Formler for spoler. An English resume is offered on page 5.

An English resume is offered on page 5. Ledere En leder har ved lave frekvenser en inern selvindukion L 1 som følge af fele inde i lederen, men srømmen løber kun i de yderse,5 mm ved khz og,1 mm ved 1 MHz på grund af srømforrængning, så selvindukionen afager med frekvensen og modsanden siger. E lederpar kan opfaes som en lang og smal spole hvor lederene afgrænser areale l 1l og den har selvindukionen L som følge af fele i areale mellem lederne, så selvindukionen er minds ved æliggende ledere. Den magneiske konsan μ (permeabilieen for vakuum) er en eksak værdi. L 1 l 1 8 = 5nH/m l 1, f khz L = l 1 lnl, l 1 l = 41 7 H/m l 1 l Selvindukionen beregnes fra rådlængden (L 1), ilsluningens løkke (L ) og en af formlerne (L X). L = L 1 L L X Simpel spole Diameer d og rådykkelse. Kan benyes for nogle få vindinger, hvis de ligger æ og er den samlede ykkelse af beviklingen (se side 34). L K = d N ln 1,7 d,,3 d N 1 Prakisk formel for lave frekvenser hvor L 1 nu er inkludere (l 1 = πd) og kun mangler illedningens selvindukion L. Se også Maxwell side 54. L = L d N ln 1,38d, f khz Enkellags spole En cylindrisk spole har beviklingen med N vindinger liggende i e enkel lag (evenuel N R lag). Diameeren beregnes fra indre og ydre diameer (d 1 og d ), ydre længden er l og rådykkelsen. Tykkelsen af beviklingen skal være lille. Formlen L N benyes for spoler med en længde sørre end 1/1 af diameeren og Wheelers formel L W giver højere præcision for længere spoler. Kore spoler beregnes efer L K1 ned il en minimum længde og L K giver højere præcision. Spoleformen skal være af ikke-magneisk og ikke-ledende maeriale som luf, ræ eller plas. L N = d N 4 l,4d L W = d N 4 l,45d L K 1 = d N ln,43d l L K = [1, l d ] L K 1, d = d 1 d = d 1, ±3,5% ved l,15 d 6% ved l =,1d ±,33% ved l,4d d ± % ved l,35d Minds l,3d ±,6% ved l,9d 1,5% ved l = d l = N l 1 N dn R lilslu l T 4 4 3 1 d l d 1 d Tore Skogberg 17-11-9 Under revision 1

Formlerne sammenlignes i Figur 1 med den eoreisk ideelle værdi for cylinderspolen som angive efer Lorenz og Nagaoka (side 54) og afvigelsen herfra vises i Figur. Bemærk a den eoreisk ideelle værdi gælder for en cylinder med uendelig ynd folie og ikke for en bevikling med endelig ykkelse. De er forklaringen for hvorfor Maxwells formel ilsyneladende ligger for lav. Figur 1 Sammenligning mellem de forskellige formler fra ariklen og den eoreisk ideelle spole efer Lorenz og Nagaoka. For Maxwells formel er rådykkelsen sa lig med længden. Cylinderspolen har kun eoreisk ineresse (L S side 3). Formlerne Normal og Wheeler benyes for beregning af reelle spoler (L N side 5 og L W side 59). Kore spoler (L K1 og L K) ager over for en beskeden spolelængde (se side 55). Maxwell (L M) vises i referenceafsnie (side 54). Figur Den procenvise afvigelse fra de eoreisk ideelle. Farverne svarer il Figur 1. Inden nøjagigheden illægges for mege beydning anbefales de a se eksemplerne på siderne 9-11, læse afsnie side 1 om nøjagighed og deril referenceafsnie side 54. Tore Skogberg 17-11-9 Under revision

Skiveforme spole For plane, skiveformede spoler med beviklingen liggende i en spiralform giver Wheelers formel e god resula. Den gennemsnilige diameer af spolen d og ykkelsen af beviklingen b beregnes begge ud fra den indre diameer d i og ydre diameer d y. En alernaiv udgave af formlen benyer en form-fakor F, der angiver ykkelsen af beviklingen i forhold il den gennemsnilige diameer. Analle af vindinger N er give ved ykkelsen af beviklingen og den valge rådykkelse. Den oale ydre diameer, som kan måles med en skydelærer, er rådykkelsen sørre end d y og ilsvarende gælder for den indre diameer (D y og D i). L W = 4 d = d y d i 1 d N 4 d11b = 4, b = d y d i d N,41,1 F, F = b d = d y d i d y d i N = b, D y = d y, D i = d i d y d d i b Wheeler angiver nøjagigheden indenfor 5 %, men ifølge andre kilder kan der forekomme % afvigelse. Nedenfor vises den beregnede afvigelse fra selvindukionen beregne ved algorimen på side 49 for en spole med en ydre diameer på d y = 1 mm og en indre diameer d i fra nær nul il nær ved d y og med rådykkelsen som parameer. Selvindukionen falder særk af for en indre diameer over cirka 8 % af den ydre diameer fordi analle af vindinger på spolen afager. Figur 3 Til vensre vises selvindukionen for Wheelers formel (siple linje) sammenligne med en beregne værdi (fuld linje). Til højre ses den procenvise afvigelse. Trådykkelsen indgår ikke i formlen efer Wheeler, men den har beydning for nøjagigheden, og de bedse resula opnås med en relaiv ynd råd. En designreglen angiver d y 5d i hvor hulle i miden af spolen er på % af den ydre diameer og de er ganske accepabel i forhold il analyseresulae. Tore Skogberg 17-11-9 Under revision 3

Flerlags spole To formler 1 for spoler med ykkelse af beviklingen er Brooks coil (L B) og en Wheelers formel (L W). Beviklingens ykkelse B og spolens længde C er ens for Brooks coil (kvadraisk værsni), mens Wheelers formel illader forskellig længde og ykkelse. De o formler giver samme resula med samme dimensioner, og Wheelers formel opfører sig pæn ved ynd bevikling (hvor formlen ideel skal give samme resula som cylinderspolen), men nøjagigheden af de o formler er ukend. L B =,676 d N d = 3B = 3 C = D y D i L W = 4 8 d N 3d1 B9C d = D y D i D i d D y C B De er uvis om formlerne benyer den fysiske ydre dimension (D y og D i) og endelig rådykkelse eller om formlerne regner med cenrum-il-cenrum afsanden. Dee afsni er under revision. 1 Formelmaeriale udvikles fra side 36 og frem hvor den gensidige indukion gennemgås og formler for beregning af koblingsfakoren udvikles, og senere samles maeriale i en generel formel for en spoles selvindukion. Maeriale er dog ikke færdigudvikle; den beregnede selvindukion er i øjeblikke cirka 5 % for høj hvorfor algorimen endnu ikke præciseres. Som nævn i forrige fodnoe er en revision af formelmaeriale på vej. Tore Skogberg 17-11-9 Under revision 4

