Matematikkens mysterier - på et højt niveau. 3. Differentialligninger

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Matematikkens mysterier - på et højt niveau. 3. Differentialligninger"

Transkript

1 Mtemtikkens msterier - på et højt niveu f Kenneth Hnsen 3. Differentilligninger N N N 3 A A k k

2 Indholdsfortegnelse 3. Introduktion 3. Dnmiske sstemer Seprtion f de vrible Vækstmodeller Anden ordens differentilligninger Numerisk løsning En økologisk model 46 Fcitliste 49 Kpiteloversigt 5

3 3. Introduktion I dette kpitel skl vi beskæftige os med differentilligninger. I modsætning til lmindelige ligninger, hvis løsninger er tl, så er differentilligninger, hvor mn skl finde en funktion, som opflder en ligning - tpisk involverer denne ligning differentilkvotienten f funktionen. En differentilligning er en ligning f formen f ( ) f ( ) som mn dog oftest skriver som Den ubekendte i denne ligning er funktionen f (eller, om mn vil). En løsning kunne være en f funktionerne f ( ) 7e f ( ) 8e f ( ) e - j, fktisk enhver funktion f formen. f ( ) ce Her er tllet c en konstnt - oftest kldet en integrtionskonstnt. Sådnne konstnter optræder næsten ltid i differentilligningers løsninger. Mn tler om den generelle løsning til differentilligningen. Som regel ved mn dog mere om løsningsfunktionen end bre differentilligningen - mn kn hve en begndelsesbetingelse, f.eks. f formen f ( 0) 3 hvilket er nok til t fstlægge integrtionskonstntens værdi. I eksemplet ovenfor vil denne begndelsesbetingelse fstlægge den prtikulære løsning f ( ) 3 e Vi skl til t strte med t se, hvorledes differentilligninger optræder i nturen. Derefter skl vi studere, hvorledes mn kn løse differentilligninger, både ekskt og numerisk. 3 Opgver. Bevis, t enhver funktion f formen f ( ) ce. (Vink: Indsættelse) er en løsning til

4 3. Dnmiske sstemer Mnge fænomener i den virkelige verden kn opfttes som såkldte nmiske sstemer. Det nmiske ligger hér i, t sstemets tilstnd ændrer sig med tiden. Vi giver nogle eksempler: Eksempel : Henfldskæde Den rdioktive isotop Te-3 henflder til isotopen I-3. Denne henflder igen til Xe-3, som er en stbil isotop, og som derfor ikke henflder derligere. Dette kldes en henfldskæde. Problemstillingen er nu: Mn tger kg Te-3. Hvor mnge kerner f de forskellige isotoper er der til stede, når der er gået et vist tidsrum? Hvordn udvikler de forskellige isotopmængder sig med tiden? Eksempel : Rektionskinetik Den kemiske rektion NO N O 4 foregår fktisk begge veje, således t der vil indstille sig en ligevægt. Indenfor rektionskinetikken beskæftiger mn sig med, hvor hurtigt denne ligevægt indtræffer. Problemstillingen er: Mn tger mol NO. Hvor hurtigt vil ligevægten indstilles, og hvordn vil stofmængden f NO fhænge f tiden? Eksempel 3: Dnmrks befolkning Hvordn udvikler Dnmrks befolkning sig gennem tiden under hensntgen til fødselsrter, dødsrter, ind- og udvndring? Kn mn sige noget om Dnmrks befolkning i år 050? Eksempel 4: Østersø-torsk Hvorledes udvikler Østersø-torskenes ntl sig under hensntgen til fiskeri, ngeludsætning, klimændringer etc.? Mnge flere eksempler kunne nturligvis nævnes. Når mn vil studere et nmisk sstem, så skl mn lve en model f dette sstem. En sådn model vil tpisk bestå f følgende elementer: ) Nogle sstemvrible, som beskriver sstemet til tiden t. (Disse sstemvrible er ltså funktioner f t). 3

5 ) Et sæt koblede differentilligninger - én ligning for hver sstemvribel. 3) Et ntl begndelsesværdier og ndre konstnter. Antllet og rten f sstemvriblerne fhænger f, hvor detljeret, mn vil studere sstemet. F.eks. kunne mn vælge følgende sstemvrible: Eksempel : N( t) ntllet f Te-3-kerner til tiden t. N( t) ntllet f I-3-kerner til tiden t N3( t) ntllet f Xe-3-kerner til tiden t Eksempel 3: N ( t) ntllet f dnskere til tiden t. Dette vlg giver en meget simpel model, så i stedet kunne mn bruge M ( t) ntllet f dnske mænd til tiden t K( t) ntllet f dnske kvinder til tiden t. Endnu mere detljeret ville følgende være M 0( t) ntllet f dnske mænd (drenge) mellem 0 og år M( t) ntllet f dnske mænd mellem og år M ( t) Denne model ville komme til t operere med c. 00 sstemvrible og vil måske blive en nelse uoverskuelig. Men en computer ville sgtens kunne regne på den. Det er normlt ret bøvlet t opstille de koblede differentilligninger i modellen; men heldigvis kn mn få hjælp f Sstem Dnmics. Dette er en metode, hvor mn først opstiller en grfisk repræsenttion f sstemvriblerne, og derefter oversætter denne til differentilligninger. SD-digrmmet for eksempel - henfldskæden - ser således ud: 4

6 N N N A A 3 I denne figur er der temmeligt mnge ingredienser: k k N Sstemvrible ngives ved firkntede ksser. Skriv vriblens nvn inden i kssen. Pile ngiver overførelse f 'stof' - et flow. A k Vndhner (som ser sådn ud på bggetegninger) regulerer overførelsen f 'stof' - en rte. Konstnter ngives på denne måde. A Stiplede pile ngiver, et informtions-flow, dvs., hvorledes en sstemvribel eller en konstnt påvirker en rte. k Andre smboler kn forekomme, bl.. sker (i denne bog ellipser), som ngiver kilder eller dræn for stof. SD-digrmmet for henfldskæden viser ltså, t der er tre sstemvrible, nemlig N, N og N 3. De to flow-pile viser, t der overføres 'stof' fr N til N og fr N til N 3, svrende til, t Te-3 henflder til I-3 og t I-3 henflder til Xe-3. De to hner viser, t strømmen A fr N til N fhænger f N og konstnten k, og t strømmen A fhænger f N og konstnten k. Bemærk, t digrmmet ikke fortæller, hvorledes strømmene A og A fhænger f N, N, k og k. 5

7 For t kunne opstille sstemets differentilligninger, skl vi kende disse udtrk; fr fsikundervisningen vides, t A k N og A k N. Den tpiske differentilligning ser således ud: For hver sstemvribel N fås ligningen dn dt ( in - flow) - ( out - flow) Hver flow-pil ind til vriblen giver ltså et positivt led, og hver flow-pil væk fr vriblen giver et negtivt led. For henfldskæden fås derfor differentilligningerne: dn dt dn dt 3 k N k N dn dt k N k N Endelig skl mn, for t kunne løse disse koblede differentilligninger, hve fstlgt værdierne for de to konstnter k og k, smt strtværdierne for mængderne f de to isotoper, dvs. N ( 0), N ( 0) og N 3 ( 0). Når mn så endelig hr fået opstillet modellen, så skl differentilligningerne løses og modellen studeres. Det vil vi komme meget mere ind på i de næste fsnit, så her vil vi blot bemærke, t mn kn gøre 3 forskellige ting: ) Mn kn løse differentilligningerne ekskt. ) Mn kn løse differentilligningerne numerisk. 3) Mn kn lve en kvlittiv nlse. En ekskt (eller nltisk) løsning f en differentilligning er gnske simpelt en løsningsfunktion skrevet op som funktion, mens en numerisk løsning er løsningsfunktionen opskrevet som en tbel f (pproimerede) funktionsværdier. Det kn betle sig t smmenligne med integrlregningen - mn kunne jo udregne et integrl ekskt eller pproimtivt. Kvlittiv nlse går ud på t sige noget generelt om løsningsfunktionen uden t løse differentilligningen. Betrgter mn f.eks. differentilligningen + 6

8 så vil mn opdge, t > 0 unset værdien f. Dette betder ltså, t en løsningsfunktion vil være voksende. Opgver. ) Opstil et SD-digrm for Dnmrks befolkning (eksempel 3). Vælg modellen med de to sstemvrible M og K. b) Gør nogle ntgelser om, hvorledes fertiliteten og mortliteten fhænger f M og K. Opstil derefter de relevnte differentilligninger. c) Hvilke mngler hr den opstillede model?. Vi skl nu kvlittivt undersøge forskellige spekter f differentilligningerne for henfldskæden. Vi ntger, t N ( 0) N ( 0) 0, dvs. t vi strter med en vis mængde ren Te- 3 3, som så henflder. ) Gør rede for, t funktionen N er en ftgende funktion. b) Gør rede for, t N 3 er en voksende funktion. c) Gør rede for, t N først vokser, men derefter stgnerer og derefter går imod 0. Hvilken betingelse kn du give for, hvornår N er mksiml?.3 Med computerprogrmmet DYMOS kn mn løse differentilligningssstemet fr opgve. numerisk. Prøv dette og observer, om din løsning psser med de ting, du beviste i opgve.. (Mn kn f.eks. sætte N ( 0) 00, og k k 0, 0). 7

9 3.3 Seprtion f de vrible I dette fsnit skl vi studere en f de mest nvendte måder t løse differentilligninger på - seprtion f de vrible. Metoden virker på differentilligninger f formen f ( ) g( ) Følgende kn derfor løses ved brug f denne metode: men ikke + ( f ( ) + og g( ) ) sin ( f ( ) sin og g( ) ) ( f ln + ( ) og g( ) ln ) idet højresiden ikke er et produkt f to funktioner, hvor den ene kun fhænger f og den nden kun f. Selve metoden er beskrevet i følgende sætning: Bevis: Sætning (FS) Ld f og g være kontinuerte funktioner, ld f være defineret på intervllet I og g på intervllet J, og ntg, t g( ) 0, for J Ld F( ) f ( ) og G ( ) g( ) Så vil G hve en invers funktion, og løsningen til differentilligningen vil være G ( F( ) + k) hvor k er en integrtionskonstnt. 8

