Matematik - introduktion. Martin Lauesen February 23, 2011

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Matematik - introduktion. Martin Lauesen February 23, 2011"

Transkript

1 Mtemtik - introduktion Mrtin Luesen Februry 23,

2 Contents 1 Aritmetik og elementær lgebr Symboler ligheder uligheder trnsitivitet De fire regnerter regneopertioner ddition subtrktion multipliktion division Opertorhierrki stndrdhierrki kvliteter ved de fire regnerter kommuttivitet ssocitivitet distributivitet identitetselementer ddition og subtrktion multipliktion og division modstte regnerter summtion og subtrktion multipliktion og division opertionsoversigt inverse elementer, ddition og subtrktion de negtive tl summtion og subtrktion med negtive tl multipliktion og division med negtive tl smmenftning f regler for negtive tl inverse elementer for multipliktion og division brøker multipliktion f brøker division f brøker forlængelse f en brøk summtion og subtrktion f brøker forkortning f brøker smmenftning f brøkregningsregler ntl regnerter prnteser opløsning f prnteser t sætte udenfor prntes eksponenter definition kvliteter ved eksponentopertoren

3 egenskber ved eksponentopertoren smmenftning f eksponentregler udsgn generelle udsgn syllogismer logiske symboler mtemtiske udsgn

4 1 Aritmetik og elementær lgebr Ved begrebet ritmetik forstås simpel tlregning med de fire regnerter plus, minus, gnge og dividere. Ordet stmmer fr det græske ord αριθµητ ιχη, rithmetikhe, dnnet f αριθµøς, rithmos, der betyder tl og τ ɛχνη, techne, der betyder håndværk. Generelt bruges der i mtemtikken mnge ord fr græsk, ltin og rbisk, d de vr hovedsprogene for de kulturer, der formede vores moderne mtemtiske begreber. Hvor ritmetikken hndler om tlhåndværk, hndler lgebr om t træde et skridt tilbge og se de generelle forhold for tl. ved lgebr regner mn således med symboler, ofte bogstver, der repræsenterer tl. Ordet lgebr stmmer fr det rbiske l-jebr, der står for genforening f opbrudte dele. 1.1 Symboler Mtemtik er et sprog, der i høj grd læner sig op d grfiske symboler. Som eksempel bruger vi de hindu-rbiske symboler 3, 5 og 8 som repræsentnter for ntllene tre, fem og otte. Smmenstillingen f bogstverne t, r og e til ordet tre er i sig selv et symbol, der knyttes til lyden f det tlte ord tre, hvis mn hr lært t tolke symbolet, lært t læse. Selv lyden f det tlte ord tre er et symbol, der henviser til vores forståelse f ntllet tre, hvis mn hr lært dnsk. Hvd der egentlig ligger til grund for vores oplevelse f ntllet tre er et fundmentlt spørgsmål til vores bevidstheds ntur, og svret findes ikke i selve mtemtikken. Som ved ndre sprog kn de indledende øvelser virke uinteressnte, indtil mn bruger sproget til t modtge eller udtrykke mening. Det er vigtigt t skelne mellem de smmenhænge og indsigter, der træder frem, og sproget, der formidler dem. Émilie du Châtelets indsigt om bevægelsesenergi kn præsenteres således gennem det skrevne sprog: Et objekts bevægelsesenergi er proportionl med produktet f objektets msse og kvdrtet f dets hstighed Eller smme smmenhæng udtrykt ved ved det mtemtiske sprogs symboler: E kin m v 2 Hvor E kin står for bevægelsesenergien, også kldet den kinetiske energi ; er et symbol, der ngiver, t det, der står til venstre for symbolet, er proportionlt til det, der står til højre for symbolet; m står for objektets msse; v for objektets hstighed, også kldet velocity og 2 ngiver kvdrering. I denne tekst vil mnge betrgtninger virke overflødige, d de kun fremhæver noget, vi lle ved. Hvorfor skulle mn pointere, t giver det smme som 3 + 2? og hvorfor give dette forhold betegnelsen kommuttiv? At den type fordybelse i det åbenlyse kn bære frugt, kender vi fr grmmtikken, hvor selv 4

5 grnskning f det sprog, vi er vokset op med, kn bringe større forståelse og påskønnelse f sprogets nuncer. Det kn virke unødigt t oprette ordklssen substntiv og påpege, t ordet rose hører til denne ktegori; men forståelsen f dette mærkt bner vej for en lettere tilegnelse f fremmedsprog. Mtemtikken hr sin egen grmmtik, hvor symboler for objekter som ntl, størrelse og form optræder i meningsfyldte udsgn smmen med symboler for større, mindre og lig med ligheder Ved nottion f mtemtiske udsgn kn det føles omstændigt t skrive er lig med gentgne gnge. Det moderne symbol for lig med optræder først i 1557 i bogen The Whetstone of Witte f Robert Recorde. Det ltinske equlis, eller forkortelser herf, blev brugt med smme betydning frem til slutningen f 1700 tllet Tegnet = ngiver, t det, der står på venstre og højre side f tegnet, hr smme størrelse. Eksempelvis = 5 Tegnet ngiver, t det, der står på venstre og højre side f tegnet, hr forskellig størrelse. Eksempelvis 4 7 Tegnet ngiver, t det, der står på venstre og højre side f tegnet, stort set hr smme størrelse. Eksempelvis uligheder Tegnet ngiver, t det, der står på venstre og højre side f tegnet, ikke er f smme størrelse. Eksempelvis 4 3 Tegnet > ngiver, t det, der står på venstre side, er større end det, der står på højre side f tegnet. Eksempelvis 3 > 2 Tegnet < ngiver, t det, der står på venstre side, er mindre end det, der står på højre side f tegnet. Eksempelvis 4 < trnsitivitet Fr den klssiske logiks syllogismer kendes udsgn f følgende type: Hvis lle roser er krplnter og lle krplnter hr specielle rør til sukkertrnsport, så hr lle roser specielle rør til sukkertrnsport For reltionerne =, > og < gælder et lignende forhold, den såkldt trnsitive regel: 5

6 hvis = b og b = c så er = c Eksempel: hvis 5 = og = så er 5 = hvis > b og b > c så er > c Eksempel: hvis 8 > og > så er 8 > hvis < b og b < c så er < c Eksempel: hvis 2 < og < så er 2 < De fire regnerter regneopertioner I den følgende tekst vil de fire kendte regnerter blive omtlt som opertorer og de tl, der indgår beregningen, kldes opernder. Ved t give regnerterne et smlenvn, opertorer, fremhæves den fælles kvlitet, t de lle er forvndlinger, der ud fr to givne tl kn frembringe et nyt tl. Der er mrknte forskelle og smmenfld for, hvordn disse opertorer opfører sig. Dette beskrives nærmere i de følgende fsnit ddition At lægge smmen eller plus vælger mn indenfor ritmetikken t klde ddition eller summtion. Addition ngives ved tegnet +, der plceres mellem opernderne. Opernderne for dditionen kldes ddender eller led. Resulttet f en ddition kldes en sum Eksempel: = 7 her bliver leddene 2 og 5 dderet, og den resulterende sum er subtrktion At trække fr eller minus vælger mn indenfor ritmetikken t klde subtrktion. Subtrktion ngives ved tegnet, der plceres mellem opernderne. Den opernd, der subtrheres fr, står til venstre for tegnet kldes og minuenden. Den opernd, der trækkes fr, står til højre for tegnet og kldes subtrhenden. Såvel minuenden som subtrhenden omtles ofte som led. Resulttet f en subtrktion kldes en difference Eksempel: 8 3 = 5 her bliver subtrhenden 3 subtrheret fr minuenden 8, og den resulterende difference er 5 6

7 1.2.4 multipliktion At gnge vælger mn indenfor ritmetikken t klde multipliktion. Multipliktion ngives ved tegnet eller tegnet, der plceres mellem opernderne. Opernderne i multipliktionen kldes fktorer. Resulttet f en multipliktion kldes et produkt Eksempel: 3 2 = 6 her bliver fktoren 3 multipliceret med fktoren 2, og det resulterende produkt er 6 Opertortegnet for multipliktion udeldes ofte, når én eller flere f fktorerne ikke er fstlgte tl. I sådnne tilfælde vælger mn ofte t plcere en fktor, der er et fstlgt tl, før ndre fktorer. Eksempel: 2 vil kunne skrives som 2, hvor repræsenterer et tl, der ikke er endeligt fstlgt division At dele eller dividere vælger mn indenfor ritmetikken t klde division. Division ngives ved tegnet / eller tegnet :, der plceres mellem opernderne, eller ved tegnet, hvor opernderne plceres over og under tegnet, der kldes en brøkstreg. Den opernd, der skl deles, står til venstre for eller over stregen og kldes dividenden. Den opernd, der skl deles med, står til højre for eller under stregen og kldes divisoren. Ved brug f brøkstreger vælger mn t klde dividenden for tælleren og divisoren for nævneren. Resulttet f en division kldes en kvotient Eksempel: 24/8 = 3, 24 : 8 = 3 eller 24 = 3, her bliver dividenden 24 divideret med divisoren 8, og den resulterende kvotient er 8 3 Bemærk, t mn betrger en division med 0 som divisor som meningsløs eller umulig Opstillingen med dividende, divisionsopertor og divisor kldes smlet for en brøk, der sprogligt henviser til noget, der er blevet brudt op. 1.3 Opertorhierrki stndrdhierrki Flere opertioner kn ngives ved siden f hinnden. En prntes kn i så fld ngive hvilken regneopertion, der skl udføres først Eksempel: 2 + (5 3), her ngiver prntesen, t subtrktionen 5 3 skl udføres først, og den resulterende difference på 2 bliver et led, der skl dderes med 2 7

