MATEMATIK NOTAT 04 - LIGNINGER AF: CAND. POLYT. MICHEL MANDIX

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "MATEMATIK NOTAT 04 - LIGNINGER AF: CAND. POLYT. MICHEL MANDIX"

Transkript

1 MATEMATIK NOTAT 04 - LIGNINGER AF: CAND. POLYT. MICHEL MANDIX SIDSTE REVISION: AUGUST 07

2 Miche Mandi (07) Enheder Side af 9 Indhodsfortegnese: INDHOLDSFORTEGNELSE:... LIGNINGER... 3 HVAD ER EN LIGNING?... 3 LØSNING AF LIGNINGER... 5 REGNEREGLER FOR LØSNING AF LIGNINGER... 8 ENSBETYDENDE LIGNINGER... NULREGLEN... FAKTORISERING:... TILBAGE TIL NULREGLEN... 3

3 Miche Mandi (07) Side 3 af 9 Mange gange om dagen, hver eneste dag 4/7, udregner man igninger bevidst eer ubevidst for at komme igennem hverdagen. Eksemper kan være: Man står i supermarkedet, og ska regne ud, om man har råd ti eer 3 iter etmæk. Som nævnt i et tidigere afsnit, kan man stå og vurdere idt på, om man har råd ti at tage en tai hjem. Andre eksemper kan være: Teefonregninger, transporttider, madopskrifter, forbrug etc. Noge gange regner man rent faktisk på de forskeige situationer, men mange gange afgør man situationen med sig sev, baseret på sund fornuft og måske idt matematisk baggrundsviden. Hvad er en igning? Matematiske sætninger kan skrives på mange måder. Afhængigt af, hvad det er, man forsøger at udtrykke, findes der en korrekt matematisk opskrivningsmetode. Der findes mange typer matematiske tekster. Noge indehoder variabe, mens andre er mere simpe. Åbne og ukkede udtryk og udsagn. Ved ukkede udsagn forstås sammenstiinger af ord eer symboer, som udtrykker en påstand, som kan være sand eer fask. Disse kan skrives som (dansk) tekst eer med matematiske symboer: Eksemper: I 009 var der fere tyskere end danskere. (Sandt, ukket udsagn.) Danmark er en by i Frankrig. (Fask, ukket udsagn.) 4 (Sandt, ukket udsagn.) 5 (Fask, ukket udsagn.) Det ukkede udsagn 4, der er sandt, består af to ukkede udtryk eer navne: og 4. Disse to ukkede udtryk forbindes af ighedstegnet Ofte vi man i matematikken benytte variabe. Disse repræsenterer fere navne på en gang. Dette er meget praktisk, når der ska udføres gentagne beregninger, hvor et eer fere af størreserne ændres for hver beregning. Ofte ser man, y og z repræsentere vikårige hee ta. Ved skriftig fremstiing, skrives variabe atid i kursiv! Idet man indfører variabe, så giver det også meget mere feksibiitet i det skriftige sprog. Dermed fremkommer åbne udtryk og åbne udsagn. Eksemper: 3 (Åbent udtryk) 3 5 (Åbent udsagn) Så for at opsummere: En simpe udregning kades for et udtryk. Det kendetegnes ved ikke at indehode komparative operatorer såsom ighedstegn, uighedstegn etc. Indehoder udtrykket kun ta og ingen konstanter, kades det for et ukket udtryk, hvorimod det kades for et åbent udtryk såfremt der indgår variabe. Udtryk: Lukket udtryk: (Uden variabe) (Uden ighedstegn) Lukket udtryk: 7 (Uden variabe) Åbent udtryk: 3 (Med variabe) Åbent udtryk: 8 (Med variabe) Udsagn: Lukket udsagn: 4 (Uden variabe) (Med ighedstegn) Åbent udsagn: 3 5 (Med variabe)

4 Miche Mandi (07) Side 4 af 9 Når man har to udtryk, kan de sættes sammen ti et udsagn vha. en af de komparative operatorer. Disse er: eer Lig med Mindre end Mindre end eer ig med Større end Større end eer ig med Forskeig fra (ikke ig med) I dette notat omtaes udeukkende "Lig med" Som antydet, så vi dette ende i et udsagn: Kombinationer af to ukkede udtryk: 4 Sandt " Sandt" og " Fask " kan bruges om ukkede udsagn Fask Sandt Fask Sand Fask Sandt Sandt Kombinationer af to åbne udtryk: Kombinationer at et åbent udtryk og et ukket udtryk_

5 Miche Mandi (07) Side 5 af 9 En igning indehoder et ighedstegn, og er såedes et udsagn. Man kan også sige, at der er fremsat en påstand om, at de to sider er værdimæssigt ens. En meget vigtig ting om at igninger er udsagn er netop, at et udsagn kan vurderes som sandt eer fask. Afhængigt af opgavens type, kan man sagtens komme ud for en situation, hvor ighedstegnet ikke er sandt. Det er naturigvis forvirrende, for der står gerne en matematikærer og siger, at ET LIGHEDS- TEGN SKAL ALTID TALE SANDT, og det er for så vidt også fudstændig korrekt, når man arbejder med traditione matematik og igningsøsning. Men i anvendt matematik sker det, at man ska påvise at f.eks. en inje går igennem et bestemt punkt. Det gør man ved at indsætte hhv. punktets - og y-værdi i injens igning for at se om det stemmer. HVIS det stemmer, så er punktet beiggende på injen, men HVIS DET IKKE STEMMER, så er det jo bare et udtryk for, at punktet ikke er beiggende på injen. Det betyder ikke nødvendigvis, at der er bevet begået en matematisk fej. En igning kan også kades for en identitet eer et udsagn. En matematisk igning er et udtryk som fastsår at to udtryk (ofte kadet hhv. venstre og højre side af igningen) er ige store, skrevet op på formen: (Det ene udtryk) = (det andet udtryk). Amindeigvis indgår én eer fere ubekendte tastørreser, repræsenteret ved et eer fere bogstaver (ofte, men det kan sagtens være ae muige andre bogstaver særigt, hvis man støder på samme matematiske probem i et andet fag. I kemi regner man f.eks. på koncentrationer, og de benævnes c). Man kan sammenigne en igning med en vippe på en egepads eer en gammedags vægt. Idet der i igningen indgår et ighedstegn, betyder det, at at det, som står på venstre side af ighedstegnet SKAL være ig med at det, som står på højre side af ighedstegnet. Lighedstegnet betyder såedes ikke, at det på den ene side giver det resutat, som står på den anden side. Lighedstegnet betyder, at DE TO SIDER SKAL HAVE SAMME VÆRDI! Dette er meget vigtigt! Det er hee grundaget for forståesen af, hvad igninger ska bruges ti. Hvis der på en vippe i igevægt, sætter sig en dreng på 40 kg på den ene side af vippen, så vi vippen tynges ned i den ende. Vippen er ikke ængere i igevægt! Hvis man ser bort fra den muighed at drengen stiger ned fra vippen igen, så er den eneste muighed for at vippen igen kommer i igevægt, at der på den anden side af vippen sætter sig en dreng eer en pige, som også vejer 40 kg. Hvis det sker, så er vippen igen i igevægt. Med andre ord, så er vippen i igevægt hee tiden, hvis de to sider øbende biver identisk beastet! Det er præcis det samme, som gør sig gædende med igninger. Løsning af igninger Som aerede nævnt, kan der i en igning indgå en eer fere ubekendte størreser. Ofte kades den (hvis der kun er én) for, men det er angtfra atid tifædet. Der er mange måder at forkare på, hvad det vi sige at øse en igning. En af de mest gængse, får man i fokeskoen: Denne forkaring går ud på at man ska finde. Man ærer efterføgende at isoere, så man ti sidst har facit = En eer anden taværdi. De eever, som har interesseret sig idt mere for, hvad det vi sige at øse en igning, har garanteret bemærket, at den -værdi, som man finder frem ti er netop den -værdi, hvor den grafiske afbidning af probemet, skærer -aksen. Denne sidste betragtning, er medvirkende ti en god og korrekt forkaring på, hvad det vi sige at øse en igning.

