12. Bevisets stilling

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "12. Bevisets stilling"

Transkript

1 12. Bevisets stilling Opgave 4 Hvorfor dur (x,y) = (1,-3) ikke? Det er et spørgsmål, der kan give anledning til forskellige overvejelser. Her beskrives en af dem. Vi har den mindste sum: = 40, og den største sum: = 51. Vi skal finde to tal, hvor hvert af dem adderet til hver addend i den mindste sum giver en sum, der ligger mellem 40 og 51. Altså et talpar (x,y) der gør følgende sandt: 40 < (13 + x) + (27 + y) < 51 Vi behøver ikke at gøre det helt så besværligt, vi kan blot tage summen af x og y og addere denne til 40 og hurtigt se, om summen ligger mellem 40 og 51. Altså kontrollere om følgende er sandt: 40 < 40 + x + y < 51 Talparret (1,-3) giver ved addition til 40: (-3) = 38, hvilket ikke dur. Vi kan nu se, at det talpar, vi skal addere til den mindste sum, skal give en sum, der er større end nul. Altså har vi x + y > 0 som er ensbetydende med, at y > -x Det grafiske billede heraf giver et område, der ligger over den rette linje y = -x gennem (0,0). Men kan vi så bruge alle talpar i dette område? Det fører os ind på spørgsmålet: Hvorfor skal summen af x og y være mindre end 11, som der står i teksten over figur 13? Hvad sker der, hvis man sætter x = 6 og y = 7? Hvad sker der, hvis man vælger x = -36 og y = 44? Forsøg selv. Det generelle svar følger på side

2 Opgave 5 Det mærkelige i den oprindelige opgave med at finde summer mellem og er, at det indlysende svar, hvor man finder den ene addend mellem 24 og 37 og den anden addend mellem 18 og 15 ikke nødvendigvis giver en sum mellem 42 og 52. Det er formodentlig det, der giver vanskeligheder, idet der ikke ville have været noget problem, hvis de to summer havde været og for der ligger en almen sandhed bag, som følger af de enkleste love for ulighedsregning, nemlig: Hvis a< x< c og b< y < d, så er a+ b< x+ y < c+ d, hvilket er noget som elever i små klasser godt kan forstå, forudsat det bliver forklaret med noget i retning af, at hvis man lægger to store tal sammen, så får man noget større, end hvis man lægger to små tal sammen. Hvis vi vil bruge denne teori på den oprindelige opgave, så får vi a +b og c +d og vi skal blot sørge for, at vi har additionsstykker, der fra starten opfylder, at a< c og b< d. 2

3 13. Sprog og definitioner Øvelse 1 Vi giver et eksempel, hvor begrebets ekstension selvsagt er subjektivt i den forstand, at den eksempelsamling forskellige mennesker råder over er forskellig. Begrebet: Geometrisk sted Begrebets intension: Kan her naturligt angives ved dets definition: et geometrisk sted er mængden af punkter i planen, for hvilke det gælder, at alle punkter har en fælles geometrisk egenskab. Begrebets ekstension omfatter alle eksempler, vi kan kun give nogle få: Det kan være en cirkelperiferi, hvor alle punkterne på blyantstregen, der afgrænser cirklen, altså cirkelperiferien har samme afstand til centrum. Eller det kan være en vinkelhalveringslinje, hvor den vinkelrette afstand til begge vinklens ben, er den samme for ethvert punkt, man vælger på denne. Endelig kunne det også være en midtnormal til to punkter A og B, fordi denne består af en punktmængde, hvor det for et vilkårligt valgt punkt gælder, at afstanden til hhv. A og B er lige stor. Et andet eksempel har vi i funktionsbegrebet. En funktion i mængden { 1, 2,3, 4,5,6,7,8,9,10,11,12 } kan have intensionen at vise, hvad klokken er tre timer senere. Hvilket kan udtrykkes med forskriften f( x) = x+ 3(mod 12). Den samme funktion kan også gives ved dens ekstension jf. det vi har kaldt Kyeds definition s f = (1,4);(2,5);(3,6);(4,7);...;(9,12);(10,1);(11,2);(12,3). Funktionens ekstension bliver derefter: { } Øvelse 4 I øvelsen står der: Der har allerede været nævnt to muligheder i starten af kapitlet. Det er desværre en fejl, da det drejer sig om elevernes diskussion af lige og ulige i Mikkels 3.c i kapitel 12. Se evt. starten på: Overvej-diskuter 1 i kapitel 12, side 520. Svar: En typisk matematisk definition på de lige tal, er de tal, der kan skrives på formen: 2 n, n N. Og de ulige tal defineres som tal, der kan skrives på formen: 2 n 1, n N. Hvis eleverne i 3. c skulle have lavet en definition, ville de nok have sagt, at et antal kastanjer er ulige, hvis de ikke kan lægges i to lige lange rækker, og den ene række bliver 1 kortere end den anden. Eller at de ulige tal er dem, der ender på 1, 3, 5, 7 og 9. 3

4 14. Beviser og logik Øvelse 1 Beviset kan overføres bogstav for bogstav, idet dog definition 1 erstattes med definition rum 1. Øvelse 2 Hvis man definerer konveksitet i det givne rum således: En mængde K kaldes konveks, hvis der for to vilkårligt valgte punkter A og B i K gælder, at linjestykket [A,B] også ligger i K (altså akkurat det samme som i definition 1). Vælges denne definition, bliver fællesmængden af konvekse mængder altid konveks. Beviset er det samme som for sætning 1. Øvelse 3 D C A B Vi kalder firkanten ABCD og vil vise, at AB er mindre end summen af de tre andre sider. Altså AB < BC + CD + DA. Bevis: Diagonalen AC tegnes, og vi benytter trekantuligheden på AB < BC + CA. ABC, hvilket giver Dernæst benyttes trekantuligheden på ACD, hvilket giver AC < CD + DA. Kombineres dette med den forrige ulighed fås det ønskede AB < BC + CD + DA. 4

5 Opgave 1 Vi skal vise sætning 2: I enhver n-kant er enhver side mindre end summen af de øvrige n 1 kanter. Vi har vist, at sætningen gælder for tre- og firkanter. Vi viser den nu for en femkant vil altså vise, at AA< AA+ AA + AA+ AA AAAAA Bevis: Diagonalen AA 1 3tegnes. Da AAAA er en firkant, gælder ifølge sætning 2 brugt på en firkant, at AA 2 3< AA AA AA 5 1 Benytter vi trekantuligheden på fås AA < AA + AA Kombineres de to uligheder fås det ønskede. AAA Vi har hermed vist sætningen for en femkant og kan benytte dette som afsæt til at bevise den for en sekskant ved akkurat samme argument osv. Det er dette osv. man kalder et induktionsbevis, men vi skriver det ikke formelt op her.. Vi Øvelse 7 kun 3) C A B Hvis vi lader linjestykkerne følge vejene gælder trekantuligheden. Men lighedstegnet gælder ofte, og det er altså ikke noget krav, at B ligger på stykket AC, jf. figuren, hvor AC = AB + BC. Sagen er, at linjestykket AC ikke er veldefineret, og selv om vi ønsker at definere det, så kommer vi let i vanskeligheder. 5

6 Øvelse 8 Den logiske slutning kan illustreres således: S M P Det fremgår tydeligt af diagrammet, at ingen S kan være P. Øvelse 9 Man kan slutte, at alle kvadrater er parallelogrammer. Øvelse 10 Det fremgår af diagrammet, at Morlille og en sten ikke har noget tilfælles. Dvs. man kan ikke slutte noget fra den ene til den anden. Sten Morlille Ting der ikke kan flyve Øvelse 11 Vi kan slutte, at grunden ikke er rektangulær. 6

