Matematik - introduktion. Martin Lauesen February 23, 2011

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Matematik - introduktion. Martin Lauesen February 23, 2011"

Transkript

1 Mtemtik - introduktion Mrtin Luesen Februry 23,

2 Contents 1 Aritmetik og elementær lgebr Symboler ligheder uligheder trnsitivitet De fire regnerter regneopertioner ddition subtrktion multipliktion division Opertorhierrki stndrdhierrki kvliteter ved de fire regnerter kommuttivitet ssocitivitet distributivitet identitetselementer ddition og subtrktion multipliktion og division modstte regnerter summtion og subtrktion multipliktion og division opertionsoversigt inverse elementer, ddition og subtrktion de negtive tl summtion og subtrktion med negtive tl multipliktion og division med negtive tl smmenftning f regler for negtive tl inverse elementer for multipliktion og division brøker multipliktion f brøker division f brøker forlængelse f en brøk summtion og subtrktion f brøker forkortning f brøker smmenftning f brøkregningsregler ntl regnerter prnteser opløsning f prnteser t sætte udenfor prntes eksponenter definition kvliteter ved eksponentopertoren

3 egenskber ved eksponentopertoren smmenftning f eksponentregler udsgn generelle udsgn syllogismer logiske symboler mtemtiske udsgn

4 1 Aritmetik og elementær lgebr Ved begrebet ritmetik forstås simpel tlregning med de fire regnerter plus, minus, gnge og dividere. Ordet stmmer fr det græske ord αριθµητ ιχη, rithmetikhe, dnnet f αριθµøς, rithmos, der betyder tl og τ ɛχνη, techne, der betyder håndværk. Generelt bruges der i mtemtikken mnge ord fr græsk, ltin og rbisk, d de vr hovedsprogene for de kulturer, der formede vores moderne mtemtiske begreber. Hvor ritmetikken hndler om tlhåndværk, hndler lgebr om t træde et skridt tilbge og se de generelle forhold for tl. ved lgebr regner mn således med symboler, ofte bogstver, der repræsenterer tl. Ordet lgebr stmmer fr det rbiske l-jebr, der står for genforening f opbrudte dele. 1.1 Symboler Mtemtik er et sprog, der i høj grd læner sig op d grfiske symboler. Som eksempel bruger vi de hindu-rbiske symboler 3, 5 og 8 som repræsentnter for ntllene tre, fem og otte. Smmenstillingen f bogstverne t, r og e til ordet tre er i sig selv et symbol, der knyttes til lyden f det tlte ord tre, hvis mn hr lært t tolke symbolet, lært t læse. Selv lyden f det tlte ord tre er et symbol, der henviser til vores forståelse f ntllet tre, hvis mn hr lært dnsk. Hvd der egentlig ligger til grund for vores oplevelse f ntllet tre er et fundmentlt spørgsmål til vores bevidstheds ntur, og svret findes ikke i selve mtemtikken. Som ved ndre sprog kn de indledende øvelser virke uinteressnte, indtil mn bruger sproget til t modtge eller udtrykke mening. Det er vigtigt t skelne mellem de smmenhænge og indsigter, der træder frem, og sproget, der formidler dem. Émilie du Châtelets indsigt om bevægelsesenergi kn præsenteres således gennem det skrevne sprog: Et objekts bevægelsesenergi er proportionl med produktet f objektets msse og kvdrtet f dets hstighed Eller smme smmenhæng udtrykt ved ved det mtemtiske sprogs symboler: E kin m v 2 Hvor E kin står for bevægelsesenergien, også kldet den kinetiske energi ; er et symbol, der ngiver, t det, der står til venstre for symbolet, er proportionlt til det, der står til højre for symbolet; m står for objektets msse; v for objektets hstighed, også kldet velocity og 2 ngiver kvdrering. I denne tekst vil mnge betrgtninger virke overflødige, d de kun fremhæver noget, vi lle ved. Hvorfor skulle mn pointere, t giver det smme som 3 + 2? og hvorfor give dette forhold betegnelsen kommuttiv? At den type fordybelse i det åbenlyse kn bære frugt, kender vi fr grmmtikken, hvor selv 4

5 grnskning f det sprog, vi er vokset op med, kn bringe større forståelse og påskønnelse f sprogets nuncer. Det kn virke unødigt t oprette ordklssen substntiv og påpege, t ordet rose hører til denne ktegori; men forståelsen f dette mærkt bner vej for en lettere tilegnelse f fremmedsprog. Mtemtikken hr sin egen grmmtik, hvor symboler for objekter som ntl, størrelse og form optræder i meningsfyldte udsgn smmen med symboler for større, mindre og lig med ligheder Ved nottion f mtemtiske udsgn kn det føles omstændigt t skrive er lig med gentgne gnge. Det moderne symbol for lig med optræder først i 1557 i bogen The Whetstone of Witte f Robert Recorde. Det ltinske equlis, eller forkortelser herf, blev brugt med smme betydning frem til slutningen f 1700 tllet Tegnet = ngiver, t det, der står på venstre og højre side f tegnet, hr smme størrelse. Eksempelvis = 5 Tegnet ngiver, t det, der står på venstre og højre side f tegnet, hr forskellig størrelse. Eksempelvis 4 7 Tegnet ngiver, t det, der står på venstre og højre side f tegnet, stort set hr smme størrelse. Eksempelvis uligheder Tegnet ngiver, t det, der står på venstre og højre side f tegnet, ikke er f smme størrelse. Eksempelvis 4 3 Tegnet > ngiver, t det, der står på venstre side, er større end det, der står på højre side f tegnet. Eksempelvis 3 > 2 Tegnet < ngiver, t det, der står på venstre side, er mindre end det, der står på højre side f tegnet. Eksempelvis 4 < trnsitivitet Fr den klssiske logiks syllogismer kendes udsgn f følgende type: Hvis lle roser er krplnter og lle krplnter hr specielle rør til sukkertrnsport, så hr lle roser specielle rør til sukkertrnsport For reltionerne =, > og < gælder et lignende forhold, den såkldt trnsitive regel: 5

6 hvis = b og b = c så er = c Eksempel: hvis 5 = og = så er 5 = hvis > b og b > c så er > c Eksempel: hvis 8 > og > så er 8 > hvis < b og b < c så er < c Eksempel: hvis 2 < og < så er 2 < De fire regnerter regneopertioner I den følgende tekst vil de fire kendte regnerter blive omtlt som opertorer og de tl, der indgår beregningen, kldes opernder. Ved t give regnerterne et smlenvn, opertorer, fremhæves den fælles kvlitet, t de lle er forvndlinger, der ud fr to givne tl kn frembringe et nyt tl. Der er mrknte forskelle og smmenfld for, hvordn disse opertorer opfører sig. Dette beskrives nærmere i de følgende fsnit ddition At lægge smmen eller plus vælger mn indenfor ritmetikken t klde ddition eller summtion. Addition ngives ved tegnet +, der plceres mellem opernderne. Opernderne for dditionen kldes ddender eller led. Resulttet f en ddition kldes en sum Eksempel: = 7 her bliver leddene 2 og 5 dderet, og den resulterende sum er subtrktion At trække fr eller minus vælger mn indenfor ritmetikken t klde subtrktion. Subtrktion ngives ved tegnet, der plceres mellem opernderne. Den opernd, der subtrheres fr, står til venstre for tegnet kldes og minuenden. Den opernd, der trækkes fr, står til højre for tegnet og kldes subtrhenden. Såvel minuenden som subtrhenden omtles ofte som led. Resulttet f en subtrktion kldes en difference Eksempel: 8 3 = 5 her bliver subtrhenden 3 subtrheret fr minuenden 8, og den resulterende difference er 5 6

7 1.2.4 multipliktion At gnge vælger mn indenfor ritmetikken t klde multipliktion. Multipliktion ngives ved tegnet eller tegnet, der plceres mellem opernderne. Opernderne i multipliktionen kldes fktorer. Resulttet f en multipliktion kldes et produkt Eksempel: 3 2 = 6 her bliver fktoren 3 multipliceret med fktoren 2, og det resulterende produkt er 6 Opertortegnet for multipliktion udeldes ofte, når én eller flere f fktorerne ikke er fstlgte tl. I sådnne tilfælde vælger mn ofte t plcere en fktor, der er et fstlgt tl, før ndre fktorer. Eksempel: 2 vil kunne skrives som 2, hvor repræsenterer et tl, der ikke er endeligt fstlgt division At dele eller dividere vælger mn indenfor ritmetikken t klde division. Division ngives ved tegnet / eller tegnet :, der plceres mellem opernderne, eller ved tegnet, hvor opernderne plceres over og under tegnet, der kldes en brøkstreg. Den opernd, der skl deles, står til venstre for eller over stregen og kldes dividenden. Den opernd, der skl deles med, står til højre for eller under stregen og kldes divisoren. Ved brug f brøkstreger vælger mn t klde dividenden for tælleren og divisoren for nævneren. Resulttet f en division kldes en kvotient Eksempel: 24/8 = 3, 24 : 8 = 3 eller 24 = 3, her bliver dividenden 24 divideret med divisoren 8, og den resulterende kvotient er 8 3 Bemærk, t mn betrger en division med 0 som divisor som meningsløs eller umulig Opstillingen med dividende, divisionsopertor og divisor kldes smlet for en brøk, der sprogligt henviser til noget, der er blevet brudt op. 1.3 Opertorhierrki stndrdhierrki Flere opertioner kn ngives ved siden f hinnden. En prntes kn i så fld ngive hvilken regneopertion, der skl udføres først Eksempel: 2 + (5 3), her ngiver prntesen, t subtrktionen 5 3 skl udføres først, og den resulterende difference på 2 bliver et led, der skl dderes med 2 7