6 Miche Mandi (07) Side 6 af 9 Her er det nødvendigt at forkare idt om, hvad man kan bruge en igning ti. Bare roig, det biver beskrevet mere detajeret i et senere afsnit. En igning kan som også tidigere beskrevet) bruges ti at udregne en taværdi gerne på baggrund af et input i form af den ukendte variabe f.eks.. Det er næppe overraskende, at resutatet afhænger af, hviken -værdi, som man indsætter i igningen. Et eksempe kan være: En Jaguar (X300 fra 995) bruger iføge on-board-computeren 3,5 for at køre 00 km. Benzinforbruget kan såedes beregnes som: Forbrug 3, 5 00 km 00 km km Forbrug 00 km 3, 5 km km Forbrug 74, Dvs. at den kører 7,4 km per. Hvis man vi vide hvor angt man kan køre med en bestemt mængde kan føgende igning opskrives: km Distance 74,, hvor er mængden af i tanken måt i iter. Hvis der er 0 i tanken, kan man køre: km Dis tance 74, km Dis tance 7, 4 0 Dis tance 74 km Er der derimod 0 i tanken, kan man køre: km Dis tance 74, km Dis tance 7, 4 0 Dis tance 48 km

7 Miche Mandi (07) Side 7 af 9 Hvis man er øbet tør for, fås føgende igning: km Dis tance 75, km Dis tance 7, 5 0 Dis tance 0 km hviket ikke er overraskende, da man ikke kommer angt i en drevet bi uden. I dette eksempe er resutatet ig med 0 km, og man kan sige, at udsagnet giver resutatet 0 km. Indsættes sammenhængen meem forbrug og distance i et koordinatsystem, viser det sig også, at der er tae om en ineær sammenhæng, som går igennem origo. Dette kades også for en igefrem proportionaitet. Udsagnets resutat er atså afhængigt af den ubekendte variabe. I dette eksempe mængden af brændstof i tanken. Derfor kades den ubekendte variabe (her: ) for den uafhængige variabe, mens resutatet, der jo indsættes som y-værdien i koordinatsystemet kades for den afhængige variabe. Den kades såedes, fordi den er afhængig af, hvad (dvs. den uafhængige variabe) er. På en eer anden måde (hviket betyder, at man af og ti kan skyde en matematisk genvej, så det ikke nødvendigvis vi se sådan ud), så vi en igning atid kunne øses ved at omskrive igningen, så der kommer ti at stå 0 (nu) på den ene side (oftest den højre side). Givet et mere teoretisk eksempe: 6 4 Ska denne igning øses efter ae kunstens reger, ska igningen omskrives såedes, at den ene side af igningen giver 0 (nu). Husk, at dette betyder, at BEGGE sider ska have værdien 0. For at repetere teorien bag igningsøsning, så kan man gøre mange forskeige ting (mere om det senere), bare man gør det på BEGGE SIDER af ighedstegnet. I dette tifæde ægges der 4 ti på begge sider. På højre side betyder det, at der står: 4 4, hviket giver 0. På venstre side betyder det, at der kommer ti at stå: 6 4. Led med variabe og ed med ta behandes hver for sig, så 6 4 kan omskrives ti:. I fokeskoen forkares dette ofte som at fytte et ed over på den anden side og skifte fortegn. Det kan da også se sådan ud, men egentig er den forkaring noget værre vrøv. Har man et ed på f.eks. -4, så kan det neutraiseres ved at ægge 4 ti = 0, men da man er nødt ti at udføre operationen på begge sider af ighedstegnet, kan det godt tokes som at fytte eddet over og skifte fortegn, men det er i virkeigheden kun den synige virkning af at ægge et ed ti eer trække et ed fra for at neutraisere et ed. Resutatet af dette biver såedes: Nu er igningen omskrevet, så den ene side er ig med 0. Som aerede nævnt, så kan man i visse tifæde opeve, at dette ikke er nødvendigt eer at det endda gør udregningen mere kompiceret.

8 Miche Mandi (07) Side 8 af 9 Ligningen er dog angt fra øst. For at øse igningen er det nødvendigt at isoere den ubekendte variabe i dette tifæde. Igen hander det om at udføre identiske operationer på begge sider af ighedstegnet. Først ægges der ti på begge sider for at neutraisere de " " som står på venstre side. 0 0 Nu er det ed, hvor forekommer isoeret, men det er ikke interessant hvor meget er. Det er kun spændende at vide, hvor meget er. Derfor divideres med. Som atid er det vigtigt at det gøres på begge sider: Løsningen på igningen er atså:. Ser man på igen på, hvordan man indtegner en igning i et koordinatsystem, så er resutatet af igningen når man sætter en -værdi ind den værdi, som i koordinatsystemet indtegnes som den y-værdi, der hører ti den -værdi der er bevet indsat. Husk, at man øser en igning ved at omskrive den, så en af siderne er ig med 0. Det betyder så, at ska man indtegne denne øsning i et koordinatsystem, så er det på forhånd givet, at resutatet af udregningen ska være ig med 0. Dette betyder så igen, at i den grafiske afbidning, så er y-værdien ig med 0 for denne øsning. Når y-værdien er ig med 0, så er det het sikkert, at man befinder sig et eer andet sted på -aksen. Se bot på et amindeigt kartesisk koordinatsystem. Uanset hvor på -aksen man peger, så vi y-værdien være ig med 0. Det er derfor man i fokeskoen har fået at vide, at øsningen på en igning er skæring med -aksen, men dette er sådan set kun et biprodukt af at have øst igningen. Pointen er, at man søger de steder på -aksen (de -værdier), hvor igningen har resutatet 0. Med andre ord: De steder, hvor den grafiske afbidning skærer -aksen. Dette er væsentigt at forstå i forbindese med igningsøsning! Regnereger for øsning af igninger Som det aerede er antydet, så kan man gøre næsten hvad man vi med en igning, så ænge man gør det på begge sider af ighedstegnet. Sevom der er reativt frie hænder mht. igningsoperationer, beskrives kun noge af dem i dette notat. Fere igningsoperationer vi bive introduceret i undervisningen senere. Ti ae tider er det vigtigste at at hvad man gør, at man husker at gøre det på begge sider af ighedstegnet.

9 Miche Mandi (07) Side 9 af 9 Addition: Man må ægge det samme ta ti på begge sider af ighedstegnet: Eksempe: Som tidigere nævnt, kan det være værd at bemærke, at denne operation ofte (fejagtigt) refereres ti som at: fytte et ed over på den anden side af ighedstegnet og skifte fortegn. I dette tifæde kan det ses, som at der står " 5" på venstre side i igningen. Hvis man er idt øvet, så pejer man ikke at skrive: " 5 5", så det ignoreres bare. På højre side af igningen optræder pudseig: " 5", så for det utrænede øje, kan det godt se ud som om at eddet fytter side og skifter fortegn. Subtraktion: Man må trække det samme ta fra på begge sider af ighedstegnet: Eksempe: Som tidigere nævnt, kan det være værd at bemærke, at denne operation ofte (fejagtigt) refereres ti som at: fytte et ed over på den anden side af ighedstegnet og skifte fortegn. I dette tifæde kan det ses, som at der står " 6" på venstre side i igningen. Hvis man er idt øvet, så pejer man ikke at skrive: " 6 6", så det ignoreres bare. På højre side af igningen optræder pudseig: " 6", så for det utrænede øje, kan det godt se ud som om at eddet fytter side og skifter fortegn. HUSK, at se godt på fortegnene. Det er en meget amindeig fej at overse fortegnene i en situation som denne Mutipikation: Man må gange det samme ta ti på begge sider af ighedstegnet. Dog må dette ta IKKE VÆRE 0: Eksempe:

10 Miche Mandi (07) Side 0 af 9 Vær opmærksom på, hvis der er fere ed på den ene side i en igning. Da ska ALLE ed, ganges! Muigvis er man i fokeskoen stødt på udtrykket: gange over kors. Dette er et trick, som kan bruges, hvis begge sider af igningen er skrevet som brøker. a c ad bc b d Bevis: a c a c bda bdc bd bd ad bc Q.E.D. b d b d b d I det virkeige iv, vi man nok være mere interesseret i at standse på havvejen, dvs.: a c b d bc ad ad bc a eer c eer b eer d d b c a Division: Man må dividere med det samme ta ti på begge sider af ighedstegnet. Dog må dette ta IKKE VÆRE 0: Eksempe: Det er en af de grundæggende dødssynder i matematik, hvis man dividerer med 0. Vær opmærksom på, hvis der er fere ed på den ene side i en igning. Da ska ALLE ed, divideres! Uden at beskrive fere operationer, kan kort nævnes: Uddragning af n te rod (herunder kvadratrod), opøftning i n te potens, ogaritme samt mange andre. Reger: a) Man må ægge det samme ta ti på begge sider af ighedstegnet: b) Man må trække det samme ta fra på begge sider af ighedstegnet: c) Man må gange det samme ta ti på begge sider af ighedstegnet. Dog må dette ta IKKE VÆRE 0: d) Man må dividere med det samme ta ti på begge sider af ighedstegnet. Bortset fra 0. e) Man må atid reducere en enket side af igningen, idet det ikke ændrer udtrykkets værdi.

