Kap. 3: Logaritme-, eksponential- og potensfunktioner. Differential- og integralregning.

Transkript

1 Kp. 3: Logritme-, eksponentil- og potensfunktioner. Differentil- og integrlregning. 3.. Differentition f logritmefunktioner. Sætning 3... ) Enhver logritmefunktion er differentibel ) Den nturlige logritmefunktion ln opfylder: l n () = 3) En vilkårlig logritmefunktion med grundtl c opfylder: log c () = lnc Bevis: Pkt. ) og ) er bevist i Appendi (sætning A..4 og sætning A..), hvortil interesserede læsere henvises. Pkt. 3) følger direkte f pkt. ) og sætning..9. D ln() = 0,6935 og ln(0) =,3059 ser vi ifølge sætning 3.. 3), t,4470 log () = = 0,6935 og 0,4349 log () = =,3059 I forbindelse med smmensætning f funktioner (jfr. Appendi 3) gælder der følgende sætning: Sætning 3... Hvis g er en positiv, differentibel funktion, så kn f() = ln(g()) defineres, og f () = g () g() Bevis: D Dm(ln) = R + og d g() > 0 for lle Dm(g), så kn ln(g()) defineres. Ifølge reglen for differentition f smmenstte funktioner (Appendi 3, sætning A.3.0) gælder der, t: f () = ln (g()) g () = g () g () = g() g() Hermed er sætningen bevist. Eksempel Hvis f() = ln( ( + ) ), så er f () = = =

2 Differentition f eksponentilfunktioner. Sætning 3... Funktionerne e, og e k er differentible, og der gælder følgende regler: ) (e ) = e ) ( ) = ln 3) (e k ) = k e k Bevis: Ad ): Ifølge definition.. (og indledningen til fsnit.3) er e den omvendte funktion til funktionen ln(), dvs. e = ln (). Ifølge sætning 3.. er ln differentibel, og ln () = 0 for lle Dm(ln) (= R + ). Herf ser vi ifølge Appendi, sætning A..5, t e er differentibel, og t ( e ) = (ln ) () = = = = e ln (ln ()) ln (e ) e idet vi lder f i sætning A..5 svre til ln, og idet vi bytter rundt på de vribles nvne (de vrible kn som bekendt kldes hvd vi hr lyst til). Hermed er regel bevist. Ad ): Ifølge sætning.3. pkt. ) hr vi t: ln = e, hvorf det ses, t er smmenst f funktionerne: f() = e og g() = ln, idet der gælder: ln = e = f( ln) = f(g()). D både f og g er differentible, er differentibel. Og ifølge reglen for differentition f smmenstte funktioner (Appendi 3, sætning A.3.0) ses, t: ( ) = (f(g()) = f (g()) g () = e g() ( ln) = ln e ln = ln hvor vi hr nvendt regel ), smt t ln er en konstnt. Ad 3): D e k er smmenst f e og f k ses på smme måde som i beviset for pkt. ), t: (e k ) = e k (k) = e k k Hermed er sætningen bevist. Eksempel 3... Vi vil finde differentilkvotienterne f funktionerne: ) f() = 4 5 b) g() = e c) h() = 3 + Ad ): Ifølge sætning 3.. ) og simple regler for differentition får vi: f () = ln4 4 5 ln =, ,4657 Ad b): D g er smmenst f funktionerne: og e ser vi ifølge reglen for differentition f smmenstte funktioner smt sætning 3.. ), t: g () = e ( ) = e ( ) = e

3 Ad c): D h er smmenst f funktionerne: + og 3 ser vi på smme måde som i b), og ifølge sætning 3.. ), t h () = + ln Øvelse Bestem differentilkvotienten f følgende funktioner: ) f() = 8 8 b) g() = c) h() = 3,6,4 Eksempel I sætning.3. 6) blev det bevist, t er voksende, hvis >, og t er ftgende, hvis 0 < <. Dette kn vi nu også bevise v.hj.. differentilregning: Ifølge sætning 3.. ) gælder, t ( ) = ln. D > 0 for lle R + og lle R, bestemmes fortegnet for ( ) f størrelsen ln. Og denne er netop positiv eller negtiv, fhængig f om > eller 0 < <. Herf følger resulttet, idet der som bekendt gælder, t - en funktion er voksende i et intervl (hér: R + ), hvis dens differentilkvotient er positiv i intervllet - en funktion er ftgende i et intervl, hvis dens differentilkvotient er negtiv i intervllet Differentition f eksponentielle vækstfunktioner. D forskellen på en eksponentilfunktion og en eksponentiel vækstfunktion er en positiv konstnt, ses direkte f sætning 3.., t der gælder følgende sætning: Sætning De eksponentielle vækstfunktioner b e, b og b e k er differentible, og der gælder følgende regler: ) (b e ) = b e ) (b ) = b ln 3) (b e k ) = b k e k Øvelse Bestem differentilkvotienten for hver f følgende funktioner: ) f(y) = 0,6 y b) g() = 0,6 e 0,9 c) h(p) = 43,3 p Øvelse Bevis sætning.4.6 v.hj.. differentilregning. I forlængelse f sætning 3.3. og øvelse 3.3. bemærkes, t hvis f er en eksponentiel vækstfunktion givet på formen: f() = b e k, så er f () = b k e k = k f(). Funktionen f opfylder ltså, t dens differentilkvotient er lig med en konstnt gnge funktionen selv. Dette gælder i øvrigt kun for funktioner f typen b e k, idet der gælder følgende sætning:

4 Sætning Hvis en funktion f opfylder, t: f () = k f() for lle i et intervl I, hvor k er en given konstnt, k så findes der en nden konstnt b, så funktionsforskriften for f er givet ved: f() = b e, I. Bevis: Vi lver et lille trick og betrgter funktionen: f() k k k k e. Om denne funktion gælder: (f() e ) = f () e + f () e ( k) = k f () e k f () e = 0 hvor vi hr nvendt sætningen om differentition f et produkt smt forudsætningen: f () = k f(). Hvis en funktions differentilkvotient er 0 for lle, så er funktionen konstnt. Der findes ltså en k konstnt b, så f() e k = b for lle. Ved t gnge på begge sider f lighedstegnet med e får k vi, t: f() = b e, hvormed sætningen er bevist. (Detljer vedrørende eventuelle intervlendepunkter og højre- eller venstredifferentilkvotienter er udeldt f hensyn til overskueligheden). k k Eksempel Hvis det om en funktion H(p) er givet, t H (p) = 0,5 H(p) for lle p, smt t H(5) = 000, så findes der ifølge sætning en konstnt b, så H(p) = b e. Konstnten b findes ved t benytte 0,5 p oplysningen H(5) = 000 på følgende måde: 0,5 5 H(5) = 000 b e = 000 b = 985,0 Vi ser dermed i lt, t: 0,5 p H(p) = 985,0 e, p R Det overldes som en øvelse til læseren t tegne grfen for H(p) i et lmindeligt koordintsystem Øvelse Om en differentibel funktion f oplyses, t () = f () og f(3) = 00. Bestem en funktionsforskrift for f. f Betingelsen: f () = k f(), som også kn nføres således: f() k f(), når 0, siger, t funktionens væksthstighed er proportionl med den ktuelle funktionsværdi. Og det er forbvsende ofte, t denne betingelse (tilnærmelsesvist) kn siges t være opfyldt. Vi skl senere (i kpitel 4) give eksempler herpå. Eksempel I fsnit.4 blev det omtlt, t eksponentielle vækstfunktioner er de eneste funktioner, der hr konstnte reltive tilvækster svrende til bestemte bsolutte tilvækster i den ufhængige vrible, idet der gælder følgende sætning (sætning.4.), som vi nu er i stnd til t bevise: Hvis det om en positiv, ikke-konstnt, differentibel funktion f defineret i et intervl I gælder, t for f ( + h) f () en vilkårligt vlgt værdi f tilvæksten h er den reltive funktionstilvækst konstnt f () (dvs. ufhængig f ), så er f en eksponentiel vækstfunktion.

