Cand.merc.(ma)-sudie Økonomisk nsiu Kandidaafhandling Mulivariae koinegraionsanalyser - En analyse af risikopræmien på de danske akiemarked Suderende: Louise Wellner Bech flevere: 9. april 9 Vejleder: Lisbeh la Cour Censor: Copenhagen Business School 9
Eecuive Summary This hesis presens an aemp o resolve he problems emerging from he assumpions concerning he risk premium on he sock markes. The main concern is he calculaion of he hisorical risk premium which unil now has been based on he assumpion ha he risk premium can be assumed consan if he sample period is long enough. Since he risk premium for a specific sock marke has differen size depending on he period he risk premium migh no be consan afer all. This hesis presens calculaions of a imevarian risk premium and discusses he relevance for invesors. The hesis firsly reviews he original risk premium heory from 985 presening he definiion of he risk premium he calculaion mehods and he main assumpions. n he coninuaion of his he ne par of he hesis presens he appropriae series o represen boh he Danish sock marke and a Danish riskfree asse wih a prior disscusion of he heoreical relevance of he alernaives. The hesis proceeds o review he coinegraion heory. The variaion of he V-represenaion of muliple series is presened wih he main focus on he effecs from coinegraion beween he series. Especially he spli ino he long run parameers and he shor run parameers Γ i are relevan because i shows he differen informaion wihin he series. ferwards boh he univarae and he mulivariae coinegraion heory are described wih he cener of aenion on he consequences following choices concerning he parameers indicaed by esresuls. The empirical par of he hesis shows how he heoreical argumens are pu o work on he Danish sock marke. Eensive aenion is payed o he specificaion of he unresriced V-model o ensure ha he assumpion of mulivariae normaliy in he residuals is obained. The final resriced model consiss of one coinegraion ha describes he long run dynamic and respecively an ()- process for he risk free asse and an (3)-process for he sock marke o describe he shor run dynamic. is shown ha he imevariane risk premium can be calculaed from a saisical mehod and a financial mehod using he esimaed parameers bu boh mehods are in some areas inconsisen wih he known financial forces and he saisical definiions concerning he series. The risk premium is calculaed under he assumpion of concisency so ha he resul can be used as benchmark. Boh imevariae calculaion mehods and he concisency mehod show ha an invesor can epec an annual risk premium of abou 5% on a long invesmen. Bu he assumpion of concisency during he periode is shown o be unaccepable since he spread of he annual imevarian riskpremium is -8% o 38%. The iming of a shorer invesmen is herfor crucial for he size of he risk premium. Side
ndholdsforegnelse. NTODUKTON 4. POBLEMFOMULENG 5. FGÆNSNNGE 6.3 DT VLG 6. SKOPÆMEN PÅ ET KTEMKED 7. DEFNTON OG BEEGNNG F SKOPÆMEN 8.. fgrænsninger for akiemarkeds indeks 8.. Beregning af realafkas og realrene 9..3 Beregning af risikopræmien 9..4 Hisorisk risikopræmie vs. Fremidig risikopræmie. MULGE SKOFE KTVE.3 OPSUMMENG 3 3. DET DNSKE MKED 3 3. DEFNTON F DET DNSKE KTEMKED 3 3.. OMX København 4 3.. MSC 5 3..3 Valg af akieindeks il empirisk analyse 6 3. DEFNTON F DET SKOFE KTV 7 3.3 UDVKLNGEN DET DNSKE MKED 8 3.3. Definiion af inflaion 8 3.3. Beregning af nominel og real udvikling i de danske akiemarked 9 3.3.3 Beregning af nominel og real udvikling i de danske renemarked 9 3.3.4 Udviklingsmønser på de danske marked 9 3.4 OPSUMMENG 4. NTODUKTON TL V MODEL 4. OMSKVNNG TL KOMPKT FOM 4. OMSKVNNG TL VECM 4.3 KONTEGTON VECM 3 4.3. Definiion af koinegraion 3 4.3. Koinegraion specificere i VECM 5 4.4 DETEMNSTSKE KOMPONENTE 6 4.4. Dummie variable 8 4.5 OPSUMMENG 9 5. UNVTE KONTEGTONSNLYSE 9 5. DCKEY-FULLE-TEST 9 5. ENGLE-GNGE POCEDUEN 3 5.. Problemsillinger ved EG-proceduren 3 5.3 OPSUMMENG 3 6. MULTVTE KONTEGTONSNLYSE 3 6. VLG F LG V-MODELLEN 3 6. MSSPECFKTONSTESTS 34 6.. Normalie 34 6.. CH effeker 35 6..3 uokorrelaion 36 6..4 Sammenhæng mellem misspecifikaionsess 37 6.3 VLG F KONTEGTONSNG 37 6.3. ang es 37 6.3. Egenværdier 38 6.3.3 De korreke valg 39 6.4 PMETE OG TEST F HYPOTESE 39 6.4. Hypoeser for langsigede paramere 4 6.4. Esimaion af korsigede paramere 4 6.5 UKOELEEDE ESDULE 4 Side
6.6 OPSUMMENG 43 7. NLYSE F DEN KONSTNTE SKOPÆME PÅ DET DNSKE KTEMKED 44 7. BEEGNNG F DEN KONSTNTE SKOPÆME 44 7. SMMENLGNNG MED EN LGNENDE UNDESØGELSE 45 7.3 OPSUMMENG 46 8. NLYSE F EN TDSVEENDE SKOPÆMEN PÅ DET DNSKE KTEMKED 46 8. GFSK DTUDVKLNG OG UNVNTE TESTS 49 8. NDKTON F KONTEGTONSELTON 5 8.3 MODEL UDEN ESTKTONE 5 8.3. Trend og laglængde i modellen 5 8.4 UNDESØGELSE F MSSPECFKTON MODELLENE 54 8.4. Saisisk korrekion af middelværdiskif og sore residualer 56 8.4. Økonomisk begrundelse for korrekioner 58 8.5 KONTEGTONSELTONE 6 8.5. Valg af m il modellen 6 8.5. Valg af rang 6 8.5.3 Koinegraionsrelaioner og es af hypoeser for paramerene 64 8.5.4 De korsigede paramere 67 8.6 BEEGNNG F DEN TDSVEENDE SKOPÆME PÅ DET DNSKE KTEMKED 68 8.6. Den finansielle meode 69 8.6. Den saisiske meode 7 8.6.3 Sammenligning af de idsvarierende risikopræmier 7 8.7 DSKUSSON F EMPSKE ESULTTE 7 8.7. Konsan risikopræmie 7 8.7. Niveau if. andre undersøgelser af de danske akiemarked 7 8.7.3 Niveau if. risikopræmier fra andre koinegraionsanalyse 74 8.8 OPSUMMENG 76 9. KONKLUSON 77 LTTETULSTE 79 BLG -8 8 Der henvises i speciale il følgende filer som er vedlag på en CD-rom: ) Ecel-fil Daa og Beregninger.ls med daaserier og beregninger. - når filen åbnes skal makroerne akiveres. ) Programkode ProgramKode.PG il TS sam indlæsning af V-modeller il CTS. 3) Ecel-fil DaaTilCas.ls med daaserier der kan indlæses i TS. Side 3