7 Øvelse 12 Fejlagtige slutninger. Man ser sommetider følgende slutninger brugt. Hvad er der galt ved dem? C. 1) Hvis p så q D. 1) p eller q 2) q er sand 2) p er sand p er sand q er falsk C. Et eksempel på at det kan gå galt, hvis C. anvendes: Selv om q er sand, behøver p ikke at være det. Fx har vi det sande udsagn: Hvis x er et sammensat tal, så er 3 x et sammensat tal, hvor p: x er et sammensat tal. q: 3 x er et sammensat tal. Men vi kan ikke som i C. slutte fra, at q er sand til at p er sand. Hvis fx x = 5, så er q sand, og p er falsk, idet 15 er et sammensat tal, mens 5 er et primtal. Konklusionen i C. kan være forkert. Altså er selve slutningsformen forkert. I hverdagslivet ser man dog C. brugt fx om læring og testning. Hvis en elev har lært meget matematik i skolen, så vil denne elev klare en test godt (hvis p så q). Eleven klarer en test godt (q), altså har han lært meget matematik i skolen (p). Konklusionen (p) følger ikke strengt logisk, da det, testen måler, ikke behøver at være i overensstemmelse med lært meget matematik. Det er faktisk svært at udforme tests, der kommer om ad hele det store spektrum, der ligger i lært meget matematik. D. Et eksempel på at det kan gå galt, hvis D anvendes ukritisk: p: figuren er et rektangel. q: figuren er en rombe. Hvis i overensstemmelse med præmisserne i D vi har en figur, der enten er et rektangel eller en rombe, og vi yderligere ved, at det er en rombe, så kan figuren faktisk være et rektangel, nemlig hvis figuren er et kvadrat. Påstanden q behøver altså ikke være falsk. I dagligsproget bruger man nogle gange eller eksklusivt (udelukkende) sådan, at begge påstande ikke må være sande samtidig. Som en statsleder kunne sige: Enten er I med mig, eller også er I imod mig. Men i logikken kan p og q begge være sande i påstanden p eller q. Opgave 2 Man skal vende E for at undersøge, om der er et lige tal på den anden side, og man skal vende 7 for at sikre sig, at der ikke er en vokal på den anden side. Da man ikke ud fra Hvis der en vokal på den ene side, så er der et lige tal på den anden kan slutte noget som helst ud fra et K eller 4, behøver man ikke at vende disse to kort. 7

8 Øvelse 13 For at kunne afgøre om de følgende par af udsagn er ækvivalente, hvilket vil sige, at de er sande for de samme kombinationer af p og q, udfylder vi først tavlen herunder. Denne anvendes sammen med sandhedstavlen i bogen. 1) Hvis p så q er ækvivalent med p eller q 2) p og q er ækvivalent med ( p eller q) p q p q p eller q Hvis p så q p eller q ( p eller q) s s f f s s f s s f f s f f s f f s s f s s s f f f s s s s s f Svar: Hvis p så q er ækvivalent med p eller q og p og q er ækvivalent med ( p eller q),da de er sande for samme kombinationer af p og q. Bemærkning: Man kan også forklare disse ækvivalenser sprogligt, men det er svært. Hvis der er tale om mere komplicerede ækvivalenser, så er denne metode med sandhedstavler den eneste sikre. Den kan nemlig udføres rent mekanisk efter ret enkle regler. Prøv fx at lave beregningerne som i skemaet ovenfor i et regneark, hvor den klassiske repræsentaion af s og f er 1 og 0. Så kan p og q udregnes som p gange q. Øvelse 17 1) Ud fra definition 3 skal vi vise, at: 7 91, hvilket er sandt, da 91 = 7 13, kvotienten er , hvilket er sandt, da 143 = 13 11, kvotienten er 11. 2) Vi viser, at der findes et helt tal q, således at D = d q er ækvivalent med D d er et naturligt tal. Der findes et helt tal q, således at D = d q, ses ved division med d på hver side af lighedstegnet at være ensbetydende med, at der findes et helt tal q, således at D q d =, hvilket er det samme som, at D er et naturligt tal, da D og d begge er naturlige tal. De to udsagn er således ækvivalente. d En alternativ definition af går op i ville som følge heraf blive: Hvis d og D er naturlige tal, så siger vi, at d går op i D, hvis D d er et naturligt tal. Bemærk, at vi i definition 3 har benyttet udtrykket et helt tal hvor vi mere præcist kunne have skrevet et naturligt tal, idet hele tal også omfatter negative tal. Det væsentlige her er imidlertid, at tallet skal være helt i modsætning til et bruddent tal (en brøk). 8

9 Øvelse 19 Det vises, at hvis d, D og n er naturlige tal, så gælder: Hvis d D, så d (n D) d D betyder ifølge definition 3, at der findes et helt tal q, således at D = d q. Ganger vi her med n på hver side af lighedstegnet, får vi n D = n d q eller n D = d (n q), hvoraf det ses, at n D ved division med q giver den hele kvotient n q. Det havde været lidt lettere at benytte den alternative definition fra øvelse 17, hvor det så drejer sig om at vise, at n D er et helt tal, fordi D er det, men det er indlysende, da tallet er n gange større. d d Opgave 3 1) Fordi en forkortelig brøk m n altid kan forkortes til en uforkortelig brøk p q. Bemærk, at m = p, så der er i talmæssig forstand ikke tale om en anden brøk. Derfor kan vi antage, n q at den brøk, vi begynder med, er den uforkortelige brøk p q. 2) Første del af beviset bygger på, at p q er det. p q 2 2 skal være en uforkortelig brøk, og det bliver den kun, fordi 9

10 15. Geometri: Fænomener og beviser Opgave 1 1) Vi antager, at l er parallel med m, og m er parallel med n. Vi skal vise, at l er parallel med n. Det gør vi med et indirekte bevis. Vi antager, at l skærer n i et punkt P. Gennem punktet P har vi nu ifølge det forudsatte to linjer, der er parallelle med m, men ifølge aksiom 3 kan der igennem punktet P kun trækkes en linje parallel med m. Altså er l lig med n. Vi har hermed vist, at enten er l parallel med n eller også er l lig med n, og så er de også parallelle (definition 6). 2) Det er ikke noget bevis inden for den Euklidiske ramme, fordi det ikke bygger på definitioner, aksiomer og sætninger, vi allerede har vist, men derimod bygger på noget, vi af anden vej ved om parallelle linjer. Øvelse 3 1) Tegn en skitse af firkanten for at følge argumentet. Da B+ C = 180 skæres linjen BC på en sådan måde, at ensliggende vinkler er lige store, idet vinklen, der dannes af BC s forlængelse ud over C og CD er 80. Det følger nu af følgesætning 2b, at AB og CD er parallelle. Dette er definitionen på, at ABCD er et trapez. 2) Det fremgår af eksempel 1 i kapitel 16 s. 648, at de vinkler, som betegnes BAC og ACD er lige store. Derfor er DC parallel med AB ifølge sætning 2b. Opgave 5 Den omvendte sætning må hedde: Hvis en trekant altså AC = CB. ABC har A = B, så er trekanten ligebenet, Bevis (tegn selv): Vi tegner vinkelhalveringslinjen CM i trekanten, de to trekanter CAM og CMB er kongruente, fordi de har to vinkler og dermed også den tredje vinkel parvis lige store, og de har CM fælles. Altså er AC = CB, hvilket skulle vises. Alternativ: Hvis man ikke er helt fortrolig med at bruge kongruenssætninger, kan man klare sig med et spejlingsargument, hvor man spejler trekanten i midtnormalen til AB. Men her har man i første omfang det problem, at man ikke kan vide, om midtnormalen går gennem C. Det kan man dog ret hurtigt argumentere for. 10

11 Øvelse 8 1) Lad de to trekanter hedde ABC og A'B'C ' med A = A', AB = A' B' og AC = A' C'. Vi flytter trekanten ABC hen, så AC dækker A'C ' og A falder i A', så vil siden AB falde ud ad siden A'B', og da de er lige store, vil B falde i B', derfor vil også BC falde i B'C ', og trekant ABC falder lige akkurat i A'B'C '. Trekanterne er derfor pr. definition kongruente. 2) Det ville have været hurtigere, fordi man med reference til K3 umiddelbart kan se, at trekant ACM er kongruent med trekant BCM. Øvelse 9 Vi definerer at: - A er større end B er ensbetydende med, at B kan placeres inde i A, - A er mindre end B er ensbetydende med, at A kan placeres inde i B, - Aer en stump vinkel er ensbetydende med, at der kan placeres en ret vinkel inde i A, - A er en spids vinkel er ensbetydende med, at A kan placeres inde i en ret vinkel. Opgave 10 Bredden af hver løbebane er 12 m : 10 = 1,2 m. Det er kun i de halvcirklede former i hver ende af banen, at turen bliver længere ved at komme i et ydre løbespor. Ved at flytte 1,2 m ud bliver radius i de halvcirklede former 1,2 m længere. Den samlede forlængelse af en omgang bliver derfor 2 π 1,2m, idet omkredsen af en cirkel er 2 π r, her 7,54 m. Så banerne skal forskydes 7,54 m i forhold til hinanden. Øvelse 12 1) Ved at tegne jordens cirkel færdig skønnes, at jorden har dobbelt så stor diameter som månen. Månens diameter bliver herefter halvdelen af jordens eller stadier ifølge Eratosthenes tal. 2) Idet månen er 1 grad, skal der 720 måner til at nå hele vejen rundt i månebanen, som derfor har 2 en længde på stadier. 3) Vi kan nu ud fra formlen omkredsen = 2 π r beregne radius i månebanen som omk r = = = ca stadier. 2 π 2 π 11

