2. Ligninger og uligheder i Derive

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "2. Ligninger og uligheder i Derive"

Transkript

1 2. Ligninger og uligheder i Derive Der findes selvfølgelig en indbygget ligningsløser i Derive, en SOLVE-funktion, men den er ikke helt så fleksibel og heller ikke helt så brugervenlig som den tilsvarende i TI-89/92+. For det første er Derive ikke helt så god til at løse ligningssystemer, som TI-89/92+, idet den forudsætter at ligningssystemerne er polynomiale. For det andet må man ved numerisk løsning af ligningssystemer ty til en konkret metode, fx Newtons metode til løsning af ligningssystemet. For det tredje vil Derive i langt højere grad tage hensyn til komplekse finurligheder: Man skal altså fx selv huske at slå komplekse løsninger fra og selv da kan man få overraskende svar. Men når det er sagt, er det også klart, at der er mange muligheder for at komme meget langt med enkle solve-rutiner i Derive. 2.1 Én ligning med en ubekendt Eksempel 1: En algebraisk (polynomial) ligning Lad os som et simpelt - men bestemt ikke trivielt - eksempel se på ligningen ( x 4) + ( x 2) = ( x + x 6) Når vi har indskrevet ligningen kan vi vælge at løse den ved hjælp af den indbyggede solver:, der ligger som en ikon på værktøjslinjen: og klikker på løs- Vi udpeger ligningen: nings-ikonet, hvorefter den følgende dialogboks dukker op: Vi kan altså selv udpege den ubekendte, hvilket selvfølgelig er overflødig i dette tilfælde. Dernæst kan vi vælge, om ligningen skal løses symbolsk eller numerisk, og endelig om vi vil have komplekse eller reelle løsninger (eller måske endda kun søger efter løsninger i et givet interval, hvis altså vil løse den numerisk. Vi kan så vælge at få ligningen løst direkte ved at trykke på Solve-tasten, eller få udskrevet løsningskommandoen ved at trykke på OK-tasten. Det sidste kan være sundt, hvis man se, hvordan man selv bygger en løsningskommando op. 13

2 Vi sætter fx løsningsområdet til Real og klikker OK, hvorefter solve-kommandoen ser således ud: Det minder meget om det vi allerede kender fra TI-89/92+. Vi har altså en SOL- VE-kommando med strukturen: SOLVE(Ligning, ubekendt, ekstra parameter) I vores tilfælde er den ekstra parameter altså parameteren Real, der fastslår, at vi kun vil se reelle løsninger. Havde vi i stedet valgt en numerisk løsning ville SOL- VE-kommandoen blot blive udskiftet med NSOLVE-kommandoen: NSOLVE(Ligning, ubekendt, ekstra parameter) Her kunne den ekstra parameter, fx være en angivelse af nedre grænse efterfulgt af øvre grænse, fx NSOLVE(Ligning, ubekendt, -10,10) Løser vi ligningssystemet eksakt for reelle rødder finder vi nu: Der er altså umiddelbart 6 reelle rødder, heraf to hele tal: ±2, to kvadratrødder: ± 2 og to fjerde rødder ± 4 2. Vi kan checke grafisk om det ser rimeligt ud ved at afbilde graferne for venstresiden og højresiden og se, hvor der er skæringer mellem graferne: Det er nemt nok at se skæringerne ved kvadratrødderne og fjerde-rødderne. Det er sværere at få skæringerne med for ±2. Det skyldes bl.a. at begge sider har 14

3 samme asymptotiske opførsel. Det kan derfor betale sig at omskrive ligningen lidt, fx samle alle leddene på den ene side. (Husk parenteser når vi trækker de to sider fra hinanden!) Vi kan dels udvide udtrykket ved hjælp af en expandkommando (simplify-menuen!) eller vi kan faktorisere udtrykket (ved hjælp af factor-kommandoen fra simplify-menuen): Det viser sig altså at være en tiendegradsligning med mulighed for op til 10 løsninger, men kun de seks er altså reelle. De sidste fire komplekse løsninger svarer dels til faktoren (x 2 + 3), dels til faktoren (x 4 2), hvor kun to af løsningerne er reelle. Læg mærke til at der er tale om en skjult femtegradsligning, men altså ikke en af dem der ikke kan løses symbolsk. Nu er det i øvrigt meget nemt at checke de grafiske forhold: Her ses alle løsningerne tydeligt som skæringer med x-aksen. Eksempel 2: En eksponentiel variant Vi kan så prøve at løse en variant af den ovenstående ligning, for at understrege, at symbolsk ligningsløsning ikke kun handler om polynomiale ligninger. Vi udskifter derfor x 2 med 2 x og x 4 med 4 x, dvs. vi indskriver denne gang ligningen: (2 4) + (4 2) = ( ) x 3 x 3 x x 3 Ved at indbygge den i en solve-kommando, kan vi igen finde alle de reelle løsninger nemt og smertefrit: 15

4 Der er altså umiddelbart 3 reelle rødder, som alle er pæne rationale tal. Vi checker grafisk, om det ser rimeligt ud ved at afbilde graferne for venstresiden og højresiden hver for sig: Igen er det nemt at se de to af løsningerne -½ og 1, men ikke den tredje. Vi går derfor frem ligesom før og samler alle leddene på den ene side af ligningen, hvorefter vi dels udvider, dels faktoriserer: Det er nok ikke helt nemt at gennemskue strukturen af udtrykket, skrevet op som en linearkombination af eksponentialfunktioner, men i det væsentlige er det kombinationer af 2 5x, 2 4x, 2 3x, 2 2x og 2 x. Grafen understøtter dog kraftigt de fundne løsninger: 16

5 Derimod viser det sig at faktoriseringen er meget simpel og udviser en struktur, der forbløffende ligner den foregående faktorisering: Men hvor x 2 4 først kunne faktoriseres yderligere, kan 2 x 4 ikke nedbrydes yderligere i en simpel faktorisering. Ligningen brydes altså ned i de enkelte grundligninger: x 2 = 2 (med x = 1 som løsning) x 2 = 3 (ingen løsning) x 2 4 (med = 2 som løsning) = x 2x 2 2 (med =½ som løsning) = x Faktoriseringen gør det altså nemt at finde de enkelte løsninger! Eksempel 3: Den fælles struktur Hvad er nu årsagen til at det er så nemt at finde disse løsninger i de to ellers ret så forskelligartede tilfælde? Det kan vi fx undersøge ved at fokusere på strukturen af de to ligninger. I begge tilfælde går leddene fra de to venstre-parenteser igen i højreparentesen. Vi kan derfor se dem begge som et specialtilfælde af ligningssystemet ( a 2) + ( b 4) = ( a + b 6) Der er så godt nok to ubekendte, men så kan vi jo bare prøve at løse ligningen først med hensyn til a og dernæst med hensyn til b. Vi udpeger derfor ligningen og klikker på løsnings-ikonet, hvorefter vi finder: 17