8 Med den vedtgne nottion skl multipliktion og division som udgngspunkt udføres før ddition og subtrktion, hvis prnteser ikke ngiver ndet Eksempel: , her er det således underforstået, t mulitpliktionen 3 5 udføres først, og det resulterende produkt eferfølgende bliver et led, der skl dderes med 2 Ved brug f brøkstreg er der en underforstået prntes omkring tælleren og en underforstået prntes omkring nævneren Eksempel: = (3 + 9)/(2 + 2) kvliteter ved de fire regnerter Følgende kvliteter ved de fire regnerter kn forekomme selvfølgelige; men ved t nvngive disse egenskber opbygges et ordforråd, der skærper bevidstheden om opertionerne og letter rbejdet med mere komplicerede problemstillinger. I det følgende vil der blive brugt bogstver som, b, c eller d i stedet for tl, når en smmenhæng mellem tl og opertor generliseres kommuttivitet For ddition gælder, t operndernes position er ligegyldig. kldes kommuttiv Denne kvlitet Eksempel: = Dette er gyldigt for lle tl og kn generliseres som + b = b + For subtrktion gælder, t operndernes position ikke er ligegyldig, med mindre opernderne er lige store. Denne kvlitet kldes ikke-kommuttiv eller ntikommuttiv Eksempel: Dette kn generliseres som b b og er gyldigt så længe b For multipliktion gælder, t operndernes position er ligegyldig. Denne kvlitet kldes kommuttiv Eksempel: 4 2 = 2 4 Dette er gyldigt for lle tl og kn generliseres som b = b 8

9 For division gælder, t opernderns position ikke er ligegyldig, med mindre opernderne er lige store. Denne kvlitet kldes ikke-kommuttiv eller ntikommuttiv Eksempel: 6/3 3/6 Dette kn generliseres som /b b/ og er gyldigt så længe b ssocitivitet For ddition gælder, t mn ved to dditionsopertioner frit kn vælge, hvilken der foretges først. Denne kvlitet kldes ssocitiv Eksempel: 2 + (3 + 4) = (2 + 3) + 4 Dette kn generliseres til + (b + c) = ( + b) + c For subtrktion gælder, t mn ved to subtrktionsopertioner ikke frit kn vælge, hvilken der foretges først. Denne kvlitet kldes ikke-ssocitiv eller nti-ssocitiv Eksempel: 14 (5 2) (14 5) 2 Dette kn generliseres til (b c) ( b) c, med mindre c = 0 For multipliktion gælder, t mn ved to multipliktionsopertioner frit kn vælge, hvilken der foretges først. Denne kvlitet kldes ssocitiv Eksempel: 4 (3 5) = (4 3) 5 Dette kn generliseres til (b c) = ( b) c For division gælder, t mn ved to divisionsopertioner ikke frit kn vælge, hvilken der foretges først. Denne kvlitet kldes ikke-ssocitiv eller ntissocitiv Eksempel: 12/(6/2) (12/6)/2 Dette kn generliseres til /(b/c) (/b)/c, med mindre c = 1 9

10 1.4.3 distributivitet Multipliktionsopertoren kldes distributiv over dditionsopertoren. Dette betyder, t multipliktion kn deles ud på dditionen. Denne distributivitet gælder som følger: 4 (2 + 3) = eller generelt: (b + c) = b + c Multipliktionsopertoren er tilsvrende distributiv over subtrktionsopertoren, d følgende er gyldigt: 4 (6 2) = eller generelt: (b c) = b c Divisionssopertoren kldes højre-distributiv over dditionsopertoren, d divisoropernden, der står til højre eller under brøkstregen, kn deles ud på leddene i dividendeopernden: = eller generelt: + b c = c + b c Det modstte er dog ikke tilfældet, d dividendeopernden, der står til venstre eller over brøkstregen, ikke kn deles ud på leddene i divisoropernden. Division er således ikke venstre-distributivt : og generelt b + c b + c Divisionssopertoren er tilsvrende højre-distributiv og ikke venstre-distributiv over subtrktionssopertoren, d følgende er gyldigt: = eller generelt: b c = c b c Additions- og subtrktionsopertorerne hr ikke distributive kvliteter 1.5 identitetselementer Til enhver opertion findes en opernd, der gør opertionen neutrl. Denne opernd kldes det neutrle element eller identitetselementet. Ved t skærpe bevidstheden om disse tls kvliteter, bnes vejen for t øjne mere underfundige identitetselementer for de mindre intuitivt nskuelige opertorer, som beskrives senere ddition og subtrktion For ddition gælder, t tllet 0 er et neutrlt element Eksempel: = 3, eller generelt + 0 =, hvor repræsenterer et tl 10

11 For subtrktion gælder ligeledes, t tllet 0 er identitetselementet: Eksempel: 4 0 = 4, eller generelt 0 =, hvor repræsenterer et tl multipliktion og division For multipliktion gælder, t tllet 1 er et neutrlt element Eksempel: 5 1 = 5, eller generelt 1 =, hvor repræsenterer et tl For division gælder ligeledes, t tllet 1 er identitetselementet: Eksempel: 9/1 = 9, eller generelt /1 =, hvor repræsenterer et tl 1.6 modstte regnerter Til enhver opertor findes en nden opertor, der udlinger eller tilbgefører den forvndling, den første opertor hr foretget. En sådn udlignende, eller omvendt, opertor kldes en invers opertor summtion og subtrktion Hvis mn først lægger et tl til og derefter trækker det smme tl fr, så hr mn ikke ændret ved den oprindelige værdi: Eksempel: = 3, eller generelt +b b =, hvor og b repræsenterer tl Tilsvrende gælder for subtrktion efterfulgt f summtion med det smme tl: Eksempel: = 4, eller generelt b+b =, hvor og b repræsenterer tl D summtion og subtrktion udligner hinnden, kldes de således modstte regnerter eller hinndens inverse opertion. Når et tl på denne måde udlignes f et ndet tl, vælger mn ofte t strege de tl, der går ud med hinnden, ud: Eksempel: = Bemærk, t summtion og subtrktion med smme tl udligner hinnden ved, t de til smmen svrer til t hve dderet eller subtrheret identitetselementet multipliktion og division Hvis mn først gnger noget med et tl og derefter dividerer med det smme tl, så hr mn ikke ændret ved den oprindelige værdi: 11

12 Eksempel: = 5, eller generelt b b =, hver og b repræsenterer tl tilsvrende gælder for division efterfulgt f multipliktion med det smme tl: Eksempel: ( 12 3 ) 3 = 12, eller generelt ( ) b =, hvor og b repræsenterer b tl Som ved summtion og subtrktion vælger mn ofte t ngive de tl, der går ud med hinnden, ved en overstregning: Eksempel: = eller (21 7 ) 7 = (21 7 ) 7 Bemærk, t multipliktion og division med smme tl udligner hinnden ved, t de tilsmmen svrer til t hve multipliceret eller divideret med identitetselementet opertionsoversigt En smmenftning f de kvliteter, der i det foregående er blevet fremhævet og nvngivet: opertion kommuttiv ssocitiv distributiv identitet invers opertion ddition j j nej 0 subtrktion subtrktion nej nej nej 0 ddition multipliktion j j j 1 division division nej nej højre 1 multipliktion 1.8 inverse elementer, ddition og subtrktion de negtive tl De nturlige tl, vi tænker i til dglig, beskriver ntl, vi kn observere og forestille os. Når vi lægger disse nturlige ntl smmen, får vi ltid et større ntl. Begrebet negtive tl dækker over den bstrkte konstruktion, t vi ntger et tl, vi ikke kn forestille os, men som lgt smmen med et normlt tl giver en sum, der bliver mindre. Det svært, hvis ikke umuligt, t forestille sig, og tidligere er den slgs tl d også blevet kldt bsurde tl. Det tl, der ved summtion med tllet resulterer i summen 0, ltså identitetselementet for summtion, noteres ved et minus tegn forn, ltså. Dette er på mnge måder uheldigt, d mn kn forveksle stregen forn med opertionen subtrktion. Hvis der står en opernd til venstre for det negtive tl vælger mn derfor t sætte en prntes omkring tllet, for t undgå misforståelse. Denne prntes fjerner tvivlen om, hvorvidt der er tle om subtrktion eller et negtivt tl; men ngiver ikke, som vnligt, et opertorhierrki. Definitionen for opfylder således: 12

