Ve j l e d e r : Je n s Ca r s t e n Ja n t z e n

Transkript

1 Simple Lie-algebraer over vilkårlige legemer (Simple Lie algebras over arbitrary fields) Bachelorprojekt i matematik Sebastian Ørsted Ve j l e d e r : Je n s Ca r s t e n Ja n t z e n august 2015 Institut for Matematik Aarhus Universitet

2

3 Abstract This bachelor project deals with the classification of the finite-dimensional, simple Lie algebras over arbitrary fields of characteristic zero, based mainly on Nathan Jacobson s Lie algebras (1966), and essentially limited to the classical types A D. The point of departure is the existing classification over algebraically closed fields. Upon reducing the classification to the case in which the algebra in question is central simple, it is demonstrated that the extension of scalars to the algebraic closure belongs to the classical classification. It is therefore natural to classify the central simple Lie algebras over our arbitrary field based on which classical Lie algebra over the algebraic closure is obtained through this process. While no full classification is achieved in complete generality, both the existence and completeness theorems are reduced to simpler questions in linear algebra, mainly concerning central simple associative algebras with unit. This is an area that is better understood, and where the answers are known in many concrete cases, most notably over the reals. iii

4

5 Forord Dette bachelorprojekt har til formål at foretage en klassifikation af de endeligt-dimensionale, simple Lie-algebraer over et vilkårligt legeme af karakteristik nul. Denne klassifikation tager på én gang udgangspunkt i og generaliserer den kanoniske klassifikation over algebraisk lukkede legemer, som er overraskende uændret i forhold til det komplekse tilfælde, i hvilket undertegnede er skolet igennem Carter (2005). Udgangspunktet for begge generaliseringer er Jacobson (1966), opgavens absolutte hovedkilde, hvis tiende kapitel i disposition og indhold vil blive fulgt mere eller mindre direkte. Opgavens kapitler 1 5 svarer da også nogenlunde i indhold og rækkefølge til Jacobsons afsnit X.1 X.5. For at undgå en lind strøm af løbende referencer til Jacobson vil vi derfor tillade os at udelade disse, medmindre der sker væsentlige ændringer i resultaternes disposition. Som næsten alle algebraiske klassifikationsteorier (med undtagelse af en lillebitte gruppe af mirakuløst elegante eksempler, heriblandt Lie-algebraer over algebraisk lukkede legemer) er klassifikationen ikke fuldstændig; i repræsentationsteoriens ånd reduceres klassifikationen til mere håndgribelige spørgsmål fra lineær algebra, som dog til gengæld næppe kan besvares i fuld generalitet. Mere konkret reduceres spørgsmålene til klassifikationer af de endeligt-dimensionale, simple, associative algebraer med enhed over et vilkårligt legeme af karakteristik nul. Via Wedderburn-Artins sætning forskydes problemet yderligere til at klassificere de endeligt-dimensionale divisionsalgebraer over vores legeme. I visse konkrete tilfælde (f.eks. hvor grundlegemet er de reelle tal) er disse divisionsalgebraer eksplicit givet, og dette behandles udtømmende i Jacobson (ibid., afsnit X.7). Sådanne mere konkrete anvendelser af teorien ligger dog uden for rammerne af projektet. Klassifikationen dækker endvidere kun de Lie-algebraer, hvis skalarudvidelse fra centroiden til den algebraiske aflukning er af de klassiske typer A D undtagen D 4. Undertegnedes mere selvstændige bidrag til opgaven består foruden den naturlige uddybning og omformulering, som forventes i et bachelorprojekt af en række flere elementer: Dels vil en række af Jacobsons fejl blive rettet, primært i forbindelse med Theorem X.2, som i sin formulering er problematisk, muligvis endda helt forkert, medmindre et meget større resultat (af min vejleder døbt ved det højtidelige navn Ørsteds Formodning, se Formodning 1.8 på side 5) viser sig at gælde. Endvidere er formuleringerne visse steder (primært i opgavens første kapitel) ændret radikalt, så resultaterne (i mine øjne) fremstår mere klare og generelle. Mens Jacobson i sit afsnit X.4 har valgt at overlade en væsentlig del af argumentet (i forbindelse med omsluttende algebraer, min danske oversættelse af»enveloping algebra«) til læseren i forbindelse med elementære, om end omstændige konkrete udregninger, har jeg valgt at medtage v

6 vi disse dele som en konsekvens af en række pænere og mere generelt anvendelige resultater. Mens Jacobson ofte argumenterer ved at henvise til resultater, der er dybt begravet i visse af hans andre talrige bøger, er disse resultater her i stedet blevet citeret direkte, ofte fra kilder hvor deres mere konkrete formulering passer bedre til den nærværende problemstilling og samtidigt kræver færre forudsætninger. Derudover er opgaven suppleret med to appendicer, som hver for sig indfører visse begreber, som ikke egentligt betragtes som en del af opgavens hovedtekst, men som forudsættes kendte ved læsningen deraf. Her vil jeg især fremhæve appendiks B, som tilstræber at kombinere absolut generalitet med visse moderne begrebsdannelser i en grad, som jeg ikke har set det udfoldet andre steder i litteraturen. Når læseren sammenligner opgaven med hovedkilden, vil de først og fremmest bide mærke i den helt grundlæggende ændring i den anvendte notation. Dette sker dels for at opdatere teorien til et mere moderne notationsapparat, men dels er der helt grundlæggende forskelle i Jacobsons og mine præferencer i forbindelse med matematisk notation. Det mest iøjnefaldende (men langtfra eneste) eksempel er, at afbildninger som udgangspunkt anvendes fra venstre på vektorrum, i skarp kontrast til metoden i hovedkilden. I forbindelse med moduler over mere generelle, ikke-kommutative ringe (hvilket udelukkende udfoldes i appendiks B) vil afbildninger dog blive anvendt fra højre på venstremoduler og fra venstre på højremoduler. Til forskel fra tilfældet hos Jacobson vil vi bruge termen vektorrum eksklusivt for moduler over legemer, ikke for moduler over divisionsringe. Undertegnede deler dog Jacobsons vane med at undertrykke i funktionssammensætninger samt udelade parenteser i funktionsudtryk. Mere generelt indføres så megen original notation, at jeg har fundet det nødvendigt at lave en notationsoversigt, som er at finde på den modstående side. Vi anvender den noget usædvanlige konvention, at en»algebra«som udgangspunkt betyder en ikke-associativ algebra, mens en associativ algebra generelt ikke antages at have en enhed; denne konvention finder undertegnede i god harmoni med problemstillingerne betragtet i opgaven. Jeg hører til dem, der anvender udtrykket»afbildning«for strukturbevarende funktion; i algebrakontekst vil der med andre ord være tale om homomorfier imellem algebraiske strukturer. En indlejring er en injektiv afbildning. Notationen X Y anvendes for indlejringer af X i Y, ikke kun for inklusioner. Jeg takker min vejleder, Jens Carsten Jantzen, for hans ekstraordinært store engagement i forbindelse med bachelorprojektet, hans mange uvurderlige råd og kommentarer samt hans villighed til at svare på mine mange spørgsmål og hjælpe med at finde bedre løsninger på problemer. Sebastian Ørsted August 2015