8 Med den vedtgne nottion skl multipliktion og division som udgngspunkt udføres før ddition og subtrktion, hvis prnteser ikke ngiver ndet Eksempel: , her er det således underforstået, t mulitpliktionen 3 5 udføres først, og det resulterende produkt eferfølgende bliver et led, der skl dderes med 2 Ved brug f brøkstreg er der en underforstået prntes omkring tælleren og en underforstået prntes omkring nævneren Eksempel: = (3 + 9)/(2 + 2) kvliteter ved de fire regnerter Følgende kvliteter ved de fire regnerter kn forekomme selvfølgelige; men ved t nvngive disse egenskber opbygges et ordforråd, der skærper bevidstheden om opertionerne og letter rbejdet med mere komplicerede problemstillinger. I det følgende vil der blive brugt bogstver som, b, c eller d i stedet for tl, når en smmenhæng mellem tl og opertor generliseres kommuttivitet For ddition gælder, t operndernes position er ligegyldig. kldes kommuttiv Denne kvlitet Eksempel: = Dette er gyldigt for lle tl og kn generliseres som + b = b + For subtrktion gælder, t operndernes position ikke er ligegyldig, med mindre opernderne er lige store. Denne kvlitet kldes ikke-kommuttiv eller ntikommuttiv Eksempel: Dette kn generliseres som b b og er gyldigt så længe b For multipliktion gælder, t operndernes position er ligegyldig. Denne kvlitet kldes kommuttiv Eksempel: 4 2 = 2 4 Dette er gyldigt for lle tl og kn generliseres som b = b 8

9 For division gælder, t opernderns position ikke er ligegyldig, med mindre opernderne er lige store. Denne kvlitet kldes ikke-kommuttiv eller ntikommuttiv Eksempel: 6/3 3/6 Dette kn generliseres som /b b/ og er gyldigt så længe b ssocitivitet For ddition gælder, t mn ved to dditionsopertioner frit kn vælge, hvilken der foretges først. Denne kvlitet kldes ssocitiv Eksempel: 2 + (3 + 4) = (2 + 3) + 4 Dette kn generliseres til + (b + c) = ( + b) + c For subtrktion gælder, t mn ved to subtrktionsopertioner ikke frit kn vælge, hvilken der foretges først. Denne kvlitet kldes ikke-ssocitiv eller nti-ssocitiv Eksempel: 14 (5 2) (14 5) 2 Dette kn generliseres til (b c) ( b) c, med mindre c = 0 For multipliktion gælder, t mn ved to multipliktionsopertioner frit kn vælge, hvilken der foretges først. Denne kvlitet kldes ssocitiv Eksempel: 4 (3 5) = (4 3) 5 Dette kn generliseres til (b c) = ( b) c For division gælder, t mn ved to divisionsopertioner ikke frit kn vælge, hvilken der foretges først. Denne kvlitet kldes ikke-ssocitiv eller ntissocitiv Eksempel: 12/(6/2) (12/6)/2 Dette kn generliseres til /(b/c) (/b)/c, med mindre c = 1 9

10 1.4.3 distributivitet Multipliktionsopertoren kldes distributiv over dditionsopertoren. Dette betyder, t multipliktion kn deles ud på dditionen. Denne distributivitet gælder som følger: 4 (2 + 3) = eller generelt: (b + c) = b + c Multipliktionsopertoren er tilsvrende distributiv over subtrktionsopertoren, d følgende er gyldigt: 4 (6 2) = eller generelt: (b c) = b c Divisionssopertoren kldes højre-distributiv over dditionsopertoren, d divisoropernden, der står til højre eller under brøkstregen, kn deles ud på leddene i dividendeopernden: = eller generelt: + b c = c + b c Det modstte er dog ikke tilfældet, d dividendeopernden, der står til venstre eller over brøkstregen, ikke kn deles ud på leddene i divisoropernden. Division er således ikke venstre-distributivt : og generelt b + c b + c Divisionssopertoren er tilsvrende højre-distributiv og ikke venstre-distributiv over subtrktionssopertoren, d følgende er gyldigt: = eller generelt: b c = c b c Additions- og subtrktionsopertorerne hr ikke distributive kvliteter 1.5 identitetselementer Til enhver opertion findes en opernd, der gør opertionen neutrl. Denne opernd kldes det neutrle element eller identitetselementet. Ved t skærpe bevidstheden om disse tls kvliteter, bnes vejen for t øjne mere underfundige identitetselementer for de mindre intuitivt nskuelige opertorer, som beskrives senere ddition og subtrktion For ddition gælder, t tllet 0 er et neutrlt element Eksempel: = 3, eller generelt + 0 =, hvor repræsenterer et tl 10

11 For subtrktion gælder ligeledes, t tllet 0 er identitetselementet: Eksempel: 4 0 = 4, eller generelt 0 =, hvor repræsenterer et tl multipliktion og division For multipliktion gælder, t tllet 1 er et neutrlt element Eksempel: 5 1 = 5, eller generelt 1 =, hvor repræsenterer et tl For division gælder ligeledes, t tllet 1 er identitetselementet: Eksempel: 9/1 = 9, eller generelt /1 =, hvor repræsenterer et tl 1.6 modstte regnerter Til enhver opertor findes en nden opertor, der udlinger eller tilbgefører den forvndling, den første opertor hr foretget. En sådn udlignende, eller omvendt, opertor kldes en invers opertor summtion og subtrktion Hvis mn først lægger et tl til og derefter trækker det smme tl fr, så hr mn ikke ændret ved den oprindelige værdi: Eksempel: = 3, eller generelt +b b =, hvor og b repræsenterer tl Tilsvrende gælder for subtrktion efterfulgt f summtion med det smme tl: Eksempel: = 4, eller generelt b+b =, hvor og b repræsenterer tl D summtion og subtrktion udligner hinnden, kldes de således modstte regnerter eller hinndens inverse opertion. Når et tl på denne måde udlignes f et ndet tl, vælger mn ofte t strege de tl, der går ud med hinnden, ud: Eksempel: = Bemærk, t summtion og subtrktion med smme tl udligner hinnden ved, t de til smmen svrer til t hve dderet eller subtrheret identitetselementet multipliktion og division Hvis mn først gnger noget med et tl og derefter dividerer med det smme tl, så hr mn ikke ændret ved den oprindelige værdi: 11

12 Eksempel: = 5, eller generelt b b =, hver og b repræsenterer tl tilsvrende gælder for division efterfulgt f multipliktion med det smme tl: Eksempel: ( 12 3 ) 3 = 12, eller generelt ( ) b =, hvor og b repræsenterer b tl Som ved summtion og subtrktion vælger mn ofte t ngive de tl, der går ud med hinnden, ved en overstregning: Eksempel: = eller (21 7 ) 7 = (21 7 ) 7 Bemærk, t multipliktion og division med smme tl udligner hinnden ved, t de tilsmmen svrer til t hve multipliceret eller divideret med identitetselementet opertionsoversigt En smmenftning f de kvliteter, der i det foregående er blevet fremhævet og nvngivet: opertion kommuttiv ssocitiv distributiv identitet invers opertion ddition j j nej 0 subtrktion subtrktion nej nej nej 0 ddition multipliktion j j j 1 division division nej nej højre 1 multipliktion 1.8 inverse elementer, ddition og subtrktion de negtive tl De nturlige tl, vi tænker i til dglig, beskriver ntl, vi kn observere og forestille os. Når vi lægger disse nturlige ntl smmen, får vi ltid et større ntl. Begrebet negtive tl dækker over den bstrkte konstruktion, t vi ntger et tl, vi ikke kn forestille os, men som lgt smmen med et normlt tl giver en sum, der bliver mindre. Det svært, hvis ikke umuligt, t forestille sig, og tidligere er den slgs tl d også blevet kldt bsurde tl. Det tl, der ved summtion med tllet resulterer i summen 0, ltså identitetselementet for summtion, noteres ved et minus tegn forn, ltså. Dette er på mnge måder uheldigt, d mn kn forveksle stregen forn med opertionen subtrktion. Hvis der står en opernd til venstre for det negtive tl vælger mn derfor t sætte en prntes omkring tllet, for t undgå misforståelse. Denne prntes fjerner tvivlen om, hvorvidt der er tle om subtrktion eller et negtivt tl; men ngiver ikke, som vnligt, et opertorhierrki. Definitionen for opfylder således: 12