13 + ( ) = 0 og et konkret eksempel: 2 + ( 2) = 0 Det negtive tl til et negtivt tl er, fr ovenstående definition, et tl, der ved summtion med det negtive tl giver 0. Det tl, der opfylder dette er netop det tilsvrende nturlige tl. Det vil sige, t hvis vi med nottionen ( ) forstår det negtive tl til, så opfylder krvene til ( ), d + = 0 Eksempel: ( 2) = 2, d 2 opfylder, t = 0 Med ndre ord bliver et negtivt negtivt tl positivt For t gøre forvirringen komplet lider vores sprogbrug f smme forvekslingsmulighed som nottionerne. Udtrykket minus 3 kn således dække over såvel det negtive tl -3 som opertionen t trække 3 fr, lstå subtrhere 3. Heldigvis er de to forhold beslægtede Kvliteten ved, t dderet med giver identitetselementet 0, + ( ) = 0, gør, t i denne smmenhæng kldes det inverse element for ddition Kvliteten ved, t subtrheret fr giver identitetselementet 0, = 0, gør, t i denne smmenhæng kldes det inverse element for subtrktion summtion og subtrktion med negtive tl Vi hr fr definitionen f negtive tl, t + ( ) = 0 og fr definitionen ved vi, t de omvendte regnerter summtion og subtrktion udligner hinnden til identitetselementet 0, dvs. = 0. Ved den trnsitive egenskb gives herved + ( ) =. Uden t gå videre kn vi intuitivt se fr denne smmenhæng, t det t lægge til noget, er det smme som t trække fr Eksempel: 7 + ( 4) = 7 4 eller generelt + ( b) = b D det t trække fr således er det smme som det t lægge et negtivt tl til, kn vi få: 8 ( 2) = 8 + ( ( 2)) og d vi ved fr tidligere, t et negtivt negtiv tl, i dette tilfælde ( 2), er positivt, giver det 8 ( 2) = eller generelt ( b) = + b At trække et negtivt tl fr er ltså det smme som t lægge det tilsvrende positive tl til 13

14 1.8.3 multipliktion og division med negtive tl At omvendt omvendt giver det, mn strter med, lyder intuitivt tiltlende, men kn være svært t udlede fr den tidligere definition f de negtive tl; derfor følger her de nødvendige regler for multipliktion og division med negtive tl uden forudgående forklring: Multipliktion f to negtive tl: ( ) ( b) = b minus gnge minus giver plus Eksempel: ( 2) ( 1) = 2 1 Multipliktion f et positivt tl med et negtivt tl: () ( b) = b plus gnge minus giver minus Eksempel: 4 ( 3) = 4 3 Division f to negtive tl: ( ) ( b) = b minus divideret med minus giver plus Eksempel: ( 12) ( 2) = 12 2 Division f et negtivt tl med et positivt: minus divideret med plus giver minus ( ) b = b Eksempel: ( 6) 4 = 6 4 Division f et positivt tl med et negtivt: plus divideret med minus giver minus Eksempel: 5 ( 3) = 5 3 ( b) = b Det nbefles dog i høj grd t huske smtlige fem ovenstående regler smlet på denne simple og udvidede måde: hvis der for multipliktion eller division indgår et lige ntl negtive tl, så bliver resulttet positivt. Tilsvrende gælder for multipliktion og division, t hvis der indgår et ulige ntl negtive tl, så bliver resulttet negtivt. lige ntl minus giver plus - ulige ntl minus giver minus For fuldstændighedens skyld følger som eksempel her en udledning f reglen for multipliktion f to negtive tl, ud fr definitionen f et negtivt tl: Antg, t vi definerer en størrelse c ved: c = b + ( ) (b) + ( ) ( b) 14

15 Herf følger, t: c = b + ( ) (b) + ( ) ( b) = b + ( ) ((b) + ( b)), her sættes ( ) udenfor prntes = b + ( ) 0, fr definitionen f b = b + 0 = b (1) Smtidigt gælder følgende c = b + ( ) (b) + ( ) ( b) = ( + ( )) b + ( ) ( b)), her sættes b udenfor prntes = 0 b + ( ) ( b)), fr definitionen f = 0 + ( ) ( b)) = ( ) ( b)) (2) Ved den trnsitive egenskb gives således, t d c = b smt c = ( ) ( b), så er ( ) ( b) = b smmenftning f regler for negtive tl opertion regel eksempel dition f neg. tl + ( b) = b 8 + ( 3) = 8 3 subtrktion f neg. tl ( b) = + b 15 ( 2) = multipliktion f to neg. tl ( ) ( b) = b ( 3) ( 2) = 3 2 multipliktion f pos. og neg. tl () ( b) = b (6) ( 5) = 6 5 division med to neg. tl division f neg. med pos. tl division f pos. med neg. tl ( ) ( b) = b ( ) b = b ( b) = b ( 4) ( 3) = 4 3 ( 11) 4 ( 5) 2 = 11 4 =

16 1.9 inverse elementer for multipliktion og division brøker Brøker spiller smme rolle i forhold til multipliktion som negtive tl gør for ddition: de er multipliktionens inverse elementer: Fr fsnittet om modstte regnerter er givet, t 1 = 1, hvilket vil sige, t 1 ved multipliktion er det inverse element til, d produktet f multipliktionen er det neutrle element, 1, for multipliktion. Disse brøker, kldet stmbrøker når tælleren er 1, lder dog ikke til t volde lige så store kvler som tnken om negtive tl, og mn hr fundet rkæologiske eksempler på nvendelse f dette koncept så lngt tilbge som for c år siden i Indus dlen. For division gælder, t / = 1, hvilket vil sige, t ved division er det inverse element til, d kvotienten ved divisionen giver det neutrle element, 1, for division. I det følgende ngives regler for, hvorledes brøker opfører sig under de fire regnerter ddition, subtrktion, multipliktion og division smt en beskrivelse f processerne forlængelse og forkortning f en brøk multipliktion f brøker Mn foretger en multipliktion f brøker ved t dnne en ny brøk, hvor tælleren er produktet f de to brøkers tællere, og nævneren er produktet f de to brøkers nævnere Eksempel: = = 10 12, eller generelt b c d = c b d Hvis en f opernderne ikke er en brøk, kn vi lligevel behndle den som en brøk, ved t dividere opernden med identitetselementet 1, som er neutrlt mht. division Eksempel: = = = 28 3 b eller generelt c = 1 b c = b 1 c = b c Læg mærke til t resulttet f t multiplicere et tl med en brøk er, t mn gnger tælleren i brøken med tllet division f brøker Mn foretger en division f brøker ved t dnne en ny brøk, hvor tælleren er produktet f dividendebrøkens tæller og divisorbrøkens nævner, og nævneren er produktet f dividendebrøkens nævner og divisorbrøkens tæller 16

17 Eksempel: 5 2 : 3 4 = = 20 6, eller generelt b : c d = d b c En populær mellemregningsmetode er t bytte om på tæller og nævner i divisorbrøken og behndle det som en multipliktion, med smme resultt. At bytte om på tæller og nævner for en brøk kldes også t dnne den reciprokke brøk. Mn kn sige, t mn kn dividere med en brøk ved t gnge med den reciprokke brøk 7 Eksempel: 2 : 9 4 = = = eller generelt: b : c d = b d c = d b c Hvis en f opernderne ikke er en brøk, kn vi lligevel behndle den som en brøk ved t dividere opernden med identitetselementet 1, som er neutrlt mht. division 4 Eksempel: 3 : 2 = 4 3 : 2 1 = = = 4 6 eller generelt: b : c = b : c 1 = b 1 c = 1 b c = b c Læg mærke til t resulttet f t dividere en brøk med et tl er, t mn gnger nævneren i brøken med tllet. Læg endvidere mærke til t det t dividere med c er det smme som t gnge med 1, en omstændighed der gælder, unset om c det er brøker eller ndre opernder, der optræder som dividender. Eksempel: 3 : 4 = forlængelse f en brøk eller generelt : b = 1 b Skulle det være hensigtsmæssigt, kn mn multiplicere og dividere en brøk med smme tl, uden t det ændrer brøkens størrelse. Fr tidligere ved vi, t vi kn gnge et tl med 1, uden t det ændrer værdien, d 1 er det neutrle element for multipliktion: 1 b = b 1-tllet kn vi skrive om til et tredie tl, c, divideret med sig selv: 1 = c c D 1 b = b og 1 = c kn vi derfor skrive: c c c b = b hvilket medfører t: c c b = b 17

18 Dette kldes t forlænge brøken med c b Eksempel: 3 4 = = summtion og subtrktion f brøker Fr den tidligere nævnte højre-distributive kvlitet for divisionsopertoren over dditionsopertoren gives, t hvis de to operndbrøker hr smme nævner, kn mn foretge en summtion f brøkerne ved t dnne en ny brøk, hvor tælleren er summen f de to brøkers tællere og nævneren er den smme nævner, som de to brøker hvde i forvejen Eksempel: = eller generelt b + c b = + c b Hvis de to brøker ikke hr smme nævner, kn en sådn konstrueres ved, t mn forlænger den ene brøk med den nden brøks nævner og omvendt Eksempel: = Her her brøken til venstre blevet forlænget med 6, brøken til højres nævner, og brøken til højre er blevet forlænget med 4, brøken til venstres nævner. D nævnerne 6 4 og 4 6 er de smme, givet ved multipliktions kommuttive egenskb, hr brøkerne nu nævnere med smme størrelse, en fælles nævner, og reglen ovenfor kn nvendes: = = = Generelt gælder følgende: b + c d = d d b + b c b d = d + b c d b For subtrktion gæder de smme regler som ved summtion: b c b = c b og b c d = d d b b c b d = d b c d b forkortning f brøker Det kn ofte være hensigtsmæssigt t undersøge, om en brøk kn skrives om til en brøk f mere simple, mindre, tl. Mn kn gøre dette ved t dividere såvel tæller som nævner med et hensigtsmæssigt tl. At denne opertion ikke ændrer ved brøkens værdi kn vi se ved følgende betrgtning: 18