10 Vi deler beviset op i flere dele: ) G hr en invers funktion: Idet g er kontinuert på et intervl og forskellig fr 0 på dette intervl, så vil g hve konstnt fortegn på dette intervl. Dette betder, t G ( ) g( ) ligeledes hr konstnt fortegn på J, og G er derfor monoton. En monoton funktion er injektiv, og en injektiv funktion hr ltid en invers funktion. ) G ( F( ) + k) er en løsning til differentilligningen: Vi regner ensbetdende: G ( F( ) + k) G( ) F( ) + k G( ) F( ) k ( G( ) F( )) 0 G ( ) F ( ) 0 f ( ) 0 g( ) f ( ) g( ) f ( ) g( ) Dette beviser sætningen. Bemærk, t sætningen ikke udtler sig om de singulære tilfælde, hvor g( ) 0. Disse tilfælde skl undersøges seprt. Vi giver eksempler herpå senere. I prksis går mn ikke rundt og husker på sætning 's ordld - i stedet går mn mere direkte til værks. 9

11 Eksempel Differentilligningen + tn kn løses på følgende måde: + tn ( + tn ) ( + tn ) tn( ) + k rctn( + k) Dette giver den generelle løsning; men bemærk, t vi intet hr sgt om definitionsmængden for løsningen. Dette er dog rimeligt let for denne differentilligning: g( ) + tn 0 unset værdien for så der er ikke nogen singulære tilfælde. Endvidere er definitionsmængden for funktionen rctn mængden f lle reelle tl, R, så definitionsmængden for løsningen er ligeledes R. Generelt vil definitionsmængden for løsningen fhænge f integrtionskonstnten k. Den opmærksomme læser vil nu undre sig over, hvorfor der kun optrådte en integrtionskonstnt - vi beregnede jo to ubestemte integrler. Svret er, t integrerer mn, så fås ( + tn ) tn( ) + k + k hvor både k og k er integrtionskonstnter. Men vi kn smle begge konstnter i én - betegnet k - ved t subtrhere k på begge sider f ligningen og skrive k k k Generelt er det tilldt t hærge integrtionskonstnterne rimeligt meget - de er jo (foreløbigt) ukendte, og gnger mn noget ukendt med f.eks., så er resulttet jo stdigt ukendt. Men mn skl stdigvæk psse på med, hvd mn gør. 0

12 Regnet opgve Givet: Differentilligningen Find: Den løsning f, som opflder, t f ( ) e Svr: For det første observerer vi, t den oplste -værdi er e. Idet funktionen g er givet ved g( ), er g( e) e 0. Vi er ltså ikke i det singulære tilfælde. Vi integrerer som før: ln + k ep( + k) Vi indsætter nu informtionen f ( ) e, dvs. vi sætter og e: e ep( + k) ln( e) + k k Altså, k. Endelig skl vi finde definitionsmængden for løsningen. Krvet er her, t 0. Idet vores strtbetingelse vr, t e (for ), så må være positiv. Vi kn derfor glemme det irriterende numerisk-tegn. Endvidere ser vi, t definitionsmængden for løsningen er de reelle tl - unset 's værdi vil udtrkket ep( + ) være veldefineret og positivt.

13 Løsningen er derfor f ( ) ep( + ), R. Eksempel Vi skl finde tre løsninger f, g og h til differentilligningen, > 0 Disse løsninger skl opflde ligningerne f ( ) 0 g( ) h( ) 3 Vi strter med t finde en forskrift for f. I begndelsespunktet (,0) er 0, så vi er i undtgelsestilfældet til sætning - det singulære tilfælde - og løsningen bliver den konstnte funktion f ( ) 0, > 0 (Mn kn kontrollere ved indsættelse, t f fktisk er en løsning til differentilligningen). Ved både g og h er strtværdien for forskellig for 0, så vi kn seprere de vrible: ln + k Cep( ) (C e k ) For g gælder, t g( ), hvilket ved indsættelse giver C ep( ) C e Endvidere er vi i den sitution, hvor > 0, så numerisk-tegnet kn ignoreres. Løsningen bliver derfor

14 g( ) eep( ) ep( ) Det ses, t g( ) > 0 for > 0, så definitionsmængden for løsningen g bliver ] 0; [. Ergo, g( ) ep( ), > 0 Ved h indsætter vi også betingelsen h( ) 3 for t finde integrtionskonstnten C. Vi får 3 Cep( ) C 3e Idet < 0 i dette tilfælde, kn numerisk-tegnet erstttes med, og vi får 3e ep( ) Igen er højresiden forskellig fr 0 for > 0, så løsningen bliver 3ep( ), > 0 Når mn skl finde definitionsmængder, så er en god tommelfingerregel, t definitionsmængden skl ltid være et åbent intervl! Eksempel Vi vil finde løsningen f til differentilligningen som opflder f ( ). Først seprerer vi, idet vi ikke er i det singulære tilfælde: + k 3

15 + k ( + k) Vi indsætter nu og og får ( + k) + k k Forskriften for f er derfor f ( ) ( ) Men hvd er definitionsmængden? f ( ) er ikke defineret, når nævneren er lig 0, dvs. for. Men f ( ) er heller ikke defineret for 0 - netop fordi differentilligningen ikke giver mening når 0. Idet Dm( f ) skl være et intervl, er der derfor 3 muligheder: ] ;0 [, ] 0; [ og ] ; [ Idet betingelsen på f er, t f ( ) 3, vælger vi det intervl, hvori -værdien ligger. Ergo er forskriften f ( ) ( ), 0 < < Vi bemærker, t der er to specielle tilfælde f seprtion f de vrible: Sætning (FS) Løsningen til differentilligningen f ( ) er givet ved F( ) + k hvor F er en stmfunktion til f, og k er en integrtionskonstnt. 4

16 Bevis: Vi nvender sætning med g( ). Så bliver G ( ) g ( ) og G ( ) Alterntivt kunne mn jo sige, t her skl vi bre finde en stmfunktion til en given funktion. Sætning 3 (LS) Løsningen til differentilligningen g( ) er givet ved G ( + k) hvor G er en stmfunktion til, og k er en integrtionskonstnt. g Bevis: Dette er sætning, men med f ( ) og dermed F( ) f ( ) + k Eksempel Løsningen f til differentilligningen Vi seprerer de vrible: + k med f ( ) findes: 5

17 ± + k Idet den opgivne -værdi er lig, så skrottes minus-tegnet. Indsættes og, så fås følgende ligning for k: + k k Forskriften for f er derfor f ( ) + og idet indmden under rodtegnet er positivt for > fås løsningen f ( ) +, > Opgver 3. Vis, t løsningen F til differentilligningen opfldende F( ) er givet ved F( ) f ( t) dt + f ( ) 3. Løs følgende differentilligninger med begndelsesbetingelser. Husk definitionsmængderne ) c) e), f ( ) b), h( e) d) sin, k( π ) f) cos, g( 0) 0 3, j( ) 0 (ln ), l( 0 ) e g) e +, m( 0) 0 h) ( + ln ), n( ) i) +, q( ) j) e + e, r( 0) Find de tre løsninger f, g og h til differentilligningen 6

18 som opflder, 0 f ( ) 0 g( ) og h( ) 3.4 Mn kn ofte finde specielle løsninger til en differentilligning, f.eks. polnomielle løsninger, ved indsættelse: Betrgt differentilligningen + + og betrgt endvidere ndengrdspolnomiet f ( ) + b + c Bestem tllene, b og c, således t funktionen f bliver en løsning til differentilligningen. 3.5 Bestem smtlige ndengrdspolnomier, som er løsninger til differentilligningen + 0 7

19 3.4 Vækstmodeller Vi vil nu studere forskellige former for vækst. I den simpleste vækstmodel er der én sstemvribel, N, og to måder, hvorpå N kn ændre sig på - N kn øges ved t der tilføres stof fr en kilde vi hnen F, og N kn mindskes ved t stof frtges til et dræn vi hnen M. Hnerne F og M kontrolleres f N og f en række uspecificerede sstemvrible, her kldet, b, c... SD-digrmmet får således udseendet: KILDE F N M DRÆN,b,c,d,e,... Nogle eksempler på vækst er ) N Dnmrks befolkning F fødselsrten (fertiliteten) M dødeligheden (mortliteten) ) N ntl bkterier i en romkugle F og M er igen fertiliteten og mortliteten 3) N ntl tomer f en rdioktiv isotop M ktiviteten f denne isotop F den hstighed, hvormed sstemet tilføres tomer (er muligvis lig 0). De mest interessnte vækstmodeller, og dem der er lettest t studere, er de såkldte utonome sstemer (utonom selvbestemmende). Et utonomt sstem er et sstem, hvor de forskellige hner etc. ikke stres eller influeres f tiden. Differentilligningen for et utonomt vækstsstem er generelt dn dt F( N) M ( N) hvor vi nturligvis ikke umiddelbrt kender udtrkkene for F og M. Men det vigtigste her er, t vi hr en differentilligning f formen g( ) (hvor vi hr erstttet N med og t med ). 8