13 + ( ) = 0 og et konkret eksempel: 2 + ( 2) = 0 Det negtive tl til et negtivt tl er, fr ovenstående definition, et tl, der ved summtion med det negtive tl giver 0. Det tl, der opfylder dette er netop det tilsvrende nturlige tl. Det vil sige, t hvis vi med nottionen ( ) forstår det negtive tl til, så opfylder krvene til ( ), d + = 0 Eksempel: ( 2) = 2, d 2 opfylder, t = 0 Med ndre ord bliver et negtivt negtivt tl positivt For t gøre forvirringen komplet lider vores sprogbrug f smme forvekslingsmulighed som nottionerne. Udtrykket minus 3 kn således dække over såvel det negtive tl -3 som opertionen t trække 3 fr, lstå subtrhere 3. Heldigvis er de to forhold beslægtede Kvliteten ved, t dderet med giver identitetselementet 0, + ( ) = 0, gør, t i denne smmenhæng kldes det inverse element for ddition Kvliteten ved, t subtrheret fr giver identitetselementet 0, = 0, gør, t i denne smmenhæng kldes det inverse element for subtrktion summtion og subtrktion med negtive tl Vi hr fr definitionen f negtive tl, t + ( ) = 0 og fr definitionen ved vi, t de omvendte regnerter summtion og subtrktion udligner hinnden til identitetselementet 0, dvs. = 0. Ved den trnsitive egenskb gives herved + ( ) =. Uden t gå videre kn vi intuitivt se fr denne smmenhæng, t det t lægge til noget, er det smme som t trække fr Eksempel: 7 + ( 4) = 7 4 eller generelt + ( b) = b D det t trække fr således er det smme som det t lægge et negtivt tl til, kn vi få: 8 ( 2) = 8 + ( ( 2)) og d vi ved fr tidligere, t et negtivt negtiv tl, i dette tilfælde ( 2), er positivt, giver det 8 ( 2) = eller generelt ( b) = + b At trække et negtivt tl fr er ltså det smme som t lægge det tilsvrende positive tl til 13

14 1.8.3 multipliktion og division med negtive tl At omvendt omvendt giver det, mn strter med, lyder intuitivt tiltlende, men kn være svært t udlede fr den tidligere definition f de negtive tl; derfor følger her de nødvendige regler for multipliktion og division med negtive tl uden forudgående forklring: Multipliktion f to negtive tl: ( ) ( b) = b minus gnge minus giver plus Eksempel: ( 2) ( 1) = 2 1 Multipliktion f et positivt tl med et negtivt tl: () ( b) = b plus gnge minus giver minus Eksempel: 4 ( 3) = 4 3 Division f to negtive tl: ( ) ( b) = b minus divideret med minus giver plus Eksempel: ( 12) ( 2) = 12 2 Division f et negtivt tl med et positivt: minus divideret med plus giver minus ( ) b = b Eksempel: ( 6) 4 = 6 4 Division f et positivt tl med et negtivt: plus divideret med minus giver minus Eksempel: 5 ( 3) = 5 3 ( b) = b Det nbefles dog i høj grd t huske smtlige fem ovenstående regler smlet på denne simple og udvidede måde: hvis der for multipliktion eller division indgår et lige ntl negtive tl, så bliver resulttet positivt. Tilsvrende gælder for multipliktion og division, t hvis der indgår et ulige ntl negtive tl, så bliver resulttet negtivt. lige ntl minus giver plus - ulige ntl minus giver minus For fuldstændighedens skyld følger som eksempel her en udledning f reglen for multipliktion f to negtive tl, ud fr definitionen f et negtivt tl: Antg, t vi definerer en størrelse c ved: c = b + ( ) (b) + ( ) ( b) 14

15 Herf følger, t: c = b + ( ) (b) + ( ) ( b) = b + ( ) ((b) + ( b)), her sættes ( ) udenfor prntes = b + ( ) 0, fr definitionen f b = b + 0 = b (1) Smtidigt gælder følgende c = b + ( ) (b) + ( ) ( b) = ( + ( )) b + ( ) ( b)), her sættes b udenfor prntes = 0 b + ( ) ( b)), fr definitionen f = 0 + ( ) ( b)) = ( ) ( b)) (2) Ved den trnsitive egenskb gives således, t d c = b smt c = ( ) ( b), så er ( ) ( b) = b smmenftning f regler for negtive tl opertion regel eksempel dition f neg. tl + ( b) = b 8 + ( 3) = 8 3 subtrktion f neg. tl ( b) = + b 15 ( 2) = multipliktion f to neg. tl ( ) ( b) = b ( 3) ( 2) = 3 2 multipliktion f pos. og neg. tl () ( b) = b (6) ( 5) = 6 5 division med to neg. tl division f neg. med pos. tl division f pos. med neg. tl ( ) ( b) = b ( ) b = b ( b) = b ( 4) ( 3) = 4 3 ( 11) 4 ( 5) 2 = 11 4 =

16 1.9 inverse elementer for multipliktion og division brøker Brøker spiller smme rolle i forhold til multipliktion som negtive tl gør for ddition: de er multipliktionens inverse elementer: Fr fsnittet om modstte regnerter er givet, t 1 = 1, hvilket vil sige, t 1 ved multipliktion er det inverse element til, d produktet f multipliktionen er det neutrle element, 1, for multipliktion. Disse brøker, kldet stmbrøker når tælleren er 1, lder dog ikke til t volde lige så store kvler som tnken om negtive tl, og mn hr fundet rkæologiske eksempler på nvendelse f dette koncept så lngt tilbge som for c år siden i Indus dlen. For division gælder, t / = 1, hvilket vil sige, t ved division er det inverse element til, d kvotienten ved divisionen giver det neutrle element, 1, for division. I det følgende ngives regler for, hvorledes brøker opfører sig under de fire regnerter ddition, subtrktion, multipliktion og division smt en beskrivelse f processerne forlængelse og forkortning f en brøk multipliktion f brøker Mn foretger en multipliktion f brøker ved t dnne en ny brøk, hvor tælleren er produktet f de to brøkers tællere, og nævneren er produktet f de to brøkers nævnere Eksempel: = = 10 12, eller generelt b c d = c b d Hvis en f opernderne ikke er en brøk, kn vi lligevel behndle den som en brøk, ved t dividere opernden med identitetselementet 1, som er neutrlt mht. division Eksempel: = = = 28 3 b eller generelt c = 1 b c = b 1 c = b c Læg mærke til t resulttet f t multiplicere et tl med en brøk er, t mn gnger tælleren i brøken med tllet division f brøker Mn foretger en division f brøker ved t dnne en ny brøk, hvor tælleren er produktet f dividendebrøkens tæller og divisorbrøkens nævner, og nævneren er produktet f dividendebrøkens nævner og divisorbrøkens tæller 16

17 Eksempel: 5 2 : 3 4 = = 20 6, eller generelt b : c d = d b c En populær mellemregningsmetode er t bytte om på tæller og nævner i divisorbrøken og behndle det som en multipliktion, med smme resultt. At bytte om på tæller og nævner for en brøk kldes også t dnne den reciprokke brøk. Mn kn sige, t mn kn dividere med en brøk ved t gnge med den reciprokke brøk 7 Eksempel: 2 : 9 4 = = = eller generelt: b : c d = b d c = d b c Hvis en f opernderne ikke er en brøk, kn vi lligevel behndle den som en brøk ved t dividere opernden med identitetselementet 1, som er neutrlt mht. division 4 Eksempel: 3 : 2 = 4 3 : 2 1 = = = 4 6 eller generelt: b : c = b : c 1 = b 1 c = 1 b c = b c Læg mærke til t resulttet f t dividere en brøk med et tl er, t mn gnger nævneren i brøken med tllet. Læg endvidere mærke til t det t dividere med c er det smme som t gnge med 1, en omstændighed der gælder, unset om c det er brøker eller ndre opernder, der optræder som dividender. Eksempel: 3 : 4 = forlængelse f en brøk eller generelt : b = 1 b Skulle det være hensigtsmæssigt, kn mn multiplicere og dividere en brøk med smme tl, uden t det ændrer brøkens størrelse. Fr tidligere ved vi, t vi kn gnge et tl med 1, uden t det ændrer værdien, d 1 er det neutrle element for multipliktion: 1 b = b 1-tllet kn vi skrive om til et tredie tl, c, divideret med sig selv: 1 = c c D 1 b = b og 1 = c kn vi derfor skrive: c c c b = b hvilket medfører t: c c b = b 17

18 Dette kldes t forlænge brøken med c b Eksempel: 3 4 = = summtion og subtrktion f brøker Fr den tidligere nævnte højre-distributive kvlitet for divisionsopertoren over dditionsopertoren gives, t hvis de to operndbrøker hr smme nævner, kn mn foretge en summtion f brøkerne ved t dnne en ny brøk, hvor tælleren er summen f de to brøkers tællere og nævneren er den smme nævner, som de to brøker hvde i forvejen Eksempel: = eller generelt b + c b = + c b Hvis de to brøker ikke hr smme nævner, kn en sådn konstrueres ved, t mn forlænger den ene brøk med den nden brøks nævner og omvendt Eksempel: = Her her brøken til venstre blevet forlænget med 6, brøken til højres nævner, og brøken til højre er blevet forlænget med 4, brøken til venstres nævner. D nævnerne 6 4 og 4 6 er de smme, givet ved multipliktions kommuttive egenskb, hr brøkerne nu nævnere med smme størrelse, en fælles nævner, og reglen ovenfor kn nvendes: = = = Generelt gælder følgende: b + c d = d d b + b c b d = d + b c d b For subtrktion gæder de smme regler som ved summtion: b c b = c b og b c d = d d b b c b d = d b c d b forkortning f brøker Det kn ofte være hensigtsmæssigt t undersøge, om en brøk kn skrives om til en brøk f mere simple, mindre, tl. Mn kn gøre dette ved t dividere såvel tæller som nævner med et hensigtsmæssigt tl. At denne opertion ikke ændrer ved brøkens værdi kn vi se ved følgende betrgtning: 18

