MATEMATIK NOTAT MATEMATISKE BEVISER AF: CAND. POLYT. MICHEL MANDIX
|
|
- Else Petersen
- 5 år siden
- Visninger:
Transkript
1 MATEMATIK NOTAT MATEMATISKE EVISER AF: CAND. POLYT. MICHEL MANDIX SIDSTE REVISION: AUGUST 07
2 Michel Mndi (07) Indholdsfortegnelse Side f 4 Indholdsfortegnelse: Indholdsfortegnelse: En treknts vinkelsum Pthgors læresætning Sinusreltionen Cosinusreltionerne Grdsligningen Grdsligningen (Alterntivt bevis) Toppunktsformlen Rumfng f prmidestub Forholdet mellem sklrprodukt og vinkel mellem vektorer Tre-trins-reglen for differentilkvotienter Den rette linje Eksponentilfunktionen Fordoblingskonstnten Hlveringskonstnten Arelberegning f n-sidet polgon ved brug f determinnt... 37
3 Michel Mndi (07) En treknts vinkelsum Side 3 f En treknts vinkelsum Det ønskes bevist, t vinkelsummen i en treknt ltså værdierne f de tre vinkler i en treknt lgt smmen er 80. Eller mtemtisk skrevet: 3 vi v v v3 80. i Dette kn ses f nedenstående figur. Husk t en fuld cirkel er defineret som 360, og derfor er vinklen i en hlvcirkel f.eks. fr det derste punkt til højre på cirklen og det derste punkt til venstre lig med 80, d mn i udgngspunktet står i cirklens centrum. Med ndre ord: Hvis mn står på en ret linie, så er der to retninger mn kn følge linien. Enten den ene eller den nden vej. Og vinklen mellem de to retninger som er modst rettede er 80. c b A c C Idet linjen tegnes gennem pkt., som er prllel med linien AC, ses det, d to modst rettede retninger hr vinklen 80, t: b c 80 Smtidig ved vi, t: og c c Ved simpel substitution, fås t: 3 i V V V V b c 80, i 3 hvorved sætningen er bevist! Q.E.D.
4 Michel Mndi (07) Pthgors læresætning Side 4 f Pthgors læresætning Det ønskes bevist, t grundformlen for Pthgors læresætning er: c b! Det ses umiddelbrt t relet f det inderste kvdrt er lig med: A c LilleKvdrt Ligeledes findes relet f det store kvdrt: Stor Kvdrt A b Kvdrtsætningerne AStor Kvdrt b b Der er fire treknter. En i hvert hjørne. Arelet f en enkelt treknt beregnes som: ATreknt Højde Grundlinie A Treknt b Men der er jo som sgt fire treknter, og deres smlede rel er: AAlleTreknter 4 b A AlleTreknter b Så relet f det lille kvdrt kn vel også skrives som relet f det store kvdrt minus relet f de fire treknter. Tænk blot på, t tegne det store kvdrt og klippe de fire små treknter fr. Tilbge sidder mn med det lille kvdrt. A A A LilleKvdrt StorKvdrt AlleTreknter ALilleKvdrt b b b A b LilleKvdrt Nu er det konkluderet, t relet f det lille kvdrt er lig med relet f det lille kvdrt er lig med b. c, men tidligere er det også beregnet, t D det er det smme kvdrt er c b Q.E.D. Husk, t Pthgors Læresætning KUN gælder for retvinklede treknter!!! Pthgors Læresætning er igennem tiderne blevet bevist på mindst 365 forskellige måder. Det er nemt t huske Det er en n bevisførelse for hver dg i året De forskellige beviser kn læses i denne bog, hvis mn vil dedikere resten f sit liv til Pthgors Loomis, Elish Scott (968), The Pthgoren Proposition, The Ntionl Council of Techers of Mthemtics.
5 Michel Mndi (07) Sinusreltionen Side 5 f Sinusreltionen Følgende sætning ønskes bevist: b c sin sin sin Først tegnes en vilkårlig (spidsvinklet) treknt. Højden fr indtegnes og figuren målsættes. Punkt D indføres, der hvor højden fr rmmer linjen b. A C c h A b D C Som det ses, inddeler højden fr pkt., h, den vilkårlige treknt i to retvinklede treknter. Hvis den venstre retvinklede treknt, treknt AD betrgtes, opstilles følgende ligning med de sædvnlige værktøjer for den retvinklede treknt: sin h c sin A Modstående Ktete h A Hpotenusen c Tilsvrende betrgtes den højre retvinklede treknt, treknt CD, og der fremkommer et lignende udtrk: sin Modstående Ktete h Hpotenusen h sin C C Det er den smme h i de to ligninger. Der er jo ikke tegnet en n treknt i mellemtiden. Derfor kn følgende skrives: sin c sin A C c sin C sin A Almindelig division giver: Det er gnske vist kun en del f sinusreltionen (den hedder jo egentlig: b c ), sin sin sin A C men resten kn nemt indses ved t tegne højden fr enten pkt. A eller pkt. C, og så køre beviset igen. (I princippet, kn mn blot nøjes med t ændre nvnene på trekntens hjørner og køre beviset igen. D kn mn undlde t dreje hele figuren og tegne ne højder ) Q.E.D.
6 Michel Mndi (07) Sinusreltionen Side 6 f 4 Hvd nu hvis treknten er stumpvinklet i stedet for spidsvinklet? Det viser sig, t beviset er fuldstændig nlogt med det llerede viste bevis for den spidsvinklede treknt: c h A b C D Som det ses, dnner højden fr pkt. den vilkårlige treknt to retvinklede treknter, AD og CD. Hvis den venstre retvinklede treknt, treknt AD, betrgtes, opstilles følgende ligning med de sædvnlige værktøjer for den retvinklede treknt: sin h c sin A Modstående Ktete h A Hpotenusen c Og betrgtes tilsvrende den højre retvinklede treknt, treknt CD, fås et lignende udtrk: sin Modstående Ktete h Hpotenusen h sin C C Det er den smme h i de to ligninger. Der er jo ikke tegnet en n treknt i mellemtiden. Derfor kn følgende skrives: sin c sin A C c sin C sin A Almindelig division giver: Det er gnske vist kun en del f sinusreltionen (den hedder jo egentlig: b c ), sin sin sin A C men resten kn nemt indses ved t tegne højden fr enten pkt. A eller pkt. C, og så køre beviset igen. (I princippet, kn mn blot nøjes med t ændre nvnene på trekntens hjørner og køre beviset igen. D kn mn undlde t dreje hele figuren og tegne ne højder ) Q.E.D.
7 Michel Mndi (07) Cosinusreltionerne Side 7 f Cosinusreltionerne Der ønskes bevist følgende sætninger: b c bc c b c b c b b c b c cos A cos A b c c cos cos c b b cos C cos C, der jo tilsmmen udgør cosinusreltionerne Først tegnes en vilkårlig treknt. (Spidsvinklet) Højden fr indtegnes og figuren målsættes. Punkt D indføres, der hvor højden fr rmmer linien b. c h A D C b - Som det ses, inddeler højden fr pkt. den vilkårlige treknt i to retvinklede treknter. Ser mn på den venstre retvinklede treknt, treknt AD, kn mn opstille følgende ligning med de sædvnlige værktøjer for den retvinklede treknt i dette tilfælde: Pthgors Læresætning: b c h b c h b b Ser mn nøje efter, er det blot Pthgors' Læresætning. Derefter bruges kvdrtsætningerne til t rdde op... Prentesen hæves... c h b b Og betrgtes tilsvrende den højre retvinklede treknt, treknt CD, fås et lignende udtrk: h h
8 Michel Mndi (07) Cosinusreltionerne Side 8 f 4 Resulttet f den seneste udregning, h, indsættes i den første udregning: c h c b b c b b Udtrkket for h b b Og der rddes op... indsættes Det eneste problem er dog nu, t ikke er kendt! Men vh. de gmle regneregler for den retvinklede treknt, kn nemt findes Se blot på tegningen igen, og betrgt specielt treknten CD. Her gælder: cos cos v C Hosliggende Ktete Hpotenusen cos C, hvilket indsættes i den forrige udregning... c b b c b cos C b c b b Og hvis der ændres lidt på fktorernes rækkefølge... cos C Det ses, t resulttet er den ene f ligningerne i det, som tidligere blev præsenteret som cosinusreltionerne, men resten kn nemt indses som det vr tilfældet ved sinusreltionen ved t tegne højden fr enten pkt. A eller pkt. C, og så køre beviset igen. (I princippet, kn mn blot nøjes med t ændre nvnene på trekntens hjørner og køre beviset igen. D kn mn undlde t dreje hele figuren og tegne ne højder ) Q.E.D.
