sammenhänge for gymnasiet og hf 2010 Karsten Juul

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "sammenhänge for gymnasiet og hf 2010 Karsten Juul"

Transkript

1 LineÄre sammenhänge for gymnasiet og hf y 0,5x 2,5 200 Karsten Juul

2 I dette häfte har jeg gjort meget for at teksten er skrevet sçdan at du nemmere kan fç overblik over reglerne og den sammenhäng der er mellem dem forklaringerne ikke indeholder ting der gér det unédvendig svärt for dig at forstç reglerne. LineÄre sammenhänge for gymnasiet og hf Ñ 200 Karsten Juul 8/8-203 Dette häfte kan downloades fra HÄftet mç benyttes i undervisningen hvis läreren med det samme sender en til som dels oplyser at dette häfte benyttes, dels oplyser om hold, lärer og skole.

3 Oversigt over indholdet : Hvad gär lineåre sammenhånge ud pä? OplÅg : LineÄre sammenhänge: Egenskaber, ligning og graf.... 2: Vi har en ligning. Er det en lineår sammenhång? Definition 2a: Hvad er en lineär sammenhäng? (Ligning for lineär sammenhäng)....2 Eksempel 2b: Er ligningen af typen y = ax + b? Hvilke tal stçr pç a's og b's pladser?...2 3: Tegn graf. SÅtning 3a: Graf for en lineär sammenhäng....3 Opgavetype 3b: Vi har en ligning af typen y = ax + b. Vi skal tegne grafen : Voksende eller aftagende. SÅtning 4a: Hvordan ser vi pç en ligning af typen y = ax + b. om sammenhängen er voksende eller aftagende?...4 Opgavetype 4b: Vi har en ligning af typen y = ax + b. Vi skal begrunde om denne sammenhäng er voksende eller aftagende...4 5: Vi har x. Udregn y. Opgavetype 5a: Vi har en ligning af typen y = ax + b. Vi ved hvilket tal x er lig. Vi skal finde det tal som y er lig....5 Opgavetype 5b: Opgavetype 5c: Opgave om virkeligheden som vi kan oversätte til: Vi har en ligning af typen y = ax + b. Vi ved hvilket tal x er lig. Vi skal finde det tal som y er lig....5 Vi har grafpunktets x-koordinat. Vi skal udregne y-koordinaten....5

4 6: Vi har y. Udregn x. Opgavetype 6a: Vi har en ligning af typen y = ax + b. Vi ved hvilket tal y er lig. Vi skal finde det tal som x er lig Opgavetype 6b: Opgave om virkeligheden som vi kan oversätte til: Vi har en ligning af typen y = ax + b. Vi ved hvilket tal y er lig. Vi skal finde det tal som x er lig Opgavetype 6c: y = ax + b og x er tiden mçlt i Çr... 7 Opgavetype 6d: Vi har grafpunktets y-koordinat. Vi skal udregne x-koordinaten : Udregn hvor meget stçrre/mindre y bliver. Opgavetype 7a: Vi har en ligning af typen y = ax + b. Vi ved hvor mange enheder x bliver stérre/mindre. Vi skal finde ud af hvor mange enheder y bliver stérre/mindre... 8 Opgavetype 7b: Opgave om virkeligheden som vi kan oversätte til: Vi har en ligning af typen y = ax + b. Vi ved hvor mange enheder x bliver stérre/mindre. Vi skal finde ud af hvor mange enheder y bliver stérre/mindre : Vi ved hvordan y vokser/aftager. Skriv ligning. SÅtning 8a: SÇdan kan vi finde ligningen nçr vi ved hvordan y vokser/aftager Opgavetype 8b: Opgavetype 8c: Eksempel 8d: Vi har det tal vi skal lägge til y-tallet hver gang vi lägger til x-tallet. Vi ved hvad y-tallet er nçr x-tallet er 0. Vi skal skrive en formel til at udregne y nçr vi kender x... 9 Opgave om virkeligheden som vi kan oversätte til: Vi har det tal vi skal lägge til y-tallet hver gang vi lägger til x-tallet. Vi ved hvad y-tallet er nçr x-tallet er 0. Vi skal skrive en formel til at udregne y nçr vi kender x... 9 SÇdan kan vi finde ligningen nçr vi har en lineär graf (i de tilfälde hvor grafen er meget nem at afläse)... 0

5 9: Vi har ligning. Hvordan vokser/aftager y. Bevis 9a: Bevis for sätning 9b... SÅtning 9b: Regel om hvad tallene pç a's og b's pladser i y = ax + b fortäller.... Opgavetype 9c: Vi har tallene pç a's og b's pladser i y = ax + b. Vi skal skrive hvad disse tal fortäller... 2 Opgavetype 9d: Opgave om virkeligheden som vi kan oversätte til: Vi har tallene pç a's og b's pladser i y = ax + b. Vi skal skrive hvad disse tal fortäller... 2 Eksempel 9e: y = ax + b og x bliver flere enheder stérre Eksempel 9f: Eksempel 9g: SÇdan kan vi tegne grafen nçr vi har en ligning af typen y = ax + b (i nogle tilfälde hvor tallene er simple)... 3 SÇdan kan vi tegne grafen nçr vi har en ligning af typen y = ax + b (i nogle tilfälde hvor tallene er simple)... 4 Opgavetype 0a: Opgavetype 0b: 0: Udregn a og/eller b i y = ax+b. Vi har et punkt pç grafen. Vi har tallet pç a's plads. Vi skal udregne b i y = ax + b... 4 Vi har et punkt pç grafen. Vi har tallet pç b's plads. Vi skal udregne a i y = ax + b SÅtning 0c: Formler for a og b i y = ax + b... 5 Opgavetype 0d: Opgavetype 0e: Opgavetype 0f: Vi har to punkter pç grafen. Vi skal udregne tallene a og b i y = ax + b... 6 Opgave om virkeligheden som vi kan oversätte til: Vi har to punkter pç grafen. Vi skal udregne tallene a og b i y = ax + b Vi har en lineär graf. Vi skal finde tallene a og b i y = ax + b Eksempel 0g: LineÄr regression... 9 Eksempel 0h FortsÄttelse af Eksempel 0g... 9 Opgavetype 0i: LineÄr regression Opgavetype 0j: Regression, Çrstal

6 : To sammenhånge. Eksempel a: Vi sammenligner to lineäre sammenhänge Opgavetype b: Vi har to ligninger af typen y = ax + b. Vi skal finde det tal x som giver samme y-värdi i de to ligninger Opgavetype c: Opgave om virkeligheden som vi kan oversätte til: Vi har to ligninger af typen y = ax + b. Vi skal finde det tal x som giver samme y-värdi i de to ligninger Opgavetype d: Vi har to ligninger af typen y = ax + b. Vi skal finde koordinatsättet til grafernes skäringspunkt Opgavetype e: Vi skal finde ud af hvornçr en variabel er stérre end en anden : SkrivemÄden f (x). Eksempel 2a: SkrivemÇden h (t), f (x), pris(m) osv Opgavetyper 2b: Eksempler pç opgaver hvor vi har forskriften for en funktion f (x) Opgavetyper 2c: Eksempler pç opgaver om virkeligheden hvor vi har forskriften for en funktion f (x) Opgavetype 2d: Eksempler pç opgaver hvor vi har grafen for en funktion f (x) Eksempel 2e: Eksempler pç opgaver om en figur med grafen for en funktion f (x)

7 : Hvad gär lineåre sammenhånge ud pä? OplÅg : LineÄre sammenhänge: Egenskaber, ligning og graf. Vi kéber en 2 mm héj plante som vokser 4 mm hver dag. Vi kan tänke os til fégende: Efter dag er héjden 2 4 mm Efter 2 dage er héjden 2 42 Efter 0 dage er héjden 2 40 Efter x dage er héjden mm mm 2 4 x mm Der gälder altsç at nçr y er héjden (i mm), er y 4 x 2 Ligningen for denne sammenhäng er altsç af typen y a x b I koordinatsystemet har vi tegnet en prik der viser at 0 dage efter kébet er héjden 2 mm, en prik der viser at dag senere er planten 4 mm héjere, en prik der viser at efter endnu en dag er planten igen blevet 4 mm héjere, osv. Da stigningen er den samme hver dag, kommer punkterne til at ligge pç en ret linje. Derfor kalder man en sammenhäng lineär nçr stigningen hele tiden er den samme. NÇr stigningen hele tiden er den samme, mç ligningen for sammenhängen väre af typen y a x b hvor a er det vi skal lägge til värdien af y hver gang vi gér värdien af x Ön enhed stérre. For sammenhängen y 3x 5 skal vi lägge 3 til y hver gang vi gér x Ön enhed stérre. AltsÇ bliver y-värdierne stérre og stérre, sç sammenhängen er voksende. For sammenhängen y 2x 8 skal vi lägge 2 til y hver gang vi gér x Ön enhed stérre. AltsÇ bliver y-värdierne mindre og mindre, sç sammenhängen er aftagende. LineÄre sammenhänge for gymnasiet og hf Side 200 Karsten Juul

8 2: Vi har en ligning. Er det en lineår sammenhång? Definition 2a: Hvad er en lineär sammenhäng? (Ligning for lineär sammenhäng). En sammenhäng mellem to variable x og y er lineär hvis den har en ligning af typen y ax b En oplysning om hvad et bestemt ord skal betyde, kalder man en DEFINITION. Eksempel 2b: Er ligningen er af typen Hvilke tal stçr pç a's og y ax b? b' s pladser? Ligningen y 6 2x viser sammenhängen mellem to variable x og y. Ligningen kan omskrives til y 2x 6 sç ligningen er af typen y ax b med a 2 og b 6. Der er altsç tale om en lineär sammenhäng. Ligningen y 3x 8 kan omskrives til y 3x ( 8) y ax b med a 3 og b 8. og er derfor af typen Ligningen y 0 x kan omskrives til y ( ) x 0 y ax b med a og b 0. og er derfor af typen Ligningen y 5x 2 3 indeholder x2 og er derfor ikke af typen y ax b. Denne sammenhäng mellem x og y er altsç ikke lineär. LineÄre sammenhänge for gymnasiet og hf Side Karsten Juul

