sammenhänge 2008 Karsten Juul

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "sammenhänge 2008 Karsten Juul"

Transkript

1 LineÄre sammenhänge y x Karsten Juul

2 Dette häfte er en fortsättelse af häftet "VariabelsammenhÄnge, 008". Indhold 8. Hvad er en lineär sammenhäng? Hvordan ser grafen ud for en lineär sammenhäng? Opgaver hvor vi skal bestemme y eller x i y = ax+b Hvordan kan vi beregne Ändringer i x og y for en lineär sammenhäng? Hvad fortäller a og b om den lineäre sammenhäng y = ax+b? Hvordan kan vi bestemme lineäre sammenhänge? Nyere häfter m.m.: 0/0-0 3/4-0 5/0-9 LineÄre sammenhänge. udgave 008 Å 008 Karsten Juul Dette häfte kan downloades fra HÄftet mç benyttes i undervisningen hvis läreren med det samme sender en til som oplyser at dette häfte benyttes (skriv filnavn), og oplyser om hold, niveau, lärer og skole.

3 Afsnit 8. Hvad er en lineär sammenhäng? DEFINITION 8. Hvad er en lineär sammenhäng? Vi kalder en sammenhäng for lineär hvis den kan beskrives ved en ligning der fçs ved at indsätte bestemte tal for a og b i ligningen () y ax b Opgave 8.: Ligningen () y 0,4x, 7 viser en sammenhäng mellem to variable y og x. Hvilke tal skal vi indsätte for a og b i ligningen y ax b sammenhängen ()? Vi skal sätte a 0,4 og b, 7 for nçr vi gér det, fçr vi ligningen y 0,4x (,7) som kan omskrives til ligningen (). for at fç BemÄrkning I svaret pç 8. viste vi at sammenhängen () kan fçs ved at sätte bestemte tal ind for a og b i ligning () i definition 8.. IfÉlge definition 8. har vi altsç vist at () er en lineär sammenhäng. Opgave 8.3: Ligningen (3) y (3 x) viser en sammenhäng mellem to variable y og x. Hvilke tal skal vi indsätte for a og b i ligningen y ax b sammenhängen (3)? for at fç FÉrst omskriver vi ligningen (3) ved at gange ind i parentesen: (3a) y 6 x For at fç sammenhängen (3) skal vi altsç i ligningen a og b 6 for nçr vi gér det, fçr vi ligningen y ( ) x 6 som kan omskrives til ligningen (3a). y ax b sätte LineÄre sammenhänge Side Karsten Juul

4 Åvelse 8.4 For hver af félgende sammenhänge skal du finde ud af hvilke tal vi skal indsätte for a og b i ligningen y ax b for at fç sammenhängen. () y x 3 () y x (3) y 8, 5 (4) Åvelse 8.5 y x (5) y 5( x 3) Opskriv de to ligninger der fremkommer nçr du i ligningerne () og () nedenfor erstatter u med og v med. For hver af de to ligninger skal du udfylde en tabel som den til héjre. () y u ( v x) () y x u v x 3 IndsÄt et andet tal for u og et andet tal for v sçdan at de to ligninger ikke fçr samme tabel, eller forklar hvorfor det ikke kan lade sig gére. y Eksempel 8.6 For nogle plader er der félgende sammenhäng mellem omkredsen og héjden: (4a) Omkredsen er det tal vi fçr nçr vi ganger hçjden med 3 og lägger til resultatet. Opgave 8.7: Skriv (4a) som en ligning. (Se eksempel 8.6) Vi indférer betegnelserne x = héjde y = omkreds SÇ kan (4a) skrives sçdan: y fçs ved at gange x med 3 og lägge til resultatet Med symboler kan (4a) altsç skrives sçdan: (4b) y 3x. Opgave 8.8: En plade A har omkredsen 6. Hvilket tal fçr vi hvis vi ganger A's héjde med 3 og lägger til? (Se eksempel 8.6) IfÉlge (4a) fçr vi A's omkreds, dvs. 6. Opgave 8.9: Hvis x er 5, vil y sç väre 6? (Se eksempel 8.6) Hvis x er 5 vil y 35 dvs. y 7. Svaret er altsç: Nej, y er ikke 6 nçr x er 5. Opgave 8.0: Skriv en ligning med x der udtrykker at vi fçr 6 nçr vi ganger x med 3 og lägger til. 6 3x LineÄre sammenhänge Side Karsten Juul

5 Åvelse 8. () Skriv en ligning der udtrykker at vi fçr 7 nçr vi ganger x med 3 og lägger til resultatet. () LÉs denne ligning, og skriv hvad lésningen fortäller om pladerne fra eksempel 8.6. (3) Gang 7 med 3 og läg til, og fortäl hvad resultatet fortäller om pladerne fra eksempel 8.6. Åvelse 8. Denne Évelse drejer sig om grafen for sammenhängen (4b) i 8.7. () Hvad er y-koordinaten til det grafpunkt som har x-koordinat 0,5? () Hvad er x-koordinaten til det grafpunkt som har y-koordinat 5? (3) Hvad fortäller svaret pç () om pladerne fra 8.6? (4) Hvad fortäller svaret pç () om pladerne fra 8.6? (5) Ligger punktet ( 3, ) pç grafen? (6) FormulÑr spérgsmçl (5) som et spérgsmçl om héjde og omkreds for pladerne fra 8.6. Åvelse 8.3 Om alle Peters trekanter gälder: HÉjden er det tal vi fçr nçr vi dividerer grundlinjen med og lägger 4 til resultatet. () Skriv denne sammenhäng som en ligning, og husk at det er nédvendigt férst at skrive hvilke bogstaver der stçr for héjde og grundlinje (se 8.7). Om en af Peters trekanter er oplyst: Vi fçr nçr vi dividerer grundlinjen med og lägger 4 til. () Skriv denne oplysning som en ligning. (3) LÉs ligningen, og skriv hvad lésningen fortäller om Peters trekanter. De félgende spérgsmçl drejer sig om grafen for sammenhängen fra spérgsmçl (). (4) Ligger punktet (, 4,5) pç grafen? (5) FormulÑr spérgsmçl (4) som et spérgsmçl om héjde og grundlinje i Peters trekanter. (6) Hvad er y-koordinaten til det grafpunkt som har x-koordinat 0? (7) FormulÑr spérgsmçl (6) som et spérgsmçl om héjde og grundlinje i Peters trekanter. LineÄre sammenhänge Side Karsten Juul

6 Afsnit 9. Hvordan ser grafen ud for en lineär sammenhäng? Ligningen () y 0,5x 0, 7 viser en lineär sammenhäng mellem to variable y og x. Ved at beregne nogle stéttepunkter (se afsnit 4) kan vi tegne grafen for sammenhängen (). Hvis vi gér det, vil vi se at punkterne ligger pç en ret linje. Hvis vi préver med en anden lineär sammenhäng, vil vi se at ogsç for denne sammenhäng ligger punkterne pç en ret linje. Hvis en oplysning om noget der gälder, er särlig vigtig, sç kalder man denne oplysning for en SÖTNING. Rammen indeholder sçdan oplysning. SÉTNING 9. Hvordan ser grafen ud for en lineär sammenhäng? Grafen for en lineär sammenhäng er en ret linje. Opgave 9.: Tegne graf for sammenhängen y = ax+b Tegn grafen for sammenhängen (). Da grafen er en ret linje (ifélge sätning 9.), behéver vi kun udregne to punkter for at kunne tegne den. For at fç stor néjagtighed skal de to punkter ligge langt fra hinanden. NÇr x 3 er y 0,5( 3) 0,7 0, 8 NÇr x 4 er y 0,5 4 0,7, 7 Nu kan vi tegne grafen som den rette linje gennem punkterne ( 3, 0,8) og ( 4,,7). Se figur. Åvelse 9.3 Tegne graf for sammenhängen y = ax+b Denne Évelse drejer sig om grafen for sammenhängen y 0,8x. () Hvorfor kan vi for denne graf néjes med to stéttepunkter? (Se 9.). () Tegn et koordinatsystem hvor bçde x-akse og y-akse gçr fra 6 til 6. (3) Hvis vi skal tegne grafen i dette koordinatsystem, hvorfor dur det sç ikke at bruge de to stéttepunkter der har x-koordinater 0 og? (Se 9.). (4) Tegn grafen i det tegnede koordinatsystem LineÄre sammenhänge Side Karsten Juul

7 SÉTNING 9.4 AfgÇre om sammenhängen y = ax+b er voksende eller aftagende En lineär sammenhäng y ax b er aftagende hvis a er negativ og voksende hvis a er positiv. Opgave 9.5: AfgÇre om sammenhängen y = ax+b er voksende eller aftagende PÇ figuren nedenfor er vist graferne for tre lineäre sammenhänge I, II og III. AfgÉr for hver af dem om a er positiv eller negativ. SammenhÄng I er voksende, sç a er positiv (ifélge 9.4). SammenhÄng II er aftagende, sç a er negativ (ifélge 9.4). SammenhÄng III er voksende, sç a er positiv (ifélge 9.4). I II III Åvelse 9.6 AfgÇre om sammenhängen y = ax+b er voksende eller aftagende For hver af félgende sammenhänge mellem x og y skal du skrive en begrundelse for at den er voksende, eller for at den er aftagende, eller for at den hverken er voksende eller aftagende. () y 0,x 3 () y 4 x (3) y x (4) y 0,6 4x (5) y 00 0 x LineÄre sammenhänge Side Karsten Juul