20 Vi vil løse denne differentilligning for forskellige funktioner g. Vi giver en oversigt: g( ) giver lineær vækst g( ) k giver eksponentiel vækst g( ) + b giver begrænset eksponentiel vækst g( ) ( b ) giver logistisk vækst Vi strter med den lineære og den eksponentielle vækst: Sætning 4 (LS) Den fuldstændige løsning til + b hvor b er en integrtionskonstnt. er Bevis: En øvelse! Sætning 5 (FS) Den fuldstændige løsning til C e k hvor C er en integrtionskonstnt. k er Bevis: Idet vi vil bruge integrtion ved substitution, så skl vi dele løsningen op i 3 tilfælde, lt efter om højresiden k er positiv, nul eller negtiv. Dette er jo det smme som t dele op efter fortegnet for : ) 0 Dette er det lette (og singulære) tilfælde - hvis er lig 0, så reducerer differentilligningen til 9

21 0 som strks løses til konstnt Denne konstnt må jo være 0, fordi vr 0. Ergo er løsningen med C 0. ) > 0 k 0 0 e C e Vi seprerer de vrible: 3) < 0 k k k k ln k + c (c er en integrtionskonstnt) k + c e Ce k (C e c ) Men vi ved, t > 0, så vi kn med det smme skrotte det irriterende numerisktegn. Dette tilfælde minder meget om tilfælde - vi kn i sidste ende ikke tillde os t skrotte numerisk-tegnet - men til gengæld får vi ligningen Ce k eller Ce k Men vi kn tillde os t ersttte den ukendte integrtionskonstnt C med den ligeså ukendte C, hvorved ligningen bliver Ce k k ( ) Ce 0

22 Løsningen til differentilligningen k ses ltså t være den eksponentielle udvikling Ce k Indenfor mtemtik foretrækker mn t skrive eksponentielle udviklinger på formen b og vi får ltså smmenhængen e k mellem og k. Eksponentielle udviklingers egenskber turde være velkendte, så vi omtler dem ikke derligere. Bemærk dog, t det er meget let t undersøge, om et givet tlmterile vokser lineært eller eksponentielt - vi indtegner bre tlmterilet på lmindeligt millimeter-ppir eller på enkeltlogritmisk ppir (ELK) og ser, om vi får en ret linie. Så let er det ikke med de to ndre former for vækst: Sætning 6 (LS) Løsningen til differentilligningen er f formen + b, 0 b Ce hvor C er en integrtionskonstnt. Bevis: Igen skl vi opdele i tre tilfælde: ) b

23 Her er højresiden 0, og dette betder, t er en konstnt. Men denne konstnt er ) jo b, så vi ser, t dette er en løsning til differentilligningen. b Vi kn skrive denne løsning på formen Ce ved t sætte C 0. b > Nu er højresiden forskellig fr 0, så vi kn seprere differentilligningen: 3) b < En opgve! + b + b + b ln + b + k + b ep( + k) Ce (C e k ) Vi er i det tilfælde, hvor indmden i numerisk-tegnet er positiv, så vi kn droppe dette tegn: b Ce Når denne tpe differentilligning optræder i prksis, så er < 0. Dette betder, t vi får en hæmmet vækst: Eksempel

24 I en tomrektor dnnes der hele tiden tomkerner f den rdioktive isotop Xe- 3 med konstnt hstighed b. Smtidigt henflder disse kerner med hstigheden k f ( t), hvor k er henfldskonstnten for Xe-3 og f ( t) er ntllet f kerner til tiden t. Til t strte med er der ingen kerner, dvs. f ( 0) 0. Hvordn udvikler f ( t) sig? Vi strter med t opskrive differentilligningen df ( t) dt b k f ( t) Den generelle løsning er umiddelbrt kt b kt f ( t) Ce Ce + k og nvender vi begndelsesbetingelsen f ( 0) 0, så fås 0 b b 0 Ce + C k k Løsningen er ltså Det ses, t b k b b f t k k e kt b kt ( ) ( e ) k b f ( t) for t k - mn siger, t funktionen f bliver mættet med mætningsgrd b k. Nedenfor er vist grfen for f med værdierne b k. 3

25 Endelig hr vi den logistiske vækst: Sætning 7 (FS) Den logistiske differentilligning hr den fuldstændige løsning ) 0, R b) ( b ), > 0, b > 0 b, R b / c) + Ce b b / d) Ce b b / e) Ce b, R,, lnc > b lnc < b hvor C > 0 er en integrtionskonstnt. 4

26 Bevis: Vi skl dele op i hele 5 tilfælde, lt efter fortegnet for højresiden ( b ) tilfælde er ) 0 b) b. Disse c) 0 < < b d) > b e) < 0 Vi betrgter kun tilfælde c), idet dette er det interessnte tilfælde. Vi lver seprtion f de vrible: ( b ) ( b ) Vi hr nu brug for t vide, t ( + ) ( b ) b b hvilket let kn bevises ved t sætte højresiden på fællesnævner. Idet 0 < < ( + ) b b ( + ) b b (ln ln b ) + k b ln b k b + b kn vi ignorere numerisk-tegnene, og vi får b e + b k 5

27 b Ce b b b / + b Ce b Ce b + Ce b (C e k ) Nedenfor er vist en tpisk løsningskurve til den logistiske vækst ( b C ). Som det ses, hr grfen to vndrette smptoter: Sætning 8 (LS) Den logistiske kurve b /,, b, C > 0 + b Ce hr de vndrette smptoter med ligningerne 0 og b Bevis: 6

28 Vi viser fktisk, t b / og + Ce b / + Ce b b 0 b for for I det første tilfælde går, hvilket betder t b og nævneren vokser derfor ubegrænset, hvorimod tælleren holdes konstnt. I det ndet tilfælde går, b, hvorved e b ltså imod. 0. Nævneren går Tolkningen f dette resultt er, t b / ngiver den øvre grænse for en popultion, som vokser logistisk. Eksempel I tbellen nedenfor er ngivet USA's befolkningstl i tusinder i perioden : år befolkn år befolkn år befolkn Grfen for disse dt er ngivet nedenfor - -ksen ngiver ntl år efter 790 og - ksen befolkningstllet i tusinder. 7

29 Grfen ligner en logistisk kurve, og det interessnte er nu, hvilke konstnter, b og C, som giver den bedste tilpsning til kurven. Idet der er hele 3 ukendte vrible, så er dette ikke helt nemt. Følgende metode kn bruges: ) Find hældningen f tngenten til kurven i hvert dtpunkt. (Tngenten tegnes på bedste beskub) ) Plot som funktion f på lmindeligt mm-ppir. Bestem og b ud fr den bedste rette linie. (Den logistiske differentilligning kn omskrives til b ) 3) Plot b / som funktion f på enkeltlogritmisk ppir og bestem konstnten C. Denne sidste grfs retlinethed bestemmer, hvorledes modellen psser med måledterne. Gennemføres dette progrm, så fås b 9700 hvilket tolkes som, t USA's befolkning mksimlt kn være på , dvs. på 97 millioner. Dette holder dog ikke, i 980 vr USA's befolkning på 6,5 millioner. 8

30 Dette kn mn forklre ved, t den krftige meknisering f USA's lndbrug i efterkrigstiden hr øget mængden f ressourcer og dermed bæreevnen for USA's befolkning. Tilsvrende undersøgelser kn nturligvis gennemføres med tlmterile, som mn formoder følger en hæmmet vækst. Opgver 4. Nedenstående tbel viser, hvorledes Færøernes lndbefolkning hr udviklet sig siden år 900: år befolkning ) Eftervis, t der er tle om en logistisk vækst og find en forskrift for denne vækst. b) Forudsig den mksimle lndbefolkning på Færøerne. 4. En funktion f opflder, t f ( ) 0 f ( ) ( w 0 f ( )) hvor w er en ukendt konstnt. Endvidere hr grfen for f de vndrette smptoter med ligningerne 0 og 0 Endelig gælder, t f ( 0) 0 Bestem en forskrift for funktionen f. 9

31 3.5 Anden ordens differentilligninger Vi skl nu undersøge nden ordens differentilligninger. Dette er differentilligninger, som involverer både funktionen selv, den fledede og den dobbelt fledede f funktionen. (Vi vil dog ikke hér se på eksempler, hvori den fledede optræder.) Sådnne differentilligninger optræder kun sjældent indenfor nmiske sstemer, men til gengæld i hobetl indenfor fsikken. Hvorfor nu det? Newtons. lov siger, t en prtikel med mssen m, der udsættes for en krft F, vil bevæge sig med ccelertionen, og der gælder ligningen F m Men ccelertionen er den dobbelt fledede f stedfunktionen ( t), så vi får d F dt m - en nden ordens differentilligning! Vi vil studere to tper f nden ordens differentilligninger. Den første er nem nok: Sætning 9 (LS) Differentilligningen d g ( ) hr den generelle løsning f ( ) G( ) + k + l hvor k og l er konstnter, og (g integreret to gnge). G( ) ( g( ) ) Bevis: Vi indsætter funktionen f i ligningen og får f ( ) g( ) Denne ligning integreres f ( ) g( ) f ( ) G ( ) + k hvor G er en stmfunktion til g, og integreres igen f ( ) ( G ( ) + k) + l 30

32 hvilket er det smme som f ( ) G( ) + k + l. Bemærk, t fordi vi integrerede to gnge, så fik vi to integrtionskonstnter, k og l. For t finde en prtikulær løsning f til en sådn differentilligning skl vi ltså hve to oplsninger om f - trditionelt nvender mn et f følgende: ) f er fstlgt i to punkter: f ( ) og f ( ) 0 0 ) f og f er fstlgt i et punkt: f ( ) og f ( ) v Der findes dog mnge ndre muligheder! Dette er tpisk for nden ordens differentilligninger - i den generelle løsningsformel optræder to konstnter, som mn skl fstlægge med to betingelser. Eksempel En prtikel med mssen m bevæger sig i Jordens tngdefelt. Til tiden 0 befinder den sig i højden h 0 over Jordens overflde. Dens hstighed her er d v 0. Bestem prtiklens højde h som funktion f tiden t. Tngdekrften F på en prtikel med mssen m er som bekendt lig F mg hvor g er tngdeccelertionen. Differentilligningen bliver derfor d h mg dt m g hvor g ikke fhænger f hverken h eller t. Integreres to gnge fås h( ) gt + kt + l og indsættes begndelsesbetingelserne h( ) h og h ( ) v fås l h 0 og k v 0. Den søgte løsning er d h( t) gt + v t + h en fr fsikundervisningen velkendt formel. 3

