MATEMATIK NOTAT 04 - LIGNINGER AF: CAND. POLYT. MICHEL MANDIX

Transkript

1 MATEMATIK NOTAT 04 - LIGNINGER AF: CAND. POLYT. MICHEL MANDIX SIDSTE REVISION: AUGUST 07

2 Miche Mandi (07) Enheder Side af 9 Indhodsfortegnese: INDHOLDSFORTEGNELSE:... LIGNINGER... 3 HVAD ER EN LIGNING?... 3 LØSNING AF LIGNINGER... 5 REGNEREGLER FOR LØSNING AF LIGNINGER... 8 ENSBETYDENDE LIGNINGER... NULREGLEN... FAKTORISERING:... TILBAGE TIL NULREGLEN... 3

3 Miche Mandi (07) Side 3 af 9 Mange gange om dagen, hver eneste dag 4/7, udregner man igninger bevidst eer ubevidst for at komme igennem hverdagen. Eksemper kan være: Man står i supermarkedet, og ska regne ud, om man har råd ti eer 3 iter etmæk. Som nævnt i et tidigere afsnit, kan man stå og vurdere idt på, om man har råd ti at tage en tai hjem. Andre eksemper kan være: Teefonregninger, transporttider, madopskrifter, forbrug etc. Noge gange regner man rent faktisk på de forskeige situationer, men mange gange afgør man situationen med sig sev, baseret på sund fornuft og måske idt matematisk baggrundsviden. Hvad er en igning? Matematiske sætninger kan skrives på mange måder. Afhængigt af, hvad det er, man forsøger at udtrykke, findes der en korrekt matematisk opskrivningsmetode. Der findes mange typer matematiske tekster. Noge indehoder variabe, mens andre er mere simpe. Åbne og ukkede udtryk og udsagn. Ved ukkede udsagn forstås sammenstiinger af ord eer symboer, som udtrykker en påstand, som kan være sand eer fask. Disse kan skrives som (dansk) tekst eer med matematiske symboer: Eksemper: I 009 var der fere tyskere end danskere. (Sandt, ukket udsagn.) Danmark er en by i Frankrig. (Fask, ukket udsagn.) 4 (Sandt, ukket udsagn.) 5 (Fask, ukket udsagn.) Det ukkede udsagn 4, der er sandt, består af to ukkede udtryk eer navne: og 4. Disse to ukkede udtryk forbindes af ighedstegnet Ofte vi man i matematikken benytte variabe. Disse repræsenterer fere navne på en gang. Dette er meget praktisk, når der ska udføres gentagne beregninger, hvor et eer fere af størreserne ændres for hver beregning. Ofte ser man, y og z repræsentere vikårige hee ta. Ved skriftig fremstiing, skrives variabe atid i kursiv! Idet man indfører variabe, så giver det også meget mere feksibiitet i det skriftige sprog. Dermed fremkommer åbne udtryk og åbne udsagn. Eksemper: 3 (Åbent udtryk) 3 5 (Åbent udsagn) Så for at opsummere: En simpe udregning kades for et udtryk. Det kendetegnes ved ikke at indehode komparative operatorer såsom ighedstegn, uighedstegn etc. Indehoder udtrykket kun ta og ingen konstanter, kades det for et ukket udtryk, hvorimod det kades for et åbent udtryk såfremt der indgår variabe. Udtryk: Lukket udtryk: (Uden variabe) (Uden ighedstegn) Lukket udtryk: 7 (Uden variabe) Åbent udtryk: 3 (Med variabe) Åbent udtryk: 8 (Med variabe) Udsagn: Lukket udsagn: 4 (Uden variabe) (Med ighedstegn) Åbent udsagn: 3 5 (Med variabe)

4 Miche Mandi (07) Side 4 af 9 Når man har to udtryk, kan de sættes sammen ti et udsagn vha. en af de komparative operatorer. Disse er: eer Lig med Mindre end Mindre end eer ig med Større end Større end eer ig med Forskeig fra (ikke ig med) I dette notat omtaes udeukkende "Lig med" Som antydet, så vi dette ende i et udsagn: Kombinationer af to ukkede udtryk: 4 Sandt " Sandt" og " Fask " kan bruges om ukkede udsagn Fask Sandt Fask Sand Fask Sandt Sandt Kombinationer af to åbne udtryk: Kombinationer at et åbent udtryk og et ukket udtryk_

