Studieretningsprojekt

Transkript

1 Studieretningsprojekt Differentialligninger og tungmetaller Af Simon Klinge Nielsen HTX-Esbjerg Matematik A & kemi A Vejledere: Helle Kruchov Laursen Sonja Poulsen y = h(x) g(y) Periode: 11/ / Afleveres: 18/ Side 1 af 26

2 Abstract In this assignment, I have been working with differential equations and heavy metals. My problem statement was to describe the differential equations and to prove solution methods. I should also set up a model, with differential equations, which could describe a pollution of a biotope. I should explain what is meant by spectrophotometry and Lambert-Beer s law. Finally I should explain why atomic absorption spectrophotometry is particular suited to heavy metals. I found out, that a differential equation is an equation that contains a derivative. There are a lot of different types of differential equations. I described those that were relevant to my assignment. I managed to set up a model for a lake, contaminated with nickel. Spectrophotometry is a chemical analysis method which is based on colors and color intensities. Lambert-Beer s law describes a connection between absorption and concentrations. The reason why atomic absorption spectrophotometry is particular suited to heavy metals, is that a high proportion of the metal is on the atomic form at a high temperature, and therefore a large part of the light beam energy is absorbed. Indholdsfortegnelse Abstract... 2 Indledning... 3 Problemformulering... 3 Opgaven... 4 Matematik... 4 Differentialligninger... 4 Løsning af differentialligninger... 6 y = gx... 6 y = hx g(y)... 7 y = k y... 9 y = b ay Modelopstilling via differentialligninger Forurening af sø Rensning af sø Kemi Spektrofotometri Lambert-Beers lov AAS-metoden Konklusion Kilder tegn u. mellemrum/2000 = 15,06 normalside Side 2 af 26

3 Indledning Denne opgave omhandler differentialligninger og tungmetaller, hvor modelopstillinger med differentialligninger indgår. Jeg er meget interesseret i naturen, hvilket betyder at jeg har drejet opgaven i en retning så emnet er interessant for mig. Jeg synes det er fascinerende, at man via matematiske ligninger kan opstille en model, som eksempelvis beskriver, hvordan en biotop forurenes over tid, når den bliver påvirket af visse faktorer. Ligeså spændende er det at se, hvordan modellen ændrer sig, hvis parametrene, som modellen bygger på, ændres. I opgaven vil jeg bearbejde differentialligninger generelt, og undersøge hvordan forskellige typer, af disse ligninger, kan løses analytisk. Jeg vil også beskrive, hvordan modeller af scenarier fra dagligdagen, kan opstilles via differentialligninger. Jeg har som mål, at opstille en model, som beskriver forureningen af en sø, samt rensningen af samme. I opgaven vil jeg endvidere undersøge, hvordan forureningen af tungmetaller, kan analyseres kemisk via metoden atomabsorptionsspektrofotometri (AAS). Opgaven vil ikke omhandle numeriske løsningsmetoder af differentialligninger, ligesom jeg heller ikke vil beskrive alle slags differentialligninger og deres løsningsmetoder. Jeg arbejder kun med de differentialligninger, som er relevante for forståelsen af differentialligningsbegrebet og som er relevante for min opgave. Da opgaven omhandler differentialligninger, vil jeg ikke bevise og beskrive integrationstekniker samt øvrige regneregler, som jeg inddrager i opgaven, men blot nævne disse. Problemformulering Differentialligninger er et vigtigt matematisk redskab, når det handler om at beskrive naturvidenskabelige fænomener. Forklar hvad man forstår ved begrebet differentialligning. Redegør for hvordan forskellige typer af differentialligninger kan løses analytisk. I naturvidenskab anvender man bl.a. differentialligninger til at opstille en model af en virkelighed. Du skal vise et eksempel på, hvordan man kan opstille en differentialligningsmodel for en biotop som forurenes af et tungmetal, herunder skal du redegøre for opstilling af modellen samt dens løsning. Side 3 af 26

4 Undervejs i forløbet udtages prøver fra biotopen. Disse prøver analyseres for indhold af tungmetal ved analysemetoden AAS Redegør kort for begrebet spektrofotometri, herunder Lambert- Beer s lov. Beskriv hvordan analysemetoden AAS ( AtomAbsorptionsSpektrofotometri ) virker og hvorfor denne er anvendelig til bestemmelse af tungmetaller. Opgaven Jeg har opbygget opgaven, så den starter med generel teori omkring differentialligninger. Herefter har jeg redegjort for forskellige typer af differentialligninger, samt løsningsmetoderne for disse. Efter dette afsnit omhandlende differentialligninger generelt, har jeg vist, hvordan en model baseret på en sø forurenet med nikkel, kan opstilles via differentialligninger. Metoden til opstillingen er bygget på massebalance. Jeg har opstillet en model for forureningen af søen, samt en model der viser rensningen samme sø. I min kemidel har jeg redegjort for begrebet spektrofotometri samt Lambert-Beer s lov. Herefter har jeg arbejdet med analysemetoden atomabsorptionsspektrofotometri, om hvordan denne virker, og hvordan den kan have relevans for søen, jeg beskrev i matematikdelen. Matematik Differentialligninger 1 I hverdagen møder vi mange eksempler på differentialligninger. Med ligningerne kan man opstille modeller, der kan beskrive mange ting såsom befolkningsvækst, reaktionshastigheder, nedbrydningsprocessers hastighed og mange andre ting. Fælles for dem er, at de beskriver udviklingen af en funktion, hvad enten den er positiv eller negativ. I differentialligninger indgår altid en differentialkvotient. Differentialkvotienten beskriver tangenthældningen til en funktion, og det er derfor at en differentialligningen beskriver en udviklingshastighed for en funktion. Differentialkvotienten kan skrives på mange måder: dy dx = y = f (x), men alle er de et aflede til en funktion. Der findes mange forskellige typer af differentialligninger. Man inddeler disse i ordner. En 1 Differentialligninger: Madsen, Preben. Erhvervsskolernes forlag, Teknisk matematik 3, s Side 4 af 26

