Om Riemann-integralet. Noter til Matematik 1

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Om Riemann-integralet. Noter til Matematik 1"

Transkript

1 Om Riemnn-integrlet. Noter til Mtemtik 1 Jon Johnsen Institut for Mtemtiske Fg, Alborg Universitet Fredrik Bjers Vej 7G, 9220 Ålborg Ø 3. december Indledning Integrlregning går tilbge til Newtons og Leibniz rbejder i 1670 erne, men det vr først i 1829 t Augustin Cuchy beviste t middelsummerne for en kontinuert funktion f(x) på et intervl [, b] konvergerer mod et fst tl; dette betegnes med f(x) dx. I disse noter indfører vi det integrlbegreb der blev introduceret f Bernhrd Riemnn i 1854, og der benyttes foruden middelsummer også over- og undersummer for funktioner på [, b]. Det giver en fleksibel rmme for t udlede de væsenligste egenskber ved Riemnn-integrlet, som vi også gør her. 2 Definitioner Vi begynder med de centrle begreber. Ld [, b] være et lukket, begrænset intervl (det er underforstået i nottionen t < b, når ikke ndet nævnes). Ved en inddeling P f [, b] forstås en endelig delmængde P = {x 0, x 1,..., x n }, som opfylder x 0 =, x n = b, og x j 1 < x j for j = 1, 2,..., n. En inddeling P 1 siges t være finere end P, hvis P 1 P (mængdeinklusion). Mængden f lle inddelinger f et givet intervl betegnes I[, b]. Normen f en inddeling P I[, b] er længden f det største delintervl bestemt f P og betegnes P ; det vil for P = {x 0, x 1,..., x n } sige P = mx{x j x j 1 j = 1, 2,..., n}. Vi bemærker, t P 1 P medfører P 1 P. Givet en inddeling P = {x 0, x 1,..., x n }, så siges en n-tuppel t = (t 1,..., t n ) t være underordnet P, hvis t j [x j 1, x j ] for j = 1, 2,..., n. 1

2 Ld f være en begrænset reel funktion defineret på [, b]. Givet P I[, b] og t underordnet P, så definerer vi, jævnfør figur 1, middelsummen ved S(P, t, f) = f(t j )(x j x j 1 ). (1) M j (f) f(t j ) m j (f) x j 1 t j x j Figur 1: Illustrtion til undersum, middelsum og oversum For j = 1, 2,..., n indfører vi endvidere tllene m j (f) = inf{ f(x) x [x j 1, x j ] } (2) M j (f) = sup{ f(x) x [x j 1, x j ] } (3) og ved hjælp herf definerer vi dernæst undersummen (L kommer fr lower ) L(P, f) = m j (f)(x j x j 1 ) (4) og oversummen (U kommer fr upper ) ved U(P, f) = M j (f)(x j x j 1 ). (5) Det følger umiddelbrt f definitionerne, t vi hr ulighederne L(P, f) S(P, t, f) U(P, f) (6) for ethvert vlg f t underordnet P. Se figur 1 for et eksempel. Med disse forberedelser kn vi nu definere Riemnn-integrbilitet. 2

3 Definition 2.1. En begrænset funktion f på [, b] siges t være Riemnn-integrbel på [, b], hvis der findes et tl A med følgende egenskb: Givet ε > 0, så findes en inddeling P I[, b], således t for lle P 1 I[, b] med P 1 P og lle t underordnet P 1 gælder S(P 1, t, f) A < ε. I bekræftende fld skriver vi A = f(x)dx. Mængden f Riemnn-integrble funktioner på [, b] betegnes R([, b]). Det er klrt fr definitionen, t der højst eksisterer ét tl A med denne egenskb, så nottionen A = f(x)dx giver mening. Øvelse 2.1. Bevis påstnden om t der højst er et sådnt A. 3 Om Riemnn-integrbilitet For t kunne bruges i prksis skl definition 2.1 suppleres med kriterier for integrbilitet. Vi giver to resultter; det første viser, t Riemnn-integrbilitet også kn krkteriseres ved hjælp f oversummer og undersummer. Sætning 3.1. For en begrænset funktion f : [, b] R, hvor [, b] er et kompkt intervl, er følgende egenskber ækvivlente: (i) Funktionen f(x) er Riemnn-integrbel, f R([, b]). (ii) For ethvert ε > 0 eksisterer der en inddeling P I[, b], således t U(P 1, f) L(P 1, f) < ε. for enhver inddeling P 1 I[, b] som opfylder P 1 P. Til beviset for sætningen hr vi brug for nogle observtioner. Lemm 3.2. Antg, t f er en begrænset funktion på [, b]. Antg, t P 1, P 2 I[, b] og P 2 P 1. Så gælder L(P 1, f) L(P 2, f) og U(P 2, f) U(P 1, f). Bevis. Det er nok t se på det tilfælde, hvor P 2 hr et punkt mere end P 1. Kld dette punkt c, og ntg c ]x j 1, x j [. Sæt M 1 = sup{f(x) x [x j 1, c]}, M2 = sup{f(x) x [c, x j ]}. 3

4 Så er M 1 M j (f) og M 2 M j (f) ifølge (3), og vi hr U(P 2, f) = M k (f)(x k x k 1 ) + M 1 (c x j 1 ) + M 2 (x j c) = k=1,...,n k j k=1,...,n k j M k (f)(x k x k 1 ) + M j (f)(c x j 1 ) M k (f)(x k x k 1 ) = U(P 1, f). k=1 + M j (f)(x j c) Det viser det ene delresultt. Det ndet vises på smme måde. Som konsekvens f lemmet gælder der for lle P 1, som er finere end P, t L(P, f) L(P 1, f) U(P 1, f) U(P, f). Dette viser dels t det nytter t gøre inddelingerne finere, dels t f. eks. undersummen L(P, f) hørende til en given inddeling P er mindre end eller lig enhver oversum svrende til en finere inddeling; dette vil sige t L(P, f) inf{ U(P 1, f) P 1 P }. Det er et centrlt punkt i beviset nedenfor t mn fktisk kn tge infimum over smtlige oversummer, ltså t der for ethvert P I[, b] gælder uligheden L(P, f) inf{ U(P, f) P I[, b] }. (8) Dette kn fås fr det ovenstående fordi der for enhver inddeling P I[, b] gælder t P P både er finere end P og P. Endelig defineres det øvre og det nedre integrl som, henholdsvis, I(f) = inf{u(p, f) P I[, b]} (9) I(f) = sup{l(p, f) P I[, b]}. (10) Det følger direkte f (8) t I(f) I(f) (og det bliver vist nedenfor t lighedstegnet er ækvivlent med både (i) og (ii) i sætning 3.1). BEVIS FOR SÆTNING 3.1. Antg først f R([, b]) og sæt A = f(x)dx. Ld ε > 0 være givet. Så findes ifølge definitionen på Riemnn-integrbilitet en inddeling P 0 I[, b], således t for lle P I[, b] med P P 0 og lle t underordnet P gælder (7) f(t j )(x j x j 1 ) A < 1 ε. (11) 3 Ld nu P være vlgt vilkårligt så P P 0, men fstholdt i resten f denne del f beviset. Bruges (11) for to forskellige, underordnede n-tupler t og s, så fås S(P, t, f) S(P, s, f) = (f(t j ) f(s j ))(x j x j 1 ) f(t j )(x j x j 1 ) A + A f(s j )(x j x j 1 ) < 2 ε. (12) 3 4

5 Sæt nu µ = ε/(3(b )). Bruger vi definitionen f M j (f) og m j (f) som henholdsvis et supremum og et infimum, kn vi finde t j [x j 1, x j ] således t og s j [x j 1, x j ], således t M j (f) < f(t j ) + µ/2, m j (f) > f(s j ) µ/2. Herf følger M j (f) m j (f) < f(t j ) f(s j ) + µ og dernæst t U(P, f) L(P, f) = < (M j (f) m j (f))(x j x j 1 ) (f(t j ) f(s j ))(x j x j 1 ) + µ (x j x j 1 ) (13) < 2 ε + µ(b ) = ε. 3 Det beviser t (i) medfører (ii). Antg nu t betingelsen (ii) er opfyldt. Så gælder I(f) = I(f), hvilket kn ses på følgende måde: Ld ε > 0 være fst men vilkårligt. Så findes efter ntgelsen en inddeling P I[, b] med U(P, f) L(P, f) < ε. Men så hr vi og derfor I(f) U(P, f) < L(P, f) + ε I(f) + ε, 0 I(f) I(f) < ε. D ε er vilkårlig, følger I(f) = I(f). Ideen er t vise, t f er integrbel, i henhold til definitionen, med integrl A := f(x) dx = I(f) = I(f). (14) Ld ε > 0 være givet. Bestem nu P således, t U(P, f) < I(f) + ε. Så gælder ifølge lemm 3.2 t U(P, f) < I(f) + ε. for lle P P. Tilsvrende bestemmes P således, t L(P, f) > I(f) ε for lle P P, hvor vi igen hr brugt lemm 3.2. Sæt P 0 = P P og ntg t P P 0 er vilkårlig. Så gælder for et vilkårligt t underordnet P A ε = I(f) ε < L(P, f) S(P, t, f) U(P, f) < I(f) + ε = A + ε og følgelig S(P, t, f) A < ε. Det beviser, t f er Riemnn-integrbel. (15) 5

