Kan formler overraske?

Transkript

1 Kan formler overraske? Af Neli Demitrova Institute of Mathematics and Informatics Bulgarian Academy of Sciences 1 Introduktion I vore dage kan man se computerfremstillede fraktale mønstre alle vegne, lige fra digitalt design, der vrider sig på plakater til illustrationer i seriøse videnskabelige journaler. Der er fortsat stigende interesse for dette blandt videnskabsfolk og overraskende nok også hos kunstnere og designere. Denne artikel bidrager med eksempler på grafisk fremstilling af komplicerede og smukke strukturer der kan opstå ud fra selv simple ligninger. Fraktaler er geometriske objekter der sædvanligvis er resultat af iterativ og rekursiv brug af formler eller algoritmer, hvilket indebærer, at de ikke blot er statiske billeder, men skabt gennem en dynamisk proces. Tænk på de smukke former vi kan se i naturen: planter som resultat af deres dynamiske vækst; bjerge som resultat af fortidens tektoniske aktiviteter og erosionsprocesser. Det er nok ikke så vanskeligt at forestille sig, at hvis et system er beskrevet du fra komplicerede matematiske ligninger vil dets løsning også være kompliceret og uforudsigeligt. Det, der har overrasket de fleste forskere, er at selv simple systemer beskrevet med simple ligninger kan have "mærkelige" løsninger. Det berømteste eksempel er nok den såkaldt logistiske vækst, der optræder som model for udviklingen af en enkelt art i antal gennem tid, når der er et loft på, hvor mange individer der kan trives i et område. Det kan man læse mere om i [1]. Her skal vi se på systemer bestående af to ikke-lineære ligninger, der danner grundlag for itererede beregninger, dvs. beregninger hvor "outputtet" fra et givet trin bruges som "input" i næste trin og det er den samme formel der bruges igen (rekursion) - lige som terminsvis fremskrivning i rentesregning. Den slags systemer dukker for eksempel op i økologien, når man opstiller populationsmodeller for udviklingen af et antal af en rovdyrart i forhold til en byttedyrsart. To klassiske, såkaldt Lotka- Volterra modeller, præsenteres i afsnit 2. og bruges til at præsentere ideen bag begrænsede og stabile løsninger (såkaldte trajektorier eller baner) for sådanne systemer. Eksempler på generelle kvadratiske, kubiske og andre ikke-lineære iterations afbildninger præsenteres i de næste Afsnit 3, 4 og 5. Som grafikken vil vise afviger løsningerne her fuldstændigt fra dem der ses i Afsnit 2. Trajektorierne, der er begrænsede og ustabile beskriver plane figurer, der nærmest kan sammenlignes med kunstværker. Hvis du vil vide mere om egenskaber ved den slags løsninger for itererede afbildninger kan du læse Afsnit 6. Illustrationerne i denne artikel er udført med CASværktøjet Maple 13. Maple-kommandoer der frembringer nogle af billederne præsenteres i et appendiks til sidst. 2 Diskrete rovdyr-byttedyr modeller Lad os se på en model for den situation, hvor en dyreart æder en anden. I naturen kan det for eksempel være haj-byttefisk, los-snehare, mariehøne-bladlus, ulv-kanin. En forenklet model for denne situation, den såkaldte Lotka-Volterra model [2], ser således ud:

2 Her betegner p 1, p 2, p 3, q 1 og q 2 ikke negatige konstanter. x n og y n repræsenterer antallet af hhv. byttedyr og rovdyr i populationerne til tid n. Leddene, der optræder på højre side af ligningerne, har følgende biologiske betydning: (1 + p 1 )x n p 2 x n 2 repræsenterer den logistiske vækst af byttedyrene i fravær af rovdyr. p 3 x n y n og q 2 x n y n repræsentere vekselvirkningen mellem de to arter: byttedyrene taber og rovdyrene vinder ved vekselvirkningen. (1 q 1 )y n repræsenterer rovdyrenes uddøen i tilfældet af mangel på byttedyr. Der er tre bestemte udviklingstyper, der ofte observeres. I første tilfælde lever de to arter i harmonisk sameksistens. I naturen er det det mest sandsynlige. Det andet tilfælde er når den ene art uddør, og tredje situation er den, hvor begge arter uddør. Indsætter vi begyndelsesværdier (x 0, y 0 ) til tid n = 0 kan vi trin for trin ved hjælp af (1) regne os frem til en følge af punkter i (x,y)-planen. Denne følge beskriver udviklingen af de to populationer, som tiden går. Den kaldes en trajektorie (bane) for (x 0, y 0 ). Sidstnævnte punkt kaldes begyndelsespunktet eller begyndelsesbetingelsen. Værdierne af følgen (2) afhænger af såvel (x 0, y 0 ) som af konstanterne p 1, p 2, p 3, q 1 og q 2. Det væsentlige spørgsmål er: Hvis (x 0, y 0 ) er givet, hvad kan vi så sige om banen (2) i tidens løb, altså når n er vokset tilstrækkeligt meget. Figur 1(a) viser tre trajektorier når for tre forskellige valg af begyndelsesbetingelser (x 0, y 0 ) = (20,5); (x 0, y 0 ) = (100,10) og (x 0, y 0 ) = (50,40) markeret med firkantede mærker. Man kan se, at i alle tre tilfælde nærmer banerne sig et bestemt punkt i planen og forbliver tæt på det. Sådan et punkt kaldes en stabil ligevægtstilstand eller en attraktor (tiltrækker). Du kan finde punktet ved i (1) at erstatte x n+1 og x n med x og y n+1 og y n med y og løse det fremkomne ligningssystem med hensyn til x og y. Man finder tre løsninger (x,y) = (0,0); (x,y) = (500,0) og (x,y) = (150,35). Den tredje af disse løsninger er attraktoren, som ses på figur 1(a). De to andre ligevægtstilstande kaldes ustabile for uanset hvor tæt på dem vi vælger vores begyndelsespunkter vil vi bevæge os væk fra dem når n vokser. Hvis man sætter p 2 = 0 i modellen (1) svarer det til en ændring af vækstraten i rovdyrspopulationen. Ligningssystemet (1) reduceres herved til Figur 1(b) viser en bane udregnet med samme værdier som i (3) - bortset fra p 2 og med begyndelsesbetingelsen (x 0, y 0 ) = (20,5) markeret med et kvadratisk mærke. Nu ser vi et helt andet udviklingsforløb: De to populationer svinger i såkaldt stabil cyklus. Hvordan kan systemet (4) fortolkes i forhold til de to arters udsving i antal? Hvis forholdet mellem rovdyr og byttedyr er relativt

3 stort vil antallet af rovdyr falde. Når forholdet falder, vil antallet af byttedyr vokse. Hvis der er tilstrækkelig mange byttedyr vil antallet af rovdyr begynde at vokse. Og når der bliver mange rovdyr begynder antallet af byttedyr at falde og så fremdeles. Denne cykliske udvikling gentages igen og igen. Figur 1 Trajektorier (baner): (a) fra model (1) og (b) fra model (4) Banerne i de to ovenstående eksempler har det til fælles at de alle er begrænsede, dvs. alle punkterne fra følgen (2) holder sig inden for bestemte firkanter i (x,y)-planen som du ser på Figur 1, og det gælder for enhver bane med begyndelsespunkt (x 0, y 0 ), inden for de pågældende firkanter. I de to systemer er der enten en stabil ligevægtstilstand, der tiltrækker alle baner, eller banerne går ind i en stabil cyklus. I begge tilfælde siger man at banerne er stabile. Ligningerne i (1) og (4) kaldes diskrete, iterative systemer eller itererede afbildninger fordi næste værdi af x- og y-størrelserne beregnes ud fra den foregående værdi af samme størrelser. I næste afsnit skal vi se på mere generelle eksempler af itererede afbildninger, for hvilke banerne er begrænsede, men ustabile: sådan en bane vil aldrig bevæge sig uendelig langt væk, men den vil heller aldrig falde til ro ved et punkt eller i en stabil cyklus. Begyndelsespunkterne drages til en speciel type attraktor kaldet en mærkelig eller kaotisk attraktor, som hverken er et punkt eller en endelig punktmængde, men snarere et kompliceret geometrisk objekt kaldet en fraktal. 3 Itererede kvadratiske afbildninger De itererede afbildninger (1) og (4) indeholder led på formen x n 2 og x n y n som deres højeste ordens led. Derfor kalder vi dem afbildninger af 2. orden eller kvadratiske afbildninger. Den generelle form for en kvadratisk afbildning er givet ved For eksempel fremkommer afbildningen i (1) ved at vi sætter a 1 = 0, a 2 = 1 + p 1, a 3 = p 2, a 4 = p 3, a 5 = a 6 = 0, b 1 = b 2 = b 3 = 0, b 4 = q 2, b 5 = 1 q 1, b 6 = 0 Indfør betegnelserne a = (a 1, a 2, a 3, a 4, a 5, a 6 ) og b = (b 1, b 2, b 3, b 4, b 5, b 6 ) for man kalder koefficientvektorerne i (5). Tabel 1 indeholder seks forskellige taleksempler fra [4]. I alle eksempler er begyndelsespunktet sat til (x 0, y 0 ) = (0,0).