9 Michel Mndi (07) Cosinusreltionerne Side 9 f 4 Men hvd nu hvis treknten er stumpvinklet i stedet for spidsvinklet? Det viser sig, t beviset er stort set nlogt med det llerede viste bevis for den spidsvinklede treknt, men dog med en lille krølle! Den beskrives senere: c h A C indre C C dre D b b + Som det ses, dnner højden fr pkt. den vilkårlige treknt to retvinklede treknter, AD og CD. Ser mn på den store retvinklede treknt, treknt AD, kn mn opstille følgende ligning med de sædvnlige værktøjer for den retvinklede treknt i dette tilfælde: Pthgors Læresætning: c h b c h b b Ser mn nøje efter, er det blot Pthgors' Læresætning. Derefter bruges kvdrtsætningerne til t rdde op... c h b b Og ser mn tilsvrende på den lille retvinklede treknt, treknt CD, fås et lignende udtrk: h h Resulttet f den seneste udregning, h, indsættes i den første udregning: c h c b b c b b Udtrkket for h b b Og der rddes op... indsættes
10 Michel Mndi (07) Cosinusreltionerne Side 0 f 4 Det eneste problem er dog nu, t ikke er kendt! Men vh. de gmle regneregler for den retvinklede treknt, kn nemt findes Se blot på tegningen igen, og betrgt specielt treknten CD. Her gælder: cos cos v C Hosliggende Ktete Hpotenusen cos C Men treknt CD er jo kun en hjælpetreknt, som ligger helt uden for den egentlige treknt AC. Og det bemærkes, t vi hr fundet dersiden f vinklen C - C dre. Det erl jo C indre som skl bruges. Vinklerne C dre og C indre er supplementvinkler. Det betder, t: Eller i vores tilfælde: v cos v cos 80 cos Cindre cosc dre Og nu ikke mere snk om indre og dre (Det blev kun indført for bedre t kunne forstå problemtikken omkring vinkel C.) Det ses, t C indre overhovedet ikke benttes, og derfor kldes C dre blot C fremover. Altså er: cos C cos C, hvilket indsættes i den forrige udregning... c b b c b cos C b c b b Og hvis prentesen hæves, og der ændres lidt på fktorernes rækkefølge... cos C Det ses, t resulttet er den ene f ligningerne i det, som tidligere blev præsenteret som cosinusreltionerne, men resten kn nemt indses som det vr tilfældet ved sinusreltionen ved t tegne højden fr enten pkt. A eller pkt. C, og så køre beviset igen. (I princippet, kn mn blot nøjes med t ændre nvnene på trekntens hjørner og køre beviset igen. D kn mn undlde t dreje hele figuren og tegne ne højder ) Q.E.D.
11 Michel Mndi (07).Grdsligningen Side f Grdsligningen eviset for t løsningerne til ² b c 0, 0 kn udregnes som: b d r, hvor d b² 4 c : ² b c 0 Gng med 4 på begge sider 4 ² ² 4 b 4 c 0 Læg b² 4 c til på begge sider 4 ² ² b b² b² 4 c b² ² b² b b ² b² 4 c Kvdrtsætning d b² 4 c b d Ligning ² Her hr vi indført størrelsen d b² 4 c, som også kldes for ndengrdsligningens diskriminnt. Det viser sig, t den videre løsning f ligningen fhænger f fortegnet for d. d < 0 I ligning, vil højre side d være negtiv, mens venstre side ltid er positiv (eller 0). (Noget i nden potens vil ltid være positivt eller 0). Derfor findes der ingen værdier f, der opflder ligningen. d = 0 Ligning hr i dette tilfælde udseendet: b ² d b b 0 b 0 b b - Altså hr ligningen netop løsnin. g
12 Michel Mndi (07).Grdsligningen Side f 4 d > 0 Ligning kn videre omskrives således: b ² d b d b d b d - Altså hr ligningen løsninger. Q.E.D.
13 Michel Mndi (07). Grdsligningen Side 3 f Grdsligningen (Alterntivt bevis) En nden lterntiv metode til t eftervise ndengrdsligningens løsninger, er en metode, som til dels også benttes til udledning f toppunktsfomlen. I modsætning til det forrige bevis, nskueliggøres de forskellige ntl løsninger ikke her. Udelukkende selve formlen udledes. Et ndengrdspolnomium hr forskriften: f b c Nulpunktsformlen ønskes bevist: b d. Koordinterne til toppunktet kn udledes f følgende omskrivning: f b c Sætter udenfor prentesen b c b b Lægger til og trækker fr 4 4 b c b b 4 4 b b b 4 Kvdrtsætning b c b 4 De to sidste led sættes på fælles brøkstreg b 4c b 4 Der skiftes fortegn i det ndet led b 4c b 4 tter om på leddene i tælleren i det ndet led b b 4c 4 d b 4 b d 4 Det ndet led sættes udenfor prentesen b d 4 c
14 Michel Mndi (07). Grdsligningen Side 4 f 4 Eventuelle nulpunkter vil forekomme for f 0, hvilket ifølge ovenstående omskrivning er det smme som: b d 0 4 f b c b d 0 4 Fltter det ndet led over på den nden side b d 4 Dividerer med b d 4 Tger kvdrtroden på begge sider b d 4 b Isolerer ved t fltte over på den nden side og reducerer b d Sætter på fælles brøkstreg b d Q.E.D.
15 Michel Mndi (07) Toppunktsformlen Side 5 f Toppunktsformlen Et ndengrdspolnomium hr forskriften: f b c Vi ønsker t bevise toppunktsformlen: TP b d ; ; 4. Koordinterne til toppunktet kn udledes f følgende omskrivning: f b c Sætter udenfor prentesen b c b b Lægger til og trækker fr 4 4 b c b b 4 4 b b b 4 Kvdrtsætning b c b 4 De to sidste led sættes på fælles brøkstreg b 4c b 4 Der skiftes fortegn i det ndet led b 4c b 4 tter om på leddene i tælleren i det ndet led b b 4c 4 d b 4 b d 4 Det ndet led sættes udenfor prentesen b d 4 c
16 Michel Mndi (07) Toppunktsformlen Side 6 f 4 Den inderste prentes i det ndet led er opløftet i. potens, så derfor vil den ltid være positiv eller mindst lig med nul. D hele udtrkket er en funktion, hvor er den ufhængige vribel, og d det sidste led ikke indeholder er det dermed det første led, som primært dikterer funktionsværdien. Men prentesen er jo positiv eller nul, og dermed er det som er den strende fktor. Så hvis er positiv, vil b Dvs. når 0, hvilket kun er muligt når På smme måde hvis er negtiv vil er lig med 0, og dermed når positiv. f ntge sin mindste værdi når prentesen er lig med 0. f b. ntge sin største værdi når prentesen b, hvilket ses t være det smme, som for når er I begge tilfælde, vil det første led være lig med 0, og funktionsværdien bliver derfor: b d f, 4 hvilket vil sige, t toppunktet, TP, forekommer for b og d. 4 b d TP ; ; 4 Q.E.D.
17 Michel Mndi (07) Rumfng f prmidestub Side 7 f Rumfng f prmidestub Det ønskes bevist t formlen: V h G g G g er snd. 3 En prmidestub Ikke nødvendigvis kvdrtisk, men rektngulær, dvs. lle vndrette vinkler er 90! Der sættes mål på, idet det ntges t bunden og toppen hr smme form, men blot er skleret med fktoren k. b h Den lodrette fstnd mellem de to vndrette plner Top og und sættes til h k k b Herf kn det ses, t: Grundflde lille b g Grundflde stor k k b k b G G g k b b k b kb G g
18 Michel Mndi (07) Rumfng f prmidestub Side 8 f 4 Prmidestubben inddeles i 3 dele:. Den store ksse i midten (Rød). De fire prismer i siderne (Grøn) 3. De fire prmider i hjørnerne (Cn) Den inderste ksse (rød) beregnes først. Som bekendt er rumfnget f en ksse lig med grundflde gnge med højden. b h D grundflden er den smme som topflden, må rumfnget være lig med: V b h ksse Dernæst kommer de fire prismer, som sidder på hver side f prmidestubben. De sidder, som de ses på næste figur og vises med ls grøn frve. Mn kn indse, t hvis mn tger de prismer, som sidder på bgsiderne f prmidestubben, og drejer dem 80 i forhold til lodret, så kn de lægges smmen med de prismer, som sidder på de modstte sider. Ved denne mnøvre, skl der derved blot regnes på to ksser, som ses med mørkegrøn på næste figur.
19 Michel Mndi (07) Rumfng f prmidestub Side 9 f 4 D sidelængden i bunden er lig med k, må kssernes dbde være lig med hlvdelen f forskellen mellem sidelængden i top og sidelængden i bund, d forskellen fordeles jævnt i begge sider. b k. k k (Og ligeledes for den nden side: Altså er rumfnget f de to ksser: Vsider bk h b k h V b k h sider V bh k sider
20 Michel Mndi (07) Rumfng f prmidestub Side 0 f 4 Til sidst mngler kun de fire prmidehjørner. Her tænkes det for nemheds skld t kssen i midten og de fire sider fjernes, og de fire hjørner (tegnet op med cn frve) stødes smmen. Herved fremkommer en prmide. (tegnet op med mørk blå på efterfølgende figur.) k b k må D bredden på hver enkelt f de fire hjørner er hhv. eller grundflden f de fire prmider tilsmmen være: k bk 4 bk bk. 4 Højden er nturligvis stdig h! Og derfor er rumfnget f prmiden (iflg. formlen for en prmides rumfng): Vprmide hg h bk 3 3 Vprmide b hk 3
21 Michel Mndi (07) Rumfng f prmidestub Side f 4 Der opsummeres, inden det løber løbsk Nu er lle rumfngene for delfigurerne i prmidestubben beregnet: V ksse V bh k sider bh Vprmide bh k 3 Derfor må det totle rel være lig med summen f de tre voluminer. V V V V prmidestub ksse sider prmide Vprmidestub b h b h k b h k 3 Kvdrtsætning: b b b Vprmidestub b h b h k b h 3 k k Gnger ' b' ind i prenteserne V prmidestub b h h k b 3 Gnger ' h' ind i den ene prentes b h k b b k b Vprmidestub b h 3 Gnger og dividerer med '3' for t sætte på fælles brøkstreg h k b h b h k b b k b Vprmidestub h 3 k b h k b b k b 3 3 Fktoriserer og sætter h uden for prentesen 3 Vprmidestub hk b b k b 3 k b 3 Rdder lidt op Vprmidestub hk b b k b 3 Det erindres fr begndelsen: k Vprmidestub h G g 3 G g b G, b g og k b G g Q.E.D.