7 Notationsoversigt M (A) = M K (A) Multiplikationsalgebraen (med enhed) for en K-algebra A M 0 (A) = MK 0(A) Multiplikationsalgebraen (uden enhed) for A C (A) = C K (A) Centroiden af A a v,a h Venstre- og højremultiplikation med et a A BC Underrummet af A frembragt af produkter af elementer fra underrummene B og C [B] Underrummet B A betragtet som Lie-algebra via [xy] = xy yx for x,y B, hvis ellers B er lukket under denne operation S = S K Den omsluttende algebra (med enhed) af en delmængde S af en K-algebra A, delalgebraen med enhed frembragt af S (over K). S 0 = S 0 K Den omsluttende algebra uden enhed, delalgebraen uden enhed frembragt af S A A +,A Mængden af symmetriske hhv. skæve elementer i algebraen A mht. en involution. Z(S) = Z T (S) Centralisatoren af en delmængde S af en algebraisk struktur T M Dualrummet for et R-modul M, som i denne opgave blot betyder Hom R (M,R). [θ] Matrixrepræsentationen af den lineære afbildning θ imellem frie moduler af endelig rang. X T Den transponerede af matricen X. X Matricen X T, som fremkommer ved at transponere og koordinatvis anvende antiautomorfien x x. V L Skalarudvidelsen L K V af et K-vektorrum V til et L-vektorrum, hvor L er en legemsudvidelse af K. Anvendes oftest, hvor V er en K-algebra. 1 Identitetsafbildningen vii

8

9 Indholdsfortegnelse 1 Multiplikationsalgebraer og centroider 1 2 Galois-virkninger og K-former 9 3 Konstruktion af simple Lie-algebraer 13 4 Isomorfiklasser af simple Lie-algebraer 21 5 Fuldstændighedssætningen 29 A Tensorproduktet 33 B Involutioner og bilineære former 37 B.1 Sesquilineære former B.2 Indre produkter ix

10

11 K a p i t e l 1 Multiplikationsalgebraer og centroider Idette kapitel generaliseres to velkendte algebrabegreber Lie-algebraer og associative algebraer med enhed til specialtilfælde af et mere generelt objekt, den ikke-associative algebra. Dette sker primært med udgangspunkt i Jacobson (1966, chapter I, afsnit 1). Derefter tager vi hul på Jacobson (ibid., chapter X, afsnit 1) ved at indføre begrebet central algebra. Lad K være et legeme. En ikke-associativ algebra over K (hvilket vi oftest kort og godt vil kalde en K-algebra) er et K-vektorrum A udstyret med et produkt A A A, (a,b) ab som (jf. ibid., s. 2) er bilineært i den forstand, at (i) Produktet kommuterer med skalarmultiplikation, dvs. for alle α K og a,b A. α(ab) = (αa)b = a(αb) (ii) Den distributive lov fra venstre og højre gælder, dvs. for alle a,b,a,b A. (a + a )b = ab + a b og a(b + b ) = ab + ab En Lie-algebra over K er således en K-algebra. En K-algebra kaldes associativ, hvis der endvidere gælder (iii) Associativitet af produktet, dvs. for alle a,b,c A. a(bc) = (ab)c Bemærk derfor, at termen»ikke-associativ«betyder»ikke nødvendigvis associativ«. En enhed i en associativ K-algebra er et element 1 A, som opfylder 1a = a1 = a for alle a A. Til forskel fra visse andre kilder (bl.a. ibid.) vil vi anvende konventionen, at 1

12 2 Kapitel 1. Multiplikationsalgebraer og centroider En K-algebra antages ikke at være associativ, medmindre det eksplicit nævnes. En associativ K-algebra antages ikke at have en enhed, medmindre det eksplicit nævnes. En delalgebra af A er et underrum B A, som er lukket under multiplikation i A. Hvis A er associativ med enhed, antager vi endvidere, at 1 B. For to underrum B og C af A lader vi BC være underrummet af A frembragt af produkter bc, hvor b B og c C. Med andre ord består BC af endelige linearkombinationer af sådanne produkter. Et venstreideal i A er en underrum I af A, som opfylder AI I, og et højreideal er et underrum J, som opfylder JA J. Et tosidet ideal (eller blot et ideal) er et underrum, der både er et venstre- og højreideal. Algebraen A siges at være simpel, hvis multiplikationen i A ikke er identisk nul (dvs. AA {0}), og hvis de eneste idealer i A er de trivielle, A og {0}. En algebrahomomorfi imellem to algebraer er en lineær afbildning, der respekterer produktstrukturen, og som hvis der er tale om associative algebraer med enhed sender enhed til enhed. En algebraisomorfi er en bijektiv algebrahomomorfi, og en algebraendomorfi er en algebrahomomorfi fra en algebra til den samme algebra. En algebraendomorfi, der også er en isomorfi, kaldes en algebraautomorfi. Bemærk dog, at notationen End K (A) fortsat henviser til de lineære operatorer på A, ikke algebraendomorfierne. En antihomomorfi imellem K-algebraer A,B er en lineær afbildning θ : A B, som opfylder θ(a 1 a 2 ) = (θa 2 )(θa 1 ) for alle a 1,a 2 A samt sender eventuelle enheder til enheder. Helt analogt defineres antiisomorfier, antiendomorfier og antiautomorfier. Det er ikke svært at se, at de ovenfor nævnte indføringer af de algebraiske standardbegreber generaliserer de velkendte begreber fra Lie-algebraer og associative algebraer. Vi noterer følgende hjælperesultat: Lemma 1.1. Lad A være en simpel K-algebra. Hvis et element x A opfylder ax = xa = 0 for alle a A, så er x = 0. Bevis. Idealet I = {y A ay = ya = 0 for alle a A} skal pr. antagelse være trivielt. Hvis I = A, er produktet i A identisk nul, hvilket er i modstrid med, at A er simpel. Ergo er I = {0}. Et element a i en (ikke-associativ) algebra A giver anledning til to K-lineære operatorer på A, nemlig venstremultiplikation a v : x ax og højremultiplikation a h : x xa. Disse er elementer i den associative K-algebra med enhed End K (A) (associativiteten følger af denne egenskab ved sammensætning af afbildninger). Delalgebraen (med enhed) af End K (A) frembragt af a v,a h for alle a A kaldes multiplikationsalgebraen (med enhed) for A og betegnes M K (A) eller blot M (A). Tilsvarende lader vi M 0 K (A) = M 0 (A) betegne multiplikationsalgebraen uden enhed, K-algebraen uden enhed frembragt af venstre- og højremultiplikationsafbildningerne i A. Det er ikke svært at se, at M (A) = K1 + M 0 (A); inklusionen fra højre imod venstre er mere eller mindre tautologisk, mens inklusionen fra venstre imod højre følger af, at højresiden er en delalgebra med enhed, som indeholder A. Specielt ses det, at M 0 (A) er et ideal i M (A).