33 Den nden tpe differentilligninger, vi skl studere, optræder indenfor fsikken i forbindelse med bl.. svingninger. VI strter med løsningsformlen: Sætning 0 (FS) ) Differentilligningen d k, k 0 hr den generelle løsning k c e + c e k hvor c og c er integrtionskonstnter. b) Differentilligningen d k, k 0 hr den generelle løsning c sin( k) + c cos( k) hvor c og c er integrtionskonstnter. Vi bemærker, t i begge tilfælde hr differentilligningen fktisk formen K og t forskellen mellem de to tilfælde kun ligger i fortegnet for K. Vi løser derfor begge differentilligningerne under ét. For t kunne bevise løsningsformlen ovenfor hr vi brug for dskillige hjælpesætninger: Sætning ) Hvis funktionerne f og g begge er løsninger til differentilligningen så er f K + g ligeledes en løsning. b) Hvis f er en løsning til differentilligningen så er K f ligeledes en løsning, hvor er et vilkårligt tl. Bevis: 3

34 ) Idet både f og g er løsninger, så gælder, t f ( ) K f ( ) og g ( ) K g( ). Vi kn nu undersøge, hvorvidt f + g er en løsning: ( f + g) ( ) f ( ) + g ( ) K f ( ) + K g( ) K ( f ( ) + g( )) K ( f + g)( ) Så f + g er en løsning! b) Idet f er en løsning til differentilligningen, så gælder, t f ( ) K f ( ) Vi undersøger, hvorvidt Så f er en løsning: ( f ) ( ) f ( ) K f ( ) K ( f ( )) f er en løsning! Sætningen ovenfor viser ltså, t vilkårlige linerkombintioner, dvs. udtrk f formen f + f + 3 f er løsninger til differentilligningen, når blot f, f, f 3,... er løsninger. Vi indfører nu den såkldte Wronski-determinnt, opkldt efter den polske mtemtiker Jozef Mri Wronski: Definition Ld f og g være differentible funktioner. Wronski-determinnten W( f, g) er funktionen W( f, g)( ) f ( ) g ( ) f ( ) g( ) Nvnet Wronski-determinnt kommer f, t mn kn skrive W( f, g)( ) f ( ) g ( ) f ( ) g( ) f ( ) g( ) f ( ) g ( ) Eksempel Ld funktionerne f, g og h være givet ved f ( ) g( ) sin h( ) e Nogle Wronski-determinnter er d 33

35 W( f, g)( ) f ( ) g( ) f ( ) g ( ) sin cos sin cos g( ) h( ) sin e W( g, h)( ) e sin e cos g ( ) h ( ) cos e Bemærk, t Wronski-determinnten generelt selv er en funktion. Definition 3 To funktioner f og g kldes lineært ufhængige, hvis ligningen f ( ) + b g( ) 0 (for lle værdier f ) medfører, t konstnterne og b begge er 0. Lineært ufhængige funktioner optræder sjældent indenfor lmindelige regnerier, men det er et vigtigt begreb indenfor differentilligninger. Eksempel Betrgt funktionerne f, g og h givet ved f ( ) g( ) + h( ) Funktionerne f og g er lineært ufhængige, thi ld os ntge, t vi hr fundet nogle tl og b, således t f ( ) + b g( ) 0 for lle værdier f. Men sætter vi 0 så fås f ( 0) + b g( 0) 0 + b b 0 og sætter vi så fås f ( ) + b g( ) ( ) + b 0 0 Alt i lt ses, t både og b er 0. Funktionerne f og h er derimod lineært fhængige - f.eks. kn mn sætte og b. Herved fås f ( ) + b g( ) + 0 gældende for lle værdier f. Smmenhængen mellem Wronski-determinnten og lineær ufhængighed er t finde i følgende sætning: 34

36 Sætning 4 f og g er lineært fhængige W( f, g)( ) 0 for lle. Bevis: f og g er lineært fhængige der findes tl og b, som ikke begge er 0, således t f ( ) + b g( ) 0 for lle g( ) for lle f ( ) b g( ) ( f ( ) ) 0 for lle f ( ) g ( ) f ( ) g( ) 0 for lle f ( ) W( f, g)( ) 0 f ( ) for lle W( f, g)( ) 0 for lle. (Her ntog vi, t b 0. Men beviset kn lligevel gennemføres, hvis b 0, for i så fld er 0, og vi kn differentiere f ( ) g( ) ). Vi kn nu vende tilbge til differentilligningen fr før: 35

37 Sætning 5 Ld f og g begge være løsninger til differentilligningen K Så er deres Wronski-determinnt en konstnt funktion: W( f, g)( ) c Bevis: Idet både f og g er løsninger til differentilligningen, så gælder f ( ) K f ( ) og g ( ) K g( ). For t bevise, t Wronski-determinnten er en konstnt, så differentierer vi den og får 0: W( f, g) ( ) ( f ( ) g ( ) f ( ) g( )) ( f ( ) g ( )) ( f ( ) g( )) f ( ) g ( ) + f ( ) g ( ) f ( ) g( ) f ( ) g ( ) f ( ) g ( ) f ( ) g( ) f ( ) K g( ) K f ( ) g( ) 0 Vi vil nu bevise, t differentilligningen K kn løses ved blot t finde to lineært ufhængige løsninger: Sætning 6 Ld f og g være to lineært ufhængige løsninger til K Ld endvidere h være en løsning. D er h en linerkombintion f f og g, dvs. der findes konstnter c og c, således t der for lle gælder h( ) c f ( ) + c g( ) Bevis: Ifølge sætning 5 er lle tre nedenstående Wronski-determinnter 36

38 W( f, g) W( f, h) og W( g, h) konstnter. Vi glemmer derfor, t de fktisk er funktioner og opftter dem som tl. Idet f og g er lineært ufhængige, fortæller sætning 4 os, t W( f, g) 0. Vi hr fr udtrkket for Wronski-determinnten følgende to ligninger f ( ) h ( ) f ( ) h( ) W( f, h) g( ) h ( ) g ( ) h( ) W( g, h) Vi vil opftte det som et ligningssstem med to ubekendte, nemlig h( ) og h ( ), og vi vil løse dette sstem for h( ). For t gøre dette gnger vi den første ligning med g( ) og den nden ligning med f ( ) og subtrherer derefter de to ligninger: f ( ) h ( ) f ( ) h( ) W( f, h) g( ) h ( ) g ( ) h( ) W( g, h) f ( ) h ( ) g( ) f ( ) h( ) g( ) W( f, h) g( ) g( ) h ( ) f ( ) g ( ) h( ) f ( ) W( g, h) f ( ) f ( ) h( ) g( ) + g ( ) h( ) f ( ) W( f, h) g( ) W( g, h) f ( ) h( )( f ( ) g ( ) f ( ) g( )) W ( f, h) g( ) W ( g, h) f ( ) h( ) W( f, g) W( g, h) f ( ) + W( f, h) g( ) (Husk, t W( f, g) 0). h ( W g h ) (, ) W f g f W( f, h) ( ) + (, ) W( f, g) g ( ) Sætter vi nu W( g, h) c W( f, g) og c W( f, h) W( f, g) så hr vi fktisk bevist sætningen. For t bevise hovedsætningen - sætning 0 - mngler vi blot t finde nogle lineært ufhængige løsninger til de to tper differentilligninger: 37

Lektion 7s Funktioner - supplerende eksempler

Lektion 7s Funktioner - supplerende eksempler Lektion 7s Funktioner - supplerende eksempler Oversigt over forskellige tper f funktioner Omvendt proportionlitet og hperler.grdsfunktioner og prler Eksponentilfunktioner Potensfunktioner Lektion 7s Side

Læs mere

... ... ... ... ... ... ... b > 0 og x > 0, vil vi kalde en potensfunktion. 492 10. Potensfunktioner

... ... ... ... ... ... ... b > 0 og x > 0, vil vi kalde en potensfunktion. 492 10. Potensfunktioner POTENSFUNKTIONER 0 49 0. Potensfunktioner POTENSFUNKTIONER DEFINITION En funktion med forskriften f( )= b hvor b > 0 og > 0 vil vi klde en potensfunktion. I MAT C kpitel så vi t hvis skl være et vilkårligt

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 17

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 17 Mtemtisk modellering og numeriske metoder Lektion 1 Morten Grud Rsmussen 8. november, 1 1 Numerisk integrtion og differentition [Bogens fsnit 19. side 84] 1.1 Grundlæggende om numerisk integrtion Vi vil

Læs mere

Eksponentielle Sammenhænge

Eksponentielle Sammenhænge Kort om Eksponentielle Smmenhænge 011 Krsten Juul Dette hæfte indeholder pensum i eksponentielle smmenhænge for gymnsiet og hf. Indhold 1. Procenter på en ny måde... 1. Hvd er en eksponentiel smmenhæng?....

Læs mere

Potens- sammenhænge. inkl. proportionale og omvendt proportionale variable. 2010 Karsten Juul

Potens- sammenhænge. inkl. proportionale og omvendt proportionale variable. 2010 Karsten Juul Potens- smmenhænge inkl. proportionle og omvendt proportionle vrible 010 Krsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse f hæftet "Eksponentielle smmenhænge, udgve ". Indhold 1. Hvd er en potenssmmenhæng?...1.

Læs mere

Fælles for disse typer af funktioner er, at de som grundfunktion indeholder varianter af udtrykket x a.

