Matematikkens mysterier - på et højt niveau. 3. Differentialligninger

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Matematikkens mysterier - på et højt niveau. 3. Differentialligninger"

Transkript

1 Mtemtikkens msterier - på et højt niveu f Kenneth Hnsen 3. Differentilligninger N N N 3 A A k k

2 Indholdsfortegnelse 3. Introduktion 3. Dnmiske sstemer Seprtion f de vrible Vækstmodeller Anden ordens differentilligninger Numerisk løsning En økologisk model 46 Fcitliste 49 Kpiteloversigt 5

3 3. Introduktion I dette kpitel skl vi beskæftige os med differentilligninger. I modsætning til lmindelige ligninger, hvis løsninger er tl, så er differentilligninger, hvor mn skl finde en funktion, som opflder en ligning - tpisk involverer denne ligning differentilkvotienten f funktionen. En differentilligning er en ligning f formen f ( ) f ( ) som mn dog oftest skriver som Den ubekendte i denne ligning er funktionen f (eller, om mn vil). En løsning kunne være en f funktionerne f ( ) 7e f ( ) 8e f ( ) e - j, fktisk enhver funktion f formen. f ( ) ce Her er tllet c en konstnt - oftest kldet en integrtionskonstnt. Sådnne konstnter optræder næsten ltid i differentilligningers løsninger. Mn tler om den generelle løsning til differentilligningen. Som regel ved mn dog mere om løsningsfunktionen end bre differentilligningen - mn kn hve en begndelsesbetingelse, f.eks. f formen f ( 0) 3 hvilket er nok til t fstlægge integrtionskonstntens værdi. I eksemplet ovenfor vil denne begndelsesbetingelse fstlægge den prtikulære løsning f ( ) 3 e Vi skl til t strte med t se, hvorledes differentilligninger optræder i nturen. Derefter skl vi studere, hvorledes mn kn løse differentilligninger, både ekskt og numerisk. 3 Opgver. Bevis, t enhver funktion f formen f ( ) ce. (Vink: Indsættelse) er en løsning til

4 3. Dnmiske sstemer Mnge fænomener i den virkelige verden kn opfttes som såkldte nmiske sstemer. Det nmiske ligger hér i, t sstemets tilstnd ændrer sig med tiden. Vi giver nogle eksempler: Eksempel : Henfldskæde Den rdioktive isotop Te-3 henflder til isotopen I-3. Denne henflder igen til Xe-3, som er en stbil isotop, og som derfor ikke henflder derligere. Dette kldes en henfldskæde. Problemstillingen er nu: Mn tger kg Te-3. Hvor mnge kerner f de forskellige isotoper er der til stede, når der er gået et vist tidsrum? Hvordn udvikler de forskellige isotopmængder sig med tiden? Eksempel : Rektionskinetik Den kemiske rektion NO N O 4 foregår fktisk begge veje, således t der vil indstille sig en ligevægt. Indenfor rektionskinetikken beskæftiger mn sig med, hvor hurtigt denne ligevægt indtræffer. Problemstillingen er: Mn tger mol NO. Hvor hurtigt vil ligevægten indstilles, og hvordn vil stofmængden f NO fhænge f tiden? Eksempel 3: Dnmrks befolkning Hvordn udvikler Dnmrks befolkning sig gennem tiden under hensntgen til fødselsrter, dødsrter, ind- og udvndring? Kn mn sige noget om Dnmrks befolkning i år 050? Eksempel 4: Østersø-torsk Hvorledes udvikler Østersø-torskenes ntl sig under hensntgen til fiskeri, ngeludsætning, klimændringer etc.? Mnge flere eksempler kunne nturligvis nævnes. Når mn vil studere et nmisk sstem, så skl mn lve en model f dette sstem. En sådn model vil tpisk bestå f følgende elementer: ) Nogle sstemvrible, som beskriver sstemet til tiden t. (Disse sstemvrible er ltså funktioner f t). 3

5 ) Et sæt koblede differentilligninger - én ligning for hver sstemvribel. 3) Et ntl begndelsesværdier og ndre konstnter. Antllet og rten f sstemvriblerne fhænger f, hvor detljeret, mn vil studere sstemet. F.eks. kunne mn vælge følgende sstemvrible: Eksempel : N( t) ntllet f Te-3-kerner til tiden t. N( t) ntllet f I-3-kerner til tiden t N3( t) ntllet f Xe-3-kerner til tiden t Eksempel 3: N ( t) ntllet f dnskere til tiden t. Dette vlg giver en meget simpel model, så i stedet kunne mn bruge M ( t) ntllet f dnske mænd til tiden t K( t) ntllet f dnske kvinder til tiden t. Endnu mere detljeret ville følgende være M 0( t) ntllet f dnske mænd (drenge) mellem 0 og år M( t) ntllet f dnske mænd mellem og år M ( t) Denne model ville komme til t operere med c. 00 sstemvrible og vil måske blive en nelse uoverskuelig. Men en computer ville sgtens kunne regne på den. Det er normlt ret bøvlet t opstille de koblede differentilligninger i modellen; men heldigvis kn mn få hjælp f Sstem Dnmics. Dette er en metode, hvor mn først opstiller en grfisk repræsenttion f sstemvriblerne, og derefter oversætter denne til differentilligninger. SD-digrmmet for eksempel - henfldskæden - ser således ud: 4

6 N N N A A 3 I denne figur er der temmeligt mnge ingredienser: k k N Sstemvrible ngives ved firkntede ksser. Skriv vriblens nvn inden i kssen. Pile ngiver overførelse f 'stof' - et flow. A k Vndhner (som ser sådn ud på bggetegninger) regulerer overførelsen f 'stof' - en rte. Konstnter ngives på denne måde. A Stiplede pile ngiver, et informtions-flow, dvs., hvorledes en sstemvribel eller en konstnt påvirker en rte. k Andre smboler kn forekomme, bl.. sker (i denne bog ellipser), som ngiver kilder eller dræn for stof. SD-digrmmet for henfldskæden viser ltså, t der er tre sstemvrible, nemlig N, N og N 3. De to flow-pile viser, t der overføres 'stof' fr N til N og fr N til N 3, svrende til, t Te-3 henflder til I-3 og t I-3 henflder til Xe-3. De to hner viser, t strømmen A fr N til N fhænger f N og konstnten k, og t strømmen A fhænger f N og konstnten k. Bemærk, t digrmmet ikke fortæller, hvorledes strømmene A og A fhænger f N, N, k og k. 5

7 For t kunne opstille sstemets differentilligninger, skl vi kende disse udtrk; fr fsikundervisningen vides, t A k N og A k N. Den tpiske differentilligning ser således ud: For hver sstemvribel N fås ligningen dn dt ( in - flow) - ( out - flow) Hver flow-pil ind til vriblen giver ltså et positivt led, og hver flow-pil væk fr vriblen giver et negtivt led. For henfldskæden fås derfor differentilligningerne: dn dt dn dt 3 k N k N dn dt k N k N Endelig skl mn, for t kunne løse disse koblede differentilligninger, hve fstlgt værdierne for de to konstnter k og k, smt strtværdierne for mængderne f de to isotoper, dvs. N ( 0), N ( 0) og N 3 ( 0). Når mn så endelig hr fået opstillet modellen, så skl differentilligningerne løses og modellen studeres. Det vil vi komme meget mere ind på i de næste fsnit, så her vil vi blot bemærke, t mn kn gøre 3 forskellige ting: ) Mn kn løse differentilligningerne ekskt. ) Mn kn løse differentilligningerne numerisk. 3) Mn kn lve en kvlittiv nlse. En ekskt (eller nltisk) løsning f en differentilligning er gnske simpelt en løsningsfunktion skrevet op som funktion, mens en numerisk løsning er løsningsfunktionen opskrevet som en tbel f (pproimerede) funktionsværdier. Det kn betle sig t smmenligne med integrlregningen - mn kunne jo udregne et integrl ekskt eller pproimtivt. Kvlittiv nlse går ud på t sige noget generelt om løsningsfunktionen uden t løse differentilligningen. Betrgter mn f.eks. differentilligningen + 6

8 så vil mn opdge, t > 0 unset værdien f. Dette betder ltså, t en løsningsfunktion vil være voksende. Opgver. ) Opstil et SD-digrm for Dnmrks befolkning (eksempel 3). Vælg modellen med de to sstemvrible M og K. b) Gør nogle ntgelser om, hvorledes fertiliteten og mortliteten fhænger f M og K. Opstil derefter de relevnte differentilligninger. c) Hvilke mngler hr den opstillede model?. Vi skl nu kvlittivt undersøge forskellige spekter f differentilligningerne for henfldskæden. Vi ntger, t N ( 0) N ( 0) 0, dvs. t vi strter med en vis mængde ren Te- 3 3, som så henflder. ) Gør rede for, t funktionen N er en ftgende funktion. b) Gør rede for, t N 3 er en voksende funktion. c) Gør rede for, t N først vokser, men derefter stgnerer og derefter går imod 0. Hvilken betingelse kn du give for, hvornår N er mksiml?.3 Med computerprogrmmet DYMOS kn mn løse differentilligningssstemet fr opgve. numerisk. Prøv dette og observer, om din løsning psser med de ting, du beviste i opgve.. (Mn kn f.eks. sætte N ( 0) 00, og k k 0, 0). 7

9 3.3 Seprtion f de vrible I dette fsnit skl vi studere en f de mest nvendte måder t løse differentilligninger på - seprtion f de vrible. Metoden virker på differentilligninger f formen f ( ) g( ) Følgende kn derfor løses ved brug f denne metode: men ikke + ( f ( ) + og g( ) ) sin ( f ( ) sin og g( ) ) ( f ln + ( ) og g( ) ln ) idet højresiden ikke er et produkt f to funktioner, hvor den ene kun fhænger f og den nden kun f. Selve metoden er beskrevet i følgende sætning: Bevis: Sætning (FS) Ld f og g være kontinuerte funktioner, ld f være defineret på intervllet I og g på intervllet J, og ntg, t g( ) 0, for J Ld F( ) f ( ) og G ( ) g( ) Så vil G hve en invers funktion, og løsningen til differentilligningen vil være G ( F( ) + k) hvor k er en integrtionskonstnt. 8