6 Det gik jo forbløffende smertefrit, men læg mærke til, at resultatet er overraskende simpelt: Ligningen er løst, præcist, når én af parenteserne forsvinder. Hvis fx den første parentes forsvinder er a = 2, men så er (a + b 6) = (b 4), dvs. de to andre parenteser er netop identiske, så vi har løst ligningen trivielt. Hvis den anden parentes forsvinder er b = 4, men så finder vi til gengæld (a + b 6) = (a 2), dvs. igen er de to resterende parenteser identiske, og vi har trivielt løst ligningen. Hvis endelig parentesen på højre side af ligningen forsvinder, så har de to venstresideparenteser modsatte fortegn, og dermed forsvinder venstresiden trivielt, da vi jo opløfter parenteserne til den samme ulige potens. Der er altså en grund til alle miraklerne! Faktisk er strukturen af ligningerne altså endnu mere simpel end vi har antydet ovenfor, idet parentesen på højresiden simpelthen er summen af parenteserne på venstresiden. Kalder vi parenteserne på venstresiden for p og q har ligningssystemet altså strukturen p + q = ( p + q) En samling af leddene på den samme side efterfulgt af en expand og en faktorisering viser nu tydeligt, hvad der foregår: Så ligningen vi skal løse er i virkeligheden givet ved: 3 p q ( p + q) = 0 Altså er de eneste løsninger netop givet ved p = 0, q = 0 eller p + q = 0, dvs. netop én af de tre parenteser skal forsvinde! Øvelse 1: Kan du konstruere andre simple eksempler af den ovennævnte type, fx polynomiale ligninger der har alle10 løsninger eller trigonometriske ligninger, der følger det ovenstående mønster? Kan man konstruere tilsvarende simple ligningssystemer med andre potenser end 3? Gælder der så stadigvæk, at løsningerne netop svarer til at én af parenteserne forsvinder? 18

7 2.2 Simple ligningssystemer Kapitel 2: Ligninger og uligheder i Derive Vi går så i over til at se på simple ligningssystemer. Antag fx at vi skal løse det følgende problem (som vi for simpelhedens skyld dog oversætter til moderne enheder!). Eksempel 4: Den kinesiske bambusopgave (Fra ca. 260 f. Kr.): Et 10 meter højt bambusrør er knækket, dog uden at de to dele er revet fra hinanden. Spidsen af den øverste del rammer jorden i en afstand af 3 meter fra roden. Bestem brudstedets højde over jorden. a c b Løsning: Det handler tydeligvis om en retvinklet trekant med siderne a, b og c, hvor den lodrette katete og hypotenusen svarer til den knækkede bambusstang. Ifølge de givne oplysninger ved vi derfor at Grundlinjen b er netop afstanden fra roden til toppen, dvs. 3 meter. Bambusstangen var 10 meter lang, dvs. a + c = 3. Pythagoras læresætning: a 2 + b 2 = c 2. Vi skal altså løse ligningssystemet: b = 3, a + c = 10, a 2 + b 2 = c 2. Det er selvfølgelig ikke så svært at løse i hånden, hvis man er en smule rutineret. Men her vil vi se på, hvordan man kan løse det med en solve-kommando: Vi kan fx som vist indskrive de tre ligninger én efter én og så vælge Solve System menupunktet. Det udløser en dialogboks, hvor vi først skal angive antallet af ligninger (her 3, men maskine foreslår altid 2 ligninger også selv om vi sværter alle tre ligninger til): 19

8 Derefter skal vi angive, hvilke ligninger der er tale om: Her er det nemmest simpelthen at referere til ligningernes numre, dvs. #1, #2 og #3. Endelig bør vi udpege de ubekendte a, b og c, ved at klikke i feltet for Solution variables: 20

9 Som tidligere kan vi nu enten klikke på OK-tasten og få solve-kommandoen overført til arbejdsarket, eller vi kan få ligningssystemet løst direkte ved at klikke på solve-tasten. Her foretrækker vi det første så vi kan se strukturen af solvekommandoen: Igen minder det en del om det vi kender fra TI-89/92+. Vi har altså en solvekommando med strukturen: SOLVE(Liste med ligninger, Liste med ubekendte) idet Derive jo bruger de kantede parenteser [ ] til lister (i modsætning til TI- 89/92+ som bruger de krøllede parenteser { } ). Med denne struktur bliver løsningerne også anført inde i en liste: Men det kan jo godt virke lidt fjollet, så vi kan også angive ligningssystemet på den logiske form: SOLVE(b = 3 AND a + c = 10 AND a^2 + b^2 = c^2, [a, b, c]) der af Derive oversættes til : Det ligger endog meget tæt op af den måde, som vi løser ligningssystemer på med en TI-89/92+. Bemærkning: Hvis vi i stedet ønsker at få løsningerne skrevet ud på listeform, skal vi skifte til kommandoen SOLUTIONS: Man skal da selv lægge mærke til rækkefølgen af de ubekendte! 21

10 Øvelse 2: Et rektangulært stykke papir har sidelængderne 12 og 15. Et hjørne bukkes om som vist på figuren. Bestem arealet af den skraverede trekant. Strategi: Indfør passende variable for de ubekendte stykker og opstil lige så mange ligninger, som der er ubekendte. Løs ligningerne og finde herved alle de ukendte stykker på figuren. Find til slut arealet. Øvelse 3: En retvinklet trekant har omkreds 60, og højden på hypotenusen har længde 12. Bestem sidernes længder. Eksempel 5: Op af brøndens dybe vand En gammel ridderborg er placeret på toppen af et bjerg. For at beboerne kan overleve belejringer, blev der i den tidlige middelalder gravet en dyb brønd ned gennem bjerget. Ingen ved præcis hvor dyb brønden er. Nogle fysikere på sommerferie ønsker at få et indtryk af brøndens dybde. De lader en sten falde ned i brønden, og 3,4 s efter at de har sluppet stenen, hører de et plask. a) Beregn afstanden til vandspejlet, idet der ses bort fra den tid, som det tager lydbølgen at nå fra vandoverfladen og op til fysikerne. b) Tag hensyn til lydens udbredelsestid og beregn en bedre værdi for afstanden til vandspejlet. Bemærkning: I begge tilfælde kan der ses bort fra luftmodstanden. Løsning: a) Hvis vi benytter faldloven s = ½gt 2, og ser bort fra lydens udbredelseshastighed, skal vi bare sætte tallene ind i formlen, hvorfor vi ved almindelig substitution af værdien 3.4 for tiden t finder: Vi ser altså, at stenen falder 56.8 meter i løbet af de 3.4 sekunder, så dette er vores første bud på brøndens dybde. 22

