekompositionen for A er invertibel, fordi den kn rækkereduceres til REF med en pivot i hver søjle, ved t dividere dens i te række med r ii for i =,, n Sætning 7 ([L], 563) Ld A Mt m,n (R), med rng A = n; og ld A hve QR-fktorisering QR Den entydige mindste kvdrters løsning til Ax = b er ˆx = R Q T b Sætning 56 giver den entydige mindste kvdrters løsning til Ax = b som ˆx =(A T A) A T b D A = QR, er ˆx = ((QR) T QR) (QR) T b =(R T Q T QR) R T Q T b =(R T IR) R T Q T b (Lemm 648) =(R T R) R T Q T b = R (R T ) R T Q T b = R IQ T b = R Q T b Bemærkning 7 D R er næsten i REF fås løsningen nemmest ved bglæns substitution, fr ligningssystemet Rx = Q T b 7

14 SEKTION 7 GRAM-SCHMIDT-PROCESSEN Eksempel 73 ([L], Ex 4, s 80) Vi finder mindste kvdrters løsningen til x x x 3 = Vi beregnede QR-fktoriseringen f mtricen i Eksempel 79 som og mindste kvdrters løsningen er derfor ˆx = R Q T Løsningen er nemmest beregnet vi bglæns substitution, fr Rˆx = Q T 4 = = = 0 Vi må løse vi får ; x 3 = x 3 =, 4x = +x 3 =0 x =0, 5x = +x x 3 = x = 5, så /5 ˆx = 0 8

15 SEKTION 73 ORTOGONALE POLYNOMIER 73 Ortogonle polynomier Vi rbejder først med P n (F), rummet f F-polynomier f grd <n Vi ser, t dim P n (F) n; idet P n (F) er udspændt f de n elementer, x, x,, x n Hvis F hr tilstrækkelig mnge elementer er dimensionen fktisk præcis n Lemm 73 Ld x,, x n F være indbyrdes forskellige Definer, for i =,, n, L i P n (F) ved L i (x) = D er {L,, L n } en bsis for P n (F) n j=, j i (x i x j ) n j=, j i (x x j ) D dim P n (F) n er det nok t vise, t L,, L n er ufhængige Antg så, t c L + + c n L n =0 For j n fås d Men c L (x j )+ + c n L n (x j )=0 L i (x j )= { 0 i j i = j, ( ) så ( ) giver c j =0, så c =0,, c n =0og L,, L n er ufhængige Bemærkning 73 Ld f P n (F) Vi kn så skrive f = c L + + c n L n, så f(x j )=c L (x j )+ + c n L n (x j ); = c j, idet L i (x j )= { i = j 0 i j Vi hr ltså f = f(x )L + + f(x n )L n Ld nu y,, y n F Det entydige polynomium g f grd <nmed g(x i )=y i for i =,, n er g = y L + + y n L n 9

16 SEKTION 73 ORTOGONALE POLYNOMIER Andre nyttige bser findes: Lemm 733 Ld f 0,, f n P n (F) være således, t f j er f grd præcis j, for j =0,, n () P n (F) er udspændt f f 0,, f n () Hvis F hr mindst n elementer, så er {f 0,, f n } en bsis for P n (F) D () følger f () og Lemm 73 er det nok t vise () Vi viser, t f 0,, f k udspænder P k (F) for k =,, n ved induktion Udsgnet gælder når k =, fordi ethvert ikke-nul element i et rum f dimension udgør en bsis Antg induktivt, t udsgnet gælder for k < n; og ld g = c c k x k være et element f P k+ (F) Skriv f k = k x k ; d grd f k = k er k 0 g c k k f k er f grd k, så g c k k f k P k (F) og vi kn ifølge induktionsntgelsen skrive så g c k k f k = α 0 f α k f k, g = α 0 f α k f k + c k k f k Spn{f 0,, f k } Så P k+ (F) = Spn{f 0,, f k }, udsgnet gælder for k +, induktionsskridtet er tget, og beviset er fuldført Nu speciliseres til reelle polynomier Det er ofte meget prktisk t pproksimere funktioner i et intervl eller dt-punkter med polynomier Det er ofte ønskeligt, t pproksimtionen hr størst præcision på dele f intervllet; det kn rrngeres ved t nvende et indre produkt, f formen f, g = w(x)f(x)g(x) dx ( ) hvor w er en positiv kontinuert funktion, en vægtfunktion Intervllet, der rbejdes over, kn være [, b] eller [, b), (b, ], (, b), også med = og/eller b = ; men vi må sørge for, t integrlet i ( ) er veldefineret og endelig, dels ved vlg f w, dels ved vlg f funktionsrum Vi skriver I for det relevnte intervl En polynomil pproksimtion f grd n til en funktion f fås d ved t finde den ortogonle projektion f f på P n (R) mht det indre produkt ( ) Vi hr set, t denne projektion beregnes nemmest, når vi kender en ortonorml bsis for rummet, der projiceres til Definition 734 En følge p,p, P (R) \{0} med grd p i = i er en følge f ortogonle polynomier, hvis p i,p j =0for i j og en følge f ortonormle polynomier hvis også p i,p i =for lle i 30

