Opspaltning i primfaktorer

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Opspaltning i primfaktorer"

Transkript

1 1 Opspaltning i primfaktorer Et program som kan undersøge om et tal er et primtal, eller finde hvilke primtal det er sammensat af, er det allerførste program enhver talentusiast laver. For den tid jo er forbi hvor man udgiver matematiske tabeller, fra nu af foregår alt ved lommeregneren og computeren. Som bekendt kan ethvert naturligt tal på en entydig måde skrives som et produkt af primtal - entydig hvis primtallene opskrives efter størrelse. At ethvert naturligt tal kan skrives som et produkt af primtal, følger af definitionen på et primtal. Men at denne opspaltning er entydig på nær faktorernes orden er ikke indlysende, og den gælder i almindelighed ikke for generelle algebraiske tallegemer. De sædvanlige hele tal er de hele tal i det algebraiske tallegeme Q, mængden af de rationale tal. I det algebraiske tallegeme Q( 6) er de hele tal tallene af formen m+n 6, hvor m og n er sædvanlige hele tal, og her er f.eks. 6 = 2 3 = 6 6, og 2, 3 og 6 er primelementer i Q( 6). Entydighedssætningen for de sædvanlige hele tal (dvs. for det algebraiske tallegeme Q) kaldes aritmetikkens fundamentalsætning, og den blev selvfølgelig erkendt og bevist af de gamle grækere. De formulerede dog tingene på en ganske anden måde end vi gør, men sætningen følger af Theorem 14 i Euklid bog IX. I Euklid bliver det også bevist at der er uendelig mange primtal. Dette bevis lyder (meget kort gengivet): hvis der kun var endelig mange primtal og man gangede dem allesammen med hinanden og adderede 1 til, så ville intet primtal gå op i dette tal, og et tal som intet primtal går op i er en umulighed. Lad n være det tal som skal undersøges. Vi deler først n med 2 så mange gange det er muligt (hvis det er muligt), og derefter med 3 så mange gange det er muligt. Og dette fortsættes succesivt for de ulige tal 5, 7, 9,..., men kun hvis et sådant tal d er et primtal, og d er et primtal hvis ingen af de ulige tal fra 3 til (den hele del af) d går op i d, i så fald deles n med d så mange gange det er muligt. I hvert tilfælde udskrives primtallet d efterfulgt af dette antal (d's multiplicitet i n). Det tal der er tilbage kaldes igen n, og proceduren gentages sålænge d < n. En sådan opgave er altid en stor fornøjelse for en computer, dog er det største hele tal som computeren kan håndtere tallet = , men se bare hvor hurtigt den kan finde ud af at dette tal er et primtal. Det er jo trods alt "kun" de ulige tal op til som skal undersøges. Og da det største primtal mindre end dette tal er 46337, er dette primtal den største primfaktor som kan forekomme med multiplicitet større end 1. En sjov opgave er at indtaste en række cifre med et system i og se om der også er et smukt system i opspaltningen (hvordan opspalter f.eks ?).

2 2 Möbius' funktion µ(n) En funktion som er defineret på mængden af de naturlige tal (og hvis værdier er hele eller reelle eller komplekse tal), kaldes en talteoretisk funktion. F.eks. funktionen σ(n) defineret ved σ(n) = summen af alle primfaktorerne i n (f.eks. σ(117) = σ(3 3 13) = = 19) - for denne funktion gælder σ(mn) = σ(m) +σ(n), dvs. den er en logaritmefunktion på de naturlige tal. I de følgende kapitler vil vi hyppigt møde Möbius' funktion µ(n). Den er defineret ved µ(n) = (-1) r hvis n er produktet af netop r forskellige primtal, ellers 0 (dvs. hvis en primfaktor optræder mere end én gang) (f.eks. µ(4) = 0, µ(5) = -1, µ(6) = 1). µ(n) opfylder derfor µ(mn) = µ(m)µ(n) når m og n er indbyrdes primiske, i modsat fald er µ(mn) = 0. µ(n) har den særlige egenskab, at for ethvert naturligt tal n er summen af tallene µ(d) for alle divisorene d i n lig 0, undtagen for n = 1, idet µ(1) = 1. Og denne egenskab giver anledning til fænoménet Möbius-inversion: hvis f(x) er en funktion defineret på mængden af de naturlige eller hele eller reelle eller komplekse tal (og hvis værdier er reelle eller komplekse tal) og vi definerer funktionen F(x) ved F(x) = f(mx)/m, m=1 så kan vi udtrykke f(x) ved F(x) ved i denne formel at indføre µ(n): f(x) = µ(n) F(nx)/n n=1 - forudsat naturligvis at de to rækker konvergerer. Dette vises simpelthen ved at indsætte den første ligning i den anden og udnytte den omtalte egenskab ved µ(n). Hvis f.eks. f(x) = sin x er F(x) savtakfunktionen S(x) fra side 242, dvs. S(x) = 0 for x = nπ (n hel) og S(x) = ±1 for x = (n+½)π og S(x) er lineært aftagende imellem disse punkter: S(x) = sin(mx)/m m=1

3 (dette vises på side...). Så Möbius-inversion betyder at vi kan udtrykke sin x som en uendelig sum af "savtakker" hvor takkerne bliver mindre og mindre og veksler fortegn: 3 sin x = µ(n) S(nx)/n. n=1 Programmet "Möbius" (i Mappen "Möbius- og Fourier-inversion") viser hvordan en sinuskurve ser ud når den laves af et antal savtakker (f.eks. 5000) som skal indtastes. µ(n) er kun forskellig fra 0 når n ikke indeholder nogen primfaktor mere end én gang (og sandsynligheden herfor er 6/π 2 = , se side...), i så fald er µ(n) enten 1 eller -1, og vi formoder at der "set på lang afstand" er lige mange plusser og minusser, altså at summen N µ(n) n=1 numerisk er lille i forhold til N. Programmet "Merten" (i mappen "Mertens formodning") tegner grafen for disse tal divideret med N, op til et stort tal som skal indtaste (f.eks ). Der synes ganske rigtigt at være lige mange plusser og minusser, siden kurven som helhed hverken stiger eller falder, men variationen i µ(n) kan ikke siges at være lille i forhold til N. Vi vender tilbage til denne sag. Antallet af primtal mindre end et givet tal I 1859 udkom en afhandling om hvilken det er blevet sagt, at den rykkede udviklingen hundrede år frem indenfor dens emne, talteorien. Og den er på kun 8 sider. Ja, det er Bernhard Riemanns afhandling "Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse":

4 4 Udgangspunktet for Riemann var vis en tilnærmelsesformel man kendte for antallet af primtal som er mindre end et givet tal N. Hvis vi betegner dette antal π N, lyder denne tilnærmelsesformel (primtalssætningen): N π N dx/log x. 2 Den blev postuleret af den 15-årige Gauss i Gauss havde observeret at sandsynligheden for at et tal n er et primtal, er omkring 1/log n, ergo må antallet af primtal mindre end N være omkring 1/log n. 1<n<N Dette tal er en tilnærmelse til integralet, og Gauss mente at integralet måtte være en bedre tilnærmelse. En grov tilnærmelse til integralet og summen er tallet N/log N, idet det gælder at forholdet imellem N/log N og hver af disse konvergerer imod 1 for N. Så hvis en af disse tre tilnærmelser er sand, dvs. hvis forholdet imellem denne og π N konvergerer imod 1 for N, så er de to andre tilnærmelser også sande. Den grove tilnærmelsesformel lyder altså (den kaldes også primtalssætningen):