9 3: Tegn graf. SÅtning 3a: Graf for en lineär sammenhäng. De lineäre sammenhänge er de sammenhänge hvor grafen er en ret linje (eller en del af en ret linje). Hvis en oplysning om noget der gälder, er särlig vigtig, så kalder man denne oplysning for en SÇTNING. Opgavetype 3b: Vi har en ligning af typen Vi skal tegne grafen. y ax b. Opgave: Tegn grafen for sammenhängen y 0,5x 0, 7 Besvarelse : Da grafen er en ret linje (ifélge SÄtning 3a), behéver vi kun udregne to punkter for at kunne tegne den. De to punkter skal ligge langt fra hinanden for at fç stor néjagtighed. NÇr x 3 er y 0,5( 3) 0,7 0, 8 NÇr x 4 er y 0,5 4 0,7 2, 7 Grafen er den rette linje gennem punkterne ( 3, 0,8) og ( 4, 2,7). Besvarelse 2: Vi taster forskriften f ( x) 0,5x 0, 7 pç Nspire pç en grafside og fçr grafen til héjre. Vi kan afläse denne graf néjagtigt ved at afsätte et punkt pç grafen og Ändre en af punktets koordinater. LineÄre sammenhänge for gymnasiet og hf Side Karsten Juul

10 4: Voksende eller aftagende. SÅtning 4a: Hvordan ser vi pç en ligning af typen y ax b om sammenhängen er voksende eller aftagende? En lineär sammenhäng y ax b aftagende hvis a er negativ og voksende hvis a er positiv. er Opgavetype 4b: Vi har en ligning af typen y ax b. Vi skal begrunde om denne sammenhäng er voksende eller aftagende. Opgave: Begrund i hvert af félgende tre tilfälde om sammenhängen er voksende eller aftagende:. y 0,5x 4 2. y 3x 2 3. y 6 x Svar:. Da og y 0,5x 4 er af typen y ax b a er positiv ( a 0, 5 ) er sammenhängen voksende. 2. Da y 3x 2 er af typen y ax b og a er negativ ( a 3 ) er sammenhängen aftagende. 3. Da y 6 x er af typen y ax b og a er negativ ( a ) er sammenhängen aftagende. LineÄre sammenhänge for gymnasiet og hf Side Karsten Juul

11 5: Vi har x. Udregn y. Opgavetype 5a: Vi har en ligning af typen y = ax + b. Vi ved hvilket tal x er lig. Vi skal finde det tal som y er lig. Opgave: y 4,6x 7, 2 og x er 6, 5. Hvad er y? Metode: Vi indsätter 6, 5 for x i y 4,6x 7, 2 y 4,6 6,5 7,2 Vi udregner héjresiden og fçr y 37, Konklusion: NÇr x er 6, 5 er y lig 37, og fçr Da der i opgaven stçr at x er 6,5 Opgavetype 5b: Opgave om virkeligheden som vi kan oversätte til: Vi har en ligning af typen y = ax + b. Vi ved hvilket tal x er lig. Vi skal finde det tal som y er lig. Opgave: Metode: Nogle skiver findes i forskellige stérrelser. NÇr y er tykkelsen, mçlt i mm, og x er diameteren, mçlt i mm, er y 0,2x 0, Hvad er tykkelsen nçr diameteren er 4 mm? SpÉrgsmÇlet kan oversättes til Hvad er y nçr x er 4? Vi indsätter 4 for x i y 0,2x 0, y 0,24 0, Vi udregner héjresiden og fçr y 2,9 og fçr Konklusion: Tykkelsen af en skive er 2,9 mm nçr dens diameter er 4 mm Da der i opgaven stçr at y er tykkelsen og x er diameteren. I opgaven stçr at y er tykkelsen. Opgavetype 5c: Vi har grafpunktets x-koordinat. Vi skal udregne y-koordinaten. Opgave: Billedet viser grafen for sammenhängen y,4 x 0,3 Udregn y-koordinaten til det grafpunkt som har x-koordinat, 5. (,5,? )? Metode: NÇr x, 5 er y,4 (,5) 0,3 2, 4 Konklusion: Grafpunkt med x-koordinat, 5 har y-koordinat 2, 4.,5 LineÄre sammenhänge for gymnasiet og hf Side Karsten Juul

12 6: Vi har y. Udregn x. Opgavetype 6a: Vi har en ligning af typen y = ax + b. Vi ved hvilket tal y er lig. Vi skal finde det tal som x er lig. Opgave: y 4x 32 og y er 73. Hvad er x? Metode : Vi indsätter 73 for y i y 4x x 32 Vi léser denne ligning mht. x : 05 4x 05 4x 4 4 7,5 x og fçr Da der i opgaven stçr at y er 73 Metode 2: Vi indsätter 73 for y i y 4x 32 og fçr 73 4x 32 Nspire léser denne ligning mht. x og fçr: x 7,5 Konklusion: NÇr y er 73 er x lig 7, 5 SÅdan tastede vi på Nspire: Opgavetype 6b: Opgave om virkeligheden som vi kan oversätte til: Vi har en ligning af typen y = ax + b. Vi ved hvilket tal y er lig. Vi skal finde det tal som x er lig. Opgave: Metode: Nogle skiver findes i forskellige stérrelser. NÇr y er tykkelsen, mçlt i mm, og x er diameteren, mçlt i mm, er y 0,2x 0, Hvad er diameteren nçr tykkelsen er 4,5 mm? SpÉrgsmÇlet kan oversättes til Hvad er x nçr y er 4, 5? Vi indsätter 4, 5 for y i y 0,2x 0, 4,5 0,2x 0, Vi léser denne ligning mht. x og fçr x 22 og fçr Konklusion: Diameteren af en skive er 22 mm nçr dens tykkelse er 4,5 mm Da der i opgaven stçr at y er tykkelsen og x er diameteren. I opgaven stçr at x er diameteren. LineÄre sammenhänge for gymnasiet og hf Side Karsten Juul

13 Opgavetype 6c: y = ax + b og x er tiden mçlt i Çr. Opgave 6c : For en fugleart er antallet af individer stérst midt pç Çret. Der gälder y 20 x 3250 hvor y er antal individer midt pç Çret x Çr efter SpÉrgsmÇl : Hvilket Çr vil antallet af fugle midt pç Çret väre 4000? Metode: Ligningen x 3250 léser vi mht. x og fçr x 6, 25 Konklusion: I 2009 er antallet af fugle midt pç Çret ca SpÉrgsmÇl 2: Hvilket Çr vil antallet af fugle midt pç Çret overstige 4000? Konklusion: I 200 vil antallet af fugle overstige Opgave 6c 2 : For nogle fugle i et stort bur gälder at antallet af individer vokser lige hurtigt hele Çret. Der gälder y 20 x 3250 hvor y er antal individer x Çr efter begyndelsen af SpÉrgsmÇl: HvornÇr vil antallet af fugle väre 4000? Konklusion: Omkring. april 2009 er antallet af fugle Opgavetype 6d: Vi har grafpunktets y-koordinat. Vi skal udregne x-koordinaten. Opgave: Billedet viser grafen for sammenhängen y 0,75x,5 Udregn x-koordinaten til det grafpunkt som har y-koordinat 2, 7. 2,7 (?, 2, 7) Metode: Vi skal finde et tal x sç 2,7 0,75x,5 Vi léser denne ligning mht. x og fçr x, 6. Konklusion: Grafpunkt med y-koordinat 2, 7 har x-koordinat, 6.? LineÄre sammenhänge for gymnasiet og hf Side Karsten Juul

14 7: Udregn hvor meget stçrre/mindre y bliver. Opgavetype 7a: Vi har en ligning af typen y = ax + b. Vi ved hvor mange enheder x bliver stérre/mindre. Vi skal finde ud af hvor mange enheder y bliver stérre/mindre. Opgave: y 4,6x 7, 2. x er 6, 5. x bliver 3, 5 enheder stérre. Hvor mange enheder bliver y stérre? Metode: NÇr x er blevet 3, 5 enheder stérre, er x 6,5 3,5 0 NÇr x 6, 5 er y 4,6 6,5 7,2 37, NÇr x 0 er y 4,6 0 7,2 53, 2 Vi udregner "sidste y minus férste y ": 53,2 37, 6, Konklusion: y bliver 6, enheder stérre nçr x bliver 3, 5 enheder stérre. Opgavetype 7b: Opgave om virkeligheden som vi kan oversätte til: Vi kender en ligning af typen y = ax + b. Vi ved hvor mange enheder x bliver stérre/mindre. Vi skal finde ud af hvor mange enheder y bliver stérre/mindre. Opgave: For en plante er y,5 x 3, 7 Metode: nçr y er vägt (i gram), og x er längde (i cm). Nu er plantens längde 5,2 cm. Hvor meget tungere end nu vil planten väre nçr den er blevet 2,6 cm längere? SpÉrgsmÇlet kan oversättes til Hvor mange enheder bliver y stérre hvis x er 5, 2 og bliver 2, 6 enheder stérre? NÇr x er blevet 2,6 enheder stérre, er x 5,2 2,6 7, 8 NÇr x 5, 2 er y,5 5,2 3,7, 5. NÇr x 7, 8 er y,5 7,8 3,7 5, 4. Vi udregner "sidste y minus férste": 5,4,5 3, 9 Konklusion: Planten vil väre 3,9 gram tungere nçr den er blevet 2,6 cm längere. BemÄrkning: Trinene i udregningerne er vist nedenfor. 2, 6 2, 6 x 5,2? x 5,2 7,8 y y?? Trin Trin 2 2, 6 2, 6 x 5,2 7,8 x 5,2 7,8 y,5 5,4 Trin 3? y,5 5,4 Trin 4 3, 9 LineÄre sammenhänge for gymnasiet og hf Side Karsten Juul