5 Miche Mandi (07) Side 5 af 9 En igning indehoder et ighedstegn, og er såedes et udsagn. Man kan også sige, at der er fremsat en påstand om, at de to sider er værdimæssigt ens. En meget vigtig ting om at igninger er udsagn er netop, at et udsagn kan vurderes som sandt eer fask. Afhængigt af opgavens type, kan man sagtens komme ud for en situation, hvor ighedstegnet ikke er sandt. Det er naturigvis forvirrende, for der står gerne en matematikærer og siger, at ET LIGHEDS- TEGN SKAL ALTID TALE SANDT, og det er for så vidt også fudstændig korrekt, når man arbejder med traditione matematik og igningsøsning. Men i anvendt matematik sker det, at man ska påvise at f.eks. en inje går igennem et bestemt punkt. Det gør man ved at indsætte hhv. punktets - og y-værdi i injens igning for at se om det stemmer. HVIS det stemmer, så er punktet beiggende på injen, men HVIS DET IKKE STEMMER, så er det jo bare et udtryk for, at punktet ikke er beiggende på injen. Det betyder ikke nødvendigvis, at der er bevet begået en matematisk fej. En igning kan også kades for en identitet eer et udsagn. En matematisk igning er et udtryk som fastsår at to udtryk (ofte kadet hhv. venstre og højre side af igningen) er ige store, skrevet op på formen: (Det ene udtryk) = (det andet udtryk). Amindeigvis indgår én eer fere ubekendte tastørreser, repræsenteret ved et eer fere bogstaver (ofte, men det kan sagtens være ae muige andre bogstaver særigt, hvis man støder på samme matematiske probem i et andet fag. I kemi regner man f.eks. på koncentrationer, og de benævnes c). Man kan sammenigne en igning med en vippe på en egepads eer en gammedags vægt. Idet der i igningen indgår et ighedstegn, betyder det, at at det, som står på venstre side af ighedstegnet SKAL være ig med at det, som står på højre side af ighedstegnet. Lighedstegnet betyder såedes ikke, at det på den ene side giver det resutat, som står på den anden side. Lighedstegnet betyder, at DE TO SIDER SKAL HAVE SAMME VÆRDI! Dette er meget vigtigt! Det er hee grundaget for forståesen af, hvad igninger ska bruges ti. Hvis der på en vippe i igevægt, sætter sig en dreng på 40 kg på den ene side af vippen, så vi vippen tynges ned i den ende. Vippen er ikke ængere i igevægt! Hvis man ser bort fra den muighed at drengen stiger ned fra vippen igen, så er den eneste muighed for at vippen igen kommer i igevægt, at der på den anden side af vippen sætter sig en dreng eer en pige, som også vejer 40 kg. Hvis det sker, så er vippen igen i igevægt. Med andre ord, så er vippen i igevægt hee tiden, hvis de to sider øbende biver identisk beastet! Det er præcis det samme, som gør sig gædende med igninger. Løsning af igninger Som aerede nævnt, kan der i en igning indgå en eer fere ubekendte størreser. Ofte kades den (hvis der kun er én) for, men det er angtfra atid tifædet. Der er mange måder at forkare på, hvad det vi sige at øse en igning. En af de mest gængse, får man i fokeskoen: Denne forkaring går ud på at man ska finde. Man ærer efterføgende at isoere, så man ti sidst har facit = En eer anden taværdi. De eever, som har interesseret sig idt mere for, hvad det vi sige at øse en igning, har garanteret bemærket, at den -værdi, som man finder frem ti er netop den -værdi, hvor den grafiske afbidning af probemet, skærer -aksen. Denne sidste betragtning, er medvirkende ti en god og korrekt forkaring på, hvad det vi sige at øse en igning.

6 Miche Mandi (07) Side 6 af 9 Her er det nødvendigt at forkare idt om, hvad man kan bruge en igning ti. Bare roig, det biver beskrevet mere detajeret i et senere afsnit. En igning kan som også tidigere beskrevet) bruges ti at udregne en taværdi gerne på baggrund af et input i form af den ukendte variabe f.eks.. Det er næppe overraskende, at resutatet afhænger af, hviken -værdi, som man indsætter i igningen. Et eksempe kan være: En Jaguar (X300 fra 995) bruger iføge on-board-computeren 3,5 for at køre 00 km. Benzinforbruget kan såedes beregnes som: Forbrug 3, 5 00 km 00 km km Forbrug 00 km 3, 5 km km Forbrug 74, Dvs. at den kører 7,4 km per. Hvis man vi vide hvor angt man kan køre med en bestemt mængde kan føgende igning opskrives: km Distance 74,, hvor er mængden af i tanken måt i iter. Hvis der er 0 i tanken, kan man køre: km Dis tance 74, km Dis tance 7, 4 0 Dis tance 74 km Er der derimod 0 i tanken, kan man køre: km Dis tance 74, km Dis tance 7, 4 0 Dis tance 48 km