22 Michel Mndi (07) Sklrprodukt og vinkel mellem vektorer Side f Forholdet mellem sklrprodukt og vinkel mellem vektorer Smmenhængen mellem sklrproduktet og vinklen mellem to givne vektorer, b c b og b, ønskes bevist. Desuden findes c b c b Det er vigtigt t huske, t selve sklrproduktet er defineret som: b b b. ^ A ; c b b ; C c c ; b > Af figuren ses det, t: CA b C b b c A b b Cosinusreltionen (se tidligere bevis), giver f.eks.: c b bcos C Ved t indsætte de fundne udtrk for længderne f vektorerne, b og c, som jo netop svrer til siderne, b og c i treknten, fås følgende:
23 Michel Mndi (07) Sklrprodukt og vinkel mellem vektorer Side 3 f 4 c b b cos C Indsætter værdierne fr tegningen b b b b b cosc Kvdrtrod i nden potens ophæver sig selv b b b b b cosc b Kvdrtsætninger b b Reducerer Dividerer igennem med b b b b cos C b b b cos C b b b cosc Vi husker, t sklrproduktet er defineret som: b b b b b cos C Q.E.D.
24 Michel Mndi (07) Tre-trins-reglen for differentilkvotienter Side 4 f 4 rins-modellen 0 - Tre-trins-reglen for differentilkvotienter generelt Ønsket med dette bevis er t vise, t hældningen på en funktion i et givet punkt, kn f f defineres som differentilkvotienten f ' lim lim 0 0 Det er noget f en påstnd! Ld os begnde fr begndelsen. Givet er en funktion, f, hvis kurve er beliggende i et lmindeligt koordintsstem. Se figur. Funktionen f er fbildet som den blå kurve. f f () P Figur : Grfen for funktionen f med punktet P Det ønskes t bestemme funktionens hældning i punktet P. Punktet P betrgtes. Ved nærmere observtion opdges det, t punktet P kn projiceres lodret ned på -ksen i værdien. Således kn dette punkt være hvor som helst på funktionen. Den eneste betingelse er dog, t funktionen skl være differentibel og dermed også kontinuert i dette punkt smt i det område, som undersøges. (Kontinuitet og differentibilitet beskrives i et ndet nott). Der er nturligvis også en funktionsværdi i punktet P. Den er som normlt lig med f. Dette indses ved t projicere punktet P vndret ind på -ksen. Hældningen i dette punkt, kn bestemmes ved en kendt geometrisk figur. Det er tngenten, t, som berører funktionen i ét og kun et punkt nemlig i punktet P. Se figur. Tngenten er den røde linie. Tngenten kendetegnes ved t hve smme hældning, som funktionen i netop røringspunktet. Hold godt fst på denne tngent! Den er vigtig, og vil blive detljeret beskrevet senere
25 Michel Mndi (07) Tre-trins-reglen for differentilkvotienter Side 5 f 4 t f f () P Figur : Tilføjet tngenten i punktet P (Den røde linie) Et ndet punkt, Q, introduceres, som også er beliggende på funktionen. For nemheds skld ligger Q til højre for P på kurven i dette tilfælde. Nturligvis kn punktet Q ligge hvor som helst ltså også til venstre for P, og det er kun f pædgogiske årsger, t punkternes beliggenhed er vlgt således. Den vndrette fstnd mellem P og Q sættes til. Smbolet (Det græske bogstv, store delt) er kendt fr bl.. fsikken og bruges i forbindelse med tilvækst, forndring, ændring eller udvidelse. I dette tilfælde er det forskellen på hhv. punkterne P og Q s -værdier. D punktet P s -værdi blot kendes som, og dermed ikke kn beskrives nderledes, må punktet Q s -værdi være lig med:. t f f (+Δ) f () P Q Figur 3: Tilføjet punktet Q +Δ På smme måde, som for punktet P, findes funktionsværdien til punktet Q. D er punktet Q s -værdi, må den tilhørende funktionsværdi nødvendigvis f. Se figur 3. være lig med: Det kn godt være lidt bstrkt med funktionsværdien i punkt Q. Måske kn det hjælpe t tænke på, t hvis -værdien er 8, så kn funktionsværdien skrives som f(8), ltså hvor mn indsætter tlværdien 8 på lle pldser, hvor der står. Så hvis mn i stedet indsætter -værdien f., så må funktionsværdien være:
26 Michel Mndi (07) Tre-trins-reglen for differentilkvotienter Side 6 f 4 Således hves nu to veldefinerede punkter, beliggende på kurven for P ; f og ; Q + f +. f, nemlig Den vndrette fstnd mellem P og Q er jo llerede givet som i -værdien. Se figur 4. ltså ændringen Men hvd med den lodrette fstnd? Af figuren ses, t den kn findes som f + f ltså funktionsværdien i pkt. Q minus funktionsværdien i pkt. P. For nemheds skld kldes denne lodrette fstnd for ltså den lodrette tilvækst (fstnd) mellem P og Q. Se figur 4. I dette forklrende eksempel er punkterne konstrueret således, t f + er beliggende over (højere end) f. Igen er dette f pædgogiske årsger, for t forenkle figurerne og forklringerne. Senere i dette nott beskrives det hvd der sker, hvis de to funktionsværdier btter plds. t f f (+Δ) f () P Q Δ Figur 4: estemmer Δ og Δ +Δ Δ Der tegnes nu en streg, s (grøn linie), som går igennem de to punkter P og Q. Denne linie kldes for en seknt. (Seknt, (f ltin secns, 'skære'), i mtemtik en linje gennem to punkter på en kurve.) t s f f (+Δ) f () P Q Δ Figur 5: Indfører seknten, s (Grøn linie) +Δ Δ
27 Michel Mndi (07) Tre-trins-reglen for differentilkvotienter Side 7 f 4 etrgtes seknten mellem P og Q som hpotenusen i den retvinklede treknt der dnnes, som vist på tegningen (den lill treknt på figur 6), kn hældningen f hpotenusen udregnes. Det er denne størrelse, som fremover vil blive refereret til som differenskvotienten ltså forholdet mellem ændringen i -retningen og i -retningen for en seknt. t s f f (+Δ) f () P Q Δ Figur 6: Den retvinklede treknt +Δ Δ Det erindres fr trigonometrien og den nltiske plngeometri: Hældningen: modstående ktete sin hosliggende ktete cos modstående ktete Hvis der tges udgngspunkt i, kn det i figuren flæses, t hosliggende ktete hpotenusens det vil i dette her tilfælde sige sekntens hældning (eller differenskvotient) må være det smme som:. tn Dette er et meget vigtigt punkt i beviset, så derfor opsummeres, hvd der er konkluderet indtil nu Givet en funktion med et punkt P. Hældningen i dette punkt ønskes bestemt, så derfor ønskes funktionens tngent i punktet P, idet tngenten og funktionen må hve smme hældning. Dernæst sættes endnu et punkt Q på funktionen. Mellem punkterne P og Q, tegnes en seknt. Ved hjælp f en simpel trigonometrisk betrgtning, findes sekntens hældning (differenskvotient) t være lig med:. Nu er det dog tngentens hældning der søges, og ikke sekntens. Derfor undersøges hvd der sker, hvis Δ bliver mindre f.eks. hlveret.
28 Michel Mndi (07) Tre-trins-reglen for differentilkvotienter Side 8 f 4 t s f (+Δ) f () P Q Δ s tidligere f Figur 7: Den vndrette fstnd mellem og Δ hlveres. Δ +Δ Som det fremgår f ovenstående figur, fltter seknten sig, når Δ hlveres. Det er jo klrt, for hele figuren skl jo tegnes om, når punkt Q fltter sig nærmere. Så seknten flttes, som ntdet f den ornge pil på tegningen. Det ses, t den ne seknt er tættere på tngenten end den oprindelige seknt vr. Dette skldes til dels t eksemplet er konstrueret således t seknten visuelt nærmer sig tngenten, men unset sekntens hældning, så vil den komme nærmere tngenten, når Δ mindskes. t s f f (+Δ) f () P Q Δ Figur 8: Den vndrette fstnd mellem og Δ hlveres en gng mere. +Δ Δ På figuren ovenfor er det tdeligt, t seknten er på vej over mod tngenten. Det er også indlsende, t fstnden Δ bliver mindre og mindre. Hr mn fntsi nok, kn mn forestille sig, t fstnd en Δ til sidst bliver så lille, t den fktisk er lig med 0. Hvd vil der ske, hvis Δ = 0? Forestiller mn sig problemet i bevægelse, vil mn se, t som Δ nærmer sig 0, så vil seknten dreje sig, så den kommer nærmere og nærmere tngenten. Når Δ er lig med 0 (det vil den ldrig blive, men den kommer så tæt på, t den nok er god nok ), så vil seknten være lig med tngenten. Dette kn skrives som, t når Δ nærmer sig 0, så vil differenskvotienten blive lig med differentilkvotienten.
