Pointen med Integration
|
|
- Jette Paulsen
- 5 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Pointen med Integrtion Frnk Vill 3. oktober IT Teching Tools. ISBN-13: Dette dokument må kun nvendes til undervisning i klsser som bonnerer på MtBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her.
2 Indhold 1 Introduktion 1 2 Ubestemt integrtion At finde en stmfunktion At finde stmfunktioner i prksis Det ubestemte integrltegn Bestemt integrtion Udregning f bestemte integrler i prksis Teoretisk forståelse Anlysens fundmentlsætning Bestemte integrler ved hjælp f stmfunktioner.. 14
3 Resumé I dette dokument løber vi igennem de vigtigste begreber og resultter i forbindelse med integrtion f funktioner. Det kn bruges som en førstehjælpsksse hvis du lynhurtigt skl dnne dig et overblik over hvd integrtion går ud på. Alle uddybende forklringer og beviser er som sædvnlig gemt til ndre dokumenter. 1 Introduktion At integrere betyder noget i retning f t smle eller t gøre til en helhed ltså det modstte f t differentiere som betyder t skille d. På en måde er det mtemtiske begreb integrtion også det modstte f differentition. Ligesom differentition er integrtion noget som mn kn gøre med en funktion. Tg derfor llerede nu ft i din yndlingsfunktion og gør dig klr til t integrere den. Af historiske årsger 1 findes der hele to processer som hr fået nvnet integrtion, nemlig ubestemt og bestemt integrtion. Vi vil nedenfor gennemgå begge disse begreber, og til sidst se hvd de hr med hinnden t gøre. Forudsætninger Det er nødvendigt t du hr godt styr på funktionsbegrebet 2 og på hvordn mn differentierer funktioner 3 inden du læser dette dokument. Bemærk: Det er ikke tilstrækkeligt t kunne få sin lommeregner (eller en nden mskine) til t differentiere. Hvis ikke mn hr prøvet t bruge differentitionsreglerne til t differentiere i hånden, 1 Du kn læse en lille historie om disse årsger her 2 Læs om pointen med funktioner her 3 Læs om pointen med differentition her side 1
4 så hr mn ikke en chnce for t forstå hvd der foregår når mn finder stmfunktioner. 2 Ubestemt integrtion Ubestemt integrtion hndler om t differentiere bglæns. Vi strter derfor med t studere begrebet en stmfunktion : 2.1 At finde en stmfunktion Definition 1. En funktion F siges t være en stmfunktion til en nden funktion, f, hvis F er differentibel og: F = f Med ndre ord: En stmfunktion til f er en funktion som differentieret giver f. At finde en stmfunktion til en given funktion går ltså ud på t lve differentition bglæns. Altså t gætte en funktion som giver det rigtige når den differentieres. Eksempel 2. Hvis mn læser oversigten over differentition f de bsle funktionstyper bglæns, så kn mn bruge den som en oversigt over stmfunktioner. F.eks. kn mn sige t: og t: Sinus en stmfunktion til cosinus Den nturlige logritme er en stmfunktion til reciprokfunktionen. side 2
5 I næste fsnit hr vi smlet de vigtigste f den slgs bglæns informtioner. Øvelse 3. Betrgt funktionerne f og g givet ved: og f(x) = x 2 g(x) = 2x Hvilken f disse funktioner er en stmfunktion til den nden? Fcts om stmfunktioner Følgende fcts er gode t lære udend: At finde en stmfunktion svrer til t differentiere bglæns. Mn bør tænke på det som en gætteleg, hvor mn i første omgng gætter (mere eller mindre velovervejet) på en funktion og bgefter undersøger om denne funktion giver det rigtige når mn differentierer den. Hvis en funktion er nvngivet med et bogstv, f.eks. f, så plejer mn t nvngive en eventuel stmfunktion med det smme bogstv i stor udgve, ltså f.eks. F. Ovenstående trdition er dog ikke en regel! Mn kn klde sin stmfunktion lige hvd mn hr lyst til (dette kn f.eks. blive nødvendigt hvis mn llerede hr fundet en stmfunktion F til f, og bgefter finder en stmfunktion til F. Derfor er det ltså ikke underforstået t en funktion ved nvn F ltid er stmfunktion til en funktion ved nvn f. En sådn reltion mellem de to funktioner er mn nødt til t sige eller skrive med ord. En given funktion kn godt hve mere end én stmfunktion! Derfor skl mn psse meget på med t tle om f s stmfunktion side 3
6 eller stmfunktionen til f. I stedet bruger mn vendingen en stmfunktion til f meget ofte. Hvis F er en stmfunktion til f, så kn mn lve en nden stmfunktion ved t lægge en konstnt til F. F.eks. er funktionen g givet ved: g(x) = sin(x) + 14 en fin stmfunktion til cosinus. Fktisk kn lle ndre stmfunktioner til en funktion, f lves på ovennævnte måde, fordi to forskellige stmfunktioner til en given funktion ltid vil fvige med en konstnt. Der findes ikke nogen computerprogrmmer eller lommeregnere som er gode til t finde stmfunktioner. Det skyldes t nogle funktioner hr stmfunktioner som slet ikke kn opskrives med vores lmindelige regnesymboler. Det kn være meget svært t finde en stmfunktion til en given funktion. F.eks. vil de fleste gymnsieelever bruge meget lng tid 4 på t gætte en stmfunktion til funktionen f, givet ved: f(x) = x cos(x) Ikke desto mindre hr næsten lle funktioner underligt nok en stmfunktion. Det viser følgende vigtige sætning: Sætning 4 (Anlysens Fundmentlsætning, del 1). Hvis f er en funktion som er defineret på et åbent intervl: ]; b[ og som er kontinuert, så hr f en stmfunktion. 4 Hvis du prøver, så læg mærke til hvorfor det er svært! Prøv t få en fornemmelse f hvor sindssygt mnge funktioner mn hr t gætte på. side 4
7 2.2 At finde stmfunktioner i prksis I modsætning til t differentiere er det ofte meget svært t finde en stmfunktion til en given funktion. Det skyldes t regnereglerne for differentition ikke bre kn vendes om, og derfor vil du ofte sidde med en fornemmelse f t der mngler regler for hvordn mn finder stmfunktioner. Nogle f de få regneregler som findes er smlet herunder. Det er en god ide t lære dem udend. Bsle funktionstyper Funktionen, f, givet ved: hr en stmfunktion, F, givet ved: f(x) = k (k R) F (x) = k x f(x) = x ( R \ { 1}) F (x) = 1 +1 x+1 f(x) = cos(x) F (x) = sin(x) f(x) = sin(x) F (x) = cos(x) f(x) = e x F (x) = e x f(x) = x 1 (x > 0) F (x) = ln(x) Regneregler Funktionstype Stmfunktion Forudsætning f + g F + G F er en stmfunktion til f og G er en stmfunktion til g f g F G F er en stmfunktion til f og G er en stmfunktion til g k f k F k er en konstnt og F er en stmfunktion til f side 5