11 b) For at tage hensyn til lydens udbredelseshastighed må vi først anslå en værdi for denne. Fx kan vi antage at den er givet ved v0=344 meter i sekundet. Det afhænger som bekendt af temperatur, tryk og deslige: Vi indfører også to tider: t1 for den tid det tager stenen at falde ned til overfladen og t2 for den tid det tager lydsignalet at komme op igen. Det giver anledning til de følgende tre ligninger (idet der jo er lige langt op og ned): Men dem kan vi jo så bare løse med en solve-kommando: Desværre får vi også negative - ufysiske løsninger for tiden t1 med en tilhørende gigantisk brønddybde! Men dem kan vi komme uden om ved at tilføje en restriktion om at t1 og t2 skal være positive: En mere nøjagtig løsning er altså givet ved dybden 51.8 meter, der også giver tid for lydsignalet til at komme op igen til overfladen, om end den tid det tager lydsignalet om at komme op igen, dvs. t2 = 0.15 s, er meget kort i forhold til den tid det tager stenen at nå ned til brøndens dyb, dvs. t1 = 3.25 s. 23

12 c) Dermed er opgaven formelt løst, men det er interessant at bemærke, at den også kan løses rekursivt ved systematisk at korrigere for lydens hastighed: Vi starter da med at definere vejlængdefunktionen for stenens fald: s(t)=1/2*g*t^2. Dernæst korrigerer vi for den tid det tager lyden at bevæge sig denne distance: s(t)/v0. Et bedre bud på faldtiden er altså givet ved t s(t)/v0. Men så må et nyt og bedre bud på brøndens dybde tilsvarende være givet ved s(t s(t)/v0): Et bedre bud på brøndens dybde ville altså være 51.38, hvilket allerede er ret tæt på det rigtige svar m. Men nu kan vi jo fortsætte processen og korrigere endnu engang: Som vi ser, rykker vi altså hurtigt tættere på det endelige resultat. Processen kan systematiseres som en iterationsproces, hvor vi i første omgang itererer på tiden: 3.4 t 3.4 s(t)/v0 t 24

13 Det gøres i Derive med ITERATES-kommandoen: Som det ses stabiliserer vi meget hurtigt på en fast tid, nemlig i overensstemmelse med SOLVE-kommandoen. Ved hjælp af MAP_LIST-kommandoen kan det nemt overføres til de tilhørende afstande: Herved finder vi netop igen at brøndens dybde er 51.8 meter! d) Vi kan også illustrere løsningen af ligningssystemet grafisk, og det er jo altid instruktivt. Det nemmeste er da at forenkle ligningssystemet, så der kun indgår en ubekendt tid t1: Vi erstatter derfor t2 med 3.4 t1 og substituerer de givne værdier for tyngdeaccelerationen g og lydens hastighed v0: Men dem kan vi jo tegne graferne for, ved blot at udpege dem og overføre dem til grafrummet. Det første giver en parabel med toppunkt i (0,0), det andet en ret linje. Derive ser selv, at t1 er den uafhængige variabel og derfor skal den afsættes ud af første-aksen, mens s er den afhængige variabel og derfor skal den afsættes op af anden-aksen. Vi skal så finde skæringspunkterne mellem grafen for stenens fald som funktion af tiden t1, og grafen for lydens tilbagekomst (som funktion af den resterende tid 3.4 t1): 25

14 En simpel aflæsning af koordinaterne til skæringspunktet viser da, at de to grafer skærer hinanden i sådan ca. t1 = 3.24 s og s = m, og det er jo slet ikke så tosset! Graferne viser også hvor den ufysiske løsning kommer fra, idet linjen har negativ hældning og derfor også må skære den venstre gren af parablen, om end meget langt oppe. Øvelse 4: Hvem kommer først? To personer A og B løber over en sø på skøjter. Søen er 1,2 km bred, og de starter samtidigt: A løber med hastigheden 5,0 m/s til midten af søen, og fra midten til den anden side med 4,0 m/s. B har hele tiden hastigheden 4,5 m/s. Hvem kommer først over søen? Skitsér grafen for begge bevægelser i det samme (t,s)-diagram. Til hvilket tidspunkt er de to personer lige langt fra startstedet? Øvelse 5: Kys din kæreste på rejsen... Et ungt par tager afsked med hinanden ved bagenden af en perron og hører i kampens hede ikke at der bliver fløjtet til afgang, hvorefter toget sætter i gang med den konstant acceleration ½ m/s 2. Først 6 sekunder efter afgang går det op for parret at toget for længst har sat i gang og han styrter af sted så hurtigt han kan løbe og når lige at springe på toget gennem den bagerste dør i sidste øjeblik. a) Hvornår springer han på toget? b) Hvor langt henne af perronen springer han på toget? 26

15 2.3 Simple uligheder Vi starter med et trivielt eksempel på hvor nemt det er at løse uligheder i Derive: Eksempel 6: Andengradsuligheder Hvis vi skal løse andengradsuligheden x 2 x 6 0 indskriver vi den og benytter derefter en ganske traditionel SOLVE-kommando: Det gik jo smertefrit nok. Hvis vi gerne vil illustrere løsningen grafisk kan vi selvfølgelig afbilde løsningsmængden grafisk, men vi kan lige så godt udpege uligheden og bede om at få den afbildet grafisk: Da uligheden ikke afhænger af y, bliver løsningsområdet afbildet som ldrette striber, for de x-værdier, der løser uligheden. Men vi kan også afbilde det tilhørende andengradspolynomium x 2 x 6, for at se sammenhængen mellem grafen for venstresiden af uligheden og så selve løsningsmængden. Vi ser da tydeligt, at der er tale om området mellem rødderne: 27

16 Endelig kan vi nemt skravere mere komplicerede punktmængder knyttet til uligheden, fx 2 { Pxy (, ) x x 6 y 0} Det kræver blot at vi indskriver dobbeltuligheden, udpeger den og afbilder den: Læg mærke til, at Derive i modsætning til fx TI-89/92+ godt kan håndtere dobbeltuligheder med den traditionelle notation! Dermed er vejen banet for at diskutere traditionelle uligheder med Derive! 28

17 Vi slutter med et ikke-trivielt eksempel på hvor nemt det er at illustrere 2- dimensionale uligheder i Derive: Eksempel 7: Flyovervågning Et radarovervågningsanlæg kan antages at være cirkelformet med radius 50 km. Et koordinatsystem tænkes indlagt med begyndelsespunkt i centrum af overvågningsområdet og med andenaksens positive retning pegende mod nord. Længdeenheden i koordinatsystemet er 1 km. En flykorridor går gennem området. Flykorridoren kan i det valgte koordinatsystem beskrives som { Pxy (, ) 25 x+ y 35} a) Skitsér overvågningsområdet of flykorridoren. b) Beregn flykorridorens bredde. Et fly passerer overvågningsområdet og holder sig under hele passagen i midten af flykorridoren. c) Beregn længden af den strækning, som flyet tilbagelægger inden for overvågningsområdet. Løsning: Først skal vi have indskrevet uligheden for radarovervågningsområdet. Da det afgrænses af en cirkel med radius 50 km og centrum i (0,0) må det se således ud: Så skal vi have tilpasset koordinatsystemet, så det omfatter det ønskede område, dvs. mindst 50 km ud af hver akse. Herefter er det bare at klikke på uligheden og bestille en graf: Dernæst skal vi have indskrevet dobbeltuligheden for flykorridoren. Det sker på helt traditionel vis: Herefter er det bare at klikke på dobbeltuligheden og derefter bestille en graf: 29