6 Bemærk den finte, t en funktion f R([, b]) som konsekvens f sætningen nødvendigvis også er Riemnn-integrbel over ethvert delintervl [α, β] f sin definitionsmængde. (Dette fktum er nemt t tge for givet, men bør bevises.) Ved hjælp f ovenstående sætning 3.1 kn vi nu bevise hovedresulttet. Sætning 3.3. Antg, t f er kontinuert på [, b]. Så gælder f R([, b]), ltså t f er Riemnn-integrbel på [, b]. Bevis. Beviset udnytter t f s kontinuitet på det kompkte intervl [, b] er uniform (se Apostol Theorem 4.47). D f er kontinuert og [, b] er kompkt, er f begrænset; vi kn derfor bruge sætning 3.1 i beviset. Ld ε > 0 være givet. Bestem δ > 0, således t x y < δ medfører f(x) f(y) < ε/(2(b )) for lle x, y [, b]. Det er muligt, d f er uniformt kontinuert. Ld P være en inddeling med P < δ og ld P 1 P være vilkårlig. D f(x) ntger begge værdierne M j (f) og m j (f) på det kompkte intervl [x j 1, x j ], og d længden f ethvert sådnt delintervl f P 1 er mindre end δ, så følger uligheden M j (f) m j (f) ε/(2(b )) og dermed U(P 1, f) L(P 1, f) = (M j (f) m j (f))(x j x j 1 ) ε 2(b ) (x j x j 1 ) = ε (16) 2 < ε. Det viser ifølge sætning 3.1 t f R([, b]). I mtemtisk littertur betegner C([, b]) ofte rummet f reelle, kontinuerte funktioner på [, b] dermed er sætningens udsgn t C([, b]) R([, b]). Øvelse 3.1. Gennemfør rgumentet for (8) i lle detljer. Øvelse 3.2. Bevis t funktionen f(x) der er 1 for x = 0 og ellers er nul på [ 1, 1] er Riemnn-integrbel på [ 1, 1] med integrl 0. Øvelse 3.3. Godtgør påstnden efter sætning 3.1 om integrbilitet over ethvert delintevl. 4 Egenskber ved Riemnn-integrlet Nedenfor følger en smling nyttige integrtionsresultter, med kortfttede beviser. Sætning 4.1. R([, b]) er et reelt vektorrum. For f, g R([, b]) og c 1, c 2 R gælder (c 1 f(x) + c 2 g(x))dx = c 1 f(x)dx + c 2 g(x)dx. 6

7 Bevis. Sæt h = c 1 f + c 2 g. Så gælder for lle P og lle underordnede t t S(P, t, h) = c 1 S(P, t, f) + c 2 S(P, t, g). Givet ε > 0, så kn vi bestemme en inddeling P, således t for lle P P gælder S(P, t, f) f(x)dx < ε og en inddeling P, således t for lle P P gælder S(P, t, g) g(x)dx < ε. Sæt nu P 0 = P P. Så gælder for lle P P 0 S(P, t, h) c 1 f(x)dx c 2 g(x)dx < c 1 ε + c 2 ε. Herf følger resulttet. Det næste resultt kendes som indskudssætningen. Sætning 4.2. Antg c ], b[ og t f er Riemnn-integrbel over to f de tre intervller [, b], [, c] og [c, b]. Så er f også Riemnn-integrbel over det tredje, og der gælder f(x)dx = c f(x)dx + c f(x)dx. (17) Bevis. Vi ntger, t f er integrbel over [, c] og [c, b]. Givet ε > 0, så findes der en inddeling P 0 f [, c], således t for lle P P 0 gælder S(P, t, f) c f(x)dx < ε 2 og en inddeling P 0 f [c, b], således t for lle P P 0 gælder S(P, t, f) c f(x)dx < ε 2 ; herved er t og t vilkårlige tupler underordnede P og P. Vi sætter P 0 = P 0 P 0. Ld nu P P 0 og ld t være underordnet P. Så defineres P = P [, c], P = P [c, b], (18) med en tilsvrende opspltning t = (t, t ). Så er P en inddeling f [, c] og P en inddeling f [c, b], og der gælder S(P, t, f) = S(P, t, f) + S(P, t, f). Fordi P P 0 og P P 0 giver trekntsuligheden derfor t S(P, t, f) c f(x)dx c f(x)dx < ε. Resulttet følger herf. De ndre tilfælde behndles på smme måde. 7

8 Vi indfører de sædvnlige konventioner og sætter f(x)dx = f(x)dx b og f(x)dx = 0. Derefter gælder (17) for vilkårlig beliggenhed f, b og c: Korollr 4.3. Uden forudsætning om, b, c R gælder Sætning 4.2 i øvrigt ordret (med pssende fortolkning f [, b] for b < osv.). At Riemnn-integrlet respekterer den nturlige ordning f reelle funktioner er indholdet f Sætning 4.4. Antg f R([, b]) og g R([, b]), og t f(x) g(x) for lle x [, b]. Så gælder f(x)dx g(x)dx. Specielt gælder for en ikke-negtiv funktion, det vil sige f(x) 0 for x [, b], t f(x) dx 0. Bevis. Hvis f(x) 0, følger det f definitionen på middelsum t 0 S(P, t, f) for ethvert P og ethvert underordnet t. Men så er f(x) dx 0. Herf følger sætningen umiddelbrt ved t nvende det foregående på g f. For en funktion f betegner f funktionen givet ved f (x) = f(x). Mn d hr nedestående resultt, som er fundmentlt for t kunne vise uligheder mellem integrler. Sætning 4.5. Antg f R([, b]). Så er f R([, b]) og der gælder f(x)dx f (x)dx. (19) Bemærk t det f forudsætningen følger t < b. Dersom b < gælder ifølge sætningen f(x) dx f(x) dx. Idet f(x) dx = f(x) dx, er b b b det så i lle tilfælde vist t f(x) dx f(x) dx, for, b R. Denne formulering er dog ret kvet, d der stdig optræder numerisk værdi f integrlet på ulighedens højre side. D det ydermere er klrt t (19) er forkert hvis b <, så nøjes vi med t hve præmissen t < b stående indirekte i krvet f R([, b]). 8

9 Bevis. Betrgt et P I[, b], og hold x j 1, x j P fst. For vilkårlige x, y [x j 1, x j ] hves og det følger herf t f(x) f(y) f(x) f(y) M j (f) m j (f) (20) M j ( f ) m j ( f ) M j (f) m j (f). Multipliktion med x j x j 1 og summtion giver nu t U(P, f ) L(P, f ) U(P, f) L(P, f). D det gælder for lle inddelinger, giver sætning 3.1, t f R([, b]). Vi hr f f og f f, så uligheden følger fr sætning 4.4. Bemærkning 4.6 (Advrsel). Der gælder ikke t f R([, b]) medfører f R([, b]). Dette er en f de største svgheder ved Riemnn-integrlet. Som illustrtion kn mn betrgte funktionen på [0, 1] givet ved { 1 for x irrtionl, f(x) = 1 for x rtionl. Så gælder U(P, f) = 1 og L(P, f) = 1 for lle inddelinger P f [0, 1]. Men så er f ikke Riemnn-integrble ifølge sætning 3.1. På den nden side er f lig den konstnte funktion 1, som er Riemnn-integrbel. Der findes dog et mere generelt integrl opkldt efter Henri Lebesgue (1902), hvor klssen L([, b]) f Lebesgue-integrble funktioner er så meget større end R([, b]) t mn kn mnøvrere mere frit. Blndt ndet gælder der lment t f L([, b]) hvis og kun hvis f L([, b]). Det vil dog føre for vidt t komme ind på dette her. Det er under tiden nyttigt t vide t R([, b]) er lukket under punktvis multipliktion, hvilket er oplgt for underrummet C([, b]); men det gælder også lment: Sætning 4.7. Antg f R([, b]) og g R([, b]). Så er fg R([, b]). Bevis. Vi bruger først sætning 3.1 for t behndle tilfældet f = g. Der gælder både M j (f 2 ) = (M j ( f )) 2 og m j (f 2 ) = (m j ( f )) 2. Dermed hr vi M j (f 2 ) m j (f 2 ) = (M j ( f ) + m j ( f ))(M j ( f ) m j ( f )) 2K(M j ( f ) m j ( f )), (21) hvor begrænsetheden f f er brugt til t bestemme en konstnt K, så f(x) K for lle x [, b]. Men så følger resulttet f sætning 4.5 og sætning 3.1. Resulttet følger for vilkårlige f og g i R([, b]) f identiteten 2f(x)g(x) = (f(x) + g(x)) 2 (f(x)) 2 (g(x)) 2 og sætning 4.1 smt første del f beviset. 9