. nrodukion dag har sørsedelen af den danske befolkning inveseringer i de danske værdipapirsmarked. Nogle mennesker har en pensionsopsparing som er invesere i en kombinaion af akier og obligaioner. ndre har invesere en personlig opsparing i arakive værdipapirer og forskellige virksomheder har en porion penge som er sa il side il dårlige ider. Ens for inveseringerne er a inveseringsværdien ønskes bibehold samidig med a der opnås sørs mulig afkas. En invesor anbefales a diversificere sin porefølje for eksempel ved a invesere i flere forskellige akier i de danske marked således a risikoen minimeres i forhold il de afkas som er mulig a opnå. For en langsige invesor er de ineressan a kende il afkase på inveseringerne over en længere horison. Derfor er der i denne analyse fokus på forholde mellem afkase på akiemarkede og afkase på e risikofri akiv ide dee viser forskellen på a have pengene sående på en bankkono og ved a invesere pengene i en veldiversificere dansk akieporefølje. følge eorien svarer afkase på akiemarkede il afkase på e risikofri afkas plus en risikopræmie for den øgede risiko der er ved a invesere i e risikofyld akiv. Der er foreage forskellige undersøgelser af risikopræmien på de danske akiemarked hvor undersøgelserne har varierende hisoriske horisoner samidig med a der ikke er fuldsændig enighed om hvordan hhv. akiemarkede og de risikofrie akiv skal beskrives. ndil nu har den gængse meode il besemmelse af risikopræmien være a beregne e gennemsni af de hisoriske afkas over en periode hvilke er i overenssemmelse med a risikopræmien anages a være konsan over id. Spørgsmåle er om denne anagelse er accepabel if. de danske akiemarked. Da de er umulig a forudsige udviklingen af priserne på værdipapirer vil værdipapirernes afkas være præge af sokasiske elemener hvorfor anagelsen om en konsan risikopræmie kan være problemaisk. Gennem idsrækkeanalyse er de vis a afkasudviklingen for e enkel akiv ilnærmelsesvis kan beskrives ved en uoregressiv proces (-proces). Derfor er de nærliggende a beskrive afkasudviklingen for akiemarkede ved én -proces og reneudviklingen for e risikofri akiv ved en anden -proces. de akiverne finansiel se kan påvirke hinanden samidig med a de kan være dreve af en fælles sokasisk proces undersøges de i denne analyse om der findes en koinegraion mellem udviklingen på hhv. de danske akiemarked og e risikofri akiv. Ved koinegraion har de o akiver mulighed for a påvirke hinandens udvikling samidig med a Fage Tidsrækkeanalyse på Cand.merc.(ma) -sudie Side 4
serierne varierer over id. Med de age i beragning giver anagelsen om en konsan risikopræmie over id ikke længere mening hvorfor en alernaiv beregning af risikopræmien vil beskrive den finansielle siuaion bedre. Kun i én forholdsvis lille undersøgelse er risikopræmien på de danske akiemarked besem ved hjælp af koinegraionsanalyse. Derfor er de ineressan a foreage en sørre undersøgelse af kombinaionen mellem mulivariae koinegraionsanalyser og sørrelsen af risikopræmien på de danske akiemarked. Yderligere har de ineresse a beregne spænde mellem maksimum og minimum for risikopræmien således a relevansen af iming og horison af en invesering kan vurderes når risikopræmien anages a variere over id.. Problemformulering Formåle med speciale er a gennemføre en mulivariae koinegraionsanalyse og herigennem a opnå indsig i modelspecifikaion og relevane ess. Specifik gennemføres en analyse af de danske akiemarked og herfra beregnes den idsvarierende risikopræmie som en invesor kan forvene a opnå ved en invesering i de danske akiemarked. Hovedspørgsmåle i speciale er således: Hvordan kan risikopræmien på de danske akiemarked beregnes ved brug af mulivariae koinegraionsanalyser? De overordnede emne er definere som Mulivariae koinegraionsanalyser af risikopræmien på de danske akiemarked. Ved besvarelse af hovedspørgsmåle opnås således den ønskede forsåelse af de overordnede emne. De overordnede emne er del op i flere delemner hvoraf hver delemne beskrives for sig. Således opnås en dybdegående besvarelse af hovedspørgsmåle. Hver delemne undersøges med udgangspunk i hver si delspørgsmål: Hvad er definiionen af risikopræmien og hvordan beregnes den? Hvilke serier beskriver de danske værdipapirmarked beds if. eorien bag risikopræmien? Hvordan defineres en V-model og hvad beyder de for modellen når der er koinegraion mellem serierne i modellen? Hvad indebærer mulivaria koinegraion (Johansens koinegraion) og hvilke konsekvenser er der ved resulaerne af de forskellige ess som benyes i analysen? Hvad opnås ved en empirisk analyse af de danske akiemarked mh. sørrelsen på risikopræmien og spænde mellem maksimum og minimum for denne? Delspørgsmålene undersøges i nævne rækkefølge. nalysen indledes således med a beskrive definiionen af risikopræmien og klargøre hvorledes denne kan beregnes. Olesen J.O. () Side 5
. fgrænsninger De er nødvendig a foreage visse afgrænsninger for emne. dee afsni beskrives hver afgrænsning sam hvad der ligger il grund for disse. Førs afgrænses koinegraionseorien ide a der kun laves ()-analyse for mulivaria koinegraion. Der ses bor fra muligheden for ()-analyse ide ()-analyse er ilsrækkelig for den valge case. Yderligere vil M-dynamikken i en evenuel langsige ligevæg ikke blive beskreve ide dynamikken i ligevæg ikke er relevan for sørrelsen på risikopræmien for de danske akiemarked. nagelser om a esimerede paramere er konsane over hele perioden anfæges ikke da modellen ikke skal benyes il forcas. Derfor undlades rekursiv esimaion med de esimerede parameer i analysen. forhold il den valge case beregnes risikopræmien over en afgrænse idsperiode fra 97 il 8 da denne idsperiode er relevan a sammenligne med en fremidig udvikling. Samidig anages de a de danske værdipapirmarked kun indeholder obligaioner rener og akieindeks og der ses bor fra muligheden for a invesere i mere eksoiske værdipapirer. Der anages yderligere simplificeringer for værdipapirmarkede ide der ses bor fra invesorskaer kurage på handler og lignende skaer og afgifer. Ud fra disse afgrænsninger undersøges de forskellige delspørgsmål fra problemformuleringen. Således vil eorien omkring beregning af risikopræmien den afgrænsede koinegraionseori og den empiriske analyse give en grundig dækning af emne inden for de angivne rammer..3 Daa valg Daaserierne som benyes il den empiriske analyse er besem ud fra overvejelser omkring de danske værdipapirmarked. En længere diskussion af værdipapirmarkede i Danmark indgår senere hvor der fremgår begrundelser for valg af daaserier. analysen benyes kvaralsdaa i perioden 3. december 969 il 3. december 8 således a undersøgelsen dækker over en periode på 39 år med i al 57 observaioner. En samle oversig over akiver beskrivelser af serier idsperioder og daakilder findes i bilag. Da der benyes kvaralsdaa skal de risikofrie akiv defineres over en 3 måneders periode. Derfor benyes en 3 måneders CBO-rene som besemmes ud fra danske bankers renesaser på de Side 6