12 Øvelse 12 fortsat ) Afstanden til solen fandt han således til 20 = stadier. Da der går 720 sole til at 2 π π dække hele solbanen om jorden, får solen en udstrækning/diameter på 20, der 2 π 720 forkortes til = stadier. Undersøgelse 4 Her giver vi kun hint til undersøgelsens del 2), 3) og 5): 2) Omkredsen af Reuleaux-trekanten findes ved at betragte omkredsen som en halvcirkel med radius 10, idet hver af cirkelbuerne i Reuleaux-trekanten svarer til en vinkel på 60. For at finde arealet betragtes Reuleaux-trekanten som bestående af en indre ligesidet trekant ABC plus tre cirkelafsnit svarende til 60. Vi har behandlet, hvordan man finder arealet af disse former i kapitel 2. 3) Hvis 5-kanten tegnes og omkredsen måles nøjagtig vil man opdage, at den har samme omkreds som cirklen og Reuleaux-trekanten. Det har noget at gøre med, at vinkelsummen i en stjerne altid er 180 jf. undersøgelse 1 i dette kapitel. 5) Hvis du har konstrueret en Reuleaux-firkant, er du den første matematiker, der har gjort det! Før vi siger tillykke, foreslår vi at tjekke resultatet Faktisk har andre bevist, at det er umuligt at gøre det. 12

13 16. Problemløsnings- og ræsonnementskompetence Opgave 4 Da gitterpunkterne på trekantpapir fire og fire sidder sammen i romber, og hele papiret faktisk kan ses som en projektion af kvadratisk papir og altså også et sømbræt, må der gælde akkurat samme formel som i Picks teorem bortset eventuelt fra en faktor, der skyldes forskelligt areal af den grundlæggende enhed. Men hvis vi siger, at den grundlæggende rombe i trekantpapiret får areal lig 1, så gælder Picks teorem uændret også for trekantpapir. I det hele taget er Picks teorem invariant over for parallelprojektion, så der vil bortset fra en konstant faktor, der har at gøre med arealenheden gælde et Picks teorem på alt papir, der bygges op af kongruente parallelogrammer. Øvelse 3 Det er A T = ½R T + I T 1, som vi søger at bevise. Kaldes antallet af søm som elastikken mellem P og Q rører ved for c, så kan vi bestemme antallet af randsøm på vores trekant som a + b + c + 1. Vi har altså R T = a + b + c + 1. Da vi i rektanglet havde R = 2a + 2b, og vi nu har 2R T = 2a + 2b + 2c + 2, får vi R = 2R T 2c 2. Antallet af de indre søm I i rektanglet er (det dobbelte af de indre søm i trekanten T)+ c, altså I = 2I T + c. Endelig har vi, at arealet af trekanten er det halve af rektanglets areal A T = ½A eller A = 2 A T. Vi sætter nu de tre formler, vi har fundet, R = 2R T 2c 2, I = 2I T + c og A = 2A T ind i Picks formel for rektanglet, som vi jo har bevist i sætning 1: A = ½R + I 1. Nu håber vi blot, at Picks formel for trekanten kommer ud i den anden ende. Vi prøver: A = ½R + I 1 bliver ved de tre indsættelser ensbetydende med 2A T =½(2R T 2c 2) +(2I T + c) 1 som er ensbetydende med 2A T = (R T c 1) + (2I T + c) 1 som er ensbetydende med 2A T = R T + 2I T 2 eller A T = ½R T + I T 1, hvilket skulle bevises. 13

14 Opgave 7 Tegn selv en vilkårlig skæv trekant T på et sømbræt og omskriv den tæt med et akseparallelt rektangel R, hvilket i den generelle situation betyder, at R kommer til at bestå af T samt tre akseparallelle retvinklede trekanter 1, 2 og 3. Picks teorem for rektanglet har vi bevist, og det lyder A = ½R + I 1. Men vi har også vist Picks teorem for de tre akseparallelle trekanter 1, 2 og 3, og de hedder med indlysende notation: A 1 = ½R 1 + I 1 1 A 2 = ½R 2 + I 2 1 A 3 = ½R 3 + I 3 1 Vi ønsker så på snedig vis herfra at argumentere for den formel, vi er ved at bevise: A T = ½R T + I T 1 Ved betragtning af vores figur ser vi, at hele arealet A består af de fire trekanters areal, altså at A = A 1 + A 2 + A 3 + A T eller A T = A (A 1 + A 2 + A 3 ). Erstatter vi nu med højresiderne I alle vores formler får vi: A T = A (A 1 + A 2 + A 3 ) = (½R + I 1) (½R 1 + I ½R 2 + I ½R 3 + I 3 1) = ½(R R 1 R 2 R 3 ) + (I I 1 I 2 I 3 ) + 2 Vi har altså ved ren talmanipulation uden megen geometrisk omtanke nu opnået at vise (1) A T = ½(R R 1 R 2 R 3 ) + (I I 1 I 2 I 3 ) + 2 Vi må så håbe, at vi ved nogle geometriske overvejelser kan nå frem til, at højresiden bliver ½R T + I T 1. Her bliver der ligesom i øvelse 3 nogle mellemregninger, der skal holde øje med de indre søm i rektanglet, som kommer til at blive randsøm på trekant T s sider. Lad os sige, at der er hhv. c 1, c 2 og c 3 sådanne indre rektangelsøm, som ligger på de indre sider af hhv. trekant 1, 2 og 3 (hvilke tre sider tilsammen også bliver T s sider). Så bliver det samlede antal indre søm I i rektanglet lig summen af de indre søm i de fire trekanter, der udgør rektanglet plus c 1 + c 2 + c 3, formelt opskrevet I = I T + I 1 + I 2 + I 3 + c 1 + c 2 + c 3, eller mere interessant for os: I I 1 I 2 I 3 = I T + c 1 + c 2 + c 3, der også kan skrives I I 1 I 2 I 3 = I T + R T 3, idet R T = c 1 + c 2 + c Vi har altså: 14

15 Opgave 7 fortsat (2) I I 1 I 2 I 3 = I T + R T 3 Det ligger lige for at skulle indsætte (2) i (1), men først vil vi lige gøre det samme med randsømmene. Hvis vi lægger alle randsømmene i de tre trekanter 1, 2 og 3 sammen, får vi langt flere randsøm end i rektanglet, idet vi får sømmene c 1 + c 2 + c 3 med. Hvis vi fintæller, hvor tit vi får hjørnesømmene i trekant T med, får vi faktisk R 1 + R 2 + R 3 = R + c 1 + c 2 + c = R + R T, idet R T = c 1 + c 2 + c Dette betyder, at (3) (R R 1 R 2 R 3 ) = R T. Nu er alt klart til, at vi kan indsætte (2) og (3) i (1), hvilket giver: A T = ½R T + I T + R T 3 + 2, hvilket er ensbetydende med A T = ½ R T + I T 1, hvilket skulle vises. Øvelse 7 L + L = L, L + U = U, U + U = L, U + L = U L L = L, L U = L, U U = U, U L = L. 15

16 17. Indledning til analytisk geometri Øvelse 3 D = (4,7). Sidelængden = 2 2 (0 4) + (3 0) = 5. Diagonallængden = 2 2 (4 3) + (0 7) = 50 =

17 Øvelse 7 De punkter, der ligger længst fra hinanden er diagonalt modsatte punkter, fx A og E. F har koordinaterne (5,0,2) G har koordinaterne (0,3,2) Punktet, som ikke kan ses på tegningen, har koordinaterne (5,3,0) 2) Kassens rumfang er (5 3 2) m 3 = 30 m 3. 3) Her anvendes midtpunktsformlen fra øvelse 5. Koordinaterne til kassens midtpunkt M bliver således: M =,, =,, Øvelse 9 uuur For at finde koordinatudtrykket for vektoren AB skal vi ifølge teorien øverst på side 677 uuur uuur parallelforskyde AB, så startpunktet for AB falder i (0,0). Dette kan man gøre ved at trække x 1 fra førstekoordinaten og y 1 fra andenkoordinaten i de to punkter Ax ( 1, y1) og Bx ( 2, y2). Herved får det uuur nye endepunkt B ' koordinaterne ( x 2 x 1, y 2 y 1 ). Det betyder, at AB har koordinaterne ( x x, y y )