5 differentialligning af 1. Orden, indeholder en differentialkvotient til en funktion: dy dx = y = f (x). En differentialligning af 2. Orden indeholder differentialkvotienten til en differentialkvotient, altså det dobbelte aflede. Skrivemåden for det dobbelte aflede er: d2 y dx 2 = y = f (x). En differentialligning kan indeholde flere differentialkvotienter, men navngives altid efter den højeste orden der forekommer i ligningen. Når man løser differentialligninger ønsker man ofte at finde y, som er den funktion der indsat i differentialligningen opfylder denne. Når en løsning til en differentialligning indtegnes som graf, kaldes denne for en integralkurve eller en løsningskurve. Denne kurve vil give et grafisk overblik over udviklingen af en funktion. Til differentialligninger findes et uendeligt antal løsninger. Dette fremkommer at, at differentialligninger løses via integralregning. Og til et ubestemt integral vil der altid komme en konstant, k. Kender man en specifik værdi, som funktionen skal antage til et bestemt tidspunkt kan man bestemme konstanten. En løsning, hvor man ikke kan et koordinatsæt til funktionen, kaldes det fuldstændige integral eller den fuldstændige løsning. Kender man derimod et punkt på løsningskurven har man en specifik løsning også kaldet et partikulært integral. Har man en differentialligning, kan man danne sig et overblik over dennes løsningskurves forløb via linjeelementer. Linjeelementer indeholder et koordinatsæt, men samtidig beskriver det også tangenthældningen til dette koordinatsæt. Tangenthældningen, eller differentialkvotienten, symboliseres via α, og et linjeelement skrives derfor således: (x, y; α). En anden skrivemåde er: (x 0, f(x 0 ); f (x 0 )) Et eksempel kunne være differentialligningen: y = 4x 3. Man udvælger et vilkårligt punkt: (x, y) = (2,1). I dette punkt bestemmes tangenthældningen ved at indsætte x-værdien i differentialkvotienten: y = = 32. Dette medfører at linjeelementet bliver (2,1; 32). Således kan en rækken linjeelementer beregnes og indtegnes i et koordinatsystem, hvorved man kan danne sig et indtryk af løsningskurvens udvikling. Måden man indtegner linjeelementer på, er som en kort linje der har hældningen α i det givne punkt. Ved almindelig funktionsteori snakker man om definitionsmængder for funktioner, altså de x-værdier som en funktion kan antage. Når man snakker differentialligninger, indføres et udtryk der hedder definitionsintervaller. Disse intervaller beskriver, hvori en graf i en løsningskurve er kontinuer, altså intervaller, hvor alle x-værdier for funktionen kan antages. Et eksempel kan være med Side 5 af 26

6 differentialligningstypen y = f(x), hvor f(x) = 7x + 8. Her er der ingen x-værdier som funktionen f(x) ikke kan antage, og derfor bliver definitionsintervallet I: x R. Har vi derimod en funktion g(x) = 2 3 x så kan funktionen ikke antage x-værdien 3, da nævneren i brøken så vil blive lig nul, hvilket ikke er muligt så x 3. Derfor bliver der to intervaller for denne funktion I 1 : x < 3 og I 2 : x > 3. De to intervaller kan også ses ud af grafen for denne funktion, som er vist her til højre: Løsning af differentialligninger Som tidligere nævnt findes der mange forskellige typer af differentialligninger. I dette afsnit vil jeg redegøre for løsningsmetoder af forskellige typer differentialligninger. Jeg vil holde mig til ligninger af 1. Orden og hvordan disse løses analytisk. Differentialligninger kan også løses via numeriske metoder, men disse udelader jeg i denne opgave. y = g(x) 2 En type af differentialligninger er y = g(x), x I. Altså differentialkvotient af y lig med en funktion af x. Denne type kan løses ved at ophæve differentialet, hvilket gøres ved at integrerer funktionen g(x), og derved bestemme y. Til et eksempel tager vi udgangspunkt i samme funktion, som blev brug tidligere: f(x) = 7x + 8, x I. For at finde den fuldstændige løsning skal vi integrere f(x), hvorved vi den generelle løsningsformel kan opskrives: y = f(x)dx = F(x) + k, hvor F(x) er stamfunktion til f(x) Eksempel: y = 7x + 8dx = 7 2 x2 + 8x + k, I: x R. Dette er bestemt Integrationsregneregler f(x) F(x) A ax Ax a*x n+1 /n+1 via integrationsregnereglerne. Løsningen vi har fået, er den fuldstændige løsning, da konstanten k er ukendt. Definitionsintervallet er x R da y kan antage alle x-værdier. Havde vi for eksempel vidst at løsningen skal antage funktionsværdien 4 ved x-værdien 2, (2,4), kunne vi bestemme den specifikke løsning ud fra den fuldstændige løsning: 2 Differentialligninger af typen y = g(x), Madsen, Preben. Teknisk matematik 3, s Side 6 af 26