English resume I have included his resume as a guide o readers wih languages oher han Danish. The inerne offers free ranslaion services (Google ranslae, for insance), which may assis you decoding seleced pars of he documen. The aricle was iniiaed by a professional requiremen of charging baeries using inducive ransfer of energy. During he sudy I needed formulas for calculaion of he self inducion of air-coils and alhough he inerne is loaded wih formulas he was majoriy were saed wihou any informaion regarding error level or applicaion limiaion hus seriously affecing he usefulness. Several of he references were lecure noes from universiies bu mos ofen a he inroducory level and offering only he derivaion of he equaion for he solenoid coil again wihou any commens regarding he accuracy of he resul. As a consequence I decided o review he magneic heory and approach he subjec using he maerial found on he inerne as our guide. I am no an exper wihin he field of elecromagneic bu I believe ha he presened maerial is correc; however, I canno guaranee accuracy or applicabiliy. In he case you deec an error, or you encouner dubious informaion, please don' hesiae o forward he informaion o me. Formulas Theory Page 1 A collecion of formulas are presened wih he conducor iself being considered firs. The self inducion of he conducor is L 1 a low frequencies and is reduced oward zero for frequencies above approximaely khz due o he skin effec (see page 14). The self inducion of a pair of wires wih lengh l 1 and widh l is L and may represen he connecion wire o he coil. The self inducion of a simple coil wih one urn is called L K wihin his aricle, and may be used for a couple of urns if arranged in close proximiy. A collecion of formulas are presened wih he urns arranged in one single layer using a cylindrical coil, commonly known as he solenoid coil. A very useful formula is he Normal coil L N (page 56), which offers an error level of ±3.5 % wih he lengh downward limied o one-eigh of he diameer, and i can be used o one-enh wih an error of 6 %. An adjusmen of he formula generaes he well-known Wheelers formula L W (page 59), which is saed o wihin ±.33 % if he lengh is a leas.4 imes he diameer. For even shorer coils wo logarihmic equaions are presened wih onse from he Lorenz and Nagaoka formula (see page 54). The firs formula (L K1) is wihin % for coil lengh no exceeding one-hird of he diameer, and an improved formula (L K) is less han.6 % off for coil lengh less han.9 imes he diameer and he formula can be used for coil lengh up o he same lengh as he diameer wih an error of 1.5 %. Page The formulas are compared o he heoreical ideal. Page 3 A formula for he spiral-shaped coil wih ouer diameer d y and inner diameer d i due o Wheeler is presened and compared o an algorihm developed a page 49. An opimum shape is around d y = 5d i wih fairly hin wire hickness. Page 4 Two formulas are presened for coils wih several layers. They are grabbed from he inerne and no furher daa is available a presen ime. The magneic heory is inroduced on page 17 saring from Ampere's law and a coil build using long parallel wires is presened on page 1. The law of Bio and Savar is shown on page 6 and leads o equaions for shor coils and also saing he dependency o disance. Muual inducance is inroduced a page 36, and leads o an algorihm on page 49 for he spiral coil and work is being prepared for a general coil on page 5 bu he resul is no ye released. The reference formulas are considered on page 54, wih special focus on he cylindrical coil wih one layer (solenoid). I should be noed ha he Lorenz and Nagaoka formulas assume he coil being represened by a hin shee of conducing maerial and no a spiral of wire wih hickness. This curren shee is valuable for coils wih some minimal lengh bu he formula will no be correc for coils wih almos zero lengh, such as he coil wih one urn. Hence, he analysis of he Maxwell formula (page 54). The formula for L N is derived on page 56 and Wheelers formulas for coils wih non-zero layer hickness are considered a page 59. Tore Skogberg 17-11-9 Under revision 5

Indholdsforegnelse Inrodukion...7 Om selvindukion...7 Eksempler...9 Skiveforme spole...9 Kor cylinderspole...1 Lang cylinderspole...11 Spolens paramere...1 Nøjagighed...1 Elekrisk model...14 Elekromagneisme...17 Selvindukion...17 Magneisk flux...18 Amperes lov...18 Enkel leder...19 Dobbel leder...1 Cylinderspole...3 Normal spole...5 Bio og Savars lov...6 Enkel leder...6 Cirkulær leder...7 Afsandsregel...8 Simpel spole...31 Magneisk fluxæhed...31 Magneisk flux...33 Selvindukion...34 Selvindukion...36 Gensidig indukion...36 Koblingsfakor...37 Spole med o vindinger...38 Spole med mange vindinger...38 To vindinger i samme plan...4 To vindinger i lille afsand (under revision)...4 To vindinger i sor afsand...46 To vindinger i vilkårlig afsand (under revision)...47 Algorime...49 Skivespole...49 Generel spole (under revision)...5 Referenceformler...54 Maxwells formel...54 Cylinderspolen...54 Kor spole...55 Normal spole...56 Wheelers formler...59 Cylinderspolen...59 Skivespolen...61 Generel spole...61 Brooks coil...6 Appendiks...63 Magneisk fluxæhed Leder...63 Magneisk fluxæhed Spolens værsni...65 Magneisk flux...69 Sensiivie...74 Lang spole...74 Wheelers formel...75 Kor spole...76 Referencer...77 Tore Skogberg 17-11-9 Under revision 6

INTRODUKTION Jeg fik ved e job som opgave a besemme den elekriske effek en spole kunne overføre il e mindre elekronikproduk for a oplade des baeri. Opgaven blev løs, men de formler jeg fand frem il for beregning af spolens selvindukion var ikke gode, så jeg blev ineressere i a udforske emne. De vise sig a være en sørre opgave end førs anage, så for a genopfriske eorien er afsnie, der sarer side 17, mi forsøg på a rekapiulere de essenielle fra magneismen ved a inroducere Amperes og Bio & Savars love med en række eksempler som senere benyes il a løse problemerne. På side 36 inroduceres begrebe gensidig indukion, selvindukionen for en skiveforme spole findes på side 49 og en generel algorime er under udvikling i samme kapiel. De maeriale, der danner en slags facilise for arbejde gennemgås side 54. Du er mege velkommen il a konake mig på mail@orean.dk hvis du har nogle spørgsmål, hvis du har kommenarer il indholde eller hvis du finder fejl i ariklen. Alle henvendelser er velkomne. Ariklen er skreve under Ubunu med Open Office version 3.1 og ved brug af Wrier og Calc. Analyserne er foreage med MATLAB, hvis kode i e vis omfang kan læses af Ocavia. Om selvindukion Enhver elekrisk komponen er omgive af e magnefel når der løber en srøm igennem den og magnefele påvirker funkionen af komponenen. De er ganske uanse om de er en ledning, en modsand, en kondensaor, en diode eller kobberbanen på e prinkor. Påvirkningen viser sig som en spænding i serie med de spændingsfald der i øvrig måe være over komponenen. En påfør virkning kaldes for inducere og heraf navne på begrebe: Indukion. Spændingsfalde over en ledning er derfor ikke alene give af den srøm der løber igennem dens modsand (og som er give ved Ohms lov), men er også give a de omgivende magnefel. Mere præcis er de hasigheden som magnefele varieres med, der giver e spændingsfald over ledningen, så spændingens værdi er proporionel med hvor hurig magnefele ændres. Derfor ses effeken mes ved mege høje frekvenser, hvor magnefele varierer hurig, eller ved abrupe ændringer i srømen, som ved konaker der omskifes; for eksempel i logiske kredsløb og swichmode srømforsyninger. I B NB U I Figur 4 Srømmen I giver anledning il magnefele med syrken B omkring lederen og en ændring i magnefele giver e spændingsfald U der ligger i serie med lederen og som er give ved hasigheden magnefele ændres med (vis som symbole på e baeri). Vikles ledningen op i N løkker vil hver løkke generere e magnefele på B, ide srømmen er den samme i alle løkker, og de samlede magnefel gennem spolen bliver NB. En ændringen i magnefele på ΔB indenfor e vis idsrum giver anledning il en spændingsændring på ΔU i hver af spolens løkker. Den samlede ændring i magnefele er NΔB så spændingsændringen bliver NΔU i hver af løkkerne, og da der er N løkker i spolen bliver virkningen for alle løkker ilsammen på N ΔU. De illusrerer hvorfor de er så effekiv a vikle råden op il en spole, og da de er råden selv der inducerer spændingen kaldes de: Selvindukion. For a denne beskrivelse skal være korrek er de nødvendig a magnefele fra hver løkke løber igennem samlige løkker. I praksis vil noge af magnefele ikke nå frem il alle løkker på grund af feles spredning, så den samlede virkning er mindre end N gange indukionen af den enkele løkke. De vises i formlerne ved maemaiske udryk, der korrigerer alværdien som funkion af længden og diameeren sam evenuel beviklingens ykkelse og rådykkelsen. Tore Skogberg 17-11-9 Under revision 7

