sammenhänge for gymnasiet og hf 2010 Karsten Juul

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "sammenhänge for gymnasiet og hf 2010 Karsten Juul"

Transkript

1 LineÄre sammenhänge for gymnasiet og hf y 0,5x 2,5 200 Karsten Juul

2 I dette häfte har jeg gjort meget for at teksten er skrevet sçdan at du nemmere kan fç overblik over reglerne og den sammenhäng der er mellem dem forklaringerne ikke indeholder ting der gér det unédvendig svärt for dig at forstç reglerne. LineÄre sammenhänge for gymnasiet og hf Ñ 200 Karsten Juul 8/8-203 Dette häfte kan downloades fra HÄftet mç benyttes i undervisningen hvis läreren med det samme sender en til som dels oplyser at dette häfte benyttes, dels oplyser om hold, lärer og skole.

3 Oversigt over indholdet : Hvad gär lineåre sammenhånge ud pä? OplÅg : LineÄre sammenhänge: Egenskaber, ligning og graf.... 2: Vi har en ligning. Er det en lineår sammenhång? Definition 2a: Hvad er en lineär sammenhäng? (Ligning for lineär sammenhäng)....2 Eksempel 2b: Er ligningen af typen y = ax + b? Hvilke tal stçr pç a's og b's pladser?...2 3: Tegn graf. SÅtning 3a: Graf for en lineär sammenhäng....3 Opgavetype 3b: Vi har en ligning af typen y = ax + b. Vi skal tegne grafen : Voksende eller aftagende. SÅtning 4a: Hvordan ser vi pç en ligning af typen y = ax + b. om sammenhängen er voksende eller aftagende?...4 Opgavetype 4b: Vi har en ligning af typen y = ax + b. Vi skal begrunde om denne sammenhäng er voksende eller aftagende...4 5: Vi har x. Udregn y. Opgavetype 5a: Vi har en ligning af typen y = ax + b. Vi ved hvilket tal x er lig. Vi skal finde det tal som y er lig....5 Opgavetype 5b: Opgavetype 5c: Opgave om virkeligheden som vi kan oversätte til: Vi har en ligning af typen y = ax + b. Vi ved hvilket tal x er lig. Vi skal finde det tal som y er lig....5 Vi har grafpunktets x-koordinat. Vi skal udregne y-koordinaten....5

4 6: Vi har y. Udregn x. Opgavetype 6a: Vi har en ligning af typen y = ax + b. Vi ved hvilket tal y er lig. Vi skal finde det tal som x er lig Opgavetype 6b: Opgave om virkeligheden som vi kan oversätte til: Vi har en ligning af typen y = ax + b. Vi ved hvilket tal y er lig. Vi skal finde det tal som x er lig Opgavetype 6c: y = ax + b og x er tiden mçlt i Çr... 7 Opgavetype 6d: Vi har grafpunktets y-koordinat. Vi skal udregne x-koordinaten : Udregn hvor meget stçrre/mindre y bliver. Opgavetype 7a: Vi har en ligning af typen y = ax + b. Vi ved hvor mange enheder x bliver stérre/mindre. Vi skal finde ud af hvor mange enheder y bliver stérre/mindre... 8 Opgavetype 7b: Opgave om virkeligheden som vi kan oversätte til: Vi har en ligning af typen y = ax + b. Vi ved hvor mange enheder x bliver stérre/mindre. Vi skal finde ud af hvor mange enheder y bliver stérre/mindre : Vi ved hvordan y vokser/aftager. Skriv ligning. SÅtning 8a: SÇdan kan vi finde ligningen nçr vi ved hvordan y vokser/aftager Opgavetype 8b: Opgavetype 8c: Eksempel 8d: Vi har det tal vi skal lägge til y-tallet hver gang vi lägger til x-tallet. Vi ved hvad y-tallet er nçr x-tallet er 0. Vi skal skrive en formel til at udregne y nçr vi kender x... 9 Opgave om virkeligheden som vi kan oversätte til: Vi har det tal vi skal lägge til y-tallet hver gang vi lägger til x-tallet. Vi ved hvad y-tallet er nçr x-tallet er 0. Vi skal skrive en formel til at udregne y nçr vi kender x... 9 SÇdan kan vi finde ligningen nçr vi har en lineär graf (i de tilfälde hvor grafen er meget nem at afläse)... 0

5 9: Vi har ligning. Hvordan vokser/aftager y. Bevis 9a: Bevis for sätning 9b... SÅtning 9b: Regel om hvad tallene pç a's og b's pladser i y = ax + b fortäller.... Opgavetype 9c: Vi har tallene pç a's og b's pladser i y = ax + b. Vi skal skrive hvad disse tal fortäller... 2 Opgavetype 9d: Opgave om virkeligheden som vi kan oversätte til: Vi har tallene pç a's og b's pladser i y = ax + b. Vi skal skrive hvad disse tal fortäller... 2 Eksempel 9e: y = ax + b og x bliver flere enheder stérre Eksempel 9f: Eksempel 9g: SÇdan kan vi tegne grafen nçr vi har en ligning af typen y = ax + b (i nogle tilfälde hvor tallene er simple)... 3 SÇdan kan vi tegne grafen nçr vi har en ligning af typen y = ax + b (i nogle tilfälde hvor tallene er simple)... 4 Opgavetype 0a: Opgavetype 0b: 0: Udregn a og/eller b i y = ax+b. Vi har et punkt pç grafen. Vi har tallet pç a's plads. Vi skal udregne b i y = ax + b... 4 Vi har et punkt pç grafen. Vi har tallet pç b's plads. Vi skal udregne a i y = ax + b SÅtning 0c: Formler for a og b i y = ax + b... 5 Opgavetype 0d: Opgavetype 0e: Opgavetype 0f: Vi har to punkter pç grafen. Vi skal udregne tallene a og b i y = ax + b... 6 Opgave om virkeligheden som vi kan oversätte til: Vi har to punkter pç grafen. Vi skal udregne tallene a og b i y = ax + b Vi har en lineär graf. Vi skal finde tallene a og b i y = ax + b Eksempel 0g: LineÄr regression... 9 Eksempel 0h FortsÄttelse af Eksempel 0g... 9 Opgavetype 0i: LineÄr regression Opgavetype 0j: Regression, Çrstal

6 : To sammenhånge. Eksempel a: Vi sammenligner to lineäre sammenhänge Opgavetype b: Vi har to ligninger af typen y = ax + b. Vi skal finde det tal x som giver samme y-värdi i de to ligninger Opgavetype c: Opgave om virkeligheden som vi kan oversätte til: Vi har to ligninger af typen y = ax + b. Vi skal finde det tal x som giver samme y-värdi i de to ligninger Opgavetype d: Vi har to ligninger af typen y = ax + b. Vi skal finde koordinatsättet til grafernes skäringspunkt Opgavetype e: Vi skal finde ud af hvornçr en variabel er stérre end en anden : SkrivemÄden f (x). Eksempel 2a: SkrivemÇden h (t), f (x), pris(m) osv Opgavetyper 2b: Eksempler pç opgaver hvor vi har forskriften for en funktion f (x) Opgavetyper 2c: Eksempler pç opgaver om virkeligheden hvor vi har forskriften for en funktion f (x) Opgavetype 2d: Eksempler pç opgaver hvor vi har grafen for en funktion f (x) Eksempel 2e: Eksempler pç opgaver om en figur med grafen for en funktion f (x)

7 : Hvad gär lineåre sammenhånge ud pä? OplÅg : LineÄre sammenhänge: Egenskaber, ligning og graf. Vi kéber en 2 mm héj plante som vokser 4 mm hver dag. Vi kan tänke os til fégende: Efter dag er héjden 2 4 mm Efter 2 dage er héjden 2 42 Efter 0 dage er héjden 2 40 Efter x dage er héjden mm mm 2 4 x mm Der gälder altsç at nçr y er héjden (i mm), er y 4 x 2 Ligningen for denne sammenhäng er altsç af typen y a x b I koordinatsystemet har vi tegnet en prik der viser at 0 dage efter kébet er héjden 2 mm, en prik der viser at dag senere er planten 4 mm héjere, en prik der viser at efter endnu en dag er planten igen blevet 4 mm héjere, osv. Da stigningen er den samme hver dag, kommer punkterne til at ligge pç en ret linje. Derfor kalder man en sammenhäng lineär nçr stigningen hele tiden er den samme. NÇr stigningen hele tiden er den samme, mç ligningen for sammenhängen väre af typen y a x b hvor a er det vi skal lägge til värdien af y hver gang vi gér värdien af x Ön enhed stérre. For sammenhängen y 3x 5 skal vi lägge 3 til y hver gang vi gér x Ön enhed stérre. AltsÇ bliver y-värdierne stérre og stérre, sç sammenhängen er voksende. For sammenhängen y 2x 8 skal vi lägge 2 til y hver gang vi gér x Ön enhed stérre. AltsÇ bliver y-värdierne mindre og mindre, sç sammenhängen er aftagende. LineÄre sammenhänge for gymnasiet og hf Side 200 Karsten Juul

8 2: Vi har en ligning. Er det en lineår sammenhång? Definition 2a: Hvad er en lineär sammenhäng? (Ligning for lineär sammenhäng). En sammenhäng mellem to variable x og y er lineär hvis den har en ligning af typen y ax b En oplysning om hvad et bestemt ord skal betyde, kalder man en DEFINITION. Eksempel 2b: Er ligningen er af typen Hvilke tal stçr pç a's og y ax b? b' s pladser? Ligningen y 6 2x viser sammenhängen mellem to variable x og y. Ligningen kan omskrives til y 2x 6 sç ligningen er af typen y ax b med a 2 og b 6. Der er altsç tale om en lineär sammenhäng. Ligningen y 3x 8 kan omskrives til y 3x ( 8) y ax b med a 3 og b 8. og er derfor af typen Ligningen y 0 x kan omskrives til y ( ) x 0 y ax b med a og b 0. og er derfor af typen Ligningen y 5x 2 3 indeholder x2 og er derfor ikke af typen y ax b. Denne sammenhäng mellem x og y er altsç ikke lineär. LineÄre sammenhänge for gymnasiet og hf Side Karsten Juul