8 Afsnit 0. Opgaver hvor vi skal bestemme y eller x i y = ax + b Eksempel 0. For nogle skiver der findes i forskellige stérrelser, gälder () y 0,x 0, hvor y er tykkelsen, mçlt i mm, og x er diameteren, mçlt i mm. Opgave 0.: Hvad er tykkelsen af en skive hvis diameter er 4 mm? (Se eksempel 0.) Under ligningen () stçr at x diameteren, sç da det oplyste tal 4 er en diameter, skal 4 indsättes pç x's plads: y 0,4 0, Ved at udregne dette fçr vi y,9. Under ligningen () stçr at y er tykkelsen, sç en skive med diameter 4 mm har tykkelsen,9 mm. Opgave 0.3: Hvad er diameteren af en skive hvis tykkelse er 4,5 mm? (Se eksempel 0.) Under ligningen () stçr at y er tykkelsen, sç da det oplyste tal 4,5 er en tykkelse, skal 4,5 indsättes pç y's plads: 4,5 0,x 0, For at lése denne ligning starter vi med at träkke 0, fra pç begge sider: 4,4 0,x Derefter dividerer vi begge sider med 0,: Vi fçr 4,4 0,x 0, 0, x Under ligningen () stçr at x er diameteren, sç en skive med tykkelse 4,5 mm har diameteren mm. Åvelse 0.4 Om en vare er oplyst at y 3,65x 8,90 hvor y er prisen i kr. og x er bredden i cm. () Hvad er bredden nçr prisen er 8,6 kr.? () Hvad er prisen nçr bredden er 8 cm? LineÄre sammenhänge Side Karsten Juul

9 I fçlgende opgave lader vi t stñ for et tal som endnu ikke er oplyst. Opgave 0.5: Hvad er diameteren af en skive hvis tykkelse er t mm? (Se eksempel 0.) Under ligningen () stçr at y er tykkelsen, sç da det oplyste tal t er en tykkelse, skal t indsättes pç y's plads: t 0,x 0, For at lése denne ligning starter vi med at träkke 0, fra pç begge sider: t 0, 0, x Derefter dividerer vi begge sider med 0,: Vi fçr t 0, 0,x 0, 0, t 0, x 0, Under ligningen () stçr at x er diameteren, sç for en skive med tykkelse t mm er diameteren i mm lig () t 0, 0,. BemÄrkning Hvis t 4, 5 fçr vi af () at diameteren i mm er 4,5 0,. 0, Åvelse 0.6 Vi beskäftiger os stadig med varerne fra Évelse 0.4. () Hvis p stçr for prisen pç en af varerne, hvad er sç bredden af denne vare (udtrykt ved p)? () Vis hvordan svaret pç () kan bruges til at besvare férste spérgsmçl i Évelse 0.4. LineÄre sammenhänge Side Karsten Juul

10 Afsnit. Hvordan kan vi beregne Ändringer i y og x for en lineär sammenhäng? Eksempel. For en plante gälder () y,5 x 3, 7 hvor y er vägten, mçlt i gram, og x er längden mçlt i cm. Opgave.: Nu er plantens längde 5, cm. Hvor meget tungere end nu vil planten väre nçr den er blevet,6 cm längere? (Se eksempel.) x er 5,. SpÉrgsmÇlet er: hvor meget stérre bliver y nçr x bliver,6 enheder stérre? NÇr x er blevet,6 enheder stérre, sç har x stérrelsen 5,,6 7,8 Vi bestemmer y nçr x er 5, og 7,8: NÇr x 5, er y,5 5, 3,7, 5. NÇr x 7, 8 er y,5 7,8 3,7 5, 4. Da x voksede fra 5, til 7,8, sç voksede y altsç fra,5 til 5,4. Nu kan vi nemt regne ud hvor meget stérre y er blevet: 5,4,5 3,9 Der gälder altsç: Planten blev 3,9 gram tungere da den blev,6 cm längere. BemÄrkning Trinene i udregningerne er vist nedenfor. x 5,? x 5, 7,8 y y?? Trin Trin, 6, 6 x 5, 7,8 x 5, 7,8 y,5 5,4 y,5 5,4? 3, 9 Trin 3 Trin 4 LineÄre sammenhänge Side Karsten Juul

11 Åvelse.3 SpÉrgsmÇlene drejer sig om planten fra eksempel.. Nu er plantens längde 3,6 cm. () Hvad er plantens längde nçr den er blevet,8 cm längere? () Hvad er plantens vägt nu? (3) Hvad er plantens vägt nçr den er blevet,8 cm längere? (4) Hvor meget tungere end nu vil planten väre nçr den er blevet,8 cm längere? (5) Hvor meget tungere end nu vil planten väre nçr den er blevet 3, cm längere? Opgave.4: Nu vejer planten 7,9 gram. Hvor meget längere end nu vil planten väre nçr den er blevet, gram tungere? (Se eksempel.) y er 7,9. SpÉrgsmÇlet er: hvor meget stérre bliver x nçr y bliver, enheder stérre? NÇr y er blevet, enheder stérre, sç har y stérrelsen 7,9, 0,0 Vi bestemmer x nçr y er 7,9 og 0,0: Ved at lése ligningen 7,9,5 x 3, 7 fçr vi x, 8. Ved at lése ligningen 0,0,5 x 3, 7 fçr vi x 4,. Da y voksede fra 7,9 til 0,0, sç voksede x altsç fra,8 til 4,. Nu kan vi nemt regne ud hvor meget stérre x er blevet: 4,,8,4 Der gälder altsç: Planten blev,4 cm längere da den blev, gram tungere. BemÄrkning Trinene i udregningerne er vist nedenfor. x x?? y 7,9? y 7,9 0,0,, Trin Trin?, 4 x,8 4, x,8 4, y 7,9 0,0 y 7,9 0,0,, Trin 3 Trin 4 LineÄre sammenhänge Side Karsten Juul

12 Åvelse.5 SpÉrgsmÇlene drejer sig om planten fra eksempel.. Nu er plantens vägt 4,9 gram. () Hvad er plantens vägt nçr den er blevet, gram tungere längere? () Hvad er plantens längde nu? (3) Hvad er plantens längde nçr den er blevet, gram tungere? (4) Hvor meget längere end nu vil planten väre nçr den er blevet, gram tungere? (5) Hvor meget längere end nu vil planten väre nçr den er blevet 3 gram tungere? I fçlgende opgave lader vi t stñ for et tal som endnu ikke er oplyst. Opgave.6: Nu er plantens längde 5, cm. Hvor meget tungere end nu vil planten väre nçr den er blevet t cm längere? (Se eksempel.) x er 5,. SpÉrgsmÇlet er: hvor meget stérre bliver y nçr x bliver t enheder stérre? NÇr x er blevet t enheder stérre, sç har x stérrelsen 5, t Vi bestemmer y nçr x er 5, og 5,t : NÇr x 5, er y,5 5, 3,7, 5 Der er parentes da,5 skal ganges med det vi fçr nçr 5, lägges til t. NÇr x 5, t er y,5 (5,t) 3,7 7,8,5t 3,7,5, 5t Vi kan nu regne ud hvor meget stérre y er blevet:,5,5t,5, 5t Der gälder altsç at da planten blev t cm längere, sç var vägtstigningen i gram,5t BemÄrkninger Opgavens resultat kan anskueliggéres sçdan: t x 5, y,5 t Stigningen i y-värdien er halvanden gange stigningen i x-värdien. Åvelse.7 I bemärkningerne ovenfor stçr en regel om planten fra.. Vis hvordan reglen kan bruges til at besvare félgende spérgsmçl: () Nu er plantens längde 5, cm. Hvor meget tungere end nu vil planten väre nçr den er blevet cm längere? () Nu er plantens längde 5, cm. Hvor meget tungere end nu vil planten väre nçr den er blevet cm längere? (3) Nu er plantens längde 5, cm. Hvor meget tungere end nu vil planten väre nçr den er blevet 0 cm längere? LineÄre sammenhänge Side Karsten Juul

13 Vi lader igen t stñ for et tal som endnu ikke er oplyst. Opgave.8: NÇr x starter med at have värdien t og derefter bliver gjort enhed stérre, hvor meget stérre bliver sç y? (Se eksempel.) Dette spérgsmçl er anskueliggjort her: x y t? VÄrdien af x Éges fra t til t. NÇr x t er y,5 t 3, 7 NÇr x t er y,5( t) 3,7,5 t,5 3,7,5 t 5, Vi kan nu regne ud hvor meget stérre y bliver nçr x Éges fra t til t :,5 t 5, (,5 t 3,7),5 t 5,,5 t 3,7 AltsÇ gälder at y bliver, 5 stérre nçr x bliver stérre.,5 BemÄrkning Start-tallet t indgçr ikke i svaret. Der gälder altsç: Hver gang x bliver enhed stérre, sç vil y blive,5 enheder stérre. Åvelse.9 I bemärkningen ovenfor stçr en regel om planten fra.. Vis hvordan reglen kan bruges til at besvare félgende spérgsmçl: () Hvor meget tungere bliver planten nçr den bliver cm längere? () Hvor meget tungere bliver planten nçr den bliver cm längere? (3) Hvor meget tungere bliver planten nçr den bliver 3 cm längere? Åvelse.0 Ligningen y 5x viser sammenhängen mellem to variable x og y. () Find ud af hvad der skal stç efter sidste lighedstegn: NÇr x t er y () Find ud af hvilket reduceret udtryk der skal stç efter sidste lighedstegn: NÇr x t er y 5( t) (3) Find ud af hvad der skal stç efter de to sidste lighedstegn nedenfor nçr udregningen skal väre omtrent som den i () NÇr x t er y Vis hvordan dine svar pç foregçende spérgsmçl kan bruges til at besvare félgende to spérgsmçl: (4) Hvor mange enheder bliver y stérre nçr x bliver enhed stérre. (5) Hvor mange enheder bliver y stérre nçr x bliver enhed stérre. LineÄre sammenhänge Side Karsten Juul