7 Miche Mandi (07) Side 7 af 9 Hvis man er øbet tør for, fås føgende igning: km Dis tance 75, km Dis tance 7, 5 0 Dis tance 0 km hviket ikke er overraskende, da man ikke kommer angt i en drevet bi uden. I dette eksempe er resutatet ig med 0 km, og man kan sige, at udsagnet giver resutatet 0 km. Indsættes sammenhængen meem forbrug og distance i et koordinatsystem, viser det sig også, at der er tae om en ineær sammenhæng, som går igennem origo. Dette kades også for en igefrem proportionaitet. Udsagnets resutat er atså afhængigt af den ubekendte variabe. I dette eksempe mængden af brændstof i tanken. Derfor kades den ubekendte variabe (her: ) for den uafhængige variabe, mens resutatet, der jo indsættes som y-værdien i koordinatsystemet kades for den afhængige variabe. Den kades såedes, fordi den er afhængig af, hvad (dvs. den uafhængige variabe) er. På en eer anden måde (hviket betyder, at man af og ti kan skyde en matematisk genvej, så det ikke nødvendigvis vi se sådan ud), så vi en igning atid kunne øses ved at omskrive igningen, så der kommer ti at stå 0 (nu) på den ene side (oftest den højre side). Givet et mere teoretisk eksempe: 6 4 Ska denne igning øses efter ae kunstens reger, ska igningen omskrives såedes, at den ene side af igningen giver 0 (nu). Husk, at dette betyder, at BEGGE sider ska have værdien 0. For at repetere teorien bag igningsøsning, så kan man gøre mange forskeige ting (mere om det senere), bare man gør det på BEGGE SIDER af ighedstegnet. I dette tifæde ægges der 4 ti på begge sider. På højre side betyder det, at der står: 4 4, hviket giver 0. På venstre side betyder det, at der kommer ti at stå: 6 4. Led med variabe og ed med ta behandes hver for sig, så 6 4 kan omskrives ti:. I fokeskoen forkares dette ofte som at fytte et ed over på den anden side og skifte fortegn. Det kan da også se sådan ud, men egentig er den forkaring noget værre vrøv. Har man et ed på f.eks. -4, så kan det neutraiseres ved at ægge 4 ti = 0, men da man er nødt ti at udføre operationen på begge sider af ighedstegnet, kan det godt tokes som at fytte eddet over og skifte fortegn, men det er i virkeigheden kun den synige virkning af at ægge et ed ti eer trække et ed fra for at neutraisere et ed. Resutatet af dette biver såedes: Nu er igningen omskrevet, så den ene side er ig med 0. Som aerede nævnt, så kan man i visse tifæde opeve, at dette ikke er nødvendigt eer at det endda gør udregningen mere kompiceret.

