(a k cos kx + b k sin kx) k=1. cos θk = sin θ 1 ak. , b k. k=1

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "(a k cos kx + b k sin kx) k=1. cos θk = sin θ 1 ak. , b k. k=1"

Transkript

1 SEKTION 7 FOURIERANALYSE 7 Fouriernlyse Periodiske funktioner er vigtige i mnge smmenhænge, både videnskbeligt og teknisk Vi vil normlisere, så ntger, t perioden er π Disse funktioner er bedst nlyseret ved hjælp f pproksimtioner med trigonometriske polynomier Et trigonometrisk polynomium f grd n er en funktion f form t n (x) = 0 + ( k cos kx + b k sin kx) k= Hvis vi skriver r k = k + b k og lde θ k bestemme ved [ ] [ ] cos θk = sin θ k r k k, b k så er k cos kx + b k sin kx = r k (cos θ k cos kx + sin θ k sin kx) =r k cos(kx θ k ) Så t n (x) er en sum f n simple bølgefunktioner f forskellige størrelser (r k ), fse (θ k ), og heltls frekvens (k) Den bedste pproksimtion til en funktion f f periode π ved et trigonometrisk polynomium f grd n fås ved t finde den ortogonle projektion f f på mht indreproduktet, i C([ π, π]) givet ved S n = Spn(, cos x, sin x,, cos nx, sin nx) f, g = π π π f(x)g(x) dx Vi hr tidligere set, t {, cos x, sin x,, cos nx, sin nx} er en ortogonl bsis for S n, så med og P Sn (f) = 0 + ( k cos kx + b k sin kx) k= π π 0 = π f(x) dx, så 0 = π f(x) dx, π π k = π π π f(x) cos kx dx, b k = π π π f(x) sin kx dx Vi kn således pproksimere en kontinuert π periodisk funktion f med en sum f simple bølge funktioner f frekvens,, ; det kn vises (men ikke i dette kursus) t disse pproksimtioner P Sn (f) konverger til f når n, og t k,b k 0 når k Denne Fouriernlyse er meget brugt; repræsenttionen f et signl som sum f signler f frekvens,, er nem t fortolke, nem t udregne, og egnet til brug ved korrektioner f forvrængede signler 5

2 SEKTION 7 FOURIERANALYSE I prksis er det ofte nemmere, f beregningsmæssige grunde, t rbejde med n nden bsis, {e imx k Z, m n}, for den komplekse version S n (C) f S n : S n (C) = Spn(, cos x, sin x,, cos nx, sin nx) = Spn(,e ix,e ix,, e inx,e inx ) i C([ π, π], C); de to Spn er ens, fordi e imx = cos mx + i sin mx, og Mn ser nemt, t cos mx = (eimx + e imx ), sin mx = i (eimx e imx ) når så t n (x) = 0 + = c 0 + ( k cos kx + b k sin kx) k= (c k e ikx + c k e ikx ) k= c 0 = 0,c k = ( k ib k ),c k = ( k + ib k ); 0 =c 0, k = c k + c k,b k = i(c k c k ) Læg mærke til, t c k = c k når t n er en reel funktion Vi hr tidligere set, t {,e ix,e ix,, e inx,e inx } er ortonorml mht det indre produkt, givet ved π g, h = π g(x)h(x) dx, π så den ortogonle projektion f f på S n (C) er hvor P Sn(C)(f) =c 0 + c e ix + c e ix + + c n e inx + c n e inx π c m = f, e imx = π f(x)e imx dx for m Z; π Denne kompleks projektion P Sn(C)(f) er lig den reelle projektion P Sn (f): selv om vi hr brugt to forskellige indre produkter i C([ π, π]), C), er forskellen kun en fktor, fr π π g(x)h(x) dx til π π π g(x)h(x) dx, så den ændrer ikke på ortogonlitet, så ændrer heller ikke ortogonl projektion π Vi kn vælge t rbejde over et vilkårligt intervl f længde π i stedet for [ π, π], for lle de integrler, der skl beregnes, er f π periodiske funktioner, så vil hve de smme værdier over lle intervller f længde π Vi vil bruge intervllet [0, π] i det efterfølgende 6

3 SEKTION 7 FOURIERANALYSE Den diskrete Fourier trnsformtion I nvendelser hr mn ikke en formel for signlfunktionen f; i stedet for er signlet smplet ved tiderne x 0,, x N, x j = πj N, og f er repræsenteret lene med værdierne f(x 0),, f(x N ) Integrtionerne må så pproksimeres: c k = π Vi ser, t d N k = d k, idet π 0 f(x)e ikx dx erstttes med d k = N N j=0 e i(n k)xj = e ikxj e inxj = e ikxj e πij = e ikxj f(x j )e ikxj Følgen d 0,, d N kldes den diskrete Fourier trnsformtion f y 0,, y N ; den tilsvrende pproksimtion p N til signlet f er givet ved d 0 + m k= p N (x) = (d ke ikx + d N k e ikx ) når N =m, d 0 + m k= (d ke ikx + d N k e ikx )+d m cos mx når N =m Det er nemt t se, t p N er reel når f(x 0 ),, f(x N ) er reelle En udregning viser, t p N (x j )=f(x j ) for j =0,, N Det kn vises, t p N er den entydige funktion i S N (C), som opfylder dette Det kn også vises, når f er periodisk og kontinuert, t p N konvergerer mod f når N Ld os skrive og y j = f(x j ); så er og dvs hvor d 0 d N ω N = e πi N = cos π N i sin π N, = N d k = N N j=0 y j ω jk N, ω N ω N N ω N N ω (N ) N d = N F Ny, d =[d 0 d N ] T, y =[y 0 y N ] T, y 0 y N og F N Mt N,N (C) er en N N kompleks mtrix med (i, j) te indgng for i, j N ω (i )(j ) N, 7

4 SEKTION 7 FOURIERANALYSE Fst Fourier Trnsform Når N er stor er mtrixmultipliktionen F N y ret tidskrævende; en direkt udregning kræver N multipliktioner f komplekse tl, så 4N multipliktioner f reelle tl, (forend en msse dditioner; men d ddition kræver meget mindre tid end multipliktion, vil vi nøjes med ntllet f multipliktioner som et mål for tidsforbruget) D N er typisk over en million er dette et problem Ld være givet ved σ m : {,, m} {,, m} σ m(p + ) = p +for p =0,, m,σ m(q) =m + q for q =,, m σ m er en permuttion; den ssocierede permuttionsmtrix er Hvis A =[,, m ] er en n m mtrix er P m = P σm =[e, e 3,, e m, e,, e m ] AP m =[, 3,, m,,, m ] så ωm ω m m ω m ω m m F m P m = ; ω (m ) m ω (m )(m ) m ωm m ω (m ) F m D m F m = F m D m F m hvor D m er en m m digonlmtrix, med digonlindgngene,ω m,, ωm m t og ω m m =, ω m+j m Udregningen med m =og m =4giver ideen: F = F 4 = i i,f 4P 4 = i i = ωj m,ωm m =, ω m = ω m F = [ ] ; [ ] = F P,D = [ ] ; i i,d = i i [ ] 0 0 i ; der bruges her, 8

5 SEKTION 7 FOURIERANALYSE Vi hr F m y =F m P m (P m ) y =(F m P m )(P m ) T y F m = F m D m F m D m F m y 0 y m y y m fordi (P m ) T y =(y T P m ) T, så fås f y ved t permutere indgngene mh σ m Ld os sige, t der bruges M m reelle multipliktioner til t beregne F m z for z C m Så beregnes F m y fr ovenstående med M m reelle multipliktioner y 0 y (for F m og F m ) y m y m og m kompleks multipliktioner (når der gnges med D m ), dvs M m +4m reelle multipliktioner i lt For m = k fås successivt Det ses ved induktion t M =0, M = = 4, M 4 = 4+4 = 6, M 8 = = 48, M 6 = = 8, M k = k k+ (dette psser når k =0; og hvis det psser for k så er og det psser for k +) M k+ = M k +4 k =k k+ + k+ =(k + ) k+, Metoden kldes "Fst Fourier Trnsform"(FFT) Den blev egentligt opfundet f Guss i 805, men genopfindelsen ved Cooley og Tukey i 965 hr været fgørende; uden den, ingen CD er, ingen mp3 er Metoden er meget hurtigere end den direkte udregning: den direkte udregning f F my kræver 4 ( k ) = k+ reelle multipliktioner, mens FFT metoden kræver k k+ reelle multipliktioner, så er k+ /(k k+ )= k+ /k gnge hurtigere Feks hvis k = 0 (så k = ) er FFT /0 = 0 /0 gnge hurtigere, dvs mere end gnge hurtigere 9