14 Afsnit. Hvad fortäller a og b om den lineäre sammenhäng y = ax + b? I dette afsnit stñr bñde a, b og t for tal som endnu ikke er oplyst. Eksempel. Ligningen () y ax b viser sammenhängen mellem to variable y og x. Opgave.: Bevis for.3 Hvilken Ändring sker i värdien af y, nçr x Ändrer värdi fra t til t eksempel.)? (Se Vi regner ud hvad y er nçr x er t og t : NÇr x t er y at b NÇr x t er y a( t) b at a b Vi udregner nu Ändringen i värdien af y : at a b ( at b) at a b at b Dvs. nçr x Ändres fra t til t, sç lägges a til värdien af y. a BemÄrkninger Opgavens udregning kan anskueliggéres sçdan: x t t+ y at+b at+a+b a Udregningen i svaret viser at uanset hvilken startvärdi x har, sç lägges der a til värdien af y nçr der lägges til värdien af x. BemÄrk at a kan väre negativ. Hvis a er, sç bliver y altsç enheder mindre hver gang x bliver enhed stérre. Svaret pç. er et BEVIS for sätning.3 nedenfor. Hvad er et BEVIS? Et bevis for en pçstand er nogle logiske slutninger der gér det fuldständig sikkert at pçstanden gälder. SÉTNING.3 Hvad fortäller a i y = ax+b? Hvis y ax b, fortäller a at hver gang x bliver enhed stérre, sç vil y blive a enheder stérre. LineÄre sammenhänge Side Karsten Juul

15 Eksempel.4 Ligningen () y 5x 0 viser sammenhängen mellem félgende to variable x temperaturen (mçlt i C) (3) y overskuddet (mçlt i mio.kr.) Opgave.5: Hvad fortäller a i y = ax+b? I ligningen () stçr tallet 5. Hvad fortäller tallet 5 om overskuddet? (Se eksempel.4) Reglen om hvad a fortäller (sätning.3) siger at hver gang x bliver enhed stérre, sç vil y blive a enheder stérre. Heri erstatter vi a, x og y med oplysningerne fra () og (3): (4) Hver gang temperaturen bliver enhed stérre, sç vil overskuddet blive 5 enheder stérre. SÄtningen (4) er klodset sprog, sç vi omformulerer (4) til: For hver grad temperaturen stiger, vokser overskuddet med 5 mio. kr. Dette er hvad tallet 5 fortäller om overskuddet. Åvelse.6 Mellem de variable x = antal uger efter at foreningen blev oprettet er der félgende sammenhäng: y 5x 70 y = antal medlemmer Hvad fortäller tallet 5 om antallet af medlemmer? (Brug metoden fra.5). Åvelse.7 Mellem de variable x = antal minutter efter at vandhanen blev Çbnet er der félgende sammenhäng: y 3x 4 Hvad fortäller tallet 3 om vandet i karret? (Brug metoden fra.5). y = antal liter i karret Åvelse.8 For en bestemt busk vokser bredden hurtigere end héjden. Mellem de variable x = bredde (i cm) y = héjde (i cm) er der félgende sammenhäng: y 0,8x Hvad fortäller tallet 0, 8 om planten? (Brug metoden fra.5). LineÄre sammenhänge Side Karsten Juul

16 Opgave.9: Bevis for.0 I eksempel 0. stçr at ligningen () y ax b viser sammenhängen mellem to variable y og x. Hvad er y nçr x er 0? NÇr x 0 er y a0 b 0 b b. Dvs. y er b nçr x er 0. BemÄrkning Svaret pç.9 er et BEVIS for sätning.0. Et bevis for en pçstand er nogle logiske slutninger der gér det fuldständig sikkert at pçstanden gälder. SÉTNING.0 Hvad fortäller b i y = ax+b? Hvis y ax b, fortäller b at nçr x er 0, er y lig b. Opgave.: Hvad fortäller b? I eksempel.4 stçr at ligningen () y 5x 0, viser sammenhängen mellem félgende to variable (3) x temperaturen (mçlt i C) y overskuddet (mçlt i mio.kr.) I ligningen () stçr tallet 0. Hvad fortäller tallet 0 om overskuddet? Reglen om hvad b fortäller (sätning.0) siger at nçr x er 0, er y lig b. Heri erstatter vi b, x og y med oplysningerne fra () og (3): NÇr temperaturen er 0, er overskuddet lig 0. Vi omformulerer dette til Ved 0 C er overskuddet 0 kr. Dette er hvad tallet 0 i ligningen () fortäller os om overskuddet. BemÄrkning Nedenfor er anskueliggjort hvad tallene 5 og 0 i ligningen y 5x 0 fra. fortäller om overskuddet: Temperatur (C) 0 3 Overskud (kr.) LineÄre sammenhänge Side Karsten Juul

17 Opgave.: NÑr a er negativ i y = ax+b Der gälder at a 5 i ligningen (5) y 5x 90 hvor (6) x er temperatur (i C) og y er overskud (i kr.). I ligningen (5) stçr tallet 5. Hvad fortäller tallet 5 om overskuddet? Reglen om hvad a fortäller (sätning.3) siger at hver gang x bliver enhed stérre, sç vil y blive a enheder stérre. Heri erstatter vi a, x og y med oplysningerne fra (5) og (6): Hver gang temperaturen bliver enhed stérre, sç vil overskuddet blive 5 enheder stérre. Dette betyder: (7) Hver gang temperaturen bliver enhed stérre, sç vil overskuddet blive 5 enheder mindre. SÄtningen (7) er klodset sprog, sç vi omformulerer (7) til: For hver grad temperaturen stiger, falder overskuddet med 5 mio. kr. Dette er hvad tallet 5 i ligningen (5) fortäller os om overskuddet. Åvelse.3 Mellem de variable x = antal dage efter at der blev lagt bréd i skabet er der félgende sammenhäng: y 4x 8 y = antal bréd i skabet Hvad fortäller tallet 4 om antallet af bréd i skabet? (Brug metoden fra.). Åvelse.4 I et havomrçde gälder y 0,x 460 hvor x = afstand til havbunden (i meter) y = tryk (i atmosfäre) Hvad fortäller tallene 0, og 460 om trykket? Åvelse.5 Mellem de variable x = tiden (mçlt i uger efter. maj) y = dyrets vägt (mçlt i gram) er der félgende sammenhäng: y 5x 80 Hvad fortäller tallene 5 og 80 om dyrets vägt? LineÄre sammenhänge Side Karsten Juul

18 Opgave.6: NÑr x Çges med flere enheder (i spérgsmçl (3) Éges x med 5 enheder) Mellem de variable x = temperaturen i beholder A (i C) y = temperaturen i beholder B (i C) er der félgende sammenhäng: y,x 40 () Hvad fortäller tallene, og 40 om temperaturerne i de to beholdere? () Hvor mange grader stiger temperaturen i B nçr temperaturen i A Ändres fra 8 grader til 9 grader? (3) Hvor mange grader stiger temperaturen i B nçr temperaturen i A stiger 5 grader? () I en sammenhäng y ax b gälder: Hver gang x bliver enhed stérre, sç vil y blive a enheder stérre. NÇr x er 0, er y lig b. Da a, og b 40, og x og y er temperaturerne i A og B, gälder: Hver gang temperaturen i A stiger grad, sç vil temperaturen i B stige, grader. NÇr temperaturen i A er 0 grader, er temperaturen i B 40 grader. () NÇr temperaturen i A Ändres fra 8 grader til 9 grader, sç Ändres den grad, sç af svaret pç () fçr vi: Temperaturen i B stiger til 9 grader., grader nçr temperaturen i A stiger fra 8 (3) Hver gang temperaturen i A stiger grad, stiger temperaturen i B, grader, sç da, 5 fçr vi: Temperaturen i B stiger grader. grader nçr temperaturen i A stiger 5 Åvelse.7 Mellem de variable x = temperaturen i beholder A (i C) y = temperaturen i beholder B (i C) er der félgende sammenhäng: y 3x 8 () Hvad fortäller tallene 3 og 8 om temperaturerne i de to beholdere? () Hvad sker der med temperaturen i B nçr temperaturen i A stiger grad? (3) Hvad sker der med temperaturen i B nçr temperaturen i A stiger 0 grader? LineÄre sammenhänge Side Karsten Juul