29 Michel Mndi (07) Tre-trins-reglen for differentilkvotienter Side 9 f 4 Når mn i mtemtik vil skrive t noget nærmer sig en bestemt værdi, omtler mn det som grænseværdien, når en værdi fltter sig mod en konstnt. Den mtemtiske nottion for en grænseværdi stmmer fr det ltinske udtrk: limes, som betder grænse. Det kendes også fr engelsk, hvor limit også betder grænse. ionen for grænseværdi er som vist i det følgende eksempel: lim 0 I det ovenstående eksempel betder det, t grænseværdien (lim) for gående imod uendeligt i udtrkket: er lig med 0, idet mn forestiller sig, t divideret med et meget stort tl vil blive tæt på 0. Det er dog muligt t forestille sig, t mn dividerer med et tl som er endnu større end det meget store tl, hvilket vil betde t udtrkkets værdi kommer endnu tættere på 0. I dette tilfælde ltså i beviset for differentilkvotienten der kn grænseværdien skrives som: f f f ' lim lim. 0 0 Eller for t skrive det på dnsk : Differentilkvotienten, som er funktionens hældning i et bestemt punkt, beskrives som hældningen f den linje, som fremkommer, når en seknt, som går igennem punktet smt et ndet punkt, drejes ved t det ndet punkt nærmer sig det første punkt lngs funktionen.
30 Michel Mndi (07) Tre-trins-reglen for differentilkvotienter Side 30 f 4 Alt dette kn smmenfttes til en Tre-trins-model (Her beskrevet som: Hvd skl mn gøre?, Hvd betder det på dnsk?, Hvordn gør mn det? og så et ) Find funktionstilvæksten: f f f eksempel med udgngspunkt i funktionen:. Dette er forskellen i funktionsværdierne (-værdierne) mellem de to punkter, som udgør bsen for seknten. Indsæt i stedet for i funktionsudtrkket og subtrher derefter med selvefunktionsudtrkket. f f ) Find differenskvotienten:. Dette er hældningen f en vilkårlig seknt. Tg resulttet fr punkt ) og divider med. Hvis det er muligt, så er det en rigtig god ide t reducere udtrkket så meget som muligt. f ' lim. Dette er hældningen f seknten, når fstnden mellem sekntens to punkter er så tæt på hinnden, t de lige så godt kunne være 0. Tg resulttet fr punkt ) og erstt lle forekomster f med 0. f ' lim lim 0 0 3) Find differentilkvotienten: 0 f ' Q.E.D.
31 Michel Mndi (07) Den rette linje Side 3 f 4 - Den rette linje Det ønskes t vise, t hældningen på en ret linie mellem to punkter kn skrives som:. Ydermere ønsker vi t bevise, t b. En ret linie er lmindeligvis defineret som en funktion f b, for hvilken der for to vilkårlige punkter på funktionen gælder, t. er en konstnt, som beskriver funktionens hældning. Tænk på hældningen, som t gå et vndret skridt (som regel mod højre) og et lodret skridt (op eller ned). Afhængigt f, hvor store skridtene er, beskrives hældningen som mere eller mindre stejl. Tger mn f.eks. et meget stort skridt til højre, og et lille bitte skridt op, så er hældningen meget lille (og positiv). Tger mn et lille skridt til højre og et kæmpe skridt nedd, så er hældningen meget stor (og negtiv). Det er ltså det lodrette skridt, som bestemmer om hældningen er positiv eller negtiv. Går mn opd mod højre, er hældningen positiv. Går mn nedd mod højre er hældningen negtiv. I specielle tilfælde, kn det være en fordel t tænke på, t mn går mod venstre, og så er det hele bre omvendt. Så nu er det ltså nødvendigt t finde ud f, hvor store skridtene er hend og opd. Enhver linie kn indlægges i et krtesisk (et normlt retvinklet) koordintsstem. Det vil smtidig sige, t de to punkter (som jo ligger på linien) også er i det smme koordintsstem. D det er retvinklet, må der ltså findes en vndret fstnd og en lodret fstnd mellem de to punkter. Det er nu muligt t indføre et tredje punkt, som er vribelt. Det kn i teorien ligge hvor P ; og P ; er de to fste punkter, kn det som helst på linien. Hvor vrible punkt kldes for P ;. På en ret linie, må lle punkter hve en indbrdes lige stor hældning - unset, hvor punkterne ligger på linien. Det er derfor t er konstnt. D hældningen er konstnt, opstiller vi hældningen for to punktsæt. Det ene punktsæt er P og P og det ndet er P og P.
32 Michel Mndi (07) Den rette linje Side 3 f 4 Dvs. t: Udtrkket kn derfor omskrive til: igningen". Ligningen på denne form kldes også for "Tngentl Vi husker, t. gnges ind i prentesen og der lægges til på begge sider. er begge konstntled, Der er ingen ukendte vrible og kn smles under det ne nvn: b. b Q.E.D.
33 Michel Mndi (07) Eksponentilfunktionen Side 33 f 4 - Eksponentilfunktionen Det ønskes bevist, t forskriften for en eksponentilfunktion med ligningen: f b P ; og P ; som, 0, kn findes, hvis mn hr to punkter: grfen går igennem. Definition: Ved en potensfunktion forstås en funktion f med forskriften:, hvor og f b b er tlkonstnter. Der gælder t: og b evis: D og,, begge ligge på grfen for f, må der gælde t: b og b divideres med : b b Husk fr tidligere: p p Husk fr tidligere: n p n p
34 Michel Mndi (07) Eksponentilfunktionen Side 34 f 4 Der mngler stdig formlen for b. Det er tidligere givet t: b eller b Der divideres med -fktoren. b b b eller b b b Er det i forbindelse med en opgve, hvor mn bliver bedt om t ngive funktionsforskriften, så er det vigtigt t smle og b i det smlede udtrk: f b Q.E.D.
35 Michel Mndi (07) Fordoblings- og hlveringskonstnter Side 35 f Fordoblingskonstnten Fordoblingstiden T for en voksende eksponentilfunktion T hvilket ønskes bevist. log log, f b er givet ved: evis: f 0 b b b Det må være således, t 0 Funktionsværdien til tiden t 0 (hvornår det så end er), er ltså b. emærk, t det ikke er vigtigt t kende det præcise begndelsestidspunkt, d fordoblingskonstnten jo er den tid, som der til ethvert tidspunkt skl gå, før end t funktionsværdien er blevet fordoblet. Dog må det være en kendsgerning, t den dobbelte funktionsværdi f b må være b! Vi indsætter ltså funktionsværdien b i forskriften og isolerer. f b b b log log Idet det huskes, t: log log log log log log Q.E.D.
36 Michel Mndi (07) Fordoblings- og hlveringskonstnter Side 36 f Hlveringskonstnten Det ønskes bevist, t hlveringstiden T for en ftgende eksponentilfunktion f b er givet ved: evis: T log log f 0 b b b Det må være således, t 0 Funktionsværdien til tiden t 0 (hvornår det så end er), er ltså b. emærk, t det ikke er vigtigt t kende det præcise begndelsestidspunkt, d hlveringskonstnten jo er den tid, som der til ethvert tidspunkt skl gå, før end t funktionsværdien er blevet hlveret. Dog må det være en kendsgerning, t den hlve funktionsværdi f b må være b! Vi indsætter ltså funktionsværdien b i forskriften og isolerer. f b b b log log Idet det huskes, t: log log log log log log Q.E.D.