6 SEKTION 7 GRAM-SCHMIDT-PROCESSEN 7 Grm-Schmidt-processen Vi hr set, t det er meget prktisk t kunne ngive en ortonormlbsis for et indre-produkt rum, eller et underrum derf Vi ser her, hvordn en ortonorml bsis kn konstrueres med udgngspunkt i en vilkårlig bsis Sætning 7 ([L], 56) Ld V være et indre-produkt rum; skriv, for indre-produktet Ld {x,, x n } være en bsis for V Definer u = x x, og definer u,, u n rekursivt ved hvor u k+ = x k+ p k (x k+ p k ), p k = x k+, u u + + x k+, u k u k, den ortogonle projektion f x k+ på Spn(u,, u k ) D er {u,, u k } en ortonorml bsis for Spn(x,, x k ), for k =,, n; specielt er {u,, u n } en ortonorml bsis for V Skriv S k = Spn(x,, x k ) for k =,, n Det er klrt, t Spn(u ) = Spn(x )=S, og t {u } er en ortonorml bsis for S Antg induktivt, t u,, u k, k < n, er konstruerede, og t {u,, u k } er en ortonorml bsis for S k Ld p k være projektionen f x k+ på S k, så (Sætning 644) p k = x k+, u u + + x k+, u k u k D p k S k kn p k skrives som lineær kombintion f x,, x k : og p k = c x + + c k x k, x k+ p k = x k+ c x c k x k D x,, x k+ er ufhængige, er x k+ p k 0 (fordi højresiden f ( ) er en ikke-triviel lineær kombintion f x,, x k+ ) Bemærk også, t x k+ p k Spn(x,, x k+ )= S k+ Ifølge Sætning 644 er x k+ p k Sk, så x k+ p k u i for i =,, k Ld nu u k+ = x k+ p k (x k+ p k ) Så er {u,, u k+ } ortonorml og indeholdt i S k+ D u,, u k+ er k +ufhængige elementer i rummet S k+ f dimension k +udgør de en bsis; og {u,, u k+ } er en ortogonl bsis for S k+ Induktionsskridtet er tget, og resulttet dermed bevist ( ) 0

7 SEKTION 7 GRAM-SCHMIDT-PROCESSEN Eksempel 7 (Exmple, s 75 i [L]) Find en ortonorml bsis for P 3 (R) mht det indre produkt p, q = 3 p(x i )q(x i ), i= hvor x =, x =0, og x 3 = (At dette er et indre produkt vises på s 46 i [L]) Vi tger udgngspunktet i bsen {, x, x }, =3, så u = 3 Vi hr p = x, 3 3 ; = ( ) 3 =0, så x p = x og x p = x, x = =, og u = x Vi hr p = x, x, x x = x = 3 Nu beregnes x 3 = x 3,x 3 =(x 3 ) x= +(x 3 ) x=0 +(x 3 ) x= = = 3 Så u 3 = x /3 (x 3 /3) = (x 3 ) Eksempel 73 Find en ortonorml bsis for W = Ld Vi ser, t x x x 3 x 4 R4 x + x x 3 + x 4 =0 v = W = Spn (v ), så det er nok t finde en ortonorml bsis {u,, u 4 } for R 4, med u = v v ; så er {u, u 3, u 4 } en ortonorml bsis for W Vi vil derfor tge udgngspunkt i en bsis for R 4 med første vektor v

8 SEKTION 7 GRAM-SCHMIDT-PROCESSEN Eksempel 73, fortst Med bgtnken, t vi søger vektorer ortogonle til v, vælges 0 0 v = 0, v 3 = 0 ; og v 4 = {v,, v 4 } er en bsis for R 4, idet en rækkereduktion viser p = v, u u =0 u = 0, så [v, v, v 3, v 4 ] I u = v u = 0 u = v v = 0 0 p = v 3, u u + v 3, u u =0 u +0 u = 0, så u 3 = v 3 v 3 = 0 0 p 3 = v 4, u u + v 4, u u + v 4, u 3 u 3 = 0 u +0 u u 3 = 0 0 /5 0 = /5 /5, 3/5 så og u 4 = v 4 p 3 = v 4 p 3 (v 4 p 4 )= /5 /5 /5 /5 = 5 0/5 5 = 0

9 SEKTION 7 GRAM-SCHMIDT-PROCESSEN Vi kn udlede resultter om ortogonlkomplement og projektion f Grm-Schmidt-processen: Korollr 74 Enhver ortonorml mængde i et indre-produkt rum kn udvides til en ortonorml bsis Ld dim V = n Antg, t {u,, u k } V er ortonorml {u,, u k } kn udvides til en bsis {u,, u k, v,, v n k } f V; når Grm-Schmidt-processen nvendes på denne bsis fås en bsis {u,, u k, u k+,, u n } som udvider {u,, u k } Korollr 75 Ld V være et indre-produkt rum f dimension n Ld S være et underrum () dim S = n dim S () (S ) = S (3) Hvis S {0},V, og {x,, x r } er en bsis for S, {x r+,, x n } en bsis for S, så er {x,, x n } en bsis for V (4) V = S S for (): Resulttet er klrt, når S = {0} eller V, idet {0} = V og V = {0} Hvis S {0}, V, ld {u,, u r } være en ortonorml bsis for S, og udvid til en ortonorml bsis {u,, u n } for V Vi påstår, t {u r+,, u n } er en bsis for S D u r+,, u n er ufhængige, er det nok t se, t de udspænder S Vi hr x S x s for lle s S x α u + + α r u r for lle α,, α r K x u,, x u r Ifølge Sætning 648 kn vi skrive x = c u + c n u n, hvor c i = x, u i Så Så dim S = n r, som påstået x S c =0,, c r =0 x = c r+ u r+ + + c n u n x Spn(u r+,, u n ) erne for (), (3), (4) er som i Sætning 57, (), Sætning 58 og Sætning 59; der erstttes bre sklrprodukt med indre produkt Detljer overldes til Jer 3

10 SEKTION 7 GRAM-SCHMIDT-PROCESSEN Ld V være et indre-produkt rum, S et underrum Den entydige opskrivning v = P S (v)+w med P S (v) S, w S definer en fbildning P S : V V Læg mærke til, t v P S (v) S ; P S (v) er bestemt f dette Proposition 76 P S S = I S : S S P S (V )=S 3 P S er en lineær trnsformtion Dette kn bevises som i Proposition 5, eller vi kn bruge, hvis dim S< og {s,, s k } er en ortonorml bsis for S, t (ifølge Sætning 644);,,3 følger nemt P S (v) = v, s s + + v, s k s k Vi kn nu vise, t et indre produkt i et endelig-dimensionlt indre produkt rum ltid er induceret f sklrproduktet mh en bsis Proposition 77 Ld V være et indre produkt rum f dimension n; skriv, for indre produktet Ld U = {u,, u n } være en ordnet ortonorml bsis for V Så er, =, U Ld v, w V Skriv v = u + + n u n, w = b u + + b n u n med i,b j K R-tilfælde : Ifølge Sætning 649 er v, w = n j= jb j, mens så v, w = v, w U v, w U = ([v] U ) T [w] U =[,, n ] b b n C-tilfælde : Ifølge Sætning 649 er v, w = n j= jb j, mens så v, w = v, w U v, w U = ([w] U ) T [v] U =[b,, b n ] n = = j b j ; j= b j j ; j= 4

11 SEKTION 7 GRAM-SCHMIDT-PROCESSEN Hvis vi holder styr på beregningerne, kn vi få en mtrixfktorisering ud f Grm-Schmidtprocessen Sætning 78 ([L], 56) (QR-fktorisering) Ld A Mt m,n (K), hvor K er R eller C; ntg, t rng A = n Så er A = QR, hvor Q Mt m,n (K) hr ortonormle søjlevektorer mht sklrproduktet i K m, og R Mt n,n (K) er en øvre trekntsmtrix med lle digonlindgnge reelle og positive Ld {,, n } være søjlerne i A; d disse er ufhængige, er de en bsis for Spn(,, n ) Vi nvender Grm-Schmidt-processen og definerer successivt q =, q k+ = k+ p k ( k+ p k ) for k =,,, n, hvor p k = k+, q q + + k+, q k q k Ld r =, r kk = k p k for k =,, n, og, for i =,, k, k=,, n, { qi T r ik = k, q i = k R-tilfælde qi H k C-tilfælde Grm-Schmidt-processen omskrives til og videre til r q =, r kk q k = k r k q r k q r k,k q k for k =,, n; = r q, k = r k q + r k q + + r kk q k for k =,, n Ld nu r r r n r Q =[q,, q n ],R= Den k te søjle i QR er Q {den k te søjle i R}, dvs den k te søjle i QR =[q,, q n ] r kk 0 0 r k 0 r nn = r k q + + r kk q k = k ; så QR = A 5

