EPDEMER DYAMK AF Kasper Larsen, Bjarke Vilser Hansen Henriee Elgaard issen, Louise Legaard og Charloe Plesher-Frankild 1. Miniprojek idefagssupplering, RUC Deember 2007
DLEDG Maemaisk modellering kan anvendes il a forsimple virkeligheden, derefer regne på den forsimplede virkelighed, og il sids ud fra disse beregninger konkludere noge om virkeligheden på den forsimplede maemaiske baggrund. De beyder, a der skal foreages en del begrænsninger og anagelser, når virkeligheden omsæes il den maemaiske model. denne opgave anvendes maemaisk modellering il a kunne forudsige noge om epidemier og deres udvikling og beingelserne for, a en epidemi i de hele age vil opså. Epidemier er karakerisere ved, a de sarer med a vokse eksponeniel med sørre eller mindre hasighed, hvor analle af smierame vokser med en fordoblingsid. Efer en id når epidemien e maksimum, hvorefer epidemien dør ud igen. De er e mege vigig a vide noge om epidemier, da de er e område, der har kræve og kræver mange menneskeliv på verdens plan. Man kan bare ænke på e hisorisk eksempel som Den ore Død i de 14. århundrede. E nuidig og mege bekymrende eksempel kan være AD-epidemien, som hærger i sore dele af speiel Afrika og Asien. De er dermed ydelig, a epidemier kan have vidrækkende samfundsmæssig beydning, og på den baggrund er de af vial beydning a kunne forudsige noge om epidemiers opsåen og udvikling, og de kan en maemaisk modellering af syseme give os e bud på. PROBLEMFORMULERG dee projek ses der på en maemaisk model for udviklingen af epidemier udvikle af Kermak- Mkendrik i 1927, den såkalde R-model. Der ses på spørgsmålene: Hvordan kan en model for udviklingen af en epidemi se ud? Hvilke paramere syrer dynamikken i en epidemi? Formåle med dee projek er a gennemgå en maemaisk model for en generel epidemi og dens udvikling og derefer a analysere modellen ved flere eksempler. Til sids foreages der en udvikling il en lid anden ype model. 2
Den overordnede gennemgang af modellen opdeles i følgende punker - R-modellen og dens paramere gennemgås - Modellens differenialligninger gennemarbejdes - Modellens begrænsninger gennemgås - Modellens anagelser belyses - Modellen analyseres ved hjælp af eksempler og forolkning af disse R-MODELLE R-modellen er en simpel, klassisk model, der har udbredelsen af epidemier som overordne gensandsområde. Vi vil karakerisere R-modellen som en forklarende/deerminisisk epidemisk model, der behandler epidemier af ypen, hvor smien overføres i e møde mellem e smiende og e modagelig individ, og hvor der efer en periode udvikles resisens. Gennem anvendelse af sandsynlighedseori har man opsille en model, som beskriver deerminisiske sammenhænge og alså i prinippe afgiver deerminisiske kausaliesudsagn og deerminisiske prædikioner De samlede anal individer inddeles i re grupper komparmens il brug for den videre model: : ndivider, der er modagelige for sygdommen usepibles : ndivider, der er smiede og smiende nfeed R: ndivider, der er immune eller døde Removals De samlede anal individer,, som indgår i undersøgelsen dvs. en hel befolkning eller blo en risikogruppe, som udgør en afgrænse del af befolkningen, udgøres af de re grupper, hvilke giver følgende: ++R Modellen bygger på, a der sker en bevægelse af individer fra -gruppen henover -gruppen il R- gruppen. Dee forklares med, a der i konaken mellem en infiere og en modagelig kan ske overførsel af smie, hvorved e individ overgår fra -gruppen il -gruppen. Tilsvarende vil der fra -gruppen ske en bevægelse af individer il R gruppen pga. udvikling af immunie eller død. Modellen kan beskrives som en komparmenmodel med følgende udsende: 3