5 5 π N N/log N. At disse tilnærmelser er sande, blev bevist i 1896 af Hadamard og La Vallée- Poussin (uafhængigt af hinanden), altså 100 år efter Gauss og 40 år efter Riemann. Jamen hvad var da Riemanns fortjeneste? Den var at han fandt resten af formlen for π N. For det er jo nok sådan at Gauss' integral er det første led i en række af udtryk hvis betydning er aftagende og hvis sum er en eksakt formel for π N. Det er ikke givet at en sådan formel, som vel at mærke er nogenlunde enkel og relevant, eksisterer: den eksisterer ikke for funktionen ν N i næste kapitel. Og i de tilfælde hvor sådanne rækker eksisterer, er de ofte ikke særlig svære at manipulere sig frem til. Problemet er at bevise at den række man har fundet er den "sande" række, i den forstand at det første led er en god tilnærmelse til det ønskede og at leddene har aftagende betydning jo længere man kommer ud i rækken. Og dette var Riemann heller ikke i stand til at bevise: han beviste ikke at hans formels vigtigste led, Gauss' integral, virkelig er en tilnærmelse til π N, og han beviste heller ikke at den vigtigste del af hans formel, som er en uendelig sum af integraler der minder om Gauss' integral, er en bedre tilnærmelse til π N end Gauss' integral (f.eks. under forudsætning af at Gauss' tilnærmelse er bevist at være sand). For dette sidste er som allerede antydet usandt (side...). Desuden var Riemanns bevis for selve formlen ikke komplet: der var nogle ting som Riemann ikke kunne eller ikke fandt det umagen værd at bevise helt til bunds, disse blev først bevist tre-fire årtier senere. Og Riemanns hypotese, som fremsættes i denne afhandling men som ikke har betydning for selve formlen, er som sagt gået hen og blevet matematikkens mest betydningsfulde uløste problem. Riemann tager, som det ses, udgangspunkt i følgende formel af Euler ( ) (Eulers produktfremstilling): 1/n z = (1-1/p z ) -1 n=1 p primtal som gælder for ethvert komplekst tal z hvis reeldel er > 1. Formlen bygger på den omtalte aritmetikkens fundamentalsætning, og den er ikke svær at eftervise. Den funktion af z som defineres ved den uendelige række eller det uendelige produkt, betegnede Riemann ζ(z), så den er blevet kaldt Riemanns zeta-

6 6 funktion. Den er umiddelbart kun defineret til højre for linien x = 1 (hvor rækken og produktet er absolut konvergent), men Riemann udledte et integraludtryk for ζ(z) som viser at ζ(z) kan udvides til en funktion der er holomorf i hele den komplekse plan, undtagen i punktet z = 1, idet ζ(z) for z 1 (den harmoniske række 1 + 1/2 + 1/3 + 1/ er divergent). En sådan holomorf udvidelse er entydigt bestemt. Det gælder nemlig, at hvis to holomorfe funktioner på et åbent område blot stemmer overéns langs et vilkårligt lille kurvestykke, da er de identiske (Riemanns identitetssætning). ζ(z) har uendelig mange nulpunkter (altså punkter z hvor ζ(z) = 0), nemlig, viste Riemann, dels alle de lige negative tal: -2, -4, -6,..., og dels uendelig mange punkter i strimlen tilhøjre for y-aksen og tilvenstre for linie x = 1: Riemann betragtede det som "sehr wahrscheinlich" at alle nulpunkterne i strimlen ligger på dens midterlinie x = ½ (da ζ(z) = ζ(z) er de beliggende symmetrisk om x-aksen), dette er Riemanns hypotese. Og nu hvor vi har lært om komplekse tal, kan vi forstå kurven og talen på side...: kurven fremkommer når man bevæger sig op langs den stiplede linie igennem x = ½ og tegner ζ(z), dvs. tegner punkterne ζ(½+iy) for tallene z = ½+iy (y 0). Og Riemanns hypotese siger altså, at denne kurve hele tiden vil gå igennem origo, mens derimod de tilsvarende kurver for x ½ aldrig vil gå igennem origo. Om dette skulle være sandt har ingen betydning for gyldigheden af Riemanns formel, blot benyttes i beviset at antallet af nulpunkter i strimlen beliggende over x- aksen og under linien y = y 0 tilnærmelsesvist er (y 0 /2π) log(y 0 /2π), og det-te var en af de ting Riemann ikke beviste, påstanden blev først bevist af von Mangoldt i Riemanns hypotese har som sagt (side...) vist sig at have overordentlig stor betydning: et utal af sætninger indenfor den moderne matematik er strengt taget ikke fuldtud beviste, idet det benyttes i deres bevis at Riemanns hypotese (eller en analog påstand) er sand. Og så er problemet jo i sig selv en mæg-

7 7 tig udfordring: hvorfor modsætter denne kendsgerning sig så hårdnakket et bevis? Men måske kan Riemanns hypotese slet ikke bevises, det er nemlig ikke givet at en matematisk påstand som er sand også kan bevises (denne sag vil blive uddybet i næste kapitel). Jeg vil senere skitsere et bevis for Riemanns formel, her skal vi blot se den, og lave et program som bygger på de vigtigste dele af den og se hvor nøjagtig en formel for π N vi får. I Riemanns formel indgår en kompleks funktion som vi først må definere: Li(z) - integrallogaritmen. Den er defineret ved 1 hvis z 1, og Li(z) = z t dt/t - Li(z) = z t dt/t 1 hvis z 1 (for z = 1 er integralerne divergente). Når z ikke er et positivt reelt tal, er z t ikke veldefineret (se side...), så umiddelbart er denne komplekse funktion meningsløs. Funktionen Li(x z ), hvor x er et positivt reelt tal, er dog en veldefineret funktion af z, og det er kun funktioner af denne form vi vil benytte, og en sådan funktion er holomorf i hele den komplekse plan undtagen i punktet z = 0. I det første integral er integranden ikke defineret for t = 0 som tilhører integrationsintervallet ]-, 1]. For et sådant integral fra a til b hvor der imellem a og b er en singularitet c for integranden, er værdien defineret som grænseværdien for ε 0 (ε > 0) af integralet fra a til c-ε plus integralet fra c+ε til b (se nærmere side...). Nu kan vi opskrive Riemanns formel: hvor π N = µ(m)/m J(N 1/m ) - ε m=1

8 8 J(x) = Li(x) - Li(x ρ ) - Li(x -2k ) ρ k=1 idet ρ her løber over alle nulpunkterne for Riemanns zetafunktion ζ(z) i den omtalte strimmel 0 < Re(z) < 1, og -2k løber over de øvrige nulpunkter, som er alle de negative lige tal. Tallet ε er ½ hvis N er et primtal, ellers 0. Riemanns påstand, at der er uendelig mange nulpunkter for ζ(z) i strimlen 0 < Re(z) < 1 og at disse er uregelmæssigt fordelt, følger direkte af denne formel. For da primtallene er uregelmæssigt fordelt, er venstresiden π N en uregelmæssig funktion af N, derfor må højresiden også være en uregelmæssig funktion af N, og denne uregelmæssighed kan kun komme fra tallene ρ. Hvis vi ser bort fra denne uregelmæssige del af formlen, og også fra den del som skyldes de regelmæssige nulpunkter (-2k), idet denne del nemlig går imod 0 for N, så får vi en tilnærmelsesformel for π N ved at erstatte J(x) med Li (x): Riemanns tilnærmelsesformel. I denne skal vi kun udregne Li(x) for positive reelle x > 1, og for sådanne x gælder: 1 x Li(x) = x t dt/t = du/log u - 0 (idet vi har indført substitutionen t = logu/logx). Og da vi også kan se bort fra tallet ε, lyder Riemanns tilnærmelsesformel for antallet af primtal mindre end N: π N µ(m)/m Li(N 1/m ). m=1 Det første led er Li(N), dvs. Gauss' tilnærmelsesformel, den formel som Riemann havde sat sig for at generalisere (forskellen imellem 0 og 2 i integrationen betyder kun en afvigelse på omkring 1), og for et givet N aftager leddene i størrelse, fordi N 1/m aftager og fordi der divideres med m. Det andet led, -Li( N)/2, er et relativt stort negativt tal - og de følgende to led er også negative - og dette betyder at Riemanns tilnærmelse til π N er mindre end Gauss' tilnærmelse Li(N) for alle N. Så hvis den uregelmæssige del af Riemanns eksak-