19 1 Hvis vi forlænger brøken b med 1 c, så får vi: b = c 1 c b Fr reglen om multipliktion f et tl med en brøk kn vi nu gnge og b ind på tælleren i 1 så vi får: c b = /c b/c 24 Eksempel: 18 = 24/6 18/6 = 4 her forkortes brøken med 6, der er hensigtsmæssigt 3 vlgt, d 6 går op i såvel 24 som 18 uden rest smmenftning f brøkregningsregler Meget f det foregående er unødigt t huske, så længe mn husker følgende smmenhænge: opertion generelle f orhold konkret eksempel multipliktion med brøk multipliktion med tl division med brøk division med tl f orlængelse f orkortelse ddition f ælles nævner ddition generelt subtrktion f ælles nævner subtrktion generelt b c d = c b d b c = b c b : c d = d b c b : c = b c b = c c b b = /c b/c b + c b = + c b b + c d = d + b c d b b c b = c b b c d = d b c d b = = = 7 4 = : 3 4 = = : 2 = = = = = 24/6 18/6 = = = = = = = = = = 21 8 =

20 1.10 ntl regnerter Vi hr tidligere set, t det t trække fr noget er det smme som t lægge til. Tilsvrende hr vi set, t det t dividere med er det smme som t gnge med 1. Mn kn således med rimelighed rgumentere for, t mn kn slippe fsted med kun t bruge to regnerter: ddition og multipliktion. En fordel ved dette er, t ddition og multipliktion begge er kommuttive og ssocitive opertorer, og mn behøver derfor ikke tænke over rækkefølgen f opernder eller opertioner, som mn skl holde nøje øje med ved subtrktion og division. Disse behgelige kvliteter ved ddition og multipliktion hr ført til, t mnge mtemtiske smmenhænge, så vidt muligt, formuleres ud fr disse to regnerter. Som vi vil se senere, vælger mn f.eks. ofte t betrgte en såkldt førstegrdsligning på denne generelle form: x + b = 0 vel vidende, t såvel som b i så fld kn være brøker eller negtive tl. For eksempel nses udtrykket x 6 2 = 0 i denne smmenhæng for: (1 6 ) x+( 2), hvorved mn undgår t forholde sig til division og subtrktion 1.11 prnteser opløsning f prnteser Fr den førnævnte distributive kvlitet for multipliktion ved vi, t hvis der står et tl gnget med en prntes med summtion eller subtrktion, kn mn gnge ind på hver opernd i summtionen eller subtrktionen. Hvis der står to sådnne prnteser med multipliktion som opertor, så kn mn gøre følgende: (4+3) (2+5) = (4+3) 2+(4+3) 5, her ser vi (4+3) som én opernd, der er blevet gnget ind på hvert led i prtesen (2 + 5). Efterfølgende kn mn opløse de to nye prnteser på smme måde: (4+3) 2+(4+3) 5 = Generelt gælder, t ( + b) (c + d) = c + d + b c + b d. Læg mærke til t resulttet er, t hvert led fr den ene prntes er blevet gnget ind på hvert led i den nden prntes. Smme metode gælder for prnteser med flere end to led og for mere end to prnteser. Prnteser med subtrktion behndles på tilsvrende måde. For minus prnteser, (+b), gælder, t hvis vi gnger dem med det neutrle element 1 får vi: ( + b) = 1 ( + b) Hvilket vi, ud fr reglen om multipliktion f et negtivt og et positivt tl, 20

21 kn skrive som: ( + b) = ( 1) ( + b), og herfr kn vi opløse på sædvnlig vis: ( 1) ( + b) = ( 1) + ( 1) b, og d 1 er neutrlt mht. mulitipliktion giver det: ( 1) + ( 1) b = b. Dette resultt er generelt: t mn opløser en minus prntes ved t vende fortegnet for hvert led inde i prntesen: Eksempel: ( ) = t sætte udenfor prntes Hvis mn rbejder med led f fktorer, hvor en f fktorerne optræder gentgne gnge, kn det være hensigtsmæssigt t konstruere en prntes med led, der gnges med denne fktor Eksempel: , her er 2 en fktor, der går igen og mn kn konstruere en prntes, der gnget med denne fktor hr smme værdi som den oprindelige sum f multipliktioner: = 2 (3 + 4). At den højre side er lig den venstre gives ved den distributive kvlitet for multipliktion. En generel metode til t sætte udenfor prntes er t beslutte sig for, hvd der skl stå udenfor prntesen, en fktor mn gnger med, og smtidigt dividere prntesen med den smme fktor. Så vil multipliktionen gå ud med divisionen, d de er modstte regnerter, og værdien således ikke være ændret Eksempel: = 4 ( ), her er 4 blevet st udenfor prntesen 4 som fktor, og selve prntesen er tilsvrende divideret med 4. fr reglen om højredistributivitet for division over summtion kn vi omforme det til: 4 ( ) = 4 ( ) D multipliktion og division med smme 4 tl går lige op, kn udtrykket reduceres: 4 ( ) = 4 (5 + 6) 4 Den letteste opertionelle tilgng er dog t vælge en fktor, der går igen i flere led, sætte den uden for prntes og lde de oprindelige led stå tilbge i prntesen, uden den fktor Eksempel: = 8 (3 + 4) her er 8 blevet udpeget som den fktor, der går igen, og plceret udenfor prntesen. Inde i prntesen står de oprindelige led, men uden fktoren 8. 21

TAL OG BOGSTAVREGNING

TAL OG BOGSTAVREGNING TAL OG BOGSTAVREGNING De elementære regnerter I mtemtik kn vi regne med tl, men vi kn også regne med bogstver, som gør det hele en smugle mere bstrkt. Først skl vi se lidt på de fire elementære regnerter,

Læs mere

Regneregler for brøker og potenser

Regneregler for brøker og potenser Regneregler for røker og potenser Roert Josen 4. ugust 009 Indhold Brøker. Eksempler......................................... Potenser 7. Eksempler......................................... 8 I de to fsnit

Læs mere

Lektion 6 Bogstavregning

Lektion 6 Bogstavregning Lektion Bogstvregning Formler... Reduktion... Ligninger... Lektion Side 1 Formler En formel er en slgs regne-opskrift, hvor mn med bogstver viser, hvorledes noget skl regnes ud. F.eks. formler til beregning

Læs mere

Matematikkens sprog INTRO

Matematikkens sprog INTRO Mtemtikkens sprog Mtemtik hr sit eget sprog, der består f tl og symboler fx regnetegn, brøkstreger bogstver og prenteser På mnge måder er det ret prktisk - det giver fx korte måder t skrive formler på.

Læs mere

TAL OG REGNEREGLER. Vi ser nu på opbygningen af et legeme og noterer os samtidig, at de reelle tal velkendte regneoperationer + og er et legeme.

TAL OG REGNEREGLER. Vi ser nu på opbygningen af et legeme og noterer os samtidig, at de reelle tal velkendte regneoperationer + og er et legeme. TAL OG REGNEREGLER Inden for lgeren hr mn indført egreet legeme. Et legeme er en slgs konstruktion, hvor mn fstsætter to regneregler og nogle sætninger (ksiomer), der gælder for disse. Pointen med en sådn

Læs mere

Diverse. Ib Michelsen

Diverse. Ib Michelsen Diverse Ib Michelsen Ikst 2008 Forsidebilledet http://www.smtid.dk/visen/billede.php?billedenr69 Version: 0.02 (2-1-2009) Diverse (Denne side er A-2 f 32 sider) Indholdsfortegnelse Regning med procent

Læs mere

Potens- sammenhænge. inkl. proportionale og omvendt proportionale variable. 2010 Karsten Juul

Potens- sammenhænge. inkl. proportionale og omvendt proportionale variable. 2010 Karsten Juul Potens- smmenhænge inkl. proportionle og omvendt proportionle vrible 010 Krsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse f hæftet "Eksponentielle smmenhænge, udgve ". Indhold 1. Hvd er en potenssmmenhæng?...1.

Læs mere

Regneregler. 1. Simple regler for regning med tal.

Regneregler. 1. Simple regler for regning med tal. Regneregler. Simple regler for regning med tl. Vi rejder l.. med følgende fire regningsrter: plus (), minus ( ), gnge () og dividere (: eller røkstreg, se senere), eller med fremmedord : ddition, sutrktion,

Læs mere

gudmandsen.net y = b x a Illustration 1: potensfunktioner i 5 forskellige grupper

gudmandsen.net y = b x a Illustration 1: potensfunktioner i 5 forskellige grupper gudmndsen.net Dette dokument er publiceret på http://www.gudmndsen.net/res/mt_vejl/. Ophvsret: Indholdet stilles til rådighed under Open Content License[http://opencontent.org/openpub/]. Kopiering, distribution

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 17

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 17 Mtemtisk modellering og numeriske metoder Lektion 1 Morten Grud Rsmussen 8. november, 1 1 Numerisk integrtion og differentition [Bogens fsnit 19. side 84] 1.1 Grundlæggende om numerisk integrtion Vi vil

Læs mere

Bogstavregning. for gymnasiet og hf Karsten Juul. a a

Bogstavregning. for gymnasiet og hf Karsten Juul. a a Bogstvregning for gymnsiet og hf 010 Krsten Juul Til eleven Brug lynt og viskelæder når du skriver og tegner i hæftet, så du får et hæfte der er egenet til jævnligt t slå op i under dit videre rejde med

Læs mere

Eksponentielle Sammenhænge

Eksponentielle Sammenhænge Kort om Eksponentielle Smmenhænge 011 Krsten Juul Dette hæfte indeholder pensum i eksponentielle smmenhænge for gymnsiet og hf. Indhold 1. Procenter på en ny måde... 1. Hvd er en eksponentiel smmenhæng?....