Alle formler for beregning af selvindukion indeholder den magneiske konsan μ = 1,6 μh/m, som med sin enhed anyder a formlen skal indeholde en karakerisisk længde for spolen, og de er oplag a anvende dens diameer il udrykke L = μ d, der i praksis kommer ganske æ på de korreke. Deril kommer kvadrae på analle af vindinger og den omale spredning i fele, som resulerer i en korrekionsfakor K, der afhænger af spolens geomeri. Den generelle formel for selvindukion af en spole med N vindinger og diameer d er derfor: L = d N K De er ariklens målsæning a angive brugbare udryk for korrekionsfakoren K, og da spolens geomeri er en afgørende fakor, er de ikke mulig bare a angive en konsan værdi. De undrer næppe nogen, a en spole med få og æsiddende vindinger giver en højere værdi af K, end end lang spole med mange vindinger hvor koblingen mellem de fjernese vindinger er ringe. Værdien er da også omkring,5 for den simple spole med en enkel vinding, og falder il cirka,5 for en cylinderspole med mange vindinger. Alle spoler vikles med en råd af en vis ykkelse, og råden selv bidrager med en selvindukion fra fele inde i lederen. Ved lave frekvenser er srømmen jævn fordel over lederens værsni, og felsyrken vokser fra nul i cenrum af lederen il en maksimalværdi ved overfladen, og dee fel giver en selvindukion, som her kaldes L 1 med en ypisk værdi omkring de 5 nh per meer råd. Ved højere frekvenser forrænges srømmen fra de indre af lederen og løber forrinsvis i e ynd bånd i overfladen af råden, så værdien af L 1 afager med sigende frekvens. Da srømmen nu er koncenrere i e mindre værsni vil DC modsanden sige. De kaldes for srømforrængning og omales i afsnie om spolens elekriske model (side 14). Tilsluningen il spolen danner en lukke sløjfe, som afgrænser e areal, og de magneiske fel i areale giver anledning il en selvindukion, der her kaldes L og ligeledes opræder som en del af spolens selvindukion. Værdien er give af rådens ykkelse og afsanden mellem lederene, og er med cirka 1 μh per meer af ganske sor beydning for især mindre spoler. I eksemple på næse side udgør selvindukionen i ilsluningen omkring 1 % af den oale selvindukion. Den resulerende selvindukion besår derfor af re led, é for lederen selv, é for ilsluningen il spolen, de vil sige hele de ekserne kredsløb, og endelig é for spolen selv. De beyder a alle formler i denne arikel skal benyes som følger, hvor K fremgår af de maemaiske udryk, og som er funkion af rådens ykkelse, spolens diameer og længde, sam ykkelsen af beviklingen. L = L 1 L d N K En simpel spole med lederen bukke il cirkelform har en selvindukion, der alene besemmes af diameeren og rådens ykkelse ved formlen L K på førse side. De er en ilnærmelse a illade spolen a indeholde flere vindinger end én, men resulae af a gøre de er god, hvis analle af vindinger er lille og vindingerne ligger æ sammen. Af samme grund er formlen begrænse il ni vindinger (re vindinger i re lag). De øvrige formler er enen simplifikaioner af de korreke udryk, eller de er udvikle af kreaive personer, der havde brug for en god formel. E god eksempel på de sidse er den velkende Wheelers formel (L W), der holder 33 % hvis den benyes korrek, men som kan give grof forker resula hvis den bruges uden omanke. Alle formler er ledsage af en begrænsning på deres anvendelsesområde, men der kan sadig opså overraskelser. Som e eksempel er formlerne L K1 og L K begge udvikle fra en maemaisk model, hvor spolen er repræsenere af en uendelig ynd folie med angive diameer og længde, og hvori den elekriske srøm flyder jævn. Ved en mege kor spole vil de maemaiske udryk kunne forvenes a ligne L K, men sidsnævne benyer en råd med en vis ykkelse, hvorimod modellens råd er en folie uden ykkelse og den beregnede selvindukion bliver derfor højere. De gør de svær a omsæe modellen il en fysisk realiserbar spole, men som eksemplerne viser, går de nu ganske god i praksis, blo diameeren er væsenlig sørre end rådens diameer. Tore Skogberg 17-11-9 Under revision 8

Eksempler Tre spoler skal beregnes for a vise formlernes brug: en mege kor spole, en kor cylinderspole og en lang cylinderspole. Konklusionen er a formlerne er brugbare, men der kan forekomme overraskelser, så man skal ikke sole på a resulae er væsenlig bedre end ±1 %. Skiveforme spole Spolen har N = 4 vindinger og er vikle på en ræform med diameeren d 1 =,178 m. Trådens ykkelse er =,5 mm og isolaionen er,5 mm yk så diameeren bliver d = d 1 + 1,5 mm =,18 m. Længden af spolen er vurdere il l = 5 mm som re gange afsanden cener-il-cener mellem lederene (3 gange 1,5 mm) plus rådykkelsen. Længden af illedningen er på l 1 = 1 m. Spolen er mål på en målebro il 7,9 μh ved 1 khz, men den relaiv sore spole er følsom for mealdele i sin nærhed så målingen kan ikke venes a være præcis. Figur 5 Skiveforme spole vikle med isolere råd på en cirkulær ræform. L 1 Indukionen af selve råden beregnes fra den oale længde af råd l1 der besår af spolens rådlængde πnd plus illedningen il l 1 = πnd + l = π 4,18 + 1 = 4,6 m. L 1 5 nh/m l 1 L 1 5 nh/m 4,6 m =,1 H L Indukionen af ilsluningens løkke er give af ledningens længde på l 1 = 1 m, afsanden mellem rådene som vurderes il l = mm og ykkelsen af råden på =,5 mm. L = l 1 ln l L = 4 1 7 1 ln 1 3 =,83 H 3,5 1 Den samlede indukion fra råden er L 1 + L = 1,4 μh (13 % af spolens værdi). L K Selvindukionen beregnes af udrykke for en simpel spole ide længden af spolen er lille. Præcisionen ved målingen er ikke kend, men resulae er god. Hvis den ilsvarende beregning gennemføres med L K1 vil resulae blive 11 % for høj, hvilke kunne indikere en nedre grænse for L K1 og L K ved en spolelængde mindre end 1/3 af spolens diameer. L = L 1 L L K L = 1,4 H N d L = 1,4 H 41 7 4,18 ln 1,7 d ln 1,7,18 5 1 3 = 7,65H 3, % L N Spolen er al for kor il formlen for Normal spole (l/d,3), men resulae er rimelig. L = 1,4 H 4 4 1 7,18 4 = 7,39 H 6,5 % 5 1 3,4,18 Tore Skogberg 17-11-9 Under revision 9