19 Åvelse.8 Mellem de variable x = skinnens temperatur (i C) y = skinnens längde (i meter) er der félgende sammenhäng: y 0,005x 500 () Hvad fortäller tallet 0, 005 om skinnens längde? () Vis hvordan svaret pç () kan bruges til at regne ud hvor meget längere skinnen bliver nçr temperaturen Ändres fra 4 grader til 5 grader. (3) Vis hvordan svaret pç () kan bruges til at regne ud hvor meget längere skinnen bliver nçr temperaturen Ändres fra 0 grader til 30 grader. Åvelse.9 En virksomheds omkostninger i en uge afhänger af hvor stor en mängde der er fremstillet den pçgäldende uge. Mellem de variable x = mängde (i ton) y = omkostninger (i mio. kr.) er der félgende sammenhäng: y 5,3 0, x () Hvad fortäller tallet 0, om omkostningerne? () Vis hvordan svaret pç () kan bruges til at regne ud hvor meget stérre omkostningerne bliver, hvis der fremstilles ton mere. (3) Vis hvordan svaret pç () kan bruges til at regne ud hvor meget stérre omkostningerne bliver, hvis der fremstilles 00 ton mere. Åvelse.0 Prisen pç en vare Ändres hver dag. Mellem de variable x = antal dage efter udsalgets start. y = pris i kr. er der félgende sammenhäng: y x Hvor meget billigere bliver varen, hvis vi venter 5 dage med at kébe den? LineÄre sammenhänge Side Karsten Juul

20 Afsnit 3. Hvordan kan vi bestemme lineäre sammenhänge? Opgave 3.: Hvordan kan vi udfylde resten af en tabel for en lineär sammenhäng? I tabellen er skrevet to af y-värdierne i en lineär sammenhäng y ax b. x y 5 6,5 Udfyld resten af tabellen. FÉrst bruger vi reglen om hvad a fortäller (sätning.3), til at bestemme a: BemÄrkning Af tabellen ovenfor ses at nçr x Ändres fra til, sç Ändres y fra 5 til 6,5. Dvs. nñr x bliver enhed stçrre, vil y blive,5 enheder stçrre. SÇ mç a väre,5, ifélge reglen om hvad a fortäller (sätning.3). SÇ bruger vi reglen om hvad a fortäller (sätning.3), til at bestemme de andre y- värdier i tabellen: IfÉlge denne regel skal vi lägge,5 til y hver gang vi lägger til x: Den udfyldte tabel: 3 6,5 x y 0,5 3,5 5 6,5 8 Af reglen om hvad b fortäller (sätning.0), félger at b er 3,5, sç ligningen for sammenhängen er y,5 x 3,5., 5 Åvelse 3. I tabellen er skrevet to af y-värdierne i en lineär sammenhäng y ax b. x y 5 9 Brug metoden fra 3. til at finde ud af hvad der skal stç pç de tomme pladser i tabellen. Åvelse 3.3 I tabellen er skrevet to af y-värdierne i en lineär sammenhäng y ax b. x y 7 6,5 Brug metoden fra 3. til at finde ud af hvad der skal stç pç de tomme pladser i tabellen. LineÄre sammenhänge Side Karsten Juul

21 Åvelse 3.4 I tabellen er skrevet to af y-värdierne i en lineär sammenhäng y ax b. x y 4 Brug metoden fra 3. til at finde ud af hvad der skal stç pç de tomme pladser i tabellen. Åvelse 3.5 () Find ud af hvad der skal stç pç de tomme pladser i tabellen nedenfor hvis der er en lineär sammenhäng mellem x og y : y ax b () Find ud af hvad der skal stç pç de tomme pladser i tabellen nedenfor hvis x og y er omvendt proportionale: y k x x 3 4 y 4 Åvelse 3.6 I tabellen er skrevet to af y-värdierne i en lineär sammenhäng y ax b. x y 0 5 Brug metoden fra 3. til at finde ud af hvad der skal stç pç de tomme pladser i tabellen, og läg märke til at afstanden mellem x-värdierne ikke er den samme alle steder. Åvelse 3.7 I tabellen er skrevet to af y-värdierne i en lineär sammenhäng y ax b. x y 0 5 Brug metoden fra 3. til at finde ud af hvad der skal stç pç de tomme pladser i tabellen. Åvelse 3.8 () Find ud af hvad der skal stç pç de tomme pladser i tabellen nedenfor hvis der er en lineär sammenhäng mellem x og y : y ax b () Find ud af hvad der skal stç pç de tomme pladser i tabellen nedenfor hvis x og y er omvendt proportionale: y k x x 0,5 4 8 y 4 LineÄre sammenhänge Side Karsten Juul

22 Opgave 3.9: Hvordan kan vi tilfçje flere grafpunkter? PÇ den Éverste figur er vist to punkter pç grafen for en lineär sammenhäng y ax b. AfsÄt nogle flere grafpunkter. FÉrst bruger vi reglen om hvad a fortäller (sätning.3), til at bestemme a: Det venstre af grafpunkterne ovenfor viser at nçr x, 5 er y. Det héjre af grafpunkterne ovenfor viser at nçr x 3, 5 er y, 75. Heraf ser vi at nçr vi Ändrer x fra,5 til 3,5, sç Ändres y fra til,75. Dvs. nñr x bliver enhed stçrre, vil y blive 0,75 enheder stçrre. SÇ mç a väre 0,75, ifélge reglen om hvad a fortäller (sätning.3). SÇ bruger vi reglen om hvad a fortäller (sätning.3), til at bestemme flere grafpunkter: IfÉlge denne regel skal vi lägge 0,75 til y hver gang vi lägger til x. Nedenfor er vist hvordan vi udnytter dette til at afsätte flere grafpunkter. LineÄre sammenhänge Side Karsten Juul

23 Åvelse 3.0 I hvert koordinatsystem er vist to punkter pç grafen for en lineär sammenhäng y ax b. Brug metoden fra 3.9 til at afsätte nogle flere grafpunkter pç hver af de fire grafer. Åvelse 3. I det venstre koordinatsystem er afsat to punkter pç grafen for en lineär sammenhäng, og i det héjre er afsat to punkter pç grafen for sammenhängen mellem to omvendt proportionale variable. AfsÄt nogle flere punkter pç de to grafer. y ax b y k x LineÄre sammenhänge Side Karsten Juul

24 Opgave 3.: Hvordan kan vi opskrive en ligning? Om en plante oplyses: () HÉjden vokser med,5 cm pr. uge () HÉjden var 7,0 cm da planten blev kébt. Opskriv en ligning for sammenhängen mellem plantens héjde og tidspunktet. Vi välger félgende betegnelser: x = antal uger efter at planten blev kébt y = héjden (i cm) Oplysningen () kan nu formuleres sçdan: Hver gang x bliver enhed stérre, sç vil y blive,5 enheder stérre. Af reglen om hvad a fortäller (sätning.3), félger at a, 5. Oplysningen () kan formuleres sçdan: NÇr x er 0, sç er y lig 7,0. Af reglen om hvad b fortäller (sätning.0), félger at b 7, 0. SammenhÄngen mellem plantens héjde og tidspunktet beskrives altsç med ligningen y,5 x 7,0 hvor y er héjde i cm og x er antal uger efter kéb BemÄrkning Det er vigtigt at vi skriver hvad vi har valgt at lade x og y stç for ("antal uger efter kéb" og "héjde i cm") da ligningen er ubrugelig hvis läseren ikke ved hvad der skal indsättes for x, og ikke ved hvad det er man beregner ved at udregne ligningens héjre side. Åvelse 3.3 Trykket (i atmosfäre) er ved overfladen, og stiger med 0, hver gang man kommer meter längere ned. Vi indférer félgende betegnelser: x = antal meter under overfladen y = trykket (i atmosfäre) () Hvor mange enheder bliver y stérre hver gang x bliver enhed stérre? () Hvad er y nçr x er 0? (3) Brug svarene pç () og () til at opskrive en ligning y ax b for sammenhängen mellem tryk og antal meter under overfladen (se 3.). Åvelse 3.4 Ved mçnedens start er formuen pç kr. Hver dag bliver formuen 000 kr. mindre. Vi indférer félgende betegnelser: x = antal dage efter mçnedens start y = formuens stérrelse (i kr.) () Hvor mange enheder bliver y stérre hver gang x bliver enhed stérre? (At blive 5 enheder stérre er det samme som at blive 5 enheder mindre). () Hvad er y nçr x er 0? (3) Brug svarene pç () og () til at opskrive en ligning y ax b for sammenhängen mellem formue og antal dage efter mçnedens start (se 3.). LineÄre sammenhänge Side Karsten Juul