7 y = 7 2 x2 + 8x + k, x R, så indsætter vi koordinaterne i løsningen, hvorved vi har en ligning med én ubekendt, k, som kan bestemmes: y = 7 2 x2 + 8x + k 4 = k k = 26 Så den specifikke løsning for differentialligningen y = 7x + 8, der går gennem punktet (2,4) er y = 7 2 x2 + 8x 26, x R. Et andet eksempel, hvor definitionsintervallet ikke er x R. Differentialligningen: y = x 7 Definitionsinterval fastlægges: I: x 7 Omskriver: y = x 7 dx = (x 7) 1 2dx Integrerer via substitutionsmetoden: u = x 7 Bestemmer u du = 1Bestemmer differentialet af u, du du dx Integrerer med hensyn til u = 1 dx = du Bestemmer udtryk for differentialet af x, dx. Indsætter udtrykket for u (u) 1 2du = u k = u3 2 + k y = 2 3 (x 7)3 2 + k, I: x 7 Hermed har vi den fuldstændige løsning Denne type af differentialligninger er en af de mest simple vi har. y = h(x) g(y) Ser vi derimod på typen y = h(x) g(y) så er løsningsmetoden noget mere kompliceret, da denne har to variable; x og y. Løsningsmetoden kaldes separationsmetoden. Metoden bygger på at samle variablerne på hver side af lighedstegnet. Side 7 af 26

8 Vi benytter dy dy som udtryk for differentialkvotienten, og får derved ligningen: = h(x) g(y). Vi dx dx betragter dy som en brøk, hvilket ikke er korrekt, da det er et udtryk for den afledede funktion. dx Vi omskriver ligningen ved at dividerer g(y) på begge sider og får: For at komme videre substituerer vi leddet 1 g(y) 1 dy g(y) dx = h(x). med dg(y) dy, hvor G(y) er stamfunktion til 1 g(y) Nu kommer ligningen til at se således ud: dg(y) dy = h(x). Via brøkregneregler kan man omskrive dy dx ligningen således: dg(y) dx = h(x). Denne ligning svarer nu til formen y = g(x), så vi kan løse den via metoden vi tidligere anvendte, hvorved vi får: G(y) = h(x)dx. Da vi tidligere bestemte at G(y) er stamfunktionen til 1 g(y) 1 kan vi indsætte leddet dy i stedet for G(y), hvorved ligningen kommer g(y) til at se således ud: 1 dy = h(x)dx. Hermed er separationsmetoden færdig, da vi har afskilt g(y) variablerne x og y. Forudsætningerne for separationsmetodens anvendelse er, at h er kontinuer i intervallet I, mens g er kontinuer og har konstant fortegn i intervallet J. Ser vi på et eksempel: Differentialligningen: y = y 5x Bestemmer h og g, og indsætter i løsning via separationsmetode: Fastlægger intervaller: h(x) = 5x og g(y) = y 1 dy = 5x dx y I: x R J 1 : y < 0 J 2 : y > 0 Da y står i næveren må denne ikke give nul, og derfor får vi to definitionsintervaller, hvor y er større Integrerer: Isolerer y: og mindre end nul. h(x) kan antage alle x-værdier. ln(y) = 5 2 x2 + k Anvender potensregnereglen: a r a s = a r+s Side 8 af 26

9 y = e 5 2 x2 +k y = e 5 2 x2 e k Omskriver ligning: Da e er en konstant og k er en konstant, kalder jeg leddet e k = c, hvilket giver mig ligningen: y = e 5 2 x2 c, x R, y < 0, y > 0 Dermed har jeg fundet den fuldstændige løsning for differentialligningen y = y 5x. Med separationsmetoden kan vi løse mange former for differentialligninger. Jeg vil koncentrere mig om yderlige to typer, y = k y og y = b ay, da disse to kan er egnet til at beskrive modeller i virkeligheden: y = k y 3Det gælder for denne type, at konstanten k ikke må være lig nul. Med udgangspunkt i separationsmetoden fastlægges g(y) og h(x). g(y) sættes til y, mens h(x) er konstanten k. Nu indsættes de to funktioner i løsningsmodellen fra separationsmetoden, hvorved vi får: 1 dy = k dx y Så fastsættes definitionsintervallerne. y må ikke antage værdien nul, da den står i nævneren, som ikke må være nul, så derfor fremkommer følgende intervaller: J 1 : y < 0 J 2 : y > 0. Nu integreres der på begge sider af lighedstegnet: ln(y) = k x + k 1 y isoleres, men der tages forbehold for de to intervaller, hvor y skal være større eller mindre end nul. y > 0 y < 0 y= e k x+k 1 y = e k x+k 1 y = e k x e k 1 y = e k x e k 1 Ligesom tidligere erstattes e k 1 med konstanten c i de to løsninger. y = e k x c y = e k x c For at undgå den negative y-værdi i løsningen, hvor y skal være mindre end nul, kan konstanten c gøres negativ, hvorved vi får at c < 0. Dette gælder da e k x altid vil give et positivt tal, uanset hvilken x-værdi der indsættes. Produktet af e k x c, hvor c-værdien er negativ vil derfor give et 3 Differentialligninger af typen y = k * y, Madsen, Preben. Teknisk matematik 3, s Side 9 af 26