R Vi skal nu på en eller anden måde modellere bevægelsen fra il og fra il R. Bevægelsen fra il afhænger af både og, ide de virker logisk, a analle af nylig infierede besemmes af, hvor mange der kan smies, og hvor mange der er smie i hver fald hvis smien sker fra person il person. E møde, som foregår mellem en smie person og en modagelig person, og som fører il, a den modagelige person bliver smie, kalder vi e effekiv møde. Analle af effekive møder en person forager pr. idsenhed kalder vi konakraen. Konakraen afhænger derfor af mange adfærdsmæssige og biologiske fakorer. denne rappor ager definiionen af si udgangspunk i, a alle medlemmer af befolkningsgruppen har lige haner for a møde alle andre medlemmer af befolkningsgruppen. En modagelig person foreager i idsrumme konaker. Hvis er de samlede befolkningsal, vil brøkdelen / være konaker med smiede personer. / beegner sandsynligheden for på e given idspunk, a en ilfældig person er smiende. Da der er personer, som kan udføre en given konak, er sammenhænge mellem flowe af personer fra il : hvor beegner infekionsraen. nfekionsraen er e udryk for, hvor smisom en sygdom er. Des mere smisom en sygdom er, jo sørre bliver. De vil sige, a udrykker sandsynligheden for, a e infierende individ infierer e modagelig individ inden for e given idsrum. sede for infekionsraen kan man i sede, formulere sig ved brug af infekionssyrken også kalde smieraen. mieraen er give ved udrykke Λ er den rae, hvormed modagelige individer bliver smie, og er alså den komponen, der syrer flowe fra il. Bevægelsen fra il R, alså hvor mange af de smiede der bliver resisene eller dør, afhænger kun af, hvor mange der er syge, og ikke hvor mange der allerede er resisene eller døde. Bevægelsen fra il R kan beskrives som, a en besem andel proendel af de smiede bliver raske i løbe af 4
5 en idsenhed. Andelen af smiede der bliver raske i løbe af en idsenhed, kaldes removalrae og beegnes med symbole. Dermed kan vi beskrive overgangssrømmen fra il R som værende lig. Den samlede R model kommer skemaisk il a se således ud: og modellens ligninger, der beskriver, og R il de eferfølgende idsskrid som værende funkioner af de nuværende idsskrid og ændringen i de givne grupper i løbe af idsskride : R R + + + + + Med lid omskrivninger er differensligningerne: + + + R R Lader vi nu idsskride gå mod nul, alså 0, får vi differenialkvoienerne il, og R og dermed følgende diffenialligningssysem: ' R Vi har kun brug for o af dem, ide vi ved a summen af de re grupper alid er, alså + + R og dermed a + + R 0. R
MODELLE ATAGELER Før vi ser nærmere på selve modellen, vil vi se lid på de anagelser, der er gjor i forbindelse med R-modellen. Opbygningen af R-modellen giver ikke mulighed for igen a mise sin resisens hvilke sker for nogle sygdomme, der f.eks. skyldes bakerieinfekioner, man kan alså ikke vende ilbage il -gruppen. De reserende anagelser omhandler ypisk bevægelser mellem grupperne, og R, som ikke alle har være eksplii formulerede. forbindelse med nogle af anagelserne, vil der desuden blive give eksempler på hvor disse anagelser er eller kan være problemaiske. A. Grupperne er homogen blandede. De er klar, a sandsynligheden for konak mellem o individer fra forskellige grupper afhænger af fordelingen af gruppernes individer. Hvis konenraionen af -individer er sor, vil e enkel - individ have sørre hane for a møde e -individ, end hvis konenraionen er lille. Er grupperne derimod homogen fordel, og individerne møder hinanden ilfældig og alså har lige sor hane for a mødes, da vil infekionsraen være