15 8: Vi ved hvordan y vokser/aftager. Skriv ligning. SÅtning 8a: SÇdan kan vi finde ligningen nçr vi ved hvordan y vokser/aftager. Hvis vi fçr at vide at der er et bestemt tal vi skal lägge til y hver gang vi gér x Ön enhed stérre, sç ved vi: Ligningen er af typen y ax b PÇ a's plads skal vi skrive det tal som vi skal lägge til y hver gang vi gér x Ön enhed stérre. PÇ b's plads skal vi skrive det tal som y er lig nçr x er lig 0. Opgavetype 8b: Vi har det tal vi skal lägge til y-tallet hver gang vi lägger til x-tallet. Vi ved hvad y-tallet er nçr x-tallet er 0. Vi skal skrive en formel til at udregne y nçr vi kender x. Opgave: Hver gang x bliver enhed stérre, vil y blive 3 enheder mindre. NÇr x 0 er y 5. Skriv en ligning vi kan bruge til at udregne y nçr vi kender x. Metode: Ligningen er af typen y ax b da vi skal lägge det samme til y hver gang vi gér x Ön enhed stérre. a 3 da vi skal lägge 3 til y hver gang vi gér x Ön enhed stérre. b 5 da y 5 nçr x 0. Konklusion: y 3x 5 Opgavetype 8c: Opgave om virkeligheden som vi kan oversätte til: Vi har det tal vi skal lägge til y-tallet hver gang vi lägger til x-tallet. Vi ved hvad y-tallet er nçr x-tallet er 0. Vi skal skrive en formel til at udregne y nçr vi kender x. Opgave: Metode: Man skal betale 0 kr. for at starte pç et computerspil, og herefter skal man betale 0,50 kr. pr. minut man spiller. Skriv en ligning vi kan bruge til at udregne prisen for at spille nçr vi kender antal minutter vi spiller. Vi bruger x og y til at betegne félgende talstérrelser: x = antal minutter y = prisen i kr. SÇ kan vi oversätte oplysningerne til félgende: NÇr x 0 er y 0 Hver gang vi gér x Ön enhed stérre, skal vi lägge 0,50 til y. Konklusion: y 0,50x 0 nçr x = antal minutter og y = prisen i kr. LineÄre sammenhänge for gymnasiet og hf Side Karsten Juul

16 Eksempel 8d: SÇdan kan vi finde ligningen nçr vi har en lineär graf (i de tilfälde hvor grafen er meget nem at afläse) ,5 Grafen til venstre viser sammenhängen mellem to variable x og y. Vi ser: NÇr x 0 er y, 5. Vi ser: Hver gang vi gér x enhed stérre, sç bliver y 2 enheder stérre. 0 PÇ billedet til héjre har vi vist hvor vi har afläst, 5 PÇ billedet til héjre har vi vist hvordan vi ser dette. Grafen er en linje: y ax b I SÄtning 8a stçr: I sätning 8a stçr: PÇ a's plads skal vi skrive det tal som vi skal lägge til y hver gang vi gér x Ön enhed stérre. AltsÇ er a 2. PÇ b's plads skal vi skrive det tal som y er lig nçr x er lig 0. AltsÇ er b, 5. AltsÇ er ligningen: y 2x, 5 Figuren i dette eksempel er sç simpel at vi kan overse at vi afläser med stor néjagtighed. Hvis vi ikke kan det, sç skal vi bruge en af metoderne fra rammen "Opgavetype 0d". LineÄre sammenhänge for gymnasiet og hf Side Karsten Juul

17 9: Vi har ligning. Hvordan vokser/aftager y. Bevis 9a: Bevis for sätning 9b. I dette eksempel stär bäde a, b og t for tal som ikke er oplyst. Ligningen y ax b viser sammenhängen mellem to variable y og x. SpÉrgsmÇl: Hvilken Ändring sker i värdien af y, nçr x Ändrer värdi fra t til t? Svar: Vi regner ud hvad y er nçr x er t og t : NÇr x t er y at b NÇr x t er y a( t) b at a b Vi udregner nu Ändringen i värdien af y : ( at a b) ( at b) at a b at b Dvs. nçr x Ändres fra t til t, sç lägges a til värdien af y. BemÄrkninger: Udregningen i svaret kan vi anskueliggére sçdan: x t t+ y at+b at+a+b a Udregningen viser at uanset hvilken startvärdi x har, sç lägges der a til värdien af y nçr der lägges til värdien af x. BemÄrk at a kan väre negativ. Hvis a er 2, sç bliver y altsç 2 enheder mindre hver gang x bliver enhed stérre. Afsnittet "Svar" ovenfor er et BEVIS for 9b nedenfor. Hvad er et BEVIS? Et bevis for en pçstand er nogle logiske slutninger der gér det fuldständig sikkert at pçstanden gälder. Her er et bevis for 9b 2 : NÇr x 0, er y a 0 b, dvs. y b. a SÅtning 9b: Regel om hvad tallene pç a 's og b's pladser i y ax b fortäller. NÇr ligningen er af typen y ax b, hvad fortäller tallene pç a's og b's pladser sç om sammenhängen mellem x og y? 9b : Tallet pç a's plads er det tal vi skal lägge til y hver gang vi gér x Ön enhed stérre. Hvis a 3: Hver gang vi gér x Ön enhed stérre, vil y blive 3 enheder stérre. Hvis a 4 : Hver gang vi gér x Ön enhed stérre, vil y blive 4 enheder mindre. 9b 2 : Tallet pç b's plads er det tal som y er lig nçr x er 0. LineÄre sammenhänge for gymnasiet og hf Side 200 Karsten Juul

18 Opgavetype 9c: Vi har tallene pç a's og b's pladser i y ax b Vi skal skrive hvad disse tal fortäller.. Opgave: Hvad fortäller tallene, 2 og 9, 7 om sammenhängen y,2 x 9, 7? Metode: Af SÄtning 9b fçr vi:,2 er det tal vi skal lägge til y hver gang vi gér x en enhed stérre 9,7 er värdien af y nçr x er 0 Konklusion: NÇr x 0 er y 9, 7 og hver gang vi gér x Ön enhed stérre, vil y blive, 2 enheder mindre. Vi siger ikke, 2 enheder stérre. Vi siger, 2 enheder mindre. Opgavetype 9d: Opgave om virkeligheden som vi kan oversätte til: Vi har tallene pç a's og b's pladser i y ax b. Vi skal skrive hvad disse tal fortäller. Opgave: Metode: For en cirkel pç et elektronisk billede kan radius udregnes ved hjälp af formlen y 2x 8 hvor x er temperaturen i C og y er radius i mm. Hvad fortäller tallene 2 og 8 om radius? Af SÄtning 9b fçr vi: dvs. 2 er det tal vi skal lägge til y hver gang vi gér x en enhed stérre. 8 er värdien af y nçr x er 0. 2 er det tal vi skal lägge til radius hver gang vi gér temperaturen en grad stérre. 8 er radius nçr temperaturen er 0 grader. Konklusion: Radius er 8 mm ved 0 C og vokser 2 mm pr. grad temperaturen stiger. Eksempel 9e: y ax b og x bliver flere enheder stérre. Ligningen y 20x 374 viser sammenhängen mellem to variable x og y. Ligningen er af typen y ax b og a 20 sç vi skal lägge 20 til y hver gang x bliver Ön enhed stérre (ifélge 9b ). Hvis x bliver 5 enheder stérre, skal vi 5 gange lägge 20 til y, sç y bliver stérre. enheder Hvis x bliver 2,5 enheder mindre, sç vil y blive 20 2,5 50 enheder mindre. Hvis x bliver h enheder stérre, og vi ser at y bliver 284 enheder stérre, sç er 20 h h dvs. x er blevet 4,2 enheder stérre. 20 og sç er LineÄre sammenhänge for gymnasiet og hf Side Karsten Juul

19 Eksempel 9f: SÇdan kan vi tegne grafen nçr vi har en ligning af typen y ax b (i nogle tilfälde hvor tallene er simple) Ligningen y 0,5 x 2 viser sammenhängen mellem to variable x og y. Figur Ligningen er af typen y ax b. Tallet pç b ' s plads er 2 sç ifélge 9b 2 gälder y 2 nçr x 0. PÇ figur har vi brugt dette til at tegne et punkt pç grafen. Figur 2 Tallet pç a ' s plads er 0,5 sç ifélge 9b gälder Vi skal lägge 0,5 til y hver gang vi gér x en enhed stérre. 0,5 0,5 PÇ figur 2 har vi brugt dette til at tegne endnu et grafpunkt. PÇ figur 3 har vi gentaget dette sç der nu er tre grafpunkter. Ved at gére det to gange mere fçr vi figur 4. 0,5 Figur 3 0,5 Figur 4 Hvis tallene ikke er simple, sç kan vi tegne grafen ved at bruge en af metoderne fra rammen "Opgavetype 3b". LineÄre sammenhänge for gymnasiet og hf Side Karsten Juul