25 Opgave 3.5: Hvad gçr vi nñr tidspunkter er Ñrstal? FÉlgende er oplyst: I 004 er afgiften 900 kr. Hvert Çr stiger afgiften med 00 kr. Opskriv en ligning der viser sammenhängen mellem tidspunkt og afgift. Vi sätter x = antal Çr efter 004 y = afgiften (i kr.) BEMÖRK: Vi sätter ikke x lig Çrstallet. Vi sätter x lig antal Çr efter et eller andet Çrstal, fx 004 eller 000. NÇr x er 0, dvs. i 004, er y lig 900. SÇ er b 900 ifélge reglen om hvad b fortäller (sätning.0). NÇr x bliver stérre, dvs. nçr der gçr et Çr, vil y blive 00 stérre. SÇ er a 00 ifélge reglen om hvad a fortäller (sätning.3). Den ségte ligning er altsç y 00x 900. Åvelse 3.6 I 008 er antallet af elever 500, og i de kommende Çr skal antallet stige med 93 om Çret. Brug metoderne fra 3.5 til at opskrive en ligning der viser sammenhängen mellem antal elever og tidspunktet. Åvelse 3.7 I 995 var der 840 pladser, og hvert af de félgende Çr blev antallet nedsat med 8. Brug metoderne fra 3.5 til at opskrive en ligning der viser sammenhängen mellem antal pladser og tidspunktet. Åvelse 3.8 Fra 990 til 008 blev et trä 0,8 meter héjere hvert Çr. I 99 var héjden 3,9 meter. Vi sätter y = héjden (i meter) x = tidspunktet (i Çr) I hvert af félgende tilfälde skal du opskrive en ligning der viser sammenhängen mellem y og x. () x mçles i Çr efter 99 (x kan väre negativ) () x mçles i Çr efter 990 (3) x mçles i Çr efter 000 (x kan väre negativ) Åvelse 3.9 MÄngden af salt i en sé stiger med 800 kg pr. Çr. I 007 var der 700 kg salt i séen. Skriv en ligning der viser sammenhängen mellem tidspunkt og mängde af salt. LineÄre sammenhänge Side Karsten Juul

sammenhänge for gymnasiet og hf 2010 Karsten Juul

sammenhänge for gymnasiet og hf 2010 Karsten Juul LineÄre sammenhänge for gymnasiet og hf y 0,5x 2,5 200 Karsten Juul I dette häfte har jeg gjort meget for at teksten er skrevet sçdan at du nemmere kan fç overblik over reglerne og den sammenhäng der er

Læs mere

Lineære sammenhænge. Udgave 2. 2009 Karsten Juul

Lineære sammenhænge. Udgave 2. 2009 Karsten Juul Lineære sammenhænge Udgave 2 y = 0,5x 2,5 2009 Karsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse af hæftet "Variabelsammenhænge, 2. udgave 2009". Indhold 1. Lineære sammenhænge, ligning og graf... 1 2. Lineær

Læs mere

Differentialligninger

Differentialligninger Differentialligninger for A-niveau i st, udgave SkÄrmbillede fra TI-Nspire 015 Karsten Juul Differentialligninger for A-niveau i st, udgave 1 Hvad er en differentialligning? 1a OplÄg til differentialligninger1

Læs mere

Differentialligninger

Differentialligninger Differentialligninger for A-niveau i st SkÄrmbillede fra TI-Nspire 013 Karsten Juul Differentialligninger for A-niveau i st 1 OplÄg til differentialligninger1 Hvad er en differentialligning?1 3 UndersÅg

Læs mere

GrundlÄggende variabelsammenhänge

GrundlÄggende variabelsammenhänge GrundlÄggende variabelsammenhänge for C-niveau i hf 2014 Karsten Juul LineÄr sammenhäng 1. OplÄg om lineäre sammenhänge... 1 2. Ligning for lineär sammenhäng... 1 3. Graf for lineär sammenhäng... 2 4.

Læs mere

Eksponentielle sammenhænge

Eksponentielle sammenhænge Eksponentielle sammenhænge Udgave 009 Karsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse af hæftet "Lineære sammenhænge, udgave 009" Indhold 1 Eksponentielle sammenhænge, ligning og graf 1 Procent 7 3 Hvad fortæller

Læs mere

sammenhänge for C-niveau i stx 2013 Karsten Juul

sammenhänge for C-niveau i stx 2013 Karsten Juul LineÄre sammenhänge for C-niveau i stx y 0,5x 2,5 203 Karsten Juul : OplÄg om lineäre sammenhänge 2 Ligning for lineär sammenhäng 2 3 Graf for lineär sammenhäng 2 4 Bestem y når vi kender x 3 5 Bestem

Læs mere

Variabel- sammenhænge

Variabel- sammenhænge Variabel- sammenhænge 2008 Karsten Juul Dette hæfte kan bruges som start på undervisningen i variabelsammenhænge for st og hf. Indhold 1. Hvordan viser en tabel sammenhængen mellem to variable?... 1 2.

Læs mere

Trekantsberegning 25 B. 2009 Karsten Juul

Trekantsberegning 25 B. 2009 Karsten Juul Trekantsberegning 7,0 3 5 009 Karsten Juul ette häfte indeholder den del af trekantsberegningen som skal kunnes på - niveau i gymnasiet (stx) og hf ra sommer 0 kräves mere remstillingen undgår at forudsätte

Læs mere

for matematik på C-niveau i stx og hf

for matematik på C-niveau i stx og hf VariabelsammenhÄnge generelt for matematik på C-niveau i stx og hf NÅr x 2 er y 2,8. 2014 Karsten Juul 1. VariabelsammenhÄng og dens graf og ligning 1.1 Koordinatsystem I koordinatsystemer (se Figur 1):

Læs mere

Kort om Eksponentielle Sammenhænge

Kort om Eksponentielle Sammenhænge Øvelser til hæftet Kort om Eksponentielle Sammenhænge 2011 Karsten Juul Dette hæfte indeholder bl.a. mange småspørgsmål der gør det nemmere for elever at arbejde effektivt på at få kendskab til emnet.

Læs mere

GrundlÄggende. Bogstavregning. for stx og hf Karsten Juul

GrundlÄggende. Bogstavregning. for stx og hf Karsten Juul GrundlÄggende Bogstavregning for st og hf 01 Karsten Juul 1. LigevÄgt bevares når vi träkker fra begge sider... 1. LigevÄgt bevares IKKE når vi träkker fra venstre side... 1. LigevÄgt bevares når vi dividerer

Læs mere

Kort om. Andengradspolynomier. 2011 (2012) Karsten Juul

Kort om. Andengradspolynomier. 2011 (2012) Karsten Juul Kort om Anengraspolynomier 11 (1) Karsten Juul Dette häfte ineholer pensum i anengraspolynomier for gymnasiet og hf Inhol 1. Definition Anengraspolynomium... 1. Eksempel Hvilke tal er a, b og c lig?...

Læs mere

Funktioner generelt. for matematik pä B- og A-niveau i stx og hf. 2014 Karsten Juul

Funktioner generelt. for matematik pä B- og A-niveau i stx og hf. 2014 Karsten Juul Funktioner generelt for matematik pä B- og A-niveau i st og hf f f ( ),8 014 Karsten Juul 1 Funktion og dens graf, forskrift og definitionsmängde 11 Koordinatsystem I koordinatsystemer (se Figur 1): -akse

Læs mere

GrundlÄggende funktioner

GrundlÄggende funktioner GrundlÄggende funktioner for B-niveu i hf Udgve 014 Krsten Juul GrundlÄggende funktioner for B-niveu i hf Procent 1. Procenter på en ny måde... 1. VÄkstrte.... Gennemsnitlig procent... LineÄr väkst 4.

Læs mere

for C-niveau i stx 2017 Karsten Juul

for C-niveau i stx 2017 Karsten Juul for C-niveau i stx 75 50 25 2017 Karsten Juul Indholdsfortegnelse Indledning 1 Hvad er deskriptiv statistik?...1 2 Hvad er grupperede og ugrupperede data?...1 Ugrupperede data 3 Hvordan udregner vi middeltal

Læs mere

Start pä matematik. for gymnasiet og hf. 2010 (2012) Karsten Juul

Start pä matematik. for gymnasiet og hf. 2010 (2012) Karsten Juul Start pä matematik for gymnasiet og hf 2010 (2012) Karsten Juul Til eleven Brug blyant og viskelåder när du skriver og tegner i håftet, sä du fär et håfte der er egnet til jåvnligt at slä op i under dit

Læs mere

Integralregning. 1. del. 2006 Karsten Juul. M l

Integralregning. 1. del. 2006 Karsten Juul. M l Integralregning del () M l () 6 Karsten Juul Indhold Stamunktion OplÄg om stamunktion Deinition a stamunktion 6 Kontrol a stamunktion 9 SÄtning om stamunktionerne til en unktion Deinition a ubestemt integral

Læs mere

Variabel- sammenhænge

Variabel- sammenhænge Variabel- sammenhænge Udgave 2 2009 Karsten Juul Dette hæfte kan bruges som start på undervisningen i variabelsammenhænge for stx og hf. Hæftet er en introduktion til at kunne behandle to sammenhængende

Læs mere

Differentialregning. for B-niveau i hf udgave 3. 2015 Karsten Juul

Differentialregning. for B-niveau i hf udgave 3. 2015 Karsten Juul Dierentialregning r B-niveau i h udgave t s 05 Karsten Juul Dierentialkvtient. Tangent g räringspunkt..... FunktinsvÅrdi g dierentialkvtient..... Frtlkning a ' vedr. gra... 4. Frtlkning a ' nçr er tiden....