12 SEKTION 7 GRAM-SCHMIDT-PROCESSEN Eksempel 79 ([L], Ex 3, s 78) Vi finder QR-dekompositionen for A = A er f rng 3, idet A kn rækkereduceres til REF med tre pivot er r = = = 5 = 5 q = r = 5 4 r =, q = 5 ( 8) = p = r q = q p = 8/5 4/5 6/5 8/5 r = p = = = 4 q = r ( p )= 5 4 = r 3 = q T 3 = 5 ( ( ) ) = r 3 = q T 3 = 5 (( ) ( ) + + ( 4) + 0) = 3 p = r 3 q + r 3 q = q q = 5 6 r 33 = 3 p = q 3 = r 33 ( 3 p )= 5 Vi hr 4 3 p = 8/5 4/5 4/5 /5 = R = 0 4,Q=

13 SEKTION 7 GRAM-SCHMIDT-PROCESSEN Bemærkning 70 Ld A være som i Sætning 78 Mtricen R f QR-dekompositionen for A er invertibel, fordi den kn rækkereduceres til REF med en pivot i hver søjle, ved t dividere dens i te række med r ii for i =,, n Sætning 7 ([L], 563) Ld A Mt m,n (R), med rng A = n; og ld A hve QR-fktorisering QR Den entydige mindste kvdrters løsning til Ax = b er ˆx = R Q T b Sætning 56 giver den entydige mindste kvdrters løsning til Ax = b som ˆx =(A T A) A T b D A = QR, er ˆx = ((QR) T QR) (QR) T b =(R T Q T QR) R T Q T b =(R T IR) R T Q T b (Lemm 648) =(R T R) R T Q T b = R (R T ) R T Q T b = R IQ T b = R Q T b Bemærkning 7 D R er næsten i REF fås løsningen nemmest ved bglæns substitution, fr ligningssystemet Rx = Q T b 7

14 SEKTION 7 GRAM-SCHMIDT-PROCESSEN Eksempel 73 ([L], Ex 4, s 80) Vi finder mindste kvdrters løsningen til x x x 3 = Vi beregnede QR-fktoriseringen f mtricen i Eksempel 79 som og mindste kvdrters løsningen er derfor ˆx = R Q T Løsningen er nemmest beregnet vi bglæns substitution, fr Rˆx = Q T 4 = = = 0 Vi må løse vi får ; x 3 = x 3 =, 4x = +x 3 =0 x =0, 5x = +x x 3 = x = 5, så /5 ˆx = 0 8

15 SEKTION 73 ORTOGONALE POLYNOMIER 73 Ortogonle polynomier Vi rbejder først med P n (F), rummet f F-polynomier f grd <n Vi ser, t dim P n (F) n; idet P n (F) er udspændt f de n elementer, x, x,, x n Hvis F hr tilstrækkelig mnge elementer er dimensionen fktisk præcis n Lemm 73 Ld x,, x n F være indbyrdes forskellige Definer, for i =,, n, L i P n (F) ved L i (x) = D er {L,, L n } en bsis for P n (F) n j=, j i (x i x j ) n j=, j i (x x j ) D dim P n (F) n er det nok t vise, t L,, L n er ufhængige Antg så, t c L + + c n L n =0 For j n fås d Men c L (x j )+ + c n L n (x j )=0 L i (x j )= { 0 i j i = j, ( ) så ( ) giver c j =0, så c =0,, c n =0og L,, L n er ufhængige Bemærkning 73 Ld f P n (F) Vi kn så skrive f = c L + + c n L n, så f(x j )=c L (x j )+ + c n L n (x j ); = c j, idet L i (x j )= { i = j 0 i j Vi hr ltså f = f(x )L + + f(x n )L n Ld nu y,, y n F Det entydige polynomium g f grd <nmed g(x i )=y i for i =,, n er g = y L + + y n L n 9

16 SEKTION 73 ORTOGONALE POLYNOMIER Andre nyttige bser findes: Lemm 733 Ld f 0,, f n P n (F) være således, t f j er f grd præcis j, for j =0,, n () P n (F) er udspændt f f 0,, f n () Hvis F hr mindst n elementer, så er {f 0,, f n } en bsis for P n (F) D () følger f () og Lemm 73 er det nok t vise () Vi viser, t f 0,, f k udspænder P k (F) for k =,, n ved induktion Udsgnet gælder når k =, fordi ethvert ikke-nul element i et rum f dimension udgør en bsis Antg induktivt, t udsgnet gælder for k < n; og ld g = c c k x k være et element f P k+ (F) Skriv f k = k x k ; d grd f k = k er k 0 g c k k f k er f grd k, så g c k k f k P k (F) og vi kn ifølge induktionsntgelsen skrive så g c k k f k = α 0 f α k f k, g = α 0 f α k f k + c k k f k Spn{f 0,, f k } Så P k+ (F) = Spn{f 0,, f k }, udsgnet gælder for k +, induktionsskridtet er tget, og beviset er fuldført Nu speciliseres til reelle polynomier Det er ofte meget prktisk t pproksimere funktioner i et intervl eller dt-punkter med polynomier Det er ofte ønskeligt, t pproksimtionen hr størst præcision på dele f intervllet; det kn rrngeres ved t nvende et indre produkt, f formen f, g = w(x)f(x)g(x) dx ( ) hvor w er en positiv kontinuert funktion, en vægtfunktion Intervllet, der rbejdes over, kn være [, b] eller [, b), (b, ], (, b), også med = og/eller b = ; men vi må sørge for, t integrlet i ( ) er veldefineret og endelig, dels ved vlg f w, dels ved vlg f funktionsrum Vi skriver I for det relevnte intervl En polynomil pproksimtion f grd n til en funktion f fås d ved t finde den ortogonle projektion f f på P n (R) mht det indre produkt ( ) Vi hr set, t denne projektion beregnes nemmest, når vi kender en ortonorml bsis for rummet, der projiceres til Definition 734 En følge p,p, P (R) \{0} med grd p i = i er en følge f ortogonle polynomier, hvis p i,p j =0for i j og en følge f ortonormle polynomier hvis også p i,p i =for lle i 30

17 SEKTION 73 ORTOGONALE POLYNOMIER Sætning 735 ([L], 57) Hvis p 0,p, P (R) \{0} er en følge f ortogonle polynomier, så gælder {p 0,, p n } er en bsis for P n (R) p n P n (R) p 0,, p n P n (R); så dette følger f Lemm 733 Ld p P n (R) Vi kn skrive p = c 0 p c n p n og p, p n = c 0 p 0,p n + + c n p n,p n = c c n 0=0, så p, p n =0for lle p P n (R), dvs p n P n (R) Ld {p 0,, p n } er en ortogonl mængde i P n (R), (mht ( )) Definer, for i =0,, n, u i = p p i i Så er {u 0,, u n } en ortonorml mængde i P n (R) Hvis f C([, b]), så er f s projektion på P n (R) mht ( ) n n f, u i u i = f, p i p i p i p i = i=0 i=0 i=0 f, p i p i p i = i=0 f, p i p i,p i p i, så kn beregnes nemt fr p 0,, p n Vi behøver ltså ikke hele tiden t sørge for ortonormlitet; ortogonlitet fungerer fint Følger f ortogonle polynomier kn beregnes rekursivt: Sætning 736 ([L], 57) Ld p 0,p, være en følge f ortogonle polynomier, skriv også p koefficienten f x i i p i Der gælder, for n 0, =0 Ld i være hvor α 0 =, γ 0 =, og α n+ p n+ (x) = (x β n+ )p n (x) α n γ n p n (x), (+) α n = n, β n = p n, xp n n p n,p n, γ n = p n,p n for n p n,p n (Læg mærke til, t en rekursiv definition f følgen mh (+) tillder, t 0,, kn vælges frit undervejs) 3

18 SEKTION 73 ORTOGONALE POLYNOMIER {p 0,, p n+ } er en bsis for P n+, så n+ xp n (x) = c nk p k (x), (3) k=0 hvor Vi hr for lle f, g P (R); så xf, g = c nk = xp n,p k p k,p k w(x)xf(x)g(x) dx = f, xg xp n,p k = p n, xp k =0for k < n, fordi xp k P k+ P n for k < n, mens p n P n Så () simplificerer til så til xp n (x) =c n,n+ p n+ (x)+c n,n p n (x)+c n,n p n (x), c n,n+ p n+ (x) =(x c n,n )p n (x) c n,n p n (x) () x n+ -leddet giver c n,n+ n+ = n ; så c n,n+ = Vi hr også og n n+ = α n+ c n,n = xp n,p n p n,p n = β n+ c n,n = xp n,p n p n,p n = p n, xp n p n,p n = xp n,p n p n,p n p n,p n p n,p n = c n,nγ n = α n γ n Denne formulering gør det reltivt nemt t udregne følger f ortogonle polynomier for prtikulære vlg f vægtfunktion Der gives mnge berømte og vigtige eksempler i bogen ([L], s 86-88) Feks betrgt det indre produkt givet ved f, g = f(x)g(x) dx Mn får den ortogonle følge P 0 (x) =, P (x) =x, P (x) = (3x ), P 3 (x) = (5x3 3x), disse kldes Legendre polynomier 3