10 Vi deler beviset op i flere dele: ) G hr en invers funktion: Idet g er kontinuert på et intervl og forskellig fr 0 på dette intervl, så vil g hve konstnt fortegn på dette intervl. Dette betder, t G ( ) g( ) ligeledes hr konstnt fortegn på J, og G er derfor monoton. En monoton funktion er injektiv, og en injektiv funktion hr ltid en invers funktion. ) G ( F( ) + k) er en løsning til differentilligningen: Vi regner ensbetdende: G ( F( ) + k) G( ) F( ) + k G( ) F( ) k ( G( ) F( )) 0 G ( ) F ( ) 0 f ( ) 0 g( ) f ( ) g( ) f ( ) g( ) Dette beviser sætningen. Bemærk, t sætningen ikke udtler sig om de singulære tilfælde, hvor g( ) 0. Disse tilfælde skl undersøges seprt. Vi giver eksempler herpå senere. I prksis går mn ikke rundt og husker på sætning 's ordld - i stedet går mn mere direkte til værks. 9

11 Eksempel Differentilligningen + tn kn løses på følgende måde: + tn ( + tn ) ( + tn ) tn( ) + k rctn( + k) Dette giver den generelle løsning; men bemærk, t vi intet hr sgt om definitionsmængden for løsningen. Dette er dog rimeligt let for denne differentilligning: g( ) + tn 0 unset værdien for så der er ikke nogen singulære tilfælde. Endvidere er definitionsmængden for funktionen rctn mængden f lle reelle tl, R, så definitionsmængden for løsningen er ligeledes R. Generelt vil definitionsmængden for løsningen fhænge f integrtionskonstnten k. Den opmærksomme læser vil nu undre sig over, hvorfor der kun optrådte en integrtionskonstnt - vi beregnede jo to ubestemte integrler. Svret er, t integrerer mn, så fås ( + tn ) tn( ) + k + k hvor både k og k er integrtionskonstnter. Men vi kn smle begge konstnter i én - betegnet k - ved t subtrhere k på begge sider f ligningen og skrive k k k Generelt er det tilldt t hærge integrtionskonstnterne rimeligt meget - de er jo (foreløbigt) ukendte, og gnger mn noget ukendt med f.eks., så er resulttet jo stdigt ukendt. Men mn skl stdigvæk psse på med, hvd mn gør. 0

12 Regnet opgve Givet: Differentilligningen Find: Den løsning f, som opflder, t f ( ) e Svr: For det første observerer vi, t den oplste -værdi er e. Idet funktionen g er givet ved g( ), er g( e) e 0. Vi er ltså ikke i det singulære tilfælde. Vi integrerer som før: ln + k ep( + k) Vi indsætter nu informtionen f ( ) e, dvs. vi sætter og e: e ep( + k) ln( e) + k k Altså, k. Endelig skl vi finde definitionsmængden for løsningen. Krvet er her, t 0. Idet vores strtbetingelse vr, t e (for ), så må være positiv. Vi kn derfor glemme det irriterende numerisk-tegn. Endvidere ser vi, t definitionsmængden for løsningen er de reelle tl - unset 's værdi vil udtrkket ep( + ) være veldefineret og positivt.

13 Løsningen er derfor f ( ) ep( + ), R. Eksempel Vi skl finde tre løsninger f, g og h til differentilligningen, > 0 Disse løsninger skl opflde ligningerne f ( ) 0 g( ) h( ) 3 Vi strter med t finde en forskrift for f. I begndelsespunktet (,0) er 0, så vi er i undtgelsestilfældet til sætning - det singulære tilfælde - og løsningen bliver den konstnte funktion f ( ) 0, > 0 (Mn kn kontrollere ved indsættelse, t f fktisk er en løsning til differentilligningen). Ved både g og h er strtværdien for forskellig for 0, så vi kn seprere de vrible: ln + k Cep( ) (C e k ) For g gælder, t g( ), hvilket ved indsættelse giver C ep( ) C e Endvidere er vi i den sitution, hvor > 0, så numerisk-tegnet kn ignoreres. Løsningen bliver derfor

14 g( ) eep( ) ep( ) Det ses, t g( ) > 0 for > 0, så definitionsmængden for løsningen g bliver ] 0; [. Ergo, g( ) ep( ), > 0 Ved h indsætter vi også betingelsen h( ) 3 for t finde integrtionskonstnten C. Vi får 3 Cep( ) C 3e Idet < 0 i dette tilfælde, kn numerisk-tegnet erstttes med, og vi får 3e ep( ) Igen er højresiden forskellig fr 0 for > 0, så løsningen bliver 3ep( ), > 0 Når mn skl finde definitionsmængder, så er en god tommelfingerregel, t definitionsmængden skl ltid være et åbent intervl! Eksempel Vi vil finde løsningen f til differentilligningen som opflder f ( ). Først seprerer vi, idet vi ikke er i det singulære tilfælde: + k 3

15 + k ( + k) Vi indsætter nu og og får ( + k) + k k Forskriften for f er derfor f ( ) ( ) Men hvd er definitionsmængden? f ( ) er ikke defineret, når nævneren er lig 0, dvs. for. Men f ( ) er heller ikke defineret for 0 - netop fordi differentilligningen ikke giver mening når 0. Idet Dm( f ) skl være et intervl, er der derfor 3 muligheder: ] ;0 [, ] 0; [ og ] ; [ Idet betingelsen på f er, t f ( ) 3, vælger vi det intervl, hvori -værdien ligger. Ergo er forskriften f ( ) ( ), 0 < < Vi bemærker, t der er to specielle tilfælde f seprtion f de vrible: Sætning (FS) Løsningen til differentilligningen f ( ) er givet ved F( ) + k hvor F er en stmfunktion til f, og k er en integrtionskonstnt. 4

16 Bevis: Vi nvender sætning med g( ). Så bliver G ( ) g ( ) og G ( ) Alterntivt kunne mn jo sige, t her skl vi bre finde en stmfunktion til en given funktion. Sætning 3 (LS) Løsningen til differentilligningen g( ) er givet ved G ( + k) hvor G er en stmfunktion til, og k er en integrtionskonstnt. g Bevis: Dette er sætning, men med f ( ) og dermed F( ) f ( ) + k Eksempel Løsningen f til differentilligningen Vi seprerer de vrible: + k med f ( ) findes: 5

17 ± + k Idet den opgivne -værdi er lig, så skrottes minus-tegnet. Indsættes og, så fås følgende ligning for k: + k k Forskriften for f er derfor f ( ) + og idet indmden under rodtegnet er positivt for > fås løsningen f ( ) +, > Opgver 3. Vis, t løsningen F til differentilligningen opfldende F( ) er givet ved F( ) f ( t) dt + f ( ) 3. Løs følgende differentilligninger med begndelsesbetingelser. Husk definitionsmængderne ) c) e), f ( ) b), h( e) d) sin, k( π ) f) cos, g( 0) 0 3, j( ) 0 (ln ), l( 0 ) e g) e +, m( 0) 0 h) ( + ln ), n( ) i) +, q( ) j) e + e, r( 0) Find de tre løsninger f, g og h til differentilligningen 6

18 som opflder, 0 f ( ) 0 g( ) og h( ) 3.4 Mn kn ofte finde specielle løsninger til en differentilligning, f.eks. polnomielle løsninger, ved indsættelse: Betrgt differentilligningen + + og betrgt endvidere ndengrdspolnomiet f ( ) + b + c Bestem tllene, b og c, således t funktionen f bliver en løsning til differentilligningen. 3.5 Bestem smtlige ndengrdspolnomier, som er løsninger til differentilligningen + 0 7

19 3.4 Vækstmodeller Vi vil nu studere forskellige former for vækst. I den simpleste vækstmodel er der én sstemvribel, N, og to måder, hvorpå N kn ændre sig på - N kn øges ved t der tilføres stof fr en kilde vi hnen F, og N kn mindskes ved t stof frtges til et dræn vi hnen M. Hnerne F og M kontrolleres f N og f en række uspecificerede sstemvrible, her kldet, b, c... SD-digrmmet får således udseendet: KILDE F N M DRÆN,b,c,d,e,... Nogle eksempler på vækst er ) N Dnmrks befolkning F fødselsrten (fertiliteten) M dødeligheden (mortliteten) ) N ntl bkterier i en romkugle F og M er igen fertiliteten og mortliteten 3) N ntl tomer f en rdioktiv isotop M ktiviteten f denne isotop F den hstighed, hvormed sstemet tilføres tomer (er muligvis lig 0). De mest interessnte vækstmodeller, og dem der er lettest t studere, er de såkldte utonome sstemer (utonom selvbestemmende). Et utonomt sstem er et sstem, hvor de forskellige hner etc. ikke stres eller influeres f tiden. Differentilligningen for et utonomt vækstsstem er generelt dn dt F( N) M ( N) hvor vi nturligvis ikke umiddelbrt kender udtrkkene for F og M. Men det vigtigste her er, t vi hr en differentilligning f formen g( ) (hvor vi hr erstttet N med og t med ). 8