Læs mere

Deskriptiv statistik. for C-niveau i hf. 2015 Karsten Juul

Deskriptiv statistik. for C-niveau i hf. 2015 Karsten Juul Deskriptiv statistik for C-niveau i hf 75 50 25 2015 Karsten Juul DESKRIPTIV STATISTIK 1.1 Hvad er deskriptiv statistik?...1 1.2 Hvad er grupperede og ugrupperede data?...1 1.21 Eksempel pä ugrupperede

Læs mere

Integralregning. for B-niveau i stx. 2015 Karsten Juul

Integralregning. for B-niveau i stx. 2015 Karsten Juul Integralregning or B-niveau i st 05 Karsten Juul Stikordsregister A areal mellem gra og -akse6, 7, 8, 9 areal mellem to graer0, arealunktion, 5, 6 B bestemt integral 5 bestemt integral med Nspire5 bestemt

Læs mere

Funktioner generelt. for matematik pä B-niveau i stx. 2013 Karsten Juul

Funktioner generelt. for matematik pä B-niveau i stx. 2013 Karsten Juul Funktioner generelt for matematik pä B-niveau i st f f ( ),8 0 Karsten Juul Funktioner generelt for matematik pä B-niveau i st Funktion, forskrift, definitionsmångde Find forskrift StÇrste og mindste vårdi

Læs mere

for gymnasiet og hf 2011 Karsten Juul

for gymnasiet og hf 2011 Karsten Juul for gymnasiet og hf 75 50 5 011 Karsten Juul I dette häfte er der lagt vägt på at det skal väre egnet til at slå op i når elever léser opgaver at tvivlstilfälde bliver afklaret at det er muligt på forskellige

Læs mere

Differential- regning for gymnasiet og hf

Differential- regning for gymnasiet og hf Dierential- regning r gymnasiet g h Udgave t s 0 Karsten Juul HÄtet Åvelser til hätet Dierentialregning r gymnasiet g h, udgave. gér det nemt at supplere klasseundervisningen med elevers selvständige arbejde

Læs mere

Opstilling af model ved hjælp af differentialkvotient

Opstilling af model ved hjælp af differentialkvotient Opstilling af model ved hjælp af differentialkvotient N 0,35N 0, 76t 2010 Karsten Juul Til eleven Dette hæfte giver dig mulighed for at arbejde sådan med nogle begreber at der er god mulighed for at der

Læs mere

Differential- regning

Differential- regning Differential- regning del () f () m l () 6 Karsten Juul Indhold Tretrinsreglen 59 Formler for differentialkvotienter64 Regneregler for differentialkvotienter67 Differentialkvotient af sammensat funktion7

Læs mere

for matematik pä B-niveau i hf

for matematik pä B-niveau i hf for matematik pä B-niveau i hf 75 50 5 016 Karsten Juul GRUPPEREDE DATA 1.1 Hvad er deskriptiv statistik?...1 1. Hvad er grupperede og ugrupperede data?...1 1.1 Eksempel pä ugrupperede data...1 1. Eksempel

Læs mere

Kom i gang-opgaver til differentialregning

Kom i gang-opgaver til differentialregning Kom i gang-opgaver til differentialregning 00 Karsten Juul Det er kortsigtet at løse en opgave ved blot at udskifte tallene i en besvarelse af en tilsvarende opgave Dette skyldes at man så normalt ikke

Læs mere

Symbolsprog og Variabelsammenhænge

Symbolsprog og Variabelsammenhænge Indledning til Symbolsprog og Variabelsammenhænge for Gymnasiet og Hf 1000 kr 500 0 0 5 10 15 timer 2005 Karsten Juul Brugsanvisning Du skal se i de fuldt optrukne rammer for at finde: Regler for løsning

Læs mere

Eksponentielle sammenhänge

Eksponentielle sammenhänge Eksponenielle sammenhänge y 800,95 1 0 1 y 80 76 7, 5 5% % 1 009 Karsen Juul Dee häfe er en forsäelse af häfe "LineÄre sammenhänge, 008" Indhold 14 Hvad er en eksponeniel sammenhäng? 53 15 Signing og fald

Læs mere

Simple udtryk og ligninger

Simple udtryk og ligninger Simple udtryk og ligninger 009 Karsten Juul Til eleven Brug blyant og viskelæder når du skriver og tegner i hæftet, så du får et hæfte der er egenet til jævnligt at slå op i under dit videre arbejde med

Læs mere

Start pä ny 3D-figur. Tilpas koordinatsystem. Tegn trekant

Start pä ny 3D-figur. Tilpas koordinatsystem. Tegn trekant Intro til nspire_3d.tns Dokumentet nspire_3d.tns gär det meget hurtigere at tegne figurer til gymnasiets rumgeometri. Nyeste version kan downloades fra http://mat1.dk/noter.htm. Start pä ny 3D-figur 1)

Læs mere

Differentialregning. for gymnasiet og hf. 2010 Karsten Juul

Differentialregning. for gymnasiet og hf. 2010 Karsten Juul Dierentialregning r gymnasiet g h t s 1 010 Karsten Juul 1. GrundlÄggende typer a pgaver med graer...1. Regel m tilväkster r lineäre sammenhänge.... SÅdan kan vi inde häldningskeicienten ud ra lineär gra...

Læs mere

Trekantsberegning. Udgave 2. 2010 Karsten Juul 25 B

Trekantsberegning. Udgave 2. 2010 Karsten Juul 25 B Trekansberegning Udgave 7,0 3 5 00 Karsen Juul ee häfe indeholder den del af rekansberegningen som skal kunnes på -niveau i gymnasie (sx) og hf. Fra sommer 0 kräves mere. Indhold. real af rekan.... Pyhagoras'

Læs mere

Variabelsammenhænge og grafer

Variabelsammenhænge og grafer Variabelsammenhænge og grafer Indhold Variable... 1 Funktion... 1 Grafen for en funktion... 2 Proportionalitet... 4 Ligefrem proportional eller blot proportional... 4 Omvendt proportionalitet... 4 Intervaller...

Læs mere

Differentialregning. Et oplæg Karsten Juul L P

Differentialregning. Et oplæg Karsten Juul L P Differentialregning Et oplæg L P A 2009 Karsten Juul Til eleven Dette hæfte kan I bruge inden I starter på differentialregningen i lærebogen Det meste af hæftet er små spørgsmål med korte svar Spørgsmålene

Læs mere

Eksempler på problemløsning med differentialregning

Eksempler på problemløsning med differentialregning Eksempler på problemløsning med differentialregning 004 Karsten Juul Opgave 1: Monotoniforhold = 1+, x 3 3 x Bestem monotoniforholdene for f Besvarelse af opgave 1 Først differentierer vi f : (3 x) (3

Læs mere

GrundlÄggende funktioner

GrundlÄggende funktioner GrundlÄggende funktioner for B-niveu i st Udgve 016 Krsten Juul GrundlÄggende funktioner for B-niveu i st Procent 1. Procenter på en ny måde... 1. VÄkstrte.... Gennemsnitlig procent... LineÄr väkst. LineÄr

Læs mere

Lineære modeller. Taxakørsel: Et taxa selskab tager 15 kr. pr. km man kører i deres taxa. Hvis vi kører 2 km i taxaen koster turen altså

Lineære modeller. Taxakørsel: Et taxa selskab tager 15 kr. pr. km man kører i deres taxa. Hvis vi kører 2 km i taxaen koster turen altså Lineære modeller Opg.1 Taxakørsel: Et taxa selskab tager 15 kr. pr. km man kører i deres taxa. Hvis vi kører 2 km i taxaen koster turen altså Hvor meget koster det at køre så at køre 10 km i Taxaen? Sammenhængen

Læs mere

Bogstavregning. for gymnasiet og hf (2012) Karsten Juul

Bogstavregning. for gymnasiet og hf (2012) Karsten Juul Bogstvregning for gymnsiet og hf 010 (01) Krsten Juul Til eleven Brug lynt og viskeläder når du skriver og tegner i häftet, så du får et häfte der er egenet til jävnligt t slå op i under dit videre rejde

Læs mere

Differential- regning

Differential- regning Differential- regning del f(5) () f f () f ( ) I 5 () 006 Karsten Juul Indhold 6 Kontinuert funktion 7 Monotoniforhold7 8 Lokale ekstrema44 9 Grænseværdi5 Differentialregning del udgave 006 006 Karsten

Læs mere

Differential- ligninger

Differential- ligninger Differential- ligninger Et oplæg 2007 Karsten Juul Dette hæfte er tænkt brugt som et oplæg der kan gennemgås før man går i gang med en lærebogs fremstilling af emnet differentialligninger Læreren skal

Læs mere

Formler, ligninger, funktioner og grafer

Formler, ligninger, funktioner og grafer Formler, ligninger, funktioner og grafer Omskrivning af formler, funktioner og ligninger... 1 Grafisk løsning af ligningssystemer... 1 To ligninger med to ubekendte beregning af løsninger... 15 Formler,

Læs mere

GrundlÄggende funktioner

GrundlÄggende funktioner GrundlÄggende funktioner for B-niveu i hf 013 Krsten Juul GrundlÄggende funktioner for B-niveu i hf Procent 1. Procenter på en ny måde.... 1 LineÄr väkst. LineÄr funktion... 3. LineÄr väkst... 4. Skriv

Læs mere

Bogstavregning. En indledning for stx og hf. 2008 Karsten Juul

Bogstavregning. En indledning for stx og hf. 2008 Karsten Juul Bogstavregning En indledning for stx og hf 2008 Karsten Juul Dette hæfte træner elever i den mest grundlæggende bogstavregning (som omtrent springes over i lærebøger for stx og hf). Når elever har lært

Læs mere

Kapitel 3 Lineære sammenhænge

Kapitel 3 Lineære sammenhænge Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Lineære sammenhænge Det sker tit, at man har flere variable, der beskriver en situation, og at der en sammenhæng mellem de variable. Enhver formel er faktisk

Læs mere

Differentialregning. for A-niveau i stx udgave Karsten Juul

Differentialregning. for A-niveau i stx udgave Karsten Juul Dierentialregning r A-niveau i st udgave 4 t s 07 Karsten Juul Dierentialkvtient Tangent g räringspunkt FunktinsvÅrdi g dierentialkvtient Frtlkning a ' vedr gra 4 Frtlkning a ' nçr er tiden 5 Frtlkning

Læs mere

Hvordan Leibniz opfandt integralregningen

Hvordan Leibniz opfandt integralregningen Hvord Leiiz opdt itegrlregige 0 Krste Juul EglÄdere Isc Newto (6-) opdt i 66 itegrlregige. Tskere Gottried Wilhelm Leiiz (66-6) opdt i 6 itegrlregige. Ige dem oetliggjorde deres opidelse med det smme.