37 Michel Mndi (07) Arelberegning f n-sidet polgon ved brug f determinnt Side 37 f Arelberegning f n-sidet polgon ved brug f determinnt A 3 3 n knt 3 3 n n 3 n 3 n n n eviset kn gennemføres som et induktionsbevis. Det vides fr tidligere (og fr bogen), t formlen er snd for en treknt n 3. Det ntges, t det også er sndt for ethvert n, og t det også gælder for n. Givet en polgon med n sider, som er nvngivet mod uret. A 3 3 n 3 3 n n n n Sorterer efter positive og negtive led. A n 3 n 3 n P P n P P 3 Dette er ltså relet f det grønne mrkerede område, i det omfng t punkterne er givet i rækkefølge mod uret. Nu tilføjes et ekstr punkt. Punkt nr. n. Det vil nturligvis ændre det smlede rel f polgonen, og ændringen (og den gule mrkering på næste figur), er præcis relet f den just dnnede treknt. Den ne (gule) treknt hr koordintpunkterne: P ; n n n P ; n n n P ; P n+ P n P Arelet f den ne gule treknt, A t, er givet ved den smme formel: P P 3 Induktion er en bestemt tpe mtemtisk bevis, som er meget velegnet til t bevise t en mtemtisk hpotese er snd for lle nturlige tl, eller ndre tlmængder, som er velordnet. Induktionsprincippet består f skridt: bsisskridtet (induktionsstrten, strtbetingelsen) og induktionsskridtet.. sisskridt: I bsisskridtet beviser mn t hpotesen er snd ved det mindste tl i tlmængden. Dette er tpisk, d mn ofte vil bevise sætningen for de nturlige tl.. Induktionsskridt: I induktionsskridtet beviser mn, t hvis hpotesen gælder for tllet n (denne ntgelse kldes induktionsntgelsen), så gælder den også for tllet n+. På denne måde kn mn bevise t hpotesen gælder for lle hele tl fr bsisskridtet og opefter. Hvis tilfælde er snd, så er tilfælde også snd, d tilfælde er snd. Så er 3 også snd, når er snd, osv. Dette princip kn smmenlignes med dominoeffekten. Hvis mn hr en lng række dominobrikker stående efter hinnden, kn mn udlede følgende:. sisskridt: Den første dominobrik vælter.. Induktionsskridt: Når en dominobrik vælter, vil den næste vælte. Derfor vil lle dominobrikker vælte. Kilde: Induktion (Mtemtik) :5
38 Michel Mndi (07) Arelberegning f n-sidet polgon ved brug f determinnt Side 38 f 4 n n A n n t n n n n n n n n n n Sorterer efter positive og negtive led. A t n n n n n n n n Det smlede rel f n -knten er ltså relet f den oprindelige n -knt, rel, A t. A A A n n t A n, dderet med det ne A n 3 n 3 n n n n n n n n n A n 3 n 3 n n n n n n n n n A n 3 n n n 3 n n n Hvilket beviser ved induktion, t formlen er rigtig! Mn kunne her indvende: Hvd nu, hvis det ne punkt vr på indersiden f den originle polgon? I det tilfælde ville den ne treknt, Pn, Pn, P blive nvngivet i rækkefølge med uret, og ikke mod uret. Så ville relet f den ne treknt, A, blive udregnet som negtivt. Den lgebriske ddition f trekntens rel til den oprindelige n -knt, n -knt, An. t A n, resulterer således i et nt og mindre rel f den ne Q.E.D. Dette bevis er væsentligt inspireret f beviset, som findes på Internetsiden: , 9:53 Dog er der tilføjet ekstr oplsninger og udregninger smt indlsende nok en oversættelse.
39 Michel Mndi (07) Tværvektor Side 39 f Tværvektor Givet en vektor,, som kn noteres ved sin længde,, og vinkel, v, i forhold til -ksen. cos v sin v Tværvektoren â til vektor, er drejet 90 i den positive omløbsretning i forhold til vektor, og som hr smme længde som vektor. cos v 90 ˆ sin v 90 Yderligere vides det fr den klssiske geometri t: v v cos 90 sin, og v v sin 90 cos Altså kn det konkluderes: v cos v 90 sin ˆ sin v 90 cos v hvilket sluttelig skrives som: ˆ Q.E.D.
40 Michel Mndi (07) gn Side 40 f 4 log b ( ) = log b ( )! log b ( ) = log 0 log ( ) 0 log b ( ) ( ) og b omskrives vh. : = 0 log ( )! log b ( ) = log 0 log ( )+log b ( ) ( ) Her omskrives vh potensreglen: = +! log b ( ) = log ( )+ log b ( ) Her benttes: log 0 ( ) =
41 Michel Mndi (07) gn Side 4 f 4
Michel Mandix (2010) INDHOLDSFORTEGNELSE:... 2 EN TREKANTS VINKELSUM... 3 PYTHAGORAS LÆRESÆTNING... 4 SINUSRELATIONERNE... 4 COSINUSRELATIONERNE...
MATEMATIK NOTAT MATEMATISKE EVISER AF: CAND. POLYT. MICHEL MANDIX SIDSTE REVISION: FERUAR 04 Michel Mndi (00) Side f 35 Indholdsfortegnelse: INDHOLDSFORTEGNELSE:... EN TREKANTS VINKELSUM... 3 PYTHAGORAS
Læs mereMichel Mandix (2017) Derfor er der behov for en række værktøjer, som kan bruges også til de vilkårlige trekanter. a b c A B C
Mihel Mndix (07) Sinusreltionen Nott Side f 9 Sinusreltionen Indtil videre, er der kun eskrevet, hvordn mn eregner på retvinklede treknter. Men desværre er det lngtfr lle treknter, som er retvinklede.
Læs mereMatematik. Kompendium i faget. Tømrerafdelingen. 1. Hovedforløb. a 2 = b 2 + c 2 2 b c cos A. cos A = b 2 + c 2 - a 2 2 b c
Kompendium i fget Mtemtik Tømrerfdelingen 1. Hovedforlø. Trigonometri nvendes til eregning f snd længde og snd vinkel i profiler. Sinus Cosinus Tngens 2 2 + 2 2 os A os A 2 + 2-2 2 Svendorg Erhvervsskole
Læs mereMatematikkens sprog INTRO
Mtemtikkens sprog Mtemtik hr sit eget sprog, der består f tl og symboler fx regnetegn, brøkstreger bogstver og prenteser På mnge måder er det ret prktisk - det giver fx korte måder t skrive formler på.
Læs mereLektion 7s Funktioner - supplerende eksempler
Lektion 7s Funktioner - supplerende eksempler Oversigt over forskellige tper f funktioner Omvendt proportionlitet og hperler.grdsfunktioner og prler Eksponentilfunktioner Potensfunktioner Lektion 7s Side
Læs mereTAL OG BOGSTAVREGNING
TAL OG BOGSTAVREGNING De elementære regnerter I mtemtik kn vi regne med tl, men vi kn også regne med bogstver, som gør det hele en smugle mere bstrkt. Først skl vi se lidt på de fire elementære regnerter,
Læs mereDet dobbelttydige trekantstilfælde
Det dobbelttydige trekntstilfælde Heine Strømdhl, Københvns Kommunes Ungdomsskoler Formålet med denne rtikel er t formulere en meget simpel grfisk løsningsmetode til det dobbelttydige trekntstilfælde med
Læs mere3. Vilkårlige trekanter
3. Vilkårlige treknter 3. Vilkårlige treknter I dette fsnit vil vi beskæftige os med treknter, der ikke nødvendigvis er retvinklede. De formler, der er omtlt i fsnittet om retvinklede treknter, kn ikke
Læs mere... ... ... ... ... ... ... b > 0 og x > 0, vil vi kalde en potensfunktion. 492 10. Potensfunktioner
POTENSFUNKTIONER 0 49 0. Potensfunktioner POTENSFUNKTIONER DEFINITION En funktion med forskriften f( )= b hvor b > 0 og > 0 vil vi klde en potensfunktion. I MAT C kpitel så vi t hvis skl være et vilkårligt
Læs mereTrigonometri. Trigonometri. Sinus og cosinus... 2 Tangens... 6 Opgaver... 9. Side 1
Trigonometri Sinus og osinus... 2 Tngens... 6 Opgver... 9 Side Sinus og osinus Til lle vinkler hører der to tl, som kldes osinus og sinus. Mn finder sinus og osinus til en vinkel ved t tegne vinklen midt
Læs mereMatematik B-A. Trigonometri og Geometri. Niels Junge
Mtemtik B-A Trigonometri og Geometri Niels Junge Indholdsfortegnelse Indledning...3 Trigonometri...3 Sinusreltionen:...6 Cosinusreltionen...7 Dobbeltydighed...7 Smmendrg...8 Retvinklede treknter...8 Ikke
Læs mere2 Erik Vestergaard
Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk 3 Definition 1 En funktion på formen f ( x) = b x, x R +, hvor b R + og R er konstnter, kldes for en potensudvikling eller en potensiel
Læs mereFormelsamling Matematik C Indhold
Formelsmling Mtemtik C Indhold Eksempler på besvrelser, lin, eksp, pot, geo... Tl, regneopertioner og ligninger... 6 Ligninger... 7 Geometri... 0 Funktioner og modeller... 3 Lineær funktion... 3 Procentregning...
Læs mereAnalysens Fundamentalsætning
Anlysens Fundmentlsætning Frnk Nsser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun nvendes til undervisning i klsser som bonnerer på MtBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereLektion 6 Bogstavregning
Lektion Bogstvregning Formler... Reduktion... Ligninger... Lektion Side 1 Formler En formel er en slgs regne-opskrift, hvor mn med bogstver viser, hvorledes noget skl regnes ud. F.eks. formler til beregning
Læs mereSimple udtryk og ligninger
Simple udtryk og ligninger for gymnsiet og hf 0 Krsten Juul Indhold Rækkefølge f + og... Smle led f smme type... Gnge ind i prentes. del... Rækkefølge f og smt f + og... Gnge ind i prentes. del... Hæve
Læs mereElementær Matematik. Analytisk geometri
Elementær Mtemtik Anltisk geometri Ole Witt-Hnsen 0 Indhold. koordintsstemet.... Afstndsformlen.... Liniens ligning...4 4. Ortogonle linier...7 5. Liniers skæring. To ligninger med to uekendte....7 6.