5 K h også hve en grænseværdi for h gående mod 0. h K imidlertid er ufhængig f, ser vi, t der findes en konstnt k, så: h k for h 0. h f () = k, dvs. f () = k f(). f () Beviset forløber således: f ( + h) f () For en vilkårlig vlgt værdi f tilvæksten h er brøken: konstnt, dvs. der findes en f () f ( + h) f () konstnt (et tl) K h, så = K h, hvor indeet h på K et betyder, t K fhænger f h, f () men ikke f. f ( + h) f () K h f ( + h) f () K h Ved division med h finder vi: = og dermed: =. f () h h h f () h Hvis vi lder h gå mod 0, vil venstre side f dette udtryk gå imod f (), idet f er differenti- f () bel i. Men så vil forholdet D K h h I lt får vi hermed, t: k D dette gælder for lle I får vi ifølge sætning 3.3.4, t der findes en konstnt b, så f() = b e, I. D f er forudst positiv, må der gælde, t b > 0, hvormed vi ser, t f er en eksponentiel vækstfunktion og det ønskede er bevist Differentition f potensfunktioner og potentielle vækstfunktioner. Sætning En vilkårlig potensfunktion r og en vilkårlig potentiel vækstfunktion b r er differentible, og der gælder, t: ( r ) = r r og (b r ) = b r r Bevis: Ifølge sætning.6. hr vi, t r r ln = e. Vi ser derfor, t r er smmenst f de to funktioner: f() = e og g() = r ln. D begge disse funktioner er differentible, får vi ifølge Appendi 3, sætning A.3.0, t r er differentibel, og t: ( r r ln ) = ( e r ln ) = e r r (r ln) = r = r hvormed det ønskede er vist om potensfunktionen. D den potentielle vækstfunktion blot er en konstnt gnge en potensfunktion, fås det ønskede om den potentielle vækstfunktion umiddelbrt. Hermed er sætningen bevist. Øvelse Bestem differentilkvotienten for hver f følgende funktioner: ) f() =,7 b) g() = 0,6 c) h() = 3, + 3, d) j() = (5 ),7

6 Øvelse ) Vis v.hj.. omskrivningen: =, > 0, t b) Vis v.hj.. omskrivningen: n = n, > 0, t ( ) = ( n n ) = n Eksempel Vi vil bestemme nulpunkter, monotoniforhold og værdimængde for funktionen f givet ved: ;3 f() =,8 4,, [ ] Idet > 0 hr vi: f() = 0,8 = 4,,6 ln 4 = 4,6 ln = ln4 = ep =,378,6 ;3 Tllet,378 er således det eneste nulpunkt for f, og vi bemærker, t,378 [ ] Vi finder dernæst differentilkvotienten for f: f () =,8,8 4, 0, =,8,8 4,8 0, Herf ser vi, t: f () = 0,8,8 = 4,8 0,,6 = 4,8, 8 =,6 ln = ln4,8 ln,8 ln 4,8 ln,8 ep =,40,6 ;3. For t bestemme fortegnsvritionen for f, beregnes f i et punkt Vi bemærker, t,40 [ ] <,40 og i et punkt >,40 (idet og nturligvis begge tilhører intervllet [ ;3] ). D f er en kontinuert funktion, kn den ikke skifte fortegn i intervllet ] [ Vi kn f.eks. tge = og =. Vi får her (kontrollér), t: f () = og f () = 4,36. ;,40, idet den d skulle hve et nulpunkt i dette intervl og det ved vi, t den ikke hr (vi hr jo fundet dens eneste nul- ;,40 punkt, nemlig tllet,40). D f er negtiv i tllet er den ltså negtiv i hele intervllet ] [ På smme måde ses, t f er positiv i hele intervllet ],40; 3 [. Vi får hermed følgende fortegnsvrition for f :,40 3 f () Vi ser således, t f er ftgende i [ ;,40 ] og voksende i [,40; 3 ], og t der er minimum i,40. D f er kontinuert, finder vi herefter værdimængden for f ved t beregne funktionsværdierne i,,40 og 3. Vi får t: f ( ) =,598, f(,40) = 3,44 og f(3) = 6,75. Værdimængden for f er derfor givet ved: Vm(f) = [ 3,44; 6,75 ]. Det overldes som en øvelse til læseren t skitsere grfen for f.

7 Øvelse Bevis sætning.6.4 pkt. v.hj.. differentilregning. Eksempel På figur.6. ses grferne for potensfunktionerne: 0,7, 0,5 og,88. Disse grfers forløb kn bl.. beskrives på følgende måde: 0,7 er ftgende, men hældningskoefficienten for dens tngenter bliver større og større (de er negtive men nærmer sig nul), hvormed grfen krummer opd og flder mere og mere ud. 0,5 er voksende, men hældningskoefficienten for dens tngenter bliver mindre og mindre, hvormed grfen krummer nedd.,88 er voksende, og hældningskoefficienten for dens tngenter bliver større og større, hvormed grfen krummer opd. Dette er et udtryk for et generelt princip, idet beskrivelsen for 0,7 gælder for enhver potensfunktion r, hvor r < 0, idet beskrivelsen for 0,5 gælder for enhver potensfunktion r, hvor 0 < r <, og idet beskrivelsen for,88 gælder for enhver potensfunktion r, hvor r >. Argumenttionen for dette bygger på, t hældningskoefficienten for tngenten er det smme som differentilkvotienten, dvs. r r. Og der gælder (overvej!), t hvis r >, så er funktionen r r voksende, hvis 0 < r <, så er funktionen r r ftgende, og hvis r < 0, så er funktionen r r voksende, hvormed det ønskede ses. Eksempel I slutningen f fsnit.6 blev det omtlt, t potentielle vækstfunktioner er de eneste funktioner, der hr konstnte reltive tilvækster svrende til bestemte reltive tilvækster i den ufhængige vrible, idet der gælder følgende sætning (sætning.6.7), som vi nu er i stnd til t bevise: Hvis det om en positiv, ikke-konstnt, differentibel funktion f defineret i R + gælder, t for en vilkårlig vlgt værdi r f den reltive tilvækst i den ufhængige vrible, er den reltive funktionstilvækst konstnt (dvs. ufhængig f ), så er f en potentiel vækstfunktion. f ( ( + r)) f () f () Beviset forløber således: Hvis vi kn bevise, t der findes en konstnt, så (ln(f())) = for lle R +, så er vi færdige. For dette vil give os, t der findes en konstnt q, så (ln(f())) = ( ln + q), og dermed t: (ln(f()) ln q) = 0, hvorf vi ser, t der findes en konstnt p, så: ln(f()) ln q = p. D Vm(ln) = R og Dm(ln) = R + findes der herefter et positivt tl k, så lnk = p + q, hvormed vi får: ln(f()) ln = lnk, og dermed: ln(f()) = ln + lnk = ln( ) + ln k = ln(k ). D ln er en injektiv funktion ser vi endelig, t: f() = k, hvormed det ønskede er bevist. (Bemærk, t vi her benytter benævnelsen for eksponenten, idet r er optget til t beskrive den reltive tilvækst i -værdien). Vi skl ltså bevise, t der findes en konstnt, så (ln(f())) = for lle R +