11 Miche Mandi (07) Side af 9 I matematikopgaver, kan man med forde anvende føgende fremgangsmåde når man øser igninger: ) Skriv atid grundformen. (Dette er smart, for når man ska æse ti eksamen, så er der ingen tviv om, hvor formen kommer fra, hvis man har skrevet grundformen.) ) Omskriv grundformen, så den kommer ti at stå på den form man ønsker. Med andre ord, så er det her, at man kan isoere den ønskede variabe. 3) Indsæt (hvis det er nødvendigt) de aktuee variabenavne, som er gædende i opgaven. 4) Indsæt taværdier. 5) Udregn facit. Er der behov for yderigere meemregninger for at øge overskueigheden, så kan de frit indsættes. Det vigtigste er, at ovenstående rækkeføge biver overhodt. Des for at minimere fej, men også for at indarbejde en vane, så det ti sidst biver rutine at øse en simpe igning. Eksempe: (Det er ikke vigtigt at forstå seve matematikken endnu... Bare se på opstiingen.) Givet en trekant RST med føgende værdier: R 35, r 9 og S 87. a sin b A sin B Grundforme asin b sin rsin s sin B A S R 9sin 87 90,9986 s sin 35 0, , 9877 s 0, 5736 Omskrevet grundforme Indsætter aktuee variabenavne Indsætter taværdier Reducerer s 5,7 Udregner facit Ensbetydende igninger I de eksemper, som er vist i dette afsnit, optræder der fere gange denne pi:. Denne pi kades for en biimpikation. I matematisk notation kan den forekomme både vandret og odret: eer. Denne type pi bruges, når en igning omskrives ti en anden igning, som har præcis de samme øsninger I ovenstående tifæde (som er brugt tidigere i dette notat), bemærkes det, at den øverste inje beskriver at: 5 8. Sagt på dansk betyder det, at man har et ta,, hviket man trækker 5 fra, og får resutatet 8.

12 Miche Mandi (07) Side af 9 Ser man i stedet på den midterste inje, så er det givet at: Det er måske vodsomt indysende, men her står, at hvis man har et ta,, og trækker 5 fra og ægger 5 ti, så får man resutatet 8 5. Da udsagnet stadig stemmer, kan man siger, at det matematisk set er fudkommen igegydigt om man væger at bruge den første eer den anden inje de er begge gydige og siger begge præcis det samme. Tager man den tredje inje med, så står der, at 3. Det er stadig gydigt, og i princippet er det præcis det samme, der står i den første inje. Fordi det er det samme der står i de tre injer, skrives der en dobbetpi (biimpikation) imeem dem, for at vise, at injerne betyder det samme. At der er tre injer, er for at vise progressionen i udregningen med et anta meemregninger. Man kan også sige, at de tre injer i igningen har den samme øsning, men idet der er brugt ovige metoder ti at omskrive igningen, så er det den samme igning, og der skrives biimpikationspie imeem injerne. Det er vigtigt at forstå, at DER ER FORSKEL PÅ BIIMPLIKATIONER OG LIGHEDSTEGN. Lighedstegn fortæer, at to størreser er identiske (også sevom de er skrevet på forskeige måder), mens biimpikationer beskriver sammenhængen meem to udsagn. Man kan også sige, at hvis inje gæder, så gæder også inje OG OMVENDT! Nuregen Et produkt er ig med nu hvis og kun hvis en (eer fere) af faktorerne er ig med nu. Af og ti kan man meget nemt øse reativt kompicerede igninger. Særigt i forbindese med igninger af. orden (andengradsigninger) og derover, kan man af og ti sippe troig nemt over det. Forudsætningen for at kunne drage fud forde af nuregen er, at man har kendskab ti hvordan man faktoriserer. Faktorisering: Et ta kan opøses i faktorer. Dette er især brugbart, når der ska regnes med kvadratrødder. Når et udtryk består af to eer fere ed, kan det hænde, at eddene har en faktor ti fæes. Hvis det er tifædet, kan denne fæes faktor sættes uden for en parentes. Eksempe Ta opøses i faktorer: Se på taet 36. Hvis det ska opøses i faktorer (husk at faktorer er ingredienserne i et mutipikationsstykke), så undersøges det, hvike ta som går op i 36. De nemme gæt er atid og 3, for de går ofte op i større ta. Ti sidst vi det dog vise sig, at ae faktorerne ska være primta. (Ta, hvor kun taet sev og taet går op i) Så i princippet kunne man, hver gang man skue skrive taet 36 i stedet skrive 3 3, for det er jo ige vist, at det er det samme. Dog nok idt besværigt i ængden. Bemærk, at både taet og taet 3 er primta. Som et andet eksempe betragtes taet Da både taet og taet 7 er primta, kan der ikke faktoriseres yderigere.

13 Miche Mandi (07) Side 3 af 9 Ti sidst ska taet 9 faktoriseres. Men da der ikke er noget ta, som er mindre end 9 som går op i 9 (bortset fra taet, som jo går op i ae ta), så er det i forvejen et primta og kan ikke faktoriseres. Eksempe Mutipe faktorer opøses i endnu fere faktorer: Se på udtrykket. I virkeigheden står der, så det er i virkeigheden to ta, som mutipiceres. Det ene ta er og det andet ta er.. Faktoriseringen biver der- Taet faktoriseres som aerede beskrevet, men for: er det samme som Eksempe Mutipe ed opøses i faktorer: Se på udtrykket 4. I virkeigheden står der 4, så det er i virkeigheden to ta, som adderes. Det ene ta er, hviket kan skrives som 43. Det kunne godt være faktoriseret yderigere ti: 3, men det er ikke nødvendigt i dette eksempe. Hee udtrykket derfor kan skrives som: Der er stadig to ed (adskit af pus-tegnet), og det ses at faktoren 4 indgår i begge ed. Derfor kan faktoren 4 sættes udenfor en parentes: Husk, at der underforstået er et gangetegn meem faktoren og parentesen: , så det der er sket er, at et udtryk, som oprindeigt bestod af to ed (et pusstykke) nu består af to faktorer (et gangestykke). Deraf navnet: faktorisering. Vi man se om man har faktoriseret korrekt, kan man ganske enket gange faktoren foran parentesen ind i parentesen igen og kontroere om man når frem ti udgangspunktet: Tibage ti nuregen Det er nu vist, hvordan man kan faktorisere et eer fere ed så udtrykket ender med at bive et produkt i stedet for en sum eer en differens. Det er her, at nuregen er meget praktisk: Eksempet fra før fortsætter: Det er naturigvis muigt at øse igningen 4 0 på norma vis, og man kan jo også sagtens forestie sig, at det er en væsentigt mere kompiceret igning i en anden sammenhæng, men her øses igningen: Trækker fra på begge sider Dividerer med 4 på begge sider

14 Miche Mandi (07) Side 4 af 9 Man kunne i stedet (med forde) anvende nuregen. Som aerede nævnt, så siger regen, at hvis et produkt giver nu, så må mindst én af faktorerne være ig med nu Skrives igningen på den faktoriserede form fås: Det er atså et produkt, som er ig med 0. Når igningen er bevet faktoriseret, består det (i dette tifæde) af to ta eer faktorer. Det ene ta er 4 og det andet ta er 3. Nuregen siger, at mindst en af faktorerne er nu. Det ene produkt er ig med 4, så det kan ikke være ig med 0. Det andet produkt er ig med 3, så det undersøges, om det kan give Da parentesen ikke er nødvendig fjernes den. (Pusparentes) Trækker 3 fra på begge sider Det kan argumenteres, hvor meget man sparer ved at benytte nuregen i dette eksempe. Det er en rimeig diskussion, da det er et meget simpet og nemt eksempe, men se på et mere kompiceret eksempe. Givet igningen: 4 0 Dette er en andengradsigning, og vi normat kræve et mere avanceret formeapparat for at kunne øses. Det bemærkes dog, at der kun er to ed (der er normat tre), og at begge ed indehoder faktoren. Udtrykket faktoriseres: Det er nu muigt i stedet for at køre det noget mere kompicerede formeapparat ti øsning af andengradsigninger at øse denne igning (næsten som hovedregning). Betragtes igningen, så ska mindst én af de to faktorer være ig med 0, idet produktet er ig med 0. Så enten er 0, hviket der ikke er noget hokus-pokus i: 0 4 0, eer også er Naturigvis kan ikke være ig med 0 og ig med 4 på samme tid, så øsningen skrives: 0 4, hvor det matematiske tegn betyder eer.