20 Vi vil løse denne differentilligning for forskellige funktioner g. Vi giver en oversigt: g( ) giver lineær vækst g( ) k giver eksponentiel vækst g( ) + b giver begrænset eksponentiel vækst g( ) ( b ) giver logistisk vækst Vi strter med den lineære og den eksponentielle vækst: Sætning 4 (LS) Den fuldstændige løsning til + b hvor b er en integrtionskonstnt. er Bevis: En øvelse! Sætning 5 (FS) Den fuldstændige løsning til C e k hvor C er en integrtionskonstnt. k er Bevis: Idet vi vil bruge integrtion ved substitution, så skl vi dele løsningen op i 3 tilfælde, lt efter om højresiden k er positiv, nul eller negtiv. Dette er jo det smme som t dele op efter fortegnet for : ) 0 Dette er det lette (og singulære) tilfælde - hvis er lig 0, så reducerer differentilligningen til 9

21 0 som strks løses til konstnt Denne konstnt må jo være 0, fordi vr 0. Ergo er løsningen med C 0. ) > 0 k 0 0 e C e Vi seprerer de vrible: 3) < 0 k k k k ln k + c (c er en integrtionskonstnt) k + c e Ce k (C e c ) Men vi ved, t > 0, så vi kn med det smme skrotte det irriterende numerisktegn. Dette tilfælde minder meget om tilfælde - vi kn i sidste ende ikke tillde os t skrotte numerisk-tegnet - men til gengæld får vi ligningen Ce k eller Ce k Men vi kn tillde os t ersttte den ukendte integrtionskonstnt C med den ligeså ukendte C, hvorved ligningen bliver Ce k k ( ) Ce 0

22 Løsningen til differentilligningen k ses ltså t være den eksponentielle udvikling Ce k Indenfor mtemtik foretrækker mn t skrive eksponentielle udviklinger på formen b og vi får ltså smmenhængen e k mellem og k. Eksponentielle udviklingers egenskber turde være velkendte, så vi omtler dem ikke derligere. Bemærk dog, t det er meget let t undersøge, om et givet tlmterile vokser lineært eller eksponentielt - vi indtegner bre tlmterilet på lmindeligt millimeter-ppir eller på enkeltlogritmisk ppir (ELK) og ser, om vi får en ret linie. Så let er det ikke med de to ndre former for vækst: Sætning 6 (LS) Løsningen til differentilligningen er f formen + b, 0 b Ce hvor C er en integrtionskonstnt. Bevis: Igen skl vi opdele i tre tilfælde: ) b

23 Her er højresiden 0, og dette betder, t er en konstnt. Men denne konstnt er ) jo b, så vi ser, t dette er en løsning til differentilligningen. b Vi kn skrive denne løsning på formen Ce ved t sætte C 0. b > Nu er højresiden forskellig fr 0, så vi kn seprere differentilligningen: 3) b < En opgve! + b + b + b ln + b + k + b ep( + k) Ce (C e k ) Vi er i det tilfælde, hvor indmden i numerisk-tegnet er positiv, så vi kn droppe dette tegn: b Ce Når denne tpe differentilligning optræder i prksis, så er < 0. Dette betder, t vi får en hæmmet vækst: Eksempel

24 I en tomrektor dnnes der hele tiden tomkerner f den rdioktive isotop Xe- 3 med konstnt hstighed b. Smtidigt henflder disse kerner med hstigheden k f ( t), hvor k er henfldskonstnten for Xe-3 og f ( t) er ntllet f kerner til tiden t. Til t strte med er der ingen kerner, dvs. f ( 0) 0. Hvordn udvikler f ( t) sig? Vi strter med t opskrive differentilligningen df ( t) dt b k f ( t) Den generelle løsning er umiddelbrt kt b kt f ( t) Ce Ce + k og nvender vi begndelsesbetingelsen f ( 0) 0, så fås 0 b b 0 Ce + C k k Løsningen er ltså Det ses, t b k b b f t k k e kt b kt ( ) ( e ) k b f ( t) for t k - mn siger, t funktionen f bliver mættet med mætningsgrd b k. Nedenfor er vist grfen for f med værdierne b k. 3

25 Endelig hr vi den logistiske vækst: Sætning 7 (FS) Den logistiske differentilligning hr den fuldstændige løsning ) 0, R b) ( b ), > 0, b > 0 b, R b / c) + Ce b b / d) Ce b b / e) Ce b, R,, lnc > b lnc < b hvor C > 0 er en integrtionskonstnt. 4

26 Bevis: Vi skl dele op i hele 5 tilfælde, lt efter fortegnet for højresiden ( b ) tilfælde er ) 0 b) b. Disse c) 0 < < b d) > b e) < 0 Vi betrgter kun tilfælde c), idet dette er det interessnte tilfælde. Vi lver seprtion f de vrible: ( b ) ( b ) Vi hr nu brug for t vide, t ( + ) ( b ) b b hvilket let kn bevises ved t sætte højresiden på fællesnævner. Idet 0 < < ( + ) b b ( + ) b b (ln ln b ) + k b ln b k b + b kn vi ignorere numerisk-tegnene, og vi får b e + b k 5

27 b Ce b b b / + b Ce b Ce b + Ce b (C e k ) Nedenfor er vist en tpisk løsningskurve til den logistiske vækst ( b C ). Som det ses, hr grfen to vndrette smptoter: Sætning 8 (LS) Den logistiske kurve b /,, b, C > 0 + b Ce hr de vndrette smptoter med ligningerne 0 og b Bevis: 6

28 Vi viser fktisk, t b / og + Ce b / + Ce b b 0 b for for I det første tilfælde går, hvilket betder t b og nævneren vokser derfor ubegrænset, hvorimod tælleren holdes konstnt. I det ndet tilfælde går, b, hvorved e b ltså imod. 0. Nævneren går Tolkningen f dette resultt er, t b / ngiver den øvre grænse for en popultion, som vokser logistisk. Eksempel I tbellen nedenfor er ngivet USA's befolkningstl i tusinder i perioden : år befolkn år befolkn år befolkn Grfen for disse dt er ngivet nedenfor - -ksen ngiver ntl år efter 790 og - ksen befolkningstllet i tusinder. 7

29 Grfen ligner en logistisk kurve, og det interessnte er nu, hvilke konstnter, b og C, som giver den bedste tilpsning til kurven. Idet der er hele 3 ukendte vrible, så er dette ikke helt nemt. Følgende metode kn bruges: ) Find hældningen f tngenten til kurven i hvert dtpunkt. (Tngenten tegnes på bedste beskub) ) Plot som funktion f på lmindeligt mm-ppir. Bestem og b ud fr den bedste rette linie. (Den logistiske differentilligning kn omskrives til b ) 3) Plot b / som funktion f på enkeltlogritmisk ppir og bestem konstnten C. Denne sidste grfs retlinethed bestemmer, hvorledes modellen psser med måledterne. Gennemføres dette progrm, så fås b 9700 hvilket tolkes som, t USA's befolkning mksimlt kn være på , dvs. på 97 millioner. Dette holder dog ikke, i 980 vr USA's befolkning på 6,5 millioner. 8

30 Dette kn mn forklre ved, t den krftige meknisering f USA's lndbrug i efterkrigstiden hr øget mængden f ressourcer og dermed bæreevnen for USA's befolkning. Tilsvrende undersøgelser kn nturligvis gennemføres med tlmterile, som mn formoder følger en hæmmet vækst. Opgver 4. Nedenstående tbel viser, hvorledes Færøernes lndbefolkning hr udviklet sig siden år 900: år befolkning ) Eftervis, t der er tle om en logistisk vækst og find en forskrift for denne vækst. b) Forudsig den mksimle lndbefolkning på Færøerne. 4. En funktion f opflder, t f ( ) 0 f ( ) ( w 0 f ( )) hvor w er en ukendt konstnt. Endvidere hr grfen for f de vndrette smptoter med ligningerne 0 og 0 Endelig gælder, t f ( 0) 0 Bestem en forskrift for funktionen f. 9

31 3.5 Anden ordens differentilligninger Vi skl nu undersøge nden ordens differentilligninger. Dette er differentilligninger, som involverer både funktionen selv, den fledede og den dobbelt fledede f funktionen. (Vi vil dog ikke hér se på eksempler, hvori den fledede optræder.) Sådnne differentilligninger optræder kun sjældent indenfor nmiske sstemer, men til gengæld i hobetl indenfor fsikken. Hvorfor nu det? Newtons. lov siger, t en prtikel med mssen m, der udsættes for en krft F, vil bevæge sig med ccelertionen, og der gælder ligningen F m Men ccelertionen er den dobbelt fledede f stedfunktionen ( t), så vi får d F dt m - en nden ordens differentilligning! Vi vil studere to tper f nden ordens differentilligninger. Den første er nem nok: Sætning 9 (LS) Differentilligningen d g ( ) hr den generelle løsning f ( ) G( ) + k + l hvor k og l er konstnter, og (g integreret to gnge). G( ) ( g( ) ) Bevis: Vi indsætter funktionen f i ligningen og får f ( ) g( ) Denne ligning integreres f ( ) g( ) f ( ) G ( ) + k hvor G er en stmfunktion til g, og integreres igen f ( ) ( G ( ) + k) + l 30

32 hvilket er det smme som f ( ) G( ) + k + l. Bemærk, t fordi vi integrerede to gnge, så fik vi to integrtionskonstnter, k og l. For t finde en prtikulær løsning f til en sådn differentilligning skl vi ltså hve to oplsninger om f - trditionelt nvender mn et f følgende: ) f er fstlgt i to punkter: f ( ) og f ( ) 0 0 ) f og f er fstlgt i et punkt: f ( ) og f ( ) v Der findes dog mnge ndre muligheder! Dette er tpisk for nden ordens differentilligninger - i den generelle løsningsformel optræder to konstnter, som mn skl fstlægge med to betingelser. Eksempel En prtikel med mssen m bevæger sig i Jordens tngdefelt. Til tiden 0 befinder den sig i højden h 0 over Jordens overflde. Dens hstighed her er d v 0. Bestem prtiklens højde h som funktion f tiden t. Tngdekrften F på en prtikel med mssen m er som bekendt lig F mg hvor g er tngdeccelertionen. Differentilligningen bliver derfor d h mg dt m g hvor g ikke fhænger f hverken h eller t. Integreres to gnge fås h( ) gt + kt + l og indsættes begndelsesbetingelserne h( ) h og h ( ) v fås l h 0 og k v 0. Den søgte løsning er d h( t) gt + v t + h en fr fsikundervisningen velkendt formel. 3