13 3 Centralisatoren af M (A) i End K (A) kaldes centroiden og skrives C K (A) eller blot C (A). Da alting kommuterer med skalarmultipla af identiteten, er der også tale om centralisatoren af M 0 (A). Centroiden består med andre ord præcist af de elementer ϕ End K (A), der kommuterer med venstre- og højremultiplikation med elementer fra A, altså a v ϕ = ϕa v og ϕb h = b h ϕ for alle a,b A. Anvendes den første ligning på b og den anden på a, kan dette omskrives til a(ϕb) = ϕ(ab) = (ϕa)b. (1.1) Der findes en kanonisk indlering K C K (A) givet ved at sende k K over i den lineære afbildning a ka på A. Vi vil derfor fra nu af blot opfatte K som en delmængde af C K (A). Hvis M er et legeme med C K (A) M K, er A et M-vektorrum, hvis vi opfatter ϕa som skalarmultiplikation af ϕ M på a A. Ligning (1.1) viser da endvidere, at det eksisterende produkt i A gør A til en M-algebra (sammenlign med (i) i definitionen af en algebra). Lad omvendt M være en legemsudvidelse af K, og antag, at der findes en afbildning M A A, (m,a) ma, der som skalarmultiplikation gør A til en M-algebra. Da kan et element m M opfattes som en K-lineær endomorfi a ma på A. Vi har altså en indlejring M End K (A). Da denne transformation grundet algebrastrukturen skal kommutere med a v,a h for alle a A, må M ved denne indlejring være en delmængde af C K (A). Vi konkluderer, at alle legemsudvidelser af K, over hvilke A kan opfattes som en algebra, kan indlejres i centroiden. Hvis centroiden er et legeme, er den med andre ord den største legemsudvidelse, over hvilken A kan gøres til en algebra. Vi vil i det følgende (Sætning 1.4) give kriterier for, hvornår netop dette er tilfældet. Hvis C (A) = K, kaldes A central, og K er dermed selv det største legeme, hvorover A kan opfattes som en algebra. Eksempel 1.2. Lad A være en associativ K-algebra med enhed. Så er ϕ ϕ1 en naturlig indlejring C (A) Z(A). Injektiviteten følger af ligning (1.1) samt udregningen (ϕ1)x = ϕ(1x) = ϕx for ϕ C (A) og x A. Afbildningen er også surjektiv, idet den har den højreinverse afbildning Z(A) C (A), x x v = x h. Derved kan centroiden identificeres med centret af A. Vi noterer indledningsvist et par elementære egenskaber omkring centralitet og simplicitet i forbindelse med skalarudvidelser: Proposition 1.3. Lad A være en algebra over et legeme K og M K en legemsudvidelse, og lad A M være skalarudvidelsen til M. Så gælder: (i) Hvis A M er simpel, er A simpel. (ii) Hvis A M er central, er A central. Bevis. Antag, at A M er simpel, og lad I A være et ideal forskelligt fra nul. Så er I M et ideal i A M forskelligt fra nul, så I M = A M. Fra Proposition A.4 på side 35 får vi I = A. Da produktet i A M ikke er identisk nul, må det samme gælde for A, hvorved vi konkluderer, at A er simpel. Antag dernæst, at A M er central, og lad ϕ være et element i centroiden C (A). Så giver Proposition A.1 på side 34 os en naturlig udvidelse 1 ϕ til en lineær operator på A M. Det er ikke svært at se, at denne vil kommutere med venstreog højremultiplikation med vilkårlige tensorer m a M K A = A M. Ved

14 4 Kapitel 1. Multiplikationsalgebraer og centroider udvidelse via linearitet finder vi, at 1 ϕ kommuterer med produkter af elementer fra hele A M og dermed også med multiplikationsalgebraen M (A M ), så 1 ϕ ligger i C (A M ), hvorved den har formen m 1, skalarmultiplikation med et element m M. Anvendes nu afbildningen på et vilkårligt a A, fås ϕa = ma. Da ϕa A for vores vilkårligt valgte a, må m K, og ϕ er blot skalarmultiplikation med et element fra K. Ergo er A central. I det følgende vil vi som lovet fokusere på at bevise Sætning 1.4. Hvis A er en simpel algebra over et legeme K, er centroiden C (A) et legeme. Vi får her brug for to delresultater, der er af selvstændig værdi. Lemma 1.5. Hvis en K-algebra A opfylder A 2 = A, så er centroiden C (A) kommutativ. Hvis A er simpel, er A 2 et ideal forskelligt fra nul, så vi må have A 2 = A. Konklusionen holder altså i dette tilfælde. Bevis. Lad ϕ,ψ C (A) og a,b A. Så giver gentagne anvendelser af ligning (1.1), at og som medfører, at (ϕψ)(ab) = ϕ(a(ψb)) = (ϕa)(ψb) (ψϕ)(ab) = ψ((ϕa)b) = (ϕa)(ψb), (ϕψ)(ab) = (ψϕ)(ab) for vores vilkårligt valgte a,b. Men da A 2 = A, er ethvert element i vores algebra en linearkombination af sådanne produkter, og det følger, at ϕψ = ψϕ på hele A. Vi bemærker, at tosidede idealer netop er de underrum, der er invariante under venstre- og højremultiplikation med elementer fra A; ergo kan simplicitet formuleres ved, at de eneste underrum, der er invariante under M (A), er trivielle. Da M (A) er en associativ algebra med enhed, indeholder den identitetsafbildningen samt alle skalarmultipla heraf; ergo følger et underrums invarians under skalarmultiplikation af invariansen under M (A). Idealerne er altså præcist de undergrupper af den additive gruppe af A, som er invariante under ringen M (A), altså delmodulerne af A betragtet som M (A)-venstremodul (via skalarmultiplikation M (A) A A givet ved (ϕ,a) ϕa). Vi konkluderer, at en algebra A (med et produkt, der ikke er identisk nul) er simpel, netop når A er et simpelt M (A)-modul. Fra Jacobson (1953, s. 271) får vi (idet vi som sædvanligt anvender termen»modul«for venstremodul) Schurs Lemma 1.6. Lad G være en abelsk gruppe, og lad R være en delring af End(G), så G er et simpelt R-modul. Så er centralisatoren Z(R) End(G) en divisionsring. Vi bemærker, at centralisatoren Z(M (A)) af M (A) i End(A) er lig C (A), centralisatoren i End K (A), da elementer i Z(M (A)) skal kommutere med K1 M (A) og dermed er K-lineære. Grundet det ovenfor nævnte er C (A) således en divisionsring. Kombineret med Lemma 1.5 viser dette Sætning 1.4.

15 5 Bevis. Lad ϕ 0 være et element i Z(R). Da ϕψ = ψϕ for alle ψ R, følger det let, at kernen af ϕ er invariant under R. Da G er et simpelt R-modul og ϕ 0, er kernen således nul. Billedet af ϕ er af helt samme grund invariant under R og må således være G, igen fordi ϕ 0. Det følger, at ϕ er en automorfi på G. Udregningen ϕ 1 ψ = ϕ 1 ψϕϕ 1 = ϕ 1 ϕψϕ 1 = ψϕ 1 for alle ψ R viser endvidere, at ϕ 1 Z(R) ligeså. Da centralisatoren altid er en delring, har vi vist det ønskede. Vores næste mål er (så vidt muligt) at befri centroiden og multiplikationsalgebraerne samt begrebet simplicitet fra deres referencer til bestemte legemer. Proposition 1.7. Lad A være en K-algebra med L = C K (A), og lad M være et legeme med L M K. Så gælder: (i) MM 0 (A) = M K 0 (A), idet de begge blot opfattes som mængder af afbildninger. (ii) Hvis ringen L er kommutativ, er C M (A) = L. Specielt gælder, at hvis L er et legeme, er A central over L. (iii) A er simpel over M, hvis og kun hvis den er simpel over K. (iv) Hvis M M (A) er en simpel algebra, og hvis produktet i A ikke er identisk nul, er M 0 M (A) = M M(A) = M 0 K (A) = M K(A). Udsagn (i) viser, at multiplikationsalgebraen uden enhed er absolut i den forstand, at de ikke afhænger af, over hvilket legeme A opfattes som en algebra (husk, at ethvert sådant legeme ligger inde i centroiden). Vi vil derfor fra nu af ofte udelade fodtenget og blot skrive M 0 (A). Hvis A er K-simpel, så L er et legeme, giver (ii) det samme for centroiden, og vi vil også her udelade fodtegnet. Vi noterer, at antagelserne i (ii) er opfyldt, hvis A er associativ med enhed, se Eksempel 1.2. Bemærk, at udsagnet er mere kompliceret end det tilsvarende resultat i Jacobson (1966, Theorem 2, s. 291), hvor det hævdes, at M L (A) = M K (A) gælder generelt, hvis blot A er K-simpel; der leveres dog ikke noget argument for, at L-skalarmultipla af identiteten skulle ligge i M K (A). Jacobsons udsagn vil dog følge fra (iv), hvis det kan vises, at Formodning 1.8. Multiplikationsalgebraen M (A) af en simpel K-algebra A er simpel. Udsagnet gælder i det endeligt-dimensionale tilfælde (se Proposition 1.10). Bevis for Proposition 1.7. En K-linearkombination af elementerne a v,a h for a A er også en M-linearkombination, så MK 0(A) M M 0 (A). Lad omvendt a A og m M, og betragt venstre- og højremultiplikationerne a v,a h. Vi finder for x A, at og (ma v )x = m(ax) = (ma)x = (ma) v x (ma h )x = m(xa) = x(ma) = (ma) h x