8 - 0 - Ifølge sætning 3.. hr vi, t (ln(f())) = så f () f () = for lle R +. f (), hvorfor vi skl bevise, t der findes en konstnt, f () f ( ( + r)) f () Vi ved, t for enhver værdi f den reltive tilvækst r er størrelsen ufhængig f f (), men nturligvis fhængig f r. Der findes derfor et tl K r, som er ufhængig f, men fhængig f ( ( + r)) f () f r, som opfylder: = K r. f () Ld nu R + være vilkårlig vlgt og herefter fstholdt, og sæt h = r. Ved t gnge ind i prentesen (+r) kn det ovenstående udtryk herefter skrives således: = K r. f ( + h) f () f () Ved division med h på begge sider f lighedstegnet får vi: K r, hvilket kn om- h skrives til: ( ) f ( + h) f () h f () = K r. r f ( + h) f () f () h = D h = r, (hvor som omtlt er vilkårligt vlgt, men fstholdt), hr vi, t: r 0 h 0. Hvis vi lder r og dermed h gå mod 0, så vil venstre side f ( ) gå imod f (), idet f er f () differentibel i. Men så vil højre side f ( ), og dermed forholdet for r gående mod 0. D K r er ufhængig f findes derfor en konstnt, så r I lt ser vi dermed, t venstre side f ( ) går mod for r 0. Disse to størrelser er dermed ens, dvs. f () f () f () f () = K r, også hve en grænseværdi r og højreside f ( ) går imod. D dette gælder for et vilkårligt vlgt er det ønskede bevist. K r for r 0. r, begge 3.5. Integrtion f logritme-, eksponentil- og potensfunktioner. Som bekendt siges en funktion F t være stmfunktion til en funktion f i et intervl I, hvis det for lle I gælder, t F () = f() (for et evt. venstre endepunkter I skl der gælde, t F + () = f() og for et evt. højre endepunkt b I skl der gælde, t F (b) = f(b)). Hvis F er en stmfunktion til f i et intervl I, så skriver vi: F() = f () d og vi siger, t F fremkommer ved f integrere f. f () d, der ltså er en funktion (stmfunktion til f), kldes et ubestemt integrle.

9 - 0 - At en given funktion F er en stmfunktion til f kn kontrolleres ved t undersøge, om F = f. Ved det bestemte integrle f f fr til b, hvor [ ; b] Dmf, forstår vi tllet F(b) F(), og det skrives således: b f ()d = [ F ()] b = F(b) F() Hvis f er en ikke-negtiv funktion, er b f ()d lig med relet under grfen for f imellem tllene og b, og hvis f ntger både positive og negtive værdier, så er b f ()d lig med relet under grfen for f, men over.ksen, minus relet under. ksen, men over grfen imellem tllene og b. I forbindelse med logritme-, eksponentil- og potensfunktioner gælder der følgende sætning vedrørende stmfunktioner. I sætningen indgår en vilkårlig konstnt c, som kn lægges til enhver f stmfunktionerne, idet denne forsvinder ved differentition. En stmfunktion til en given funktion er ltså ikke helt entydig fstlgt. Værdien f konstnten kn i en konkret sitution fstlægges ud fr kendskb til en funktionsværdi for stmfunktionen (se eksempel 3.5. og øvelse 3.5.3). Sætning I de følgende regneregler er c en vilkårlig konstnt: ) d = ln + c ) ln d = ln + c 3) e d = e + c k k 4) e d = e + c 5) d = + c ln r r+ 6) d = + c r + k (k 0) ( > 0, ) (r ) Bevis: For t bevise sætningen, skl vi ltså i hvert tilfælde kontrollere, t når vi differentierer højresiden (dvs. udtrykket for stmfunktionen), så giver det funktionen inde i integrltegnet (dvs. funktionen som integreres). (Jfr. den første linie på denne side). D en konstnt lgt til en funktion forsvinder ved differentition, (idet den giver 0), og d en konstnt gnget på en funktion blot bliver stående ved differentition, fremkommer regel 3), 4), 5) og 6) direkte ud fr sætning 3.. og (Detljerne overldes til læseren). Tilbge er regel ) og ). Vi strter med nr. ):

10 Ad ): Ved nvendelse f sætning 3.. og reglen for differentition f et produkt får vi følgende: ( ln + c) = ln = ln + = ln hvormed det ønskede er vist. Ad ): Funktionen ln + c er en stmfunktion til både i R + og i R -. For hvis > 0, så er ( ln + c ) = ( ln ) = Og hvis < 0, så er ( ln + c ) = ( ln ) = hvor vi i den sidste omskrivning hr brugt dels, t differentition f en smmenst funktion. Hermed er sætningen bevist. (ln ) = (ln( )) = ( ) = ( ) = = for negtive, dels regnereglen for Bemærk, t regnereglen b f () d = b f () d for ubestemte integrler, hvor b er en konstnt, giver os, t sætning 3.5. også kn bruges til t finde stmfunktioner til vilkårlige logritmefunktioner (jfr. sætning..9), og til eksponentielle vækstfunktioner og potentielle vækstfunktioner. Eksempel Vi vil finde den stmfunktion F til funktionen f() =,8, hvis grf går igennem punktet (,00) Vi hr, t: F() =,8 d =,8 + c, hvor konstnten c endnu er ukendt. Den ln,8 fstlægges ud fr krvet om, t F() = 00, hvorf vi får: 00 =,8 + c c = 33,85 ln,8 Den søgte stmfunktion hr ltså forskriften: F() =,8 + 33,85 = 0,46,8 + 33, 85 ln,8 Øvelse Bestem til hver f de følgende funktioner en stmfunktion, hvis grf går igennem punktet: (3,0) ) f() = b) f() = e c) f() = 8 0,7 d) f() =,6 +,6 e) f() = 3 e 0,9 Eksempel Vi vil bestemme relet A under grfen for log i intervllet fr til 0 (jfr. figur..). Vi hr: 0 A = log () d = ln d = 0 ln 0 ln = ((0 ln0 0 + c ( ln + c)) = d ln [ ln + c ] 0 (0 ln0 9) = ln ln ln 0,35 Det søgte rel er ltså 0,35. Bemærk, t værdien f konstnten c er uden betydning, idet c forsvinder i beregningen. Dette gælder i udregningen f ethvert bestemt integrle.

11 I forbindelse med såvel ubestemte som bestemte integrler gælder der nogle regneregler, bl.. f () + g()) d = f () d + g() d ( f () g()) d = f () d g() d og (, k f () d = k f () d, hvor f og g er to funktioner og k er en konstnt, og hvor reglerne her er formuleret for ubestemte integrler. Tilsvrende regler gælder for bestemte integrler. I forbindelse med produkt f funktioner og smmenstte funktioner gælder følgende regneregler: Delvis (eller Prtiel) Integrtion: ()g() d F() g() F() g f = () d (ubestemt) b b [ F()g() ] f ()g() d = F()g () d (bestemt) hvor F er en stmfunktion til f. Denne metode kldes delvis eller prtiel integrtion, idet vi ikke får udregnet integrlet helt, men får det udtrykt ved et nyt integrle (som så forhåbentlig er lettere t regne ud). Integrtion ved substitution: f (g()) g () d = F(g()), (ubestemt) b f (g()) g () d = F(g(b)) F(g()) (bestemt) hvor F er en stmfunktion til f. Denne metode kldes integrtion ved substitution, idet regnereglerne kn omskrives til: f (g()) g () d = f (t) dt, hvor t = g(). b f (g()) g () d = g(b) g() f (t) dt Vi hr således substitueret (indst, erstttet) t i stedet for g(), og dermed bliver dt = g ()d (i overensstemmelse med reglerne for differentiler). I reglen for det bestemte integrle ses desuden, t når går fr til b, så går t fr g() til g(b). b Eksempel ) Ved delvis integrtion ser vi, t ln d ln = [ ] d = [ ln ] 8 7 ln = ln =, d = b) Ved substitutionen t = g() = + og dt = g ()d = d, (og dermed: = t = og: = 3 t = 0), ser vi, t: 3 + d 0 = 0 dt = [ ln t ] = t ln 5 (ln0 ln ) = 0, 8047 = Øvelse Udregn følgende fire integrler: ) 5 e d b) ln( + 3) d 5 c) 5 e d d) ln( + 3) d 3

