Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 12

Transkript

1 Mtemtisk modellering numeriske metoder Lektion 12 Morten Grud Rsmussen 21. oktober, Prtielle differentilligninger 1.1 Løsning f vrmeligningen vh. Fourierrækker [Bens sektion 12.6 på side 558] Vi vil nu løse den en-dimensionelle vrmeligning. Principperne bg løsningsmetoden hr vi llerede set den første gng, vi løste bølgeligningen, fktisk vil der være stort smmenfld ikke blot i principperne, men så i de konkrete udregninger, grundet bølge- vrmeligningernes fællestræk. Det vil d vise sig, t det er forskellene, der kommer til t dominere, i den forstnd t løsningerne vil opføre sig fundmentlt forskelligt. Vi begynder med t formulere det problem, vi vil løse. I første omgng formulerer vi det som et fysisk problem, derefter modellerer vi det vh. en pssende PDE med begyndelses- rndbetingelser. Det fysiske system består f en tynd metlstng eller -tråd, som er perfekt homen, hr konstnt tykkelse, er fuldstændigt isoleret, bortset fr i enderne, hvor temperturen holdes på 1. Hvis vi vælger vort koordintsystem, så metlfætteren ligger lngs x-ksen med den ene ende i x = den nden ende i x = L, så er dens tempertur til tiden beskrevet ved f(x for < x < L, hvor f er en pssende funktion. Det fysiske ( om lidt mtemtiske problem består nu i t udregne, hvd temperturen på et givet punkt på stngen er til en vilkårlig positiv tid. Med ndre ord skl vi finde en funktion u, som opfylder, t u(x, = f(x (1 u(, t = u(l, t = for t, (2 1 Vi vælger f bekvemmelighedsårsger. Det er reltivt simpelt t indse, t differentilligningen er ligegld med konstnter, så vi kunne lige så vel hve vlgt temperturen 1 hvilken så viser, t der for metoden ikke er forskel på, om vi snkker om i eksempelvis C eller K. 1

2 som opfører sig, som vrme vil gøre. Til t håndtere sidstnævnte hr vi heldigvis vrmeligningen i én dimension u t = 2 u c2 x 2 (isoleringen tykkelsen f stngen gør, t vi kn betrgte problemet som en-dimensionelt. Vi tler om, t vi betrgter vrmeligningen med begyndelsesbetingelsen (1 rndbetingelsen (2. Bemærk, t vi ikke hr specificeret hstighedsændringen til tid t = i begyndelsesbetingelsen som vi gjorde det for bølgeligningen. Dette er ikke nødvendigt for vrmeligningen, er en første indiktion på, t dette problem opfører sig mrknt nderledes end tilfældet er for bølgeligningen. Løsningsmetoden består f de smme tre trin som for bølgeligningen. Trin 1: Seprering f vrible-metoden eller produktmetoden Antg, t løsningen kn skrives på formen u(x, t = F (xg(t. Så er u t = F G 2 u x 2 = F G. Vi sætter disse udtryk ind i vrmeligningen dividerer med c 2 F G får G c 2 G = F G c 2 F G = c2 F G c 2 F G = F F, hvor yderste højre yderste venstre udtryk hver især kun fhænger f t hhv. x, de må derfor være konstnte. Vi får derfor F kf = G c 2 kg =, ltså to ODE er, præcis som for bølgeligningen, med den fgørende, skl det vise sig forskel, t ODE en for G kun er førsteordens. Trin 2: Bestemmelse f løsninger, som opfylder rndbetingelserne Idet ligningen for F er identisk for bølge- vrmeligningen får vi med verbtim smme rgumenter, t k = p 2 skl være negtiv, t p = nπ t F derfor er givet som L F (x = F n (x = sin L x, hvor n N. Med λ n = cp = cnπ L k = p2 bliver ODE en for G ltså G + λ 2 ng =, som hr løsningen Hvis vi ltså skriver G n (t = b n e λ2 nt, hvor n N b n R. u n (x, t = F n (xg n (t = b n sin L x e λ2 n t, så er u n problemets egenfunktioner med egenværdier λ n. 2

