Differential-kvotient. Produkt og marked - differential og integralregning. Regneregler. Stamfunktion. Lad f være en funktion - f.eks. f (x) = 2x 2.

Transkript

1 Differentil-kvotient Ld f være en funktion - f.eks. f (x) = 2x 2. Produkt og mrked - differentil og integrlregning Rsmus Wgepetersen Institut for Mtemtiske Fg Alborg Universitet Februry 14, 2014 Differentilkvotienten f (x) = df dx er tngenthældningen til grfen for f i punktet (x, f (x)) (se Figur 1). f (x) f (x + x) f (x) x f (x) = 0 f hr mx., min., eller vendetngent i x. Vigtig nvendelse: optimering (finde minimum eller mximum for funktioner) 1 / 20 2 / 20 Regneregler Stmfunktion f (x) = k f (x) = 0 f (x) = x n f (x) = nx n 1 f (x) = kg(x) f (x) = kg (x) f (x) = exp(x) f (x) = exp(x) f (x) = ln(x) f (x) = 1/x h(x) = f (x) + g(x) h (x) = f (x) + g (x) h(x) = f (x)g(x) h (x) = f (x)g(x) + f (x)g (x) h(x) = f (g(x)) h (x) = f (g(x))g (x) F (x) er en stmfunktion til f (x) hvis F (x) = f (x) NB: stmfunktion er ikke entydig. Hvis G(x) = F (x) + k gælder G (x) = F (x) + 0 = F (x) Dvs. hvis F er en stmfunktion, så er G også en stmfunktion. Eksempel: f (x) = 3x 2 + exp(2x) f (x) = 6x + 2 exp(2x). 3 / 20 4 / 20

2 Integrl Det endelige integrl f f fr til b, er defineret ved f (x)dx f (x)dx = F (b) F () hvor F er en stmfunktion (ligegyldigt hvilken) til f. NB i nottionen for integrlet kunne vi ligeså godt hve skrevet z og dz (eller et hvilket som helst ndet vribelnvn) i stedet for x og dx. Integrl og rel Integrlet f f fr til b er relet f området, der fgrænses f, b, x-ksen og f s grf (Figur 2). Dette ses som følger: definer F (x) som relet under f s grf fr op til x. Så gælder F (x) = f (x) Dette ses f: (se Figur 3). F (x + x) F (x) x Dvs. F er en stmfunktion til f og dermed f (x) f (x)dx = F (b) F () = F (b) som jo ngv relet under f s grf fr til b. 5 / 20 6 / 20 Eksempel: Udregn 4 2 x 2 dx Med F (x) = x 3 /3 fås F (x) = x 2. Dvs. 4 2 x 2 dx = F (4) F (2) = ( )/3 = 18 2/3 Approksimtiv udregning hvor rel tilnærmes f sum f rektngel-reler: = Eller: = Gennemsnit: Wilson s economic order quntity (EOQ) model Deterministisk model for lger. Der indkøbes en mængde Q f gngen. Når lgeret er tomt købes en ny mængde Q (se Figur 4). Pris for levering f Q: QP + S hvor P er pris pr. mængdeenhed og S er fst gebyr pr. levering. Lgeromkostning pr. år og mængde er H. Hvd er de smlede lger-omkostninger for et år? Antg vi køber n gnge. Dvs. der er n perioder fr lgeret fyldes, til det er tomt igen. Hvis lgeret tømmes med en konstnt rte er lgermængden beskrevet ved følgende funktion: L(t) = Q nq t, t [0, 1/n] 7 / 20 8 / 20

3 Dvs. lgerprisen over perioden er 1/n 0 HL(t)dt = H[Qt nqt 2 /2] 1/n 0 = HQ n HQ 2n = HQ 2n og lgerprisen for et helt år er HQ/2. Antg totlt forbrug (for et år) er D. D er totl omkostning for et år: T = PD + S D Q + HQ/2 Hvd er nu den optimle mængde Q som giver den lveste totl-omkostning? Vi opftter T som en funktion f Q: Dermed og T = f (Q) = PD + S D Q + HQ/2 f (Q) = S D Q 2 + H 2 f (Q) = 0 SD = HQ 2 /2 Q = 2SD/H Bemærk f (Q) voksende funktion f Q, dermed er Q = 2SD/H et entydigt minimum (fhænger ikke f P!). Eksempel: D=100, S=1, H=0.5. Q = /0.5 = 20. T (20) = / / 20 Avis-sælger model (News vendor model) q: ntl indkøbte viser (købspris c pr. vis). D: efterspørgsel (stokstisk vribel på [, b] med sndsynlighedstæthed f ). p: slgspris. Antl solgte (stokstisk vribel): { D hvis D < q A = q hvis D q (stykkevis lineær funktion) Forventet fortjeneste: EZ EA cq q q min(x, q)f (x)dx cq f (x)xdx + p q qf (x)dx cq f (x)xdx + pq(f (b) F (q)) cq (benytter: hvis X er en stokstisk vribel på [, b] med sndsynlighedstæthed f og g er en funktion så er Fortjeneste (stokstisk vribel): Z A cq ) Eg(X ) = g(x)f (x)dx 11 / / 20