givne idspunk. Da reneserien ikke går lang nok ilbage i id benyes diskonosaser fra den danske naionalbank il den førse del af daaserien fra 3. december 969 il 3. mars 988. Herefer benyes den 3 måneders CBO-rene fra 3. mars 988 og frem il 3. december 8. Den årlige diskonosas på e given idspunk deles med 4 således a serien angiver 3 måneders renesaser svarende il de reserende kvaralsdaa. De danske akiemarked kan angives ved flere forskellige indeks der beskriver markede ud fra forskellige vinkler. denne analyse benyes Morgan Sanleys MSC Danmark indeks il a beskrive en veldiversificere porefølje på de danske akiemarked. ndekse omregnes il DKK ved hjælp af valuakurserne på idspunke for den enkele observaion. Hermed giver de mening a sammenligne med e dansk risikofri akiv som auomaisk opgøres i DKK hvilke beyder a valuarisikoen fjernes fra undersøgelsen. MSC indekse er udbyekorrigere hvorfor der i undersøgelsen ikke fremkommer fejl som følge af udbye på de enkele akier. analysens beregninger benyes reale indeks- afkas- og reneserier. Disse er fremkomme ved a deflaerer serierne med den danske inflaion. denne analyse benyes en inflaionsserie fra MF nernaional Financial Saisics som angiver en gennemsnilig årlig inflaion over en periode på 3 måneder. 3 For a inflaionen gælder kvaralsvis deles den gennemsnilige årlige inflaionssas på e given idspunk med 4 således a inflaionen svarer il de reserende kvaralsdaa.. isikopræmien på e akiemarked En del af akivallokeringen i en porefølje er a besemme en fordeling af inveseringerne. Fordelingen kan beså af en blanding af akier obligaioner og konanbeholdning eller fordelingen kan indeholde mere eksoiske inveseringer. En invesering i akiemarkede kan give varierende afkas og markedes udvikling kan beskrives ved e markedsindeks som herved indikerer afkase på en veldiversificere porefølje. En konanbeholdning vil derimod give e renebeløb og ide renen er kend fra inveseringens sar anses konanbeholdningen for a være en risikofri invesering mens en invesering i akiemarkede er risikofyld. Under anagelse af a en ilpas lang idshorison vil indeholde en hel business cyklus med både op- og nedure i markede er der generel opsåe en hypoese om a forskellen på en invesering i e 3 Førs beregnes årlige inflaioner for hver måned if. åre før. For eksempelvis. kvaral vil den gennemsnilige årlige inflaion være summen af inflaioner for januar februar og mars som herefer deles med 3. Side 7
risikofyld akiv og e risikofri akiv er konsan over denne idshorison. E argumen der aler for denne hypoese er a variaionen i forskellen mellem de o inveseringer gennem den ilpas lange idshorison vil udligne sig hvorfor anagelsen om en konsan forskel kan acceperes. På denne baggrund undersøges førse delspørgsmål om den generelle definiion og beregning af risikopræmien på e akiemarked.. Definiion og beregning af risikopræmien en undersøgelse af de amerikanske akiemarked fra 985 4 ser Mehra og Presco førs på den hisoriske udvikling i markede. følge dem beskrives sammenhængen mellem de gennemsnilige årlige hisoriske realafkas på hhv. akiemarkede og e risikofri akiv ved: er akiemarkedes årlige afkas f P P f. (.) f er afkase på de risikofrie akiv og P er en risikopræmie. Mehra og Presco viser a hisorisk se har de årlige afkas på de amerikanske akiemarked være beydelig sørre end de årlige afkas på de risikofrie akiv. Dee merafkas kaldes risikopræmien på akier (risikopræmien) og angives ovenfor i ligningen med P. isikopræmien er afhængig af den valge idsperiode som afkasene sammenlignes over sam hvilke markedsindeks og hvilke risikofri akiv der benyes som sammenligningsgrundlag... fgrænsninger for akiemarkeds indeks E akiemarkedsindeks besår af mange akier fra e given marked. Disse akier skal sæes sammen således a der opnås e samle indeks som kan beregnes koninuerlig. Typisk er der forskellige meoder il a væge akierne i e indeks pris-væge eller værdi-væge. E pris-væge indeks beregnes ved a finde summen af priserne på de akier der indgår hvorefer summen deles med analle af akier. E værdi-væge indeks beregnes derimod ved a hver akie i indekse har e væg som svarer il markedsværdien af selskabes egenkapial. de der i e pris-væge indeks ikke ages højde for værdiilvæksen ved eksempelvis udbye vil bevægelserne i indekse ikke svare il de afkas en invesor ville få hvis han replikerede indekse. fkase i e værdi-væge indeks svarer således bedre il de afkas en invesor ville få ved replikering hvilke beyder a e værdi-væge indeks er a forrække når performance og herunder risikopræmien på akier skal beregnes 5. 4 Mehra. nd Presco E.C. (985) 5 Cornell B. (999) Side 8
en revidere udgave fra 8 af Mehra og Prescos arikel specificeres de underliggende anagelser for beregning af risikopræmien 6. De anages a alle bealinger på de underliggende akiver bliver reinvesere. De beyder a udbyebealinger på akier og rener på obligaioner sam konanbeholdninger skal inveseres i de givne akiv således a bealingerne kommer il a indgå som en signing i akives værdi. Yderligere anages de a der ikke beales ska eller handelsomkosninger ide disse kan være forskellige fra akiv il akiv... Beregning af realafkas og realrene Da inflaionen varierer fra idsperiode il idsperiode skal den ikke være en fakor i sørrelsen på risikopræmien. Den nominelle rene er pr. definiion påvirke af inflaionen hvorfor der skal benyes en realrene il risikopræmieberegningen. ealrenen findes ved a fjerne inflaionspåvirkningen fra den nominelle rene hvilke gøres ved a benye den generelle renes regningsformel 7 i : r (.) π hvor r er den reale rene i er den nominelle rene og π er inflaionen. Beregningen af e nominel afkas (lig prisændringen) på e given akiv kan findes ved: hvor i er afkase fra il P udbye i løbe af periode der skal reinveseres. P D P P D i P (.3) P P er akivprisen på id P er akivprisen på id og D er Den generelle formel (.) for realreneberegning kan direke overføres il akieindeksserier hvorved r er de reale afkas og i er de nominelle afkas...3 Beregning af risikopræmien E alernaiv il ligning (.) er a beregne e afkas på akiemarkede en rene for de risikofrie akiv sam a beregne en ilhørende risikopræmie il hver delidspunk. isikopræmien over en længere periode besemmes herefer som e gennemsni af de enkele risikopræmier indenfor inervalle ide de anages a risikopræmien over de samlede inerval er konsan. Se fra e maemaisk synspunk kan der benyes o forskellige yper af gennemsni: 6 Mehra. nd presco E.C. (8) s.8 7 Jensen B.. (5) s.7 Side 9