Læs merePotens- sammenhænge. inkl. proportionale og omvendt proportionale variable. 2010 Karsten Juul
Potens- smmenhænge inkl. proportionle og omvendt proportionle vrible 010 Krsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse f hæftet "Eksponentielle smmenhænge, udgve ". Indhold 1. Hvd er en potenssmmenhæng?...1.
Læs mereTrigonometri. Matematik A niveau
Trigonometri Mtemtik A niveu Arhus Teh EUX Niels Junge Trigonometri Sinus Cosinus Tngens Her er definitionen for Cosinus Sinus og Tngens Mn kn sige t osinus er den projierede på x-ksen og sinus er den
Læs mereFormelsamling Matematik C Indhold
Formelsmling Mtemtik C Indhold Eksempler på esvrelser, lin, eksp, pot, geo... Tl, regneopertioner og ligninger... 6 Ligninger... 7 Geometri... 9 Funktioner og modeller... Lineær funktion... Procentregning...
Læs mereEksponentielle Sammenhænge
Kort om Eksponentielle Smmenhænge 011 Krsten Juul Dette hæfte indeholder pensum i eksponentielle smmenhænge for gymnsiet og hf. Indhold 1. Procenter på en ny måde... 1. Hvd er en eksponentiel smmenhæng?....
Læs mereElementær Matematik. Trigonometri
Elementær Mtemtik Trigonometri Ole Witt-Hnsen 11 Indhold 1. Vinkler...1. Sinus, osinus og tngens...3.1 Overgngsformler...4 3. Den retvinklede treknt...6 4. Den lmindelige treknt. Sinus og osinus reltionerne...8
Læs mereBogstavregning. for gymnasiet og hf Karsten Juul. a a
Bogstvregning for gymnsiet og hf 010 Krsten Juul Til eleven Brug lynt og viskelæder når du skriver og tegner i hæftet, så du får et hæfte der er egenet til jævnligt t slå op i under dit videre rejde med
Læs mereGrundlæggende funktioner
Grundlæggende funktioner for A-niveu i st Udgve 5 018 Krsten Juul Grundlæggende funktioner for A-niveu i st Procent 1. Procenter på en ny måde... 1. Vækstrte... 3. Gennemsnitlig procent... Lineær vækst
Læs meregudmandsen.net y = b x a Illustration 1: potensfunktioner i 5 forskellige grupper
gudmndsen.net Dette dokument er publiceret på http://www.gudmndsen.net/res/mt_vejl/. Ophvsret: Indholdet stilles til rådighed under Open Content License[http://opencontent.org/openpub/]. Kopiering, distribution
Læs mereALGEBRA. symbolbehandling). Der arbejdes med hjælpemiddelkompetencen,
INTRO Alger er lngt mere end ogstvregning. Alger kn være t omskrive ogstvtrk, men lger er f også t generlisere mønstre og smmenhænge, t eskrive smmenhænge mellem tlstørrelse f i forindelse med funktioner
Læs mereDiverse. Ib Michelsen
Diverse Ib Michelsen Ikst 2008 Forsidebilledet http://www.smtid.dk/visen/billede.php?billedenr69 Version: 0.02 (2-1-2009) Diverse (Denne side er A-2 f 32 sider) Indholdsfortegnelse Regning med procent
Læs mereProjekt 6.5 Vektorers beskrivelseskraft
Hvd er mtemtik? ISBN 978877066879 Projekt 65 Vektorers eskrivelseskrft Indhold Vektorer i gymnsiet Linjestykker og prllelogrmmer Bevis inden for den klssiske geometri Bevis med nvendelse f vektorer 3 Digonlerne
Læs mereRegneregler for brøker og potenser
Regneregler for røker og potenser Roert Josen 4. ugust 009 Indhold Brøker. Eksempler......................................... Potenser 7. Eksempler......................................... 8 I de to fsnit
Læs mereKompendium. Matematik HF C niveau. Frederiksberg HF Kursus. Lars Bronée 2014
Kompendium Mtemtik HF C niveu π Frederiksberg HF Kursus Lrs Bronée 04 Mil: post@lrsbronee.dk Web: www.lrsbronee.dk Indholdsfortegnelse: Forord Det grundlæggende Ligningsløsning 8 Procentregning Rentesregning
Læs mereProjekt 8.4 Logaritmefunktionerne
Hvd er mtemtik? Projekter: Kpitel 8. Projekt 8.4 Logritmefunktionerne Projekt 8.4 Logritmefunktionerne Indhold. log( ) og 0 som omvendte funktioner... 2 2. Den nturlige logritmefunktion, ln( ) og den nturlige
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 17
Mtemtisk modellering og numeriske metoder Lektion 1 Morten Grud Rsmussen 8. november, 1 1 Numerisk integrtion og differentition [Bogens fsnit 19. side 84] 1.1 Grundlæggende om numerisk integrtion Vi vil
Læs mereProjekt 5.7 Hovedsætninger om differentiable funktioner et opgaveforløb
Hvd er mtemtik?, e-og Projekter: Kpitel 5 Projekt 57 Hovedsætninger om differentile funktioner Projekt 57 Hovedsætninger om differentile funktioner et opgveforlø Projektet er en udvidelse f fsnittet i
Læs mere1,0. sin(60º) 1,0 cos(60º) I stedet for cosinus til 60º og sinus til 60º skriver man cos(60º) og sin(60º).
Mtemtik på VU Eksempler til niveu F, E og D Til lle vinkler hører der to tl, som kldes osinus og sinus. Mn finder sinus og osinus ved først t tegne vinklen i et koordint-system som vist til venstre. Derefter
Læs mereTAL OG REGNEREGLER. Vi ser nu på opbygningen af et legeme og noterer os samtidig, at de reelle tal velkendte regneoperationer + og er et legeme.
TAL OG REGNEREGLER Inden for lgeren hr mn indført egreet legeme. Et legeme er en slgs konstruktion, hvor mn fstsætter to regneregler og nogle sætninger (ksiomer), der gælder for disse. Pointen med en sådn
Læs mereRetningslinjer for bedømmelsen Georg Mohr-Konkurrencen runde
Retningslinjer for bedømmelsen Georg Mohr-Konkurrencen 016. runde Besvrelser som flder uden for de løsninger som ligger til grund for pointskemerne, bedømmes ved nlogi så skridt med tilsvrende vægt i den
Læs meregudmandsen.net Geometri C & B
gudmndsen.net Geometri C & B Indholdsfortegnelse 1 Geometri & trigonometri...2 1.1 Område...2 2 Ensvinklede treknter...3 2.1.1 Skleringsfktoren...4 3 Retvinklede treknter...5 3.1 Pythgors lærersætning...5
Læs merePointen med Integration
Pointen med Integrtion Frnk Vill 3. oktober 2012 2008-2012. IT Teching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Dette dokument må kun nvendes til undervisning i klsser som bonnerer på MtBog.dk. Se yderligere
Læs mereGeometrinoter 2. Brahmaguptas formel Arealet af en indskrivelig firkant ABCD kan tilsvarende beregnes ud fra firkantens sidelængder:
Geometrinoter 2, jnur 2009, Kirsten Rosenkilde 1 Geometrinoter 2 Disse noter omhndler sætninger om treknter, trekntens ydre røringscirkler, to cirklers rdiklkse smt Simson- og Eulerlinjen i en treknt.
Læs mereIntegralregning. 2. del. 2006 Karsten Juul
Integrlregning del ( ( 6 Krsten Juul Indhold 6 Uestemt integrl8 6 Sætning om eksistens stmunktioner 8 6 Oplæg til "regneregler or integrl"8 6 Regneregler or uestemt integrl 9 68 Foreredelse til "integrtion
Læs merePointen med Integration
Pointen med Integrtion Frnk Nsser 20. pril 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun nvendes til undervisning i klsser som bonnerer på MtBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er en
Læs mereErik Vestergaard www.matematikfysik.dk. Erik Vestergaard, 2009.
Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk Erik Vestergrd, 009. Billeder: Forside: Collge f billeder: istock.com/titoslck istock.com/yuri Desuden egne fotos og illustrtioner Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk
Læs mereFælles for disse typer af funktioner er, at de som grundfunktion indeholder varianter af udtrykket x a.