10 De to næste resultter kendes under nvnet differentil- og integrlregningens hovedsætning. Sætning 4.8. Antg, t f er kontinuert på [, b] og definér for x [, b] F (x) = x f(t)dt. Så er F kontinuert differentibel på [, b], og der gælder F (x) = f(x). Bevis. For vilkårlige to punkter x og x + h i [, b] hves 1 h (F (x + h) F (x)) f(x) = 1 h x+h x (f(t) f(x))dt. (22) Givet ε > 0 og x [, b], så kn vi på grund f kontinuiteten f f bestemme et δ > 0, så f(t) f(x) < ε for lle t i kuglen B [,b] (x, δ). Definitionen på grænseværdi, sætning 4.5 og (22) giver derfor resulttet. Bemærk t de fledte f F i og b nødvendigvis skl forstås som ensidede; og t beviset for x = eller x = b tger højde for det ved t referere til kuglen B [,b] (x, δ) i det metriske delrum [, b] (som for x ], b[ og δ tilstrækkeligt lille blot er ]x δ, x + δ[ ). I den omvendte retning hves, endd under svgere forudsætninger, Sætning 4.9. Ld F være kontinuert på [, b] og differentibel på ], b[ med Riemnn-integrbel differentilkvotient; det vil sige F (x) = f(x) for lle x ], b[ og f R([, b]). Så gælder f(x)dx = F (b) F (). Bevis. Ld P være en vilkårlig inddeling f [, b]. Så gælder F (b) F () = = (F (x j ) F (x j 1 )) F (t j )(x j x j 1 ) = f(t j )(x j x j 1 ), (23) hvor t j ]x j 1, x j [ er bestemt ved t nvende middelværdisætningen (Apostol Theorem 5.11). For hvert fst ε > 0 kn vi nu bestemme en inddeling, som er så fin, t vi hr F (b) F () f(x)dx = f(t j )(x j x j 1 ) f(x)dx < ε. D venstresiden er ufhængig f ε, og d ε er vilkårlig, følger resulttet. 10

11 Øvelse 4.1. Bevis korollr 4.3. Øvelse 4.2. Brug sætning 4.4 til t vise t der for hver kontinuert funktion f på [, b] findes et tl ξ [, b] så f(x) dx = f(ξ)(b ). Dette kendes som integrlregningens middelværdisætning. Vis t mn endd kn slutte t ξ ], b[. Øvelse 4.3. Verificer ulighederne i beviset for sætning 4.5. Øvelse 4.4. Verificer den sidste påstnd i beviset for sætning Riemnn-integrlet f komplekse funktioner Konstruktionen f integrlet udvides nu til funktioner, der fbilder et intervl [, b] over i de komplekse tl. Vi minder om, t en funktion f : [, b] C kn skrives som f = Ref + i Imf. Definition 5.1. En begrænset funktion f : [, b] C kldes Riemnn-integrbel på [, b], hvis Ref R([, b]) og Imf R([, b]); for sådnne f sættes f(x)dx = Ref(x)dx + i Imf(x)dx. Mængden f komplekse Riemnn-integrble funktioner betegnes R([, b]; C) Bemærk, t med denne definition er Re f(x)dx = Ref(x)dx og Im f(x)dx = Som en umiddelbr konsekvens f definitionen og sætning 4.1 hves: Sætning 5.2. R([, b]; C) er et komplekst vektorrum. Afbildningen f er en lineær fbildning fr R([, b]; C) til C. f(x)dx Imf(x)dx. For håndteringen f integrler f komplekse funktioner er det næste resultt meget vigtigt. Sætning 5.3. Ld f R([, b]; C). Så er f R([, b]), og der gælder f(x)dx f(x) dx. 11

12 Bevis. Før uligheden vises må vi give mening til integrlet på højre side, ltså vise påstnden om t f R([, b]). Ved t bruge (dele f) formel (20) på både Ref og Imf, ses det t der til hvert delintervl [x j 1, x j ] f en inddeling P gælder f(x) f(y) f(x) f(y) Derf fås t Ref(x) Ref(y) + Imf(x) Imf(y) M j (Ref) m j (Ref) + M j (Imf) m j (Imf). M j ( f ) m j ( f ) M j (Ref) m j (Ref) + M j (Imf) m j (Imf), hvorfor mn ved multipliktion med x j x j 1 og summtion over j finder (24) U(P, f ) L(P, f ) ( U(P, Ref) L(P, Ref) ) + ( U(P, Imf) L(P, Imf) ). Nu ses t f er i R([, b]), for til givet ε findes en inddeling P 0 for hvilken begge led på højre side er < ε/2 for lle P P 0. Bestem nu et θ R, så t f(x)dx = eiθ f(x)dx = e iθ f(x)dx. Vi hr d, idet vi bruger sætningerne 4.5 og 4.4, f(x)dx = Re e iθ f(x)dx = Herf følger sidste del f sætningen. Re(e iθ f(x))dx Re(e iθ f(x)) dx f(x) dx. (25) I krft f dette resultt kn hovedsætningen, sætning 4.8, vises (med et lignende bevis) for funktioner med komplekse værdier. 6 Riemnn-integrlet f vektorfunktioner Nu betrgtes funktioner, der fbilder et intervl [, b] over i R n eller C n. For simpelhedens skyld skrives dette som L n, der ltså er et vektorrum over legemet L. Som bekendt er det sædvnlige indre produkt i dette rum givet ved u v = u 1 v u n v n, og u = u u n 2. Det bemærkes t der for lle u L n gælder den elementære ulighed u u 1 + u u n ; (26) dette kn ses ved t kvdrere begge sider hvorved der kommer ekstr led på højre side f formen 2 u k u m, der lle er positive. Idet funktioner f : [, b] L n kn skrives som n-tupler f funktioner, f(x) = (f 1 (x),..., f n (x)) er følgende definition nturlig. 12

13 Definition 6.1. En begrænset funktion f : [, b] L n kldes Riemnn-integrbel på [, b], hvis f j R([, b]; C) for hvert j = 1,...,n; for sådnne f sættes f(x)dx = ( f 1 (x) dx,..., f n (x) dx). Mængden f Riemnn-integrble vektorfunktioner betegnes R([, b]; L n ). Bemærk t integrlet f en vektorfunktion hermed bliver en vektor i L n. Ved t ræsonnere på hver komponent f j f f kn mn reltivt let overføre de fleste f de tidligere viste resultter for R([, b]) eller R([, b]; C) (lt efter som L = R eller L = C). Eksempelvis ses det let R([, b]; L n ) er et vektorrum over L og t integrlet er en lineær fbildning fr dette rum ind i L. Imidlertid er der en vigtig egenskb der fortjener t blive vist i detljer. Sætning 6.2. Ld f R([, b]; L n ). D gælder t x f(x) er en funktion i R([, b]), og f(x) dx f(x) dx. (27) Bevis. For t vise integrbiliteten f f(x) går vi frem på smme måde som i beviset for sætning 5.3. Ved t bruge uligheden (26) fås for L = R t f(x) f(y) f(x) f(y) f k (x) f k (y) k=1 (M j (f k ) m j (f k )). Som i beviset for sætning 4.5 og 5.3 sluttes nu t ( U(P, f ) L(P, f ) U(P, fk ) L(P, f k ) ). k=1 k=1 (28) Her kn højre side gøres mindre end et givent ε ved t tge P tilstrækkeligt fin, så integrbiliteten f f følger. For L = C gås frem på smme måde, blot skl mn yderligere splte op i rel- og imginærdele f f k fr og med den miderste ulighed i (28); jævnfør beviset for sætning 5.3. Endelig findes der til hvert v L n en enhedsvektor u som opfylder v = u v, for eksempel u = 1 v. Specielt gælder dette for v = f(x) dx, og det v noteres t u f(x) er i R([, b]; C) hvormed også u f(x) er integrbel ifølge sætning 5.3. Vi får d f integrlets lineritet og Cuchy Schwrz ulighed t f(x) dx = u f(x) dx = f(x) u dx = u f(x) dx f(x) dx. u f(x) dx (29) I den sidste ulighed indgik sætning 4.4 og den viste integrbilitet f f(x). Dermed er sætningen bevist. 13

ANALYSE 1, 2014, Uge 3

ANALYSE 1, 2014, Uge 3 ANALYSE 1, 2014, Uge 3 Forelæsninger Tirsdg. Vi generliserer tlrækker til funktionsrækker ved t udskifte tllene med funktioner (TL Afsnit 12.5). Det svrer til forrige uges skridt fr tlfølger til funktionsfølger.