Kor cylinderspole Spolen har N = 5 vindinger og længden l = 1,5 mm. Vindingerne ligger æ så signingen er lig med rådykkelsen (p = ) og med l = N findes rådykkelsen = l/n =,5 mm. Den indre diameer er d 1 = 3 mm så spolens diameer bliver d = d 1 + = 3,5 mm. Leverandøren har oplyse selvindukion for o spoler il henholdsvis L A = 4, μh og L B = 4,5 μh, hvilke giver e gennemsni af selvindukionen på L = 4,35 μh med en spredningen på ±,15 μh svarende il ±,6 %. Figur 6 Kor cylinderspole fra Coil Craf med opgive selvindukion på 4,35 H. L 1 Indukionen af selve rådens beregnes fra den oale længde af råd l 1 der for spolens del er πnd og for illedningen, m giver værdien l 1 = π 5 3,5 1 3 +, =,95 m. L 1 = 5nH/m,95m =,15 H L Indukionen af ilsluningen er give af ledningens længde på l = mm og ykkelsen af råden på =,5 mm så kun bredden af løkken må gæes i mangel af daa fra producenen. Med en anage afsand mellem rådene på l = 5 mm giver de en indukion på L =,4 μh. L = 4 1 7, ln 5 1 3 =,4 H 3,5 1 Den samlede indukion fra ledningen er L 1 + L =,39 μh (1,6 % af spolens værdi). L K1 Selvindukionen for kor spole L K1 kan sreng age ikke benyes ide l/d =,38 ikke er mindre end den øvre grænse (,35), men resulae bliver dog ganske pæn alligevel. L K 1 =,39 H 4 1 7 5 3,5 1 3 ln,43 3,5 1 3 1,5 1 3 = 3,9 H 1,8 % L K Inkluderes korrekionsfakoren reduceres fejlen il cirka 1 %. L K =,39 H 1,5 1 3 1, 3,5 1 4 1 7 5 3,5 1 3 3 L K = 4,6 H 1,1 % ln,43 3,5 1 3 1,5 1 3 L W Selvindukionen efer Wheeler kan kun akkura benyes ide l/d =,38 er mege æ på,4. Resulae er indenfor måleusikkerheden give ved de oplyse værdier (±,6 %) og bekræfer den mulige præcision ved Wheelers formel. Med formlen for en Normal spole findes L N = 4,9 μh, der er,3 % over den måle værdi, og alle analyserede formler er dermed indenfor grænserne. L W =,39 H 4 4 1 7 5 3,5 1 3 =4,4 H,5 % 1,5 1 3 3,45 3,5 1 Tore Skogberg 17-11-9 Under revision 1

Lang cylinderspole Spolen besår af o sekioner med N A = 5 og N B = 15, vikle på en 1 mm form (ikke vis) med diameeren d = 1 mm. Trådykkelsen er =,3 mm (AWG8) og ykkelsen af papire er,3 mm så spolens diameer bliver d = 1 +,3 +,3 = 1,9 mm. Den lille sekion er vikle re æ så længden bliver l A = N A = 16 mm, mens den sore er vikle løsere med l B = 5 mm mål på spolen og der er mm afsand mellem sekionerne så oallængden bliver l AB = 68 mm. Spolernes selvindukion er mål med målebro il L A = 17 μh for den lille spole, L B = 48 μh for den sore spole og L AB = 65 μh for begge spoler i serie. Figur 7 Lang cylinderspole med mål selvindukion på 65 μh for begge spolens sekioner. L 1 Indukionen af selve rådens beregnes fra den oale længde af råd som l 1 = πnd +, m så l 1A = 1,7 m, l 1B = 5,1 m og l 1AB = 6,8 m og de giver rådens indukion il L 1A =,85 μh for den kore spole, L 1B =,5 μh for den lange og L 1AB =,34 μh for begge spoler i serie. L 1 = 5nH/m l 1 L Indukionen af ilsluningen beregnes af illedningens længde på l = mm, afsanden mellem rådene på l 3 = 5 mm og rådykkelsen på =,35 mm. L = 4 1 7, ln 5 1 3 =,7 H 3,35 1 Den samlede indukion af råden bliver L 1 + L =,36 μh for den kore spole (A),,5 μh for den lange spole (B) og,6 μh for begge spoler i serie (AB). L K Formlen for kor spole kan ikke benyes ide l/d 1,76 ikke er under 1. L W Selvindukionen med Wheelers formel kan benyes da krave l/d,4 er opfyld. L W A =,36 H 4 1 7 5 1,9 1 3 = 14,4 H 4 16 1 3 3,45 1,9 1 15 % L W B =,5 H 41 7 15 1,9 1 3 = 49,6 H 4 5 1 3,45 1,9 1 3 1, % L W AB =,6 H 4 1 7 1,9 1 3 = 65, H 4 68 1 3,45 1,9 1 3, % Der er, som de ses, en ganske sor fejl ved den kore spole hvorimod de o lange sekioner rammer god. Der er ikke nogen kend forklaring på den observaion. I afsnie om lange spoler er selvindukionen per vinding beregne il 366 nh/vinding, hvor de måle værdier giver 34, 3 og 35 nh/vinding og de yder ikke på målefejl. Tore Skogberg 17-11-9 Under revision 11

Spolens paramere Spolen er ideel se en é-lags spole med viklingerne liggende æ som en skrue og diameeren er gennemsnisværdien af spolens indre og ydre diameer (d 1 og d ), som også kan beregnes ud fra diameeren af den form spolen vikles på og rådens ykkelse (d 1 og ). d = d d 1 = d 1 Vindingerne ligger ikke som koncenriske cirkler, men beskriver en spiral med en signing, som er give ved rådykkelsen hvis vindingerne ligger æ, eller med cener-cener afsanden mellem vindingerne p (pich) hvis der er luf mellem vindingerne (p > ). 4 d 1 d l T 4 3 1 l l T1 Figur 8 Spolens længde forudsæer a analle af vindinger er e helal så rådenderne kommer ud i samme side, men af hensyn il egningens ydelighed er de vis lid forskud. En enkel vinding siger med afsanden p regne fra cenrum af vindingens sar il cenrum af vindingens sluning når den siger som gevinde på en skrue. Længden af spolen l er derved e fas bånd med N vindinger der skruer sig igennem spolens længde. Førse vinding siger fra il p for én omdrejning og sidse vinding siger fra (N 1)p il Np. Spolens længde bliver derfor: l = Np, p eller l = N, p = Lierauren er lid divergerende med hensyn il hvordan længde af spolen l angives. Jeg er af den opfaelse a spolens længde skal måles som anfør i egningen ovenfor, hvorved den oale længde l T1, der kan måles med en skydelærer direke på spolen, bliver: l T 1 = l = Np, p eller l T 1 = N1, p = Andre opfaelser er a spolens længde måles fra cenrum af førse leder il cenrum af sidse leder, de er fra il 4 i egningen, hvilke giver den oale længde il l T = Np+ eller l T = (N+). Den eoreiske model (se side 54) er en cylinder af ynd folie så begyndelsen og enden af røre er klar definere, og en model med skrueforme bevikling er derfor alid en ilnærmelse. Nøjagighed Wheelers formel skal være god indenfor ±,33 % hvis længden af spolen er sørre end radius, men de er under en forudsæning, som ikke kan nås i den virkelige verden. Som nævn ovenfor benyes e rør af en uendelig ynd folie for a udlede formelmaeriale, og de kan ikke bruges il re mege når man sår med en råd med en given ykkelse. Den røde kurve i figuren er korrek, men de er ud fra en ideel beragning, som ikke kan overføres direke il den reelle verden. Når beviklingen af spolen får ykkelse må man benye ingeniørmæssige anagelser, som for eksempel a holde beviklingen mege lille i forhold il spolens længde eller diameer. De giver dog blo e ny problem; for hvornår er mege lille, lille nok? Deril kommer hvor præcis man kan måle spolens dimensioner. Selv med sor påpasselighed er der en usikkerhed på ±1/ mm ved brug af en god skydelære, så en spole med en længde på 1 mm har allerede her en usikkerhed af den ene parameer (længden) på ±,5 % og de påvirker præcisionen af beregningen. Tore Skogberg 17-11-9 Under revision 1