ensare. Er der ale om sygdomme, der ofes rammer beseme befolkningsgrupper, kan denne anagelse være problemaisk E eksempel kunne være, a visse kønssygdomme er overrepræsenere bland bøsser. B. nfekionsrae og removalrae er konsane med hensyn il iden. Afhængig af sygdomsypen kan smiefarligheden ændres med iden. Hvis sygdommen f.eks. som udgangspunk er forårsage af en bakerie, kan bakerien med iden blive mere aggressiv som følge af ilpasning il de nye livsbeingelser e eksempel er malariamyggens udvikling af resisens mod beseme insekiider. Dee vil beyde, a den relaive removalraen øges, og begyndelsesværdien for anal modagelige, 0, ilsvarende falder. De er naurligvis af alafgørende beydning, a man kender il muligheden for ændringer i disse kriiske paramere. C. De smiede individer bliver sraks smiende. virkeligheden er der en laensid, hvor de smiede individer går over il også a blive smiende, og afhængig af denne laensid sørrelse, kan anagelsen resulere i en overvurdering af, hvor fremskrede sygdommen vil være il e give idspunk. De vil dog kun have begrænse beydning, 6
ide der så vil gå ilsvarende længere id, før e -individ flyes il R-gruppen og ikke længere udgør en risiko. Dermed vil effeken i -enden udlignes af effeken i R-enden. D. ygdommen smier direke fra person il person. Denne anagelse kan diskueres, ide modellen ikke definerer elemenerne i, og R-grupperne. prinippe kunne der således være smiefarlige dyr blande ind i grupperne af mennesker, men i realieen vil de være umulig med ilsrækkelig sor nøjagighed a sæe give e skøn på analle af individer i de enkele grupper. Anagelsen beyder, a modellen ikke ager højde for smie, der spredes fra dyr il mennesker, hvilke ofe vil være ilfælde f.eks. Fugleinfluenza, hvor smievejen oprindelig kun var gennem fugle, senere andre dyr, der er herunder nu også sjældne eksempler på smie gennem mennesker. E. Alle personer er lige modagelige for sygdommen. Risikoen for smie afhænger naurligvis bl.a. af immunforsvare og af den menneskelige adfærd. Man kan derfor ikke regne med en fas infekionsrae hel uafhængig af de enkele møde mellem e smiende og e modagende individ. Man kan dog bruge en gennemsnilig infekionsrae for beregningerne af sygdomsudviklingen i den samlede befolkning, og de er i realieen også sådan modellen anvendes. F. Analle af modagelige er konsan. er vi på epidemiologiske undersøgelser og beregninger, der srækker sig over generaioner, kan analle af individer i risikogruppen ændre sig, hvilke vil have beydning for de endelige billede af sygdomsudviklingen. F.eks. er fødselsraen falde markan bl.a. i de veslige lande og i Japan, men dee modsvares delvis af en forøge leveid. Befolkningen vil i lande, hvor de samlede anal individer redueres og de er jo fakisk de, vi ser mange seder i Europa være mindre sårbar for smie end modellen anager. Dee fakum skal man naurligvis age højde for, når man laver fremidsprognoser. 7
MODELLE OPFØREL Hvordan ændrer de forskellige gruppers sørrelse sig med iden, og hvilken beydning har de forskellige indgående paramere, og begyndelsesbeingelserne 0, 0, R0. For a få en ide heril vil vi se på en række eksempler. Vi vil berage en række ilfælde, hvor vi ved a ændre på nogle af paramerene vil se, om og i så fald hvordan epidemier ifølge modellen vil udvikle sig. de førse seks eksempler, vil vi lade infekionsraen og removalraen v være konsane, og vi sæer 0,0003 og v 0,55. Vi vil i alle eksemplerne lade R0 0, alså a der ikke er nogle resisene il a begynde med. de førse eksempel vil vi lade 0 3500, 0 50. Dee førse eksempel vil vi berage som vores