8 Miche Mandi (07) Side 8 af 9 Ligningen er dog angt fra øst. For at øse igningen er det nødvendigt at isoere den ubekendte variabe i dette tifæde. Igen hander det om at udføre identiske operationer på begge sider af ighedstegnet. Først ægges der ti på begge sider for at neutraisere de " " som står på venstre side. 0 0 Nu er det ed, hvor forekommer isoeret, men det er ikke interessant hvor meget er. Det er kun spændende at vide, hvor meget er. Derfor divideres med. Som atid er det vigtigt at det gøres på begge sider: Løsningen på igningen er atså:. Ser man på igen på, hvordan man indtegner en igning i et koordinatsystem, så er resutatet af igningen når man sætter en -værdi ind den værdi, som i koordinatsystemet indtegnes som den y-værdi, der hører ti den -værdi der er bevet indsat. Husk, at man øser en igning ved at omskrive den, så en af siderne er ig med 0. Det betyder så, at ska man indtegne denne øsning i et koordinatsystem, så er det på forhånd givet, at resutatet af udregningen ska være ig med 0. Dette betyder så igen, at i den grafiske afbidning, så er y-værdien ig med 0 for denne øsning. Når y-værdien er ig med 0, så er det het sikkert, at man befinder sig et eer andet sted på -aksen. Se bot på et amindeigt kartesisk koordinatsystem. Uanset hvor på -aksen man peger, så vi y-værdien være ig med 0. Det er derfor man i fokeskoen har fået at vide, at øsningen på en igning er skæring med -aksen, men dette er sådan set kun et biprodukt af at have øst igningen. Pointen er, at man søger de steder på -aksen (de -værdier), hvor igningen har resutatet 0. Med andre ord: De steder, hvor den grafiske afbidning skærer -aksen. Dette er væsentigt at forstå i forbindese med igningsøsning! Regnereger for øsning af igninger Som det aerede er antydet, så kan man gøre næsten hvad man vi med en igning, så ænge man gør det på begge sider af ighedstegnet. Sevom der er reativt frie hænder mht. igningsoperationer, beskrives kun noge af dem i dette notat. Fere igningsoperationer vi bive introduceret i undervisningen senere. Ti ae tider er det vigtigste at at hvad man gør, at man husker at gøre det på begge sider af ighedstegnet.

9 Miche Mandi (07) Side 9 af 9 Addition: Man må ægge det samme ta ti på begge sider af ighedstegnet: Eksempe: Som tidigere nævnt, kan det være værd at bemærke, at denne operation ofte (fejagtigt) refereres ti som at: fytte et ed over på den anden side af ighedstegnet og skifte fortegn. I dette tifæde kan det ses, som at der står " 5" på venstre side i igningen. Hvis man er idt øvet, så pejer man ikke at skrive: " 5 5", så det ignoreres bare. På højre side af igningen optræder pudseig: " 5", så for det utrænede øje, kan det godt se ud som om at eddet fytter side og skifter fortegn. Subtraktion: Man må trække det samme ta fra på begge sider af ighedstegnet: Eksempe: Som tidigere nævnt, kan det være værd at bemærke, at denne operation ofte (fejagtigt) refereres ti som at: fytte et ed over på den anden side af ighedstegnet og skifte fortegn. I dette tifæde kan det ses, som at der står " 6" på venstre side i igningen. Hvis man er idt øvet, så pejer man ikke at skrive: " 6 6", så det ignoreres bare. På højre side af igningen optræder pudseig: " 6", så for det utrænede øje, kan det godt se ud som om at eddet fytter side og skifter fortegn. HUSK, at se godt på fortegnene. Det er en meget amindeig fej at overse fortegnene i en situation som denne Mutipikation: Man må gange det samme ta ti på begge sider af ighedstegnet. Dog må dette ta IKKE VÆRE 0: Eksempe:

10 Miche Mandi (07) Side 0 af 9 Vær opmærksom på, hvis der er fere ed på den ene side i en igning. Da ska ALLE ed, ganges! Muigvis er man i fokeskoen stødt på udtrykket: gange over kors. Dette er et trick, som kan bruges, hvis begge sider af igningen er skrevet som brøker. a c ad bc b d Bevis: a c a c bda bdc bd bd ad bc Q.E.D. b d b d b d I det virkeige iv, vi man nok være mere interesseret i at standse på havvejen, dvs.: a c b d bc ad ad bc a eer c eer b eer d d b c a Division: Man må dividere med det samme ta ti på begge sider af ighedstegnet. Dog må dette ta IKKE VÆRE 0: Eksempe: Det er en af de grundæggende dødssynder i matematik, hvis man dividerer med 0. Vær opmærksom på, hvis der er fere ed på den ene side i en igning. Da ska ALLE ed, divideres! Uden at beskrive fere operationer, kan kort nævnes: Uddragning af n te rod (herunder kvadratrod), opøftning i n te potens, ogaritme samt mange andre. Reger: a) Man må ægge det samme ta ti på begge sider af ighedstegnet: b) Man må trække det samme ta fra på begge sider af ighedstegnet: c) Man må gange det samme ta ti på begge sider af ighedstegnet. Dog må dette ta IKKE VÆRE 0: d) Man må dividere med det samme ta ti på begge sider af ighedstegnet. Bortset fra 0. e) Man må atid reducere en enket side af igningen, idet det ikke ændrer udtrykkets værdi.