18 Vi ser nu tydeligt, hvordan korridoren er placeret i forhold til det centrale overvågningsanlæg! Flykorridorens bredde er nu et simpelt spørgsmål om at beregne afstanden mellem to parallelle linjer. Vi opskriver derfor afstandsformlen for den nederste linje og indsætter et punkt fra den øverste linje, fx skæringen med y- asken, dvs. (0,35): Flykorridorens bredde er altså godt 7 km! Så er der flyet, der passerer i midten af flykorridoren, dvs. følger linjen med ligningen x + y = 30. Det er nemt at checke ligningen grafisk: 30

19 Vi skal så have fundet skæringspunkterne med cirklens omkreds: Men så er det jo nemt at sætte de fundne koordinater ind i afstandsformlen. Her kan formentlig godt betale sig at opbygge en skabelon: 2 2 ( ) + ( ) og så systematisk overføre koordinaterne til de respektive pladser i formlen ved hjælp af F4 (så vi overfører dem med parenteser og dermed sikrer os mod parentesfejl, når koordinaterne trækkes fra hinanden!) Længden af flyveturen indenfor overvågningsområdet er altså godt 90 km. Men vi kan selvfølgelig også én gang for alle indføre en afstandsformel, der så oven i købet kan gemmes i en utility-file, så vi altid kan kalde den frem, når vi har brug for den: Lægger vi dem i det rigtige katalog er det endda muligt at benytte dem helt automatisk! På den måde kan vi udvide Derive efter behov. 31

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0 BAndengradspolynomier Et polynomium er en funktion på formen f ( ) = an + an + a+ a, hvor ai R kaldes polynomiets koefficienter. Graden af et polynomium er lig med den højeste potens af, for hvilket den

Læs mere

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje.

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje. Maple Dette kapitel giver en kort introduktion til hvordan Maple 12 kan benyttes til at løse mange af de opgaver, som man bliver mødt med i matematiktimerne på HHX. Skærmbilledet Vi starter med at se lidt

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1

MATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 01 Kapitel 1 016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 01

Læs mere

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Kompendium i faget Matematik Tømrerafdelingen 2. Hovedforløb. Y Y = ax 2 + bx + c (x,y) X Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Indholdsfortegnelse for H2: Undervisningens indhold...

Læs mere

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå Polynomier Kort gennemgang af polynomier og deres asdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopåasd

Læs mere

Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT.

Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT. Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT. Projektet kan bl.a. anvendes til et forløb, hvor en af målsætningerne er at lære om samspillet mellem værktøjsprogrammernes geometriske

Læs mere

De fire elementers kostbare spejl

De fire elementers kostbare spejl Projekt.6 Lineær algebra moderne og klassisk kinesisk De fire elementers kostbare spejl "Som bekendt anses matematikken for at være en meget vigtig videnskab. Denne bog om matematik vil derfor være af

Læs mere

Grafværktøjer til GeoMeter Grafværktøjer Hjælp Grafværktøjer.gsp Grafværktøjer

Grafværktøjer til GeoMeter Grafværktøjer Hjælp Grafværktøjer.gsp Grafværktøjer Grafværktøjer til GeoMeter Bjørn Felsager, Haslev Gymnasium & HF, 2003 Når man installerer GeoMeter på sin maskine følger der en lang række specialværktøjer med. Men det er også muligt at skræddersy sine

Læs mere

Afstandsformlen og Cirklens Ligning

Afstandsformlen og Cirklens Ligning Afstandsformlen og Cirklens Ligning Frank Villa 19. august 2012 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk.

Læs mere

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå Kort gennemgang af polynomier og deres egenskaber. asdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopåasd

Læs mere

Ligningsløsning som det at løse gåder

Ligningsløsning som det at løse gåder Ligningsløsning som det at løse gåder Nedenstående er et skærmklip fra en TI-Nspirefil. Vi ser at tre kræmmerhuse og fem bolsjer balancerer med to kræmmerhuse og 10 bolsjer. Spørgsmålet er hvor mange bolsjer,

Læs mere

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau maj 2016: Delprøven UDEN hjælpemidler 4 4

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau maj 2016: Delprøven UDEN hjælpemidler 4 4 Opgave 1: Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 016 4. maj 016: Delprøven UDEN hjælpemidler 4 3x 6 x 3x x 6 4x 4 x 1 4 Opgave : f x x 3x P,10 Punktet ligger på grafen for f, hvis dets koordinater indsat

Læs mere

Der er facit på side 7 i dokumentet. Til opgaver mærket med # er der vink eller kommentarer på side 6.

Der er facit på side 7 i dokumentet. Til opgaver mærket med # er der vink eller kommentarer på side 6. Der er facit på side 7 i dokumentet. Til opgaver mærket med # er der vink eller kommentarer på side 6. 1. Figuren viser grafen for en funktion f. Aflæs definitionsmængde og værdimængde for f. # Aflæs f

Læs mere

Graph brugermanual til matematik C

Graph brugermanual til matematik C Graph brugermanual til matematik C Forord Efterfølgende er en guide til programmet GRAPH. Programmet kan downloades gratis fra nettet og gemmes på computeren/et usb-stik. Det betyder, det også kan anvendes

Læs mere

Tilfældige rektangler: Et matematikeksperiment Variable og sammenhænge

Tilfældige rektangler: Et matematikeksperiment Variable og sammenhænge Tilfældige rektangler: Et matematikeksperiment Variable og sammenhænge Baggrund: I de senere år har en del gymnasieskoler eksperimenteret med HOT-programmet i matematik og fysik, hvor HOT står for Higher

Læs mere

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering:

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: LINEÆR PROGRAMMERING I lineær programmering løser man problemer hvor man for en bestemt funktion ønsker at finde enten en maksimering eller en minimering

Læs mere

1. Graftegning i Derive

1. Graftegning i Derive 1. Graftegning i Derive Kapitel 1: Graftegning i Derive Det er meget simpelt at tegne grafer i Derive: Man åbner et 2-dimensionalt grafvindue, skifter tilbage til algebravinduet (home) og indskriver et

Læs mere

Arealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig

Arealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig Arealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig som også findes i en trigonometrisk variant, den såkaldte 'appelsin'-formel: Men da en trekants form

Læs mere

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. , og et punkt er givet ved: P (2, 1).