rihmerisk gennemsni: Sum af observaioner hvor de anages a delperioder er lige lange. nal observaioner Slu værdi n Geomerisk gennemsni: hvor n analle af delperioder. Sar værdi Generel gælder de a de geomeriske gennemsni alid er mindre eller lig de arihmeriske gennemsni. Yderligere gælder a jo mere variabel en serie er jo sørre forskel vil der være mellem de o yper af gennemsni. Således vil der være sor forskel på sørrelsen af risikopræmien al efer hvilken ype gennemsni der benyes. Ved beregning med flere serier (eksempelvis en akieserie og e risikofri akiv) over en fas periode gælder de a differencen af de geomeriske gennemsni på o individuelle serier ikke svarer il e geomerisk gennemsni af en serie med differensen på de enkele observaioner i de o serier. forhold il beregningen af risikopræmien over en samle periode vil de beyde a der med geomerisk gennemsni fremkommer én sørrelse fra ligning (.) og en anden sørrelse fra den alernaive meode med risikopræmier ved alle delperioderne. Dee er en uheldig egenskab ide der vil være vivl om sørrelsen på den samlede risikopræmie. Denne problemsilling opsår ikke for de arihmeriske gennemsni hvorfor der er en klar fordel ved a benye de arihmeriske gennemsni i beregningen af den samlede risikopræmie på akiemarkede. Mehra og Presco argumenerer således også for de arihmeriske gennemsni i deres reviderede undersøgelse: f reurns are uncorrelaed over ime he appropriae saisic is he arihmeic average because he epeced fuure value of a $ invesmen is obained by compounding he mean reurns. Thus his is he appropriae saisic o repor if one is ineresed in he mean erminal value of he invesmen. 8 Yderligere mener de a den fremidige værdi af en invesering vil blive underesimere hvis de geomeriske gennemsni benyes ide denne har mindre værdi end de arihmeriske gennemsni. l i al må de konkluderes a de arihmeriske gennemsni skal benyes i beregning af den hisoriske risikopræmie på akiemarkede...4 Hisorisk risikopræmie vs. Fremidig risikopræmie de en invesor er ineressere i den forvenede indjening på en invesering er den fremidige risikopræmie mere ineressan end den hisoriske risikopræmie. 8 Mehra. nd presco E.C. (8) s. Side
flere undersøgelser 9 anages de a hvis den hisoriske risikopræmie beregnes ud fra e lang hisorisk inerval så er de e god esima af den forvenede risikopræmie. Dee sker med en implici anagelse om a fremiden bliver ligesom foriden hvorfor de forvenede afkas i fremiden vil være de gennemsnilige risikofrie afkas plus den hisoriske risikopræmie. Som en yderligere dimension il diskussionen er inflaion varierende over id. For a undgå a den varierende inflaion påvirker risikopræmien benyes som idligere nævn realafkas. Benyes de reale afkase hisorisk opsår der e bias ide markedspriserne afspejler den forvenede inflaion i de kommende inerval mens de fakiske afkas beregnes ud fra den realiserede inflaion. De viser sig på lang sig a fejl-effekerne mellem forvene og realisere inflaion vil gå ud med hinanden. Overordne beyder dee a en hisorisk risikopræmie der er beregne over en lang idshorison kan benyes som esima for fremidens risikopræmie. Så længe invesoren er opmærksom på de bagvedliggende anagelser om a fremidens udvikling bliver som foridens udvikling sam de bias der opsår fra problemsillingen mellem forvene og realisere inflaion kan invesoren alså anskue en hisorisk risikopræmie som e esima af de fremidige forvenede merafkas på akiemarkede.. Mulige risikofrie akiver fkase på de risikofrie akiv der benyes il a beregne risikopræmien er ikke specificere il en specifik ype akiv. De beyder a der er flere alernaive inveseringsmuligheder som er kandida il a være e risikofri akiv. På kor sig kan der benyes e skaekammerbevis med en løbeid på en måned eller e sasobligaionsindeks med fas varighed på 83. Dee er de æese man kan komme på e risikofri akiv ide løbeiden ilbage på akive er så kor a udbealingen kan beegnes som kend. På lang sig (e. år) kan der benyes e sasobligaionsindeks eller en obligaion med hhv. en varighed på eller en løbeid på år. Generel må langsigede sasobligaioner anses som værende defaul-free hvilke gør dem egnede som e risikofri akiv i beregningen af risikopræmien. Til gengæld kan de variere på korere sig på grund af ændringer i renen og de kan variere på lang sig på grund af ændringer i inflaionen. De beyder a sasobligaionerne ikke lever fuld op il krave for e risikofri akiv ide de således ikke genererer e kend afkas. 9 Cornell B. (999) og Dimson E. March P. Saunon M. () Dee sker eksempelvis på de amerikanske daasæ i Cornell B. (999) Side
Speciel for de danske marked er sasobligaioner hisorisk se ynd handle hvorfor disse i perioder har være illikvide. Danske realkrediobligaioner har hisorisk se være likvide men en realkrediobligaion kan ikke anses for a være defaul-free. Derfor kan e realkrediobligaionsindeks ikke anses for a være risikofri. Den risiko der er forbunde med en realkrediobligaion afbalanceres ved a der er en sørre rene på denne ype obligaion frem for en sasobligaion. E ande alernaiv er a benye inerbankrenen som oplyses af Naionalbanken. nerbankrenen kan også ændre sig undervejs men hvis en bank finansierer e lån il en anden bank vil inerbankrenen på den pågældende dag blive benye som rene på låne. De beyder a afkase på de risikofrie akiv (hvilke er lig inerbankrenen) er kend for den valge inveseringsperiode. Dimson Marsh og Saunon har forage en analyse af de danske akiemarked fra 9- hvor risikopræmien beregnes for samlige delperioder der kan inddeles ved års inerval såvel med en esimere kor rene serie som e esimere -årig realkrediobligaionsindeks. nalysen viser a der er sor forskel på risikopræmiernes sørrelser al efer hvilken idsperiode der benyes. Derudover viser analysen også a forskellen mellem præmien besem ved hhv. den kore rene og de -årige realkrediobligaionsindeks indenfor den samme periode kan variere. Den sørse forskel er i perioden 9-99 hvor risikopræmien ved realkrediobligaionsindekse er 68% sørre end risikopræmien ved brug af den kore rene. Den mindse forskel findes fra 94- hvor risikopræmien ved realkrediobligaionsindekse er % sørre end risikopræmien ved den kore rene. /5 af ilfældene er de risikopræmien besem ved korrenen der er sørs mens de i 3/5 af ilfældene er risikopræmien besem ved realkrediobligaionsindekse der er sørs. Korreneserien hos Dimson Marsh og Saunon har en sørre realrene end deres -årige realkrediobligaionsindeks gennem hele perioden. følge ligning (.) vil en sørre rene på de risikofrie akiv resulere i en mindre risikopræmie og derfor giver den overordnede fordeling god mening. Normal vil renen på en realkrediobligaion være sørre end korrenen ide den sørre rene skal kompensere for den øgede risiko der er ilknye en realkrediobligaion. følge ligning (.) vil realkrediobligaionsindekse derfor generere en mindre risikopræmie på grund af den sørre rene. En real rene vil blive beregne vha. ligning (.) og ide risikopræmien beregnes ved arihmerisk gennemsni må de anages a renen er approksimaiv konsan for a e gennemsni vil give en konsan risikopræmie. Jf. Samale med Senior poreføljemanager Henrik Qvisgaard fra Kapialforvalning i Gudme aaschou Banks Dimson E. March P. Saunon M. () Side
