ElmTal Primtallene 1.1
|
|
- Victoria Kvist
- 4 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Primtallene.. Primtallene. (.) Setup. Et tal p kaldes som bekendt et primtal, hvis p 2 og p kun har trivielle divisorer, dvs hvis de eneste (positive) divisorer i p er og p. De første primtal er tallene Som bekendt gælder: 2, 3, 5, 7,, 3, 7, 9, 23, 29, 3, 37,.... Sætning (Euklid). Der er uendelig mange primtal. Bevis. En drejning af det velkendte bevis er følgende: Betragt den uendelige følge af tal a, a 2,..., defineret ved a := 2 og, induktivt, a k = (a a k ) +. Øjensynlig gælder, at 2 a < a 2 <. For i < k er a i divisor i a k, så a i og a k er primiske. Specielt har hvert tal a k altså sine egne primdivisorer. Da der er uendelig mange tal a k, er der uendelig mange primtal. Korollar. Det k te primtal p k er mindre end eller lig med 2 2k. Bevis. Med notationen i beviset ovenfor er tallene a,...,a k delelige med k forskellige primtal. Specielt er p k a k. Øjensynlig er, for k 2, a k = (a a k 2 )a k + = (a k )a k + < a 2 k. Ved induktion følger det let, at a k 2 2k. Alle primtal p k bortset fra det første p = 2 er ulige. Specielt er afstanden mellem 2 på hinanden følgende primtal p k og p k+ (for k 2) altid mindst 2. Primtalstvillinger er par (p k, p k+ ), hvor afstanden er netop 2, fx (3, 5), (5, 7), (, 3),..., (347, 349),.... Man ved ikke, om der er uendelig mange primtalstvillinger. Derimod er det klart, at der findes par (p k, p k+ ) med vilkårlig stor afstand. Fx er tallene l! + 2, l! + 3,..., l! + l en sekvens af l på hinanden følgende tal, der alle er sammensatte. (.2) Primtalsfunktionen. Med π(x) betegnes antallet af primtal p x. Med denne definition, for alle reelle tal x, er π(x) en trappefunktion, kontinuert fra højre, og med springet + præcis i primtallene. A priori er naturligvis værdierne π(n) for naturlige tal n de mest interessante. Af overvejelserne i (.) følger: π(n) for n, log 2 log 2 n < π(n) < n. (.2.) Uligheden log 2 log 2 n < π(n) medfører naturligvis Euklid s resultat, da log 2 log 2 n går mod for n. Men funktionen log 2 log 2 n vokser fortvivlende langsomt: Fx, for n = 0 50, medfører uligheden kun, at der er 9 primtal mindre end Det faktiske antal primtal mindre end 0 50 er naturligvis(?) ikke kendt, men det er større end /local/notes/elmtal/at.tex :4:24
2 Primtallene.2 (.3) Primtalssætningen. En optælling af primtal giver tabellen [Funktionen A(n) i sidste søjle forklares i (.2)], n π(n) n/π(n) A(n) 0 4 2,5 0, ,0 0, ,0 0, ,, ,4, ,7, ,0, ,4, ,7, ,0,0 Multiplikation af n med en faktor 0 svarer altså til forøgelse af n/π(n) med en konstant, 2, 3. Matematikere genkender (genkendte?) naturligvis denne konstant som log 0, og gætter derfor på, at n/π(n) kan tilnærmes med log n. Dette resultat er Primtalssætningen: Asymptotisk gælder relationen, π(n) n logn, (.3.) i den forstand, at vi for kvotienten mellem venstre- og højresiden har π(n) n/ logn for n. Ækvivalent betyder Primtalssætningen, at for alle givne positive c< og C> gælder, for n 0 (dvs når n er tilstrækkelig stor), ulighederne, c logn π(n) n C logn. (.3.2) I det følgende giver vi et elementært bevis for de to uligheder, for alle n 2: 3 logn π(n) n 3 logn. (.3.3) Primtalssætningen blev formodet sidst i 700-tallet, af Legendre og Gauss (som 5-årig i 792), på basis af tabeller over primtal. Ulighederne (.3.3) blev vist omkring 850 af Chebyshev [82 894]. Mere præcist viste Chebyshev, at ulighederne (.3.2) er opfyldt med c := 0, 89 og C :=, for n n 0. Primtalssætningen blev først bevist i 896 af Hadamard [ ] og (uafhængigt) af de la Vallée Poussin [ ].
3 Primtallene.3 Det skal understreges, at Primtalssætningen, dvs den asymptotiske relation (.3.), alene er et udsagn om forholdet mellem de to funktioner π(n) og n/ logn; resultatet siger ikke, at forskellen er lille. Defineres ε(n) := π(n)/(n/ log n), har vi øjensynlig π(n) n/ logn = ε(n)(n/ log n), (.3.4) og Primtalssætningen er ækvivalent med, at ε(n) 0 for n. Funktionen n/ logn går mod uendelig. Primtalssætningen siger altså end ikke, at forskellen (dvs venstresiden af (.3.4)) er begrænset, men snarere, at forskellen går langsommere mod end n/ logn. Primtalssætningen, altså relationen (.3.), er øjensynlig ækvivalent med følgende: π(n) n logn. For et givet tal n er brøken π(n)/n lig med sandsynligheden for, at et tilfældigt tal p n er et primtal. Primtalssætningen udsiger heuristisk, at denne sandsynlighed, når n er stor, er omtrent / logn. Ifølge Chebyshev s ulighed (.3.3) er sandsynligheden i hvert fald mindre end 3/ logn; specielt går sandsynligheden mod 0 for n, så primtal bliver mere sjældne ude til højre på talrækken. På den anden side er sandsynligheden større end 3 / logn, og den er altså ikke forsvindende: sandsynligheden for, at et tilfældigt tal med 00 decimaler er et primtal, er af størrelsesordenen, / log , 004. (.4) Sætning. For alle n og n/2 k n er ( n k) k π(n) π(k). Bevis. For binomialkoefficienten har vi udtrykket, ( ) ( ) n n = = k n k n (n ) (k + ) 2 3 (n k) Blandt faktorerne i tælleren er der π(n) π(k) primtal, og de er alle er større end k. Da k n k, kan ingen af disse primtal gå op i nævneren. Binomialkoefficienten er derfor delelig med produktet af disse primtal. Heraf følger påstanden. (.5) Korollar. For alle n er n π(n) 2 4n. Bevis. Uligheden vises let for n 3, og den vises ved fuldstændig induktion for n > 3. Sæt k := (n + )/2. Tallet (n + )/2 er enten et helt tal eller et helt tal plus /2. Derfor er n/2 k (n + )/2. Af (.4) og induktionsantagelsen (og de trivielle vurderinger π(n) n 2 og ( n k) 2 n ) får vi derfor, at ( ) n n π(n) = (n/k) π(n) k π(n) π(k) k π(k) 2 π(n) 2 4k 2 n 2 2 n 2 4(n+)/2 = 2 4n, k som ønsket. [Hvor i induktionsskridtet brugtes, at n 4?].