9 3: Tegn graf. SÅtning 3a: Graf for en lineär sammenhäng. De lineäre sammenhänge er de sammenhänge hvor grafen er en ret linje (eller en del af en ret linje). Hvis en oplysning om noget der gälder, er särlig vigtig, så kalder man denne oplysning for en SÇTNING. Opgavetype 3b: Vi har en ligning af typen Vi skal tegne grafen. y ax b. Opgave: Tegn grafen for sammenhängen y 0,5x 0, 7 Besvarelse : Da grafen er en ret linje (ifélge SÄtning 3a), behéver vi kun udregne to punkter for at kunne tegne den. De to punkter skal ligge langt fra hinanden for at fç stor néjagtighed. NÇr x 3 er y 0,5( 3) 0,7 0, 8 NÇr x 4 er y 0,5 4 0,7 2, 7 Grafen er den rette linje gennem punkterne ( 3, 0,8) og ( 4, 2,7). Besvarelse 2: Vi taster forskriften f ( x) 0,5x 0, 7 pç Nspire pç en grafside og fçr grafen til héjre. Vi kan afläse denne graf néjagtigt ved at afsätte et punkt pç grafen og Ändre en af punktets koordinater. LineÄre sammenhänge for gymnasiet og hf Side Karsten Juul

10 4: Voksende eller aftagende. SÅtning 4a: Hvordan ser vi pç en ligning af typen y ax b om sammenhängen er voksende eller aftagende? En lineär sammenhäng y ax b aftagende hvis a er negativ og voksende hvis a er positiv. er Opgavetype 4b: Vi har en ligning af typen y ax b. Vi skal begrunde om denne sammenhäng er voksende eller aftagende. Opgave: Begrund i hvert af félgende tre tilfälde om sammenhängen er voksende eller aftagende:. y 0,5x 4 2. y 3x 2 3. y 6 x Svar:. Da og y 0,5x 4 er af typen y ax b a er positiv ( a 0, 5 ) er sammenhängen voksende. 2. Da y 3x 2 er af typen y ax b og a er negativ ( a 3 ) er sammenhängen aftagende. 3. Da y 6 x er af typen y ax b og a er negativ ( a ) er sammenhängen aftagende. LineÄre sammenhänge for gymnasiet og hf Side Karsten Juul

11 5: Vi har x. Udregn y. Opgavetype 5a: Vi har en ligning af typen y = ax + b. Vi ved hvilket tal x er lig. Vi skal finde det tal som y er lig. Opgave: y 4,6x 7, 2 og x er 6, 5. Hvad er y? Metode: Vi indsätter 6, 5 for x i y 4,6x 7, 2 y 4,6 6,5 7,2 Vi udregner héjresiden og fçr y 37, Konklusion: NÇr x er 6, 5 er y lig 37, og fçr Da der i opgaven stçr at x er 6,5 Opgavetype 5b: Opgave om virkeligheden som vi kan oversätte til: Vi har en ligning af typen y = ax + b. Vi ved hvilket tal x er lig. Vi skal finde det tal som y er lig. Opgave: Metode: Nogle skiver findes i forskellige stérrelser. NÇr y er tykkelsen, mçlt i mm, og x er diameteren, mçlt i mm, er y 0,2x 0, Hvad er tykkelsen nçr diameteren er 4 mm? SpÉrgsmÇlet kan oversättes til Hvad er y nçr x er 4? Vi indsätter 4 for x i y 0,2x 0, y 0,24 0, Vi udregner héjresiden og fçr y 2,9 og fçr Konklusion: Tykkelsen af en skive er 2,9 mm nçr dens diameter er 4 mm Da der i opgaven stçr at y er tykkelsen og x er diameteren. I opgaven stçr at y er tykkelsen. Opgavetype 5c: Vi har grafpunktets x-koordinat. Vi skal udregne y-koordinaten. Opgave: Billedet viser grafen for sammenhängen y,4 x 0,3 Udregn y-koordinaten til det grafpunkt som har x-koordinat, 5. (,5,? )? Metode: NÇr x, 5 er y,4 (,5) 0,3 2, 4 Konklusion: Grafpunkt med x-koordinat, 5 har y-koordinat 2, 4.,5 LineÄre sammenhänge for gymnasiet og hf Side Karsten Juul

12 6: Vi har y. Udregn x. Opgavetype 6a: Vi har en ligning af typen y = ax + b. Vi ved hvilket tal y er lig. Vi skal finde det tal som x er lig. Opgave: y 4x 32 og y er 73. Hvad er x? Metode : Vi indsätter 73 for y i y 4x x 32 Vi léser denne ligning mht. x : 05 4x 05 4x 4 4 7,5 x og fçr Da der i opgaven stçr at y er 73 Metode 2: Vi indsätter 73 for y i y 4x 32 og fçr 73 4x 32 Nspire léser denne ligning mht. x og fçr: x 7,5 Konklusion: NÇr y er 73 er x lig 7, 5 SÅdan tastede vi på Nspire: Opgavetype 6b: Opgave om virkeligheden som vi kan oversätte til: Vi har en ligning af typen y = ax + b. Vi ved hvilket tal y er lig. Vi skal finde det tal som x er lig. Opgave: Metode: Nogle skiver findes i forskellige stérrelser. NÇr y er tykkelsen, mçlt i mm, og x er diameteren, mçlt i mm, er y 0,2x 0, Hvad er diameteren nçr tykkelsen er 4,5 mm? SpÉrgsmÇlet kan oversättes til Hvad er x nçr y er 4, 5? Vi indsätter 4, 5 for y i y 0,2x 0, 4,5 0,2x 0, Vi léser denne ligning mht. x og fçr x 22 og fçr Konklusion: Diameteren af en skive er 22 mm nçr dens tykkelse er 4,5 mm Da der i opgaven stçr at y er tykkelsen og x er diameteren. I opgaven stçr at x er diameteren. LineÄre sammenhänge for gymnasiet og hf Side Karsten Juul

13 Opgavetype 6c: y = ax + b og x er tiden mçlt i Çr. Opgave 6c : For en fugleart er antallet af individer stérst midt pç Çret. Der gälder y 20 x 3250 hvor y er antal individer midt pç Çret x Çr efter SpÉrgsmÇl : Hvilket Çr vil antallet af fugle midt pç Çret väre 4000? Metode: Ligningen x 3250 léser vi mht. x og fçr x 6, 25 Konklusion: I 2009 er antallet af fugle midt pç Çret ca SpÉrgsmÇl 2: Hvilket Çr vil antallet af fugle midt pç Çret overstige 4000? Konklusion: I 200 vil antallet af fugle overstige Opgave 6c 2 : For nogle fugle i et stort bur gälder at antallet af individer vokser lige hurtigt hele Çret. Der gälder y 20 x 3250 hvor y er antal individer x Çr efter begyndelsen af SpÉrgsmÇl: HvornÇr vil antallet af fugle väre 4000? Konklusion: Omkring. april 2009 er antallet af fugle Opgavetype 6d: Vi har grafpunktets y-koordinat. Vi skal udregne x-koordinaten. Opgave: Billedet viser grafen for sammenhängen y 0,75x,5 Udregn x-koordinaten til det grafpunkt som har y-koordinat 2, 7. 2,7 (?, 2, 7) Metode: Vi skal finde et tal x sç 2,7 0,75x,5 Vi léser denne ligning mht. x og fçr x, 6. Konklusion: Grafpunkt med y-koordinat 2, 7 har x-koordinat, 6.? LineÄre sammenhänge for gymnasiet og hf Side Karsten Juul

14 7: Udregn hvor meget stçrre/mindre y bliver. Opgavetype 7a: Vi har en ligning af typen y = ax + b. Vi ved hvor mange enheder x bliver stérre/mindre. Vi skal finde ud af hvor mange enheder y bliver stérre/mindre. Opgave: y 4,6x 7, 2. x er 6, 5. x bliver 3, 5 enheder stérre. Hvor mange enheder bliver y stérre? Metode: NÇr x er blevet 3, 5 enheder stérre, er x 6,5 3,5 0 NÇr x 6, 5 er y 4,6 6,5 7,2 37, NÇr x 0 er y 4,6 0 7,2 53, 2 Vi udregner "sidste y minus férste y ": 53,2 37, 6, Konklusion: y bliver 6, enheder stérre nçr x bliver 3, 5 enheder stérre. Opgavetype 7b: Opgave om virkeligheden som vi kan oversätte til: Vi kender en ligning af typen y = ax + b. Vi ved hvor mange enheder x bliver stérre/mindre. Vi skal finde ud af hvor mange enheder y bliver stérre/mindre. Opgave: For en plante er y,5 x 3, 7 Metode: nçr y er vägt (i gram), og x er längde (i cm). Nu er plantens längde 5,2 cm. Hvor meget tungere end nu vil planten väre nçr den er blevet 2,6 cm längere? SpÉrgsmÇlet kan oversättes til Hvor mange enheder bliver y stérre hvis x er 5, 2 og bliver 2, 6 enheder stérre? NÇr x er blevet 2,6 enheder stérre, er x 5,2 2,6 7, 8 NÇr x 5, 2 er y,5 5,2 3,7, 5. NÇr x 7, 8 er y,5 7,8 3,7 5, 4. Vi udregner "sidste y minus férste": 5,4,5 3, 9 Konklusion: Planten vil väre 3,9 gram tungere nçr den er blevet 2,6 cm längere. BemÄrkning: Trinene i udregningerne er vist nedenfor. 2, 6 2, 6 x 5,2? x 5,2 7,8 y y?? Trin Trin 2 2, 6 2, 6 x 5,2 7,8 x 5,2 7,8 y,5 5,4 Trin 3? y,5 5,4 Trin 4 3, 9 LineÄre sammenhänge for gymnasiet og hf Side Karsten Juul