19 1 Hvis vi forlænger brøken b med 1 c, så får vi: b = c 1 c b Fr reglen om multipliktion f et tl med en brøk kn vi nu gnge og b ind på tælleren i 1 så vi får: c b = /c b/c 24 Eksempel: 18 = 24/6 18/6 = 4 her forkortes brøken med 6, der er hensigtsmæssigt 3 vlgt, d 6 går op i såvel 24 som 18 uden rest smmenftning f brøkregningsregler Meget f det foregående er unødigt t huske, så længe mn husker følgende smmenhænge: opertion generelle f orhold konkret eksempel multipliktion med brøk multipliktion med tl division med brøk division med tl f orlængelse f orkortelse ddition f ælles nævner ddition generelt subtrktion f ælles nævner subtrktion generelt b c d = c b d b c = b c b : c d = d b c b : c = b c b = c c b b = /c b/c b + c b = + c b b + c d = d + b c d b b c b = c b b c d = d b c d b = = = 7 4 = : 3 4 = = : 2 = = = = = 24/6 18/6 = = = = = = = = = = 21 8 =

20 1.10 ntl regnerter Vi hr tidligere set, t det t trække fr noget er det smme som t lægge til. Tilsvrende hr vi set, t det t dividere med er det smme som t gnge med 1. Mn kn således med rimelighed rgumentere for, t mn kn slippe fsted med kun t bruge to regnerter: ddition og multipliktion. En fordel ved dette er, t ddition og multipliktion begge er kommuttive og ssocitive opertorer, og mn behøver derfor ikke tænke over rækkefølgen f opernder eller opertioner, som mn skl holde nøje øje med ved subtrktion og division. Disse behgelige kvliteter ved ddition og multipliktion hr ført til, t mnge mtemtiske smmenhænge, så vidt muligt, formuleres ud fr disse to regnerter. Som vi vil se senere, vælger mn f.eks. ofte t betrgte en såkldt førstegrdsligning på denne generelle form: x + b = 0 vel vidende, t såvel som b i så fld kn være brøker eller negtive tl. For eksempel nses udtrykket x 6 2 = 0 i denne smmenhæng for: (1 6 ) x+( 2), hvorved mn undgår t forholde sig til division og subtrktion 1.11 prnteser opløsning f prnteser Fr den førnævnte distributive kvlitet for multipliktion ved vi, t hvis der står et tl gnget med en prntes med summtion eller subtrktion, kn mn gnge ind på hver opernd i summtionen eller subtrktionen. Hvis der står to sådnne prnteser med multipliktion som opertor, så kn mn gøre følgende: (4+3) (2+5) = (4+3) 2+(4+3) 5, her ser vi (4+3) som én opernd, der er blevet gnget ind på hvert led i prtesen (2 + 5). Efterfølgende kn mn opløse de to nye prnteser på smme måde: (4+3) 2+(4+3) 5 = Generelt gælder, t ( + b) (c + d) = c + d + b c + b d. Læg mærke til t resulttet er, t hvert led fr den ene prntes er blevet gnget ind på hvert led i den nden prntes. Smme metode gælder for prnteser med flere end to led og for mere end to prnteser. Prnteser med subtrktion behndles på tilsvrende måde. For minus prnteser, (+b), gælder, t hvis vi gnger dem med det neutrle element 1 får vi: ( + b) = 1 ( + b) Hvilket vi, ud fr reglen om multipliktion f et negtivt og et positivt tl, 20

21 kn skrive som: ( + b) = ( 1) ( + b), og herfr kn vi opløse på sædvnlig vis: ( 1) ( + b) = ( 1) + ( 1) b, og d 1 er neutrlt mht. mulitipliktion giver det: ( 1) + ( 1) b = b. Dette resultt er generelt: t mn opløser en minus prntes ved t vende fortegnet for hvert led inde i prntesen: Eksempel: ( ) = t sætte udenfor prntes Hvis mn rbejder med led f fktorer, hvor en f fktorerne optræder gentgne gnge, kn det være hensigtsmæssigt t konstruere en prntes med led, der gnges med denne fktor Eksempel: , her er 2 en fktor, der går igen og mn kn konstruere en prntes, der gnget med denne fktor hr smme værdi som den oprindelige sum f multipliktioner: = 2 (3 + 4). At den højre side er lig den venstre gives ved den distributive kvlitet for multipliktion. En generel metode til t sætte udenfor prntes er t beslutte sig for, hvd der skl stå udenfor prntesen, en fktor mn gnger med, og smtidigt dividere prntesen med den smme fktor. Så vil multipliktionen gå ud med divisionen, d de er modstte regnerter, og værdien således ikke være ændret Eksempel: = 4 ( ), her er 4 blevet st udenfor prntesen 4 som fktor, og selve prntesen er tilsvrende divideret med 4. fr reglen om højredistributivitet for division over summtion kn vi omforme det til: 4 ( ) = 4 ( ) D multipliktion og division med smme 4 tl går lige op, kn udtrykket reduceres: 4 ( ) = 4 (5 + 6) 4 Den letteste opertionelle tilgng er dog t vælge en fktor, der går igen i flere led, sætte den uden for prntes og lde de oprindelige led stå tilbge i prntesen, uden den fktor Eksempel: = 8 (3 + 4) her er 8 blevet udpeget som den fktor, der går igen, og plceret udenfor prntesen. Inde i prntesen står de oprindelige led, men uden fktoren 8. 21

TAL OG BOGSTAVREGNING

TAL OG BOGSTAVREGNING TAL OG BOGSTAVREGNING De elementære regnerter I mtemtik kn vi regne med tl, men vi kn også regne med bogstver, som gør det hele en smugle mere bstrkt. Først skl vi se lidt på de fire elementære regnerter,

Læs mere

Regneregler for brøker og potenser

Regneregler for brøker og potenser Regneregler for røker og potenser Roert Josen 4. ugust 009 Indhold Brøker. Eksempler......................................... Potenser 7. Eksempler......................................... 8 I de to fsnit

Læs mere

TAL OG REGNEREGLER. Vi ser nu på opbygningen af et legeme og noterer os samtidig, at de reelle tal velkendte regneoperationer + og er et legeme.

TAL OG REGNEREGLER. Vi ser nu på opbygningen af et legeme og noterer os samtidig, at de reelle tal velkendte regneoperationer + og er et legeme. TAL OG REGNEREGLER Inden for lgeren hr mn indført egreet legeme. Et legeme er en slgs konstruktion, hvor mn fstsætter to regneregler og nogle sætninger (ksiomer), der gælder for disse. Pointen med en sådn

Læs mere

Diverse. Ib Michelsen

Diverse. Ib Michelsen Diverse Ib Michelsen Ikst 2008 Forsidebilledet http://www.smtid.dk/visen/billede.php?billedenr69 Version: 0.02 (2-1-2009) Diverse (Denne side er A-2 f 32 sider) Indholdsfortegnelse Regning med procent

Læs mere

Potens- sammenhænge. inkl. proportionale og omvendt proportionale variable. 2010 Karsten Juul

Potens- sammenhænge. inkl. proportionale og omvendt proportionale variable. 2010 Karsten Juul Potens- smmenhænge inkl. proportionle og omvendt proportionle vrible 010 Krsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse f hæftet "Eksponentielle smmenhænge, udgve ". Indhold 1. Hvd er en potenssmmenhæng?...1.

Læs mere

Regneregler. 1. Simple regler for regning med tal.

Regneregler. 1. Simple regler for regning med tal. Regneregler. Simple regler for regning med tl. Vi rejder l.. med følgende fire regningsrter: plus (), minus ( ), gnge () og dividere (: eller røkstreg, se senere), eller med fremmedord : ddition, sutrktion,

Læs mere

gudmandsen.net y = b x a Illustration 1: potensfunktioner i 5 forskellige grupper

gudmandsen.net y = b x a Illustration 1: potensfunktioner i 5 forskellige grupper gudmndsen.net Dette dokument er publiceret på http://www.gudmndsen.net/res/mt_vejl/. Ophvsret: Indholdet stilles til rådighed under Open Content License[http://opencontent.org/openpub/]. Kopiering, distribution

Læs mere

Eksponentielle Sammenhænge

Eksponentielle Sammenhænge Kort om Eksponentielle Smmenhænge 011 Krsten Juul Dette hæfte indeholder pensum i eksponentielle smmenhænge for gymnsiet og hf. Indhold 1. Procenter på en ny måde... 1. Hvd er en eksponentiel smmenhæng?....

Læs mere

3. Vilkårlige trekanter

3. Vilkårlige trekanter 3. Vilkårlige treknter 3. Vilkårlige treknter I dette fsnit vil vi beskæftige os med treknter, der ikke nødvendigvis er retvinklede. De formler, der er omtlt i fsnittet om retvinklede treknter, kn ikke

Læs mere

Elementær Matematik. Algebra Analytisk geometri Trigonometri Funktioner

Elementær Matematik. Algebra Analytisk geometri Trigonometri Funktioner Elementær Mtemtik Alger Anlytisk geometri Trigonometri Funktioner Ole Witt-Hnsen Køge Gymnsium 0 Indhold Indhold... Kp. Tl og regning med tl.... De nturlige tl.... Regneregler for nturlige tl.... Kvdrtsætningerne.....

