Opspaltning i primfaktorer

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Opspaltning i primfaktorer"

Transkript

1 1 Opspaltning i primfaktorer Et program som kan undersøge om et tal er et primtal, eller finde hvilke primtal det er sammensat af, er det allerførste program enhver talentusiast laver. For den tid jo er forbi hvor man udgiver matematiske tabeller, fra nu af foregår alt ved lommeregneren og computeren. Som bekendt kan ethvert naturligt tal på en entydig måde skrives som et produkt af primtal - entydig hvis primtallene opskrives efter størrelse. At ethvert naturligt tal kan skrives som et produkt af primtal, følger af definitionen på et primtal. Men at denne opspaltning er entydig på nær faktorernes orden er ikke indlysende, og den gælder i almindelighed ikke for generelle algebraiske tallegemer. De sædvanlige hele tal er de hele tal i det algebraiske tallegeme Q, mængden af de rationale tal. I det algebraiske tallegeme Q( 6) er de hele tal tallene af formen m+n 6, hvor m og n er sædvanlige hele tal, og her er f.eks. 6 = 2 3 = 6 6, og 2, 3 og 6 er primelementer i Q( 6). Entydighedssætningen for de sædvanlige hele tal (dvs. for det algebraiske tallegeme Q) kaldes aritmetikkens fundamentalsætning, og den blev selvfølgelig erkendt og bevist af de gamle grækere. De formulerede dog tingene på en ganske anden måde end vi gør, men sætningen følger af Theorem 14 i Euklid bog IX. I Euklid bliver det også bevist at der er uendelig mange primtal. Dette bevis lyder (meget kort gengivet): hvis der kun var endelig mange primtal og man gangede dem allesammen med hinanden og adderede 1 til, så ville intet primtal gå op i dette tal, og et tal som intet primtal går op i er en umulighed. Lad n være det tal som skal undersøges. Vi deler først n med 2 så mange gange det er muligt (hvis det er muligt), og derefter med 3 så mange gange det er muligt. Og dette fortsættes succesivt for de ulige tal 5, 7, 9,..., men kun hvis et sådant tal d er et primtal, og d er et primtal hvis ingen af de ulige tal fra 3 til (den hele del af) d går op i d, i så fald deles n med d så mange gange det er muligt. I hvert tilfælde udskrives primtallet d efterfulgt af dette antal (d's multiplicitet i n). Det tal der er tilbage kaldes igen n, og proceduren gentages sålænge d < n. En sådan opgave er altid en stor fornøjelse for en computer, dog er det største hele tal som computeren kan håndtere tallet = , men se bare hvor hurtigt den kan finde ud af at dette tal er et primtal. Det er jo trods alt "kun" de ulige tal op til som skal undersøges. Og da det største primtal mindre end dette tal er 46337, er dette primtal den største primfaktor som kan forekomme med multiplicitet større end 1. En sjov opgave er at indtaste en række cifre med et system i og se om der også er et smukt system i opspaltningen (hvordan opspalter f.eks ?).

2 2 Möbius' funktion µ(n) En funktion som er defineret på mængden af de naturlige tal (og hvis værdier er hele eller reelle eller komplekse tal), kaldes en talteoretisk funktion. F.eks. funktionen σ(n) defineret ved σ(n) = summen af alle primfaktorerne i n (f.eks. σ(117) = σ(3 3 13) = = 19) - for denne funktion gælder σ(mn) = σ(m) +σ(n), dvs. den er en logaritmefunktion på de naturlige tal. I de følgende kapitler vil vi hyppigt møde Möbius' funktion µ(n). Den er defineret ved µ(n) = (-1) r hvis n er produktet af netop r forskellige primtal, ellers 0 (dvs. hvis en primfaktor optræder mere end én gang) (f.eks. µ(4) = 0, µ(5) = -1, µ(6) = 1). µ(n) opfylder derfor µ(mn) = µ(m)µ(n) når m og n er indbyrdes primiske, i modsat fald er µ(mn) = 0. µ(n) har den særlige egenskab, at for ethvert naturligt tal n er summen af tallene µ(d) for alle divisorene d i n lig 0, undtagen for n = 1, idet µ(1) = 1. Og denne egenskab giver anledning til fænoménet Möbius-inversion: hvis f(x) er en funktion defineret på mængden af de naturlige eller hele eller reelle eller komplekse tal (og hvis værdier er reelle eller komplekse tal) og vi definerer funktionen F(x) ved F(x) = f(mx)/m, m=1 så kan vi udtrykke f(x) ved F(x) ved i denne formel at indføre µ(n): f(x) = µ(n) F(nx)/n n=1 - forudsat naturligvis at de to rækker konvergerer. Dette vises simpelthen ved at indsætte den første ligning i den anden og udnytte den omtalte egenskab ved µ(n). Hvis f.eks. f(x) = sin x er F(x) savtakfunktionen S(x) fra side 242, dvs. S(x) = 0 for x = nπ (n hel) og S(x) = ±1 for x = (n+½)π og S(x) er lineært aftagende imellem disse punkter: S(x) = sin(mx)/m m=1

3 (dette vises på side...). Så Möbius-inversion betyder at vi kan udtrykke sin x som en uendelig sum af "savtakker" hvor takkerne bliver mindre og mindre og veksler fortegn: 3 sin x = µ(n) S(nx)/n. n=1 Programmet "Möbius" (i Mappen "Möbius- og Fourier-inversion") viser hvordan en sinuskurve ser ud når den laves af et antal savtakker (f.eks. 5000) som skal indtastes. µ(n) er kun forskellig fra 0 når n ikke indeholder nogen primfaktor mere end én gang (og sandsynligheden herfor er 6/π 2 = , se side...), i så fald er µ(n) enten 1 eller -1, og vi formoder at der "set på lang afstand" er lige mange plusser og minusser, altså at summen N µ(n) n=1 numerisk er lille i forhold til N. Programmet "Merten" (i mappen "Mertens formodning") tegner grafen for disse tal divideret med N, op til et stort tal som skal indtaste (f.eks ). Der synes ganske rigtigt at være lige mange plusser og minusser, siden kurven som helhed hverken stiger eller falder, men variationen i µ(n) kan ikke siges at være lille i forhold til N. Vi vender tilbage til denne sag. Antallet af primtal mindre end et givet tal I 1859 udkom en afhandling om hvilken det er blevet sagt, at den rykkede udviklingen hundrede år frem indenfor dens emne, talteorien. Og den er på kun 8 sider. Ja, det er Bernhard Riemanns afhandling "Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse":

4 4 Udgangspunktet for Riemann var vis en tilnærmelsesformel man kendte for antallet af primtal som er mindre end et givet tal N. Hvis vi betegner dette antal π N, lyder denne tilnærmelsesformel (primtalssætningen): N π N dx/log x. 2 Den blev postuleret af den 15-årige Gauss i Gauss havde observeret at sandsynligheden for at et tal n er et primtal, er omkring 1/log n, ergo må antallet af primtal mindre end N være omkring 1/log n. 1<n<N Dette tal er en tilnærmelse til integralet, og Gauss mente at integralet måtte være en bedre tilnærmelse. En grov tilnærmelse til integralet og summen er tallet N/log N, idet det gælder at forholdet imellem N/log N og hver af disse konvergerer imod 1 for N. Så hvis en af disse tre tilnærmelser er sand, dvs. hvis forholdet imellem denne og π N konvergerer imod 1 for N, så er de to andre tilnærmelser også sande. Den grove tilnærmelsesformel lyder altså (den kaldes også primtalssætningen):

5 5 π N N/log N. At disse tilnærmelser er sande, blev bevist i 1896 af Hadamard og La Vallée- Poussin (uafhængigt af hinanden), altså 100 år efter Gauss og 40 år efter Riemann. Jamen hvad var da Riemanns fortjeneste? Den var at han fandt resten af formlen for π N. For det er jo nok sådan at Gauss' integral er det første led i en række af udtryk hvis betydning er aftagende og hvis sum er en eksakt formel for π N. Det er ikke givet at en sådan formel, som vel at mærke er nogenlunde enkel og relevant, eksisterer: den eksisterer ikke for funktionen ν N i næste kapitel. Og i de tilfælde hvor sådanne rækker eksisterer, er de ofte ikke særlig svære at manipulere sig frem til. Problemet er at bevise at den række man har fundet er den "sande" række, i den forstand at det første led er en god tilnærmelse til det ønskede og at leddene har aftagende betydning jo længere man kommer ud i rækken. Og dette var Riemann heller ikke i stand til at bevise: han beviste ikke at hans formels vigtigste led, Gauss' integral, virkelig er en tilnærmelse til π N, og han beviste heller ikke at den vigtigste del af hans formel, som er en uendelig sum af integraler der minder om Gauss' integral, er en bedre tilnærmelse til π N end Gauss' integral (f.eks. under forudsætning af at Gauss' tilnærmelse er bevist at være sand). For dette sidste er som allerede antydet usandt (side...). Desuden var Riemanns bevis for selve formlen ikke komplet: der var nogle ting som Riemann ikke kunne eller ikke fandt det umagen værd at bevise helt til bunds, disse blev først bevist tre-fire årtier senere. Og Riemanns hypotese, som fremsættes i denne afhandling men som ikke har betydning for selve formlen, er som sagt gået hen og blevet matematikkens mest betydningsfulde uløste problem. Riemann tager, som det ses, udgangspunkt i følgende formel af Euler ( ) (Eulers produktfremstilling): 1/n z = (1-1/p z ) -1 n=1 p primtal som gælder for ethvert komplekst tal z hvis reeldel er > 1. Formlen bygger på den omtalte aritmetikkens fundamentalsætning, og den er ikke svær at eftervise. Den funktion af z som defineres ved den uendelige række eller det uendelige produkt, betegnede Riemann ζ(z), så den er blevet kaldt Riemanns zeta-