15 8: Vi ved hvordan y vokser/aftager. Skriv ligning. SÅtning 8a: SÇdan kan vi finde ligningen nçr vi ved hvordan y vokser/aftager. Hvis vi fçr at vide at der er et bestemt tal vi skal lägge til y hver gang vi gér x Ön enhed stérre, sç ved vi: Ligningen er af typen y ax b PÇ a's plads skal vi skrive det tal som vi skal lägge til y hver gang vi gér x Ön enhed stérre. PÇ b's plads skal vi skrive det tal som y er lig nçr x er lig 0. Opgavetype 8b: Vi har det tal vi skal lägge til y-tallet hver gang vi lägger til x-tallet. Vi ved hvad y-tallet er nçr x-tallet er 0. Vi skal skrive en formel til at udregne y nçr vi kender x. Opgave: Hver gang x bliver enhed stérre, vil y blive 3 enheder mindre. NÇr x 0 er y 5. Skriv en ligning vi kan bruge til at udregne y nçr vi kender x. Metode: Ligningen er af typen y ax b da vi skal lägge det samme til y hver gang vi gér x Ön enhed stérre. a 3 da vi skal lägge 3 til y hver gang vi gér x Ön enhed stérre. b 5 da y 5 nçr x 0. Konklusion: y 3x 5 Opgavetype 8c: Opgave om virkeligheden som vi kan oversätte til: Vi har det tal vi skal lägge til y-tallet hver gang vi lägger til x-tallet. Vi ved hvad y-tallet er nçr x-tallet er 0. Vi skal skrive en formel til at udregne y nçr vi kender x. Opgave: Metode: Man skal betale 0 kr. for at starte pç et computerspil, og herefter skal man betale 0,50 kr. pr. minut man spiller. Skriv en ligning vi kan bruge til at udregne prisen for at spille nçr vi kender antal minutter vi spiller. Vi bruger x og y til at betegne félgende talstérrelser: x = antal minutter y = prisen i kr. SÇ kan vi oversätte oplysningerne til félgende: NÇr x 0 er y 0 Hver gang vi gér x Ön enhed stérre, skal vi lägge 0,50 til y. Konklusion: y 0,50x 0 nçr x = antal minutter og y = prisen i kr. LineÄre sammenhänge for gymnasiet og hf Side Karsten Juul

16 Eksempel 8d: SÇdan kan vi finde ligningen nçr vi har en lineär graf (i de tilfälde hvor grafen er meget nem at afläse) ,5 Grafen til venstre viser sammenhängen mellem to variable x og y. Vi ser: NÇr x 0 er y, 5. Vi ser: Hver gang vi gér x enhed stérre, sç bliver y 2 enheder stérre. 0 PÇ billedet til héjre har vi vist hvor vi har afläst, 5 PÇ billedet til héjre har vi vist hvordan vi ser dette. Grafen er en linje: y ax b I SÄtning 8a stçr: I sätning 8a stçr: PÇ a's plads skal vi skrive det tal som vi skal lägge til y hver gang vi gér x Ön enhed stérre. AltsÇ er a 2. PÇ b's plads skal vi skrive det tal som y er lig nçr x er lig 0. AltsÇ er b, 5. AltsÇ er ligningen: y 2x, 5 Figuren i dette eksempel er sç simpel at vi kan overse at vi afläser med stor néjagtighed. Hvis vi ikke kan det, sç skal vi bruge en af metoderne fra rammen "Opgavetype 0d". LineÄre sammenhänge for gymnasiet og hf Side Karsten Juul

17 9: Vi har ligning. Hvordan vokser/aftager y. Bevis 9a: Bevis for sätning 9b. I dette eksempel stär bäde a, b og t for tal som ikke er oplyst. Ligningen y ax b viser sammenhängen mellem to variable y og x. SpÉrgsmÇl: Hvilken Ändring sker i värdien af y, nçr x Ändrer värdi fra t til t? Svar: Vi regner ud hvad y er nçr x er t og t : NÇr x t er y at b NÇr x t er y a( t) b at a b Vi udregner nu Ändringen i värdien af y : ( at a b) ( at b) at a b at b Dvs. nçr x Ändres fra t til t, sç lägges a til värdien af y. BemÄrkninger: Udregningen i svaret kan vi anskueliggére sçdan: x t t+ y at+b at+a+b a Udregningen viser at uanset hvilken startvärdi x har, sç lägges der a til värdien af y nçr der lägges til värdien af x. BemÄrk at a kan väre negativ. Hvis a er 2, sç bliver y altsç 2 enheder mindre hver gang x bliver enhed stérre. Afsnittet "Svar" ovenfor er et BEVIS for 9b nedenfor. Hvad er et BEVIS? Et bevis for en pçstand er nogle logiske slutninger der gér det fuldständig sikkert at pçstanden gälder. Her er et bevis for 9b 2 : NÇr x 0, er y a 0 b, dvs. y b. a SÅtning 9b: Regel om hvad tallene pç a 's og b's pladser i y ax b fortäller. NÇr ligningen er af typen y ax b, hvad fortäller tallene pç a's og b's pladser sç om sammenhängen mellem x og y? 9b : Tallet pç a's plads er det tal vi skal lägge til y hver gang vi gér x Ön enhed stérre. Hvis a 3: Hver gang vi gér x Ön enhed stérre, vil y blive 3 enheder stérre. Hvis a 4 : Hver gang vi gér x Ön enhed stérre, vil y blive 4 enheder mindre. 9b 2 : Tallet pç b's plads er det tal som y er lig nçr x er 0. LineÄre sammenhänge for gymnasiet og hf Side 200 Karsten Juul

18 Opgavetype 9c: Vi har tallene pç a's og b's pladser i y ax b Vi skal skrive hvad disse tal fortäller.. Opgave: Hvad fortäller tallene, 2 og 9, 7 om sammenhängen y,2 x 9, 7? Metode: Af SÄtning 9b fçr vi:,2 er det tal vi skal lägge til y hver gang vi gér x en enhed stérre 9,7 er värdien af y nçr x er 0 Konklusion: NÇr x 0 er y 9, 7 og hver gang vi gér x Ön enhed stérre, vil y blive, 2 enheder mindre. Vi siger ikke, 2 enheder stérre. Vi siger, 2 enheder mindre. Opgavetype 9d: Opgave om virkeligheden som vi kan oversätte til: Vi har tallene pç a's og b's pladser i y ax b. Vi skal skrive hvad disse tal fortäller. Opgave: Metode: For en cirkel pç et elektronisk billede kan radius udregnes ved hjälp af formlen y 2x 8 hvor x er temperaturen i C og y er radius i mm. Hvad fortäller tallene 2 og 8 om radius? Af SÄtning 9b fçr vi: dvs. 2 er det tal vi skal lägge til y hver gang vi gér x en enhed stérre. 8 er värdien af y nçr x er 0. 2 er det tal vi skal lägge til radius hver gang vi gér temperaturen en grad stérre. 8 er radius nçr temperaturen er 0 grader. Konklusion: Radius er 8 mm ved 0 C og vokser 2 mm pr. grad temperaturen stiger. Eksempel 9e: y ax b og x bliver flere enheder stérre. Ligningen y 20x 374 viser sammenhängen mellem to variable x og y. Ligningen er af typen y ax b og a 20 sç vi skal lägge 20 til y hver gang x bliver Ön enhed stérre (ifélge 9b ). Hvis x bliver 5 enheder stérre, skal vi 5 gange lägge 20 til y, sç y bliver stérre. enheder Hvis x bliver 2,5 enheder mindre, sç vil y blive 20 2,5 50 enheder mindre. Hvis x bliver h enheder stérre, og vi ser at y bliver 284 enheder stérre, sç er 20 h h dvs. x er blevet 4,2 enheder stérre. 20 og sç er LineÄre sammenhänge for gymnasiet og hf Side Karsten Juul

19 Eksempel 9f: SÇdan kan vi tegne grafen nçr vi har en ligning af typen y ax b (i nogle tilfälde hvor tallene er simple) Ligningen y 0,5 x 2 viser sammenhängen mellem to variable x og y. Figur Ligningen er af typen y ax b. Tallet pç b ' s plads er 2 sç ifélge 9b 2 gälder y 2 nçr x 0. PÇ figur har vi brugt dette til at tegne et punkt pç grafen. Figur 2 Tallet pç a ' s plads er 0,5 sç ifélge 9b gälder Vi skal lägge 0,5 til y hver gang vi gér x en enhed stérre. 0,5 0,5 PÇ figur 2 har vi brugt dette til at tegne endnu et grafpunkt. PÇ figur 3 har vi gentaget dette sç der nu er tre grafpunkter. Ved at gére det to gange mere fçr vi figur 4. 0,5 Figur 3 0,5 Figur 4 Hvis tallene ikke er simple, sç kan vi tegne grafen ved at bruge en af metoderne fra rammen "Opgavetype 3b". LineÄre sammenhänge for gymnasiet og hf Side Karsten Juul

