Om overgangsproblemer og læringsvanskeligheder i matematik. Uffe Thomas Jankvist, DPU, AU

Transkript

1 Om vergangsprblemer g læringsvanskeligheder i matematik Uffe Thmas Jankvist, DPU, AU

2 Dispsitin Om vergangsprblemer mellem flkeskle g gymnasium Hvad vi ved fra PISA 2012? 15-åriges vanskeligheder i matematik g pfattelse af egen frmåen Hvad vi ved fra Matematikvejlederuddannelsen på RUC? Gym.elevers mispfattelser mv. ift. begreber g knventiner Gym.elevers mispfattelser mv. ift. ræsnnement g beviser Gym.elevers mispfattelser mv. ift. mdeller g mdellering En bservatin! Om vergangsprblemer mellem gymnasium g videregående uddannelser Hvad kan man gøre ved prblemerne?

3 T rapprter Om vergangsprblemer mellem flkeskle g gymnasium

4 Søndergaard m.fl. (2009) Overgangsprblemer sm udfrdringer i uddannelsessystemet. Frskningsrapprt (2009) Lindenskv m.fl.: Prgressin i matematik g naturvidenskab fra grundskle til stx En verrdnet finding: I både matematik g naturvidenskab vurderer eleverne deres faglige frudsætninger højere end stx-lærerne gør

5 Jessen m.fl. (2014) Overgangsprblemer mellem grundskle g gymnasium i fagene dansk, matematik g engelsk (2014) Elever peger bl.a. på følgende frskelle mellem flkeskle g gymnasie (N=216): 53% niveauet, det er simpelthen bare mere svært 14% undervisningen 13% indhldet, specielt beviser g udledninger 6% indhldet, bestemte emner 2% cmputerprgrammer

6 frtsat Gymnasielærerene peger på følgende, sm de finder at eleverne har svært ved (N=77): 38% fagets begreber g metder 38% grundlæggende matematik (de fire regningsarter, simpel ligningsløsning, simpel symblbrug) 29% avanceret matematik (algebra, bgstavregning, bevisførelse, kendskab til elementære funktiner, metder, mv.) 18% abstrakt tænkning 12% at argumentere g præcisere 9% at beskrive matematiske prblemstillinger

7 En frmdning En frmdning, sm bygger på en nylig artikel: Misfeldt, M., Jankvist, U. T. & Aguilar, M. S. (2016). Teachers beliefs abut the discipline f mathematics and the use f technlgy in the classrm. Internatinal Electrnic Jurnal f Mathematics Educatin, 11(2), går på, at matematiklærere i flkesklen g i gymnasiet grundlæggende har frskellige frestillinger m, hvad faget matematik er, mhandler g går ud på

8 I det følgende I det følgende skal jeg frsøge, at udbygge g illustrere disse udsagn ved at give knkrete eksempler på, hvad vi ved m elevers matematikspecifikke læringsvanskeligheder eller snublesten m man vil Vi ved en del m danske 15-åriges matematiske frmåen fra PISA-undersøgelserne (2012) Og vi ved en del m danske gymnasieelevers matematiske frmåen (indenfr specifikke mråder) fra RUC s Matematikvejlederuddannelse til gymnasiet (2012 g frem)

9 PISA 2012 Hvad ved vi?

10 Mathematical literacy... en persns frmåen til at frmulere, udføre g frtlke matematik i en mangfldighed af sammenhænge. Det mfatter at kunne ræsnnere matematisk g gøre brug af matematiske begreber, prcedurer, kendsgerninger g redskaber til at beskrive, frklare g frudsige fænmener. Det er en hjælp til at erkende den rlle, sm matematik spiller i verden g til at fretage g træffe velfunderede vurderinger g beslutninger sm knstruktive, engagerede g reflekterende brgere (OECD, 2013, s. 25, egen versættelse)

11 Matematik i PISA

12 Kmmentar Der er altså i ngen grad tale m en frsimplet udgave af mdelleringscyklen, sm vi kender den fra fx Blmhøj & Højgaard, eller fra Niss At frmulere består i at bring nget fra en ikkematematisk kntekst på matematikfrm, dvs. at matematisere At udføre består i høj grad i at prblemløse inden fr det matematiske dmæne At frtlke består i versætte det matematiske resultat tilbage til den ikke-matematiske kntekst, dvs. at afmatematisere At evaluere består i at validere sit resultat (men dette frekmmer ikke rigtig i praksis i PISA pgaver)