20 Eksempel 9g: SÇdan kan vi tegne grafen nçr vi har en ligning af typen y ax b Ligningen (i nogle tilfälde hvor tallene er simple) y 0,6x 5 viser sammenhängen mellem to variable x og y. Ligningen er af typen y ax b og a 0, 6 sç vi skal lägge 0,6 til y hver gang vi gér x Ön enhed stérre (ifélge 9b ). AltsÇ gälder Vi skal lägge 6 til y hver gang vi gér x 0 enheder stérre. Dette har vi nedenfor brugt til at tegne punkter pç grafen : Udregn a og/eller b i y = ax+b. Opgavetype 0a: Vi har et punkt pç grafen. Vi har tallet pç a's plads. Vi skal udregne b i y ax b. Opgave: Punktet ( 4, 35) ligger pç grafen for sammenhängen y 8 x b. Find tallet b. Metode: Vi indsätter 4 og 35 for x og y i ligningen og fçr b Vi léser denne ligning mht. b og fçr b 3 Konklusion: b 3 Opgavetype 0b: Vi har et punkt pç grafen. Vi har tallet pç b's plads. Vi skal udregne a i y ax b. Opgave: Punktet ( 5, 8) ligger pç grafen for sammenhängen y ax 8. Find tallet a. Metode: Vi indsätter 5 og 8 for x og y i ligningen og fçr 8 a 5 8 Vi léser denne ligning mht. a og fçr a 2 Konklusion: a 2 LineÄre sammenhänge for gymnasiet og hf Side Karsten Juul

21 SÅtning 0c: Formler for a og b i y = ax+b. Hvis vi kender to punkter x, ) og x, ) y ax b ( y sç kan vi udregne a og b sçdan: 2 ( 2 y2 y2 y a og b y ax x x pç grafen for en lineär sammenhäng Bevis for sätningen Da x, ) og x, ) ligger pç grafen for y ax b ( y ( 2 y2 () y ax b (2) y ax b 2 Af () fçr vi 2 (3) y ax b Vi indsätter dette i (2) og fçr hvoraf y y y 2 ax2 x ( y a ) 2 y ax2 ax 2 y 2 x y x a ( x ) 2 y a ( x2 x) 2 x x 2 x er Dette er formlen for b y x 2 2 y x a Dette er formlen for a LineÄre sammenhänge for gymnasiet og hf Side Karsten Juul

22 Opgavetype 0d: Vi har to punkter pç grafen. Vi skal udregne tallene a og b i y ax b. Opgave : Punkterne ( x, y) ( 7, ) og ( x, y) (8, 4) ligger pç grafen for sammenhängen y ax b. Find tallene a og b. Metode. Vi léser ligningssystem uden hjälpemidler: Da ( x, y) ( 7, ) og ( x, y) (8, 4) ligger pç grafen, er () a ( 7) b (2) 4 a 8 b Af () fçr vi (3) 7a b Vi indsätter dette i (2) og fçr 4 8a ( 7a) hvoraf 3 5a 3 5a 5 5 0,2 a Dette indsätter vi i (3) og fçr 7 0, 2 b hvoraf 2,4 b Metode 2: Nspire léser ligningssystem: Da ( x, y) ( 7, ) og ( x, y) (8, 4) ligger pç grafen, er a ( 7) b 4 a 8 b Nspire léser dette ligningssystem mht. a og b og fçr a 0,2 og b 2, 4 Metode 3. Vi indsätter i formler for a og b : Af ( x, y) ( 7, ) og ( x2, y2 ) (8, 4) fçr vi y2 y 4 3 a 0,2 x x 8 ( 7) 5 b 2 y ax 0,2 ( 7) Metode 4. Nspire laver lineär regression: Vi indtaster de to punkter, välger lineär regression og fçr y 0,2x 2, 4 Konklusion: a 0, 2 og b 2, 4 Opgave 2: Punkterne ( x, y) ( 7, ) og ( x, y) (8, 4) ligger pç grafen for en lineär sammenhäng. Find en ligning for denne sammenhäng. Metoder er ens for Konklusion: y 0,2x 2, 4 er ligningen for den lineäre sammenhäng. opgave og 2. 2,4 SÅdan tastede vi på Nspire: Dette er konklusionen i Opgave uanset om vi bruger Metode, 2, 3 eller 4. LineÄre sammenhänge for gymnasiet og hf Side Karsten Juul

23 Opgavetype 0e: Opgave om virkeligheden som vi kan oversätte til: Vi har to punkter pç grafen. Vi skal udregne tallene a og b i y ax b. Opgave: Metode: Der er en lineär sammenhäng mellem temperatur og overskud. NÇr temperaturen er 3 C, er overskuddet 2 mio. kr. NÇr temperaturen er 5 C, er overskuddet 28 mio. kr. Skriv en ligning der viser sammenhängen mellem temperatur og overskud. Vi sätter Det er nédvendigt at fortälle läseren x = temperatur (mçlt i C) dette da det ikke stçr i opgaven. y = overskud (mçlt i mio. kr.) Der er oplyst to x-värdier og tilhérende y-värdier: Til x 3 svarer y 2. Til x 5 svarer y Da sammenhängen er lineär, er den ségte ligning pç formen a b y x 2 2 y x ( 3) 6 8 y ax 2 2 ( 3) 8 2 y ax b, og Alle fire metoder fra Opgavetype 0d kan bruges her. Konklusion: Ligningen y 2x 8 viser sammenhängen mellem temperaturen x i C og overskuddet y i mio. kr. LineÄre sammenhänge for gymnasiet og hf Side Karsten Juul

24 Opgavetype 0f: Vi har en lineär graf. Vi skal finde tallene a og b i y ax b. Opgave: Grafen viser sammenhängen mellem to variable x og y. Find en ligning for denne sammenhäng. Metode: Da grafen er en ret linje, er ligningen af typen y ax b. For at kunne udregne a og b skal vi bruge koordinaterne til to punkter pç grafen. For at fç stor néjagtighed välger vi de to punkter sç de er nemme at afläse de ligger langt fra hinanden. Vi afläser de to punkters koordinater og fçr ( 4, 8) og ( 33, 26). PÇ figuren har vi tegnet en cirkel omkring hvert af de to punkter. (33, 26) Hvis vi i stedet havde tegnet en prik eller et kryds, sç ville läseren ikke kunne se hvor néjagtigt vi havde afläst. ( 4, 8) Nu kan vi udregne a og b ved at bruge en af de fire metoder i rammen "Opgavetype 0d" Konklusion: Ligningen for sammenhängen er y 0,723x 2, 3. LineÄre sammenhänge for gymnasiet og hf Side Karsten Juul

25 Eksempel 0g: LineÄr regression. Vi tager et termometer ud af kéleskabet og afläser det nogle gange. g = temperatur i C m = antal minutter efter at termometeret blev taget ud af kéleskabet. Vi taster de mçlte tal sç m kommer pç den vandrette akse, og g kommer pç den lodrette. Nspire laver lineär regression pç tallene og fçr () g 2,77 m 3, 4. PÇ skärmen ser vi: Den rette linje der er graf for (). Punkterne der viser de mçlte tal. Vi ser: SammenhÄngen () giver en god beskrivelse af temperaturen i tidsrummet fra til 5 minutter efter udtagning fra kéleskab. NÇr vi fçr Nspire til at lave lineär regression pç en tabel, sç udregner Nspire den ligning af typen y = ax + b som bedst passer med tabellens tal. Nspire udregner tallene a og b ved at sätte tabellens tal ind i nogle indviklede formler. Hvis vi kun havde en simpel lommeregner, sç mçtte vi selv sätte tallene ind i disse formler. Eksempel 0h FortsÄttelse af Eksempel 0g. I eksempel 0g underségte vi kun mçlingerne fra til 5 minutter efter udtagningen. PÇ figuren til héjre har Nspire lavet lineär regression pç mçlingerne fra 0 til 4 minutter efter udtagningen. Den rette linje er graf for den lineäre sammenhäng der passer bedst med de mçlte tal. Prikkerne viser de mçlte tal. Vi ser at vi ikke kan bruge en lineär sammenhäng til at give en god beskrivelse af temperaturen i de férste 4 minutter efter udtagningen.. LineÄre sammenhänge for gymnasiet og hf Side Karsten Juul

26 Opgavetype 0i: LineÄr regression. Opgave: Vi har mçlt längde og bredde for nogle komponenter: längde i cm,5 2,5 3,5 4,5 5,5 bredde i cm 5, 5,3 5,9 6, 6,6 SammenhÄngen mellem längde og bredde kan med god tilnärmelse beskrives ved en ligning af typen y ax b. Find tallene a og b. Metode: Vi indtaster tallene sçdan at längde kommer pç den vandrette akse og bredde kommer pç den lodrette akse. Nspire laver lineär regression pç de indtastede tal og fçr y 0,38x 0,67. Konklusion: a 0, 38 og b 0, 67 Opgavetype 0j: Regression, Çrstal. Opgave: Tabellen viser antallet af boliger i et bestemt omrçde. Ürstal Antal boliger Antallet af boliger kan med god tilnärmelse beskrives ved en ligning af typen y ax b hvor y er antallet af boliger, og x er antal Çr efter 998. Find tallene a og b. Metode: Vi taster félgende tabel: x y Vi taster ikke Çrstal da x ikke er Çrstallet. Nspire laver lineär regression pç denne tabel og fçr y 3,857x 36, 238 Konklusion: a 3,2 og b 36 LineÄre sammenhänge for gymnasiet og hf Side Karsten Juul