8 2.3 Det ubestemte integrltegn Det ubestemte integrltegn er simpelt hen en måde t skrive en stmfunktion til på. Hvis f er en funktion, så betyder udtrykket: f(x)dx en stmfunktion til f. På den måde kn mn f.eks. ngive t: cos(x)dx = sin(x) Reglerne for hvordn mn nvender det ubestemte integrltegn er ret indviklede: Mn skriver funktionens værdi i et (ikke nærmere bestemt) tl, x, inde i integrltegnet, efterfulgt f symbolet dx som mrkerer t x er den vribel mn integrerer med hensyn til. Mn ngiver resulttet f integrtionen (som egentlig er en funktion) ved t ngive denne funktions værdi i det smme x. Integrltegnet betyder en stmfunktion. Således kunne det være lige så korrekt t ngive t: cos(x)dx = sin(x) Mnge vælger t ngive smtlige mulige stmfunktioner på én gng ved t skrive f.eks. cos(x)dx = sin(x) + k, (k R) men det er ikke en generel regel t mn skl gøre sådn. Det ubestemte integrltegn er temmeligt besværligt t hve med t gøre, fordi det er så nemt t komme til t bruge det forkert. Fktisk kn mn vælge ldrig t bruge tegnet, fordi det er mindst lige så præcist og omtrent lige så hurtigt t skrive: side 6
9 *** er en stmfunktion til som t skrive:... dx = (Læg mærke til ombytningen f hvilken rækkefølge oplysningerne kommer i!) Mn er bre nødt til t vide hvd det ubestemte integrltegn betyder, i fld mn møder ndre mennesker som bruger det. Hvis du lligevel vælger t bruge det, så er her en liste over fcts som mn bør huske. Fcts om det ubestemte integrl Det ubestemte integrl består t to dele: og d, og de optræder ltid smmen. Den første hlvdel læses som integrlet f og den nden hlvdel læses som med hensyn til. Den sidste hlvdel kn også være dy, d eller ligefrem dd hvis mn er i et fjollet humør. I så fld skl mn bre ngive både den funktion som integreres og resulttet ved t ngive deres værdi i den vlgte integrtionsvribel. Det ubestemte integrl er noget som mn tger på en funktion, og det giver en funktion. (Nemlig en stmfunktion til den første funktion.) Mn bør tænke på ubestemt integrtion som den omvendte proces f differentition. Tegningen på figur 1 kn være en hjælp til t huske hvordn ordene skl bruges. Nogle moderne lommeregnere prler med t kunne beregne ubestemte integrler. Men som nævnt i fsnittet om stmfunktioner kn mn ikke lære en mskine t finde stmfunktioner, fordi nogle stmfunktioner simpelt hen ikke kn opskrives ved hjælp f lmindelige regneopertioner. Det betyder t mn ofte vil opleve t lommeregneren bre omskriver lidt på det ubestemte integrl uden t ngive et resultt. side 7
10 Figur 1: Differentition og (ubestemt) integrtion 3 Bestemt integrtion Bestemt integrtion er den rigtige form for integrtion. Det er den proces som psser bedst til nvnet, idet mn her får en fornemmelse f t noget bliver smlet eller gjort til en helhed. Til gengæld er det lidt svært t se hvd den hr med differentition t gøre. Lige som ubestemt integrtion, strter mn med en funktion, men i modsætning til ubestemt integrtion producerer mn et tl. Den præcise definition er meget kompliceret, så derfor vil vi her nøjes med en snydedefinition 5. Definition 5 (Snydedefinition). Hvis f er en funktion som er defineret på et lukket intervl [; b], så defineres det bestemte integrl f f fr til b: b f(x)dx til t betyde relet, målt med fortegn f det område som ligger mellem grfen for f og x-ksen, i intervllet [; b] på x-ksen. (Se figur 2) At relet måles med fortegn betyder t reler som ligger under x-ksen tæller som negtive reler. 5 Problemet med denne definition er t ordet rel fktisk ikke er så veldefineret som mn kn gå og tro. Når funktionen bliver tilps kompliceret giver den intuitive opfttelse f relet ikke længere mening. Men så længe den omtlte funktion er tilps pæn så er definitionen god nok. side 8
11 y=f(x) b Figur 2: Det bestemte integrl f en funktion, f, fr et punkt, til et punkt b. Eksempel 6. Betrgt funktionen f, givet ved: Om denne funktion gælder t: Kn du se hvorfor? f(x) = sin(x) π π f(x)dx = 0 Som sgt giver denne definition ikke mening for meget komplicerede funktioner. De funktioner hvor mn fktisk kn give en præcis mening til ovennævnte definition, og hvor relet kn ngives med et reelt tl, kldes integrble. Heldigvis er lngt de fleste funktioner integrble: Sætning 7 (Anlysens Fundmentlsætning, del 2). Hvis f er en funktion som er defineret på et lukket intervl, [; b] og som er kontinuert, så er f integrbel på [; b]. side 9
12 Fcts om bestemt integrtion Ved bestemt integrtion strter mn med en funktion f (den kldes integrnten) og to tl, og b (de kldes nedre grænse og øvre grænse for integrtionen), og mn producerer et tl. Mn siger t f integreres fr den nedre grænse til den øvre grænse. Det tl som kommer ud f integrtionen omtles som integrlet f f fr til b. Det er nemt t vurdere cirk hvd det bestemte integrl f en funktion giver ved t kigge på grfen. De fleste grfprogrmmer og lommeregnere kn udregne bestemte integrler. I modsætning til ubestemte integrler er de endd meget gode til det, og de kn ngive det bestemte integrl (som jo er et tl) med meget stor nøjgtighed. Mn bør dog ltid huske t det er en pproksimeret værdi som kommer ud. Når mn får en mskine til t udregne et bestemt integrl, siger mn t integrlet uderegnes nummerisk, eller t mn foretger nummerisk integrtion. Det er slet ikke klrt hvordn mn beregner det bestemte integrl f en funktion ekskt. Det kommer vi tilbge til i næste fsnit. Øvelse 8. Find den nøjgtige værdi f følgende integrl: x 2 dx (Det hjælper meget hvis du tegner grfen for den funktion som skl integreres.) side 10