5. FORSKRIFT FOR EN POTENSFUNKTION Vi hr i vores gennemgng f de forskellige funktionstper llerede være inde på udtrk, som indeholder forskellige potenser f I dette kpitel skl vi se på forskellige tper
Læs mereElementær Matematik. Vektorer i planen
Elementær Mtemtik Vektorer i plnen Køge Gymnsium 0 Ole Witt-Hnsen Indhold. Prllelforskydninger i plnen. Vektorer.... Sum og differens f to vektorer... 3. Multipliktion f vektor med et tl...3 4. Opløsning
Læs mereFormelsamling Mat. C & B
Formelsmling Mt. C & B Indhold BRØER... PARENTESER...3 PROCENT...4 RENTE...5 INDES...6 GEOMETRI... Arel f treknt... Vinkelsum i en treknt... Ens- vinklede treknter... Vilkårlig treknt... Ret- vinklet treknt...8
Læs mereGeometriske egenskaber & sammenhæng - Fase 3
Nvn: Klsse: Geometriske egensker smmenhæng - Fse 3 Vurdering fr 1 til 5 (hvor 5 er højst) Læringsmål Selv Lærer eviser og forslg til foredring 1. Jeg kender til og kn ruge Pythgors lærersætning. 2. Jeg
Læs mereMatematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 2. Trigonometri
Mtemtikkens mysterier - på et oligtorisk niveu f Kenneth Hnsen 2. Trigonometri T D Hvd er fstnden fr flodred til flodred? 2. Trigonometri og geometri Indhold.0 Indledning 2. Vinkler 3.2 Treknter og irkler
Læs mereMATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX)
Silkeorg -0- MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX) FACITLISTE Udrejdet f mtemtiklærere fr HF, HHX, HTX & STX. PS: Hvis du opdger
Læs mereProjekt 7.8 To ligninger med to ubekendte
Projekt 78 To ligninger med to uekendte Den opgve t skulle løse to ligninger med to uekendte er vi stødt på i en række speciltilfælde under ehndlingen f vækstmodellerne: Funktionstype Ligningssystem Lineær
Læs mereMatematik A. Højere teknisk eksamen. Formelsamling til delprøve 1
Mtemtik A Højere teknisk eksmen Formelsmling til delprøve Mtemtik A Højere teknisk eksmen Formelsmling til delprøve Forfttere: Jytte Melin og Ole Dlsgrd April 209 ISBN: 978-87-603-3238-8 (web udgve) Denne
Læs mereElementær Matematik. Plangeometri
Elementær Mtemtik Plngeometri Ole Witt-Hnsen Køge Gymnsium 006 Kp Indhold. Plngeometriens Aksiomer.... Vinkler.... Et pr simple geometriske sætninger...3 Kp. Trekntskonstruktion...5. Kongruenssætningerne...5.
Læs mereNy Sigma 9, s Andengradsfunktioner med regneforskrift af typen y = ax + bx + c, hvor a 0.
Ny Sigm 9, s 110 Andengrdsfunktioner med regneforskrift f typen y = x + x + c, hvor 0 Lineære funktioner (førstegrdsfunktioner) med regneforskrift f typen y = αx + β Grfen for funktioner f disse typer
Læs mereMATEMATISK FORMELSAMLING
MATEMATISK FORMELSAMLING GUX Grønlnd Mtemtisk formelsmling til B-niveu, GUX Grønlnd Deprtementet for uddnnelse 05 Redktion: Rsmus Andersen, Jens Thostrup MtemtiskformelsmlingtilB-niveu GUX Grønlnd FORORD
Læs mereKort om Potenssammenhænge
Øvelser til hæftet Kort om Potenssmmenhænge 2011 Krsten Juul Dette hæfte indeholder bl.. mnge småspørgsmål der gør det nemmere for elever t rbejde effektivt på t få kendskb til emnet. Indhold 1. Ligning
Læs mereEksamensopgave august 2009
Ib Michelsen, Viborg C / Skive C Side 1 09-04-011 1 Eksmensopgve ugust 009 Opgve 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 13 14 15 16 17 18 19 0 1 Givet ovenstående ensvinklede treknter. D treknterne er ensvinklede, er
Læs mereImplicit differentiation Med eksempler
Implicit fferentition Implicit fferentition Indhold. Implicit fferentition.... Tngent til ellipse og hperel... 3. Prisme i hovedstillingen...3 3. Teoretisk rgument for hovedstillingen...4 Ole Witt-Hnsen
Læs mereRegneregler. 1. Simple regler for regning med tal.
Regneregler. Simple regler for regning med tl. Vi rejder l.. med følgende fire regningsrter: plus (), minus ( ), gnge () og dividere (: eller røkstreg, se senere), eller med fremmedord : ddition, sutrktion,
Læs mereElementær Matematik. Algebra Analytisk geometri Trigonometri Funktioner
Elementær Mtemtik Alger Anlytisk geometri Trigonometri Funktioner Ole Witt-Hnsen Køge Gymnsium 0 Indhold Indhold... Kp. Tl og regning med tl.... De nturlige tl.... Regneregler for nturlige tl.... Kvdrtsætningerne.....
Læs mereFORMELSAMLING. Indholdsfortegnelse
FOMELSAMLNG ndholdsfortegnelse ndholdsfortegnelse... EL-LÆE...3 Ohm s lov:...3 Effekt lov:...3 egler ved måling:...3 egler ved serieforbindelser:...3 egler ved prllelforbindelser:...4 egler ved blndede
Læs mere1 1 t 10 1. ( ) x 2 4. + k ================= sin( x) + 4 og har graf gennem (0,2), dvs F(0) = 2. + 4x + k
0x-MA (0.0.08) _ opg (3:07) Integrtion ved substitution ( x + 7) 9 t x + 7 > t 9 t 0 + k 0 0 ( x + 7)0 + k b) x x + 4 t x + 4 > 3 x t t t x 3 t x x + k 3 t t + k ( ) x 4 3 x + 4 + + k c) cos( x)
Læs mereINTEGRALREGNING. Opgaver til noterne kan findes her. PDF. Facit til opgaverne kan hentes her. PDF. Version: 5.0
INTEGRALREGNING Version: 5.0 Noterne gennemgår egreerne: integrl og stmfunktion, og nskuer dette som et redsk til estemmelse f l.. reler under funktioner. Opgver til noterne kn findes her. PDF Fcit til
Læs mereANALYSE 1, 2014, Uge 3
ANALYSE 1, 2014, Uge 3 Forelæsninger Tirsdg. Vi generliserer tlrækker til funktionsrækker ved t udskifte tllene med funktioner (TL Afsnit 12.5). Det svrer til forrige uges skridt fr tlfølger til funktionsfølger.
Læs mereInstitut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. Integrationsprincippet og Keplers tønderegel
Integrtionsprincippet og Keplers tønderegel. side Institut for Mtemtik, DTU: Gymnsieopgve Integrtionsprincippet og Keplers tønderegel Littertur: H. Elrønd Jensen, Mtemtisk nlyse, Institut for Mtemtik,
Læs mereMATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX)
Silkeborg 09-0-0 MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX) Udrbejdet f mtemtiklærere fr HF, HHX, HTX & STX. PS: Hvis du opdger fejl i
Læs mereMatematikkens mysterier - på et højt niveau. 3. Differentialligninger
Mtemtikkens msterier - på et højt niveu f Kenneth Hnsen 3. Differentilligninger N N N 3 A A k k Indholdsfortegnelse 3. Introduktion 3. Dnmiske sstemer 3 3.3 Seprtion f de vrible 8 3.4 Vækstmodeller 8 3.5
Læs mereMM501 forelæsningsslides
MM50 forelæsningsslides uge 39, 200 Produceret f Hns J. Munkholm berbejdet f Jessic Crter Integrtion ved substitution Afsnit5.6 Ubestemte integrler s. 37-39 Reglen om differentition f en smmenst funktion
Læs mereFormelsamling Mat. C LINEÆR VÆKST... 11 EKSPONENTIEL VÆKST... 11 POTENS-VÆKST... 11
Formelsmling Mt. C BRØER... LIGNINGER... PARENTESER... RENTE... 5 INDES... 6 GEOMETRI... Arel f treknt... Vinkelsum i en treknt... Ens- vinklede treknter... VILÅRLIG TREANT... Sinusreltionerne:... Cosinusreltionerne:...
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningseskrivelse Stmoplysninger til rug ved prøver til gymnsile uddnnelser Termin Juni 2016 Institution Uddnnelse Fg og niveu Lærere Hold Fvrskov Gymnsium Stx Mtemtik A Peter Lundøer (Lu) 3k Mtemtik
Læs mereDifferentialregning. integralregning
Differentilregning og integrlregning Ib Micelsen Ikst 013 Indoldsfortegnelse Tegneøvelser...3 Introduktion... Definition f differentilkvotient og tngent...6 Tngentældninger...7 Den fledte funktion...7
Læs mereØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C POTENS-SAMMENHÆNG
ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C POTENS-SAMMENHÆNG INDHOLDSFORTEGNELSE 1 Formelsmling... side 2 Uddbning f visse formler... side 3 2 Grundlæggende færdigheder... side 5 2 Finde konstnterne og b i en formel...
Læs mereUGESEDDEL 52. . Dette gøres nedenfor: > a LC
UGESEDDE 52 Opgve 1 Denne opgve er et mtemtisk eksempel på Ricrdo s én-fktor model, der præsenteres i Krugmn & Obstfeld kpitel 2 side 12-19. Denne model beskriver hndel som et udslg f komprtive fordele
Læs merePotens regression med TI-Nspire
Potensvækst og modellering - Mt-B/A 2.b 2007-08 Potens regression med TI-Nspire Vi tger her udgngspunkt i et eksempel med tovværk, hvor mn får oplyst en tbel over smmenhængen mellem dimeteren (xdt) i millimeter
Læs mereHvis man ønsker mere udfordring, kan man springe den første opgave af hvert emne over.
Opsmling Hvis mn ønsker mere udfordring, kn mn springe den første opgve f hvert emne over Brøkregning, prentesregneregler, kvdrtsætningerne, potensregneregler og reduktion Udregn nedenstående tl i hånden:
Læs mereFormelsamling Mat. C & B
Formelsmling Mt. C & B Indhold FORMELSAMLING MAT. C & B... BRØER... LIGNINGER... 3 PARENTESER... 3 RENTE... 5 INDES... 6 GEOMETRI... Arel f treknt... Vinkelsum i en treknt... Ens- vinklede treknter...