18 Øvelse 12 1) Der er en fejl i opgaven, kun én tur bringer os hjem, og det er tur A. Hvis i tur C den sidste vektor rettes til (-400,-400) så bringer den os også hjem. 2) Hvis man adderer alle x-koordinaterne og får 0 som resultat samt alle y-koordinaterne og ligeledes får 0 som resultatet, så fører turen tilbage til udgangspunktet. Det er, fordi vektorer adderes ved at addere x-koordinaterne for sig og y-koordinaterne for sig. Fx (3,6) + ( 7,4) = (3 + ( 7),6 + 4) = ( 4,10) Øvelse 14 Efter 20 minutter er han nået 1 3 ud af vektoren (3,4), dvs. nået ud til begyndelsespunktet plus 1 3 af vektoren (3,4): , 4 = 1, 3 3 3, altså til( ) 4 2 5, 2 + 1, = 4, 3 3. Efter en halv time er han kommet til begyndelsespunktet plus det halve af vektoren (3,4): , 4 =, , altså til( ) 3 7 5, 2 +, 2 =, Efter to timer er han kommet dobbelt så langt, altså begyndelsespunktet plus 2 gange vektoren (3,4): ( 23,24 ) = ( 6,8), altså til ( 5, 2) + ( 6,8) = ( 1, 6) Generelt kan vi se, at til tiden t er han nået til begyndelsespunktet plus vektoren (3t, 4t), således at svar nr. 2 er det korrekte. Øvelse 19 Man kan som antydet overføre hele tankegangen fra beviset for sætning 1. Men vi vælger at vise en alternativ måde, hvor vi i stedet for udnytter resultatet i sætning 1, der siger, at den rette linjes ligning hedder y = ax + b for passende valg af a og b. Indsættes heri de to givne punkter fås: (1) y1 = ax1+ b (2) y2 = ax2 + b Trækkes (1) fra (2) fås y = ax 2 ( x), hvoraf findes det ønskede resultat y2 y1 2 1 a =. x x

19 Øvelse 21 1) Vi tegner en cirkel med centrum i (0,0) og radius 5. Det ses let, at vi her har følgende otte punkter på cirkelperiferien: (5,0); (3,4); (0,5); (-3,4); (-5,0); (-3,-4); (0,-5); (3,-4). Cirklen skulle imidlertid have centrum i (-3,-2), derfor forskydes cirklen med centrum i (0,0) med vektoren (-3,-2). Herved får vi de otte punkter på cirkelperiferien koordinaterne: (2,-2); (0,2); (-3,3); (-6,2); (-8,-2); (-6,-6); (-3,-7); (0,-6) ) Mængden af løsninger til ( x 3) + ( y 2) < 25kan karakteriseres som mængden af punkter (x,y), der befinder sig inden for cirkelperiferien i denne cirkel. Øvelse 22 1) Afstanden er lig (12 0) + (3 0) + (4 0) = ) Afstanden er lig ( ) ( ) ( ) = ) Afstanden er lig (4 1) + (5 2) + (6 3) = 3 3 5, 2. 4) Afstanden er lig (3,4 ( 12,4)) + (14,7 ( 4,5)) + ( 3,7 17,2) = 1055,09 32,5. Opgave 6 Vi definerer en kugleflade med centrum i A og radius R som mængden af punkter, der har afstanden R til A. Et punkt P (x,y,z) ligger på kuglefladen, hvis afstanden AP er lig med R. Udnyttes afstandsformlen i sætning 4, ser vi, at betingelsen bliver eller ved kvadrering på begge sider af lighedstegnet lig med hvilket skulle vises. ( ) ( ) ( ) x a + y b + z c = R ( x a) ( y b) ( z c) R =, 19

20 18. Tegning af tredimensionale objekter Øvelse 8 Huset skitseres så godt man kan ud fra de retningslinjer, vi har givet indtil nu, hvorefter selve øvelsen går ud på at anvende anden teknik s. 707 til at tegne vinduer i facaden. Først tegner man en vandret linje l nederst på tegneplanen, derefter vælger man et tilfældigt punkt P på horisontlinjen og der tegnes linjer gennem de nederste, forreste hushjørner til l, hvor skærings- kaldes A og punkterne B. Størrelse og antal af vinduer vælges frit og målene afsættes i forhold til længden AB. Den samlede længde af vinduerne subtraheres fra AB, og differensen fordeles ligeligt til mellemrummene. Længden af vinduer og mellemrum afsættes på l. Herfra tegnes linjer til P, hvor disse skærer husets facade (ved jorden) tegnes lodrette linjer. Nu er vinduerne fordelt i en perspektivisk rigtig afstand. Højden af vinduerne fastlægges, og der tegnes linjer til venstre forsvindingspunkt på horisontlinjen. 20

21 Opgave 5 Den isometriske tegning: Perspektivtegningen: Man begynder på samme måde som i Første fase s Dog har vi undladt at tegne synslinjerne helt ned til øjet, men stoppet ved billedplanens spor for at undgå for mange linjer. Se tegningen på næste side. Herefter fortsætter vi som i Anden fase og vælger grundlinje og horisontlinje. Vi har tegnet husets gavl ind, for at kunne føre højderne ind på tegningen (vi ved ikke noget om husets og tagets højde, så det har vi selv valgt). Når kippen, (punktet K) den øverste spids på gavlen, skal fastlægges, tegnes en linje fra tagets top ind til den lodrette linje ud fra øjet (punktet T), så ved vi, hvor højt taget skulle have været, hvis det lå med kippen op mod billedplanen. Men da det ikke er tilfældet, skal man tegne en linje til forsvindingspunktet F 1 til venstre, og hvor denne skærer den lodrette linje fra billedplanens spor, der er ført ned fra synslinjen til tagrygningen (markeret med en linje på grundplanen af huset), har vi endelig fået fastlagt kippen (K). 21

22 Opgave 5 fortsat 22

23 19. Statistik Opgave 8 Hvis segregationsraten er 1, så er frekvensen, eller det relative antal, kun halvt så stort i den givne 2 gruppe, som den er i helheden. Hvorimod den er dobbelt så stor, hvis segregationsraten er 2. Da sådanne frekvenser er positive rationale tal, kan forholdet mellem disse to tal blive til enhver positiv brøk. Segregationsraten 1 2 i Hørsholm-eksemplet kan generelt udtrykkes som p, og vi ser på, hvordan q denne fremkommer i en kommune med indbyggere. Hvis p ud af de indbyggere i kommunen er efterkommere, og antallet af efterkommere blandt Danmarks indbyggere er 1000 q, udregnes segregationsraten til: p p p = = 1000 q q q Da segregationsraten har at gøre med frekvenser, dvs. brøkdele, skulle man tro, at man nemt kunne udregne segregationsraten for frafald i erhvervsuddannelser (eud) for efterkommere af indvandrere. Men problemet er, at der mangler den tilsvarende frekvens for hele Danmarks befolkning. For danskere i denne statistik omfatter ikke indvandrere. Derfor kan segregationsraten ikke udregnes. 58 Hvis der kun var ganske få efterkommere i Danmark, ville segregationsraten være cirka 32,2. Hvis derimod næsten hele Danmarks befolkning var efterkommere, så ville frafaldet for indvandrere (58%) ligge meget tæt på frafaldet på landsplan. Derfor ville segregationsraten være tæt på = 1. Der ville altså ikke være en segregation over for indvandrere. Det ville der derimod være over for danskere, idet segregationsraten for frafald i eud for danskere i så fald ville være cirka 32,2 eller 58 godt 0,5. Heraf lærer vi bl.a., at segregationsraten aldrig vil afvige ret meget fra 1 for den store majoritet i et samfund, og det er da også netop minoriteternes særlige situation, segregationsraten er opfundet til at beskrive. Opgave 10 1) Det er vel først og fremmest, fordi det nu er sådan, indekset er defineret. Og hvorfor er det så defineret på netop den måde? Antag, at man i stedet for numerisk afvigelse havde regnet med absolut afvigelse. Så ville summen af afvigelserne blive 0. Hvilket kommer af, at hvis der er for mange på en skole, må der tilsvarende blive for få på en anden, så alle afvigelserne vil ophæve hinanden. 23

24 Opgave 10 fortsat 2) Jo, man kunne vel godt have brugt summen uden at halvere den. Der er imidlertid en uskreven norm for noget der kaldes et indeks, at det kunne være rart at det lå mellem 0 og 1 eller m.a.o. mellem 0% og 100% sommetider, når indeks kan være negativt, prøver man at få det til at ligge mellem -1 og 1. Så lad os se på en situation med total forskelsbehandling, total segregation: fx en kommune med to skoler med 50 lærere på hver, hvor alle de mandlige lærere er samlet på skole 1 og alle kvindelige på skole 2. I den situation bliver skemaet: Skole Mandlige lærere Lærere i alt Andels af kommunens mandlige lærere på skolen Andel af alle kommunens lærere på skolen Difference = = = = Lægger vi differencerne sammen fås = 1, og det ville egentlig være et godt svar for total 2 2 segregation. Så på nuværende stade i vores undersøgelse forekommer det lidt gådefuldt, hvorfor Gorard foreslår, at der skal deles med 2. Vi må nok prøve med skoler af ulige størrelse, fx en kæmpeskole med 1000 lærere, der alle er kvinder, og så en lille skole på 10 lærere, der alle er mænd. Så ville skemaet se således ud: Dobbeltskæv kommune Skole Mandlige lærere Lærere i alt Andels af kommunens mandlige lærere på skolen Andel af alle kommunens lærere på skolen Difference = , = 0, = 1010 = 0,01 0,99 Hvis vi blot lagde differenserne sammen, ville vi i dette eksempel få et segregationsindeks på 1,98, og vi ville faktisk kunne få det op på 2, hvis vi gjorde endnu større forskel på skolestørrelserne. Så ved at dele med 2 opnår man sikkert, at indekset ligger mellem 0 og 1, hvilket kunne være meget passende for et sådant indeks. Vi har ikke bevist, at det er således, men vi er kommet på sporet af det. 24