13 3.1 Udregning f bestemte integrler i prksis I modsætning til ubestemte integrler, så er bestemte integrler guf for en lommeregner eller ndre mskiner, fordi resulttet er et tl. Bestemte integrler f typen: b f(x)dx kn udregnes på de fleste elektriske pprter (undtgen måske tostere og kffemskiner), hvis bre mn kender den syntks som mskinen kræver t mn indtster integrlet i. Mn skl på en eller nden måde indtste funktionen der skl integreres smt de to grænser, og b. I et grfprogrm vil mn som regel strte med t tegne grfen for den funktion der skl integreres. Derefter kn mn som regel vælge integrere ( integrte på engelsk) eller beregn rel, hvorefter den nedre og øvre grænse skl indtstes på en eller nden måde. Du gør klogt i t lære hvordn det gøres i lige præcis dit grfprogrm eller på din lommeregner. For selvom der findes en metode til t regne bestemte integrler ud i hånden (se fsnit 4.1), så er det kun meget få integrler der kn udregnes i ved denne metode i prksis. 3.2 Teoretisk forståelse Mn kn sgtens beregne bestemte integrler uden t forstå noget som helst om dem (se næste fsnit). Men hvis mn hr en lille smule teoretisk viden om hvordn den rigtige version f definition 5 ser ud, så er der utroligt mnge nvendelser f bestemte integrler som pludselig bliver totlt logiske. Desværre er den rigtige version f definition 5 meget kompliceret. Derfor vælger vi en mellemting her, som på den ene side ikke er præcis nok til t give mening, men på den nden side er tæt nok på den rigtige definition til t forståelsen kommer med. side 11
14 Bemærkning. Hvis f er en funktion, og [; b] er et lukket intervl i dens definitionsmængde, så skl mn forstå det bestemte integrl b f(x)dx som en beregning der foregår cirk på følgende måde: 1. Inddel intervllet [; b] i (fsindigt mnge) små dele som lle hr den smme (meget lille) bredde. Kld denne bredde for x, og kld ntllet f delintervller for n. 2. Vælg et tl i hvert f delintervllerne. Kld disse tl for x 1, x 2, x 3, x n 3. Udregn for hvert f delintervllerne produktet: f(x i ) x (vi bruger x i til t betegne det element som er vlg i det delintervl nummer i.) 4. Læg lle disse tl smmen. Med ndre ord: Udregn summen: n f(x i ) x i 1 Bemærk t de produkter som udregnes under punkt 3 er cirk det smme som relet (målt med fortegn) under grfen for f i det pågældende intervl, fordi det er relet f en ksse med bredde x og højde f(x i ) (hvor højden er negtiv hvis grfen for f ligger under x-ksen.) Mn bør hve billedet på figur 3 i hovedet. Hvis mn tænker på integrlet som en sum f ovenstående type, så er der rigtigt mnge nvendelser f integrler som er meget intuitive. Her er et pr eksempler: Længden f bnekurven for en vektorfunktion, f, defineret på et side 12
15 (n=8) y=f(x) b Figur 3: Det bestemte integrl f en funktion, f, fr et punkt, til et punkt b, forstået som en sum. lukket intervl [; b]: b f (t) dt Rumfnget f det omdrejningslegeme som fremkommer hvis grfen for en funktion f, defineret på intervllet [; b] drejes rundt om x- ksen: b π f(x) 2 dx Rumfnget f det omdrejningslegeme som fremkommer hvis grfen for en positiv funktion f, defineret på intevllet [; b] (hvor > 0): b 2π x f(x)dx side 13
16 4 Anlysens fundmentlsætning Anlysens fundmentlsætning giver en smmenhæng mellem ubestemt og bestemt integrtion. Denne smmenhæng giver umiddelbrt en konkret måde t udregne bestemte integrler på. Sætning 9 (Anlysens Fundmentlsætning, del 3). Hvis f er en funktion som er defineret og kontinuert på et åbent intervl, ]A; B[, og F er en stmfunktion til f på dette intervl, så gælder der for lle tl, og b i intervllet t: b f(x)dx = F (b) F () 4.1 Bestemte integrler ved hjælp f stmfunktioner Mn kn ltså udregne et bestemt integrl t typen b f(x)dx ved først t finde en stmfunktion F til f, derefter tge denne stmfunktion i øvre grænse og i nedre grænse, og til sidst trække disse to funktionsværdier fr hinnden. For t gøre det nemmere t skrive hvd der foregår, hr mn indført en skrivemåde der betyder funktionen f tget i b minus funktionen f tget i. Det ser sådn her ud: [f(x)] b = f(b) f() Bemærkninger Bemærk t mn ligesom med integrltegnet ngiver funktionen f ved t skrive dens værdi i et (ikke nærmere bestemt) tl, x. side 14
17 Bemærk også i hvilken rækkefølge de to funktionsværdier trækkes fr hinnden. Mn tger funktionsværdien i det tl som står øverst minus funktionsværdien i det tl som står nederst. Med denne nottion kn mn skrive konklusionen i nlysens fundmentlsætning som: b [ f(x)dx = ] b f(x)dx Mn bruger dog mest nottionen til t lve mellemregninger i udregning f bestemte integrler, som det næste eksempel viser: Eksempel 10. Ld os integrere funktionen f, givet ved: f(x) = x 2 fr 0 til 2. Et hurtigt kig på grfen (se figur 4) viser t dette integrl er mindre end 4 (fordi det skrverede rel er mindre end hlvdelen f en ksse med rel 8) og større end 2. Det er nemt t finde en stmfunktion til f. Vi kn bruge funktionen F givet ved: Dermed giver integrlet: 2 0 F (x) = 1 3 x3 f(x)dx = F (2) F (0) = = 8 3 2,67 Med nottionen ovenfr ville mn kunne skrive denne udregning som: 2 [ ] 1 2 x 2 dx = 0 3 x3 = side 15
18 Figur 4: Det bestemte integrl fr eksempel 10. side 16
Pointen med Integration
Pointen med Integrtion Frnk Nsser 20. pril 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun nvendes til undervisning i klsser som bonnerer på MtBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er en
Læs mereAnalysens Fundamentalsætning
Anlysens Fundmentlsætning Frnk Nsser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun nvendes til undervisning i klsser som bonnerer på MtBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereIntegrationsteknikker
Integrtionsteknikker Frnk Vill. jnur 14 Dette dokument er en del f MtBog.dk 8-1. IT Teching Tools. ISBN-13: 978-87-9775--9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion 1 Numerisk integrtion.1
Læs mereMM501 forelæsningsslides
MM501 forelæsningsslides uge 39, 009 Produceret f Hns J. Munkholm 1 Linerisering s. 66-67 Lineriseringen f f omkring x =, er den lineære funktion, der hr tngenten som grf. Klder mn den L er forskriften
Læs mereMM501 forelæsningsslides
MM501 forelæsningsslides uge 38, 010 Produceret f Hns J. Munkholm berbejdet f Jessic Crter 1 l Hopitls regler Afsnit 4.3 l Hopitls regel I omhndler beregning f grænseværdier f formen lim x f(x) g(x), hvor