Læs mere

For så kan de to additionsformler samles i én formel, der kan ses som et specialtilfælde af den komplekse eksponentialfunktions funktionalligning,

For så kan de to additionsformler samles i én formel, der kan ses som et specialtilfælde af den komplekse eksponentialfunktions funktionalligning, 15.1. Komplekse integrler 293 læse, og hvordn gør mn det i prksis? Men den virkelige motivtion bg begrebet bliver udst til fsnit 18.5, hvor vi viser t foldning f sndsynlighedsmål lder sig udtrykke meget

Læs mere

Du kan efter ønske opfatte integralet som et Riemann-integral eller et Lebesgue-integral (idet de to er identiske på C([a, b], C) jf. Theorem 11.8.

Du kan efter ønske opfatte integralet som et Riemann-integral eller et Lebesgue-integral (idet de to er identiske på C([a, b], C) jf. Theorem 11.8. Anlyse Øvelser Rsmus Sylvester Bryder. og 5. oktober 3 Supplerende opgve Ld C([, b], C) betegne rummet f lle kontinuerte funktioner f : [, b] C, hvor < b, og definér et indre produkt på C([, b], C) ved

Læs mere

ANALYSE 1, 2013, Uge 2

ANALYSE 1, 2013, Uge 2 ANALYSE 1, 2013, Uge 2 Forelæsninger Denne uges tem er uendelige rækker. Tirsdg: Tlrækker. En uendelig tlrække består ligesom en uendelig tlfølge f uendelig mnge tl. Forskellen mellem de to begreber består

Læs mere

MM501 forelæsningsslides

MM501 forelæsningsslides MM501 forelæsningsslides uge 39, 009 Produceret f Hns J. Munkholm 1 Linerisering s. 66-67 Lineriseringen f f omkring x =, er den lineære funktion, der hr tngenten som grf. Klder mn den L er forskriften

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 17

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 17 Mtemtisk modellering og numeriske metoder Lektion 1 Morten Grud Rsmussen 8. november, 1 1 Numerisk integrtion og differentition [Bogens fsnit 19. side 84] 1.1 Grundlæggende om numerisk integrtion Vi vil

Læs mere

Eksamen Analyse 1, Juni 2015, Besvarelse 1. Opgave 1. ( ln x) q x p dx =

Eksamen Analyse 1, Juni 2015, Besvarelse 1. Opgave 1. ( ln x) q x p dx = Eksmen Anlyse, Juni 25, Besvrelse Ld p >, q, og r. Opgve () Vis t integrlet ( ln x)r x p dx konvergerer. [Vink: Smmenlign med x s for pssende vlgt s.] ( ln x)q x p dx. [Vink: Anvend (b) Bevis formlen (

Læs mere

Pointen med Integration

Pointen med Integration Pointen med Integrtion Frnk Nsser 20. pril 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun nvendes til undervisning i klsser som bonnerer på MtBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er en

Læs mere

INTEGRALREGNING. Opgaver til noterne kan findes her. PDF. Facit til opgaverne kan hentes her. PDF. Version: 5.0

INTEGRALREGNING. Opgaver til noterne kan findes her. PDF. Facit til opgaverne kan hentes her. PDF. Version: 5.0 INTEGRALREGNING Version: 5.0 Noterne gennemgår egreerne: integrl og stmfunktion, og nskuer dette som et redsk til estemmelse f l.. reler under funktioner. Opgver til noterne kn findes her. PDF Fcit til

Læs mere

Mat1GB Minilex. Henrik Dahl, Hold 8. 29. maj 2003. 1 Definitioner 2

Mat1GB Minilex. Henrik Dahl, Hold 8. 29. maj 2003. 1 Definitioner 2 Mt1GB Minilex Henrik Dhl, Hold 8 29. mj 2003 Indhold 1 Definitioner 2 2 Sætninger m.v. 18 2.1 Begrænsethed, åben/lukket..................... 18 2.2 Differentition............................ 18 2.3 Differentilligninger.........................

Læs mere

Planintegralet. Preben Alsholm 5. maj 2008. 1.1 Integralet af en funktion af én variabel. 1, x i ] et tal t i. Summen. n f (t i ) (x i x i 1 ) R =

Planintegralet. Preben Alsholm 5. maj 2008. 1.1 Integralet af en funktion af én variabel. 1, x i ] et tal t i. Summen. n f (t i ) (x i x i 1 ) R = Plnintegrlet Preben Alsholm 5. mj 8 Plnintegrlet. Integrlet f en funktion f én vribel et bestemte integrl efinition Ld f være en funktion defineret på intervllet [ b]. Ld = x x... x n = b være en inddeling

Læs mere

Integralregning. 2. del. 2006 Karsten Juul

Integralregning. 2. del. 2006 Karsten Juul Integrlregning del ( ( 6 Krsten Juul Indhold 6 Uestemt integrl8 6 Sætning om eksistens stmunktioner 8 6 Oplæg til "regneregler or integrl"8 6 Regneregler or uestemt integrl 9 68 Foreredelse til "integrtion

Læs mere

(a k cos kx + b k sin kx) k=1. cos θk = sin θ 1 ak. , b k. k=1

(a k cos kx + b k sin kx) k=1. cos θk = sin θ 1 ak. , b k. k=1 SEKTION 7 FOURIERANALYSE 7 Fouriernlyse Periodiske funktioner er vigtige i mnge smmenhænge, både videnskbeligt og teknisk Vi vil normlisere, så ntger, t perioden er π Disse funktioner er bedst nlyseret

Læs mere

gudmandsen.net y = b x a Illustration 1: potensfunktioner i 5 forskellige grupper

gudmandsen.net y = b x a Illustration 1: potensfunktioner i 5 forskellige grupper gudmndsen.net Dette dokument er publiceret på http://www.gudmndsen.net/res/mt_vejl/. Ophvsret: Indholdet stilles til rådighed under Open Content License[http://opencontent.org/openpub/]. Kopiering, distribution

Læs mere

Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. Integrationsprincippet og Keplers tønderegel

Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. Integrationsprincippet og Keplers tønderegel Integrtionsprincippet og Keplers tønderegel. side Institut for Mtemtik, DTU: Gymnsieopgve Integrtionsprincippet og Keplers tønderegel Littertur: H. Elrønd Jensen, Mtemtisk nlyse, Institut for Mtemtik,

Læs mere

Formelsamling til Fourieranalyse 10. udgave

Formelsamling til Fourieranalyse 10. udgave Formelsmling til Fouriernlyse. udgve Kristin Jerslev og Steven Hyden 3. oktober 9 Her følger en formelsmling lvet til kurset Fouriernlyse på Arhus Universitet. Bemærk venligst, t smlingen indeholder sætninger

Læs mere

Matematikprojekt. Integralregning. Lavet af Arendse Morsing Gunilla Olesen Julie Slavensky Michael Hansen. 15 Oktober 2010

Matematikprojekt. Integralregning. Lavet af Arendse Morsing Gunilla Olesen Julie Slavensky Michael Hansen. 15 Oktober 2010 Mtemtikprojekt om Integrlregning Lvet f Arendse Morsing Gunill Olesen Julie Slvensky Michel Hnsen 15 Oktober 21 Indhold I Del 1................................ 3 I Generelt om stmfunktioner og integrler........