20 Eksempel 9g: SÇdan kan vi tegne grafen nçr vi har en ligning af typen y ax b Ligningen (i nogle tilfälde hvor tallene er simple) y 0,6x 5 viser sammenhängen mellem to variable x og y. Ligningen er af typen y ax b og a 0, 6 sç vi skal lägge 0,6 til y hver gang vi gér x Ön enhed stérre (ifélge 9b ). AltsÇ gälder Vi skal lägge 6 til y hver gang vi gér x 0 enheder stérre. Dette har vi nedenfor brugt til at tegne punkter pç grafen : Udregn a og/eller b i y = ax+b. Opgavetype 0a: Vi har et punkt pç grafen. Vi har tallet pç a's plads. Vi skal udregne b i y ax b. Opgave: Punktet ( 4, 35) ligger pç grafen for sammenhängen y 8 x b. Find tallet b. Metode: Vi indsätter 4 og 35 for x og y i ligningen og fçr b Vi léser denne ligning mht. b og fçr b 3 Konklusion: b 3 Opgavetype 0b: Vi har et punkt pç grafen. Vi har tallet pç b's plads. Vi skal udregne a i y ax b. Opgave: Punktet ( 5, 8) ligger pç grafen for sammenhängen y ax 8. Find tallet a. Metode: Vi indsätter 5 og 8 for x og y i ligningen og fçr 8 a 5 8 Vi léser denne ligning mht. a og fçr a 2 Konklusion: a 2 LineÄre sammenhänge for gymnasiet og hf Side Karsten Juul

21 SÅtning 0c: Formler for a og b i y = ax+b. Hvis vi kender to punkter x, ) og x, ) y ax b ( y sç kan vi udregne a og b sçdan: 2 ( 2 y2 y2 y a og b y ax x x pç grafen for en lineär sammenhäng Bevis for sätningen Da x, ) og x, ) ligger pç grafen for y ax b ( y ( 2 y2 () y ax b (2) y ax b 2 Af () fçr vi 2 (3) y ax b Vi indsätter dette i (2) og fçr hvoraf y y y 2 ax2 x ( y a ) 2 y ax2 ax 2 y 2 x y x a ( x ) 2 y a ( x2 x) 2 x x 2 x er Dette er formlen for b y x 2 2 y x a Dette er formlen for a LineÄre sammenhänge for gymnasiet og hf Side Karsten Juul

22 Opgavetype 0d: Vi har to punkter pç grafen. Vi skal udregne tallene a og b i y ax b. Opgave : Punkterne ( x, y) ( 7, ) og ( x, y) (8, 4) ligger pç grafen for sammenhängen y ax b. Find tallene a og b. Metode. Vi léser ligningssystem uden hjälpemidler: Da ( x, y) ( 7, ) og ( x, y) (8, 4) ligger pç grafen, er () a ( 7) b (2) 4 a 8 b Af () fçr vi (3) 7a b Vi indsätter dette i (2) og fçr 4 8a ( 7a) hvoraf 3 5a 3 5a 5 5 0,2 a Dette indsätter vi i (3) og fçr 7 0, 2 b hvoraf 2,4 b Metode 2: Nspire léser ligningssystem: Da ( x, y) ( 7, ) og ( x, y) (8, 4) ligger pç grafen, er a ( 7) b 4 a 8 b Nspire léser dette ligningssystem mht. a og b og fçr a 0,2 og b 2, 4 Metode 3. Vi indsätter i formler for a og b : Af ( x, y) ( 7, ) og ( x2, y2 ) (8, 4) fçr vi y2 y 4 3 a 0,2 x x 8 ( 7) 5 b 2 y ax 0,2 ( 7) Metode 4. Nspire laver lineär regression: Vi indtaster de to punkter, välger lineär regression og fçr y 0,2x 2, 4 Konklusion: a 0, 2 og b 2, 4 Opgave 2: Punkterne ( x, y) ( 7, ) og ( x, y) (8, 4) ligger pç grafen for en lineär sammenhäng. Find en ligning for denne sammenhäng. Metoder er ens for Konklusion: y 0,2x 2, 4 er ligningen for den lineäre sammenhäng. opgave og 2. 2,4 SÅdan tastede vi på Nspire: Dette er konklusionen i Opgave uanset om vi bruger Metode, 2, 3 eller 4. LineÄre sammenhänge for gymnasiet og hf Side Karsten Juul

23 Opgavetype 0e: Opgave om virkeligheden som vi kan oversätte til: Vi har to punkter pç grafen. Vi skal udregne tallene a og b i y ax b. Opgave: Metode: Der er en lineär sammenhäng mellem temperatur og overskud. NÇr temperaturen er 3 C, er overskuddet 2 mio. kr. NÇr temperaturen er 5 C, er overskuddet 28 mio. kr. Skriv en ligning der viser sammenhängen mellem temperatur og overskud. Vi sätter Det er nédvendigt at fortälle läseren x = temperatur (mçlt i C) dette da det ikke stçr i opgaven. y = overskud (mçlt i mio. kr.) Der er oplyst to x-värdier og tilhérende y-värdier: Til x 3 svarer y 2. Til x 5 svarer y Da sammenhängen er lineär, er den ségte ligning pç formen a b y x 2 2 y x ( 3) 6 8 y ax 2 2 ( 3) 8 2 y ax b, og Alle fire metoder fra Opgavetype 0d kan bruges her. Konklusion: Ligningen y 2x 8 viser sammenhängen mellem temperaturen x i C og overskuddet y i mio. kr. LineÄre sammenhänge for gymnasiet og hf Side Karsten Juul

24 Opgavetype 0f: Vi har en lineär graf. Vi skal finde tallene a og b i y ax b. Opgave: Grafen viser sammenhängen mellem to variable x og y. Find en ligning for denne sammenhäng. Metode: Da grafen er en ret linje, er ligningen af typen y ax b. For at kunne udregne a og b skal vi bruge koordinaterne til to punkter pç grafen. For at fç stor néjagtighed välger vi de to punkter sç de er nemme at afläse de ligger langt fra hinanden. Vi afläser de to punkters koordinater og fçr ( 4, 8) og ( 33, 26). PÇ figuren har vi tegnet en cirkel omkring hvert af de to punkter. (33, 26) Hvis vi i stedet havde tegnet en prik eller et kryds, sç ville läseren ikke kunne se hvor néjagtigt vi havde afläst. ( 4, 8) Nu kan vi udregne a og b ved at bruge en af de fire metoder i rammen "Opgavetype 0d" Konklusion: Ligningen for sammenhängen er y 0,723x 2, 3. LineÄre sammenhänge for gymnasiet og hf Side Karsten Juul

25 Eksempel 0g: LineÄr regression. Vi tager et termometer ud af kéleskabet og afläser det nogle gange. g = temperatur i C m = antal minutter efter at termometeret blev taget ud af kéleskabet. Vi taster de mçlte tal sç m kommer pç den vandrette akse, og g kommer pç den lodrette. Nspire laver lineär regression pç tallene og fçr () g 2,77 m 3, 4. PÇ skärmen ser vi: Den rette linje der er graf for (). Punkterne der viser de mçlte tal. Vi ser: SammenhÄngen () giver en god beskrivelse af temperaturen i tidsrummet fra til 5 minutter efter udtagning fra kéleskab. NÇr vi fçr Nspire til at lave lineär regression pç en tabel, sç udregner Nspire den ligning af typen y = ax + b som bedst passer med tabellens tal. Nspire udregner tallene a og b ved at sätte tabellens tal ind i nogle indviklede formler. Hvis vi kun havde en simpel lommeregner, sç mçtte vi selv sätte tallene ind i disse formler. Eksempel 0h FortsÄttelse af Eksempel 0g. I eksempel 0g underségte vi kun mçlingerne fra til 5 minutter efter udtagningen. PÇ figuren til héjre har Nspire lavet lineär regression pç mçlingerne fra 0 til 4 minutter efter udtagningen. Den rette linje er graf for den lineäre sammenhäng der passer bedst med de mçlte tal. Prikkerne viser de mçlte tal. Vi ser at vi ikke kan bruge en lineär sammenhäng til at give en god beskrivelse af temperaturen i de férste 4 minutter efter udtagningen.. LineÄre sammenhänge for gymnasiet og hf Side Karsten Juul

26 Opgavetype 0i: LineÄr regression. Opgave: Vi har mçlt längde og bredde for nogle komponenter: längde i cm,5 2,5 3,5 4,5 5,5 bredde i cm 5, 5,3 5,9 6, 6,6 SammenhÄngen mellem längde og bredde kan med god tilnärmelse beskrives ved en ligning af typen y ax b. Find tallene a og b. Metode: Vi indtaster tallene sçdan at längde kommer pç den vandrette akse og bredde kommer pç den lodrette akse. Nspire laver lineär regression pç de indtastede tal og fçr y 0,38x 0,67. Konklusion: a 0, 38 og b 0, 67 Opgavetype 0j: Regression, Çrstal. Opgave: Tabellen viser antallet af boliger i et bestemt omrçde. Ürstal Antal boliger Antallet af boliger kan med god tilnärmelse beskrives ved en ligning af typen y ax b hvor y er antallet af boliger, og x er antal Çr efter 998. Find tallene a og b. Metode: Vi taster félgende tabel: x y Vi taster ikke Çrstal da x ikke er Çrstallet. Nspire laver lineär regression pç denne tabel og fçr y 3,857x 36, 238 Konklusion: a 3,2 og b 36 LineÄre sammenhänge for gymnasiet og hf Side Karsten Juul

27 : To sammenhånge. Eksempel a: Vi sammenligner to lineäre sammenhänge. FÉlgende ligninger viser to lineäre sammenhänge: y 0,25x 7 og y 0,5x NÇr x 0 er 0,25x 7 0, ,5x 0, ,5 Vi vil finde det tal vi skal sätte x lig for at 0,25x 7 og 0,5x Vi skal altsç finde x sç 0,25x 7 0,5x Vi léser denne ligning mht. x og fçr x 24. giver samme resultat. Figuren viser graferne for de to sammenhänge y 0,429x,29 y 0,857x 24,4 y 0,429x,29 y 0,857x 24,4 PÇ figuren er vist hvordan vi har afläst at nçr x er 0,429x,29 6 0,857x 24,4 5 PÇ samme mçde kan vi afläse at og at nçr x 25 er 0,429x,29 2 0,857x 24,4 3 nçr x 8 er 0,429x,29 9 0,857x 24,4 9 y 0,429x,29 y 0,857x 24,4 Af figuren ser vi: NÇr vi sätter x 8 giver 0,429x, 29 og 0,857x 24, 4 samme y-värdi. Udtrykket 0,429x, 29 giver mindre y-värdi end 0,857x 24, 4 nçr x er mindre end 8, og stérre y-värdi nçr x er stérre end 8. LineÄre sammenhänge for gymnasiet og hf Side Karsten Juul