Fælles for disse typer af funktioner er, at de som grundfunktion indeholder varianter af udtrykket x a. 5. FORSKRIFT FOR EN POTENSFUNKTION Vi hr i vores gennemgng f de forskellige funktionstper llerede være inde på udtrk, som indeholder forskellige potenser f I dette kpitel skl vi se på forskellige tper

Læs mere

Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk. Erik Vestergaard, 2009.

Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk. Erik Vestergaard, 2009. Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk Erik Vestergrd, 009. Billeder: Forside: Collge f billeder: istock.com/titoslck istock.com/yuri Desuden egne fotos og illustrtioner Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk

Læs mere

gudmandsen.net y = b x a Illustration 1: potensfunktioner i 5 forskellige grupper

gudmandsen.net y = b x a Illustration 1: potensfunktioner i 5 forskellige grupper gudmndsen.net Dette dokument er publiceret på http://www.gudmndsen.net/res/mt_vejl/. Ophvsret: Indholdet stilles til rådighed under Open Content License[http://opencontent.org/openpub/]. Kopiering, distribution

Læs mere

Kort om Potenssammenhænge

Kort om Potenssammenhænge Øvelser til hæftet Kort om Potenssmmenhænge 2011 Krsten Juul Dette hæfte indeholder bl.. mnge småspørgsmål der gør det nemmere for elever t rbejde effektivt på t få kendskb til emnet. Indhold 1. Ligning

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C POTENS-SAMMENHÆNG

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C POTENS-SAMMENHÆNG ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C POTENS-SAMMENHÆNG INDHOLDSFORTEGNELSE 1 Formelsmling... side 2 Uddbning f visse formler... side 3 2 Grundlæggende færdigheder... side 5 2 Finde konstnterne og b i en formel...

Læs mere

Formelsamling Matematik C Indhold

Formelsamling Matematik C Indhold Formelsmling Mtemtik C Indhold Eksempler på besvrelser, lin, eksp, pot, geo... Tl, regneopertioner og ligninger... 6 Ligninger... 7 Geometri... 0 Funktioner og modeller... 3 Lineær funktion... 3 Procentregning...

Læs mere

1 1 t 10 1. ( ) x 2 4. + k ================= sin( x) + 4 og har graf gennem (0,2), dvs F(0) = 2. + 4x + k

1 1 t 10 1. ( ) x 2 4. + k ================= sin( x) + 4 og har graf gennem (0,2), dvs F(0) = 2. + 4x + k 0x-MA (0.0.08) _ opg (3:07) Integrtion ved substitution ( x + 7) 9 t x + 7 > t 9 t 0 + k 0 0 ( x + 7)0 + k b) x x + 4 t x + 4 > 3 x t t t x 3 t x x + k 3 t t + k ( ) x 4 3 x + 4 + + k c) cos( x)

Læs mere

3. Vilkårlige trekanter

3. Vilkårlige trekanter 3. Vilkårlige treknter 3. Vilkårlige treknter I dette fsnit vil vi beskæftige os med treknter, der ikke nødvendigvis er retvinklede. De formler, der er omtlt i fsnittet om retvinklede treknter, kn ikke

Læs mere

Ny Sigma 9, s Andengradsfunktioner med regneforskrift af typen y = ax + bx + c, hvor a 0.

Ny Sigma 9, s Andengradsfunktioner med regneforskrift af typen y = ax + bx + c, hvor a 0. Ny Sigm 9, s 110 Andengrdsfunktioner med regneforskrift f typen y = x + x + c, hvor 0 Lineære funktioner (førstegrdsfunktioner) med regneforskrift f typen y = αx + β Grfen for funktioner f disse typer

Læs mere

MM501 forelæsningsslides

MM501 forelæsningsslides MM501 forelæsningsslides uge 39, 009 Produceret f Hns J. Munkholm 1 Linerisering s. 66-67 Lineriseringen f f omkring x =, er den lineære funktion, der hr tngenten som grf. Klder mn den L er forskriften

Læs mere

Potens regression med TI-Nspire

Potens regression med TI-Nspire Potensvækst og modellering - Mt-B/A 2.b 2007-08 Potens regression med TI-Nspire Vi tger her udgngspunkt i et eksempel med tovværk, hvor mn får oplyst en tbel over smmenhængen mellem dimeteren (xdt) i millimeter

Læs mere

- 81 - , x I. kmx. Sætningen bevises ikke her. Interesserede læsere henvises til bogen: Differentialligninger og matematiske

- 81 - , x I. kmx. Sætningen bevises ikke her. Interesserede læsere henvises til bogen: Differentialligninger og matematiske - 8 - Appendi : Logistisk vækst og integrlregning. I forbindelse med eksponentielle vækstfunktioner er der tle om en vækstform, hvor funktionens væksthstighed er proportionl med den ktuelle funktionsværdi,

Læs mere

Spil- og beslutningsteori

Spil- og beslutningsteori Spil- og eslutningsteori Peter Hrremoës Niels Brock 26. novemer 2 Beslutningsteori De økonomiske optimeringssitutioner, vi hr set på hidtil, hr været helt deterministiske. Det vil sige t vores gevinst

Læs mere

Diverse. Ib Michelsen

Diverse. Ib Michelsen Diverse Ib Michelsen Ikst 2008 Forsidebilledet http://www.smtid.dk/visen/billede.php?billedenr69 Version: 0.02 (2-1-2009) Diverse (Denne side er A-2 f 32 sider) Indholdsfortegnelse Regning med procent

Læs mere

UGESEDDEL 52. . Dette gøres nedenfor: > a LC

UGESEDDEL 52. . Dette gøres nedenfor: > a LC UGESEDDE 52 Opgve 1 Denne opgve er et mtemtisk eksempel på Ricrdo s én-fktor model, der præsenteres i Krugmn & Obstfeld kpitel 2 side 12-19. Denne model beskriver hndel som et udslg f komprtive fordele

Læs mere

Integralregning. 2. del. 2006 Karsten Juul

Integralregning. 2. del. 2006 Karsten Juul Integrlregning del ( ( 6 Krsten Juul Indhold 6 Uestemt integrl8 6 Sætning om eksistens stmunktioner 8 6 Oplæg til "regneregler or integrl"8 6 Regneregler or uestemt integrl 9 68 Foreredelse til "integrtion

Læs mere

TAL OG BOGSTAVREGNING

TAL OG BOGSTAVREGNING TAL OG BOGSTAVREGNING De elementære regnerter I mtemtik kn vi regne med tl, men vi kn også regne med bogstver, som gør det hele en smugle mere bstrkt. Først skl vi se lidt på de fire elementære regnerter,

Læs mere

Integrationsteknikker

Integrationsteknikker Integrtionsteknikker Frnk Vill. jnur 14 Dette dokument er en del f MtBog.dk 8-1. IT Teching Tools. ISBN-13: 978-87-9775--9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion 1 Numerisk integrtion.1

Læs mere

GrundlÄggende funktioner

GrundlÄggende funktioner GrundlÄggende funktioner for B-niveu i hf Udgve 014 Krsten Juul GrundlÄggende funktioner for B-niveu i hf Procent 1. Procenter på en ny måde... 1. VÄkstrte.... Gennemsnitlig procent... LineÄr väkst 4.

Læs mere

Formelsamling Matematik C Indhold

Formelsamling Matematik C Indhold Formelsmling Mtemtik C Indhold Eksempler på esvrelser, lin, eksp, pot, geo... Tl, regneopertioner og ligninger... 6 Ligninger... 7 Geometri... 9 Funktioner og modeller... Lineær funktion... Procentregning...

Læs mere

Matematikkens sprog INTRO

Matematikkens sprog INTRO Mtemtikkens sprog Mtemtik hr sit eget sprog, der består f tl og symboler fx regnetegn, brøkstreger bogstver og prenteser På mnge måder er det ret prktisk - det giver fx korte måder t skrive formler på.

Læs mere

ALGEBRA. symbolbehandling). Der arbejdes med hjælpemiddelkompetencen,

ALGEBRA. symbolbehandling). Der arbejdes med hjælpemiddelkompetencen, INTRO Alger er lngt mere end ogstvregning. Alger kn være t omskrive ogstvtrk, men lger er f også t generlisere mønstre og smmenhænge, t eskrive smmenhænge mellem tlstørrelse f i forindelse med funktioner

Læs mere

Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. Integrationsprincippet og Keplers tønderegel

Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. Integrationsprincippet og Keplers tønderegel Integrtionsprincippet og Keplers tønderegel. side Institut for Mtemtik, DTU: Gymnsieopgve Integrtionsprincippet og Keplers tønderegel Littertur: H. Elrønd Jensen, Mtemtisk nlyse, Institut for Mtemtik,

Læs mere

ANALYSE 1, 2014, Uge 3

ANALYSE 1, 2014, Uge 3 ANALYSE 1, 2014, Uge 3 Forelæsninger Tirsdg. Vi generliserer tlrækker til funktionsrækker ved t udskifte tllene med funktioner (TL Afsnit 12.5). Det svrer til forrige uges skridt fr tlfølger til funktionsfølger.

Læs mere

Michel Mandix (2010) INDHOLDSFORTEGNELSE:... 2 EN TREKANTS VINKELSUM... 3 PYTHAGORAS LÆRESÆTNING... 4 SINUSRELATIONERNE... 4 COSINUSRELATIONERNE...