33 Den nden tpe differentilligninger, vi skl studere, optræder indenfor fsikken i forbindelse med bl.. svingninger. VI strter med løsningsformlen: Sætning 0 (FS) ) Differentilligningen d k, k 0 hr den generelle løsning k c e + c e k hvor c og c er integrtionskonstnter. b) Differentilligningen d k, k 0 hr den generelle løsning c sin( k) + c cos( k) hvor c og c er integrtionskonstnter. Vi bemærker, t i begge tilfælde hr differentilligningen fktisk formen K og t forskellen mellem de to tilfælde kun ligger i fortegnet for K. Vi løser derfor begge differentilligningerne under ét. For t kunne bevise løsningsformlen ovenfor hr vi brug for dskillige hjælpesætninger: Sætning ) Hvis funktionerne f og g begge er løsninger til differentilligningen så er f K + g ligeledes en løsning. b) Hvis f er en løsning til differentilligningen så er K f ligeledes en løsning, hvor er et vilkårligt tl. Bevis: 3

34 ) Idet både f og g er løsninger, så gælder, t f ( ) K f ( ) og g ( ) K g( ). Vi kn nu undersøge, hvorvidt f + g er en løsning: ( f + g) ( ) f ( ) + g ( ) K f ( ) + K g( ) K ( f ( ) + g( )) K ( f + g)( ) Så f + g er en løsning! b) Idet f er en løsning til differentilligningen, så gælder, t f ( ) K f ( ) Vi undersøger, hvorvidt Så f er en løsning: ( f ) ( ) f ( ) K f ( ) K ( f ( )) f er en løsning! Sætningen ovenfor viser ltså, t vilkårlige linerkombintioner, dvs. udtrk f formen f + f + 3 f er løsninger til differentilligningen, når blot f, f, f 3,... er løsninger. Vi indfører nu den såkldte Wronski-determinnt, opkldt efter den polske mtemtiker Jozef Mri Wronski: Definition Ld f og g være differentible funktioner. Wronski-determinnten W( f, g) er funktionen W( f, g)( ) f ( ) g ( ) f ( ) g( ) Nvnet Wronski-determinnt kommer f, t mn kn skrive W( f, g)( ) f ( ) g ( ) f ( ) g( ) f ( ) g( ) f ( ) g ( ) Eksempel Ld funktionerne f, g og h være givet ved f ( ) g( ) sin h( ) e Nogle Wronski-determinnter er d 33

35 W( f, g)( ) f ( ) g( ) f ( ) g ( ) sin cos sin cos g( ) h( ) sin e W( g, h)( ) e sin e cos g ( ) h ( ) cos e Bemærk, t Wronski-determinnten generelt selv er en funktion. Definition 3 To funktioner f og g kldes lineært ufhængige, hvis ligningen f ( ) + b g( ) 0 (for lle værdier f ) medfører, t konstnterne og b begge er 0. Lineært ufhængige funktioner optræder sjældent indenfor lmindelige regnerier, men det er et vigtigt begreb indenfor differentilligninger. Eksempel Betrgt funktionerne f, g og h givet ved f ( ) g( ) + h( ) Funktionerne f og g er lineært ufhængige, thi ld os ntge, t vi hr fundet nogle tl og b, således t f ( ) + b g( ) 0 for lle værdier f. Men sætter vi 0 så fås f ( 0) + b g( 0) 0 + b b 0 og sætter vi så fås f ( ) + b g( ) ( ) + b 0 0 Alt i lt ses, t både og b er 0. Funktionerne f og h er derimod lineært fhængige - f.eks. kn mn sætte og b. Herved fås f ( ) + b g( ) + 0 gældende for lle værdier f. Smmenhængen mellem Wronski-determinnten og lineær ufhængighed er t finde i følgende sætning: 34

36 Sætning 4 f og g er lineært fhængige W( f, g)( ) 0 for lle. Bevis: f og g er lineært fhængige der findes tl og b, som ikke begge er 0, således t f ( ) + b g( ) 0 for lle g( ) for lle f ( ) b g( ) ( f ( ) ) 0 for lle f ( ) g ( ) f ( ) g( ) 0 for lle f ( ) W( f, g)( ) 0 f ( ) for lle W( f, g)( ) 0 for lle. (Her ntog vi, t b 0. Men beviset kn lligevel gennemføres, hvis b 0, for i så fld er 0, og vi kn differentiere f ( ) g( ) ). Vi kn nu vende tilbge til differentilligningen fr før: 35

37 Sætning 5 Ld f og g begge være løsninger til differentilligningen K Så er deres Wronski-determinnt en konstnt funktion: W( f, g)( ) c Bevis: Idet både f og g er løsninger til differentilligningen, så gælder f ( ) K f ( ) og g ( ) K g( ). For t bevise, t Wronski-determinnten er en konstnt, så differentierer vi den og får 0: W( f, g) ( ) ( f ( ) g ( ) f ( ) g( )) ( f ( ) g ( )) ( f ( ) g( )) f ( ) g ( ) + f ( ) g ( ) f ( ) g( ) f ( ) g ( ) f ( ) g ( ) f ( ) g( ) f ( ) K g( ) K f ( ) g( ) 0 Vi vil nu bevise, t differentilligningen K kn løses ved blot t finde to lineært ufhængige løsninger: Sætning 6 Ld f og g være to lineært ufhængige løsninger til K Ld endvidere h være en løsning. D er h en linerkombintion f f og g, dvs. der findes konstnter c og c, således t der for lle gælder h( ) c f ( ) + c g( ) Bevis: Ifølge sætning 5 er lle tre nedenstående Wronski-determinnter 36

38 W( f, g) W( f, h) og W( g, h) konstnter. Vi glemmer derfor, t de fktisk er funktioner og opftter dem som tl. Idet f og g er lineært ufhængige, fortæller sætning 4 os, t W( f, g) 0. Vi hr fr udtrkket for Wronski-determinnten følgende to ligninger f ( ) h ( ) f ( ) h( ) W( f, h) g( ) h ( ) g ( ) h( ) W( g, h) Vi vil opftte det som et ligningssstem med to ubekendte, nemlig h( ) og h ( ), og vi vil løse dette sstem for h( ). For t gøre dette gnger vi den første ligning med g( ) og den nden ligning med f ( ) og subtrherer derefter de to ligninger: f ( ) h ( ) f ( ) h( ) W( f, h) g( ) h ( ) g ( ) h( ) W( g, h) f ( ) h ( ) g( ) f ( ) h( ) g( ) W( f, h) g( ) g( ) h ( ) f ( ) g ( ) h( ) f ( ) W( g, h) f ( ) f ( ) h( ) g( ) + g ( ) h( ) f ( ) W( f, h) g( ) W( g, h) f ( ) h( )( f ( ) g ( ) f ( ) g( )) W ( f, h) g( ) W ( g, h) f ( ) h( ) W( f, g) W( g, h) f ( ) + W( f, h) g( ) (Husk, t W( f, g) 0). h ( W g h ) (, ) W f g f W( f, h) ( ) + (, ) W( f, g) g ( ) Sætter vi nu W( g, h) c W( f, g) og c W( f, h) W( f, g) så hr vi fktisk bevist sætningen. For t bevise hovedsætningen - sætning 0 - mngler vi blot t finde nogle lineært ufhængige løsninger til de to tper differentilligninger: 37

Potens- sammenhænge. inkl. proportionale og omvendt proportionale variable. 2010 Karsten Juul

Potens- sammenhænge. inkl. proportionale og omvendt proportionale variable. 2010 Karsten Juul Potens- smmenhænge inkl. proportionle og omvendt proportionle vrible 010 Krsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse f hæftet "Eksponentielle smmenhænge, udgve ". Indhold 1. Hvd er en potenssmmenhæng?...1.

Læs mere

Eksponentielle Sammenhænge

Eksponentielle Sammenhænge Kort om Eksponentielle Smmenhænge 011 Krsten Juul Dette hæfte indeholder pensum i eksponentielle smmenhænge for gymnsiet og hf. Indhold 1. Procenter på en ny måde... 1. Hvd er en eksponentiel smmenhæng?....

Læs mere

Fælles for disse typer af funktioner er, at de som grundfunktion indeholder varianter af udtrykket x a.

Fælles for disse typer af funktioner er, at de som grundfunktion indeholder varianter af udtrykket x a. 5. FORSKRIFT FOR EN POTENSFUNKTION Vi hr i vores gennemgng f de forskellige funktionstper llerede være inde på udtrk, som indeholder forskellige potenser f I dette kpitel skl vi se på forskellige tper

Læs mere

gudmandsen.net y = b x a Illustration 1: potensfunktioner i 5 forskellige grupper

gudmandsen.net y = b x a Illustration 1: potensfunktioner i 5 forskellige grupper gudmndsen.net Dette dokument er publiceret på http://www.gudmndsen.net/res/mt_vejl/. Ophvsret: Indholdet stilles til rådighed under Open Content License[http://opencontent.org/openpub/]. Kopiering, distribution

Læs mere

Diverse. Ib Michelsen

Diverse. Ib Michelsen Diverse Ib Michelsen Ikst 2008 Forsidebilledet http://www.smtid.dk/visen/billede.php?billedenr69 Version: 0.02 (2-1-2009) Diverse (Denne side er A-2 f 32 sider) Indholdsfortegnelse Regning med procent

Læs mere

Spil- og beslutningsteori

Spil- og beslutningsteori Spil- og eslutningsteori Peter Hrremoës Niels Brock 26. novemer 2 Beslutningsteori De økonomiske optimeringssitutioner, vi hr set på hidtil, hr været helt deterministiske. Det vil sige t vores gevinst

Læs mere

3. Vilkårlige trekanter

3. Vilkårlige trekanter 3. Vilkårlige treknter 3. Vilkårlige treknter I dette fsnit vil vi beskæftige os med treknter, der ikke nødvendigvis er retvinklede. De formler, der er omtlt i fsnittet om retvinklede treknter, kn ikke

Læs mere

Potens regression med TI-Nspire

Potens regression med TI-Nspire Potensvækst og modellering - Mt-B/A 2.b 2007-08 Potens regression med TI-Nspire Vi tger her udgngspunkt i et eksempel med tovværk, hvor mn får oplyst en tbel over smmenhængen mellem dimeteren (xdt) i millimeter

Læs mere

Michel Mandix (2010) INDHOLDSFORTEGNELSE:... 2 EN TREKANTS VINKELSUM... 3 PYTHAGORAS LÆRESÆTNING... 4 SINUSRELATIONERNE... 4 COSINUSRELATIONERNE...