13 Kmpnenter i framewrk

14 Kmmentar Alle disse kategrier giver s altså et (eller flere) redskab(er) til at klassificere PISA pgaver Fx kan en pgave falde under persnlig, størrelser g mhandle at frmulere Bemærk, at KOMs matematikkmpetencer indgår i rammen (de 7 af dem! tankegangskmp. er ej med) PISA kan altså være med til at sige nget m i hvilket danske 15-årige besidder matematikkmpetencerne de samme kmpetencer, sm der i bekendtgørelserne!

15 En pgave

16 En anden pgave

17

18 Hvrdan går det så her? Her går det gdt: Svs Q02 (persnlig, størrelser, at frmulere) Gdt (main study) Her går det skidt: Vindkraft Q03 (videnskabelig; rum g frm, at udføre) Ekstrardinært dårligt (pilttest) bruge Pythagras sætning i camfleret kntekst

19 Kmmentar Matematiske prcesser: Danske 15-årige er bedst til at frtlke På det jævne med hensyn til at frmulere Og dårligst til at udføre Matematisk indhld: Fr danske elever går det bedst mht størrelser g usikkerhed g data Danske elever klarer sig på det jævne mht frandringer g sammenhænge Danske elever har sværest ved rum f frm

20 PISA scre i Nrden g OECD Danmark Nrge Sverige Island Finland Tyskland Shanghai (+13) OECD

21 Niveauer i frhld til PISA pint Niveau 6: Scre > 669,3 Niveau 5: 669,3 Scre > 607,0 Niveau 4: 607,0 Scre > 544,7 Niveau 3: 544,7 Scre > 482,5 Niveau 2: 482,5 Scre > 420,1 Niveau 1: 420,1 Scre > 357,8 Niveau 0: 357,8 Scre

22 Niveaufrdeling i Danmark Niveauer DK DK 2003 DK 2006 DK 2009 Under niveau 1 Niveau 1 Niveau 2 Niveau 3 Niveau 4 Niveau 5 Niveau 6 DK % 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90% 100%

23 Kmmentar Det er altså gået støt tilbage Der er blevet lidt flere svage elever i matematik Og markant færre rigtig dygtige elever talentmassen er skrumpet ind! Dette vil selvfølgelig kunne mærkes i stx, htx, hhx, g hf! Men det er altså ikke ngen naturlv at tpniveauerne er de mindste Se bare:

24 Niveaufrdeling i Nrden g tp 5 Matematik i 10 lande OECD Sverige Nrge Island Finland Sydkrea Taiwan Hngkng Under niveau 1 Niveau 1 Niveau 2 Niveau 3 Niveau 4 Niveau 5 Niveau 6 Singapre Shanghai Danmark 0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90% 100%

25 Baggrundsvariable - Tiltr til egne evner Overrdnet set er danske elevers tiltr til egne evner meget psitive: ca. 88 % mener sig i stand til at benytte sig af køreplaner; ca. 86 % at frstå diagrammer i aviser; ca. 78 % at kunne udregne rabatter angivet ved prcentmæssig besparelse; ca. 77 % at kunne løse simple førstegradsligninger; ca. 67 % at kunne udregne gulvarealer; ca. 62 % at kunne beregne en bils benzinfrbrug; ca. 58 % at kunne finde afstanden mellem t steder på et krt; men kun ca. 47 % at kunne løse mere kmplicerede ligninger

26 Kmmentar Der er en vis krrelatin mellem elevers tiltr til egne evner g hvrdan de klarer sig på frskellige mråder, fx at de er bedre til at frtlke end at udføre Men der er næsten ingen ændringer at spre i elevers tiltr til egne evner fra 2003 til 2012 Det er der dg i deres faktiske præstatiner! Danske elevers tiltr til egne evner er generelt set høj både i frhld til de andre Nrdiske lande g tp 5 landene

27 Vedhldenhed Ca. 45 % siger, at de fasthlder interessen fr de pgaver, sm de går i gang med ca. 37 %, at de bliver ved med at arbejde med en pgave, indtil den er perfekt ca. 25 %, at de gør mere, end der frventes af dem, når de støder på prblemer. ca. 54 % erklærer sig uenige i, at de giver let p, når de støder på prblemer ca. 30 % erklærer sig uenige i, at de udskyder vanskelige prblemer g pgaver