Michel Mandix (2010) INDHOLDSFORTEGNELSE:... 2 EN TREKANTS VINKELSUM... 3 PYTHAGORAS LÆRESÆTNING... 4 SINUSRELATIONERNE... 4 COSINUSRELATIONERNE... MATEMATIK NOTAT MATEMATISKE EVISER AF: CAND. POLYT. MICHEL MANDIX SIDSTE REVISION: FERUAR 04 Michel Mndi (00) Side f 35 Indholdsfortegnelse: INDHOLDSFORTEGNELSE:... EN TREKANTS VINKELSUM... 3 PYTHAGORAS

Læs mere

ANALYSE 1, 2013, Uge 2

ANALYSE 1, 2013, Uge 2 ANALYSE 1, 2013, Uge 2 Forelæsninger Denne uges tem er uendelige rækker. Tirsdg: Tlrækker. En uendelig tlrække består ligesom en uendelig tlfølge f uendelig mnge tl. Forskellen mellem de to begreber består

Læs mere

hvor A er de ydre kræfters arbejde på systemet og Q er varmen tilført fra omgivelserne til systemet.

hvor A er de ydre kræfters arbejde på systemet og Q er varmen tilført fra omgivelserne til systemet. !#" $ "&% (')"&*,+.-&/102%435"&6,+879$ *1')*&: or et system, hvor kun den termiske energi ændres, vil tilvæksten E term i den termiske energi være: E term A + Q hvor A er de ydre kræfters rbejde på systemet

Læs mere

Regneregler. 1. Simple regler for regning med tal.

Regneregler. 1. Simple regler for regning med tal. Regneregler. Simple regler for regning med tl. Vi rejder l.. med følgende fire regningsrter: plus (), minus ( ), gnge () og dividere (: eller røkstreg, se senere), eller med fremmedord : ddition, sutrktion,

Læs mere

Kompendium. Matematik HF C niveau. Frederiksberg HF Kursus. Lars Bronée 2014

Kompendium. Matematik HF C niveau. Frederiksberg HF Kursus. Lars Bronée 2014 Kompendium Mtemtik HF C niveu π Frederiksberg HF Kursus Lrs Bronée 04 Mil: post@lrsbronee.dk Web: www.lrsbronee.dk Indholdsfortegnelse: Forord Det grundlæggende Ligningsløsning 8 Procentregning Rentesregning

Læs mere

Bogstavregning. for gymnasiet og hf Karsten Juul. a a

Bogstavregning. for gymnasiet og hf Karsten Juul. a a Bogstvregning for gymnsiet og hf 010 Krsten Juul Til eleven Brug lynt og viskelæder når du skriver og tegner i hæftet, så du får et hæfte der er egenet til jævnligt t slå op i under dit videre rejde med

Læs mere

Trigonometri. Trigonometri. Sinus og cosinus... 2 Tangens... 6 Opgaver... 9. Side 1

Trigonometri. Trigonometri. Sinus og cosinus... 2 Tangens... 6 Opgaver... 9. Side 1 Trigonometri Sinus og osinus... 2 Tngens... 6 Opgver... 9 Side Sinus og osinus Til lle vinkler hører der to tl, som kldes osinus og sinus. Mn finder sinus og osinus til en vinkel ved t tegne vinklen midt

Læs mere

Regneregler for brøker og potenser

Regneregler for brøker og potenser Regneregler for røker og potenser Roert Josen 4. ugust 009 Indhold Brøker. Eksempler......................................... Potenser 7. Eksempler......................................... 8 I de to fsnit

Læs mere

Differentialregning. integralregning

Differentialregning. integralregning Differentilregning og integrlregning Ib Micelsen Ikst 013 Indoldsfortegnelse Tegneøvelser...3 Introduktion... Definition f differentilkvotient og tngent...6 Tngentældninger...7 Den fledte funktion...7

Læs mere

Matematik B-A. Trigonometri og Geometri. Niels Junge

Matematik B-A. Trigonometri og Geometri. Niels Junge Mtemtik B-A Trigonometri og Geometri Niels Junge Indholdsfortegnelse Indledning...3 Trigonometri...3 Sinusreltionen:...6 Cosinusreltionen...7 Dobbeltydighed...7 Smmendrg...8 Retvinklede treknter...8 Ikke

Læs mere

Krumningsradius & superellipsen

Krumningsradius & superellipsen Krumningsrdius & suerellisen Side /5 Steen Toft Jørgensen Krumningsrdius & suerellisen Formålet med dette mini-rojekt er t erhverve mtemtisk viden om krumningsrdius f en kurve og nvende denne viden å det

Læs mere

Differential-kvotient. Produkt og marked - differential og integralregning. Regneregler. Stamfunktion. Lad f være en funktion - f.eks. f (x) = 2x 2.

Differential-kvotient. Produkt og marked - differential og integralregning. Regneregler. Stamfunktion. Lad f være en funktion - f.eks. f (x) = 2x 2. Differentil-kvotient Ld f være en funktion - f.eks. f (x) = 2x 2. Produkt og mrked - differentil og integrlregning Rsmus Wgepetersen Institut for Mtemtiske Fg Alborg Universitet Februry 14, 2014 Differentilkvotienten

Læs mere

Retningslinjer for bedømmelsen Georg Mohr-Konkurrencen runde

Retningslinjer for bedømmelsen Georg Mohr-Konkurrencen runde Retningslinjer for bedømmelsen Georg Mohr-Konkurrencen 016. runde Besvrelser som flder uden for de løsninger som ligger til grund for pointskemerne, bedømmes ved nlogi så skridt med tilsvrende vægt i den

Læs mere

Eksamensopgave august 2009

Eksamensopgave august 2009 Ib Michelsen, Viborg C / Skive C Side 1 09-04-011 1 Eksmensopgve ugust 009 Opgve 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 13 14 15 16 17 18 19 0 1 Givet ovenstående ensvinklede treknter. D treknterne er ensvinklede, er

Læs mere

MATEMATISK FORMELSAMLING

MATEMATISK FORMELSAMLING MATEMATISK FORMELSAMLING GUX Grønlnd Mtemtisk formelsmling til B-niveu, GUX Grønlnd Deprtementet for uddnnelse 05 Redktion: Rsmus Andersen, Jens Thostrup MtemtiskformelsmlingtilB-niveu GUX Grønlnd FORORD

Læs mere

MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX)

MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX) Silkeborg 09-0-0 MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX) Udrbejdet f mtemtiklærere fr HF, HHX, HTX & STX. PS: Hvis du opdger fejl i

Læs mere

Et udvalg af funktionerne tegnet på grafregneren (eller her med Derive)

Et udvalg af funktionerne tegnet på grafregneren (eller her med Derive) GDS, opgve 85 En strt på opgven (undervisnings- og tvleprotokol): En milie unktioner hr orskrit 4 ( ) + R, Et udvlg unktionerne tegnet på grregneren (eller her med Derive) Værdier tllet, or hvilke hr henholdsvis

Læs mere

114 Matematiske Horisonter

114 Matematiske Horisonter 114 Mtemtiske Horisonter Mtemtik i medicinudvikling Af Ph.d-studerende Ann Helg Jónsdóttir, Ph.d-studerende Søren Klim, Ph.d-studerende Stig Mortensen og Professor Henrik Mdsen, DTU Informtik Hovedpinen

Læs mere

Trigonometri. Matematik A niveau

Trigonometri. Matematik A niveau Trigonometri Mtemtik A niveu Arhus Teh EUX Niels Junge Trigonometri Sinus Cosinus Tngens Her er definitionen for Cosinus Sinus og Tngens Mn kn sige t osinus er den projierede på x-ksen og sinus er den

Læs mere

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 2. Trigonometri

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 2. Trigonometri Mtemtikkens mysterier - på et oligtorisk niveu f Kenneth Hnsen 2. Trigonometri T D Hvd er fstnden fr flodred til flodred? 2. Trigonometri og geometri Indhold.0 Indledning 2. Vinkler 3.2 Treknter og irkler

Læs mere

Hvad ved du om mobning?

Hvad ved du om mobning? TEST: Hvd ved du om moning? I testen her kn du fprøve, hvor meget du ved om moning på rejdspldsen. Testen estår f tre dele: Selve testen, hvor du skl sætte ét kryds for hvert f de ti spørgsmål. Et hurtigt

Læs mere

Dødelighed og kræftforekomst i Avanersuaq. Et registerstudie

Dødelighed og kræftforekomst i Avanersuaq. Et registerstudie Dødelighed og kræftforekomst i Avnersuq. Et registerstudie Peter Bjerregrd, Anni Brit Sternhgen Nielsen og Knud Juel Indledning Det hr været fremført f loklbefolkningen i Avnersuq og f Lndsstyret, t der

Læs mere

Lektion 6 Bogstavregning

Lektion 6 Bogstavregning Lektion Bogstvregning Formler... Reduktion... Ligninger... Lektion Side 1 Formler En formel er en slgs regne-opskrift, hvor mn med bogstver viser, hvorledes noget skl regnes ud. F.eks. formler til beregning

Læs mere

Lektion 6 Bogstavregning

Lektion 6 Bogstavregning Mtemtik på Åbent VUC Lektion 6 Bogstvregning Formler... Udtryk... Ligninger... Ligninger som løsningsmetode i regneopgver... Simultion... Opsmlingsopgver... Lvet f Niels Jørgen Andresen, VUC Århus. Redigeret

Læs mere

Integralregning. Erik Vestergaard

Integralregning. Erik Vestergaard Integrlregning Erik Vestergrd Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk Erik Vestergrd, Hderslev 4 Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse. Indledning 4. Stmfunktioner 4. Smmenhængen

Læs mere

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe den første opgave af hvert emne over.

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe den første opgave af hvert emne over. Opsmling Hvis mn ønsker mere udfordring, kn mn springe den første opgve f hvert emne over Brøkregning, prentesregneregler, kvdrtsætningerne, potensregneregler og reduktion Udregn nedenstående tl i hånden:

Læs mere

Om Dido var kyndig i matematik er nok tvivlsomt, men hun havde i hvert fald en veludviklet logisk sans, som vi skal se.