28 Opgavetype b: Vi har to ligninger af typen y ax b. Vi skal finde det tal x som giver samme y-värdi i de to ligninger. Opgave: Ligningerne y 0,25x 7 og y 0,5x viser to sammenhänge mellem variable x og y. Find den värdi af x som giver samme y-värdi i de to sammenhänge. Metode: Vi skal finde x sç 0,25x 7 0,5x Vi léser denne ligning mht. x. og fçr x 24. LÄseren skal kunne se hvordan du har lést ligningen. Du kan välge mellem flere mçder at lése ligningen pç. Konklusion: x-värdien 24 giver samme y-värdi i de to sammenhänge. Opgavetype c: Opgave om virkeligheden som vi kan oversätte til: Vi har to ligninger af typen y ax b. Vi skal finde det tal x som giver samme y-värdi i de to ligninger. Opgave: Metode: I en have planter vi to planter A og B. Der gälder m 0,65t 4,5 og n 0,85t 7, 3 hvor m er héjden i cm af A, n er héjden i cm af B, og t er antal dégn efter plantetidspunktet. HvornÇr har planterne samme héjde? Vi skal finde den värdi af t hvor 0,65t 4,5 0,85t 7,3 Vi léser denne ligning mht. t og fçr t 36 Konklusion: Planterne har samme héjde 36 dégn efter plantetidspunktet. LineÄre sammenhänge for gymnasiet og hf Side Karsten Juul

29 Opgavetype d: Vi har to ligninger af typen y ax b. Vi skal finde koordinatsättet til grafernes skäringspunkt. Opgave: Metode : Metode 2: Find koordinatsättet til skäringspunktet mellem graferne for de to sammenhänge y,2 x 7,4 og y 0,6 x 2, 8 SkÄringspunktets x-koordinat er den x-värdi hvor de to ligninger giver samme y-värdi, dvs hvor,2 x 7,4 0,6 x 2,8. Vi léser denne ligning mht. x og fçr x 7. SkÄringspunktet ligger pç grafen for y 0,6 x 2, 8 og har derfor y-koordinaten y 0,6 7 2,8 3. Vi fçr Nspire til at tegne de to grafer. Vi Ändrer udsnittet af koordinatsystemet sç vi kan se skäringspunktet. Vi fçr Nspire til at finde skäringspunktet og fçr ( 7, 3). Konklusion: SkÄringspunktet er (7, 3) Opgavetype e: Vi skal finde ud af hvornçr en variabel er stérre end en anden. Opgave: Metode: Konklusion: To forretninger A og B starter samtidigt salget af en vare. NÇr x = dage efter salgets start og y = varens pris i kr. er A: y 3,5x 2239 B: y 2x 888 HvornÇr er A billigst? Vi bestemmer férst x sç de to priser er ens, dvs. sç 3,5x x 888 Vi léser denne ligning mht. x og fçr x 234. Vi tegner graferne for de to sammenhänge med metoden fra rammen "Opgavetype 3b". PÇ figuren ser vi at A's y-värdi er mindre end B's nçr x er stérre end 234. Efter dag 234 er A billigst. A B Af ligningerne ser vi (ifélge SÄtning 9b): A: prisen falder 3,50 kr. hver dag B: prisen falder 2,00 kr. hver dag Efter det tidspunkt hvor priserne er ens i A og B, mç prisen i A altsç väre mindst. Denne begrundelse kan vi bruge i stedet for at se pç graferne. LineÄre sammenhänge for gymnasiet og hf Side Karsten Juul

sammenhänge 2008 Karsten Juul

sammenhänge 2008 Karsten Juul LineÄre sammenhänge y x 3 3 008 Karsten Juul Dette häfte er en fortsättelse af häftet "VariabelsammenhÄnge, 008". Indhold 8. Hvad er en lineär sammenhäng?... 3 9. Hvordan ser grafen ud for en lineär sammenhäng?...

Læs mere

sammenhänge for C-niveau i stx 2013 Karsten Juul

sammenhänge for C-niveau i stx 2013 Karsten Juul LineÄre sammenhänge for C-niveau i stx y 0,5x 2,5 203 Karsten Juul : OplÄg om lineäre sammenhänge 2 Ligning for lineär sammenhäng 2 3 Graf for lineär sammenhäng 2 4 Bestem y når vi kender x 3 5 Bestem

Læs mere

Differentialligninger

Differentialligninger Differentialligninger for A-niveau i st, udgave SkÄrmbillede fra TI-Nspire 015 Karsten Juul Differentialligninger for A-niveau i st, udgave 1 Hvad er en differentialligning? 1a OplÄg til differentialligninger1

Læs mere

GrundlÄggende variabelsammenhänge

GrundlÄggende variabelsammenhänge GrundlÄggende variabelsammenhänge for C-niveau i hf 2014 Karsten Juul LineÄr sammenhäng 1. OplÄg om lineäre sammenhänge... 1 2. Ligning for lineär sammenhäng... 1 3. Graf for lineär sammenhäng... 2 4.

Læs mere

Differentialligninger

Differentialligninger Differentialligninger for A-niveau i st SkÄrmbillede fra TI-Nspire 013 Karsten Juul Differentialligninger for A-niveau i st 1 OplÄg til differentialligninger1 Hvad er en differentialligning?1 3 UndersÅg

Læs mere

for matematik på C-niveau i stx og hf

for matematik på C-niveau i stx og hf VariabelsammenhÄnge generelt for matematik på C-niveau i stx og hf NÅr x 2 er y 2,8. 2014 Karsten Juul 1. VariabelsammenhÄng og dens graf og ligning 1.1 Koordinatsystem I koordinatsystemer (se Figur 1):

Læs mere

Lineære sammenhænge. Udgave 2. 2009 Karsten Juul

Lineære sammenhænge. Udgave 2. 2009 Karsten Juul Lineære sammenhænge Udgave 2 y = 0,5x 2,5 2009 Karsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse af hæftet "Variabelsammenhænge, 2. udgave 2009". Indhold 1. Lineære sammenhænge, ligning og graf... 1 2. Lineær

Læs mere

Start pä matematik. for gymnasiet og hf. 2010 (2012) Karsten Juul

Start pä matematik. for gymnasiet og hf. 2010 (2012) Karsten Juul Start pä matematik for gymnasiet og hf 2010 (2012) Karsten Juul Til eleven Brug blyant og viskelåder när du skriver og tegner i håftet, sä du fär et håfte der er egnet til jåvnligt at slä op i under dit

Læs mere

Kort om. Andengradspolynomier. 2011 (2012) Karsten Juul

Kort om. Andengradspolynomier. 2011 (2012) Karsten Juul Kort om Anengraspolynomier 11 (1) Karsten Juul Dette häfte ineholer pensum i anengraspolynomier for gymnasiet og hf Inhol 1. Definition Anengraspolynomium... 1. Eksempel Hvilke tal er a, b og c lig?...

Læs mere

GrundlÄggende funktioner

GrundlÄggende funktioner GrundlÄggende funktioner for B-niveu i hf Udgve 014 Krsten Juul GrundlÄggende funktioner for B-niveu i hf Procent 1. Procenter på en ny måde... 1. VÄkstrte.... Gennemsnitlig procent... LineÄr väkst 4.

Læs mere

for C-niveau i stx 2017 Karsten Juul

for C-niveau i stx 2017 Karsten Juul for C-niveau i stx 75 50 25 2017 Karsten Juul Indholdsfortegnelse Indledning 1 Hvad er deskriptiv statistik?...1 2 Hvad er grupperede og ugrupperede data?...1 Ugrupperede data 3 Hvordan udregner vi middeltal

Læs mere

Variabel- sammenhænge

Variabel- sammenhænge Variabel- sammenhænge 2008 Karsten Juul Dette hæfte kan bruges som start på undervisningen i variabelsammenhænge for st og hf. Indhold 1. Hvordan viser en tabel sammenhængen mellem to variable?... 1 2.

Læs mere

Integralregning. for B-niveau i stx. 2015 Karsten Juul

Integralregning. for B-niveau i stx. 2015 Karsten Juul Integralregning or B-niveau i st 05 Karsten Juul Stikordsregister A areal mellem gra og -akse6, 7, 8, 9 areal mellem to graer0, arealunktion, 5, 6 B bestemt integral 5 bestemt integral med Nspire5 bestemt

Læs mere

Funktioner generelt. for matematik pä B- og A-niveau i stx og hf. 2014 Karsten Juul

Funktioner generelt. for matematik pä B- og A-niveau i stx og hf. 2014 Karsten Juul Funktioner generelt for matematik pä B- og A-niveau i st og hf f f ( ),8 014 Karsten Juul 1 Funktion og dens graf, forskrift og definitionsmängde 11 Koordinatsystem I koordinatsystemer (se Figur 1): -akse

Læs mere

Integralregning. 1. del. 2006 Karsten Juul. M l

Integralregning. 1. del. 2006 Karsten Juul. M l Integralregning del () M l () 6 Karsten Juul Indhold Stamunktion OplÄg om stamunktion Deinition a stamunktion 6 Kontrol a stamunktion 9 SÄtning om stamunktionerne til en unktion Deinition a ubestemt integral

Læs mere

Kort om Eksponentielle Sammenhænge

Kort om Eksponentielle Sammenhænge Øvelser til hæftet Kort om Eksponentielle Sammenhænge 2011 Karsten Juul Dette hæfte indeholder bl.a. mange småspørgsmål der gør det nemmere for elever at arbejde effektivt på at få kendskab til emnet.