4 Tabel 1 Eksempler på kvadratiske afbildninger med kaotiske attraktorer Nyd nu de fascinerende former af de kaotiske attraktorer for disse afbildninger på Figurerne 2 til 4. Beregninger og illustrationer er udført ved hjælp af CAS-programmet Maple 13. Maplekommandoerne, der fører til det venstre billede på Figur 2, er vist i appendiks sidst i artiklen. Bemærk at antallet af iterationer er sat til Denne værdi svarer til antallet n af punkter i (2) brugt til at fremstille billedet. Nogle af eksemplerne i Tabel 1 kræver endog flere iterationer - omkring Forestil dig at du skulle lave et sådant billede ved at foretage udregningerne med papir og blyant uden nogen form for regnetekniske hjælpemidler. Hvor lang tid mon det ville tage? Hvor meget ville det hjælpe, hvis du måtte bruge en lommeregner med de fire regningsarter? Billederne kan overhovedet ikke fremstilles uden computere og derfor er det ikke underligt, at man i det 19. århundrede betragtede fraktaler som mærkværdige undtagelser og kaldte dem monstre. Med det 21. århundredes teknologier til rådighed stiller situationen sig ganske anderledes. Et skoleeksempel på, hvorledes hjælpemidler kan være med til at udvikle matematikken. Figur 2: Kaotiske attraktorer for de kvadratiske afbildninger fra Eksemplerne 1 og 2 i Tabel 1

5 Figur 3: Kaotiske attraktorer for de kvadratiske afbildninger fra Eksemplerne 3 og 4 i Tabel 1 Figur 4: Kaotiske attraktorer for de kvadratiske afbildninger fra Eksemplerne 5 og 6 i Tabel 1 Opgave 1: Visualiser den kaotiske attraktor kendt som Hénon-attraktoren [2] efter den franske astronom Michel Hénon der beskrev den i 1976: med begyndelsesbetingelse (x 0, y 0 ) = (0,0) og koefficienter (i) c = -1,2 og d = 0,4 (ii) c = -1,4 og d = 0,3 Opgave 2: Visualiser de kaotiske attraktorer for følgende kvadratiske afbildninger

6 med begyndelsesbetingelse (x 0, y 0 ) = (0,0). Bemærk at der er brugt decimalpunktum i stedet for komma for ikke at forveksle koordinatskilletegnene med decimalkommaer. 4 Itererede kubiske afbildninger Hvis vi til de kvadratiske udtryk i (5) tilføjer led som x n 3, x n 2 y n, x n y n 2 og y n 3 får vi kubiske (tredjegrads) udtryk. Den generelle kubiske afbildning har formen Lad a = (a 1, a 2, a 3, a 4, a 5, a 6, a 7, a 8, a 9, a 10 ) og b = (b 1, b 2, b 3, b 4, b 5, b 6, b 7, b 8, b 9, b 10 ) være koefficientvektorerne til (6). Tabel 2 indeholder numeriske data - se [4] - for kubiske afbildninger med kaotiske attraktorer. Billederne af disse kaotiske attraktorer ses på Figurerne 5 og 6. Havde man mon på forhånd kunnet gætte, at så forholdsvis enkle formler, kan producere så smukke billeder? Tabel 2 Eksempler på kubiske afbildninger med kaotiske attraktorer