9 9 te formel for π N er af tilpas stærkt aftagende betydning, er π N < Li(N) for alle N. At denne ulighed gælder var engang en kendsgerning som man førsøgte at bevise, da alle empiriske undersøgelser viste at π N < Li(N). Og dette viser alle empiriske undersøgelser fortsat. Men i 1914 beviste Littlewood at der findes uendelig mange N for hvilke π N > Li(N). Det mindste N som opfylder π N > Li(N) må være meget stort, og det er måske så stort at det aldrig vil blive fundet, ja det er måske af størrelsesorden , for man har bevist (i 1986) at der findes N-værdier af denne størrelsesorden (endda en meget lang række af på hinanden følgende tal) som opfylder π N > Li(N) (se side...). Men dette betyder, at for et sådant N hvor π N > Li(N), er Gauss' tilnærmelse Li(N) til π N bedre end Riemanns tilnærmelse, som jo er mindre end Li(N). Den uregelmæssige del af Riemanns eksakte formel for π N har for meget store N-værdier større betydning end Riemann selv har forestillet sig. Hvis ikke det var blevet bevist at der findes N-værdier således at π N > Li(N), ville man stadig have troet at π N altid er mindre end Li(N) og man ville fortsat have forsøgt at bevise det, og man ville have betragtet Riemanns tilnærmelsesformel som bedre end Gauss'. Dette er et eksempel på hvor forsigtig man skal være med at opstille formodninger ud fra empiriske undersøgelser. Men der er altså noget der tyder på, at for alle de N-værdier som menneskenes computere nogensinde vil kunne håndtere, er Riemanns tilnærmelsesformel for π N langt bedre end Gauss', og for disse værdier svinger Riemanns tal omkring π N, og dette er jo tegn på en god tilnærmelse. Prøv programmet "Antallet af primtal" (i mappen "Riemann") hvor π N udregnes dels eksakt (ved optælling) og dels ved forskellige tilnærmelser. Nemlig: µ(m)/m Li(N 1/m ), hvor en tilnærmelse til integralet Li(x) udregnes m=1 (ved Simpsons formel, se side...). 2. En formel der omformer den uendelige sum hvori Li(N 1/m ) indgår til en uendelig sum hvori tallene ζ(n) (n = 2, 3,...) indgår og som konvergerer ekstremt hurtigt (den er vist på side... og den skyldes den danske matematiker J.P. Gram, ). 3. Gauss' tilnærmelse Li(N).

10 10 4. Tallet N/log N. Bemærk at Riemanns eksakte formel for π N har mening selv om N ikke er et helt tal, og da man jo ikke i praksis kan udregne alle dens uendelig mange led, men må nøjes med at medtage et vist antal, og da man i udregningen af disse må nøjes med tilnærmelser, får man på den måde en funktion af x som må smyge sig omkring trappefunktionen π x. Dette fascinerende syn var Riemann ganske afskåret fra, for ham bestod formlens værdi alene i dens sandhed og skønhed. Til gengæld var enhver dygtig videnskabsmand og kunstner på hans tid skænket den glæde at vide, at hans skaberværker i al evighed ville gøre nytte og være værdsat - også - og især - hvis hans samtid ikke havde sans og forståelse for dem. Denne form for glæde er gået tabt, men til gengæld har vi fået et mægtigt vidunder, computeren, så således er der skabt retfærdighed i verden. I kapitlet "Udledning af Riemanns formel for π N " skal vi se såvel den skønhed der foldede sig ud for øjnene af Riemann efterhånden som hans teori tog form, som den skønhed som vi har en særlig sans for: en kurve i et koordinatsystem der langsomt bliver til for øjnene af os og som stiger således som en salgskurve skal stige. Goldbachs formodning Da jeg talte med Riemann, nævnte han noget om at vi ikke kan bevise ting som ethvert barn på syv år kan forstå (side...). Det var først senere jeg fæstnede mig ved denne udtalelse - under samtalen har jeg måske i forvirringen troet at jeg havde fortalt ham at man endnu ikke har bevist Goldbachs formodning. Men dette sagde jeg jo ikke noget om. Har Riemann selv arbejdet med dette problem? - løst det eller ment at han var tæt ved en løsning inden døden rev ham bort? Jeg tror det ikke, jeg tror ikke at man beskæftigede sig så meget med Goldbachs formodning på hans tid, men det var i hvert fald med direkte afsæt i den metode som han havde indført i studiet af primtallene - brugen af kompleks funktionsteori - at der et halvt århundrede senere kom gang i studiet af Goldbachs formodning. Derimod kan Riemann have haft den påstand i tankerne, at der er uendelig mange primtalstvillinger, dvs. par af på hinanden følgende ulige tal som begge er primtal. Denne påstand er også stadig ubevist, og den var et kendt problem på Riemanns tid, og måske har Riemann, nu hvor han var igang med primtallene, bevist den, men blot ikke offenliggjort beviset eller kigget det omhyggeligt efter i sømmene - for dengang var problemet jo ikke så svært som det er idag. Riemanns hypotese er blevet udnævnt til matematikkens vigtigste uløste pro-

11 11 blem, fordi den (og især dens mange generaliseringer) dukker op et utal af steder, selv steder som tilsyneladende befinder sig langt fra talteorien. Men når vi ser kurven på side..., kan vi godt forstå at et bevis for Riemanns hypotese kan være lidt problematisk. Dén ubeviste påstand som vi nu skal beskæftige os med - Goldbachs formodning - er derimod en virkelig gåde. Den er så elementær at ethvert barn på syv år kan forstå den, og den burde egentlig betragtes som matematikkens gåde nr. 1. Men dels har den ikke de samme vidtrækkende konsekvenser som Riemanns hypotese og dels kan den måske bevises ud fra Riemanns hypotese: de første betydningsfulde resultater man fandt som var beslægtede med Goldbachs formodning, byggede på Riemanns hypotese, det viste sig dog senere at de kan bevises uden Riemanns hypotese. Men fordi Goldbachs formodning er så elementær, er den det uløste matematiske problem som flest mennesker i nyere tid har kastet sig over - efter at de klassiske problemer såsom cirklens kvadratur og vinklens tredeling er blevet bevist at være uløselige. Derfor har det i nyere tid været Goldbachs formodning som har forvoldt megen menneskelig ulykke. Om denne mørke side af matematikken kan man læse i en roman hvor det netop er Goldbachs formodning der er synderen: Apostolos Doxiadis': "Onkel Petros og Goldbachs formodning" (Gyldendal, 2001). Denne roman har masser af dybde og spænding, og da forfatteren selv er matematiker får man en del at vide om matematikkens mennesker og dens forskellige discipliner og problemer. Men det er en udpræget romantisk roman: handlingen udspilles i de første tre fjerdedele af det 20. århundrede og dens mennesketyper og fagets position i den almindelige bevidsthed er en saga blot. Og det er ikke "virkeligheden" der skildres, men netop fortidens romantiske forestilling om matematikeren og hans fag - ikke mindst den magt som det var berygtet for at kunne få over den sjæl som var modtagelig og ikke tog sig iagt. Desuden betyder det at romanen overholder reglerne - hvilket kan skyldes forfatterens frygt for forlag og læsere - at de faglige muligheder som stoffet indbyder til ikke udnyttes. Ja selv Euklids ovenfor omtalte bevis for at der er uendelig mange primtal skønnes at overstige læserens fatteevne: af beviset hører man kun begyndelsen og slutningen, indmaden er erstattet af sætningen "Med en hurtig, energisk krattende blyant mod papiret og et par forklarende ord demonstrerede onkel Petros vor vise forfaders bevis for mig, og gav mig samtidig mit første eksempel på ægte matematik". Måske kan denne udeladelse dog også skyldes at dette stykke matematik ikke har format nok, men hvorfor viser forfatteren så ikke et andet stykke ægte matematik indenfor dette emne? - der er da masser at tage af, som vi nu skal se. Således lyder den famøse påstand som ethvert barn kan forstå, men som det måske aldrig vil lykkes for mennesket at bevise:

12 12 ethvert lige tal kan skrives som summen af to primtal Her har det første lige tal 2 en særstilling, idet vi godt nok har 2 = 1+1, men 1 regnes normalt ikke for et primtal. Men ellers har vi 4 = 2+2, 6 = 3+3, 8 = 3+5, 10 = 3+7 = 5+5, osv. Efter 12 kan opspaltningen altid ske på flere måder. Goldbachs formodning har sit navn fra Christian Goldbach ( ) som var professor i matematik ved det russiske kejserlige akademi og lærer for Peter den Store. I 1742 skrev han i et brev til Euler, at han formodede at "ethvert tal kan skrives som en sum af tre primtal". Euler svarede at dette er ensbetydende med at "ethvert lige tal kan skrives som en sum af to primtal", og det er denne måde at udtrykke påstanden på der senere har fået navnet Goldbachs formodning. Eulers bevis for at de to påstande er ensbetydende forløber nogenlunde således: antag at "ethvert lige tal er summen af to primtal" og at vi har et tal n, så vil n være summen af tre primtal, for hvis n er lige, så er n-2 lige og derfor summen af to primtal, og hvis n er ulige, så er n-3 lige og derfor summen af to primtal, i begge tilfælde er n summen af tre primtal. Og omvendt: antag at "ethvert tal er summen af tre primtal" og at vi har et lige tal n, så vil n være summen af to primtal, for n+2 er summen af tre primtal, men da dette tal er lige må et af de tre primtal være tallet 2, ergo er n summen af to primtal. Men denne "kendsgerning" om tallene er måske ældgammel. Den er omtalt af Descartes ( ), som skriver et sted at "ethvert lige tal er summen af et eller to eller tre primtal" (hvorfor dog ordet "lige"? - det kan tydeligvis udelades), og påstanden findes første gang på tryk i en bog fra 1770 af Waring om "algebraiske spekulationer". Men det var først i slutningen af 1800-tallet at man begyndte at beskæftige sig alvorligt med problemet. Foruden at man forsøgte at bevise påstanden, efterprøvede man den (den var i 1900 eftervist for tallene op til ), og desuden forsøgte man at finde en tilnærmelsesformel for antallet af måder ν N hvorpå et givet lige tal N kan skrives som summen af to primtal. En sådan tilnærmelsesformel blev opstillet af Sylvester i 1871 og den lyder: ν N 2 gange produktet af tallene (p-2)/(p-1) for de ulige primtal p < N som ikke går op i N gange π N (antallet af primtal mindre end N) divideret med logn. Og havde Sylvester haft en computer, ville han straks have set at hans formel

13 13 er forkert, tallet bliver nemlig gange for stort. Man skal dog op på meget store tal N førend denne tilnærmelsesformel er god: afvigelsen er af samme størrelsesorden som afvigelsen ved tilnærmelsen π N N/log N. Og faktisk findes der ikke nogen formel for ν N af samme slags som Riemanns eksakte formel for π N. Det hænger sammen med at funktionen ν N varierer stærkt: Den korrekte formel for ν N som svarer til Sylvesters formel, blev fundet omkring 1920 af G.H. Hardy og J.E. Littlewood, og den lyder: ν N 2 (1/(1-(p-1) 2 ) ((p-1)/(p-2)) N/(log N) 2 p ulige primtal p ulige primtal som går op i N - og den kaldes stadig Sylvesters formel, fordi det væsentlige i Sylvesters formel trods alt er rigtigt. Det første produkt er uafhængigt af N og kan udregnes én gang for alle: (1/(1-(p-1) 2 ) (produkt over primtallene > 2) = Man har senere vist at denne formel kan forbedres betydeligt, således at den får en nøjagtighed af samme grad som Gauss' formel N π N Li(N) = dx/log x, nemlig ved at ændre lidt i Hardy & Littlewoods fremgangsmåde (vi kommer ind på dette i det sidste kapitel). Den forbedrede formel lyder: 0

14 14 ν N 2 (1/(1-(p-1) 2 ) ((p-1)/(p-2)) dx/(log(n-x) log(n+x)) p ulige primtal p ulige primtal 0 som går op i N - og det er denne jeg har tastet ind i programmet "Goldbachs formodning", idet der som tilnærmelse til integralet blot benyttes summen af tallene 1/(log (N-m)log(N+m)) fra m = 0 til m = N-2. N Jeg vil skitsere Hardy & Littlewoods bevis i det sidste kapitel. På deres tid var der en livlig aktivitet igang for at bevise Goldbachs formodning. Den mest aktive var onkel Petros i Apostolos Doxiadis' roman. Men i næsten alle disse forsøg var den matematik man betjente sig af af elementær natur. Den mest benyttede metode var sigtemetoden, som tager udgangspunkt i Eratosthenes' (250 f. Kr.) metode til at opskrive alle primtallene imellem n og n: først fjernes de tal der er delelige med 2, så fjernes de tal der er delelige med 3, osv., dette gøres for alle primtallene op til n. En anden metode var tæthedsmetoden. Men alle sådanne elementære metoder blev forkastet (og ringeagtet) af Hardy & Littlewood. Disse mente at den metode som Riemann var slået ind på i sin udforskning af primtallene - den analytiske metode - var den eneste vej frem. Hardy & Littlewoods metode - cirkelmetoden, som den analytiske metode kaldes i dette konkrete tilfælde - så yderst lovende ud, og det er i hvert fald den mest elegante af alle de metoder man har forsøgt sig med, så cirkelmetoden vil have interesse uanset hvordan det går med Goldbachs formodning. Men er skæbnens ironi at alle de bedste resultater man indtil nu er nået frem til, når det gælder spørgsmål der er beslægtet med Goldbachs formodning, netop er opnået ved de metoder som Hardy & Littlewood forkastede. Det allerbedste resultat bygger på sigtemetoden og skyldes Chen Jing Run som i 1966 beviste at: ethvert tilstrækkelig stort lige tal er summen af et primtal

15 15 og et tal som højst har to primfaktorer. Og ved hjælp af tæthedsmetoden beviste Schnirelmann i 1930 at: der findes et fast tal k således at ethvert tal kan skrives som en sum af højst k primtal, og det blev umiddelbart efter vist at k kan vælges lig 67. Dette tal er i tidens løb blevet reduceret, det er vist nået ned til 19: det er altså bevist at ethvert tal kan skrives som summen af højst 19 primtal. Det er dog også blevet bevist, at ethvert tilstrækkelig stort tal kan skrives som summen af højst 6 primtal (Vaughan, 1977). Men der er noget fordægt over disse resultater. Om så det var blevet bevist at ethvert tal kan skrives som summen af højst 6 primtal, så er dette resultat latterligt i forhold til Goldbachs formodning, der som sagt er ensbetydende med at ethvert tal kan skrives som summen af højst 3 primtal. Og hver gang der her tales om et tilstrækkelig stort tal, så viser det sig altid, når man forsøger at estimere det, at det tal man kommer frem til har en svimlende størrelse, f.eks Dvs. for at kunne sige at sætningen er komplet bevist, skal den bevises med computer for de tal der er mindre end dette tal, og ingen computer kommer måske nogensinde til at kunne udføre en sådan optælling for tal der er større end Dette er det absurde ved den del af talteorien der har med primtallene at gøre. Hardy & Littlewood kendte dog næppe til omfanget af denne absurditet: de havde satset på at bevise at ethvert tilstrækkelig stort lige tal kan skrives som summen af to primtal, det måtte være det væsentlige, og det var det der forekom dem muligt ved hjælp af deres cirkelmetode. Cirkelmetoden kunne klart bruges til at udlede Sylvesters tilnærmelsesformel, og den afvigelse der er imellem det antal denne giver og det sande antal, kunne man måske estimere godt nok til at bevise at den for voksende N bliver af forsvindende betydning. Og så måtte Goldbachs formodning betragtes som værende bevist. Men restleddet ville - og vil fortsat - ikke lade sig estimere. Der er noget der går galt fire steder. F.eks. skal man vise, at et tal som afhænger af N er af mindre størrelsesorden end N ε, hvor ε < ½, men man kan kun vise at tallet er af mindre størrelsesorden end N ½. Det er således lige på grænsen at beviset svigter. Hardy & Littlewood gjorde derefter det, at de generaliserede problemet, således at de for et givet naturligt tal r 2, søgte efter en formel for antallet af