E bud på effeken heraf kan findes som vis herunder, hvor sensiivieen s X angiver den relaive ændring (procenvise ændring) i selvindukionen som følge af en relaiv ændring i parameeren X. En ændring beegnes med ΔX og med en skydelære som enese kilde il fejl er Δx = ±,5 mm. En relaiv ændring er ΔX/X, så man sæer usikkerheden i relaion il de, der måles på. En måde a besemme værdien af ΔX på, er a foreage den samme måling flere gange med lid forskellig ilgang og omhyggelig noere hver enese resula ned. Efer minds 1 målinger besemmes ΔX som den sørse afvigelse i måledaa; de vil sige a ΔX = X MAX X MIN. Sensiivieen forsås som følger: For s X = vil en målefejl på 1 % ændre på værdien (selvindukionen) med %, og for s X = 1 vil en målefejl på 1 % ændre værdien 1 %. For en samle vurdering af effeken af flere forskellige fejlkilder benyes kun posiive al (de lodree sreger). = N s N N s d d d s l l l Værdier for sensiivieen er vis nedenfor og beregningen er vis i e senere kapiel. For andre forhold mellem længde og diameer end de vise må man gæe sig il en mellemværdi. Formel Vindingsal, N Diameer, d Længde, l Wheeler (l =,d),3 Wheeler (l =,5d) 1,3,5 Wheeler (l = d) 1,5,7 Kor spole (l =,1d) 1,3,3 Kor spole (l =,d) 1,4,4 Kor spole (l =,5d) 1,6,6 For den kore spole side 1 er analle vindinger N = 5 og de bør kunne besemmes præcis, så ΔN =. Diameeren er vanskelig a måle fordi spolen fjedrer, så e gæ er Δd = ±,5 mm. Spolen er sabil i længdereningen så Δl = ±,1 mm anages. Forholde mellem længde og diameer er på,38 så gennemsnie mellem, og,5 benyes og for Wheelers formel bliver usikkerheden: =,5,1 1,65,4 =,9,9% 5 3,5 1 I eksemple er der en forvene måleusikkerhed på ±,9 % hvoril kommer usikkerheden fra selve formlen (±,33 %), om man fik huske a inkludere indukionen fra ledningen (L 1 og L ) for ellers mangler der cirka 1,6 %, og deril om man huskede a række rådykkelsen fra målingen af diameeren, for ellers har man mål 1,5 % for mege (fejlen bliver 1,65 gange sørre:,5 %). De er bedre a anage realisiske fejlsørrelser for ikke a bilde sig selv noge ind. Esimaes værdi er afhængig af hvor god man ren fakisk måler og man bør ikke overvurdere egne evner. Deril kommer selve målingen af selvindukionen, som danner referencen for ariklens sammenligning med beregningen. Daa er her oplys af producenen for o engineering samples. De er mål på en målebro, men som eksen viser er der en vis usikkerhed allerede i fabrikanens daa (±,6 %). Man kan diskuere om de skal med i vurderingen af fejlen i beregningen af selvindukionen, men de danner reference for vurdering om hvorvid resulae er korrek. Samles alle daa uden a skele il de refærdige i a gøre sådan, bliver e pessimisisk esima (ε TOT) på cirka ±7,5 % og som kommenaren anyder skal man ikke forvene re mege bedre. TOT = ±,9,331,6,5,6 =±7,5% Selv om beregningerne i de idligere afsni i mange ilfælde er mege æ på målingerne, så var der o ilfælde, som fald 1 il 15 % fra de forvenede. De kan være målefejl eller daa kan være før forker ind i loggen, men de viser lid om de overraskelser der kan forekomme. Tore Skogberg 17-11-9 Under revision 13

Elekrisk model Spolen er ikke en ideel komponen, som blo er indukiv; fakisk er de den minds perfeke af de passive komponener. Spolen indeholder både en DC modsand R DC og en indukion L 1 på grund af den råd spolen vikles af, så en simpel model af spolen bliver selvindukionen L, beregne som vis på førse side, i serie med R DC og L 1. Modellen nedenfor inkluderer desuden en kapacie C P, som begrænser anvendelsen ved høje frekvenser og en modsand R P, som repræsenerer ab i spolen, for eksempel energi der abes ved magneisk kobling il omgivelserne. R DC L L 1 C P R P Figur 9 Model af spolen. DC modsanden begrænser impedansen nedadil og den parallelle kondensaor giver resonans ved en høj frekvens hvorover spolen ikke er indukiv. Spolens impedans er vis nedenfor og eksemples paramere kunne samme fra svingspolen i en almindelig højaler. Med de valge paramere er spolen indukiv fra cirka 1 khz og op il resonansen ved 16 khz over hvilken spolen ikke længere er indukiv (den er fakisk en kondensaor). 1 k 4 k k 1 k 4 I m p e d a n s / o h m 1 4 1 4 1 4 1 4 1 k k 4 k 1 k k 4 k 1 k 4 k 1 M F r e k v/ eh n z s Figur 1 Impedansen som funkion af frekvensen for en spole med R DC = 6,8 Ω, L = 1 mh, C P = 1 nf og R P = 1 kω. Grænsefrekvenserne er f = 1 khz og f P = 16 khz. Kurven er egne med SPICE simulaoren SIMerix fra www.simerix.co.uk som kan downloades grais. Den er i graisudgaven begrænse ved analle af knudepunker. E mål for spolens kvalie (englesk: qualiy) udrykkes ved dens Q-fakor, der er forholde mellem den maksimale værdi af spolens impedans og DC modsanden af råden. Den maksimale værdi opnås ved den frekvens f hvor spolen sammen med en kapacie går i resonans. Q = Z MAX R DC Med spolen fra eksemple er Z MAX = 1 kω ved f = 16 khz og med R DC = 6,8 Ω er spolens godhed på Q = 16. Tore Skogberg 17-11-9 Under revision 14