12 Beslægtede funktioner. Med beslægtede funktioner menes funktioner, som ikke direkte er logritmefunktioner, eksponentielle vækstfunktioner eller potentielle vækstfunktioner, men som i deres funktionsforskrift indeholder sådnne funktioner. Vi vil i dette fsnit kun se på -3 f de mest nvendte f den omtlte type. Det bør nævnes, t også sndsynlighedsfordelingen f for en normlfordelt stokstisk vribel: f () = µ σ e σ π nødvendigvis må omtles som en meget nvendt funktion, men den vil ikke blive behndlet yderligere i det følgende. Der henvises i stedet for til bogen: Sndsynlighedsregning for Gymnsiet. Funktioner f typen: f() = p + q e r Vi vil først se på et pr eksempler på sådnne funktioner og deres grfer: Eksempel Vi vil betrgte funktionerne f, g og h givet ved: f() = e 0,3, g() = e 0, og h() = e 0, Det overldes til læseren t rgumentere for t f er voksende, og t g og h er ftgende (f.eks. v.hj.. differentition). Grferne for de tre funktioner ses i nedenstående koordintsystem (figur 6.3.): f g 50 h Fig Det fremgår måske llerede her f disse grfer (specielt f og g), hvorfor funktioner f typen f() = p + q e r finder nvendelse ved fænomener, der indeholder en mætning eller en udligning. (bemærk, t: f() 00 for, og g() 00 for ). Dette omtles yderligere i det følgende og specielt i kpitel 4. Øvelse Tegn grferne for følgende funktioner og kommentér resultterne: ) f () = e 0,5 b) f () = 90 e 0,5 c) f 3 () = 90 e 0,5 d) f 4 () = 0 90 e 0,5

13 Til beskrivelse f fænomener, der vokser op fr værdien 0 og efterhånden når en mætning, kn mn k undertiden bruge funktioner f typen: f() = M ( e ), hvor M og k er positive konstnter. Øvelse , 0, Tegn grferne for funktionerne: f() = 80 ( e ), 0 og g() = 00 ( e ), 0 i smme koordintsystem (sørg for mindst t hve = 50 med på figuren). Kommentér resulttet. I lighed med sætning kn vi fremsætte og bevise følgende sætning: Sætning Hvis en funktion f opfylder, t: f () = b k f() for lle i et intervl I, hvor k og b er givne konstnter (k 0), så findes der en nden konstnt c, så funktionsforskriften for f er givet ved: b k f() = + c e, I k Bevis: Funktionen f opfylder næsten forudsætningerne i sætning 3.3.4, hvis det ikke vr for konstnten b. Vi prøver derfor i stedet for t se på funktionen: b k f(). Om den gælder der: (b k f()) = 0 k f () = k ( b k f()), hvor vi hr brugt forudsætningerne om f. Det ses ltså, t funktionen b k f() opfylder betingelserne i sætning 3.3.4, hvormed der findes en k e konstnt c, så: b k f() = c (konstnten kldes c og ikke c, idet vi om et øjeblik skl omskrive lidt på udtrykket og dér indføre en ny konstnt, som så får nvnet c. Bemærk i øvrigt, t der skl stå k og ikke bre k i udtrykket. Hvorfor?). Vi omskriver nu: k b k f() = c e k k f() = b c e b c k f() = + e k k c Brøken er en konstnt, som vi klder c. Hermed er sætningen bevist. k Øvelse ) Om funktionen f er givet, t f er defineret og kontinuert i intervllet [0; 30], t f(0) = 00 og t f () = 30 0, f() for lle ]0;30[. Bestem en forskrift for f og tegn grfen. b) Om funktionen g er givet, t g er defineret og kontinuert i intervllet [0; 5], t g(0) = 30 og t g () = + 0,3 g() for lle ]0;5[. Bestem en forskrift for g og tegn grfen. (Vejledning: Bemærk, t + 0,3 g() = ( 0,3) g() ). Sætning kn i specielle tilfælde med fordel formuleres således: Sætning Ld f være en funktion, som er kontinuert i et intervl I og differentibel i det tilsvrende åbne intervl I o, hvor det om I gælder, t 0 I. Hvis funktionen f opfylder, t: f () = k (f() K) for lle I o, hvor k og K er givne konstnter (k 0), så er funktionsforskriften for f givet ved: k f() = K + (f (0) K) e, I hvor f(0) er funktionsværdien f f i 0.

14 Bevis: Forudsætningen f () = k (f() K) kn omskrives til: f () = k K k f(). Vi ser hermed, t f opfylder forudsætningerne i sætning 3.6.4, hvor b = k K. Ifølge sætning findes derfor en konstnt c, så: f() = + c e = K + c e. Ved t indsætte = 0 får vi: f(0) = K + c og kk k k k dermed t c = f(0) K. Hermed er sætningen bevist. Eksempel 3.6.7: Om en funktion T gælder, t T () = s (T() T opt ), 0, hvor s og T opt er givne konstnter (for = 0 er der tle om: T + (0) ). Ifølge sætning hr funktionen T derfor funktionsforskriften: T() = T opt + (T(0) T opt ) e, 0 Øvelse: Tegn grfen for T, hvis T(0) = 00, T opt = 70 og s = 0,3. Kommentér resulttet. Øvelse Funktionerne f, g og h er definerede og kontinuerte i [0; [ og differentible i ]0; [. Bestem en forskrift for hver f dem, tegn deres grfer og kommentér resulttet, idet de opfylder, t: ) f(0) = 500, f () = 0, (f() 00) for lle > 0 b) g(0) = 500, g () = 0, (g() 600) for lle > 0 c) h(0) = 500, h () = 0, (h() 600) for lle > 0 Til sidst skl det bemærkes, t betingelsen i sætning 3.6.4: f () = b k f(), (som også kn nføres således: f() (b k f()), når 0) siger, t funktionens væksthstighed er givet ved forskellen mellem en konstnt og en størrelse, der er proportionl med den ktuelle funktionsværdi. Det er forbvsende ofte, t denne betingelse (tilnærmelsesvist) kn siges t være opfyldt, og vi skl senere (i kpitel 4) give eksempler herpå. s Logistisk vækst. I forbindelse med eksponentielle vækstfunktioner er der som nævnt tle om en vækstform, hvor funktionens væksthstighed er proportionl med den ktuelle funktionsværdi, idet der gælder: f () = k f() eller f() k f(), når 0 (jfr. sætning og kommentrerne hertil). Undertiden er der for voksende funktioner tle om, t funktionen højst kn ntge en given værdi M, og t funktionens væksthstighed både fhænger f den ktuelle funktionsværdi f() og f fstnden mellem f() og M, således t væksthstigheden bliver mindre, jo tættere f() kommer på M. Vi kn i denne smmenhæng hve en ligning f typen: f () = k f() (M f()), og der gælder her følgende sætning: Sætning Hvis en positiv funktion f opfylder, t: f () = k f() (M f()) for lle i et intervl I, hvor k og M er positive konstnter, og hvor M > f() for lle, så findes der en nden positiv konstnt c, så funktionsforskriften for f er givet ved: M f() =, I km + c e