16 16 måder hvorpå et tal N kan skrives som summen af r primtal. Og det viste sig, at når r > 2 kan restleddet estimeres. Dog kun under forudsætning af at en "mild Riemann hypotese" gælder for de såkaldte Dirichlets L-funktioner (herom senere). Hardy & Littlewood beviste altså næsten at ethvert ulige tal kan skrives som summen af tre primtal. I 1937 lykkedes det for Vinogradov at bevise at den milde Riemann hypotese som Hardy & Littlewood måtte forudsætte, kan undværes. Vinogradov beviste altså at restleddet i Hardy & Littlewoods formel for antallet af måder hvorpå et ulige tal N kan skrives som summen af tre primtal, er af relativt forsvindende betydning. Men en nærmere undersøgelse af Vinogradovs restled viste, at N skal være større end det nævnte tal førend man kan være sikker på at restleddet ikke laver ulykker, og dette tal er stort set ikke forbedret siden. Hvad kan der være galt siden Goldbachs formodning modsætter sig et bevis? Ja ifølge onkel Petros er det Gödel ( ) som er skyld i det altsammen. I 1933 hører onkel Petros - efter over ti års arbejde på at bevise Goldbachs formodning - tilfældigt om en afhandling fra 1931 af en ung mand ved navn Kurt Gödel, og som havde rystet hele den matematiske verden i sin grundvold. Hele verden undtagen onkel Petros, for han havde haft så travlt med Goldbachs formodning at han først hører om det to år senere. I afhandlingen "Über formal unentschiedbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I" konstruerer Gödel et matematisk udsagn som er sandt, men som ikke kan bevises. Og han beviser desuden at man ikke kan bevise at matematikken er modsigelsesfri. Mere præcist beviste Gödel at "i enhver matematisk teori, som omfatter aritmetikken, findes udsagn som hverken kan bevises eller modbevises" og at "i en teori, som omfatter aritmetikken, kan et bevis for at den er modsigelsesfri ikke formaliseres indenfor teorien selv". Dette sidste betyder, at vi i teorien en dag kan risikere at støde på et matematisk udsagn som både kan bevises at være sandt og falsk. Så formalismen (side...) kan altså bryde sammen, og matematikerne således måske tvunget til at slå ind på intuitionismens vej. Ingen formalist tror selvfølgelig på at dette vil ske. Og skulle katastrofen ske, ville den menige matematiker næppe komme til at mærke noget til det: den præcise årsag ville blive fundet og et mere sikkert grundlag ville blive etableret, ikke mindst fordi den moderne matematiske logik er gennemsyret af intuitionistisk tænkning og terminologi. Den sætning at der findes udsagn som ikke kan bevises, fik Gödel ideen til ved at studere Richard's paradoks (1905):

17 17 Vi ordner alle sproglige udsagn, hvori der indgår netop ét (variabelt) naturligt tal n, på rad og række (efter et leksikografisk princip). Det k-te udsagn betegnes Ek(n). Vi betragter nu udsagnet "En(n) er falsk". Da dette er et sprogligt udsagn, hvori der indgår netop ét (variabelt) naturligt tal n, må det være blandt Ek-erne. Lad os antage at det har nummer q, så har vi: Eq(n) = "En(n) er falsk". Men heraf følger (for n=q) at hvis Eq(q) er sand er Eq(q) falsk, og omvendt. Gödels resultat, som jo umiddelbart er nedslående, er - af populærjournalistikken - blevet udråbt til ikke bare at være matematikkens fallit, men selve den menneskelige tænknings fallit. Men i virkeligheden er der ikke noget særlig mærkeligt i Gödels sætninger. Thi at bevise noget indenfor matematikken betyder at udlede det ad strengt logisk vej ud fra noget andet, således at det i sidste ende er bevist ud fra nogle helt grundlæggende men ubeviste antagelser, de såkaldte aksiomer. Disse aksiomer og de grundlæggende logiske slutningsregler som man må benytte sig af, havde man på denne tid helt klart styr på. Dels havde man Russell & Whiteheads trebindsværk "Principia Mathematica" fra , og dels havde man Zermelo-Fraenkels aksiomsystem udviklet i årene Ved hjælp af disse aksiomsystemer kan man bevise langt de fleste "almindelige" matematiske udsagn som er sande. Men det er klart, at da ethvert aksiomsystem vil være af endelig natur, er det kun nogle af alle de tænkelige matematiske udsagn man kan opskrive, som kan bevises eller modbevises ud fra det givne aksiomsystem. Og man kan vel også forestille sig, at selv om man har et nok så omfattende aksiomsystem, så vil der altid være udsagn som man kan argumentere for må betragtes som sande, men som ikke kan bevises ud fra dette aksiomsystem. Spørgsmålet er bare hvor eksotisk et sådant udsagn vil se ud. Udsagn af den type Gödel konstruerede, behøver ingen matematiker at bekymre sig om, men det kan være, at der er helt normale matematiske udsagn som er sande (og det er Goldbachs formodning), men som unddrager sig et bevis ud fra det aksiomsystem som matematikerne idag officielt betjener sig af (Zermelo-Fraenkels aksiomsystem). I hvert fald var onkel Petros lammet efter at en ung student havde bedt ham være behjælpelig med at oversætte en opsigtsvækkende afhandling fra tysk. Oh skræk! Måske hører Goldbachs formodning blandt de sætninger som ikke kan bevises! Måske har alt hans arbejde været spildt! Jeg skal ikke røbe mere af handlingen i denne roman, den er glimrende og den ender overordentlig dramatisk. Et andet elementært og uløst problem er som sagt spørgsmålet om hvorvidt der er uendelig mange primtalstvillinger, dvs. par af primtal hvis differens er

18 18 2. Dette problem er nært beslægtet med Goldbachs formodning: hvis det ene problem kan bevises, kan det andet også. Der er uendelig mange primtalstvillinger, det viser computerundersøgelser, og ved hjælp af cirkelmetoden kan man finde en tilnærmelsesformel for antallet mindre end et givet tal N. Den lyder: antallet af primtalstvillinger mindre end N er tilnærmelsesvist givet ved N 2 (1/(1-(p-1) 2 ) dx/(log x) 2. p ulige primtal 0 Produktet er det samme som før: (som tilnærmelse til integralet kan man blot bruge summen af tallene 1/(log m) 2 fra m = 2 til m = N). Af formlen følger at sandsynligheden for at tallene N og N+2 er primtalstvillinger er omkring 1.32/(logN) 2 (sandsynligheden for at N er et primtal er som sagt 1/logN). Rækken af de reciproke primtal 1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/11 + 1/13 + 1/17 + 1/19 + 1/23 + 1/ er divergent (se side...), men den tilsvarende række for primtalstvillinger 1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/11 + 1/13 + 1/17 + 1/19 + 1/29 + 1/ er konvergent: dens sum er (Viggo Brun, 1919). Ved hjælp af den samme metode som Riemann benyttede til at udlede sin formel for π N, kan man udlede en formel for summen af logaritmerne til primtallene mindre end N: Den vigtigste del af denne formel er N log p. p primtal<n µ(m) N 1/m, m=1 og den vigtigste del af denne sum er tallet N. Dette kan også formuleres således:

19 19 produktet af primtallene op til N er tilnærmelsesvist tallet e N. En tilnærmelsesformel som er meget mere nøjagtig end denne er følgende: log p N p primtal og p r < N (summen er her over alle primtalspotenserne p r mindre end N, idet hverts bidrag dog kun er logaritmen af dens rod p). Et resultat som ikke har noget med primtal at gøre, men som kan udledes ved samme metode, og som minder lidt om Goldbachs problem, lyder: hvis κ n er antallet af måder hvorpå n kan skrives som summen af to kvadrattal (f.eks. 50 = = ), gælder N 1/N κ n π/8. n = 1 Dvs. det gennemsnitlige antal måder hvorpå et tal kan skrives som en sum af to kvadrattal er π/8 = Men dette kan vises helt elementært ud fra Pythagoras' sætning.

Gödel: Über formal unentschiedbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I, 1931

Gödel: Über formal unentschiedbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I, 1931 Kommentar til 1 Gödel: Über formal unentschiedbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I, 1931 Denne afhandling af den 24-årige Kurt Gödel er blevet en klassiker. Det er vist den eneste

Læs mere

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal.