Ved lave frekvenser dominerer den elekriske modsand i den råd spolen er bevikle med og bliver den enese besemmende fakor for spolens impedans. Den er give ved maeriale (ρ Cu ), længden (l 1) og areale (A 1), og kan besemmes ved følgende formel, hvor maerialekonsanen gælder ved sueemperaur. R DC = Cu l 1 A 1 = Cu 4l 1 d 1, Cu =,175 1 6 m For en rådlængde på l 1 = 1 m og rådykkelsen på =,5 mm bliver modsanden R DC =,36 Ω. For aluminium er værdien ρ Al =,8 1 6 Ωm. For jern er værdien cirka ρ Fe =,1 1 6 Ωm og er afhængig af bearbejdningen af maeriale. For kulsof er værdien ρ C = 35 1 6 Ωm. Daa for andre maerialer må værdien findes på inernee: prøv fx Wikipedia med Specifik modsand. Trådens længde er give ved analle af vindinger gange omkredsen af spolen il l 1 = Nπd for kore spoler hvor man kan se bor fra a råden også skal bevæge sig frem og ilbage gennem spolen. Kan man ikke se bor fra længden må værdien forøges med spolens længde gange med de anal lag beviklingen benyer. Trådens areal er give ved rådykkelsen il A 1 = π /4, og hvis den specifikke modsand for kobber indsæes kan formlen simplificeres. Formlen nedenfor il højre gælder for kobberråd ved C og med diameeren i meer og rådykkelsen i millimeer. N d R DC = Cu /4 = 4 N d Cu R DC,7 N d d i m og i mm For en spole med N = 5 vindinger, diameeren d = 3 mm og rådykkelsen =,5 mm er DC modsanden R DC, Ω. De repræsenerer daa for spolen på side 1. Den angivne værdi forudsæer a srømmen løber i hele rådens gennemsni. Ved høje frekvenser forrænges srømmen så den forrinsvis løber i overfladen af lederen. Fele inde i lederen formindskes og den inerne indukion afager mens modsanden siger. Tykkelsen af de lag hovedparen af srømmen løber i kaldes δ og er give ved rådens ledningsevne ρ, frekvensen f og den magneiske konsan μ som vis nedenfor (engelsk Wikipedia: Skin effec ). Hvis lederen er af magneisk maeriale skal μ ersaes af μ Rμ. Srømforrængningen angiver den afsand fra overfladen og ind i lederen hvori 63 % af srømmen løber, så man kan med en vis re anage a srømmen løber i en cylinderskal med den angivne ykkelse. Eksemple er for kobber. = f =,175 1 6 m 4 1 7 H/mf 67 mm Hz f Allerede ved 5 Hz er srømmen begrænse il a løbe i de yderse 1 mm, og er forklaringen på a kabler i højspændingsmaserne ikke er over cm diameer ykkere kabler ville ganske enkel være spild af maeriale og i praksis besår højspændingskabler da også af en kappe af aluminium med en sålwire i miden il a give syrke. Hovedparen af srømmen løber i kappen og kun lid af srømmen løber i sålwiren så den bliver ikke for varm. Ved khz er srømmen begrænse il de yderse,5 mm, så effeken kan som ofes ignoreres indenfor de hørbare område, hvor diameeren af kabler sjælden er mege over 1 mm. De er god lain a anvende ykke kabler il eksempelvis højalere, men srømmen vil aldrig løbe i cenrum af kable ved de højese frekvenser, som derfor vil opleve en sørre modsand. Ved 1 MHz er srømmen koncenrere i e bæle på mindre end,1 mm og man kan med god ilnærmelse gå ud fra a srømforrængningen hel har fjerne srømmen fra de indre af lederen (hvorved L 1 ). Kredsløb il radioransmission udnyer dee il a de ledere, der har en sor srøm løbende, udføres som hule rør af sølvbelag kobber med kølevand inden i. Spolen har en beydelig kapacie i parallel, som dels skyldes den elekriske nærhed mellem naboviklinger og dels srømmens idsforsinkelse gennem beviklingen, ide sidsnævne opræder Tore Skogberg 17-11-9 Under revision 15

som en fasedrejning. Kapacieen begrænser anvendelsen ved høje frekvenser, men værdien er mege vanskelig a besemme da den bland ande afhænger af den måde spolen vikles på og frekvensen der måles ved. En spole kan vikles i é lag, hvilke er de bedse for a holde kapacieen mellem vindingerne nede, eller den kan vikles i adskile grupper af vindinger hvorved kapacieerne effekiv se kobles i serie og derved reducerer den effekive værdi. Hvis beviklingen benyer flere lag vil lagene koble og dermed forøge kapacieen. De har især beydning for bygning af kredsløb ved højfrekvens. Jeg rende ind i probleme ved bygning af en AM-radio hvor mellemfrekvensen er i nærheden af 5 khz, og de var ikke mulig a få kapacieen lav nok il a kunne få resonans ved den frekvens uden a opdele beviklingen i sekioner. Modellen på side 1 kan kun benyes når bølgelængden af signale er mege sørre i forhold il længden af den råd spolen er vikle af. Bølgelængden er mege sørre når den er 1 gange spolens rådlængde for a få en ommelfingerregel. Signales hasighed gennem råden sæes il lyses hasighed c, hvilke er en grov ilnærmelse, men de beyder ine her. En cirkulær spole med diameeren d og med N vindinger har rådlængden l 1 Nπd, så for en lang bølgelængde på λ = 1 l 1 findes den øvre grænsefrekvens af følgende formel. f max = c f max = c = c c = 1l 1 1 N d, c 3 18 m/s For en spole med diameeren d =,1 m og e anal vindinger på N = 1 er den esimerede øvre grænse derfor f max = 1 khz. De er mulig a anvende spolen ved en højere frekvens og de burde i eorien være mulig a anvende spolen indil rådlængden svarer il en kvar bølgelængde, de svarer il,5 MHz, men de er der absolu ingen garani for a man kan. Den konservaive beregning ovenfor er e god udgangspunk for e gæ på den grænse man bør holde sig under. Hermed sluer inrodukionen il beregning af en spoles selvindukion og de begrænsninger der må ages i ed. De følgende kapiler gennemgår de fundamenale eoreiske maeriale for den magneiske eori og de udbygges hen imod en algorime for beregning af selvindukionen af en spoles med både diameer, længde og ykkelse af beviklingen. Spoler kobler il omgivelserne og kan derfor afsæe effek i ekserne komponener, for eksempel nærliggende baner på e kredsløbskor. Som de vises i e senere kapiel afager syrken af de magneiske fel med redje poens af afsanden fra spolen, så en måde a mindske abe er a øge afsanden. Hvis de er o spoler, der påvirker hinanden, er en mulighed a anbringe dem vinkelre på hinanden. Den eknik er mulig med indil re spoler (xyz-akserne), men for e højere anal spoler er enese mulighed a øge afsanden eller a skærme de enkele spoler. Tore Skogberg 17-11-9 Under revision 16