Læs mere

for gymnasiet og hf 2011 Karsten Juul

for gymnasiet og hf 2011 Karsten Juul for gymnasiet og hf 75 50 5 011 Karsten Juul I dette häfte er der lagt vägt på at det skal väre egnet til at slå op i når elever léser opgaver at tvivlstilfälde bliver afklaret at det er muligt på forskellige

Læs mere

Eksponentielle sammenhænge

Eksponentielle sammenhænge Eksponentielle sammenhænge Udgave 009 Karsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse af hæftet "Lineære sammenhænge, udgave 009" Indhold 1 Eksponentielle sammenhænge, ligning og graf 1 Procent 7 3 Hvad fortæller

Læs mere

Funktioner generelt. for matematik pä B-niveau i stx. 2013 Karsten Juul

Funktioner generelt. for matematik pä B-niveau i stx. 2013 Karsten Juul Funktioner generelt for matematik pä B-niveau i st f f ( ),8 0 Karsten Juul Funktioner generelt for matematik pä B-niveau i st Funktion, forskrift, definitionsmångde Find forskrift StÇrste og mindste vårdi

Læs mere

Variabel- sammenhænge

Variabel- sammenhænge Variabel- sammenhænge Udgave 2 2009 Karsten Juul Dette hæfte kan bruges som start på undervisningen i variabelsammenhænge for stx og hf. Hæftet er en introduktion til at kunne behandle to sammenhængende

Læs mere

Trekantsberegning 25 B. 2009 Karsten Juul

Trekantsberegning 25 B. 2009 Karsten Juul Trekantsberegning 7,0 3 5 009 Karsten Juul ette häfte indeholder den del af trekantsberegningen som skal kunnes på - niveau i gymnasiet (stx) og hf ra sommer 0 kräves mere remstillingen undgår at forudsätte

Læs mere

Deskriptiv statistik. for C-niveau i hf. 2015 Karsten Juul

Deskriptiv statistik. for C-niveau i hf. 2015 Karsten Juul Deskriptiv statistik for C-niveau i hf 75 50 25 2015 Karsten Juul DESKRIPTIV STATISTIK 1.1 Hvad er deskriptiv statistik?...1 1.2 Hvad er grupperede og ugrupperede data?...1 1.21 Eksempel pä ugrupperede

Læs mere

Differentialregning. Et oplæg Karsten Juul L P

Differentialregning. Et oplæg Karsten Juul L P Differentialregning Et oplæg L P A 2009 Karsten Juul Til eleven Dette hæfte kan I bruge inden I starter på differentialregningen i lærebogen Det meste af hæftet er små spørgsmål med korte svar Spørgsmålene

Læs mere

GrundlÄggende. Bogstavregning. for stx og hf Karsten Juul

GrundlÄggende. Bogstavregning. for stx og hf Karsten Juul GrundlÄggende Bogstavregning for st og hf 01 Karsten Juul 1. LigevÄgt bevares når vi träkker fra begge sider... 1. LigevÄgt bevares IKKE når vi träkker fra venstre side... 1. LigevÄgt bevares når vi dividerer

Læs mere

Differentialregning. for B-niveau i hf udgave 3. 2015 Karsten Juul

Differentialregning. for B-niveau i hf udgave 3. 2015 Karsten Juul Dierentialregning r B-niveau i h udgave t s 05 Karsten Juul Dierentialkvtient. Tangent g räringspunkt..... FunktinsvÅrdi g dierentialkvtient..... Frtlkning a ' vedr. gra... 4. Frtlkning a ' nçr er tiden....

Læs mere

Differential- regning for gymnasiet og hf

Differential- regning for gymnasiet og hf Dierential- regning r gymnasiet g h Udgave t s 0 Karsten Juul HÄtet Åvelser til hätet Dierentialregning r gymnasiet g h, udgave. gér det nemt at supplere klasseundervisningen med elevers selvständige arbejde

Læs mere

Eksempler på problemløsning med differentialregning

Eksempler på problemløsning med differentialregning Eksempler på problemløsning med differentialregning 004 Karsten Juul Opgave 1: Monotoniforhold = 1+, x 3 3 x Bestem monotoniforholdene for f Besvarelse af opgave 1 Først differentierer vi f : (3 x) (3

Læs mere

Integralregning. med Ävelser. for B-niveau i gymnasiet og hf. 2011 Karsten Juul

Integralregning. med Ävelser. for B-niveau i gymnasiet og hf. 2011 Karsten Juul Integralregning med Ävelser or B-niveau i gymnasiet og h 0 Karsten Juul Dette håte gennemgçr integralregningen or B-niveau uden at gäre det mere indviklet end kråvet Évelserne giver eleverne et kendskab

Læs mere

Kom i gang-opgaver til differentialregning

Kom i gang-opgaver til differentialregning Kom i gang-opgaver til differentialregning 00 Karsten Juul Det er kortsigtet at løse en opgave ved blot at udskifte tallene i en besvarelse af en tilsvarende opgave Dette skyldes at man så normalt ikke

Læs mere

Start pä ny 3D-figur. Tilpas koordinatsystem. Tegn trekant

Start pä ny 3D-figur. Tilpas koordinatsystem. Tegn trekant Intro til nspire_3d.tns Dokumentet nspire_3d.tns gär det meget hurtigere at tegne figurer til gymnasiets rumgeometri. Nyeste version kan downloades fra http://mat1.dk/noter.htm. Start pä ny 3D-figur 1)

Læs mere

Opstilling af model ved hjælp af differentialkvotient

Opstilling af model ved hjælp af differentialkvotient Opstilling af model ved hjælp af differentialkvotient N 0,35N 0, 76t 2010 Karsten Juul Til eleven Dette hæfte giver dig mulighed for at arbejde sådan med nogle begreber at der er god mulighed for at der

Læs mere

Symbolsprog og Variabelsammenhænge

Symbolsprog og Variabelsammenhænge Indledning til Symbolsprog og Variabelsammenhænge for Gymnasiet og Hf 1000 kr 500 0 0 5 10 15 timer 2005 Karsten Juul Brugsanvisning Du skal se i de fuldt optrukne rammer for at finde: Regler for løsning

Læs mere

GrundlÄggende funktioner

GrundlÄggende funktioner GrundlÄggende funktioner for B-niveu i st Udgve 016 Krsten Juul GrundlÄggende funktioner for B-niveu i st Procent 1. Procenter på en ny måde... 1. VÄkstrte.... Gennemsnitlig procent... LineÄr väkst. LineÄr

Læs mere

Differentialregning. for gymnasiet og hf. 2010 Karsten Juul

Differentialregning. for gymnasiet og hf. 2010 Karsten Juul Dierentialregning r gymnasiet g h t s 1 010 Karsten Juul 1. GrundlÄggende typer a pgaver med graer...1. Regel m tilväkster r lineäre sammenhänge.... SÅdan kan vi inde häldningskeicienten ud ra lineär gra...

Læs mere

for matematik pä B-niveau i hf

for matematik pä B-niveau i hf for matematik pä B-niveau i hf 75 50 5 016 Karsten Juul GRUPPEREDE DATA 1.1 Hvad er deskriptiv statistik?...1 1. Hvad er grupperede og ugrupperede data?...1 1.1 Eksempel pä ugrupperede data...1 1. Eksempel

Læs mere

Differential- ligninger

Differential- ligninger Differential- ligninger Et oplæg 2007 Karsten Juul Dette hæfte er tænkt brugt som et oplæg der kan gennemgås før man går i gang med en lærebogs fremstilling af emnet differentialligninger Læreren skal

Læs mere

Differential- regning

Differential- regning Differential- regning del () f () m l () 6 Karsten Juul Indhold Tretrinsreglen 59 Formler for differentialkvotienter64 Regneregler for differentialkvotienter67 Differentialkvotient af sammensat funktion7

Læs mere

Trekantsberegning. Udgave 2. 2010 Karsten Juul 25 B

Trekantsberegning. Udgave 2. 2010 Karsten Juul 25 B Trekansberegning Udgave 7,0 3 5 00 Karsen Juul ee häfe indeholder den del af rekansberegningen som skal kunnes på -niveau i gymnasie (sx) og hf. Fra sommer 0 kräves mere. Indhold. real af rekan.... Pyhagoras'

Læs mere

for gymnasiet og hf 2016 Karsten Juul

for gymnasiet og hf 2016 Karsten Juul for gymnasiet og hf 75 50 5 016 Karsten Juul Statistik for gymnasiet og hf Ä 016 Karsten Juul 4/1-016 Nyeste version af dette håfte kan downloades fra http://mat1.dk/noter.htm HÅftet mç benyttes i undervisningen

Læs mere

Opgaver om koordinater

Opgaver om koordinater Opgaver om koordinater Formålet med disse opgaver er dels at træne noget matematik, dels at give oplysninger om og træning i brug af Mathcad: Matematik: Øge grundlæggende indsigt vedrørende koordinater

Læs mere

Asymptoter. for standardforsøgene i matematik i gymnasiet. 2003 Karsten Juul

Asymptoter. for standardforsøgene i matematik i gymnasiet. 2003 Karsten Juul Asymptoter for standardforsøgene i matematik i gymnasiet 2003 Karsten Juul Indledning om lodrette asymptoter Lad f være funktionen bestemt ved =, 2. 2 Vi udregner funktionsværdierne i nogle -værdier der

Læs mere

Funktioner generelt. for matematik pä B-niveau i hf. 2013 Karsten Juul

Funktioner generelt. for matematik pä B-niveau i hf. 2013 Karsten Juul Funktioner generelt for matematik pä B-niveau i hf f f ( ),8 013 Karsten Juul Funktioner generelt for matematik pä B-niveau i hf 1 Funktion, forskrift, definitionsmångde 1 Find forskrift 3 StÇrste og mindste