Læs mere

3. Vilkårlige trekanter

3. Vilkårlige trekanter 3. Vilkårlige treknter 3. Vilkårlige treknter I dette fsnit vil vi beskæftige os med treknter, der ikke nødvendigvis er retvinklede. De formler, der er omtlt i fsnittet om retvinklede treknter, kn ikke

Læs mere

Lektion 7s Funktioner - supplerende eksempler

Lektion 7s Funktioner - supplerende eksempler Lektion 7s Funktioner - supplerende eksempler Oversigt over forskellige tper f funktioner Omvendt proportionlitet og hperler.grdsfunktioner og prler Eksponentilfunktioner Potensfunktioner Lektion 7s Side

Læs mere

Retningslinjer for bedømmelsen Georg Mohr-Konkurrencen runde

Retningslinjer for bedømmelsen Georg Mohr-Konkurrencen runde Retningslinjer for bedømmelsen Georg Mohr-Konkurrencen 016. runde Besvrelser som flder uden for de løsninger som ligger til grund for pointskemerne, bedømmes ved nlogi så skridt med tilsvrende vægt i den

Læs mere

... ... ... ... ... ... ... b > 0 og x > 0, vil vi kalde en potensfunktion. 492 10. Potensfunktioner

... ... ... ... ... ... ... b > 0 og x > 0, vil vi kalde en potensfunktion. 492 10. Potensfunktioner POTENSFUNKTIONER 0 49 0. Potensfunktioner POTENSFUNKTIONER DEFINITION En funktion med forskriften f( )= b hvor b > 0 og > 0 vil vi klde en potensfunktion. I MAT C kpitel så vi t hvis skl være et vilkårligt

Læs mere

Kort om Potenssammenhænge

Kort om Potenssammenhænge Øvelser til hæftet Kort om Potenssmmenhænge 2011 Krsten Juul Dette hæfte indeholder bl.. mnge småspørgsmål der gør det nemmere for elever t rbejde effektivt på t få kendskb til emnet. Indhold 1. Ligning

Læs mere

ALGEBRA. symbolbehandling). Der arbejdes med hjælpemiddelkompetencen,

ALGEBRA. symbolbehandling). Der arbejdes med hjælpemiddelkompetencen, INTRO Alger er lngt mere end ogstvregning. Alger kn være t omskrive ogstvtrk, men lger er f også t generlisere mønstre og smmenhænge, t eskrive smmenhænge mellem tlstørrelse f i forindelse med funktioner

Læs mere

Elementær Matematik. Algebra Analytisk geometri Trigonometri Funktioner

Elementær Matematik. Algebra Analytisk geometri Trigonometri Funktioner Elementær Mtemtik Alger Anlytisk geometri Trigonometri Funktioner Ole Witt-Hnsen Køge Gymnsium 0 Indhold Indhold... Kp. Tl og regning med tl.... De nturlige tl.... Regneregler for nturlige tl.... Kvdrtsætningerne.....

Læs mere

1. Eksperimenterende geometri og måling

1. Eksperimenterende geometri og måling . Eksperimenterende geometri og måling Undersøgelse Undersøgelsen drejer sig om det såkldte Firfrveproblem. For mere end 00 år siden fndt mn ved sådnne undersøgelser frem til, t fire frver er nok til t

Læs mere

Elementær Matematik. Vektorer i planen

Elementær Matematik. Vektorer i planen Elementær Mtemtik Vektorer i plnen Køge Gymnsium 0 Ole Witt-Hnsen Indhold. Prllelforskydninger i plnen. Vektorer.... Sum og differens f to vektorer... 3. Multipliktion f vektor med et tl...3 4. Opløsning

Læs mere

MM501 forelæsningsslides

MM501 forelæsningsslides MM501 forelæsningsslides uge 39, 009 Produceret f Hns J. Munkholm 1 Linerisering s. 66-67 Lineriseringen f f omkring x =, er den lineære funktion, der hr tngenten som grf. Klder mn den L er forskriften

Læs mere

Opstakning og afstakning, fremadregning og tilbageregning

Opstakning og afstakning, fremadregning og tilbageregning 1 Opstkning og fstkning, fremdregning og tilgeregning 1.1 Fremdregning og tilgeregning...2 1.2 Æskeregning...2 1.3 Høseringe-regning, indkodning og fkodning...3 1.4 Vndret tilgeregning, t dnse en ligning...3

Læs mere

Kompendium. Matematik HF C niveau. Frederiksberg HF Kursus. Lars Bronée 2014

Kompendium. Matematik HF C niveau. Frederiksberg HF Kursus. Lars Bronée 2014 Kompendium Mtemtik HF C niveu π Frederiksberg HF Kursus Lrs Bronée 04 Mil: post@lrsbronee.dk Web: www.lrsbronee.dk Indholdsfortegnelse: Forord Det grundlæggende Ligningsløsning 8 Procentregning Rentesregning

Læs mere

ANALYSE 1, 2013, Uge 2

ANALYSE 1, 2013, Uge 2 ANALYSE 1, 2013, Uge 2 Forelæsninger Denne uges tem er uendelige rækker. Tirsdg: Tlrækker. En uendelig tlrække består ligesom en uendelig tlfølge f uendelig mnge tl. Forskellen mellem de to begreber består

Læs mere

MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX)

MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX) Silkeborg 09-0-0 MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX) Udrbejdet f mtemtiklærere fr HF, HHX, HTX & STX. PS: Hvis du opdger fejl i

Læs mere

ANALYSE 1, 2014, Uge 3

ANALYSE 1, 2014, Uge 3 ANALYSE 1, 2014, Uge 3 Forelæsninger Tirsdg. Vi generliserer tlrækker til funktionsrækker ved t udskifte tllene med funktioner (TL Afsnit 12.5). Det svrer til forrige uges skridt fr tlfølger til funktionsfølger.

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C POTENS-SAMMENHÆNG

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C POTENS-SAMMENHÆNG ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C POTENS-SAMMENHÆNG INDHOLDSFORTEGNELSE 1 Formelsmling... side 2 Uddbning f visse formler... side 3 2 Grundlæggende færdigheder... side 5 2 Finde konstnterne og b i en formel...

Læs mere

UGESEDDEL 52. . Dette gøres nedenfor: > a LC

UGESEDDEL 52. . Dette gøres nedenfor: > a LC UGESEDDE 52 Opgve 1 Denne opgve er et mtemtisk eksempel på Ricrdo s én-fktor model, der præsenteres i Krugmn & Obstfeld kpitel 2 side 12-19. Denne model beskriver hndel som et udslg f komprtive fordele

Læs mere

Trigonometri. Matematik A niveau

Trigonometri. Matematik A niveau Trigonometri Mtemtik A niveu Arhus Teh EUX Niels Junge Trigonometri Sinus Cosinus Tngens Her er definitionen for Cosinus Sinus og Tngens Mn kn sige t osinus er den projierede på x-ksen og sinus er den

Læs mere

Michel Mandix (2010) INDHOLDSFORTEGNELSE:... 2 EN TREKANTS VINKELSUM... 3 PYTHAGORAS LÆRESÆTNING... 4 SINUSRELATIONERNE... 4 COSINUSRELATIONERNE...

Michel Mandix (2010) INDHOLDSFORTEGNELSE:... 2 EN TREKANTS VINKELSUM... 3 PYTHAGORAS LÆRESÆTNING... 4 SINUSRELATIONERNE... 4 COSINUSRELATIONERNE... MATEMATIK NOTAT MATEMATISKE EVISER AF: CAND. POLYT. MICHEL MANDIX SIDSTE REVISION: FERUAR 04 Michel Mndi (00) Side f 35 Indholdsfortegnelse: INDHOLDSFORTEGNELSE:... EN TREKANTS VINKELSUM... 3 PYTHAGORAS

Læs mere

Formelsamling Matematik C Indhold

Formelsamling Matematik C Indhold Formelsmling Mtemtik C Indhold Eksempler på besvrelser, lin, eksp, pot, geo... Tl, regneopertioner og ligninger... 6 Ligninger... 7 Geometri... 0 Funktioner og modeller... 3 Lineær funktion... 3 Procentregning...

Læs mere

Trigonometri. Trigonometri. Sinus og cosinus... 2 Tangens... 6 Opgaver... 9. Side 1

Trigonometri. Trigonometri. Sinus og cosinus... 2 Tangens... 6 Opgaver... 9. Side 1 Trigonometri Sinus og osinus... 2 Tngens... 6 Opgver... 9 Side Sinus og osinus Til lle vinkler hører der to tl, som kldes osinus og sinus. Mn finder sinus og osinus til en vinkel ved t tegne vinklen midt

Læs mere

Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk. Erik Vestergaard, 2009.

Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk. Erik Vestergaard, 2009. Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk Erik Vestergrd, 009. Billeder: Forside: Collge f billeder: istock.com/titoslck istock.com/yuri Desuden egne fotos og illustrtioner Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk

Læs mere

Spil- og beslutningsteori

Spil- og beslutningsteori Spil- og eslutningsteori Peter Hrremoës Niels Brock 26. novemer 2 Beslutningsteori De økonomiske optimeringssitutioner, vi hr set på hidtil, hr været helt deterministiske. Det vil sige t vores gevinst

Læs mere

Mere end blot lektiehjælp. Få topkarakter i din SRP. 12: Hovedafsnittene i din SRP (Redegørelse, analyse, diskussion)

Mere end blot lektiehjælp. Få topkarakter i din SRP. 12: Hovedafsnittene i din SRP (Redegørelse, analyse, diskussion) Mere end lot lektiehjælp Få topkrkter i din SRP 12: Hovedfsnittene i din SRP (Redegørelse, nlyse, diskussion) Hjælp til SRP-opgven Sidste år hjlp vi 3.600 gymnsieelever med en edre krkter i deres SRP-opgve.

Læs mere

Lektion 6 Bogstavregning

Lektion 6 Bogstavregning Mtemtik på Åbent VUC Lektion 6 Bogstvregning Formler... Udtryk... Ligninger... Ligninger som løsningsmetode i regneopgver... Simultion... Opsmlingsopgver... Lvet f Niels Jørgen Andresen, VUC Århus. Redigeret

Læs mere

Formelsamling Matematik C Indhold

Formelsamling Matematik C Indhold Formelsmling Mtemtik C Indhold Eksempler på esvrelser, lin, eksp, pot, geo... Tl, regneopertioner og ligninger... 6 Ligninger... 7 Geometri... 9 Funktioner og modeller... Lineær funktion... Procentregning...

Læs mere

Hvad ved du om mobning?

Hvad ved du om mobning? TEST: Hvd ved du om moning? I testen her kn du fprøve, hvor meget du ved om moning på rejdspldsen. Testen estår f tre dele: Selve testen, hvor du skl sætte ét kryds for hvert f de ti spørgsmål. Et hurtigt

Læs mere

Integralregning. 2. del. 2006 Karsten Juul

Integralregning. 2. del. 2006 Karsten Juul Integrlregning del ( ( 6 Krsten Juul Indhold 6 Uestemt integrl8 6 Sætning om eksistens stmunktioner 8 6 Oplæg til "regneregler or integrl"8 6 Regneregler or uestemt integrl 9 68 Foreredelse til "integrtion

Læs mere

Mattip om. Vinkler 2. Tilhørende kopier: Vinkler 2-3. Du skal lære om: Polygoner. Ligesidede trekanter. Gradtal og vinkelsum

Mattip om. Vinkler 2. Tilhørende kopier: Vinkler 2-3. Du skal lære om: Polygoner. Ligesidede trekanter. Gradtal og vinkelsum Mttip om Vinkler 2 Du skl lære om: Polygoner Kn ikke Kn næsten Kn Ligesidede treknter Grdtl og vinkelsum Ligeenede og retvinklede treknter At forlænge en linje i en treknt Tilhørende kopier: Vinkler 2-3

Læs mere

Matematik. Kompendium i faget. Tømrerafdelingen. 1. Hovedforløb. a 2 = b 2 + c 2 2 b c cos A. cos A = b 2 + c 2 - a 2 2 b c

Matematik. Kompendium i faget. Tømrerafdelingen. 1. Hovedforløb. a 2 = b 2 + c 2 2 b c cos A. cos A = b 2 + c 2 - a 2 2 b c Kompendium i fget Mtemtik Tømrerfdelingen 1. Hovedforlø. Trigonometri nvendes til eregning f snd længde og snd vinkel i profiler. Sinus Cosinus Tngens 2 2 + 2 2 os A os A 2 + 2-2 2 Svendorg Erhvervsskole

Læs mere

gudmandsen.net Geometri C & B

gudmandsen.net Geometri C & B gudmndsen.net Geometri C & B Indholdsfortegnelse 1 Geometri & trigonometri...2 1.1 Område...2 2 Ensvinklede treknter...3 2.1.1 Skleringsfktoren...4 3 Retvinklede treknter...5 3.1 Pythgors lærersætning...5

Læs mere

Bogstavregning. En indledning for stx og hf 2. del. 2008 Karsten Juul

Bogstavregning. En indledning for stx og hf 2. del. 2008 Karsten Juul Bogstvregning En indledning for st og f. del 008 Krsten Juul ) )( ( ) ( ) ( Indold 0. Gnge to prenteser....,, osv... 7. Kvdrtsætninger... 0. Brøer. del... Bogstvregning. En indledning for st og f.. del.

Læs mere

hvor A er de ydre kræfters arbejde på systemet og Q er varmen tilført fra omgivelserne til systemet.

hvor A er de ydre kræfters arbejde på systemet og Q er varmen tilført fra omgivelserne til systemet. !#" $ "&% (')"&*,+.-&/102%435"&6,+879$ *1')*&: or et system, hvor kun den termiske energi ændres, vil tilvæksten E term i den termiske energi være: E term A + Q hvor A er de ydre kræfters rbejde på systemet

Læs mere

Eksempel 9.1. Areal = (a 1 + b 1 )(a 2 + b 2 ) a 1 a 2 b 1 b 2 2a 2 b 1 = a 1 b 2 a 2 b 1 a 1 a 2 = b 1 b 2. Eksempel = ( 1) = 10

Eksempel 9.1. Areal = (a 1 + b 1 )(a 2 + b 2 ) a 1 a 2 b 1 b 2 2a 2 b 1 = a 1 b 2 a 2 b 1 a 1 a 2 = b 1 b 2. Eksempel = ( 1) = 10 Oversigt [LA] 9 Nem vej til rel Nøgleord og begreber Helt simple determinnter Determinnt defineret Effektive regneregler Genkend determinnt nul determinnt nul Produktreglen Inversreglen inversregel og

Læs mere

Krumningsradius & superellipsen

Krumningsradius & superellipsen Krumningsrdius & suerellisen Side /5 Steen Toft Jørgensen Krumningsrdius & suerellisen Formålet med dette mini-rojekt er t erhverve mtemtisk viden om krumningsrdius f en kurve og nvende denne viden å det

Læs mere

Matematik B-A. Trigonometri og Geometri. Niels Junge

Matematik B-A. Trigonometri og Geometri. Niels Junge Mtemtik B-A Trigonometri og Geometri Niels Junge Indholdsfortegnelse Indledning...3 Trigonometri...3 Sinusreltionen:...6 Cosinusreltionen...7 Dobbeltydighed...7 Smmendrg...8 Retvinklede treknter...8 Ikke

Læs mere

Dødelighed og kræftforekomst i Avanersuaq. Et registerstudie

Dødelighed og kræftforekomst i Avanersuaq. Et registerstudie Dødelighed og kræftforekomst i Avnersuq. Et registerstudie Peter Bjerregrd, Anni Brit Sternhgen Nielsen og Knud Juel Indledning Det hr været fremført f loklbefolkningen i Avnersuq og f Lndsstyret, t der

Læs mere

1 1 t 10 1. ( ) x 2 4. + k ================= sin( x) + 4 og har graf gennem (0,2), dvs F(0) = 2. + 4x + k

1 1 t 10 1. ( ) x 2 4. + k ================= sin( x) + 4 og har graf gennem (0,2), dvs F(0) = 2. + 4x + k 0x-MA (0.0.08) _ opg (3:07) Integrtion ved substitution ( x + 7) 9 t x + 7 > t 9 t 0 + k 0 0 ( x + 7)0 + k b) x x + 4 t x + 4 > 3 x t t t x 3 t x x + k 3 t t + k ( ) x 4 3 x + 4 + + k c) cos( x)

Læs mere

Potens regression med TI-Nspire

Potens regression med TI-Nspire Potensvækst og modellering - Mt-B/A 2.b 2007-08 Potens regression med TI-Nspire Vi tger her udgngspunkt i et eksempel med tovværk, hvor mn får oplyst en tbel over smmenhængen mellem dimeteren (xdt) i millimeter

Læs mere

Integrationsteknikker

Integrationsteknikker Integrtionsteknikker Frnk Vill. jnur 14 Dette dokument er en del f MtBog.dk 8-1. IT Teching Tools. ISBN-13: 978-87-9775--9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion 1 Numerisk integrtion.1

Læs mere

Fælles for disse typer af funktioner er, at de som grundfunktion indeholder varianter af udtrykket x a.

Fælles for disse typer af funktioner er, at de som grundfunktion indeholder varianter af udtrykket x a. 5. FORSKRIFT FOR EN POTENSFUNKTION Vi hr i vores gennemgng f de forskellige funktionstper llerede være inde på udtrk, som indeholder forskellige potenser f I dette kpitel skl vi se på forskellige tper

Læs mere

Eksamensspørgsmål: Potens-funktioner

Eksamensspørgsmål: Potens-funktioner Eksmensspørgsmål: Potens-funktioner Definition:... 1, mønt flder ned:... 1 Log y er en liner funktion f log x... 2 Regneforskrift... 2... 2 Smmenhæng mellem x og y ved potens-vækst... 3 Tegning f grf for

Læs mere

1,0. sin(60º) 1,0 cos(60º) I stedet for cosinus til 60º og sinus til 60º skriver man cos(60º) og sin(60º).