4 Primtallene.4 Note. Med en del ekstrabesvær kan man forbedre den anførte vurdering til følgende: n π(n) 2 8n/3 for alle n. (.5.) Lad os prøve at vise ved fuldstændig induktion, som i beviset for Korollaret, en ulighed af den generelle form, n π(n) 2 Cn. I induktionsskridtet sættes k := (n + )/2, hvilket via (.4) giver vurderingen, n π(n) 2 π(n) ( n k ) 2 C(n+)/2. (.5.2) Ovenfor udnyttede vi vurderingerne π(n) n 2 og ( n k) 2 n. Den sidste ulighed kan umiddelbart skærpes: Det er let at se, at hvis en vurdering af formen ( n k) 2 n c (for alle k) gælder for n = n 0, så gælder den for alle n n 0. For n = 9 er den største binomialkoefficient lig med 27, og altså mindre end 28 = 2 7 = Følgelig er ( n k) 2 n 2 for alle n 9. Altså får vi fra (.5.2): n π(n) 2 π(n)+(n 2)+C(n+)/2. (.5.3) Vi kan også forbedre vurderingen af π(n). Blandt tallene mindre end eller lig med n som ikke er primtal har vi i hvert fald følgende: tallet, de lige tal fraregnet tallet 2, tallene delelige med 3 fraregnet tallet 3 og tallene delelige med 6, samt tallet 25, hvis n 25. Idet vi antager, at n 25, er antallet af ikke-primtal altså mindst: + ( n 2 ) + ( n 3 n 6 ) + = n 2 + n 3 n 6. For antallet i komplementærmængden, altså for π(n), gælder derfor, at π(n) n n 2 n 3 + n 6. Udtrykket på højresiden er, for et naturligt tal n, højst n/3 + 2/3, hvad der let indses ved at kigge på de 6 muligheder for restklassen af n modulo 6. Herefter er Ved indsættelse i (.5.3) fås, at π(n) + (n 2) n n 2 = 4 3 (n ). n π(n) (n )+C(n+)/2. (.5.4) Eksponenten på højresiden er mindre end eller lig med Cn, præcis når C 8/3. Specielt, for C = 8/3, fås uligheden (.5.). I udregningerne er det antaget, at n 25, og yderligere, at uligheden (.5.) også gælder for k := (n + )/2. Induktionen kommer altså slet ikke i gang med mindre uligheden også
5 Primtallene.5 vises for nogle værdier af n = 3, 4,..., 24. For at vise, at uligheden gælder for alle n, mangler vi at vise de 24 uligheder for n =,...,24. For n =, 2, 3 er det helt trivielt. I almindelighed, for n 2, er det ækvivalent at vise, med κ(n) := (8/3)n(log 2)/(logn), at π(n) κ(n). Betragt følgende uligheder: π(n) π(30) = π(n) π(5) = π(n) π(7) = = κ(6) κ(n), = κ(8) κ(n), = κ(4) κ(n). Øjensynlig er κ(2 i ) = 2 i+3 /(3i) et rationalt tal, let at beregne, og ulighederne mellem de eksplicitte værdier af π(x) og κ(y) følger ved optælling. Funktionerne π(n) og κ(n) (for n e) er voksende. Derfor gælder de yderste uligheder i den første linie for 6 n 30, i den 2. linie for 8 n 5, og i den 3. linie for 4 n 7. Specielt gælder de manglende uligheder for 4 n 24. (.6) Lemma. For et primtal p og alle n og 0 k n gælder, at hvis potensen p ν er divisor i binomialkoefficienten ( n k), så er p ν n. Bevis. Påstanden vises ved fuldstændig induktion efter n. Lad b være binomialkoefficienten, skrevet som brøk: ( ) n n (n ) (n k + ) b := =. k 2 k Antag, at p ν b. Det skal vises, at p ν n. Det er trivielt for ν = 0, så vi kan antage, at ν > 0. Specielt er så n > k, og i brøken b er mindst én faktor i tælleren delelig med p. Lad b være den brøk, der fremkommer af brøken b ved at fjerne, fra tæller og nævner, alle faktorer, der ikke er multipla af p. Hvis n p og k p er de største multipla af p i henholdsvis tæller og nævner, resterer i nævneren faktorerne p, 2p,..., k p. Vi har altså b = n p (n )p (n 2)p p 2p 3p k p Både tæller og nævner i brøken b er produkter af k på hinanden følgende hele tal, og det er hver p te faktor, der er delelig med p. I nævneren er der k faktorer, der er delelige med p, og de første p faktorer ikke delelige med p. Heraf følger, at der i tælleren af b er k eller k + faktorer, der er delelige med p. De resterer i tælleren for b. Ved at forkorte k gange med p får vi i det første tilfælde, at ( n b ) =, () og i det andet tilfælde, at k ( n b ) ( n = k (n k ) ( n )p = k n ) p = k (k + )p; (2) +.
6 Primtallene.6 de sidste ligninger er blot trivielle omskrivninger af binomialkoefficienten. I begge tilfælde er brøken b altså et helt tal. Da p ν b følger det, at p ν b. I det første tilfælde fås derfor af (), og induktion, at p ν n, og så er p ν n < n p n. Betragt det andet tilfælde. I de tre udtryk for b i (2) forekommer faktorerne n k, n og k +. Mindst én af disse faktorer må være primisk med p. Af det tilsvarende udtryk for b følger derfor, at p ν er divisor i den tilsvarende binomialkoefficient. Ved induktion følger derfor, at p ν n (hvis n er primisk med p følger det endda, at p ν n ). Altså er p ν n p n, som ønsket. (.7) Sætning. For alle n og 0 k n er ( n k) n π(n). Bevis. Lad p ν pν r r være primopløsningen af binomialkoefficienten. Af (.6) følger så, at n. Specielt er p i n, og dermed er r π(n). Altså er p ν i i hvormed uligheden er eftervist. ( ) n = p ν k pν r r n r n π(n), (.8) Korollar. For alle n 2 er π(n) logn 2 (log 2)n. Bevis. Da 2 n = ) k, følger det af (.7), at 2 n (n + )n π(n), hvoraf ( n k π(n) logn ( log 2 log(n + ) ) n. n Brøken på højresiden konvergerer mod 0 for n, og aftagende for n 2. For n 7 er parentesen på højresiden altså mindst log log 2 = 7 4 log 2. Specielt gælder den påståede ulighed for n 7. Det er let at se, at den gælder for n = 2, 3, 4, 5, 6. Altså gælder uligheden for alle n 2. Bevis for ulighederne (.3.3). Af (.5) og (.8) følger, for n 2, at vi har ulighederne i (.3.2) med c = 2 log 2 og C = 4 log 2. Da log 2 = 0, , har vi specielt (.3.3). (.9) Konsekvenser. Af Primtalssætningen følger fx, at logp n logn, p n n logn, p n+ p n, (.9.) hvor p n det n te primtal. Af Primtalssætningen følger nemlig først, for n, at n logp n p n = π(p n) p n / logp n, () og dermed at log n logp n p n = logn + log logp n logp n 0.
7 Primtallene.7 Efter division med logp n fås, at Da (logx)/x 0 for x, følger det, at Hermed er den første relation i (.9.) bevist. Af () og (2) følger, at logn logp n + log logp n logp n. logn logp n. (2) n logn = logn n logp n, (3) p n logp n p n hvormed den anden relation er bevist. Endelig er p n+ p n = n logn n + log(n + ) p n n logn p n+ (n + ) log(n + ). På højresiden konvergerer første og sidste brøk mod ifølge (3). De to midterste brøker konvergerer trivielt mod. Heraf følger den sidste relation i (.9.). (.0) Bertrand s Postulat. Mellem n og 2n ligger altid et primtal. Ækvivalent er påstanden, at π(2n) > π(n) for alle naturlige tal n. Påstanden blev bevist af Chebyshev, essentielt som følger: Antag, for givne positive tal c, C, med c og C, at ulighederne (.3.2) gælder for n N 0. Herefter er, for n N 0, π(2n) π(n) 2cn log 2 + logn Cn logn. (.0.) Det er klart, at hvis 2c > C, så er højresiden positiv for n N, med et N N 0. Påstanden i Bertrand s postulat gælder altså for n N. For at vise påstanden for alle n kræves en eksplicit bestemmelse af c, C med c/c > 2 og et tilhørende N 0; herefter bestemmes N og Bertrand s Postulat er så bevist for alle n, når det er eftervist for de endelig mange n N. Bemærk, at de værdier af c, C, hvormed vi har vist Chebyshev s uligheder, er helt utilstrækkelige, idet vi her har c/c = 9. Man kan vise [Rosser og Schoenfeld, 962], at for alle n er π(n),3 n/ logn og for alle n 7 er π(n) n/ logn, og på den baggrund er det let at vise Postulatet. Vi giver senere et elementært bevis for Postulatet. (.). Det er nærligende at sammenligne fordelingen af primtallene med fordelingen af andre uendelige mængder af tal. Betragt fx kvadrattallene: q k = k 2. For funktionen ν(n), der tæller antallet af kvadrattal mindre end eller lig med n, får vi trivielt den asymptotiske formel, ν(n) n; sammenligning med (.3.) viser, at kvadrattal er meget mere sjældne end primtal. Der er som bekendt så få kvadrattal, at rækken /q, hvor der summeres over kvadrattal, er konvergent (summen er som bekendt π 2 /6). For primtallene gælder modsætningsvis det efterfølgende resultat, der skyldes Euler (737):
8 Primtallene.8 Sætning. Rækken /p, over primtal p, er divergent. Bevis. I beviset bruger vi følgende vurdering for 0 < x < : log x = n xn x + x n = x + x2 x < x + x 2 ( x) 2. n n 2 Betragt nu for et naturligt tal N produktet, over primtal p N, p N /p. Faktoren svarende til p er summen i /pi ; når disse summer multipliceres fremkommer summen af alle brøker /n, hvor n har en primopløsning med primfaktorer, der alle er højst N. Heri indgår specielt alle brøker /n, hvor n N. Vi har altså vurderingen, n N n p N /p. Ved brug af uligheden ovenfor, for x := /p, får vi derfor uligheden, log n ( p + ) (p ) 2. n N p N For N går venstresiden mod uendelig, fordi den harmoniske række er divergent. På højresiden er rækken p /(p )2 konvergent, fordi rækken /k 2 er konvergent. Følgelig må rækken /p være divergent. (.2) Andre approksimationer. Primtalssætningen kan formuleres ved hjælp af funktionen A(x) defineret ved følgende ligning: π(x) = x logx A(x). Herefter er(x/ log x)/π(x) = A(x)/ log x. Primtalssætningen udsiger altså, at kvotienten A(x)/ logx går mod 0 for x eller ækvivalent med den såkaldte lille-o-notation, at A(x) = o(logx). Funktionen A(x) er differensen A(x) = logx x/π(x). Dens værdier for de første 0 potenser af 0 kan altså let fås af tabellen i (.3), idet log 0 = 2, Det er bemærkelsesværdigt, at værdierne er ganske tæt på ; primtalssætningen forudsiger jo ikke engang, at funktionen
9 Primtallene.9 A(x) er begrænset. Man kan vise, at hvis grænseværdien lim x A(x) eksisterer, så må den være lig med. I lyset af dette resultat kunne man håbe, at tilnærmelsen, π(n) n logn, (.2.) i en eller anden forstand er bedre en (.3.). Legendre selv foreslog approksimationen n/(logn, 08366). Som anført, dvs som et udsagn om forholdet mellem de to funktioner, er (.2.) trivielt ækvivalent med (.3.). Som nævnt udsiger Primtalssætningen heuristisk, for et stort tal n, at sandsynligheden for at et tal p n er et primtal er lig med / logn. Mere præcist må det forventes, at et lille interval af længde omkring n indeholder / logn primtal. [ lille skal forstås i betydningen lille sammenlignet med n, men stort nok til statistiske betragtninger ; fx n = 0 00, = ] Forventningen leder til følgende tilnærmelse, foreslået af Gauss, π(n) n 2 dt logt. (.2.2) Igen er det let at se, at relationen (.2.2) er ækvivalent med Primtalssætningen. Funktionen på højresiden er, bortset fra (addition af) en konstant, logaritme-integralet Li(n). Riemann [ ] så, at i tallet / logn, fortolket som antallet af primtal i et interval af længde omkring n, bør også primtalspotenser indgå, således at k te potenser vægtes med /k. I stedet for funktionen π(x) = p x betragtes altså funktionen, (x) = p k x k = k π( k x). Ved hjælp af Möbius-funktionen µ(n) kan vi omvendt udtrykke π(x) ved (x), π(x) = k= k= µ(k) k ( k x). (Funktionen µ(n) har værdien ( ) r, når n er et produkt af r forskellige primtal, og værdien 0 ellers. Specielt er µ() =, idet jo er produktet af ingen primtal.) Riemann s overvejelse leder til approksimationen (n) Li(n), og heraf kan formelt udledes, at π(n) k= µ(k) k Li( k n) =: R(n). (.2.3) Funktionen R(n) på højresiden af (.2.3) kaldes Riemann s række. I rækkens k te led går faktoren Li( k n) mod for k, og det er faktisk ækvivalent med Primtalssætningen at vise, at rækken overhovedet er (betinget) konvergent. Riemann selv betragtede kun rækkens afsnitssummer. Hvis vi snyder, og tillægger Li(x) værdien 0 for < x < 2, er R(n) blot en endelig sum, og den asymptotiske relation (.2.3) følger let af (.2.2).