19 SEKTION 73 ORTOGONALE POLYNOMIER En vigtig nvendelse er i numerisk integrtion For t pproksimere integrlet w(x)f(x) dx vil vi pproksimere f ved et polynomium P f grd <n, som hr de smme værdier som f ved n punkter x,, x n i intervllet I Ifølge 73 er P = n i= f(x i)l i Vi nvender w(x)p (x) dx som pproksimtion til w(x)f(x) dx: vi hr så w(x)f(x) dx w(x)p (x) dx = = f(x i ) i= A i f(x i ), i= w(x)l i (x) dx hvor A i = w(x)l i(x) dx, i =,, n, beregnes ufhængigt f f Hvis f er et polynomium f grd <n, så er f = P, noget vi så i Bemærkning 73 så w(x)f(x) dx = f(x i )A i Hvis x,, x n vælges smrt, gælder denne lighed også for højere grds polynomier Proposition 737 ([L], 573) Ld p 0,p, være en følge f ortogonle polynomier mht ( ) Så hr p n n forskellige nulpunkter i intervllet (, b) i= Ld x,, x m være nulpunkterne for p n, som ligger i (, b) og er således, t p n (x) skifter fortegn, når x i psseres D p n hr grd n, er m n Vi vil vise, t m n Vi ser, for i =,, m, t p n (x) hr en fktor (x x i ) ki, hvor k i er ulige, således t (x x i ) ki+ går ikke op i p n (x) Vi kn skrive p n (x) =(x x ) k (x x m ) km q(x), hvor q(x i ) 0for i =,, m, og hvor q(x) ikke skifter fortegn på (, b) Ld Produktet r(x) =(x x )(x x ) (x x m ) p n (x)r(x) = (x x ) k+ (x x m ) km+ q(x) involverer kun lige potenser f (x x i ) for hvert i, så skifter ikke fortegn på (, b) Så p n,r = D p n P n (R) er r/ P n (R), så m = grd r n Så m = n w(x)p n (x)r(x) dx 0 33

20 SEKTION 73 ORTOGONALE POLYNOMIER Sætning 738 Ld x,, x n være nulpunkterne for p n Så er når f P n (R) w(x)f(x) dx = i= A i f(x i ), Ld q i = { p i i =0,, n p i n p n i = n,, n q i er d et polynomium f grd i, for i =0,, n ; så ifølge Lemm 733 er {q 0,, q n } en bsis for P n (R) Vi påstår, t w(x)q j (x) dx = A i q j (x i ) for j =0,, n i= Vi hr llerede set det for j < n, d grd q j = j Hvis j n er og w(x)q j (x) dx = A i q j (x i )= i= w(x)p j n (x)p n (x) dx = p j n,p n =0, A i p n j (x i )p n (x i ) = 0, idet p n (x i )=0for i =,, n, så ligheden gælder for j n også i=0 Skriv nu f = c 0 q c n q n ; vi hr d w(x)f(x) dx = = = = n j=0 c j w(x)q j (x) dx n n c j j=0 i= i= n A i j=0 A i f(x i ) i= A i q j (x i ) c j q j (x i ) 34

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 17

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 17 Mtemtisk modellering og numeriske metoder Lektion 1 Morten Grud Rsmussen 8. november, 1 1 Numerisk integrtion og differentition [Bogens fsnit 19. side 84] 1.1 Grundlæggende om numerisk integrtion Vi vil

Læs mere

ANALYSE 1, 2014, Uge 3

ANALYSE 1, 2014, Uge 3 ANALYSE 1, 2014, Uge 3 Forelæsninger Tirsdg. Vi generliserer tlrækker til funktionsrækker ved t udskifte tllene med funktioner (TL Afsnit 12.5). Det svrer til forrige uges skridt fr tlfølger til funktionsfølger.

Læs mere

6.1 Reelle Indre Produkter

6.1 Reelle Indre Produkter SEKTION 6.1 REELLE INDRE PRODUKTER 6.1 Reelle Indre Produkter Definition 6.1.1 Et indre produkt på et reelt vektorrum V er en funktion, : V V R således at, for alle x, y V, I x, x 0 med lighed x = 0, II

Læs mere

k(k 1)(k 2)... (k n + 1) = = 12 2 = 6

k(k 1)(k 2)... (k n + 1) = = 12 2 = 6 Oversigt [S] 8.7, 8.8, 8.9 Nøgleord og begreber Binomilformlen Binomilkoefficienter Binomilrækken Tylor polynomier Vurdering f Tylor s restled Eksponentilrækken konvereger mod eksponentilfunktionen Clculus

Læs mere

Eksempel 9.1. Areal = (a 1 + b 1 )(a 2 + b 2 ) a 1 a 2 b 1 b 2 2a 2 b 1 = a 1 b 2 a 2 b 1 a 1 a 2 = b 1 b 2. Eksempel = ( 1) = 10

Eksempel 9.1. Areal = (a 1 + b 1 )(a 2 + b 2 ) a 1 a 2 b 1 b 2 2a 2 b 1 = a 1 b 2 a 2 b 1 a 1 a 2 = b 1 b 2. Eksempel = ( 1) = 10 Oversigt [LA] 9 Nem vej til rel Nøgleord og begreber Helt simple determinnter Determinnt defineret Effektive regneregler Genkend determinnt nul determinnt nul Produktreglen Inversreglen inversregel og

Læs mere

Du kan efter ønske opfatte integralet som et Riemann-integral eller et Lebesgue-integral (idet de to er identiske på C([a, b], C) jf. Theorem 11.8.

Du kan efter ønske opfatte integralet som et Riemann-integral eller et Lebesgue-integral (idet de to er identiske på C([a, b], C) jf. Theorem 11.8. Anlyse Øvelser Rsmus Sylvester Bryder. og 5. oktober 3 Supplerende opgve Ld C([, b], C) betegne rummet f lle kontinuerte funktioner f : [, b] C, hvor < b, og definér et indre produkt på C([, b], C) ved

Læs mere

For så kan de to additionsformler samles i én formel, der kan ses som et specialtilfælde af den komplekse eksponentialfunktions funktionalligning,

For så kan de to additionsformler samles i én formel, der kan ses som et specialtilfælde af den komplekse eksponentialfunktions funktionalligning, 15.1. Komplekse integrler 293 læse, og hvordn gør mn det i prksis? Men den virkelige motivtion bg begrebet bliver udst til fsnit 18.5, hvor vi viser t foldning f sndsynlighedsmål lder sig udtrykke meget

Læs mere

gudmandsen.net y = b x a Illustration 1: potensfunktioner i 5 forskellige grupper

gudmandsen.net y = b x a Illustration 1: potensfunktioner i 5 forskellige grupper gudmndsen.net Dette dokument er publiceret på http://www.gudmndsen.net/res/mt_vejl/. Ophvsret: Indholdet stilles til rådighed under Open Content License[http://opencontent.org/openpub/]. Kopiering, distribution

Læs mere

3.1 Baser og dimension

3.1 Baser og dimension SEKTION 3 BASER OG DIMENSION 3 Baser og dimension Definition 3 Lad V være et F-vektorrum Hvis V = {0}, så har V dimension 0 2 Hvis V har en basis bestående af n vektorer, så har V dimension n 3 Hvis V

Læs mere

Formelsamling til Fourieranalyse 10. udgave

Formelsamling til Fourieranalyse 10. udgave Formelsmling til Fouriernlyse. udgve Kristin Jerslev og Steven Hyden 3. oktober 9 Her følger en formelsmling lvet til kurset Fouriernlyse på Arhus Universitet. Bemærk venligst, t smlingen indeholder sætninger

Læs mere

TAL OG BOGSTAVREGNING

TAL OG BOGSTAVREGNING TAL OG BOGSTAVREGNING De elementære regnerter I mtemtik kn vi regne med tl, men vi kn også regne med bogstver, som gør det hele en smugle mere bstrkt. Først skl vi se lidt på de fire elementære regnerter,