Læs mere

Lineære modeller. Taxakørsel: Et taxa selskab tager 15 kr. pr. km man kører i deres taxa. Hvis vi kører 2 km i taxaen koster turen altså

Lineære modeller. Taxakørsel: Et taxa selskab tager 15 kr. pr. km man kører i deres taxa. Hvis vi kører 2 km i taxaen koster turen altså Lineære modeller Opg.1 Taxakørsel: Et taxa selskab tager 15 kr. pr. km man kører i deres taxa. Hvis vi kører 2 km i taxaen koster turen altså Hvor meget koster det at køre så at køre 10 km i Taxaen? Sammenhængen

Læs mere

Differential- regning

Differential- regning Differential- regning del f(5) () f f () f ( ) I 5 () 006 Karsten Juul Indhold 6 Kontinuert funktion 7 Monotoniforhold7 8 Lokale ekstrema44 9 Grænseværdi5 Differentialregning del udgave 006 006 Karsten

Læs mere

Formler, ligninger, funktioner og grafer

Formler, ligninger, funktioner og grafer Formler, ligninger, funktioner og grafer Omskrivning af formler, funktioner og ligninger... 1 Grafisk løsning af ligningssystemer... 1 To ligninger med to ubekendte beregning af løsninger... 15 Formler,

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C LINEÆR SAMMENHÆNG

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C LINEÆR SAMMENHÆNG ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C LINEÆR SAMMENHÆNG INDHOLDSFORTEGNELSE 1 Formelsamling... side 2 2 Grundlæggende færdigheder... side 3 2a Finde konstanterne a og b i en formel... side 3 2b Indsætte x-værdi og

Læs mere

Nogle emner fra. Deskriptiv Statistik. 2011 Karsten Juul

Nogle emner fra. Deskriptiv Statistik. 2011 Karsten Juul Nogle emner fra Deskriptiv Statistik 75 50 25 2011 Karsten Juul Indhold Hvad er deskriptiv statistik?... 1 UGRUPPEREDE OBSERVATIONER Hyppigheder... 1 Det samlede antal observationer... 1 Middeltallet...

Læs mere

Kapitel 3 Lineære sammenhænge

Kapitel 3 Lineære sammenhænge Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Lineære sammenhænge Det sker tit, at man har flere variable, der beskriver en situation, og at der en sammenhæng mellem de variable. Enhver formel er faktisk

Læs mere

Lektion 7 Funktioner og koordinatsystemer

Lektion 7 Funktioner og koordinatsystemer Lektion 7 Funktioner og koordinatsystemer Brug af grafer og koordinatsystemer Lineære funktioner Andre funktioner lignnger med ubekendte Lektion 7 Side 1 Pris i kr Matematik på Åbent VUC Brug af grafer

Læs mere

Uafhængig og afhængig variabel

Uafhængig og afhængig variabel Uddrag fra http://www.emu.dk/gym/fag/ma/undervisningsforloeb/hf-mat-c/introduktion.doc ved Hans Vestergaard, Morten Overgaard Nielsen, Peter Trautner Brander Variable og sammenhænge... 1 Uafhængig og afhængig

Læs mere

Simple udtryk og ligninger

Simple udtryk og ligninger Simple udtryk og ligninger 009 Karsten Juul Til eleven Brug blyant og viskelæder når du skriver og tegner i hæftet, så du får et hæfte der er egenet til jævnligt at slå op i under dit videre arbejde med

Læs mere

Differentialregning. for A-niveau i stx udgave Karsten Juul

Differentialregning. for A-niveau i stx udgave Karsten Juul Dierentialregning r A-niveau i st udgave 4 t s 07 Karsten Juul Dierentialkvtient Tangent g räringspunkt FunktinsvÅrdi g dierentialkvtient Frtlkning a ' vedr gra 4 Frtlkning a ' nçr er tiden 5 Frtlkning

Læs mere

GrundlÄggende funktioner

GrundlÄggende funktioner GrundlÄggende funktioner for B-niveu i hf 013 Krsten Juul GrundlÄggende funktioner for B-niveu i hf Procent 1. Procenter på en ny måde.... 1 LineÄr väkst. LineÄr funktion... 3. LineÄr väkst... 4. Skriv

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C LINEÆR SAMMENHÆNG

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C LINEÆR SAMMENHÆNG ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C LINEÆR SAMMENHÆNG INDHOLDSFORTEGNELSE 1 Formelsamling... side 2 1 Introduktion... side 3 2 Grundlæggende færdigheder... side 4 2a Finde konstanterne a og b i en formel... side

Læs mere

Lommeregnerkursus 2008

Lommeregnerkursus 2008 Mikkel Stouby Petersen Lommeregnerkursus 008 Med gennemregnede eksempler og øvelser Materialet er udarbejdet til et kursus i brug af TI-89 Titanium afholdt på Odder Gymnasium. april 008 1. Ligningsløsning

Læs mere

for matematik pä B-niveau i hf

for matematik pä B-niveau i hf for matematik pä B-niveau i hf 014 Karsten Juul TEST 1 StikprÅver... 1 1.1 Hvad er populationen?... 1 1. Hvad er stikpråven?... 1 1.3 Systematiske fejl ved valg af stikpråven.... 1 1.4 TilfÇldige fejl

Læs mere

Variabelsammenhænge og grafer

Variabelsammenhænge og grafer Variabelsammenhænge og grafer Indhold Variable... 1 Funktion... 1 Grafen for en funktion... 2 Proportionalitet... 4 Ligefrem proportional eller blot proportional... 4 Omvendt proportionalitet... 4 Intervaller...

Læs mere

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå Kort gennemgang af polynomier og deres egenskaber. asdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopåasd

Læs mere

Differential- regning

Differential- regning Differential- regning 1 del () (1) 006 Karsten Juul Indhold 1 Funktionsværdi, graf og tilvækst1 Differentialkvotient og tangent8 3 Formler for differentialkvotient16 4 Opgaver med tangent 5 Væksthastighed5

Læs mere

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015 Kalkulus 1 - Opgaver Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis 20. januar 2015 Mængder Opgave 1 Opskriv følgende mængder med korrekt mængdenotation. a) En mængde A indeholder alle hele tal fra og med 1

Læs mere

Matematik B-niveau STX 7. december 2012 Delprøve 1

Matematik B-niveau STX 7. december 2012 Delprøve 1 Matematik B-niveau STX 7. december 2012 Delprøve 1 Opgave 1 Af trekanterne ABC og DEF ses ABC med b = 6 og c = 10. Der bestemmes for a. Tallene indsættes Så sidelængden er regnet til 8. For at bestemme

Læs mere

Opgave 1 10. Opgave 2 Andengradsligningen løses, idet. Opgave 3. 11 er en løsning til ligningen, da:

Opgave 1 10. Opgave 2 Andengradsligningen løses, idet. Opgave 3. 11 er en løsning til ligningen, da: 7. marts 0 FVU AVU HF X FAG : Matematik B ark nr. antal ark 8 Opgave 0 a b 5 a b 5 = b 3 er en løsning til ligningen, da: = 9 = 3 Opgave Andengradsligningen løses, idet a = b = 3 c = 4 d (diskriminanten)

Læs mere

Graph brugermanual til matematik C

Graph brugermanual til matematik C Graph brugermanual til matematik C Forord Efterfølgende er en guide til programmet GRAPH. Programmet kan downloades gratis fra nettet og gemmes på computeren/et usb-stik. Det betyder, det også kan anvendes

Læs mere

Eksponentielle sammenhänge

Eksponentielle sammenhänge Eksponenielle sammenhänge y 800,95 1 0 1 y 80 76 7, 5 5% % 1 009 Karsen Juul Dee häfe er en forsäelse af häfe "LineÄre sammenhänge, 008" Indhold 14 Hvad er en eksponeniel sammenhäng? 53 15 Signing og fald

Læs mere

Bogstavregning. En indledning for stx og hf. 2008 Karsten Juul

Bogstavregning. En indledning for stx og hf. 2008 Karsten Juul Bogstavregning En indledning for stx og hf 2008 Karsten Juul Dette hæfte træner elever i den mest grundlæggende bogstavregning (som omtrent springes over i lærebøger for stx og hf). Når elever har lært

Læs mere

Hvordan Leibniz opfandt integralregningen

Hvordan Leibniz opfandt integralregningen Hvord Leiiz opdt itegrlregige 0 Krste Juul EglÄdere Isc Newto (6-) opdt i 66 itegrlregige. Tskere Gottried Wilhelm Leiiz (66-6) opdt i 6 itegrlregige. Ige dem oetliggjorde deres opidelse med det smme.

Læs mere

Optimale konstruktioner - når naturen former. Opgaver. Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om topologioptimering

Optimale konstruktioner - når naturen former. Opgaver. Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om topologioptimering Opgaver Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om solsikke Opgave 1 Opgave 2 Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om bobler Opgave 3 Opgave 4 Opgaver og links, der knytter sig til artiklen

Læs mere

vækst trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt

vækst trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik vækst trin 2 preben bernitt brikkerne til regning & matematik vækst, trin 2 ISBN: 978-87-92488-05-3 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk Kopiering er kun tilladt

Læs mere

Bogstavregning. for gymnasiet og hf (2012) Karsten Juul

Bogstavregning. for gymnasiet og hf (2012) Karsten Juul Bogstvregning for gymnsiet og hf 010 (01) Krsten Juul Til eleven Brug lynt og viskeläder når du skriver og tegner i häftet, så du får et häfte der er egenet til jävnligt t slå op i under dit videre rejde

Læs mere

Repetition til eksamen. fra Thisted Gymnasium

Repetition til eksamen. fra Thisted Gymnasium Repetition til eksamen fra Thisted Gymnasium 20. oktober 2015 Kapitel 1 Introduktion til matematikken 1. Fortegn Husk fortegnsregnereglerne for multiplikation og division 2. Hierarki Lær sætningen om regnearternes

Læs mere

Matematik A-niveau STX 24. maj 2016 Delprøve 2 VUC Vestsjælland Syd. www.matematikhjaelp.tk

Matematik A-niveau STX 24. maj 2016 Delprøve 2 VUC Vestsjælland Syd. www.matematikhjaelp.tk Matematik A-niveau STX 24. maj 2016 Delprøve 2 VUC Vestsjælland Syd www.matematikhjaelp.tk Opgave 7 - Eksponentielle funktioner I denne opgave, bliver der anvendt eksponentiel regression, men først defineres

Læs mere

brikkerne til regning & matematik vækst trin 2 preben bernitt

brikkerne til regning & matematik vækst trin 2 preben bernitt brikkerne til regning & matematik vækst trin 2 preben bernitt brikkerne til regning & matematik vækst, trin 2 ISBN: 978-87-92488-05-3 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk Kopiering er kun tilladt

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Isolere en ubekendt... 3 Hvis x står i første brilleglas...