10 Primtallene.0 (.3) Verdens største tal. Som nævnt gælder for n 0 (endda for n 7) følgende ulighed: n/ logn < π(n). Gauss og Riemann formodede, at der for alle n gælder uligheden, π(n) < Li(n). Det skal understreges, at uligheden gælder for alle de n, for hvilke π(n) overhovedet er beregnet. I tabellen herunder er anført værdierne af π(n) for de første 22 potenser af 0 (π(0 22 ) var den største beregnede værdi i 2000), og de tilsvarende differenser Li(n) π(n) (afrundet opad). Tabellen er hentet på nettet fra Sloane s On Line Encyclopedia of Integer Sequences (Look-Up) njas/sequences/ ved at indtaste tabellens første tre tal: n π(n) R(n) π(n) Li(n) π(n) For alle n i tabellen er differensen Li(n) π(n) positiv, og altså π(n) < Li(n). På baggrund af tabellen kunne man fristes til at tro, at differensen Li(n) π(n) vokser ubegrænset for n. Dette er langt fra tilfældet. Littlewood viste allerede i 94, at differensen Li(n) π(n) skifter fortegn uendelig mange gange. Beviset er ikke konstruktivt, og angiver
11 Primtallene. ikke en værdi n 0, for hvilken π(n 0 ) > Li(n 0 ). Skewes viste i 934, under forudsætning af Riemann s hypotese (se nedenfor), at et sådant tal findes, med n 0 < Højresiden er Skewes tal, verdens største tal. Senere, bl.a. også af Skewes, er der givet øvre grænser for n 0 uden forudsætning af Riemann s hypotese. Det antages i almindelighed, at Riemann s approksimation R(n) er bedre end approksimationerne Li(n) og n/ log n. Antagelsen understøttes numerisk, men som nævnt ovenfor er numeriske data slet ikke overbevisende. Bemærk, at i approksimationen med det andet led medtaget, π(n) Li(n) 2 Li( n), er leddet Li( n) af størrelsesordenen n/ logn. Det er et dybtliggende spørgsmål, også relateret til Riemann s hypotese, om differensen Li(n) π(n) overhovedet er af denne størrelsesorden. (.4) Riemann s zeta-funktion. I sine undersøgelser inddrog Riemann zeta-funktionen ζ(s), defineret ved rækken, ζ(s) := n s. (.4.) n Rækken er en såkaldt Dirichlet-række. Det er ikke svært at vise, at rækken er absolut konvergent for alle komplekse tal s i områdetre s >, og at funktionen ζ(s) i dette område er holomorf. Dens sammenhæng med primtallene fremgår af Euler s produktformel, ( lim ζ(s) k k ( ) ) pi s =, (*) i= hvor p < p 2 < p 3 < er følgen af primtal. Vi har nemlig ζ(s)( 2 s ) = n s (2n) s = n s, hvor summen er over tal n, der ikke er delelige med 2. Med samme argument er ζ(s)( 2 s )( 3 s ) = n s, hvor summen nu er over tal n, som hverken er delelige med 2 eller 3. Og generelt er ζ(s)( p s ) ( p s k ) = n s = + n s,
12 Primtallene.2 hvor den sidste sum er over tal n >, som ikke er delelige med et af primtallene p,..., p k. Det første af disse tal er p k+. Idet σ :=Re s >, får vi vurderingen, n s n p k+ n σ, og her går højresiden mod 0 for k, da rækken n σ er konvergent. Hermed er (*) bevist. Det følger, forre s >, at ζ(s) 0, at det uendelige produkt k= ( pk s ) er konvergent, og at vi har ligningen (hvor p gennemløber primtallene), ζ(s) = p. (.4.2) p s Et alternativt bevis for, atζ(s) 0 forre s > fås ved at bemærke, at rækken n µ(n)/ns er absolut konvergent, og at dens produkt med rækken for ζ(s) giver konstanten. Vi har altså ligningen, ζ(s) = µ(n) n s. (.4.3) n Formelt har vi for logaritmerne, logζ(s) = p log( p s ) = p,m m p sm, og her er højresiden absolut (og majoriseret) konvergent. Ligningen definerer altså en logaritme til ζ(s). Herefter er det ikke svært at vise ligningen, logζ(s) = s 0 (t) t s dt, (.4.4) der viser sammenhængen mellem Riemann s ζ -funktion og funktionen (x) fra (.2). Riemann viste, at ζ -funktionen kan udvides til en meromorf funktion i hele den komplekse plan, holomorf bortset fra en pol i s =. I halvplanen, hvorre s > 0, kan den udvidede funktion bestemmes som følger: ForRe s > gælder øjensynlig, at ( 2 s )ζ(s) = n= n s n= 2 (2n) s = ( ) n n= n s. Rækken på højresiden er betinget konvergent forre s > 0 (det er i hvert fald klart, når s er reel), og ligningen ovenfor kan derfor essentielt tages som definition af udvidelsen af ζ(s) til halvplanenre s > 0. Bemærk dog, at faktoren 2 s på venstresiden er 0, når s = + 2πia/ log 2 med a Z. For a = 0, dvs for s =, har højresiden værdien log 2, og ( 2 s ) = ( e ( s) log 2 ) = (log 2) (s ) +,
13 Primtallene.3 hvor står for en potensrække i s. Heraf ses, at ζ(s) har en simpel pol i s =, med residuet. Endelig beviste Riemann, at den udvidede funktion ζ(s) tilfredsstiller følgende funktionalligning: ζ( s) = 2 s π s cos πs Ŵ(s)ζ(s), (.4.5) 2 hvor Ŵ(s) er gamma-funktionen. De to argumenter, s og s, i funktionalligningen ligger symmetrisk omkring punktet s = 2. Specielt, på linien, hvorre s = 2, er s det konjugerede af s. Af særlig interesse er nulpunkterne for ζ(s). ForRe s > har ζ(s) som nævnt ingen nulpunkter, og af faktorerne på højresiden af (.4.5) er det kun faktoren cosπs/2, der kan være nul, svarende til s = 3, 5, 7,.... I områdetre s < 0 har ζ(s) derfor kun de trivielle nulpunkter 2, 4, 6,.... Riemann viste, at Primtalsætningen er ækvivalent med, at ζ(s) ikke har nulpunkter på de to linierre s = 0 ogre s =. Det var faktisk ved hjælp af denne ækvivalens, at Primtalssætningen blev bevist. Tilbage bliver spørgsmålet om eventuelle nulpunkter i den kritiske strimmel 0 < Re s <. Man kan vise, atζ(s) har uendelig mange nulpunkter på symmetrilinien Re s = 2. Derimod har man ikke bevist den berømte: Riemann s hypotese. Alle nulpunkter s for zeta-funktionen ζ(s) i den kritiske strimmel 0 <Re s < ligger på linien, hvorre s = 2. Riemann beviste en eksakt formel for π(n). Med brug af funktionen R(n) er formlen ækvivalent med følgende: For alle n > er π(n) = R(n) ρ R(nρ ), (.4.6) hvor ρ gennemløber nulpunkterne for ζ(s) i den kritiske strimmel. Tallet n ρ er komplekst, n ρ = e ρ log n, og det har som bekendt numerisk værdi n ρ = n r, hvor r =Re ρ. Riemann s hypotese betyder, at alle tallene n ρ har numerisk værdi lig med n /2 = n. Man kan i øvrigt vise, at Riemann s hypotese er ækvivalent med relationen, π(n) Li(n) = O( n logn), (.4.7) hvor store-o-notationen indikerer, at differensen π(n) Li(n) numerisk er begrænset af en konstant gange n logn. Det skal understreges, at de asymptotiske relationer i (.2) er ækvivalente med Primtalssætningen. Derimod er Riemann s hypotese, og altså (.4.7), ikke er bevist. (.5) Logaritme-integral og eksponential-integral. I Riemann s formel (.4.6) indgår værdier af R(w), og dermed af Li(w), også for komplekse tal w (af formen w = n ρ ). Når x > og ρ 0 definerer vi Li(x ρ ) := Ei(ρ logx), hvor Ei(z) er eksponential-integralet, defineret for komplekse z 0 ved udtrykket, Ei(z) = z e t dt t + iπ. (.5.)
