Formelsamling til Fourieranalyse 10. udgave

Transkript

1 Formelsmling til Fouriernlyse. udgve Kristin Jerslev og Steven Hyden 3. oktober 9 Her følger en formelsmling lvet til kurset Fouriernlyse på Arhus Universitet. Bemærk venligst, t smlingen indeholder sætninger og formler, der er relevnt for opgveløsning, hvorfor ikke lle sætninger og formler er medtget. Visse sætninger hr ikke nogen relevns for opgveløsning og visse sætninger forudsættes kendte. Formler og sætninger er hentet fr notekompendiet A First Course in Wvelets with Fourier Anlysis. Fejl, forslg til forbedringer og lign. bedes henvendt til Kristin Jerslev, jerslev@phys.u.dk. Nye og opdterede udgver vil ltid kunne hentes fr Ændringer fr 9. til. udgve Slåfejl rettet i formel (8) ( f(x) f(λ)) (Tk til Ole). Ændringer fr 8. til 9. udgve Fortegnsfejl rettet i formel (9) (Tk til Bent). Ændringer fr 7. til 8. udgve Tilføjet mindre uddybning om komplekse fourierkoefficienter for negtive værdier f k (formel ()) (Tk til Jn). Fortegnsfejl rettet i formel (33) (Tk til Dniel). Ændringer fr 6. til 7. udgve Fejl rettet i formel (7). Ændringer fr 5. til 6. udgve Stvefejl rettet i fsnittet om Plncherels sætning. Nottionen i fsnittet om Egenskber ved Fouriertrnsformtionen er blevet omskrevet. Ændringer fr 4. til 5. udgve Kosmetiske tilrettelser. Tilføjet fsnit om Fouriertrnsformtionen f lige og ulige funktioner. Fejl rettet i ligning 3.

2 Det indre produkt i L Definition.5 om det indre produkt i rummet L. På intervllet L ([, b]) er det indre produkt f to funktioner, f(x) og g(x) defineret som: f, g L = Generelt om Fourierrækker b f(x)g(x) dx () Sætning. om Fourierrækker. For en given funktion f(x), der er periodisk, vil Fourierrækken være givet ved: f(x) = + = k = π b k = π ( k cos (kx) + b k sin (kx)) () k= π π π π π π Fourierrækker på generelle intervller f(x) dx (3) f(x) cos (kx) dx (4) f(x) sin (kx) dx (5) Sætning.4 om Fourierrækker på generelle intervller. For en given funktion f(x), der er periodisk på intervllet x vil Fourierrækken være givet ved: f(x) = + = k = b k = k= [ k cos Fourierrækker for lige og ulige funktioner ( ) ( )] kπx kπx + b k sin (6) f(x) dx (7) f(x) cos dx (8) f(x) sin dx (9) Sætning.8 om Fourierrækker for lige og ulige funktioner. For en given lige funktion f(x) vil Fourierrækken på intervllet [, ] være givet ved: f(x) = + = k = k= k cos () f(x) dx () f(x) cos dx ()

3 Hvis f(x) er en ulige funktion på førnævnte intervl er Fourierrækken givet ved: f(x) = b k sin (3) k= b k = f(x) sin dx (4) Er funktionen f(x) kun defineret på et hlvintervl giver dette ikke noget problem. Fourierrækken på det hlve intervl kn udtrykkes som enten en cosinuseller en sinusrække. For t udtrykke f(x) som en cosinusrække udvides f(x) blot som en lige funktion og derefter findes Fourierrækken som vist ovenfor for lige funktioner. Tilsvrende for en udvidelse som ulige funktion. Fourierrækker på kompleks form For ethvert reelt tl, t, er den komplekse eksponentilfunktion givet som: e it = cos t + i sin t (5) Sætning.8 om Fourierrækker på kompleks form. Fourierrækken for en given funktion f(x) på intervllet [ π, π] er på kompleks form givet ved: f(x) = α k = k= π π α k e ikx (6) f(x)e ikx dx (7) Ønskes en omregning fr kompleks til reel Fourierrække benyttes følgende smmenhæng: = α (8) k = α k + α k (9) b k = i(α k α k ) () Hvor α k, b k og k er givet som vist tidligere. Ønskes en omregning fr reel til kompleks Fourierrække benyttes følgende smmenhæng: α = () α k = ( k ib k ) () Hvis f(x) tger reelle værdier, vil de kompleksekoefficienter for negtive værdier f k være givet ved α k = α k, hvor stjernen ngiver komplekskonjungering. 3