10 negativ resultat, og derved y < 0. Løsningen hvor y skal være større end nul, kan vi fastslå intervallet c > 0. y = e k x c, c > 0 y = e k x c, c < 0. Ser vi på et eksempel med differentialligningen 5y = 25y, hvis løsningskurve skal gå gennem punktet (1,140) løses den sådan: y isoleres: 5y = 25y y = 25 y = 5y 5 Da y i vores løsning er 140 skal y > 0, bliver løsningen således, når konstanten k = 5 indsættes i løsningsmodellen: y = c e 5x, c > 0 For at finde den specifikke løsning indsættes punktet, hvorved c beregnes: c = 140 e 5 = 0, = c e 5 1 Dermed bliver løsningen for differentialligningen 5y = 25y: y = e 5 x 0,9433, x R, y > 0 Løsningskurven for denne ligning er indtegnet til højre herfor: Det kan ses at væksten er uhæmmet og c-værdien angiver skæring med y-aksen. Dette kan ses ud fra forskriften, hvis x-værdien nul indsættes: e 5 0 = e 0 = 1, og 1 c = c Ser vi generelt på typen y = k y så vil funktionsværdien altid stige eller falde uhæmmet, da x- værdien står i potens og derfor altid vil forøge værdien. Denne type er derfor ikke god til at beskrive kemiske/biologiske modeller, da disse ofte afhænger af mange faktorer, og derfor vil nå et maksimum. Det kan vi blandt andet se på eksemplet, som senere skal behandles i opgaven. En sø der har et tilløb og et udløb, hvor vandgennemstrømningen er den samme i begge vandløb. Søen bliver forurenet af tilløbet, hvilket vil sige at søen aldrig blive mere forurenet end forureningskilden, altså tilløbet. Dette eksempel kan derfor ikke beskrives med ovenstående type differentialligning. Derfor har man udviklet en differentialligning, hvis løsning kan tilnærme sig en bestemt funktionsværdi, altså kurven får en vandret asymptote. Side 10 af 26

11 Selve differentialligningen er opbygget sådan: y = b ay, altså to konstante, a og b, samt den variable y. y = b ay 4 Løsningsmodellen til denne type af differentialligning bevises her. Den bygger på separationsmetoden, som er gennemgået tidligere. Differentialligningen: Omskriver ligningen: Omskriver igen: dy = b a y, a 0 dt dy = (b a y) 1 dt 1 dy = 1 dt b a y Integrerer på begge sider af lighedstegnet via integrationsregnereglen: F(x) = k f(x) = k x + k dy = t + k b a y Da vi umiddelbart ikke kan integrerer venstre side af lighedstegnet anvender vi substitutionsmetoden, som tidligere er beskrevet. Bestemmer u: Bestemmer differentialkvotienten til u: Bestemmer udtryk for dy: Indsætter udtryk i ligning: u = b a y du dy = a du = a 1 du = dy dy a 4 Differentialligninger af typen y = b ay: Clausen, Flemming all. Gyldendals Gymnasiematematik grundbog A. s Side 11 af 26

12 Sætter konstanten uden for integrationstegn: 1 u 1 du = t + k a 1 a 1 du = t + k u Integrerer med hensyn til u, via integrationsregnereglen 1 ln (x): x Indsætter u-værdien i ligningen: 1 ln (u) = t + k a 1 ln (b a y) = t + k a Ganger hvert led med værdien a, for at fjerne brøk: ln(b a y) = a t + k ( a) Omskriver og da a k er produktet af to konstanter skrives denne blot som en ny konstant k 2 : ln(b a y) = a t + k 2 Opløfter hver side i e for at fjerne den naturlige logaritme: e ln(b a y) = e a t+k 2 b a y = e a t e k 2 Isolerer y ved at substituerer b på hver side, hvorefter jeg dividerer med a i hvert led: Omskriver ligning. Brøken ek 2 c: y = e a t ek 2 a b a a består udelukkende af konstanter, derfor omdøber jeg denne ek 2 a = y = e a t c + b a y = b a + c e a t, a 0 Dermed er løsningsmetoden for differentialligningen af typen y = b ay bevist. Grunden til at a ikke må antage værdien nul, er at den under udledning fremkommer som nævner, hvilket den også gør i løsningsformlen, og derfor må den ikke antage værdien nul. Herunder vil jeg gennemgå et eksempel, hvor denne type differentialligning løses. Differentialligningen y = 2 0,5 y er givet. Dennes løsningskurve skal gå gennem punktet (0,0): Bestemmer konstanterne a og b: a = 0,5 b = 2 Indsætter punktet (0, 0) i løsningsmetoden for denne type differentialligning: y = b + c a e a t 0 = b + c e a 0 a Side 12 af 26

13 Omskriver ligning. e a 0 = 1 da e 0 = 1: 0 = b + c b = c a a Indsætter udtryk for c i løsningsmetoden: y = b b a a e a t y = b (1 a e a t ) Bestemmer værdi for b a : 2 0,5 = 4 Indsætter værdi for b a i løsningsformel: y = 4 (1 e 4 t ) Hermed er den specifikke løsning for differentialligningen y = 2 0,5 y der går gennem (0,0) fundet, og løsningskurven er indtegnet til højre herfor. Som det kan ses på løsningskurven vil funktionen nærme sig en vis funktionsværdi når t. Man kan meget simpelt bestemme denne værdi, der fungerer som en vandret asymptote for funktionen. 5 Ser vi på parentesen (1 e 4 t ) i funktionsudtrykket, så vil leddet e 4 t gå mod nul, hvilket kan skrives således: lim t e 4 t 0. Når dette led bliver nul, vil funktionsudtrykket kunne skrives således: y = 4 (1 0) = 4, hvilket svarer til b. Så generelt for løsningerne af differentialligningerne af a typen y = b ay vil b være lig med den vandrette asymptote for funktionen. a Modelopstilling via differentialligninger Som tidligere omtalt kan differentialligninger hjælpe med at beskrive væksthastigheden for alle mulige fænomener i vores verden. Jeg vil arbejde med et eksempel, hvor en sø bliver udsat for forurening af tungmetallet nikkel. En sådan model vil bygge på, at noget tungmetal føres ind i en ren sø, hvorved det blandes op med det rene vand samtidig med, at der løber noget tungmetal ud af søen igen. På et tidspunkt vil søen opnå en forureningsgrad, der svarer til den, der indføres via 5 Vandret asymptote: Carstensen al. MAT B til A, Systime, 2. Udgave. S Side 13 af 26