15 Miche Mandi (07) Side 5 af 9 Opgaver Opgave L0 og uigheder (Udtryk og udsagn) Afgør om hvert af føgende udtryk er et udsagn og angiv i bekræftende fad sandhedsværdien (Sand//Fask). a) 0 b) 0 er et ige ta c) d) er et stort ta e) g) 3 3 f) 7,64575 For ae er 0 h) i) er et ie ta j) Når en trekant er igebenet er den også igesidet Opgave sut Opgave L0 og uigheder (Mængdebyggeren) Bestem grundmængden for føgende udtryk: a) b) c) d) e) f) Opgave sut Opgave L03 og uigheder ( med ubekendt) Bestem grundmængde og i føgende igninger: a) b) Opgave sut c)

16 Miche Mandi (07) Side 6 af 9 Opgave L04 og uigheder ( med ubekendt) Bestem grundmængde og i føgende igninger: a) b) c) Opgave sut Opgave L05 og uigheder ( med ubekendt) Løs hver af føgende igninger: b) 3 a) c) 3 d) 3 3 e) 4 5 f) Opgave sut Opgave L06 og uigheder ( med ubekendt) Bestem grundmængden for hver af føgende igninger, og øs dem derefter: 4 a) b) 3 3 c) d) 3 e) 3 f) Opgave sut Opgave L07 og uigheder ( med ubekendt) Bestem grundmængde og i føgende igninger: a) b) c) Opgave sut

17 Miche Mandi (07) Side 7 af 9 Opgave L08 og uigheder (Tekniske igninger) I forbindese med styrkeberegning af en bjæke med rektanguært tværsnit anvendes en størrese, der kades tværsnittets modstandsmoment, og som benævnes med bogstavet W. For en bjæke med tværsnit b h gæder føgende forme for beregning af tværsnittets modstandsmoment W : W b h 6 3 Beregn tværsnittets bredde, b, når: W 00000mm og h 00mm Opgave sut Opgave L09 og uigheder (Tekst igninger) Ved betaing for sit årige e-forbrug kan Marie væge meem at betae: a) 70,3 øre/kwh eer b) en fast årig afgift på 38 kr pus 0,47 kr/kwh. For hvike forbrug er a) dyrere end b) Opgave sut

18 Miche Mandi (07) Side 8 af 9 Facitiste Opgave L0 Afgør om hvert af føgende udtryk er et udsagn og angiv o bekræftende fad sandhedsværdien (Sand//Fask). a) 0 Sand b) 0 er et ige ta Sand c) Fask d) er et stort ta Nonsens e) g) 3 3 Sand f) 7,64575 Fask For ae er 0 Fask h) Fask i) er et ie ta Nonsens j) Når en trekant er igebenet er den også igesidet Fask Opgave sut Opgave L0 Bestem grundmængden for føgende udtryk: a) c) 3 G 0 b) G 3 d) 3 G 3 G 0 e) G 3 f) G Opgave sut Opgave L03 Bestem grundmængde og i føgende igninger: a) og uigheder ( med ubekendt) G 8 b) G 0 c) G Opgave sut Opgave L04 Bestem grundmængde og i føgende igninger: og uigheder ( med ubekendt) a) G b) G c) G Opgave sut Opgave L05 og uigheder ( med ubekendt) Løs hver af føgende igninger: a) b) 3 c) 3 d) 3 L e) 4 5 L f) Opgave sut

19 Miche Mandi (07) Side 9 af 9 Opgave L06 og uigheder ( med ubekendt) Bestem grundmængden for hver af føgende igninger, og øs dem derefter: G 4 a) c) 3 3 G 3 e) b) 3 3 G L d) 4 3 G L 5 4 f) 3 G ; 5 3 G Opgave sut Opgave L07 Bestem grundmængde og i føgende igninger: og uigheder ( med ubekendt) a) 0 G 3 4 b) G 6; c) G 0; Opgave sut Opgave L08 og uigheder (Tekniske igninger) I forbindese med styrkeberegning af en bjæke med rektanguært tværsnit anvendes en størrese, der kades tværsnittets modstandsmoment, og som benævnes med bogstavet W. For en bjæke med tværsnit b h gæder føgende forme for beregning af tværsnittets modstandsmoment W : W b h 6 Beregn tværsnittets bredde, b, når: W mm og h 00mm b 60 mm Opgave sut Opgave L09 og uigheder (Tekst igninger) Ved betaing for sit årige e-forbrug kan Marie væge meem at betae: c) 70,3 øre/kwh eer d) en fast årig afgift på 38 kr pus 0,47 kr/kwh. For hvike forbrug er a) dyrere end b). a) er dyrere end b), når forbrug>639,5 kwh Opgave sut

Beregning af middellevetid

Beregning af middellevetid Beregning af middeevetid Hvad er middeevetid? Ta for middeevetiden for -årige drenge og piger anvendes hyppigt ti beysning af befokningens sundhedsmæssige tistand. Taet angiver det gennemsnitige anta år,

Læs mere

ADFÆRDS- PROBLEMER I SKOLEN

ADFÆRDS- PROBLEMER I SKOLEN ADFÆRDS- PROBLEMER I SKOLEN Bo Hejskov Evén Studiemateriae Det gæder mig, at du/i har æst min bog, Adfærdsprobemer i skoen, og er interesseret i at fordybe dig/jer i den viden, den bygger på. Da min forrige

Læs mere

OPTIMERING, TILPASNING OG ADMINISTRATION AF TELELØSNINGER

OPTIMERING, TILPASNING OG ADMINISTRATION AF TELELØSNINGER OPTIMERING, TILPASNING OG ADMINISTRATION AF TELELØSNINGER INTRODUKTION TIL er en virksomhed, som består af garvede fok fra Teebranchen, der ae har en stor erfaring inden for tee- og datakommunikationsindustrien.

Læs mere

Avl med kort og langpelsede hunde

Avl med kort og langpelsede hunde Av med kort og angpesede hunde Hundens pesængde bestemmes af et gen-par, hvoraf hunden arver 1 gen fra hver af forædrene hhv: Inden for pesængde er der atså tae om 3 varianter: = KORTpeset = ANGpeset =

Læs mere

FUGT OG ERRÆNDÆK. i.,~j.j~ox' ~1~ tflif'9// SI TENS BYG6EFO SKNIN6SINSTITUT. FUc*- - - Der kan imidlertid også konstateres flere

FUGT OG ERRÆNDÆK. i.,~j.j~ox' ~1~ tflif'9// SI TENS BYG6EFO SKNIN6SINSTITUT. FUc*- - - Der kan imidlertid også konstateres flere .58/-Ø2tbi: FUc*- - - 6 UDK 69.025.' : 699.82 FUGT OG ERRÆNDÆK STATENS BYGGEFORSKNNGSNSTTUT København 1974 kommission hos Teknisk Forag Hvorfor terrændæk? Det er igennem mere end femten år stadig bevet

Læs mere

EUX. Hvad er en EUX uddannelse for dig som elev?

