NAURVIDENSKABELIG KANDIDAEKSAMEN VED KØBENHAVNS UNIVERSIE MAEMAISK FINANSIERINGSEORI 4 imers skriflig eksamen, 9-3 orsdag 3/ 2. Alle sædvanlige hjælpemidler illad. Anal sider i sæe: 5. Opgave Spg..a [ ps] Berag e filrere sandsynlighedsrum (Ω, F, (F ), P ). Lad Y være en ilpas inegrabel F-målelig sokasisk variabel. Vis a processen definere ved Z() = E (Y ) (hvor E ( ) er kompak noaion for beinge P -middelværdi E P ( F ) ) er en maringal. Vis (fx ved e modeksempel) a for en følge af F-målelige sokasiske variable, (Y ()), der afhænger eksplici a vil processen generel ikke være en maringal. Z() = E (Y ()) Spg..b [ ps] Berag en arbirage-fri økonomi med en ikke-dividendebealende akie, S, en bankbog hvorpå vi for simpelheds skyld anager renen er, sam en call-opion (srike/exercisekurs K, udløbsdao ) på akien. Lad C beegne den arbirage-fri call-pris på id og lad φ være den risiko-neurale æhedsfunkion for S( ) give værdien på id. Denne æhed anages absolu koninuer mh. Lebesgue-måle. Call-prisen vil naurligvis afhænge af srikekursen K. Vis a 2 C K 2 = φ(k). Vink: Call-prisen er en middelværdi, en middelværdi er e inegral,...
Opgave 2 I denne opgave berages en sandard Black-Scholes-økonomi under de sædvanlige ækvivalene maringalmål Q (alså de, der svarer il bankbogen som numeraire), dvs. ds() = rs()d + σs()dw (), S() = s, db() = rb()d, B() =, hvor S er en ikke-dividendebealende akie, W er en -dimensional Q-BM, og r og σ er konsaner. De følgende spørgsmål drejer sig om finansielle konraker (coningen claims), der på den ene eller anden måde afhænger af den gennemsnilige akiekurs. Vi lader derfor > være give. Spg. 2.a [ ps] π a ( ) = S(u)du S( ) på idspunk (og ikke noge på andre idspunker). Vis a den arbirage-fri pris for claim e, π a, er give ved π a () = e r( ) Vink: Björk opg. 7.3. S(u)du + S() r ( e r( ) ) S() for alle. Spg. 2.b [ ps] ( π b ( ) = ) + S(u)du S( ) på idspunk (og ikke noge på andre idspunker). Dee coningen claim kan ydeligvis berages som en (pu-)opion, hvor srikekursen besemmes af de koninuere, arimeriske gennemsni af akiekursen. Lad π b være den arbirage-fri pris og definer Vis a x() = S(u)du S() π b () S() = f(, x()), for alle. 2
hvor funkionen f løser PDE en 2 σ2 x 2 f xx + med erminalbeingelsen f(, x) = (x ) +. Vink: Numeraireskif & Feynman-Kac. Spg. 2.c [ ps] π c ( ) = ( ( ( ) rx f x + f =, på idspunk (og ikke noge på andre idspunker). Ide man kan vise (men de ønskes ikke gjor) a ) ) + ln S(u)du S( ) ( ) ( ( ) ( ) ( ) ) /n 2 (n ) ln S(u)du = lim S S S S ( ) n n n n kan de forolkes som en (pu-)opion på de koninuere geomeriske gennemsni af akiekursen. Argumener for, a denne opions arbirage-fri pris kan beregnes ved en (op il kendskab il normalfordelingens fordelingsfunkion) lukke formel, der minder mege om Black-Scholes formel. (Bemærk: Du bliver ikke bed om a finde de eksake udryk.) Forklar også hvorfor dee ikke kan lade sig gøre for opionen i Spg. 2.b. Vink: E d -inegral er jo bare en sum... Opgave 3 I denne opgave berages i førse omgang e obligaionsmarked a la Björk kap. 5, dvs. der findes nulkuponobligaioner for alle udløbsdage og dp (, ) = P (, )(m(, )d + v (, ) d W ()), }{{}}{{} d d hvor W er en BM under de objekive sandsynlighedsmål (alså de vi plejer a kalde P ), mens m og v er så generelle sokasiske processer som de nu kan være (og der 3
er en proces for enhver værdi af ). (Bemærk a v her i modsæning il hos Björk er en søjlevekor. De kan være en god ide, førs a se på ilfælde d =.) Vi ved fra Björk kap. 8 a en anagelse om arbirage-frihed sikrer os eksisensen af en d-dimensional proces λ således, a der findes e sandsynlighedsmål Q og en Q-BM, W, definere ved dw () = d W () + λ()d, således a dp (, ) = P (, )(r()d + v (, )dw ()). I denne opgave skal vi se nærmere på nogle såkalde forvenningshypoeser. Forhåndsvink: Find P -maringalen og brug sammenhængen mellem P og Q. Spg. 3.a [ ps] Den lokale forvenningshypoese siger a P (, ) = E P ( ( )) r(u)du. v (, )λ() = for alle. Spg. 3.b [ ps] Den rene (eng: unbiased) forvenningshypoese siger a f(, ) = E P (r( )), () hvor f(, ) en forward-rene som indfør i Björk kap. 5. v (, )λ() = 2 v (, )v(, ) for alle. Vink: Se på konklusionen på differeniere form. Spg. 3.c [ ps] Yield o mauriy hypoesen siger a ln P (, ) = EP ( ) r(u)du. (2) v (, )λ() = 2 v (, )v(, ) for alle. Vink: Brug definiionen af f(, ) il a vise (2) (). 4
Spg. 3.d [ ps] Reurn o mauriy hypoesen siger a P (, ) = EP ( ( )) r(u)du. v (, )λ() = v (, )v(, ) for alle. Spg. 3.e [ ps] Kommener resulaerne i spg. 3.a-d. Man kan fx overveje ing som: Er hypoeserne konsisene med hinanden? Med sig selv? Hvad sker der hvis renene er deerminisiske? Vil/kan de holde i de modeller vi normal berager? Er der forskel på enog fler-fakor ilfælde? Hvad kan man sige om hypoeserne hvis de forsås som udsagn om forvenninger under andre sandsynlighedsmål end lige P? 5