Læs mere

Eksamen Analyse 1, Juni 2015, Besvarelse 1. Opgave 1. ( ln x) q x p dx =

Eksamen Analyse 1, Juni 2015, Besvarelse 1. Opgave 1. ( ln x) q x p dx = Eksmen Anlyse, Juni 25, Besvrelse Ld p >, q, og r. Opgve () Vis t integrlet ( ln x)r x p dx konvergerer. [Vink: Smmenlign med x s for pssende vlgt s.] ( ln x)q x p dx. [Vink: Anvend (b) Bevis formlen (

Læs mere

Pointen med Integration

Pointen med Integration Pointen med Integrtion Frnk Nsser 20. pril 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun nvendes til undervisning i klsser som bonnerer på MtBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er en

Læs mere

ANALYSE 1, 2013, Uge 2

ANALYSE 1, 2013, Uge 2 ANALYSE 1, 2013, Uge 2 Forelæsninger Denne uges tem er uendelige rækker. Tirsdg: Tlrækker. En uendelig tlrække består ligesom en uendelig tlfølge f uendelig mnge tl. Forskellen mellem de to begreber består

Læs mere

Integralregning. 2. del. 2006 Karsten Juul

Integralregning. 2. del. 2006 Karsten Juul Integrlregning del ( ( 6 Krsten Juul Indhold 6 Uestemt integrl8 6 Sætning om eksistens stmunktioner 8 6 Oplæg til "regneregler or integrl"8 6 Regneregler or uestemt integrl 9 68 Foreredelse til "integrtion

Læs mere

Om Riemann-integralet. Noter til Matematik 1

Om Riemann-integralet. Noter til Matematik 1 Om Riemnn-integrlet. Noter til Mtemtik 1 Jon Johnsen Institut for Mtemtiske Fg, Alborg Universitet Fredrik Bjers Vej 7G, 9220 Ålborg Ø 3. december 2001 1 Indledning Integrlregning går tilbge til Newtons

Læs mere

Regneregler for brøker og potenser

Regneregler for brøker og potenser Regneregler for røker og potenser Roert Josen 4. ugust 009 Indhold Brøker. Eksempler......................................... Potenser 7. Eksempler......................................... 8 I de to fsnit

Læs mere

... ... ... ... ... ... ... b > 0 og x > 0, vil vi kalde en potensfunktion. 492 10. Potensfunktioner

... ... ... ... ... ... ... b > 0 og x > 0, vil vi kalde en potensfunktion. 492 10. Potensfunktioner POTENSFUNKTIONER 0 49 0. Potensfunktioner POTENSFUNKTIONER DEFINITION En funktion med forskriften f( )= b hvor b > 0 og > 0 vil vi klde en potensfunktion. I MAT C kpitel så vi t hvis skl være et vilkårligt

Læs mere

MM501 forelæsningsslides

MM501 forelæsningsslides MM501 forelæsningsslides uge 39, 009 Produceret f Hns J. Munkholm 1 Linerisering s. 66-67 Lineriseringen f f omkring x =, er den lineære funktion, der hr tngenten som grf. Klder mn den L er forskriften

Læs mere

Mat1GB Minilex. Henrik Dahl, Hold 8. 29. maj 2003. 1 Definitioner 2

Mat1GB Minilex. Henrik Dahl, Hold 8. 29. maj 2003. 1 Definitioner 2 Mt1GB Minilex Henrik Dhl, Hold 8 29. mj 2003 Indhold 1 Definitioner 2 2 Sætninger m.v. 18 2.1 Begrænsethed, åben/lukket..................... 18 2.2 Differentition............................ 18 2.3 Differentilligninger.........................

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 8

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 8 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 8 Morten Grud Rasmussen 18. oktober 216 1 Fourierrækker 1.1 Periodiske funktioner Definition 1.1 (Periodiske funktioner). En periodisk funktion f er

Læs mere

Eksponentielle Sammenhænge

Eksponentielle Sammenhænge Kort om Eksponentielle Smmenhænge 011 Krsten Juul Dette hæfte indeholder pensum i eksponentielle smmenhænge for gymnsiet og hf. Indhold 1. Procenter på en ny måde... 1. Hvd er en eksponentiel smmenhæng?....

Læs mere

3. Vilkårlige trekanter

3. Vilkårlige trekanter 3. Vilkårlige treknter 3. Vilkårlige treknter I dette fsnit vil vi beskæftige os med treknter, der ikke nødvendigvis er retvinklede. De formler, der er omtlt i fsnittet om retvinklede treknter, kn ikke

Læs mere

Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. Integrationsprincippet og Keplers tønderegel

Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. Integrationsprincippet og Keplers tønderegel Integrtionsprincippet og Keplers tønderegel. side Institut for Mtemtik, DTU: Gymnsieopgve Integrtionsprincippet og Keplers tønderegel Littertur: H. Elrønd Jensen, Mtemtisk nlyse, Institut for Mtemtik,

Læs mere

9.1 Egenværdier og egenvektorer

9.1 Egenværdier og egenvektorer SEKTION 9.1 EGENVÆRDIER OG EGENVEKTORER 9.1 Egenværdier og egenvektorer Definition 9.1.1 1. Lad V være et F-vektorrum; og lad T : V V være en lineær transformation. λ F er en egenværdi for T, hvis der

Læs mere

Elementær Matematik. Vektorer i planen

Elementær Matematik. Vektorer i planen Elementær Mtemtik Vektorer i plnen Køge Gymnsium 0 Ole Witt-Hnsen Indhold. Prllelforskydninger i plnen. Vektorer.... Sum og differens f to vektorer... 3. Multipliktion f vektor med et tl...3 4. Opløsning

Læs mere

UGESEDDEL 52. . Dette gøres nedenfor: > a LC

UGESEDDEL 52. . Dette gøres nedenfor: > a LC UGESEDDE 52 Opgve 1 Denne opgve er et mtemtisk eksempel på Ricrdo s én-fktor model, der præsenteres i Krugmn & Obstfeld kpitel 2 side 12-19. Denne model beskriver hndel som et udslg f komprtive fordele

Læs mere

1 Plan og rumintegraler

1 Plan og rumintegraler 1 PLAN OG RUMINTEGRALER 1 1 Pln og rumintegrler Ligesom for funktioner f en vribel kn mn for kontinuerte funktioner f flere vrible definere deres integrle. Vi vil her kun beskæftige os med funktioner f

Læs mere

Arctan x = x x3 3 + x5 (En syvende berømt række er binomialrækken, [S] 8.8.) Eksempel

Arctan x = x x3 3 + x5 (En syvende berømt række er binomialrækken, [S] 8.8.) Eksempel Oversigt [S] 8.5, 8.6, 8.7, 8.0 Nøgleord og begreber Seks berømte potensrækker Potensrække Konvergensrdius Differentition og integrtion f potensrækker Tylor og McLurin rækker August 00, opgve 4 Den geometriske

Læs mere

Ny Sigma 9, s Andengradsfunktioner med regneforskrift af typen y = ax + bx + c, hvor a 0.

Ny Sigma 9, s Andengradsfunktioner med regneforskrift af typen y = ax + bx + c, hvor a 0. Ny Sigm 9, s 110 Andengrdsfunktioner med regneforskrift f typen y = x + x + c, hvor 0 Lineære funktioner (førstegrdsfunktioner) med regneforskrift f typen y = αx + β Grfen for funktioner f disse typer

Læs mere

Potens- sammenhænge. inkl. proportionale og omvendt proportionale variable. 2010 Karsten Juul

Potens- sammenhænge. inkl. proportionale og omvendt proportionale variable. 2010 Karsten Juul Potens- smmenhænge inkl. proportionle og omvendt proportionle vrible 010 Krsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse f hæftet "Eksponentielle smmenhænge, udgve ". Indhold 1. Hvd er en potenssmmenhæng?...1.