Løsningsforslag til Geometri 1.-6. klasse

Løsningsforslag til Geometri 1.-6. klasse 1 Løsningsforslag til Geometri 1.-6. klasse Bemærk, at vi benytter betegnelsen øvelser som en meget bred betegnelse. Derfor er der også nogle af vores øvelser, der nærmer sig kategorien undersøgelser,

Læs mere

Rettevejledning, FP10, endelig version

Rettevejledning, FP10, endelig version Rettevejledning, FP10, endelig version I forbindelse med FP9, Matematik, Prøven med hjælpemidler, maj 2016, afholdes forsøg med en udvidet rettevejledning. I forbindelse med FP10 fremstiller opgavekommissionen

Læs mere

Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80)

Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80) Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80) Opgave 1 Vi skal tegne alle de linjestykker, der forbinder vilkårligt valgte punkter blandt de 4 punkter. Gennem forsøg finder

Læs mere

Løsningsforslag til Geometri 4.-10. klasse

Løsningsforslag til Geometri 4.-10. klasse Løsningsforslag til Geometri 4.-0. klasse Bemærk, at vi benytter betegnelsen øvelser som en meget bred betegnelse. Derfor er der også nogle af vores øvelser, der nærmer sig kategorien undersøgelser, dem

Læs mere

Eksempel på den aksiomatisk deduktive metode

Eksempel på den aksiomatisk deduktive metode Eksempel på den aksiomatisk deduktive metode Et rigtig godt eksempel på et aksiomatisk deduktivt system er Euklids Elementer. Euklid var græker og skrev Elemeterne omkring 300 f.kr. Værket består af 13

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI Indhold Begreber i klassisk geometri + formelsamling... 2 Pythagoras Sætning... 8 Retvinklede trekanter. Beregn den ukendte side markeret med et bogstav.... 9 Øve vinkler

Læs mere

Geometri i plan og rum

Geometri i plan og rum INTRO I kapitlet arbejder eleverne med plane og rumlige figurers egenskaber og med deres anvendelse som geometriske modeller. I den forbindelse kommer de bl.a. til at beskæftige sig med beregninger af

Læs mere

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Kompendium i faget Matematik Tømrerafdelingen 2. Hovedforløb. Y Y = ax 2 + bx + c (x,y) X Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Indholdsfortegnelse for H2: Undervisningens indhold...

Læs mere

Bjørn Grøn. Euklids konstruktion af femkanten

Bjørn Grøn. Euklids konstruktion af femkanten Bjørn Grøn Euklids konstruktion af femkanten Euklids konstruktion af femkanten Side af 17 Euklids konstruktion af femkanten Et uddrag af sætninger fra Euklids Elementer, der fører frem til konstruktionen

Læs mere

bruge en formel-samling

bruge en formel-samling Geometri Længdemål og omregning mellem længdemål... 56 Omkreds og areal af rektangler og kvadrater... 57 Omkreds og areal af andre figurer... 58 Omregning mellem arealenheder... 6 Nogle geometriske begreber

Læs mere

MODELSÆT 2; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN

MODELSÆT 2; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN MODELSÆT ; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN Forberedende materiale Den individuelle skriftlige røve i matematik vil tage udgangsunkt i følgende materiale:. En diskette med to regnearks-filer og en MathCad-fil..

Læs mere

fx 8 Sandsynligheden for at slå en 4 er med en 6-sidet 1 terning 2

fx 8 Sandsynligheden for at slå en 4 er med en 6-sidet 1 terning 2 Logik Udsagn Reduktion Ligninger Uligheder Regnehistorier I en trekant er den største vinkel 0 større end den næststørste og denne igen 0 større end den mindste. Find vinklernes gradtal. = og Lig med og

Læs mere

Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal.

Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal. Tre slags gennemsnit Allan C. Malmberg Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal. For mange skoleelever indgår

Læs mere

Undersøgelser af trekanter

Undersøgelser af trekanter En rød tråd igennem kapitlet er en søgen efter svar på spørgsmålet: Hvordan kan vi beregne os frem til længder, vi ikke kan komme til at måle?. Hvordan kan vi fx beregne højden på et træ eller et hus,

Læs mere

Mødet. 6 Geometri. Begreb Eksempel Navn. Parallel. Vinkelret. Linjestykke. Polygon. Cirkelperiferi. Midtpunkt. Linje. Diagonal. Radius.

Mødet. 6 Geometri. Begreb Eksempel Navn. Parallel. Vinkelret. Linjestykke. Polygon. Cirkelperiferi. Midtpunkt. Linje. Diagonal. Radius. 6.01 Mødet Begreb Eksempel Navn Parallel Vinkelret Linjestykke Polygon Cirkelperiferi Midtpunkt Linje Diagonal Radius Ret vinkel 6.02 Fire på stribe Regler Hver spiller får en spilleplade (6.03). Alle

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI Indhold Begreber i klassisk geometri + formelsamling... 2 Ensvinklede trekanter... 7 Pythagoras Sætning... 10 Øve vinkler i retvinklede trekanter... 15 Sammensatte opgaver....

Læs mere

Geometriske eksperimenter

Geometriske eksperimenter I kapitlet arbejder eleverne med nogle af de egenskaber, der er knyttet til centrale geometriske figurer og begreber (se listen her under). Set fra en emneorienteret synsvinkel handler kapitlet derfor

Læs mere

Statistik. Peter Sørensen: Statistik og sandsynlighed Side 1

Statistik. Peter Sørensen: Statistik og sandsynlighed Side 1 Statistik Formålet... 1 Mindsteværdi... 1 Størsteværdi... 1 Ikke grupperede observationer... 2 Median og kvartiler defineres ved ikke grupperede observationer således:... 2 Middeltal defineres ved ikke

Læs mere

Matematik. Trinmål 2. Nordvestskolen 2006 Forord. Trinmål 2 (4. 6. klasse)

Matematik. Trinmål 2. Nordvestskolen 2006 Forord. Trinmål 2 (4. 6. klasse) Matematik Trinmål 2 Nordvestskolen 2006 Forord Forord For at sikre kvaliteten og fagligheden i folkeskolen har Undervisningsministeriet udarbejdet faghæfter til samtlige fag i folkeskolen med bindende

Læs mere

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Geometri

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Geometri Tip til. runde af - Geometri, Kirsten Rosenkilde. Tip til. runde af Geometri Her er nogle centrale principper om og strategier for hvordan man løser geometriopgaver. et er ikke en særlig teoretisk indføring,

Læs mere

Lad os som eksempel se på samtidigt kast med en terning og en mønt:

Lad os som eksempel se på samtidigt kast med en terning og en mønt: SANDSYNLIGHEDSREGNING Stokastisk eksperiment Et stokastisk eksperiment er et eksperiment, hvor vi fornuftigvis ikke på forhånd kan have en formodning om resultatet af eksperimentet Til gengæld kan vi prøve

Læs mere

Lærereksemplar. Kun til lærerbrug GEOMETRI 89. Kopiering er u-økonomisk og forbudt til erhvervsformål.

Lærereksemplar. Kun til lærerbrug GEOMETRI 89. Kopiering er u-økonomisk og forbudt til erhvervsformål. Kun salg ved direkte kontakt mellem skole og forlag. Kopiering er u-økonomisk og forbudt til erhvervsformål. GEOMETRI 89 Side Emne 1 Indholdsfortegnelse 2 Måling af vinkler 3 Tegning og måling af vinkler

Læs mere

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil

Læs mere

Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT.

Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT. Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT. Projektet kan bl.a. anvendes til et forløb, hvor en af målsætningerne er at lære om samspillet mellem værktøjsprogrammernes geometriske

Læs mere

Kapitel 2 Tal og variable

Kapitel 2 Tal og variable Tal og variable Uden tal ingen matematik - matematik handler om tal og anvendelse af tal. Matematik beskæftiger sig ikke udelukkende med konkrete problemer fra andre fag, og de konkrete tal fra andre fagområder

Læs mere

Elevbog s. 14-25 Vi opsummerer hvad vi ved i. kendskab til geometriske begreber og figurer.