3 Trin 3: Bestemmelse f løsninger, som så opfylder begyndelsesbetingelsen Indtil videre hr vi konstrueret løsninger som løser den endimensionelle vrmeligning med rndbetingelserne (2. Med mindre begyndelsesbetingelserne er helt specielle, vil vi i midlertid ikke hve fundet løsninger, som opfylder (1. Ideen er igen t tge linerkombintioner f u n erne, så resulttet opfylder begyndelsesbetingelserne. Vi ved fr Theorem 1.5 fr Lektion 1, t vi må tge endelige linerkombintioner f løsninger stdig hve en løsning (d vrmeligningen er homent lineær. Som for bølgeligningen vil vi imidlertid forsøge os med en uendelig linerkombintion: u(x, t = u n (x, t = b n sin L x e λ2 n t, hvor λ n = cnπ L. (3 Begyndelsesbetingelsen lyder u(x, = b n sin L x = f(x, (4 idet eksponentilfunktionerne fejes f bnen f t =. Af (4 fremgår det, t b n erne ltså skl være Fourier-koefficienterne for den ulige 2L-periodiske udvidelse f f, er ltså givet ved b n = 2 L L f(x sin L x dx. Dette beviser ikke, t u givet ved ovenstående er en løsning, blot t en evt. løsning på formen (3 nødvendigvis må være givet på denne måde. Et egentligt bevis er udenfor dette kursus fgrænsning. Vi nøjes med t konsttere, t det kn bevises, eksempelvis hvis f er stykkevist kontinuert hr venstre- højrefledede overlt. Vi bemærker, t idet λ 2 n >, så vil lle løsninger nærme sig nul med eksponentiel hst. At lle løsninger nærmer sig nul kn næppe overrske; en metlfætter, som ikke bliver tilført vrme, men som er fuldstændigt isoleret bortset fr i endepunkterne, hvor den holdes på nul grder, vil nturligvis gå mod en tempertur på nul overlt. En nden ting, vi bemærker, er, t jo større n, desto større λ 2 n, dermed hurtigere konvergens mod. Men hvd betyder et højere n for u n s begyndelsesværdi? Prøv t tegne situtionen, overbevis dig selv om, t større n er nturligt må betyde, t u n hurtigere konvergerer mod! 1.2 Eksempler Vi vil nu illustrere sidste fsnits fsluttende bemærkning med et konkret eksempel. Eksempel 1.1. For t få nle tl, mn kn forholde sig til, ud f det, ntger vi, t vi ser på en 8 cm lng kobberstng, hvor de fysiske dt er som følger: ρ = 8.92 g/cm 3, σ =.92 cl/(g C K =.95 cl/(cm s C. Med disse tl giver c 2 = K/(σρ = cm 2 /s. Vi betrgter to tilfælde. I det ene tilfælde er begyndelsesbetingelsen f givet f (x = 1 C sin( i det ndet er begyndelsesbetingelsen f b givet ved π x, 8 cm f b (x = 1 C sin( 3π 8 cm x. 3

4 Vi hr ltså b n (f = { 1 C for n = 1 C ellers b n (f b = { 1 C for n = 3 C ellers. idet λ 2 1 = π 2 /8 2 s 1 =.1785 s 1 λ 2 3 = 3 2 λ 2 1 =.167 s 1 er temperturudviklingen i de to tilfælde ltså givet ved hhv. u 1 (x, t = 1 C sin( π 8 cm xe.1785 s 1 t u 3 (x, t = 1 C sin( 3π 8 cm xe.167 s 1t. (Bemærk i øvrigt, hvordn enhederne for konstnterne utomtisk kommer til t psse, hvis ellers mn gør det rigtigt. Vi vil nu undersøge, hvor hurtigt mksimltemperturerne hlveres i hhv. det ene det ndet tilfælde. Det ses let, t mksimltemperturerne ntges i hhv. x = 4 cm (eksempelvis x = 8 cm (hvor hhv. den ene den nden sinus-fktor er 1, vi skl ltså blot 6 løse u 1 (4 cm, t = 1 Ce.1785 s 1t = 5 C u 3 ( 8 6 cm, t = 1 Ce.167 s 1t = 5 C som giver hhv. t = 388 s = 6.5 min t = 43 s, ndet tilfælde køler ltså 9 gnge så hurtigt f som det første tilfælde (hvorfor netop 9?. Vi vil nu betrgte en vrint, hvor begyndelsesbetingelsen giver nledning til uendeligt mnge Fourierled, modst ovenstående, hvor der kun vr brug for ét i hver sitution (hhv. (n = 1- (n = 3-ledet. Eksempel 1.2. Ld f være givet ved { x for < x < 4 cm f(x = 8 cm x for 4 cm < x < 8 cm. Ved omsklering koefficienterne fr opgve 15 i fsnit 11.2, som I blev stillet som opgve til lektion 9, ser vi, t for n 2N 32 cm b n (f = for n 4N 3. n 2 π 2 32 cm for n 4N 1 n 2 π 2 Dvs. 32 cm ( 1 n+1 (2n 1π u(x, t = sin( π 2 (2n 1 x exp( (2n 2 8 cm 12 λ 2 1t n N løser problemet. Men dette viser tydeligt, t for t > gælder det, t jo større n er, desto mindre er bidrget til summen ( jo større t, desto mindre behøver n være, før ledet bliver lille: ikke nok 1 med, t der i hvert led indgår en fktor, der indgår så en fktor exp( (2n 1 2 λ 2 (2n 1 1t ( 2 sidstnævnte går klrt hurtigst mod nul. Hvd betyder dette? Jo, det betyder, t så snrt tiden er strtet, vil udtrykket hurtigt domineres f dermed være reltivt velbeskrevet ved nle få, 32 cm π lngsomtsvingende sinus-kurver med (n = 1-ledet sin( x π 2 8 cm exp( λ2 1t som det klrt vigtigste. Med ndre ord vil selv denne meget skrpe fordeling f vrmen i udgngspunktet meget hurtigt blive glt rund ligne en sinus-kurve. Se i øvrigt figur 295 på side 652 i ben. 4