14 tilløbet. Når dette tidspunkt nås er forureningen i tilløbet lig forureningen i udløbet, og koncentrationen af tungmetal vil være den samme i tilløb, søen og udløbet. Under hele forureningsforløbet gælder massebalancen. Massebalancen er en lov der siger, at massen altid er konstant. Masse forsvinder ikke eller dannes ud af den blå luft. Der kan selvfølgelig ske en produktion, eksempelvis algeproduktion i en sø, men dette sker ikke i tilfældet med tungmetaller. Loven for massebalance lyder: Massebalance: Ind + Produceret = Ud + Akkumuleret Forurening af sø I mit eksempel med søen der bliver forurenet med nikkel, er Ind lig med forureningen i tilløbet til søen. Der er ikke noget tungmetal der bliver produceret i søen, og derfor er denne faktor lig nul. Ud er lig med den forurening der løber væk fra søen. Den akkumulerede værdi er lig med ophobningen/ændringen af tungmetallet, hvilket kan skrives som dy. Ud fra min model skal man kunne se forureningsindholdet af tungmetal i søen over tid. Ud fra min model vil jeg bestemme, hvornår grænseværdien for nikkel i vand nås. 6 Grænseværdien for nikkel i overfladevand er 160 µg/l. For at opstille en model fastsætter jeg nogle værdier for de forskellige faktorer. Forureningen stammer fra et vandtilløb til søen. Søen indeholder L rent vand. Det lille vandløb, som tilfører vand til søen, har en vandgennemstrømning på 9 L s, og vandet der tilføres indeholder 17 mg L. Udløbet fra søen fører den samme vandmængde væk som tilløbet fører ind, det vil sige 9 L s, så vandstanden i søen er den samme hele tiden. Hvis mængden af vand der bliver ført ind ikke er lig mængden der bliver ført ud, vil vandmængden i søen ændres. Herunder er der indtegnet en model af søen med tilløb og udløb. 6 Grænseværdi for nikkel: Side 14 af 26

15 Tungmetalsmængden vil jeg have i enheden milligram (mg). Indholdet af tungmetal i søen betegner jeg som y(t), så enheden for y(t) er milligram (mg). For at finde, hvor meget tungmetal der er i én liter vand ( mg y(t) ) i søen opstiller vi = L V søen y(t) L. Derfor er den tungmetalsmængde, der føres ud af søen lig med tungmetalsmængden pr. liter søvand * antal liter der føres ud, hvilket kan skrives således: y(t) 9 L. Nu kan massebalancen opstilles: L s 9 L s mg y(t) 17 dt = L L 9 L dt + dy s Jeg omskriver ligningen ved at gange brøker sammen: 9 17 mg s dt = 9 y(t) dt + dy s Jeg dividerer med dt i alle led, for at få ændringen af tungmetal pr. tid, dvs. dy dt : Jeg isolerer dy dt i ligningen: 153 mg s = 9 y(t) s + dy dt dy dt mg = y(t) dy mg = y(t) s s dt s s Jeg har nu en differentialligning af typen y = b a y. Enheden mg er gældende i begge led, da s y(t)har enheden mg som deles med s, altså mg 9. Konstanterne a og b er lig: b = 153og a =. s s Jeg ved at søens vand var rent, før forurenings start, dvs. til tiden t = 0 er y(0) = 0, og derfor må løsningskurven for differentialligningen gå gennem punktet (0,0). Dette punkt indsætter jeg i løsningsmetoden for differentialligningen af typen y = b a y, hvorved jeg får: Side 15 af 26

16 Omskriver ligning. e a 0 = 1 da e 0 = 1: Indsætter udtryk for c i løsningsmetoden: Bestemmer værdi for b a : Indsætter værdi for b a i løsningsformel: y(t) = 5, mg (1 e s t ) y = b + c a e a t 0 = b + c e a 0 a 0 = b a + c b a = c y = b a b a e a t y = b a (1 e a t ) 153 mg s = 5, mg s Nu er modellen for søen opstillet og løsningskurven der beskriver tungmetalindholdet i søen (milligram) som funktion af tiden (sekunder) er indtegnet til højre herfor. Som vi tidligere har fastlagt vil funktionsværdien nærme sig b værdien, som er en a vandret asymptote, hvilket også fremgår af løsningskurven, da funktionen nærmer sig værdien 5, mg. For at beregne hvornår grænseværdien for nikkel nås, skal jeg bestemme, hvor meget nikkel der skal være i søen, før grænsen på 160 µg/l nås. Dette gøres på følgende måde. Vi kender volumen af søen, x μg L. Vi kan opstille følgende ligning: = 160 μg L L μg x μg = L = L 5, μg = 5, mg. Så når der er 5, mg nikkel i søen er grænseværdien nået. Jeg bestemmer til hvilket tidspunkt denne mængde er nået, ved at sætte y(t) = 5, hvorved t 36774,6s = 36774, grænseværdien for nikkel nået. = 25,54 døgn. Så efter 25,54 døgn med forurening fra tilløbet er Side 16 af 26