7 Figur 5: Kaotiske attraktorer for de kubiske afbildninger fra Eksemplerne 7 og 8 i Tabel 2 Figur 6: Kaotiske attraktorer for de kubiske afbildninger fra Eksemplerne 9 og 10 i Tabel 2 Maple-kommandoerne der frembringer billedet til venstre på Figur 5 ses i appendikset. I eksemplerne 7 til 10 er begyndelsesbetingelserne (x 0, y 0 ) = (0,0). Det er værd at bemærke, at for de fleste af disse "mærkelige" attraktorer, betyder valget af begyndelsespunkt ikke noget som helst. Alle valg af begyndelsesbetingelser vil frembringe det samme billede. Forskellen består i den rækkefølge de enkelte punkter i attraktoren bliver plottet. Opgave 3. Fremstil billedet af den kaotiske attraktor for det kubiske system med koefficientvektorerne Opgave 4. Opskriv den generelle form for et fjerdegrads system og ret Maple-kommandoerne til så de kan fremstille det grafiske billede af den kaotiske attraktor for det kvadratiske fjerdegradssystem der har koefficientvektorerne

8 5 Andre fascinerende itererede afbildninger I de foregående to afsnit har vi set på systemer beskrevet ved polynomier i to variable af anden og tredje grad. Man kan også bygge systemer op af andre ikke-lineære funktioner, f.eks. trigonometriske funktioner, numerisk (absolut) værdi-funktionen, kvadratrod, fortegnsfunktionen osv. - alle funktioner der understøttes af snart sagt alle typer matematiks software. Nedenfor præsenteres to sådanne eksempler. Kongens drøm. Det drejer sig om en enkel, men smuk fraktal [7] frembragt af formelsystemet: med begyndelsesbetingelser (x 0, y 0 ) = (0.1,0.1) og a = , b = , c = og d = Fraktalen ses på Figur 7 til venstre. Hvis vi ændrer værdierne af b, c og d en lille smule til b= , c = og d = får vi en ny fraktal som er vis på Fig. 7 til højre. Figur 7 Kongens drøm til venstre og resultatet af små ændringer af parametrene til højre. Opgave 5. Frembring en anden fraktal ud fra (7) idet du bruger koefficientværdierne a = 0.967, b = 2.89, c = og d = med begyndelsespunkt (x 0, y 0 ) = (0.1,0.1). Barry Martin's fraktal er fraktalen frembragt af nedenstående diskrete iterationssystem x n+1 = y n sign(x n ) bx n c y n+1 = a x n, n = 0,1,2,. ; x 0 = y 0 = 0.1 Tre specielle funktioner indgår i den første ligning: kvadratrod, numerisk (absolut) værdi og fortegnsfunktionen sign. Sidstnævnte giver 1 hvis argumentet er positivt, 1 hvis argumentet er

9 negativt. Konstanterne a, b og c kan sættes til alle mulige værdier. Fraktalerne på figur 8 er beregnet for a = 1, b = 2 og c = 3 på det venstre billede og a = 0.4, b = 1 og c = 0.1 på det højre billede. Figur 8 Barry Martin's mærkelige attraktorer Opgave 6. Konstruer andre Barry Martin attraktorer med begyndelsesværdi x 0 = y 0 = 0.1 og koefficientværdier 6 Hvis du vil vide mere Klassiske fraktaler som Koch-kurven, Sierpinski-trekanter og -heksagoner (se [3], [5], [6] og [8] få at få flere detaljer) er figurer der selv-similære ved forstørrelse og de kan fremstilles ud fra et enkelt motiv der gentages i stadigt aftagende størrelser. Det drejer sig om et mønster, der ved forstørrelse med en af mønstret afhængig faktor bliver lig med sig selv. Det kræver en eller anden form for uendelighed - ligesom ved et spejlbillede af sig selv der igen spejles i sig selv, hvis du kan se det for dig - det kræver to spejle. Mange ting vi ser i naturen udviser denne selv-similaritet på forskellige størrelsesskalaer, for eksempel blomkål, bregner, træer og selv blodårernes netværk i vore egne kroppe har en fraktallignende struktur. Fraktaler optrådte i kunsten, for eksempel i værker af den hollandske kunstner Maurits C. Escher [9], før de blev alment anerkendt af matematikere og naturvidenskabsfolk. Fraktaler finder anvendelse i mange grene af naturvidenskaben, for eksempel inden for computergrafik og billedkompression (se nærmere på billeder på internettet). De fraktaler, der er vist tidligere i denne artikel, udviser ikke eksakt selv-similaritet, de har kun delområder der er selv-similære. Hovedingrediensen i definitionen af en fraktal er dens dimension. Isolerede punkter har dimension 0, linjestykker har dimension 1, flader har dimension 2 og massive legemer har dimension 3. Det er deres sædvanlige såkaldte topologiske dimension. En fraktal har en dimension, der overstiger dens topologiske dimension. I de fleste tilfælde har fraktaler en ikke-heltallig dimension kaldet den fraktale