16 6 Kapitel 1. Multiplikationsalgebraer og centroider via aksiomerne for en M-algebra. Ergo er M-linearkombinationer af a v,a h blot nye venstre- og højremultiplikationer, og inklusionen MM 0 (A) M K 0 (A) følger let. Dette viser (i). For at vise (ii) noterer vi, at da M 0 (A) (som netop er blevet befriet for referencen til et bestemt legeme) kommuterer med L, kan vi opfatte M 0 (A) som en delmængde af End L (A). Skriv C for centralisatoren af M 0 (A) i denne endomorfiring. Nu viser inklusionerne End K (A) End M (A) End L (A), at L = C K (A) C M (A) C. Men da L er kommutativ, har vi også inklusionen C L. Vi slutter som ønsket, at C M (A) = L. For at vise (iii) bemærker vi først, at et M-ideal specielt er et K-ideal, så K-simplictet medfører M-simplictet. Antag omvendt, at A er simpel over M, og at I A er et ideal over K forskelligt fra nul. Givet x I \ {0} er MK 0 (A)x I. Nu er MK 0(A)x = M M 0 (A)x jf. (i), og M M 0 (A)x er et ideal i A over M, som er forskelligt fra nul jf. Lemma 1.1. Ergo er MM 0 (A)x = A, og I = A. (Et helt analogt argument ville også kunne vise den modsatte implikation i (iii).) Endeligt følger (iv) fra, at MM 0 (A) er et ideal i M M(A) forskelligt fra nul, så MM 0 (A) = M M(A). Da gælder nemlig specielt, at MK 0(A) = M M 0 (A) indeholder identiteten, og det ønskede er vist. Vi konkluderer på baggrund af Proposition 1.7 og Sætning 1.4 følgende, som står som én af hovedkonklusionerne på dette afsnit. Sætning 1.9. Lad A være en K-algebra, og sæt L = C K (A). Så er A simpel over K, hvis og kun hvis der findes et legeme M med L M K, over hvilket A er central og simpel. I dette tilfælde er M = L. Som lovet viser vi også Formodning 1.8 i det endeligt-dimensionale tilfælde: Proposition Lad A være en simpel K-algebra med L = C (A). Antag, at A er endeligt-dimensional over L. Så er M K (A) simpel, og M L (A) = M K (A) = End L (A). Bemærk, at hvis A er simpel og endeligt-dimensional over K, viser inklusionen L End K (A), at L er en endeligt-dimensional legemsudvidelse af K. Ergo er A endeligt-dimensional over L, og antagelserne vil være opfyldte. På trods af ovenstående forenkling vil vi dog (som i Jacobson 1966, afsnit X.1)) fortsat gå frem i større generalitet og derved ikke udelukke det uendeligt-dimensionale tilfælde. Der vil derfor fortsat blive skelnet imellem multiplikationsalgebraerne med og uden enhed. Beviset for Proposition 1.10 gør foruden Proposition 1.7 brug af et resultat, som vises i Jacobson (1953, s. 274), og som kan formuleres som følger. Jacobsons Tæthedssætning Lad G være en abelsk gruppe og R en delring af End(G), så G er et simpelt R-modul. Lad endvidere N = Z(R) være centralisatoren af R i End(G), og betragt G som et N-modul. Givet N-lineært uafhængige elementer x 1,x 2,...,x n G og vilkårlige elementer y 1,y 2,...,y n G findes et θ R, så θx i = y i for alle i. Grundet bemærkningen efter Schurs Lemma (Lemma 1.6) kan sætningen anvendes med N = C (A), når A er en simpel algebra.

17 7 Bevis for Proposition Jf.< Proposition 1.7 er A central og simpel over L. Fra Sætning 1.11 samt den efterfølgende bemærkning fås nu, at enhver L-lineær operator på vores endeligt-dimensionale algebra A ligger i M L (A). Ergo er M L (A) M n (L) for et passende n, og specielt er multiplikationsalgebraen simpel. Resten følger nu fra Proposition 1.7(iv). Vores næste hovedresultat er Sætning Lad A være en K-algebra og M K en legemsudvidelse. Så er A M central og simpel over M, hvis og kun hvis A er central og simpel over K. Bevis. Implikationen imod højre er der allerede redegjort for i Proposition 1.3. For at vise implikationen imod venstre vælges en (eventuelt uendelig) basis {u i i I} for A over K. Bemærk, at der også (ved den naturlige indlejring af A i A M ) er tale om en M-basis for A M jf. den karakteristiske egenskab (se Proposition A.2). Lad x 0 være et element i A M, og skriv x som en linearkombination x = i J α iu i med α i M \ {0} for alle i i en endelig delmængde J I. Vælg et j J, og lad u k være et vilkårligt element i vores basis. Vi kan da bruge Sætning 1.11 på den endelige og lineært uafhængige mængde {u i i J} til at finde en afbildning θ M K (A), så θu j = u k og θu i = 0 for alle i J \ {j}. Fra Proposition A.1 på side 34 får vi en naturlig udvidelse af θ til en M-lineær endomorfi på A M givet ved 1 θ, som vi også vil skrive θ; det er da ud fra konstruktionen af A M oplagt, at θ M M (A M ). Idet θx = α j u k 0, er u k M M (A M )x. Da u k var et vilkårligt basiselement for A M, og idet M M (A M )x oplagt er et underrum af A M over M, er M M (A M )x = A M. Da M M (A M )x er det mindste ideal i A M, der indeholder vores vilkårligt valgte x 0, er A M simpel. Lad nu ϕ C (A M ), og vælg et vilkårligt element u k i den tidligere nævnte basis. Skriv ϕu k = i J α iu i med α i M for alle i i den endelige delmængde J af vores indeksmængde. Med et argument svarende til det tidligere kan der vælges en afbildning θ M (A M ), så θu k = u k og θu i = 0 for alle i k. Da ϕ kommuterer med θ, har vi ϕu k = ϕθu k = θϕu k = θ α i u i = α k u k. Ergo er ϕu k et skalarmultiplum λ k = α k af u k for vores vilkårlige k. For alle k lader vi derfor λ k være egenværdien hørende til u k. Givet indicer j,k I kan vi som tidligere finde et η M (A M ), så ηu j = u k. Da η kommuterer med ϕ, er nu i J λ k u k = ϕu k = ϕηu j = ηϕu j = λ j ηu j = λ j u k, hvilket viser, at λ j = λ k. Ergo er alle basisvektorerne egenvektorer for ϕ med samme egenværdi, så ϕ er et skalarmultiplum af identiten. Med vores kanoniske identifikationer er ϕ M, hvilket viser, at A M er central. Hermed har vi vist det ønskede. Før vi går videre, vil vi foretage en generalisering af begrebet lineær afbildning. Hvis V,W er vektorrum over et legeme L, siges en gruppehomomorfi θ : V W at være semilineær over L, hvis der findes en automorfi ϕ på L, så θ(αv) = (ϕα)(θv) for alle α L,v V.