4 Konvergens for Fourierrækker Punktvis konvergens Sætning.8 om punktvis konvergens. Hvis funktionen f(x) er periodisk og stykkevis kontinuert og punktet x er et punkt, hvor f er både venstre- og højredifferentibel, men ikke nødvendigvis kontinuert, siges Fourierrækken t konvergerer imod: f(x + ) + f(x ) (3) Dermed sgt, t ved et diskontinuert punkt konvergerer Fourierrækken imod middelværdien f grænserne fr højre og venstre. Er f kontinuert er middelværdien det smme som funktionsværdien i punktet x. Uniform konvergens Sætning.3 om uniform konvergens. Hvis f(x) er en stykkevis glt og periodisk funktion vil Fourierrækken konvergerer uniformt mod f(x). Givet en funktion g(x), der opfylder ovenstående krv er den dermed også kontinuert. Som følge f sætning.8 vil en uniform konvergent Fourierrække dermed også være punktvis konvergent. Vær opmærksom på, t det modstte ikke gælder. For en uniform konvergent Fourierrække er det tilldt t sætte lighedstegn mellem Fourierrækken og funktionen selv. Givet f(x) er en funktion med Fourierrækken f(x) = + k= ( k cos ( ) kπx ) er det dermed tilldt t skrive f(x) = f(x) L konvergens Sætning.35 om L konvergens. Givet f(x) er en funktion i L ([ π, π]) vil funktionens Fourierrække konvergere mod f(x) i L forstnd. Sætning.36 om kompleks L konvergens. Givet f(x) er en funktion i L ([ π, π]) med komplekse Fourierkoefficienter, α k vil prtilsummen f N (x) = N k= konvergere mod f(x) i L forstnd, når N. Prsevls ligninger α k e ikx (4) Sætning.39 om Prsevls ligning på reel form. Antget f(x) hr Fourierrækken f(x) = + k= ( k cos kx+b k sin kx) L [ π, π] vil følgende identitet gælde: π π π f(x) dx = + ( k + b k ) (5) Dette udtryk bruges som oftest til t finde en værdi for summen f uendelige rækker. k= 4

5 Sætning.4 om Prsevls ligning på kompleks form. Antget f(x) hr Fourierrækken f(x) = k= α ke ikx L [ π, π] vil følgende identitet gælde: f = π f(x) dx = α k (6) π k= Yderligere vil der for to funktioner f og g L [ π, π] gælde: π f, g = f(x)g(x)dx = π k= α k β k (7) Hvor α k er de komplekse Fourierkoefficienter, der hører til funktionen f(x) og β k er de komplekse Fourierkoefficienter, der hører til g(x). Fouriertrnsformtion Sætning. om Fouriertrnsformtion og den inverse Fouriertrnsformtion. For en kontinuert og differentibel funktion f(x) med f(x) dx < vil følgende gælde: f(x) = f(λ) = f(λ)e iλx dλ (8) f(x)e iλx dx (9) I ovenstående udtryk benævnes f(x) som f s Fouriertrnsformerede. I det følgende vil en Fouriertrnsformtion blive benævnt F[f] = f. Egenskber ved Fouriertrnsformtion Fr sætning. fås følgende identitet. F [F[f]](x) = F [ f](x) = f(x) (3) Sætning.6 om egenskber ved Fouriertrnsformtionen. Hvis f(x) og g(x) er differentible funktioner der er defineret på den reelle kse med f(x) = for store x vil følgende egenskber for Fouriertrnsformtionen gælde. Fouriertrnsformen og den inverse Fouriertrnsform er linære opertorer. Det betyder, t for enhver konstnt c gælder: F[f + g] = F[f] + F[g] (3) F[cf] = cf[f] (3) F [f + g] = F [f] + F [g] (33) F [cf] = cf [f] (34) Fouriertrnsformtionen f et produkt f f(x) med x n er givet ved: F[x n f(x)](λ) = i n dn F[f](λ) (35) dλn 5