Elevbog s. 14-25 Vi opsummerer hvad vi ved i. kendskab til geometriske begreber og figurer. Årsplan 5. LH. Matematik Lærer Pernille Holst Overgaard (PHO) Lærebogsmateriale. Format 5 Tid og fagligt Aktivitet område Uge 33-37 Tal Uge 38-41 (efterårsferie uge 42) Figurer Elevbog s. 1-13 Vi opsummerer

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42

t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42 Slide 1/42 Hvad er matematik? 1) Den matematiske metode 2) Hvad vil det sige at bevise noget? 3) Hvor begynder det hele? 4) Hvordan vælger man et sæt aksiomer? Slide 2/42 Indhold 1 2 3 4 Slide 3/42 Mængder

Læs mere

Den lille hjælper. Positionssystem...3. Positive tal...3. Negative tal...3. Hele tal...3. Potenstal...3. Kvadrattal...3

Den lille hjælper. Positionssystem...3. Positive tal...3. Negative tal...3. Hele tal...3. Potenstal...3. Kvadrattal...3 Den lille hjælper Positionssystem...3 Positive tal...3 Negative tal...3 Hele tal...3 Potenstal...3 Kvadrattal...3 Parentes...4 Parentesregler...4 Primtal...4 Addition (lægge sammen) også med decimaltal...4

Læs mere

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

fortsætte høj retning mellem mindre over større

fortsætte høj retning mellem mindre over større cirka (ca) omtrent overslag fortsætte stoppe gentage gentage det samme igen mønster glat ru kantet høj lav bakke lav høj regel formel lov retning højre nedad finde rundt rod orden nøjagtig præcis cirka

Læs mere

Geometri Følgende forkortelser anvendes:

Geometri Følgende forkortelser anvendes: Geometri Følgende forkortelser anvendes: D eller d = diameter R eller r = radius K eller k = korde tg = tangent Fig. 14 Benævnelser af cirklens liniestykker Cirkelperiferien inddeles i grader Cirkelperiferien

Læs mere

Uge Emne Formål Faglige mål Evaluering

Uge Emne Formål Faglige mål Evaluering Uge Emne Formål Faglige mål Evaluering (Der evalueres løbende på følgende hovedpunkter) 33-36 Regneregler Vedligeholde og udbygge forståelse og færdigheder inden for de fire regningsarter Blive fortrolig

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS August 2012 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

TREKANTER. Indledning. Typer af trekanter. Side 1 af 7. (Der har været tre kursister om at skrive denne projektrapport)

TREKANTER. Indledning. Typer af trekanter. Side 1 af 7. (Der har været tre kursister om at skrive denne projektrapport) Side 1 af 7 (Der har været tre kursister om at skrive denne projektrapport) TREKANTER Indledning Vi har valgt at bruge denne projektrapport til at udarbejde en oversigt over det mest grundlæggende materiale

Læs mere

Transformationsgeometri: Inversion. Kirsten Rosenkilde, august Inversion

Transformationsgeometri: Inversion. Kirsten Rosenkilde, august Inversion Transformationsgeometri: Inversion. Kirsten Rosenkilde, august 2007 1 Inversion Inversion er en bestemt type transformation af planen, og ved at benytte transformation på en geometrisk problemstilling

Læs mere

1 Trekantens linjer. Definition af median En median er en linje i en trekant der forbinder en vinkelspids med midtpunktet af modstående side.

1 Trekantens linjer. Definition af median En median er en linje i en trekant der forbinder en vinkelspids med midtpunktet af modstående side. Geometrinoter 1, januar 2009, Kirsten Rosenkilde 1 Geometrinoter 1 Disse noter omhandler grundlæggende sætninger om trekantens linjer, sammenhængen mellem en vinkel og den cirkelbue den spænder over, samt

Læs mere

Gratisprogrammet 27. september 2011

Gratisprogrammet 27. september 2011 Gratisprogrammet 27. september 2011 1 Brugerfladen: Små indledende øvelser: OBS: Hvis et eller andet ikke fungerer, som du forventer, skal du nok vælge en anden tilstand. Dette ses til højre for ikonerne

Læs mere

Svar på opgave 322 (September 2015)

Svar på opgave 322 (September 2015) Svar på opgave 3 (September 05) Opgave: En sekskant har sidelængder 7 7. Bestem radius i den omskrevne cirkel hvis sekskanten er indskrivelig. Besvarelse: ny version 6/0-05. metode. Antag at sekskanten

Læs mere

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 2013 1 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal. Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden.

Læs mere

Trekanter. Frank Villa. 8. november 2012

Trekanter. Frank Villa. 8. november 2012 Trekanter Frank Villa 8. november 2012 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion 1 1.1

Læs mere

Algebra - Teori og problemløsning

Algebra - Teori og problemløsning Algebra - Teori og problemløsning, januar 05, Kirsten Rosenkilde. Algebra - Teori og problemløsning Kapitel -3 giver en grundlæggende introduktion til at omskrive udtryk, faktorisere og løse ligningssystemer.

Læs mere

Simulering af stokastiske fænomener med Excel

Simulering af stokastiske fænomener med Excel Simulering af stokastiske fænomener med Excel John Andersen, Læreruddannelsen i Aarhus, VIA Det kan være en ret krævende læreproces at udvikle fornemmelse for mange begreber fra sandsynlighedsregningen

Læs mere

Errata pr. 1. sept Rettelser til Ypsilon 1. udgave, 1. oplag

Errata pr. 1. sept Rettelser til Ypsilon 1. udgave, 1. oplag Errata pr. 1. sept. 2009 Rettelser til Ypsilon 1. udgave, 1. oplag Rettelserne herunder er foretaget i 2. oplag af bogen. Desuden forekommer der mindre rettelser i 2. oplag, som ikke er medtaget her, da

Læs mere

Matematik. 1 Matematiske symboler. Hayati Balo,AAMS. August, 2014

Matematik. 1 Matematiske symboler. Hayati Balo,AAMS. August, 2014 Matematik Hayati Balo,AAMS August, 2014 1 Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske symboler.

Læs mere

Årsplan for matematik i 4. klasse 2014-15

Årsplan for matematik i 4. klasse 2014-15 Årsplan for matematik i 4. klasse 2014-15 Klasse: 4. Fag: Matematik Lærer: Ali Uzer Lektioner pr. uge: 4(mandag, tirsdag, torsdag, fredag) Formål for faget matematik Formålet med undervisningen er, at

Læs mere

Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde

Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde Det som skal vurderes i bedømmelsen af en besvarelse, er om deltageren har formået at analysere problemstillingen, kombinere de givne

Læs mere

Statistik. Peter Sørensen: Statistik og sandsynlighed Side 1

Statistik. Peter Sørensen: Statistik og sandsynlighed Side 1 Statistik Formålet... 1 Mindsteværdi... 1 Størsteværdi... 1 Ikke grupperede observationer... 2 Median og kvartiler defineres ved ikke grupperede observationer således:... 2 Middeltal defineres ved ikke

Læs mere

Matematik 2011/2012 Skovbo Efterskole Trigonometri. Trigonometri

Matematik 2011/2012 Skovbo Efterskole Trigonometri. Trigonometri Trigonometri Spidse og stumpe vinkler En vinkel kaldes spids, når den er mindre end 90. En vinkel kaldes ret, når den er 90. En vinkel kaldes stump, når den er større end 90. En vinkel kaldes lige, når

Læs mere

Oprids over grundforløbet i matematik

Oprids over grundforløbet i matematik Oprids over grundforløbet i matematik Dette oprids er tænkt som en meget kort gennemgang af de vigtigste hovedpointer vi har gennemgået i grundforløbet i matematik. Det er en kombination af at repetere

Læs mere

Affine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2

Affine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2 Affine rum I denne note behandles kun rum over R. Alt kan imidlertid gennemføres på samme måde over C eller ethvert andet legeme. Et underrum U R n er karakteriseret ved at det er en delmængde som er lukket

Læs mere

matematik grundbog trin 1 Demo preben bernitt grundbog trin 1 2004 by bernitt-matematik.dk 1

matematik grundbog trin 1 Demo preben bernitt grundbog trin 1 2004 by bernitt-matematik.dk 1 33 matematik grundbog trin 1 Demo preben bernitt grundbog trin 1 2004 by bernitt-matematik.dk 1 matematik grundbog trin 1 Demo-udgave 2003 by bernitt-matematik.dk Kopiering og udskrift af denne bog er

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS Juli 2013 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

Løsningsforslag til Stokastik 1.-10. klasse

Løsningsforslag til Stokastik 1.-10. klasse 1 Løsningsforslag til Stokastik 1.-10. klasse Bemærk, at vi benytter betegnelsen øvelser som en meget bred betegnelse. Derfor er der også nogle af vores øvelser, der nærmer sig kategorien undersøgelser,

Læs mere

Projekt 1.5: Tagrendeproblemet en modelleringsøvelse!