17 Rensning af sø Nu vil jeg opstille en model, der beskriver rensningen af den samme sø efter nikkelforureningen. Man har påvist forureningen i tilløbet og renset denne, men i mellemtiden er vandgennemstrømningen i tilløbet faldet til 8 L s, hvilket også er gældende for udløbet. Dermed er der følgende faktorer: V søen = L. Nikkelforureningen er 5, mg. Udløb: 8 L s y(t) L. Indløbet bidrager ikke med noget nikkel, og da der ikke bliver produceret noget tungmetal i søen er venstre side af massebalancen lig nul. Herunder er der opstillet en model der viser faktorerne der nu påvirker søen. Massebalancen ser således ud: = 8 L s y(t) L dt + dy. y(t) er stadig en betegnelse for mængden af nikkel til tiden t, som har enheden milligram (mg). Ligningen omskrives og der divideres med dt i alle led for at få dy, hvorved ligningen ser sådan ud: = 8 L dt s s y(t) L dt + dy 0 = dy dy dy y(t) +. Hvis isoleres i ligningen fremkommer udtrykket: = 8 y(t). dt dt dt s Hermed har vi en differentialligning af formen y = k y, hvis løsningsmetode er udledt tidligere. dy dt = s y(t) Ud af ovenstående differentialligning kan vi fastlægge konstanten, k, som er s. Løsningsmetoden til denne type ligning er: y = e k x c, c < 0. Da vi ved, at søen indeholder 5, mg til tiden t 0 kender vi punktet (t 0 ; y(t 0 )) = (0; 5, ), som kan indsættes i løsningsmetoden og konstanten c kan beregnes: 5, = e s 0 c 5, = c. c- værdien indsættes i løsningsformlen, hvorved den specifikke løsning fremkommer: Side 17 af 26

18 y(t) = e s t 5, Løsningskurven der beskriver rensningen af søen er vist til højre herfor. Jeg vil nu beregne, hvornår nikkelindholdet i søen igen er overholdt i henhold til grænseværdien for nikkel der er 160 µg/l. Under den tidligere modelopstilling, beregnede jeg, at der måtte være 5, mg nikkel i søen, før nikkelgrænsen var opnået. Dermed sætter jeg denne funktionsværdi ind i min funktion der beskriver rensningen, for at bestemme tiden t til denne funktionsværdi. y(t) = e s t 5, , = e s t 5, , hvorved jeg bestemmer t i ligningen. Det medfører at y(t) = 5, t = 2, s = 38,84 år. Så først efter 38,84 år er tungmetalindholdet i søen nede på maksimumsgrænsen for nikkel i overfladevand, hvis startværdien for nikkel i søen var 5, mg. Kemi Spektrofotometri Spektrofotometri er en meget udbredt analysemetode indenfor fysik og kemi. Spektrofotometri bygger på farve og farveintensiteter. Grunden til at denne analyse er mulig, er at farvede stoffer absorberer synligt lys, hvilket er årsagen til, at de er farvede. Absorption afhænger af koncentrationen af stoffet. Jo mere koncentreret opløsningen er, altså jo flere molekyler, jo mere lys bliver der absorberet. Med spektrofotometri er det muligt at bestemme koncentrationer af opløsninger, ved at sammenligne farven af disse med opløsninger af samme stof, som har en kendt koncentration. Disse sammenligninger kan foretages visuelt med øjet, men dette kræver, at det testede stof har en synlig farve og stofkoncentrationerne er tilpas høje, så farveintensiteten er så høj, at det menneskelige øje kan se det. Denne fremgangsmåde er meget upræcis og begrænsende med hensyn til rækken af stoffer man kan undersøge. Derfor har man et instrument kaldet et spektrofotometer. Ideen bygger på, at man sender en lysstråle af hvidt lys gennem et gitter. Dette gitter opdeler det hvide lys i dets forskellige bølgelængder, hvorved farverne som det hvide lys består af, fremkommer på en række. Via en spalte kan man nu udvælge én farve, f.eks. grøn. En spalte sørger for, at lyset kun kommer igennem netop der, hvor det grønne lys er. Nu har man en lysstråle der består af én farve, såkaldt monochromatisk lys. Monochromatisk lys kender vi også fra laser, da denne kun består af én farve. Når man har udvalgt farven man vil undersøge for, sendes denne Side 18 af 26

19 gennem en kuvette, som indeholder en opløsning af det stof man vil undersøge koncentrationen af. En kuvette er en glasbeholder, som det monochromatiske lys sendes igennem. Efter lyset har passeret kuvetten registrerer en fotocelle intensiteten af lyset. 7 Hvis man har en blå opløsning er det ikke egnet at analysere denne med blåt monochromatisk lys, da blå ikke absorbere blå. Havde man analyseret den blå opløsning med den rette nuance af orange lys, ville alt lys blive absorberet. Det skyldes at blå er komplementærfarven til orange. Altså intet orange lys kan sendes igennem en blå opløsning. Det samme havde været gældende omvendt, med en orange opløsning og blåt lys. Komplementærfarver er bestemt ud fra farvecirklen, som er vist i figur 1 herunder. Komplementærfarver står diametralt overfor hinanden i cirkelen. Til en analyse i et spektrofotometer er det altid bedst med en farve, hvis bølgelængde har en høj absorption i den pågældende farve af analysens opløsning. Figur 1. Farvecirkel. Kilde: Hvis man undersøger absorbansen ved forskellige bølgelængder, dvs. forskellige lysfarver, kan man indtegne et absorptionsspektrum, der viser absorbansen som funktion af bølgelængden. Et sådant spektrum er vist i figur 2. Af kurven kan vi se, at det pågældende stof absorberer meget af det blå og røde lys, mens næsten intet af det grønne lys absorberes, derfor må stoffet være grønt. Figur 2. Absorptionsspektrum. Kilde: urvidenskab/fysik/svingninger_i_faste_stoffer,_v% C3%A6sker_mv./absorptionsspektrum 7 Spektrofotometri og komplementærfarver: Aurum 3, s Side 19 af 26