1,0. sin(60º) 1,0 cos(60º) I stedet for cosinus til 60º og sinus til 60º skriver man cos(60º) og sin(60º). Mtemtik på VU Eksempler til niveu F, E og D Til lle vinkler hører der to tl, som kldes osinus og sinus. Mn finder sinus og osinus ved først t tegne vinklen i et koordint-system som vist til venstre. Derefter

Læs mere

Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. Integrationsprincippet og Keplers tønderegel

Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. Integrationsprincippet og Keplers tønderegel Integrtionsprincippet og Keplers tønderegel. side Institut for Mtemtik, DTU: Gymnsieopgve Integrtionsprincippet og Keplers tønderegel Littertur: H. Elrønd Jensen, Mtemtisk nlyse, Institut for Mtemtik,

Læs mere

Hvad ved du om mobning?

Hvad ved du om mobning? TEST: Hvd ved du om moning? I testen her kn du fprøve, hvor meget du ved om moning på rejdspldsen. Testen estår f tre dele: Selve testen, hvor du skl sætte ét kryds for hvert f de ti spørgsmål. Et hurtigt

Læs mere

Trigonometri. teori mundtlig fremlæggelse C 2. C v. B v. A v

Trigonometri. teori mundtlig fremlæggelse C 2. C v. B v. A v Tigonometi teoi mundtlig femlæggelse 2 v v B v B Indhold 1. Sætning om ensvinklede teknte og målestoksfohold (uden bevis)... 2 2. Vinkelsummen i en teknt... 2 3. Pythgos sætning om ETVINKLEDE TEKNTE...

Læs mere

KEGLESNIT OG BANEKURVER

KEGLESNIT OG BANEKURVER KEGLESNIT OG BANEKURVER x-klsserne Gmmel Hellerup Gymnsium INDHOLDSFORTEGNELSE INDHOLDSFORTEGNELSE... BEGREBET KEGLE... 3 KEGLESNIT... 5 Cirkel... 6 Ellipse... 8 Prbel... 15 Hyperbel... 19 Keglesnitsligninger

Læs mere

Eksamensopgave august 2009

Eksamensopgave august 2009 Ib Michelsen, Viborg C / Skive C Side 1 09-04-011 1 Eksmensopgve ugust 009 Opgve 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 13 14 15 16 17 18 19 0 1 Givet ovenstående ensvinklede treknter. D treknterne er ensvinklede, er

Læs mere

Matematikkens mysterier - på et højt niveau. 3. Differentialligninger

Matematikkens mysterier - på et højt niveau. 3. Differentialligninger Mtemtikkens msterier - på et højt niveu f Kenneth Hnsen 3. Differentilligninger N N N 3 A A k k Indholdsfortegnelse 3. Introduktion 3. Dnmiske sstemer 3 3.3 Seprtion f de vrible 8 3.4 Vækstmodeller 8 3.5

Læs mere

114 Matematiske Horisonter

114 Matematiske Horisonter 114 Mtemtiske Horisonter Mtemtik i medicinudvikling Af Ph.d-studerende Ann Helg Jónsdóttir, Ph.d-studerende Søren Klim, Ph.d-studerende Stig Mortensen og Professor Henrik Mdsen, DTU Informtik Hovedpinen

Læs mere

GrundlÄggende funktioner

GrundlÄggende funktioner GrundlÄggende funktioner for B-niveu i hf Udgve 014 Krsten Juul GrundlÄggende funktioner for B-niveu i hf Procent 1. Procenter på en ny måde... 1. VÄkstrte.... Gennemsnitlig procent... LineÄr väkst 4.

Læs mere

Om Dido var kyndig i matematik er nok tvivlsomt, men hun havde i hvert fald en veludviklet logisk sans, som vi skal se.

Om Dido var kyndig i matematik er nok tvivlsomt, men hun havde i hvert fald en veludviklet logisk sans, som vi skal se. Forord. Det isoperimetriske problem går i l sin enkelhed ud på t finde den lukkede kurve i plnen, blndt en mængde f kurver lle med smme omkreds, som fgrænser det størst mulige rel. Løsningen til det isoperimetriske

Læs mere

Ny Sigma 9, s Andengradsfunktioner med regneforskrift af typen y = ax + bx + c, hvor a 0.

Ny Sigma 9, s Andengradsfunktioner med regneforskrift af typen y = ax + bx + c, hvor a 0. Ny Sigm 9, s 110 Andengrdsfunktioner med regneforskrift f typen y = x + x + c, hvor 0 Lineære funktioner (førstegrdsfunktioner) med regneforskrift f typen y = αx + β Grfen for funktioner f disse typer

Læs mere

Løsning af simple Ligninger

Løsning af simple Ligninger Løsning af simple Ligninger Frank Nasser 19. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

Fremkomsten af mængdelæren. Stig Andur Pedersen

Fremkomsten af mængdelæren. Stig Andur Pedersen Fremkomsten f mængdelæren Stig Andur Pedersen 1 Fourier række for f(x)=x x n 1 ( 1) 2 sin( nx) n n= 1 sin(2 x) sin(3 x) sin(4 x) = 2 sin( x) + + 2 3 4 De første 15 led er tget med på kurven. 2 Fourierrække

Læs mere

MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX)

MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX) Silkeorg -0- MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX) FACITLISTE Udrejdet f mtemtiklærere fr HF, HHX, HTX & STX. PS: Hvis du opdger

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 12

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 12 Mtemtisk modellering numeriske metoder Lektion 12 Morten Grud Rsmussen 21. oktober, 213 1 Prtielle differentilligninger 1.1 Løsning f vrmeligningen vh. Fourierrækker [Bens sektion 12.6 på side 558] Vi

Læs mere

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 2. Trigonometri

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 2. Trigonometri Mtemtikkens mysterier - på et oligtorisk niveu f Kenneth Hnsen 2. Trigonometri T D Hvd er fstnden fr flodred til flodred? 2. Trigonometri og geometri Indhold.0 Indledning 2. Vinkler 3.2 Treknter og irkler

Læs mere

Om Riemann-integralet. Noter til Matematik 1

Om Riemann-integralet. Noter til Matematik 1 Om Riemnn-integrlet. Noter til Mtemtik 1 Jon Johnsen Institut for Mtemtiske Fg, Alborg Universitet Fredrik Bjers Vej 7G, 9220 Ålborg Ø 3. december 2001 1 Indledning Integrlregning går tilbge til Newtons

Læs mere

Den grønne kontakt til dine kunder. Kontakt med omtanke for miljø og økonomi

Den grønne kontakt til dine kunder. Kontakt med omtanke for miljø og økonomi Den grønne kontkt til dine kunder Kontkt med omtnke for miljø og økonomi 2 En fbryder der slukker lt, og en stikkontkt der reducerer stndby forbruget Energy Efficiency Energieffektivitet hndler ikke kun

Læs mere

Pythagoras sætning. I denne note skal vi give tre forskellige beviser for Pythagoras sætning:

Pythagoras sætning. I denne note skal vi give tre forskellige beviser for Pythagoras sætning: Pythgors sætning I denne note skl i gie tre forskellige eiser for Pythgors sætning: Pythgors sætning I en retinklet treknt, hor den rette inkel etegnes med, gælder: + = eis 1 Ld os tegne et stort kdrt

Læs mere

Oprids over grundforløbet i matematik

Oprids over grundforløbet i matematik Oprids over grundforløbet i matematik Dette oprids er tænkt som en meget kort gennemgang af de vigtigste hovedpointer vi har gennemgået i grundforløbet i matematik. Det er en kombination af at repetere

Læs mere

Alternative metoder til køling af løg

Alternative metoder til køling af løg inspire demoprojekt Alterntive metoder til køling f løg Af Merete Edelenbos, Arhus Universitet Anne Drre-Østergrd og Bstin Junker, AgroTech November 2013 1 Energiforbruget ved lngtidslgring f løg er højt,

Læs mere

(a k cos kx + b k sin kx) k=1. cos θk = sin θ 1 ak. , b k. k=1

(a k cos kx + b k sin kx) k=1. cos θk = sin θ 1 ak. , b k. k=1 SEKTION 7 FOURIERANALYSE 7 Fouriernlyse Periodiske funktioner er vigtige i mnge smmenhænge, både videnskbeligt og teknisk Vi vil normlisere, så ntger, t perioden er π Disse funktioner er bedst nlyseret

Læs mere

PotenssammenhÄnge. 2009 Karsten Juul

PotenssammenhÄnge. 2009 Karsten Juul PotenssmmenhÄnge y b y k k 009 Krsten Juul Dette häfte er en fortsättelse f häftet "Eksponentielle smmenhänge, 009". Indhold 4. Hvd er en potens-smmenhäng?... 83 5. Hvordn ser grfen ud for en potens-smmenhäng...