Projekt 1.5: Tagrendeproblemet en modelleringsøvelse! Projekt 1.5: Tagrendeproblemet en modelleringsøvelse! Det er velkendt at det største rektangel med en fast omkreds er et kvadrat. Man kan nemt illustrere dette i et værktøjsprogram ved at tegne et vilkårligt

Læs mere

1 Oversigt I. 1.1 Poincaré modellen

1 Oversigt I. 1.1 Poincaré modellen 1 versigt I En kortfattet gennemgang af nogle udvalgte emner fra den elementære hyperbolske plangeometri i oincaré disken. Der er udarbejdet både et Java program HypGeo inkl. tutorial og en Android App,

Læs mere

Foreløbig udgave af læringsmål til: Kapitel 1 Regn med store tal Fælles Mål Læringsmål Forslag til tegn på læring

Foreløbig udgave af læringsmål til: Kapitel 1 Regn med store tal Fælles Mål Læringsmål Forslag til tegn på læring Foreløbig udgave af læringsmål til: Kapitel 1 Regn med store tal Fælles Mål Læringsmål Forslag til tegn på læring udføre beregninger med de fire regningsarter inden for naturlige tal, herunder beregninger

Læs mere

Matematik Delmål og slutmål

Matematik Delmål og slutmål Matematik Delmål og slutmål Ferritslev friskole 2006 SLUTMÅL efter 9. Klasse: Regning med de rationale tal, såvel som de reelle tal skal beherskes. Der skal kunne benyttes og beherskes formler i forbindelse

Læs mere

MULTI PRINTARK CAROLINE KREIBERG ANETTE SKIPPER-JØRGENSEN RIKKE TEGLSKOV GYLDENDAL

MULTI PRINTARK CAROLINE KREIBERG ANETTE SKIPPER-JØRGENSEN RIKKE TEGLSKOV GYLDENDAL 8 MULTI PRINTARK CAROLINE KREIBERG ANETTE SKIPPER-JØRGENSEN RIKKE TEGLSKOV GYLDENDAL DIGITALE VÆRKTØJER A1.1 SORTER LIGNINGER 2x + 3 = 15 x 17 = 25 61 x = 37 2x + 11 = 5x 10 x 2 = 2x + 3 4x + 1 5 = 9 4x

Læs mere

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal.

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal. 1 Tal Tal kan forekomme os nærmest at være selvfølgelige, umiddelbare og naturgivne. Men det er kun, fordi vi har vænnet os til dem. Som det vil fremgå af vores timer, har de mange overraskende egenskaber

Læs mere

Symbolsprog og Variabelsammenhænge

Symbolsprog og Variabelsammenhænge Indledning til Symbolsprog og Variabelsammenhænge for Gymnasiet og Hf 1000 kr 500 0 0 5 10 15 timer 2005 Karsten Juul Brugsanvisning Du skal se i de fuldt optrukne rammer for at finde: Regler for løsning

Læs mere

Affine transformationer/afbildninger

Affine transformationer/afbildninger Affine transformationer. Jens-Søren Kjær Andersen, marts 2011 1 Affine transformationer/afbildninger Følgende afbildninger (+ sammensætninger af disse) af planen ind i sig selv kaldes affine: 1) parallelforskydning

Læs mere

************************************************************************

************************************************************************ Projektet er todelt: Første del har fokus på Euklids system og består af introduktionen, samt I og II. Anden del har fokus på Hilberts system fra omkring år 1900 og består af III sammen med bilagene. Man

Læs mere

MATEMATIK. Basismål i matematik på 1. klassetrin:

MATEMATIK. Basismål i matematik på 1. klassetrin: MATEMATIK Basismål i matematik på 1. klassetrin: at kunne indgå i samtale om spørgsmål og svar, som er karakteristiske i arbejdet med matematik at kunne afkode og anvende tal og regnetegn og forbinde dem

Læs mere

Årsplan matematik 4.klasse - skoleår 11/12- Ida Skov Andersen Med ret til ændringer og justeringer

Årsplan matematik 4.klasse - skoleår 11/12- Ida Skov Andersen Med ret til ændringer og justeringer Basis: Klassen består af 22 elever og der er afsat 4 ugentlige timer. Grundbog: Vi vil arbejde ud fra Matematrix 4, arbejds- og grundbog, kopisider, Rema, ekstraopgaver og ugentlige afleveringsopgaver

Læs mere

Et kommatal som for eksempel 1,25 kaldes også noget andet. Hvad kaldes det også?

Et kommatal som for eksempel 1,25 kaldes også noget andet. Hvad kaldes det også? Et tal som både består af et helt tal og en brøk, for eksempel. Hvad hedder det? Et kommatal som for eksempel 1,25 kaldes også noget andet. Hvad kaldes det også? Hvad kalder man tallet over brøkstregen

Læs mere

Afstande, skæringer og vinkler i rummet

Afstande, skæringer og vinkler i rummet Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Villa 2. maj 202 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

Landmålingens fejlteori - Sandsynlighedsregning - Lektion 1

Landmålingens fejlteori - Sandsynlighedsregning - Lektion 1 Landmålingens fejlteori Sandsynlighedsregning Lektion 1 - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/undervisning/lf10 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 23. april 2009 1/28 Landmålingens

Læs mere

Analytisk plangeometri 1

Analytisk plangeometri 1 1 Analytisk plangeometri 1 Kære 1. x, Vi begynder dag vores forløb om analytisk plangeometri. Dette bliver en udvidelse af ting i allerede kender til, så noget ved I i forvejen, mens andet bliver helt

Læs mere

Allan C. Malmberg. Terningkast

Allan C. Malmberg. Terningkast Allan C. Malmberg Terningkast INFA 2008 Programmet Terning Terning er et INFA-program tilrettelagt med henblik på elever i 8. - 10. klasse som har særlig interesse i at arbejde med situationer af chancemæssig

Læs mere

Hunden kan sige et nyt tal (legen kan selvfølgelig udvides til former) hver dag, men kun det tal.

Hunden kan sige et nyt tal (legen kan selvfølgelig udvides til former) hver dag, men kun det tal. 4. oktober 9.00-15.00 Tårnby Faglig læsning Program Præsentation Hunden - en aktivitet til at vågne op på Oplæg om begrebsdannelse Aktiviteter hvor kroppen er medspiller Matematikkens særlige sprog Aktiviteter

Læs mere

geometri trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt

geometri trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri trin 2 preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri, trin 2 ISBN: 978-87-92488-16-9 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk Kopiering er

Læs mere

Forslag til løsning af Opgaver om areal (side296)

Forslag til løsning af Opgaver om areal (side296) Forslag til løsning af Opgaver om areal (side96) Opgave 1 6 0 8 Vi kan beregne arealet af 6 8 0 s 4. ved hjælp af Heron s formel: ( ) 4 4 6 4 8 4 0 6. Parallelogrammets areal er det dobbelte af trekantens

Læs mere

Matematiske metoder - Opgaver

Matematiske metoder - Opgaver Matematiske metoder - Opgaver Anders Friis, Anne Ryelund 25. oktober 2014 Logik Opgave 1 Find selv på tre udtalelser (gerne sproglige). To af dem skal være udsagn, mens det tredje ikke må være et udsagn.

Læs mere

LÆRINGSMÅL PÅ NIF MATEMATIK 2014-15

LÆRINGSMÅL PÅ NIF MATEMATIK 2014-15 LÆRINGSMÅL PÅ NIF MATEMATIK 2014-15 Mål for undervisningen i Matematik på NIF Følgende er baseret på de grønlandske læringsmål, tilføjelser fra de danske læringsmål står med rød skrift. Læringsmål Yngstetrin

Læs mere

Årsplan for matematik 4.kl 2013-2014 udarbejdet af Anne-Marie Kristiansen (RK)

Årsplan for matematik 4.kl 2013-2014 udarbejdet af Anne-Marie Kristiansen (RK) Matematikundervisningen vil i år ændre sig en del fra, hvad eleverne kender fra de tidligere år. vil få en fælles grundbog, hvor de ikke må skrive i, et kladdehæfte, som de skal skrive i, en arbejdsbog

Læs mere

Selam Friskole Fagplan for Matematik

Selam Friskole Fagplan for Matematik Selam Friskole Fagplan for Matematik Formål Formålet med undervisningen er, at eleverne udvikler matematiske kompetencer og opnår viden og kunnen således, at de bliver i stand til at begå sig hensigtsmæssigt

Læs mere

Decimaltal, brøker og procent Negative tal Potens, rødder og pi Reelle og irrationale tal

Decimaltal, brøker og procent Negative tal Potens, rødder og pi Reelle og irrationale tal Navn: Nr.: Klasse: Prøvedato: mat8 Noter: Kompetencemål efter 9. klassetrin Eleven kan anvende reelle tal og algebraiske udtryk i matematiske undersøgelser Tal og algebra Tal Titalssystem Decimaltal, brøker

Læs mere

Matematik interne delprøve 09 Tesselering

Matematik interne delprøve 09 Tesselering Frederiksberg Seminarium Opgave nr. 60 Matematik interne delprøve 09 Tesselering Line Købmand Petersen 30281023 Hvad er tesselering? Tesselering er et mønster, der består af en eller flere figurer, der

Læs mere

Symbolbehandlingskompetencen er central gennem arbejdet med hele kapitlet i elevernes arbejde med tal og regneregler.