20 Princippet med absorberingen er vist i figur 3, hvor man kan se at det hvide lys spaltes, hvorefter det blå og det grønne monochromatiske lys, sendes gennem en grøn opløsning. Af figuren fremgår det at noget af det blå lys absorberes i den grønne opløsning, mens intet af det grønne lys absorberes i den samme opløsning. Figur 3. Absorbering af blåt lys. Kilde: Svante Åberg, Lambert-Beers lov 8 Loven er opbygget af J.H. Lambert og den tyske fysiker August Beer. Hele begrebet spektrofotometri hviler på Lambert-Beer s lov. Loven bygger på svækkelsen af stråling igennem en absorberende væske. Loven fortæller, at der er en sammenhæng mellem absorptionen, lysets vej og koncentrationen, og er givet ved: A = ε l [F], eller A = k l c. Absorbansen A er givet ved logaritmen til transmittansen T. Transmittansen er givet ved T = I I 0. I 0 er et udtryk for intensiteten af det lys, man sender igennem kuvetten uden stof, også kaldet referencen. I er et udtryk for intensiteten af lyset, når det sendes igennem kuvetten med stoffet. Forholdet mellem I og I 0 betegnes transmittansen. Kender man transmittansen kan absorbansen bestemmes. Der er ingen enhed for A. Ekstinktionskoefficienten, ε, afhænger af lysets bølgelængde, som anvendes til analysen, samt tykkelsen af kuvetten. Tykkelsen af kuvetten angives oftest i centimeter, cm, mens [F], som er koncentrationen af opløsningen i analysen, som regel har enheden molær ( mol L ). Da absorbansen ikke har nogen enhed, fordi lysintensiteten både indgår i tæller og nævner ved transmittansen, og denne er et produkt af tykkelsen af kuvetten, koncentrationen og ekstinktionskoefficienten, må enheden for ekstinktionskoefficienten være cm 1 M 1. 8 Lambert-Beer s lov: Simonsen, Flemming. Apparat-teknik, s Side 20 af 26

21 Ekstinktionskoefficienten kaldes også for den molære absorption koefficient eller absorbanindeks. Ekstinktionskoefficienten er en konstant, der kun afhænger af, hvilket stof man måler på. Hvis Lambert-Beer s lov er opfyldt, kan man indtegne en graf der viser absorptionen A som funktion af koncentrationen [F]. Grafen danner en ret linje, der går gennem punktet (0,0). Denne graf kaldes for en standardkurve. En standardkurv gælder kun for ét stof ved én lysvej (kuvette tykkelse). Hvis man bestemmer absorbansen via et spektrofotometer for en ukendt opløsning af et stof, kan man derved aflæse koncentrationen af stoffet i opløsningen 9. Et eksempel på en standardkurve kan ses i figur 4. AAS-metoden 10 AtomAbsorptionsSpektrofotometri er en metode Figur 4. Standardkurve. Kilde: der kan avendes til at bestemme koncentrationer af metalioner i en opløsning herunder tungmetaller. Der findes mange definitioner på tungmetaller, men det er en række af grundstoffer som har høj massefylde og fremstår som metaller ved stuetemperatur 11. Princippet i AAS-metoden fremgår af navnet, nemlig atomabsorption. Metalatomer der bestråles vil opfange noget af energien i strålerne, altså atomerne absorbere noget energi. Denne svækkelse af lyset kan hermed måles. Måden hvorpå AAS virker er: I en opløsning har man en ukendt koncentration af kendt type metalioner. Disse metalioner skal spaltes til enkelte atomer. Dette gøres ved, at opløsningen forstøves og pustes op i en brændende flamme. Når metalionerne opvarmes i flammen, bliver ionerne til atomer. Dette kan skrives som følgende reaktion, hvor m er ionen og x er tallet der angiver ladningen, som altid er positiv for metaller: m x+ + x e m. Nu da metalatomerne findes i flammen, sendes et lys med en bestemt bølgelængde, afhængig af metallet man undersøger for, gennem flammen. Nu vil atomerne exciteres med bestrålingen, hvilket vil sige at de opsluger noget af strålingsenergien. Så måler man lysintensiteten i strålerne efter de har passeret flammen, hvorved man kan bestemme, hvor mange atomer der er i flammen. Antallet af atomer kan nu sammenholdes 9 Standardkurve: 10 AAS-metoden: Simonsen, Flemming. Apparatteknik s Definition på tungmetal: Side 21 af 26