11 Miche Mandi (07) Side af 9 I matematikopgaver, kan man med forde anvende føgende fremgangsmåde når man øser igninger: ) Skriv atid grundformen. (Dette er smart, for når man ska æse ti eksamen, så er der ingen tviv om, hvor formen kommer fra, hvis man har skrevet grundformen.) ) Omskriv grundformen, så den kommer ti at stå på den form man ønsker. Med andre ord, så er det her, at man kan isoere den ønskede variabe. 3) Indsæt (hvis det er nødvendigt) de aktuee variabenavne, som er gædende i opgaven. 4) Indsæt taværdier. 5) Udregn facit. Er der behov for yderigere meemregninger for at øge overskueigheden, så kan de frit indsættes. Det vigtigste er, at ovenstående rækkeføge biver overhodt. Des for at minimere fej, men også for at indarbejde en vane, så det ti sidst biver rutine at øse en simpe igning. Eksempe: (Det er ikke vigtigt at forstå seve matematikken endnu... Bare se på opstiingen.) Givet en trekant RST med føgende værdier: R 35, r 9 og S 87. a sin b A sin B Grundforme asin b sin rsin s sin B A S R 9sin 87 90,9986 s sin 35 0, , 9877 s 0, 5736 Omskrevet grundforme Indsætter aktuee variabenavne Indsætter taværdier Reducerer s 5,7 Udregner facit Ensbetydende igninger I de eksemper, som er vist i dette afsnit, optræder der fere gange denne pi:. Denne pi kades for en biimpikation. I matematisk notation kan den forekomme både vandret og odret: eer. Denne type pi bruges, når en igning omskrives ti en anden igning, som har præcis de samme øsninger I ovenstående tifæde (som er brugt tidigere i dette notat), bemærkes det, at den øverste inje beskriver at: 5 8. Sagt på dansk betyder det, at man har et ta,, hviket man trækker 5 fra, og får resutatet 8.

12 Miche Mandi (07) Side af 9 Ser man i stedet på den midterste inje, så er det givet at: Det er måske vodsomt indysende, men her står, at hvis man har et ta,, og trækker 5 fra og ægger 5 ti, så får man resutatet 8 5. Da udsagnet stadig stemmer, kan man siger, at det matematisk set er fudkommen igegydigt om man væger at bruge den første eer den anden inje de er begge gydige og siger begge præcis det samme. Tager man den tredje inje med, så står der, at 3. Det er stadig gydigt, og i princippet er det præcis det samme, der står i den første inje. Fordi det er det samme der står i de tre injer, skrives der en dobbetpi (biimpikation) imeem dem, for at vise, at injerne betyder det samme. At der er tre injer, er for at vise progressionen i udregningen med et anta meemregninger. Man kan også sige, at de tre injer i igningen har den samme øsning, men idet der er brugt ovige metoder ti at omskrive igningen, så er det den samme igning, og der skrives biimpikationspie imeem injerne. Det er vigtigt at forstå, at DER ER FORSKEL PÅ BIIMPLIKATIONER OG LIGHEDSTEGN. Lighedstegn fortæer, at to størreser er identiske (også sevom de er skrevet på forskeige måder), mens biimpikationer beskriver sammenhængen meem to udsagn. Man kan også sige, at hvis inje gæder, så gæder også inje OG OMVENDT! Nuregen Et produkt er ig med nu hvis og kun hvis en (eer fere) af faktorerne er ig med nu. Af og ti kan man meget nemt øse reativt kompicerede igninger. Særigt i forbindese med igninger af. orden (andengradsigninger) og derover, kan man af og ti sippe troig nemt over det. Forudsætningen for at kunne drage fud forde af nuregen er, at man har kendskab ti hvordan man faktoriserer. Faktorisering: Et ta kan opøses i faktorer. Dette er især brugbart, når der ska regnes med kvadratrødder. Når et udtryk består af to eer fere ed, kan det hænde, at eddene har en faktor ti fæes. Hvis det er tifædet, kan denne fæes faktor sættes uden for en parentes. Eksempe Ta opøses i faktorer: Se på taet 36. Hvis det ska opøses i faktorer (husk at faktorer er ingredienserne i et mutipikationsstykke), så undersøges det, hvike ta som går op i 36. De nemme gæt er atid og 3, for de går ofte op i større ta. Ti sidst vi det dog vise sig, at ae faktorerne ska være primta. (Ta, hvor kun taet sev og taet går op i) Så i princippet kunne man, hver gang man skue skrive taet 36 i stedet skrive 3 3, for det er jo ige vist, at det er det samme. Dog nok idt besværigt i ængden. Bemærk, at både taet og taet 3 er primta. Som et andet eksempe betragtes taet Da både taet og taet 7 er primta, kan der ikke faktoriseres yderigere.