14 Primtallene.4 Når z er negativ reel eller i den øvre halvplan, er kurveintegralet langs en kurve, der begynder i (og ender i z), og som ikke kommer i den nedre halvplan. For reelle positivez kan kurven forløbe langs den negative reelle akse, cirkle rundt om 0 i den øvre halvplan, og fortsætte langs den positive halvakse. For punkter i den nedre halvplan forudsættes, at kurven krydser den reelle akse på den positive del; alternativt kan der integreres langs en kurve i den nedre halvplan, idet konstanten iπ så skal erstattes af iπ. Funktionen Ei(z) er holomorf i C opskåret langs den negative reelle akse; værdierne for negative reelle z er grænseværdier for værdierne i den øvre halvplan. Kurveintegralet definerer en funktion, der lokalt er holomorf med den afledede e z /z = /z + m zm /m!. Med en konstant γ har vi har altså ligningen, Ei(z) = γ + logz + z m /(m m!) (.5.2) (også nårz er negativ reel, hvor vi sætter logz := log z +iπ). Øjensynlig erγ grænseværdien for z 0 af Ei(z) logz. Når u er positiv reel, er hvoraf Ei( u) log( u) = γ = u 0 e t dt t ( e t )dt t m= e t dt log u = u t At γ faktisk er Euler s konstant følger af udregningerne, = n n logn = ( t/n) n dt t n t dt = 0 0 e t dt t u n n u du ( t/n) n dt t. + t dt n u dt t, ( t/n) n dt ; t Euler s konstant er grænseværdien, for n, af venstresiden, og som bekendt er e t grænseværdien af ( t/n) n. (.6) Om konvergens af Riemann s række. Med logaritme-integralet defineret via eksponential-integralet får vi følgende udtryk for rækken, der definerer R(n): R(e z ) = k= µ(k) k Ei(z/k). Indsæt, i rækken på højresiden, udtrykket (.5.2) for Ei(z/k), og brug at γ + log(z/k) = (γ + logz) logk. Resultatet bliver en sum af tre rækker. De to første er rækkerne k= µ(k) (γ + logz) og k µ(k) log k. (.6.) k= k
15 Primtallene.5 Man kan vise, at der gælder ligningerne, k= µ(k) k = 0, µ(k) logk k =. (.6.2) De to venstresider opstår formelt, når man sætter s = i rækken /ζ(s) = µ(k)/k s = /ζ(s) fra (.4.3) og i (/ζ(s)) = µ(k) logk/k s. Da ζ(s) har en simpel pol med residuet i s =, gælder, for s, at /ζ(s) 0 og (/ζ(s)), og dette kan tages som en vag indikation for ligningerne i (.6.2), men langtfra som bevis. Det er ikke så svært at vise, at den første ligning i (.6.2) er ækvivalent med primtalssætningen. Det følger af ligningerne (.6.2), at de to rækker i (.6.) blot bidrager med konstanten til R(e z ). Det tredie bidrag har formen, k= m= µ(k) k z m k m mm!. Det er nemt at se, at denne dobbeltrække er absolut konvergent. Ved ombytning af summationerne bliver den indre sum til rækken k µ(k)k m = /ζ(m + ). Vi har således vist, at rækken R(e z ) er (betinget) konvergent, og at vi for summen har udtrykket, R(e z ) = + m z m ζ(m + )m m!. U H H H H H U (.7) Opgaver.. Möbius-funktionen µ(n) har værdien for n =, værdien ( ) r når n er et produkt af r forskellige primtal, og værdien 0 ellers. Vis, at Möbius-funktionen µ(n) kan karakteriseres som den eneste funktion µ: N C som opfylder: µ() = og d n µ(d) = 0 for n >. 2. Bevis formlen π(n) = k (µ(k)/k) ( k n), hvor (n) er defineret i (.2). 3. Vis, at de tre asymptotiske formler, π(n) Li(n), (n) Li(n), π(n) R(n), alle er ækvivalente med Primtalssætningen. Her fortolker vi R(n) som den (endelige) sum der fremkommer af højresiden i (.2.3), når logaritme-integralet sættes til 0 for < x < Tegn på millimeterpapir graferne for funktionerne 300π(x) og 300ν(x) på intervallet 0 x N, hvor N := 0 30, idet interval-endepunkterne på x-aksen anbringes med en afstand på 0 cm. Du må gerne antage, at π(x) = x/ logx for x > 2 (og ν(x) er antallet af kvadrattal, der højst er x), og du må gerne tegne med en blyant, hvis spids er ca mm tyk. Men du skal kunne forsvare din tegning. [Vink: 300 log 0 30.] 5. Vis, at (3, 5, 7) er det eneste sæt primtalstrillinger. 6. Bestem, med A(n) fra (.2), A(0 8 ) med 2 decimaler. Værdien π(0 8 ) er givet i (.3). 7. Fermat-primtallene er (ulige) primtal af formen p = 2 k +. Vis, at hvis 2 k + (med k > 0) er et primtal, så er k nødvendigvis en potens af 2. Fermat-primtallene er altså af formen F n = 2 2n +. De første 5 Fermat-primtal er følgende n F n
16 Primtallene.6 U2 U3 U2 U2 U3 U3 U U,U8 U U Man kender ikke andre Fermat-primtal. Euler beviste, at 64 går op i F 5. Check lige udregningen: Det er let at se, at 64 = = Modulo 64 gælder derfor, at 2 32 = (2 7 ) 4 ( ) 4 =, altså er F 5 = (mod 64). 8. Mersenne-primtallene er primtal af formen M p = 2 p. Vis, at hvis M p er et primtal, så er p et primtal. Vis, at det omvendte ikke gælder. Her er de første Mersenne-primtal: p M p Der kendes (i 2008) ialt 46 Mersenne-primtal. Det største, svarende til p = , har ciffre. 9. Med σ(n) betegnes summen af divisorerne i n, altså σ(n) = d n d. Bestem σ(pν ), når p er et primtal. Vis, at når n = n n 2, hvor faktorerne n, n 2 er primiske, så er σ(n) = σ(n )σ(n 2 ). 0. Et tal n kaldes fuldkomment, hvis det er lig med summen af sine ægte divisorer (divisoren medregnet), altså hvis σ(n) = 2n. Vis Euklid s resultat: Hvis 2 ν er et primtal, så er tallet n = 2 ν (2 ν ) fuldkomment. *Vis Euler s resultat: ethvert lige, fuldkomment tal n er af Euklid s form.. Vis, at alle tal af formen n = 6k for k > er abundante tal, dvs opfylder σ(n) > 2n. 2. Vis, at alle tal af formen n = 3 α 5 β (n > ) er deficiente tal, dvs opfylder σ(n) < 2n. 3. Lad α(n) betegne antallet af løsninger til den diofantiske ligning n = x 2 y 2, dvs løsninger med x, y Z. Vis, at når n er ulige, så er α(n) = 2τ(n), hvor τ(n) er antallet af divisorer i n (som bekendt kan τ(n) bestemmes ud fra primopløsningen n = p ν pν r r som τ(n) = (ν + ) (ν r + )). Find en tilsvarende formel for α(2 ν u), når u er ulige. [Vink: Pas på, der er noget lusk omkring ν =.] 4. Vis, at tallene l! + 2, l! + 3,...,l! + l en sekvens af l på hinanden følgende tal, der alle er sammensatte. Kan du, med en betingelse på l, sikre dig, at også l! + er sammensat? 5. Har kongruensen 23x 7 (mod 4) en løsning? Har kongruensen x 2 8 (mod 4) en løsning? 6. Hvordan bestemmer man antallet af cifre i Fermat-tallet F 5 = ? 7. Gauss beviste, at n-kanten er konstruerbar, hvis og kun hvis n er et produkt, n = 2 ν p p r, af en potens af 2 og forskellige Fermat-primtal p i. Vis, at n-kanten er konstruerbar, hvis og kun hvis ϕ(n) er en potens af For hvert polynomiumf Z[X] betegnes medr(f ) det polynomium, der fremkommer, når hver koefficient i f erstattes med sin principale rest modulo 2. Sæt R m :=R(( + X) m ) for m =, 2,.... Fx, for m = 3, er ( + X) 3 = + 3X + 3X 2 + X 3 + X + X 2 + X 3, og R 3 er det sidste polynomium. Bestem tallene R m (2) for m =,...,6. Følgende er et bemærkelsesværdigt resultat. Den ulige n-kant er konstruerbar, hvis og kun hvis n er et af tallene i følgen R (2), R 2 (2), R 3 (2), R 4 (2),.... Men resultatet er nu heller ikke helt korrekt! Forklar sammenhængen. [Vink: Det er klart, at ( + X) l+m = ( + X) l ( + X) m, men deraf følger vel ikke, at R l+m = R l R m?]