22 med volumen af den oppustede opløsning, hvorved man kan bestemme koncentrationen af metalionerne i den pågældende opløsning. Ser vi nærmere på omdannelsen af metalioner til metalatomer indstiller der sig en ligevægt mellem disse. Et eksempel fra Flemming Simonsens bog, Analyse-teknik, viser en ligevægt med calcium: Ca e Ca. Det viser sig at fordelingen mellem ioner og atomer, også kaldet exciterede atomer og atomer på grundform, forskydes kraftigt i grundformens retning når temperaturen øges. I calciums tilfælde er 99,99 % på atomform ved 2400 o C 12. Når metalatomerne opvarmes i flammen, vil nogen af disse exciteres på grund af flammens varme, og ikke som følge af lysstrålernes energi. Antallet af disse atomer er dog så forsvindende lille, at de ikke har nogen betydning for resultatet. Atomerne der exciteres som følge af varmeenergi, danner grundlag for metoden atomemission, som er en anden form for analyse. Denne metode vil jeg dog ikke beskrive. Grunden til at AAS-metoden er så velegnet til tungmetaller er så stor en del af metallet findes på atomform, hvor de kan exciteres og dermed måles i lysintervallet. 13 Apperaturet som skal anvendes til AAS er hulkatodelampe, atomiseringsenhed, monochromator og en detektor. Hulkatodelampen er lyskilden i forsøget. Inde i sådan i en lampe sidder en anode og en katode. Når man skal undersøge en opløsning for en bestemt metalart er det vigtigt at bruge lys der lige netop har den energi der skal til, for at atomerne exciteres. Det gøres ved at katoden konstrueres i den type metal, der skal undersøges for. Det betyder at man skal have mange forskellige hulkatodelamper, hvis man skal undersøge for andre typer metaller. Selve virkningen inde i lampen vil jeg ikke komme ind på. Atomiseringsenheden er blot et navn for brænderen samt forstøveren. Monochromatoren har til opgave at isolerer linjespektrummet som kommer fra lysrøret. Detektoren modtager signalet/lyset fra monochromatoren, hvorved energien i disse stråler bestemmes. Derved bestemmes absorptionen. Sammenhængen mellem lysstrålernes energitab og antallet af atomer kan beskrives via Lambert- Beer s lov, som vi tidligere har beskrevet. Absorbtionen er stadig angivet ved forholdet mellem lysintensiteten I 0 og I. En forskel er at lysvejen l ved AAS stort set er konstant, da denne afhænger af 12 Eksempel med calcium: Simonsen, Flemming. Analyseteknik s Apparaturets funktion: Simonsen, Flemming. Apparatteknik s Side 22 af 26

23 brænderens fysiske udformning. Derfor kan vi opskrive loven sådan: A = k c, hvor konstanten k er et produkt af lysvejen og ekstinktionskoefficienten. Derfor er k ikke den samme her, som i loven: A = k c l 14. Hvis vi ser på eksemplet med søen fra matematikdelen, så kan der løbende udtages prøver af søvandet. Disse prøver undersøges for nikkel, så man anvender hulkatodelampen med en katode opbygget af nikkel, og resten af AAS processen gennemføres. Herved kan man bestemme indholdet af nikkel i de forskellige prøver, og derved holde øje med, om nikkelkoncentrationen i søen falder eller stiger som forventet. Konklusion Jeg har nu redegjort for følgende typer af differentialligninger og bevist deres løsningsmetode. Differentialligning y'=g(x) y'=h(x)*g(x) y'=k*y y'=b-ay Løsningsmodel y= g(x) dx y= 1/g(y) dy= h(x)dx y= 1/y dy= k dx y= (b/a)+c*e^(-a*t) Jeg har endvidere opstillet en model over en sø, hvor følgende faktorer er gældende: Søen bliver forurenet af tungmetallet nikkel. Modellen viser forureningsmassen, som funktion af tiden. Differentialligningen samt dens specifikke løsning og løsningskurven er opstillet herunder: 14 Lambert-Beer s lov til AAS: Simonsen, Flemming. Analyseteknik s. 177 Side 23 af 26

24 9 L s Differentialligningen: mg y(t) 17 dt = L L 9 L dt + dy s Specifikke løsning: y(t) = 5, mg (1 e s t ) Jeg konkluderer, at der går 25,54 døgn, før grænseværdien for nikkel er oversteget, jævnfør ovenstående model. Følgende model beskriver rensningen af søen og bygger på følgende parametre: får differentialligningen: dy = 8 y(t)og den specifikke løsning: dt s y(t) = e s t 5, Løsningskurven: Side 24 af 26

25 Jeg konkluderer, at det vil tage 38,84 år før nikkelindholdet i søen igen er nede på grænseværdien, hvis startværdien for nikkel i søen var 5, mg. Jeg er nået frem til, at spektrofotometri bygger på farver og farveintensiteter, at man via et spektrofotometer kan bestemme absorptionen af lys gennem en opløsning, og derfra bestemme koncentrationen af en opløsning. Lambert-Beer s lov bygger på sammenhængen mellem lys absorbansen, koncentrationen og lysvejen. Loven er givet ved: A = ε l [F] eller A = k l c. Jeg vil til slut konkludere, at jeg finder metoden atomabsorptionsspektrofotometri velegnet til bestemmelse af tungmetaller, da andelen af atomer på grundformen i flammen, som anvendes til metoden, er meget høj. Lysstrålerne kan derfor excitere atomerne, og energien, som atomerne optager til exciteringen, kan måles i lysintensiteten, hvorved antallet af atomer kan bestemmes og koncentrationen kan udledes. Side 25 af 26

26 Kilder Bøger Carstensen al. MAT B til A, Systime, 2. Udgave. Clausen, Flemming al. Gyldendals forlag, 1. Udgave 2. Oplag, Gyldendals Gymnasiematematik grundbog A. Kristiansen, Kim Rongsted. L&R Uddannelse, 2008, Aurum 3, Kemi for gymnasiet 3 Madsen, Preben. Erhvervsskolernes forlag, 1997, Teknisk matematik 3. Simonsen, Flemming. Polyteknisk forlag, 3. Udgave 3. Oplag Apparat teknik Simonsen, Flemming. Polyteknisk forlag, 3. Udgave 3. Oplag Apparat teknik Hjemmesider Grænseværdi for nikkel: Miljøministeriet, faglig rapport, Miljøfremmede stoffer og tungmetaller i vand: Standardkurve: Forsøgsvejledning til spektrofotometer forsøg: Definition på tungmetal: Wikipedia: Side 26 af 26