15 Sætningen bevises ikke her. Interesserede læsere henvises til bogen: Differentilligninger og mtemtiske modeller. Eksempel Om en funktion f er givet, t f () = 0,00004 f() (500 f()), t 0< f() <500 for lle R, smt t f(0) = 400. Ifølge sætning findes der en positiv konstnt c, så: f() = = 0, ,0 + c e + c e Konstnten c findes ud fr informtionen: f(0) = 400 på følgende måde: 500, = + c e = 0,00 c =, 4 e c =, c e Funktion f hr ltså forskriften: f() =, R 0,0 +,7558 e Øvelse: Tegn grfen for f() og kommentér dens udseende. Funktioner f den type, der omtles i sætning 3.6.9, kldes logistiske vækstfunktioner, og størrelsen M kldes ofte for mætningsværdien eller bærekpciteten. En logistisk vækstmodel benyttes i smmenhænge, hvor der i begyndelsen kn foregå en reltivt fri (uhindret, uhæmmet) vækst, men hvor der efterhånden forekommer en slgs mætning. Der kn f.eks. være tle om lkoholprocenten i en vin under gæringen som funktion f tiden grden f solbrændthed som funktion f den tilbrgte tid i solen det ugentlige slgstl f en ny ikke-sæsonpræget vre som funktion f tiden efter introduktionen på mrkedet. (Der er tle om en forgængelig forbrugsvretype som f.eks. en bestemt slgs mdvrer. Det forudsættes, t vren er et kvlitetsprodukt, der er i stnd til t bevre en bestemt mrkedsndel, smt t der er tle om en nogenlunde konstnt reklmeindsts). størrelsen f en popultion i et givet miljø som funktion f tiden, når der ikke er ubegrænsede ressourcer (plds, næring, mv.). indlæringsgrden (dvs. den brøkdel, der er indlært f en given vidensmængde (f.eks. indholdet i en given mtemtikbog)) som funktion f den tid, der er nvendt på t studere stoffet udbredelsen, dvs. den smlede bestnd på mrkedet, f en ny vre (en såkldt vrig forbrugsgode, f.eks. DVD-mskiner, hrdisk recordere, ipods eller HD fldskærms-tv) som funktion f tiden efter introduktionen f vren på mrkedet. I kpitel 4 gives en mere indgående omtle f nogle eksempler på logistisk vækst. Øvelse Ld f være en given logistisk vækstfunktion. Benyt udtrykket: f () = k f() (M f()) = f () km f() til t rgumentere for, t når f() er meget mindre end M (dvs. i begyndelsen M f væksten), så er f næsten givet ved en eksponentiel vækstfunktion, ltså en fri/uhæmmet vækst. I forlængelse f det ovenstående skl omtles, t der gælder følgende sætning om logistiske vækstfunktioner. Beviset for og kommentrer til sætningen overldes til læseren som en øvelse.

16 Sætning Hvis f er den logistiske vækstfunktion fr sætning 3.6.9, så gælder der: M Konstnten c givet ved: c = f (0) f() M for Grfen for f, der kldes en logistisk kurve, hr et udseende som vist på følgende figur: Figur 3.6. Forelgt et givet sæt f registrerede dt kn det være vnskeligt umiddelbrt t fgøre, om de kn beskrives ved en logistisk vækstfunktion. Der findes nogle reltivt vncerede sætninger til løsning f dette problem. Vi vil imidlertid ikke komme nærmere ind på disse sætninger her (interesserede læsere henvises til bogen: Differentilligninger og mtemtiske modeller ). Vi vil i stedet for omtle, hvordn grfregneren TI-83/84 kn bruges til t hjælpe med problemstillingen. Eksempel Vi vil prøve t eftervise, t de følgende dt med rimelighed kn siges t ligge på en logistisk kurve: f() og vi vil bestemme en funktionsforskrift for f. Mnge grfregnere (lommeregnere), bl.. TI-83/84-serien, hr en logistisk regressionsfunktion, hvormed det bedste bud på en logistisk vækstfunktion svrende til givne dt kn findes. På TI-83 gøres følgende: De registrerede værdier lægges som ved ndre regressionstyper (jfr. fsnit.8) ind i listerne L og L, hvorefter der trykkes [STAT] [CALC] og B:Logistic vælges. I displyet står nu Logistic, og mn kn hér tilføje diverse prmetre. D der stndrd vælges L og L, hvis ikke ndet er nført, kn mn nøjes med t tilføje Y, hvis mn vil gemme funktionsforskriften i Y og bl.. herudfr vil se grfen i et lmindeligt koordintsystem. Herefter tstes [ENTER] og funktionsforskriften vises i displyet, men desværre uden korreltionskoefficienten r, og dermed uden en vurdering f, hvor tæt de målte dt ligger på en logistisk vækstfunktion. V.hj.. [nd] [STAT PLOT] st til on kn mn imidlertid ved nvendelse f [GRAPH] og tilpsning f vinduet se, hvordn punkterne ligger i fht. den tilnærmende grf og dermed få en idé herom I det konkrete tilfælde får vi funktionsforskriften: f() = 0, ,67 e Det overldes til læseren t tegne såvel de givne punkter som grfen for f på grfregneren.

17 - 0 - Vi slutter behndlingen f logistisk vækst med t finde en stmfunktion til vækstfunktionen: Sætning Hvis f er en logistisk vækstfunktion, så er en stmfunktion til f givet ved følgende formel: M km km d = ln(e + c) + q = M + ln( + c e ) + q km + c e k k hvor q R er en vilkårlig konstnt. Bevis: Indholdet i sætningen kn kontrolleres ved t differentiere funktionerne på højre side f lighedstegnet og se, t det giver funktionen under integrltegnet. Et egentligt bevis for sætningen forløber således: km M M e Brøken inde i integrltegnet forlænges med e. Vi får: d = d km km + c e e + c I dette sidste integrl nvender vi substitutionen: t = e km + c og dt = km e km d, hvormed det kn omskrives således: M e e km km + c Hvis vi i dette udtryk indsætter, t t = så fås den første del f formelen. d = k dt t = ln t k e km + c og husker, t både km + q, hvor q er en vilkårlig konstnt. km e og c er positive størrelser, km km Det ndet udtryk for stmfunktionen fås ved t konsttere, t e km + c = e ( + c e ) og derefter nvende regneregler for ln og for lmindelig reduktion. Detljerne overldes til læseren. Hermed er sætningen bevist. Det er en smgssg, om mn vil nvende det første eller det ndet udtryk for stmfunktionen, men i en given nvendelse kn det fhænge f bl.. trditioner indenfor fget, hvilket f de to udtryk mn vælger.