ELEKTROMAGNETISME Sammenhængen mellem elekricie og magneisme blev opdage af Romagnosi brødrene i 18, men blev førs kend da Ørsed genopdagede effeken i 18 og publicerede resulaerne. En række beydende opdagelser følger i kølvande og Maxwell samler i 1873 den indhøsede viden i elekromagneismen. De er førse gang i hisorien a o kræfer samles i én fælles beskrivelse og desuden faslægges lyses hasighed ved o konsaner (c = 1/ε μ ), så den er konsan for alle iagagere hvilke inspirerede Einsein il udviklingen af relaivieseorien i 195. I dee kapiel inroduceres de grundlag, der er nødvendig for a udlede formler for selvindukion, men inden emne behandles er de nødvendig a inroducere begrebe linearie, der er en forudsæning for a superposiionsprincippe kan anvendes. Linearie beyder a der ikke er nogen øvre eller nedre begrænsninger, så når en srøm giver e magnefel af en vis sørrelse, vil en fordobling af srømmen også fordoble de magneiske fel, og hvis srømmen reduceres il nul vil magnefele også blive nul. De krav mødes af alle lufspoler under den forudsæning, a den elekriske srøm ikke varmer råden op over smelepunke. For en spole med mealkerne kan forudsæningen om linearie dog ikke forudsæes opfyld ide magnefele i kernen ikke falder il nul når srømmen slukkes (remanens) og de magneiske fel kan ikke vokse over en øvre grænse, der er karakerisisk for maeriale og som indræder ved cirka, T for ferrikerner (pulverkerner) og cirka T for jernkerner (ransformerblik). Superposiionsprincippe beyder a resulae af flere påvirkninger kan beregnes ved a addere de enkele bidrag og de er en direke konsekvens af linearie. De beyder a magnefele i e punk kan have flere kilder og værdien kan beregnes for hver kilde for sig selv med de samlede resula give ved addiion af bidragene. E eksempel er magnefele omkring o æliggende ledere, der fører den samme srøm; de magneiske fel udenfor lederene vil være summen af den magneiske felsyrke for hver af lederne og i sor afsand vil værdien være o gange fele fra den ene af lederne. Superposiionsprincippe anvendes både i Amperes lov, der inroduceres på side 18, og senere i Bio og Savars lov på side 6, hvor den magneiske fluxæhed i e punk besemmes ved a addere bidragene fra kore ledersykker. Selvindukion Enhver leder, der gennemløbes af en srøm I genererer e magneisk fel, som beskrives ved den magneiske flux Φ, der løber i rumme omkring lederen og relaionen mellem de o er give ved en karakerisisk konsan for kredsløbe, kalde selvindukionen, der har symbole L, sandsynligvis for a hædre Lenz. Produke NΦ er flux-vindingsalle, der også beegnes med Φ V, Φ eller og som kaldes den omsluede flux [1-154] ide de er den flux som de N ledere omsluer. N = L I Enheden for magneisk flux er weber (Wb) så enheden for selvindukionen bliver weber per ampere (Wb/A), der har fåe ildel den aflede SI enhed henry (H). Selvindukionen kan udledes direke af ligningen ved division med srømmen il e udryk der vil blive brug fliig i den følgende analyse. I ligningen er den magneiske flux der omsluer en enkel vinding af spolen og for N omsluede vindinger bliver værdien il flux-vindingsalle N. L = N I Opgaven er nu a finde e udryk for den magneisk flux gennem spolen som funkion af den elekriske srøm igennem lederen. Men før de kan gøres er de nødvendig a forså hvad magneisk flux er og hvordan den beregnes for e magneisk kredsløb. Tore Skogberg 17-11-9 Under revision 17

Magneisk flux Formler for spoler Den magneiske flux Φ angiver den oale srøm af magnefellinjer gennem e areal A og en beegnelse for hvor krafig fele er kaldes den magneiske fluxæhed, der beegnes med B. De o sørrelser, Φ og B, kan virke fremmedarede, men der er en analogi il den mængde lys der falder ind gennem e vindue. Mængden af lys (fluxen Φ) er give ved lyses inensie (fluxæheden B) og vindues areal (A), så en fordobling af areale medføre en dobling af fluxen gennem de. = B A, for B = konsan Enheden for magneisk flux er weber (Wb) så enheden for magneisk fluxæhed bliver Wb/m der har den aflede SI-enhed esla (T). En anden form er H/A. Beregningen forudsæer a den magneiske fluxæhed er konsan over areale, hvilke kun sjælden er ilfælde. I analogien il lysindfalde gennem e vindue kunne der så e ræ foran vindue, hvorved bladene kaser en varierende skygge på vindueareale og en fordobling af areale derfor ikke nødvendigvis medfører en fordobling af den indfaldne lysmængde. Når anagelsen af konsan magneisk fluxæhed ikke er gyldig må en omvej benyes. Den magneiske flux gennem e lille arealelemen da kan god beregnes som produke af en konsan magneisk fluxæhed og areale, ide fluxæheden kan anages for konsan når areale er lille nok; derved er dφ = BdA for e give punk, men B er nu en funkion af hvor på fladen der skal beregnes. Den samlede magneiske flux gennem areale er en sum af alle bidragene dφ over hele fladen med areale A, hvilke i den maemaiske noaion beegnes ved inegraion over areale. Bruges vekorer skal B have samme rening som normalen il areale, hvilke svarer il en projekion af areale ind på en flade der sår vinkelre på den magneiske fluxæhed, og i de er ilfælde er vinklen il normalen nul og cosinus bliver én og de vil blive forudsa opfyld i resen af ariklen. d = B da = B da = B da cosda = BdA, = Inegrale af BdA vil blive bruge fliig i ariklen il beregning af fluxen igennem spoler. Amperes lov Ampere indså i 18'erne a de magneiske fel løber cirkulær omkring en lang og lige leder med en syrke give ved srømmen i lederen og afsanden fra lederen. Amperes lov er en balance mellem o inegraler; de ene for den elekriske leder og de ande for de magneiske fel langs en kurve omkring lederen. I formlen benyes symbole J for srømæheden i lederen hvis værsni er S, og den magneiske fluxæhed er B langs e linjeelemen dl på en lukke kurve, der omsluer lederen eller gruppen af ledere. I ligningen indgår desuden den magneiske konsan μ (idligere kald permeabilieen), som Maxwell indføre da han samlede rådene i elekromagneismen. J ds = B dl I = B cosdl, = 4 1 7 H/m De førse inegral illader srømmen a variere over lederens værsni S, men hvis srømmen er konsan over hele lederen giver de vensre inegral JS, der er lig med den oale srømsyrke I, så vensre side af ligningen bliver I. En varierende fordeling af srømmen kan opfaes som de illadelige i a have o eller flere paralle ledere, der hver bærer srømmen I og derved adderes bidragene il de resulerende udryk NI, hvor N er analle af ledere. De ande inegral er udryk for magnefeles syrke langs med e linjeelemen dl på kurven. Vekor prik-produke er en projekion af magnefele ind på linjeelemene (B-feles syrke i linjeelemenes rening), så de er lig med de o vekorers længde gange med cosinus il vinklen imellem dem. N I = B cosdl Tore Skogberg 17-11-9 Under revision 18