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 17
Mtemtisk modellering og numeriske metoder Lektion 1 Morten Grud Rsmussen 8. november, 1 1 Numerisk integrtion og differentition [Bogens fsnit 19. side 84] 1.1 Grundlæggende om numerisk integrtion Vi vil
Læs mereINTEGRALREGNING. Opgaver til noterne kan findes her. PDF. Facit til opgaverne kan hentes her. PDF. Version: 5.0
INTEGRALREGNING Version: 5.0 Noterne gennemgår egreerne: integrl og stmfunktion, og nskuer dette som et redsk til estemmelse f l.. reler under funktioner. Opgver til noterne kn findes her. PDF Fcit til
Læs mereTAL OG BOGSTAVREGNING
TAL OG BOGSTAVREGNING De elementære regnerter I mtemtik kn vi regne med tl, men vi kn også regne med bogstver, som gør det hele en smugle mere bstrkt. Først skl vi se lidt på de fire elementære regnerter,
Læs mereMM501 forelæsningsslides
MM50 forelæsningsslides uge 39, 200 Produceret f Hns J. Munkholm berbejdet f Jessic Crter Integrtion ved substitution Afsnit5.6 Ubestemte integrler s. 37-39 Reglen om differentition f en smmenst funktion
Læs mereIntegralregning. Version juni Mike Vandal Auerbach
Integrlregning Version.0 27. juni 209 y f x Mike Vndl Auerch www.mthemticus.dk Integrlregning Version.0, 209 Disse noter er skrevet til mtemtikundervisningen på stx A- og B-niveu efter gymnsiereformen
Læs mereLektion 7s Funktioner - supplerende eksempler
Lektion 7s Funktioner - supplerende eksempler Oversigt over forskellige tper f funktioner Omvendt proportionlitet og hperler.grdsfunktioner og prler Eksponentilfunktioner Potensfunktioner Lektion 7s Side
Læs mereMatematikprojekt. Integralregning. Lavet af Arendse Morsing Gunilla Olesen Julie Slavensky Michael Hansen. 15 Oktober 2010
Mtemtikprojekt om Integrlregning Lvet f Arendse Morsing Gunill Olesen Julie Slvensky Michel Hnsen 15 Oktober 21 Indhold I Del 1................................ 3 I Generelt om stmfunktioner og integrler........
Læs mereIntegralregning. 2. del. 2006 Karsten Juul
Integrlregning del ( ( 6 Krsten Juul Indhold 6 Uestemt integrl8 6 Sætning om eksistens stmunktioner 8 6 Oplæg til "regneregler or integrl"8 6 Regneregler or uestemt integrl 9 68 Foreredelse til "integrtion
Læs mereNoget om Riemann integralet. Noter til Matematik 2
Noget om Riemnn integrlet. Noter til Mtemtik 2 Arne Jensen Afdeling for Mtemtik og Dtlogi Institut for Elektroniske Systemer Alborg Universitetscenter Fredrik Bjers Vej 7 9220 Alborg Ø 4. pril 1991 Revideret
Læs merePotens- sammenhænge. inkl. proportionale og omvendt proportionale variable. 2010 Karsten Juul
Potens- smmenhænge inkl. proportionle og omvendt proportionle vrible 010 Krsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse f hæftet "Eksponentielle smmenhænge, udgve ". Indhold 1. Hvd er en potenssmmenhæng?...1.
Læs mereEksponentielle Sammenhænge
Kort om Eksponentielle Smmenhænge 011 Krsten Juul Dette hæfte indeholder pensum i eksponentielle smmenhænge for gymnsiet og hf. Indhold 1. Procenter på en ny måde... 1. Hvd er en eksponentiel smmenhæng?....
Læs mereMatematikkens sprog INTRO
Mtemtikkens sprog Mtemtik hr sit eget sprog, der består f tl og symboler fx regnetegn, brøkstreger bogstver og prenteser På mnge måder er det ret prktisk - det giver fx korte måder t skrive formler på.
Læs mereANALYSE 1, 2013, Uge 2
ANALYSE 1, 2013, Uge 2 Forelæsninger Denne uges tem er uendelige rækker. Tirsdg: Tlrækker. En uendelig tlrække består ligesom en uendelig tlfølge f uendelig mnge tl. Forskellen mellem de to begreber består
Læs mereProjekt 5.7 Hovedsætninger om differentiable funktioner et opgaveforløb
Hvd er mtemtik?, e-og Projekter: Kpitel 5 Projekt 57 Hovedsætninger om differentile funktioner Projekt 57 Hovedsætninger om differentile funktioner et opgveforlø Projektet er en udvidelse f fsnittet i
Læs mereANALYSE 1, 2015, Uge 2
ANALYSE 1, 2015, Uge 2 Forelæsninger Denne uges tem er uendelige rækker. Tirsdg: Tlrækker. En uendelig tlrække består ligesom en uendelig tlfølge f uendelig mnge tl. Forskellen mellem de to begreber består
Læs mereFor så kan de to additionsformler samles i én formel, der kan ses som et specialtilfælde af den komplekse eksponentialfunktions funktionalligning,
15.1. Komplekse integrler 293 læse, og hvordn gør mn det i prksis? Men den virkelige motivtion bg begrebet bliver udst til fsnit 18.5, hvor vi viser t foldning f sndsynlighedsmål lder sig udtrykke meget
Læs mereMatematik B-A. Trigonometri og Geometri. Niels Junge
Mtemtik B-A Trigonometri og Geometri Niels Junge Indholdsfortegnelse Indledning...3 Trigonometri...3 Sinusreltionen:...6 Cosinusreltionen...7 Dobbeltydighed...7 Smmendrg...8 Retvinklede treknter...8 Ikke
Læs mereLektion 6 Bogstavregning
Lektion Bogstvregning Formler... Reduktion... Ligninger... Lektion Side 1 Formler En formel er en slgs regne-opskrift, hvor mn med bogstver viser, hvorledes noget skl regnes ud. F.eks. formler til beregning
Læs mereProjekt 8.4 Logaritmefunktionerne
Hvd er mtemtik? Projekter: Kpitel 8. Projekt 8.4 Logritmefunktionerne Projekt 8.4 Logritmefunktionerne Indhold. log( ) og 0 som omvendte funktioner... 2 2. Den nturlige logritmefunktion, ln( ) og den nturlige
Læs mere... ... ... ... ... ... ... b > 0 og x > 0, vil vi kalde en potensfunktion. 492 10. Potensfunktioner
POTENSFUNKTIONER 0 49 0. Potensfunktioner POTENSFUNKTIONER DEFINITION En funktion med forskriften f( )= b hvor b > 0 og > 0 vil vi klde en potensfunktion. I MAT C kpitel så vi t hvis skl være et vilkårligt
Læs mere2 Erik Vestergaard
Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk 3 Definition 1 En funktion på formen f ( x) = b x, x R +, hvor b R + og R er konstnter, kldes for en potensudvikling eller en potensiel
Læs mereANALYSE 1, 2014, Uge 3
ANALYSE 1, 2014, Uge 3 Forelæsninger Tirsdg. Vi generliserer tlrækker til funktionsrækker ved t udskifte tllene med funktioner (TL Afsnit 12.5). Det svrer til forrige uges skridt fr tlfølger til funktionsfølger.