18 8 Kapitel 1. Multiplikationsalgebraer og centroider Denne automorfi ϕ kaldes en automorfi hørende til θ. Hvis θ 0, er den entydigt bestemt. Da der således gælder entydighed undtagen i det trivielle tilfælde, vil vi ofte tillade os at tale om den tilhørende automorfi uden at have udelukket det trivielle tilfælde. Proposition Lad A,B være centrale og simple algebraer over et legeme L, og lad K være et dellegeme af L. Så er enhver K-isomorfi θ : A B semilineær over L. Bevis. Idet θ er en algebraisomorfi over K, får vi for alle a,b A, at θb h a = θa v b = θ(ab) = (θa)(θb) = (θa) v θb = (θb) h θa, hvilket leder til formlerne Ergo har vi en isomorfi (θa) v = θa v θ 1 og (θb) h = θb h θ 1. M K (A) M K (B), η θηθ 1. Da η θηθ 1 også er en isomorfi End K (A) End K (B), får vi en automorfi ϕ : L = C (A) L = C (B) med samme funktionsudtryk. For a A og l L er nu θ(la) = θlθ 1 θa = (ϕl)(θa), hvilket præcist viser, at θ er semilineær over L med tilhørende automorfi ϕ. Med den væsentlige ændring i dispositionen af dette afsnit i forhold til Jacobson (1966, chapter X, afsnit 1) får vi faktisk ikke længere brug for følgende lidt tekniske resultat. Vi vælger dog at medtage det for at fuldstændiggøre vores behandling af afsnittet. Vi har fjernet de dele af konklusionen, som er umiddelbare konsekvenser af Propositionerne 1.3 og 1.7. Proposition Lad A være en K-algebra med L = C K (A), og lad M,N være ringe med L M N K, og hvor N er et legeme. Antag, at N-algebraen M N A er simpel over N. Så er M = N. Bevis. Betragt N-algebrahomomorfien Λ: M N A A, ϕ a ϕa (vi tillader os i udtryk som disse kun at specificere afbildningens virke på tensorer, da disse udspænder tensorproduktet). Idet vi modsætningsvist antager, at N er en ægte delmængde af M, kan vi finde et ψ M, så 1 og ψ er lineært uafhængige over N. Vælges a 0 i A, viser den lineære uafhængighed samt egenskaber ved tensorproduktet, at x = ψ a 1 ψa 0. Men Λx = ψa ψa = 0, så kernen af Λ er et ideal forskelligt fra nul. Da 1 M, er Λ samtidigt surjektiv og således ikke konstant nul. Kernen af Λ er dermed et ikke-trivielt ideal i M N A over N, hvilket er i modstrid med N-simpliciteten heraf. Vi konkluderer, at der må gælde M = N, hvilket færdiggør beviset.

19 K a p i t e l 2 Galois-virkninger og K-former Vi vil midlertidigt se bort fra algebrastrukturen på en algebra og i stedet beskæftige os med vektorrum over et legeme K. Vi lader endvidere M være en endeligt-dimensional Galois-udvidelse af K. Målet er dog i sidste ende at finde kriterier for, hvornår det om to K-algebraer A og B gælder, at skalarudvidelserne A M og B M er M-isomorfe. Lad G = Gal(M/K) være Galois-gruppen af M over K. I det følgende vil vi ofte være i den situation, at vi har et M-vektorrum W samt en gruppevirkning G W W, (ϕ,w) Θ ϕ w så transformationerne w Θ ϕ w er semilineære over M med tilhørende automorfi ϕ. En sådan gruppevirkning vil vi kalde en Galois-virkning på W (terminologien står for undertegnedes egen regning). En Galois-virkning kan med andre ord også opfattes som en gruppe Γ = {Θ ϕ ϕ G} af semilineære afbildninger Θ ϕ på W, hvor ϕ G er automorfien hørende til Θ ϕ, og hvor Θ 1 = 1 samt Θ ϕ Θ ψ = Θ ϕψ for alle ϕ,ψ G. (2.1) Med andre ord er gruppen Γ isomorf til G. Eksempel 2.1. Antag, at vores vektorrum har formen W = V M = M K V, en skalarudvidelse af et K-vektorrum V. Da findes der et kanonisk eksempel på en Galois-virkning på W : Sæt nemlig for hvert ϕ G Θ ϕ = ϕ 1: M K V = W W, hvor 1: V V er identitetsafbildningen. Denne tensorkonstruktion giver mening, idet ϕ er K-lineær, og det er ikke svært at se, at Γ = {Θ ϕ } opfylder vores definition på en Galois-virkning. Hvis vores vektorrum har formen W = V M for et K-vektorrum V som i eksemplet, vil vi sige, at V er en K-form på W (jeg har ikke fundet andre kilder til denne terminologi end min vejleder). 9

20 10 Kapitel 2. Galois-virkninger og K-former Lemma 2.2. Lad W være et M-vektorrum og Γ = {Θ ϕ } en Galois-virkning på W. Lad endvidere V være mængden af fikspunkter for alle elementerne i Γ. Så er V en K-form på W. Bevis. Det er umiddelbart klart, at V er et K-underrum. Jf. Jantzen (2005, Corollary 2.6.2, s. 78) udgør Galois-gruppen G = {ϕ 1,ϕ 2,...,ϕ n } en lineært uafhængig mængde i M-vektorrummet af funktioner M M. Hvis {m 1,m 2,...,m n } er en basis for M over K (antal elementer i denne basis er lig antal elementer i G jf. ibid., 2.4.1(1)), vil matricen U = (ϕ i m j ) være invertibel over M: Thi hvis vu = 0 for en rækkevektor v = (v 1,v 2,...,v n ) M n, gælder der v 1 ϕ 1 m j + v 2 ϕ 2 m j + + v n ϕ n m j = 0 for alle j. Men da {m j } udspænder M over K, er i v iϕ i = 0, og da alle ϕ i er M-lineært uafhængige, er v i = 0 for alle i. Lad nu x W. Da identiteten 1 er et element i G, ligger x i underrummet S = span M {Θ ϕ x ϕ G} af W. Lad q : M n S være den surjektive M-lineære afbildning, der sender den i te standardsbasisvektor e i over i Θ ϕi x. Så er sammensætningen qu : M n S også surjektiv. Det følger, at vi kan skrive x som linearkombination af elementerne ϕ G (ϕm j)(θ ϕ x),1 j n. Hvis vi kan vise, at disse elementer ligger i V, vil vores vilkårlige element x W altså være en M-linearkombination af elementer fra V, og vi vil have verificeret udsagn (i) i Proposition A.2. For at vise dette lader vi ψ G og m M og udregner for alle j, at Θ ψ (ϕm j )(Θ ϕ x) = (ψ(ϕm j )) (Θ ψ Θ ϕ x) ϕ G ϕ G = (ψϕm j )(Θ ψϕ x) = (ϕm j )(Θ ϕ x), ϕ G hvilket netop var det ønskede. For at vise udsagn (ii) i Proposition A.2 lader vi v 1,v 2,...,v k være K-lineært uafhængige vektorer i V. Antag, at der findes en M-lineær relation k i=1 α i v i = 0 for passende α i M, som ikke alle er nul. Antag endvidere, at k > 1 er det minimale tal, for hvilket en sådan relation findes. Ved skalering og ombytning kan vi antage, at α 1 K og α 2 K. Da K netop er mængden af fikspunkter for G, kan vi vælge et ϕ G, så ϕα 2 α 2. Men så er 0 = k α i v i Θ ϕ i=1 k α i v i = i=1 ϕ G k (α i ϕα i )v i, og vi har opnået en kortere ikke-triviel lineær relation i modstrid med vores antagelser. Dette viser det ønskede. Lemma 2.2 viser essentielt, at Eksempel 2.1 udtømmer alle Galois-virkninger på W : Thi givet en sådan virkning Γ kan vi finde en K-form V på W bestående af fikspunkter for Γ. Et element Θ ϕ Γ afbilder nu en tensor m v = mv (hvor m M og v V ) til (ϕm) v = (ϕm)v. Det følger, at Γ = {Θ ϕ } præcist er den gruppe, der konstrueredes i eksemplet. Hvis omvendt V er en K-form på W som i Eksempel 2.1, er det fra konstruktionen let at se, at V = {1 v v V } er en delmængde af underrummet Ṽ W i=2