Læs mere

UGESEDDEL 52. . Dette gøres nedenfor: > a LC

UGESEDDEL 52. . Dette gøres nedenfor: > a LC UGESEDDE 52 Opgve 1 Denne opgve er et mtemtisk eksempel på Ricrdo s én-fktor model, der præsenteres i Krugmn & Obstfeld kpitel 2 side 12-19. Denne model beskriver hndel som et udslg f komprtive fordele

Læs mere

9 Geodætiske kurver og Gauss-krumning

9 Geodætiske kurver og Gauss-krumning 9 Geodætiske kurver og Guss-krumning 9. Geodætiske kurver En ret linie i plnen fr punktet p til punktet q hr den egenskb t enhver nden kurve fr p til q hr kurvelængde som er mindst p q. Et stykke f en

Læs mere

6.1 Reelle Indre Produkter

6.1 Reelle Indre Produkter SEKTION 6.1 REELLE INDRE PRODUKTER 6.1 Reelle Indre Produkter Definition 6.1.1 Et indre produkt på et reelt vektorrum V er en funktion, : V V R således at, for alle x, y V, I x, x 0 med lighed x = 0, II

Læs mere

Lektion 5 Det bestemte integral

Lektion 5 Det bestemte integral f(x) dx = F (b) F () Lektion 5 Det bestemte integrl Definition Integrlregningens Middelværdisætning Integrl- og Differentilregningens Hovedsætning Bereging f bestemte integrler Regneregler Arel mellem

Læs mere

Om Dido var kyndig i matematik er nok tvivlsomt, men hun havde i hvert fald en veludviklet logisk sans, som vi skal se.

Om Dido var kyndig i matematik er nok tvivlsomt, men hun havde i hvert fald en veludviklet logisk sans, som vi skal se. Forord. Det isoperimetriske problem går i l sin enkelhed ud på t finde den lukkede kurve i plnen, blndt en mængde f kurver lle med smme omkreds, som fgrænser det størst mulige rel. Løsningen til det isoperimetriske

Læs mere

1 1 t 10 1. ( ) x 2 4. + k ================= sin( x) + 4 og har graf gennem (0,2), dvs F(0) = 2. + 4x + k

1 1 t 10 1. ( ) x 2 4. + k ================= sin( x) + 4 og har graf gennem (0,2), dvs F(0) = 2. + 4x + k 0x-MA (0.0.08) _ opg (3:07) Integrtion ved substitution ( x + 7) 9 t x + 7 > t 9 t 0 + k 0 0 ( x + 7)0 + k b) x x + 4 t x + 4 > 3 x t t t x 3 t x x + k 3 t t + k ( ) x 4 3 x + 4 + + k c) cos( x)

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 12

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 12 Mtemtisk modellering numeriske metoder Lektion 12 Morten Grud Rsmussen 21. oktober, 213 1 Prtielle differentilligninger 1.1 Løsning f vrmeligningen vh. Fourierrækker [Bens sektion 12.6 på side 558] Vi

Læs mere

Retningslinjer for bedømmelsen Georg Mohr-Konkurrencen runde

Retningslinjer for bedømmelsen Georg Mohr-Konkurrencen runde Retningslinjer for bedømmelsen Georg Mohr-Konkurrencen 016. runde Besvrelser som flder uden for de løsninger som ligger til grund for pointskemerne, bedømmes ved nlogi så skridt med tilsvrende vægt i den

Læs mere

Fremkomsten af mængdelæren. Stig Andur Pedersen

Fremkomsten af mængdelæren. Stig Andur Pedersen Fremkomsten f mængdelæren Stig Andur Pedersen 1 Fourier række for f(x)=x x n 1 ( 1) 2 sin( nx) n n= 1 sin(2 x) sin(3 x) sin(4 x) = 2 sin( x) + + 2 3 4 De første 15 led er tget med på kurven. 2 Fourierrække

Læs mere

3. Vilkårlige trekanter

3. Vilkårlige trekanter 3. Vilkårlige treknter 3. Vilkårlige treknter I dette fsnit vil vi beskæftige os med treknter, der ikke nødvendigvis er retvinklede. De formler, der er omtlt i fsnittet om retvinklede treknter, kn ikke

Læs mere

Potens- sammenhænge. inkl. proportionale og omvendt proportionale variable. 2010 Karsten Juul

Potens- sammenhænge. inkl. proportionale og omvendt proportionale variable. 2010 Karsten Juul Potens- smmenhænge inkl. proportionle og omvendt proportionle vrible 010 Krsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse f hæftet "Eksponentielle smmenhænge, udgve ". Indhold 1. Hvd er en potenssmmenhæng?...1.

Læs mere

TAL OG BOGSTAVREGNING

TAL OG BOGSTAVREGNING TAL OG BOGSTAVREGNING De elementære regnerter I mtemtik kn vi regne med tl, men vi kn også regne med bogstver, som gør det hele en smugle mere bstrkt. Først skl vi se lidt på de fire elementære regnerter,

Læs mere

- 81 - , x I. kmx. Sætningen bevises ikke her. Interesserede læsere henvises til bogen: Differentialligninger og matematiske

- 81 - , x I. kmx. Sætningen bevises ikke her. Interesserede læsere henvises til bogen: Differentialligninger og matematiske - 8 - Appendi : Logistisk vækst og integrlregning. I forbindelse med eksponentielle vækstfunktioner er der tle om en vækstform, hvor funktionens væksthstighed er proportionl med den ktuelle funktionsværdi,

Læs mere

Ny Sigma 9, s Andengradsfunktioner med regneforskrift af typen y = ax + bx + c, hvor a 0.

Ny Sigma 9, s Andengradsfunktioner med regneforskrift af typen y = ax + bx + c, hvor a 0. Ny Sigm 9, s 110 Andengrdsfunktioner med regneforskrift f typen y = x + x + c, hvor 0 Lineære funktioner (førstegrdsfunktioner) med regneforskrift f typen y = αx + β Grfen for funktioner f disse typer

Læs mere

= λ([ x, y)) + λ((y, x]) = ( y ( x)) + (x y) = 2(x y).

= λ([ x, y)) + λ((y, x]) = ( y ( x)) + (x y) = 2(x y). Analyse 2 Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 17. og 20. september 2013 Supplerende opgave 1 Lad λ være Lebesgue-målet på R og lad A B(R). Definér en funktion f : [0, ) R ved f(x) = λ(a [ x, x]). Vis, at f(x)

Læs mere

Analyse 1, Prøve maj Lemma 2. Enhver konstant funktion f : R R, hvor f(x) = a, a R, er kontinuert.

Analyse 1, Prøve maj Lemma 2. Enhver konstant funktion f : R R, hvor f(x) = a, a R, er kontinuert. Alyse, Prøve. mj 9 Alle hevisiger til TL er hevisiger til Klkulus 6, Tom Lidstrøm. Direkte opgvehevisiger til Klkulus er givet med TLO, ellers er lle hevisiger til steder i de overordede fsit. Hevises

Læs mere

Matematik B-A. Trigonometri og Geometri. Niels Junge

Matematik B-A. Trigonometri og Geometri. Niels Junge Mtemtik B-A Trigonometri og Geometri Niels Junge Indholdsfortegnelse Indledning...3 Trigonometri...3 Sinusreltionen:...6 Cosinusreltionen...7 Dobbeltydighed...7 Smmendrg...8 Retvinklede treknter...8 Ikke

Læs mere

Trigonometri. Matematik A niveau

Trigonometri. Matematik A niveau Trigonometri Mtemtik A niveu Arhus Teh EUX Niels Junge Trigonometri Sinus Cosinus Tngens Her er definitionen for Cosinus Sinus og Tngens Mn kn sige t osinus er den projierede på x-ksen og sinus er den

Læs mere

... ... ... ... ... ... ... b > 0 og x > 0, vil vi kalde en potensfunktion. 492 10. Potensfunktioner

... ... ... ... ... ... ... b > 0 og x > 0, vil vi kalde en potensfunktion. 492 10. Potensfunktioner POTENSFUNKTIONER 0 49 0. Potensfunktioner POTENSFUNKTIONER DEFINITION En funktion med forskriften f( )= b hvor b > 0 og > 0 vil vi klde en potensfunktion. I MAT C kpitel så vi t hvis skl være et vilkårligt

Læs mere

Supplerende opgaver. S1.3.1 Lad A, B og C være delmængder af X. Vis at

Supplerende opgaver. S1.3.1 Lad A, B og C være delmængder af X. Vis at Supplerende opgaver Analyse Jørgen Vesterstrøm Forår 2004 S.3. Lad A, B og C være delmængder af X. Vis at (A B C) (A B C) (A B) C og find en nødvendig og tilstrækkelig betingelse for at der gælder lighedstegn

Læs mere

Fælles for disse typer af funktioner er, at de som grundfunktion indeholder varianter af udtrykket x a.