Læs mere

Læringsprogram. Numeriske metoder. Matematik A Programmering C Studieområdet. Roskilde Tekniske Gymnasium Klasse 3.4

Læringsprogram. Numeriske metoder. Matematik A Programmering C Studieområdet. Roskilde Tekniske Gymnasium Klasse 3.4 Læringsprogram Numeriske metoder Matematik A Programmering C Studieområdet Roskilde Tekniske Gymnasium Klasse 3.4 Lau Lund Leadbetter Mikkel Karoli Johnsen Tobias Sønderskov Hansen Lineær regression ved

Læs mere

Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT.

Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT. Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT. Projektet kan bl.a. anvendes til et forløb, hvor en af målsætningerne er at lære om samspillet mellem værktøjsprogrammernes geometriske

Læs mere

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: 333247 2015 Anders Jørgensen, Mark Kddafi, David Jensen, Kourosh Abady og Nikolaj Eriksen 1. Indledning I dette projekt, vil man kunne se definitioner

Læs mere

3D-grafik Karsten Juul

3D-grafik Karsten Juul 3D-grafik 2005 Karsten Juul Når der i disse noter står at du skal få tegnet en figur, så er det meningen at du skal få tegnet den ved at taste tildelinger i Mathcad-dokumentet RumFig2 Det er selvfølgelig

Læs mere

Sammenhæng mellem variable

Sammenhæng mellem variable Sammenhæng mellem variable Indhold Variable... 1 Funktion... 2 Definitionsmængde... 2 Værdimængde... 2 Grafen for en funktion... 2 Koordinatsystem... 3 Koordinatsæt... 4 Intervaller... 5 Løsningsmængde...

Læs mere

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0 BAndengradspolynomier Et polynomium er en funktion på formen f ( ) = an + an + a+ a, hvor ai R kaldes polynomiets koefficienter. Graden af et polynomium er lig med den højeste potens af, for hvilket den

Læs mere

Matricer og lineære ligningssystemer

Matricer og lineære ligningssystemer Matricer og lineære ligningssystemer Grete Ridder Ebbesen Virum Gymnasium Indhold 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber 1 Regning med matricer 3 13 Kvadratiske matricer og determinant 9 14 Invers matrix

Læs mere

Matematik Aflevering - Æggebæger

Matematik Aflevering - Æggebæger Matematik Aflevering - Æggebæger Lavet af Morten Kvist i samarbejde med Benjamin Afleveret d. 17/3-2006 Afleveret til Kristine Htx 3.2 Side 1 af 6 Opgave 1 Delopgave A Først har jeg de to logaritme funktioner,

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Ligning med + - / hvor x optræder 1 gang... 3 IT-programmer

Læs mere

Ligninger med Mathcad

Ligninger med Mathcad Ligninger med Mathcad for standardforsøget for B-niveau Udgave.02 Eksemplerne viser hvordan man kan finde frem til facit. Eksemplerne viser ikke hvordan besvarelsen kan formuleres. Der forudsættes et vist

Læs mere

Matematik B. Studentereksamen

Matematik B. Studentereksamen Matematik B Studentereksamen 1stx101-MAT/B-26052010 Onsdag den 26. maj 2010 kl. 9.00-13.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål. Delprøven

Læs mere

GUX. Matematik. A-Niveau. August 2015. Kl. 9.00-14.00. Prøveform a GUX152 - MAA

GUX. Matematik. A-Niveau. August 2015. Kl. 9.00-14.00. Prøveform a GUX152 - MAA GUX Matematik A-Niveau August 05 Kl. 9.00-4.00 Prøveform a GUX5 - MAA Matematik A Prøvens varighed er 5 timer. Prøven består af opgaverne til 0 med i alt 5 spørgsmål. De 5 spørgsmål indgår med lige vægt

Læs mere

Eksempel på logistisk vækst med TI-Nspire CAS

Eksempel på logistisk vækst med TI-Nspire CAS Eksempel på logistisk vækst med TI-Nspire CAS Tabellen herunder viser udviklingen af USA's befolkning fra 1850-1910 hvor befolkningstallet er angivet i millioner: Vi har tidligere redegjort for at antallet

Læs mere

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk 3 Lineære funktioner En vigtig type funktioner at studere er de såkaldte lineære funktioner. Vi skal udlede en række egenskaber

Læs mere

Løsningsforslag MatB Juni 2013

Løsningsforslag MatB Juni 2013 Løsningsforslag MatB Juni 2013 Opgave 1 (5 %) Et andengradspolynomium er givet ved: f (x) = x 2 4x + 3 a) Bestem koordinatsættet til toppunktet for parablen givet ved grafen for f Løsning: a) f (x) = x

Læs mere

Matematik A, STX. Vejledende eksamensopgaver

Matematik A, STX. Vejledende eksamensopgaver Matematik A, STX EKSAMENSOPGAVER Vejledende eksamensopgaver 2015 Løsninger HF A-NIVEAU AF SAEID Af JAFARI Anders J., Mark Af K. & Saeid J. Anders J., Mark K. & Saeid J. Kun delprøver 2 Kun delprøve 2,

Læs mere

PeterSørensen.dk : Differentiation

PeterSørensen.dk : Differentiation PeterSørensen.dk : Differentiation Betydningen af ordet differentialkvotient...2 Sekant...2 Differentiable funktioner...3 Bestemmelse af differentialkvotient i praksis ved opgaveløsning...3 Regneregler:...3

Læs mere

Logaritmiske koordinatsystemer med TI-Nspire CAS version 3.6

Logaritmiske koordinatsystemer med TI-Nspire CAS version 3.6 Logaritmiske koordinatsystemer med TI-Nspire CAS version 3.6 Indholdsfortegnelse: Enkelt logaritmisk koordinatsystem side 1 Eksempel på brug af enkelt logaritmisk koordinatsystem ud fra tabel side 2 Dobbelt

Læs mere

Matematik C. Cirkler. Skrevet af Jacob Larsen 3.år HTX Slagelse Udgivet i samarbejde med Martin Gyde Poulsen 3.år HTX Slagelse.

Matematik C. Cirkler. Skrevet af Jacob Larsen 3.år HTX Slagelse Udgivet i samarbejde med Martin Gyde Poulsen 3.år HTX Slagelse. Cirkler Skrevet af Jacob Larsen 3.år HTX Slagelse Udgivet i samarbejde med Martin Gyde Poulsen 3.år HTX Slagelse Side Indholdsfortegnelse Cirklen ligning Tegning af cirkler Skæring mellem cirkel og x-aksen

Læs mere

Differentialregning. Ib Michelsen

Differentialregning. Ib Michelsen Differentialregning Ib Michelsen Ikast 2012 Forsidebilledet Tredjegradspolynomium i blåt med rød tangent Version: 0.02 (18-09-12) Denne side er (~ 2) Indholdsfortegnelse Introduktion...5 Definition af

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni, 14/15 Institution VUC Vestegnen Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hf Matematik niveau C Elisabeth

Læs mere

Mathcad Survival Guide

Mathcad Survival Guide Mathcad Survival Guide Mathcad er en blanding mellem et tekstbehandlingsprogram (Word), et regneark (Ecel) og en grafisk CAS-lommeregner. Programmet er velegnet til matematikopgaver, fysikrapporter og

Læs mere

Tal, funktioner og grænseværdi

Tal, funktioner og grænseværdi Tal, funktioner og grænseværdi Skriv færdig-eksempler der kan udgøre en væsentlig del af et forløb der skal give indsigt vedrørende begrebet grænseværdi og nogle nødvendige forudsætninger om tal og funktioner

Læs mere

matx.dk Enkle modeller

matx.dk Enkle modeller matx.dk Enkle modeller Dennis Pipenbring 28. juni 2011 Indhold 1 Indledning 4 2 Funktionsbegrebet 4 3 Lineære funktioner 8 3.1 Bestemmelse af funktionsværdien................. 9 3.2 Grafen for en lineær

Læs mere

Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. Arealmomenter

Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. Arealmomenter Arealmomenter af. og. orden side Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave Arealmomenter Teori: Se lærebøgerne i faget Statiske konstruktionsmodeller og EDB. Se også H&OL bind,., samt bind appendix.3,

Læs mere

Kapitel 2 Tal og variable

Kapitel 2 Tal og variable Tal og variable Uden tal ingen matematik - matematik handler om tal og anvendelse af tal. Matematik beskæftiger sig ikke udelukkende med konkrete problemer fra andre fag, og de konkrete tal fra andre fagområder

Læs mere

Eksponentielle sammenhænge

Eksponentielle sammenhænge Eksponentielle sammenhænge 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Indholdsfortegnelse Variabel-sammenhænge... 1 1. Hvad er en eksponentiel sammenhæng?... 2 2. Forklaring med ord af eksponentiel vækst... 2, 6

Læs mere