6 6 funktion. Den er umiddelbart kun defineret til højre for linien x = 1 (hvor rækken og produktet er absolut konvergent), men Riemann udledte et integraludtryk for ζ(z) som viser at ζ(z) kan udvides til en funktion der er holomorf i hele den komplekse plan, undtagen i punktet z = 1, idet ζ(z) for z 1 (den harmoniske række 1 + 1/2 + 1/3 + 1/ er divergent). En sådan holomorf udvidelse er entydigt bestemt. Det gælder nemlig, at hvis to holomorfe funktioner på et åbent område blot stemmer overéns langs et vilkårligt lille kurvestykke, da er de identiske (Riemanns identitetssætning). ζ(z) har uendelig mange nulpunkter (altså punkter z hvor ζ(z) = 0), nemlig, viste Riemann, dels alle de lige negative tal: -2, -4, -6,..., og dels uendelig mange punkter i strimlen tilhøjre for y-aksen og tilvenstre for linie x = 1: Riemann betragtede det som "sehr wahrscheinlich" at alle nulpunkterne i strimlen ligger på dens midterlinie x = ½ (da ζ(z) = ζ(z) er de beliggende symmetrisk om x-aksen), dette er Riemanns hypotese. Og nu hvor vi har lært om komplekse tal, kan vi forstå kurven og talen på side...: kurven fremkommer når man bevæger sig op langs den stiplede linie igennem x = ½ og tegner ζ(z), dvs. tegner punkterne ζ(½+iy) for tallene z = ½+iy (y 0). Og Riemanns hypotese siger altså, at denne kurve hele tiden vil gå igennem origo, mens derimod de tilsvarende kurver for x ½ aldrig vil gå igennem origo. Om dette skulle være sandt har ingen betydning for gyldigheden af Riemanns formel, blot benyttes i beviset at antallet af nulpunkter i strimlen beliggende over x- aksen og under linien y = y 0 tilnærmelsesvist er (y 0 /2π) log(y 0 /2π), og det-te var en af de ting Riemann ikke beviste, påstanden blev først bevist af von Mangoldt i Riemanns hypotese har som sagt (side...) vist sig at have overordentlig stor betydning: et utal af sætninger indenfor den moderne matematik er strengt taget ikke fuldtud beviste, idet det benyttes i deres bevis at Riemanns hypotese (eller en analog påstand) er sand. Og så er problemet jo i sig selv en mæg-

7 7 tig udfordring: hvorfor modsætter denne kendsgerning sig så hårdnakket et bevis? Men måske kan Riemanns hypotese slet ikke bevises, det er nemlig ikke givet at en matematisk påstand som er sand også kan bevises (denne sag vil blive uddybet i næste kapitel). Jeg vil senere skitsere et bevis for Riemanns formel, her skal vi blot se den, og lave et program som bygger på de vigtigste dele af den og se hvor nøjagtig en formel for π N vi får. I Riemanns formel indgår en kompleks funktion som vi først må definere: Li(z) - integrallogaritmen. Den er defineret ved 1 hvis z 1, og Li(z) = z t dt/t - Li(z) = z t dt/t 1 hvis z 1 (for z = 1 er integralerne divergente). Når z ikke er et positivt reelt tal, er z t ikke veldefineret (se side...), så umiddelbart er denne komplekse funktion meningsløs. Funktionen Li(x z ), hvor x er et positivt reelt tal, er dog en veldefineret funktion af z, og det er kun funktioner af denne form vi vil benytte, og en sådan funktion er holomorf i hele den komplekse plan undtagen i punktet z = 0. I det første integral er integranden ikke defineret for t = 0 som tilhører integrationsintervallet ]-, 1]. For et sådant integral fra a til b hvor der imellem a og b er en singularitet c for integranden, er værdien defineret som grænseværdien for ε 0 (ε > 0) af integralet fra a til c-ε plus integralet fra c+ε til b (se nærmere side...). Nu kan vi opskrive Riemanns formel: hvor π N = µ(m)/m J(N 1/m ) - ε m=1

8 8 J(x) = Li(x) - Li(x ρ ) - Li(x -2k ) ρ k=1 idet ρ her løber over alle nulpunkterne for Riemanns zetafunktion ζ(z) i den omtalte strimmel 0 < Re(z) < 1, og -2k løber over de øvrige nulpunkter, som er alle de negative lige tal. Tallet ε er ½ hvis N er et primtal, ellers 0. Riemanns påstand, at der er uendelig mange nulpunkter for ζ(z) i strimlen 0 < Re(z) < 1 og at disse er uregelmæssigt fordelt, følger direkte af denne formel. For da primtallene er uregelmæssigt fordelt, er venstresiden π N en uregelmæssig funktion af N, derfor må højresiden også være en uregelmæssig funktion af N, og denne uregelmæssighed kan kun komme fra tallene ρ. Hvis vi ser bort fra denne uregelmæssige del af formlen, og også fra den del som skyldes de regelmæssige nulpunkter (-2k), idet denne del nemlig går imod 0 for N, så får vi en tilnærmelsesformel for π N ved at erstatte J(x) med Li (x): Riemanns tilnærmelsesformel. I denne skal vi kun udregne Li(x) for positive reelle x > 1, og for sådanne x gælder: 1 x Li(x) = x t dt/t = du/log u - 0 (idet vi har indført substitutionen t = logu/logx). Og da vi også kan se bort fra tallet ε, lyder Riemanns tilnærmelsesformel for antallet af primtal mindre end N: π N µ(m)/m Li(N 1/m ). m=1 Det første led er Li(N), dvs. Gauss' tilnærmelsesformel, den formel som Riemann havde sat sig for at generalisere (forskellen imellem 0 og 2 i integrationen betyder kun en afvigelse på omkring 1), og for et givet N aftager leddene i størrelse, fordi N 1/m aftager og fordi der divideres med m. Det andet led, -Li( N)/2, er et relativt stort negativt tal - og de følgende to led er også negative - og dette betyder at Riemanns tilnærmelse til π N er mindre end Gauss' tilnærmelse Li(N) for alle N. Så hvis den uregelmæssige del af Riemanns eksak-

9 9 te formel for π N er af tilpas stærkt aftagende betydning, er π N < Li(N) for alle N. At denne ulighed gælder var engang en kendsgerning som man førsøgte at bevise, da alle empiriske undersøgelser viste at π N < Li(N). Og dette viser alle empiriske undersøgelser fortsat. Men i 1914 beviste Littlewood at der findes uendelig mange N for hvilke π N > Li(N). Det mindste N som opfylder π N > Li(N) må være meget stort, og det er måske så stort at det aldrig vil blive fundet, ja det er måske af størrelsesorden , for man har bevist (i 1986) at der findes N-værdier af denne størrelsesorden (endda en meget lang række af på hinanden følgende tal) som opfylder π N > Li(N) (se side...). Men dette betyder, at for et sådant N hvor π N > Li(N), er Gauss' tilnærmelse Li(N) til π N bedre end Riemanns tilnærmelse, som jo er mindre end Li(N). Den uregelmæssige del af Riemanns eksakte formel for π N har for meget store N-værdier større betydning end Riemann selv har forestillet sig. Hvis ikke det var blevet bevist at der findes N-værdier således at π N > Li(N), ville man stadig have troet at π N altid er mindre end Li(N) og man ville fortsat have forsøgt at bevise det, og man ville have betragtet Riemanns tilnærmelsesformel som bedre end Gauss'. Dette er et eksempel på hvor forsigtig man skal være med at opstille formodninger ud fra empiriske undersøgelser. Men der er altså noget der tyder på, at for alle de N-værdier som menneskenes computere nogensinde vil kunne håndtere, er Riemanns tilnærmelsesformel for π N langt bedre end Gauss', og for disse værdier svinger Riemanns tal omkring π N, og dette er jo tegn på en god tilnærmelse. Prøv programmet "Antallet af primtal" (i mappen "Riemann") hvor π N udregnes dels eksakt (ved optælling) og dels ved forskellige tilnærmelser. Nemlig: µ(m)/m Li(N 1/m ), hvor en tilnærmelse til integralet Li(x) udregnes m=1 (ved Simpsons formel, se side...). 2. En formel der omformer den uendelige sum hvori Li(N 1/m ) indgår til en uendelig sum hvori tallene ζ(n) (n = 2, 3,...) indgår og som konvergerer ekstremt hurtigt (den er vist på side... og den skyldes den danske matematiker J.P. Gram, ). 3. Gauss' tilnærmelse Li(N).