Fælles for disse typer af funktioner er, at de som grundfunktion indeholder varianter af udtrykket x a. 5. FORSKRIFT FOR EN POTENSFUNKTION Vi hr i vores gennemgng f de forskellige funktionstper llerede være inde på udtrk, som indeholder forskellige potenser f I dette kpitel skl vi se på forskellige tper

Læs mere

Differential-kvotient. Produkt og marked - differential og integralregning. Regneregler. Stamfunktion. Lad f være en funktion - f.eks. f (x) = 2x 2.

Differential-kvotient. Produkt og marked - differential og integralregning. Regneregler. Stamfunktion. Lad f være en funktion - f.eks. f (x) = 2x 2. Differentil-kvotient Ld f være en funktion - f.eks. f (x) = 2x 2. Produkt og mrked - differentil og integrlregning Rsmus Wgepetersen Institut for Mtemtiske Fg Alborg Universitet Februry 14, 2014 Differentilkvotienten

Læs mere

Michel Mandix (2017) Derfor er der behov for en række værktøjer, som kan bruges også til de vilkårlige trekanter. a b c A B C

Michel Mandix (2017) Derfor er der behov for en række værktøjer, som kan bruges også til de vilkårlige trekanter. a b c A B C Mihel Mndix (07) Sinusreltionen Nott Side f 9 Sinusreltionen Indtil videre, er der kun eskrevet, hvordn mn eregner på retvinklede treknter. Men desværre er det lngtfr lle treknter, som er retvinklede.

Læs mere

Elementær Matematik. Vektorer i planen

Elementær Matematik. Vektorer i planen Elementær Mtemtik Vektorer i plnen Køge Gymnsium 0 Ole Witt-Hnsen Indhold. Prllelforskydninger i plnen. Vektorer.... Sum og differens f to vektorer... 3. Multipliktion f vektor med et tl...3 4. Opløsning

Læs mere

Projekt 1.4 De reelle tal og 2. hovedsætning om kontinuitet

Projekt 1.4 De reelle tal og 2. hovedsætning om kontinuitet Projekt 1.4 De reelle tal og 2. hovedsætning om kontinuitet Mens den 1. hovedsætning om kontinuerte funktioner kom forholdsvis smertefrit ud af intervalrusebetragtninger, så er 2. hovedsætning betydeligt

Læs mere

Lektion 6 Bogstavregning

Lektion 6 Bogstavregning Lektion Bogstvregning Formler... Reduktion... Ligninger... Lektion Side 1 Formler En formel er en slgs regne-opskrift, hvor mn med bogstver viser, hvorledes noget skl regnes ud. F.eks. formler til beregning

Læs mere

Besvarelses forslag til Tag-hjemeksamen Vinteren 02 03

Besvarelses forslag til Tag-hjemeksamen Vinteren 02 03 IMFUFA Carsten Lunde Petersen Besvarelses forslag til Tag-hjemeksamen Vinteren 02 0 Hvor ikke andet er angivet er henvisninger til W.R.Wade An Introduction to analysis. Opgave a) Idet udtrykket e x2 cos

Læs mere

Differentialregning. integralregning

Differentialregning. integralregning Differentilregning og integrlregning Ib Micelsen Ikst 013 Indoldsfortegnelse Tegneøvelser...3 Introduktion... Definition f differentilkvotient og tngent...6 Tngentældninger...7 Den fledte funktion...7

Læs mere

Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk. Erik Vestergaard, 2009.

Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk. Erik Vestergaard, 2009. Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk Erik Vestergrd, 009. Billeder: Forside: Collge f billeder: istock.com/titoslck istock.com/yuri Desuden egne fotos og illustrtioner Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk

Læs mere

Matematik - introduktion. Martin Lauesen February 23, 2011

Matematik - introduktion. Martin Lauesen February 23, 2011 Mtemtik - introduktion Mrtin Luesen Februry 23, 2011 1 Contents 1 Aritmetik og elementær lgebr 3 1.1 Symboler............................... 3 1.1.1 ligheder............................ 4 1.1.2 uligheder...........................

Læs mere

Eksamensspørgsmål: Potens-funktioner

Eksamensspørgsmål: Potens-funktioner Eksmensspørgsmål: Potens-funktioner Definition:... 1, mønt flder ned:... 1 Log y er en liner funktion f log x... 2 Regneforskrift... 2... 2 Smmenhæng mellem x og y ved potens-vækst... 3 Tegning f grf for

Læs mere

Integrationsteknikker

Integrationsteknikker Integrtionsteknikker Frnk Vill. jnur 14 Dette dokument er en del f MtBog.dk 8-1. IT Teching Tools. ISBN-13: 978-87-9775--9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion 1 Numerisk integrtion.1

Læs mere

Regneregler. 1. Simple regler for regning med tal.

Regneregler. 1. Simple regler for regning med tal. Regneregler. Simple regler for regning med tl. Vi rejder l.. med følgende fire regningsrter: plus (), minus ( ), gnge () og dividere (: eller røkstreg, se senere), eller med fremmedord : ddition, sutrktion,

Læs mere

Kort om Potenssammenhænge

Kort om Potenssammenhænge Øvelser til hæftet Kort om Potenssmmenhænge 2011 Krsten Juul Dette hæfte indeholder bl.. mnge småspørgsmål der gør det nemmere for elever t rbejde effektivt på t få kendskb til emnet. Indhold 1. Ligning

Læs mere

Hilbert rum. Chapter 3. 3.1 Indre produkt rum

Hilbert rum. Chapter 3. 3.1 Indre produkt rum Chapter 3 Hilbert rum 3.1 Indre produkt rum I det følgende skal vi gøre brug af komplekse såvel som reelle vektorrum. Idet L betegner enten R eller C minder vi om, at et vektorrum over L er en mængde E

Læs mere

Matematikken bag perspektivet I

Matematikken bag perspektivet I Supperende mterie ti erspektiv med GeoMeter Mtemtikken bg perspektivet I Som udgngspunkt for t diskutere de vigtigste mtemtiske sætninger bg perspektivtegninger vi vi benytte noge eementære egenskber for

Læs mere

hvor A er de ydre kræfters arbejde på systemet og Q er varmen tilført fra omgivelserne til systemet.

hvor A er de ydre kræfters arbejde på systemet og Q er varmen tilført fra omgivelserne til systemet. !#" $ "&% (')"&*,+.-&/102%435"&6,+879$ *1')*&: or et system, hvor kun den termiske energi ændres, vil tilvæksten E term i den termiske energi være: E term A + Q hvor A er de ydre kræfters rbejde på systemet

Læs mere

Kalkulus 2 - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger

Kalkulus 2 - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger Kalkulus - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger Mads Friis 8. januar 05 Indhold Grundlæggende uligheder Grænseovergange 3 3 Kontinuitet 9 4 Følger 0 5 Perspektivering 4 Grundlæggende uligheder Sætning

Læs mere

Regneregler for brøker og potenser

Regneregler for brøker og potenser Regneregler for røker og potenser Roert Josen 4. ugust 009 Indhold Brøker. Eksempler......................................... Potenser 7. Eksempler......................................... 8 I de to fsnit

Læs mere

1 Plan og rumintegraler

1 Plan og rumintegraler 1 PLAN OG RUMINTEGRALER 1 1 Pln og rumintegrler Ligesom for funktioner f en vribel kn mn for kontinuerte funktioner f flere vrible definere deres integrle. Vi vil her kun beskæftige os med funktioner f

Læs mere

MATEMATISK FORMELSAMLING

MATEMATISK FORMELSAMLING MATEMATISK FORMELSAMLING GUX Grønlnd Mtemtisk formelsmling til B-niveu, GUX Grønlnd Deprtementet for uddnnelse 05 Redktion: Rsmus Andersen, Jens Thostrup MtemtiskformelsmlingtilB-niveu GUX Grønlnd FORORD

Læs mere

Sandsynlighedsregning 5. forelæsning Bo Friis Nielsen

Sandsynlighedsregning 5. forelæsning Bo Friis Nielsen Dgens emner fsnit 3.5 og 4. oissonfordelingen Sndsynlighedsregning 5. forelæsning Bo Friis Nielsen Mtemtik og Computer Science Dnmrks Tekniske Universitet 800 Kgs. Lyngby Dnmrk Emil: bfni@dtu.dk Kontinuerte

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningseskrivelse Stmoplysninger til rug ved prøver til gymnsile uddnnelser Termin Juni 2016 Institution Uddnnelse Fg og niveu Lærere Hold Fvrskov Gymnsium Stx Mtemtik A Peter Lundøer (Lu) 3k Mtemtik

Læs mere

k(k 1)(k 2)... (k n + 1) = = 12 2 = 6

k(k 1)(k 2)... (k n + 1) = = 12 2 = 6 Oversigt [S] 8.7, 8.8, 8.9 Nøgleord og begreber Binomilformlen Binomilkoefficienter Binomilrækken Tylor polynomier Vurdering f Tylor s restled Eksponentilrækken konvereger mod eksponentilfunktionen Clculus

Læs mere

Matematikkens mysterier - på et højt niveau. 3. Differentialligninger

Matematikkens mysterier - på et højt niveau. 3. Differentialligninger Mtemtikkens msterier - på et højt niveu f Kenneth Hnsen 3. Differentilligninger N N N 3 A A k k Indholdsfortegnelse 3. Introduktion 3. Dnmiske sstemer 3 3.3 Seprtion f de vrible 8 3.4 Vækstmodeller 8 3.5

Læs mere

Lektion 7s Funktioner - supplerende eksempler

Lektion 7s Funktioner - supplerende eksempler Lektion 7s Funktioner - supplerende eksempler Oversigt over forskellige tper f funktioner Omvendt proportionlitet og hperler.grdsfunktioner og prler Eksponentilfunktioner Potensfunktioner Lektion 7s Side

Læs mere

Eksamensopgave august 2009

Eksamensopgave august 2009 Ib Michelsen, Viborg C / Skive C Side 1 09-04-011 1 Eksmensopgve ugust 009 Opgve 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 13 14 15 16 17 18 19 0 1 Givet ovenstående ensvinklede treknter. D treknterne er ensvinklede, er

Læs mere

Gult Foredrag Om Net

Gult Foredrag Om Net Gult Foredrag Om Net University of Aarhus Århus 8 th March, 2010 Introduktion I: Fra Metriske til Topologiske Rum Et metrisk rum er en mængde udstyret med en afstandsfunktion. Afstandsfunktionen bruges

Læs mere

2. Fourierrækker i en variabel

2. Fourierrækker i en variabel .1. Fourierrækker i en variabel I Kapitel II 7 blev der indført, dels funktionsrummene L p (X, µ) (mere udførligt skrevet L p (X, E, µ)), dels rummene L p (X, µ), der fås af L p (X, µ) ved at funktioner

Læs mere

ALGEBRA. symbolbehandling). Der arbejdes med hjælpemiddelkompetencen,

ALGEBRA. symbolbehandling). Der arbejdes med hjælpemiddelkompetencen, INTRO Alger er lngt mere end ogstvregning. Alger kn være t omskrive ogstvtrk, men lger er f også t generlisere mønstre og smmenhænge, t eskrive smmenhænge mellem tlstørrelse f i forindelse med funktioner

Læs mere

Potens regression med TI-Nspire

Potens regression med TI-Nspire Potensvækst og modellering - Mt-B/A 2.b 2007-08 Potens regression med TI-Nspire Vi tger her udgngspunkt i et eksempel med tovværk, hvor mn får oplyst en tbel over smmenhængen mellem dimeteren (xdt) i millimeter

Læs mere

Analyse 2. Bevis af Fatous lemma (Theorem 9.11) Supplerende opgave 1. Øvelser

Analyse 2. Bevis af Fatous lemma (Theorem 9.11) Supplerende opgave 1. Øvelser Analyse 2 Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 24. og 27. september 203 Bevis af Fatous lemma (Theorem 9.) Hvis (u j ) j er en følge af positive, målelige, numeriske funktioner (dvs. med værdier i [, ]) over

Læs mere

Elementær Matematik. Algebra Analytisk geometri Trigonometri Funktioner

Elementær Matematik. Algebra Analytisk geometri Trigonometri Funktioner Elementær Mtemtik Alger Anlytisk geometri Trigonometri Funktioner Ole Witt-Hnsen Køge Gymnsium 0 Indhold Indhold... Kp. Tl og regning med tl.... De nturlige tl.... Regneregler for nturlige tl.... Kvdrtsætningerne.....

Læs mere

Analyse 2. Gennemgå bevis for Sætning Supplerende opgave 1. Øvelser. Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X).

Analyse 2. Gennemgå bevis for Sætning Supplerende opgave 1. Øvelser. Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X). Analyse 2 Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 3. og 6. september 2013 Gennemgå bevis for Sætning 2.10 Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X). Bevis. Der findes en injektion X P(X), fx givet ved x

Læs mere

GEOMETRI-TØ, UGE 6. . x 1 x 1. = x 1 x 2. x 2. k f

GEOMETRI-TØ, UGE 6. . x 1 x 1. = x 1 x 2. x 2. k f GEOMETRI-TØ, UGE 6 Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imfaudk Opvarmningsopgave 1 Lad f : R 2 R være tre gange kontinuert differentierbar

Læs mere

Diverse. Ib Michelsen

Diverse. Ib Michelsen Diverse Ib Michelsen Ikst 2008 Forsidebilledet http://www.smtid.dk/visen/billede.php?billedenr69 Version: 0.02 (2-1-2009) Diverse (Denne side er A-2 f 32 sider) Indholdsfortegnelse Regning med procent

Læs mere

Matematikkens sprog INTRO

Matematikkens sprog INTRO Mtemtikkens sprog Mtemtik hr sit eget sprog, der består f tl og symboler fx regnetegn, brøkstreger bogstver og prenteser På mnge måder er det ret prktisk - det giver fx korte måder t skrive formler på.

Læs mere

Eksponentielle Sammenhænge

Eksponentielle Sammenhænge Kort om Eksponentielle Smmenhænge 011 Krsten Juul Dette hæfte indeholder pensum i eksponentielle smmenhænge for gymnsiet og hf. Indhold 1. Procenter på en ny måde... 1. Hvd er en eksponentiel smmenhæng?....

Læs mere

Spil- og beslutningsteori

Spil- og beslutningsteori Spil- og eslutningsteori Peter Hrremoës Niels Brock 26. novemer 2 Beslutningsteori De økonomiske optimeringssitutioner, vi hr set på hidtil, hr været helt deterministiske. Det vil sige t vores gevinst

Læs mere

Partielle afledede og retningsafledede

Partielle afledede og retningsafledede Partielle afledede og retningsafledede 1 Partielle afledede, definitioner og notationer Bertragt en funktion af to reelle variable f : D R, hvor D R 2 er et åbent område Med benyttelse af tilvækstfunktionen

Læs mere

Michel Mandix (2010) INDHOLDSFORTEGNELSE:... 2 EN TREKANTS VINKELSUM... 3 PYTHAGORAS LÆRESÆTNING... 4 SINUSRELATIONERNE... 4 COSINUSRELATIONERNE...

Michel Mandix (2010) INDHOLDSFORTEGNELSE:... 2 EN TREKANTS VINKELSUM... 3 PYTHAGORAS LÆRESÆTNING... 4 SINUSRELATIONERNE... 4 COSINUSRELATIONERNE... MATEMATIK NOTAT MATEMATISKE EVISER AF: CAND. POLYT. MICHEL MANDIX SIDSTE REVISION: FERUAR 04 Michel Mndi (00) Side f 35 Indholdsfortegnelse: INDHOLDSFORTEGNELSE:... EN TREKANTS VINKELSUM... 3 PYTHAGORAS

Læs mere

Fejlforplantning. Landmålingens fejlteori - Lektion 9 - Repetition - Fejlforplantning. Kovariansmatrix. Kovariansmatrix

Fejlforplantning. Landmålingens fejlteori - Lektion 9 - Repetition - Fejlforplantning. Kovariansmatrix. Kovariansmatrix Fejlforplntning Lndmålingens fejlteori Lektion 9 Repetition - Fejlforplntning Ksper K Berthelsen - kk@mthudk http://peoplemthudk/ kk/undervisning/lf11 Institut for Mtemtiske Fg Alorg Universitet Lndmåling

Læs mere

Arctan x = x x3 3 + x5 (En syvende berømt række er binomialrækken, [S] 8.8.) Eksempel

Arctan x = x x3 3 + x5 (En syvende berømt række er binomialrækken, [S] 8.8.) Eksempel Oversigt [S] 8.5, 8.6, 8.7, 8.0 Nøgleord og begreber Seks berømte potensrækker Potensrække Konvergensrdius Differentition og integrtion f potensrækker Tylor og McLurin rækker August 00, opgve 4 Den geometriske

Læs mere

TAL OG REGNEREGLER. Vi ser nu på opbygningen af et legeme og noterer os samtidig, at de reelle tal velkendte regneoperationer + og er et legeme.

TAL OG REGNEREGLER. Vi ser nu på opbygningen af et legeme og noterer os samtidig, at de reelle tal velkendte regneoperationer + og er et legeme. TAL OG REGNEREGLER Inden for lgeren hr mn indført egreet legeme. Et legeme er en slgs konstruktion, hvor mn fstsætter to regneregler og nogle sætninger (ksiomer), der gælder for disse. Pointen med en sådn

Læs mere

Oversigt [S] 4.5, 5.10

Oversigt [S] 4.5, 5.10 Oversigt [S] 4.5, 5.0 Nøgleord og begreber Ubestemte udtryk l Hospitals regel l Hospitals regel 2 Test l Hospitals regel Uegentlige integraler Test uegentlige integraler Uegentlige integraler 2 Test uegentlige

Læs mere

Stamfunktion & integral

Stamfunktion & integral PeterSørensen.dk Stmfunktion & integrl Indhold Stmfunktion... Integrl (Uestemt integrl)... 2 Det estemte integrl... 2 Arel og integrl... Regneregler for estemte integrler... Integrler / stmfunktioner kn

Læs mere

Elementær Matematik. Vektorer i planen

Elementær Matematik. Vektorer i planen Elementær Mtemtik Vektorer i plnen Ole Witt-Hnsen 0 Indhold. Prllelforskydninger i plnen. Vektorer.... Sum og differens f to vektorer.... Multipliktion f vektor med et tl... 4. Opløsning f en vektor efter

Læs mere

Punktmængdetopologi. Mikkel Stouby Petersen. 1. marts 2013

Punktmængdetopologi. Mikkel Stouby Petersen. 1. marts 2013 Punktmængdetopologi Mikkel Stouby Petersen 1. marts 2013 I kurset Matematisk Analyse 1 er et metrisk rum et af de mest grundlæggende begreber. Et metrisk rum (X, d) er en mængde X sammen med en metrik

Læs mere

Eksempel 9.1. Areal = (a 1 + b 1 )(a 2 + b 2 ) a 1 a 2 b 1 b 2 2a 2 b 1 = a 1 b 2 a 2 b 1 a 1 a 2 = b 1 b 2. Eksempel = ( 1) = 10

Eksempel 9.1. Areal = (a 1 + b 1 )(a 2 + b 2 ) a 1 a 2 b 1 b 2 2a 2 b 1 = a 1 b 2 a 2 b 1 a 1 a 2 = b 1 b 2. Eksempel = ( 1) = 10 Oversigt [LA] 9 Nem vej til rel Nøgleord og begreber Helt simple determinnter Determinnt defineret Effektive regneregler Genkend determinnt nul determinnt nul Produktreglen Inversreglen inversregel og

Læs mere

Opgave 1. a) f : [a, b] R er en begrænset funktion for hvilken. A ε = {x [a + ε, b] f(x) 0}

Opgave 1. a) f : [a, b] R er en begrænset funktion for hvilken. A ε = {x [a + ε, b] f(x) 0} Opgve ) f : [, b] R er e begræset fuktio for hvilke er edelig for ethvert < ε < b. Vi skl vise t f er itegrbel og t A ε = { [ + ε, b] } d =. Vi bemærker først t f er itegrbel på [, b] hvis og ku hvis de

Læs mere

KEGLESNIT OG BANEKURVER

KEGLESNIT OG BANEKURVER KEGLESNIT OG BANEKURVER x-klsserne Gmmel Hellerup Gymnsium INDHOLDSFORTEGNELSE INDHOLDSFORTEGNELSE... BEGREBET KEGLE... 3 KEGLESNIT... 5 Cirkel... 6 Ellipse... 8 Prbel... 15 Hyperbel... 19 Keglesnitsligninger

Læs mere

114 Matematiske Horisonter

114 Matematiske Horisonter 114 Mtemtiske Horisonter Mtemtik i medicinudvikling Af Ph.d-studerende Ann Helg Jónsdóttir, Ph.d-studerende Søren Klim, Ph.d-studerende Stig Mortensen og Professor Henrik Mdsen, DTU Informtik Hovedpinen

Læs mere

Formelsamling i Matematik på C og B og A niveau Dette er en formelsamling der er under konstant udvikling Så hvis du har ønsker til denne så sig til

Formelsamling i Matematik på C og B og A niveau Dette er en formelsamling der er under konstant udvikling Så hvis du har ønsker til denne så sig til Niels Junges formelsmling Formelsmling i Mtemtik på C og B og A niveu Dette er en formelsmling der er under konstnt udvikling Så hvis du hr ønsker til denne så sig til Indhold Tble of Contents Specielle

Læs mere

1. Eksperimenterende geometri og måling

1. Eksperimenterende geometri og måling . Eksperimenterende geometri og måling Undersøgelse Undersøgelsen drejer sig om det såkldte Firfrveproblem. For mere end 00 år siden fndt mn ved sådnne undersøgelser frem til, t fire frver er nok til t

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 8

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 8 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 8 Morten Grud Rasmussen 18. oktober 216 1 Fourierrækker 1.1 Periodiske funktioner Definition 1.1 (Periodiske funktioner). En periodisk funktion f er

Læs mere

Krumningsradius & superellipsen

Krumningsradius & superellipsen Krumningsrdius & suerellisen Side /5 Steen Toft Jørgensen Krumningsrdius & suerellisen Formålet med dette mini-rojekt er t erhverve mtemtisk viden om krumningsrdius f en kurve og nvende denne viden å det

Læs mere

Contents. Introduktion 2

Contents. Introduktion 2 Contents Introduktion 2 Differentialregning 2 Grænseværdi................................ 2 Tid/distance................................ 2 Regler og eksempler............................ 3 Differentiering

Læs mere

Mattip om. Vinkler 2. Tilhørende kopier: Vinkler 2-3. Du skal lære om: Polygoner. Ligesidede trekanter. Gradtal og vinkelsum

Mattip om. Vinkler 2. Tilhørende kopier: Vinkler 2-3. Du skal lære om: Polygoner. Ligesidede trekanter. Gradtal og vinkelsum Mttip om Vinkler 2 Du skl lære om: Polygoner Kn ikke Kn næsten Kn Ligesidede treknter Grdtl og vinkelsum Ligeenede og retvinklede treknter At forlænge en linje i en treknt Tilhørende kopier: Vinkler 2-3

Læs mere

Analyse 1, Prøve 4. 25. juni 2009. r+1. Men vi har øjensynligt, at 2. r r+1

Analyse 1, Prøve 4. 25. juni 2009. r+1. Men vi har øjensynligt, at 2. r r+1 Analyse 1, Prøve 4 25. juni 29 Alle henvisninger til CB er henvisninger til Metriske Rum (1997, Christian Berg), alle henvisninger til TL er til Kalkulus (26, Tom Lindstrøm), og alle henvisninger til Opgaver

Læs mere

9 Geodætiske kurver og Gauss-krumning

9 Geodætiske kurver og Gauss-krumning 9 Geodætiske kurver og Guss-krumning 9. Deinition f geodætiske kurver En ret linie i plnen fr punktet p til punktet q hr den egenskb t enhver nden kurve fr p til q hr kurvelængde som er mindst p q. Et

Læs mere

MASO Uge 1. Relle tal Følger. Jesper Michael Møller. 7. september Department of Mathematics University of Copenhagen

MASO Uge 1. Relle tal Følger. Jesper Michael Møller. 7. september Department of Mathematics University of Copenhagen MASO Uge 1 Relle tal Jesper Michael Møller Department of Mathematics University of Copenhagen 7. september 2016 Formålet med MASO Integer sequences Oversigt Relle tal Notation Tal Overtal og undertal Største

Læs mere

Eksamensnoter til Analyse 1

Eksamensnoter til Analyse 1 ksamensnoter til Analyse 1 Martin Geisler gimpster@daimi.au.dk Sommer 23 Indledning Disse noter gennemgår de 26 spørgsmål stillet til den mundtlige eksamen i Analyse 1 ved Aarhus Universitet sommeren 23.

Læs mere

Pythagoras sætning. I denne note skal vi give tre forskellige beviser for Pythagoras sætning:

Pythagoras sætning. I denne note skal vi give tre forskellige beviser for Pythagoras sætning: Pythgors sætning I denne note skl i gie tre forskellige eiser for Pythgors sætning: Pythgors sætning I en retinklet treknt, hor den rette inkel etegnes med, gælder: + = eis 1 Ld os tegne et stort kdrt

Læs mere