sandardeksempel, dvs. i forhold il hvilke vi vil sammenligne ved juseringen af de o paramere 0 og 0. R modellen, eksempel 1 På Figur 1 kan forløbe af, og R følges, når 0 3500 og 0 50. Hvis vi skal se på de som e virkelig eksempel, er der il saridspunke ale om en populaion besående af 3550 individer, hvoraf de 50 er infierede. De ses, a analle af infierede individer hurig siger fra de 50 il e anal på a. 500 ved 7,5. Derefer falder analle af individer, der er modagelige overfor sygdommen krafig, ide analle af individer, der er resisene eller døde, er sege. Analle af infierede individer falder herefer igen og går mod nul, hvilke beyder, a epidemien udryddes. Hvis vi udelukkende berager R som analle af døde individer, vil alså en sor del af befolkningen blive udrydde a. 2825 individer, mens analle af modagelige vil være afagende og sabilisere sig på a. 725 individer. 8
Figur 1: llusraion af eksempel 1. De re gruppers, og R sørrelse afbillede som funkion af iden. 0 3500, 0 50, R0 0, 3550, / 0,0003 og 0,55. R modellen, eksempel 2 dee eksempel lader vi populaionen være 3600 individer, hvoraf 100 er smiede/smiende og ingen er resisene. Dvs. vi har 3600, 0 100, R0 0, og alså 0 3500. nfekionsraen, /, er sadig 0,0003, mens removalraen,, er fashold på 0,55. Paramerene, og R vil nu udvikle sig som vis på Figur 2. 9
Figur 2: llusraion af eksempel 2. De re gruppers, og R sørrelse afbillede som funkion af iden. 0 3500, 0 100, R0 0, 3600, / 0,0003 og 0,55. På figuren ser vi a er afagende gennem hele inervalle og sabiliserer sig ved a. 750 individer, mens R er sigende i hele inervalle og sabiliserer sig ved a. 2850 individer. Udviklingen af infierede siger fra 0 il 6,5, så modellen viser, a der er en epidemi. Efer 6,5 hvor analle af infierede individer var nåe op på knap 600, er afagende i resen af inervalle og nærmer sig langsom 0. 10
R modellen, eksempel 3 Vi lader nu analle af modagelige individer il iden 0 være de dobbele af analle i de førse eksempel, dvs. 0 7000. 0 sæes igen il 50. u er alså en beydelig mindre andel af befolkningen infierede il iden 0. Forløbe af grafen viser imidlerid e noge mere drasisk forløb end i de o foregående eksempler. Udviklingen af infierede siger endnu hurigere end før og når e maksimum på a. 2750, hvorefer den falder igen. Analle af resisene siger ilsvarende krafig, og vil med iden udgøre lang hovedparen af den samlede befolkning, og ilsvarende af modagelige falde og sabilisere sig på a. 200 individer. Der er alså i dee ilfælde ale om nærmes en oal populaionsudryddelse hvis vi alså berager R som analle af døde. år 0 er mege sor i forhold il den relaive removalrae, og 0 udgør en mindre del af den samlede populaion fås alså en re drasisk udvikling af epidemien. Figur 3: llusraion af eksempel 3. De re gruppers, og R sørrelse afbillede som funkion af iden. 0 7000, 0 50, R0 0, 7050, / 0,0003 og 0,55. R modellen, eksempel 4 Lad igen 0 7000 men lad 0 100. De reserende paramere er som i eksempel 1. Figuren vises nogenlunde de samme som eksempel 3. De ses alså igen, a de ikke har sore beydning, om en lid sørre del af befolkningen er smie fra saren. 11
Figur 4: llusraion af eksempel 4. De re gruppers, og R sørrelse afbillede som funkion af iden. 0 7000, 0 100, R0 0, 7100, / 0,0003 og 0,55. R modellen, eksempel 5 forhold il de førse eksempel, vil vi nu halvere analle af modagelige individer, så 0 1750. 0 50. De ses a er svag afagende i hele forløbe, så der er alså ikke ale om en epidemi. R er sigende, mens er afagende, men i dee ilfælde krydser de ikke hinanden. De vil sige a analle af modagelige forbliver beydelig sørre a.1450 individer end analle af resisene eller døde a.350 individer. 12