Læs mereTrigonometri. Matematik A niveau
Trigonometri Mtemtik A niveu Arhus Teh EUX Niels Junge Trigonometri Sinus Cosinus Tngens Her er definitionen for Cosinus Sinus og Tngens Mn kn sige t osinus er den projierede på x-ksen og sinus er den
Læs mereProjekt 7.8 To ligninger med to ubekendte
Projekt 78 To ligninger med to uekendte Den opgve t skulle løse to ligninger med to uekendte er vi stødt på i en række speciltilfælde under ehndlingen f vækstmodellerne: Funktionstype Ligningssystem Lineær
Læs mereTrigonometri. Trigonometri. Sinus og cosinus... 2 Tangens... 6 Opgaver... 9. Side 1
Trigonometri Sinus og osinus... 2 Tngens... 6 Opgver... 9 Side Sinus og osinus Til lle vinkler hører der to tl, som kldes osinus og sinus. Mn finder sinus og osinus til en vinkel ved t tegne vinklen midt
Læs mereInstitut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. Integrationsprincippet og Keplers tønderegel
Integrtionsprincippet og Keplers tønderegel. side Institut for Mtemtik, DTU: Gymnsieopgve Integrtionsprincippet og Keplers tønderegel Littertur: H. Elrønd Jensen, Mtemtisk nlyse, Institut for Mtemtik,
Læs mere3. Vilkårlige trekanter
3. Vilkårlige treknter 3. Vilkårlige treknter I dette fsnit vil vi beskæftige os med treknter, der ikke nødvendigvis er retvinklede. De formler, der er omtlt i fsnittet om retvinklede treknter, kn ikke
Læs mereDifferentialregning. integralregning
Differentilregning og integrlregning Ib Micelsen Ikst 013 Indoldsfortegnelse Tegneøvelser...3 Introduktion... Definition f differentilkvotient og tngent...6 Tngentældninger...7 Den fledte funktion...7
Læs meregudmandsen.net y = b x a Illustration 1: potensfunktioner i 5 forskellige grupper
gudmndsen.net Dette dokument er publiceret på http://www.gudmndsen.net/res/mt_vejl/. Ophvsret: Indholdet stilles til rådighed under Open Content License[http://opencontent.org/openpub/]. Kopiering, distribution
Læs mereDiverse. Ib Michelsen
Diverse Ib Michelsen Ikst 2008 Forsidebilledet http://www.smtid.dk/visen/billede.php?billedenr69 Version: 0.02 (2-1-2009) Diverse (Denne side er A-2 f 32 sider) Indholdsfortegnelse Regning med procent
Læs mere1 1 t 10 1. ( ) x 2 4. + k ================= sin( x) + 4 og har graf gennem (0,2), dvs F(0) = 2. + 4x + k
0x-MA (0.0.08) _ opg (3:07) Integrtion ved substitution ( x + 7) 9 t x + 7 > t 9 t 0 + k 0 0 ( x + 7)0 + k b) x x + 4 t x + 4 > 3 x t t t x 3 t x x + k 3 t t + k ( ) x 4 3 x + 4 + + k c) cos( x)
Læs mereSpil- og beslutningsteori
Spil- og eslutningsteori Peter Hrremoës Niels Brock 26. novemer 2 Beslutningsteori De økonomiske optimeringssitutioner, vi hr set på hidtil, hr været helt deterministiske. Det vil sige t vores gevinst
Læs mereIntegration ved substitution og delvis (partiel) integration
DEN TEKNISK-NATURVIDENSKABELIGE BASISUDDANNELSE MATEMATIK INTEGRATION EFTERÅRET Integrtion ved sustitution og delvis (prtiel) integrtion Differentil- og integrlregningens hovedsætning lyder: Hvis ƒ er
Læs mereMatematikkens mysterier - på et højt niveau. 3. Differentialligninger
Mtemtikkens msterier - på et højt niveu f Kenneth Hnsen 3. Differentilligninger N N N 3 A A k k Indholdsfortegnelse 3. Introduktion 3. Dnmiske sstemer 3 3.3 Seprtion f de vrible 8 3.4 Vækstmodeller 8 3.5
Læs mereINFINITESIMALREGNING del 2 Stamfunktioner og differentialkvotienter Regneregler Optimering Taylorrækker
INFINITESIMALREGNING del Stmfunktioner og differentilkvotienter Regneregler Optimering Tylorrækker -klsserne Gmmel Hellerup Gymnsium Indholdsfortegnelse STAMFUNKTIONER... 3 REGNEREGLER... 9 AFLEDEDE FUNKTIONER...