Læs mere

1 1 t 10 1. ( ) x 2 4. + k ================= sin( x) + 4 og har graf gennem (0,2), dvs F(0) = 2. + 4x + k

1 1 t 10 1. ( ) x 2 4. + k ================= sin( x) + 4 og har graf gennem (0,2), dvs F(0) = 2. + 4x + k 0x-MA (0.0.08) _ opg (3:07) Integrtion ved substitution ( x + 7) 9 t x + 7 > t 9 t 0 + k 0 0 ( x + 7)0 + k b) x x + 4 t x + 4 > 3 x t t t x 3 t x x + k 3 t t + k ( ) x 4 3 x + 4 + + k c) cos( x)

Læs mere

Potens regression med TI-Nspire

Potens regression med TI-Nspire Potensvækst og modellering - Mt-B/A 2.b 2007-08 Potens regression med TI-Nspire Vi tger her udgngspunkt i et eksempel med tovværk, hvor mn får oplyst en tbel over smmenhængen mellem dimeteren (xdt) i millimeter

Læs mere

Matematik B-A. Trigonometri og Geometri. Niels Junge

Matematik B-A. Trigonometri og Geometri. Niels Junge Mtemtik B-A Trigonometri og Geometri Niels Junge Indholdsfortegnelse Indledning...3 Trigonometri...3 Sinusreltionen:...6 Cosinusreltionen...7 Dobbeltydighed...7 Smmendrg...8 Retvinklede treknter...8 Ikke

Læs mere

Retningslinjer for bedømmelsen Georg Mohr-Konkurrencen runde

Retningslinjer for bedømmelsen Georg Mohr-Konkurrencen runde Retningslinjer for bedømmelsen Georg Mohr-Konkurrencen 016. runde Besvrelser som flder uden for de løsninger som ligger til grund for pointskemerne, bedømmes ved nlogi så skridt med tilsvrende vægt i den

Læs mere

Polynomier. Indhold. Georg Mohr-Konkurrencen. 1 Polynomier 2. 2 Polynomiumsdivision 4. 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6

Polynomier. Indhold. Georg Mohr-Konkurrencen. 1 Polynomier 2. 2 Polynomiumsdivision 4. 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6 Indhold 1 Polynomier 2 Polynomier 2 Polynomiumsdivision 4 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6 4 Koefficienter 8 5 Polynomier med heltallige koefficienter 9 6 Mere om polynomier med heltallige koefficienter

Læs mere

DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof

DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof Preben Alsholm Efterår 2010 1 Hovedpunkter fra forårets pensum 11 Taylorpolynomium Taylorpolynomium Det n te Taylorpolynomium for f med udviklingspunkt x 0 : P

Læs mere

Polynomium Et polynomium. Nulpolynomiet Nulpolynomiet er funktionen der er konstant nul, dvs. P(x) = 0, og dets grad sættes per definition til.

Polynomium Et polynomium. Nulpolynomiet Nulpolynomiet er funktionen der er konstant nul, dvs. P(x) = 0, og dets grad sættes per definition til. Polynomier Polynomier Polynomium Et polynomium P(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 Disse noter giver en introduktion til polynomier, centrale sætninger om polynomiumsdivision, rødder og koefficienter

Læs mere

Hilbert rum. Chapter 3. 3.1 Indre produkt rum

Hilbert rum. Chapter 3. 3.1 Indre produkt rum Chapter 3 Hilbert rum 3.1 Indre produkt rum I det følgende skal vi gøre brug af komplekse såvel som reelle vektorrum. Idet L betegner enten R eller C minder vi om, at et vektorrum over L er en mængde E

Læs mere

Lektion 6 Bogstavregning

Lektion 6 Bogstavregning Lektion Bogstvregning Formler... Reduktion... Ligninger... Lektion Side 1 Formler En formel er en slgs regne-opskrift, hvor mn med bogstver viser, hvorledes noget skl regnes ud. F.eks. formler til beregning

Læs mere

DesignMat. Preben Alsholm. September Egenværdier og Egenvektorer. Preben Alsholm. Egenværdier og Egenvektorer

DesignMat. Preben Alsholm. September Egenværdier og Egenvektorer. Preben Alsholm. Egenværdier og Egenvektorer DesignMat September 2008 fortsat Eksempel : et Eksempel 4 () af I II uden I Lad V være et vektorrum over L (enten R eller C). fortsat Eksempel : et Eksempel 4 () af I II uden I Lad V være et vektorrum

Læs mere

Lektion 7s Funktioner - supplerende eksempler

Lektion 7s Funktioner - supplerende eksempler Lektion 7s Funktioner - supplerende eksempler Oversigt over forskellige tper f funktioner Omvendt proportionlitet og hperler.grdsfunktioner og prler Eksponentilfunktioner Potensfunktioner Lektion 7s Side

Læs mere

Matematikkens mysterier - på et højt niveau. 3. Differentialligninger

Matematikkens mysterier - på et højt niveau. 3. Differentialligninger Mtemtikkens msterier - på et højt niveu f Kenneth Hnsen 3. Differentilligninger N N N 3 A A k k Indholdsfortegnelse 3. Introduktion 3. Dnmiske sstemer 3 3.3 Seprtion f de vrible 8 3.4 Vækstmodeller 8 3.5

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 12

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 12 Mtemtisk modellering numeriske metoder Lektion 12 Morten Grud Rsmussen 21. oktober, 213 1 Prtielle differentilligninger 1.1 Løsning f vrmeligningen vh. Fourierrækker [Bens sektion 12.6 på side 558] Vi

Læs mere

1.1 Legemer. Legemer er talsystemer udstyret med addition og multiplikation, hvor vi kan regner som vi plejer at gøre med de reelle tal.

1.1 Legemer. Legemer er talsystemer udstyret med addition og multiplikation, hvor vi kan regner som vi plejer at gøre med de reelle tal. SEKTION 11 LEGEMER 11 Legemer Legemer er talsystemer udstyret med addition og multiplikation, hvor vi kan regner som vi plejer at gøre med de reelle tal Definition 111 Et legeme F er en mængde udstyret

Læs mere

Trigonometri. Matematik A niveau

Trigonometri. Matematik A niveau Trigonometri Mtemtik A niveu Arhus Teh EUX Niels Junge Trigonometri Sinus Cosinus Tngens Her er definitionen for Cosinus Sinus og Tngens Mn kn sige t osinus er den projierede på x-ksen og sinus er den

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 5

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 5 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 5 Morten Grud Rasmussen 19. september, 2013 1 Euler-Cauchy-ligninger [Bogens afsnit 2.5, side 71] 1.1 De tre typer af Euler-Cauchy-ligninger Efter at

Læs mere

Diverse. Ib Michelsen

Diverse. Ib Michelsen Diverse Ib Michelsen Ikst 2008 Forsidebilledet http://www.smtid.dk/visen/billede.php?billedenr69 Version: 0.02 (2-1-2009) Diverse (Denne side er A-2 f 32 sider) Indholdsfortegnelse Regning med procent

Læs mere

Differentialregning. integralregning

Differentialregning. integralregning Differentilregning og integrlregning Ib Micelsen Ikst 013 Indoldsfortegnelse Tegneøvelser...3 Introduktion... Definition f differentilkvotient og tngent...6 Tngentældninger...7 Den fledte funktion...7

Læs mere

Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3

Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3 Oversigt [LA], 2, 3, [S] 9.-3 Nøgleord og begreber Koordinatvektorer, talpar, taltripler og n-tupler Linearkombination Underrum og Span Test linearkombination Lineær uafhængighed Standard vektorer Basis

Læs mere

Matematikkens sprog INTRO

Matematikkens sprog INTRO Mtemtikkens sprog Mtemtik hr sit eget sprog, der består f tl og symboler fx regnetegn, brøkstreger bogstver og prenteser På mnge måder er det ret prktisk - det giver fx korte måder t skrive formler på.

Læs mere

Fremkomsten af mængdelæren. Stig Andur Pedersen

Fremkomsten af mængdelæren. Stig Andur Pedersen Fremkomsten f mængdelæren Stig Andur Pedersen 1 Fourier række for f(x)=x x n 1 ( 1) 2 sin( nx) n n= 1 sin(2 x) sin(3 x) sin(4 x) = 2 sin( x) + + 2 3 4 De første 15 led er tget med på kurven. 2 Fourierrække

Læs mere

Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk. Erik Vestergaard, 2009.

Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk. Erik Vestergaard, 2009. Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk Erik Vestergrd, 009. Billeder: Forside: Collge f billeder: istock.com/titoslck istock.com/yuri Desuden egne fotos og illustrtioner Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk

Læs mere

INTEGRALREGNING. Opgaver til noterne kan findes her. PDF. Facit til opgaverne kan hentes her. PDF. Version: 5.0

INTEGRALREGNING. Opgaver til noterne kan findes her. PDF. Facit til opgaverne kan hentes her. PDF. Version: 5.0 INTEGRALREGNING Version: 5.0 Noterne gennemgår egreerne: integrl og stmfunktion, og nskuer dette som et redsk til estemmelse f l.. reler under funktioner. Opgver til noterne kn findes her. PDF Fcit til

Læs mere

Kort om Potenssammenhænge

Kort om Potenssammenhænge Øvelser til hæftet Kort om Potenssmmenhænge 2011 Krsten Juul Dette hæfte indeholder bl.. mnge småspørgsmål der gør det nemmere for elever t rbejde effektivt på t få kendskb til emnet. Indhold 1. Ligning

Læs mere

Spil- og beslutningsteori

Spil- og beslutningsteori Spil- og eslutningsteori Peter Hrremoës Niels Brock 26. novemer 2 Beslutningsteori De økonomiske optimeringssitutioner, vi hr set på hidtil, hr været helt deterministiske. Det vil sige t vores gevinst

Læs mere

Michel Mandix (2017) Derfor er der behov for en række værktøjer, som kan bruges også til de vilkårlige trekanter. a b c A B C

Michel Mandix (2017) Derfor er der behov for en række værktøjer, som kan bruges også til de vilkårlige trekanter. a b c A B C Mihel Mndix (07) Sinusreltionen Nott Side f 9 Sinusreltionen Indtil videre, er der kun eskrevet, hvordn mn eregner på retvinklede treknter. Men desværre er det lngtfr lle treknter, som er retvinklede.