Samle se har valge af de risikofrie akiv således en påvirkning på sørrelsen af risikopræmien. De vigigse elemener i valge af de risikofrie akiv er derfor: akive er definere over den relevane periode. akive er approksimaiv konsan. akive af invesoren kan anses a være forudsigelig og således risikofri..3 Opsummering Fra anagelsen om a risikopræmien er konsan over id kan risikopræmien for e akiemarked beregnes. isikopræmien angiver de gennemsnilige merafkas der kan opnås ved a invesere i e akiemarked frem for a invesere il en rene der er kend ved sar. Der indgår op il flere elemener i beregningen af den konsane risikopræmie. De er bl.a. a akieindekse er værdi-væge og repræsenerer markede så bred som mulig a udbyer og rener reinveseres sam a der benyes realafkas og arihmeriske gennemsni ved beregningen. Yderligere er der elemener der kan have påvirkning på sørrelsen af den konsane risikopræmie så som valge af periodelængden og en vurdering af hvilke akiv der anvendes il a repræsenere de risikofrie akiv. 3. De danske marked dee afsni beskrives de danske værdipapirmarked og de undersøges hhv. hvilken ype akiemarkedsindeks og hvilken ype af risikofri akiv der passer beds il risikopræmieanalysen. Herved besvares de ande delspørgsmål under problemformuleringen ide krierierne fra eorien benyes il a vælge de mes anvendelige serier. 3. Definiion af de danske akiemarked De danske akiemarked har e sor udbud af akier ide både sørre og mindre virksomheder inden for forskellige brancher er finansiere ved hjælp af akier. Som udgangspunk defineres akier il hhv. a være noere eller unoere. Dvs. en noere akie er en akie der er noere på OMX København mens en unoere akie ikke er noere på OMX København. OMX København er en del af OMX Den Nordiske Børs og sår for akiehandlen på de danske marked. Således er OMX København selve hovedmarkedspladsen for akiehandler i Danmark. Side 3
3.. OMX København OMX København har definere forskellige indeks der beskriver handlen på de danske marked. ndeksene kan være opdel i 4 forskellige indeksyper der angiver hvilken udvikling en serie skal afspejle 3. P-indeksypen angiver en ren prisserie hvor udbye på de repræsenerede akier ikke reinveseres. Når en akie giver udbye vil akieværdien falde på udbyedagen svarende il den værdi der gives i udbye. Korrigere med den specifikke akies væg i indekse vil de dermed også føre il e fald i indeks af P-ypen. Således er e indeks af P-ypen e billede af akiekursens bevægelse alene. G-indeksypen angiver e bruoserie hvor udbye er geninvesere i den pågældende akie. Herved vil falde i akieværdien på udbyedagen blive modvirke af en ilsvarende invesering hvorfor den vægede værdi i G-indekse vil være uændre. Således angiver Gypen den sande udvikling i akieindekse. N-indeksypen defineres på samme måde som G-ypen hvor der dog er e fradrag af kildeska før udbye kan geninveseres. N-ypen angiver derfor e neoindeks. Cap-ypen har en grænse for hvor sor en væg en enkel akie kan have i indekse. Hvis vægen af akien bliver for sor bliver dens væg jusere il værdien af den øvre grænse. Cap-ypen er derfor en jusere indeksserie kalde e cappe indeks og serien findes både i en P- og en G-ype. OMX København s 5 overordnede akieindeks giver forskellige vinkler af handlen på de danske akiemarked. lle indeksene er værdi-væge således a hver akie indgår med sin markedsvæg. Toalindekse der beskriver hele markede på OMX København er KX. Samlige akier der er noere på OMX København er således inkludere. ndekse viser den samlede ilsand af de danske marked og heraf kan de udledes hvilke ændringer der sker i markede som helhed. KX findes både som P- og G-ype sam Cappede versioner af disse. OMXC (C) er de førende akieindeks på de danske marked. ndekse revideres en gang om åre og indeholder de mes omsae danske akier der er noere på OMX København. Modsykke heril er KFMX indekser der indeholder alle de noerede danske akier som ikke er med i C-indekse 4. Ved værdiændringer giver selskaberne i C en beskrivelse af bevægelserne i ca. 8% af de danske akiemarked hvorved selskaberne i KFMX giver en beskrivelse af ændringer 3 Beskrivelse af akieindeks og indeksyper kan ses på www.omnordicechange.com 4 f særlige årsager er enkele akier ikke indehold i hverken C eller KFMX. Ved a række akierne i C fra Toalindekse vil der være enkele undagelser i forhold il akierne i KFMX. Side 4
i de sidse ca. %. Mens C kun opgøres som P-ype opgøres KFMX både som P- og G-ype. Formåle med de o akieindeks er a beskrive hvordan de hhv. går med de mes og mindre omsae akier på markede. Herved vil ændringer i markede ses som umiddelbare reakioner på C mens reakionerne førs ses senere på KFMX. OMXCB angiver OMX Københavns benchmarkindeks. Her er akierne i indekse en kombinaion af de sørse akier og de mes omsae akier hvor alle akier væges med den del af deres akiekapial der anses for a være ilgængelig for markede. OMXCB findes i de samme yper som KX nemlig P- G- Capped P- og Capped G-yper. Derudover findes der flere sekorindeks CX som inddeler alle noerede akier på OMX København i 4 niveauer. Disse niveauer er specificere i forhold il Global ndusry Classificaion Sandard (GCS) som er en inernaional inddeling af selskaber som er udvikle af Morgan Sanley Capial nernaional nc. og Sandard and Poor s. Hver sekorindeks findes hhv. som om P- og G-yper. Når en invesor skal benye e af indeksene fra OMX København il a beskrive de danske akiemarked er der flere fakorer der gør sig gældende. Før der kan ræffes e valg om e specifik indeks skal invesoren overveje hvilken vinkel af markede der skal belyses. De mes eller minds omsae de oale marked eller en kombinaion heraf. Samidig skal de beslues om indekse skal afspejle den rene prisudvikling eller om der skal ages højde for udbye. lle disse variaioner beyder a invesorer og analyikere har forskellige syn på hvordan de danske akiemarked er sammensa. Derfor er de vigig a specificere si marked før der gennemføres analyser og anbefalinger. 