Om Dido var kyndig i matematik er nok tvivlsomt, men hun havde i hvert fald en veludviklet logisk sans, som vi skal se. Forord. Det isoperimetriske problem går i l sin enkelhed ud på t finde den lukkede kurve i plnen, blndt en mængde f kurver lle med smme omkreds, som fgrænser det størst mulige rel. Løsningen til det isoperimetriske

Læs mere

Lektion 5 Det bestemte integral

Lektion 5 Det bestemte integral f(x) dx = F (b) F () Lektion 5 Det bestemte integrl Definition Integrlregningens Middelværdisætning Integrl- og Differentilregningens Hovedsætning Bereging f bestemte integrler Regneregler Arel mellem

Læs mere

Mere end blot lektiehjælp. Få topkarakter i din SRP. 12: Hovedafsnittene i din SRP (Redegørelse, analyse, diskussion)

Mere end blot lektiehjælp. Få topkarakter i din SRP. 12: Hovedafsnittene i din SRP (Redegørelse, analyse, diskussion) Mere end lot lektiehjælp Få topkrkter i din SRP 12: Hovedfsnittene i din SRP (Redegørelse, nlyse, diskussion) Hjælp til SRP-opgven Sidste år hjlp vi 3.600 gymnsieelever med en edre krkter i deres SRP-opgve.

Læs mere

Matematik. Kompendium i faget. Tømrerafdelingen. 1. Hovedforløb. a 2 = b 2 + c 2 2 b c cos A. cos A = b 2 + c 2 - a 2 2 b c

Matematik. Kompendium i faget. Tømrerafdelingen. 1. Hovedforløb. a 2 = b 2 + c 2 2 b c cos A. cos A = b 2 + c 2 - a 2 2 b c Kompendium i fget Mtemtik Tømrerfdelingen 1. Hovedforlø. Trigonometri nvendes til eregning f snd længde og snd vinkel i profiler. Sinus Cosinus Tngens 2 2 + 2 2 os A os A 2 + 2-2 2 Svendorg Erhvervsskole

Læs mere

(a k cos kx + b k sin kx) k=1. cos θk = sin θ 1 ak. , b k. k=1

(a k cos kx + b k sin kx) k=1. cos θk = sin θ 1 ak. , b k. k=1 SEKTION 7 FOURIERANALYSE 7 Fouriernlyse Periodiske funktioner er vigtige i mnge smmenhænge, både videnskbeligt og teknisk Vi vil normlisere, så ntger, t perioden er π Disse funktioner er bedst nlyseret

Læs mere

Dæmonen. Efterbehandlingsark C. Spørgsmål til grafen over højden.

Dæmonen. Efterbehandlingsark C. Spørgsmål til grafen over højden. Efterbehndlingsrk C Dæmonen Nedenfor er vist to grfer for bevægelsen i Dæmonen. Den første grf viser hvor mnge gnge du vejer mere eller mindre end din normle vægt. Den nden grf viser højden. Spørgsmål

Læs mere

PotenssammenhÄnge. 2009 Karsten Juul

PotenssammenhÄnge. 2009 Karsten Juul PotenssmmenhÄnge y b y k k 009 Krsten Juul Dette häfte er en fortsättelse f häftet "Eksponentielle smmenhänge, 009". Indhold 4. Hvd er en potens-smmenhäng?... 83 5. Hvordn ser grfen ud for en potens-smmenhäng...

Læs mere

KEGLESNIT OG BANEKURVER

KEGLESNIT OG BANEKURVER KEGLESNIT OG BANEKURVER x-klsserne Gmmel Hellerup Gymnsium INDHOLDSFORTEGNELSE INDHOLDSFORTEGNELSE... BEGREBET KEGLE... 3 KEGLESNIT... 5 Cirkel... 6 Ellipse... 8 Prbel... 15 Hyperbel... 19 Keglesnitsligninger

Læs mere

Hvad ved du om mobning?

Hvad ved du om mobning? TEST: Hvd ved du om moning? I testen her kn du fprøve, hvor meget du ved om moning på rejdspldsen. Testen estår f tre dele: Selve testen, hvor du skl sætte ét kryds for hvert f de ti spørgsmål. Et hurtigt

Læs mere

Projekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable

Projekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable Projekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable Differentialligninger af tpen d hx () hvor hx ()er en kontinuert funktion, er som nævnt blot et stamfunktionsproblem. De løses

Læs mere

TAL OG REGNEREGLER. Vi ser nu på opbygningen af et legeme og noterer os samtidig, at de reelle tal velkendte regneoperationer + og er et legeme.

TAL OG REGNEREGLER. Vi ser nu på opbygningen af et legeme og noterer os samtidig, at de reelle tal velkendte regneoperationer + og er et legeme. TAL OG REGNEREGLER Inden for lgeren hr mn indført egreet legeme. Et legeme er en slgs konstruktion, hvor mn fstsætter to regneregler og nogle sætninger (ksiomer), der gælder for disse. Pointen med en sådn

Læs mere

Mat1GB Minilex. Henrik Dahl, Hold 8. 29. maj 2003. 1 Definitioner 2

Mat1GB Minilex. Henrik Dahl, Hold 8. 29. maj 2003. 1 Definitioner 2 Mt1GB Minilex Henrik Dhl, Hold 8 29. mj 2003 Indhold 1 Definitioner 2 2 Sætninger m.v. 18 2.1 Begrænsethed, åben/lukket..................... 18 2.2 Differentition............................ 18 2.3 Differentilligninger.........................

Læs mere

Analyse 30. januar 2015

Analyse 30. januar 2015 30. jnur 2015 Større dnsk indkomstulighed skyldes i høj grd stigende kpitlindkomster Af Kristin Thor Jkosen Udgivelsen f Thoms Pikettys Kpitlen i det 21. århundrede hr fstedkommet en del diskussion f de

Læs mere

STUDENTEREKSAMEN NOVEMBER-DECEMBER 2007 MATEMATISK LINJE 2-ÅRIGT FORLØB TIL B-NIVEAU MATEMATIK DELPRØVEN UDEN HJÆLPEMIDLER

STUDENTEREKSAMEN NOVEMBER-DECEMBER 2007 MATEMATISK LINJE 2-ÅRIGT FORLØB TIL B-NIVEAU MATEMATIK DELPRØVEN UDEN HJÆLPEMIDLER STUDENTEREKSAMEN NOVEMBER-DECEMBER 007 007-8-V MATEMATISK LINJE -ÅRIGT FORLØB TIL B-NIVEAU MATEMATIK DELPRØVEN UDEN HJÆLPEMIDLER Tirsdg den 18 december 007 kl 900-1000 BESVARELSEN AFLEVERES KL 1000 Der

Læs mere

Eksamensspørgsmål: Potens-funktioner

Eksamensspørgsmål: Potens-funktioner Eksmensspørgsmål: Potens-funktioner Definition:... 1, mønt flder ned:... 1 Log y er en liner funktion f log x... 2 Regneforskrift... 2... 2 Smmenhæng mellem x og y ved potens-vækst... 3 Tegning f grf for

Læs mere

Om Riemann-integralet. Noter til Matematik 1

Om Riemann-integralet. Noter til Matematik 1 Om Riemnn-integrlet. Noter til Mtemtik 1 Jon Johnsen Institut for Mtemtiske Fg, Alborg Universitet Fredrik Bjers Vej 7G, 9220 Ålborg Ø 3. december 2001 1 Indledning Integrlregning går tilbge til Newtons

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 12

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 12 Mtemtisk modellering numeriske metoder Lektion 12 Morten Grud Rsmussen 21. oktober, 213 1 Prtielle differentilligninger 1.1 Løsning f vrmeligningen vh. Fourierrækker [Bens sektion 12.6 på side 558] Vi

Læs mere

Stamfunktion & integral

Stamfunktion & integral PeterSørensen.dk Stmfunktion & integrl Indhold Stmfunktion... Integrl (Uestemt integrl)... 2 Det estemte integrl... 2 Arel og integrl... Regneregler for estemte integrler... Integrler / stmfunktioner kn

Læs mere

Opstakning og afstakning, fremadregning og tilbageregning

Opstakning og afstakning, fremadregning og tilbageregning 1 Opstkning og fstkning, fremdregning og tilgeregning 1.1 Fremdregning og tilgeregning...2 1.2 Æskeregning...2 1.3 Høseringe-regning, indkodning og fkodning...3 1.4 Vndret tilgeregning, t dnse en ligning...3

Læs mere

Elementær Matematik. Algebra Analytisk geometri Trigonometri Funktioner

Elementær Matematik. Algebra Analytisk geometri Trigonometri Funktioner Elementær Mtemtik Alger Anlytisk geometri Trigonometri Funktioner Ole Witt-Hnsen Køge Gymnsium 0 Indhold Indhold... Kp. Tl og regning med tl.... De nturlige tl.... Regneregler for nturlige tl.... Kvdrtsætningerne.....

Læs mere

For så kan de to additionsformler samles i én formel, der kan ses som et specialtilfælde af den komplekse eksponentialfunktions funktionalligning,

For så kan de to additionsformler samles i én formel, der kan ses som et specialtilfælde af den komplekse eksponentialfunktions funktionalligning, 15.1. Komplekse integrler 293 læse, og hvordn gør mn det i prksis? Men den virkelige motivtion bg begrebet bliver udst til fsnit 18.5, hvor vi viser t foldning f sndsynlighedsmål lder sig udtrykke meget

Læs mere

1 Plan og rumintegraler

1 Plan og rumintegraler 1 PLAN OG RUMINTEGRALER 1 1 Pln og rumintegrler Ligesom for funktioner f en vribel kn mn for kontinuerte funktioner f flere vrible definere deres integrle. Vi vil her kun beskæftige os med funktioner f

Læs mere

Gymnasie-Matematik. Søren Toftegaard Olsen

Gymnasie-Matematik. Søren Toftegaard Olsen Gmnsie-Mtemtik Søren Toftegrd Olsen Søren Toftegrd Olsen Skovvænget 6-B 7080 Børkop Gmnsie-Mtemtik. udgve, revision 0 ISBN 978-87-99996-0-0 VIGTIGT: Denne og må ikke sælges eller ændres; men kn frit kopieres.