21 11 af fikspunkter for Γ. Endvidere sikrer Lemma 2.2 os, at Ṽ er en K-form på W. Da således W = V M = Ṽ M, får vi fra Proposition A.4 på side 35, at V = Ṽ. Vi konkluderer helt i Galois-teoriens ånd, at Sætning 2.3. Der findes en én-til-én-korrespondance imellem Galois-virkningerne Γ på W og K-formerne V på W. Afbildningen Γ V er givet ved at lade V være mængden af fikspunkter for Γ. Afbildningen V Γ er givet ved konstruktionen fra Eksempel 2.1. Vi vil nu vende tilbage til at betragte algebraer. Givet en M-algebra à ønsker vi som nævnt tidligere at undersøge isomorfiklasserne af K-formerne på Ã, som også er K-algebraer. En K-delalgebra A af à er specielt et K-underrum, så for en sådan K-form kan vi med udgangspunkt i i Eksempel 2.1 konstruere en Galois-virkning Γ = {Θ ϕ } på Ã. Det er ud fra konstruktionen ikke svært at se, at disse nødvendigvis må blive algebraautomorfier på à over K. Hvis omvendt en Galois-virkning Γ = {Θ ϕ } består af K-automorfier på Ã, er det også umiddelbart klart, at mængden A af fikspunkter er en K-delalgebra af Ã. Ergo inducerer én-til-én-korrespondancen fra Sætning 2.3 også en tilsvarende korrespondance imellem Galois-virkningerne på à bestående af K-algebraautomorfier og K-formerne på A, som også er delalgebraer. Vi vil derfor foretage en redefinition af vores tidligere begreber specielt for algebraer og lade en Galois-virkning på en M-algebra à være en gruppe Γ = {Θ ϕ } af K-algebraautomorfier på Ã, som opfylder ligning (2.1). Tilsvarende vil vi lade en K-form på en M-algebra à være en K-delalgebra A, som opfylder A M = Ã. Sætning 2.4. Der findes en én-til-én-korrespondance imellem Galois-virkningerne og K-formerne på à (betragtet som M-algebra). Denne er som givet i Sætning 2.3. To sådanne K-former A og B med tilhørende Galois-virkninger Γ = {Θ ϕ } og = {Φ ϕ } er K-isomorfe, hvis og kun hvis der findes en M-automorfi Λ på Ã, så Φ ϕ = ΛΘ ϕ Λ 1 for alle ϕ G = Gal(M/K). (2.2) Et helt tilsvarende resultat omkring isomorfier kunne også være blevet formuleret for vektorrum i Sætning 2.3, men dette langt svagere resultat har ikke vores interesse. Bevis. Det første udsagn er indholdet af redegørelsen herover. Lad derfor A og B være som givet, og antag, at der findes en isomorfi Λ: A B over K. Via Proposition A.1 på side 34 kan denne på entydig vis udvides til en automorfi Λ: à = A M à = B M over M. For ϕ G betragtes afbildningen ΛΘ ϕ Λ 1, som er semilineær over M med tilhørende automorfi ϕ. Vi har ΛΘ 1 Λ 1 = 1 samt (ΛΘ ϕ Λ 1 )(ΛΘ ψ Λ 1 ) = ΛΘ ϕψ Λ 1 for alle ϕ,ψ G. Da Λ 1 afbilder B bijektivt til A, og da A er fikspunkterne for {Θ ϕ }, er B netop fikspunkterne for Galois-virkningen {ΛΘ ϕ Λ 1 }. Grundet én-til-én-korrespondancen må ligning (2.2) derfor gælde. Lad omvendt Γ og være relateret som i ligning (2.2) via en M-automorfi Λ. Da A er fikspunkter for {Θ ϕ }, er ΛA fikspunkter for = {ΛΘ ϕ Λ 1 }, så ΛA B.

22 12 Kapitel 2. Galois-virkninger og K-former Et helt tilsvarende argument giver, at Λ 1 B A. Ergo får vi ΛA = B, og da Λ specielt er en K-automorfi, er A og B isomorfe over K. Vi vil i det følgende sjældent referere direkte til den større algebra Ã. Thi vi søger i sidste ende blot kriterier for, hvornår to K-algebraer A og B opfylder A M B M. Vi kan da sætte à = A M og indlejre B i à via den nævnte isomorfi og derved opnå A M = B M, hvilket netop er situationen beskrevet ovenfor. Vi vil derfor ofte tillade os at antage, at A M = B M.

23 K a p i t e l 3 Konstruktion af simple Lie-algebraer Idette og de følgende kapitler vil vi koncentrere os om klassifikationen af simple, endeligt-dimensionale Lie-algebraer over vilkårlige legemer af karakteristik nul. Lad P være et algebraisk lukket legeme af karakteristik nul. Det viser sig, at den klassifikation af de endeligt-dimensionale, simple Lie-algebraer over de komplekse tal, som foretages i Carter (2005), også er gyldige over vores algebraisk lukkede legeme P. Begreber som Cartan-dekompositionen, Killing-formen, Cartan-matricen, Dynkin-diagrammerne og rodsystemerne har mere eller mindre naturlige generaliseringer, som dækkes i Jacobson (1966, chapter IV); den primære forskel fra det komplekse tilfælde er, at der som regel anvendes rationelle rodsystemer, da de rationelle tal (samt naturligvis deres aflukning) er det eneste konkrete legeme, hvis inklusion i P er a priori givet grundet karakteristikken. Således får vi som specialtilfælde af sammenfatningen i Jacobson (ibid., s. 146) det resultat, at Sætning 3.1. For enhver af typerne A l, l 1, B l, l 2, C l, l 3, D l, l 4, G 2, F 4, E 6, E 7, E 8 findes en (op til isomorfi) entydig, endeligt-dimensional, simpel Lie-algebra over P af denne type. Disse typer udtømmer isomorfiklasserne for sådanne Lie-algebraer over P. Læseren bedes notere sig, at vi her anvender den konvention at skrive typerne ikke-kursiveret; dette sker først og fremmest, fordi de kursiverede bogstaver A og B hyppigt anvendes for algebraer. Vi vil til senere brug notere en række mulige konstruktioner af de fire klassiske typer over vores legeme P. Disse konstruktioner betjener sig af følgende begreb: En involution (terminologien stammer fra Jacobson (ibid., s. 300), men vi går primært frem efter Lang (2002, s ) med et par selvstændige tilføjelser, som gør resten af teorien enklere) på en enhedsløs ring R er en antiautomorfi R R, x x, 13