Læs mereBogstavregning. for gymnasiet og hf Karsten Juul. a a
Bogstvregning for gymnsiet og hf 010 Krsten Juul Til eleven Brug lynt og viskelæder når du skriver og tegner i hæftet, så du får et hæfte der er egenet til jævnligt t slå op i under dit videre rejde med
Læs mereSimple udtryk og ligninger
Simple udtryk og ligninger for gymnsiet og hf 0 Krsten Juul Indhold Rækkefølge f + og... Smle led f smme type... Gnge ind i prentes. del... Rækkefølge f og smt f + og... Gnge ind i prentes. del... Hæve
Læs mereRegneregler for brøker og potenser
Regneregler for røker og potenser Roert Josen 4. ugust 009 Indhold Brøker. Eksempler......................................... Potenser 7. Eksempler......................................... 8 I de to fsnit
Læs mereKort om Potenssammenhænge
Øvelser til hæftet Kort om Potenssmmenhænge 2011 Krsten Juul Dette hæfte indeholder bl.. mnge småspørgsmål der gør det nemmere for elever t rbejde effektivt på t få kendskb til emnet. Indhold 1. Ligning
Læs mereMere end blot lektiehjælp. Få topkarakter i din SRP. 12: Hovedafsnittene i din SRP (Redegørelse, analyse, diskussion)
Mere end lot lektiehjælp Få topkrkter i din SRP 12: Hovedfsnittene i din SRP (Redegørelse, nlyse, diskussion) Hjælp til SRP-opgven Sidste år hjlp vi 3.600 gymnsieelever med en edre krkter i deres SRP-opgve.
Læs mereErik Vestergaard www.matematikfysik.dk. Erik Vestergaard, 2009.
Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk Erik Vestergrd, 009. Billeder: Forside: Collge f billeder: istock.com/titoslck istock.com/yuri Desuden egne fotos og illustrtioner Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk
Læs mereTips. til træningsambassadørerne
Tips til træningsmbssdørerne NÅR I TRÆNER GENERELT 1. Brug et motiverende sprog også selvom du fktisk er lidt træt. Du kn for eksempel sige: Jeg er mx klr til træning hvd med dig? Er du frisk?! 2. Din
Læs mereTAL OG REGNEREGLER. Vi ser nu på opbygningen af et legeme og noterer os samtidig, at de reelle tal velkendte regneoperationer + og er et legeme.
TAL OG REGNEREGLER Inden for lgeren hr mn indført egreet legeme. Et legeme er en slgs konstruktion, hvor mn fstsætter to regneregler og nogle sætninger (ksiomer), der gælder for disse. Pointen med en sådn
Læs mereMichel Mandix (2017) Derfor er der behov for en række værktøjer, som kan bruges også til de vilkårlige trekanter. a b c A B C
Mihel Mndix (07) Sinusreltionen Nott Side f 9 Sinusreltionen Indtil videre, er der kun eskrevet, hvordn mn eregner på retvinklede treknter. Men desværre er det lngtfr lle treknter, som er retvinklede.
Læs mereStamfunktion & integral
PeterSørensen.dk Stmfunktion & integrl Indhold Stmfunktion... Integrl (Uestemt integrl)... 2 Det estemte integrl... 2 Arel og integrl... Regneregler for estemte integrler... Integrler / stmfunktioner kn
Læs mereOm Riemann-integralet. Noter til Matematik 1
Om Riemnn-integrlet. Noter til Mtemtik 1 Jon Johnsen Institut for Mtemtiske Fg, Alborg Universitet Fredrik Bjers Vej 7G, 9220 Ålborg Ø 3. december 2001 1 Indledning Integrlregning går tilbge til Newtons
Læs mereIntegralregning. Erik Vestergaard
Integrlregning Erik Vestergrd Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk Erik Vestergrd, Hderslev 4 Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse. Indledning 4. Stmfunktioner 4. Smmenhængen
Læs mereArctan x = x x3 3 + x5 (En syvende berømt række er binomialrækken, [S] 8.8.) Eksempel
Oversigt [S] 8.5, 8.6, 8.7, 8.0 Nøgleord og begreber Seks berømte potensrækker Potensrække Konvergensrdius Differentition og integrtion f potensrækker Tylor og McLurin rækker August 00, opgve 4 Den geometriske
Læs mereØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C POTENS-SAMMENHÆNG
ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C POTENS-SAMMENHÆNG INDHOLDSFORTEGNELSE 1 Formelsmling... side 2 Uddbning f visse formler... side 3 2 Grundlæggende færdigheder... side 5 2 Finde konstnterne og b i en formel...
Læs merePotens regression med TI-Nspire
Potensvækst og modellering - Mt-B/A 2.b 2007-08 Potens regression med TI-Nspire Vi tger her udgngspunkt i et eksempel med tovværk, hvor mn får oplyst en tbel over smmenhængen mellem dimeteren (xdt) i millimeter
Læs mereFormelsamling Matematik C Indhold
Formelsmling Mtemtik C Indhold Eksempler på besvrelser, lin, eksp, pot, geo... Tl, regneopertioner og ligninger... 6 Ligninger... 7 Geometri... 0 Funktioner og modeller... 3 Lineær funktion... 3 Procentregning...
Læs mereRegneregler. 1. Simple regler for regning med tal.