Læs mere

Center for Kvalitet Region Syddanmark

Center for Kvalitet Region Syddanmark Version 4.0 Side 1 f 64 Forftter Udgivelsesdto 27-03-2014 Version Version 4.0 Historik Overlæge, dr.med. Ulrik Gerdes Version 1.0 fr14-06-2013: Dele f indholdet i dette nott fndtes i en version 7.0 f et

Læs mere

Elementær Matematik. Vektorer i planen

Elementær Matematik. Vektorer i planen Elementær Mtemtik Vektorer i plnen Køge Gymnsium 0 Ole Witt-Hnsen Indhold. Prllelforskydninger i plnen. Vektorer.... Sum og differens f to vektorer... 3. Multipliktion f vektor med et tl...3 4. Opløsning

Læs mere

Formelsamling Mat. C & B

Formelsamling Mat. C & B Formelsmling Mt. C & B Indhold BRØER... PARENTESER...3 PROCENT...4 RENTE...5 INDES...6 GEOMETRI... Arel f treknt... Vinkelsum i en treknt... Ens- vinklede treknter... Vilkårlig treknt... Ret- vinklet treknt...8

Læs mere

Matematik - introduktion. Martin Lauesen February 23, 2011

Matematik - introduktion. Martin Lauesen February 23, 2011 Mtemtik - introduktion Mrtin Luesen Februry 23, 2011 1 Contents 1 Aritmetik og elementær lgebr 3 1.1 Symboler............................... 3 1.1.1 ligheder............................ 4 1.1.2 uligheder...........................

Læs mere

ØVELSE 4. Ex_4 DATA MYSAS.SAMDATA; SET MYSAS.DATA85 MYSAS.SUPDATA;

ØVELSE 4. Ex_4 DATA MYSAS.SAMDATA; SET MYSAS.DATA85 MYSAS.SUPDATA; ØVELSE 4 I denne øvelse får du lige først et fsnit om, hvordn mn sætter dtsæt smmen. Du kn få brug for dette ved den sidste øvelse i denne uge og ellers er det generelt en nyttig ting t kunne i SAS. Desuden

Læs mere

Mat. B (Sådan huskes fomlerne) Formler, som skal kunnes til prøven uden hjælpemidler

Mat. B (Sådan huskes fomlerne) Formler, som skal kunnes til prøven uden hjælpemidler Mt. B (Sån huskes fomlerne) Formler, som skl kunnes til prøven uen hjælpemiler Inhol Her er tilføjet emærkninger til nogle f formlerne BRØKER... PARENTESER... EKSPONENTER... LOGARITMER... GEOMETRI... Arel

Læs mere

gudmandsen.net Geometri C & B

gudmandsen.net Geometri C & B gudmndsen.net Geometri C & B Indholdsfortegnelse 1 Geometri & trigonometri...2 1.1 Område...2 2 Ensvinklede treknter...3 2.1.1 Skleringsfktoren...4 3 Retvinklede treknter...5 3.1 Pythgors lærersætning...5

Læs mere

Eksamen Analyse 1, Juni 2015, Besvarelse 1. Opgave 1. ( ln x) q x p dx =

Eksamen Analyse 1, Juni 2015, Besvarelse 1. Opgave 1. ( ln x) q x p dx = Eksmen Anlyse, Juni 25, Besvrelse Ld p >, q, og r. Opgve () Vis t integrlet ( ln x)r x p dx konvergerer. [Vink: Smmenlign med x s for pssende vlgt s.] ( ln x)q x p dx. [Vink: Anvend (b) Bevis formlen (

Læs mere

Mattip om. Vinkler 2. Tilhørende kopier: Vinkler 2-3. Du skal lære om: Polygoner. Ligesidede trekanter. Gradtal og vinkelsum

Mattip om. Vinkler 2. Tilhørende kopier: Vinkler 2-3. Du skal lære om: Polygoner. Ligesidede trekanter. Gradtal og vinkelsum Mttip om Vinkler 2 Du skl lære om: Polygoner Kn ikke Kn næsten Kn Ligesidede treknter Grdtl og vinkelsum Ligeenede og retvinklede treknter At forlænge en linje i en treknt Tilhørende kopier: Vinkler 2-3

Læs mere

- 77 - i stedet for ( f ), så vi har, at f (x) = 6x, x R. Funktionen f

- 77 - i stedet for ( f ), så vi har, at f (x) = 6x, x R. Funktionen f - 77 - Appendi : Den delt fledede f en funktin. Sm eken gælder der, t funktinen f() 3 er differentiel fr lle R, g t f () 3. Vi kn derfr til et vilkårligt punkt tilrdne differentilkvtienten f f i, hvrved

Læs mere

1. Eksperimenterende geometri og måling

1. Eksperimenterende geometri og måling . Eksperimenterende geometri og måling Undersøgelse Undersøgelsen drejer sig om det såkldte Firfrveproblem. For mere end 00 år siden fndt mn ved sådnne undersøgelser frem til, t fire frver er nok til t

Læs mere

Trigonometri. teori mundtlig fremlæggelse C 2. C v. B v. A v

Trigonometri. teori mundtlig fremlæggelse C 2. C v. B v. A v Tigonometi teoi mundtlig femlæggelse 2 v v B v B Indhold 1. Sætning om ensvinklede teknte og målestoksfohold (uden bevis)... 2 2. Vinkelsummen i en teknt... 2 3. Pythgos sætning om ETVINKLEDE TEKNTE...

Læs mere

Taldiktat. Talhus. Tal. Format 5. Nr. 1. Enere 1. Tiere 10. Hundreder 100. Tusinder 1.000. Titusinder 10.000. Hundredetusinder 100.000 1.000.

Taldiktat. Talhus. Tal. Format 5. Nr. 1. Enere 1. Tiere 10. Hundreder 100. Tusinder 1.000. Titusinder 10.000. Hundredetusinder 100.000 1.000. Tldiktt Nr. Timillioner 0.000.000 Millioner.000.000 Hundredetusinder.000 Tlhus Titusinder 0.000 Tusinder.000 Hundreder Tiere 0 Enere Prktivitet. Træk - kort i skjul fr et lmindeligt kortspil. Læg dem på

Læs mere

1,0. sin(60º) 1,0 cos(60º) I stedet for cosinus til 60º og sinus til 60º skriver man cos(60º) og sin(60º).

1,0. sin(60º) 1,0 cos(60º) I stedet for cosinus til 60º og sinus til 60º skriver man cos(60º) og sin(60º). Mtemtik på VU Eksempler til niveu F, E og D Til lle vinkler hører der to tl, som kldes osinus og sinus. Mn finder sinus og osinus ved først t tegne vinklen i et koordint-system som vist til venstre. Derefter

Læs mere

MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX)

MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX) Silkeorg -0- MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX) FACITLISTE Udrejdet f mtemtiklærere fr HF, HHX, HTX & STX. PS: Hvis du opdger

Læs mere

Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger

Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger enote 11 1 enote 11 Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger I denne note introduceres lineære differentialligninger, som er en speciel (og bekvem) form for differentialligninger.

Læs mere

( ) ( ) ( ) Størrelsesorden for funktionerne a x, x a og ln(x) (opgaveforløb v/ Bjørn Grøn og John Schächter) > ( )

( ) ( ) ( ) Størrelsesorden for funktionerne a x, x a og ln(x) (opgaveforløb v/ Bjørn Grøn og John Schächter) > ( ) Støelsesoden fo funktionene, og ln() Side f 5 Støelsesoden fo funktionene, og ln() (opgvefoløb v/ Bjøn Gøn og John Schächte) Intoduktion I dette foløb vil vi dels få et edskb til t smmenligne, hvo hutigt

Læs mere

Projekt 10.3 Terningens fordobling

Projekt 10.3 Terningens fordobling Hvd er mtemtik? C, i-og Projekt 0.3 Terningens fordoling Elementerne indeholder, hvd mn kn deduere sig til og konstruere ud fr de få givne ksiomer. Mn kn derfor i en vis forstnd sige, t l den viden, der

Læs mere

Implicit differentiation

Implicit differentiation Implicit differentition Implicit differentition Indhold. Implicit differentition.... Tngent til ellipse og hyperel... 3. Prisme i hovedstillingen...3 3. Teoretisk rgument for hovedstillingen...4 Ole Witt-Hnsen

Læs mere

SoundSations! Sow[' 9arcft LtbrarY- 'M6k:::'t;q:v:,& l. l(rb af datamaskine. 2. llusikplogram. Pia overvejer at ksbe en datamaskine.

SoundSations! Sow[' 9arcft LtbrarY- 'M6k:::'t;q:v:,& l. l(rb af datamaskine. 2. llusikplogram. Pia overvejer at ksbe en datamaskine. l. l(rb f dtmskine Pi overvejer t ksbe en dtmskine. Hvor meget ville Pi komme til t betle for dtmskinen PC 386, nar der betles 295 kr. pr. maned i36 maneder? Hvor meget ville hun spre ved t kobe kontnt?

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningseskrivelse Stmoplysninger til rug ved prøver til gymnsile uddnnelser Termin Juni 2016 Institution Uddnnelse Fg og niveu Lærere Hold Fvrskov Gymnsium Stx Mtemtik A Peter Lundøer (Lu) 3k Mtemtik

Læs mere

Opgave 1 ( Toppunktsformlen )

Opgave 1 ( Toppunktsformlen ) Opgve 1 ( Toppunktsformlen ) Et nengrspolynomium er givet ve f x x 2 b x c. For t fine toppunktet vil vi først ifferentiere f x Derefter løser vi ligningen f ' x x b f ' x 0 x b 0 x b D f ' x x b er en

Læs mere