Læs mere

Kompendium. Matematik HF C niveau. Frederiksberg HF Kursus. Lars Bronée 2014

Kompendium. Matematik HF C niveau. Frederiksberg HF Kursus. Lars Bronée 2014 Kompendium Mtemtik HF C niveu π Frederiksberg HF Kursus Lrs Bronée 04 Mil: post@lrsbronee.dk Web: www.lrsbronee.dk Indholdsfortegnelse: Forord Det grundlæggende Ligningsløsning 8 Procentregning Rentesregning

Læs mere

Opstakning og afstakning, fremadregning og tilbageregning

Opstakning og afstakning, fremadregning og tilbageregning 1 Opstkning og fstkning, fremdregning og tilgeregning 1.1 Fremdregning og tilgeregning...2 1.2 Æskeregning...2 1.3 Høseringe-regning, indkodning og fkodning...3 1.4 Vndret tilgeregning, t dnse en ligning...3

Læs mere

Michel Mandix (2010) INDHOLDSFORTEGNELSE:... 2 EN TREKANTS VINKELSUM... 3 PYTHAGORAS LÆRESÆTNING... 4 SINUSRELATIONERNE... 4 COSINUSRELATIONERNE...

Michel Mandix (2010) INDHOLDSFORTEGNELSE:... 2 EN TREKANTS VINKELSUM... 3 PYTHAGORAS LÆRESÆTNING... 4 SINUSRELATIONERNE... 4 COSINUSRELATIONERNE... MATEMATIK NOTAT MATEMATISKE EVISER AF: CAND. POLYT. MICHEL MANDIX SIDSTE REVISION: FERUAR 04 Michel Mndi (00) Side f 35 Indholdsfortegnelse: INDHOLDSFORTEGNELSE:... EN TREKANTS VINKELSUM... 3 PYTHAGORAS

Læs mere

UGESEDDEL 52. . Dette gøres nedenfor: > a LC

UGESEDDEL 52. . Dette gøres nedenfor: > a LC UGESEDDE 52 Opgve 1 Denne opgve er et mtemtisk eksempel på Ricrdo s én-fktor model, der præsenteres i Krugmn & Obstfeld kpitel 2 side 12-19. Denne model beskriver hndel som et udslg f komprtive fordele

Læs mere

Spil- og beslutningsteori

Spil- og beslutningsteori Spil- og eslutningsteori Peter Hrremoës Niels Brock 26. novemer 2 Beslutningsteori De økonomiske optimeringssitutioner, vi hr set på hidtil, hr været helt deterministiske. Det vil sige t vores gevinst

Læs mere

Trigonometri. Trigonometri. Sinus og cosinus... 2 Tangens... 6 Opgaver... 9. Side 1

Trigonometri. Trigonometri. Sinus og cosinus... 2 Tangens... 6 Opgaver... 9. Side 1 Trigonometri Sinus og osinus... 2 Tngens... 6 Opgver... 9 Side Sinus og osinus Til lle vinkler hører der to tl, som kldes osinus og sinus. Mn finder sinus og osinus til en vinkel ved t tegne vinklen midt

Læs mere

Trigonometri. Matematik A niveau

Trigonometri. Matematik A niveau Trigonometri Mtemtik A niveu Arhus Teh EUX Niels Junge Trigonometri Sinus Cosinus Tngens Her er definitionen for Cosinus Sinus og Tngens Mn kn sige t osinus er den projierede på x-ksen og sinus er den

Læs mere

Hvad ved du om mobning?

Hvad ved du om mobning? TEST: Hvd ved du om moning? I testen her kn du fprøve, hvor meget du ved om moning på rejdspldsen. Testen estår f tre dele: Selve testen, hvor du skl sætte ét kryds for hvert f de ti spørgsmål. Et hurtigt

Læs mere

Matematik. Kompendium i faget. Tømrerafdelingen. 1. Hovedforløb. a 2 = b 2 + c 2 2 b c cos A. cos A = b 2 + c 2 - a 2 2 b c

Matematik. Kompendium i faget. Tømrerafdelingen. 1. Hovedforløb. a 2 = b 2 + c 2 2 b c cos A. cos A = b 2 + c 2 - a 2 2 b c Kompendium i fget Mtemtik Tømrerfdelingen 1. Hovedforlø. Trigonometri nvendes til eregning f snd længde og snd vinkel i profiler. Sinus Cosinus Tngens 2 2 + 2 2 os A os A 2 + 2-2 2 Svendorg Erhvervsskole

Læs mere

Fælles for disse typer af funktioner er, at de som grundfunktion indeholder varianter af udtrykket x a.

Fælles for disse typer af funktioner er, at de som grundfunktion indeholder varianter af udtrykket x a. 5. FORSKRIFT FOR EN POTENSFUNKTION Vi hr i vores gennemgng f de forskellige funktionstper llerede være inde på udtrk, som indeholder forskellige potenser f I dette kpitel skl vi se på forskellige tper

Læs mere

Integralregning. 2. del. 2006 Karsten Juul

Integralregning. 2. del. 2006 Karsten Juul Integrlregning del ( ( 6 Krsten Juul Indhold 6 Uestemt integrl8 6 Sætning om eksistens stmunktioner 8 6 Oplæg til "regneregler or integrl"8 6 Regneregler or uestemt integrl 9 68 Foreredelse til "integrtion

Læs mere

hvor A er de ydre kræfters arbejde på systemet og Q er varmen tilført fra omgivelserne til systemet.

hvor A er de ydre kræfters arbejde på systemet og Q er varmen tilført fra omgivelserne til systemet. !#" $ "&% (')"&*,+.-&/102%435"&6,+879$ *1')*&: or et system, hvor kun den termiske energi ændres, vil tilvæksten E term i den termiske energi være: E term A + Q hvor A er de ydre kræfters rbejde på systemet

Læs mere

Bogstavregning. En indledning for stx og hf 2. del. 2008 Karsten Juul

Bogstavregning. En indledning for stx og hf 2. del. 2008 Karsten Juul Bogstvregning En indledning for st og f. del 008 Krsten Juul ) )( ( ) ( ) ( Indold 0. Gnge to prenteser....,, osv... 7. Kvdrtsætninger... 0. Brøer. del... Bogstvregning. En indledning for st og f.. del.

Læs mere

Potens regression med TI-Nspire

Potens regression med TI-Nspire Potensvækst og modellering - Mt-B/A 2.b 2007-08 Potens regression med TI-Nspire Vi tger her udgngspunkt i et eksempel med tovværk, hvor mn får oplyst en tbel over smmenhængen mellem dimeteren (xdt) i millimeter

Læs mere

Matematikkens mysterier - på et højt niveau. 3. Differentialligninger

Matematikkens mysterier - på et højt niveau. 3. Differentialligninger Mtemtikkens msterier - på et højt niveu f Kenneth Hnsen 3. Differentilligninger N N N 3 A A k k Indholdsfortegnelse 3. Introduktion 3. Dnmiske sstemer 3 3.3 Seprtion f de vrible 8 3.4 Vækstmodeller 8 3.5

Læs mere

Den grønne kontakt til dine kunder. Kontakt med omtanke for miljø og økonomi

Den grønne kontakt til dine kunder. Kontakt med omtanke for miljø og økonomi Den grønne kontkt til dine kunder Kontkt med omtnke for miljø og økonomi 2 En fbryder der slukker lt, og en stikkontkt der reducerer stndby forbruget Energy Efficiency Energieffektivitet hndler ikke kun

Læs mere

Analyse 30. januar 2015

Analyse 30. januar 2015 30. jnur 2015 Større dnsk indkomstulighed skyldes i høj grd stigende kpitlindkomster Af Kristin Thor Jkosen Udgivelsen f Thoms Pikettys Kpitlen i det 21. århundrede hr fstedkommet en del diskussion f de

Læs mere

(a k cos kx + b k sin kx) k=1. cos θk = sin θ 1 ak. , b k. k=1

(a k cos kx + b k sin kx) k=1. cos θk = sin θ 1 ak. , b k. k=1 SEKTION 7 FOURIERANALYSE 7 Fouriernlyse Periodiske funktioner er vigtige i mnge smmenhænge, både videnskbeligt og teknisk Vi vil normlisere, så ntger, t perioden er π Disse funktioner er bedst nlyseret

Læs mere

Pythagoras sætning. I denne note skal vi give tre forskellige beviser for Pythagoras sætning:

Pythagoras sætning. I denne note skal vi give tre forskellige beviser for Pythagoras sætning: Pythgors sætning I denne note skl i gie tre forskellige eiser for Pythgors sætning: Pythgors sætning I en retinklet treknt, hor den rette inkel etegnes med, gælder: + = eis 1 Ld os tegne et stort kdrt

Læs mere

Den grønne kontakt til dine kunder Kontakt med omtanke for miljø og økonomi

Den grønne kontakt til dine kunder Kontakt med omtanke for miljø og økonomi Den grønne kontkt til dine kunder Kontkt med omtnke for miljø og økonomi Stort energi- og stndby forbrug? En fbryder der slukker lt, og en stikkontkt der reducerer stndby forbruget Sluk for det hele......

Læs mere

MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX)

MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX) Silkeorg -0- MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX) FACITLISTE Udrejdet f mtemtiklærere fr HF, HHX, HTX & STX. PS: Hvis du opdger

Læs mere

Grundlæggende matematiske begreber del 1 Mængdelære Talmængder Tal og regneregler Potensregneregler Numerisk værdi Gennemsnit

Grundlæggende matematiske begreber del 1 Mængdelære Talmængder Tal og regneregler Potensregneregler Numerisk værdi Gennemsnit Grudlæggede mtemtiske begreber del 1 Mægdelære Tlmægder Tl og regeregler Potesregeregler Numerisk værdi Geemsit x-klssere Gmmel Hellerup Gymsium 1 Idholdsfortegelse MÆNGDELÆRE... 3 TAL... 9 De turlige

Læs mere

Oprids over grundforløbet i matematik

Oprids over grundforløbet i matematik Oprids over grundforløbet i matematik Dette oprids er tænkt som en meget kort gennemgang af de vigtigste hovedpointer vi har gennemgået i grundforløbet i matematik. Det er en kombination af at repetere

Læs mere

Gymnasie-Matematik. Søren Toftegaard Olsen

Gymnasie-Matematik. Søren Toftegaard Olsen Gmnsie-Mtemtik Søren Toftegrd Olsen Søren Toftegrd Olsen Skovvænget 6-B 7080 Børkop Gmnsie-Mtemtik. udgve, revision 0 ISBN 978-87-99996-0-0 VIGTIGT: Denne og må ikke sælges eller ændres; men kn frit kopieres.