10 10 4. Tallet N/log N. Bemærk at Riemanns eksakte formel for π N har mening selv om N ikke er et helt tal, og da man jo ikke i praksis kan udregne alle dens uendelig mange led, men må nøjes med at medtage et vist antal, og da man i udregningen af disse må nøjes med tilnærmelser, får man på den måde en funktion af x som må smyge sig omkring trappefunktionen π x. Dette fascinerende syn var Riemann ganske afskåret fra, for ham bestod formlens værdi alene i dens sandhed og skønhed. Til gengæld var enhver dygtig videnskabsmand og kunstner på hans tid skænket den glæde at vide, at hans skaberværker i al evighed ville gøre nytte og være værdsat - også - og især - hvis hans samtid ikke havde sans og forståelse for dem. Denne form for glæde er gået tabt, men til gengæld har vi fået et mægtigt vidunder, computeren, så således er der skabt retfærdighed i verden. I kapitlet "Udledning af Riemanns formel for π N " skal vi se såvel den skønhed der foldede sig ud for øjnene af Riemann efterhånden som hans teori tog form, som den skønhed som vi har en særlig sans for: en kurve i et koordinatsystem der langsomt bliver til for øjnene af os og som stiger således som en salgskurve skal stige. Goldbachs formodning Da jeg talte med Riemann, nævnte han noget om at vi ikke kan bevise ting som ethvert barn på syv år kan forstå (side...). Det var først senere jeg fæstnede mig ved denne udtalelse - under samtalen har jeg måske i forvirringen troet at jeg havde fortalt ham at man endnu ikke har bevist Goldbachs formodning. Men dette sagde jeg jo ikke noget om. Har Riemann selv arbejdet med dette problem? - løst det eller ment at han var tæt ved en løsning inden døden rev ham bort? Jeg tror det ikke, jeg tror ikke at man beskæftigede sig så meget med Goldbachs formodning på hans tid, men det var i hvert fald med direkte afsæt i den metode som han havde indført i studiet af primtallene - brugen af kompleks funktionsteori - at der et halvt århundrede senere kom gang i studiet af Goldbachs formodning. Derimod kan Riemann have haft den påstand i tankerne, at der er uendelig mange primtalstvillinger, dvs. par af på hinanden følgende ulige tal som begge er primtal. Denne påstand er også stadig ubevist, og den var et kendt problem på Riemanns tid, og måske har Riemann, nu hvor han var igang med primtallene, bevist den, men blot ikke offenliggjort beviset eller kigget det omhyggeligt efter i sømmene - for dengang var problemet jo ikke så svært som det er idag. Riemanns hypotese er blevet udnævnt til matematikkens vigtigste uløste pro-

11 11 blem, fordi den (og især dens mange generaliseringer) dukker op et utal af steder, selv steder som tilsyneladende befinder sig langt fra talteorien. Men når vi ser kurven på side..., kan vi godt forstå at et bevis for Riemanns hypotese kan være lidt problematisk. Dén ubeviste påstand som vi nu skal beskæftige os med - Goldbachs formodning - er derimod en virkelig gåde. Den er så elementær at ethvert barn på syv år kan forstå den, og den burde egentlig betragtes som matematikkens gåde nr. 1. Men dels har den ikke de samme vidtrækkende konsekvenser som Riemanns hypotese og dels kan den måske bevises ud fra Riemanns hypotese: de første betydningsfulde resultater man fandt som var beslægtede med Goldbachs formodning, byggede på Riemanns hypotese, det viste sig dog senere at de kan bevises uden Riemanns hypotese. Men fordi Goldbachs formodning er så elementær, er den det uløste matematiske problem som flest mennesker i nyere tid har kastet sig over - efter at de klassiske problemer såsom cirklens kvadratur og vinklens tredeling er blevet bevist at være uløselige. Derfor har det i nyere tid været Goldbachs formodning som har forvoldt megen menneskelig ulykke. Om denne mørke side af matematikken kan man læse i en roman hvor det netop er Goldbachs formodning der er synderen: Apostolos Doxiadis': "Onkel Petros og Goldbachs formodning" (Gyldendal, 2001). Denne roman har masser af dybde og spænding, og da forfatteren selv er matematiker får man en del at vide om matematikkens mennesker og dens forskellige discipliner og problemer. Men det er en udpræget romantisk roman: handlingen udspilles i de første tre fjerdedele af det 20. århundrede og dens mennesketyper og fagets position i den almindelige bevidsthed er en saga blot. Og det er ikke "virkeligheden" der skildres, men netop fortidens romantiske forestilling om matematikeren og hans fag - ikke mindst den magt som det var berygtet for at kunne få over den sjæl som var modtagelig og ikke tog sig iagt. Desuden betyder det at romanen overholder reglerne - hvilket kan skyldes forfatterens frygt for forlag og læsere - at de faglige muligheder som stoffet indbyder til ikke udnyttes. Ja selv Euklids ovenfor omtalte bevis for at der er uendelig mange primtal skønnes at overstige læserens fatteevne: af beviset hører man kun begyndelsen og slutningen, indmaden er erstattet af sætningen "Med en hurtig, energisk krattende blyant mod papiret og et par forklarende ord demonstrerede onkel Petros vor vise forfaders bevis for mig, og gav mig samtidig mit første eksempel på ægte matematik". Måske kan denne udeladelse dog også skyldes at dette stykke matematik ikke har format nok, men hvorfor viser forfatteren så ikke et andet stykke ægte matematik indenfor dette emne? - der er da masser at tage af, som vi nu skal se. Således lyder den famøse påstand som ethvert barn kan forstå, men som det måske aldrig vil lykkes for mennesket at bevise:

12 12 ethvert lige tal kan skrives som summen af to primtal Her har det første lige tal 2 en særstilling, idet vi godt nok har 2 = 1+1, men 1 regnes normalt ikke for et primtal. Men ellers har vi 4 = 2+2, 6 = 3+3, 8 = 3+5, 10 = 3+7 = 5+5, osv. Efter 12 kan opspaltningen altid ske på flere måder. Goldbachs formodning har sit navn fra Christian Goldbach ( ) som var professor i matematik ved det russiske kejserlige akademi og lærer for Peter den Store. I 1742 skrev han i et brev til Euler, at han formodede at "ethvert tal kan skrives som en sum af tre primtal". Euler svarede at dette er ensbetydende med at "ethvert lige tal kan skrives som en sum af to primtal", og det er denne måde at udtrykke påstanden på der senere har fået navnet Goldbachs formodning. Eulers bevis for at de to påstande er ensbetydende forløber nogenlunde således: antag at "ethvert lige tal er summen af to primtal" og at vi har et tal n, så vil n være summen af tre primtal, for hvis n er lige, så er n-2 lige og derfor summen af to primtal, og hvis n er ulige, så er n-3 lige og derfor summen af to primtal, i begge tilfælde er n summen af tre primtal. Og omvendt: antag at "ethvert tal er summen af tre primtal" og at vi har et lige tal n, så vil n være summen af to primtal, for n+2 er summen af tre primtal, men da dette tal er lige må et af de tre primtal være tallet 2, ergo er n summen af to primtal. Men denne "kendsgerning" om tallene er måske ældgammel. Den er omtalt af Descartes ( ), som skriver et sted at "ethvert lige tal er summen af et eller to eller tre primtal" (hvorfor dog ordet "lige"? - det kan tydeligvis udelades), og påstanden findes første gang på tryk i en bog fra 1770 af Waring om "algebraiske spekulationer". Men det var først i slutningen af 1800-tallet at man begyndte at beskæftige sig alvorligt med problemet. Foruden at man forsøgte at bevise påstanden, efterprøvede man den (den var i 1900 eftervist for tallene op til ), og desuden forsøgte man at finde en tilnærmelsesformel for antallet af måder ν N hvorpå et givet lige tal N kan skrives som summen af to primtal. En sådan tilnærmelsesformel blev opstillet af Sylvester i 1871 og den lyder: ν N 2 gange produktet af tallene (p-2)/(p-1) for de ulige primtal p < N som ikke går op i N gange π N (antallet af primtal mindre end N) divideret med logn. Og havde Sylvester haft en computer, ville han straks have set at hans formel