27 : To sammenhånge. Eksempel a: Vi sammenligner to lineäre sammenhänge. FÉlgende ligninger viser to lineäre sammenhänge: y 0,25x 7 og y 0,5x NÇr x 0 er 0,25x 7 0, ,5x 0, ,5 Vi vil finde det tal vi skal sätte x lig for at 0,25x 7 og 0,5x Vi skal altsç finde x sç 0,25x 7 0,5x Vi léser denne ligning mht. x og fçr x 24. giver samme resultat. Figuren viser graferne for de to sammenhänge y 0,429x,29 y 0,857x 24,4 y 0,429x,29 y 0,857x 24,4 PÇ figuren er vist hvordan vi har afläst at nçr x er 0,429x,29 6 0,857x 24,4 5 PÇ samme mçde kan vi afläse at og at nçr x 25 er 0,429x,29 2 0,857x 24,4 3 nçr x 8 er 0,429x,29 9 0,857x 24,4 9 y 0,429x,29 y 0,857x 24,4 Af figuren ser vi: NÇr vi sätter x 8 giver 0,429x, 29 og 0,857x 24, 4 samme y-värdi. Udtrykket 0,429x, 29 giver mindre y-värdi end 0,857x 24, 4 nçr x er mindre end 8, og stérre y-värdi nçr x er stérre end 8. LineÄre sammenhänge for gymnasiet og hf Side Karsten Juul

28 Opgavetype b: Vi har to ligninger af typen y ax b. Vi skal finde det tal x som giver samme y-värdi i de to ligninger. Opgave: Ligningerne y 0,25x 7 og y 0,5x viser to sammenhänge mellem variable x og y. Find den värdi af x som giver samme y-värdi i de to sammenhänge. Metode: Vi skal finde x sç 0,25x 7 0,5x Vi léser denne ligning mht. x. og fçr x 24. LÄseren skal kunne se hvordan du har lést ligningen. Du kan välge mellem flere mçder at lése ligningen pç. Konklusion: x-värdien 24 giver samme y-värdi i de to sammenhänge. Opgavetype c: Opgave om virkeligheden som vi kan oversätte til: Vi har to ligninger af typen y ax b. Vi skal finde det tal x som giver samme y-värdi i de to ligninger. Opgave: Metode: I en have planter vi to planter A og B. Der gälder m 0,65t 4,5 og n 0,85t 7, 3 hvor m er héjden i cm af A, n er héjden i cm af B, og t er antal dégn efter plantetidspunktet. HvornÇr har planterne samme héjde? Vi skal finde den värdi af t hvor 0,65t 4,5 0,85t 7,3 Vi léser denne ligning mht. t og fçr t 36 Konklusion: Planterne har samme héjde 36 dégn efter plantetidspunktet. LineÄre sammenhänge for gymnasiet og hf Side Karsten Juul

29 Opgavetype d: Vi har to ligninger af typen y ax b. Vi skal finde koordinatsättet til grafernes skäringspunkt. Opgave: Metode : Metode 2: Find koordinatsättet til skäringspunktet mellem graferne for de to sammenhänge y,2 x 7,4 og y 0,6 x 2, 8 SkÄringspunktets x-koordinat er den x-värdi hvor de to ligninger giver samme y-värdi, dvs hvor,2 x 7,4 0,6 x 2,8. Vi léser denne ligning mht. x og fçr x 7. SkÄringspunktet ligger pç grafen for y 0,6 x 2, 8 og har derfor y-koordinaten y 0,6 7 2,8 3. Vi fçr Nspire til at tegne de to grafer. Vi Ändrer udsnittet af koordinatsystemet sç vi kan se skäringspunktet. Vi fçr Nspire til at finde skäringspunktet og fçr ( 7, 3). Konklusion: SkÄringspunktet er (7, 3) Opgavetype e: Vi skal finde ud af hvornçr en variabel er stérre end en anden. Opgave: Metode: Konklusion: To forretninger A og B starter samtidigt salget af en vare. NÇr x = dage efter salgets start og y = varens pris i kr. er A: y 3,5x 2239 B: y 2x 888 HvornÇr er A billigst? Vi bestemmer férst x sç de to priser er ens, dvs. sç 3,5x x 888 Vi léser denne ligning mht. x og fçr x 234. Vi tegner graferne for de to sammenhänge med metoden fra rammen "Opgavetype 3b". PÇ figuren ser vi at A's y-värdi er mindre end B's nçr x er stérre end 234. Efter dag 234 er A billigst. A B Af ligningerne ser vi (ifélge SÄtning 9b): A: prisen falder 3,50 kr. hver dag B: prisen falder 2,00 kr. hver dag Efter det tidspunkt hvor priserne er ens i A og B, mç prisen i A altsç väre mindst. Denne begrundelse kan vi bruge i stedet for at se pç graferne. LineÄre sammenhänge for gymnasiet og hf Side Karsten Juul

sammenhänge 2008 Karsten Juul

sammenhänge 2008 Karsten Juul LineÄre sammenhänge y x 3 3 008 Karsten Juul Dette häfte er en fortsättelse af häftet "VariabelsammenhÄnge, 008". Indhold 8. Hvad er en lineär sammenhäng?... 3 9. Hvordan ser grafen ud for en lineär sammenhäng?...

Læs mere

Differentialligninger

Differentialligninger Differentialligninger for A-niveau i st, udgave SkÄrmbillede fra TI-Nspire 015 Karsten Juul Differentialligninger for A-niveau i st, udgave 1 Hvad er en differentialligning? 1a OplÄg til differentialligninger1

Læs mere

Kort om. Andengradspolynomier. 2011 (2012) Karsten Juul

Kort om. Andengradspolynomier. 2011 (2012) Karsten Juul Kort om Anengraspolynomier 11 (1) Karsten Juul Dette häfte ineholer pensum i anengraspolynomier for gymnasiet og hf Inhol 1. Definition Anengraspolynomium... 1. Eksempel Hvilke tal er a, b og c lig?...

Læs mere

Variabel- sammenhænge

Variabel- sammenhænge Variabel- sammenhænge 2008 Karsten Juul Dette hæfte kan bruges som start på undervisningen i variabelsammenhænge for st og hf. Indhold 1. Hvordan viser en tabel sammenhængen mellem to variable?... 1 2.

Læs mere

Integralregning. 1. del. 2006 Karsten Juul. M l

Integralregning. 1. del. 2006 Karsten Juul. M l Integralregning del () M l () 6 Karsten Juul Indhold Stamunktion OplÄg om stamunktion Deinition a stamunktion 6 Kontrol a stamunktion 9 SÄtning om stamunktionerne til en unktion Deinition a ubestemt integral

Læs mere

Trekantsberegning 25 B. 2009 Karsten Juul

Trekantsberegning 25 B. 2009 Karsten Juul Trekantsberegning 7,0 3 5 009 Karsten Juul ette häfte indeholder den del af trekantsberegningen som skal kunnes på - niveau i gymnasiet (stx) og hf ra sommer 0 kräves mere remstillingen undgår at forudsätte

Læs mere

Deskriptiv statistik. for C-niveau i hf. 2015 Karsten Juul

Deskriptiv statistik. for C-niveau i hf. 2015 Karsten Juul Deskriptiv statistik for C-niveau i hf 75 50 25 2015 Karsten Juul DESKRIPTIV STATISTIK 1.1 Hvad er deskriptiv statistik?...1 1.2 Hvad er grupperede og ugrupperede data?...1 1.21 Eksempel pä ugrupperede

Læs mere

Differentialregning. for B-niveau i hf udgave 3. 2015 Karsten Juul

Differentialregning. for B-niveau i hf udgave 3. 2015 Karsten Juul Dierentialregning r B-niveau i h udgave t s 05 Karsten Juul Dierentialkvtient. Tangent g räringspunkt..... FunktinsvÅrdi g dierentialkvtient..... Frtlkning a ' vedr. gra... 4. Frtlkning a ' nçr er tiden....

Læs mere

Opstilling af model ved hjælp af differentialkvotient

Opstilling af model ved hjælp af differentialkvotient Opstilling af model ved hjælp af differentialkvotient N 0,35N 0, 76t 2010 Karsten Juul Til eleven Dette hæfte giver dig mulighed for at arbejde sådan med nogle begreber at der er god mulighed for at der

Læs mere

Differential- regning

Differential- regning Differential- regning del () f () m l () 6 Karsten Juul Indhold Tretrinsreglen 59 Formler for differentialkvotienter64 Regneregler for differentialkvotienter67 Differentialkvotient af sammensat funktion7

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C LINEÆR SAMMENHÆNG

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C LINEÆR SAMMENHÆNG ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C LINEÆR SAMMENHÆNG INDHOLDSFORTEGNELSE 1 Formelsamling... side 2 2 Grundlæggende færdigheder... side 3 2a Finde konstanterne a og b i en formel... side 3 2b Indsætte x-værdi og

Læs mere

Nogle emner fra. Deskriptiv Statistik. 2011 Karsten Juul

Nogle emner fra. Deskriptiv Statistik. 2011 Karsten Juul Nogle emner fra Deskriptiv Statistik 75 50 25 2011 Karsten Juul Indhold Hvad er deskriptiv statistik?... 1 UGRUPPEREDE OBSERVATIONER Hyppigheder... 1 Det samlede antal observationer... 1 Middeltallet...