3.. MSC Morgan Sanley Capial nernaional nc. (MSC) definerer indeks for markeder i hele verden 5 hvor hver indeks bl.a. kan dække over e land eller e koninen. ndeksene er inddel efer om de er e udviklingsland eller e indusriland der beskrives eller alernaiv hvilken verdensdel der skal beskrives. Ofes er indeksene noere i USD men de kan også angives i andre valua. MSC har bl.a. definere e indeks der beskriver de samlede danske akiemarked: MSC Daily T Ne Denmark USD (MSC Danmark). ndekse giver en alernaiv beskrivelse af de danske akiemarked i forhold il indeksserierne fra OMX København. ndekse fra MSC er oprindelig noere i USD men kan angives i DDK ved a omregne værdien med den officielle valuakurs il hver given idspunk. 5 Beskrivelser af indeks yper kan ses på www.msci.com. Side 5
MSC Danmark dækker ca. 85% af de danske akiemarked 6 men definiionen af selskaberne indehold i indekse er mere komplicere end for C. Samlige noerede akier inddeles efer de 4 GCS niveauer hvorefer akierne il indekse vælges således a de 85% af markede er dække. Udvælgelsen af akierne sker på basis af e krierium om a akier fra samlige kombinaioner af niveauer skal være repræsenere. De beyder a akier fra alle de forskellige sekorer af markede er inkludere selvom de ikke nødvendigvis er særlig omsae på børsen. Yderligere er vægen af hver enkel akie definere ud fra den free floa jusere markedskapial i selskabe 7. Således er de kun de akier som er ilgængelig for den almindelige invesor der æller med i indekse hvorfor MSC Danmark vil give e mere reel billede af de danske akiemarked for en almindelig invesor ide den uopnåelige del af akiemarkede er sorere fra ved free floa jusering. 3..3 Valg af akieindeks il empirisk analyse Fra ovensående beskrivelser af de danske akiemarked kan de konkluderes a der er forskel på hvilke indeks der skal benyes i en given siuaion. De skyldes a hver indeks er opgjor på forskellig vis og således giver hver sin en vinkel på de danske akiemarked. De forskellige indeksserier er mere eller mindre anvendelige i forhold il beregning af risikopræmien på markede hvorfor nogle af indeksene kan udelukkes med de samme. isikopræmien på de danske akiemarked skal i denne analyse besemmes ud fra en helhedsvurdering af markede. de der findes eksempler på a noerede akier sjælden bliver handle og derfor enen får en forker vægning eller er uopnåelige for den almindelige invesor må der ses bor fra KX og KFMX. analysen behøves der ikke oplysninger på sekorniveau så OMXCX- indeksene fravælges også. OMXCB C og MSC Danmark er derfor som udgangspunk de 3 mulige kandidaer il a beskrive de danske akiemarked. Som beskreve i afsni. skal akieindekse være korrigere for udbye og inddel således a mes mulig af markede er repræsenere. Samidig skal der benyes en lang idshorison for a sikre sig mes mulig hisorik i forhold il a kunne beregne en så præcis risikopræmie som mulig. følge eorien er de også en fordel a indekse er værdivæge så der ages højde for værdiilvækser ved udbye. Derfor er de bedse valg il a beskrive de danske akiemarked MSC Danmark hvorfor MSC Danmark i resen af opgaven vil definere de danske akiemarked. 6 99 skee der en opjusering således a indekse gik fra a dække ca. 6% il a dække de nuværende 85%. 7 Uddybende forklaring af free floa jusere markedskapial findes i bilag. Side 6
3. Definiion af de risikofrie akiv Udgangspunke i eorien er a de risikofrie akiv beds beskrives ved en korrene ide denne er kend ved inveseringens begyndelse og dermed kan anages a være risikofri. Danmarks Naionalbank offenliggører de danske inerbankrener også kalde CBO (Copenhagen nerbank Offered ae). enerne beregnes ud fra en række individuelle pengeinsiuers inerne renesaser 8. l efer hvor mange pengeinsiuer 9 der har indberee deres renesaser fjernes de -3 højese og -3 laves renesaser (ved sillere fjernes 3 og ved under 8 sillere fjernes kun ) hvorefer der regnes e simpel gennemsni af de ilbageværende renesaser. CBO findes med løbeider på hhv. uge uger og op il måneder og de offenliggøres daglig på Danmarks Naionalbanks hjemmeside. Udviklingen i de danske akiemarked er beskreve kvaralsvis og derfor vil CBO med en løbeid på 3 måneder (CBO3M) beskrive den ilsvarende udvikling for korrenemarkede i Danmark. egisreringen af CBO3M dækker perioden fra 3. juni 988 og frem il i dag hvilke beyder a perioden fra 3. december 969 og frem il 3. juni 988 må beskrives ved en anden rene. Den bedse mulighed er a benye Naionalbankens diskonosaser som indikerer den overordnede udvikling i Naionalbankens rener. Diskonosasen angiver den årlige diskonering hvilke beyder a den skal deles med 4 for a den kvaralsvise diskonering fremkommer. E alernaiv er a beskrive de risikofrie akiv ved nulkupon-renerne fra kore sasobligaioner eller skaekammerbeviser. På nuværende idspunk er de flese danske skaekammerbeviser ved a blive udfase og de kore sasobligaioner er i øjeblikke mege illikvide. Derudover er de ikke mulig a benye e enkel akiv over hele idshorisonen ide akiverne vil udløbe og jævnlig skal ersaes af nye akiver. De vil skabe problemer i forhold il a opnå en koninuerlig serie og derfor kan de resulere i mege dårlige resulaer hvis sasobligaioner eller skaekammerbeviser benyes som de risikofrie akiv. En anden mulighed er a beskrive de risikofrie akiv ud fra enen sasobligaioner med længere løbeid eller e sasobligaionsindeks med længere varighed. Men ide akiemarkede er opdel i kvaraler og såvel sasobligaionen som indekse kan ændre sig over id hvis der sker rene- eller inflaionsændringer vil disse højs sandsynlig ikke give e god esima af de risikofrie akiv. En redje mulighed er a benye realkrediobligaioner il a beskrive de risikofrie akiv. Selv om e dansk realkrediobligaionsindeks er likvid over hele perioden fra 3. december 969 il 3. 8 www.naionalbanken.dk/dndk/valua.nsf/side/cbo_forklaring!opendocumen 9 De øjeblikkelige anal og specifikaion af hvilke insiuer der er ale om findes på Naionalbanken hjemmeside. Jf. Samale med Senior poreføljemanager Henrik Qvisgaard fra Kapialforvalning i Gudme aaschou Banks Side 7