13 13 er forkert, tallet bliver nemlig gange for stort. Man skal dog op på meget store tal N førend denne tilnærmelsesformel er god: afvigelsen er af samme størrelsesorden som afvigelsen ved tilnærmelsen π N N/log N. Og faktisk findes der ikke nogen formel for ν N af samme slags som Riemanns eksakte formel for π N. Det hænger sammen med at funktionen ν N varierer stærkt: Den korrekte formel for ν N som svarer til Sylvesters formel, blev fundet omkring 1920 af G.H. Hardy og J.E. Littlewood, og den lyder: ν N 2 (1/(1-(p-1) 2 ) ((p-1)/(p-2)) N/(log N) 2 p ulige primtal p ulige primtal som går op i N - og den kaldes stadig Sylvesters formel, fordi det væsentlige i Sylvesters formel trods alt er rigtigt. Det første produkt er uafhængigt af N og kan udregnes én gang for alle: (1/(1-(p-1) 2 ) (produkt over primtallene > 2) = Man har senere vist at denne formel kan forbedres betydeligt, således at den får en nøjagtighed af samme grad som Gauss' formel N π N Li(N) = dx/log x, nemlig ved at ændre lidt i Hardy & Littlewoods fremgangsmåde (vi kommer ind på dette i det sidste kapitel). Den forbedrede formel lyder: 0

14 14 ν N 2 (1/(1-(p-1) 2 ) ((p-1)/(p-2)) dx/(log(n-x) log(n+x)) p ulige primtal p ulige primtal 0 som går op i N - og det er denne jeg har tastet ind i programmet "Goldbachs formodning", idet der som tilnærmelse til integralet blot benyttes summen af tallene 1/(log (N-m)log(N+m)) fra m = 0 til m = N-2. N Jeg vil skitsere Hardy & Littlewoods bevis i det sidste kapitel. På deres tid var der en livlig aktivitet igang for at bevise Goldbachs formodning. Den mest aktive var onkel Petros i Apostolos Doxiadis' roman. Men i næsten alle disse forsøg var den matematik man betjente sig af af elementær natur. Den mest benyttede metode var sigtemetoden, som tager udgangspunkt i Eratosthenes' (250 f. Kr.) metode til at opskrive alle primtallene imellem n og n: først fjernes de tal der er delelige med 2, så fjernes de tal der er delelige med 3, osv., dette gøres for alle primtallene op til n. En anden metode var tæthedsmetoden. Men alle sådanne elementære metoder blev forkastet (og ringeagtet) af Hardy & Littlewood. Disse mente at den metode som Riemann var slået ind på i sin udforskning af primtallene - den analytiske metode - var den eneste vej frem. Hardy & Littlewoods metode - cirkelmetoden, som den analytiske metode kaldes i dette konkrete tilfælde - så yderst lovende ud, og det er i hvert fald den mest elegante af alle de metoder man har forsøgt sig med, så cirkelmetoden vil have interesse uanset hvordan det går med Goldbachs formodning. Men er skæbnens ironi at alle de bedste resultater man indtil nu er nået frem til, når det gælder spørgsmål der er beslægtet med Goldbachs formodning, netop er opnået ved de metoder som Hardy & Littlewood forkastede. Det allerbedste resultat bygger på sigtemetoden og skyldes Chen Jing Run som i 1966 beviste at: ethvert tilstrækkelig stort lige tal er summen af et primtal

15 15 og et tal som højst har to primfaktorer. Og ved hjælp af tæthedsmetoden beviste Schnirelmann i 1930 at: der findes et fast tal k således at ethvert tal kan skrives som en sum af højst k primtal, og det blev umiddelbart efter vist at k kan vælges lig 67. Dette tal er i tidens løb blevet reduceret, det er vist nået ned til 19: det er altså bevist at ethvert tal kan skrives som summen af højst 19 primtal. Det er dog også blevet bevist, at ethvert tilstrækkelig stort tal kan skrives som summen af højst 6 primtal (Vaughan, 1977). Men der er noget fordægt over disse resultater. Om så det var blevet bevist at ethvert tal kan skrives som summen af højst 6 primtal, så er dette resultat latterligt i forhold til Goldbachs formodning, der som sagt er ensbetydende med at ethvert tal kan skrives som summen af højst 3 primtal. Og hver gang der her tales om et tilstrækkelig stort tal, så viser det sig altid, når man forsøger at estimere det, at det tal man kommer frem til har en svimlende størrelse, f.eks Dvs. for at kunne sige at sætningen er komplet bevist, skal den bevises med computer for de tal der er mindre end dette tal, og ingen computer kommer måske nogensinde til at kunne udføre en sådan optælling for tal der er større end Dette er det absurde ved den del af talteorien der har med primtallene at gøre. Hardy & Littlewood kendte dog næppe til omfanget af denne absurditet: de havde satset på at bevise at ethvert tilstrækkelig stort lige tal kan skrives som summen af to primtal, det måtte være det væsentlige, og det var det der forekom dem muligt ved hjælp af deres cirkelmetode. Cirkelmetoden kunne klart bruges til at udlede Sylvesters tilnærmelsesformel, og den afvigelse der er imellem det antal denne giver og det sande antal, kunne man måske estimere godt nok til at bevise at den for voksende N bliver af forsvindende betydning. Og så måtte Goldbachs formodning betragtes som værende bevist. Men restleddet ville - og vil fortsat - ikke lade sig estimere. Der er noget der går galt fire steder. F.eks. skal man vise, at et tal som afhænger af N er af mindre størrelsesorden end N ε, hvor ε < ½, men man kan kun vise at tallet er af mindre størrelsesorden end N ½. Det er således lige på grænsen at beviset svigter. Hardy & Littlewood gjorde derefter det, at de generaliserede problemet, således at de for et givet naturligt tal r 2, søgte efter en formel for antallet af

16 16 måder hvorpå et tal N kan skrives som summen af r primtal. Og det viste sig, at når r > 2 kan restleddet estimeres. Dog kun under forudsætning af at en "mild Riemann hypotese" gælder for de såkaldte Dirichlets L-funktioner (herom senere). Hardy & Littlewood beviste altså næsten at ethvert ulige tal kan skrives som summen af tre primtal. I 1937 lykkedes det for Vinogradov at bevise at den milde Riemann hypotese som Hardy & Littlewood måtte forudsætte, kan undværes. Vinogradov beviste altså at restleddet i Hardy & Littlewoods formel for antallet af måder hvorpå et ulige tal N kan skrives som summen af tre primtal, er af relativt forsvindende betydning. Men en nærmere undersøgelse af Vinogradovs restled viste, at N skal være større end det nævnte tal førend man kan være sikker på at restleddet ikke laver ulykker, og dette tal er stort set ikke forbedret siden. Hvad kan der være galt siden Goldbachs formodning modsætter sig et bevis? Ja ifølge onkel Petros er det Gödel ( ) som er skyld i det altsammen. I 1933 hører onkel Petros - efter over ti års arbejde på at bevise Goldbachs formodning - tilfældigt om en afhandling fra 1931 af en ung mand ved navn Kurt Gödel, og som havde rystet hele den matematiske verden i sin grundvold. Hele verden undtagen onkel Petros, for han havde haft så travlt med Goldbachs formodning at han først hører om det to år senere. I afhandlingen "Über formal unentschiedbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I" konstruerer Gödel et matematisk udsagn som er sandt, men som ikke kan bevises. Og han beviser desuden at man ikke kan bevise at matematikken er modsigelsesfri. Mere præcist beviste Gödel at "i enhver matematisk teori, som omfatter aritmetikken, findes udsagn som hverken kan bevises eller modbevises" og at "i en teori, som omfatter aritmetikken, kan et bevis for at den er modsigelsesfri ikke formaliseres indenfor teorien selv". Dette sidste betyder, at vi i teorien en dag kan risikere at støde på et matematisk udsagn som både kan bevises at være sandt og falsk. Så formalismen (side...) kan altså bryde sammen, og matematikerne således måske tvunget til at slå ind på intuitionismens vej. Ingen formalist tror selvfølgelig på at dette vil ske. Og skulle katastrofen ske, ville den menige matematiker næppe komme til at mærke noget til det: den præcise årsag ville blive fundet og et mere sikkert grundlag ville blive etableret, ikke mindst fordi den moderne matematiske logik er gennemsyret af intuitionistisk tænkning og terminologi. Den sætning at der findes udsagn som ikke kan bevises, fik Gödel ideen til ved at studere Richard's paradoks (1905):