28 Om at klare sig gdt Ca. 87% af eleverne mener, at deres venner klarer sig gdt i matematik Ca. 57% mener at deres venner arbejder hårdt i matematik Ca. 70% får ifølge dem selv gde karakterer i matematik Ca. 60% mener at de er hurtige til at lære matematik

29 Fra matematikvejlederuddannelsen ved RUC Hvad ved vi m elevers snublesten ift. matematiske begreber g knventiner

30 Detektinstest 1 Detektinstest 1 indehlder 57 spørgsmål g ngle underspørgsmål (Niss & Jankvist, 2012; 2013) Spørgsmålene går på matematiske begreber, knventiner, symbler, mv. Den bruges på 1. semester på matematikvejlederuddannelsen, hvr vejlederne giver den til et antal klasser (1., 2. g 3.g) Fra 2012 g 2013 har vi i alt 676 elevbesvarelser De 405 af disse stammer fra 1.g-klasser (i første halvdel af 1.g.) De følgende spørgsmål er kdet af Mrten Elkjær Hansen (2016) i hans netp frsvarede speciale DPU 30

31 Findes der? Spg. 17. Findes der ngen værdier af a, således at a 2 = 2a? Ja: Nej: Ja, der findes t sådanne værdier af a: 0 g = 2 0 = 0 g 2 2 = 2 2 = 4 En 2.gradsligning i a: (a 0)(a 2) = 0 37% svarer frkert Spg. 18. Findes der ngen værdier af b, således at 4b= 4+b? Ja: Nej: Ja, vi kan løse ligningen fr b: 4b = 4 + b 4b b = 4 + b b 3b = 4 b = 4/3 Skulle man være i tvivl kan man altid gøre prøve 70% svarer frkert DPU 31

32 Løsning af simple ligninger Spg. 34. Bestem n når: 4+n-2+5= % svarer frkert Spg. 35. Løs ligningen: 3x+20=x % svarer frkert Spg. 36. Løs ligningen: -6x=24. 37% svarer frkert DPU 32

33 Negative tal, frtegn g DPU 33

34 Hvad er en løsning? Spg. 37. Fr hvilke x gælder: 38x+72=38x? 85% svarer frkert Spg. 20. Hvad er løsningen/løsningerne til ligningen 3x-x=2x? 93% svarer frkert Spg. 25. Er x=0 en løsning til ligningen 3x-x=2x? Ja: Nej: 48% svarer frkert DPU 34

35 Matematiske knventiner DPU 35

36 Det vanskelige 0 DPU 36

37 Lighedstegnet g 0 et Spg. 50. Hvis a=b er så b=a? Ja: Nej: 14% svarer frkert Spg. 14. Hvad er 0 x? 19% svarer frkert Spg. 15. Hvad er 0+x? 18% svarer frkert DPU 37

38 Hvr gør det ndt? De her elever har vanskeligheder med: De aritmetiske peratiner Talbegrebet Specielt tallet 0 Negative tal Negative frtegn Lighedstegnet Ligningsbegrebet, både de manipulatriske aspekter i frbindelse med løsning af ligninger samt hvad det vil sige at nget er en løsning g hvr mange løsninger en ligning kan have Og de har ndt i: Symbl- g frmalismekmpetencen Og i ngen grad repræsentatinskmpetencen DPU 38

39 Fra matematikvejlederuddannelsen ved RUC Hvad ved vi m elevers snublesten ift. matematiske ræsnnementer g beviser

40 Detektinstest 2 Detektinstest 2 indehlder 23 spørgsmål (Niss & Jankvist, 2013; 2014) Spørgsmålene går på frskellige varianter af matematisk ræsnnement g bevisførelse Den bruges på 2. semester på matematikvejlederuddannelsen, hvr vejlederne giver den til et antal klasser (1., 2. g 3.g) Vi har endnu ikke kdede besvarelser af denne test Men vi kan gdt give ngle indikatiner på, hvr det går galt alligevel DPU 40