Læs mere

Pust og sug Design og konstruktion af et apparat til at måle udåndingsvolumen Biomedicinsk teknologi

Pust og sug Design og konstruktion af et apparat til at måle udåndingsvolumen Biomedicinsk teknologi Pust og sug Design og konstruktion f et pprt til t måle udåndingsvolumen Biomedicinsk teknologi Ingeniørens udfordring Elevæfte Menneskekroppen, Åndedrætssystemet 1 Pust og sug Ingeniørens udfordring At

Læs mere

MATEMATISK FORMELSAMLING

MATEMATISK FORMELSAMLING MATEMATISK FORMELSAMLING GUX Grønlnd Mtemtisk formelsmling til B-niveu, GUX Grønlnd Deprtementet for uddnnelse 05 Redktion: Rsmus Andersen, Jens Thostrup MtemtiskformelsmlingtilB-niveu GUX Grønlnd FORORD

Læs mere

Grundlæggende matematiske begreber del 1 Mængdelære Talmængder Tal og regneregler Potensregneregler Numerisk værdi Gennemsnit

Grundlæggende matematiske begreber del 1 Mængdelære Talmængder Tal og regneregler Potensregneregler Numerisk værdi Gennemsnit Grudlæggede mtemtiske begreber del 1 Mægdelære Tlmægder Tl og regeregler Potesregeregler Numerisk værdi Geemsit x-klssere Gmmel Hellerup Gymsium 1 Idholdsfortegelse MÆNGDELÆRE... 3 TAL... 9 De turlige

Læs mere

Elementær Matematik. Plangeometri

Elementær Matematik. Plangeometri Elementær Mtemtik Plngeometri Ole Witt-Hnsen Køge Gymnsium 006 Kp Indhold. Plngeometriens Aksiomer.... Vinkler.... Et pr simple geometriske sætninger...3 Kp. Trekntskonstruktion...5. Kongruenssætningerne...5.

Læs mere

3 Algebra. Faglige mål. Variable og brøker. Den distributive lov. Potenser og rødder

3 Algebra. Faglige mål. Variable og brøker. Den distributive lov. Potenser og rødder 3 Algebra Faglige mål Kapitlet Algebra tager udgangspunkt i følgende faglige mål: Variable og brøker: kende enkle algebraiske udtryk med brøker og kunne behandle disse ved at finde fællesnævner. Den distributive

Læs mere

Matematikken bag perspektivet I

Matematikken bag perspektivet I Supperende mterie ti erspektiv med GeoMeter Mtemtikken bg perspektivet I Som udgngspunkt for t diskutere de vigtigste mtemtiske sætninger bg perspektivtegninger vi vi benytte noge eementære egenskber for

Læs mere

Analyse 30. januar 2015

Analyse 30. januar 2015 30. jnur 2015 Større dnsk indkomstulighed skyldes i høj grd stigende kpitlindkomster Af Kristin Thor Jkosen Udgivelsen f Thoms Pikettys Kpitlen i det 21. århundrede hr fstedkommet en del diskussion f de

Læs mere

Geometrinoter 2. Brahmaguptas formel Arealet af en indskrivelig firkant ABCD kan tilsvarende beregnes ud fra firkantens sidelængder:

Geometrinoter 2. Brahmaguptas formel Arealet af en indskrivelig firkant ABCD kan tilsvarende beregnes ud fra firkantens sidelængder: Geometrinoter 2, jnur 2009, Kirsten Rosenkilde 1 Geometrinoter 2 Disse noter omhndler sætninger om treknter, trekntens ydre røringscirkler, to cirklers rdiklkse smt Simson- og Eulerlinjen i en treknt.

Læs mere

- 81 - , x I. kmx. Sætningen bevises ikke her. Interesserede læsere henvises til bogen: Differentialligninger og matematiske

- 81 - , x I. kmx. Sætningen bevises ikke her. Interesserede læsere henvises til bogen: Differentialligninger og matematiske - 8 - Appendi : Logistisk vækst og integrlregning. I forbindelse med eksponentielle vækstfunktioner er der tle om en vækstform, hvor funktionens væksthstighed er proportionl med den ktuelle funktionsværdi,

Læs mere

Den grønne kontakt til dine kunder Kontakt med omtanke for miljø og økonomi

Den grønne kontakt til dine kunder Kontakt med omtanke for miljø og økonomi Den grønne kontkt til dine kunder Kontkt med omtnke for miljø og økonomi Stort energi- og stndby forbrug? En fbryder der slukker lt, og en stikkontkt der reducerer stndby forbruget Sluk for det hele......

Læs mere

Et udvalg af funktionerne tegnet på grafregneren (eller her med Derive)

Et udvalg af funktionerne tegnet på grafregneren (eller her med Derive) GDS, opgve 85 En strt på opgven (undervisnings- og tvleprotokol): En milie unktioner hr orskrit 4 ( ) + R, Et udvlg unktionerne tegnet på grregneren (eller her med Derive) Værdier tllet, or hvilke hr henholdsvis

Læs mere

Omskrivningsregler. Frank Nasser. 10. december 2011

Omskrivningsregler. Frank Nasser. 10. december 2011 Omskrivningsregler Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Lukkede flader med konstant krumning

Lukkede flader med konstant krumning Lukkede flder med konstnt krumning Hns Anton Slomonsen Arhus Universitet Mrch 13, 2015 En flde i rummet B A giver nledning til to mål for fstnden mellem to punkter A og B på flden: - længden f den rette

Læs mere

Ligninger. 1 a 3 b 2 c 8 d 9 e 42 f 6 g 70 h 9 i 2 eller 2 j 13 k 8 l 9 eller 9

Ligninger. 1 a 3 b 2 c 8 d 9 e 42 f 6 g 70 h 9 i 2 eller 2 j 13 k 8 l 9 eller 9 Ligninger 1 3 2 c 8 d 9 e 42 f 6 g 70 h 9 i 2 eller 2 j 13 k 8 l 9 eller 9 2 c d e f 6 æg + 5 høns. 1 æle + 13 pærer. 5 myg + 1 flue. 6x + 5y + 13 3x + 5y 3 4 Gælder i nogle tilfælde. Gælder ltid. c Gælder

Læs mere

Center for Kvalitet Region Syddanmark

Center for Kvalitet Region Syddanmark Version 4.0 Side 1 f 64 Forftter Udgivelsesdto 27-03-2014 Version Version 4.0 Historik Overlæge, dr.med. Ulrik Gerdes Version 1.0 fr14-06-2013: Dele f indholdet i dette nott fndtes i en version 7.0 f et

Læs mere

Taldiktat. Talhus. Tal. Format 5. Nr. 1. Enere 1. Tiere 10. Hundreder 100. Tusinder 1.000. Titusinder 10.000. Hundredetusinder 100.000 1.000.

Taldiktat. Talhus. Tal. Format 5. Nr. 1. Enere 1. Tiere 10. Hundreder 100. Tusinder 1.000. Titusinder 10.000. Hundredetusinder 100.000 1.000. Tldiktt Nr. Timillioner 0.000.000 Millioner.000.000 Hundredetusinder.000 Tlhus Titusinder 0.000 Tusinder.000 Hundreder Tiere 0 Enere Prktivitet. Træk - kort i skjul fr et lmindeligt kortspil. Læg dem på

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Isolere en ubekendt... 3 Hvis x står i første brilleglas...

Læs mere

Vektorer. koordinatgeometri

Vektorer. koordinatgeometri Vektorer og koordintgeometri for gymnsiet, dge 5 Krsten Jl VEKTORER Koordinter til pnkt i plnen Koordinter til pnkt i rmmet Vektor: Definition, sprogrg, mm 4 Vektor: Koordinter 5 Koordinter til ektors

Læs mere

De rigtige reelle tal

De rigtige reelle tal De rigtige reelle tal Frank Villa 17. januar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

International økonomi

International økonomi Interntionl økonomi Indhold Interntionl økonomi... 1 Bilg I1 Oversigt over smmenhæng mellem kompetencer og kernestof i 3 skriftlige eksmensopgver i Interntionl økonomi A.... 2 Bilg I2 Genrer i IØ fr oplæg

Læs mere

Formelsamling Mat. C & B

Formelsamling Mat. C & B Formelsmling Mt. C & B Indhold BRØER... PARENTESER...3 PROCENT...4 RENTE...5 INDES...6 GEOMETRI... Arel f treknt... Vinkelsum i en treknt... Ens- vinklede treknter... Vilkårlig treknt... Ret- vinklet treknt...8

Læs mere

Gymnasie-Matematik. Søren Toftegaard Olsen

Gymnasie-Matematik. Søren Toftegaard Olsen Gmnsie-Mtemtik Søren Toftegrd Olsen Søren Toftegrd Olsen Skovvænget 6-B 7080 Børkop Gmnsie-Mtemtik. udgve, revision 0 ISBN 978-87-99996-0-0 VIGTIGT: Denne og må ikke sælges eller ændres; men kn frit kopieres.

Læs mere

Bogstavregning. for gymnasiet og hf (2012) Karsten Juul

Bogstavregning. for gymnasiet og hf (2012) Karsten Juul Bogstvregning for gymnsiet og hf 010 (01) Krsten Juul Til eleven Brug lynt og viskeläder når du skriver og tegner i häftet, så du får et häfte der er egenet til jävnligt t slå op i under dit videre rejde

Læs mere