10 dimension - heraf navnet: det engelske ord fracture betyder brud (altså noget der er brudt). Den fraktale dimension giver en mere detaljeret information om grovheden eller kompleksiteten af en punktmængde. Der findes dog også fraktaler med heltallig dimension der så overstiger den topologiske dimension. For eksempel har det såkaldte Sierpinski-tetraeder fraktal dimension 2 men topologisk dimension 1 - se [3]. Det særlige ved "mærkelige" attraktorer er at man ikke kan forudsige præcis hvor på attraktoren et systems banekurve vil køre igennem. To punkter på hver sin bane, som på et givet tidspunkt ligger lige ved siden af hinanden, kan ligge vilkårligt langt fra hinanden på et senere tidspunkt. Det eneste vi kan vide er at de ligger et eller andet sted på attraktoren. Desuden gentager systemet aldrig sig selv - der er ingen cyklusser. Bevægelser på disse mærkelige attraktorer er det der kaldes systemets kaotiske opførsel. Forestil dig en mængde af begyndelsespunkter der alle lrigge i et lille kvadratisk område af (x,y)-planen. Efter den første iteration vil punkterne have bevæget sig til nye positioner i planen, og nu optager de f.eks. et område der ligner et udstrukket kvadrat, f.eks. et parallellogram. Kvadratet er blevet strakt ud i en retning og trukket sammen i en anden retning. For hver iteration forstrækkes og drejes kvadratet mere og mere. Den russiske matematiker fra det 19. århundrede Aleksandr M. Lyapunov har indført kvantitative mål for disse deformationer, de såkaldte Lyaponoveksponenter. En itereret afbildning beskrevet ved to formler som de kvadratiske eller kubiske afbildninger har to Lyaponoveksponenter - en positiv der svarer til retningen af udvidelsen og en negativ der svarer til retningen af sammentrækningen. Typisk for kaotiske systemer er at mindst en af Lyapunoveksponenterne er positiv. Det er en ret kompliceret sag at beregne disse størrelser og det springer vi over i denne artikel. Maple-kommandoer til at beregne Lyapunoveksponenter for Eksempel 1 og 7 kan ses i appendikset. Tabel 3 viser Lyapunoveksponenter L 1 og L 2 for de kvadratiske og kubiske afbildninger fra eksemplerne 1 til 10. Tabel 3 Lyapunov-eksponenter L 1, L 2 og fraktale dimensioner FD for afbildningerne i Tabellerne 1 og 2 Der er en tæt relation mellem den fraktale dimension og Lyapunov-eksponenterne. Antag at vi kender L 1 og L 2 og at L 1 > 0, L 2 < 0 og at de desuden opfylder uligheden L 1 < L 2. Så kan den fraktale dimension FD beregnes ud fra formlen