17 17 Vi ordner alle sproglige udsagn, hvori der indgår netop ét (variabelt) naturligt tal n, på rad og række (efter et leksikografisk princip). Det k-te udsagn betegnes Ek(n). Vi betragter nu udsagnet "En(n) er falsk". Da dette er et sprogligt udsagn, hvori der indgår netop ét (variabelt) naturligt tal n, må det være blandt Ek-erne. Lad os antage at det har nummer q, så har vi: Eq(n) = "En(n) er falsk". Men heraf følger (for n=q) at hvis Eq(q) er sand er Eq(q) falsk, og omvendt. Gödels resultat, som jo umiddelbart er nedslående, er - af populærjournalistikken - blevet udråbt til ikke bare at være matematikkens fallit, men selve den menneskelige tænknings fallit. Men i virkeligheden er der ikke noget særlig mærkeligt i Gödels sætninger. Thi at bevise noget indenfor matematikken betyder at udlede det ad strengt logisk vej ud fra noget andet, således at det i sidste ende er bevist ud fra nogle helt grundlæggende men ubeviste antagelser, de såkaldte aksiomer. Disse aksiomer og de grundlæggende logiske slutningsregler som man må benytte sig af, havde man på denne tid helt klart styr på. Dels havde man Russell & Whiteheads trebindsværk "Principia Mathematica" fra , og dels havde man Zermelo-Fraenkels aksiomsystem udviklet i årene Ved hjælp af disse aksiomsystemer kan man bevise langt de fleste "almindelige" matematiske udsagn som er sande. Men det er klart, at da ethvert aksiomsystem vil være af endelig natur, er det kun nogle af alle de tænkelige matematiske udsagn man kan opskrive, som kan bevises eller modbevises ud fra det givne aksiomsystem. Og man kan vel også forestille sig, at selv om man har et nok så omfattende aksiomsystem, så vil der altid være udsagn som man kan argumentere for må betragtes som sande, men som ikke kan bevises ud fra dette aksiomsystem. Spørgsmålet er bare hvor eksotisk et sådant udsagn vil se ud. Udsagn af den type Gödel konstruerede, behøver ingen matematiker at bekymre sig om, men det kan være, at der er helt normale matematiske udsagn som er sande (og det er Goldbachs formodning), men som unddrager sig et bevis ud fra det aksiomsystem som matematikerne idag officielt betjener sig af (Zermelo-Fraenkels aksiomsystem). I hvert fald var onkel Petros lammet efter at en ung student havde bedt ham være behjælpelig med at oversætte en opsigtsvækkende afhandling fra tysk. Oh skræk! Måske hører Goldbachs formodning blandt de sætninger som ikke kan bevises! Måske har alt hans arbejde været spildt! Jeg skal ikke røbe mere af handlingen i denne roman, den er glimrende og den ender overordentlig dramatisk. Et andet elementært og uløst problem er som sagt spørgsmålet om hvorvidt der er uendelig mange primtalstvillinger, dvs. par af primtal hvis differens er

18 18 2. Dette problem er nært beslægtet med Goldbachs formodning: hvis det ene problem kan bevises, kan det andet også. Der er uendelig mange primtalstvillinger, det viser computerundersøgelser, og ved hjælp af cirkelmetoden kan man finde en tilnærmelsesformel for antallet mindre end et givet tal N. Den lyder: antallet af primtalstvillinger mindre end N er tilnærmelsesvist givet ved N 2 (1/(1-(p-1) 2 ) dx/(log x) 2. p ulige primtal 0 Produktet er det samme som før: (som tilnærmelse til integralet kan man blot bruge summen af tallene 1/(log m) 2 fra m = 2 til m = N). Af formlen følger at sandsynligheden for at tallene N og N+2 er primtalstvillinger er omkring 1.32/(logN) 2 (sandsynligheden for at N er et primtal er som sagt 1/logN). Rækken af de reciproke primtal 1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/11 + 1/13 + 1/17 + 1/19 + 1/23 + 1/ er divergent (se side...), men den tilsvarende række for primtalstvillinger 1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/11 + 1/13 + 1/17 + 1/19 + 1/29 + 1/ er konvergent: dens sum er (Viggo Brun, 1919). Ved hjælp af den samme metode som Riemann benyttede til at udlede sin formel for π N, kan man udlede en formel for summen af logaritmerne til primtallene mindre end N: Den vigtigste del af denne formel er N log p. p primtal<n µ(m) N 1/m, m=1 og den vigtigste del af denne sum er tallet N. Dette kan også formuleres således:

19 19 produktet af primtallene op til N er tilnærmelsesvist tallet e N. En tilnærmelsesformel som er meget mere nøjagtig end denne er følgende: log p N p primtal og p r < N (summen er her over alle primtalspotenserne p r mindre end N, idet hverts bidrag dog kun er logaritmen af dens rod p). Et resultat som ikke har noget med primtal at gøre, men som kan udledes ved samme metode, og som minder lidt om Goldbachs problem, lyder: hvis κ n er antallet af måder hvorpå n kan skrives som summen af to kvadrattal (f.eks. 50 = = ), gælder N 1/N κ n π/8. n = 1 Dvs. det gennemsnitlige antal måder hvorpå et tal kan skrives som en sum af to kvadrattal er π/8 = Men dette kan vises helt elementært ud fra Pythagoras' sætning.

Gödel: Über formal unentschiedbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I, 1931

Gödel: Über formal unentschiedbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I, 1931 Kommentar til 1 Gödel: Über formal unentschiedbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I, 1931 Denne afhandling af den 24-årige Kurt Gödel er blevet en klassiker. Det er vist den eneste

Læs mere

Primtal - hvor mange, hvordan og hvorfor?

Primtal - hvor mange, hvordan og hvorfor? Johan P. Hansen 1 1 Institut for Matematiske Fag, Aarhus Universitet Gult foredrag, EULERs Venner, oktober 2009 Disposition 1 EUKLIDs sætning. Der er uendelig mange primtal! EUKLIDs bevis Bevis baseret

Læs mere

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal.

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal. 1 Tal Tal kan forekomme os nærmest at være selvfølgelige, umiddelbare og naturgivne. Men det er kun, fordi vi har vænnet os til dem. Som det vil fremgå af vores timer, har de mange overraskende egenskaber

Læs mere

Noter om primtal. Erik Olsen

Noter om primtal. Erik Olsen Noter om primtal Erik Olsen 1 Notation og indledende bemærkninger Vi lader betegne de hele tal, og Z = {... 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3...} N = {0, 1, 2, 3...} Z være de positive hele tal. Vi minder her om et

Læs mere

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Store Uløste Problemer i Matematikken. Lisbeth Fajstrup Aalborg Universitet

Store Uløste Problemer i Matematikken. Lisbeth Fajstrup Aalborg Universitet Store Uløste Problemer i Matematikken. Lisbeth Fajstrup Aalborg Universitet Oversigt Hvad er et stort problem i matematik Eksempler fra 1900 og fra 2000 Problemer om tal perfekte tal, primtal. Meget store

Læs mere

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller Matematiske vækstmodeller I matematik undersøger man ofte variables afhængighed af hinanden. Her ser man, at samme type af sammenhænge tit forekommer inden for en lang række forskellige områder. I kapitel

Læs mere

Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80)

Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80) Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80) Opgave 1 Vi skal tegne alle de linjestykker, der forbinder vilkårligt valgte punkter blandt de 4 punkter. Gennem forsøg finder

Læs mere

Projekt 4.9 Bernouillis differentialligning

Projekt 4.9 Bernouillis differentialligning Projekt 4.9 Bernouillis differentialligning (Dette projekt dækker læreplanens krav om supplerende stof vedr. differentialligningsmodeller. Projektet hænger godt sammen med projekt 4.0: Fiskerimodeller,

Læs mere

Euklids algoritme og kædebrøker

Euklids algoritme og kædebrøker Euklids algoritme og kædebrøker Michael Knudsen I denne note vil vi med Z, Q og R betegne mængden af henholdsvis de hele, de rationale og de reelle tal. Altså er { m } Z = {..., 2,, 0,, 2,...} og Q = n

Læs mere

De rigtige reelle tal

De rigtige reelle tal De rigtige reelle tal Frank Villa 17. januar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Matematisk induktion

Matematisk induktion Induktionsbeviser MT01.0.07 1 1 Induktionsbeviser Matematisk induktion Sætninger der udtaler sig om hvad der gælder for alle naturlige tal n N, kan undertiden bevises ved matematisk induktion. Idéen bag

Læs mere

Brug og Misbrug af logiske tegn

Brug og Misbrug af logiske tegn Brug og Misbrug af logiske tegn Frank Nasser 20. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

Løsning af simple Ligninger

Løsning af simple Ligninger Løsning af simple Ligninger Frank Nasser 19. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

Polynomier. Indhold. Georg Mohr-Konkurrencen. 1 Polynomier 2. 2 Polynomiumsdivision 4. 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6

Polynomier. Indhold. Georg Mohr-Konkurrencen. 1 Polynomier 2. 2 Polynomiumsdivision 4. 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6 Indhold 1 Polynomier 2 Polynomier 2 Polynomiumsdivision 4 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6 4 Koefficienter 8 5 Polynomier med heltallige koefficienter 9 6 Mere om polynomier med heltallige koefficienter