EUX. Hvad er en EUX uddannelse for dig som elev? EUX Hvad er en EUX uddannese for dig som eev? Hvad er en EUX uddannese? EUX er teknisk skoes ungdomsuddannese hvor man på 4,5 år biver både fagært håndværker OG student i samme uddannese. Uddannesens opbygning

Læs mere

Trestemmig bloksats i rockarrangement - 1 Akkordtoner

Trestemmig bloksats i rockarrangement - 1 Akkordtoner Trestemmig boksats i rockarrangement - 1 Akkordtoner I en boksats har en af korets stemmer meodien mens de andre føger så paraet som muigt. Boksatsen er nemmest at ave hvis meodien har få store spring

Læs mere

Erik Bjerre og Pernille Pind. Tegn stjerner PIND OG BJERRE

Erik Bjerre og Pernille Pind. Tegn stjerner PIND OG BJERRE Erik Bjerre og Pernie Pind Tegn stjerner F O R L A G E T PIND OG BJERRE Erik Bjerre og Pernie Pind Tegn stjerner F O R L A G E T PIND OG BJERRE Du kender det godt. Når du keder dig, tegner du måske idt

Læs mere

Matematikken bag perspektivet I

Matematikken bag perspektivet I Supperende mterie ti erspektiv med GeoMeter Mtemtikken bg perspektivet I Som udgngspunkt for t diskutere de vigtigste mtemtiske sætninger bg perspektivtegninger vi vi benytte noge eementære egenskber for

Læs mere

Sikkerhedsvejledning ved anlæg af golfbaner

Sikkerhedsvejledning ved anlæg af golfbaner DANSK GOLF UNION Sikkerhedsvejedning sikkerhedszoner topografi og ayout Afstande MULIGE LØSNINGER Indhod 3 Hensynet ti sikkerheden Ingen 100 procents garanti 4 Gofbanens afgrænsning Sikkerhedszoner Hvor

Læs mere

Oprids over grundforløbet i matematik

Oprids over grundforløbet i matematik Oprids over grundforløbet i matematik Dette oprids er tænkt som en meget kort gennemgang af de vigtigste hovedpointer vi har gennemgået i grundforløbet i matematik. Det er en kombination af at repetere

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 7. november 2015 Slide 1/25

t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 7. november 2015 Slide 1/25 Slide 1/25 Indhold 1 2 3 4 5 6 7 8 Slide 2/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Slide 3/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Hvad kommer der til at ske? 1) Teoretisk gennemgang ved tavlen. 2) Instruktion

Læs mere

Grundlæggende matematik

Grundlæggende matematik Grundlæggende matematik Henrik S. Hansen, Sct. Knuds Gymnasium Noterne vil indeholde gennemgang af grundlæggende regneregler og regneoperationer afledt af disse. Dette er (vil mange påstå) det vigtigste

Læs mere

Matematik. 1 Matematiske symboler. Hayati Balo,AAMS. August, 2014

Matematik. 1 Matematiske symboler. Hayati Balo,AAMS. August, 2014 Matematik Hayati Balo,AAMS August, 2014 1 Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske symboler.

Læs mere

Algebra med Bea. Bea Kaae Smit. nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering

Algebra med Bea. Bea Kaae Smit. nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering Algebra med Bea Bea Kaae Smit nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering Indhold 1 Forord 4 2 Indledning 5 3 De grundlæggende regler 7 3.1 Tal..........................

Læs mere

Grundlæggende matematiske begreber del 2 Algebraiske udtryk Ligninger Løsning af ligninger med én variabel

Grundlæggende matematiske begreber del 2 Algebraiske udtryk Ligninger Løsning af ligninger med én variabel Grundlæggende matematiske begreber del Algebraiske udtryk Ligninger Løsning af ligninger med én variabel x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium 1 Indholdsfortegnelse ALGEBRAISKE UDTRYK... 3 Regnearternes

Læs mere

Barefoots sadelsystem

Barefoots sadelsystem Sadesystemer og udstyr med hestens trivse i fokus Barefoots sadesystem Sabine Umann Hestefysioterapeut Cheyenne Cheyenne DryTex TM Cherokee Cherokee Cassic Hvad gør Barefoots sadesystem så speciet? London

Læs mere

Algebra. Dennis Pipenbring, 10. februar 2012. matx.dk

Algebra. Dennis Pipenbring, 10. februar 2012. matx.dk matx.dk Algebra Dennis Pipenbring, 10. februar 2012 nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering Indhold 1 Forord 4 2 Indledning 5 3 De grundlæggende

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS August 2012 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

Unghundens træning Planlægning af træningen

Unghundens træning Planlægning af træningen Keith Mathews 28.-29. august 2014 Refereret af Eisabeth Johansen - Redigeret af Annette Vestmar Foredrag 28. august Med reference ti DVD sættet "Retriever training - Guru stye - The Bueprint to Success"

Læs mere

Andengradsligninger. Frank Nasser. 11. juli 2011

Andengradsligninger. Frank Nasser. 11. juli 2011 Andengradsligninger Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Kompendium i faget Matematik Tømrerafdelingen 2. Hovedforløb. Y Y = ax 2 + bx + c (x,y) X Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Indholdsfortegnelse for H2: Undervisningens indhold...

Læs mere

/98. Videregående uddannelse. Ansøgning om uddannelsesstøtte og ændring af uddannelsesstøtte

/98. Videregående uddannelse. Ansøgning om uddannelsesstøtte og ændring af uddannelsesstøtte Ansøgning om uddannesesstøtte og ændring af uddannesesstøtte Videregående uddannese /98 1 Navn c/o navn Nuværende adresse Postnr. By/postdistrikt Institutionskode Retningskode Uddannesesretning 0 0 0 5

Læs mere

MATEMATIK NOTAT 2. GRADSLIGNINGEN AF: CAND. POLYT. MICHEL MANDIX

MATEMATIK NOTAT 2. GRADSLIGNINGEN AF: CAND. POLYT. MICHEL MANDIX MATEMATIK NOTAT. GRADSLIGNINGEN AF: CAND. POLYT. MICHEL MANDIX SIDSTE REVISION: MAJ 04 Michel Mandi (00).Gradsligningen Side af 9 Indholdsfortegnelse: INDHOLDSFORTEGNELSE:... INTRODUKTION:... 3 KOEFFICIENTER...

Læs mere

Energistrategi på virksomheden

Energistrategi på virksomheden Energistrategi på virksomheden med udgangspunkt i medarbejderinddragese FAGLIGT FÆLLES FORBUND Fagigt Fæes Forbund Kampmannsgade 4 1790 København V Teefon 70 300 300 Mai: 3f@3f.dk www.3f.dk Layout: zentens

Læs mere

MINDJUICE ACADEMY. Dine handlinger forandrer verden. ICF-godkendt Coach Uddannelse. Grunduddannelsen. Coachuddannelsen

MINDJUICE ACADEMY. Dine handlinger forandrer verden. ICF-godkendt Coach Uddannelse. Grunduddannelsen. Coachuddannelsen MINDJUICE ACADEMY Dine handinger forandrer verden ICF-godkendt Coach Uddannese Grunduddannesen Coachuddannesen Mindjuice s Coachuddannese Mindjuice s Coachuddannese er opstået ud af mange års erfaring

Læs mere

Brøndby Fjernvarme. Information om fjernvarme til Vesterled. Borgermøde den 17. august 2015 kl. 19.00 i Tjørnehøjhallen (dørene åbnes kl. 18.

Brøndby Fjernvarme. Information om fjernvarme til Vesterled. Borgermøde den 17. august 2015 kl. 19.00 i Tjørnehøjhallen (dørene åbnes kl. 18. Bi ig me Brøndby Fjernvarme ere var Information om fjernvarme ti Vestered Borgermøde den 17. august 2015 k. 19.00 i Tjørnehøjhaen (dørene åbnes k. 18.30) Fordee ved fjernvarme Forsyningssikkerhed (nu og

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS Juli 2013 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

2015 1. UDGAVE GUIDEN TIL DIG, DER ER LÆRLING ELLER ELEV INDENFOR DE GRØNNE UDDANNELSER FOR ELEVER OG LÆRLINGE LÆRLINGEGUIDE

2015 1. UDGAVE GUIDEN TIL DIG, DER ER LÆRLING ELLER ELEV INDENFOR DE GRØNNE UDDANNELSER FOR ELEVER OG LÆRLINGE LÆRLINGEGUIDE 2015 1. UDGAVE DANMARKS STÆRKESTE FAGFORENING FOR ELEVER OG LÆRLINGE LÆRLINGEGUIDE GUIDEN TIL DIG, DER ER LÆRLING ELLER ELEV INDENFOR DE GRØNNE UDDANNELSER INDHOLD Side Tiykke 3 Før du starter 6 Tjekisten

Læs mere

Løsning af simple Ligninger

Løsning af simple Ligninger Løsning af simple Ligninger Frank Nasser 19. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

Omskrivningsregler. Frank Nasser. 10. december 2011

Omskrivningsregler. Frank Nasser. 10. december 2011 Omskrivningsregler Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

MINDJUICE LEDERUDDANNELSE Leadership Curriculum

MINDJUICE LEDERUDDANNELSE Leadership Curriculum MINDJUICE LEDERUDDANNELSE Leadership Curricuum Ledese baseret på Purpose before profit betaer sig. Forsti dig en hverdag, hvor dine medarbejdere går på arbejde, fordi det er dybt meningsfudt. Fordi du

Læs mere

Formål for Skole og Dagtilbud frem mod år 2014

Formål for Skole og Dagtilbud frem mod år 2014 Formå for Skoe og Dagtibud frem mod år 2014 1 Efter høringsperioden bev formået revideret og behandet på Byrådsmøde den 1. december 2009. Byrådet godkendte det reviderede formå. 2 Indhodsfortegnese 1.