Læs mere

Differentialregning. integralregning

Differentialregning. integralregning Differentilregning og integrlregning Ib Micelsen Ikst 013 Indoldsfortegnelse Tegneøvelser...3 Introduktion... Definition f differentilkvotient og tngent...6 Tngentældninger...7 Den fledte funktion...7

Læs mere

Integralregning. Erik Vestergaard

Integralregning. Erik Vestergaard Integrlregning Erik Vestergrd Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk Erik Vestergrd, Hderslev 4 Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse. Indledning 4. Stmfunktioner 4. Smmenhængen

Læs mere

ICF - DEN DANSKE VEJLEDNING OG EKSEMPLER FRA PRAKSIS

ICF - DEN DANSKE VEJLEDNING OG EKSEMPLER FRA PRAKSIS ICF - DEN DANSKE VEJLEDNING OG EKSEMPLER FRA PRAKSIS INTERNATIONAL KLASSIFIKATION AF FUNKTIONSEVNE, FUNKTIONSEVNENEDSÆTTELSE OG HELBREDSTILSTAND Udrbejdet f MrselisborgCentret, 2005 En spørgeskemundersøgelse

Læs mere

Tlf.: 96 17 02 02 info@artof.dk www.artof.dk

Tlf.: 96 17 02 02 info@artof.dk www.artof.dk Vielsesringe Designer og guldsmed Jn Jørgensen Siden 1995 hr Jn Jørgensen hft egen virksomhed, hvor nturen i det rske og åne Nordjyllnd hr givet inspirtion til det meste f designet. Smykker i de ædleste

Læs mere

DANSK ARBEJDER IDRÆTSFORBUND. Cross Boule

DANSK ARBEJDER IDRÆTSFORBUND. Cross Boule DANSK ARBEJDER IDRÆTSFORBUND Cross Boule 1 Forord Cross Boule når som helst og hvor som helst Dnsk Arejder Idrætsforund er glde for t kunne præsentere Cross Boule - et oldspil, hvor lle kn være med. Spillet

Læs mere

FAGLIG REGNING Pharmakon, farmakonomuddannelsen september 2007

FAGLIG REGNING Pharmakon, farmakonomuddannelsen september 2007 FAGLIG REGNING Pharmakon, farmakonomuddannelsen september 2007 Indholdsfortegnelse Side De fire regningsarter... 3 Flerleddede størrelser... 5 Talbehandling... 8 Forholdsregning... 10 Procentregning...

Læs mere

Kort om. Potenssammenhænge. 2011 Karsten Juul

Kort om. Potenssammenhænge. 2011 Karsten Juul Kot om Potenssmmenhænge 011 Ksten Juul Dette hæfte indeholde pensum i potenssmmenhænge, heunde popotionle og omvendt popotionle vible, fo gymnsiet og hf. Indhold 1. Ligning og gf fo potenssmmenhænge...

Læs mere

DEN NY VERDEN vol. 37, nr. 1 International handel og vandel - WTO fra Marrakesh til Cancún

DEN NY VERDEN vol. 37, nr. 1 International handel og vandel - WTO fra Marrakesh til Cancún Interntionl hndel og vndel - WTO fr Mrrkesh til Cncún DIIS - Københvn - 2004 1 Efter gennemførelsen f ftlen om tekstil og beklædning (ATC) Fr MFA til ATC Beklædningsindustrien hr spillet en fgørende rolle

Læs mere

Kapitel 2 Tal og variable

Kapitel 2 Tal og variable Tal og variable Uden tal ingen matematik - matematik handler om tal og anvendelse af tal. Matematik beskæftiger sig ikke udelukkende med konkrete problemer fra andre fag, og de konkrete tal fra andre fagområder

Læs mere

Den europæiske købekraftsundersøgelse - PPP

Den europæiske købekraftsundersøgelse - PPP Den europæiske køekrftsundersøgelse - PPP Den europæiske køekrftsundersøgelse - PPP... 2 1.Bggrund... 2 2.Køekrftpritet hvd er det?... 2 3.Formål og orgnistion... 3 4.Brugere og nvendelsesområder... 3

Læs mere

Kap 1. Procent og Rentesregning

Kap 1. Procent og Rentesregning Idhold Kp. Procet og Retesregig.... Regig med proceter.... Reteformle.... Geemsitlig retefod (vækstrte)... Kp Opsprigs- og gældsuiteter...5. Auiteter...5. Sumformel for e kvotietrække...5. Opsprigsuitet...6.

Læs mere

KIRKEBLAD. Der. var en. 14. oktober 1917-14. oktober 2007. Gud Faders Ånd! Kom til os ned med himlens ild: Guds kærlighed!

KIRKEBLAD. Der. var en. 14. oktober 1917-14. oktober 2007. Gud Faders Ånd! Kom til os ned med himlens ild: Guds kærlighed! Der KIRKEBLAD vr en FOR KJELLERUP OG OMEGNS VALGMENIGHED Nummer,sfnældksfn123k39843948 3 September 2007 22. Årgng 14. oktober 1917-14. oktober 2007 Gud Fders Ånd! Kom til os ned med himlens ild: Guds kærlighed!

Læs mere

FORMELSAMLING. Indholdsfortegnelse

FORMELSAMLING. Indholdsfortegnelse FOMELSAMLNG ndholdsfortegnelse ndholdsfortegnelse... EL-LÆE...3 Ohm s lov:...3 Effekt lov:...3 egler ved måling:...3 egler ved serieforbindelser:...3 egler ved prllelforbindelser:...4 egler ved blndede

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS August 2012 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

En forståelsesramme for de reelle tal med kompositioner.

En forståelsesramme for de reelle tal med kompositioner. 1 En forståelsesramme for de reelle tal med kompositioner. af Ulrich Christiansen, sem.lekt. KDAS. Den traditionelle tallinjemodel, hvor tallene svarer til punkter langs tallinjen, dækker fornuftigt (R,

Læs mere

Komplekse tal Matematik og naturfag i verdensklasse, 2004. Komplekse tal

Komplekse tal Matematik og naturfag i verdensklasse, 2004. Komplekse tal Komplekse tl Mtemtik og turfg i verdesklsse, 004 Komplekse tl Dette mterile er ereget til udervisig i mtemtik i gymsiet. Der forudsættes kedsk til løsig f degrdsligiger, trigoometri og e lille smule vektorregig.

Læs mere

Mat1GB Minilex. Henrik Dahl, Hold 8. 29. maj 2003. 1 Definitioner 2

Mat1GB Minilex. Henrik Dahl, Hold 8. 29. maj 2003. 1 Definitioner 2 Mt1GB Minilex Henrik Dhl, Hold 8 29. mj 2003 Indhold 1 Definitioner 2 2 Sætninger m.v. 18 2.1 Begrænsethed, åben/lukket..................... 18 2.2 Differentition............................ 18 2.3 Differentilligninger.........................

Læs mere

BIH FOREBYGGELSE AF REVNER. Notat. Vejledningen omfatter: Konstruktive forhold...side 3-6. Svind i letbeton og beton...side 7. Udtørring...

BIH FOREBYGGELSE AF REVNER. Notat. Vejledningen omfatter: Konstruktive forhold...side 3-6. Svind i letbeton og beton...side 7. Udtørring... Nott FOREBYGGELSE AF REVNER Vejledningen omftter: Konstruktive forhold...side 3-6 Svind i letbeton og beton...side 7 Udtørring...side 8-9 Fugtmåling...side 10 Mlerbehndling...side 11 Fliseopsætning...side

Læs mere

Forfatterhåndbog. 72214_forfatterhaand_3k.indd 1 20-06-2008 08:15:17

Forfatterhåndbog. 72214_forfatterhaand_3k.indd 1 20-06-2008 08:15:17 Forftterhåndbog 72214_forftterhnd_3k.indd 1 20-06-2008 08:15:17 Er mnuskriptet klr til indlevering? Alle niveuer i teksten er mrkeret klrt med smme skriftstørrelse og skrifttype for hvert niveu. Evt. tl-

Læs mere

Differentiation af potensfunktioner

Differentiation af potensfunktioner Hvd er mtemti? B, i-bog ISBN 978 87 766 494 3 Hjemmesideevisig: Differetitio f potesfutioer, Kpitel 4, side 76 Differetitio f potesfutioer. Pscls tret og biomilformle Vi strter med t mide om t poteser

Læs mere

Baggrundsnote om logiske operatorer

Baggrundsnote om logiske operatorer Baggrundsnote om logiske operatorer Man kan regne på udsagn ligesom man kan regne på tal. Regneoperationerne kaldes da logiske operatorer. De tre vigtigste logiske operatorer er NOT, AND og. Den første

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Ligning med + - / hvor x optræder 1 gang... 3 IT-programmer

Læs mere

AIRCONDITIONANLÆG Til almindelig brug

AIRCONDITIONANLÆG Til almindelig brug OWNER S MANUAL BRUGERVEJLEDNING AIRCONDITIONANLÆG Til lmindelig brug (SPLIT TYPE) DANSK DN Indendørs enhed RAS-07PKVP-E RAS-10PKVP-E RAS-13PKVP-E RAS-16PKVP-E RAS-18PKVP-E RAS-07PKVP-ND RAS-10PKVP-ND RAS-13PKVP-ND

Læs mere

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal.