Læs mere

Opgave 1 Regning med rest

Opgave 1 Regning med rest Den digitale signatur - anvendt talteori og kryptologi Opgave 1 Regning med rest Den positive rest, man får, når et helt tal a divideres med et naturligt tal n, betegnes rest(a,n ) Hvis r = rest(a,n) kan

Læs mere

Mere om differentiabilitet

Mere om differentiabilitet Mere om differentiabilitet En uddybning af side 57 i Spor - Komplekse tal Kompleks funktionsteori er et af de vigtigste emner i matematikken og samtidig et af de smukkeste I bogen har vi primært beskæftiget

Læs mere

Talteoriopgaver Træningsophold ved Sorø Akademi 2007

Talteoriopgaver Træningsophold ved Sorø Akademi 2007 Talteoriopgaver Træningsophold ved Sorø Akademi 2007 18. juli 2007 Opgave 1. Vis at når a, b og c er positive heltal, er et sammensat tal. Løsningsforslag: a 4 + b 4 + 4c 4 + 4a 3 b + 4ab 3 + 6a 2 b 2

Læs mere

Viètes formel Jens Siegstad

Viètes formel Jens Siegstad 6 Viètes formel Jens Siegstad Vi skal i denne artikel vise Viètes formel. Theorem 1 (Viètes formel) π = = a k + + hvor a n = + a n 1 for n > 1 og a 1 =. +... Ovenstående formel blev vist i 1593 af Francois

Læs mere

Algebra - Teori og problemløsning

Algebra - Teori og problemløsning Algebra - Teori og problemløsning, januar 05, Kirsten Rosenkilde. Algebra - Teori og problemløsning Kapitel -3 giver en grundlæggende introduktion til at omskrive udtryk, faktorisere og løse ligningssystemer.

Læs mere

Matematiske metoder - Opgaver

Matematiske metoder - Opgaver Matematiske metoder - Opgaver Anders Friis, Anne Ryelund 25. oktober 2014 Logik Opgave 1 Find selv på tre udtalelser (gerne sproglige). To af dem skal være udsagn, mens det tredje ikke må være et udsagn.

Læs mere

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal?

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Det er ret let at svare på: arealet af en trekant, husker vi fra vor kære folkeskole, findes ved at gange

Læs mere

Matematik F2 Opgavesæt 2

Matematik F2 Opgavesæt 2 Opgaver uge 2 I denne uge kigger vi nærmere på Cauchy-Riemann betingelserne, potensrækker, konvergenskriterier og flertydige funktioner. Vi skal også se på integration langs en ve i den komplekse plan.

Læs mere

Newton-Raphsons metode

Newton-Raphsons metode Newton-Raphsons metode af John V. Petersen Indhold Indledning: Numerisk analyse og Newton-Raphsons metode... 2 Udlede Newtons iterations formel... 2 Sætning 1 Newtons metode... 4 Eksempel 1 konvergens...

Læs mere

Trekanter. Frank Villa. 8. november 2012

Trekanter. Frank Villa. 8. november 2012 Trekanter Frank Villa 8. november 2012 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion 1 1.1

Læs mere

Fraktaler. Mandelbrots Mængde. Foredragsnoter. Af Jonas Lindstrøm Jensen. Institut For Matematiske Fag Århus Universitet

Fraktaler. Mandelbrots Mængde. Foredragsnoter. Af Jonas Lindstrøm Jensen. Institut For Matematiske Fag Århus Universitet Fraktaler Mandelbrots Mængde Foredragsnoter Af Jonas Lindstrøm Jensen Institut For Matematiske Fag Århus Universitet Indhold Indhold 1 1 Komplekse tal 3 1.1 Definition.......................................

Læs mere

Studieretningsopgave

Studieretningsopgave Virum Gymnasium Studieretningsopgave Harmoniske svingninger i matematik og fysik Vejledere: Christian Holst Hansen (matematik) og Bodil Dam Heiselberg (fysik) 30-01-2014 Indholdsfortegnelse Indledning...

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS August 2012 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

Eksempel på den aksiomatisk deduktive metode

Eksempel på den aksiomatisk deduktive metode Eksempel på den aksiomatisk deduktive metode Et rigtig godt eksempel på et aksiomatisk deduktivt system er Euklids Elementer. Euklid var græker og skrev Elemeterne omkring 300 f.kr. Værket består af 13

Læs mere

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer enote enote Lineære ordens differentialligningssystemer Denne enote beskriver ordens differentialligningssystemer og viser, hvordan de kan løses enoten er i forlængelse af enote, der beskriver lineære

Læs mere

Integralregning Infinitesimalregning

Integralregning Infinitesimalregning Udgave 2.1 Integralregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne integral og stamfunktion, og anskuer dette som et redskab til bestemmelse af arealer under funktioner. Noterne er supplement

Læs mere

Komplekse tal og rækker

Komplekse tal og rækker Komplekse tal og rækker John Olsen 1 Indledning Dette sæt noter er forelæsningsnoter til foredraget Komplekse tal og rækker. Noterne er beregnet til at blive brugt sammen med foredraget. I afsnit 2 bliver

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 16

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 16 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 16 Morten Grud Rasmussen 6. november, 2013 1 Interpolation [Bogens afsnit 19.3 side 805] 1.1 Interpolationspolynomier Enhver kontinuert funktion f på

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Talteori Anne Ryelund Anders Friis 16. juli 2014 Slide 1/36

t a l e n t c a m p d k Talteori Anne Ryelund Anders Friis 16. juli 2014 Slide 1/36 Slide 1/36 sfaktorisering Indhold 1 2 sfaktorisering 3 4 5 Slide 2/36 sfaktorisering Indhold 1 2 sfaktorisering 3 4 5 Slide 3/36 1) Hvad er Taleteori? sfaktorisering Slide 4/36 sfaktorisering 1) Hvad er

Læs mere

Omskrivningsregler. Frank Nasser. 10. december 2011

Omskrivningsregler. Frank Nasser. 10. december 2011 Omskrivningsregler Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Kryptologi og RSA. Jonas Lindstrøm Jensen (jonas@imf.au.dk)

Kryptologi og RSA. Jonas Lindstrøm Jensen (jonas@imf.au.dk) Kryptologi og RSA Jonas Lindstrøm Jensen (jonas@imf.au.dk) 1 Introduktion Der har formodentlig eksisteret kryptologi lige så længe, som vi har haft et sprog. Ønsket om at kunne sende beskeder, som uvedkommende

Læs mere

Den sproglige vending i filosofien

Den sproglige vending i filosofien ge til forståelsen af de begreber, med hvilke man udtrykte og talte om denne viden. Det blev kimen til en afgørende ændring af forståelsen af forholdet mellem empirisk videnskab og filosofisk refleksion,

Læs mere

Funktionsterminologi

Funktionsterminologi Funktionsterminologi Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette

Læs mere

Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning.

Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning. Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning. Michael Knudsen 10. oktober 2005 1 Ligningsløsning Lad N = {0,1,2,...} betegne mængden af de naturlige tal og betragt ligningen ax + b = 0, a,b N,a 0. Findes

Læs mere

Divisorer. Introduktion. Divisorer og delelighed. Divisionsalgoritmen. Definition (Divisor) Lad d og n være hele tal. Hvis der findes et helt tal q så

Divisorer. Introduktion. Divisorer og delelighed. Divisionsalgoritmen. Definition (Divisor) Lad d og n være hele tal. Hvis der findes et helt tal q så Introduktion 1) Hvad er Taleteori? Læren om de hele tal Primtal 2) Formalistisk struktur Definition Lemma Divisorer Definition (Divisor) Lad d og n være hele tal Hvis der findes et helt tal q så d q =

Læs mere

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå Kort gennemgang af polynomier og deres egenskaber. asdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopåasd

Læs mere

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen - Talteori, Kirsten Rosenkilde. Opgave 1. Hvor mange af følgende fem tal er delelige med 9?

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen - Talteori, Kirsten Rosenkilde. Opgave 1. Hvor mange af følgende fem tal er delelige med 9? Tip til 1. runde af Talteori Talteori handler om de hele tal, og særligt om hvornår et helt tal er deleligt med et andet. Derfor spiller primtallene en helt central rolle i talteori, hvilket vi skal se

Læs mere

Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal.

Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal. Tre slags gennemsnit Allan C. Malmberg Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal. For mange skoleelever indgår

Læs mere

Hypotesetest. Altså vores formodning eller påstand om tingens tilstand. Alternativ hypotese (hvis vores påstand er forkert) H a : 0

Hypotesetest. Altså vores formodning eller påstand om tingens tilstand. Alternativ hypotese (hvis vores påstand er forkert) H a : 0 Hypotesetest Hypotesetest generelt Ingredienserne i en hypotesetest: Statistisk model, f.eks. X 1,,X n uafhængige fra bestemt fordeling. Parameter med estimat. Nulhypotese, f.eks. at antager en bestemt

Læs mere

Affine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2

Affine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2 Affine rum I denne note behandles kun rum over R. Alt kan imidlertid gennemføres på samme måde over C eller ethvert andet legeme. Et underrum U R n er karakteriseret ved at det er en delmængde som er lukket

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS Juli 2013 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

Kapitel 2 Tal og variable

Kapitel 2 Tal og variable Tal og variable Uden tal ingen matematik - matematik handler om tal og anvendelse af tal. Matematik beskæftiger sig ikke udelukkende med konkrete problemer fra andre fag, og de konkrete tal fra andre fagområder

Læs mere

Gruppeteori. Michael Knudsen. 8. marts For at motivere indførelsen af gruppebegrebet begynder vi med et eksempel.

Gruppeteori. Michael Knudsen. 8. marts For at motivere indførelsen af gruppebegrebet begynder vi med et eksempel. Gruppeteori Michael Knudsen 8. marts 2005 1 Motivation For at motivere indførelsen af gruppebegrebet begynder vi med et eksempel. Eksempel 1.1. Lad Z betegne mængden af de hele tal, Z = {..., 2, 1, 0,

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42

t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42 Slide 1/42 Hvad er matematik? 1) Den matematiske metode 2) Hvad vil det sige at bevise noget? 3) Hvor begynder det hele? 4) Hvordan vælger man et sæt aksiomer? Slide 2/42 Indhold 1 2 3 4 Slide 3/42 Mængder

Læs mere

og til summer af stambrøker. Bemærk: De enkelte brøker kan opskrives på flere måder som summer af stambrøker.

og til summer af stambrøker. Bemærk: De enkelte brøker kan opskrives på flere måder som summer af stambrøker. Hvad er en brøk? Når vi taler om brøker i dette projekt, mener vi tal på formen a, hvor a og b er hele tal (og b b 0 ), fx 2,, 3 og 3 7 13 1. Øvelse 1 Hvordan vil du forklare, hvad 7 er? Brøker har været

Læs mere

TALTEORI Følger og den kinesiske restklassesætning.

TALTEORI Følger og den kinesiske restklassesætning. Følger og den kinesiske restklassesætning, december 2006, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Følger og den kinesiske restklassesætning Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man

Læs mere

Hjerner i et kar - Hilary Putnam. noter af Mogens Lilleør, 1996

Hjerner i et kar - Hilary Putnam. noter af Mogens Lilleør, 1996 Hjerner i et kar - Hilary Putnam noter af Mogens Lilleør, 1996 Historien om 'hjerner i et kar' tjener til: 1) at rejse det klassiske, skepticistiske problem om den ydre verden og 2) at diskutere forholdet

Læs mere

fortsætte høj retning mellem mindre over større

fortsætte høj retning mellem mindre over større cirka (ca) omtrent overslag fortsætte stoppe gentage gentage det samme igen mønster glat ru kantet høj lav bakke lav høj regel formel lov retning højre nedad finde rundt rod orden nøjagtig præcis cirka

Læs mere

Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger

Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger enote 11 1 enote 11 Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger I denne note introduceres lineære differentialligninger, som er en speciel (og bekvem) form for differentialligninger.

Læs mere

Eksponentielle sammenhænge

Eksponentielle sammenhænge Eksponentielle sammenhænge 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Indholdsfortegnelse Variabel-sammenhænge... 1 1. Hvad er en eksponentiel sammenhæng?... 2 2. Forklaring med ord af eksponentiel vækst... 2, 6

Læs mere

Andengradsligninger. Frank Nasser. 11. juli 2011

Andengradsligninger. Frank Nasser. 11. juli 2011 Andengradsligninger Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Chapter 3. Modulpakke 3: Egenværdier. 3.1 Indledning

Chapter 3. Modulpakke 3: Egenværdier. 3.1 Indledning Chapter 3 Modulpakke 3: Egenværdier 3.1 Indledning En vektor v har som bekendt både størrelse og retning. Hvis man ganger vektoren fra højre på en kvadratisk matrix A bliver resultatet en ny vektor. Hvis

Læs mere

Analytisk Geometri. Frank Nasser. 11. juli 2011

Analytisk Geometri. Frank Nasser. 11. juli 2011 Analytisk Geometri Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Fraktaler Mandelbrots Mængde

Fraktaler Mandelbrots Mængde Fraktaler Mandelbrots Mængde Foredragsnoter Af Jonas Lindstrøm Jensen Institut For Matematiske Fag Århus Universitet Indhold Indhold 1 1 Indledning 3 2 Komplekse tal 5 2.1 Definition.......................................

Læs mere

MM502+4 forelæsningsslides

MM502+4 forelæsningsslides MM502+4 forelæsningsslides uge 11+12 1, 2009 Produceret af Hans J. Munkholm, delvis på baggrund af lignende materiale udarbejdet af Mikael Rørdam 1 I nærværende forbindelse er 11 + 12 23 1 Egenskaber for

Læs mere

Lineære sammenhænge. Udgave 2. 2009 Karsten Juul

Lineære sammenhænge. Udgave 2. 2009 Karsten Juul Lineære sammenhænge Udgave 2 y = 0,5x 2,5 2009 Karsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse af hæftet "Variabelsammenhænge, 2. udgave 2009". Indhold 1. Lineære sammenhænge, ligning og graf... 1 2. Lineær

Læs mere

Grænseværdier og Kontinuitet

Grænseværdier og Kontinuitet Grænseværdier og Kontinuitet Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

3. klasse 6. klasse 9. klasse

3. klasse 6. klasse 9. klasse Børne- og Undervisningsudvalget 2012-13 BUU Alm.del Bilag 326 Offentligt Elevplan 3. klasse 6. klasse 9. klasse Matematiske kompetencer Status tal og algebra sikker i, er usikker i de naturlige tals opbygning

Læs mere

Opgaver hørende til undervisningsmateriale om Herons formel

Opgaver hørende til undervisningsmateriale om Herons formel Opgaver hørende til undervisningsmateriale om Herons formel 20. juni 2016 I Herons formel (Danielsen og Sørensen, 2016) er stillet en række opgaver, som her gengives. Referencer Danielsen, Kristian og

Læs mere

Vinkelrette linjer. Frank Villa. 4. november 2014

Vinkelrette linjer. Frank Villa. 4. november 2014 Vinkelrette linjer Frank Villa 4. november 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Uendelige rækker og Taylor-rækker

Uendelige rækker og Taylor-rækker Uendelige rækker og Taylor-rækker Thomas Bolander, DTU Informatik Matematik: Videnskaben om det uendelige Folkeuniversitetet i København, efteråret 200 Thomas Bolander, FUKBH 0 s. /24 Forhold mellem endelighed

Læs mere

Baggrundsnote om logiske operatorer

Baggrundsnote om logiske operatorer Baggrundsnote om logiske operatorer Man kan regne på udsagn ligesom man kan regne på tal. Regneoperationerne kaldes da logiske operatorer. De tre vigtigste logiske operatorer er NOT, AND og. Den første

Læs mere

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak Introduktion til differentialregning 1 Jens Siegstad og Annegrete Bak 16. juli 2008 1 Indledning I denne note vil vi kort introduktion til differentilregning, idet vi skal bruge teorien i et emne, Matematisk

Læs mere

Billeder af Julia-mængder

Billeder af Julia-mængder 1 Billeder af Julia-mængder af Gert Buschmann Vi identificerer planen med de komplekse tal og lader f(z) være en afbildning af planen på sig selv som er defineret og kontinuert-differentiabel næsten overalt.

Læs mere

. Nemlig ved først at danne zetafunktionen (fra side...): Ζ(z) = 1/p z. p primtal

. Nemlig ved først at danne zetafunktionen (fra side...): Ζ(z) = 1/p z. p primtal 1 Udledning af Riemanns formel for π N På samme måde som vi ovenfor har fundet en formel for summen µ(n) for tallene n = 1, 2, 3,... op til N-1, kan vi finde en formel for summen 1 for primtallene p =

Læs mere

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0 BAndengradspolynomier Et polynomium er en funktion på formen f ( ) = an + an + a+ a, hvor ai R kaldes polynomiets koefficienter. Graden af et polynomium er lig med den højeste potens af, for hvilket den

Læs mere

Opgave 1 Alle tallene er reelle tal, så opgaven er at finde den mindste talmængde, som resultaterne tilhører.