Enkel leder Amperes lov skal førs benyes il a beregne den magneiske fluxæhed omkring en lang og lige leder. Lederen er her vinkelre på papire og srømmens rening er posiiv ud mod læseren. I R dl B 1 B 1B R I B 1A B 1 a Figur 11 De magneiske fel omkring en enkelleder (vensre) og o ledere som illusraion af superposiionsprincippe (højre). Magnefeles rening er vedægsmæssig i posiiv omløb om lederen; de vil sige a hvis man griber om lederen med højre hånds ommelfinger i srømmens rening så vil fingrene pege i magnefeles rening. Der er ingen fysisk begrundelse for dee valg. Inegraionen vil blive udfør langs en lukke kurve med konsan afsand fra lederen; de vil sige på periferien af en cirkel med cenrum i lederen. Symmerien sikrer a den magneiske fluxæhed er den samme overal langs periferien så B 1 er konsan og delager ikke i inegraionen. Feles rening er orienere langs med linjeelemene dl, så vinklen mellem dem er θ = og cos(θ) = 1. Længden af linjeelemene er dl = Rdφ hvor R er radius og dφ er drejningens vinkel. Vinklen rund langs med periferien løber fra il π så inegrale af Rdφ giver πr. N I = B 1 dl N I = B 1 R B 1 = N I R For en srøm på I = 1 A bliver den magneiske fluxæhed B 1 = 4 μt i afsanden R = 5 mm fra en enkelleder (N = 1) hvilke er æ på jordens magneiske felsyrke (cirka 45 μt i Danmark). Kurven for B 1 vises i Figur 1 for en uendelig ynd leder som den røde sreg og uden μ NI/π; de vil sige a de kun er 1/R der er vis og a kurvens værdier skal ganges med den angivne fakor. Den magneiske fluxæhed går mod uendelig når afsanden fra lederen går mod nul. Magnefel (gang med μi/π) 15 1 5-5 -1-15 - - -1,5-1 -,5,5 1 1,5 Normere afsand (x/a) Enkel Dobbel Figur 1 Den magneiske fluxæhed (uden fakor μ NI/π) for en enkelleder i x = (rød) og for en dobbel ledning (blå) med lederene i afsand ±a (vis som 1 og 1). Bemærk a fele mellem o parallelle ledere kun varierer ±1 % for x <,1a og mindre end ±1 % for x <,3a. Tegningen il højre i Figur 11 viser hvordan magnefele opbygges for e sysem med o ledere i parallel og med samme srømsyrke. I afsanden R fra cenrum af lederbunde må man forvene Tore Skogberg 17-11-9 Under revision 19

en magneisk fluxæhed æ på de dobbele af den enkele leder. Den magneiske fluxæhed beregnes nedenfor i de o punker, som er angive på egningen, og som kommenaren viser er anagelsen særdeles god når radius er minds 1 gange sørre end afsanden mellem lederne. B 1 A = I R a / I Ra/ = I R B 1 B = I R a /4 I R a /4 = I R 1 a R a 1 R I en afsand fra lederne på 1 gange afsanden mellem lederne (a/r =,1) er den magneiske fluxæhed,5 % sørre i punk A end med srømmen I løbende i cenrum mellem lederne, og værdien er,15 % i punk B. Ved gange afsanden mellem lederne er allene på henholdsvis 6,7 % og 3 % så man skal ikke re lang væk for a kunne bruge en ilnærme beregning. Samme beregningsprincip blev benye il a beregne den magneiske fluxæhed i afsanden x fra cenrum af en leder med diameeren 1 mm (radius,5 mm), som bærer en srømsyrke på 1 A og hvor beregningen inkluderer de indre af lederen. Den røde kurve giver forløbe ved en jævn fordeling af srømmen over hele lederens værsni, og blev beregne ved a lederen blev repræsenere ved e sor anal parallelle ledere. Den grønne kurve giver forløbe for en srøm der kun løber i overfladen af lederen, og blev beregne ved e sor anal ledere langs en cirkulær kurve omkring cenrum. Den blå kurve repræsenerer Amperes lov med srømmen løbende i cenrum og som de ses er beregningen gyldig fra og med lederens overflade. 1. 9. 8-3 x 1 R a d i u s =. 5 m m T e o r e i s k v æ r d i J æ v n s r ø m f o r d e l i n g O v e r f l a d e s r ø m M a g n e i s k f l u x æ h e d ( T ). 7. 6. 5. 4. 3.. 1.. 4. 6. 8 1 1. 1. 4 1. 6 1. 8 P o s i i o n x ( m ) - 3 x 1 Figur 13 - Den magneiske fluxæhed som funkion af afsanden fra cenrum af en elekrisk leder med.5 mm radius og en srøm på 1 A. Blå kurve viser forløbe efer Amperes lov når srømmen regnes for a løbe i cenrum af lederen. Forløbe vises med en jævn fordel srøm over lederen (rød) og en srøm der kun løber i overfladen af lederen (grøn). Felsyrken ved overfladen af lederen vokser over alle grænser for afagende ykkelse, men selv om de er korrek fra e maemaisk synspunk, så er de ikke fysisk realisisk, som de illusreres af kommenaren nedenfor. Afsanden skal være lille for a give en sor fluxæhed og lederen skal have en vis ykkelse for a kunne bære srømmen og de o krav srider imod hinanden. Hvis en srøm på 1 A løber i en leder med ykkelsen μm er den magneiske fluxæhed, T ved overfladen (1 μm fra cenrum). For en kobberråd vil modsanden være 6 Ω for en længde på blo en millimeer. Der kræves derfor en spænding på 6 V for a vinge 1 A igennem lederen, så der afsæes en effek på 6 W i råden, som hurig vil varmes op og fordampe så srømmen afbrydes. Tore Skogberg 17-11-9 Under revision

Dobbel leder Hvis den lange leder foldes sammen il en aflang og rekangulær løkke hvor den lange side er mege længere end den kore kan den magneiske fluxæhed besemmes inde i løkken såvel som udenfor ved a berage syseme som o uendelig lange og parallelle ledere. I x l 1 l = a x Figur 14 Den magneiske fluxæhed omkring en aflang løkke med e dealjere sni vis il højre. Inde i spolen vil magnefelerne undersøe hinanden mens de udenfor modvirker hinanden, så fele afager med kvadrae på afsanden i nogen afsand fra lederparra. Den indbyrdes afsand mellem lederene er l = a og koordinasysem arrangeres med nulpunk mid mellem de o ledere så lederne går gennem x 1 = a og x = a. Den magneiske fluxæhed opskrives førs for hver enkel leder i e punke langs x-aksen. De o feler undersøer hinanden i område indenfor spolen hvor begge udryk giver e posiiv resula, mens de modvirker hinanden udenfor. For x > a er B A negaiv og for x < a er B B negaiv. B A x = I a x og B B x = I ax Den resulerende magneiske fluxæhed i de valge punk er give af summen af de o feler, og kurven vises i Figur 1 med blå sreg. B x = B A xb B x B x = I a a x Ved symmeriaksen mellem lederene (x = ), er den magneiske fluxæhed de dobbele af værdien i afsanden a fra en enkelleder, og i sor afsand fra løkken ( x >> a) er den magneiske fluxæhed omvend proporional med kvadrae på afsanden så fele afager ganske hurig udenfor o parallelle ledere hvor srømmen løber i hver sin rening i lederne. De resula kan umiddelbar overføres il almindelige el-kabler og il højspændingskabler i en passende afsand. B = I a for x a og B x x a I a a x Den oale magneiske flux i areale mellem lederene beregnes ved inegraion af B over areale. I de følgende vil beegne rådens ykkelse (rådens diameer), og inegraionen benyer e smal bånd med bredden dx og længden l 1 (lederparres længde). Der inegreres fra a il a på nær radius af lederen (/), så nævneren ikke bliver nul. De beyder a arealelemene bliver da = l dx og den magneiske flux findes af: a = B x da= / I a / a a x l dx = I al 1 1 a / a / dx a x På grund af symmerien vil inegrale fra a + / il nul give samme som fra nul il a /, så de er ilsrækkelig a foreage sidse inegraion og gange med o. Inegrale løses ved opslag i e abelværk [4-157, 5-65] og der kræves ombyning af a og x svarende il e foregnsskif. = I al 1 a / dx x a = I al 1 [ 1 a ln x a a / xa ] Tore Skogberg 17-11-9 Under revision 1