Læs mereMattip om. Vinkler 2. Tilhørende kopier: Vinkler 2-3. Du skal lære om: Polygoner. Ligesidede trekanter. Gradtal og vinkelsum
Mttip om Vinkler 2 Du skl lære om: Polygoner Kn ikke Kn næsten Kn Ligesidede treknter Grdtl og vinkelsum Ligeenede og retvinklede treknter At forlænge en linje i en treknt Tilhørende kopier: Vinkler 2-3
Læs mereGymnasie-Matematik. Søren Toftegaard Olsen
Gmnsie-Mtemtik Søren Toftegrd Olsen Søren Toftegrd Olsen Skovvænget 6-B 7080 Børkop Gmnsie-Mtemtik. udgve, revision 0 ISBN 978-87-99996-0-0 VIGTIGT: Denne og må ikke sælges eller ændres; men kn frit kopieres.
Læs mereMM501 forelæsningsslides
MM501 forelæsningsslides uge 38, 010 Produceret f Hns J. Munkholm berbejdet f Jessic Crter 1 l Hopitls regler Afsnit 4.3 l Hopitls regel I omhndler beregning f grænseværdier f formen lim x f(x) g(x), hvor
Læs mereFUNKTIONER del 2 Eksponentielle udviklinger Trigonometriske funktioner Potensfunktioner Polynomier Modeller Regression
FUNKTIONER del Eksponentielle udviklinger Trigonometriske funktioner Potensfunktioner Polynomier Modeller Regression -klsserne Gmmel Hellerup Gymnsium Indhold EKSPONENTIELLE UDVIKLINGER... 3 Forskrift
Læs mereMat. B (Sådan huskes fomlerne) Formler, som skal kunnes til prøven uden hjælpemidler
Mt. B (Sån huskes fomlerne) Formler, som skl kunnes til prøven uen hjælpemiler Inhol Her er tilføjet emærkninger til nogle f formlerne BRØKER... PARENTESER... EKSPONENTER... LOGARITMER... GEOMETRI... Arel
Læs mereOpstakning og afstakning, fremadregning og tilbageregning
1 Opstkning og fstkning, fremdregning og tilgeregning 1.1 Fremdregning og tilgeregning...2 1.2 Æskeregning...2 1.3 Høseringe-regning, indkodning og fkodning...3 1.4 Vndret tilgeregning, t dnse en ligning...3
Læs mere1. Eksperimenterende geometri og måling
. Eksperimenterende geometri og måling Undersøgelse Undersøgelsen drejer sig om det såkldte Firfrveproblem. For mere end 00 år siden fndt mn ved sådnne undersøgelser frem til, t fire frver er nok til t
Læs mereElementær Matematik. Vektorer i planen
Elementær Mtemtik Vektorer i plnen Ole Witt-Hnsen 0 Indhold. Prllelforskydninger i plnen. Vektorer.... Sum og differens f to vektorer.... Multipliktion f vektor med et tl... 4. Opløsning f en vektor efter
Læs mereFormelsamling i Matematik på C og B og A niveau Dette er en formelsamling der er under konstant udvikling Så hvis du har ønsker til denne så sig til
Niels Junges formelsmling Formelsmling i Mtemtik på C og B og A niveu Dette er en formelsmling der er under konstnt udvikling Så hvis du hr ønsker til denne så sig til Indhold Tble of Contents Specielle
Læs mereMATEMATIK NOTAT 2. GRADSLIGNINGEN AF: CAND. POLYT. MICHEL MANDIX
MATEMATIK NOTAT. GRADSLIGNINGEN AF: CAND. POLYT. MICHEL MANDIX SIDSTE REVISION: MAJ 04 Michel Mandi (00).Gradsligningen Side af 9 Indholdsfortegnelse: INDHOLDSFORTEGNELSE:... INTRODUKTION:... 3 KOEFFICIENTER...
Læs mereEt udvalg af funktionerne tegnet på grafregneren (eller her med Derive)
GDS, opgve 85 En strt på opgven (undervisnings- og tvleprotokol): En milie unktioner hr orskrit 4 ( ) + R, Et udvlg unktionerne tegnet på grregneren (eller her med Derive) Værdier tllet, or hvilke hr henholdsvis
Læs mereKrumningsradius & superellipsen
Krumningsrdius & suerellisen Side /5 Steen Toft Jørgensen Krumningsrdius & suerellisen Formålet med dette mini-rojekt er t erhverve mtemtisk viden om krumningsrdius f en kurve og nvende denne viden å det
Læs mereFigurer. Planere: glatte, udjævne. Linjer. EB og AI, GK og HJ, MO og NP. Linjer. Vinkler Plane figurer Flytninger. 2 Linjestykker. 1 Hvad husker I?
Figurer Linjer Vinkler Plne figurer Flytninger Plnere: gltte, udjævne 1 Hvd husker I? 2 2 Linjestykker Fortsæt sætningerne. En linje er... Et linjestykke er... Tegn linjestykkerne: I, C, CE, F og FI. b
Læs mereMM501 forelæsningsslides
MM501 forelæsningsslides uge 39, 009 Produceret f Hns J. Munkholm 1 Linerisering s. 66-67 Lineriseringen f f omkring x =, er den lineære funktion, der hr tngenten som grf. Klder mn den L er forskriften
Læs mereK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKN. Matematik F Geometri
K TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKN Mtemtik F Geometri www.if.dk Mtemtik F Geometri Forord Redktør Hgen Jørgensen År 2004 est. nr. Erhvervsskolernes Forlg Munkehtten 28 5220 Odense
Læs mereVektorer. koordinatgeometri
Vektorer og koordintgeometri for gymnsiet, dge 5 Krsten Jl VEKTORER Koordinter til pnkt i plnen Koordinter til pnkt i rmmet Vektor: Definition, sprogrg, mm 4 Vektor: Koordinter 5 Koordinter til ektors
Læs mereANALYSE 1, 2015, Uge 2
ANALYSE 1, 2015, Uge 2 Forelæsninger Denne uges tem er uendelige rækker. Tirsdg: Tlrækker. En uendelig tlrække består ligesom en uendelig tlfølge f uendelig mnge tl. Forskellen mellem de to begreber består
Læs merehvor A er de ydre kræfters arbejde på systemet og Q er varmen tilført fra omgivelserne til systemet.
!#" $ "&% (')"&*,+.-&/102%435"&6,+879$ *1')*&: or et system, hvor kun den termiske energi ændres, vil tilvæksten E term i den termiske energi være: E term A + Q hvor A er de ydre kræfters rbejde på systemet
Læs mereVektorer. koordinatgeometri
Vektorer og koordintgeometri for gmnsiet 0 Krsten Juul Vektorer og koordintgeometri for gmnsiet Ä 0 Krsten Juul Dette håfte kn downlodes fr mtdk/noterhtm HÅftet mç ruges i undervisningen hvis låreren med
Læs mereMattip om. Vinkler 2. Tilhørende kopier: Vinkler 2 og 3. Du skal lære om: Polygoner. Ligesidede trekanter. Gradtal og vinkelsum
Mttip om Vinkler 2 Du skl lære om: Polygoner Kn ikke Kn næsten Kn Ligesidede treknter Grdtl og vinkelsum Ligeenede og retvinklede treknter At forlænge en linje i en treknt Tilhørende kopier: Vinkler 2
Læs mereIntegralregning. Version juni Mike Vandal Auerbach
Integrlregning Version.0 27. juni 209 y f x Mike Vndl Auerch www.mthemticus.dk Integrlregning Version.0, 209 Disse noter er skrevet til mtemtikundervisningen på stx A- og B-niveu efter gymnsiereformen
Læs mereGrundlÄggende funktioner
GrundlÄggende funktioner for B-niveu i hf Udgve 014 Krsten Juul GrundlÄggende funktioner for B-niveu i hf Procent 1. Procenter på en ny måde... 1. VÄkstrte.... Gennemsnitlig procent... LineÄr väkst 4.
Læs mereTrigonometri FORHÅNDSVIDEN
Trigonometri I dette kpitel skl du rejde med trigonometri. Ordet trigonometri stmmer fr græsk og etyder trekntsmåling. Den mtemtik, der ligger g trigonometrien, hr du llerede rejdet med. Det drejer sig
Læs mereLektion 6 Bogstavregning
Mtemtik på Åbent VUC Lektion 6 Bogstvregning Formler... Udtryk... Ligninger... Ligninger som løsningsmetode i regneopgver... Simultion... Opsmlingsopgver... Lvet f Niels Jørgen Andresen, VUC Århus. Redigeret
Læs mere5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve
5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve ordet geometri er græsk og betyder jord(=geo)måling(=metri). Interessen for figurer
Læs mereEksempel på den aksiomatisk deduktive metode
Eksempel på den aksiomatisk deduktive metode Et rigtig godt eksempel på et aksiomatisk deduktivt system er Euklids Elementer. Euklid var græker og skrev Elemeterne omkring 300 f.kr. Værket består af 13
Læs mere