11 Værdien FD kaldes Lyapunov-dimensionen eller Kaplan-Yorke dimensionen efter de matematikere der fremførte (8). Den interesserede læser kan finde mere i bøgerne [2], [3] og [4] om dette emne. De fraktale dimensioner for de kaotiske attraktorer fra eksemplerne 1 til 10 findes i kolonne FD i tabel 3. Jeg afslutter denne artikel med et citat af Michael F. Barnsley [10]»Når du har arbejdet med fraktalgeometri kommer du til at se alting med nye øjne... Der bliver rokket ved din tidligere opfattelse af skyer, skove, galakser, blade, fjer, klipper, bjerge, strømmende vand, tæpper, mursten og meget andet. Du vil aldrig mere opfatte disse ting på helt samme måde«. Appendix: Maple-kommandoer Dette appendiks indeholder Maple-kommandoer til at beregne og visualisere den kaotiske attraktor så vel som Lyapunov-eksponenterne og den fraktale dimension for Eksempel 1 fra tabel 1 og Eksempel 7 fra Tabel 2. Den interesserede læser kan fremstille billeder fra de andre eksempler ved at udskifter vektorkomponenterne for a og b med de tilsvarende numeriske værdier fra tabellerne. Maple-procedurerne er gjort så simple som muligt. Mere erfarne programmører kan oversætte dem til deres eget favoritprogrammeringssprog. Beregning og visualisering af den kaotiske attraktor for den kvadratiske afbildning i Eksempel 1 > restart: > with(plots): > iterations:=35000: > a:=array(1..6,[-1.2, -0.6, -0.5, 0.1, -0.7, 0.2]); b:=array(1..6,[-0.9, 0.9, 0.1, -0.3, -1, 0.3]); > x:=array(0..iterations): y:=array(0..iterations): > x[0]:=0: y[0]:=0: #initial condition > for i from 0 to iterations-1 do x[i+1]:=a[1]+a[2]*x[i]+a[3]*(x[i])ˆ2+a[4]*x[i]*y[i]+a[5]*y[i]+a[6]*(y[i])ˆ2: y[i+1]:=b[1]+b[2]*x[i]+b[3]*(x[i])ˆ2+b[4]*x[i]*y[i]+b[5]*y[i]+b[6]*(y[i])ˆ2 end do: > points:=[[x[n],y[n]]$n=1..iterations]: > pointplot(points,style=point,symbol=solidcircle,symbolsize=4, color=blue,axes=boxed,labels=[ x, y ]); Beregning af Lyaponoveksponent og fraktal dimension for den kvadratiske afbildning i Eksempel 1 > itermax:=500: > a:=array(1..6,[-1.2, -0.6, -0.5, 0.1, -0.7, 0.2]); b:=array(1..6,[-0.9, 0.9, 0.1, -0.3, -1, 0.3]); > x:=0: y:=0: > vector1:=<1,0>: vector2:=<0,1>: > for i from 1 to itermax do x1:=a[1]+a[2]*x+a[3]*xˆ2+a[4]*x*y+a[5]*y+a[6]*yˆ2: y1:=b[1]+b[2]*x+b[3]*xˆ2+b[4]*x*y+b[5]*y+b[6]*yˆ2: x:=x1: y:=y1: J:=Matrix([[a[2]+2*a[3]*x+a[4]*y,a[4]*x+a[5]+2*a[6]*y], [b[2]+2*b[3]*x+b[4]*y,b[4]*x+b[5]+2*b[6]*y]]):