Michel Mandix (2010) INDHOLDSFORTEGNELSE:... 2 EN TREKANTS VINKELSUM... 3 PYTHAGORAS LÆRESÆTNING... 4 SINUSRELATIONERNE... 4 COSINUSRELATIONERNE... MATEMATIK NOTAT MATEMATISKE EVISER AF: CAND. POLYT. MICHEL MANDIX SIDSTE REVISION: FERUAR 04 Michel Mndi (00) Side f 35 Indholdsfortegnelse: INDHOLDSFORTEGNELSE:... EN TREKANTS VINKELSUM... 3 PYTHAGORAS

Læs mere

UGESEDDEL 52. . Dette gøres nedenfor: > a LC

UGESEDDEL 52. . Dette gøres nedenfor: > a LC UGESEDDE 52 Opgve 1 Denne opgve er et mtemtisk eksempel på Ricrdo s én-fktor model, der præsenteres i Krugmn & Obstfeld kpitel 2 side 12-19. Denne model beskriver hndel som et udslg f komprtive fordele

Læs mere

Kompendium. Matematik HF C niveau. Frederiksberg HF Kursus. Lars Bronée 2014

Kompendium. Matematik HF C niveau. Frederiksberg HF Kursus. Lars Bronée 2014 Kompendium Mtemtik HF C niveu π Frederiksberg HF Kursus Lrs Bronée 04 Mil: post@lrsbronee.dk Web: www.lrsbronee.dk Indholdsfortegnelse: Forord Det grundlæggende Ligningsløsning 8 Procentregning Rentesregning

Læs mere

TAL OG BOGSTAVREGNING

TAL OG BOGSTAVREGNING TAL OG BOGSTAVREGNING De elementære regnerter I mtemtik kn vi regne med tl, men vi kn også regne med bogstver, som gør det hele en smugle mere bstrkt. Først skl vi se lidt på de fire elementære regnerter,

Læs mere

Integralregning. 2. del. 2006 Karsten Juul

Integralregning. 2. del. 2006 Karsten Juul Integrlregning del ( ( 6 Krsten Juul Indhold 6 Uestemt integrl8 6 Sætning om eksistens stmunktioner 8 6 Oplæg til "regneregler or integrl"8 6 Regneregler or uestemt integrl 9 68 Foreredelse til "integrtion

Læs mere

Differentialregning. integralregning

Differentialregning. integralregning Differentilregning og integrlregning Ib Micelsen Ikst 013 Indoldsfortegnelse Tegneøvelser...3 Introduktion... Definition f differentilkvotient og tngent...6 Tngentældninger...7 Den fledte funktion...7

Læs mere

Regneregler. 1. Simple regler for regning med tal.

Regneregler. 1. Simple regler for regning med tal. Regneregler. Simple regler for regning med tl. Vi rejder l.. med følgende fire regningsrter: plus (), minus ( ), gnge () og dividere (: eller røkstreg, se senere), eller med fremmedord : ddition, sutrktion,

Læs mere

Regneregler for brøker og potenser

Regneregler for brøker og potenser Regneregler for røker og potenser Roert Josen 4. ugust 009 Indhold Brøker. Eksempler......................................... Potenser 7. Eksempler......................................... 8 I de to fsnit

Læs mere

Trigonometri. Trigonometri. Sinus og cosinus... 2 Tangens... 6 Opgaver... 9. Side 1

Trigonometri. Trigonometri. Sinus og cosinus... 2 Tangens... 6 Opgaver... 9. Side 1 Trigonometri Sinus og osinus... 2 Tngens... 6 Opgver... 9 Side Sinus og osinus Til lle vinkler hører der to tl, som kldes osinus og sinus. Mn finder sinus og osinus til en vinkel ved t tegne vinklen midt

Læs mere

hvor A er de ydre kræfters arbejde på systemet og Q er varmen tilført fra omgivelserne til systemet.

hvor A er de ydre kræfters arbejde på systemet og Q er varmen tilført fra omgivelserne til systemet. !#" $ "&% (')"&*,+.-&/102%435"&6,+879$ *1')*&: or et system, hvor kun den termiske energi ændres, vil tilvæksten E term i den termiske energi være: E term A + Q hvor A er de ydre kræfters rbejde på systemet

Læs mere

Integralregning. Erik Vestergaard

Integralregning. Erik Vestergaard Integrlregning Erik Vestergrd Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk Erik Vestergrd, Hderslev 4 Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse. Indledning 4. Stmfunktioner 4. Smmenhængen

Læs mere

Trigonometri. Matematik A niveau

Trigonometri. Matematik A niveau Trigonometri Mtemtik A niveu Arhus Teh EUX Niels Junge Trigonometri Sinus Cosinus Tngens Her er definitionen for Cosinus Sinus og Tngens Mn kn sige t osinus er den projierede på x-ksen og sinus er den

Læs mere

Analyse 30. januar 2015

Analyse 30. januar 2015 30. jnur 2015 Større dnsk indkomstulighed skyldes i høj grd stigende kpitlindkomster Af Kristin Thor Jkosen Udgivelsen f Thoms Pikettys Kpitlen i det 21. århundrede hr fstedkommet en del diskussion f de

Læs mere

(a k cos kx + b k sin kx) k=1. cos θk = sin θ 1 ak. , b k. k=1

(a k cos kx + b k sin kx) k=1. cos θk = sin θ 1 ak. , b k. k=1 SEKTION 7 FOURIERANALYSE 7 Fouriernlyse Periodiske funktioner er vigtige i mnge smmenhænge, både videnskbeligt og teknisk Vi vil normlisere, så ntger, t perioden er π Disse funktioner er bedst nlyseret

Læs mere

TAL OG REGNEREGLER. Vi ser nu på opbygningen af et legeme og noterer os samtidig, at de reelle tal velkendte regneoperationer + og er et legeme.

TAL OG REGNEREGLER. Vi ser nu på opbygningen af et legeme og noterer os samtidig, at de reelle tal velkendte regneoperationer + og er et legeme. TAL OG REGNEREGLER Inden for lgeren hr mn indført egreet legeme. Et legeme er en slgs konstruktion, hvor mn fstsætter to regneregler og nogle sætninger (ksiomer), der gælder for disse. Pointen med en sådn

Læs mere

Hvad ved du om mobning?

Hvad ved du om mobning? TEST: Hvd ved du om moning? I testen her kn du fprøve, hvor meget du ved om moning på rejdspldsen. Testen estår f tre dele: Selve testen, hvor du skl sætte ét kryds for hvert f de ti spørgsmål. Et hurtigt

Læs mere

Gymnasie-Matematik. Søren Toftegaard Olsen

Gymnasie-Matematik. Søren Toftegaard Olsen Gmnsie-Mtemtik Søren Toftegrd Olsen Søren Toftegrd Olsen Skovvænget 6-B 7080 Børkop Gmnsie-Mtemtik. udgve, revision 0 ISBN 978-87-99996-0-0 VIGTIGT: Denne og må ikke sælges eller ændres; men kn frit kopieres.

Læs mere

Matematik. Kompendium i faget. Tømrerafdelingen. 1. Hovedforløb. a 2 = b 2 + c 2 2 b c cos A. cos A = b 2 + c 2 - a 2 2 b c

Matematik. Kompendium i faget. Tømrerafdelingen. 1. Hovedforløb. a 2 = b 2 + c 2 2 b c cos A. cos A = b 2 + c 2 - a 2 2 b c Kompendium i fget Mtemtik Tømrerfdelingen 1. Hovedforlø. Trigonometri nvendes til eregning f snd længde og snd vinkel i profiler. Sinus Cosinus Tngens 2 2 + 2 2 os A os A 2 + 2-2 2 Svendorg Erhvervsskole

Læs mere

Mat1GB Minilex. Henrik Dahl, Hold 8. 29. maj 2003. 1 Definitioner 2

Mat1GB Minilex. Henrik Dahl, Hold 8. 29. maj 2003. 1 Definitioner 2 Mt1GB Minilex Henrik Dhl, Hold 8 29. mj 2003 Indhold 1 Definitioner 2 2 Sætninger m.v. 18 2.1 Begrænsethed, åben/lukket..................... 18 2.2 Differentition............................ 18 2.3 Differentilligninger.........................

Læs mere

Elementær Matematik. Algebra Analytisk geometri Trigonometri Funktioner

Elementær Matematik. Algebra Analytisk geometri Trigonometri Funktioner Elementær Mtemtik Alger Anlytisk geometri Trigonometri Funktioner Ole Witt-Hnsen Køge Gymnsium 0 Indhold Indhold... Kp. Tl og regning med tl.... De nturlige tl.... Regneregler for nturlige tl.... Kvdrtsætningerne.....