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal. 1 Tal Tal kan forekomme os nærmest at være selvfølgelige, umiddelbare og naturgivne. Men det er kun, fordi vi har vænnet os til dem. Som det vil fremgå af vores timer, har de mange overraskende egenskaber

Læs mere

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller Matematiske vækstmodeller I matematik undersøger man ofte variables afhængighed af hinanden. Her ser man, at samme type af sammenhænge tit forekommer inden for en lang række forskellige områder. I kapitel

Læs mere

Kapitel 2 Tal og variable

Kapitel 2 Tal og variable Tal og variable Uden tal ingen matematik - matematik handler om tal og anvendelse af tal. Matematik beskæftiger sig ikke udelukkende med konkrete problemer fra andre fag, og de konkrete tal fra andre fagområder

Læs mere

Opgave 1 Regning med rest

Opgave 1 Regning med rest Den digitale signatur - anvendt talteori og kryptologi Opgave 1 Regning med rest Den positive rest, man får, når et helt tal a divideres med et naturligt tal n, betegnes rest(a,n ) Hvis r = rest(a,n) kan

Læs mere

Matematisk induktion

Matematisk induktion Induktionsbeviser MT01.0.07 1 1 Induktionsbeviser Matematisk induktion Sætninger der udtaler sig om hvad der gælder for alle naturlige tal n N, kan undertiden bevises ved matematisk induktion. Idéen bag

Læs mere

Komplekse tal og rækker

Komplekse tal og rækker Komplekse tal og rækker John Olsen 1 Indledning Dette sæt noter er forelæsningsnoter til foredraget Komplekse tal og rækker. Noterne er beregnet til at blive brugt sammen med foredraget. I afsnit 2 bliver

Læs mere

3. klasse 6. klasse 9. klasse

3. klasse 6. klasse 9. klasse Børne- og Undervisningsudvalget 2012-13 BUU Alm.del Bilag 326 Offentligt Elevplan 3. klasse 6. klasse 9. klasse Matematiske kompetencer Status tal og algebra sikker i, er usikker i de naturlige tals opbygning

Læs mere

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen - Talteori, Kirsten Rosenkilde. Opgave 1. Hvor mange af følgende fem tal er delelige med 9?

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen - Talteori, Kirsten Rosenkilde. Opgave 1. Hvor mange af følgende fem tal er delelige med 9? Tip til 1. runde af Talteori Talteori handler om de hele tal, og særligt om hvornår et helt tal er deleligt med et andet. Derfor spiller primtallene en helt central rolle i talteori, hvilket vi skal se

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS August 2012 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal?

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Det er ret let at svare på: arealet af en trekant, husker vi fra vor kære folkeskole, findes ved at gange

Læs mere

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk 3 Lineære funktioner En vigtig type funktioner at studere er de såkaldte lineære funktioner. Vi skal udlede en række egenskaber

Læs mere

Integralregning Infinitesimalregning

Integralregning Infinitesimalregning Udgave 2.1 Integralregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne integral og stamfunktion, og anskuer dette som et redskab til bestemmelse af arealer under funktioner. Noterne er supplement

Læs mere

Evaluering af matematik undervisning

Evaluering af matematik undervisning Evaluering af matematik undervisning Udarbejdet af Khaled Zaher, matematiklærer 6-9 klasse og Boushra Chami, matematiklærer 2-5 klasse Matematiske kompetencer. Fællesmål efter 3.klasse indgå i dialog om

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42

t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42 Slide 1/42 Hvad er matematik? 1) Den matematiske metode 2) Hvad vil det sige at bevise noget? 3) Hvor begynder det hele? 4) Hvordan vælger man et sæt aksiomer? Slide 2/42 Indhold 1 2 3 4 Slide 3/42 Mængder

Læs mere

Eksponentielle sammenhænge

Eksponentielle sammenhænge Eksponentielle sammenhænge 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Indholdsfortegnelse Variabel-sammenhænge... 1 1. Hvad er en eksponentiel sammenhæng?... 2 2. Forklaring med ord af eksponentiel vækst... 2, 6

Læs mere

og til summer af stambrøker. Bemærk: De enkelte brøker kan opskrives på flere måder som summer af stambrøker.

og til summer af stambrøker. Bemærk: De enkelte brøker kan opskrives på flere måder som summer af stambrøker. Hvad er en brøk? Når vi taler om brøker i dette projekt, mener vi tal på formen a, hvor a og b er hele tal (og b b 0 ), fx 2,, 3 og 3 7 13 1. Øvelse 1 Hvordan vil du forklare, hvad 7 er? Brøker har været

Læs mere

VisiRegn: En e-bro mellem regning og algebra

VisiRegn: En e-bro mellem regning og algebra Artikel i Matematik nr. 2 marts 2001 VisiRegn: En e-bro mellem regning og algebra Inge B. Larsen Siden midten af 80 erne har vi i INFA-projektet arbejdet med at udvikle regne(arks)programmer til skolens

Læs mere

Selam Friskole Fagplan for Matematik

Selam Friskole Fagplan for Matematik Selam Friskole Fagplan for Matematik Formål Formålet med undervisningen er, at eleverne udvikler matematiske kompetencer og opnår viden og kunnen således, at de bliver i stand til at begå sig hensigtsmæssigt

Læs mere

Funktioner og ligninger

Funktioner og ligninger Eleverne har både i Kolorit på mellemtrinnet og i Kolorit 7 matematik grundbog arbejdet med funktioner. I 7. klasse blev funktionsbegrebet defineret, og eleverne arbejdede med forskellige måder at beskrive

Læs mere

Besvarelses forslag til Tag-hjemeksamen Vinteren 02 03

Besvarelses forslag til Tag-hjemeksamen Vinteren 02 03 IMFUFA Carsten Lunde Petersen Besvarelses forslag til Tag-hjemeksamen Vinteren 02 0 Hvor ikke andet er angivet er henvisninger til W.R.Wade An Introduction to analysis. Opgave a) Idet udtrykket e x2 cos

Læs mere

Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal.

Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal. Tre slags gennemsnit Allan C. Malmberg Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal. For mange skoleelever indgår

Læs mere

Talteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, august 2013, Kirsten Rosenkilde.

Talteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, august 2013, Kirsten Rosenkilde. Indhold 1 Delelighed, primtal og primfaktoropløsning Omskrivning vha. kvadratsætninger 4 3 Antal divisorer 6 4 Største fælles divisor og Euklids algoritme 7 5 Restklasser 9 6 Restklasseregning og kvadratiske

Læs mere

Kapitel 3 Lineære sammenhænge

Kapitel 3 Lineære sammenhænge Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Lineære sammenhænge Det sker tit, at man har flere variable, der beskriver en situation, og at der en sammenhæng mellem de variable. Enhver formel er faktisk

Læs mere

Matematik. Matematikundervisningen tager udgangspunkt i Folkeskolens Fælles Mål

Matematik. Matematikundervisningen tager udgangspunkt i Folkeskolens Fælles Mål Matematik Matematikundervisningen tager udgangspunkt i Folkeskolens Fælles Mål Formålet med undervisningen i matematik er, at eleverne bliver i stand til at forstå og anvende matematik i sammenhænge, der

Læs mere

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Kompendium i faget Matematik Tømrerafdelingen 2. Hovedforløb. Y Y = ax 2 + bx + c (x,y) X Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Indholdsfortegnelse for H2: Undervisningens indhold...

Læs mere

Matematik i AT (til elever)

Matematik i AT (til elever) 1 Matematik i AT (til elever) Matematik i AT (til elever) INDHOLD 1. MATEMATIK I AT 2 2. METODER I MATEMATIK OG MATEMATIKKENS VIDENSKABSTEORI 2 3. AFSLUTTENDE AT-EKSAMEN 3 4. SYNOPSIS MED MATEMATIK 4 5.

Læs mere

Baggrundsnote om logiske operatorer

Baggrundsnote om logiske operatorer Baggrundsnote om logiske operatorer Man kan regne på udsagn ligesom man kan regne på tal. Regneoperationerne kaldes da logiske operatorer. De tre vigtigste logiske operatorer er NOT, AND og. Den første

Læs mere

matx.dk Enkle modeller

matx.dk Enkle modeller matx.dk Enkle modeller Dennis Pipenbring 28. juni 2011 Indhold 1 Indledning 4 2 Funktionsbegrebet 4 3 Lineære funktioner 8 3.1 Bestemmelse af funktionsværdien................. 9 3.2 Grafen for en lineær

Læs mere

Broer, skak og netværk Carsten Thomassen: Naturens Verden 10, 1992, s. 388-393.