17 Primtallene.7 U2 U U U6 U6 U8 9. Stirling s formel udsiger, at n! 2πn n+ 2 e n. Lad b n betegne den største værdi af binomialkoefficienterne ( n k). Vis ved hjælp af formlen, at der findes en konstant C således, at b n C2 n / n. Vis, at for hvert positivt tal c er b n 2 n c for n 0. Vis, at hvis b n 2 n c for n = n 0, så er b n 2 n c for alle n n 0. [Vink til det sidste spørgsmål: Har intet at gøre med det foregående.] 20. Tilføj til tabellen over π(n) nogle af differenserne π(n) n/ logn, fx for n = 0 k med k = 6, 7, 8. Sammenlign med tabellens andre differenser. 2. Bestem, med c = og C =,3 et naturligt tal N således, at højresiden i (.0.) er positiv for n N. Gennemfør et bevis for Bertrand s postulat. 22. Antag, at n ikke er den k te potens af et helt tal. Vis, at tallet k n er irrationalt. 23. Antag, at n ikke er en potens af 0. Vis, at 0-talslogaritmen log 0 n er irrational. Hvad gælder, hvis grundtallet 0 erstattes med et mere generelt helt grundtal g, g 2? 24. Antag, at for naturlige tal x, y gælder ligningen y 2 = + x + x 2 + x 3 + x 4. Vis, at (x, y) = (3, ). [Vink: Det er klart, at x >. Tænk nu på naturlige tal fremstillet i x-tal-sxstemet. Ligningens højreside er så tallet (med fem ciffre). Overvej, at i x-talsystemet må y være 3-ciffret, og det ledende ciffer (koefficienten til x 2 ) må være. Bestem så de sidste to ciffre (og x og y).] 25. Vis for Q := X 2 X + 4, at alle tallene Q(), Q(2),..., Q(40) er primtal. [Vink: det kræver vist gruppearbejde! eller en henvisning til Mat2AL/Alg2.] Vis, at der ikke findes noget ikke-konstant polynomium P Z[X] således, at følgen P(), P(2), P(3),... består af lutter primtal. [Vink: hvis p := P(), så er P(np + ) P() 0 (mod p).] 26. Lad v p (k) betegne den eksponent primtallet p forekommer med i primopløsningen af k. Vis, at v p (n!) = n/p + n/p 2 + n/p 3 + (det er en endelig sum!). Brug princippet, fx med p = 2, 3 og 5, til at primopløse 00!. 27. Vis, at et vilkårligt produkt af r på hinanden følgende hele tal altid er deleligt med r!. 28. I noterne er det vist, at rækken p, hvor summen er over primtal p, er divergent. Vis, at divergensen også følger af primtalssætningen π(x) x/ log x. (*Det kræver omhyggelighed at vise, at divergensen alene følger af en vurdering af formen π(x) cx/ logx.) Lad os her definere en primtalstvilling som et primtalq for hvilketq+2 ellerq 2 ligeledes er et primtal. Som nævnt ved man ikke, om der er uendelig mange primtalstvillinger. Man kan vise, at rækken q, hvor summen er over primtalstvillinger q, er konvergent, og man kan vise, at der for antallet π 2 (x) af primtalstvillinger mindre end eller lig med x gælder en vurdering af formen π 2 (x) Kx/(logx) 2. Det er en formodning (slet ikke bevist), at der gælder en assymptotisk formel af formen π 2 (x) Kx/(logx) 2. Vis, at konvergensen vil være en følge af formodningen. 29. Lad Q være en given delmængde af N, og lad π Q (x) betegne antallet af tal q x i delmængden Q. Betragt for en given talfølge α n summen Q a q b α q, hvor notationen indikerer, at der summeres over q Q med a q b. Af og til kan man have gavn af
18 Primtallene.8 følgende omskrivninger (hvor n gennemløber naturlige tal): Q a q b α p = a n b α n ( πq (n) π Q (n ) ) = α b+ π Q (b) α a π Q (a ) + a n b (α n α n+ )π Q (n); den sidste forudsætter, at a og b er hele tal. Eftervis omskrivningerne. Vis, at divergensen af rækken p over primtal p alene følger af en vurdering af formen π(x) cx/ logx. Vis, at konvergensen af rækken q over primtalstvillinger q er en konsekvens af en vurdering af formen π 2 (x) Kx/(logx) 2. [Vink: benyt, og begrund, at /(n(logn) s ) (over n 2) er konvergent, præcis når s >.] 30. Check lige, at definitionen i (.5), Li(x) = Ei(log x), harmonerer med, at logaritmeintegralet er en stamfunktion til / logx, jfr (.2.2). 3. Vis, at rækkerne (.4.) og (.4.3) er hinandens reciprokke. 32. Vis ligningen (.4.4). [Vink: funktionen (x) i (.2) er givet ved (x) = p,m m [p m, )(x), hvor I (x) betegner den karakteristiske funktion for intervallet I.] 33. Det er vel klart, ( at eksponential-integralet Ei(x) er reelt, når x er reel og positiv? Og at ε Ei(x) = lim ε 0 + x) ε e t t dt. 34. Lad b n betegne den midterste af binomialkoefficienterne ( n l) (eller de midterste), altså b n = ( n k), hvis n = 2k eller n = 2k. Brug Stirling s formel herunder til at vise følgende formel: 2 b n = π 2n e θ n, hvor θ. n Ifølge (.7) er b n n π(n). Hviken vurdering af π(n) kan herved opnås? Sammenlign med (.8). Du kender vel den lidt mere kvantitative udgave af Stirling s formel: k! = 2π k k+ 2 e k+ θ 2k, hvor 0 < θ <. 35. Et naturligt tal er som bekendt kvadratfrit, hvis intet kvadrat (bortset fra ) er divisor i tallet, eller, ækvalent, hvis det er et produkt af indbyrdes forskellige primtal. Bestem, udtrykt ved antallet af primdivisorer i n, antallet af kvadratfri divisorer i n.
Anders Thorup. Elementær talteori. Algebra og talteori, F2001
Anders Thorup Elementær talteori Algebra og talteori, F2001 1. Primtallene... 1 2. Gruppen af primiske restklasser... 15 3. Cirkeldelingspolynomier. Endelige legemer... 21 4. Reciprocitetssætningen...
Læs mereA. Appendix: Løse ender.
Løse ender A.1 A. Appendix: Løse ender. (A.1). I dette appendix giver vi et bevis for Bertrand s Postulat, nævnt i Kapitel 1. Som nævnt følger Postulatet af en tilstræelig nøjagtig vurdering af primtalsfuntionen
Læs mere2. Gruppen af primiske restklasser.
Primiske restklasser 2.1 2. Gruppen af primiske restklasser. (2.1) Setup. I det følgende betegner n et naturligt tal større end 1. Den additive gruppe af restklasser modulo n betegnes Z/n, og den multiplikative
Læs merePrimtal - hvor mange, hvordan og hvorfor?
Johan P. Hansen 1 1 Institut for Matematiske Fag, Aarhus Universitet Gult foredrag, EULERs Venner, oktober 2009 Disposition 1 EUKLIDs sætning. Der er uendelig mange primtal! EUKLIDs bevis Bevis baseret
Læs mereTALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning.
Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning, oktober 2008, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan
Læs mereTalteoriopgaver Træningsophold ved Sorø Akademi 2007
Talteoriopgaver Træningsophold ved Sorø Akademi 2007 18. juli 2007 Opgave 1. Vis at når a, b og c er positive heltal, er et sammensat tal. Løsningsforslag: a 4 + b 4 + 4c 4 + 4a 3 b + 4ab 3 + 6a 2 b 2
Læs mereForslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80)
Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80) Opgave 1 Vi skal tegne alle de linjestykker, der forbinder vilkårligt valgte punkter blandt de 4 punkter. Gennem forsøg finder
Læs mereMATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel
Juni 2000 MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel Opgave 1. (a) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen y 8y + 16y = 0. (b) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen
Læs mereπ er irrationel Frank Nasser 10. december 2011
π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereNoter til Perspektiver i Matematikken
Noter til Perspektiver i Matematikken Henrik Stetkær 25. august 2003 1 Indledning I dette kursus (Perspektiver i Matematikken) skal vi studere de hele tal og deres egenskaber. Vi lader Z betegne mængden
Læs mereTalteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, august 2013, Kirsten Rosenkilde.
Indhold 1 Delelighed, primtal og primfaktoropløsning Omskrivning vha. kvadratsætninger 4 3 Antal divisorer 6 4 Største fælles divisor og Euklids algoritme 7 5 Restklasser 9 6 Restklasseregning og kvadratiske
Læs mereKompleks Funktionsteori
Kompleks Funktionsteori Formelræs Holomorfe funktioner Sætning. (Caucy-Riemans ligninger). Funktionen f : G C, f = u+iv er holomorf i z 0 = x 0 + iy 0 hvis og kun hvis i punktet (x 0, y 0 ). du dx = dv
Læs mereProjekt 7.9 Euklids algoritme, primtal og primiske tal
Projekter: Kapitel 7 Projekt 79 Euklids algoritme, primtal og primiske tal Projekt 79 Euklids algoritme, primtal og primiske tal Projektet giver et kig ind i metodee i modee talteori Det kan udbygges med
Læs mereAlgebra - Teori og problemløsning
Algebra - Teori og problemløsning, januar 05, Kirsten Rosenkilde. Algebra - Teori og problemløsning Kapitel -3 giver en grundlæggende introduktion til at omskrive udtryk, faktorisere og løse ligningssystemer.
Læs mereEuklids algoritme og kædebrøker
Euklids algoritme og kædebrøker Michael Knudsen I denne note vil vi med Z, Q og R betegne mængden af henholdsvis de hele, de rationale og de reelle tal. Altså er { m } Z = {..., 2,, 0,, 2,...} og Q = n
Læs mereMatematik YY Foråret Kapitel 1. Grupper og restklasseringe.
Matematik YY Foråret 2004 Elementær talteori Søren Jøndrup og Jørn Olsson Kapitel 1. Grupper og restklasseringe. Vi vil i første omgang betragte forskellige typer ligninger og søge efter heltalsløsninger
Læs mereMATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 3. fjerdedel
MATEMATIK Eksamensopgaver Juni 995 Juni 200, 3. fjerdedel August 998 Opgave. Lad f : R \ {0} R betegne funktionen givet ved f(x) = ex x for x 0. (a) Find eventuelle lokale maksimums- og minimumspunkter
Læs mereMM502+4 forelæsningsslides
MM502+4 forelæsningsslides uge 11+12 1, 2009 Produceret af Hans J. Munkholm, delvis på baggrund af lignende materiale udarbejdet af Mikael Rørdam 1 I nærværende forbindelse er 11 + 12 23 1 Egenskaber for
Læs mereStore Uløste Problemer i Matematikken. Lisbeth Fajstrup Aalborg Universitet
Store Uløste Problemer i Matematikken. Lisbeth Fajstrup Aalborg Universitet Oversigt Hvad er et stort problem i matematik Eksempler fra 1900 og fra 2000 Problemer om tal perfekte tal, primtal. Meget store
Læs mereTalteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, marts 2014, Kirsten Rosenkilde.
Indhold 1 Delelighed, primtal og primfaktoropløsning Omskrivning vha. kvadratsætninger 4 3 Antal divisorer 6 4 Største fælles divisor og Euklids algoritme 7 5 Restklasser 9 6 Restklasseregning og kvadratiske
Læs mereSupplerende opgaver. S1.3.1 Lad A, B og C være delmængder af X. Vis at
Supplerende opgaver Analyse Jørgen Vesterstrøm Forår 2004 S.3. Lad A, B og C være delmængder af X. Vis at (A B C) (A B C) (A B) C og find en nødvendig og tilstrækkelig betingelse for at der gælder lighedstegn
Læs mereForedrag i Eulers Venner 30. nov. 2004
BSD-prosper.tex Birch og Swinnerton-Dyer formodningen Johan P. Hansen 26/11/2004 13:34 p. 1/20 Birch og Swinnerton-Dyer formodningen Foredrag i Eulers Venner 30. nov. 2004 Johan P. Hansen matjph@imf.au.dk
Læs mereOmvendingsformler for potensrækker Asymptotiske og svingende asymptotiske potensrækker Riemanns metode og cirkelmetoden
1 Omvendingsformler for potensrækker Asymptotiske og svingende asymptotiske potensrækker Riemanns metode og cirkelmetoden Af Niels-Henrik Aphel Indledning 1 De talteoretiske funktioner (n) og (n) 2 Euler-Maclaurins
Læs mereMatematisk induktion
Induktionsbeviser MT01.0.07 1 1 Induktionsbeviser Matematisk induktion Sætninger der udtaler sig om hvad der gælder for alle naturlige tal n N, kan undertiden bevises ved matematisk induktion. Idéen bag
Læs merez j 2. Cauchy s formel er værd at tænke lidt nærmere over. Se på specialtilfældet 1 dz = 2πi z
Matematik F2 - sæt 3 af 7 blok 4 f(z)dz = 0 Hovedemnet i denne uge er Cauchys sætning (den der står i denne sides hoved) og Cauchys formel. Desuden introduceres nulpunkter og singulariteter: simple poler,
Læs mereMat H /05 Note 2 10/11-04 Gerd Grubb
Mat H 1 2004/05 Note 2 10/11-04 Gerd Grubb Nødvendige og tilstrækkelige betingelser for ekstremum, konkave og konvekse funktioner. Fremstillingen i Kapitel 13.1 2 af Sydsæters bog [MA1] suppleres her med
Læs mere10. Nogle diofantiske ligninger.
Diofantiske ligninger 10.1 10. Nogle diofantiske ligninger. (10.1). I dette kapitel betragtes nogle diofantiske ligninger, specielt nogle af de ligninger, der kan behandles via kvadratiske talringe. Ligningerne
Læs mereUndersøgende aktivitet om primtal. Af Petur Birgir Petersen
Undersøgende aktivitet om primtal. Af Petur Birgir Petersen Definition: Et primtal er et naturligt tal større end 1, som kun 1 og tallet selv går op i. Eksempel 1: Tallet 1 ikke et primtal fordi det ikke
Læs mereIntroduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak
Introduktion til differentialregning 1 Jens Siegstad og Annegrete Bak 16. juli 2008 1 Indledning I denne note vil vi kort introduktion til differentilregning, idet vi skal bruge teorien i et emne, Matematisk
Læs mereAnalyse 1, Prøve 2 Besvarelse
Københavns Universitet Prøve ved Det naturvidenskabelige Fakultet maj Analyse, Prøve Besvarelse Opgave (3%) (a) (%) Bestem mængden af x R for hvilke rækken ( + (x) n ) er konvergent og angiv sumfunktionen
Læs mereDen homogene ligning. Vi betragter den n te ordens, homogene, lineære differentialligning. d n y dt n. an 1 + any = 0 (1.2) dt. + a1 d n 1 y dt n 1
1/7 Den homogene ligning Vi betragter den n te ordens, homogene, lineære differentialligning a 0 d n y dt n + a1 d n 1 y dt n 1 hvor a 0,..., a n R og a 0 0. Vi skriver ligningen på kort form som + + dy
Læs mereMatematikken bag kryptering og signering RSA
Matematikken bag kryptering og signering RSA Oversigt 1 Indbyrdes primiske tal 2 Regning med rester 3 Kryptering og signering ved hjælp af et offentligt nøgle kryptosystem RSA Indbyrdes primiske hele tal
Læs merePolynomier. Indhold. Georg Mohr-Konkurrencen. 1 Polynomier 2. 2 Polynomiumsdivision 4. 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6
Indhold 1 Polynomier 2 Polynomier 2 Polynomiumsdivision 4 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6 4 Koefficienter 8 5 Polynomier med heltallige koefficienter 9 6 Mere om polynomier med heltallige koefficienter
Læs meret a l e n t c a m p d k Talteori Anne Ryelund Anders Friis 16. juli 2014 Slide 1/36
Slide 1/36 sfaktorisering Indhold 1 2 sfaktorisering 3 4 5 Slide 2/36 sfaktorisering Indhold 1 2 sfaktorisering 3 4 5 Slide 3/36 1) Hvad er Taleteori? sfaktorisering Slide 4/36 sfaktorisering 1) Hvad er
Læs mereFejlkorligerende køder Fejlkorrigerende koder
Fejlkorligerende køder Fejlkorrigerende koder Olav Geil Skal man sende en fødselsdagsgave til fætter Børge, så pakker man den godt ind i håb om, at kun indpakningen er beskadiget ved modtagelsen. Noget
Læs mereEulers sætning Matematikken bag kryptering og signering v.hj.a. RSA Et offentlig nøgle krypteringssytem
Eulers sætning Matematikken bag kryptering og signering v.hj.a. RSA Et offentlig nøgle krypteringssytem Johan P. Hansen 18. april 2013 Indhold 1 Indbyrdes primiske hele tal 1 2 Regning med rester 3 3 Kryptering
Læs mereMASO Uge 1. Relle tal Følger. Jesper Michael Møller. 10. september Department of Mathematics University of Copenhagen
MASO Uge 1 Relle tal Jesper Michael Møller Department of Mathematics University of Copenhagen 10. september 2018 Oversigt Relle tal Notation Tal Største og mindste element, mindste overtal og største undertal
Læs mereEn differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby
24 En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby Det er velkendt for de fleste, at differentiabilitet af en reel funktion f medfører kontinuitet af f, mens det modsatte ikke gælder
Læs mereGrundlæggende Matematik
Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS August 2012 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske
Læs mereNoter om primtal. Erik Olsen
Noter om primtal Erik Olsen 1 Notation og indledende bemærkninger Vi lader betegne de hele tal, og Z = {... 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3...} N = {0, 1, 2, 3...} Z være de positive hele tal. Vi minder her om et
Læs mereTALTEORI Følger og den kinesiske restklassesætning.