6 Den inverse Fouriertrnsformtion f et produkt f f(λ) med λ n er givet ved: F [λ n f(λ)](x) = ( i) n dn dx n F [ f](x) (36) Fouriertrnsformtionen f n gnge differentieret funktion, f(x) er givet ved: F[f (n) ](λ) = (iλ) n F[f](λ) (37) Den inverse Fouriertrnsformtion f en n gnge differentieret funktion, f(λ) er givet ved: F [ f (n) ](x) = ( ix) n F [ f](x) (38) Fouriertrnsformtionen for en vilkårlig trnsformtion lngs x-ksen er givet ved: F[f(x )](λ) = e iλ F[f](λ) (39) En skleret funktions Fouriertrnsformtion er givet ved: F[f(bx)](λ) = ( ) λ b F[f] b (4) Hvis f(x) = for x < så vil Fouriertrnsformtionen f f(x) være givet ved: F[f](λ) = L[f](iλ) (4) Hvor L[f] er LPlcetrnsformtionen f f(x) defineret ved: L[f](s) = Fouriertrnsformtionen f lige og ulige funktioner. f(x)e xs dx (4) Hvis f(x) er en lige funktion tger Fouriertrnsformtionen en meget pæn (og reel) form. F[f](λ) = f(x)e iλx dx = f(x) cos (λx) dx (43) Tilsvrende gælder det, t er g(x) en ulige funktion vil Fourierintegrlet tge en ren imginær form. F[g](λ) = g(x)e iλx dx = i g(x) sin (λx) dx (44) 6

7 Fouriertrnsformering f foldninger Definition.9 om foldningen f to funktioner. Hvis f(x) og g(x) er to kvdrtintegrble funktioner er foldningen, f g defineret ved: (f g)(t) = Ovenstående er ækvivlent med: (f g)(t) = f(t x)g(x) dx (45) f(x)g(t x) dx (46) Sætning. om Fouriertrnsformtionen f foldede funktioner. Hvis g(x) og f(x) er to kvdrtintegrble funktioner vil Fouriertrnsformtionen f deres foldning være givet ved: F[f g] = f ĝ (47) F [ f ĝ] = f g (48) Mere om Fouriertrnsformtionen som linær opertor Sætning. om Fouriertrnsformtionen som linær opertor. Hvis f(x) og g(x) er to kvdrtintegrble funktioner gælder følgende identitet: Plncherels formel F[f], g L = f, F [g] L (49) Sætning. om Plncherels formel. Hvis f(x) og g(x) er to kvdrtintegrble funktioner gælder følgende indentiteter: F[f], F[g] L = f, g L (5) F [f], F [g] L = f, g L (5) F[f] L = f L (5) 7

8 Vigtige Fouriertrnsformtioner Her følger en liste over funktioner og deres Fouriertrnsform, der er værd t hve ved hånden, når opgver skl løses. Normeringsfktor fr Fouriertrnsformtion er benyttet. f(x) {, b < x < b {, b < x < c x + ( > ) { x x +, < x < b x b, b < x < b { e x, < x < > { e x, b < x < c { e ix, b < x < b { e ix, b < x < c { c, < x < b e x > F{f(x)}(λ) sin (bλ) π λ e ibλ e icλ iλ π e λ π e λ + e ibλ e ibλ λ ( + iλ) e ( iλ)c e ( iλ)b ( iλ) sin (b(λ )) π λ i e ib( λ) e ic( λ) λ ic (e iλ e ibλ ) λ e λ 4 sin(x) π, λ < ;, λ > x { cos x, x π cos λπ π λ e x, > π ( + λ ) xe x iλ, > π ( + λ ) x e x ( λ ), > π ( + λ ) xe x iλe λ 8