Figur 5: llusraion af eksempel 5. De re gruppers, og R sørrelse afbillede som funkion af iden. 0 1750, 0 50, R0 0, 1800, / 0,0003 og 0,55. R modellen, eksempel 6 Vi berager nu ilfælde 0 1750, 0 100, R0 0 og alså 1850. Removalraen,, sæes vi il 0,55, mens vi har besem os for en infekionsraen, /, sæes il 0,0003. Alså er den enese forskel il eksempel 2 a 0 er bleve halvere. Paramerene, og R vil nu udvikle sig som vis på Figur 6. 13
Figur 6: llusraion af eksempel 6. De re gruppers, og R sørrelse afbillede som funkion af iden. 0 1750, 0 100, R0 0, 1850, / 0,0003 og 0,55. er som i eksempel 2 afagende gennem hele inervalle, mens R er sigende gennem hele inervalle. Analle af modagelige individer sabiliserer sig med iden ved a. 1300, mens analle af resisene/døde med iden sabiliserer sig ved a. 550 individer. dee ilfælde ser vi, a analle af smiede/smiende,, falder gennem hele inervalle. Der er alså i dee ilfælde ikke ale om en epidemi. går dog som i de idligere eksempler mod 0 med iden. de sidse o eksempler vil vi se hvad der sker, når vi juserer på værdierne for infekionsraen og removalraen v. R modellen, eksempel 7 Lad som i de førse eksempel 0 3500 og 0 50. Vi sæer nu infekionsraen il 0 og removalraen il v1. Figuren viser nu hvilke også gerne skulle være ilfælde a analle af modagelige ikke ændrer sig forbliver på 3500 individer, og a de infierede hurig bliver 14
resisene. år infekionsraen er 0, kan der naurligvis ikke ske nogen bevægelse fra gruppen af modagelige over i gruppen af infierede. Figur 7: llusraion af eksempel 7. De re gruppers, og R sørrelse afbillede som funkion af iden. 0 3500, 0 50, R0 0, 3550, / 0 og 1. R modellen, eksempel 8 Vi sæer 0 3500 og 0 50. nfekionsraen sæes nu il 1og removalraen il v 0. Da v 0 vil der selvfølgelig ikke ske nogen bevægelse fra gruppen af infierede over i gruppen af resisene. Grafen viser derfor også, a analle af resisene forbliver konsan på 0. amidig ser vi, a alle fra gruppen af modagelige individer på mege kor id blive infiere. Dvs. falder hurig og sabiliserer sig på 0, mens ilsvarende siger og sabiliseres på 3550. 15
Figur 8: llusraion af eksempel 8. De re gruppers, og R sørrelse afbillede som funkion af iden. 0 3500, 0 50, R0 0, 3550, / 1 og 0. de ovennævne eksempler, har vi forsøg a illusrere, hvorledes paramerene, og R påvirker hinanden. Vi bemærkede, a når /,, 0 og R0 blev hold konsan, udviklede de re paramere, og R sig mege forskellig afhængig af sørrelsen af 0. om vi har kunne se ud fra eksemplerne, yder de på, a er en afagende funkion, mens R er en voksende funkion. Dee kan forklares ud fra differenialligningerne, hvorom der gælder, a når,, / og er posiive: ' R' ' < 0 R' > 0 Men a de forholder sig således, er dog ikke speiel underlig, ide modellen er konsruere, så der kun kan flyes individer ud af -gruppen, mens der kun kan flyes individer ind i R-gruppen. Hvilken værdi, de o funkioner konvergerer mod, er lid sværere a besemme. Vi eller man har ikke kunne løse differenialligningssyseme, men har kun kunne finde sammenhængene: 16