Læs mere

9 Geodætiske kurver og Gauss-krumning

9 Geodætiske kurver og Gauss-krumning 9 Geodætiske kurver og Guss-krumning 9. Geodætiske kurver En ret linie i plnen fr punktet p til punktet q hr den egenskb t enhver nden kurve fr p til q hr kurvelængde som er mindst p q. Et stykke f en

Læs mere

4.1 Lineære Transformationer

4.1 Lineære Transformationer SEKTION 41 LINEÆRE TRANSFORMATIONER 41 Lineære Transformationer Definition 411 ([L], s 175) Lad V, W være F-vektorrum En lineær transformation L : V W er en afbildning, som respekterer lineær struktur,

Læs mere

Fælles for disse typer af funktioner er, at de som grundfunktion indeholder varianter af udtrykket x a.

Fælles for disse typer af funktioner er, at de som grundfunktion indeholder varianter af udtrykket x a. 5. FORSKRIFT FOR EN POTENSFUNKTION Vi hr i vores gennemgng f de forskellige funktionstper llerede være inde på udtrk, som indeholder forskellige potenser f I dette kpitel skl vi se på forskellige tper

Læs mere

Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec.

Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. 1 Komplekse vektorrum I defininitionen af vektorrum i Afsnit 4.1 i Niels Vigand Pedersen Lineær Algebra

Læs mere

Lineær Algebra F08, MØ

Lineær Algebra F08, MØ Lineær Algebra F08, MØ Vejledende besvarelser af udvalgte opgaver fra Ugeseddel 3 og 4 Ansvarsfraskrivelse: Den følgende vejledning er kun vejledende. Opgaverne kommer i vilkårlig rækkefølge. Visse steder

Læs mere

Tidligere Eksamensopgaver MM505 Lineær Algebra

Tidligere Eksamensopgaver MM505 Lineær Algebra Institut for Matematik og Datalogi Syddansk Universitet Tidligere Eksamensopgaver MM55 Lineær Algebra Indhold Typisk forside.................. 2 Juni 27.................... 3 Oktober 27..................

Læs mere

Regneregler. 1. Simple regler for regning med tal.

Regneregler. 1. Simple regler for regning med tal. Regneregler. Simple regler for regning med tl. Vi rejder l.. med følgende fire regningsrter: plus (), minus ( ), gnge () og dividere (: eller røkstreg, se senere), eller med fremmedord : ddition, sutrktion,

Læs mere

TAL OG REGNEREGLER. Vi ser nu på opbygningen af et legeme og noterer os samtidig, at de reelle tal velkendte regneoperationer + og er et legeme.

TAL OG REGNEREGLER. Vi ser nu på opbygningen af et legeme og noterer os samtidig, at de reelle tal velkendte regneoperationer + og er et legeme. TAL OG REGNEREGLER Inden for lgeren hr mn indført egreet legeme. Et legeme er en slgs konstruktion, hvor mn fstsætter to regneregler og nogle sætninger (ksiomer), der gælder for disse. Pointen med en sådn

Læs mere

Lineær Algebra eksamen, noter

Lineær Algebra eksamen, noter Lineær Algebra eksamen, noter Stig Døssing, 20094584 June 6, 2011 1 Emne 1: Løsninger og least squares - Løsning, ligningssystem RREF (ERO) løsninger Bevis at RREF matrix findes Løsninger til system (0,

Læs mere

Kalkulus 2 - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger

Kalkulus 2 - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger Kalkulus - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger Mads Friis 8. januar 05 Indhold Grundlæggende uligheder Grænseovergange 3 3 Kontinuitet 9 4 Følger 0 5 Perspektivering 4 Grundlæggende uligheder Sætning

Læs mere

Heisenbergs usikkerhedsrelationer. Abstrakt. Hvorfor? Funktionsrum. Nils Byrial Andersen Institut for Matematik. Matematiklærerdag 2013

Heisenbergs usikkerhedsrelationer. Abstrakt. Hvorfor? Funktionsrum. Nils Byrial Andersen Institut for Matematik. Matematiklærerdag 2013 Heisenbergs usikkerhedsrelationer Nils Byrial Andersen Institut for Matematik Matematiklærerdag 013 1 / 17 Abstrakt Heisenbergs usikkerhedsrelationer udtrykker at man ikke på samme tid både kan bestemme

Læs mere

Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix.

Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix. Oversigt [LA] 3, 4, 5 Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse matricer Test invers

Læs mere

Nøgleord og begreber. Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix.

Nøgleord og begreber. Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix. Oversigt [LA] 3, 4, 5 Matrix multiplikation Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse

Læs mere

hvor A er de ydre kræfters arbejde på systemet og Q er varmen tilført fra omgivelserne til systemet.

hvor A er de ydre kræfters arbejde på systemet og Q er varmen tilført fra omgivelserne til systemet. !#" $ "&% (')"&*,+.-&/102%435"&6,+879$ *1')*&: or et system, hvor kun den termiske energi ændres, vil tilvæksten E term i den termiske energi være: E term A + Q hvor A er de ydre kræfters rbejde på systemet

Læs mere

Integrationsteknikker

Integrationsteknikker Integrtionsteknikker Frnk Vill. jnur 14 Dette dokument er en del f MtBog.dk 8-1. IT Teching Tools. ISBN-13: 978-87-9775--9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion 1 Numerisk integrtion.1

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 4

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 4 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 4 Morten Grud Rasmussen 17. september, 013 1 Homogene andenordens lineære ODE er [Bogens afsnit.1] 1.1 Linearitetsprincippet Vi så sidste gang, at førsteordens

Læs mere

z 1 = z 1z 1z 1 z 1 2 = z z2z 1 z 2 2

z 1 = z 1z 1z 1 z 1 2 = z z2z 1 z 2 2 M å l e p u n k t R i e m a n n s k G e o m e t r i E 8 J a ko b L i n d b l a d B l a ava n d 2 5 3 6 7 5 27 oktober 28 I n s t i t u t fo r M at e m at i s k e Fag A a r h u s U n i v e r s i t e t indledning

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C POTENS-SAMMENHÆNG

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C POTENS-SAMMENHÆNG ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C POTENS-SAMMENHÆNG INDHOLDSFORTEGNELSE 1 Formelsmling... side 2 Uddbning f visse formler... side 3 2 Grundlæggende færdigheder... side 5 2 Finde konstnterne og b i en formel...

Læs mere

Københavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet. Afleveringsopgave 1

Københavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet. Afleveringsopgave 1 Københavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet 1 Lineær Algebra (LinAlg) Afleveringsopgave 1 Eventuelle besvarelser laves i grupper af - 3 personer og afleveres i to eksemplarer med 3 udfyldte

Læs mere

Skriftlig eksamen Vejledende besvarelse MATEMATIK B (MM02)

Skriftlig eksamen Vejledende besvarelse MATEMATIK B (MM02) SYDDANSK UNIVERSITET ODENSE UNIVERSITET INSTITUT FOR MATEMATIK OG DATALOGI Skriftlig eksamen Vejledende besvarelse MATEMATIK B (MM2) Fredag d. 2. januar 22 kl. 9. 3. 4 timer med alle sædvanlige skriftlige

Læs mere

Elementær Matematik. Algebra Analytisk geometri Trigonometri Funktioner

Elementær Matematik. Algebra Analytisk geometri Trigonometri Funktioner Elementær Mtemtik Alger Anlytisk geometri Trigonometri Funktioner Ole Witt-Hnsen Køge Gymnsium 0 Indhold Indhold... Kp. Tl og regning med tl.... De nturlige tl.... Regneregler for nturlige tl.... Kvdrtsætningerne.....