Følger og den kinesiske restklassesætning, december 2006, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Følger og den kinesiske restklassesætning Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man
Læs meren=1 er veldefineret for alle følger for hvilke højresiden er endelig. F.eks. tilhører følgen
2 Hilbert rum 2. Eksempler på Hilbert rum Vi skal nu først forsøge at begrunde, at de indre produkt rum af funktioner eller følger, som blev indført i Kapitel, ikke er omfattende nok til vores formål.
Læs mereIndhold. Litteratur 11
Indhold Forord ii 00-sættet 1 Opgave 1....................................... 1 Spørgsmål (a).................................. 1 Spørgsmål (b).................................. 1 Spørgsmål (c)..................................
Læs mereGrundlæggende Matematik
Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS Juli 2013 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske
Læs mereMASO Uge 1. Relle tal Følger. Jesper Michael Møller. 7. september Department of Mathematics University of Copenhagen
MASO Uge 1 Relle tal Jesper Michael Møller Department of Mathematics University of Copenhagen 7. september 2016 Formålet med MASO Integer sequences Oversigt Relle tal Notation Tal Overtal og undertal Største
Læs mereAffine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2
Affine rum I denne note behandles kun rum over R. Alt kan imidlertid gennemføres på samme måde over C eller ethvert andet legeme. Et underrum U R n er karakteriseret ved at det er en delmængde som er lukket
Læs mereTal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal.
1 Tal Tal kan forekomme os nærmest at være selvfølgelige, umiddelbare og naturgivne. Men det er kun, fordi vi har vænnet os til dem. Som det vil fremgå af vores timer, har de mange overraskende egenskaber
Læs mereTaylorudvikling I. 1 Taylorpolynomier. Preben Alsholm 3. november Definition af Taylorpolynomium
Taylorudvikling I Preben Alsholm 3. november 008 Taylorpolynomier. Definition af Taylorpolynomium Definition af Taylorpolynomium Givet en funktion f : I R! R og et udviklingspunkt x 0 I. Find et polynomium
Læs mereKalkulus 2 - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger
Kalkulus - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger Mads Friis 8. januar 05 Indhold Grundlæggende uligheder Grænseovergange 3 3 Kontinuitet 9 4 Følger 0 5 Perspektivering 4 Grundlæggende uligheder Sætning
Læs merematx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring
mat.dk Differentialregning Dennis Pipenbring 0. december 00 Indold Differentialregning 3. Grænseværdi............................. 3. Kontinuitet.............................. 8 Differentialkvotienten
Læs merei x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0
BAndengradspolynomier Et polynomium er en funktion på formen f ( ) = an + an + a+ a, hvor ai R kaldes polynomiets koefficienter. Graden af et polynomium er lig med den højeste potens af, for hvilket den
Læs mereDe rigtige reelle tal
De rigtige reelle tal Frank Villa 17. januar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs merePolynomium Et polynomium. Nulpolynomiet Nulpolynomiet er funktionen der er konstant nul, dvs. P(x) = 0, og dets grad sættes per definition til.
Polynomier Polynomier Polynomium Et polynomium P(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 Disse noter giver en introduktion til polynomier, centrale sætninger om polynomiumsdivision, rødder og koefficienter
Læs mereKomplekse tal og rækker
Komplekse tal og rækker John Olsen 1 Indledning Dette sæt noter er forelæsningsnoter til foredraget Komplekse tal og rækker. Noterne er beregnet til at blive brugt sammen med foredraget. I afsnit 2 bliver
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 17
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 1 Morten Grud Rasmussen. december 16 1 Numerisk integration og differentiation 1.1 Simpsons regel Antag, at vi har en funktion f på intervallet I = [a,
Læs mere6.1 Reelle Indre Produkter
SEKTION 6.1 REELLE INDRE PRODUKTER 6.1 Reelle Indre Produkter Definition 6.1.1 Et indre produkt på et reelt vektorrum V er en funktion, : V V R således at, for alle x, y V, I x, x 0 med lighed x = 0, II
Læs mereElementær Matematik. Mængder og udsagn
Elementær Matematik Mængder og udsagn Ole Witt-Hansen 2011 Indhold 1. Mængder...1 1.1 Intervaller...4 2. Matematisk Logik. Udsagnslogik...5 3. Åbne udsagn...9 Mængder og Udsagn 1 1. Mængder En mængde er
Læs mereKarakteristiske funktioner og Den Centrale Grænseværdisætning
E6 efterår 1999 Notat 10 Jørgen Larsen 20. oktober 1999 Karakteristiske funktioner og Den Centrale Grænseværdisætning Karakteristiske funktioner som er nære slægtninge til Fourier-transformationen) er
Læs mereDesignMat Komplekse tal
DesignMat Komplekse tal Preben Alsholm Uge 7 Forår 010 1 Talmængder 1.1 Talmængder Talmængder N er mængden af naturlige tal, 1,, 3, 4, 5,... Z er mængden af hele tal... 5, 4, 3,, 1, 0, 1,, 3, 4, 5,....
Læs mereNoter om polynomier, Kirsten Rosenkilde, Marts Polynomier
Noter om polynomier, Kirsten Rosenkilde, Marts 2006 1 Polynomier Disse noter giver en kort introduktion til polynomier, og de fleste sætninger nævnes uden bevis. Undervejs er der forholdsvis nemme opgaver,
Læs mereOpspaltning i primfaktorer
1 Opspaltning i primfaktorer Et program som kan undersøge om et tal er et primtal, eller finde hvilke primtal det er sammensat af, er det allerførste program enhver talentusiast laver. For den tid jo er
Læs mereANALYSE 1. Uge 7, 4. juni juni, 2007
ANALYSE 1 Uge 7, 4. juni - 10. juni, 2007 Forelæsninger Mandag 4. juni Formålet med denne dags forelæsninger er at etablere en overgang til emnet metriske rum, hvis hovedformål er at udvide begreber som
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær Eksamen Juni 2019
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 14. Juni 2019 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereOmskrivningsregler. Frank Nasser. 10. december 2011
Omskrivningsregler Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs meret x 1 e t dt. Man kan let vise, at dette integral er endeligt for positive x- værdier (se f.eks. [EA, s ]).
Artikel 35 Gammafunktionen En introduktion Jacob Stevne Jørgensen I 1700-tallet var interolation en vigtig discilin blandt matematikere. Det handler om ud fra et givet datasæt at finde en funktion, hvis
Læs mereGult Foredrag Om Net
Gult Foredrag Om Net University of Aarhus Århus 8 th March, 2010 Introduktion I: Fra Metriske til Topologiske Rum Et metrisk rum er en mængde udstyret med en afstandsfunktion. Afstandsfunktionen bruges
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 16
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 16 Morten Grud Rasmussen 6. november, 2013 1 Interpolation [Bogens afsnit 19.3 side 805] 1.1 Interpolationspolynomier Enhver kontinuert funktion f på
Læs mereElementær Matematik. Tal og Algebra
Elementær Matematik Tal og Algebra Ole Witt-Hansen 0 Indhold Indhold.... De naturlige tal.... Regneregler for naturlige tal.... Kvadratsætningerne..... Regningsarternes hierarki...4. Primtal...4 4. Nul
Læs mereDesignMat Den komplekse eksponentialfunktion og polynomier
DesignMat Den komplekse eksponentialfunktion og polynomier Preben Alsholm Uge 8 Forår 010 1 Den komplekse eksponentialfunktion 1.1 Definitionen Definitionen Den velkendte eksponentialfunktion x e x vil
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Forår - 6. Juni 2016
Besvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Forår - 6. Juni 16 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereMatematiske metoder - Opgavesæt
Matematiske metoder - Opgavesæt Anders Friis, Anne Ryelund, Mads Friis, Signe Baggesen 24. maj 208 Beskrivelse af opgavesættet I dette opgavesæt vil du støde på opgaver, der er markeret med enten 0, eller
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 8
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 8 Morten Grud Rasmussen 18. oktober 216 1 Fourierrækker 1.1 Periodiske funktioner Definition 1.1 (Periodiske funktioner). En periodisk funktion f er
Læs mereANALYSE 1, 2014, Uge 5
ANALYSE, 204, Uge 5 Afleveringsfrist for Prøve 2 er Tirsdag den 20/5 kl 0:5. Forelæsninger Tirsdag Vi går videre med Afsnit 4 om uniform konvergens af Fourierrækker, hvor hovedsætningen er Sætning 4.3.