+ ln 0 + 0 ln 0 0 exp R R0 > 0 Opskrivningen af er, som vi kan se af ovensående eksempler, noge kompliere, men man kan med sikkerhed sige, a med iden vil gå med nul, ide alle infierede vil blive resisene med iden forudsa a > 0. vores ovensående eksempler er der ale om en epidemi, hvis 0 3500 eller 7000, men ikke hvis 0 1750. ilfældene, hvor der ikke er ale om epidemier, er en afagende funkion i hele inervalle, mens har e maksimum hvis der er ale om en epidemi. Vi er heldigvis i sand il a afgøre om givne beingelser vil føre il en epidemi, hvilke vi vil se på i de følgende. Beingelser for opsåen af en epidemi En væsenlig begrundelse for a udvikle modeller er neop a skabe viden, der i sin opimale anvendelse hindrer udviklingen af en epidemi. A vi således kan handle i ide, hvis vi ser, a beingelserne for udviklingen af en epidemi er il sede. Modellen skal, om man så må sige, bibringe os en indsigsfuld handleparahed. Hvis vi skal udale os om de i virkeligheden re komplierede proesser, som er involvere i sygdomsspredning, må vi i førse omgang se nærmere på differenialligningerne: De følger af ligningen for ilvæksen i individanalle i gruppen, a > 0 hvis sygdommen er i udvikling. De vil sige > 0 og alså >, hvor udryk for den relaive removalrae, som er forholde mellem removalrae og infekionsraen. Disse resulaer giver os nem den vigige ærskelsæning: er e Tærskelsæningen: Der opsår en epidemi, hvis begyndelsesværdien for anal modagelige, 0, oversiger den relaive removalrae. 0 0 > T > 1 17
hvor T er den såkalde reprodukionsrae. Denne vigige parameer udrykker, hvor mange individer, den infierende når a smie, inden vedkommende selv bliver resisen og således ikke længere er smiefarlig, under anagelse af a alle i befolkningen er modagelige. Hvis man kender sygdommens infekionsrae og removalrae, giver modellen alså e direke anvendelig udryk for, om en given befolknings gruppe vil udvikle en epidemi, med mindre der sæes relevane ilag i værk. Med relevane ilag menes handlinger, der har il hensig a begrænse smiespredning, dvs. isolaion af infierende individer, sygdomsbehandling, syrkelse af immunforsvare hos risikogrupper o. lign. Af udrykke ses de også, a jo sørre en befolkning er, deso mere sårbar er den for epidemier. De kan forklares med, a smiespredningen er sørre i en sor befolkning end i en lille, fordi sandsynligheden for konak mellem e infierende og e modagelig individ øges med befolkningsalle. De giver alså mening, a isolere grupper af befolkningen og dermed undgå eller begrænse konaken mellem individerne. Dee kan naurligvis være yders problemaisk i områder af verden, hvor de soiale og saniære forhold er kaasrofale, og hvor mennesker og dyr lever mellem hinanden uden ag over hovede. Udrykke viser desuden, a hvis man reduerer infekionsraen og/eller øger removalrae der i modellen anages a være konsane, så mindskes risikoen for a en given befolkning overskrider ærsklen for epidemiens udvikling. Tærskelværdien er e begreb, der både indeholder informaion om sygdommens spredningsevne, men også om befolkningens sygdomshisorie. En forenkling af ærskelsæningen, hvor man anager a hele befolkningen er modagelige ved epidemiens sar, alså a 0, R0 0 og 0 <<, giver følgende udryk for smisomheden: > 1. De er e udryk, der kun indeholder oplysninger om konakraen og removalraen. Epidemiens forløb om sag, er en noge kompliere funkion, der opfører sig forskellig under forskellige beingelser, dog alid il slu gående mod 0. Dee afsni prøver vi yderligere a beskrive. ogle gange er en afagende funkion i hele idsinervalle, men de er hvis der ikke opsår en epidemi, 18