Læs mere

Uafhængig og afhængig variabel

Uafhængig og afhængig variabel Uddrag fra http://www.emu.dk/gym/fag/ma/undervisningsforloeb/hf-mat-c/introduktion.doc ved Hans Vestergaard, Morten Overgaard Nielsen, Peter Trautner Brander Variable og sammenhænge... 1 Uafhængig og afhængig

Læs mere

Kapitel 3 Lineære sammenhænge

Kapitel 3 Lineære sammenhænge Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Lineære sammenhænge Det sker tit, at man har flere variable, der beskriver en situation, og at der en sammenhæng mellem de variable. Enhver formel er faktisk

Læs mere

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015 Kalkulus 1 - Opgaver Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis 20. januar 2015 Mængder Opgave 1 Opskriv følgende mængder med korrekt mængdenotation. a) En mængde A indeholder alle hele tal fra og med 1

Læs mere

Kapitel 2 Tal og variable

Kapitel 2 Tal og variable Tal og variable Uden tal ingen matematik - matematik handler om tal og anvendelse af tal. Matematik beskæftiger sig ikke udelukkende med konkrete problemer fra andre fag, og de konkrete tal fra andre fagområder

Læs mere

Bogstavregning. En indledning for stx og hf. 2008 Karsten Juul

Bogstavregning. En indledning for stx og hf. 2008 Karsten Juul Bogstavregning En indledning for stx og hf 2008 Karsten Juul Dette hæfte træner elever i den mest grundlæggende bogstavregning (som omtrent springes over i lærebøger for stx og hf). Når elever har lært

Læs mere

Graph brugermanual til matematik C

Graph brugermanual til matematik C Graph brugermanual til matematik C Forord Efterfølgende er en guide til programmet GRAPH. Programmet kan downloades gratis fra nettet og gemmes på computeren/et usb-stik. Det betyder, det også kan anvendes

Læs mere

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk 3 Lineære funktioner En vigtig type funktioner at studere er de såkaldte lineære funktioner. Vi skal udlede en række egenskaber

Læs mere

Hvordan Leibniz opfandt integralregningen

Hvordan Leibniz opfandt integralregningen Hvord Leiiz opdt itegrlregige 0 Krste Juul EglÄdere Isc Newto (6-) opdt i 66 itegrlregige. Tskere Gottried Wilhelm Leiiz (66-6) opdt i 6 itegrlregige. Ige dem oetliggjorde deres opidelse med det smme.

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Ligning med + - / hvor x optræder 1 gang... 3 IT-programmer

Læs mere

vækst trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt

vækst trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik vækst trin 2 preben bernitt brikkerne til regning & matematik vækst, trin 2 ISBN: 978-87-92488-05-3 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk Kopiering er kun tilladt

Læs mere

Logaritmiske koordinatsystemer med TI-Nspire CAS version 3.6

Logaritmiske koordinatsystemer med TI-Nspire CAS version 3.6 Logaritmiske koordinatsystemer med TI-Nspire CAS version 3.6 Indholdsfortegnelse: Enkelt logaritmisk koordinatsystem side 1 Eksempel på brug af enkelt logaritmisk koordinatsystem ud fra tabel side 2 Dobbelt

Læs mere

Matricer og lineære ligningssystemer

Matricer og lineære ligningssystemer Matricer og lineære ligningssystemer Grete Ridder Ebbesen Virum Gymnasium Indhold 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber 1 Regning med matricer 3 13 Kvadratiske matricer og determinant 9 14 Invers matrix

Læs mere

Mathcad Survival Guide

Mathcad Survival Guide Mathcad Survival Guide Mathcad er en blanding mellem et tekstbehandlingsprogram (Word), et regneark (Ecel) og en grafisk CAS-lommeregner. Programmet er velegnet til matematikopgaver, fysikrapporter og

Læs mere

IADK FÄllesmÅde 2. december 2014. Velkommen. Grupperne SJ-1 & SJ-2 17:51 1

IADK FÄllesmÅde 2. december 2014. Velkommen. Grupperne SJ-1 & SJ-2 17:51 1 Velkommen Grupperne SJ-1 & SJ-2 Lasse Ahm Consult Tirsdag, den 2. december 2014 17:51 1 17:51 2 www.lasseahm.dk COPYRIGHT 1 17:51 3 17:51 4 www.lasseahm.dk COPYRIGHT 2 den enkeltes spidskompetencer. 17:51

Læs mere

Tak for kaffe! 17-10-2004 Tak for kaffe! Side 1 af 16

Tak for kaffe! 17-10-2004 Tak for kaffe! Side 1 af 16 Tak for kaffe! Jette Rygaard Poulsen, Frederikshavn Gymnasium og HF-kursus Hans Vestergaard, Frederikshavn Gymnasium og HF-kursus Søren Lundbye-Christensen, AAU 17-10-2004 Tak for kaffe! Side 1 af 16 Tak

Læs mere

matx.dk Enkle modeller

matx.dk Enkle modeller matx.dk Enkle modeller Dennis Pipenbring 28. juni 2011 Indhold 1 Indledning 4 2 Funktionsbegrebet 4 3 Lineære funktioner 8 3.1 Bestemmelse af funktionsværdien................. 9 3.2 Grafen for en lineær

Læs mere

Statistik. Deskriptiv statistik, normalfordeling og test. Karsten Juul

Statistik. Deskriptiv statistik, normalfordeling og test. Karsten Juul Statistik Deskriptiv statistik, normalfordeling og test Karsten Juul Intervalhyppigheder En elevgruppe på et gymnasium har spurgt 100 tilfældigt valgte elever på gymnasiet om hvor lang tid det tager dem

Læs mere

Beregninger Microsoft Excel 2010 Grundforløb Indhold

Beregninger Microsoft Excel 2010 Grundforløb Indhold Indhold Arealberegning... 2 Kvadrat/rektangulær... 2 Rektangel... 2 Kvadrat... 2 Cirkel... 2 Omkredsberegning... 3 Kvadrat/rektangulær... 3 Rektangel... 3 Kvadrat... 3 Cirkel... 3 Rumfangsberegning...

Læs mere

-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1

-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1 En funktion beskriver en sammenhæng mellem elementer fra to mængder - en definitionsmængde = Dm(f) består af -værdier og en værdimængde = Vm(f) består af -værdier. Til hvert element i Dm(f) knttes netop

Læs mere

Opvarmningsopgaver. Gang parentesen ud: Forkort brøken: Gang parentesen ud: (1.5 + x) 2 (1 + x) 3. Forkort brøken. Gang parentesen ud: (x 0 + x) 3

Opvarmningsopgaver. Gang parentesen ud: Forkort brøken: Gang parentesen ud: (1.5 + x) 2 (1 + x) 3. Forkort brøken. Gang parentesen ud: (x 0 + x) 3 eks. Intro til differentialregning side 1 Opvarmningsopgaver 10. november 2012 12:58 Gang parentesen ud: Forkort brøken: Gang parentesen ud: (1.5 + x) 2 (1 + x) 3 Gang parentesen ud: Forkort brøken (x

Læs mere

Brugervejledning til Graph (1g, del 1)

Brugervejledning til Graph (1g, del 1) Graph (brugervejledning 1g, del 1) side 1/8 Steen Toft Jørgensen Brugervejledning til Graph (1g, del 1) Graph er et gratis program, som ikke fylder meget. Downloades på: www.padowan.dk/graph/. Programmet

Læs mere

Eksponentielle sammenhænge

Eksponentielle sammenhænge Eksponentielle sammenhænge 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Indholdsfortegnelse Variabel-sammenhænge... 1 1. Hvad er en eksponentiel sammenhæng?... 2 2. Forklaring med ord af eksponentiel vækst... 2, 6

Læs mere

Mere om. trekantsberegning. D s u. 2012 Karsten Juul

Mere om. trekantsberegning. D s u. 2012 Karsten Juul Mere om rekansberegning D s A C v B 01 Karsen Jl Dee häfe indeholder ilfåjelser il fålgende häfer: Korfae rekansberegning for gymnasie og hf /11-010 hp://ma1.dk/korfae_rekansberegning_for_gymnasie_og_hf.pdf

Læs mere

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje.

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje. Maple Dette kapitel giver en kort introduktion til hvordan Maple 12 kan benyttes til at løse mange af de opgaver, som man bliver mødt med i matematiktimerne på HHX. Skærmbilledet Vi starter med at se lidt

Læs mere

Kapital- og rentesregning

Kapital- og rentesregning Rentesregning Rettet den 28-12-11 Kapital- og rentesregning Kapital- og rentesregning Navngivning ved rentesregning I eksempler som Niels Oles, hvor man indskyder en kapital i en bank (én gang), og banken

Læs mere

Lineær Programmering i GeoGebra Side 1 af 8

Lineær Programmering i GeoGebra Side 1 af 8 Lineær Programmering i GeoGebra Side 1 af 8 Grundlæggende find selv flere funktioner, fx i GG s indbyggede hjælpefunktion. Vær opmærksom på at grænsefladen i GeoGebra ændrer sig med tiden, da værktøjet

Læs mere

Oversigt. funktioner og koordinatsystemer

Oversigt. funktioner og koordinatsystemer Et koordinatsystem er et diagramsystem, der har to akser, en vandret akse og en lodret akse - den vandrette kaldes x-aksen, og den lodrette kaldes y-aksen. (2,4) (5,6) (8,6) Et punkt skrives altid som

Læs mere

Statistisk beskrivelse og test

Statistisk beskrivelse og test Statistisk beskrivelse og test 005 Karsten Juul Kapitel 1. Intervalhyppigheder Afsnit 1.1: Histogram En elevgruppe på et gymnasium har spurgt 100 tilfældigt valgte elever på gymnasiet om hvor lang tid

Læs mere

Numeriske metoder. Af: Alexander Bergendorff, Frederik Lundby Trebbien Rasmussen og Jonas Degn. Side 1 af 15

Numeriske metoder. Af: Alexander Bergendorff, Frederik Lundby Trebbien Rasmussen og Jonas Degn. Side 1 af 15 Numeriske metoder Af: Alexander Bergendorff, Frederik Lundby Trebbien Rasmussen og Jonas Degn Side 1 af 15 Indholdsfortegnelse Matematik forklaring... 3 Lineær regression... 3 Numerisk differentiation...