Læs mere

Integralregning. med Ävelser. for B-niveau i gymnasiet og hf. 2011 Karsten Juul

Integralregning. med Ävelser. for B-niveau i gymnasiet og hf. 2011 Karsten Juul Integralregning med Ävelser or B-niveau i gymnasiet og h 0 Karsten Juul Dette håte gennemgçr integralregningen or B-niveau uden at gäre det mere indviklet end kråvet Évelserne giver eleverne et kendskab

Læs mere

Uafhængig og afhængig variabel

Uafhængig og afhængig variabel Uddrag fra http://www.emu.dk/gym/fag/ma/undervisningsforloeb/hf-mat-c/introduktion.doc ved Hans Vestergaard, Morten Overgaard Nielsen, Peter Trautner Brander Variable og sammenhænge... 1 Uafhængig og afhængig

Læs mere

Sammenhæng mellem variable

Sammenhæng mellem variable Sammenhæng mellem variable Indhold Variable... 1 Funktion... 2 Definitionsmængde... 2 Værdimængde... 2 Grafen for en funktion... 2 Koordinatsystem... 3 Koordinatsæt... 4 Intervaller... 5 Løsningsmængde...

Læs mere

Opgaver om koordinater

Opgaver om koordinater Opgaver om koordinater Formålet med disse opgaver er dels at træne noget matematik, dels at give oplysninger om og træning i brug af Mathcad: Matematik: Øge grundlæggende indsigt vedrørende koordinater

Læs mere

I Indledning. I Indledning Side 1. Supplerende opgaver til HTX Matematik 1 Nyt Teknisk Forlag. Opgaverne må frit benyttes i undervisningen.

I Indledning. I Indledning Side 1. Supplerende opgaver til HTX Matematik 1 Nyt Teknisk Forlag. Opgaverne må frit benyttes i undervisningen. Side 1 0101 Beregn uden hjælpemidler: a) 2 9 4 6+5 3 b) 24:6+4 7 2 13 c) 5 12:4+39:13 d) (1+4 32) 2 55:5 0102 Beregn uden hjælpemidler: a) 3 6+11 2+2½ 10 b) 49:7+8 11 3 12 c) 4 7:2+51:17 d) (5+3 2) 3 120:4

Læs mere

Asymptoter. for standardforsøgene i matematik i gymnasiet. 2003 Karsten Juul

Asymptoter. for standardforsøgene i matematik i gymnasiet. 2003 Karsten Juul Asymptoter for standardforsøgene i matematik i gymnasiet 2003 Karsten Juul Indledning om lodrette asymptoter Lad f være funktionen bestemt ved =, 2. 2 Vi udregner funktionsværdierne i nogle -værdier der

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Isolere en ubekendt... 3 Hvis x står i første brilleglas...

Læs mere

for gymnasiet og hf 2016 Karsten Juul

for gymnasiet og hf 2016 Karsten Juul for gymnasiet og hf 75 50 5 016 Karsten Juul Statistik for gymnasiet og hf Ä 016 Karsten Juul 4/1-016 Nyeste version af dette håfte kan downloades fra http://mat1.dk/noter.htm HÅftet mç benyttes i undervisningen

Læs mere

Potensfunktioner og dobbeltlogaritmisk papir

Potensfunktioner og dobbeltlogaritmisk papir 1 Potensfunktioner og dobbeltlogaritmisk papir OBS: til skriftlig eksamen skal du kun kunne aflæse på en graf, der allerede er indtegnet på dobbeltlogaritmisk papir. Du kan ikke komme ud for at skulle

Læs mere

Kapitel 2 Tal og variable

Kapitel 2 Tal og variable Tal og variable Uden tal ingen matematik - matematik handler om tal og anvendelse af tal. Matematik beskæftiger sig ikke udelukkende med konkrete problemer fra andre fag, og de konkrete tal fra andre fagområder

Læs mere

Statistik. Deskriptiv statistik, normalfordeling og test. Karsten Juul

Statistik. Deskriptiv statistik, normalfordeling og test. Karsten Juul Statistik Deskriptiv statistik, normalfordeling og test Karsten Juul Intervalhyppigheder En elevgruppe på et gymnasium har spurgt 100 tilfældigt valgte elever på gymnasiet om hvor lang tid det tager dem

Læs mere

Lektion 7 Funktioner og koordinatsystemer

Lektion 7 Funktioner og koordinatsystemer Lektion 7 Funktioner koordinatsystemer Brug af grafer koordinatsystemer Lineære funktioner Andre funktioner ligninger med ubekendte Lavet af Niels Jørgen Andreasen, VUC Århus. Redigeret af Hans Pihl, KVUC

Læs mere

Tal, funktioner og grænseværdi

Tal, funktioner og grænseværdi Tal, funktioner og grænseværdi Skriv færdig-eksempler der kan udgøre en væsentlig del af et forløb der skal give indsigt vedrørende begrebet grænseværdi og nogle nødvendige forudsætninger om tal og funktioner

Læs mere

Ligninger med Mathcad

Ligninger med Mathcad Ligninger med Mathcad for standardforsøget for B-niveau Udgave.02 Eksemplerne viser hvordan man kan finde frem til facit. Eksemplerne viser ikke hvordan besvarelsen kan formuleres. Der forudsættes et vist

Læs mere

formler og ligninger trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt

formler og ligninger trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik formler og ligninger trin 2 preben bernitt brikkerne til regning & matematik formler og ligninger, trin 2 ISBN: 978-87-92488-09-1 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk

Læs mere

matx.dk Enkle modeller

matx.dk Enkle modeller matx.dk Enkle modeller Dennis Pipenbring 28. juni 2011 Indhold 1 Indledning 4 2 Funktionsbegrebet 4 3 Lineære funktioner 8 3.1 Bestemmelse af funktionsværdien................. 9 3.2 Grafen for en lineær

Læs mere

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: 333247 2015 Anders Jørgensen, Mark Kddafi, David Jensen, Kourosh Abady og Nikolaj Eriksen 1. Indledning I dette projekt, vil man kunne se definitioner

Læs mere

Funktioner. Funktioner Side 150

Funktioner. Funktioner Side 150 Funktioner Brug af grafer koordinatsystemer... 151 Lineære funktioner ligefrem proportionalitet... 157 Andre funktioner... 163 Kært barn har mange navne... 165 Funktioner Side 15 Brug af grafer koordinatsystemer

Læs mere

Lektion 7 Funktioner og koordinatsystemer

Lektion 7 Funktioner og koordinatsystemer Lektion 7 Funktioner og koordinatsystemer Brug af grafer og koordinatsystemer Lineære funktioner Andre funktioner lignnger med ubekendte Lektion 7 Side 1 Pris i kr Matematik på Åbent VUC Brug af grafer

Læs mere

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller Matematiske vækstmodeller I matematik undersøger man ofte variables afhængighed af hinanden. Her ser man, at samme type af sammenhænge tit forekommer inden for en lang række forskellige områder. I kapitel

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C LINEÆR SAMMENHÆNG

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C LINEÆR SAMMENHÆNG ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C LINEÆR SAMMENHÆNG INDHOLDSFORTEGNELSE 1 Formelsamling... side 2 1 Introduktion... side 3 2 Grundlæggende færdigheder... side 4 2a Finde konstanterne a og b i en formel... side

Læs mere

for matematik pä B-niveau i hf

for matematik pä B-niveau i hf for matematik pä B-niveau i hf 014 Karsten Juul TEST 1 StikprÅver... 1 1.1 Hvad er populationen?... 1 1. Hvad er stikpråven?... 1 1.3 Systematiske fejl ved valg af stikpråven.... 1 1.4 TilfÇldige fejl

Læs mere

Ligningsløsning som det at løse gåder

Ligningsløsning som det at løse gåder Ligningsløsning som det at løse gåder Nedenstående er et skærmklip fra en TI-Nspirefil. Vi ser at tre kræmmerhuse og fem bolsjer balancerer med to kræmmerhuse og 10 bolsjer. Spørgsmålet er hvor mange bolsjer,

Læs mere

Det grafiske billede af en andengradsfunktion er altid en parabel. En parabels skæring med x-aksen kaldes nulpunkter eller rødder.

Det grafiske billede af en andengradsfunktion er altid en parabel. En parabels skæring med x-aksen kaldes nulpunkter eller rødder. Parabler En funktion med grundformlen y = ax 2 + bx + c kaldes en andengradsfunktion. Det grafiske billede af en andengradsfunktion er altid en parabel. 1. Hvis a = 0, er det ikke en andengradsfunktion.