december 8 kan de ikke benyes il beskrivelse af de risikofrie akiv. Denne ype indeks kan ikke berages som risikofri ide der er mulighed for defaul af selskaberne bag obligaionerne. De kan således konkluderes a korrenen i Danmark beds beskriver de risikofrie akiv. Korrenen angives med den Danske Naionalbanks diskonosas fra 3. december 969 il 3. mars 988 og med CBO3M fra 3. juni 988 il 3. december 8. 3.3 Udviklingen i de danske marked Udviklingen i de danske værdipapirmarked undersøges på baggrund af udviklingen for hhv. de valge akieindeks og indekse for de risikofrie akiv. Førs defineres den nominelle og den reale udvikling for de o serier hvorunder også inflaionen defineres og derefer kan de o udviklingsmønser beskrives. 3.3. Definiion af inflaion nflaionen henes fra MF nernaional Financial Saisics som er en sandard kilde il inernaionale og naionale finansielle undersøgelser. nflaionen i Danmark beregnes ud fra forbrugerprisindekse fra Danmarks Saisik og kan opgøres for forskellige idshorisoner. MF nernaional Financial Saisics benyer følgende beregningsmeode af inflaionen. Den årlige inflaion som svarer il den årlige ændring i forbrugerprisindekse beregnes for hver måned ud fra formlen: F F π (3.) F hvor F er forbrugerprisindekse på id og F er forbrugerprisindekse e år forinden. Den gennemsnilige årlige inflaion for hver kvaral kan nu beregnes ved a age e gennemsni af de årlige inflaioner for de 3 måneder der definere e besem kvaral. Den gennemsnilige årlige inflaion for hver kvaral deles med 4 således a inflaionen opgøres kvaralsvis. π π π (3.) π nflaionsindekse beregnes herefer som: ( π ) hvor π er inflaionsindeksserien på id π π inflaionen på id. ndekse sares ved π. 969; Q4 er inflaionsindeksserien på id - π er www.ds.dk/saisik/senese/ndkoms/priser/forbrugerprisindeks.asp Side 8
3.3. Beregning af nominel og real udvikling i de danske akiemarked Udviklingen af akiemarkedes indeksserie og afkasserie kan vises nominel og real. De nominelle serier er udryk for de observerede værdier der har være i markede på de givne idspunker mens de reale serier viser de deflaerede værdier. Deflaerede værdier svarer il de observerede værdier jusere for inflaion. Disse beregnes vha. formel (.). kiemarkedes indeksserie benyes il a beregne afkase for akiemarkede på idspunke ved hjælp af formel (.3). de udbye er reinvesere i MSC indekse skal der ikke ages højde for udbye i løbe af perioderne. Derfor er D sa lig i samlige perioder. Sammenhængen mellem den reale prisserie og den nominelle prisserie er: P P no min el real (3.3) π hvor P real er værdien af den reale prisserie P no el min er værdien af den nominelle pris og π er værdien af inflaionsindeksserien il hver idspunk. 3.3.3 Beregning af nominel og real udvikling i de danske renemarked de den nominelle reneserie svarer il afkasserien for de danske akiemarked omskrives formel (.3) således a der ses bor fra udbyer hvorefer der kan beregnes en indeksserie for de risikofrie P (3.4) akiv. i P ( i ) P P hvor P er værdien af serien for de risikofrie akiv på id P er værdien af serien for de risikofrie akiv på id i er de nominelle afkas mellem id og. ndekse sares ved P 969 ; Q4. De nominelle reneindeks omregnes il realreneindeks vha. formel (3.3) og beregningen kan konrolleres i henhold il den kende renes regning sammenhæng mellem den nominelle rene og realrenen formel(.). 3.3.4 Udviklingsmønser på de danske marked Graferne for hhv. den nominelle og den reale udvikling for såvel indeks- som afkasserier indenfor de o markeder er illusrere i bilag 3. f graferne bemærkes de hvorledes inflaionsindekse påvirker den nominelle udvikling for såvel akieindekse som indekse for de risikofrie akiv. Side 9
Udsvingene i de nominelle serier er sadig a finde i de reale serier hvor sørrelsen på udsvingene er noge mindre ide inflaionspåvirkningerne er fjerne. De reale akieindeks kan inddeles i 3 perioder med forskellige overordnede endenser: 97-98 er de reale akieindeks sabil 98-996 er de reale akieindeks voksende med en lille volailie 997-8 er de reale akieindeks særk voksende men med sor volailie Tilsvarende kan de reale indeks for de risikofrie akiv inddeles i 3 andre perioder: 97-984 er de reale indeks for de risikofrie akiv sabil 985-993 er de reale indeks for de risikofrie akiv særk sigende 994-8 er de reale indeks for de risikofrie akiv svag sigende Som udgangspunk er endenserne i de o serier ikke ens hvilke er naurlig ide økonomiske begivenheder påvirker de o serier forskellig. Ved afkas- og reneserier er udviklingen lid anderledes. Her påvirkes reneserien af inflaionen mens akieserien sor se ikke ænders. De skyldes a de reale akieafkas svinger mellem - og 4% mens den reale rene svinger mellem -7 og 4%. nflaionen har derfor sor indvirkning på reneudviklingen mens ændringen i inflaionen ikke kan ses bland de sore udsving i akieafkase. De reale akieafkas viser en sabil endens gennem hele perioden med den samme middelværdi og volailie. Den reale rene ser derimod ud il a være sabil i førse og sidse del af perioden mens den i miden af perioden førs har en svag sigende og derefer en svag faldende endens. Yderligere er der enkele sore udsving i forhold il en ellers ens volailie gennem perioden. 3.4 Opsummering De kan konkluderes a der findes flere alernaiver il hhv. a beskrive akiemarkede og de risikofrie akiv i Danmark. Ud fra den eoreiske definiion af en akieindeksserie der skal benyes il a beregne risikopræmien passer MSC Danmark beds. Tilsvarende er de en kombinaion af diskonosasen og CBO3M der er de mes opimal il a beskrive en risikofri serie. De nominelle og reale indeks- afkas- og reneserier beregnes ud fra de idligere beskrevne formler. Tendenserne i indeksserierne er generel sigende mens afkas- og reneserier generel se har samme middelværdier gennem hele perioden. Side