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal. 1 Tal Tal kan forekomme os nærmest at være selvfølgelige, umiddelbare og naturgivne. Men det er kun, fordi vi har vænnet os til dem. Som det vil fremgå af vores timer, har de mange overraskende egenskaber

Læs mere

Matematik. Grundforløbet. Mike Auerbach (2) Q 1. y 2. y 1 (1) x 1 x 2

Matematik. Grundforløbet. Mike Auerbach (2) Q 1. y 2. y 1 (1) x 1 x 2 Matematik Grundforløbet (2) y 2 Q 1 a y 1 P b x 1 x 2 (1) Mike Auerbach Matematik: Grundforløbet 1. udgave, 2014 Disse noter er skrevet til matematikundervisning i grundforløbet på stx og kan frit anvendes

Læs mere

RAPPORT FOR OPFYLDELSE AF MÅL I FORSVARSMINISTERIETS KLIMA- OG ENERGI-STRATEGI SAMT MILJØ- OG NATURSTRATEGI

RAPPORT FOR OPFYLDELSE AF MÅL I FORSVARSMINISTERIETS KLIMA- OG ENERGI-STRATEGI SAMT MILJØ- OG NATURSTRATEGI 2013 RAPPORT FOR OPFYLDELSE AF MÅL I FORSVARSMINISTERIETS KLIMA- OG ENERGI-STRATEGI SAMT MILJØ- OG NATURSTRATEGI INDHOLDSFORTEGNELSE 02 Indholdsfortegnelse 03 Indledning 04 Resumé 04 Oversigt over målopfyldelse

Læs mere

Algebra. Dennis Pipenbring, 10. februar 2012. matx.dk

Algebra. Dennis Pipenbring, 10. februar 2012. matx.dk matx.dk Algebra Dennis Pipenbring, 10. februar 2012 nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering Indhold 1 Forord 4 2 Indledning 5 3 De grundlæggende

Læs mere

Brandsikring af ventilationskanaler

Brandsikring af ventilationskanaler Brndsikring f ventiltionsknler Klsse EI 30/E 60 A2-s1, d0 November 2 010 Monteringsvejledning for brndisolering iht. DS428, 3. udgve, 2009 - og lukninger med Conlit Brndskotplde, EI60 [BS60] Runde knler

Læs mere

Projekt 10.16: Matematik og demokrati Mandatfordelinger ved sidste kommunalvalg

Projekt 10.16: Matematik og demokrati Mandatfordelinger ved sidste kommunalvalg Projekt 10.16: Matematik og demokrati Mandatfordelinger ved sidste kommunalvalg Introduktion: Vi vil nu se på et konkret eksempel på hvordan man i praksis fordeler mandaterne i et repræsentativt demokrati,

Læs mere

Ekstraktion af spektre og chromatogrammer vha. kemometriske teknikker

Ekstraktion af spektre og chromatogrammer vha. kemometriske teknikker Ekstrktion f spektre og chromtogrmmer vh kemometriske teknikker Nogle kemometriske teknikker til seprtion f spektre og chromtogrmmer er undersøgt mhp utomtisering f dtehndlingen f NMR-chromtogrmmer Teknikkerne

Læs mere

Bogstavregning - supplerende eksempler. Reduktion... 54 b Ligninger... 54 d

Bogstavregning - supplerende eksempler. Reduktion... 54 b Ligninger... 54 d Mtetik på AVU Eksepler til iveu F, E og D Bogstvregig - supplerede eksepler Reduktio... Ligiger... d Bogstvregig Side Mtetik på AVU Eksepler til iveu F, E og D Reduktio M gger to preteser ed hide ved -

Læs mere

netsikker nu! Alder ingen hindring

netsikker nu! Alder ingen hindring netsikker nu! O k t o e r 2 0 0 7 Alder ingen hindring Flere og flere seniorer tger internettet til sig. De hr nemlig opdget, t internettet yder på et utl f muligheder. Derfor sætter denne udgve f netsikker

Læs mere

Projektstyring. Dag 5

Projektstyring. Dag 5 Akdemifget Projektstyring Dg 5 m/u PRINCE2 Foundtion certificering i smrbejde med PRINCE2 is Registered Trde Mrk of the Office of Government Commerce in the United Kingdom nd other countries. Humn fctor

Læs mere

CONLIT BRANDSIKRING AF VENTILATIONSKANALER

CONLIT BRANDSIKRING AF VENTILATIONSKANALER CONLIT BRANDSIKRING AF VENTILATIONSKANALER Monteringsvejledning for brndisolering iht. DS428, 4. udgve, 2011 - og lukninger med Conlit Brndskotplde, EI60 [BS60] Klsse EI 30/E 60 A2-s1, d0 1 2013 Runde

Læs mere

SPAM 7. netsikker nu!

SPAM 7. netsikker nu! netsikker nu! Mj 2006 Test dig selv Hvor sikker er du på nettet? Tg testen på gsiden og se, hvor højt du sorer, når du går i krig med spim, spm og psswords. 16 Bliv online med dine ørn Hvorfor styrer kvinder

Læs mere

Analyse af danske vindmøllers driftsudgifter 1993

Analyse af danske vindmøllers driftsudgifter 1993 K^M>n.8 Risø-R-776(DA) Anlyse f dnske vindmøllers driftsudgifter 99 Finn Gdtfredsen Prøvesttinen fr Vindmøller Frskningscenter Risø, Rskilde Oktber 994 IIS^BTO r IBIS mmm isunuwtei iurfisn 8ALB PR8HIITEB

Læs mere

Matematisk formelsamling til A-niveau - i forsøget med netadgang til skriftlig eksamen 1

Matematisk formelsamling til A-niveau - i forsøget med netadgang til skriftlig eksamen 1 Mtemtisk fomelsmling til A-niveu - i fosøget med netdgng til skiftlig eksmen Food Mtemtisk fomelsmling til A-niveu e udejdet fo t give et smlet ovelik ove de fomle og det symolspog, de knytte sig til kenestoffet

Læs mere

Brug og anerkendelse af dansksprogede dokumenter ved forvaltningsmyndigheder og domstole

Brug og anerkendelse af dansksprogede dokumenter ved forvaltningsmyndigheder og domstole Jørgen Kühl Brug og nerkendelse f dnsksprogede dokumenter ved forvltningsmyndigheder og domstole Bggrund Det dnske mindretl i Sydslesvig er et nerkendt ntionlt mindretl i Forundsrepulikken Tysklnd og Slesvig-Holsten.

Læs mere

Bæredygtige bygge- og anlægsprojekter i Næstved Kommune

Bæredygtige bygge- og anlægsprojekter i Næstved Kommune Bæredygtige bygge- og nlægsprojekter i Næstved Kommune Her finder du E Forord 3 Indledning og læsevejledning 5 Generelt om bæredygtig projektering 6-7 Påvirkning f kulturmiljøer 8-9 Mteriler 10-12 l 13

Læs mere

Symbolbehandlingskompetencen er central gennem arbejdet med hele kapitlet i elevernes arbejde med tal og regneregler.

Symbolbehandlingskompetencen er central gennem arbejdet med hele kapitlet i elevernes arbejde med tal og regneregler. Det første kapitel i grundbogen til Kolorit i 8. klasse handler om tal og regning. Kapitlet indledes med, at vores titalssystem som positionssystem sættes i en historisk sammenhæng. Gennem arbejdet med

Læs mere

Matricer og lineære ligningssystemer

Matricer og lineære ligningssystemer Matricer og lineære ligningssystemer Grete Ridder Ebbesen Virum Gymnasium Indhold 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber 1 Regning med matricer 3 13 Kvadratiske matricer og determinant 9 14 Invers matrix

Læs mere

japm MEl) l'nderstottelse AF DEN HJELMSTJERNE-ROSENKRONESKE STIFTELSE.

japm MEl) l'nderstottelse AF DEN HJELMSTJERNE-ROSENKRONESKE STIFTELSE. LIBER CENSUS DANIÆ. KONG VALDEMAR DEN ANDENS JORDEBOG, UDGIVET OG OPLYST AK O. NIELSEN, Rr. phil, Arkivr. japm MEl) l'nderstottelse AF DEN HJELMSTJERNE-ROSENKRONESKE STIFTELSE. KUBEN RAVN. C). E. C. G

Læs mere

Grundliggende regning og talforståelse

Grundliggende regning og talforståelse Grundliggende regning og talforståelse De fire regnearter: Plus, minus, gange og division... 2 10-tals-systemet... 4 Afrunding af tal... 5 Regning med papir og blyant... 6 Store tal... 8 Negative tal...

Læs mere

Her følger en række opmærksomhedsfelter i relation til undervisningens form og elevens læring:

Her følger en række opmærksomhedsfelter i relation til undervisningens form og elevens læring: BRØK 1 Vejledning Udvidelsen af talområdet til også at omfatte brøker er en kvalitativt anderledes udvidelse end at lære om stadigt større tal. Det handler ikke længere bare om nye tal af samme type, som

Læs mere

LQ hl&itqi,ie. AlaN(JHaqs.en 19.ÅRGANG. Så er det tid til betaling af kontingent.