Læs mere

Netværk for Matematiklærere i Silkeborgområdet Brobygningsopgaver 2014

Netværk for Matematiklærere i Silkeborgområdet Brobygningsopgaver 2014 Brobygningsopgaver Den foreliggende opgavesamling består af opgaver fra folkeskolens afgangsprøver samt opgaver på gymnasieniveau baseret på de samme afgangsprøveopgaver. Det er hensigten med opgavesamlingen,

Læs mere

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011 Indholdsfortegnelse Integral regning:... 2 Ubestemt integral:... 2 Integrationsprøven:... 3 1) Integration af potensfunktioner:... 3 2) Integration af sum og Differens:... 3 3) Integration ved Multiplikation

Læs mere

Eksponentielle Sammenhænge

Eksponentielle Sammenhænge Kort om Eksponentielle Smmenhænge 011 Krsten Juul Dette hæfte indeholder pensum i eksponentielle smmenhænge for gymnsiet og hf. Indhold 1. Procenter på en ny måde... 1. Hvd er en eksponentiel smmenhæng?....

Læs mere

BekÄmp stress med dine egne midler

BekÄmp stress med dine egne midler BekÄmp stress med dine egne midler hvordan du selv klarer stress problemer Skrevet af Klavs Nicholson, specialläge i psykiatri Forlaget Serpico Copyright 2010 Indholdsfortegnelse: INDHOLDSFORTEGNELSE:...

Læs mere

Skriv punkternes koordinater i regnearket, og brug værktøjet To variabel regressionsanalyse.

Skriv punkternes koordinater i regnearket, og brug værktøjet To variabel regressionsanalyse. Opdateret 28. maj 2014. MD Ofte brugte kommandoer i Geogebra. Generelle Punktet navngives A Geogebra navngiver punktet Funktionen navngives f Funktionen navngives af Geogebra Punktet på grafen for f med

Læs mere

Matematik. Grundforløbet. Mike Auerbach (2) Q 1. y 2. y 1 (1) x 1 x 2

Matematik. Grundforløbet. Mike Auerbach (2) Q 1. y 2. y 1 (1) x 1 x 2 Matematik Grundforløbet (2) y 2 Q 1 a y 1 P b x 1 x 2 (1) Mike Auerbach Matematik: Grundforløbet 1. udgave, 2014 Disse noter er skrevet til matematikundervisning i grundforløbet på stx og kan frit anvendes

Læs mere

brikkerne til regning & matematik grafer og funktioner basis+g preben bernitt

brikkerne til regning & matematik grafer og funktioner basis+g preben bernitt brikkerne til regning & matematik grafer og funktioner basis+g preben bernitt brikkerne til regning & matematik grafer og funktioner, G ISBN: 978-87-9288-11-4 2. Udgave som E-bog 2010 by bernitt-matematik.dk

Læs mere

grafer og funktioner trin 1 brikkerne til regning & matematik preben bernitt

grafer og funktioner trin 1 brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik grafer og funktioner trin 1 preben bernitt brikkerne til regning & matematik grafer og funktioner, trin 1 ISBN: 978-87-92488-11-4 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk

Læs mere

Højere Handelseksamen Handelsskolernes enkeltfagsprøve 2006. Typeopgave 2. Matematik Niveau B. Delprøven uden hjælpemidler. Prøvens varighed: 1 time.

Højere Handelseksamen Handelsskolernes enkeltfagsprøve 2006. Typeopgave 2. Matematik Niveau B. Delprøven uden hjælpemidler. Prøvens varighed: 1 time. Højere Handelseksamen Handelsskolernes enkeltfagsprøve 2006 05-B-2-U Typeopgave 2 Matematik Niveau B Delprøven uden hjælpemidler Prøvens varighed: 1 time. Dette opgavesæt består af 5 opgaver, der indgår

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj/juni 2012 (denne beskrivelse dækker efterår 2011 og forår 2012) Institution Roskilde Handelsskole Uddannelse

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni 200/2010 Institution Herning HF og VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hf Matematik C, HF Johnny

Læs mere

Berlin eksempel på opgavebesvarelse i Word m/mathematics

Berlin eksempel på opgavebesvarelse i Word m/mathematics Berlin eksempel på opgavebesvarelse i Word m/mathematics 1.1 Gennemsnitsfarten findes ved at dividere den kørte strækning med den forbrugte tid i decimaltal. I regnearket bliver formlen =A24/D24. Resultatet

Læs mere

Matematik B. Højere handelseksamen

Matematik B. Højere handelseksamen Matematik B Højere handelseksamen hhx132-mat/b-16082013 Fredag den 16. august 2013 kl. 9.00-13.00 Matematik B Prøven består af to delprøver. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1 til 5 med i alt

Læs mere

Matematik A Terminsprøve Digital prøve med adgang til internettet Torsdag den 21. marts 2013 kl. 09.00-14.00 112362.indd 1 20/03/12 07.

Matematik A Terminsprøve Digital prøve med adgang til internettet Torsdag den 21. marts 2013 kl. 09.00-14.00 112362.indd 1 20/03/12 07. Matematik A Terminsprøve Digital prøve med adgang til internettet Torsdag den 21. marts 2013 kl. 09.00-14.00 112362.indd 1 20/03/12 07.54 Side 1 af 7 sider Opgavesættet er delt i to dele: Delprøve 1: 2

Læs mere

APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE

APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE z x y z=exp( x^2 0.5y^2) CAS er en fællesbetegnelse for matematikprogrammer, som foruden numeriske beregninger også kan regne med symboler og formler. Det betyder: Computer

Læs mere

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Kompendium i faget Matematik Tømrerafdelingen 2. Hovedforløb. Y Y = ax 2 + bx + c (x,y) X Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Indholdsfortegnelse for H2: Undervisningens indhold...

Læs mere

Ib Michelsen Vejledende løsning stxb 101 1

Ib Michelsen Vejledende løsning stxb 101 1 Ib Michelsen Vejledende løsning stxb 101 1 Opgave 1 Løs ligningen: 3(2 x+1)=4 x+9 Løsning 3(2 x+1)=4 x+9 6 x+3=4 x+9 6 x+3 3=4 x+9 3 6 x=4 x+6 6x 4 x=4 x+6 4 x 2 x=6 2 x 2 = 6 2 x=3 Opgave 2 P(3,1) er

Læs mere

Projekt 2.1: Parabolantenner og parabelsyning

Projekt 2.1: Parabolantenner og parabelsyning Projekter: Kapitel Projekt.1: Parabolantenner og parabelsyning En af de vigtigste egenskaber ved en parabel er dens brændpunkt og en af parablens vigtigste anvendelser er som profilen for en parabolantenne,

Læs mere

Funktioner og ligninger

Funktioner og ligninger Eleverne har både i Kolorit på mellemtrinnet og i Kolorit 7 matematik grundbog arbejdet med funktioner. I 7. klasse blev funktionsbegrebet defineret, og eleverne arbejdede med forskellige måder at beskrive

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-Juni 2015 Institution VUC Lyngby Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold hf Matematik C Dorte Christoffersen

Læs mere

Kom hurtigt i gang Maplesoft, 2014

Kom hurtigt i gang Maplesoft, 2014 Kom hurtigt i gang Maplesoft, 014 Kom hurtigt i gang med Maple Start Maple. Opstartsbilledet sådan ud Klik på knappen New Document, og du får nyt ark altså et blankt stykke papir, hvor første linje starter

Læs mere

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller Matematiske vækstmodeller I matematik undersøger man ofte variables afhængighed af hinanden. Her ser man, at samme type af sammenhænge tit forekommer inden for en lang række forskellige områder. I kapitel

Læs mere

Matematik. Trinmål 2. Nordvestskolen 2006 Forord. Trinmål 2 (4. 6. klasse)

Matematik. Trinmål 2. Nordvestskolen 2006 Forord. Trinmål 2 (4. 6. klasse) Matematik Trinmål 2 Nordvestskolen 2006 Forord Forord For at sikre kvaliteten og fagligheden i folkeskolen har Undervisningsministeriet udarbejdet faghæfter til samtlige fag i folkeskolen med bindende

Læs mere

Brugervejledning til Graph

Brugervejledning til Graph Graph (brugervejledning) side 1/17 Steen Toft Jørgensen Brugervejledning til Graph Graph er et gratis program, som ikke fylder meget. Downloades på: www.padowan.dk/graph/. Programmet er lavet af Ivan Johansen,

Læs mere

Beviserne: Som en det af undervisningsdifferentieringen er a i lineære, eksponentiel og potens funktioner er kun gennemgået for udvalgte elever.

Beviserne: Som en det af undervisningsdifferentieringen er a i lineære, eksponentiel og potens funktioner er kun gennemgået for udvalgte elever. År Sommer 2015 Institution Horsens HF & VUC Uddannelse HF2-årigt Fag og Matematik C niveau Lærer Søren á Rógvu Hold 1b Oversigt over forløb Forløb 1 Forløb 2 Forløb 3 Forløb 4 Forløb 5 Forløb 6 Forløb

Læs mere

Vejledende løsninger, Mat A, maj 2015 Peter Bregendal

Vejledende løsninger, Mat A, maj 2015 Peter Bregendal Delprøven uden hjælpemidler Opgave 1 a) Se graf: Opgave 2 a) f (x)= 25000x + 475000 År hvor værdien er 150000: 25000x + 475000 = 150000 25000x = 325000 x = 13 I år 2025 vil værdien være faldet til 150000

Læs mere

Om at finde bedste rette linie med Excel

Om at finde bedste rette linie med Excel Om at finde bedste rette linie med Excel Det er en vigtig og interessant opgave at beskrive fænomener i naturen eller i samfundet matematisk. Dels for at få en forståelse af sammenhængende indenfor det

Læs mere

Velkommen til TI-Nspire CAS 2.0 (Lærerversion)

Velkommen til TI-Nspire CAS 2.0 (Lærerversion) Velkommen til TI-Nspire CAS 2.0 (Lærerversion) Når du åbner for TI-Nspire CAS i en standardopsætning ser brugerfladen således ud (hvis ikke, så vælg Dialogboks > Indlæs standardområdet): I midterpanelet