12 vector1:=j.vector1: vector2:=j.vector2: dotprod1:=vector1.vector1: dotprod2:=vector1.vector2: vector2:=vector2 - (dotprod2/dotprod1)*vector1: length_vector1:=sqrt(dotprod1): area:=abs(vector1[1]*vector2[2] - vector1[2]*vector2[1]): L1:=evalf(log(length_vector1)/i): L2:=evalf(log(area)/i-L1) end do: > print( L1 =L1, L2 =L2); #Lyapunov exponents, L2<0<L1, L1 < L2 > FD:=1 - L1/L2; #the fractal dimension Beregning og visualisering af den kaotiske attraktor for den kubiske afbildning i Eksempel 7 > restart: > with(plots): > iterations:=35000: > a:=array(1..10,[-0.1,-0.6,0.5,0.2,-0.2,-0.3,-0.7,-0.8,-0.1,-0.9]); b:=array(1..10,[-0.6,-0.2,1.1,0.6,0.8,-0.8,-0.8,1,1.2,-0.8]); > x:=array(0..iterations): y:=array(0..iterations): > x[0]:=0: y[0]:=0: #initial conditions > for i from 0 to iterations-1 do x[i+1]:=a[1]+a[2]*x[i]+a[3]*(x[i])ˆ2+a[4]*(x[i])ˆ3 +a[5]*(x[i])ˆ2*y[i]+a[6]*x[i]*y[i]+a[7]*x[i]*(y[i])ˆ2 +a[8]*y[i]+a[9]*(y[i])ˆ2 + a[10]*(y[i])ˆ3: y[i+1]:=b[1]+b[2]*x[i]+b[3]*(x[i])ˆ2+b[4]*(x[i])ˆ3 +b[5]*(x[i])ˆ2*y[i]+b[6]*x[i]*y[i]+b[7]*x[i]*(y[i])ˆ2 +b[8]*y[i]+b[9]*(y[i])ˆ2 + b[10]*(y[i])ˆ3: end do: > points:=[[x[n],y[n]]$n=1..iterations]: > pointplot(points,style=point,symbol=solidcircle,symbolsize=4, color="lightseagreen",axes=boxed,labels=[ x, y ]); Lyapunoveksponent og fraktal dimension for den kubiske afbildning i Eksempel 7 > Digits:=30: > x:= x : y:= y : > itermax:=500: > a:=array(1..10,[-0.1,-0.6,0.5,0.2,-0.2,-0.3,-0.7,-0.8,-0.1,-0.9]); b:=array(1..10,[-0.6,-0.2,1.1,0.6,0.8,-0.8,-0.8,1,1.2,-0.8]); > x:=0: y:=0: > vector1:=<1,0>: vector2:=<0,1>: > for i from 1 to itermax do x1:=a[1]+a[2]*x+a[3]*xˆ2+a[4]*xˆ3+a[5]*xˆ2*y +a[6]*x*y+a[7]*x*yˆ2+a[8]*y+a[9]*yˆ2 + a[10]*yˆ3: y1:=b[1]+b[2]*x+b[3]*xˆ2+b[4]*xˆ3+b[5]*xˆ2*y +b[6]*x*y+b[7]*x*yˆ2+b[8]*y+b[9]*yˆ2 + b[10]*yˆ3: x:=x1: y:=y1:

13 J:=Matrix([[a[2]+2*a[3]*x+3*a[4]*xˆ2+2*a[5]*x*y+a[6]*y+a[7]*yˆ2, a[5]*xˆ2+a[6]*x+2*a[7]*x*y+a[8]+2*a[9]*y+3*a[10]*yˆ2], [b[2]+2*b[3]*x+3*b[4]*xˆ2+2*b[5]*x*y+b[6]*y+b[7]*yˆ2, b[5]*xˆ2+b[6]*x+2*b[7]*x*y+b[8]+2*b[9]*y+3*b[10]*yˆ2]]): vector1:=j.vector1: vector2:=j.vector2: dotprod1:=vector1.vector1: dotprod2:=vector1.vector2: vector2:=vector2 - (dotprod2/dotprod1)*vector1: length_vector1:=sqrt(dotprod1): area:=abs(vector1[1]*vector2[2] - vector1[2]*vector2[1]): L1:=evalf(log(length_vector1)/i): L2:=evalf(log(area)/i-L1) end do: > print( L1 =L1, L2 =L2); #Lyapunov exponents, L2<0<L1, L1 < L2 > FD:=1 - L1/L2; #the fractal dimension Anbefalet litteratur [1] Dimitrova N. Order and Chaos in a Model of Population Biology, In: J. Andersen et al, MATH2EARTH: Bringing Mathematics to Earth LLP AT-COMENIUS- CMP, Publ. PRVOKRUH, Prague, Czech Republic, (in English), (in Bulgarian), [2] Lynch S. Dynamical Systems with Applications Using MapleTM, Birkhäuser, Boston, [3] Peitgen H.-O., Jürgens H., Saupe D. Fractals for the Classroom. Part One: Introduction to Fractals and Chaos, Springer, New York, [4] Sprott J. C. Strange Attractors: Creating Patterns in Chaos, [5] Ulovec A., Hohenwarter, H.: Fractals broken with no need to repair, in this volume. [6] [7] Pickover C. Chaos in Wonderland, St. Martin s Press, [8] Sendova, E. Introducing a Little Chaos to Break the Tradition, Mathematics and Education in Mathematics, Proc. 31st Spring Conf. UBM, 35 47, 2002 (in Bulgarian). [9] [10] Barnsley, M. F. Fractals Everywhere, Academic Press, 1988.