Symbolbehandlingskompetencen er central gennem arbejdet med hele kapitlet i elevernes arbejde med tal og regneregler. Det første kapitel i grundbogen til Kolorit i 8. klasse handler om tal og regning. Kapitlet indledes med, at vores titalssystem som positionssystem sættes i en historisk sammenhæng. Gennem arbejdet med

Læs mere

GEOMETRI I PLAN OG RUM

GEOMETRI I PLAN OG RUM LÆRERVEJLEDNING GEOMETRI I PLN OG RUM Kopiark Indhold og kommentarer Vejledende sværhedsgrad Tilknytning til Kolorit 9 matematik grundbog Navne på figurer På siden arbejder eleverne med navnene på forskellige

Læs mere

Funktioner generelt. for matematik pä B- og A-niveau i stx og hf. 2014 Karsten Juul

Funktioner generelt. for matematik pä B- og A-niveau i stx og hf. 2014 Karsten Juul Funktioner generelt for matematik pä B- og A-niveau i st og hf f f ( ),8 014 Karsten Juul 1 Funktion og dens graf, forskrift og definitionsmängde 11 Koordinatsystem I koordinatsystemer (se Figur 1): -akse

Læs mere

Afstandsformlen og Cirklens Ligning

Afstandsformlen og Cirklens Ligning Afstandsformlen og Cirklens Ligning Frank Villa 19. august 2012 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk.

Læs mere

Invarianter. 1 Paritet. Indhold

Invarianter. 1 Paritet. Indhold Invarianter En invariant er en størrelse der ikke ændrer sig, selv om situationen ændrer sig. I nogle kombinatorikopgaver hvor man skal undersøge hvilke situationer der er mulige, er det ofte en god idé

Læs mere

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Kombinatorik

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Kombinatorik Tip til 1. runde af - Kombinatorik, Kirsten Rosenkilde. Tip til 1. runde af Kombinatorik Her er nogle centrale principper om og strategier for hvordan man tæller et antal kombinationer på en smart måde,

Læs mere

Mattip om. Statistik 2. Tilhørende kopier: Statistik 3, 4 og 5. Du skal lære om: Faglig læsning. Chance og risiko. Sandsynlighed

Mattip om. Statistik 2. Tilhørende kopier: Statistik 3, 4 og 5. Du skal lære om: Faglig læsning. Chance og risiko. Sandsynlighed Mattip om Statistik Du skal lære om: Faglig læsning Kan ikke Kan næsten Kan Chance og risiko Sandsynlighed Observationer, hyppighed og frekvens Gennemsnit Tilhørende kopier: Statistik, og mattip.dk Statistik

Læs mere

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: 333247 2015 Anders Jørgensen, Mark Kddafi, David Jensen, Kourosh Abady og Nikolaj Eriksen 1. Indledning I dette projekt, vil man kunne se definitioner

Læs mere

Hovedemne 1: Talsystemet og at gange Læringsmål Nedbrudte læringsmål Forslag til tegn på læring

Hovedemne 1: Talsystemet og at gange Læringsmål Nedbrudte læringsmål Forslag til tegn på læring Hovedemne 1: Talsystemet og at gange kan anvende flercifrede naturlige tal til at beskrive antal og rækkefølge udvikle metoder til multiplikation og division med naturlige tal udføre beregninger med de

Læs mere

3 Algebra. Faglige mål. Variable og brøker. Den distributive lov. Potenser og rødder

3 Algebra. Faglige mål. Variable og brøker. Den distributive lov. Potenser og rødder 3 Algebra Faglige mål Kapitlet Algebra tager udgangspunkt i følgende faglige mål: Variable og brøker: kende enkle algebraiske udtryk med brøker og kunne behandle disse ved at finde fællesnævner. Den distributive

Læs mere

3. klasse 6. klasse 9. klasse

3. klasse 6. klasse 9. klasse Børne- og Undervisningsudvalget 2012-13 BUU Alm.del Bilag 326 Offentligt Elevplan 3. klasse 6. klasse 9. klasse Matematiske kompetencer Status tal og algebra sikker i, er usikker i de naturlige tals opbygning

Læs mere

Rettevejledning, FP9, Prøven med hjælpemidler, endelig version

Rettevejledning, FP9, Prøven med hjælpemidler, endelig version Rettevejledning, FP9, Prøven med hjælpemidler, endelig version I forbindelse med FP9, Matematik, Prøven med hjælpemidler, maj 2016, afholdes forsøg med en udvidet rettevejledning. Den udvidede rettevejledning

Læs mere

Indhold. Bind 1. 1 Eksperimentel geometri 3. 2 Areal 33

Indhold. Bind 1. 1 Eksperimentel geometri 3. 2 Areal 33 Indhold Bind 1 del I: Eksperimenterende geometri og måling 1 Eksperimentel geometri 3 Hvorfor eksperimenterende undersøgelse? 4 Eksperimentel undersøgelse: På opdagelse med sømbrættet 6 Geometriske konstruktioner

Læs mere

dynamisk geometriprogram regneark Fælles mål På MULTIs hjemmeside er der en oversigt over, hvilke Fælles Mål der er sat op for arbejdet med kapitlet.

dynamisk geometriprogram regneark Fælles mål På MULTIs hjemmeside er der en oversigt over, hvilke Fælles Mål der er sat op for arbejdet med kapitlet. Algebra og ligninger - Facitliste Om kapitlet I dette kapitel om algebra og ligninger skal eleverne lære at regne med variable, få erfaringer med at benytte variable Elevmål for kapitlet Målet er, at eleverne:

Læs mere

7 Trekanter. Faglige mål. Linjer i trekanter. Ligedannethed. Pythagoras. Trigonometri

7 Trekanter. Faglige mål. Linjer i trekanter. Ligedannethed. Pythagoras. Trigonometri 7 Trekanter Faglige mål Kapitlet Trekanter tager udgangspunkt i følgende faglige mål: Linjer i trekanter: kende til højde, vinkelhalveringslinje, midtnormal og median, kunne tegne indskrevne og omskrevne

Læs mere

Kapitel 1: Tal. Tegn på læring. Delforløb Fælles mål Læringsmål

Kapitel 1: Tal. Tegn på læring. Delforløb Fælles mål Læringsmål 4. klasse Årsplan Kapitel 1: Tal Eleven Talsystem Regnestrategier!!!* Fase 1: Eleven kan udføre beregninger med de fire regningsarter inden for naturlige tal, herunder beregninger vedrørende hverdagsøkonomi

Læs mere

Matematik - undervisningsplan

Matematik - undervisningsplan I 4. klasse starter man på andet forløb i matematik, der skal lede frem mod at eleverne kan opfylde fagets trinmål efter 6. klasse. Det er dermed det som undervisningen tilrettelægges ud fra og målsættes

Læs mere

Simulering af stokastiske fænomener med Excel

Simulering af stokastiske fænomener med Excel Simulering af stokastiske fænomener med Excel John Andersen, Læreruddannelsen i Aarhus, VIA Det kan være en ret krævende læreproces at udvikle fornemmelse for mange begreber fra sandsynlighedsregningen

Læs mere

Variabel- sammenhænge

Variabel- sammenhænge Variabel- sammenhænge 2008 Karsten Juul Dette hæfte kan bruges som start på undervisningen i variabelsammenhænge for st og hf. Indhold 1. Hvordan viser en tabel sammenhængen mellem to variable?... 1 2.

Læs mere

dvs. vinkelsummen i enhver trekant er 180E. Figur 11

dvs. vinkelsummen i enhver trekant er 180E. Figur 11 Sætning 5.8: Vinkelsummen i en trekant er 180E. Bevis: Lad ÎABC være givet. Gennem punktet C konstrueres en linje, som er parallel med linjen gennem A og B. Dette lader sig gøre på grund af sætning 5.7.

Læs mere

5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve

5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve 5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve ordet geometri er græsk og betyder jord(=geo)måling(=metri). Interessen for figurer

Læs mere

Indhold. Servicesider. Testsider

Indhold. Servicesider. Testsider Indhold Servicesider Isometrisk papir.................................................... kopiside - Prikpapir............................................................. kopiside - Brøkkort.............................................................

Læs mere