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. , og et punkt er givet ved: P (2, 1). Plangeometri Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over Opgave 1 To linjer er givet ved ligningerne: x y 0 og x b y 4 0, hvor b er en konstant a) Beregn konstanten b således,

Læs mere

Projekt 3.1 Fjerdegradspolynomiets symmetri

Projekt 3.1 Fjerdegradspolynomiets symmetri Projekt 3.1 Fjerdegradspolynomiets symmetri I kapitel 3 har vi set at grafen for et andengradspolynomiet p x a x x c () altid er symmetrisk omkring den lodrette akse x. a Tilsvarende er grafen for tredjegradspolynomiet

Læs mere

Tilsvarende har vbi i kapitel 3 set, at grafen for tredjegradspolynomiet

Tilsvarende har vbi i kapitel 3 set, at grafen for tredjegradspolynomiet Projekt 3 Fjerdegradspolynomiets symmetri Indledning: Symmetri for polynomier I kapitel har vi set at grafen for et andengradspolynomiet altid er symmetrisk omkring den lodrette akse x a p x a x x c ()

Læs mere

Værktøjskasse til analytisk Geometri

Værktøjskasse til analytisk Geometri Værktøjskasse til analytisk Geometri Frank Villa. september 04 Dette dokument er en del af MatBog.dk 008-0. IT Teaching Tools. ISBN-3: 978-87-9775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

Analytisk geometri. Et simpelt eksempel på dette er en ret linje. Som bekendt kan en ret linje skrives på formen

Analytisk geometri. Et simpelt eksempel på dette er en ret linje. Som bekendt kan en ret linje skrives på formen Analtisk geometri Mike Auerbach Odense 2015 Den klassiske geometri beskæftiger sig med alle mulige former for figurer: Linjer, trekanter, cirkler, parabler, ellipser osv. I den analtiske geometri lægger

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU 2g

MATEMATIK A-NIVEAU 2g NETADGANGSFORSØGET I MATEMATIK APRIL 2009 MATEMATIK A-NIVEAU 2g Prøve April 2009 1. delprøve: 2 timer med formelsamling samt 2. delprøve: 3 timer med alle hjælpemidler Hver delprøve består af 14 spørgsmål,

Læs mere

Opgave 1 - Lineær Funktioner. Opgave 2 - Funktioner. Opgave 3 - Tredjegradsligning

Opgave 1 - Lineær Funktioner. Opgave 2 - Funktioner. Opgave 3 - Tredjegradsligning Sh*maa03 1508 Matematik B->A, STX Anders Jørgensen, delprøve 1 - Uden hjælpemidler Følgende opgaver er regnet i hånden, hvorefter de er skrevet ind på PC. Opgave 1 - Lineær Funktioner Vi ved, at år 2001

Læs mere

Integralregning med TI-Interactive! Stamfunktioner Integraler Arealer Jan Leffers (2005)

Integralregning med TI-Interactive! Stamfunktioner Integraler Arealer Jan Leffers (2005) Integralregning med TI-Interactive! Stamfunktioner Integraler Arealer Jan Leffers (005) Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse... Stamfunktion og integralregning...3 Numerisk integration...3 Areal under

Læs mere

Algebra - Teori og problemløsning

Algebra - Teori og problemløsning Algebra - Teori og problemløsning, januar 05, Kirsten Rosenkilde. Algebra - Teori og problemløsning Kapitel -3 giver en grundlæggende introduktion til at omskrive udtryk, faktorisere og løse ligningssystemer.

Læs mere

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. 1, og et punkt er givet ved: (2, 1)

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. 1, og et punkt er givet ved: (2, 1) Plangeometri Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. Opgave 1 To linjer er givet ved ligningerne: x y 0 og x b y 4 0, hvor b er en konstant. a) Beregn konstanten b således,

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU. Anders Jørgensen & Mark Kddafi. Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012

MATEMATIK A-NIVEAU. Anders Jørgensen & Mark Kddafi. Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 01 Kapitel 3 Ligninger & formler 016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver

Læs mere

Løsningsforslag Mat B August 2012

Løsningsforslag Mat B August 2012 Løsningsforslag Mat B August 2012 Opgave 1 (5 %) a) Løs uligheden: 2x + 11 x 1 Løsning: 2x + 11 x 1 2x x + 1 0 3x + 12 0 3x 12 Divideres begge sider med -3 (og husk at vende ulighedstegnet!) x 4 Opgave

Læs mere

Løsningsforslag MatB December 2013

Løsningsforslag MatB December 2013 Løsningsforslag MatB December 2013 Opgave 1 (5 %) a) En linje l går gennem punkterne: P( 2,3) og Q(2,1) a) Bestem en ligning for linjen l. Vi ved at linjen for en linje kan udtrykkes ved: y = αx + q hvor

Læs mere

Analytisk plangeometri 1

Analytisk plangeometri 1 1 Analytisk plangeometri 1 Kære 1. x, Vi begynder dag vores forløb om analytisk plangeometri. Dette bliver en udvidelse af ting i allerede kender til, så noget ved I i forvejen, mens andet bliver helt

Læs mere

APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE

APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE z x y z=exp( x^2 0.5y^2) CAS er en fællesbetegnelse for matematikprogrammer, som foruden numeriske beregninger også kan regne med symboler og formler. Det betyder: Computer

Læs mere

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Lineære sammenhænge. Udgave 2. 2009 Karsten Juul

Lineære sammenhænge. Udgave 2. 2009 Karsten Juul Lineære sammenhænge Udgave 2 y = 0,5x 2,5 2009 Karsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse af hæftet "Variabelsammenhænge, 2. udgave 2009". Indhold 1. Lineære sammenhænge, ligning og graf... 1 2. Lineær

Læs mere

Projekt 1.3 Brydningsloven

Projekt 1.3 Brydningsloven Projekt 1.3 Brydningsloven Når en bølge, fx en lysbølge, rammer en grænseflade mellem to stoffer, vil bølgen normalt blive spaltet i to: Noget af bølgen kastes tilbage (spejling), hvor udfaldsvinklen u

Læs mere

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal?

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Det er ret let at svare på: arealet af en trekant, husker vi fra vor kære folkeskole, findes ved at gange

Læs mere

Mathcad Survival Guide

Mathcad Survival Guide Mathcad Survival Guide Mathcad er en blanding mellem et tekstbehandlingsprogram (Word), et regneark (Ecel) og en grafisk CAS-lommeregner. Programmet er velegnet til matematikopgaver, fysikrapporter og

Læs mere

Excel tutorial om lineær regression

Excel tutorial om lineær regression Excel tutorial om lineær regression I denne tutorial skal du lære at foretage lineær regression i Microsoft Excel 2007. Det forudsættes, at læseren har været igennem det indledende om lineære funktioner.