Læs mere

Høreværn Vejledning om valg og anvendelse af høreværn

Høreværn Vejledning om valg og anvendelse af høreværn Høreværn Vejedning om vag og anvendese af høreværn Industriens Branchearbejdsmijøråd Postbox 7777 1790 København V E-mai: ibar@ibar.dk www.ibar.dk Medarbejdersekretariat CO-industri Vester Søgade 12 1790

Læs mere

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 1. Basis

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 1. Basis Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau af Kenneth Hansen 1. Basis Jorden elektron Hvor mange elektroner svarer Jordens masse til? 1. Basis 1.0 Indledning 1.1 Tal 1. Brøker 1. Reduktioner 11

Læs mere

Vil du være blandt verdens bedste ledere og teamcoaches?

Vil du være blandt verdens bedste ledere og teamcoaches? Vi du være bandt verdens bedste edere og teamcoaches? Så er Mindjuice Masteruddannese sikkert noget for dig. Her biver du trænet i kraftfud kommunikation på højt niveau, mindfuness, ekstraordinært ederskab,

Læs mere

Matricer og lineære ligningssystemer

Matricer og lineære ligningssystemer Matricer og lineære ligningssystemer Grete Ridder Ebbesen Virum Gymnasium Indhold 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber 1 Regning med matricer 3 13 Kvadratiske matricer og determinant 9 14 Invers matrix

Læs mere

Symbolsprog og Variabelsammenhænge

Symbolsprog og Variabelsammenhænge Indledning til Symbolsprog og Variabelsammenhænge for Gymnasiet og Hf 1000 kr 500 0 0 5 10 15 timer 2005 Karsten Juul Brugsanvisning Du skal se i de fuldt optrukne rammer for at finde: Regler for løsning

Læs mere

-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1

-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1 En funktion beskriver en sammenhæng mellem elementer fra to mængder - en definitionsmængde = Dm(f) består af -værdier og en værdimængde = Vm(f) består af -værdier. Til hvert element i Dm(f) knttes netop

Læs mere

Birgitta Staflund-Wiberg Brahetrolleborg

Birgitta Staflund-Wiberg Brahetrolleborg Birgitta Stafund-Wiberg - http://www.meadowark.nu/ 27.4.2014 Brahetroeborg Refereret af Eisabeth Johansen og Annette Vestmar Birgitta startede med noge synspunkter om trænerens roe og understregede, at

Læs mere

mere end du forventer 103075A Nål, Kobberhåndtag, U/hylster - 0,30x75 35,00 17,50 303030A Nål, Plastikhåndtag, U/hylster - 0,30x30 38,50 19,25

mere end du forventer 103075A Nål, Kobberhåndtag, U/hylster - 0,30x75 35,00 17,50 303030A Nål, Plastikhåndtag, U/hylster - 0,30x30 38,50 19,25 X-CARE - mere end du forventer Introduktionstibud 50% på akupunkturnåe Vi har fået avet vores egne X-Care nåe. Igennem et års tid har vi, i samarbejde med fysioterapeuter, som giver akupunktur, testet

Læs mere

Øvelsesprogram efter operation for diskusprolaps

Øvelsesprogram efter operation for diskusprolaps Øvesesprogram efter operation for diskusproaps Jægersborg Aé 14, 2920 Charottenund, tf: 3964 1949, e-mai: info@phdanmark.dk, www.phdanmark.dk ' ~ t cervica { ' L Thoracic } ~ Lu m bar ~ -1=-Sacra ~ ;...

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Isolere en ubekendt... 3 Hvis x står i første brilleglas...

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Ligning med + - / hvor x optræder 1 gang... 3 IT-programmer

Læs mere

Løsning til aflevering - uge 12

Løsning til aflevering - uge 12 Løsning til aflevering - uge 00/nm Opg.. Længden af kilerem til drejebænk. Hjælp mig med at beregne den udvendige, længde af kileremmen, der er anvendt på min ældre drejebænk. Største diameter på det store

Læs mere

Pas på dig selv. Udfordringer i dit psykiske arbejdsmiljø og hvordan du tackler dem F O A F A G O G A R B E J D E

Pas på dig selv. Udfordringer i dit psykiske arbejdsmiljø og hvordan du tackler dem F O A F A G O G A R B E J D E Ti eder-/meemedere inden for ædrepejen: F O A F A G O G A R B E J D E Pas på dig sev Udfordringer i dit psykiske arbejdsmijø og hvordan du tacker dem D E L 1 : U D F O R D R I N G E R Ti socia- og sundhedsederne

Læs mere

Matematik. Grundforløbet. Mike Auerbach (2) Q 1. y 2. y 1 (1) x 1 x 2

Matematik. Grundforløbet. Mike Auerbach (2) Q 1. y 2. y 1 (1) x 1 x 2 Matematik Grundforløbet (2) y 2 Q 1 a y 1 P b x 1 x 2 (1) Mike Auerbach Matematik: Grundforløbet 1. udgave, 2014 Disse noter er skrevet til matematikundervisning i grundforløbet på stx og kan frit anvendes

Læs mere

Egenskaber ved Krydsproduktet

Egenskaber ved Krydsproduktet Egenskaber ved Krydsproduktet Frank Nasser 23. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

1. Lineær kinematik. 1.1 Kinematiske størrelser

1. Lineær kinematik. 1.1 Kinematiske størrelser . Lineær kinematik Kinematik anaye og dermed kinematik udgør en tor og vigtig de af biomekanikken. I en tørre biomekanik anaye vi kinematikken normat være det ted man tarter, da begrebet omhander ammenhængen

Læs mere

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå Kort gennemgang af polynomier og deres egenskaber. asdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopåasd

Læs mere

Michel Mandix (2014) INDHOLDSFORTEGNELSE:... 2

Michel Mandix (2014) INDHOLDSFORTEGNELSE:... 2 MATEMATIK NOTAT 02 - ARITMETIK & ALGEBRA AF: CAND. POLYT. MICHEL MANDIX SIDSTE REVISION: AUGUST 2017 Aritmetik og Algebra Side 2 af 16 Indholdsfortegnelse: INDHOLDSFORTEGNELSE:... 2 ARITMETIK... 3 REGNEARTERNE...

Læs mere

fortsætte høj retning mellem mindre over større

fortsætte høj retning mellem mindre over større cirka (ca) omtrent overslag fortsætte stoppe gentage gentage det samme igen mønster glat ru kantet høj lav bakke lav høj regel formel lov retning højre nedad finde rundt rod orden nøjagtig præcis cirka

Læs mere

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Algebra

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Algebra Tip til. runde af - Algebra, Kirsten Rosenkilde. Tip til. runde af Algebra Her præsenteres idéer til hvordan man løser algebraopgaver. Det er ikke en særlig teoretisk indføring, men der er i stedet fokus

Læs mere

Algebra - Teori og problemløsning

Algebra - Teori og problemløsning Algebra - Teori og problemløsning, januar 05, Kirsten Rosenkilde. Algebra - Teori og problemløsning Kapitel -3 giver en grundlæggende introduktion til at omskrive udtryk, faktorisere og løse ligningssystemer.