Læs mere

Besvarelse, Eksamen Analyse 1, 2013

Besvarelse, Eksamen Analyse 1, 2013 Københavns Universitet Prøve ved Det naturvidenskabelige Fakultet juni 23 Besvarelse, Eksamen Analyse, 23 Opgave Lad, for n N, funktionen f n : [, ) R være givet ved NB. Trykfejl. Burde være x. f n (x)

Læs mere

Oversigt [LA] 3, 4, 5

Oversigt [LA] 3, 4, 5 Oversigt [LA] 3, 4, 5 Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse matricer Test invers

Læs mere

Oversigt [LA] 11, 12, 13

Oversigt [LA] 11, 12, 13 Oversigt [LA] 11, 12, 13 Nøgleord og begreber Ortogonalt komplement Tømrerprincippet Ortogonal projektion Projektion på 1 vektor Projektion på basis Kortest afstand August 2002, opgave 6 Tømrermester Januar

Læs mere

Krumningsradius & superellipsen

Krumningsradius & superellipsen Krumningsrdius & suerellisen Side /5 Steen Toft Jørgensen Krumningsrdius & suerellisen Formålet med dette mini-rojekt er t erhverve mtemtisk viden om krumningsrdius f en kurve og nvende denne viden å det

Læs mere

Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3

Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3 Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3 Nøgleord og begreber Koordinatvektorer, talpar, taltripler og n-tupler Linearkombination Underrum og Span Test linearkombination Lineær uafhængighed Standard vektorer Basis

Læs mere

Besvarelses forslag til Tag-hjemeksamen Vinteren 02 03

Besvarelses forslag til Tag-hjemeksamen Vinteren 02 03 IMFUFA Carsten Lunde Petersen Besvarelses forslag til Tag-hjemeksamen Vinteren 02 0 Hvor ikke andet er angivet er henvisninger til W.R.Wade An Introduction to analysis. Opgave a) Idet udtrykket e x2 cos

Læs mere

Definition. og lœngden, normen. og afstanden mellem vektorer a og b. Der gælder

Definition. og lœngden, normen. og afstanden mellem vektorer a og b. Der gælder Oersigt [LA],, Prikprodkt Nøgleord og begreber Ortogonlitet Ortogonlt komplement Tømrerprincippet Ortogonl projektion Pthgors formel Kortest fstnd Agst 00, opge 6 Cch-Schwrz lighed For ektorer =,..., n,

Læs mere

Geometrinoter 2. Brahmaguptas formel Arealet af en indskrivelig firkant ABCD kan tilsvarende beregnes ud fra firkantens sidelængder:

Geometrinoter 2. Brahmaguptas formel Arealet af en indskrivelig firkant ABCD kan tilsvarende beregnes ud fra firkantens sidelængder: Geometrinoter 2, jnur 2009, Kirsten Rosenkilde 1 Geometrinoter 2 Disse noter omhndler sætninger om treknter, trekntens ydre røringscirkler, to cirklers rdiklkse smt Simson- og Eulerlinjen i en treknt.

Læs mere

Differential-kvotient. Produkt og marked - differential og integralregning. Regneregler. Stamfunktion. Lad f være en funktion - f.eks. f (x) = 2x 2.

Differential-kvotient. Produkt og marked - differential og integralregning. Regneregler. Stamfunktion. Lad f være en funktion - f.eks. f (x) = 2x 2. Differentil-kvotient Ld f være en funktion - f.eks. f (x) = 2x 2. Produkt og mrked - differentil og integrlregning Rsmus Wgepetersen Institut for Mtemtiske Fg Alborg Universitet Februry 14, 2014 Differentilkvotienten

Læs mere

Sandsynlighedsregning 5. forelæsning Bo Friis Nielsen

Sandsynlighedsregning 5. forelæsning Bo Friis Nielsen Dgens emner fsnit 3.5 og 4. oissonfordelingen Sndsynlighedsregning 5. forelæsning Bo Friis Nielsen Mtemtik og Computer Science Dnmrks Tekniske Universitet 800 Kgs. Lyngby Dnmrk Emil: bfni@dtu.dk Kontinuerte

Læs mere

Lektion 5 Det bestemte integral

Lektion 5 Det bestemte integral f(x) dx = F (b) F () Lektion 5 Det bestemte integrl Definition Integrlregningens Middelværdisætning Integrl- og Differentilregningens Hovedsætning Bereging f bestemte integrler Regneregler Arel mellem

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 16

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 16 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 16 Morten Grud Rasmussen 6. november, 2013 1 Interpolation [Bogens afsnit 19.3 side 805] 1.1 Interpolationspolynomier Enhver kontinuert funktion f på

Læs mere

Noter til Perspektiver i Matematikken

Noter til Perspektiver i Matematikken Noter til Perspektiver i Matematikken Henrik Stetkær 25. august 2003 1 Indledning I dette kursus (Perspektiver i Matematikken) skal vi studere de hele tal og deres egenskaber. Vi lader Z betegne mængden

Læs mere

DesignMat Uge 2. Preben Alsholm. Efterår Lineære afbildninger. Preben Alsholm. Lineære afbildninger. Eksempel 2 på lineær.

DesignMat Uge 2. Preben Alsholm. Efterår Lineære afbildninger. Preben Alsholm. Lineære afbildninger. Eksempel 2 på lineær. er DesignMat Uge 2 er er lineær lineær lineær lineære er I smatrix lineære er II smatrix I smatrix II Efterår 2010 Lad V og W være vektorrum over samme skalarlegeme L (altså enten R eller C for begge).

Læs mere

Algebra - Teori og problemløsning

Algebra - Teori og problemløsning Algebra - Teori og problemløsning, januar 05, Kirsten Rosenkilde. Algebra - Teori og problemløsning Kapitel -3 giver en grundlæggende introduktion til at omskrive udtryk, faktorisere og løse ligningssystemer.

Læs mere

Planintegralet. Preben Alsholm 5. maj 2008. 1.1 Integralet af en funktion af én variabel. 1, x i ] et tal t i. Summen. n f (t i ) (x i x i 1 ) R =

Planintegralet. Preben Alsholm 5. maj 2008. 1.1 Integralet af en funktion af én variabel. 1, x i ] et tal t i. Summen. n f (t i ) (x i x i 1 ) R = Plnintegrlet Preben Alsholm 5. mj 8 Plnintegrlet. Integrlet f en funktion f én vribel et bestemte integrl efinition Ld f være en funktion defineret på intervllet [ b]. Ld = x x... x n = b være en inddeling

Læs mere

- 81 - , x I. kmx. Sætningen bevises ikke her. Interesserede læsere henvises til bogen: Differentialligninger og matematiske

- 81 - , x I. kmx. Sætningen bevises ikke her. Interesserede læsere henvises til bogen: Differentialligninger og matematiske - 8 - Appendi : Logistisk vækst og integrlregning. I forbindelse med eksponentielle vækstfunktioner er der tle om en vækstform, hvor funktionens væksthstighed er proportionl med den ktuelle funktionsværdi,

Læs mere

ALGEBRA. symbolbehandling). Der arbejdes med hjælpemiddelkompetencen,

ALGEBRA. symbolbehandling). Der arbejdes med hjælpemiddelkompetencen, INTRO Alger er lngt mere end ogstvregning. Alger kn være t omskrive ogstvtrk, men lger er f også t generlisere mønstre og smmenhænge, t eskrive smmenhænge mellem tlstørrelse f i forindelse med funktioner

Læs mere

Analyse 2. Gennemgå bevis for Sætning Supplerende opgave 1. Øvelser. Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X).

Analyse 2. Gennemgå bevis for Sætning Supplerende opgave 1. Øvelser. Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X). Analyse 2 Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 3. og 6. september 2013 Gennemgå bevis for Sætning 2.10 Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X). Bevis. Der findes en injektion X P(X), fx givet ved x

Læs mere

Beregning af bestemt integrale ved partiel integration og integration ved substitution:

Beregning af bestemt integrale ved partiel integration og integration ved substitution: Beregning f estemt integrle ved prtiel integrtion og integrtion ved sustitution: f John V. Petersen Prtiel integrtion Sætning : Prtiel integrtion... si. Løsning f integrle... si. Plot f løsningsrelet...

Læs mere

Eksamensopgave august 2009

Eksamensopgave august 2009 Ib Michelsen, Viborg C / Skive C Side 1 09-04-011 1 Eksmensopgve ugust 009 Opgve 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 13 14 15 16 17 18 19 0 1 Givet ovenstående ensvinklede treknter. D treknterne er ensvinklede, er

Læs mere

Matematik. Kompendium i faget. Tømrerafdelingen. 1. Hovedforløb. a 2 = b 2 + c 2 2 b c cos A. cos A = b 2 + c 2 - a 2 2 b c

Matematik. Kompendium i faget. Tømrerafdelingen. 1. Hovedforløb. a 2 = b 2 + c 2 2 b c cos A. cos A = b 2 + c 2 - a 2 2 b c Kompendium i fget Mtemtik Tømrerfdelingen 1. Hovedforlø. Trigonometri nvendes til eregning f snd længde og snd vinkel i profiler. Sinus Cosinus Tngens 2 2 + 2 2 os A os A 2 + 2-2 2 Svendorg Erhvervsskole

Læs mere