13 Miche Mandi (07) Side 3 af 9 Ti sidst ska taet 9 faktoriseres. Men da der ikke er noget ta, som er mindre end 9 som går op i 9 (bortset fra taet, som jo går op i ae ta), så er det i forvejen et primta og kan ikke faktoriseres. Eksempe Mutipe faktorer opøses i endnu fere faktorer: Se på udtrykket. I virkeigheden står der, så det er i virkeigheden to ta, som mutipiceres. Det ene ta er og det andet ta er.. Faktoriseringen biver der- Taet faktoriseres som aerede beskrevet, men for: er det samme som Eksempe Mutipe ed opøses i faktorer: Se på udtrykket 4. I virkeigheden står der 4, så det er i virkeigheden to ta, som adderes. Det ene ta er, hviket kan skrives som 43. Det kunne godt være faktoriseret yderigere ti: 3, men det er ikke nødvendigt i dette eksempe. Hee udtrykket derfor kan skrives som: Der er stadig to ed (adskit af pus-tegnet), og det ses at faktoren 4 indgår i begge ed. Derfor kan faktoren 4 sættes udenfor en parentes: Husk, at der underforstået er et gangetegn meem faktoren og parentesen: , så det der er sket er, at et udtryk, som oprindeigt bestod af to ed (et pusstykke) nu består af to faktorer (et gangestykke). Deraf navnet: faktorisering. Vi man se om man har faktoriseret korrekt, kan man ganske enket gange faktoren foran parentesen ind i parentesen igen og kontroere om man når frem ti udgangspunktet: Tibage ti nuregen Det er nu vist, hvordan man kan faktorisere et eer fere ed så udtrykket ender med at bive et produkt i stedet for en sum eer en differens. Det er her, at nuregen er meget praktisk: Eksempet fra før fortsætter: Det er naturigvis muigt at øse igningen 4 0 på norma vis, og man kan jo også sagtens forestie sig, at det er en væsentigt mere kompiceret igning i en anden sammenhæng, men her øses igningen: Trækker fra på begge sider Dividerer med 4 på begge sider

14 Miche Mandi (07) Side 4 af 9 Man kunne i stedet (med forde) anvende nuregen. Som aerede nævnt, så siger regen, at hvis et produkt giver nu, så må mindst én af faktorerne være ig med nu Skrives igningen på den faktoriserede form fås: Det er atså et produkt, som er ig med 0. Når igningen er bevet faktoriseret, består det (i dette tifæde) af to ta eer faktorer. Det ene ta er 4 og det andet ta er 3. Nuregen siger, at mindst en af faktorerne er nu. Det ene produkt er ig med 4, så det kan ikke være ig med 0. Det andet produkt er ig med 3, så det undersøges, om det kan give Da parentesen ikke er nødvendig fjernes den. (Pusparentes) Trækker 3 fra på begge sider Det kan argumenteres, hvor meget man sparer ved at benytte nuregen i dette eksempe. Det er en rimeig diskussion, da det er et meget simpet og nemt eksempe, men se på et mere kompiceret eksempe. Givet igningen: 4 0 Dette er en andengradsigning, og vi normat kræve et mere avanceret formeapparat for at kunne øses. Det bemærkes dog, at der kun er to ed (der er normat tre), og at begge ed indehoder faktoren. Udtrykket faktoriseres: Det er nu muigt i stedet for at køre det noget mere kompicerede formeapparat ti øsning af andengradsigninger at øse denne igning (næsten som hovedregning). Betragtes igningen, så ska mindst én af de to faktorer være ig med 0, idet produktet er ig med 0. Så enten er 0, hviket der ikke er noget hokus-pokus i: 0 4 0, eer også er Naturigvis kan ikke være ig med 0 og ig med 4 på samme tid, så øsningen skrives: 0 4, hvor det matematiske tegn betyder eer.