Broer, skak og netværk Carsten Thomassen: Naturens Verden 10, 1992, s. 388-393. Broer, skak og netværk Side 1 af 6 Broer, skak og netværk Carsten Thomassen: Naturens Verden 10, 1992, s. 388-393. Eksempler på praktiske anvendelser af matematik og nogle uløste problemer Indledning Figur

Læs mere

Om brugen af matematiske tegn og objekter i en god matematisk fremstilling

Om brugen af matematiske tegn og objekter i en god matematisk fremstilling Om brugen af matematiske tegn og objekter i en god matematisk fremstilling af Petur Birgir Petersen Et særpræg ved matematik som videnskab er den udstrakte brug af symboler. Det er vigtigt at symbolerne

Læs mere

Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. I. De komplekse tals historie. Historien om 3. grads ligningerne

Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. I. De komplekse tals historie. Historien om 3. grads ligningerne De komplekse tals historie side 1 Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave I. De komplekse tals historie Historien om 3. grads ligningerne x 3 + a x = b, x 3 + a x 2 = b, - Abraham bar Hiyya Ha-Nasi,

Læs mere

OM BEVISER. Poul Printz

OM BEVISER. Poul Printz OM BEVISER Poul Printz Enhver, der har stiftet bekendtskab med matematik selv å et relativt beskedent niveau, er klar over, at matematiske beviser udgør et meget væsentligt element af matematikken. De

Læs mere

Algebra. Dennis Pipenbring, 10. februar 2012. matx.dk

Algebra. Dennis Pipenbring, 10. februar 2012. matx.dk matx.dk Algebra Dennis Pipenbring, 10. februar 2012 nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering Indhold 1 Forord 4 2 Indledning 5 3 De grundlæggende

Læs mere

Oprids over grundforløbet i matematik

Oprids over grundforløbet i matematik Oprids over grundforløbet i matematik Dette oprids er tænkt som en meget kort gennemgang af de vigtigste hovedpointer vi har gennemgået i grundforløbet i matematik. Det er en kombination af at repetere

Læs mere

Geometriske konstruktioner: Ovaler og det gyldne snit

Geometriske konstruktioner: Ovaler og det gyldne snit Matematik Geometriske konstruktioner: Ovaler og det gyldne snit Ole Witt-Hansen, Køge Gymnasium Ovaler og det gyldne snit har fundet anvendelse i arkitektur og udsmykning siden oldtiden. Men hvordan konstruerer

Læs mere

Læseplan for faget matematik. 1. 9. klassetrin

Læseplan for faget matematik. 1. 9. klassetrin Læseplan for faget matematik 1. 9. klassetrin Matematikundervisningen bygger på elevernes mange forudsætninger, som de har med når de starter i skolen. Der bygges videre på elevernes forskellige faglige

Læs mere

Hypotesetest. Altså vores formodning eller påstand om tingens tilstand. Alternativ hypotese (hvis vores påstand er forkert) H a : 0

Hypotesetest. Altså vores formodning eller påstand om tingens tilstand. Alternativ hypotese (hvis vores påstand er forkert) H a : 0 Hypotesetest Hypotesetest generelt Ingredienserne i en hypotesetest: Statistisk model, f.eks. X 1,,X n uafhængige fra bestemt fordeling. Parameter med estimat. Nulhypotese, f.eks. at antager en bestemt

Læs mere

For at få tegnet en graf trykkes på knappen for graftegning. Knap for graftegning

For at få tegnet en graf trykkes på knappen for graftegning. Knap for graftegning Graftegning på regneark. Ved hjælp af Excel regneark kan man nemt tegne grafer. Man åbner for regnearket ligger under Microsoft Office. Så indtaster man tallene fra tabellen i regnearkets celler i en vandret

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Ligning med + - / hvor x optræder 1 gang... 3 IT-programmer

Læs mere

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering:

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: LINEÆR PROGRAMMERING I lineær programmering løser man problemer hvor man for en bestemt funktion ønsker at finde enten en maksimering eller en minimering

Læs mere

Note omkring RSA kryptering. Gert Læssøe Mikkelsen Datalogisk institut Aarhus Universitet

Note omkring RSA kryptering. Gert Læssøe Mikkelsen Datalogisk institut Aarhus Universitet Note omkring RSA kryptering. Gert Læssøe Mikkelsen Datalogisk institut Aarhus Universitet 3. april 2009 1 Kryptering med offentlige nøgler Indtil midt i 1970 erne troede næsten alle, der beskæftigede sig

Læs mere

LÆRINGSMÅL PÅ NIF MATEMATIK 2014-15

LÆRINGSMÅL PÅ NIF MATEMATIK 2014-15 LÆRINGSMÅL PÅ NIF MATEMATIK 2014-15 Mål for undervisningen i Matematik på NIF Følgende er baseret på de grønlandske læringsmål, tilføjelser fra de danske læringsmål står med rød skrift. Læringsmål Yngstetrin

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin December/januar 14/15 Institution VUC Vestegnen Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold stx Mat A Karin Hansen

Læs mere

Når vi forbereder et nyt emne eller område vælger vi de metoder, materialer og evalueringsformer, der egner sig bedst til forløbet.

Når vi forbereder et nyt emne eller område vælger vi de metoder, materialer og evalueringsformer, der egner sig bedst til forløbet. MATEMATIK Delmål for fagene generelt. Al vores undervisning hviler på de i Principper for skole & undervisning beskrevne områder (- metoder, materialevalg, evaluering og elevens personlige alsidige udvikling),

Læs mere

Den harmoniske svingning

Den harmoniske svingning Den harmoniske svingning Teori og en anvendelse Preben Møller Henriksen Version. Noterne forudsætter kendskab til sinus og cosinus som funktioner af alle reelle tal, dvs. radiantal. I figuren nedenunder

Læs mere

Eleven kan handle med overblik i sammensatte situationer med matematik. Eleven kan anvende rationale tal og variable i beskrivelser og beregninger

Eleven kan handle med overblik i sammensatte situationer med matematik. Eleven kan anvende rationale tal og variable i beskrivelser og beregninger Kompetenceområde Efter klassetrin Efter 6. klassetrin Efter 9. klassetrin Matematiske kompetencer handle hensigtsmæssigt i situationer med handle med overblik i sammensatte situationer med handle med dømmekraft

Læs mere

Projekt 2.1: Parabolantenner og parabelsyning

Projekt 2.1: Parabolantenner og parabelsyning Projekter: Kapitel Projekt.1: Parabolantenner og parabelsyning En af de vigtigste egenskaber ved en parabel er dens brændpunkt og en af parablens vigtigste anvendelser er som profilen for en parabolantenne,

Læs mere

Eleverne skal lære at:

Eleverne skal lære at: PK: Årsplan 8.Ga. M, matematik Tid og fagligt område Aktivitet Læringsmål Uge 32 uge 50 Tal og algebra Eleverne skal arbejde med at: kende de reelle tal og anvende dem i praktiske og teoretiske sammenhænge

Læs mere

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring mat.dk Differentialregning Dennis Pipenbring 0. december 00 Indold Differentialregning 3. Grænseværdi............................. 3. Kontinuitet.............................. 8 Differentialkvotienten

Læs mere

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil

Læs mere

Komplekse tal. Jan Scholtyßek 29.04.2009

Komplekse tal. Jan Scholtyßek 29.04.2009 Komplekse tal Jan Scholtyßek 29.04.2009 1 Grundlag Underlige begreber er det, der opstår i matematikken. Blandt andet komplekse tal. Hvad for fanden er det? Lyder...komplekst. Men bare roligt. Så komplekst

Læs mere

MODELSÆT 2; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN

MODELSÆT 2; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN MODELSÆT ; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN Forberedende materiale Den individuelle skriftlige røve i matematik vil tage udgangsunkt i følgende materiale:. En diskette med to regnearks-filer og en MathCad-fil..

Læs mere

Fælles Mål 2009. Matematik. Faghæfte 12

Fælles Mål 2009. Matematik. Faghæfte 12 Fælles Mål 2009 Matematik Faghæfte 12 Undervisningsministeriets håndbogsserie nr. 14 2009 Fælles Mål 2009 Matematik Faghæfte 12 Undervisningsministeriets håndbogsserie nr. 14 2009 Indhold Formål for faget

Læs mere

Appendiks 6: Universet som en matematisk struktur

Appendiks 6: Universet som en matematisk struktur Appendiks 6: Universet som en matematisk struktur En matematisk struktur er et meget abstrakt dyr, der kan defineres på følgende måde: En mængde, S, af elementer {s 1, s 2,,s n }, mellem hvilke der findes

Læs mere

Nøgleord og begreber Komplekse tal Test komplekse tal Polære koordinater Kompleks polarform De Moivres sætning

Nøgleord og begreber Komplekse tal Test komplekse tal Polære koordinater Kompleks polarform De Moivres sætning Oversigt [S] App. I, App. H.1 Nøgleord og begreber Komplekse tal Test komplekse tal Polære koordinater Kompleks polarform De Moivres sætning Test komplekse tal Komplekse rødder Kompleks eksponentialfunktion

Læs mere

RSA Kryptosystemet. Kryptologi ved Datalogisk Institut, Aarhus Universitet

RSA Kryptosystemet. Kryptologi ved Datalogisk Institut, Aarhus Universitet RSA Kryptosystemet Kryptologi ved Datalogisk Institut, Aarhus Universitet 1 Kryptering med RSA Her følger først en kort opridsning af RSA kryptosystemet, som vi senere skal bruge til at lave digitale signaturer.