Læs mere

Projekt 2.5 Brændpunkt og ledelinje

Projekt 2.5 Brændpunkt og ledelinje Projekter. Kapitel. Projekt.5 Brændpunkt og ledelinje Projekt.5 Brændpunkt og ledelinje En af de vigtigste egenskaber ved en parabel er dens brændpunkt og en af parablens vigtigste anvendelser er som profilen

Læs mere

Afstande, skæringer og vinkler i rummet

Afstande, skæringer og vinkler i rummet Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Villa 2. maj 202 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

Matematik A August 2016 Delprøve 1

Matematik A August 2016 Delprøve 1 Anvendelse af løsningerne læses på hjemmesiden www.matematikhfsvar.page.tl Sættet løses med begrænset tekst og konklusion. Formålet er jo, at man kan se metoden, og ikke skrive af! Opgave 1 - Vektorer,

Læs mere

Projekt 1.5: Tagrendeproblemet en modelleringsøvelse!

Projekt 1.5: Tagrendeproblemet en modelleringsøvelse! Projekt 1.5: Tagrendeproblemet en modelleringsøvelse! Det er velkendt at det største rektangel med en fast omkreds er et kvadrat. Man kan nemt illustrere dette i et værktøjsprogram ved at tegne et vilkårligt

Læs mere

Matematik A, STX. Vejledende eksamensopgaver

Matematik A, STX. Vejledende eksamensopgaver Matematik A, STX EKSAMENSOPGAVER Vejledende eksamensopgaver 2015 Løsninger HF A-NIVEAU AF SAEID Af JAFARI Anders J., Mark Af K. & Saeid J. Anders J., Mark K. & Saeid J. Kun delprøver 2 Kun delprøve 2,

Læs mere

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: 333247 2015 Anders Jørgensen, Mark Kddafi, David Jensen, Kourosh Abady og Nikolaj Eriksen 1. Indledning I dette projekt, vil man kunne se definitioner

Læs mere

Flemmings Maplekursus 1. Løsning af ligninger a) Ligninger med variabel og kun en løsning.

Flemmings Maplekursus 1. Løsning af ligninger a) Ligninger med variabel og kun en løsning. Flemmings Maplekursus 1. Løsning af ligninger a) Ligninger med variabel og kun en løsning. Ligningen løses 10 3 Hvis vi ønsker løsningen udtrykt som en decimalbrøk i stedet: 3.333333333 Løsningen 3 er

Læs mere

Projekt 2.1: Parabolantenner og parabelsyning

Projekt 2.1: Parabolantenner og parabelsyning Projekter: Kapitel Projekt.1: Parabolantenner og parabelsyning En af de vigtigste egenskaber ved en parabel er dens brændpunkt og en af parablens vigtigste anvendelser er som profilen for en parabolantenne,

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Isolere en ubekendt... 3 Hvis x står i første brilleglas...

Læs mere

Computerundervisning

Computerundervisning Frederiksberg Seminarium Computerundervisning Koordinatsystemer og funktioner Elevmateriale 30-01-2009 Udarbejdet af: Pernille Suhr Poulsen Christina Klitlyng Julie Nielsen Opgaver GeoGebra Om at genkende

Læs mere

Matematik A-niveau 22. maj 2015 Delprøve 2. Løst af Anders Jørgensen og Saeid Jafari

Matematik A-niveau 22. maj 2015 Delprøve 2. Løst af Anders Jørgensen og Saeid Jafari Matematik A-niveau 22. maj 2015 Delprøve 2 Løst af Anders Jørgensen og Saeid Jafari Opgave 7 - Analytisk Plangeometri Delopgave a) Vi starter ud med at undersøge afstanden fra punktet P(5,4) til linjen

Læs mere

Eksponentielle sammenhænge

Eksponentielle sammenhænge Eksponentielle sammenhænge Udgave 009 Karsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse af hæftet "Lineære sammenhænge, udgave 009" Indhold 1 Eksponentielle sammenhænge, ligning og graf 1 Procent 7 3 Hvad fortæller

Læs mere

Computerundervisning

Computerundervisning Frederiksberg Seminarium Computerundervisning Koordinatsystemer og Funktioner Lærervejledning 12-02-2009 Udarbejdet af: Pernille Suhr Poulsen Christina Klitlyng Julie Nielsen Indhold Introduktion... 3

Læs mere

Matematik A eksamen 14. august Delprøve 1

Matematik A eksamen 14. august Delprøve 1 Matematik A eksamen 14. august 2014 www.matematikhfsvar.page.tl Delprøve 1 Info: I denne eksamensopgave anvendes der punktum som decimaltal istedet for komma. Eks. 3.14 istedet for 3,14 Opgave 1 - Andengradsligning

Læs mere

Newtons love - bevægelsesligninger - øvelser. John V Petersen

Newtons love - bevægelsesligninger - øvelser. John V Petersen Newtons love - bevægelsesligninger - øvelser John V Petersen Newtons love 2016 John V Petersen art-science-soul Indhold 1. Indledning og Newtons love... 4 2. Integration af Newtons 2. lov og bevægelsesligningerne...

Læs mere

Projekt 3.5 faktorisering af polynomier

Projekt 3.5 faktorisering af polynomier Projekt 3.5 faktorisering af polynomier Hvilke hele tal går op i tallet 60? Det kan vi få svar på ved at skrive 60 som et produkt af sine primtal: 60 3 5 Divisorerne i 60 er lige præcis de tal, der kan

Læs mere

Ligninger med reelle løsninger

Ligninger med reelle løsninger Ligninger med reelle løsninger Når man løser ligninger, er der nogle standardmetoder som er vigtige at kende. Her er der en kort introduktion til forskellige teknikker efterfulgt af opgaver hvor man kan

Læs mere

Flere ligninger med flere ukendte

Flere ligninger med flere ukendte Flere ligninger med flere ukendte Frank Villa 14. februar 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her.

Læs mere

Projekt 4.6 Didaktisk oplæg til et eksperimenterende forløb med fokus på modellering og repræsentationsformer

Projekt 4.6 Didaktisk oplæg til et eksperimenterende forløb med fokus på modellering og repræsentationsformer rojekter: Kapitel. rojekt.6 Eksperimenterende forløb med fokus på modellering og repræsentationsformer rojekt.6 idaktisk oplæg til et eksperimenterende forløb med fokus på modellering og repræsentationsformer

Læs mere

Matematik. 1 Matematiske symboler. Hayati Balo,AAMS. August, 2014

Matematik. 1 Matematiske symboler. Hayati Balo,AAMS. August, 2014 Matematik Hayati Balo,AAMS August, 2014 1 Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske symboler.