15 Miche Mandi (07) Side 5 af 9 Opgaver Opgave L0 og uigheder (Udtryk og udsagn) Afgør om hvert af føgende udtryk er et udsagn og angiv i bekræftende fad sandhedsværdien (Sand//Fask). a) 0 b) 0 er et ige ta c) d) er et stort ta e) g) 3 3 f) 7,64575 For ae er 0 h) i) er et ie ta j) Når en trekant er igebenet er den også igesidet Opgave sut Opgave L0 og uigheder (Mængdebyggeren) Bestem grundmængden for føgende udtryk: a) b) c) d) e) f) Opgave sut Opgave L03 og uigheder ( med ubekendt) Bestem grundmængde og i føgende igninger: a) b) Opgave sut c)

16 Miche Mandi (07) Side 6 af 9 Opgave L04 og uigheder ( med ubekendt) Bestem grundmængde og i føgende igninger: a) b) c) Opgave sut Opgave L05 og uigheder ( med ubekendt) Løs hver af føgende igninger: b) 3 a) c) 3 d) 3 3 e) 4 5 f) Opgave sut Opgave L06 og uigheder ( med ubekendt) Bestem grundmængden for hver af føgende igninger, og øs dem derefter: 4 a) b) 3 3 c) d) 3 e) 3 f) Opgave sut Opgave L07 og uigheder ( med ubekendt) Bestem grundmængde og i føgende igninger: a) b) c) Opgave sut

17 Miche Mandi (07) Side 7 af 9 Opgave L08 og uigheder (Tekniske igninger) I forbindese med styrkeberegning af en bjæke med rektanguært tværsnit anvendes en størrese, der kades tværsnittets modstandsmoment, og som benævnes med bogstavet W. For en bjæke med tværsnit b h gæder føgende forme for beregning af tværsnittets modstandsmoment W : W b h 6 3 Beregn tværsnittets bredde, b, når: W 00000mm og h 00mm Opgave sut Opgave L09 og uigheder (Tekst igninger) Ved betaing for sit årige e-forbrug kan Marie væge meem at betae: a) 70,3 øre/kwh eer b) en fast årig afgift på 38 kr pus 0,47 kr/kwh. For hvike forbrug er a) dyrere end b) Opgave sut

18 Miche Mandi (07) Side 8 af 9 Facitiste Opgave L0 Afgør om hvert af føgende udtryk er et udsagn og angiv o bekræftende fad sandhedsværdien (Sand//Fask). a) 0 Sand b) 0 er et ige ta Sand c) Fask d) er et stort ta Nonsens e) g) 3 3 Sand f) 7,64575 Fask For ae er 0 Fask h) Fask i) er et ie ta Nonsens j) Når en trekant er igebenet er den også igesidet Fask Opgave sut Opgave L0 Bestem grundmængden for føgende udtryk: a) c) 3 G 0 b) G 3 d) 3 G 3 G 0 e) G 3 f) G Opgave sut Opgave L03 Bestem grundmængde og i føgende igninger: a) og uigheder ( med ubekendt) G 8 b) G 0 c) G Opgave sut Opgave L04 Bestem grundmængde og i føgende igninger: og uigheder ( med ubekendt) a) G b) G c) G Opgave sut Opgave L05 og uigheder ( med ubekendt) Løs hver af føgende igninger: a) b) 3 c) 3 d) 3 L e) 4 5 L f) Opgave sut

19 Miche Mandi (07) Side 9 af 9 Opgave L06 og uigheder ( med ubekendt) Bestem grundmængden for hver af føgende igninger, og øs dem derefter: G 4 a) c) 3 3 G 3 e) b) 3 3 G L d) 4 3 G L 5 4 f) 3 G ; 5 3 G Opgave sut Opgave L07 Bestem grundmængde og i føgende igninger: og uigheder ( med ubekendt) a) 0 G 3 4 b) G 6; c) G 0; Opgave sut Opgave L08 og uigheder (Tekniske igninger) I forbindese med styrkeberegning af en bjæke med rektanguært tværsnit anvendes en størrese, der kades tværsnittets modstandsmoment, og som benævnes med bogstavet W. For en bjæke med tværsnit b h gæder føgende forme for beregning af tværsnittets modstandsmoment W : W b h 6 Beregn tværsnittets bredde, b, når: W mm og h 00mm b 60 mm Opgave sut Opgave L09 og uigheder (Tekst igninger) Ved betaing for sit årige e-forbrug kan Marie væge meem at betae: c) 70,3 øre/kwh eer d) en fast årig afgift på 38 kr pus 0,47 kr/kwh. For hvike forbrug er a) dyrere end b). a) er dyrere end b), når forbrug>639,5 kwh Opgave sut