Læs mere

Matematik - introduktion. Martin Lauesen February 23, 2011

Matematik - introduktion. Martin Lauesen February 23, 2011 Mtemtik - introduktion Mrtin Luesen Februry 23, 2011 1 Contents 1 Aritmetik og elementær lgebr 3 1.1 Symboler............................... 3 1.1.1 ligheder............................ 4 1.1.2 uligheder...........................

Læs mere

Opstakning og afstakning, fremadregning og tilbageregning

Opstakning og afstakning, fremadregning og tilbageregning 1 Opstkning og fstkning, fremdregning og tilgeregning 1.1 Fremdregning og tilgeregning...2 1.2 Æskeregning...2 1.3 Høseringe-regning, indkodning og fkodning...3 1.4 Vndret tilgeregning, t dnse en ligning...3

Læs mere

MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX)

MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX) Silkeorg -0- MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX) FACITLISTE Udrejdet f mtemtiklærere fr HF, HHX, HTX & STX. PS: Hvis du opdger

Læs mere

Den grønne kontakt til dine kunder. Kontakt med omtanke for miljø og økonomi

Den grønne kontakt til dine kunder. Kontakt med omtanke for miljø og økonomi Den grønne kontkt til dine kunder Kontkt med omtnke for miljø og økonomi 2 En fbryder der slukker lt, og en stikkontkt der reducerer stndby forbruget Energy Efficiency Energieffektivitet hndler ikke kun

Læs mere

BIH FOREBYGGELSE AF REVNER. Notat. Vejledningen omfatter: Konstruktive forhold...side 3-6. Svind i letbeton og beton...side 7. Udtørring...

BIH FOREBYGGELSE AF REVNER. Notat. Vejledningen omfatter: Konstruktive forhold...side 3-6. Svind i letbeton og beton...side 7. Udtørring... Nott FOREBYGGELSE AF REVNER Vejledningen omftter: Konstruktive forhold...side 3-6 Svind i letbeton og beton...side 7 Udtørring...side 8-9 Fugtmåling...side 10 Mlerbehndling...side 11 Fliseopsætning...side

Læs mere

ICF - DEN DANSKE VEJLEDNING OG EKSEMPLER FRA PRAKSIS

ICF - DEN DANSKE VEJLEDNING OG EKSEMPLER FRA PRAKSIS ICF - DEN DANSKE VEJLEDNING OG EKSEMPLER FRA PRAKSIS INTERNATIONAL KLASSIFIKATION AF FUNKTIONSEVNE, FUNKTIONSEVNENEDSÆTTELSE OG HELBREDSTILSTAND Udrbejdet f MrselisborgCentret, 2005 En spørgeskemundersøgelse

Læs mere

Den grønne kontakt til dine kunder Kontakt med omtanke for miljø og økonomi

Den grønne kontakt til dine kunder Kontakt med omtanke for miljø og økonomi Den grønne kontkt til dine kunder Kontkt med omtnke for miljø og økonomi Stort energi- og stndby forbrug? En fbryder der slukker lt, og en stikkontkt der reducerer stndby forbruget Sluk for det hele......

Læs mere

Bogstavregning. En indledning for stx og hf 2. del. 2008 Karsten Juul

Bogstavregning. En indledning for stx og hf 2. del. 2008 Karsten Juul Bogstvregning En indledning for st og f. del 008 Krsten Juul ) )( ( ) ( ) ( Indold 0. Gnge to prenteser....,, osv... 7. Kvdrtsætninger... 0. Brøer. del... Bogstvregning. En indledning for st og f.. del.

Læs mere

Kort om. Potenssammenhænge. 2011 Karsten Juul

Kort om. Potenssammenhænge. 2011 Karsten Juul Kot om Potenssmmenhænge 011 Ksten Juul Dette hæfte indeholde pensum i potenssmmenhænge, heunde popotionle og omvendt popotionle vible, fo gymnsiet og hf. Indhold 1. Ligning og gf fo potenssmmenhænge...

Læs mere

FORMELSAMLING. Indholdsfortegnelse

FORMELSAMLING. Indholdsfortegnelse FOMELSAMLNG ndholdsfortegnelse ndholdsfortegnelse... EL-LÆE...3 Ohm s lov:...3 Effekt lov:...3 egler ved måling:...3 egler ved serieforbindelser:...3 egler ved prllelforbindelser:...4 egler ved blndede

Læs mere

Den europæiske købekraftsundersøgelse - PPP

Den europæiske købekraftsundersøgelse - PPP Den europæiske køekrftsundersøgelse - PPP Den europæiske køekrftsundersøgelse - PPP... 2 1.Bggrund... 2 2.Køekrftpritet hvd er det?... 2 3.Formål og orgnistion... 3 4.Brugere og nvendelsesområder... 3

Læs mere

DANSK ARBEJDER IDRÆTSFORBUND. Cross Boule

DANSK ARBEJDER IDRÆTSFORBUND. Cross Boule DANSK ARBEJDER IDRÆTSFORBUND Cross Boule 1 Forord Cross Boule når som helst og hvor som helst Dnsk Arejder Idrætsforund er glde for t kunne præsentere Cross Boule - et oldspil, hvor lle kn være med. Spillet

Læs mere

DEN NY VERDEN vol. 37, nr. 1 International handel og vandel - WTO fra Marrakesh til Cancún

DEN NY VERDEN vol. 37, nr. 1 International handel og vandel - WTO fra Marrakesh til Cancún Interntionl hndel og vndel - WTO fr Mrrkesh til Cncún DIIS - Københvn - 2004 1 Efter gennemførelsen f ftlen om tekstil og beklædning (ATC) Fr MFA til ATC Beklædningsindustrien hr spillet en fgørende rolle

Læs mere

Komplekse tal Matematik og naturfag i verdensklasse, 2004. Komplekse tal

Komplekse tal Matematik og naturfag i verdensklasse, 2004. Komplekse tal Komplekse tl Mtemtik og turfg i verdesklsse, 004 Komplekse tl Dette mterile er ereget til udervisig i mtemtik i gymsiet. Der forudsættes kedsk til løsig f degrdsligiger, trigoometri og e lille smule vektorregig.

Læs mere

RS-216 RS-224 RS-232 ERHVERVS TYVERI ALARMER

RS-216 RS-224 RS-232 ERHVERVS TYVERI ALARMER RS-216 RS-224 RS-232 ERHVERVS TYVERI ALARMER Brugervejledning RS-216 - AIA kl. 1 RS-224 - AIA kl. 2 RS-232 - AIA kl. 3 Indholdsortegnelse INDHOLDSFORTEGNELSE...2 1. INTRODUKTION...3 1. System oversigt:...3

Læs mere

-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1

-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1 En funktion beskriver en sammenhæng mellem elementer fra to mængder - en definitionsmængde = Dm(f) består af -værdier og en værdimængde = Vm(f) består af -værdier. Til hvert element i Dm(f) knttes netop

Læs mere

Projektstyring. Dag 5

Projektstyring. Dag 5 Akdemifget Projektstyring Dg 5 m/u PRINCE2 Foundtion certificering i smrbejde med PRINCE2 is Registered Trde Mrk of the Office of Government Commerce in the United Kingdom nd other countries. Humn fctor

Læs mere

Pleje af fugtige vedvarende græsarealer ved kombination af græssende kvæg og maskiner Hvad sker der med planterne?

Pleje af fugtige vedvarende græsarealer ved kombination af græssende kvæg og maskiner Hvad sker der med planterne? Pleje f fugtige vedvrende græsreler ved komintion f græssende kvæg og mskiner Hvd sker der med plnterne? Liseth Nielsen og Ann Bodil Hld, Ntur & Lndrug ApS www.ntln.dk I det følgende eskrives: Opsummering

Læs mere

Ekstraktion af spektre og chromatogrammer vha. kemometriske teknikker

Ekstraktion af spektre og chromatogrammer vha. kemometriske teknikker Ekstrktion f spektre og chromtogrmmer vh kemometriske teknikker Nogle kemometriske teknikker til seprtion f spektre og chromtogrmmer er undersøgt mhp utomtisering f dtehndlingen f NMR-chromtogrmmer Teknikkerne

Læs mere

Matematisk formelsamling til A-niveau - i forsøget med netadgang til skriftlig eksamen 1

Matematisk formelsamling til A-niveau - i forsøget med netadgang til skriftlig eksamen 1 Mtemtisk fomelsmling til A-niveu - i fosøget med netdgng til skiftlig eksmen Food Mtemtisk fomelsmling til A-niveu e udejdet fo t give et smlet ovelik ove de fomle og det symolspog, de knytte sig til kenestoffet

Læs mere

VIESMANN. VITOPLEX 100-LS Lavtryksdampkedel Dampydelse 0,26 til 2,2 t/h Nominel varmeydelse 170 til 1450 kw. Datablad. VITOPLEX 100-LS Type SXD

VIESMANN. VITOPLEX 100-LS Lavtryksdampkedel Dampydelse 0,26 til 2,2 t/h Nominel varmeydelse 170 til 1450 kw. Datablad. VITOPLEX 100-LS Type SXD VIESMANN VITOPLEX 100-LS Lvtryksdmpkedel Dmpydelse 0,26 til 2,2 t/h Nominel vrmeydelse 170 til 1450 kw Dtbld Best.nr.: se prislisten, priser oplyses på forespørgsel VITOPLEX 100-LS Type SXD Olie-/gs-tretrækskedel

Læs mere

RAPPORT FOR OPFYLDELSE AF MÅL I FORSVARSMINISTERIETS KLIMA- OG ENERGI-STRATEGI SAMT MILJØ- OG NATURSTRATEGI

RAPPORT FOR OPFYLDELSE AF MÅL I FORSVARSMINISTERIETS KLIMA- OG ENERGI-STRATEGI SAMT MILJØ- OG NATURSTRATEGI 2013 RAPPORT FOR OPFYLDELSE AF MÅL I FORSVARSMINISTERIETS KLIMA- OG ENERGI-STRATEGI SAMT MILJØ- OG NATURSTRATEGI INDHOLDSFORTEGNELSE 02 Indholdsfortegnelse 03 Indledning 04 Resumé 04 Oversigt over målopfyldelse