Regneregler. Simple regler for regning med tl. Vi rejder l.. med følgende fire regningsrter: plus (), minus ( ), gnge () og dividere (: eller røkstreg, se senere), eller med fremmedord : ddition, sutrktion,
Læs mereFUNKTIONER del 2 Eksponentielle udviklinger Trigonometriske funktioner Potensfunktioner Polynomier Modeller Regression
FUNKTIONER del Eksponentielle udviklinger Trigonometriske funktioner Potensfunktioner Polynomier Modeller Regression -klsserne Gmmel Hellerup Gymnsium Indhold EKSPONENTIELLE UDVIKLINGER... 3 Forskrift
Læs mere( ) Projekt 7.17 Simpsons formel A A A. Hvad er matematik? 3 ISBN
Projekt 7.7 Simpsons formel Simpson vr søn f en selvlært væver, og skulle egentlig selv hve været en væver, men en solformørkelse vkte hns interesse for mtemtik og nturvidensk og mod lle odds lykkedes
Læs merePointen med Differentiation
Pointen med Differentiation Frank Nasser 20. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:
Læs mereProjekt 8.5 Linearisering og anvendelsen af logaritmiske koordinatsystemer
Projekt 8.5 Linerisering og nvendelsen f logritmiske koordintsystemer (Dette projekt forudsætter, t mn hr rbejdet med logritmefunktionerne, f i kpitel 3 eller i projekt 8.4, så mn er fortrolig med logritmereglerne)
Læs mereEksamen Analyse 1, Juni 2015, Besvarelse 1. Opgave 1. ( ln x) q x p dx =
Eksmen Anlyse, Juni 25, Besvrelse Ld p >, q, og r. Opgve () Vis t integrlet ( ln x)r x p dx konvergerer. [Vink: Smmenlign med x s for pssende vlgt s.] ( ln x)q x p dx. [Vink: Anvend (b) Bevis formlen (
Læs mereMATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX)
Silkeborg 09-0-0 MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX) Udrbejdet f mtemtiklærere fr HF, HHX, HTX & STX. PS: Hvis du opdger fejl i
Læs merePlanintegralet. Preben Alsholm 5. maj 2008. 1.1 Integralet af en funktion af én variabel. 1, x i ] et tal t i. Summen. n f (t i ) (x i x i 1 ) R =
Plnintegrlet Preben Alsholm 5. mj 8 Plnintegrlet. Integrlet f en funktion f én vribel et bestemte integrl efinition Ld f være en funktion defineret på intervllet [ b]. Ld = x x... x n = b være en inddeling
Læs mereKrumningsradius & superellipsen
Krumningsrdius & suerellisen Side /5 Steen Toft Jørgensen Krumningsrdius & suerellisen Formålet med dette mini-rojekt er t erhverve mtemtisk viden om krumningsrdius f en kurve og nvende denne viden å det
Læs mereFormelsamling Mat. C & B
Formelsmling Mt. C & B Indhold BRØER... PARENTESER...3 PROCENT...4 RENTE...5 INDES...6 GEOMETRI... Arel f treknt... Vinkelsum i en treknt... Ens- vinklede treknter... Vilkårlig treknt... Ret- vinklet treknt...8
Læs mere- 81 - , x I. kmx. Sætningen bevises ikke her. Interesserede læsere henvises til bogen: Differentialligninger og matematiske
- 8 - Appendi : Logistisk vækst og integrlregning. I forbindelse med eksponentielle vækstfunktioner er der tle om en vækstform, hvor funktionens væksthstighed er proportionl med den ktuelle funktionsværdi,
Læs mereMATEMATISK FORMELSAMLING
MATEMATISK FORMELSAMLING GUX Grønlnd Mtemtisk formelsmling til B-niveu, GUX Grønlnd Deprtementet for uddnnelse 05 Redktion: Rsmus Andersen, Jens Thostrup MtemtiskformelsmlingtilB-niveu GUX Grønlnd FORORD
Læs mereStamfunktionsproblemet
Stamfunktionsproblemet Frank Nasser 19. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette
Læs mereElementær Matematik. Vektorer i planen
Elementær Mtemtik Vektorer i plnen Køge Gymnsium 0 Ole Witt-Hnsen Indhold. Prllelforskydninger i plnen. Vektorer.... Sum og differens f to vektorer... 3. Multipliktion f vektor med et tl...3 4. Opløsning
Læs mereRetningslinjer for bedømmelsen Georg Mohr-Konkurrencen runde
Retningslinjer for bedømmelsen Georg Mohr-Konkurrencen 016. runde Besvrelser som flder uden for de løsninger som ligger til grund for pointskemerne, bedømmes ved nlogi så skridt med tilsvrende vægt i den
Læs mereGrundlæggende funktioner
Grundlæggende funktioner for A-niveu i st Udgve 5 018 Krsten Juul Grundlæggende funktioner for A-niveu i st Procent 1. Procenter på en ny måde... 1. Vækstrte... 3. Gennemsnitlig procent... Lineær vækst
Læs mereMatematik - introduktion. Martin Lauesen February 23, 2011
Mtemtik - introduktion Mrtin Luesen Februry 23, 2011 1 Contents 1 Aritmetik og elementær lgebr 3 1.1 Symboler............................... 3 1.1.1 ligheder............................ 4 1.1.2 uligheder...........................
Læs mereNy Sigma 9, s Andengradsfunktioner med regneforskrift af typen y = ax + bx + c, hvor a 0.
Ny Sigm 9, s 110 Andengrdsfunktioner med regneforskrift f typen y = x + x + c, hvor 0 Lineære funktioner (førstegrdsfunktioner) med regneforskrift f typen y = αx + β Grfen for funktioner f disse typer
Læs mereALGEBRA. symbolbehandling). Der arbejdes med hjælpemiddelkompetencen,
INTRO Alger er lngt mere end ogstvregning. Alger kn være t omskrive ogstvtrk, men lger er f også t generlisere mønstre og smmenhænge, t eskrive smmenhænge mellem tlstørrelse f i forindelse med funktioner
Læs mere(a k cos kx + b k sin kx) k=1. cos θk = sin θ 1 ak. , b k. k=1
SEKTION 7 FOURIERANALYSE 7 Fouriernlyse Periodiske funktioner er vigtige i mnge smmenhænge, både videnskbeligt og teknisk Vi vil normlisere, så ntger, t perioden er π Disse funktioner er bedst nlyseret
Læs mereLektion 5 Det bestemte integral
f(x) dx = F (b) F () Lektion 5 Det bestemte integrl Definition Integrlregningens Middelværdisætning Integrl- og Differentilregningens Hovedsætning Bereging f bestemte integrler Regneregler Arel mellem
Læs mereDifferential-kvotient. Produkt og marked - differential og integralregning. Regneregler. Stamfunktion. Lad f være en funktion - f.eks. f (x) = 2x 2.
Differentil-kvotient Ld f være en funktion - f.eks. f (x) = 2x 2. Produkt og mrked - differentil og integrlregning Rsmus Wgepetersen Institut for Mtemtiske Fg Alborg Universitet Februry 14, 2014 Differentilkvotienten
Læs mereKompendium. Matematik HF C niveau. Frederiksberg HF Kursus. Lars Bronée 2014
Kompendium Mtemtik HF C niveu π Frederiksberg HF Kursus Lrs Bronée 04 Mil: post@lrsbronee.dk Web: www.lrsbronee.dk Indholdsfortegnelse: Forord Det grundlæggende Ligningsløsning 8 Procentregning Rentesregning
Læs mereMatematik. Kompendium i faget. Tømrerafdelingen. 1. Hovedforløb. a 2 = b 2 + c 2 2 b c cos A. cos A = b 2 + c 2 - a 2 2 b c
Kompendium i fget Mtemtik Tømrerfdelingen 1. Hovedforlø. Trigonometri nvendes til eregning f snd længde og snd vinkel i profiler. Sinus Cosinus Tngens 2 2 + 2 2 os A os A 2 + 2-2 2 Svendorg Erhvervsskole
Læs mereUGESEDDEL 52. . Dette gøres nedenfor: > a LC
UGESEDDE 52 Opgve 1 Denne opgve er et mtemtisk eksempel på Ricrdo s én-fktor model, der præsenteres i Krugmn & Obstfeld kpitel 2 side 12-19. Denne model beskriver hndel som et udslg f komprtive fordele
Læs mereFormelsamling Matematik C Indhold
Formelsmling Mtemtik C Indhold Eksempler på esvrelser, lin, eksp, pot, geo... Tl, regneopertioner og ligninger... 6 Ligninger... 7 Geometri... 9 Funktioner og modeller... Lineær funktion... Procentregning...