Læs mereKomplekse tal og algebraens fundamentalsætning.
Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning. Michael Knudsen 10. oktober 2005 1 Ligningsløsning Lad N = {0,1,2,...} betegne mængden af de naturlige tal og betragt ligningen ax + b = 0, a,b N,a 0. Findes
Læs mereOpgave 1 Regning med rest
Den digitale signatur - anvendt talteori og kryptologi Opgave 1 Regning med rest Den positive rest, man får, når et helt tal a divideres med et naturligt tal n, betegnes rest(a,n ) Hvis r = rest(a,n) kan
Læs mereHer skal du lære om 1. Talfølge og talrække 2. Afsnitssum 3. Konvergens 4. Konvergente rækker har små led 5. Regneregler
Oversigt [S] 8.2 Her skal du lære om. Talfølge og talrække 2. Afsnitssum 3. Konvergens 4. Konvergente rækker har små led 5. Regneregler Calculus - 2003 Uge 4. - Uendelig række Definition Givet en talfølge
Læs mere(c) Opskriv den reelle Fourierrække for funktionen y(t) fra (b), og afgør dernæst om y(t) er en lige eller ulige funktion eller ingen af delene.
MATEMATIK 3 EN,MP 4. februar 2016 Eksamenopgaver fra 2011 2016 (jan. 2016) Givet at 0 for 0 < t < 1 mens e (t 1) cos(7(t 1)) for t 1, betragt da begyndelsesværdiproblemet for t > 0: y (t) + 2y (t) + 50y(t)
Læs mereAfgør for hver af følgende rækker om den er divergent, betinget konvergent eller absolut konvergent. 2 n. n=1 2n (n + 1)2 1 = 2(n + n+1
Analyse Reeksamen 00 Rasmus Sylvester Bryder 5. august 0 Opgave Afgør for hver af følgende rækker om den er divergent, betinget konvergent eller absolut konvergent. ( ) n n +3n+7 n= n + For alle n N vil
Læs mereHilbert rum. Chapter 3. 3.1 Indre produkt rum
Chapter 3 Hilbert rum 3.1 Indre produkt rum I det følgende skal vi gøre brug af komplekse såvel som reelle vektorrum. Idet L betegner enten R eller C minder vi om, at et vektorrum over L er en mængde E
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær Eksamen Januar 2019
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 14. Januar 19 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereEksponentielle sammenhænge
Eksponentielle sammenhænge 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Indholdsfortegnelse Variabel-sammenhænge... 1 1. Hvad er en eksponentiel sammenhæng?... 2 2. Forklaring med ord af eksponentiel vækst... 2, 6
Læs mereKapitel 2 Tal og variable
Tal og variable Uden tal ingen matematik - matematik handler om tal og anvendelse af tal. Matematik beskæftiger sig ikke udelukkende med konkrete problemer fra andre fag, og de konkrete tal fra andre fagområder
Læs mereTaylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel
enote 4 1 enote 4 Taylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel I enote 19 og enote 21 er det vist hvordan funktioner af én og to variable kan approksimeres med førstegradspolynomier i
Læs mereGruppeteori. Michael Knudsen. 8. marts For at motivere indførelsen af gruppebegrebet begynder vi med et eksempel.
Gruppeteori Michael Knudsen 8. marts 2005 1 Motivation For at motivere indførelsen af gruppebegrebet begynder vi med et eksempel. Eksempel 1.1. Lad Z betegne mængden af de hele tal, Z = {..., 2, 1, 0,
Læs mereπ can never be expressed in numbers. William Jones og John Machins algoritme til beregning af π
can never be expressed in numbers. William Jones og John Machins algoritme til beregning af. Oprindelsen til symbolet Første gang vi møder symbolet som betegnelse for forholdet mellem en cirkels omkreds
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Efterår - 8. Januar 2016
Besvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Efterår - 8. Januar 16 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har
Læs mereMatematikken bag kryptering og signering RSA
Matematikken bag kryptering og signering RSA Oversigt 1 Indbyrdes primiske tal 2 Regning med rester 3 Kryptering og signering ved hjælp af et offentligt nøgle kryptosystem RSA Indbyrdes primiske hele tal
Læs mereArchimedes Princip. Frank Nasser. 12. april 2011
Archimedes Princip Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er
Læs mereMujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011
Indholdsfortegnelse Integral regning:... 2 Ubestemt integral:... 2 Integrationsprøven:... 3 1) Integration af potensfunktioner:... 3 2) Integration af sum og Differens:... 3 3) Integration ved Multiplikation
Læs mereBesvarelse, Eksamen Analyse 1, 2013
Københavns Universitet Prøve ved Det naturvidenskabelige Fakultet juni 23 Besvarelse, Eksamen Analyse, 23 Opgave Lad, for n N, funktionen f n : [, ) R være givet ved NB. Trykfejl. Burde være x. f n (x)
Læs mereBesvarelses forslag til Tag-hjemeksamen Vinteren 02 03
IMFUFA Carsten Lunde Petersen Besvarelses forslag til Tag-hjemeksamen Vinteren 02 0 Hvor ikke andet er angivet er henvisninger til W.R.Wade An Introduction to analysis. Opgave a) Idet udtrykket e x2 cos
Læs mereRegning. Mike Vandal Auerbach ( 7) 4x 2 y 2xy 5. 2x + 4 = 3. (x + 3)(2x 1) = 0. (a + b)(a b) a 2 + b 2 2ab.
Mike Vandal Auerbach Regning + 6 ( 7) (x + )(x 1) = 0 x + = 7 + x y xy 5 7 + 5 (a + (a a + b ab www.mathematicus.dk Regning 1. udgave, 018 Disse noter er en opsamling på generelle regne- og algebraiske
Læs mereEksamen 2014/2015 Mål- og integralteori
Eksamen 4/5 Mål- og integralteori Københavns Universitet Institut for Matematiske Fag Formalia Eksamensopgaven består af 4 opgaver med ialt spørgsmål Ved bedømmelsen indgår de spørgsmål med samme vægt
Læs mereEksamen i Matematik F2 d. 19. juni Opgave 2. Svar. Korte svar (ikke fuldstændige)
Eksamen i Matematik F2 d. 9. juni 28 Korte svar (ikke fuldstændige Opgave Find realdelen, Re z, og imaginærdelen, Im z, for følgende værdier af z, a z = 2 i b z = i i c z = ln( + i Find realdelen, Re z,
Læs mereqwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå
qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå Kort gennemgang af polynomier og deres egenskaber. asdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopåasd
Læs mereSUPPLERENDE OPGAVER TIL KOMPLEKS FUNKTIONSTEORI F2005
SUPPLERENDE OPGAVER TIL KOMPLEKS FUNKTIONSTEORI F2005 0. maj, 2005 version nr. 8 JØRGEN VESTERSTRØM Indledende bemærkninger De foreliggende opgaver udgør et supplement til lærebogens opgaver. Afsnitsnummereringerne
Læs mereNegative cifre n. I et positionssystem skriver man et tal på formen xn a + xn 1a
Af Peter Harremoës, Herlev Gymnasium Indledning De fleste lærebogssystemer til brug i gymnasiet eller HF indeholder et afsnit om vort positionssystem. Det bliver gerne fremstillet som noget af det mest
Læs mereer et helt tal. n 2 AB CD AC BD (b) Vis, at tangenterne fra C til de omskrevne cirkler for trekanterne ACD og BCD står vinkelret på hinanden.
Opgave Heltalligt Bestem alle hele tal, n >, for hvilke n + n er et helt tal. Opgave Trekantet I en spidsvinklet trekant ABC skærer vinkelhalveringslinien fra A siden BC i punktet L og den omskrevne cirkel
Læs mereDifferential- regning
Differential- regning del () f () m l () 6 Karsten Juul Indhold Tretrinsreglen 59 Formler for differentialkvotienter64 Regneregler for differentialkvotienter67 Differentialkvotient af sammensat funktion7
Læs mere