Læs mere

Kapitel 1. Planintegraler

Kapitel 1. Planintegraler Kapitel Planintegraler Denne tekst er en omarbejdet version af kapitel 7 i Gunnar Mohrs noter til faget DiploMat 2, og opgaverne er et lille udpluk af opgaver fra Mogens Oddershede Larsens bog Matematik

Læs mere

Tlf.: 96 17 02 02 info@artof.dk www.artof.dk

Tlf.: 96 17 02 02 info@artof.dk www.artof.dk Vielsesringe Designer og guldsmed Jn Jørgensen Siden 1995 hr Jn Jørgensen hft egen virksomhed, hvor nturen i det rske og åne Nordjyllnd hr givet inspirtion til det meste f designet. Smykker i de ædleste

Læs mere

AIRCONDITIONANLÆG Til almindelig brug

AIRCONDITIONANLÆG Til almindelig brug OWNER S MANUAL BRUGERVEJLEDNING AIRCONDITIONANLÆG Til lmindelig brug (SPLIT TYPE) DANSK DN Indendørs enhed RAS-07PKVP-E RAS-10PKVP-E RAS-13PKVP-E RAS-16PKVP-E RAS-18PKVP-E RAS-07PKVP-ND RAS-10PKVP-ND RAS-13PKVP-ND

Læs mere

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk 3 Lineære funktioner En vigtig type funktioner at studere er de såkaldte lineære funktioner. Vi skal udlede en række egenskaber

Læs mere

netsikker nu! Alder ingen hindring

netsikker nu! Alder ingen hindring netsikker nu! O k t o e r 2 0 0 7 Alder ingen hindring Flere og flere seniorer tger internettet til sig. De hr nemlig opdget, t internettet yder på et utl f muligheder. Derfor sætter denne udgve f netsikker

Læs mere

Lineære funktioner. Erik Vestergaard

Lineære funktioner. Erik Vestergaard Lineære funktioner Erik Vestergaard Erik Vestergaard www.matematikfsik.dk Erik Vestergaard www.matematikfsik.dk Lineære funktioner En vigtig tpe funktioner at studere er de såkaldte lineære funktioner.

Læs mere

Grundlæggende matematiske begreber del 1 Mængdelære Talmængder Tal og regneregler Potensregneregler Numerisk værdi Gennemsnit

Grundlæggende matematiske begreber del 1 Mængdelære Talmængder Tal og regneregler Potensregneregler Numerisk værdi Gennemsnit Grudlæggede mtemtiske begreber del 1 Mægdelære Tlmægder Tl og regeregler Potesregeregler Numerisk værdi Geemsit x-klssere Gmmel Hellerup Gymsium 1 Idholdsfortegelse MÆNGDELÆRE... 3 TAL... 9 De turlige

Læs mere

Retningslinier for udarbejdelse af dokumentation til brug for registrering efter bilag 8 i registreringsbekendtgørelsen 1

Retningslinier for udarbejdelse af dokumentation til brug for registrering efter bilag 8 i registreringsbekendtgørelsen 1 for udrejdelse f dokumenttion til rug for registrering efter ilg 8 i registreringsekendtgørelsen 1 Af nedenstående skemer fremgår, hvilke oplysninger Plntedirektortet hr rug for ved vurdering f, om virksomheden

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin December/januar 14/15 Institution VUC Vestegnen Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold stx Mat A Karin Hansen

Læs mere

Differential- regning

Differential- regning Differential- regning del () f () m l () 6 Karsten Juul Indhold Tretrinsreglen 59 Formler for differentialkvotienter64 Regneregler for differentialkvotienter67 Differentialkvotient af sammensat funktion7

Læs mere

Brug og anerkendelse af dansksprogede dokumenter ved forvaltningsmyndigheder og domstole

Brug og anerkendelse af dansksprogede dokumenter ved forvaltningsmyndigheder og domstole Jørgen Kühl Brug og nerkendelse f dnsksprogede dokumenter ved forvltningsmyndigheder og domstole Bggrund Det dnske mindretl i Sydslesvig er et nerkendt ntionlt mindretl i Forundsrepulikken Tysklnd og Slesvig-Holsten.

Læs mere

Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec.

Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. 1 Komplekse vektorrum I defininitionen af vektorrum i Afsnit 4.1 i Niels Vigand Pedersen Lineær Algebra

Læs mere

Lektion 13 Homogene lineære differentialligningssystemer

Lektion 13 Homogene lineære differentialligningssystemer Lektion 13 Lineære differentialligningssystemer Homogene lineære differentialligningssystemer med konstante koefficienter Inhomogene systemer To-kammer modeller Lotka Volterra (ikke lineært) 1 To-kammer

Læs mere

Kap 1. Procent og Rentesregning

Kap 1. Procent og Rentesregning Idhold Kp. Procet og Retesregig.... Regig med proceter.... Reteformle.... Geemsitlig retefod (vækstrte)... Kp Opsprigs- og gældsuiteter...5. Auiteter...5. Sumformel for e kvotietrække...5. Opsprigsuitet...6.

Læs mere

japm MEl) l'nderstottelse AF DEN HJELMSTJERNE-ROSENKRONESKE STIFTELSE.

japm MEl) l'nderstottelse AF DEN HJELMSTJERNE-ROSENKRONESKE STIFTELSE. LIBER CENSUS DANIÆ. KONG VALDEMAR DEN ANDENS JORDEBOG, UDGIVET OG OPLYST AK O. NIELSEN, Rr. phil, Arkivr. japm MEl) l'nderstottelse AF DEN HJELMSTJERNE-ROSENKRONESKE STIFTELSE. KUBEN RAVN. C). E. C. G

Læs mere

KIRKEBLAD. Der. var en. 14. oktober 1917-14. oktober 2007. Gud Faders Ånd! Kom til os ned med himlens ild: Guds kærlighed!

KIRKEBLAD. Der. var en. 14. oktober 1917-14. oktober 2007. Gud Faders Ånd! Kom til os ned med himlens ild: Guds kærlighed! Der KIRKEBLAD vr en FOR KJELLERUP OG OMEGNS VALGMENIGHED Nummer,sfnældksfn123k39843948 3 September 2007 22. Årgng 14. oktober 1917-14. oktober 2007 Gud Fders Ånd! Kom til os ned med himlens ild: Guds kærlighed!

Læs mere

Eksponentielle sammenhænge

Eksponentielle sammenhænge Eksponentielle sammenhænge 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Indholdsfortegnelse Variabel-sammenhænge... 1 1. Hvad er en eksponentiel sammenhæng?... 2 2. Forklaring med ord af eksponentiel vækst... 2, 6

Læs mere

maskinen ud og kontroller alle de medfølgende dele

maskinen ud og kontroller alle de medfølgende dele Hurtig instlltionsvejledning Strt her HL-2135W / (Kun EU) HL-2270DW Før du første gng tger denne mskine i rug, skl du læse denne Hurtig instlltionsvejledning, så du kn opsætte og instllere din mskine.

Læs mere

Forfatterhåndbog. 72214_forfatterhaand_3k.indd 1 20-06-2008 08:15:17

Forfatterhåndbog. 72214_forfatterhaand_3k.indd 1 20-06-2008 08:15:17 Forftterhåndbog 72214_forftterhnd_3k.indd 1 20-06-2008 08:15:17 Er mnuskriptet klr til indlevering? Alle niveuer i teksten er mrkeret klrt med smme skriftstørrelse og skrifttype for hvert niveu. Evt. tl-

Læs mere

Symboler Anvendt i Denne Vejledning

Symboler Anvendt i Denne Vejledning Brugerhåndbog Symboler Anvendt i Denne Vejledning Sikkerhedssymboler Dokumenttionen og projektoren bruger grfiske symboler til t vise, hvordn projektoren bruges på en sikker måde. Symbolerne og deres betydning

Læs mere

abc Resultat af foranalysen vedrørende en reduktion af den danske stats aktiepost i Post Danmark A/S

abc Resultat af foranalysen vedrørende en reduktion af den danske stats aktiepost i Post Danmark A/S bc Resultt f fornlysen vedrørende en reduktion f den dnske stts ktiepost i Post Dnmrk A/S Mj 2003 Vigtigt Oplysningerne i dette dokument er uddrg fr eller bseret på oplysninger, som NM Rothschild & Sons

Læs mere

Bogstavregning - supplerende eksempler. Reduktion... 54 b Ligninger... 54 d

Bogstavregning - supplerende eksempler. Reduktion... 54 b Ligninger... 54 d Mtetik på AVU Eksepler til iveu F, E og D Bogstvregig - supplerede eksepler Reduktio... Ligiger... d Bogstvregig Side Mtetik på AVU Eksepler til iveu F, E og D Reduktio M gger to preteser ed hide ved -

Læs mere

SLRTV Beretning 2004. Dagsorden..side 2. Forslag til forretningsorden...side 3. Politisk beretning...side 4

SLRTV Beretning 2004. Dagsorden..side 2. Forslag til forretningsorden...side 3. Politisk beretning...side 4 Indhold Dgsorden..side 2 Forslg til forretningsorden...side 3 Politisk eretning...side 4 - Lex Osen og dens konsekvenser...side 4 - De ikke-kommercielle medier konference..side 10 - Forstærket smrejde...side

Læs mere

gratis magasin Opskrifter på lækker og hurtig mad Friske frosne grøntsager & frugt hele året rundt n u m m e r 01 / 2 012

gratis magasin Opskrifter på lækker og hurtig mad Friske frosne grøntsager & frugt hele året rundt n u m m e r 01 / 2 012 minus 18 grtis mgsin o Opskrifter på lækker og hurtig md Friske frosne grøntsger & frugt hele året rundt n u m m e r 01 / 2 012 En frisk verden på frost 2 Let middgsmden med frosne grøntsger Md med mnge

Læs mere

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller Matematiske vækstmodeller I matematik undersøger man ofte variables afhængighed af hinanden. Her ser man, at samme type af sammenhænge tit forekommer inden for en lang række forskellige områder. I kapitel

Læs mere

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring mat.dk Differentialregning Dennis Pipenbring 0. december 00 Indold Differentialregning 3. Grænseværdi............................. 3. Kontinuitet.............................. 8 Differentialkvotienten

Læs mere

SPAM 7. netsikker nu!