24 14 Kapitel 3. Konstruktion af simple Lie-algebraer der er sin egen invers. Med andre ord skal der for alle x,y R gælde, at (i) (x + y) = x + y (ii) (xy) = y x (iii) (x ) = x. Endskønt er indført som en antiautomorfi på en enhedsløs ring, er det oplagt, at 1 = 1, hvis R har en enhed. Faktisk vil vi primært være interesserede i involutioner på algebraer A over et legeme L. Det er da naturligt endvidere at kræve, at er lineær: (iv) (αx) = α(x ) for alle α L,x A. Bemærk dog, at vi i denne opgave ofte håndterer algebraer over flere forskellige legemer på én gang. Vi vil derfor bestræbe os på at anvende termer som»l-lineær involution«eller blot»l-involution«. Det kanoniske eksempel på en involution på en algebra er adjunktion mht. indre produkter (se appendiks B på side 37); for en mere fuldstændig dækning af det sesquilineære tilfælde havde det dog været mere naturligt at udskifte (iv) med det svagere krav, at er semilineær med tilhørende automorfi en involution på grundlegemet, hvilket da også ofte ses andre steder i litteraturen. Følgende resultat viser, at vores kanoniske eksempel under passende omstændigheder udtømmer klassen af lineære involutioner: Sætning 3.2. Lad D være en divisionsalgebra over et legeme K og M et frit D-modul af endelig rang med A = End D (M). Antag, at A har en K-involution x x. Så findes en K-lineær involution d d på D, så er givet ved adjunktion mht. et passende ikke-degenereret, (skæv-)hermitesk indre produkt på M over D, hvor d d er den til formen hørende ringinvolution. Bevis. Se Jacobson (1996, Theorem , s. 188) samt den efterfølgende bemærkning i parentes. Faktisk er udsagnet i den henviste sætning en smule stærkere. Lad nu A være en algebra over et legeme L af karakteristik 2 udstyret med en L-lineær involution. Sæt A ± = {a A a = ±a}, og kald A + de -symmetriske elementer og A de -skæve. Vi finder, at et vilkårligt element a A kan skrives som en sum a = 1 2 (a + a ) (a a ) af et element fra A + og et element fra A (her anvendes karakteristik 2). Da endvidere A + A = {0} (her anvendes igen karakteristik 2), er A = A + A en direkte sum af underrum af A. Generelt behøver A ± dog ikke at være delalgebraer af A. Imidlertid er det ikke svært at overbevise sig om, at kommutatoren af elementer fra A ligger i A. Hvis A er en associativ algebra (med eller uden enhed), er [A ] således en Lie-delalgebra af [A].

25 15 Lad R være en enhedsløs ring udstyret med en involution. Centret Z(R) af ringen R er kommutativt, så kan restringeres til en automorfi på Z(R), som må være enten identiteten eller have periode to (da dette var tilfældet for den oprindelige involution). I det første tilfælde vil vi sige, at er en involution af første type, i det andet en involution af anden type. Hvis vores ring er en central, associativ algebra med enhed over et legeme, er involutionen af første type jf. Eksempel 1.2. Med indførelsen af dette begrebsapparat er vi klar til at give den lovede konstruktion af de fire klassiske typer Lie-algebraer over algebraisk lukkede legemer af karakteristik nul. Da vi i resten af opgaven primært vil beskæftige os med legemer af denne karakteristik, vil vi for at undgå overforbrug af termen»karakteristik nul«anvende konventionen, at Fra nu af antages alle legemer at have karakteristik nul, medmindre andet eksplicit nævnes (bemærk dog, at konventionen ikke gælder i appendicerne). Med denne konvention i ryggen formulerer vi Konstruktion 3.3 af de klassiske typer A l D l. Lad P være et algebraisk lukket legeme og n et strengt positivt heltal, og lad V være et n-dimensionalt vektorrum over P. Skriv g = sl(v ) sl n (P ) for Lie-algebraen af K-endomorfier med spor nul. Så gælder: (i) Antag, at n = l + 1. Så er g simpel af type A l, når l 1. I dette tilfælde har g dimension l(l + 2) = n 2 1. Lad dernæst V være udstyret med et ikke-degenereret, (skæv)symmetrisk indre produkt. Sæt endvidere A = End P (A) M n (P ), og betragt Lie-algebraen g = [A ] bestående af de skæve elementer mht. involutionen nedarvet fra det nævnte indre produkt (jf. appendiks B på side 37). Så gælder: (ii) Antag, at det indre produkt er symmetrisk, og at n = 2l + 1. Så er g simpel af type B l, når l 2. I dette tilfælde har g dimension l(2l + 1) = 1 2n(n 1). (iii) Antag, at det indre produkt er skævsymmetrisk, og at n = 2l. Så er g simpel af type C l, når l 3. I dette tilfælde har g dimension l(2l + 1) = 1 2n(n + 1). (iv) Antag, at det indre produkt er symmetrisk, og at n = 2l. Så er g simpel af type D l, når l 4. I dette tilfælde har g dimension l(2l 1) = 1 2n(n 1). Bevis. Dette er indholdet af Theorems 6 9, s i Jacobson (1966). Bemærk, at kravet om eksistensen af et totalt istropisk underrum af dimension l (i værket omtalt som maksimalt Witt-indeks) bortfalder grundet Lemma B.9 på side 45, idet vores legeme er algebraisk lukket.

26 16 Kapitel 3. Konstruktion af simple Lie-algebraer Bemærk jf. Sætning B.6 på side 43, at et ikke-degenereret, skævsymmetrisk indre produkt kun kan eksistere på et endeligt-dimensionalt vektorrum, hvis dimensionen er lige. Tilfældene (ii) (iv) udtømmer med andre ord mulighederne for ikke-degenererede, (skæv)symmetriske indre produkter på P -vektorrum af tilstrækkeligt høj (endelig) dimension. Vi viderefører notationen fra Carter (2005) og skriver [A ] for A betragtet som Lie-algebra via produktet [xy] = xy yx for x,y A. Lie-algebraen [A ] 2 = [A A ] fås som vektorrummet frembragt af sådanne produkter [xy]. Vi vil reducere vores klassifikation af de simple, endeligt-dimensionale Lie-algebraer over vilkårlige legemer L (af karakteristik nul) via ovenstående klassifikation. Sætning 1.9 viser, at vi ikke taber meget ved at antage, at A er central over L. Lad derfor P være den algebraiske aflukning af L (som også nødvendigvis vil blive den algebraiske aflukning af ethvert dellegeme K L, over hvilket A er endeligt-dimensional; thi da viser inklusionen L End K (A), at L er en endeligt-dimensional og dermed algebraisk legemsudvidelse af K). Fra Sætning 1.12 er simpliciteten af A ækvivalent med centraliteten og simpliciteten af A P. Hvis A P er simpel, får vi som før, at C (A P ) er en endeligt-dimensional og dermed algebraisk legemsudvidelse af P, altså P selv. Ergo kan Proposition 1.7 forsimples til (idet vi bemærker, at ovenstående slutning ikke anvendte karakteristik nul) Proposition 3.4. (i) Enhver endeligt-dimensional, simpel algebra over et algebraisk lukket legeme (af vilkårlig karakteristik) er central. (ii) En endeligt-dimensional, central algebra A over et legeme L (af vilkårlig karakteristik) er simpel, hvis og kun hvis skalarudvidelsen A P til den algebraiske aflukning P er simpel. De endeligt-dimensionale, centrale og simple Lie-algebraer g over L er med andre ord præcist dem, hvis skalarudvidelse g P optræder på listen i Sætning 3.1. Det er derfor naturligt at videreføre betegnelserne fra denne eksisterende klassifikation. Vi vil derfor sige, at en central og simpel Lie-algebra g over L har type X, hvis skalarudvidelsen til P er en simpel Lie-algebra af type X, hvor X optræder på vores liste i Sætning 3.1. Det er naturligt at generalisere terminologien til vilkårlige dellegemer K L og sige, at en simpel Lie-algebra A over K har type X, hvis A har type X betragtet som Lie-algebra over centroiden L. Vi vil også tillade os at udelade l et og skrive»type A«,»type B«osv. Bemærk dog, at det ikke heri ligger, at Lie-algebraer af samme type er isomorfe (hvilket da heller ikke er tilfældet, som det vil blive demonstreret). Vi vil fokusere på de Lie-algebraer, hvis typer er de klassiske A l,b l,c l,d l. Det vil blive vist, at alle disse typer faktisk vil forekomme, og vi skal siden demonstrere, at vores konstruktioner udtømmer de simple Lie-algebraer af typerne A D undtagen D 4. Vi vil tage udgangspunkt i følgende resultat, som er forsimplet i forhold til formuleringen i Lang (2002, Corollary 3.5, s. 649) via eksemplet, der følger umiddelbart efter resultatet. W edderburn-artins Sætning 3.5. En endeligt-dimensional, simpel, associativ algebra med enhed over et legeme af vilkårlig karakteristik er isomorf til ringen af endomorfier på et frit modul af endelig rang over en endeligt-dimensional divisionsalgebra.