41 Overbevisningsskemaer Det sm verbeviser ngen m, at nget er sandt (Harel & Swder, 2007) Eksterne verbevisningsskemaer Baseret på en ekstern autritet, fx en lærer eller en bg At beviser skal indehlde symbludtryk Osv. Empiriske verbevisningsskemaer Anvendelsen af eksempler til at gdtgøre generelle udsagn Deduktive verbevisningsskemaer De velkendte matematiske bevisfrmer: direkte beviser (fx ud fra aksimer), indirekte beviser (mdstrid), induktinsbeviser, kmbinatriske beviser, m.v. DPU 41

42 Et bevis fr at ethvert tal er lig 0 Det følgende skal frestille et bevis fr at ethvert tal er lig med 0. Vi ser på et vilkårligt tal a g sætter b=a. Ved at gange med a på begge sider af lighedstegnet får vi ab=a 2. Så kan vi udregne a (b-a) = ab a 2 = 0 (da vi har ab = a 2 ). Da 0 gange hvad sm helst (fx b-a) er 0, er 0 = 0 (b-a), sm sættes ind venfr, så vi får a (b-a) = 0 = 0 (b-a). Nu kan vi dividere med b-a på begge sider af lighedstegnet. Tilbage står a = 0. Da a var vilkårligt valgt er ethvert tal lig med 0. a) Er det sandt, at ethvert tal er lig med 0? Ja: Nej: Jeg kan ikke svare: b) Er det anførte bevis krrekt? Ja: Nej: Jeg kan ikke svare: c) Hvis du mener, at det anførte bevis er ukrrekt, hvad er så galt med det?

43 180 grader i en trekant Nedenstående figur udgør et bevis fr at en trekants vinkelsum altid er 180 grader, hvilket ses ved at trekantens vinkelsum er u+v+w, den samme sum sm ved den øverste linje, hvr summen klart er lig 180. Har vi bevist at alle trekanter har en vinkelsum på 180 grader? Ja: Nej: Jeg kan ikke svare: Eller bliver vi nødt til at måle på de knkrete trekanter, sm vi betragter? Ja: Nej: Jeg kan ikke svare:

44 Endnu et eksempel Vurdér følgende ræsnnement: I 2010 var natinalprduktet pr. indbygger ca $ i USA g ca $ i Danmark. Taget under ét fr de t lande var natinalprduktet pr. indbygger derfr ( )/2 = $. En elev: Matematisk set er det rigtig nk. Men 44

45 Hvr gør det ndt? De elever vi har set har f.eks. vanskeligheder med: At se frmålet med et bevis At vide, hvad der er g ikke er et bevis At frstå betydningen af et mdeksempel Undertiden spænder matematikken ben fr lgikken g mvendt Empiriske verbevisningsskemaer bliver i høj grad aktiveret Ligeså gør eksterne verbevisningsskemaer Og de har ndt i: Ræsnnementskmpetencen Manglende symbl- g frmalismekmpetence spænder fte ben fr dem Og undertiden ligeså manglende repræsentatinskmpetence

46 Fra matematikvejlederuddannelsen ved RUC Hvad ved vi m elevers snublesten ift. matematiske mdeller g mdellering

47 Detektinstest 3 Detektinstest 3 indehlder 13 spørgsmål (Niss & Jankvist, 2013; 2014) Spørgsmålene går på delprcesser af mdelleringscyklen Testen indehlder en del frigivne PISA-spørgsmål Den bruges på 3. semester på matematikvejlederuddannelsen, hvr vejlederne giver den til et antal klasser (1., 2. g 3.g) Fra 2012 har vi 307 elevbesvarelser, sm er kdet af Asger Senbergs (studentermedhjælper på matematikvejlederuddannelsen). DPU 47

48 Mdelleringscyklen, Niss (2010) Extramathematical dmain Idealised situatin cum questins Specificatin Idealisatin mathematisatin translatin Mathematical dmain Mathematised situatin cum questins answers Mathematical answers de-mathematisatin interpretatin

49 En gåtur i Rskilde Hans kan gå fra Rskilde Statin til Rskilde Dmkirke på 6 minutter. Grethe skal bruge 8 minutter. Hvr lang tid tager det, hvis de følges ad? Begrund dit svar. Fkus er på præmatematisering 40% svarer frkert

50 Eksempler på svar 6 min., hvis Hans tager Grethe på ryggen. Dg kan det tage krtere tid, hvis de løber. 6 min. frdi Hans viser Grethe smutvejene. 7 minutter [ftest frekmmende fejlsvar!] men kun hvis Hans er gd til at mtivere Grethe. Mindst 8 min., afhængigt af m Hans br på vej til Dmkirken, eller m Grethe skal gå en mvej, eller m de mødes på halvvejen. "Da jeg antager, at dette er i rask gang ud fra udtrykket "kan" vil jeg frmde, at de går distancen på mkring 9-10 minutter. Da de undervejs højst sandsynlig kmmunikerer g andet der sløver hastigheden grundet menneskets ringe evne til at multitaske. 14 min. lægger 8+6 sammen.