Opgave 1 Alle tallene er reelle tal, så opgaven er at finde den mindste talmængde, som resultaterne tilhører. Opgave 1 Alle tallene er reelle tal, så opgaven er at finde den mindste talmængde, som resultaterne tilhører. A. Q B. R (sidelængden er 5, som er irrational) C. Q Opgave 2 A. 19 = 1 19 24 = 2 3 3 36 =

Læs mere

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer enote enote Lineære ordens differentialligningssystemer Denne enote beskriver ordens differentialligningssystemer og viser, hvordan de kan løses enoten er i forlængelse af enote, der beskriver lineære

Læs mere

Analytisk geometri. Et simpelt eksempel på dette er en ret linje. Som bekendt kan en ret linje skrives på formen

Analytisk geometri. Et simpelt eksempel på dette er en ret linje. Som bekendt kan en ret linje skrives på formen Analtisk geometri Mike Auerbach Odense 2015 Den klassiske geometri beskæftiger sig med alle mulige former for figurer: Linjer, trekanter, cirkler, parabler, ellipser osv. I den analtiske geometri lægger

Læs mere

Hvad er formel logik?

Hvad er formel logik? Kapitel 1 Hvad er formel logik? Hvad er logik? I daglig tale betyder logisk tænkning den rationelt overbevisende tænkning. Og logik kan tilsvarende defineres som den rationelle tænknings videnskab. Betragt

Læs mere

Jeg foretager her en kort indføring af polynomier over såvel de reelle som

Jeg foretager her en kort indføring af polynomier over såvel de reelle som Polynomier, rødder og division Sebastian Ørsted 20. november 2016 Jeg foretager her en kort indføring af polynomier over såvel de reelle som de komplekse tal, hvor fokus er på at opbygge værktøjer til

Læs mere

VisiRegn: En e-bro mellem regning og algebra

VisiRegn: En e-bro mellem regning og algebra Artikel i Matematik nr. 2 marts 2001 VisiRegn: En e-bro mellem regning og algebra Inge B. Larsen Siden midten af 80 erne har vi i INFA-projektet arbejdet med at udvikle regne(arks)programmer til skolens

Læs mere

Afstande, skæringer og vinkler i rummet

Afstande, skæringer og vinkler i rummet Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Villa 2. maj 202 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

Talteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, marts 2014, Kirsten Rosenkilde.

Talteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, marts 2014, Kirsten Rosenkilde. Indhold 1 Delelighed, primtal og primfaktoropløsning Omskrivning vha. kvadratsætninger 4 3 Antal divisorer 6 4 Største fælles divisor og Euklids algoritme 7 5 Restklasser 9 6 Restklasseregning og kvadratiske

Læs mere

Analytisk Geometri. Frank Nasser. 12. april 2011

Analytisk Geometri. Frank Nasser. 12. april 2011 Analytisk Geometri Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Isolere en ubekendt... 3 Hvis x står i første brilleglas...

Læs mere

3. Om skalamønstrene og den indfoldede orden

3. Om skalamønstrene og den indfoldede orden Dette er den tredje af fem artikler under den fælles overskrift Studier på grundlag af programmet SKALAGENERATOREN (forfatter: Jørgen Erichsen) 3. Om skalamønstrene og den indfoldede orden Lad os begynde

Læs mere

Kapitel 3 Lineære sammenhænge

Kapitel 3 Lineære sammenhænge Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Lineære sammenhænge Det sker tit, at man har flere variable, der beskriver en situation, og at der en sammenhæng mellem de variable. Enhver formel er faktisk

Læs mere

Besvarelses forslag til Tag-hjemeksamen Vinteren 02 03

Besvarelses forslag til Tag-hjemeksamen Vinteren 02 03 IMFUFA Carsten Lunde Petersen Besvarelses forslag til Tag-hjemeksamen Vinteren 02 0 Hvor ikke andet er angivet er henvisninger til W.R.Wade An Introduction to analysis. Opgave a) Idet udtrykket e x2 cos

Læs mere

Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. I. De komplekse tals historie. Historien om 3. grads ligningerne

Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. I. De komplekse tals historie. Historien om 3. grads ligningerne De komplekse tals historie side 1 Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave I. De komplekse tals historie Historien om 3. grads ligningerne x 3 + a x = b, x 3 + a x 2 = b, - Abraham bar Hiyya Ha-Nasi,

Læs mere

Introduktion til cosinus, sinus og tangens

Introduktion til cosinus, sinus og tangens Introduktion til cosinus, sinus og tangens Jes Toft Kristensen 24. maj 2010 1 Forord Her er en lille introduktion til cosinus, sinus og tangens. Det var et af de emner jeg selv havde svært ved at forstå,

Læs mere

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Kompendium i faget Matematik Tømrerafdelingen 2. Hovedforløb. Y Y = ax 2 + bx + c (x,y) X Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Indholdsfortegnelse for H2: Undervisningens indhold...

Læs mere

Matematik. 1 Matematiske symboler. Hayati Balo,AAMS. August, 2014

Matematik. 1 Matematiske symboler. Hayati Balo,AAMS. August, 2014 Matematik Hayati Balo,AAMS August, 2014 1 Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske symboler.

Læs mere

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk 3 Lineære funktioner En vigtig type funktioner at studere er de såkaldte lineære funktioner. Vi skal udlede en række egenskaber

Læs mere

Asymptoter. for standardforsøgene i matematik i gymnasiet. 2003 Karsten Juul

Asymptoter. for standardforsøgene i matematik i gymnasiet. 2003 Karsten Juul Asymptoter for standardforsøgene i matematik i gymnasiet 2003 Karsten Juul Indledning om lodrette asymptoter Lad f være funktionen bestemt ved =, 2. 2 Vi udregner funktionsværdierne i nogle -værdier der

Læs mere

matx.dk Enkle modeller

matx.dk Enkle modeller matx.dk Enkle modeller Dennis Pipenbring 28. juni 2011 Indhold 1 Indledning 4 2 Funktionsbegrebet 4 3 Lineære funktioner 8 3.1 Bestemmelse af funktionsværdien................. 9 3.2 Grafen for en lineær

Læs mere

Analyse 2. Gennemgå bevis for Sætning Supplerende opgave 1. Øvelser. Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X).

Analyse 2. Gennemgå bevis for Sætning Supplerende opgave 1. Øvelser. Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X). Analyse 2 Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 3. og 6. september 2013 Gennemgå bevis for Sætning 2.10 Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X). Bevis. Der findes en injektion X P(X), fx givet ved x

Læs mere

Spilstrategier. 1 Vindermængde og tabermængde

Spilstrategier. 1 Vindermængde og tabermængde Spilstrategier De spiltyper vi skal se på her, er primært spil af følgende type: Spil der spilles af to spillere A og B som skiftes til at trække, A starter, og hvis man ikke kan trække har man tabt. Der

Læs mere

DiMS 2010 Uge 7,

DiMS 2010 Uge 7, DiMS 2010 Uge 7, 18.10.10 24.10.10 Læsevejledning Emnerne i denne uge er polynomier og komplekse tal. De kan ikke siges at henhøre under diskret matematik som sådan og er ikke dækket af KBR, så vi skal

Læs mere

Projekt 3.5 faktorisering af polynomier

Projekt 3.5 faktorisering af polynomier Projekt 3.5 faktorisering af polynomier Hvilke hele tal går op i tallet 60? Det kan vi få svar på ved at skrive 60 som et produkt af sine primtal: 60 3 5 Divisorerne i 60 er lige præcis de tal, der kan

Læs mere

Integer Factorization

Integer Factorization Integer Factorization Per Leslie Jensen DIKU 2/12-2005 kl. 10:15 Overblik 1 Faktorisering for dummies Primtal og aritmetikkens fundamentalsætning Lille øvelse 2 Hvorfor er det interessant? RSA 3 Metoder

Læs mere

Evaluering af matematik undervisning

Evaluering af matematik undervisning Evaluering af matematik undervisning Udarbejdet af Khaled Zaher, matematiklærer 6-9 klasse og Boushra Chami, matematiklærer 2-5 klasse Matematiske kompetencer. Fællesmål efter 3.klasse indgå i dialog om

Læs mere

MATEMATIK. Formål for faget

MATEMATIK. Formål for faget MATEMATIK Formål for faget Formålet med undervisningen er, at eleverne udvikler matematiske kompetencer og opnår viden og kunnen således, at de bliver i stand til at begå sig hensigtsmæssigt i matematikrelaterede

Læs mere

Spilstrategier. Indhold. Georg Mohr-Konkurrencen. 1 Vindermængde og tabermængde 2. 2 Kopier modpartens træk 4

Spilstrategier. Indhold. Georg Mohr-Konkurrencen. 1 Vindermængde og tabermængde 2. 2 Kopier modpartens træk 4 Indhold 1 Vindermængde og tabermængde 2 2 Kopier modpartens træk 4 3 Udnyt modpartens træk 5 4 Strategityveri 6 5 Løsningsskitser 7 Spilstrategier De spiltyper vi skal se på her, er primært spil af følgende

Læs mere

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil

Læs mere