27 17 Bemærk, at sætningen kan kombineres med Sætning 3.2 til at give en udtømmende beskrivelse af involutionerne på endeligt-dimensionale, simple, associative algebraer med enhed over legemer af vilkårlig karakteristik. Eksempel 3.6. Hvis algebraen er over et algebraisk lukket legeme P af vilkårlig karakteristik, er den eneste endeligt-dimensionale P -divisionsalgebra P selv: Thi hvis d ligger i divisionsalgebraen, er P (d) kommutativ og således en endeligt-dimensional (og dermed algebraisk) legemsudvidelse af P. Dermed er P (d) = P, og d P. Ergo er matrixringene de eneste P -algebraer, der opfylder antagelserne fra sætningen. Lemma 3.7. Lad A være en endeligt-dimensional, central og simpel associativ algebra med enhed over et legeme L af vilkårlig karakteristik, og lad P være den algebraiske aflukning af L. Så er A P M n (P ) for et passende heltal n 1. Specielt er [A : L] = [A P : P ] = n 2 et kvadrattal. Bevis. Fra Proposition 3.4 er skalarudvidelsen A P simpel. Dimensionen over P er den samme som dimensionen af A over L (jf. Proposition A.2), så A P har også endelig dimension. Fra diskussionen ovenfor følger udsagnet A P M n (P ) for et passende n, og vi er færdige. Vi vil benytte dette til at give en simpel konstruktion af en Lie-algebra over K af type A. Vi vil betegne en Lie-algebra på denne form med type A I : Konstruktion 3.8 af type A I. Lad l 1 være et helt tal, og antag, at A er en (l + 1) 2 -dimensional, central og simpel associativ L-algebra med enhed. Så er [A] 2 = [AA] en central og simpel Lie-algebra af type A l over L. Vi noterer, at sætningen etablerer eksistensen af Lie-algebraer af type A l over L, idet A = M l+1 (L) opfylder antagelserne. Bevis. Fra Lemma 3.7 er A P M n (P ), hvor n = l + 1. Sættes nu g = [AA], er det let at se, at g P = [A P,A P ]. Derved har vi g P [M n (P ),M n (P )] = sl n (P ) A l, hvor vi til sidst anvendte Konstruktion 3.3(i). Som navnet type A I antyder, findes der også (til tider) en type A II, hvis konstruktion er som følger. Konstruktion 3.9 af type A II. Lad A være en endeligt-dimensional, simpel, associativ L-algebra med enhed samt med en L-lineær involution af anden type. Antag, at centret af A er en kvadratisk udvidelse M = Z(A) = L(q), dvs. q L og q 2 L. Antag endvidere, at [A : M] = (l + 1) 2 for et heltal l 1 (jf. Lemma 3.7). Så er [A A ] en central og simpel Lie-algebra af type A l over L. I formuleringen af sætningen anvendes, at vi jf. Eksempel 1.2 på side 3 kunne have udskiftet centret med centroiden i formuleringen af resultatet, og at centret således er et legeme. Hvis legemet K er algebraisk lukket, findes ingen kvadratiske udvidelser, og ovenstående scenarium kan ikke finde sted.

28 18 Kapitel 3. Konstruktion af simple Lie-algebraer Bevis. Som tidligere i dette afsnit foretager vi dekompositionen A = A + A af A i en direkte sum af L-underrum. Da q 2 L Z(A), og da er L-lineær, er q 2 = (q 2 ) = (q ) 2, så q = ±q. Idet endvidere ikke er identiteten på M = L(q), må den negative løsning gælde. Da således q ligger i centret og opfylder q = q, er det oplagt, at qa ± A, så x qx er en injektiv (idet A er M-vektorrum og q M) afbildning A ± A. Idet der er tale om endeligt-dimensionale vektorrum over L, har A + og A samme dimension, og x qx er en invertibel lineær afbildning imellem dem. Vi har dermed [A : L] = 2[A : L]. Fra gradsformlen får vi [A : L] = [A : M][M : L] = 2[A : M], hvoraf vi slutter, at [A : L] = [A : M] = (l + 1) 2. Hvis {v i } er en basis for A over L, er {qv i } en basis for A + over samme legeme. Det følger let, at {v i } udspænder A = A + A over M. Da {v i } indeholder [A : L] = [A : M] elementer, er {v i } en basis for A over M. Ergo er (A ) M = A (se Proposition A.2 på side 34). Lad nu P være den algebraiske aflukning af vores legemer. Så er (A ) P = P L A = P M (M L A ) = P M A M n (P ), hvor vi brugte Lemma 3.7 og Korollar A.3, og hvor n = l + 1. Sættes g = [A A ], har vi således g P [M n (P ),M n (P )] = sl n (P ) A l. Vi slutter igen fra Konstruktion 3.3(i), at g er af type A l. Vi vender os nu imod konstruktionen af typerne B D. Lad A være en endeligt-dimensional, central og simpel associativ L-algebra med enhed, og antag, at A har en L-lineær involution ; jf. Eksempel 1.2 vil således nødvendigvis være af første type. Hvis P er den algebraiske aflukning af L, kan via Proposition A.1 på side 34 udvides til en P -lineær involution på A P. Endvidere er A P M n (P ) for et passende n jf. Lemma 3.7. Via Sætning 3.2 får vi derved, at vores involution på A P er givet ved adjunktion mht. et passende ikke-degenereret (skæv-)hermitesk indre produkt på P n. Da involutionen p p på P omtalt i sidstnævnte sætning skal være P -lineær, er den identitetsafbildningen, og vores indre produkt er faktisk bilineært og dermed (skæv)symmetrisk. Sættes g = [A ], ser vi let ud fra konstruktionen, at g P = [(A P ) ]. I det skævsymmetriske tilfælde får vi fra Sætning B.6, at n er et lige tal. Hvis n er et ulige tal, er formen således symmetrisk. Hvis det derimod er et lige tal, ser vi fra Konstruktion 3.3, at vi ud fra dimensionen [g P : P ] = [g : L] kan konkludere, om det indre produkt er symmetrisk eller skævsymmetrisk. Fra samme konstruktion får vi derfor, at Konstruktion 3.10 af type B D. Lad A være en central og simpel associativ L-algebra med enhed, og lad n 2 være dimensionen af A (jf. Lemma 3.7) for et passende heltal n 1. Lad endvidere A have en involution af første type, og sæt g = [A ]. Så gælder: (i) Hvis n = 2l + 1 er et ulige tal for l 2, er g central og simpel af type B l. (ii) Hvis n = 2l er et lige tal for l 3, og hvis [g : K] = l(2l + 1), er g central og simpel af type C l.