4 Hvilket ntl viser q mksimerer forventet fortjeneste? f (q)q pqf (q) + p(1 F (q)) c c pf (q) = 0 F (q) c p q = F 1( p c ) p c pf (q) ftgende funktion f q så vi hr fundet et entydigt mksimumspunkt. Eksempel: f tæthed for ligelig fordeling på [50, 80]: F (x) = x 50 f (x) = f (u)du = x p = 7, c = 5. Dermed q = (80 50) og F 1 (y) = 30y + 50 Mksimering f funktion f 2 vrible Firm producerer mængder Q 1 og Q 2 f 2 vrer, som sælges til priser P 1 = 3 og P 2 = 4. Omkostning ved produktion Fortjeneste C = 2Q Q 1 Q 2 + 2Q 2 2 f (Q 1, Q 2 ) = P 1 Q 1 + P 2 Q 2 2Q 2 1 Q 1 Q 2 2Q 2 2 Hvilke mængder Q 1 og Q 2 mksimerer f (Q 1, Q 2 )? Ide: 1. hold Q 2 fst og undersøg hvordn f (Q 1, Q 2 ) vrierer som en funktion f Q gør det smme for Q 2 med Q 1 hold fst. 13 / / 20 Q 2 holdt fst: dvs. mx. når Q 1 = (3 Q 2 )/4. Q 1 holdt fst: dvs. mx. når Q 2 = (4 Q 1 )/4. df dq 1 = 3 4Q 1 Q 2 df dq 2 = 4 Q 1 4Q 2 Eksempel: Q 2 = 1. h(q 1 ) = f (Q 1, 1) = 3Q Q 2 1 Q 1 2 = 2Q 1 2Q h (Q 1 ) = 2 4Q 1 Mx. både for Q 1 og Q 2 : løs de to ligninger Prtielle fledede Ld f være funktion f de 2 vrible x og y. Når y holdes fst og der differentieres mht. x fremkommer den prtielle fledede x (benævnes også f x ). Tilsvrende er den prtielle fledede mht. y. y Eksempel: f (x, y) = exp(x)y 2 + 2x (f y ) Q 1 = (3 Q 2 )/4 og Q 2 = (4 Q 1 )/4 mht. Q 1 og Q 2. Dermed fås Q 1 = 8/15 og Q 2 = 13/ / 20 x = exp(x)y y = 2y exp(x) 16 / 20

5 Optimering Hvis (x, y) er et mksimums- eller minimumspunkt vil funktionen hve vndrette tngentlinier i (x, y, f (x, y)). Dvs. sæt prtielle fledede lig med nul og løs mht. x og y f x (x, y) = 0 og f y (x, y) = 0 Øvelser 1. Skitser grfen for en funktion f hvor 1.1 f (x) > 0 og f (x) = f (x) < 0 og f (x) = f (x) > 0 og f (x) > f (x) < 0 og f (x) > f (x) > 0 og f (x) < f (x) < 0 og f (x) < 0 2. Angiven fortegn for f (x) og f (x) for de forskellige scenrier i Figur Skitser f når f (x) ser ud som i grferne i Figur Ld D = 10000, S = 2, P = 8, H = 0.16 i Wilson s EOQ model. Dermed T = /Q Q/2 4.1 Find Q som minimerer T. 4.2 Hvd er den minimle omkostning T? 17 / / 20 Fcit Hvd er stmfunktionen til f (x) = x 2 + x + 1? 5.2 Udregn 1 0 f (x)dx. 6. find f (x) for f (x) = exp(x) + 2x 2 + x Ld f (x) = 2/x. 7.1 Udregn tilnærmede værdier for x dx vh. summer f rektngel-reler (prøv f.eks. delepunkter 1,2,3 og 1,3/2,2,5/2,3). 7.2 Find stmfunktionen for f (x). Brug denne til t udregne den ekskte værdi f x dx 8. Ld f (x, y) = 3x 2 12x 4xy + 8y + 4y Find punktet (x, y) hvor begge prtielle fledede er nul. 8.2 Er dette et minimums- eller mksimumspunkt? 500, 80080, x 3 /3 + x 2 /2 + x, 11/6, exp(x) + 4x + 1, 3, 2.57, 2 ln(3) = 2.197, f x (x, y) = 6x 12 4y f y (x, y) = 4x y (x, y) = (2, 0), det er et minimumspunkt (smmenlign med prbel) 19 / / 20