17 SEKTION 73 ORTOGONALE POLYNOMIER Sætning 735 ([L], 57) Hvis p 0,p, P (R) \{0} er en følge f ortogonle polynomier, så gælder {p 0,, p n } er en bsis for P n (R) p n P n (R) p 0,, p n P n (R); så dette følger f Lemm 733 Ld p P n (R) Vi kn skrive p = c 0 p c n p n og p, p n = c 0 p 0,p n + + c n p n,p n = c c n 0=0, så p, p n =0for lle p P n (R), dvs p n P n (R) Ld {p 0,, p n } er en ortogonl mængde i P n (R), (mht ( )) Definer, for i =0,, n, u i = p p i i Så er {u 0,, u n } en ortonorml mængde i P n (R) Hvis f C([, b]), så er f s projektion på P n (R) mht ( ) n n f, u i u i = f, p i p i p i p i = i=0 i=0 i=0 f, p i p i p i = i=0 f, p i p i,p i p i, så kn beregnes nemt fr p 0,, p n Vi behøver ltså ikke hele tiden t sørge for ortonormlitet; ortogonlitet fungerer fint Følger f ortogonle polynomier kn beregnes rekursivt: Sætning 736 ([L], 57) Ld p 0,p, være en følge f ortogonle polynomier, skriv også p koefficienten f x i i p i Der gælder, for n 0, =0 Ld i være hvor α 0 =, γ 0 =, og α n+ p n+ (x) = (x β n+ )p n (x) α n γ n p n (x), (+) α n = n, β n = p n, xp n n p n,p n, γ n = p n,p n for n p n,p n (Læg mærke til, t en rekursiv definition f følgen mh (+) tillder, t 0,, kn vælges frit undervejs) 3

18 SEKTION 73 ORTOGONALE POLYNOMIER {p 0,, p n+ } er en bsis for P n+, så n+ xp n (x) = c nk p k (x), (3) k=0 hvor Vi hr for lle f, g P (R); så xf, g = c nk = xp n,p k p k,p k w(x)xf(x)g(x) dx = f, xg xp n,p k = p n, xp k =0for k < n, fordi xp k P k+ P n for k < n, mens p n P n Så () simplificerer til så til xp n (x) =c n,n+ p n+ (x)+c n,n p n (x)+c n,n p n (x), c n,n+ p n+ (x) =(x c n,n )p n (x) c n,n p n (x) () x n+ -leddet giver c n,n+ n+ = n ; så c n,n+ = Vi hr også og n n+ = α n+ c n,n = xp n,p n p n,p n = β n+ c n,n = xp n,p n p n,p n = p n, xp n p n,p n = xp n,p n p n,p n p n,p n p n,p n = c n,nγ n = α n γ n Denne formulering gør det reltivt nemt t udregne følger f ortogonle polynomier for prtikulære vlg f vægtfunktion Der gives mnge berømte og vigtige eksempler i bogen ([L], s 86-88) Feks betrgt det indre produkt givet ved f, g = f(x)g(x) dx Mn får den ortogonle følge P 0 (x) =, P (x) =x, P (x) = (3x ), P 3 (x) = (5x3 3x), disse kldes Legendre polynomier 3

19 SEKTION 73 ORTOGONALE POLYNOMIER En vigtig nvendelse er i numerisk integrtion For t pproksimere integrlet w(x)f(x) dx vil vi pproksimere f ved et polynomium P f grd <n, som hr de smme værdier som f ved n punkter x,, x n i intervllet I Ifølge 73 er P = n i= f(x i)l i Vi nvender w(x)p (x) dx som pproksimtion til w(x)f(x) dx: vi hr så w(x)f(x) dx w(x)p (x) dx = = f(x i ) i= A i f(x i ), i= w(x)l i (x) dx hvor A i = w(x)l i(x) dx, i =,, n, beregnes ufhængigt f f Hvis f er et polynomium f grd <n, så er f = P, noget vi så i Bemærkning 73 så w(x)f(x) dx = f(x i )A i Hvis x,, x n vælges smrt, gælder denne lighed også for højere grds polynomier Proposition 737 ([L], 573) Ld p 0,p, være en følge f ortogonle polynomier mht ( ) Så hr p n n forskellige nulpunkter i intervllet (, b) i= Ld x,, x m være nulpunkterne for p n, som ligger i (, b) og er således, t p n (x) skifter fortegn, når x i psseres D p n hr grd n, er m n Vi vil vise, t m n Vi ser, for i =,, m, t p n (x) hr en fktor (x x i ) ki, hvor k i er ulige, således t (x x i ) ki+ går ikke op i p n (x) Vi kn skrive p n (x) =(x x ) k (x x m ) km q(x), hvor q(x i ) 0for i =,, m, og hvor q(x) ikke skifter fortegn på (, b) Ld Produktet r(x) =(x x )(x x ) (x x m ) p n (x)r(x) = (x x ) k+ (x x m ) km+ q(x) involverer kun lige potenser f (x x i ) for hvert i, så skifter ikke fortegn på (, b) Så p n,r = D p n P n (R) er r/ P n (R), så m = grd r n Så m = n w(x)p n (x)r(x) dx 0 33

20 SEKTION 73 ORTOGONALE POLYNOMIER Sætning 738 Ld x,, x n være nulpunkterne for p n Så er når f P n (R) w(x)f(x) dx = i= A i f(x i ), Ld q i = { p i i =0,, n p i n p n i = n,, n q i er d et polynomium f grd i, for i =0,, n ; så ifølge Lemm 733 er {q 0,, q n } en bsis for P n (R) Vi påstår, t w(x)q j (x) dx = A i q j (x i ) for j =0,, n i= Vi hr llerede set det for j < n, d grd q j = j Hvis j n er og w(x)q j (x) dx = A i q j (x i )= i= w(x)p j n (x)p n (x) dx = p j n,p n =0, A i p n j (x i )p n (x i ) = 0, idet p n (x i )=0for i =,, n, så ligheden gælder for j n også i=0 Skriv nu f = c 0 q c n q n ; vi hr d w(x)f(x) dx = = = = n j=0 c j w(x)q j (x) dx n n c j j=0 i= i= n A i j=0 A i f(x i ) i= A i q j (x i ) c j q j (x i ) 34