4. nrodukion il V model Som redskab il a samle de forskellige serier i en model benyes en Vekor uoregressiv proces (V). De redje delspørgsmål fra problemformuleringen må derfor besvares med henblik på a definiionen af modellen og koinegraionen mellem serierne i modellen beskrives. En V-model beskriver e anal sokasiske processer og er en reformulering af M p kovarianserne mellem disse p processer. Modellen er i sig selv en saisisk model som beskriver sokasiske variaioner i e daasæ. Ved hjælp af modellen kan økonomiske eller finansielle problemsillinger defineres saisisk og der kan udledes hhv. esimaer saisiske ess og asympoiske fordelinger således a der kan drages logiske konklusioner om den saiske model og derved også den bagvedliggende økonomiske eller finansielle model. En V model med k lags (V(k)) dvs. der skal k idligere værdier af processerne il a beskrive de nuværende værdier kan formuleres som: ε µ Π Π KΠ k k ε K T ~ N p ( Ω) hvor angiver a samme model kan benyes il e hver give idspunk mellem og T µ er en vekor med middelværdier mens Ω og Π i K k er de ukende variable. Ω er variansen på i søjledde og Π i K k beskriver hældnings koefficien maricer. i Generel vil de for en saionær proces gælde a forskellen mellem den realiserede værdi og den beingede middelværdien E [ K k ] µ Π Π KΠ k k µ er en Gausisk søj-proces dvs: ε ε ~ N ( Ω) K T µ. p de modellen har en underliggende anagelse om mulivaria normalie i residualerne er lineær udryk ved paramerene og disse paramere anages a være konsane over samlige idspunker. empirien vil dee være konsisen med a invesor er raionel og a han ikke laver sysemaiske fejl når han planlægger for id basere på informaionen om de idligere værdier. Når modellen esimeres vil der derfor være o anagelser. En anagelse om mulivaria normalie således a Side
residualerne fra den esimerede model ikke afviger signifikan fra anagelsen ε N ( Ω) anagelse om a paramerene er konsane over idsperioden. ~ p og en 4. Omskrivning il kompak form Når der ikke er resrikioner på variablene er en simplere noaion for en V(k) den kompake form: ε B Z ~ N ε K T hvor B [ µ Π Π K Π ] ( Ω) k og Z [ k ] p K. de modellen er uden resrikioner og på kompak form kan loglikelihood funkionen udledes hvorved de fulde informaions maksimum likelihood (FML) esimaerne Bˆ og Ωˆ findes ved a sæe de afledede lig : ln L B ln L Ω Bˆ T Ω ˆ T ( Z ) T εˆ εˆ T Z Z Den maksimale værdi af loglikelihood funkionen for maksimum likelihood esimaerne findes ved: ( ) T Ωˆ ( Bˆ Z ) Ωˆ ln ( Bˆ Z ) p ln L ma T ln π. og ved indsæning af de fundne esimaer Bˆ og Ωˆ viser de sig a værdien kan udrykkes ved: ln L Ωˆ ma T ln ptln( π ). Fra ligningen ses de a den maksimale loglikelihood værdi er proporional med logarimen il deerminanen af kovariansmaricen for residualerne og ellers afhænger af konsanerne. T p og π. Loglikelihood værdien benyes ofe som sammenligningsgrundlag for forskellige modeller hvorfor de er vigig a kende il dens værdi. Speciel benyes loglikelihood værdien il a ese om der kan laves redukion fra en model il en anden ide eksempelvis en eller flere paramere sæes il nul. 4. Omskrivning il VECM For a adskille de korsigede og de langsigede effeker kan V-modellen reformuleres il en Vekor Ligevægs Korrekions Model (VECM) uden a indføre bindende resrikioner på modellen. Juselius (6) afsni 4. Side
Den generelle model kan formuleres ved 3 : ε Γ ~ N ( m) ( m) ( m) p ( Ω) Γ KΓ k k Π m ε hvor m er e helal som ligger mellem og k og som definerer placeringen af ligevægs korrekions ledde. De vil generel gælde a Π k i Π i p mens definiionen af ( m) Γ i i K k afhænger af m. Eksempelvis for m gælder de a Γi VECM angiver ændringen i ved differencer laggede differencer og laggede niveauer så de bliver nemmere a skelne mellem saionarie fra differencer og saionarie fra linear kombinaioner Π m k i i. Fordelen ved VECM er a mulicollinearies effeken er signifikan reducere i denne formulering. De beyder a afhængigheden mellem de forklarende variable bliver mindre ide korrelaionen mellem differencerne er mindre end korrelaionen mellem variablene i niveau. Herved er beregningerne af koefficienen il den enkele forklarende variabel mere valid og der fremkommer e bedre esima af påvirkningen fra hver enkel forklarende variabel. Yderligere ligger den langsigede effek i maricen Π mens den korsigede effek ligger i de reserende variable. eformuleringen beyder a modellen er nemmere a forolke og de korsigede sam de langsigede effeker kan analyseres hver for sig. Π i 4.3 Koinegraion i VECM ndil nu er de enkele variable kun beskreve i hver sin proces. Derfor undersøges de hvordan en koinegraion mellem variable opsår. 4.3. Definiion af koinegraion For økonomiske senarier sker de ofe a effekerne ændrer sig over id og derved beds beskrives ved idsserier. e simpel ilfælde ses der på p variable. De anages a hver af serierne besår af en saionær del 4 og en del som indeholder en random walk der genereres fra en enhedsrod. En serie der indeholder disse o dele er definere il a være () hvorfor begge serier anages a være (). Serierne kan opskrives som: j saionær del ε j i j. (4.) De gælder de a ε og ε er hvide søjprocesser og de kumulerede fejl angiver sokasiske rends for hver af de o idsserier. i 3 Omskrivningen for e eksempel med lags kan ses i bilag 4. 4 Herunder iniialværdien for processen Side 3
en serie er () beyder grafisk se a niveauserien ikke har en fas middelværdi og a der kan være voksende eller afagende rends i serien. Yderligere kan variansen svinge og derved varierer i forskellige perioder af niveauserien. Til gengæld vil førsedifferensserien for hver af variablene være () hvorfor de grafisk se vil være uden både sokasiske og deerminisiske rends og have en konsan middelværdi. l i al gælder a niveauserierne er syre af varierende rends mens differensserierne er saionære serier uden rends. z En linear kombinaion af de o variable kan opskrives som: b b ( b b ) b Ved indsæning af definiionen af de o serier (4.) fås:. z saionær del b i i ( bε i bε i ) ε b ε saionær del. i i i Generel se vil de gælde a z er (). speciale ilfælde vil de dog være sådan a linearkombinaionen af de o idsserier vil give en ()-serie. De sker når de individuelle sokasiske rends i de o serier udligner hinanden i linearkombinaionen. Herved må de o sokasiske rends være proporionale hvorfor de o variable deler en fælles sokasisk rend der skalleres forskellig. ilfælde ovenfor vil z være () og de vil gælde a b b ε i i ε. Denne egenskab for de specielle linearkombinaioner kaldes koinegraion og kan opnås når der er færre individuelle sokasisk rends end der er variable i. Vekoren b kaldes en koinegraionsvekor og vil ofe være normalisere på en koefficien E. ( ). b b Ved hjælp af en normalisere koinegraionsvekor kan der opskrives en regression: hvor µ er middelværdien af z µ u og u er en saionær proces med middelværdi. forhold il økonomisk eori afspejler regressionen en økonomisk ligevæg. De o variable vil ilfældig gå op og ned men vil ikke afvige mege fra ligevægen. Ved koinegraion vil afvigelsen fra ligevæg være angive ved u. Chokkene ε og ε vil have permanene effeker på variablene selv mens de kun vil have ransiorisk effek på u. Side 4