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningseskrivelse Stmoplysninger til rug ved prøver til gymnsile uddnnelser Termin Juni 2016 Institution Uddnnelse Fg og niveu Lærere Hold Fvrskov Gymnsium Stx Mtemtik A Peter Lundøer (Lu) 3k Mtemtik
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 12
Mtemtisk modellering numeriske metoder Lektion 12 Morten Grud Rsmussen 21. oktober, 213 1 Prtielle differentilligninger 1.1 Løsning f vrmeligningen vh. Fourierrækker [Bens sektion 12.6 på side 558] Vi
Læs mereFormelsamling Mat. C & B
Formelsmling Mt. C & B Indhold FORMELSAMLING MAT. C & B... BRØER... LIGNINGER... 3 PARENTESER... 3 RENTE... 5 INDES... 6 GEOMETRI... Arel f treknt... Vinkelsum i en treknt... Ens- vinklede treknter...
Læs mereKEGLESNIT OG BANEKURVER
KEGLESNIT OG BANEKURVER x-klsserne Gmmel Hellerup Gymnsium INDHOLDSFORTEGNELSE INDHOLDSFORTEGNELSE... BEGREBET KEGLE... 3 KEGLESNIT... 5 Cirkel... 6 Ellipse... 8 Prbel... 15 Hyperbel... 19 Keglesnitsligninger
Læs mereFælles for disse typer af funktioner er, at de som grundfunktion indeholder varianter af udtrykket x a.
5. FORSKRIFT FOR EN POTENSFUNKTION Vi hr i vores gennemgng f de forskellige funktionstper llerede være inde på udtrk, som indeholder forskellige potenser f I dette kpitel skl vi se på forskellige tper
Læs mere1,0. sin(60º) 1,0 cos(60º) I stedet for cosinus til 60º og sinus til 60º skriver man cos(60º) og sin(60º).
Mtemtik på VU Eksempler til niveu F, E og D Til lle vinkler hører der to tl, som kldes osinus og sinus. Mn finder sinus og osinus ved først t tegne vinklen i et koordint-system som vist til venstre. Derefter
Læs mereLektion 6 Bogstavregning
Mtemtik på Åbent VUC Lektion 6 Bogstvregning Formler... Udtryk... Ligninger... Ligninger som løsningsmetode i regneopgver... Simultion... Opsmlingsopgver... Lvet f Niels Jørgen Andresen, VUC Århus. Redigeret
Læs merek(k 1)(k 2)... (k n + 1) = = 12 2 = 6
Oversigt [S] 8.7, 8.8, 8.9 Nøgleord og begreber Binomilformlen Binomilkoefficienter Binomilrækken Tylor polynomier Vurdering f Tylor s restled Eksponentilrækken konvereger mod eksponentilfunktionen Clculus
Læs mereKap. 3: Logaritme-, eksponential- og potensfunktioner. Differential- og integralregning.
- 94 - Kp. 3: Logritme-, eksponentil- og potensfunktioner. Differentil- og integrlregning. 3.. Differentition f logritmefunktioner. Sætning 3... ) Enhver logritmefunktion er differentibel ) Den nturlige
Læs mereElementær Matematik. Trigonometri
Elementær Mtemtik Trigonometri Ole Witt-Hnsen 11 Indhold 1. Vinkler...1. Sinus, osinus og tngens...3.1 Overgngsformler...4 3. Den retvinklede treknt...6 4. Den lmindelige treknt. Sinus og osinus reltionerne...8
Læs mereOm Dido var kyndig i matematik er nok tvivlsomt, men hun havde i hvert fald en veludviklet logisk sans, som vi skal se.
Forord. Det isoperimetriske problem går i l sin enkelhed ud på t finde den lukkede kurve i plnen, blndt en mængde f kurver lle med smme omkreds, som fgrænser det størst mulige rel. Løsningen til det isoperimetriske
Læs mere1 Plan og rumintegraler
1 PLAN OG RUMINTEGRALER 1 1 Pln og rumintegrler Ligesom for funktioner f en vribel kn mn for kontinuerte funktioner f flere vrible definere deres integrle. Vi vil her kun beskæftige os med funktioner f
Læs mere114 Matematiske Horisonter
114 Mtemtiske Horisonter Mtemtik i medicinudvikling Af Ph.d-studerende Ann Helg Jónsdóttir, Ph.d-studerende Søren Klim, Ph.d-studerende Stig Mortensen og Professor Henrik Mdsen, DTU Informtik Hovedpinen
Læs mereDifferentiation af Trigonometriske Funktioner
Differentiation af Trigonometriske Funktioner Frank Villa 15. oktober 01 Dette dokument er en del af MatBog.dk 008-01. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-9775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her.
Læs mereElementær Matematik. Analytisk geometri
Elementær Mtemtik Anltisk geometri Ole Witt-Hnsen 0 Indhold. koordintsstemet.... Afstndsformlen.... Liniens ligning...4 4. Ortogonle linier...7 5. Liniers skæring. To ligninger med to uekendte....7 6.
Læs mereMichel Mandix (2010) INDHOLDSFORTEGNELSE:... 2 EN TREKANTS VINKELSUM... 3 PYTHAGORAS LÆRESÆTNING... 4 SINUSRELATIONERNE... 4 COSINUSRELATIONERNE...
MATEMATIK NOTAT MATEMATISKE EVISER AF: CAND. POLYT. MICHEL MANDIX SIDSTE REVISION: FERUAR 04 Michel Mndi (00) Side f 35 Indholdsfortegnelse: INDHOLDSFORTEGNELSE:... EN TREKANTS VINKELSUM... 3 PYTHAGORAS
Læs mereProjekt 10.3 Terningens fordobling
Hvd er mtemtik? Projekter: Kpitel 0 Projekt 0.3 Terningens fordoling Elementerne indeholder, hvd mn kn deducere sig til og konstruere sig til ud fr de få givne ksiomer. Mn kn derfor i en vis forstnd sige,
Læs merehvor A er de ydre kræfters arbejde på systemet og Q er varmen tilført fra omgivelserne til systemet.
!#" $ "&% (')"&*,+.-&/102%435"&6,+879$ *1')*&: or et system, hvor kun den termiske energi ændres, vil tilvæksten E term i den termiske energi være: E term A + Q hvor A er de ydre kræfters rbejde på systemet
Læs mere