5 1.3 Nye rndbetingelser: isolerede endepunkter Vi vil nu se på, hvd der sker, hvis mn ikke fstholder endepunkterne f metlstngen på en bestemt tempertur, men i stedet isolerer dem, så de ikke kn fgive (eller optge vrme. Antgelse 3 fr lektion 11 vr, t vrmestrømningen vr proportionl med grdienten f temperturen. I vores endimensionelle setup svrer grdienter til prtielle x-fledede, isolerede endepunkter svrer til, t vrmestrømningen er. Med ndre ord betyder isoleringen, t vi i stedet for u(, t = u(l, t = hr rndbetingelsen u x (, t = u x (L, t =. (5 Anvendes produktmetoden nu igen (u(x, t = F (xg(t F ( = F (L =, så når mn i stedet frem til, t F skl være f typen F (x = F n (x = cos L x (evt. gnget med en konstnt, således t egenfunktionerne i stedet bliver u n (x, t = n cos L x e λ2 nt for λ n = cnπ L, n N {}, ltså inkl. n =! Vi ser ltså, t problemet hr som egenværdi med f (en vilkårlig konstnt funktion som tilhørende egenfunktion, vi ser, t vi for t løse begyndelsesværdiproblemer nu i stedet skl nvende Fourierrækker for lige funktioner (cosinus-udviklinger i stedet for ulige funktioner (sinus-udviklinger. Løsninger er derfor på formen u(x, t = = 1 L L n= n cos L x e λ2 n t, hvor λ n = cnπ L f(x dx smt n = 2 L L f(x cos L x. Det ses, t lle led undtgen (n = -ledet som er konstnt lig, som er begyndelsesværdiens gennemsnitsværdi går mod nul med eksponentiel hstighed. Forklr dette udfr intuitive betrgtninger! 1.4 Tidsufhængige vrmeledningsproblemer Lplce-ligningen Antg, t en vrmestrømning er i blnce i den forstnd, t den ikke ændrer sig over tid. Så er u t = i to dimensioner ser vrmeligningen pludselig således ud: = c 2 ( 2 u x u y 2 eller blot 2 u x + 2 u 2 y = 2 2 u =, som vi genkender som Lplce-ligningen, vi kort stiftede bekendtskb med i lektion 1. Begyndelsesbetingelsen bortflder (nturligvis? i dette tilfælde, vi står tilbge med et rndbetingelsesproblem, som kn være f tre forskellige typer. 5

6 Definition 1.3 (Rndbetingelser for Lplce-ligningen. Rndbetingelser for Lplce-ligningen inddeles i følgende tre typer. Dirichlet-rndbetingelser (eller rndbetingelser f første type er betingelser, hvor u er ngivet på rnden. Neumnn-rndbetingelser (eller rndbetingelser f nden type er betingelser, hvor u n er ngivet på rnden, hvor n er en vektor, som står vinkelret på rnden. Robin-rndebetingelser (eller rndbetingelser f tredje type er betingelser, hvor u er ngivet på en del f rnden, mens u n er ngivet på resten f rnden. Eksempel 1.4. Vi illustrerer nu Dirichlet-problemet for den todimensionelle Lplce-ligning. Ld R = [, ] [, b], så rnden S består f de fire linjestykker i rummet L 1 = {} [, b], L 2 = [, ] {b}, L 3 = {} [, b] L 4 = [, ] {}, S = L 1 L 2 L 3 L 4. Antg, t u(, y = på L 1, u(x, b = f(x på L 2, u(, y = på L 3 u(x, = på L 4. Igen nvendes produktmetoden, hvor vi ntger, t u(x, y = F (xg(y. Dette giver ved lidt rbejde nvendelse f rndbetingelserne på L 1, L 3 L 4 F (x = F n (x = sin x G(y = G n (y = n sinh y (bemærk, t den ene er en sinus hyperbolsk! dermed egenfunktionerne u n (x, y = n sin x sinh y, som vi summer smmen til u(x, y = n sin x sinh y. Rndbetingelserne på L 2 giver derfor t ( b nπ u(x, b = n sinh sin( x = f(x. For t dette kn være opfyldt, må n sinhb være lig Fourier-koefficienterne for f tolket som en ulige 2-periodisk funktion (d det er sinus-rækken, de indgår i. Altså b n sinh = b n (f = 2 f(x sin x dx eller n = b n(f sinhb = 2 sinhb f(x sin x dx. Vi hr igen ikke bevist, t dette er en løsning, men dette kn vises, eksempelvis hvis f f er kontinuerte, f er stykkevist kontinuert. Vi bemærker fslutningsvist, t så den tidsufhængige bølgeligning reducerer til Lplceligningen, ligesom flere ndre nturlige, fysiske problemer gør i det tidsufhængige tilfælde. Eksempelvis vil så en stillestående sæbehinde være beskrevet f Lplce-ligningen. 6