Læs mere

Kære kommende gefionit,

Kære kommende gefionit, Kære kommende gefionit, Mange elever oplever, at det er svært at starte i gymnasiet. Dette skyldes naturligvis blandt andet, at man skal til at vænne sig til en anden skole, andre lærere, andre klassekammerater,

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C LINEÆR SAMMENHÆNG

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C LINEÆR SAMMENHÆNG ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C LINEÆR SAMMENHÆNG INDHOLDSFORTEGNELSE 1 Formelsamling... side 2 2 Grundlæggende færdigheder... side 3 2a Finde konstanterne a og b i en formel... side 3 2b Indsætte x-værdi og

Læs mere

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk 3 Lineære funktioner En vigtig type funktioner at studere er de såkaldte lineære funktioner. Vi skal udlede en række egenskaber

Læs mere

Statistisk beskrivelse og test

Statistisk beskrivelse og test Statistisk beskrivelse og test 005 Karsten Juul Kapitel 1. Intervalhyppigheder Afsnit 1.1: Histogram En elevgruppe på et gymnasium har spurgt 100 tilfældigt valgte elever på gymnasiet om hvor lang tid

Læs mere

Vektorer i planen. Et oplæg Karsten Juul

Vektorer i planen. Et oplæg Karsten Juul Vektorer i planen Et oplæg 3 4 4 2 2007 Karsten Juul Dette hæfte er tænkt brugt som et oplæg der skal gennemgås før man begynder på en lærebogs fremstilling af emnet vektorer. Formålet med øvelserne er

Læs mere

Indbydelse til StÄvnenavn-Sted

Indbydelse til StÄvnenavn-Sted Promotor: Tidsplan: Dansk Taekwondo Klub Sidste tilmelding: ArrangÄr: 17. september 010 Gladsaxe Taekwondo Klub Samheon Info mail sendes til de klubber der har tilmeldt deltagere, info Dato: LÅgges ogsç

Læs mere

Funktioner generelt. for matematik pä B-niveau i hf. 2013 Karsten Juul

Funktioner generelt. for matematik pä B-niveau i hf. 2013 Karsten Juul Funktioner generelt for matematik pä B-niveau i hf f f ( ),8 013 Karsten Juul Funktioner generelt for matematik pä B-niveau i hf 1 Funktion, forskrift, definitionsmångde 1 Find forskrift 3 StÇrste og mindste

Læs mere

Vejledende Matematik A

Vejledende Matematik A Vejledende Matematik A Prøvens varighed er 5 timer. Alle hjælpemidler er tilladt. Af opgaverne 10A, 10B, 10C og 10D skal kun én opgave afleveres til bedømmelse. Hvis flere end én opgave afleveres, bedømmes

Læs mere

Ligninger... 1 Funktioner & modeller... 3 Regression... 6 Sjove opgaver... 7

Ligninger... 1 Funktioner & modeller... 3 Regression... 6 Sjove opgaver... 7 Træningsopgaver 1 Indhold Ligninger... 1 Funktioner & modeller... 3 Regression... 6 Sjove opgaver... 7 Ligninger Opgave L0) Opgave L1) Opgave L2) a) 2x 5 5x 7 b) 3x 7 3x 11 c) 3 (2x 3) 2( x 1) d) En funktion

Læs mere

Der er facit på side 7 i dokumentet. Til opgaver mærket med # er der vink eller kommentarer på side 6.

Der er facit på side 7 i dokumentet. Til opgaver mærket med # er der vink eller kommentarer på side 6. Der er facit på side 7 i dokumentet. Til opgaver mærket med # er der vink eller kommentarer på side 6. 1. Figuren viser grafen for en funktion f. Aflæs definitionsmængde og værdimængde for f. # Aflæs f

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Ligning med + - / hvor x optræder 1 gang... 3 IT-programmer

Læs mere

Repetition til eksamen. fra Thisted Gymnasium

Repetition til eksamen. fra Thisted Gymnasium Repetition til eksamen fra Thisted Gymnasium 20. oktober 2015 Kapitel 1 Introduktion til matematikken 1. Fortegn Husk fortegnsregnereglerne for multiplikation og division 2. Hierarki Lær sætningen om regnearternes

Læs mere

H Å N D B O G M A T E M A T I K 2. U D G A V E

H Å N D B O G M A T E M A T I K 2. U D G A V E H Å N D B O G M A T E M A T I K C 2. U D G A V E ÁÒ ÓÐ Indhold 1 1 Procentregning 3 1.1 Delingsprocent.............................. 3 1.2 Vækstprocent.............................. 4 1.3 Renteformlen..............................

Læs mere

Rapport Bjælken. Derefter lavede vi en oversigt, som viste alle løsningerne og forklarede, hvad der gør, at de er forskellige/ens.

Rapport Bjælken. Derefter lavede vi en oversigt, som viste alle løsningerne og forklarede, hvad der gør, at de er forskellige/ens. Rapport Bjælken Indledning Vi arbejdede med opgaverne i grupper. En gruppe lavede en tabel, som de undersøgte og fandt en regel. De andre grupper havde studeret tegninger af bjælker med forskellige længder,

Læs mere

Matematik - undervisningsplan Årsplan 2015 & 2016 Klassetrin: 9-10.

Matematik - undervisningsplan Årsplan 2015 & 2016 Klassetrin: 9-10. Form Undervisningen vil veksle mellem individuelt arbejde, gruppearbejde og tavleundervisning. Materialer Undervisningen tager udgangspunkt i følgende grundbøger og digitale lærings- og undervisningsplatforme.

Læs mere

Rumfang af væske i beholder

Rumfang af væske i beholder Matematikprojekt Rumfang af væske i beholder Maila Walmod, 1.3 HTX Roskilde Afleveringsdato: Fredag d. 7. december 2007 1 Fru Hansen skal have en væskebeholder, hvor rumfanget af væsken skal kunne aflæses

Læs mere

Løsning af simple Ligninger

Løsning af simple Ligninger Løsning af simple Ligninger Frank Nasser 19. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

Stx matematik B december 2007. Delprøven med hjælpemidler

Stx matematik B december 2007. Delprøven med hjælpemidler Stx matematik B december 2007 Delprøven med hjælpemidler En besvarelse af Ib Michelsen Ikast 2012 Delprøven med hjælpemidler Opgave 6 P=0,087 d +1,113 er en funktion, der beskriver sammenhængen mellem

Læs mere

Definition:... 1 Hældningskoefficient... 3 Begyndelsesværdi... 3 Formler... 4 Om E-opgaver 11a... 5

Definition:... 1 Hældningskoefficient... 3 Begyndelsesværdi... 3 Formler... 4 Om E-opgaver 11a... 5 Lineære funktioner Indhold Definition:... Hældningskoefficient... 3 Begndelsesværdi... 3 Formler... 4 Om E-opgaver a... 5 Definition: En lineær funktion er en funktion, hvor grafen er lineær. Dvs. grafen

Læs mere

BekÄmp stress med dine egne midler

BekÄmp stress med dine egne midler BekÄmp stress med dine egne midler hvordan du selv klarer stress problemer Skrevet af Klavs Nicholson, specialläge i psykiatri Forlaget Serpico Copyright 2010 Indholdsfortegnelse: INDHOLDSFORTEGNELSE:...

Læs mere

PeterSørensen.dk : Differentiation

PeterSørensen.dk : Differentiation PeterSørensen.dk : Differentiation Betydningen af ordet differentialkvotient...2 Sekant...2 Differentiable funktioner...3 Bestemmelse af differentialkvotient i praksis ved opgaveløsning...3 Regneregler:...3

Læs mere

i tredje sum overslag rationale tal tiendedele primtal kvotient

i tredje sum overslag rationale tal tiendedele primtal kvotient ægte 1 i tredje 3 i anden rumfang år 12 måle kalender hældnings a hældningskoefficient lineær funktion lagt n resultat streg adskille led adskilt udtrk minus (-) overslag afrunde præcis skøn formel andengradsligning

Læs mere

Nogle emner fra. Deskriptiv Statistik. 2011 Karsten Juul

Nogle emner fra. Deskriptiv Statistik. 2011 Karsten Juul Nogle emner fra Deskriptiv Statistik 75 50 25 2011 Karsten Juul Indhold Hvad er deskriptiv statistik?... 1 UGRUPPEREDE OBSERVATIONER Hyppigheder... 1 Det samlede antal observationer... 1 Middeltallet...

Læs mere

Oversigt. funktioner og koordinatsystemer

Oversigt. funktioner og koordinatsystemer Et koordinatsystem er et diagramsystem, der har to akser, en vandret akse og en lodret akse - den vandrette kaldes x-aksen, og den lodrette kaldes y-aksen. (2,4) (5,6) (8,6) Et punkt skrives altid som

Læs mere

3D-grafik Karsten Juul

3D-grafik Karsten Juul 3D-grafik 2005 Karsten Juul Når der i disse noter står at du skal få tegnet en figur, så er det meningen at du skal få tegnet den ved at taste tildelinger i Mathcad-dokumentet RumFig2 Det er selvfølgelig

Læs mere

Foreløbig udgave af læringsmål til: Kapitel 1 Regn med store tal Fælles Mål Læringsmål Forslag til tegn på læring

Foreløbig udgave af læringsmål til: Kapitel 1 Regn med store tal Fælles Mål Læringsmål Forslag til tegn på læring Foreløbig udgave af læringsmål til: Kapitel 1 Regn med store tal Fælles Mål Læringsmål Forslag til tegn på læring udføre beregninger med de fire regningsarter inden for naturlige tal, herunder beregninger

Læs mere

Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT.

Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT. Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT. Projektet kan bl.a. anvendes til et forløb, hvor en af målsætningerne er at lære om samspillet mellem værktøjsprogrammernes geometriske

Læs mere