Læs mere

formler og ligninger trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt

formler og ligninger trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik formler og ligninger trin 2 preben bernitt brikkerne til regning & matematik formler og ligninger, trin 2 ISBN: 978-87-92488-09-1 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk

Læs mere

AM B Kilde: Emner: Stikord: Afgørelsestype: Offentlig Tilgængelig: Dato: Status: Udskrevet:

AM B Kilde: Emner: Stikord: Afgørelsestype: Offentlig Tilgængelig: Dato: Status: Udskrevet: AM2009.07.06B Kide: Retspraksis, Byretterne Emner: famiievod; Stikord: Famiievod, mindreårigt barn, hasgreb, T 50 dg Afgøresestype: Dom Offentig Tigængeig: Ja Dato: 6.7.2009 Status: Gædende Udskrevet:

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 27. oktober 2014 Slide 1/25

t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 27. oktober 2014 Slide 1/25 Slide 1/25 Indhold 1 2 3 4 5 6 7 8 Slide 2/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Hvad kommer der til at ske? 1) Teoretisk gennemgang ved tavlen. 2) Instruktion i eksempler. 3) Opgaveregning. 4) Opsamling.

Læs mere

APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE

APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE z x y z=exp( x^2 0.5y^2) CAS er en fællesbetegnelse for matematikprogrammer, som foruden numeriske beregninger også kan regne med symboler og formler. Det betyder: Computer

Læs mere

Løsning til aflevering uge 11

Løsning til aflevering uge 11 Løsning til aflevering uge 11 100011/nm Opg.1 Beregninger på Foucaults pendul. Først en skitse A B c l a b l d C l c l E h d D 0.m Vandrette udsving a m a) Længden af pendulet kan beregnes ved at isolere

Læs mere

MATEMATIK NOTAT 09 - ASYMPTOTER AF: CAND. POLYT. MICHEL MANDIX

MATEMATIK NOTAT 09 - ASYMPTOTER AF: CAND. POLYT. MICHEL MANDIX MATEMATIK NOTAT 09 - ASYMPTOTER AF: CAND. POLYT. MICHEL MANDIX SIDSTE REVISION: OKTOBER 07 Michel Mandi (07) Side a 5 Indholdsortegnelse: INDHOLDSFORTEGNELSE:... ASYMPTOTER... 3 VANDRETTE ASYMPTOTER:...

Læs mere

Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80)

Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80) Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80) Opgave 1 Vi skal tegne alle de linjestykker, der forbinder vilkårligt valgte punkter blandt de 4 punkter. Gennem forsøg finder

Læs mere

Navision Axapta Personale - medarbejderne er det største aktiv

Navision Axapta Personale - medarbejderne er det største aktiv 2025852 PC.qxd 17-04-2002 13:07 Side 1 Moduet Personae ( ) i Navision Axapta gør personaeadministration meget enkere, samtidig med at det kan forbedre kommunikationen meem dig, dine medarbejdere og din

Læs mere

OPQ Manager Plus-rapport

OPQ Manager Plus-rapport OPQ Profi OPQ Manager Pus-rapport Navn Sampe Candidate Dato 25. september 2013 www.ceb.sh.com INTRODUKTION Denne rapport henvender sig ti injeedere og HR-konsuenter. Den indehoder opysninger, som kan være

Læs mere

Ledelsesudfordringer ved udlicitering af plejehjem. 28. februar 2011 Radisson SAS Scandinavia Hotel

Ledelsesudfordringer ved udlicitering af plejehjem. 28. februar 2011 Radisson SAS Scandinavia Hotel Ledesesudfordringer ved udicitering af pejehjem 28. februar 2011 Radisson SAS Scandinavia Hote Vekomst Irene Hesseberg Lederforeningen, Dansk Sygepejeråd (DSR) Program 10.00 Vekomst Formand Irene Hesseberg,

Læs mere

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje.

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje. Maple Dette kapitel giver en kort introduktion til hvordan Maple 12 kan benyttes til at løse mange af de opgaver, som man bliver mødt med i matematiktimerne på HHX. Skærmbilledet Vi starter med at se lidt

Læs mere

Kvantepartikel i centralpotential

Kvantepartikel i centralpotential Kvantemekanik 11 Side 1 af 7 Bintatomet II Kvantepatike i centapotentia Det kan vises at bevægesesmængdemomentets støese dets pojektion på en akse samt enegien af en kvantepatike i et centapotentia e samtidigt

Læs mere

Simple udtryk og ligninger

Simple udtryk og ligninger Simple udtryk og ligninger 009 Karsten Juul Til eleven Brug blyant og viskelæder når du skriver og tegner i hæftet, så du får et hæfte der er egenet til jævnligt at slå op i under dit videre arbejde med

Læs mere

VEJLEDNING VEDRØRENDE INSTALLATION, BRUG OG VEDLIGEHOLDELSE

VEJLEDNING VEDRØRENDE INSTALLATION, BRUG OG VEDLIGEHOLDELSE VEJLEDNING VEDRØRENDE INSTALLATION, BRUG OG VEDLIGEHOLDELSE MASKINE TIL AUTOMATISK FREMSTILLING AF GRANULEREDE ISFLAGER Ed. 01-2000 Date 12-2000 1 2 7 8 5 3 4 17 Mod. N. V. 16 1 2 11a 6 3 7 4 ~ 100 mm

Læs mere

Projekt 3.5 faktorisering af polynomier

Projekt 3.5 faktorisering af polynomier Projekt 3.5 faktorisering af polynomier Hvilke hele tal går op i tallet 60? Det kan vi få svar på ved at skrive 60 som et produkt af sine primtal: 60 3 5 Divisorerne i 60 er lige præcis de tal, der kan

Læs mere

BEVISER TIL KAPITEL 3

BEVISER TIL KAPITEL 3 BEVISER TIL KAPITEL 3 Alle beviserne i dette afsnit bruger følgende algoritme fra side 88 i bogen. Algoritme: Fremgangsmåde til udledning af forskellige regneregler for differentiation af forskellige funktionstyper

Læs mere

Mat C HF basisforløb-intro side 1. Kapitel 5. Parenteser

Mat C HF basisforløb-intro side 1. Kapitel 5. Parenteser Mat C HF basisforløb-intro side 1 Kapitel 5 Parenteser Mat C HF basisforløb-intro side 1. Fortegn for parenteser 5. Parenteser - En introduktion med opgaver (og facitliste)- Det plus- eller minus- tegn,

Læs mere

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering:

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: LINEÆR PROGRAMMERING I lineær programmering løser man problemer hvor man for en bestemt funktion ønsker at finde enten en maksimering eller en minimering

Læs mere

Symbolbehandlingskompetencen er central gennem arbejdet med hele kapitlet i elevernes arbejde med tal og regneregler.

Symbolbehandlingskompetencen er central gennem arbejdet med hele kapitlet i elevernes arbejde med tal og regneregler. Det første kapitel i grundbogen til Kolorit i 8. klasse handler om tal og regning. Kapitlet indledes med, at vores titalssystem som positionssystem sættes i en historisk sammenhæng. Gennem arbejdet med

Læs mere

Mathcad Survival Guide

Mathcad Survival Guide Mathcad Survival Guide Mathcad er en blanding mellem et tekstbehandlingsprogram (Word), et regneark (Ecel) og en grafisk CAS-lommeregner. Programmet er velegnet til matematikopgaver, fysikrapporter og

Læs mere

Private investeringer

Private investeringer Byfornyese Private investeringer i områdeindsatser SOCIALMINISTERIET Private investeringer i områdeindsatser Udgivet af: Sociaministeriet Homens Kana 22 1060 København K Støttet af: byfornyesesovens forsøgsmider

Læs mere

Vakuum rørsolfanger. aurotherm exclusiv VTK 570

Vakuum rørsolfanger. aurotherm exclusiv VTK 570 Vakuum rørsofanger aurotherm excusiv VTK 570 Hvorfor nøjes med at når du kan have gæde af Vaiant det naturige vag Vaiant har i mere end 130 år været med ti at skabe og forme en moderne varme og opvarmningsteknoogi,

Læs mere

FlexMatematik B. Introduktion

FlexMatematik B. Introduktion Introduktion TI-89 er fra start indstillet til at åbne skrivebordet med de forskellige applikationer, når man taster. Almindelige regneoperationer foregår på hovedskærmen som fås ved at vælge applikationen