18 - - Kp. 4: Eksempler på modeller med nvendelse f differentil- eller integrlregning. 4.. Fysiske emner. Rdioktivitet og stråling: Modelbeskrivelse: I det følgende regnes der på deterministiske (dvs. forudbestemmelige, ekskte) modeller. I virkeligheden er der ikke tle om ekskte værdier, men om sttistiske udsving p.gr.. det rdioktive henflds og bsorptionens sttistiske ntur (der er en vis sndsynlighed for henfld hhv. for bsorption). Det vi omtler her svrer i virkeligheden til middelværdien f de stokstiske vrible involveret i problemstillingen. Vi tillder os desuden t regne funktioner, der egentlig kun ntger heltllige værdier, som differentible eller kontinuerte funktioner, hvilket skyldes, t der er tle om så store tl, t én enhed ikke er nogen væsentlig forndring, hvormed der som model udmærket kn bruges en kontinuert funktion i stedet for en diskret, heltllig funktion. (Denne problemstilling gælder i mnge ndre model-smmenhænge, og den omtles igen under økonomiske modeller senere i teksten). Vedr. elementære øvelser om rdioktivitet og stråling: Se øvelse..,..3,..5 og..6. Eksempel 4... I eksempel.. omtlte vi, t visse tomkerner hr den egenskb, t de før eller siden går i stykker under udsendelse f rdioktiv stråling (som består f små prtikler ), hvorefter den tilbgeblevne del f kernen ordner sig i en ny slgs tomkerne, smt t vi i denne sitution siger, t den rdioktive kerne henflder. Vi omtlte desuden, t den rdioktive stråling kn måles med et Geiger-Müller-rør (en Geigertæller ), idet mn måler strålingens ktivitet (dvs. ntl registrerede prtikler pr. sekund se mere herom i øvelse 4..) For rdioktive tomkerner forholder det sig således, t unset hvor lng tid en kerne hr eksisteret, så vil der være den smme sndsynlighed for, t kernen henflder i løbet f det næste sekund. (Mn smmenligner her ofte kernen med en terning: Unset hvor mnge gnge mn hr kstet en terning (svrende til: unset hvor lng tid der er gået), så vil der være den smme sndsynlighed for t få en 6 er i det næste kst (hvor det t få en 6 er svrer til, t kernen henflder)). Hvis vi til tiden t hr et stort ntl kerner N(t) f et givet rdioktivt stof, som endnu ikke er henfldet, så vil ntllet f kerner, der henflder i løbet f det næste sekund, være proportionl med N(t). Hvis vi betrgter et lille tidsrum t ( lille i fht. den hstighed, hvormed kernerne henflder), så vil ntllet f kerner, der henflder i løbet f tidsrummet t stort set være proportionl med t. Ændringen ( tilvæksten ) N i ntllet f rdioktive kerner i løbet f et lille tidsrum t vil derfor lt i lt tilnærmelsesvist være givet ved: N k N(t) t hvor cirk-lig-med-tegnet mere og mere bliver til et lighedstegn, jo tættere t er på 0. k er proportionlitetsfktoren, som kldes henfldskonstnten for det givne rdioktive mterile. (Mere præcist er k lig med sndsynligheden pr. tidsenhed for t en given kerne henflder se nedenfor). Minusset forn k medtges, idet N bliver mindre, dvs. idet N er negtiv, og idet vi ønsker t k skl være en positiv konstnt. Ved division med t får vi differenskvotienten for N(t):

19 - - N k N(t), og hvis vi lder t gå mod 0 får vi, t tegnet erstttet f et lighedstegn, smtidig t med t differenskvotienten bliver til differentilkvotienten. Funktionen N(t), som beskriver ntllet f ikke-henfldne kerner til tiden t, opfylder ltså ligningen: N (t) = k N(t) kt Ifølge sætning hr vi derfor, t der findes en konstnt K, så N(t) = K e. Hvis ntllet f kerner til tiden 0 (ltså når målingen begynder) kldes N o, så får vi: k 0 N o = N(0) = K e = K, og dermed: N(t) = kt N o e eller: N(t) = N o ep( kt) Antllet f ikke-henfldne kerner er eksponentielt ftgende. Som ved ndre eksponentielt ftgende funktioner kn vi tle om og regne med hlveringskonstnter. I dette tilfælde er der som også omtlt i eksempel.. tle om hlveringstiden T ½ (dvs. den tid der går inden hlvdelen f de rdioktive kerner i det givne rdioktive mterile er henfldet ), og hlveringstiden T ½ og henfldskonstnten k er knyttet smmen f følgende ligninger: ln ln T ½ = og k =. k T ½ N Af udtrykket: N k N(t) t får vi ved omskrivning, t k t. N(t) Idet N ngiver ntllet f kerner, der henflder i løbet f det lille tidsintervl t, og idet N(t) ngiver hvor mnge kerner vi hr ved strten f dette tidsintervl, er brøken det smme som N N(t) (den frekventielle) sndsynlighed for, t en kerne vil henflde i løbet f tidsrummet t. D denne brøk er lig med k t ser vi (som omtlt ovenfor), t henfldskonstnten k er det smme som sndsynligheden pr. tidsenhed for, t en given kerne henflder. Øvelse 4... I eksempel 4.. omtlte vi, t ntllet N(t) f rdioktive kerner, som til tiden t er tilbge (dvs. endnu ikke henfldet) f et givet rdioktivt mterile, kn beskrives ved funktionen N(t) = kt N o e, hvor N o er ntllet f ikke-henfldne kerner til tiden 0, og hvor k er en for det pågældende rdioktive mterile krkteristisk konstnt (henfldskonstnten). Dette fremkom, fordi N k N(t) t, når t er lille. Når rdioktiv stråling registreres, f.eks. f et Geiger-Müller-rør, så måler vi ikke N(t), men derimod de prtikler, som udsendes f de henfldende kerner (og vi registrerer endd kun en bestemt brøkdel f disse prtikler, se figur 4..). ) b) Fig. 4..

20 - 3 - Ved t måle (tælle) i reltivt små tidsintervller t, kn vi bestemme ktiviteten A(t) (dvs. henfldshstigheden), som er lig med ntl henfldne kerner pr. tidsenhed. N N ) Argumentér for, t A(t) = t t b) Vis dernæst, t A(t) = A o ep( kt), hvor A o = N o k er ktiviteten til tiden 0. Der gælder ltså: kt A(t) = A o e eller A(t) = A o ep( kt) Aktiviteten fr et rdioktivt stof er eksponentielt ftgende med smme værdi f konstnten k som ved kernernes henfld! c) Argumentér for, t vi med opstillingen på figur 4.. i virkeligheden ikke måler A(t), men en bestemt procentdel f A(t), som er fst så længe opstillingen ikke ændres, og t vores måletl derfor hele tiden er proportionle med A(t). I nedenstående tbel ses ktiviteten A(t) f den rdioktive stråling fr et givet rdioktivt mterile som funktion f tiden t. t måles i sekunder og A(t) måles i ntl prtikler pr. sekund. t A(t) d) Indtegn disse værdier i et semilogritmisk koordintsystem, og tegn den bedste rette linie igennem disse punkter (dvs. tegn den rette linie, som bedst tilnærmer lle punkterne). At punkterne ikke ligger præcis på en ret linie skyldes sttistiske udsving (sttistiske fluktutioner), som fremkommer p.gr.. henfldets tilfældighedsmæssige krktér eller mere mtemtisk udtrykt: idet k står for sndsynligheden pr. tidsenhed for henfld. e) Find en funktionsforskrift for A(t) på grundlg f den tegnede linie og/eller v.hj.. en eksponentiel regression på grfregneren eller i Ecel. f) Hvor stor er henfldskonstnten (husk enheder)? g) Beregn på bggrund herf hlveringstiden T ½, og smmenlign denne med T ½ bestemt v.hj.. grfen for A(t), (dvs. den tegnede linie). Eksempel I eksempel..4 omtlte vi bsorption f stråling, når den trænger ind igennem et stof/mterile. (Der er tle om gmmstråling, røntgenstråling og i en række smmenhænge også betstråling). Strålingens intensitet et givet sted defineres som ntllet f prtikler, som pr. sekund psserer en relenhed (f.eks. cm ) plceret vinkelret på strålingsretningen det pågældende sted. Strålingens intensitet i dybden f mterilet betegnes med I(). På grund f bsorption vil I() ftge efterhånden som strålingen trænger ind igennem stoffet, dvs. efterhånden som forøges. Efter smme princip som nvendtes i eksempel 4.. på N(t) vil vi nu undersøge intensiteten I(). Hvis intensiteten i dybden er lig med I(), så vil intensitetsændringen I i et smlt mterilelg (se figur 4..) tilnærmelsesvist være proportionl med I() og med. (At mterilelget er smlt, og t dermed er lille, skl ses i forhold til den hstighed hvormed mterilet bsorberer strålingen på sin vej ind igennem mterilet).