SPAM 7. netsikker nu! netsikker nu! Mj 2006 Test dig selv Hvor sikker er du på nettet? Tg testen på gsiden og se, hvor højt du sorer, når du går i krig med spim, spm og psswords. 16 Bliv online med dine ørn Hvorfor styrer kvinder

Læs mere

Èn samlet leasingløsning

Èn samlet leasingløsning Vi smler din håndtering f IT Vi hr kombineret vores kompetencer med hrdwre og softwre således, t du kun skl bruge et enkelt telefonnummer når du skl hve styr på din IT. For et fst beløb pr. måned kn du

Læs mere

Differentiation af potensfunktioner

Differentiation af potensfunktioner Hvd er mtemti? B, i-bog ISBN 978 87 766 494 3 Hjemmesideevisig: Differetitio f potesfutioer, Kpitel 4, side 76 Differetitio f potesfutioer. Pscls tret og biomilformle Vi strter med t mide om t poteser

Læs mere

Matricer og lineære ligningssystemer

Matricer og lineære ligningssystemer Matricer og lineære ligningssystemer Grete Ridder Ebbesen Virum Gymnasium Indhold 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber 1 Regning med matricer 3 13 Kvadratiske matricer og determinant 9 14 Invers matrix

Læs mere

Peter Harremoës Matematik A med hjælpemidler 16. december 2013. M = S 1 + a = a + b a b a = b 1. b 1 a = b 1. a = b 1. b 1 a = b

Peter Harremoës Matematik A med hjælpemidler 16. december 2013. M = S 1 + a = a + b a b a = b 1. b 1 a = b 1. a = b 1. b 1 a = b stk. Peter Harremoës Matematik A med hjælpemidler 16. december 2013 Opagve 6 Variables a isoleres: M = S 1 + a = a + b b a b a = b 1 ( ) 1 b 1 a = b 1 a = b 1 1 b 1 a = b Hvis b = 1, så gælder ligningen

Læs mere

matx.dk Enkle modeller

matx.dk Enkle modeller matx.dk Enkle modeller Dennis Pipenbring 28. juni 2011 Indhold 1 Indledning 4 2 Funktionsbegrebet 4 3 Lineære funktioner 8 3.1 Bestemmelse af funktionsværdien................. 9 3.2 Grafen for en lineær

Læs mere

Differentialligninger af første orden

Differentialligninger af første orden Differentialligninger af første orden Preben Alsholm Februar 2006 Basale begreber. Eksistens og entydighed. En differentialligning af første orden er en ligning, der sammenknytter differentialkvotienten

Læs mere

Induktive, fotoceller, kapacitive og ultralydssensorer

Induktive, fotoceller, kapacitive og ultralydssensorer Induktive, fotoceller, kpcitive og ultrlydssensorer HOVEDKATALOG NEW Op til 500 br induktive følere med lng tstefstnd til højtryksinstlltioner (series 500P) Op til 500 br induktive følere i miniture byggeform

Læs mere

LQ hl&itqi,ie. AlaN(JHaqs.en 19.ÅRGANG. Så er det tid til betaling af kontingent.

LQ hl&itqi,ie. AlaN(JHaqs.en 19.ÅRGANG. Så er det tid til betaling af kontingent. Reserveret Post nmrk Så er det tid til betling f kontingent. Hvidovre LQ hl&itqi,ie 19.ÅRGANG AlN(JHqs.en A ') te1re rt EBRUAR 21 265 Hvidovre Medlemmerne hr i læsende stund fået tilsendt opkrævningen.

Læs mere

Kapitel 2 Tal og variable

Kapitel 2 Tal og variable Tal og variable Uden tal ingen matematik - matematik handler om tal og anvendelse af tal. Matematik beskæftiger sig ikke udelukkende med konkrete problemer fra andre fag, og de konkrete tal fra andre fagområder

Læs mere

ffi' Røg- og varmealarm Betjen ingsvejled n ing

ffi' Røg- og varmealarm Betjen ingsvejled n ing %«ide Fyrnetics ffi' Røg- g vrmelrm Betjen ingsvejled n ing z3 VAC netdrevne lrmer med mutighed fr smmenkbling, mde[: 2SF23l9Ht, 2SF23l9 H I R, 2S F23l9H I RE, 35F23/9H1, 35F23/9HlR s 35F23/9HlRE Alrmer

Læs mere

Pythagoras sætning. I denne note skal vi give tre forskellige beviser for Pythagoras sætning:

Pythagoras sætning. I denne note skal vi give tre forskellige beviser for Pythagoras sætning: Pythgors sætning I denne note skl i gie tre forskellige eiser for Pythgors sætning: Pythgors sætning I en retinklet treknt, hor den rette inkel etegnes med, gælder: + = eis 1 Ld os tegne et stort kdrt

Læs mere

Exitforløb for kriminalitetstruede unge

Exitforløb for kriminalitetstruede unge Exitforløb for kriminlitetstruede unge Exit Nu tilbyder et exitforløb til kriminlitetstruede unge i lderen 15-29 år. Vi rbejder indenfor lovgivningen omkring fst kontktperson, efterværn, bostøtte og mentorstøtte

Læs mere

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011 Indholdsfortegnelse Integral regning:... 2 Ubestemt integral:... 2 Integrationsprøven:... 3 1) Integration af potensfunktioner:... 3 2) Integration af sum og Differens:... 3 3) Integration ved Multiplikation

Læs mere

Analyse af danske vindmøllers driftsudgifter 1993

Analyse af danske vindmøllers driftsudgifter 1993 K^M>n.8 Risø-R-776(DA) Anlyse f dnske vindmøllers driftsudgifter 99 Finn Gdtfredsen Prøvesttinen fr Vindmøller Frskningscenter Risø, Rskilde Oktber 994 IIS^BTO r IBIS mmm isunuwtei iurfisn 8ALB PR8HIITEB

Læs mere

Integralregning Infinitesimalregning

Integralregning Infinitesimalregning Udgave 2.1 Integralregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne integral og stamfunktion, og anskuer dette som et redskab til bestemmelse af arealer under funktioner. Noterne er supplement

Læs mere

Hvad er en funktion? Funktioner og graftegning. Funktioners egenskaber. Funktioners egenskaber. f(b) y = f(x) f(a) f(a)

Hvad er en funktion? Funktioner og graftegning. Funktioners egenskaber. Funktioners egenskaber. f(b) y = f(x) f(a) f(a) Funktioner og graftegning Jeppe Revall Frisvad September 29 Hvad er en funktion? En funktion f er en regel som til hvert element i en mængde A ( A) knytter præcis ét element y i en mængde B Udtrykket f

Læs mere

Deloitte" Mission Afrika. Revisionsprotokollat til årsrapport 2012

Deloitte Mission Afrika. Revisionsprotokollat til årsrapport 2012 " Missin Afrik Revisinsprtkllt til årsrpprt 2012 Indhldsfrtegnelse Side 1. Revisin f årsregnskbet 1.1 Ä.rsregnskbet L2 Frhld f væsentlig betydning fr vurdering f årsregnskbet 1.2.1 Generelle it-kntrller

Læs mere

FUNKTIONER del 2 Rentesregning Eksponentielle udviklinger Trigonometriske funktioner Potensfunktioner Polynomier

FUNKTIONER del 2 Rentesregning Eksponentielle udviklinger Trigonometriske funktioner Potensfunktioner Polynomier FUNKTIONER del Retesregig Ekspoetielle udvikliger Trigoometriske fuktioer Potesfuktioer Polyomier -klssere Gmmel Hellerup Gymsium Idhold RENTESREGNING... 3 Kotiuert rete... EKSPONENTIELLE UDVIKLINGER...

Læs mere

Projekt 7.4 Kvadratisk programmering anvendt til optimering af elektriske kredsløb

Projekt 7.4 Kvadratisk programmering anvendt til optimering af elektriske kredsløb Projekt 7.4 Kvadratisk programmering anvendt til optimering af elektriske kredsløb Indledning: I B-bogen har vi i studieretningskapitlet i B-bogen om matematik-fsik set på parallelkoblinger af resistanser

Læs mere

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering:

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: LINEÆR PROGRAMMERING I lineær programmering løser man problemer hvor man for en bestemt funktion ønsker at finde enten en maksimering eller en minimering

Læs mere

Skabelon til funktionsundersøgelser

Skabelon til funktionsundersøgelser Skabelon til funktionsundersøgelser Nedenfor en angivelse af fremgangsmåder ved funktionsundersøgelser. Ofte vil der kun blive spurgt om et udvalg af nævnte spørgsmål. Syntaksen i løsningerne vil være

Læs mere

Bæredygtige bygge- og anlægsprojekter i Næstved Kommune

Bæredygtige bygge- og anlægsprojekter i Næstved Kommune Bæredygtige bygge- og nlægsprojekter i Næstved Kommune Her finder du E Forord 3 Indledning og læsevejledning 5 Generelt om bæredygtig projektering 6-7 Påvirkning f kulturmiljøer 8-9 Mteriler 10-12 l 13

Læs mere

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015 Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015 22. maj 2015: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Ligningen løses ved at isolere x i det åbne udsagn: 4 x 7 81 4 x 88 88 x 22 4 Opgave 2: y 87 0,45 x Det

Læs mere