Læs mere

Konusdrejning. Angivelse af konusitet. Konusberegninger ved hjælp af formler. Konusdrejning

Konusdrejning. Angivelse af konusitet. Konusberegninger ved hjælp af formler. Konusdrejning Konusrejning Konusrejning Angiese af konusitet Angieser En konus kan angies e f.eks. konus 1:4, s. at for her 4 mm af konusens ænge foranrer iameteren sig 1 mm. Tinærmet æri Forskeen er uen praktisk betyning

Læs mere

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8 Et af de helt store videnskabelige projekter i 1700-tallets Danmark var kortlægningen af Danmark. Projektet blev varetaget af Det Kongelige Danske Videnskabernes Selskab og løb over en periode på et halvt

Læs mere

matx.dk Enkle modeller

matx.dk Enkle modeller matx.dk Enkle modeller Dennis Pipenbring 28. juni 2011 Indhold 1 Indledning 4 2 Funktionsbegrebet 4 3 Lineære funktioner 8 3.1 Bestemmelse af funktionsværdien................. 9 3.2 Grafen for en lineær

Læs mere

Er du behandler eller instruktør og måske allerede selvstændig - eller med et ønske om at blive det?

Er du behandler eller instruktør og måske allerede selvstændig - eller med et ønske om at blive det? Biv Kontor-YogaTM instruktør Er du behander eer instruktør og måske aerede sevstændig - eer med et ønske om at bive det? Og kunne du tænke dig at tibyde Kontor-Yoga ti virksomheder i dit område? Kontor-Yogas

Læs mere

Komplekse tal. Jan Scholtyßek 29.04.2009

Komplekse tal. Jan Scholtyßek 29.04.2009 Komplekse tal Jan Scholtyßek 29.04.2009 1 Grundlag Underlige begreber er det, der opstår i matematikken. Blandt andet komplekse tal. Hvad for fanden er det? Lyder...komplekst. Men bare roligt. Så komplekst

Læs mere

Afstande, skæringer og vinkler i rummet

Afstande, skæringer og vinkler i rummet Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Villa 2. maj 202 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring mat.dk Differentialregning Dennis Pipenbring 0. december 00 Indold Differentialregning 3. Grænseværdi............................. 3. Kontinuitet.............................. 8 Differentialkvotienten

Læs mere

Grundlæggende færdigheder

Grundlæggende færdigheder Regnetest A: Grundlæggende færdigheder Træn og Test Niveau: 7. klasse Uden brug af lommeregner 1 INFA-Matematik: Informatik i matematikundervisningen Et delprojekt under INFA: Informatik i skolens fag

Læs mere

Eksponentielle sammenhænge

Eksponentielle sammenhænge Eksponentielle sammenhænge 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Indholdsfortegnelse Variabel-sammenhænge... 1 1. Hvad er en eksponentiel sammenhæng?... 2 2. Forklaring med ord af eksponentiel vækst... 2, 6

Læs mere

Afstande, skæringer og vinkler i rummet

Afstande, skæringer og vinkler i rummet Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Nasser 9. april 20 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her.

Læs mere

Lektion 3 Sammensætning af regnearterne

Lektion 3 Sammensætning af regnearterne Lektion Sammensætning af regnearterne Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse... Plus, minus, gange og division... Negative tal... Parenteser og brøkstreger... Potenser og rødder... Lektion Side 1 Plus,

Læs mere

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller Matematiske vækstmodeller I matematik undersøger man ofte variables afhængighed af hinanden. Her ser man, at samme type af sammenhænge tit forekommer inden for en lang række forskellige områder. I kapitel

Læs mere

Matematik opgave Projekt afkodning Zehra, Pernille og Remuss

Matematik opgave Projekt afkodning Zehra, Pernille og Remuss Matematik opgave Projekt afkodning Zehra, Pernille og Remuss Opgave A Sæt de overstående symboler ind i en matematisk sammenhæng der gør dem forståelige. Det kan være som en sætning eller med tal og bogstaver

Læs mere

Atomer, molekyler og tilstande 5 Side 1 af 9 Aminosyrer, proteiner og enzymer

Atomer, molekyler og tilstande 5 Side 1 af 9 Aminosyrer, proteiner og enzymer Atomer, moekyer og tistande 5 Side 1 af 9 Sidste gang: Tistandsformer og overgange samt diverse kustofforbindeser og disses betydning for nanoteknoogien. I dag: Som opvarmning noget syre/base-teori, herefter

Læs mere

STÆVNING. 2. Finn Ben~n

STÆVNING. 2. Finn Ben~n _ PHILIP & PARTNERE Advouztfirma.nr. 8044007 01 Dok af 14. apri2008 STÆVNING _ som bobestyrer i Sam Zingersens dødsbo CPR.nr. 2202122267 ) indstævner jeg hermed v/bobestyrer, advok Bjørn Wittrup. Finn

Læs mere

6 1 Navri og hjemsted

6 1 Navri og hjemsted PHIIP & PARTNERE Ad~wXö rfirriir J.nr. 7936-001 Dok. af 21 juni 2007 FUNDATS FOR SAM ZINGERSENS FOND Ternevej 5 2000 Frederiksberg CVR-nr. 14 53 65 74 Bestyresen i Sam Zingersens Fond, der er stiftet af

Læs mere

Bliv Kontor-Yoga instruktør. Kunne du tænke dig at tilbyde Kontor-Yoga til virksomheder i dit område?

Bliv Kontor-Yoga instruktør. Kunne du tænke dig at tilbyde Kontor-Yoga til virksomheder i dit område? Biv Kontor-Yoga instruktør Kunne du tænke dig at tibyde Kontor-Yoga ti virksomheder i dit område? Kontor-Yogas intensive hedagskursus giver dig redskaberne ti at instruere medarbejdere med stiesiddende

Læs mere

EFTERSPØRGSELEN EFTER FLÆSK I KØBENHAVN

EFTERSPØRGSELEN EFTER FLÆSK I KØBENHAVN STUDER FRA AARHUS UNVERSTETS ØKONOMSKE NSTTUT, Nr. 5 EFTERSPØRGSELEN EFTER FLÆSK KØBENHAVN AF TRYGVE HAAVELMO EJNAR MUNKSGAARD 1 939 NDHOLDSFORTEGNELSE Side ndedning... 9. FæskeefterspØrgseens Struktur.

Læs mere

Impulsen. Januar Februar. Månedsplan Februar. Smykker i Magien Mandags-cafè i 67` m. Mette. Fælles ski-møde for ALLE ski-børn

Impulsen. Januar Februar. Månedsplan Februar. Smykker i Magien Mandags-cafè i 67` m. Mette. Fælles ski-møde for ALLE ski-børn Månedspan Februar UGE 6 Smykker i Magien 3-2 s-cafè i 67` m. Mette 4-2 Dyrehandes-tur m. Mette 5-2 Fæes ski-møde for ALLE ski-børn 6-2 7-2 UGE 7 Impusen Kanin-møde i Naturhuset m. Mia - Magien ukket Smykker

Læs mere

Svanemærkning af Primærbatterier

Svanemærkning af Primærbatterier Svanemærkning af Primærbatterier Version 4.2 22. juni 2011 30. juni 2016 Nordisk Mijømærkning Indhod Hvad er et Svanemærket Primærbatteri? 3 Hvorfor væge Svanemærkning? 3 Hvad kan Svanemærkes? 3 Hvordan

Læs mere

ForlÄb om beviser vedr. vektorer og koordinatgeometri i planen

ForlÄb om beviser vedr. vektorer og koordinatgeometri i planen ForÄb om beviser vedr. vektorer koordintgeometri i pnen ForÄb om beviser vedr. vektorer koordintgeometri i pnen Å 211 Krsten Juu Disse sider kn downodes fr www.mt1.dk. Siderne mç benyttes i undervisningen

Læs mere

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil

Læs mere

Stoftransport i planter og porøse stoffer. Lars Øgendal

Stoftransport i planter og porøse stoffer. Lars Øgendal Stoftransport i panter og porøse stoffer Lars Øgenda KVL 20. marts 2006 Indhod 1 Kapiaritet 2 1.1 Kontaktvinke................................... 2 1.2 Kapiareffekt................................... 3

Læs mere