21 - 4 - Fig. 4.. Vi hr således, idet I er negtiv, t I µ I(), hvor proportionlitetsfktoren µ kldes bsorptionskoefficienten for det pågældende mterile i reltion til den givne stråling. µ måles i m -. Ved t dividere med og nvende, t er meget lille (dvs. lde gå mod 0), får vi, t funktionen I(), der beskriver intensiteten f strålingen i dybden i et givet mterile, opfylder ligningen: I () = µ I(). Som i eksempel 4.. ser vi, t µ I() = I o e eller I() = I o ep( µ) Intensiteten f strålingen er eksponentielt ftgende. hvor I o er strålingens intensitet ved overflden f mterilet (dvs. I o = I(0) = intensiteten inden strålingen begynder t trænge ind i mterilet). Vi ser desuden, t hlveringstykkelsen ½ (dvs. den tykkelse mterilet skl hve for t bsorbere hlvdelen f den pågældende stråling) er knyttet smmen med bsorptionskoefficienten µ i følgende ligninger: ½ = ln µ og µ = Det bemærkes, t bsorptionskoefficienten (og dermed hlveringstykkelsen) fhænger f bsorptionsmterilet, f strålingstypen og f strålingsenergien. ln ½. Eksempel ) I øvelse 4.. så vi, t ktiviteten fr en rdioktiv kilde (dvs. ntl udstrålede prtikler pr. tidsenhed) er eksponentielt ftgende, idet der gælder: A(t) = A o e kt, hvor k er henfldskonstnten for det pågældende stof. D kt for t, idet k > 0, ser vi, t A(t) 0 for t. Aktiviteten f f.eks. rdioktivt ffld fr et tomkrftværk vil ltså efterhånden forsvinde. Problemet er bre, hvor længe dette vrer (dvs. hvornår ktiviteten er på et ufrligt niveu). b) I eksempel 4..3 så vi, t intensiteten I f rdioktiv stråling ftger eksponentielt, når strålingen I µ psserer igennem et mterile, idet der gælder, t I() = o e, hvor µ er bsorptionskoefficienten for det bsorberende mterile i fht. den givne stråling. Vi ser derfor, t I() 0 for. Vi ser hermed, t det i punkt ) omtlte rdioktive ffld i princippet kn uskdeliggøres ved t indkpsle det i uendeligt tykke beholdere. D dette i prksis er umuligt, må mn vælge en tilstrækkelig tyk beholder (som så forhåbentlig kn holde i det ntl år, det tger inden mterilets rdioktivitet er ufrlig).

22 - 5 - Tempertur-udligning. Eksempel Hvis et givet legeme A hr temperturen T(t) til tiden t, og hvis dette legeme bringes i kontkt med et stort legeme B med temperturen T o, så vil A s tempertur efterhånden indstille sig på temperturen T o. (Det store legeme er så stort, t dets tempertur prktisk tlt er konstnt dets tempertur er ltså i prksis upåvirket f, t det fkøler eller opvrmer A. Overvej dette!! Vi kn f.eks. tænke på en ovnplde med småkger, som tges ud f den vrme ovn og nbringes på køkkenbordet. Det store legeme er her køkkenbordet, l luften og principielt lle øvrige objekter i loklet). Den temperturtilvækst T, som sker i løbet f et lille tidsrum t, må tilnærmelsesvist være proportionl med forskellen imellem temperturerne T(t) og T o, og med t selv. Vi hr ltså, t ( ) T (T(t) T o ) t hvor er en positiv konstnt. (Det overldes til læseren t rgumentere for, t minusset skl medtges i udtrykket!). Konstnten fhænger f en række ting, bl.. f A s overflderel, f den hstighed hvormed vrmen i legemet B kn føres bort fr eller hen imod A, og f vrmeledningsevnen f en eventuel grænseoverflde mellem A og B (tænk f.eks. på forskellen i fkøling f te i en teknde uden tehætte, med tehætte og i en termoknde). Udtrykket ( ) kn, idet t er lille, omskrives til: T (t) = (T(t) T o ) Dette udtryk kldes Newton s fkølingslov (selvom den både gælder for fkøling og opvrmning) under de beskrevne forudsætninger om legeme A ( lille legeme ) og B ( stort legeme ). Ifølge sætning ser vi, t hvis T(t) opfylder Newtons fkølingslov, så gælder der: t e T(t) = (T(0) T o ) + T o Newtons fkølingslov for termisk kontkt mellem et lille og et stort legeme. hvor T(0) er begyndelsestemperturen f legeme A (det lille legeme). Øvelse Antg t temperturfunktionen T(t) opfylder Newtons fkølingslov (se eksempel 4..5). ) Tegn grfen for T(t), hvis T(0) = 00 o C, T o = 0 o C og = 0,03 b) Tegn grfen for T(t), hvis T(0) = 0 o C, T o = 00 o C og = 0, Kommentér udseendet f grferne. Øvelse Gør rede for, t temperturfunktionen T(t) i eksempel 4..5 opfylder det vi må forvente, nemlig t: T(t) T o for t, og t vi dermed får temperturudligning i modelberegningen.

23 - 6 - Øvelse Fmilien von Hnsen hr en del flsker rødvin liggende i deres vinkælder, hvor der næsten konstnt året rundt er 8 o C. Hr. von Hnsen mener, t rødvinen skl op på en tempertur f 7 o C, før vinen bør drikkes, og t vinen strks efter t være hentet i vinkælderen skl trækkes op, så den kn stå og ilte, medens den tempereres. Hr. von Hnsen, der er en meget omhyggelig vinentusist, hr konstteret, t det tger 5 minutter for vinen t nå op på de 7 o C, når den står til iltning i deres stue, hvor der er o C. ) Bestem konstnten i Newtons fkølingslov for rødvinsflsken. b) Beregn den hstighed, hvormed temperturen stiger til tidspunktet 30 minutter efter ophentning fr vinkælderen. En dg får Fmilien von Hnsen besøg f deres venner hr. og fru Schlechthusen, som helst vil hve vinen ved en tempertur på 9 o C. c) Hvor lng tid før brug skl rødvinen tges op f vinkælderen, hvis Schlechthusens ønske skl imødekommes? Øvelse En norsk hytteudlejer hr en såkldt hyttegrend med flere hytter i nærheden f hinnden. Hytterne udlejes hele året, og vi ser i denne opgve på en bestemt periode (vinterferien) i den kolde årstid. Som en service overfor gæsterne hr ejeren på forskellig måde gjort klr til t modtge dem, bl.. ved t tænde for vrmen, så der er 3 o C inde i hytterne. Kort efter t gæsterne er nkommet til hytterne sker der en strømfbrydelse, idet en storm i bjergene vælter en ustbil højspændingsmst. Gæsterne får t vide, t det desværre vil tge et pr dge t få genetbleret strømforsyningen, og temperturen i hytterne begynder lngsomt t ftge. Fmilien Hnsen hr lejet den billige hytte Istppen, hvor der kun er elvrme, men ingen brændeovn eller pejs. Vi regner med (jfr. det ovenstående), t temperturen f(t) i huset til tiden t efter strømfbrydelsen er givet ved udtrykket: 0,03 t f(t) = + 5 e hvor t måles i timer og f(t) måles i o C. ) Hvor lng tid går der efter strømfbrydelsen inden temperturen kommer under 3 o C. b) Med hvilken hstighed ændrer temperturen sig 0 timer efter strømfbrydelsen. Fmilien Jensen hr lejet den store hytte Osen, hvor der er en brændeovn i stuen, og hvor der er rigeligt med brænde i hyttens brændeskur. Ved t tænde op i brændeovnen og konstnt tilføre nyt brænde er de i stnd til t opvrme størsteprten f stuen til en tempertur på 9 o C og fstholde denne, medens temperturen i de tilstødende soverum, toilet og køkken følger funktionen: 0,04 t g(t) = e. c) Hvilken tempertur er der i soverummene, når strømmen efter 4 timer kommer igen. d) Forklr, hvorfor der i funktionsudtrykket (modellen) for temperturen i soveværelserne står 5 i modsætning til ovenfor, smt hvorfor konstnten i eksponentilfunktionen, dvs. 0,04, er mindre end de 0,03 ovenfor. Øvelse En virksomhed hr en ovn, som benyttes til hærdning f nogle mteriler. Når ovnen tændes, hr den temperturen 0 o C, og den vrmes efterhånden op til driftstemperturen 430 o C.