Læs mere

Geogebra Begynder Ku rsus

Geogebra Begynder Ku rsus Navn: Klasse: Matematik Opgave Kompendium Geogebra Begynder Ku rsus Kompendiet indeholder: Mål side længder Mål areal Mål vinkler Vinkelhalveringslinje Indskrevne cirkel Midt normal Omskrevne cirkel Trekant

Læs mere

Start-mat. for stx og hf Karsten Juul

Start-mat. for stx og hf Karsten Juul Start-mat for stx og hf 0,6 5, 9 2017 Karsten Juul Start-mat for stx og hf 2017 Karsten Juul 1/8-2017 (7/8-2017) Nyeste version af dette hæfte kan downloades fra http://mat1.dk/noter.htm. Hæftet må benyttes

Læs mere

Studieretningsopgave

Studieretningsopgave Virum Gymnasium Studieretningsopgave Harmoniske svingninger i matematik og fysik Vejledere: Christian Holst Hansen (matematik) og Bodil Dam Heiselberg (fysik) 30-01-2014 Indholdsfortegnelse Indledning...

Læs mere

Funktioner generelt. for matematik pä B- og A-niveau i stx og hf. 2014 Karsten Juul

Funktioner generelt. for matematik pä B- og A-niveau i stx og hf. 2014 Karsten Juul Funktioner generelt for matematik pä B- og A-niveau i st og hf f f ( ),8 014 Karsten Juul 1 Funktion og dens graf, forskrift og definitionsmängde 11 Koordinatsystem I koordinatsystemer (se Figur 1): -akse

Læs mere

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015 Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015 22. maj 2015: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Ligningen løses ved at isolere x i det åbne udsagn: 4 x 7 81 4 x 88 88 x 22 4 Opgave 2: y 87 0,45 x Det

Læs mere

Brug af Word til matematik

Brug af Word til matematik Flex på KVUC, matematik C Brug af Word til matematik Word er et af de gængse tekstbehandlingssystemer der slipper bedst fra det at skrive matematiske formler. Selvfølgelig findes der andre systemer der

Læs mere

Some like it HOT: Højere Ordens Tænkning med CAS

Some like it HOT: Højere Ordens Tænkning med CAS Some like it HOT: Højere Ordens Tænkning med CAS Bjørn Felsager, Haslev Gymnasium & HF, 2001 I år er det første år, hvor CAS-forsøget er et standardforsøg og alle studentereksamensopgaverne derfor foreligger

Læs mere

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 7 opgaver over. Skitser det omdrejningslegeme, der fremkommer, når grafen for f ( x)

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 7 opgaver over. Skitser det omdrejningslegeme, der fremkommer, når grafen for f ( x) Integralregning 3 Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 7 opgaver over. Opgave Skitser det omdrejningslegeme, der fremkommer, når grafen for f ( x) x i [,] drejes 36 om x-aksen. Vis,

Læs mere

Kinematik. Lad os betragte en cyklist der kører hen ad en cykelsti. Vi kan beskrive cyklistens køretur ved hjælp af en (t,s)-tabel, som her:

Kinematik. Lad os betragte en cyklist der kører hen ad en cykelsti. Vi kan beskrive cyklistens køretur ved hjælp af en (t,s)-tabel, som her: K Kinematik Den del af fysikken, der handler om at beskrive bevægelser hedder kinematik. Vi kan se på tid, position, hastighed og acceleration, men disse ting må altid angives i forhold til noget. Fysikere

Læs mere

Lektion 7 Funktioner og koordinatsystemer

Lektion 7 Funktioner og koordinatsystemer Lektion 7 Funktioner og koordinatsystemer Brug af grafer og koordinatsystemer Lineære funktioner Andre funktioner lignnger med ubekendte Lektion 7 Side 1 Pris i kr Matematik på Åbent VUC Brug af grafer

Læs mere

Differentialligninger med TI Nspire CAS version 3.1

Differentialligninger med TI Nspire CAS version 3.1 Differentialligninger med TI Nspire CAS version 3.1 Der er tilføjet en ny graftype til Graf værkstedet kaldet Diff lign. Denne nye graftype er en implementering af differentialligningerne som vi kender

Læs mere

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015 Kalkulus 1 - Opgaver Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis 20. januar 2015 Mængder Opgave 1 Opskriv følgende mængder med korrekt mængdenotation. a) En mængde A indeholder alle hele tal fra og med 1

Læs mere

Gratisprogrammet 27. september 2011

Gratisprogrammet 27. september 2011 Gratisprogrammet 27. september 2011 1 Brugerfladen: Små indledende øvelser: OBS: Hvis et eller andet ikke fungerer, som du forventer, skal du nok vælge en anden tilstand. Dette ses til højre for ikonerne

Læs mere

Projekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable

Projekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable Projekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable Differentialligninger af tpen d hx () hvor hx ()er en kontinuert funktion, er som nævnt blot et stamfunktionsproblem. De løses

Læs mere

Lineære sammenhænge, residualplot og regression

Lineære sammenhænge, residualplot og regression Lineære sammenhænge, residualplot og regression Opgave 1: Er der en bagvedliggende lineær sammenhæng? I mange sammenhænge indsamler man data som man ønsker at undersøge og afdække eventuelle sammenhænge

Læs mere

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 2013 1 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal. Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden.

Læs mere

Brugervejledning til Graph

Brugervejledning til Graph Graph (brugervejledning) side 1/17 Steen Toft Jørgensen Brugervejledning til Graph Graph er et gratis program, som ikke fylder meget. Downloades på: www.padowan.dk/graph/. Programmet er lavet af Ivan Johansen,

Læs mere

Andengradsligninger. Frank Nasser. 11. juli 2011

Andengradsligninger. Frank Nasser. 11. juli 2011 Andengradsligninger Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Matricer og lineære ligningssystemer

Matricer og lineære ligningssystemer Matricer og lineære ligningssystemer Grete Ridder Ebbesen Virum Gymnasium Indhold 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber 1 Regning med matricer 3 13 Kvadratiske matricer og determinant 9 14 Invers matrix

Læs mere

-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1

-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1 En funktion beskriver en sammenhæng mellem elementer fra to mængder - en definitionsmængde = Dm(f) består af -værdier og en værdimængde = Vm(f) består af -værdier. Til hvert element i Dm(f) knttes netop

Læs mere

gl. Matematik A Studentereksamen Torsdag den 22. maj 2014 kl gl-1stx141-mat/a

gl. Matematik A Studentereksamen Torsdag den 22. maj 2014 kl gl-1stx141-mat/a gl. Matematik A Studentereksamen gl-1st141-mat/a-05014 Torsdag den. maj 014 kl. 9.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål. Delprøven

Læs mere

Forslag til løsning af Opgaver til analytisk geometri (side 338)

Forslag til løsning af Opgaver til analytisk geometri (side 338) Forslag til løsning af Opgaver til analytisk geometri (side 8) Opgave Linjerne har ligningerne: a : y x 9 b : x y 0 y x 8 c : x y 8 0 y x Der må gælde: a b, da Skæringspunkt mellem a og b:. Det betyder,

Læs mere

Projekt 4.9 Bernouillis differentialligning

Projekt 4.9 Bernouillis differentialligning Projekt 4.9 Bernouillis differentialligning (Dette projekt dækker læreplanens krav om supplerende stof vedr. differentialligningsmodeller. Projektet hænger godt sammen med projekt 4.0: Fiskerimodeller,

Læs mere

Oprids over grundforløbet i matematik

Oprids over grundforløbet i matematik Oprids over grundforløbet i matematik Dette oprids er tænkt som en meget kort gennemgang af de vigtigste hovedpointer vi har gennemgået i grundforløbet i matematik. Det er en kombination af at repetere

Læs mere

Løsning af simple Ligninger

Løsning af simple Ligninger Løsning af simple Ligninger Frank Nasser 19. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

Projektopgave 1. Navn: Jonas Pedersen Klasse: 3.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/ Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik

Projektopgave 1. Navn: Jonas Pedersen Klasse: 3.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/ Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik Projektopgave 1 Navn: Jonas Pedersen Klasse:.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/9-011 Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik Indledning Jeg har i denne opgave fået følgende opstilling.