Læs mere

Kapitel 1. Planintegraler

Kapitel 1. Planintegraler Kapitel Planintegraler Denne tekst er en omarbejdet version af kapitel 7 i Gunnar Mohrs noter til faget DiploMat 2, og opgaverne er et lille udpluk af opgaver fra Mogens Oddershede Larsens bog Matematik

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Maj- juni, 14-15 Horsens HF & VUC HF 2- årigt Matematik

Læs mere

Studentereksamen i Matematik B 2012

Studentereksamen i Matematik B 2012 Studentereksamen i Matematik B 2012 (Gammel ordning) Besvarelse Ib Michelsen Ib Michelsen stx_121_b_gl 2 af 11 Opgave 1 På tegningen er gengivet 3 grafer for de nævnte funktioner. Alle funktionerne er

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni, 13/14 Institution VUC Vestegnen Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hf Matematik niveau C Alexander

Læs mere

Computerundervisning

Computerundervisning Frederiksberg Seminarium Computerundervisning Koordinatsystemer og funktioner Elevmateriale 30-01-2009 Udarbejdet af: Pernille Suhr Poulsen Christina Klitlyng Julie Nielsen Opgaver GeoGebra Om at genkende

Læs mere

Introduktion til Calc Open Office med øvelser

Introduktion til Calc Open Office med øvelser Side 1 af 8 Introduktion til Calc Open Office med øvelser Introduktion til Calc Open Office... 2 Indtastning i celler... 2 Formler... 3 Decimaler... 4 Skrifttype... 5 Skrifteffekter... 6 Justering... 6

Læs mere

Computerundervisning

Computerundervisning Frederiksberg Seminarium Computerundervisning Koordinatsystemer og Funktioner Lærervejledning 12-02-2009 Udarbejdet af: Pernille Suhr Poulsen Christina Klitlyng Julie Nielsen Indhold Introduktion... 3

Læs mere

Bedømmelseskriterier for skriftlig matematik stx A-niveau

Bedømmelseskriterier for skriftlig matematik stx A-niveau Bedømmelseskriterier for skriftlig matematik stx A-niveau Sådan bedømmes opgaverne ved skriftlig studentereksamen i matematik En vejledning for elever Skriftlighedsgruppe 01.04.09 Dette dokument henvender

Læs mere

Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal.

Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal. Tre slags gennemsnit Allan C. Malmberg Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal. For mange skoleelever indgår

Læs mere

Funktioner. Funktioner Side 150

Funktioner. Funktioner Side 150 Funktioner Brug af grafer koordinatsystemer... 151 Lineære funktioner ligefrem proportionalitet... 157 Andre funktioner... 163 Kært barn har mange navne... 165 Funktioner Side 15 Brug af grafer koordinatsystemer

Læs mere

Oversigt over undervisningen i matematik - 1x 04/05

Oversigt over undervisningen i matematik - 1x 04/05 Oversigt over undervisningen i matematik - 1x 04/05 side1 Der undervises efter: TGF Claus Jessen, Peter Møller og Flemming Mørk : Tal, Geometri og funktioner. Gyldendal 1997 EKS Knud Nissen : TI-84 familien

Læs mere

brikkerne til regning & matematik funktioner preben bernitt

brikkerne til regning & matematik funktioner preben bernitt brikkerne til regning & matematik funktioner 2+ preben bernitt brikkerne til regning & matematik funktioner 2+ beta udgave som E-bog ISBN: 978-87-92488-32-9 2009 by bernitt-matematik.dk Kopiering af denne

Læs mere

Introduktion til EXCEL med øvelser

Introduktion til EXCEL med øvelser Side 1 af 10 Introduktion til EXCEL med øvelser Du kender en almindelig regnemaskine, som kan være til stort hjælp, når man skal beregne resultater med store tal. Et regneark er en anden form for regnemaskine,

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2015 Institution Horsens HF og VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hfe Matematik C Signe Skovsgaard

Læs mere

Eksperimenter med areal og rumfang. Aktivitet Emne Klassetrin Side

Eksperimenter med areal og rumfang. Aktivitet Emne Klassetrin Side VisiRegn ideer 5 Eksperimenter med areal og rumfang Inge B. Larsen ibl@dpu.dk INFA juli 2001 Indhold: Aktivitet Emne Klassetrin Side Vejledning til Areal og Rumfang 2 Red burhønsene. Vejledn. 3-7 Største

Læs mere

Oversigt over undervisningen i matematik - 1x 04/05

Oversigt over undervisningen i matematik - 1x 04/05 Oversigt over undervisningen i matematik - 1x 04/05 side 14 Der undervises efter: TGF Claus Jessen, Peter Møller og Flemming Mørk : Tal, Geometri og funktioner. Gyldendal 1997 EKS Knud Nissen : TI-84 familien

Læs mere

Studieretningsprojekter i machine learning

Studieretningsprojekter i machine learning i machine learning 1 Introduktion Machine learning (ml) er et område indenfor kunstig intelligens, der beskæftiger sig med at konstruere programmer, der kan kan lære fra data. Tanken er at give en computer

Læs mere

Vejledende besvarelse

Vejledende besvarelse Ib Michelsen Svar: stx B 29. maj 2013 Side 1 1. Udfyld tabellen Vejledende besvarelse Givet funktionen f (x)=4 5 x beregnes f(2) f (2)=4 5 2 =4 25=100 Den udfyldte tabel er derfor: x 0 1 2 f(x) 4 20 100

Læs mere

Skabelon til funktionsundersøgelser

Skabelon til funktionsundersøgelser Skabelon til funktionsundersøgelser Nedenfor en angivelse af fremgangsmåder ved funktionsundersøgelser. Ofte vil der kun blive spurgt om et udvalg af nævnte spørgsmål. Syntaksen i løsningerne vil være

Læs mere

Kapitel 5 Renter og potenser

Kapitel 5 Renter og potenser Matematik C (må anvedes på Ørestad Gymnasium) Renter og potenser Når en variabel ændrer værdi, kan man spørge, hvor stor ændringen er. Her er to måder at angive ændringens størrelse. Hvis man vejer 95

Læs mere

Matematik på VUC Modul 3a Opgaver. Matematik på VUC. Modul 3a modeller med mere

Matematik på VUC Modul 3a Opgaver. Matematik på VUC. Modul 3a modeller med mere Matematik på VUC Modul a modeller med mere Indholdsfortegnelse Indledende talgymnastik...1 Formler... Reduktion...7 Ligninger...11 Ligninger som løsningsmetode i regneopgaver...17 Simulation... Blandede

Læs mere

FP9. 1 Esters fritidsjob 2 Katrine maler 3 Backgammon 4 Halvmaratonløb 5 Babyloniernes formel for arealet af en firkant.

FP9. 1 Esters fritidsjob 2 Katrine maler 3 Backgammon 4 Halvmaratonløb 5 Babyloniernes formel for arealet af en firkant. FP9 9.-klasseprøven Matematisk problemløsning December 2014 Et svarark er vedlagt til dette opgavesæt 1 Esters fritidsjob 2 Katrine maler 3 Backgammon 4 Halvmaratonløb 5 Babyloniernes formel for arealet

Læs mere

potenstal og rodtal trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt

potenstal og rodtal trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik potenstal og rodtal trin 2 preben bernitt brikkerne til regning & matematik potenstal og rodtal, trin 2 ISBN: 978-87-92488-06-0 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk

Læs mere

Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 7.ABC Lærer: Henrik Stillits. Fagområde/ emne

Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 7.ABC Lærer: Henrik Stillits. Fagområde/ emne Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 7.ABC Lærer: Henrik Stillits. Fagområde/ emne Matematiske færdigheder Grundlæggende færdigheder - plus, minus, gange, division (hele tal, decimaltal og brøker) Identificer

Læs mere

areal og rumfang trin 1 brikkerne til regning & matematik preben bernitt

areal og rumfang trin 1 brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik areal og rumfang trin 1 preben bernitt brikkerne til regning & matematik areal og rumfang, trin 1 ISBN: 978-87-92488-17-6 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Termin Sommer 2015 Institution Horsens HF & VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hfe Matematik C Niels Just Mikkelsen mac3 Oversigt over gennemførte undervisningsforløb Forløb

Læs mere

1. Tryk. Figur 1. og A 2. , der påvirkes af luftartens molekyler med kræfterne henholdsvis F 1. og F 2. , må der derfor gælde, at (1.1) F 1 = P.

1. Tryk. Figur 1. og A 2. , der påvirkes af luftartens molekyler med kræfterne henholdsvis F 1. og F 2. , må der derfor gælde, at (1.1) F 1 = P. M3 1. Tryk I beholderen på figur 1 er der en luftart, hvis molekyler bevæger sig rundt mellem hinanden. Med jævne mellemrum støder de sammen med hinanden og de støder ligeledes med jævne mellemrum mod

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Maj-juni 2015 VUCHA Hf-Flex Matematik-C Ivan Tønner Jørgensen(itj)

Læs mere

For at få tegnet en graf trykkes på knappen for graftegning. Knap for graftegning

For at få tegnet en graf trykkes på knappen for graftegning. Knap for graftegning Graftegning på regneark. Ved hjælp af Excel regneark kan man nemt tegne grafer. Man åbner for regnearket ligger under Microsoft Office. Så indtaster man tallene fra tabellen i regnearkets celler i en vandret

Læs mere

Matematik. Læseplan og formål:

Matematik. Læseplan og formål: Matematik Læseplan og formål: Formålet med undervisningen i matematik er, at eleverne bliver i stand til at forstå og anvende matematik i sammenhænge, der vedrører dagligliv, samfundsliv og naturforhold.

Læs mere