24 - 7 - Temperturen i ovnen kn beskrives ved en funktion f typen: T(t) = b c e, hvor, b og c er positive konstnter, og hvor t er tiden der er gået siden ovnen blev tændt. t måles i minutter og T(t) måles i o C. Det oplyses, t temperturen efter 8 minutter er 50 o C ) Bestem konstnterne, b og c. b) Tegn grfen for T(t) c) Ovnen kn tges i nvendelse, når temperturen er blevet 400 o C. Beregn hvor lng tid der går inden ovnen er klr til brug. Ved t nskffe et nyt vrmelegeme kn ovnens tempertur forøges hurtigere fr 0 o C til 430 o C. (Det nye vrmelegeme bevirker, t konstnten får værdien: = 0,5). Ovnen er imidlertid konstrueret f nogle mteriler, der højst kn tåle en temperturforøgelseshstighed på 50 o C pr. minut. d) Undersøg, om det er muligt t nvende det nye vrmelegeme i ovnen uden t ødelægge den. t Øvelse 4... Når mn skl lve flødeis må nedfrysningen ikke foregå for hurtigt, idet isen ellers krystlliserer. En fryser f mærket I.C.E. er på tre forskellige indstillinger A, B og C f reguleringsknppen blevet testet med ti portioner á liter lvet efter smme opskrift, og lle med strttemperturen 0 o C. Der fremkom følgende resultter: A: Efter,5 timer vr temperturen f isen 0 o C, og sluttemperturen vr 4 o C B: Efter time vr temperturen f isen 0 o C, og og sluttemperturen vr o C C: Efter 4 timer vr temperturen 0 o C, og sluttemperturen vr 8 o C Antg t temperturen f flødeisen som funktion f tiden opfylder Newtons fkølingslov. ) Bestem en funktionsforskrift for isens tempertur for hver f de tre indstillinger A, B og C. Tegn grfen for hver f de tre funktioner i tidsintervllet 0 8 timer. Hvis flødeisen i over ½ time bliver udst for en nedfrysningshstighed på 6 o C/time eller mere, efter t selve indfrysningen er begyndt (hvilket sker omkring 0 o C), så vil isen krystllisere og vil dermed være ubrugelig (til t sælge mm.) b) Undersøg om isen vil krystllisere ved nogen f de tre indstillinger A, B og C. Opgve for de fysikkyndige: c) Hvorfor står der: Antg t temperturen f flødeisen som funktion f tiden opfylder Newtons fkølingslov? Gør den d ikke det? Og hvis ikke: Spiller det nogen rolle for svret på opgven? Opldning og fldning f en kondenstor. Eksempel 4... I kpitel så vi bl.. på et forsøg, hvor en kondenstor opldes og fldes igennem en stor modstnd (se side 75-76). Vi vil nu foretge teoretiske beregninger på disse forsøg/processer. Først skl vi imidlertid hve lidt mere bsl teori om kondenstorer mm. på plds.

25 - 8 - En kondenstor kldes også en kpcitor. Den består som ntydet f to fr hinnden isolerede ledere (i sin simpleste form f to prllelle metlplder), som kn opldes med modstte elektriske ldninger Q og Q, som tiltrækker hinnden uden t kunne flytte hinnden. Der vil derfor være en spændingsforskel U imellem de to ledere, og denne spændingsforskel er proportionl med ldningen Q. For en given kondenstor/kpcitor findes ltså en konstnt K som opfylder, t: Q = K U. Det ses, t jo større værdi K hr, desto mere ldning kn kondenstoren indeholde pr. volts spændingsforskel. K kldes kondenstorens kpcitns, og den måles i enheden F (frd). D ldning måles i C (Coulomb) og spændingsforskel i V (Volt) ser vi, t F = C/V. Kondenstoren indsættes i et kredsløb med en spændingskilde (strømforsyning) og en stor modstnd (se figur.3.3 b)). I strtsitutionen er der ingen ldning på kondenstoren, og den er ltså elektrisk neutrl. Men efterhånden som tiden går, strømmer der positiv ldning hen mod den leder i kondenstoren, som er nærmest på spændingskildens positive pol (den lnge), ligesom der strømmer positiv ldning væk fr den leder, der er nærmest spændingskildens negtive pol (den korte). Dette skyldes, t spændingskilden gerne vil hve en strøm til t gå i kredsløbet, og det er der egentlig ingen mulighed for, idet de to ledere i kondenstoren er isolerede fr hinnden. Men netop fordi disse ledere er i stnd til t indeholde en del ldning, går der en strøm, medens opldningen står på. Spændingskildens positive pol frstøder positive ldninger og forsøger t skubbe dem rundt i kredsløbet, hvormed de hvner på kondenstorens ene leder (der bliver kondenstorens positivt ldede side), og spændingskildens negtive pol tiltrækker positive ldninger og fjerner dem dermed fr kondenstorens nden leder (som bliver kondenstorens negtivt ldede side). Denne proces går efterhånden i stå, idet ldningen på kondenstoren og dermed spændingsforskellen over kondenstoren grdvist opbygges. Når der er smme elektriske spænding på kondenstorens positive leder som ved spændingskildens positive pol, kn der ikke flyttes mere ldning, idet der ikke længere er en spændingsforskel imellem disse og tilsvrende med de negtive sider. Dette kn også indses på følgende måde: Det smlede spændingsfld over modstnden (U R ) og over kondenstoren (U) er lig med spændingsstigningen over spændingskilden U sp, dvs. U sp = U R + U. Herf ses, t: U R = U sp U. Ifølge Ohms lov (se eksempel.4.7 c)) gælder der, t U R = R I, hvor R er modstndens størrelse (målt i Ohm (Ω)) og I er strømstyrkens størrelse (målt i Ampere (A)). Strømstyrken i en leder (en ledning) er defineret som den ldningsmængde, der pr. tidsenhed psserer et tværsnit f lederen. Hvis U = U sp får vi, t U R = 0 V, og dermed t strømstyrken I igennem modstnden er I = 0 A. Dette er den lveste strømstyrke mn kn hve og den svrer til, t der ikke trnsporteres nogen ldning. (Bemærk, t strømstyrken ltså også ftger i løbet f processen). Den mksimle spændingsforskel over en kondenstor i en opldningsproces er ltså lig med spændingsforskellen over den spændingskilde, som bevirker opldningen, dvs. U m = U sp. Ld os nu prøve t regne på problemstillingen: Hvis der til tiden t i løbet f et lille tidsintervl t flyttes ldningen Q igennem modstnden og Q over på kondenstorens positive plde, så er strømstyrken I(t) givet ved: I(t), og d t er meget lille kn vi ltså skrive, t: Q (t) = I(t). t Kombineres dette med ligningen: U R (t) = U sp U(t), hvor vi hr fremhævet t spændingsforskellen over såvel modstnden som kondenstoren fhænger f tiden, med ligningen: Q(t) = K U(t), og med Ohms lov: U R (t) = R I(t) får vi i lt (kontrollér), t: