Pointen med Integration

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Pointen med Integration"

Transkript

1 Pointen med Integrtion Frnk Nsser 20. pril 2011 c Dette dokument må kun nvendes til undervisning i klsser som bonnerer på MtBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er en rkiveret udgve f dokumentet som muligvis ikke er den nyeste tilgængelige.

2 Indhold 1 Introduktion 1 2 Ubestemt integrtion At finde en stmfunktion At finde stmfunktioner i prksis Det ubestemte integrltegn Bestemt integrtion Udregning f bestemte integrler i prksis Teoretisk forståelse Anlysens fundmentlsætning Bestemte integrler ved hjælp f stmfunktioner... 15

3 Resumé I dette dokument løber vi igennem de vigtigste begreber og resultter i forbindelse med integrtion f funktioner. Det kn bruges som en førstehjælpsksse hvis du lynhurtigt skl dnne dig et overblik over hvd integrtion går ud på. Alle uddybende forklringer og beviser er som sædvnlig gemt til ndre dokumenter. 1 Introduktion At integrere betyder noget i retning f t smle eller t gøre til en helhed ltså det modstte f t differentiere som betyder t skille d. På en måde er det mtemtiske begreb integrtion også det modstte f differentition. Ligesom differentition er integrtion noget som mn kn gøre med en funktion. Tg derfor llerede nu ft i din yndlingsfunktion og gør dig klr til t integrere den. Af historiske årsger 1 findes der hele to processer som hr fået nvnet integrtion, nemlig ubestemt og bestemt integrtion. Vi vil nedenfor gennemgå begge disse begreber, og til sidst se hvd de hr med hinnden t gøre. Forudsætninger Det er nødvendigt t du hr godt styr på funktionsbegrebet 2 og på hvordn mn differentierer funktioner 3 inden du læser dette dokument. Bemærk: Det er ikke tilstrækkeligt t kunne få sin lommeregner (eller en nden mskine) til t differentiere. Hvis ikke mn hr prøvet t bruge differentitionsreglerne til t differentiere i hånden, så hr mn ikke en chnce for t forstå hvd der foregår når mn finder stmfunktioner. 1 Du kn læse en lille historie om disse årsger her 2 Læs om pointen med funktioner her 3 Læs om pointen med differentition her side 1

4 2 Ubestemt integrtion Ubestemt integrtion hndler om t differentiere bglæns. Vi strter derfor med t studere begrebet en stmfunktion : 2.1 At finde en stmfunktion Definition 1 En funktion F siges t være en stmfunktion til en nden funktion, f, hvis F er differentibel og: F = f Med ndre ord: En stmfunktion til f er en funktion som differentieret giver f. At finde en stmfunktion til en given funktion går ltså ud på t lve differentition bglæns. Altså t gætte en funktion som giver det rigtige når den differentieres. Eksempel 1 Hvis mn læser oversigten over differentition f de bsle funktionstyper bglæns, så kn mn bruge den som en oversigt over stmfunktioner. F.eks. kn mn sige t: og t: Sinus en stmfunktion til cosinus Den nturlige logritme er en stmfunktion til reciprokfunktionen. side 2

5 I næste fsnit hr vi smlet de vigtigste f den slgs bglæns informtioner. Øvelse 1 Betrgt funktionerne f og g givet ved: f(x) = x 2 og g(x) = 2x Hvilken f disse funktioner er en stmfunktion til den nden? Fcts om stmfunktioner Følgende fcts er gode t lære udend: At finde en stmfunktion svrer til t differentiere bglæns. Mn bør tænke på det som en gætteleg, hvor mn i første omgng gætter (mere eller mindre velovervejet) på en funktion og bgefter undersøger om denne funktion giver det rigtige når mn differentierer den. Hvis en funktion er nvngivet med et bogstv, f.eks. f, så plejer mn t nvngive en eventuel stmfunktion med det smme bogstv i stor udgve, ltså f.eks. F. Ovenstående trdition er dog ikke en regel! Mn kn klde sin stmfunktion lige hvd mn hr lyst til (dette kn f.eks. blive nødvendigt hvis mn llerede hr fundet en stmfunktion F til f, og bgefter finder en stmfunktion til F. Derfor er det ltså ikke underforstået t en funktion ved nvn F ltid er stmfunktion til en funktion ved nvn f. En sådn reltion side 3

6 mellem de to funktioner er mn nødt til t sige eller skrive med ord. En given funktion kn godt hve mere end én stmfunktion! Derfor skl mn psse meget på med t tle om f s stmfunktion eller stmfunktionen til f. I stedet bruger mn vendingen en stmfunktion til f meget ofte. Hvis F er en stmfunktion til f, så kn mn lve en nden stmfunktion ved t lægge en konstnt til F. F.eks. er funktionen g givet ved: g(x) = sin(x) + 14 en fin stmfunktion til cosinus. Fktisk kn lle ndre stmfunktioner til en funktion, f lves på ovennævnte måde, fordi to forskellige stmfunktioner til en given funktion ltid vil fvige med en konstnt. Der findes ikke nogen computerprogrmmer eller lommeregnere som er gode til t finde stmfunktioner. Det skyldes t nogle funktioner hr stmfunktioner som slet ikke kn opskrives med vores lmindelige regnesymboler. Det kn være meget svært t finde en stmfunktion til en given funktion. F.eks. vil de fleste gymnsieelever bruge meget lng tid 4 på t gætte en stmfunktion til funktionen f, givet ved: f(x) = x cos(x) Ikke desto mindre hr næsten lle funktioner underligt nok en stmfunktion. Det viser følgende vigtige sætning: 4 Hvis du prøver, så læg mærke til hvorfor det er svært! Prøv t få en fornemmelse f hvor sindssygt mnge funktioner mn hr t gætte på. side 4

7 Sætning 1 (Anlysens Fundmentlsætning, del 1) Hvis f er en funktion som er defineret på et åbent intervl: ]; b[ og som er kontinuert, så hr f en stmfunktion. 2.2 At finde stmfunktioner i prksis I modsætning til t differentiere er det ofte meget svært t finde en stmfunktion til en given funktion. Det skyldes t regnereglerne for differentition ikke bre kn vendes om, og derfor vil du ofte sidde med en fornemmelse f t der mngler regler for hvordn mn finder stmfunktioner. Nogle f de få regneregler som findes er smlet herunder. Det er en god ide t lære dem udend. Bsle funktionstyper Funktionen, f, givet ved:... hr en stmfunktion, F, givet ved: f(x) = k (k R) F (x) = k x f(x) = x ( R \ { 1}) F (x) = 1 +1 x+1 f(x) = cos(x) F (x) = sin(x) f(x) = sin(x) F (x) = cos(x) f(x) = e x F (x) = e x f(x) = x 1 (x > 0) F (x) = ln(x) side 5

8 Regneregler Funktionstype Stmfunktion Forudsætning f + g F + G F er en stmfunktion til f og G er en stmfunktion til g f g F G F er en stmfunktion til f og G er en stmfunktion til g k f k F k er en konstnt og F er en stmfunktion til f 2.3 Det ubestemte integrltegn Det ubestemte integrltegn er simpelt hen en måde t skrive en stmfunktion til... på. Hvis f er en funktion, så betyder udtrykket: f(x)dx en stmfunktion til f. På den måde kn mn f.eks. ngive t: cos(x)dx = sin(x) Reglerne for hvordn mn nvender det ubestemte integrltegn er ret indviklede: Mn skriver funktionens værdi i et (ikke nærmere bestemt) tl, x, inde i integrltegnet, efterfulgt f symbolet dx som mrkerer t x er den vribel mn integrerer med hensyn til. Mn ngiver resulttet f integrtionen (som egentlig er en funktion) ved t ngive denne funktions værdi i det smme x. Integrltegnet betyder en stmfunktion. Således kunne det være lige så korrekt t ngive t: cos(x)dx = sin(x) side 6

9 Mnge vælger t ngive smtlige mulige stmfunktioner på én gng ved t skrive f.eks. cos(x)dx = sin(x) + k, (k R) men det er ikke en generel regel t mn skl gøre sådn. Det ubestemte integrltegn er temmeligt besværligt t hve med t gøre, fordi det er så nemt t komme til t bruge det forkert. Fktisk kn mn vælge ldrig t bruge tegnet, fordi det er mindst lige så præcist og omtrent lige så hurtigt t skrive: *** er en stmfunktion til... som t skrive:... dx = (Læg mærke til ombytningen f hvilken rækkefølge oplysningerne kommer i!) Mn er bre nødt til t vide hvd det ubestemte integrltegn betyder, i fld mn møder ndre mennesker som bruger det. Hvis du lligevel vælger t bruge det, så er her en liste over fcts som mn bør huske. Fcts om det ubestemte integrl Det ubestemte integrl består t to dele: og d, og de optræder ltid smmen. Den første hlvdel læses som integrlet f... og den nden hlvdel læses som med hensyn til.... Den sidste hlvdel kn også være dy, d eller ligefrem dd hvis mn er i et fjollet humør. I så fld skl mn bre ngive både den funktion som integreres og resulttet ved t ngive deres værdi i den vlgte integrtionsvribel. Det ubestemte integrl er noget som mn tger på en funktion, og det giver en funktion. (Nemlig en stmfunktion til den første funktion.) side 7

10 Mn bør tænke på ubestemt integrtion som den omvendte proces f differentition. Tegningen på figur 1 kn være en hjælp til t huske hvordn ordene skl bruges. Nogle moderne lommeregnere prler med t kunne beregne ubestemte integrler. Men som nævnt i fsnittet om stmfunktioner kn mn ikke lære en mskine t finde stmfunktioner, fordi nogle stmfunktioner simpelt hen ikke kn opskrives ved hjælp f lmindelige regneopertioner. Det betyder t mn ofte vil opleve t lommeregneren bre omskriver lidt på det ubestemte integrl uden t ngive et resultt. Figur 1: Differentition og (ubestemt) integrtion 3 Bestemt integrtion Bestemt integrtion er den rigtige form for integrtion. Det er den proces som psser bedst til nvnet, idet mn her får en fornemmelse f t noget bliver smlet eller gjort til en helhed. Til gengæld er det lidt svært t se hvd den hr med differentition t gøre. Lige som ubestemt integrtion, strter mn med en funktion, men i modsætning til ubestemt integrtion producerer mn et tl. Den præcise definition er meget kompliceret, så derfor vil vi her nøjes med en snydedefinition 5. 5 Problemet med denne definition er t ordet rel fktisk ikke er så veldefineret som mn kn gå og tro. Når funktionen bliver tilps kompliceret giver den intuitive opfttelse f relet ikke længere mening. Men så længe den omtlte funktion er tilps pæn så er definitionen god nok. side 8

11 Definition 2 (Snydedefinition) Hvis f er en funktion som er defineret på et lukket intervl [; b], så defineres det bestemte integrl f f fr til b: b f(x)dx til t betyde relet, målt med fortegn f det område som ligger mellem grfen for f og x-ksen, i intervllet [; b] på x-ksen. (Se figur 2) At relet måles med fortegn betyder t reler som ligger under x-ksen tæller som negtive reler. y=f(x) b Figur 2: Det bestemte integrl f en funktion, f, fr et punkt, til et punkt b. Eksempel 2 Betrgt funktionen f, givet ved: f(x) = sin(x) side 9

12 Om denne funktion gælder t: Kn du se hvorfor? π π f(x)dx = 0 Som sgt giver denne definition ikke mening for meget komplicerede funktioner. De funktioner hvor mn fktisk kn give en præcis mening til ovennævnte definition, og hvor relet kn ngives med et reelt tl, kldes integrble. Heldigvis er lngt de fleste funktioner integrble: Sætning 2 (Anlysens Fundmentlsætning, del 2) Hvis f er en funktion som er defineret på et lukket intervl, [; b] og som er kontinuert, så er f integrbel på [; b]. Fcts om bestemt integrtion Ved bestemt integrtion strter mn med en funktion f (den kldes integrnten) og to tl, og b (de kldes nedre grænse og øvre grænse for integrtionen), og mn producerer et tl. Mn siger t f integreres fr den nedre grænse til den øvre grænse. Det tl som kommer ud f integrtionen omtles som integrlet f f fr til b. Det er nemt t vurdere cirk hvd det bestemte integrl f en funktion giver ved t kigge på grfen. De fleste grfprogrmmer og lommeregnere kn udregne bestemte integrler. I modsætning til ubestemte integrler er de side 10

13 endd meget gode til det, og de kn ngive det bestemte integrl (som jo er et tl) med meget stor nøjgtighed. Mn bør dog ltid huske t det er en pproksimeret værdi som kommer ud. Når mn får en mskine til t udregne et bestemt integrl, siger mn t integrlet uderegnes nummerisk, eller t mn foretger nummerisk integrtion. Det er slet ikke klrt hvordn mn beregner det bestemte integrl f en funktion ekskt. Det kommer vi tilbge til i næste fsnit. Øvelse 2 Find den nøjgtige værdi f følgende integrl: x 2 dx (Det hjælper meget hvis du tegner grfen for den funktion som skl integreres.) 3.1 Udregning f bestemte integrler i prksis I modsætning til ubestemte integrler, så er bestemte integrler guf for en lommeregner eller ndre mskiner, fordi resulttet er et tl. Bestemte integrler f typen: b f(x)dx kn udregnes på de fleste elektriske pprter (undtgen måske tostere og kffemskiner), hvis bre mn kender den syntks som mskinen kræver t mn indtster integrlet i. Mn skl på en eller nden side 11

14 måde indtste funktionen der skl integreres smt de to grænser, og b. I et grfprogrm vil mn som regel strte med t tegne grfen for den funktion der skl integreres. Derefter kn mn som regel vælge integrere ( integrte på engelsk) eller beregn rel, hvorefter den nedre og øvre grænse skl indtstes på en eller nden måde. Du gør klogt i t lære hvordn det gøres i lige præcis dit grfprogrm eller på din lommeregner. For selvom der findes en metode til t regne bestemte integrler ud i hånden (se fsnit 4.1), så er det kun meget få integrler der kn udregnes i ved denne metode i prksis. 3.2 Teoretisk forståelse Mn kn sgtens beregne bestemte integrler uden t forstå noget som helst om dem (se næste fsnit). Men hvis mn hr en lille smule teoretisk viden om hvordn den rigtige version f definition 2 ser ud, så er der utroligt mnge nvendelser f bestemte integrler som pludselig bliver totlt logiske. Desværre er den rigtige version f definition 2 meget kompliceret. Derfor vælger vi en mellemting her, som på den ene side ikke er præcis nok til t give mening, men på den nden side er tæt nok på den rigtige definition til t forståelsen kommer med. Bemærkning 1. Hvis f er en funktion, og [; b] er et lukket intervl i dens definitionsmængde, så skl mn forstå det bestemte integrl b f(x)dx som en beregning der foregår cirk på følgende måde: 1. Inddel intervllet [; b] i (fsindigt mnge) små dele som lle hr den smme (meget lille) bredde. Kld denne bredde for x, og kld ntllet f delintervller for n. 2. Vælg et tl i hvert f delintervllerne. Kld disse tl for x 1, x 2, x 3,... x n side 12

15 3. Udregn for hvert f delintervllerne produktet: f(x i ) x (vi bruger x i til t betegne det element som er vlg i det delintervl nummer i.) 4. Læg lle disse tl smmen. Med ndre ord: Udregn summen: n f(x i ) x i 1 Bemærk t de produkter som udregnes under punkt 3 er cirk det smme som relet (målt med fortegn) under grfen for f i det pågældende intervl, fordi det er relet f en ksse med bredde x og højde f(x i ) (hvor højden er negtiv hvis grfen for f ligger under x-ksen.) Mn bør hve billedet på figur 3 i hovedet. (n=8) y=f(x) b Figur 3: Det bestemte integrl f en funktion, f, fr et punkt, til et punkt b, forstået som en sum. Hvis mn tænker på integrlet som en sum f ovenstående type, så er der rigtigt mnge nvendelser f integrler som er meget intuitive. Her er et pr eksempler: side 13

16 Længden f bnekurven for en vektorfunktion, f, defineret på et lukket intervl [; b]: b f (t) dt Rumfnget f det omdrejningslegeme som fremkommer hvis grfen for en funktion f, defineret på intervllet [; b] drejes rundt om x-ksen: b π f(x) 2 dx Rumfnget f det omdrejningslegeme som fremkommer hvis grfen for en positiv funktion f, defineret på intevllet [; b] (hvor > 0): b 2π x f(x)dx 4 Anlysens fundmentlsætning Anlysens fundmentlsætning giver en smmenhæng mellem ubestemt og bestemt integrtion. Denne smmenhæng giver umiddelbrt en konkret måde t udregne bestemte integrler på. Sætning 3 (Anlysens Fundmentlsætning, del 3) Hvis f er en funktion som er defineret og kontinuert på et åbent intervl, ]A; B[, og F er en stmfunktion til f på dette intervl, så gælder der for lle tl, og b i intervllet t: b f(x)dx = F (b) F () side 14

17 4.1 Bestemte integrler ved hjælp f stmfunktioner Mn kn ltså udregne et bestemt integrl t typen b f(x)dx ved først t finde en stmfunktion F til f, derefter tge denne stmfunktion i øvre grænse og i nedre grænse, og til sidst trække disse to funktionsværdier fr hinnden. For t gøre det nemmere t skrive hvd der foregår, hr mn indført en skrivemåde der betyder funktionen f tget i b minus funktionen f tget i. Det ser sådn her ud: Bemærkninger [f(x)] b = f(b) f() Bemærk t mn ligesom med integrltegnet ngiver funktionen f ved t skrive dens værdi i et (ikke nærmere bestemt) tl, x. Bemærk også i hvilken rækkefølge de to funktionsværdier trækkes fr hinnden. Mn tger funktionsværdien i det tl som står øverst minus funktionsværdien i det tl som står nederst. Med denne nottion kn mn skrive konklusionen i nlysens fundmentlsætning som: b [ f(x)dx = ] b f(x)dx Mn bruger dog mest nottionen til t lve mellemregninger i udregning f bestemte integrler, som det næste eksempel viser: side 15

18 Eksempel 3 Ld os integrere funktionen f, givet ved: f(x) = x 2 fr 0 til 2. Et hurtigt kig på grfen (se figur 4) viser t dette integrl er mindre end 4 (fordi det skrverede rel er mindre end hlvdelen f en ksse med rel 8) og større end 2. Det er nemt t finde en stmfunktion til f. Vi kn bruge funktionen F givet ved: Dermed giver integrlet: 2 0 F (x) = 1 3 x3 f(x)dx = F (2) F (0) = = 8 3 2,67 Med nottionen ovenfr ville mn kunne skrive denne udregning som: 2 [ ] 1 2 x 2 dx = 0 3 x3 = Figur 4: Det bestemte integrl fr eksempel 3. side 16

Integrationsteknikker

Integrationsteknikker Integrtionsteknikker Frnk Vill. jnur 14 Dette dokument er en del f MtBog.dk 8-1. IT Teching Tools. ISBN-13: 978-87-9775--9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion 1 Numerisk integrtion.1

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 17

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 17 Mtemtisk modellering og numeriske metoder Lektion 1 Morten Grud Rsmussen 8. november, 1 1 Numerisk integrtion og differentition [Bogens fsnit 19. side 84] 1.1 Grundlæggende om numerisk integrtion Vi vil

Læs mere

MM501 forelæsningsslides

MM501 forelæsningsslides MM501 forelæsningsslides uge 39, 009 Produceret f Hns J. Munkholm 1 Linerisering s. 66-67 Lineriseringen f f omkring x =, er den lineære funktion, der hr tngenten som grf. Klder mn den L er forskriften

Læs mere

INTEGRALREGNING. Opgaver til noterne kan findes her. PDF. Facit til opgaverne kan hentes her. PDF. Version: 5.0

INTEGRALREGNING. Opgaver til noterne kan findes her. PDF. Facit til opgaverne kan hentes her. PDF. Version: 5.0 INTEGRALREGNING Version: 5.0 Noterne gennemgår egreerne: integrl og stmfunktion, og nskuer dette som et redsk til estemmelse f l.. reler under funktioner. Opgver til noterne kn findes her. PDF Fcit til

Læs mere

TAL OG BOGSTAVREGNING

TAL OG BOGSTAVREGNING TAL OG BOGSTAVREGNING De elementære regnerter I mtemtik kn vi regne med tl, men vi kn også regne med bogstver, som gør det hele en smugle mere bstrkt. Først skl vi se lidt på de fire elementære regnerter,

Læs mere

Lektion 7s Funktioner - supplerende eksempler

Lektion 7s Funktioner - supplerende eksempler Lektion 7s Funktioner - supplerende eksempler Oversigt over forskellige tper f funktioner Omvendt proportionlitet og hperler.grdsfunktioner og prler Eksponentilfunktioner Potensfunktioner Lektion 7s Side

Læs mere

Matematikprojekt. Integralregning. Lavet af Arendse Morsing Gunilla Olesen Julie Slavensky Michael Hansen. 15 Oktober 2010

Matematikprojekt. Integralregning. Lavet af Arendse Morsing Gunilla Olesen Julie Slavensky Michael Hansen. 15 Oktober 2010 Mtemtikprojekt om Integrlregning Lvet f Arendse Morsing Gunill Olesen Julie Slvensky Michel Hnsen 15 Oktober 21 Indhold I Del 1................................ 3 I Generelt om stmfunktioner og integrler........

Læs mere

Integralregning. 2. del. 2006 Karsten Juul

Integralregning. 2. del. 2006 Karsten Juul Integrlregning del ( ( 6 Krsten Juul Indhold 6 Uestemt integrl8 6 Sætning om eksistens stmunktioner 8 6 Oplæg til "regneregler or integrl"8 6 Regneregler or uestemt integrl 9 68 Foreredelse til "integrtion

Læs mere

Eksponentielle Sammenhænge

Eksponentielle Sammenhænge Kort om Eksponentielle Smmenhænge 011 Krsten Juul Dette hæfte indeholder pensum i eksponentielle smmenhænge for gymnsiet og hf. Indhold 1. Procenter på en ny måde... 1. Hvd er en eksponentiel smmenhæng?....

Læs mere

Potens- sammenhænge. inkl. proportionale og omvendt proportionale variable. 2010 Karsten Juul

Potens- sammenhænge. inkl. proportionale og omvendt proportionale variable. 2010 Karsten Juul Potens- smmenhænge inkl. proportionle og omvendt proportionle vrible 010 Krsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse f hæftet "Eksponentielle smmenhænge, udgve ". Indhold 1. Hvd er en potenssmmenhæng?...1.

Læs mere

Matematikkens sprog INTRO

Matematikkens sprog INTRO Mtemtikkens sprog Mtemtik hr sit eget sprog, der består f tl og symboler fx regnetegn, brøkstreger bogstver og prenteser På mnge måder er det ret prktisk - det giver fx korte måder t skrive formler på.

Læs mere

ANALYSE 1, 2013, Uge 2

ANALYSE 1, 2013, Uge 2 ANALYSE 1, 2013, Uge 2 Forelæsninger Denne uges tem er uendelige rækker. Tirsdg: Tlrækker. En uendelig tlrække består ligesom en uendelig tlfølge f uendelig mnge tl. Forskellen mellem de to begreber består

Læs mere

Matematik B-A. Trigonometri og Geometri. Niels Junge

Matematik B-A. Trigonometri og Geometri. Niels Junge Mtemtik B-A Trigonometri og Geometri Niels Junge Indholdsfortegnelse Indledning...3 Trigonometri...3 Sinusreltionen:...6 Cosinusreltionen...7 Dobbeltydighed...7 Smmendrg...8 Retvinklede treknter...8 Ikke

Læs mere

Lektion 6 Bogstavregning

Lektion 6 Bogstavregning Lektion Bogstvregning Formler... Reduktion... Ligninger... Lektion Side 1 Formler En formel er en slgs regne-opskrift, hvor mn med bogstver viser, hvorledes noget skl regnes ud. F.eks. formler til beregning

Læs mere

For så kan de to additionsformler samles i én formel, der kan ses som et specialtilfælde af den komplekse eksponentialfunktions funktionalligning,

For så kan de to additionsformler samles i én formel, der kan ses som et specialtilfælde af den komplekse eksponentialfunktions funktionalligning, 15.1. Komplekse integrler 293 læse, og hvordn gør mn det i prksis? Men den virkelige motivtion bg begrebet bliver udst til fsnit 18.5, hvor vi viser t foldning f sndsynlighedsmål lder sig udtrykke meget

Læs mere

Trigonometri. Matematik A niveau

Trigonometri. Matematik A niveau Trigonometri Mtemtik A niveu Arhus Teh EUX Niels Junge Trigonometri Sinus Cosinus Tngens Her er definitionen for Cosinus Sinus og Tngens Mn kn sige t osinus er den projierede på x-ksen og sinus er den

Læs mere

ANALYSE 1, 2014, Uge 3

ANALYSE 1, 2014, Uge 3 ANALYSE 1, 2014, Uge 3 Forelæsninger Tirsdg. Vi generliserer tlrækker til funktionsrækker ved t udskifte tllene med funktioner (TL Afsnit 12.5). Det svrer til forrige uges skridt fr tlfølger til funktionsfølger.

Læs mere

... ... ... ... ... ... ... b > 0 og x > 0, vil vi kalde en potensfunktion. 492 10. Potensfunktioner

... ... ... ... ... ... ... b > 0 og x > 0, vil vi kalde en potensfunktion. 492 10. Potensfunktioner POTENSFUNKTIONER 0 49 0. Potensfunktioner POTENSFUNKTIONER DEFINITION En funktion med forskriften f( )= b hvor b > 0 og > 0 vil vi klde en potensfunktion. I MAT C kpitel så vi t hvis skl være et vilkårligt

Læs mere

Differentialregning. integralregning

Differentialregning. integralregning Differentilregning og integrlregning Ib Micelsen Ikst 013 Indoldsfortegnelse Tegneøvelser...3 Introduktion... Definition f differentilkvotient og tngent...6 Tngentældninger...7 Den fledte funktion...7

Læs mere

Trigonometri. Trigonometri. Sinus og cosinus... 2 Tangens... 6 Opgaver... 9. Side 1

Trigonometri. Trigonometri. Sinus og cosinus... 2 Tangens... 6 Opgaver... 9. Side 1 Trigonometri Sinus og osinus... 2 Tngens... 6 Opgver... 9 Side Sinus og osinus Til lle vinkler hører der to tl, som kldes osinus og sinus. Mn finder sinus og osinus til en vinkel ved t tegne vinklen midt

Læs mere

gudmandsen.net y = b x a Illustration 1: potensfunktioner i 5 forskellige grupper

gudmandsen.net y = b x a Illustration 1: potensfunktioner i 5 forskellige grupper gudmndsen.net Dette dokument er publiceret på http://www.gudmndsen.net/res/mt_vejl/. Ophvsret: Indholdet stilles til rådighed under Open Content License[http://opencontent.org/openpub/]. Kopiering, distribution

Læs mere

3. Vilkårlige trekanter

3. Vilkårlige trekanter 3. Vilkårlige treknter 3. Vilkårlige treknter I dette fsnit vil vi beskæftige os med treknter, der ikke nødvendigvis er retvinklede. De formler, der er omtlt i fsnittet om retvinklede treknter, kn ikke

Læs mere

Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. Integrationsprincippet og Keplers tønderegel

Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. Integrationsprincippet og Keplers tønderegel Integrtionsprincippet og Keplers tønderegel. side Institut for Mtemtik, DTU: Gymnsieopgve Integrtionsprincippet og Keplers tønderegel Littertur: H. Elrønd Jensen, Mtemtisk nlyse, Institut for Mtemtik,

Læs mere

Diverse. Ib Michelsen

Diverse. Ib Michelsen Diverse Ib Michelsen Ikst 2008 Forsidebilledet http://www.smtid.dk/visen/billede.php?billedenr69 Version: 0.02 (2-1-2009) Diverse (Denne side er A-2 f 32 sider) Indholdsfortegnelse Regning med procent

Læs mere

1 1 t 10 1. ( ) x 2 4. + k ================= sin( x) + 4 og har graf gennem (0,2), dvs F(0) = 2. + 4x + k

1 1 t 10 1. ( ) x 2 4. + k ================= sin( x) + 4 og har graf gennem (0,2), dvs F(0) = 2. + 4x + k 0x-MA (0.0.08) _ opg (3:07) Integrtion ved substitution ( x + 7) 9 t x + 7 > t 9 t 0 + k 0 0 ( x + 7)0 + k b) x x + 4 t x + 4 > 3 x t t t x 3 t x x + k 3 t t + k ( ) x 4 3 x + 4 + + k c) cos( x)

Læs mere

Spil- og beslutningsteori

Spil- og beslutningsteori Spil- og eslutningsteori Peter Hrremoës Niels Brock 26. novemer 2 Beslutningsteori De økonomiske optimeringssitutioner, vi hr set på hidtil, hr været helt deterministiske. Det vil sige t vores gevinst

Læs mere

Matematikkens mysterier - på et højt niveau. 3. Differentialligninger

Matematikkens mysterier - på et højt niveau. 3. Differentialligninger Mtemtikkens msterier - på et højt niveu f Kenneth Hnsen 3. Differentilligninger N N N 3 A A k k Indholdsfortegnelse 3. Introduktion 3. Dnmiske sstemer 3 3.3 Seprtion f de vrible 8 3.4 Vækstmodeller 8 3.5

Læs mere

Bogstavregning. for gymnasiet og hf Karsten Juul. a a

Bogstavregning. for gymnasiet og hf Karsten Juul. a a Bogstvregning for gymnsiet og hf 010 Krsten Juul Til eleven Brug lynt og viskelæder når du skriver og tegner i hæftet, så du får et hæfte der er egenet til jævnligt t slå op i under dit videre rejde med

Læs mere

Regneregler for brøker og potenser

Regneregler for brøker og potenser Regneregler for røker og potenser Roert Josen 4. ugust 009 Indhold Brøker. Eksempler......................................... Potenser 7. Eksempler......................................... 8 I de to fsnit

Læs mere

Mere end blot lektiehjælp. Få topkarakter i din SRP. 12: Hovedafsnittene i din SRP (Redegørelse, analyse, diskussion)

Mere end blot lektiehjælp. Få topkarakter i din SRP. 12: Hovedafsnittene i din SRP (Redegørelse, analyse, diskussion) Mere end lot lektiehjælp Få topkrkter i din SRP 12: Hovedfsnittene i din SRP (Redegørelse, nlyse, diskussion) Hjælp til SRP-opgven Sidste år hjlp vi 3.600 gymnsieelever med en edre krkter i deres SRP-opgve.

Læs mere

Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk. Erik Vestergaard, 2009.

Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk. Erik Vestergaard, 2009. Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk Erik Vestergrd, 009. Billeder: Forside: Collge f billeder: istock.com/titoslck istock.com/yuri Desuden egne fotos og illustrtioner Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk

Læs mere

Kort om Potenssammenhænge

Kort om Potenssammenhænge Øvelser til hæftet Kort om Potenssmmenhænge 2011 Krsten Juul Dette hæfte indeholder bl.. mnge småspørgsmål der gør det nemmere for elever t rbejde effektivt på t få kendskb til emnet. Indhold 1. Ligning

Læs mere

Michel Mandix (2017) Derfor er der behov for en række værktøjer, som kan bruges også til de vilkårlige trekanter. a b c A B C

Michel Mandix (2017) Derfor er der behov for en række værktøjer, som kan bruges også til de vilkårlige trekanter. a b c A B C Mihel Mndix (07) Sinusreltionen Nott Side f 9 Sinusreltionen Indtil videre, er der kun eskrevet, hvordn mn eregner på retvinklede treknter. Men desværre er det lngtfr lle treknter, som er retvinklede.

Læs mere

Formelsamling Matematik C Indhold

Formelsamling Matematik C Indhold Formelsmling Mtemtik C Indhold Eksempler på besvrelser, lin, eksp, pot, geo... Tl, regneopertioner og ligninger... 6 Ligninger... 7 Geometri... 0 Funktioner og modeller... 3 Lineær funktion... 3 Procentregning...

Læs mere

Om Riemann-integralet. Noter til Matematik 1

Om Riemann-integralet. Noter til Matematik 1 Om Riemnn-integrlet. Noter til Mtemtik 1 Jon Johnsen Institut for Mtemtiske Fg, Alborg Universitet Fredrik Bjers Vej 7G, 9220 Ålborg Ø 3. december 2001 1 Indledning Integrlregning går tilbge til Newtons

Læs mere

TAL OG REGNEREGLER. Vi ser nu på opbygningen af et legeme og noterer os samtidig, at de reelle tal velkendte regneoperationer + og er et legeme.

TAL OG REGNEREGLER. Vi ser nu på opbygningen af et legeme og noterer os samtidig, at de reelle tal velkendte regneoperationer + og er et legeme. TAL OG REGNEREGLER Inden for lgeren hr mn indført egreet legeme. Et legeme er en slgs konstruktion, hvor mn fstsætter to regneregler og nogle sætninger (ksiomer), der gælder for disse. Pointen med en sådn

Læs mere

Potens regression med TI-Nspire

Potens regression med TI-Nspire Potensvækst og modellering - Mt-B/A 2.b 2007-08 Potens regression med TI-Nspire Vi tger her udgngspunkt i et eksempel med tovværk, hvor mn får oplyst en tbel over smmenhængen mellem dimeteren (xdt) i millimeter

Læs mere

Regneregler. 1. Simple regler for regning med tal.

Regneregler. 1. Simple regler for regning med tal. Regneregler. Simple regler for regning med tl. Vi rejder l.. med følgende fire regningsrter: plus (), minus ( ), gnge () og dividere (: eller røkstreg, se senere), eller med fremmedord : ddition, sutrktion,

Læs mere

Integralregning. Erik Vestergaard

Integralregning. Erik Vestergaard Integrlregning Erik Vestergrd Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk Erik Vestergrd, Hderslev 4 Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse. Indledning 4. Stmfunktioner 4. Smmenhængen

Læs mere

- 81 - , x I. kmx. Sætningen bevises ikke her. Interesserede læsere henvises til bogen: Differentialligninger og matematiske

- 81 - , x I. kmx. Sætningen bevises ikke her. Interesserede læsere henvises til bogen: Differentialligninger og matematiske - 8 - Appendi : Logistisk vækst og integrlregning. I forbindelse med eksponentielle vækstfunktioner er der tle om en vækstform, hvor funktionens væksthstighed er proportionl med den ktuelle funktionsværdi,

Læs mere

Eksamen Analyse 1, Juni 2015, Besvarelse 1. Opgave 1. ( ln x) q x p dx =

Eksamen Analyse 1, Juni 2015, Besvarelse 1. Opgave 1. ( ln x) q x p dx = Eksmen Anlyse, Juni 25, Besvrelse Ld p >, q, og r. Opgve () Vis t integrlet ( ln x)r x p dx konvergerer. [Vink: Smmenlign med x s for pssende vlgt s.] ( ln x)q x p dx. [Vink: Anvend (b) Bevis formlen (

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C POTENS-SAMMENHÆNG

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C POTENS-SAMMENHÆNG ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C POTENS-SAMMENHÆNG INDHOLDSFORTEGNELSE 1 Formelsmling... side 2 Uddbning f visse formler... side 3 2 Grundlæggende færdigheder... side 5 2 Finde konstnterne og b i en formel...

Læs mere

Stamfunktion & integral

Stamfunktion & integral PeterSørensen.dk Stmfunktion & integrl Indhold Stmfunktion... Integrl (Uestemt integrl)... 2 Det estemte integrl... 2 Arel og integrl... Regneregler for estemte integrler... Integrler / stmfunktioner kn

Læs mere

MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX)

MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX) Silkeborg 09-0-0 MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX) Udrbejdet f mtemtiklærere fr HF, HHX, HTX & STX. PS: Hvis du opdger fejl i

Læs mere

ALGEBRA. symbolbehandling). Der arbejdes med hjælpemiddelkompetencen,

ALGEBRA. symbolbehandling). Der arbejdes med hjælpemiddelkompetencen, INTRO Alger er lngt mere end ogstvregning. Alger kn være t omskrive ogstvtrk, men lger er f også t generlisere mønstre og smmenhænge, t eskrive smmenhænge mellem tlstørrelse f i forindelse med funktioner

Læs mere

Elementær Matematik. Vektorer i planen

Elementær Matematik. Vektorer i planen Elementær Mtemtik Vektorer i plnen Køge Gymnsium 0 Ole Witt-Hnsen Indhold. Prllelforskydninger i plnen. Vektorer.... Sum og differens f to vektorer... 3. Multipliktion f vektor med et tl...3 4. Opløsning

Læs mere

Krumningsradius & superellipsen

Krumningsradius & superellipsen Krumningsrdius & suerellisen Side /5 Steen Toft Jørgensen Krumningsrdius & suerellisen Formålet med dette mini-rojekt er t erhverve mtemtisk viden om krumningsrdius f en kurve og nvende denne viden å det

Læs mere

Kompendium. Matematik HF C niveau. Frederiksberg HF Kursus. Lars Bronée 2014

Kompendium. Matematik HF C niveau. Frederiksberg HF Kursus. Lars Bronée 2014 Kompendium Mtemtik HF C niveu π Frederiksberg HF Kursus Lrs Bronée 04 Mil: post@lrsbronee.dk Web: www.lrsbronee.dk Indholdsfortegnelse: Forord Det grundlæggende Ligningsløsning 8 Procentregning Rentesregning

Læs mere

Lektion 5 Det bestemte integral

Lektion 5 Det bestemte integral f(x) dx = F (b) F () Lektion 5 Det bestemte integrl Definition Integrlregningens Middelværdisætning Integrl- og Differentilregningens Hovedsætning Bereging f bestemte integrler Regneregler Arel mellem

Læs mere

MATEMATISK FORMELSAMLING

MATEMATISK FORMELSAMLING MATEMATISK FORMELSAMLING GUX Grønlnd Mtemtisk formelsmling til B-niveu, GUX Grønlnd Deprtementet for uddnnelse 05 Redktion: Rsmus Andersen, Jens Thostrup MtemtiskformelsmlingtilB-niveu GUX Grønlnd FORORD

Læs mere

114 Matematiske Horisonter

114 Matematiske Horisonter 114 Mtemtiske Horisonter Mtemtik i medicinudvikling Af Ph.d-studerende Ann Helg Jónsdóttir, Ph.d-studerende Søren Klim, Ph.d-studerende Stig Mortensen og Professor Henrik Mdsen, DTU Informtik Hovedpinen

Læs mere

Arctan x = x x3 3 + x5 (En syvende berømt række er binomialrækken, [S] 8.8.) Eksempel

Arctan x = x x3 3 + x5 (En syvende berømt række er binomialrækken, [S] 8.8.) Eksempel Oversigt [S] 8.5, 8.6, 8.7, 8.0 Nøgleord og begreber Seks berømte potensrækker Potensrække Konvergensrdius Differentition og integrtion f potensrækker Tylor og McLurin rækker August 00, opgve 4 Den geometriske

Læs mere

(a k cos kx + b k sin kx) k=1. cos θk = sin θ 1 ak. , b k. k=1

(a k cos kx + b k sin kx) k=1. cos θk = sin θ 1 ak. , b k. k=1 SEKTION 7 FOURIERANALYSE 7 Fouriernlyse Periodiske funktioner er vigtige i mnge smmenhænge, både videnskbeligt og teknisk Vi vil normlisere, så ntger, t perioden er π Disse funktioner er bedst nlyseret

Læs mere

Matematik - introduktion. Martin Lauesen February 23, 2011

Matematik - introduktion. Martin Lauesen February 23, 2011 Mtemtik - introduktion Mrtin Luesen Februry 23, 2011 1 Contents 1 Aritmetik og elementær lgebr 3 1.1 Symboler............................... 3 1.1.1 ligheder............................ 4 1.1.2 uligheder...........................

Læs mere

Planintegralet. Preben Alsholm 5. maj 2008. 1.1 Integralet af en funktion af én variabel. 1, x i ] et tal t i. Summen. n f (t i ) (x i x i 1 ) R =

Planintegralet. Preben Alsholm 5. maj 2008. 1.1 Integralet af en funktion af én variabel. 1, x i ] et tal t i. Summen. n f (t i ) (x i x i 1 ) R = Plnintegrlet Preben Alsholm 5. mj 8 Plnintegrlet. Integrlet f en funktion f én vribel et bestemte integrl efinition Ld f være en funktion defineret på intervllet [ b]. Ld = x x... x n = b være en inddeling

Læs mere

Matematik. Kompendium i faget. Tømrerafdelingen. 1. Hovedforløb. a 2 = b 2 + c 2 2 b c cos A. cos A = b 2 + c 2 - a 2 2 b c

Matematik. Kompendium i faget. Tømrerafdelingen. 1. Hovedforløb. a 2 = b 2 + c 2 2 b c cos A. cos A = b 2 + c 2 - a 2 2 b c Kompendium i fget Mtemtik Tømrerfdelingen 1. Hovedforlø. Trigonometri nvendes til eregning f snd længde og snd vinkel i profiler. Sinus Cosinus Tngens 2 2 + 2 2 os A os A 2 + 2-2 2 Svendorg Erhvervsskole

Læs mere

Ny Sigma 9, s Andengradsfunktioner med regneforskrift af typen y = ax + bx + c, hvor a 0.

Ny Sigma 9, s Andengradsfunktioner med regneforskrift af typen y = ax + bx + c, hvor a 0. Ny Sigm 9, s 110 Andengrdsfunktioner med regneforskrift f typen y = x + x + c, hvor 0 Lineære funktioner (førstegrdsfunktioner) med regneforskrift f typen y = αx + β Grfen for funktioner f disse typer

Læs mere

Formelsamling Mat. C & B

Formelsamling Mat. C & B Formelsmling Mt. C & B Indhold BRØER... PARENTESER...3 PROCENT...4 RENTE...5 INDES...6 GEOMETRI... Arel f treknt... Vinkelsum i en treknt... Ens- vinklede treknter... Vilkårlig treknt... Ret- vinklet treknt...8

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 12

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 12 Mtemtisk modellering numeriske metoder Lektion 12 Morten Grud Rsmussen 21. oktober, 213 1 Prtielle differentilligninger 1.1 Løsning f vrmeligningen vh. Fourierrækker [Bens sektion 12.6 på side 558] Vi

Læs mere

Formelsamling Matematik C Indhold

Formelsamling Matematik C Indhold Formelsmling Mtemtik C Indhold Eksempler på esvrelser, lin, eksp, pot, geo... Tl, regneopertioner og ligninger... 6 Ligninger... 7 Geometri... 9 Funktioner og modeller... Lineær funktion... Procentregning...

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningseskrivelse Stmoplysninger til rug ved prøver til gymnsile uddnnelser Termin Juni 2016 Institution Uddnnelse Fg og niveu Lærere Hold Fvrskov Gymnsium Stx Mtemtik A Peter Lundøer (Lu) 3k Mtemtik

Læs mere

Retningslinjer for bedømmelsen Georg Mohr-Konkurrencen runde

Retningslinjer for bedømmelsen Georg Mohr-Konkurrencen runde Retningslinjer for bedømmelsen Georg Mohr-Konkurrencen 016. runde Besvrelser som flder uden for de løsninger som ligger til grund for pointskemerne, bedømmes ved nlogi så skridt med tilsvrende vægt i den

Læs mere

Differential-kvotient. Produkt og marked - differential og integralregning. Regneregler. Stamfunktion. Lad f være en funktion - f.eks. f (x) = 2x 2.

Differential-kvotient. Produkt og marked - differential og integralregning. Regneregler. Stamfunktion. Lad f være en funktion - f.eks. f (x) = 2x 2. Differentil-kvotient Ld f være en funktion - f.eks. f (x) = 2x 2. Produkt og mrked - differentil og integrlregning Rsmus Wgepetersen Institut for Mtemtiske Fg Alborg Universitet Februry 14, 2014 Differentilkvotienten

Læs mere

KEGLESNIT OG BANEKURVER

KEGLESNIT OG BANEKURVER KEGLESNIT OG BANEKURVER x-klsserne Gmmel Hellerup Gymnsium INDHOLDSFORTEGNELSE INDHOLDSFORTEGNELSE... BEGREBET KEGLE... 3 KEGLESNIT... 5 Cirkel... 6 Ellipse... 8 Prbel... 15 Hyperbel... 19 Keglesnitsligninger

Læs mere

Lektion 6 Bogstavregning

Lektion 6 Bogstavregning Mtemtik på Åbent VUC Lektion 6 Bogstvregning Formler... Udtryk... Ligninger... Ligninger som løsningsmetode i regneopgver... Simultion... Opsmlingsopgver... Lvet f Niels Jørgen Andresen, VUC Århus. Redigeret

Læs mere

Fælles for disse typer af funktioner er, at de som grundfunktion indeholder varianter af udtrykket x a.

Fælles for disse typer af funktioner er, at de som grundfunktion indeholder varianter af udtrykket x a. 5. FORSKRIFT FOR EN POTENSFUNKTION Vi hr i vores gennemgng f de forskellige funktionstper llerede være inde på udtrk, som indeholder forskellige potenser f I dette kpitel skl vi se på forskellige tper

Læs mere

Om Dido var kyndig i matematik er nok tvivlsomt, men hun havde i hvert fald en veludviklet logisk sans, som vi skal se.

Om Dido var kyndig i matematik er nok tvivlsomt, men hun havde i hvert fald en veludviklet logisk sans, som vi skal se. Forord. Det isoperimetriske problem går i l sin enkelhed ud på t finde den lukkede kurve i plnen, blndt en mængde f kurver lle med smme omkreds, som fgrænser det størst mulige rel. Løsningen til det isoperimetriske

Læs mere

UGESEDDEL 52. . Dette gøres nedenfor: > a LC

UGESEDDEL 52. . Dette gøres nedenfor: > a LC UGESEDDE 52 Opgve 1 Denne opgve er et mtemtisk eksempel på Ricrdo s én-fktor model, der præsenteres i Krugmn & Obstfeld kpitel 2 side 12-19. Denne model beskriver hndel som et udslg f komprtive fordele

Læs mere

1,0. sin(60º) 1,0 cos(60º) I stedet for cosinus til 60º og sinus til 60º skriver man cos(60º) og sin(60º).

1,0. sin(60º) 1,0 cos(60º) I stedet for cosinus til 60º og sinus til 60º skriver man cos(60º) og sin(60º). Mtemtik på VU Eksempler til niveu F, E og D Til lle vinkler hører der to tl, som kldes osinus og sinus. Mn finder sinus og osinus ved først t tegne vinklen i et koordint-system som vist til venstre. Derefter

Læs mere

1 Plan og rumintegraler

1 Plan og rumintegraler 1 PLAN OG RUMINTEGRALER 1 1 Pln og rumintegrler Ligesom for funktioner f en vribel kn mn for kontinuerte funktioner f flere vrible definere deres integrle. Vi vil her kun beskæftige os med funktioner f

Læs mere

Mat1GB Minilex. Henrik Dahl, Hold 8. 29. maj 2003. 1 Definitioner 2

Mat1GB Minilex. Henrik Dahl, Hold 8. 29. maj 2003. 1 Definitioner 2 Mt1GB Minilex Henrik Dhl, Hold 8 29. mj 2003 Indhold 1 Definitioner 2 2 Sætninger m.v. 18 2.1 Begrænsethed, åben/lukket..................... 18 2.2 Differentition............................ 18 2.3 Differentilligninger.........................

Læs mere

Michel Mandix (2010) INDHOLDSFORTEGNELSE:... 2 EN TREKANTS VINKELSUM... 3 PYTHAGORAS LÆRESÆTNING... 4 SINUSRELATIONERNE... 4 COSINUSRELATIONERNE...

Michel Mandix (2010) INDHOLDSFORTEGNELSE:... 2 EN TREKANTS VINKELSUM... 3 PYTHAGORAS LÆRESÆTNING... 4 SINUSRELATIONERNE... 4 COSINUSRELATIONERNE... MATEMATIK NOTAT MATEMATISKE EVISER AF: CAND. POLYT. MICHEL MANDIX SIDSTE REVISION: FERUAR 04 Michel Mndi (00) Side f 35 Indholdsfortegnelse: INDHOLDSFORTEGNELSE:... EN TREKANTS VINKELSUM... 3 PYTHAGORAS

Læs mere

k(k 1)(k 2)... (k n + 1) = = 12 2 = 6

k(k 1)(k 2)... (k n + 1) = = 12 2 = 6 Oversigt [S] 8.7, 8.8, 8.9 Nøgleord og begreber Binomilformlen Binomilkoefficienter Binomilrækken Tylor polynomier Vurdering f Tylor s restled Eksponentilrækken konvereger mod eksponentilfunktionen Clculus

Læs mere

Formelsamling til Fourieranalyse 10. udgave

Formelsamling til Fourieranalyse 10. udgave Formelsmling til Fouriernlyse. udgve Kristin Jerslev og Steven Hyden 3. oktober 9 Her følger en formelsmling lvet til kurset Fouriernlyse på Arhus Universitet. Bemærk venligst, t smlingen indeholder sætninger

Læs mere

Mattip om. Vinkler 2. Tilhørende kopier: Vinkler 2-3. Du skal lære om: Polygoner. Ligesidede trekanter. Gradtal og vinkelsum

Mattip om. Vinkler 2. Tilhørende kopier: Vinkler 2-3. Du skal lære om: Polygoner. Ligesidede trekanter. Gradtal og vinkelsum Mttip om Vinkler 2 Du skl lære om: Polygoner Kn ikke Kn næsten Kn Ligesidede treknter Grdtl og vinkelsum Ligeenede og retvinklede treknter At forlænge en linje i en treknt Tilhørende kopier: Vinkler 2-3

Læs mere

Hvad ved du om mobning?

Hvad ved du om mobning? TEST: Hvd ved du om moning? I testen her kn du fprøve, hvor meget du ved om moning på rejdspldsen. Testen estår f tre dele: Selve testen, hvor du skl sætte ét kryds for hvert f de ti spørgsmål. Et hurtigt

Læs mere

Du kan efter ønske opfatte integralet som et Riemann-integral eller et Lebesgue-integral (idet de to er identiske på C([a, b], C) jf. Theorem 11.8.

Du kan efter ønske opfatte integralet som et Riemann-integral eller et Lebesgue-integral (idet de to er identiske på C([a, b], C) jf. Theorem 11.8. Anlyse Øvelser Rsmus Sylvester Bryder. og 5. oktober 3 Supplerende opgve Ld C([, b], C) betegne rummet f lle kontinuerte funktioner f : [, b] C, hvor < b, og definér et indre produkt på C([, b], C) ved

Læs mere

Projekt 10.3 Terningens fordobling

Projekt 10.3 Terningens fordobling Hvd er mtemtik? C, i-og Projekt 0.3 Terningens fordoling Elementerne indeholder, hvd mn kn deduere sig til og konstruere ud fr de få givne ksiomer. Mn kn derfor i en vis forstnd sige, t l den viden, der

Læs mere

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 2. Trigonometri

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 2. Trigonometri Mtemtikkens mysterier - på et oligtorisk niveu f Kenneth Hnsen 2. Trigonometri T D Hvd er fstnden fr flodred til flodred? 2. Trigonometri og geometri Indhold.0 Indledning 2. Vinkler 3.2 Treknter og irkler

Læs mere

hvor A er de ydre kræfters arbejde på systemet og Q er varmen tilført fra omgivelserne til systemet.

hvor A er de ydre kræfters arbejde på systemet og Q er varmen tilført fra omgivelserne til systemet. !#" $ "&% (')"&*,+.-&/102%435"&6,+879$ *1')*&: or et system, hvor kun den termiske energi ændres, vil tilvæksten E term i den termiske energi være: E term A + Q hvor A er de ydre kræfters rbejde på systemet

Læs mere

Trigonometri. teori mundtlig fremlæggelse C 2. C v. B v. A v

Trigonometri. teori mundtlig fremlæggelse C 2. C v. B v. A v Tigonometi teoi mundtlig femlæggelse 2 v v B v B Indhold 1. Sætning om ensvinklede teknte og målestoksfohold (uden bevis)... 2 2. Vinkelsummen i en teknt... 2 3. Pythgos sætning om ETVINKLEDE TEKNTE...

Læs mere

Stamfunktionsproblemet

Stamfunktionsproblemet Stamfunktionsproblemet Frank Villa 19. januar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Differentiation. Frank Nasser. 11. juli 2011

Differentiation. Frank Nasser. 11. juli 2011 Differentiation Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe den første opgave af hvert emne over.

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe den første opgave af hvert emne over. Opsmling Hvis mn ønsker mere udfordring, kn mn springe den første opgve f hvert emne over Brøkregning, prentesregneregler, kvdrtsætningerne, potensregneregler og reduktion Udregn nedenstående tl i hånden:

Læs mere

Dæmonen. Efterbehandlingsark C. Spørgsmål til grafen over højden.

Dæmonen. Efterbehandlingsark C. Spørgsmål til grafen over højden. Efterbehndlingsrk C Dæmonen Nedenfor er vist to grfer for bevægelsen i Dæmonen. Den første grf viser hvor mnge gnge du vejer mere eller mindre end din normle vægt. Den nden grf viser højden. Spørgsmål

Læs mere

Opstakning og afstakning, fremadregning og tilbageregning

Opstakning og afstakning, fremadregning og tilbageregning 1 Opstkning og fstkning, fremdregning og tilgeregning 1.1 Fremdregning og tilgeregning...2 1.2 Æskeregning...2 1.3 Høseringe-regning, indkodning og fkodning...3 1.4 Vndret tilgeregning, t dnse en ligning...3

Læs mere

Analyse 1, Prøve maj Lemma 2. Enhver konstant funktion f : R R, hvor f(x) = a, a R, er kontinuert.

Analyse 1, Prøve maj Lemma 2. Enhver konstant funktion f : R R, hvor f(x) = a, a R, er kontinuert. Alyse, Prøve. mj 9 Alle hevisiger til TL er hevisiger til Klkulus 6, Tom Lidstrøm. Direkte opgvehevisiger til Klkulus er givet med TLO, ellers er lle hevisiger til steder i de overordede fsit. Hevises

Læs mere

GrundlÄggende funktioner

GrundlÄggende funktioner GrundlÄggende funktioner for B-niveu i hf Udgve 014 Krsten Juul GrundlÄggende funktioner for B-niveu i hf Procent 1. Procenter på en ny måde... 1. VÄkstrte.... Gennemsnitlig procent... LineÄr väkst 4.

Læs mere

Differentiation af Trigonometriske Funktioner

Differentiation af Trigonometriske Funktioner Differentiation af Trigonometriske Funktioner Frank Villa 15. oktober 01 Dette dokument er en del af MatBog.dk 008-01. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-9775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her.

Læs mere

Hvad ved du om mobning?

Hvad ved du om mobning? TEST: Hvd ved du om moning? I testen her kn du fprøve, hvor meget du ved om moning på rejdspldsen. Testen estår f tre dele: Selve testen, hvor du skl sætte ét kryds for hvert f de ti spørgsmål. Et hurtigt

Læs mere

Dødelighed og kræftforekomst i Avanersuaq. Et registerstudie

Dødelighed og kræftforekomst i Avanersuaq. Et registerstudie Dødelighed og kræftforekomst i Avnersuq. Et registerstudie Peter Bjerregrd, Anni Brit Sternhgen Nielsen og Knud Juel Indledning Det hr været fremført f loklbefolkningen i Avnersuq og f Lndsstyret, t der

Læs mere

1. Eksperimenterende geometri og måling

1. Eksperimenterende geometri og måling . Eksperimenterende geometri og måling Undersøgelse Undersøgelsen drejer sig om det såkldte Firfrveproblem. For mere end 00 år siden fndt mn ved sådnne undersøgelser frem til, t fire frver er nok til t

Læs mere

Mat. B (Sådan huskes fomlerne) Formler, som skal kunnes til prøven uden hjælpemidler

Mat. B (Sådan huskes fomlerne) Formler, som skal kunnes til prøven uden hjælpemidler Mt. B (Sån huskes fomlerne) Formler, som skl kunnes til prøven uen hjælpemiler Inhol Her er tilføjet emærkninger til nogle f formlerne BRØKER... PARENTESER... EKSPONENTER... LOGARITMER... GEOMETRI... Arel

Læs mere

Eksempel 9.1. Areal = (a 1 + b 1 )(a 2 + b 2 ) a 1 a 2 b 1 b 2 2a 2 b 1 = a 1 b 2 a 2 b 1 a 1 a 2 = b 1 b 2. Eksempel = ( 1) = 10

Eksempel 9.1. Areal = (a 1 + b 1 )(a 2 + b 2 ) a 1 a 2 b 1 b 2 2a 2 b 1 = a 1 b 2 a 2 b 1 a 1 a 2 = b 1 b 2. Eksempel = ( 1) = 10 Oversigt [LA] 9 Nem vej til rel Nøgleord og begreber Helt simple determinnter Determinnt defineret Effektive regneregler Genkend determinnt nul determinnt nul Produktreglen Inversreglen inversregel og

Læs mere

PotenssammenhÄnge. 2009 Karsten Juul

PotenssammenhÄnge. 2009 Karsten Juul PotenssmmenhÄnge y b y k k 009 Krsten Juul Dette häfte er en fortsättelse f häftet "Eksponentielle smmenhänge, 009". Indhold 4. Hvd er en potens-smmenhäng?... 83 5. Hvordn ser grfen ud for en potens-smmenhäng...

Læs mere

Differentiation i praksis

Differentiation i praksis Differentiation i praksis Frank Villa 7. august 2012 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere

Læs mere

Bilag 1. Frafaldsanalyse elever. Generelle oplysninger:

Bilag 1. Frafaldsanalyse elever. Generelle oplysninger: Bilg Frfldsnlyse elever Generelle oplysninger: Skole Frekvens AMU Center Århus Dnsk Center Jordrugsuddnnelse Den Jyske Hndværkerskole Djurslnd ES ES Års Esjerg TS EUC Midt EUC SYD Frederici-Middelfrt TS

Læs mere

Eksamensopgave august 2009

Eksamensopgave august 2009 Ib Michelsen, Viborg C / Skive C Side 1 09-04-011 1 Eksmensopgve ugust 009 Opgve 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 13 14 15 16 17 18 19 0 1 Givet ovenstående ensvinklede treknter. D treknterne er ensvinklede, er

Læs mere

Elementær Matematik. Vektorer i planen

Elementær Matematik. Vektorer i planen Elementær Mtemtik Vektorer i plnen Ole Witt-Hnsen 0 Indhold. Prllelforskydninger i plnen. Vektorer.... Sum og differens f to vektorer.... Multipliktion f vektor med et tl... 4. Opløsning f en vektor efter

Læs mere

Grafmanipulation. Frank Nasser. 14. april 2011

Grafmanipulation. Frank Nasser. 14. april 2011 Grafmanipulation Frank Nasser 14. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er

Læs mere