51 Pizza - taget fra PISA Et pizzeria serverer t runde frkstpizzaer af samme slags g tykkelse, men i frskellig størrelse. Den mindste har en diameter på 30 cm g kster 30 kr. Den største har en diameter på 40 cm g kster 40 kr. Hvilken pizza giver mest fr pengene? Vis, hvrdan du km frem til dit resultat. Fkus er på præ-matematisering g matematisering, men mfatter gså en smule prblemløsning 48% svarer frkert

52 Eksempler på svar Man får 1 cm pizza fr 1 kr. [ftest frekmmende fejlsvar!] Ingen af dem giver mest fr pengene, da man betaler 1 kr. per 1 cm i diameter pizza fr dem begge. Der er ingen frskel? En pizza kster 10 kr pr diameter. Hvis du skal have den til 40 kr, kan det gdt være du betaler 10 kr mere end den pizza til 30 kr, men du får så gså 10 diameter mere pizza

53 Hvr gør det ndt? De elever vi har set har vanskeligheder med: Præ-matematisering Iværksat fregribelse (Niss, 2010) Matematisering Prblemløsningen Validering MEN fte gså med det at påtage sig pgaven (den didaktiske kntrakt), hvilket går frud fr det andet Og de har ndt i: Mdelleringskmpetencen Tankegangskmpetencen Prblembehandlingskmpetencen Manglende symbl- g frmalismekmpetence spænder igen ben fr mange Ligeså gør manglende repræsentatinskmpetence

54 En bservatin! En bservatin i data fra Detektinstest 1

55 Data fra Detektinstest 1 Besvarelser ang. ligninger g ligningsløsning (kdet af Mrten Elkjær Hansen, 2016) 676 elevbesvarelser fra 2012, 2013 frdelt på ca. 20 gymnasier udver landet Bemærk fejlrate fr spørgsmål 18: Findes der ngen værdier af b, således at 4b= 4+b?

56 Hvad ved vi? Om vergangsprblemer mellem gymnasium g videregående uddannelser

57 Mange af de samme ting Et begrænset antal studier i Dk Misfeldt & Bendixen i Lindenskv m.fl. (2009) beskriver dg en case ift. matematik g prgressin af matematiske kmpetencer Denne undersøgelse peger på manglende faglighed Fra miljøet vil vides, at det er mange af de samme ting sm påpeges: Dårlige til brøkregning De har huller Manglende færdigheder, fte ift ligningsløsning Manglende begrebsdannelse, fx ift funktiner Manglende besiddelse af kmpetencer, incl. ræsnnementskmp. De har ikke lært at arbejde Manglende vedhldenhed!

58 Og til sidst Hvad skal vi så gøre ved det?

59 At påtage sig ansvaret Når vi ser elever med vanskeligheder i matematik eller med huller så bør vi hjælpe dem videre Det hjælper ikke nget at tænke Nå, det er da en skam at eleven ikke ved det. Men det burde han have lært i flkesklen, så det er ikke mit brd Fr aben kmmer j tilbage igen Fx hvis ngle af eleverne med huller vælger at læse til flkesklelærere (en nd cirkel)

60 Afstemme frventninger Finde ud af hvad flkesklen selv mener, at de skal g kan levere Ift. frståelse af matematiske begreber Ift. evnen til at ræsnnere matematisk Ift. besiddelse af knkrete færdigheder Ift. besiddelse af matematiske kmpetencer, Ift. brug af IT, hvilken sftware mv. Gøre nget tilsvarende padtil ift. aftagerinstitutiner Gøre det ved, at tale g samarbejde med andre matematiklærere nedadtil såvel sm padtil! Jf. brbygningsprjektet i Silkebrg g andre lignende initiativer

61 Tak fr pmærksmheden Delt på Facebk