alså hvis 0 er mindre end ærskelfrekvensen. De beyder a er en afagende funkion hvis 0 <. Hvis derimod 0 >, alså 0 er sørre end ærskelfrekvensen vil der opså en epidemi. vil i dee ilfælde sige il en maksimumværdi, hvorefer den vil være afagende. Denne maksimumværdi for vil indræde il de idspunk, hvor en epidemi ikke længere er il sede., dvs. når beingelserne for Formen på, speiel nær endepunkerne, kan i ilfælde af en epidemi yderligere beskrives på følgende måde. Vi må forvene, a er en konsan for < 0. Da vi også ved, a / og er konsane, kan vi alså i ligningen berage som en konsan k 1. Dermed har vi alså, a k1. Denne simple differenialligning har som bekend løsningen eksponeniel i saren af en epidemi. Omvend vil de i sluningen af en epidemi gælde, a dee ilfælde vil vi få en ny konsan: 1 k 1 e. De vil sige, a vil sige < og går mod en konsan. k2. Denne konsan vil være negaiv, ide k 2 < 0 og vi vil derfor få en eksponeniel afagende funkion 2 k 2 e. Dee vil alså beyde, a analle af infierede og infierende individer vil afage eksponeniel i sluningen af en epidemi. Vainaion De anagelser, der blev gjor under gennemgangen af R-modellen gælder sadig her. Vi vil undersøge, hvordan epidemimodellen ser ud, når vi anager, a en vis proendel af individerne er 19
vainere mod sygdommen, som de er ilfælde for børnesygdomme som for eksempel mæslinger, fåresyge og røde hunde MFR-vainen. Vi anager a en brøkdel, p, af individerne vaineres før sygdommen bryder ud. R-modellen kan anvendes med de samme anagelser som i de foregående, men med nye begyndelsesbeingelser. åledes er begyndelsesværdien af anal modagelige individer 0 1-p 0. Anal infierede og infierende individer er ved sygdommens sar sadig 0 0. Analle af immune individer er R 0 R 0 + p 0 ved saren af den mulige epidemi. Bemærk a de oale anal individer sadig er, ide 0 + 0 + R 0 1-p 0 + 0 + R 0 + p 0. Tærskelværdien, der som nævn, udrykker hvor mange individer, der smies af den infierende, inden vedkommende bliver resisen, er med de nye begyndelsesværdier give ved: 1 p 0 T. Denne værdi er dermed reduere med en fakor 1 p i forhold il ærskelværdien for Rmodellen uden vainaion. Da de infierede individer, dermed smier færre individer, før de bliver resisene, er vainaion, som forvene, e god ilag mod udviklingen af en epidemi. Med hensyn il den omsride MFR-vaine, er vurderingen fra aens erum nsiu da også, a vainen har virke posiiv på folkesundheden. iden 2003 er der ikke konsaere nogen ilfælde af mæslinger, og siden samme år er der heller ikke regisrere nogen ilfælde af røde hunde bland gravide og nyføde. KOKLUO opgaven har vi berage R-modellen og opsille en række eksempler il a illusrere sammenhængen mellem de indgående paramere. Der er gjor en række anagelser for a kunne opnå en relaiv simpel maemaisk model il beskrivelse af en epidemis udvikling. En række af disse anagelser vil naurligvis ikke være opfyld i de flese virkelig forekommende populaioner, og modellen er dermed a berage som en forsimpling af virkeligheden. De a opsille modeller for fænomener, hvor komplierede forhold som f.eks. menneskers adfærd spiller ind, må vi berage som yders vanskelig. En adækva maemaisk beskrivelse af epidemiers udvikling vil nok aldrig 20
hel kunne lade sig gøre. kke deso mindre mener vi, a modellen giver en udmærke forsåelse af hvilke fakorer, der spiller ind i forhold il udviklingen af en epidemi. Vi har alså funde, a er en afagende funkion, der med iden sabiliseres, og med iden går mod en konsan værdi k. R er omvend en ilagende funkion, der med iden sabiliseres og med iden går mod en anden funkion give ved -k., der beskriver forløbe af smiende/smiede, vil med iden gå mod 0. Hvis 0 er mindre end eller lig den relaive removalrae, vil være afagende i hele inervalle, og der opsår ingen epidemi. Hvis omvend 0 er sørre end den relaive removalrae, vil førs vokse, indil er lig den relaive removalrae, hvorefer den igen vil være afagende. de sidse ilfælde er der alså ale om en epidemi. vil i dee ilfælde i begyndelsen vokse ekspoeniel og il sids afage ekspoeniel. 21