Læs mere

gudmandsen.net 1 Parablen 1.1 Grundlæggende forhold y = ax 2 bx c eksempelvis: y = 2x 2 2x 4 y = a x 2 b x 1 c x 0 da x 1 = x og x 0 = 1

gudmandsen.net 1 Parablen 1.1 Grundlæggende forhold y = ax 2 bx c eksempelvis: y = 2x 2 2x 4 y = a x 2 b x 1 c x 0 da x 1 = x og x 0 = 1 gudmandsen.net Ophavsret Indholdet stilles til rådighed under Open Content License[http://opencontent.org/openpub/]. Kopiering, distribution og fremvisning af dette dokument eller dele deraf er fuldt ud

Læs mere

Løsning til aflevering uge 11

Løsning til aflevering uge 11 Løsning til aflevering uge 11 100011/nm Opg.1 Beregninger på Foucaults pendul. Først en skitse A B c l a b l d C l c l E h d D 0.m Vandrette udsving a m a) Længden af pendulet kan beregnes ved at isolere

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI Indhold Begreber i klassisk geometri + formelsamling... 2 Pythagoras Sætning... 8 Retvinklede trekanter. Beregn den ukendte side markeret med et bogstav.... 9 Øve vinkler

Læs mere

Lad os prøve GeoGebra.

Lad os prøve GeoGebra. Brug af Geogebra i matematik Programmet Geogebra er et matematisk tegneprogram. Det findes i øjeblikket i flere versioner. Direkte på nettet uden download. http://www.geogebra.org/cms/ Klik på billedet.!

Læs mere

Lærervejledning Matematik 1-2-3 på Smartboard

Lærervejledning Matematik 1-2-3 på Smartboard Lærervejledning Matematik 1-2-3 på Smartboard Lærervejledning til Matematik 1-2-3 på Smartboard Materialet består af 33 færdige undervisningsforløb til brug i matematikundervisningen i overbygningen. Undervisningsforløbene

Læs mere

Matematik C. Cirkler. Skrevet af Jacob Larsen 3.år HTX Slagelse Udgivet i samarbejde med Martin Gyde Poulsen 3.år HTX Slagelse.

Matematik C. Cirkler. Skrevet af Jacob Larsen 3.år HTX Slagelse Udgivet i samarbejde med Martin Gyde Poulsen 3.år HTX Slagelse. Cirkler Skrevet af Jacob Larsen 3.år HTX Slagelse Udgivet i samarbejde med Martin Gyde Poulsen 3.år HTX Slagelse Side Indholdsfortegnelse Cirklen ligning Tegning af cirkler Skæring mellem cirkel og x-aksen

Læs mere

Grundlæggende Opgaver

Grundlæggende Opgaver Grundlæggende Opgaver Opgave 1 En retvinklet trekant har sine vinkelspidser i (,4),(4, 4) og (, 4). a) Hvor store er kateterne? b) Hvor store er hypotenusen? c) Beregn trekantens areal. d) Bestem kateterne,

Læs mere

Vejledning til Excel 2010

Vejledning til Excel 2010 Vejledning til Excel 2010 Indhold Eksempel på problemregning i Excel... 2 Vejledning til skabelon og opstilling... 3 Indskrivning... 5 Tips til problemregninger... 6 Brøker... 6 Når du skal bruge pi...

Læs mere

Det grafiske billede af en andengradsfunktion er altid en parabel. En parabels skæring med x-aksen kaldes nulpunkter eller rødder.

Det grafiske billede af en andengradsfunktion er altid en parabel. En parabels skæring med x-aksen kaldes nulpunkter eller rødder. Parabler En funktion med grundformlen y = ax 2 + bx + c kaldes en andengradsfunktion. Det grafiske billede af en andengradsfunktion er altid en parabel. 1. Hvis a = 0, er det ikke en andengradsfunktion.

Læs mere

Grafregnerkravet på hf matematik tilvalg

Grafregnerkravet på hf matematik tilvalg Grafregnerkravet på hf matematik tilvalg Dette dokument er en sammenskrivning af uddrag af følgende skrifter: Undervisningsvejledning nr. 21 for matematik i HF (september 1995); findes på adressen: http://us.uvm.dk/gymnasie/almen/vejledninger/undervishf/hfvej21.htm;

Læs mere

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal.

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal. 1 Tal Tal kan forekomme os nærmest at være selvfølgelige, umiddelbare og naturgivne. Men det er kun, fordi vi har vænnet os til dem. Som det vil fremgå af vores timer, har de mange overraskende egenskaber

Læs mere

Lommeregnerkursus 2008

Lommeregnerkursus 2008 Mikkel Stouby Petersen Lommeregnerkursus 008 Med gennemregnede eksempler og øvelser Materialet er udarbejdet til et kursus i brug af TI-89 Titanium afholdt på Odder Gymnasium. april 008 1. Ligningsløsning

Læs mere

Grundlæggende matematiske begreber del 2 Algebraiske udtryk Ligninger Løsning af ligninger med én variabel

Grundlæggende matematiske begreber del 2 Algebraiske udtryk Ligninger Løsning af ligninger med én variabel Grundlæggende matematiske begreber del Algebraiske udtryk Ligninger Løsning af ligninger med én variabel x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium 1 Indholdsfortegnelse ALGEBRAISKE UDTRYK... 3 Regnearternes

Læs mere

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk 3 Lineære funktioner En vigtig type funktioner at studere er de såkaldte lineære funktioner. Vi skal udlede en række egenskaber

Læs mere

Eksamensspørgsmål: Trekantberegning

Eksamensspørgsmål: Trekantberegning Eksamensspørgsmål: Trekantberegning Indhold Definition af Sinus og Cosinus... 1 Bevis for Sinus- og Cosinusformlerne... 3 Tangens... 4 Pythagoras s sætning... 4 Arealet af en trekant... 7 Vinkler... 8

Læs mere