LQ hl&itqi,ie. AlaN(JHaqs.en 19.ÅRGANG. Så er det tid til betaling af kontingent. Reserveret Post nmrk Så er det tid til betling f kontingent. Hvidovre LQ hl&itqi,ie 19.ÅRGANG AlN(JHqs.en A ') te1re rt EBRUAR 21 265 Hvidovre Medlemmerne hr i læsende stund fået tilsendt opkrævningen.

Læs mere

VIESMANN. VITOPLEX 100-LS Lavtryksdampkedel Dampydelse 0,26 til 2,2 t/h Nominel varmeydelse 170 til 1450 kw. Datablad. VITOPLEX 100-LS Type SXD

VIESMANN. VITOPLEX 100-LS Lavtryksdampkedel Dampydelse 0,26 til 2,2 t/h Nominel varmeydelse 170 til 1450 kw. Datablad. VITOPLEX 100-LS Type SXD VIESMANN VITOPLEX 100-LS Lvtryksdmpkedel Dmpydelse 0,26 til 2,2 t/h Nominel vrmeydelse 170 til 1450 kw Dtbld Best.nr.: se prislisten, priser oplyses på forespørgsel VITOPLEX 100-LS Type SXD Olie-/gs-tretrækskedel

Læs mere

abc Resultat af foranalysen vedrørende en reduktion af den danske stats aktiepost i Post Danmark A/S

abc Resultat af foranalysen vedrørende en reduktion af den danske stats aktiepost i Post Danmark A/S bc Resultt f fornlysen vedrørende en reduktion f den dnske stts ktiepost i Post Dnmrk A/S Mj 2003 Vigtigt Oplysningerne i dette dokument er uddrg fr eller bseret på oplysninger, som NM Rothschild & Sons

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42

t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42 Slide 1/42 Hvad er matematik? 1) Den matematiske metode 2) Hvad vil det sige at bevise noget? 3) Hvor begynder det hele? 4) Hvordan vælger man et sæt aksiomer? Slide 2/42 Indhold 1 2 3 4 Slide 3/42 Mængder

Læs mere

SLRTV Beretning 2004. Dagsorden..side 2. Forslag til forretningsorden...side 3. Politisk beretning...side 4

SLRTV Beretning 2004. Dagsorden..side 2. Forslag til forretningsorden...side 3. Politisk beretning...side 4 Indhold Dgsorden..side 2 Forslg til forretningsorden...side 3 Politisk eretning...side 4 - Lex Osen og dens konsekvenser...side 4 - De ikke-kommercielle medier konference..side 10 - Forstærket smrejde...side

Læs mere

Gödel: Über formal unentschiedbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I, 1931

Gödel: Über formal unentschiedbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I, 1931 Kommentar til 1 Gödel: Über formal unentschiedbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I, 1931 Denne afhandling af den 24-årige Kurt Gödel er blevet en klassiker. Det er vist den eneste

Læs mere

RS-216 RS-224 RS-232 ERHVERVS TYVERI ALARMER

RS-216 RS-224 RS-232 ERHVERVS TYVERI ALARMER RS-216 RS-224 RS-232 ERHVERVS TYVERI ALARMER Brugervejledning RS-216 - AIA kl. 1 RS-224 - AIA kl. 2 RS-232 - AIA kl. 3 Indholdsortegnelse INDHOLDSFORTEGNELSE...2 1. INTRODUKTION...3 1. System oversigt:...3

Læs mere

Exitforløb for kriminalitetstruede unge

Exitforløb for kriminalitetstruede unge Exitforløb for kriminlitetstruede unge Exit Nu tilbyder et exitforløb til kriminlitetstruede unge i lderen 15-29 år. Vi rbejder indenfor lovgivningen omkring fst kontktperson, efterværn, bostøtte og mentorstøtte

Læs mere

ffi' Røg- og varmealarm Betjen ingsvejled n ing

ffi' Røg- og varmealarm Betjen ingsvejled n ing %«ide Fyrnetics ffi' Røg- g vrmelrm Betjen ingsvejled n ing z3 VAC netdrevne lrmer med mutighed fr smmenkbling, mde[: 2SF23l9Ht, 2SF23l9 H I R, 2S F23l9H I RE, 35F23/9H1, 35F23/9HlR s 35F23/9HlRE Alrmer

Læs mere

Bogstavregning. En indledning for stx og hf. 2008 Karsten Juul

Bogstavregning. En indledning for stx og hf. 2008 Karsten Juul Bogstavregning En indledning for stx og hf 2008 Karsten Juul Dette hæfte træner elever i den mest grundlæggende bogstavregning (som omtrent springes over i lærebøger for stx og hf). Når elever har lært

Læs mere

Pleje af fugtige vedvarende græsarealer ved kombination af græssende kvæg og maskiner Hvad sker der med planterne?

Pleje af fugtige vedvarende græsarealer ved kombination af græssende kvæg og maskiner Hvad sker der med planterne? Pleje f fugtige vedvrende græsreler ved komintion f græssende kvæg og mskiner Hvd sker der med plnterne? Liseth Nielsen og Ann Bodil Hld, Ntur & Lndrug ApS www.ntln.dk I det følgende eskrives: Opsummering

Læs mere

Grundlæggende regneteknik

Grundlæggende regneteknik Grundlæggende regneteknik Anne Ryelund, Mads Friis og Anders Friis 13. november 2014 Indhold Forord Indledning iii iv 1 Regning med brøker 1 1.1 Faktorisering i primtal.............................. 3

Læs mere

Nøgleord og begreber. l Hospitals regel 2. Test l Hospitals regel. Uegentlige integraler 2. Test uegentlige integraler. Sammenligning.

Nøgleord og begreber. l Hospitals regel 2. Test l Hospitals regel. Uegentlige integraler 2. Test uegentlige integraler. Sammenligning. Oversig [S] 4.5, 5. Nøgleord og begreber Ubeseme udryk l Hospils regel l Hospils regel 2 Tes l Hospils regel Uegenlige inegrler Tes uegenlige inegrler Uegenlige inegrler 2 Tes uegenlige inegrler Smmenligning

Læs mere

Komplekse tal. Jan Scholtyßek 29.04.2009

Komplekse tal. Jan Scholtyßek 29.04.2009 Komplekse tal Jan Scholtyßek 29.04.2009 1 Grundlag Underlige begreber er det, der opstår i matematikken. Blandt andet komplekse tal. Hvad for fanden er det? Lyder...komplekst. Men bare roligt. Så komplekst

Læs mere

APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE

APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE z x y z=exp( x^2 0.5y^2) CAS er en fællesbetegnelse for matematikprogrammer, som foruden numeriske beregninger også kan regne med symboler og formler. Det betyder: Computer

Læs mere

brikkerne til regning & matematik tal og algebra preben bernitt

brikkerne til regning & matematik tal og algebra preben bernitt brikkerne til regning & matematik tal og algebra 2+ preben bernitt brikkerne. Tal og algebra 2+ 1. udgave som E-bog ISBN: 978-87-92488-35-0 2008 by bernitt-matematik.dk Kopiering af denne bog er kun tilladt

Læs mere

ALMINDELIGT ANVENDTE FUNKTIONER

ALMINDELIGT ANVENDTE FUNKTIONER ALMINDELIGT ANVENDTE FUNKTIONER I dette kapitel gennemgås de almindelige regnefunktioner, samt en række af de mest nødvendige redigerings- og formateringsfunktioner. De øvrige redigerings- og formateringsfunktioner

Læs mere

Eksponentielle sammenhænge

Eksponentielle sammenhænge Eksponentielle sammenhænge 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Indholdsfortegnelse Variabel-sammenhænge... 1 1. Hvad er en eksponentiel sammenhæng?... 2 2. Forklaring med ord af eksponentiel vækst... 2, 6

Læs mere

Affine - et krypteringssystem

Affine - et krypteringssystem Affine - et krypteringssystem Matematik, når det er bedst Det Affine Krypteringssystem (Affine Cipher) Det Affine Krypteringssystem er en symmetrisk monoalfabetisk substitutionskode, der er baseret på

Læs mere

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring mat.dk Differentialregning Dennis Pipenbring 0. december 00 Indold Differentialregning 3. Grænseværdi............................. 3. Kontinuitet.............................. 8 Differentialkvotienten

Læs mere

En uægte brøk er en brøk der stadig kan forkortes ned til et blandet tal og som er større end 1. 17 Eksempel: Uægte brøk: 12

En uægte brøk er en brøk der stadig kan forkortes ned til et blandet tal og som er større end 1. 17 Eksempel: Uægte brøk: 12 7.,. og 9. klasse Regler for brøker Ægte og uægte brøker En ægte brøk er en brøk mellem 0 og. Ægte brøk Ægte brøk til mindste forkortelse (reduktion) 9 En uægte brøk er en brøk der stadig kan forkortes

Læs mere

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen - Talteori, Kirsten Rosenkilde. Opgave 1. Hvor mange af følgende fem tal er delelige med 9?

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen - Talteori, Kirsten Rosenkilde. Opgave 1. Hvor mange af følgende fem tal er delelige med 9? Tip til 1. runde af Talteori Talteori handler om de hele tal, og særligt om hvornår et helt tal er deleligt med et andet. Derfor spiller primtallene en helt central rolle i talteori, hvilket vi skal se

Læs mere