Læs mere

Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec.

Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. 1 Komplekse vektorrum I defininitionen af vektorrum i Afsnit 4.1 i Niels Vigand Pedersen Lineær Algebra

Læs mere

Matematik, der afgør spil

Matematik, der afgør spil Artikeltype 47 Matematik, der afgør spil Sandsynlighedsregning vinder ofte. Kombinatorisk spilteori sejrer hver gang Mads Thrane Hvis du er træt af at tabe opvasketjansen i Sten Saks Papir eller Terning,

Læs mere

Spilstrategier. 1 Vindermængde og tabermængde

Spilstrategier. 1 Vindermængde og tabermængde Spilstrategier De spiltyper vi skal se på her, er primært spil af følgende type: Spil der spilles af to spillere A og B som skiftes til at trække, A starter, og hvis man ikke kan trække har man tabt. Der

Læs mere

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015 Kalkulus 1 - Opgaver Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis 20. januar 2015 Mængder Opgave 1 Opskriv følgende mængder med korrekt mængdenotation. a) En mængde A indeholder alle hele tal fra og med 1

Læs mere

Affine - et krypteringssystem

Affine - et krypteringssystem Affine - et krypteringssystem Matematik, når det er bedst Det Affine Krypteringssystem (Affine Cipher) Det Affine Krypteringssystem er en symmetrisk monoalfabetisk substitutionskode, der er baseret på

Læs mere

Hvad er et tal? Dan Saattrup Nielsen

Hvad er et tal? Dan Saattrup Nielsen 12 Det filosofiske hjørne Hvad er et tal? Dan Saattrup Nielsen Det virker måske som et spøjst spørgsmål, men ved nærmere eftertanke virker det som om, at alle vores definitioner af tal refererer til andre

Læs mere

Variabel- sammenhænge

Variabel- sammenhænge Variabel- sammenhænge 2008 Karsten Juul Dette hæfte kan bruges som start på undervisningen i variabelsammenhænge for st og hf. Indhold 1. Hvordan viser en tabel sammenhængen mellem to variable?... 1 2.

Læs mere

Årsplan for 7. klasse, matematik

Årsplan for 7. klasse, matematik Årsplan for 7. klasse, matematik I matematik bruger vi bogsystemet Sigma som grundmateriale. I systemet er der, ud over grundbogen, også kopiark og tests tilknyttet de enkelte kapitler. Systemet er udarbejdet

Læs mere

Matricer og lineære ligningssystemer

Matricer og lineære ligningssystemer Matricer og lineære ligningssystemer Grete Ridder Ebbesen Virum Gymnasium Indhold 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber 1 Regning med matricer 3 13 Kvadratiske matricer og determinant 9 14 Invers matrix

Læs mere

Årsplan for matematik 2012-13

Årsplan for matematik 2012-13 Årsplan for matematik 2012-13 Uge Tema/emne Metode/mål 32 Matematiske arbejdsmåder(metode) 33 Intro 34 Tal + talforståelse 35 Brøker-procent 36 Potens+kvadrat-og kubikrod 37 Emneuge 38 Ligninger-uligheder

Læs mere

Klassen er sammenlæst, altså 5 og 6 klasse på en og samme tid. Samtidig er klassen pt på ca 11 elever ialt.

Klassen er sammenlæst, altså 5 og 6 klasse på en og samme tid. Samtidig er klassen pt på ca 11 elever ialt. Introduktion til mat i 5/6 klasse Vejle Privatskole 13/14: Klassen er sammenlæst, altså 5 og 6 klasse på en og samme tid. Samtidig er klassen pt på ca 11 elever ialt. Udgangspunktet bliver en blød screening,

Læs mere

MATEMATIK. Formål for faget

MATEMATIK. Formål for faget Fælles Mål II MATEMATIK Formål for faget Fælles Mål Formålet med undervisningen i matematik er, at eleverne bliver i stand til at forstå og anvende matematik i sammenhænge, der vedrører dagligliv, samfundsliv

Læs mere

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011 Indholdsfortegnelse Integral regning:... 2 Ubestemt integral:... 2 Integrationsprøven:... 3 1) Integration af potensfunktioner:... 3 2) Integration af sum og Differens:... 3 3) Integration ved Multiplikation

Læs mere

Matematik for stx C-niveau

Matematik for stx C-niveau Thomas Jensen og Morten Overgård Nielsen Matematik for stx C-niveau Frydenlund Nu 2. reviderede, udvidede og ajourførte udgave Nu 2. reviderede, udvidede og ajourførte udgave Matema10k Matematik for stx

Læs mere

Års- og aktivitetsplan i matematik hold 4 2014/2015

Års- og aktivitetsplan i matematik hold 4 2014/2015 Års- og aktivitetsplan i matematik hold 4 2014/2015 Der arbejdes hen mod slutmålene i matematik efter 10. klassetrin. www.uvm.dk => Fælles Mål 2009 => Faghæfter alfabetisk => Matematik => Slutmål for faget

Læs mere

BOSK F2012, 1. del: Prædikatslogik

BOSK F2012, 1. del: Prædikatslogik ε > 0. δ > 0. x. x a < δ f (x) L < ε February 8, 2012 Prædikater Vi skal lære om prædikatslogik lad os starte med prædikater. Et prædikat er et orakel der svarer ja eller nej. Eller mere præcist: Prædikater

Læs mere

Differential- regning

Differential- regning Differential- regning del () f () m l () 6 Karsten Juul Indhold Tretrinsreglen 59 Formler for differentialkvotienter64 Regneregler for differentialkvotienter67 Differentialkvotient af sammensat funktion7

Læs mere

Manual til regneark anvendt i bogen. René Vitting 2014

Manual til regneark anvendt i bogen. René Vitting 2014 Manual til regneark anvendt i bogen René Vitting 2014 Introduktion. Dette er en manual til de regneark, som du har downloadet sammen med bogen Ind i Gambling. Manualen beskriver, hvordan hvert regneark

Læs mere

Arealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig

Arealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig Arealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig som også findes i en trigonometrisk variant, den såkaldte 'appelsin'-formel: Men da en trekants form

Læs mere

Årsplan 8. klasse matematik 2013-2014 Uge Emne Faglige mål Trinmål Materialer/ systemer 33 og løbende

Årsplan 8. klasse matematik 2013-2014 Uge Emne Faglige mål Trinmål Materialer/ systemer 33 og løbende Årsplan 8. klasse matematik 2013-2014 33 løbende 33-34 løbende Løbende Problemregning ( faglig læsning) Mundtlig matematik (forberede oplæg til 6. klasse) - flere forskellige trinmål Ben, formelsamlingen,

Læs mere

En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby

En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby 24 En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby Det er velkendt for de fleste, at differentiabilitet af en reel funktion f medfører kontinuitet af f, mens det modsatte ikke gælder

Læs mere

Space Challenge og Undervisningsminsteriets Fælles Mål for folkeskolen

Space Challenge og Undervisningsminsteriets Fælles Mål for folkeskolen Space Challenge og Undervisningsminsteriets Fælles Mål for folkeskolen I dette kapitel beskrives det, hvilke Fælles Mål man kan nå inden for udvalgte fag, når man i skolen laver aktiviteter med Space Challenge.

Læs mere

Matematik. Læseplan og formål:

Matematik. Læseplan og formål: Matematik Læseplan og formål: Formålet med undervisningen i matematik er, at eleverne bliver i stand til at forstå og anvende matematik i sammenhænge, der vedrører dagligliv, samfundsliv og naturforhold.

Læs mere

RSA-kryptosystemet. RSA-kryptosystemet Erik Vestergaard

RSA-kryptosystemet. RSA-kryptosystemet Erik Vestergaard RSA-kryptosystemet RSA-kryptosystemet Erik Vestergaard Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard, 007. Billeder: Forside: istock.com/demo10 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk 3 1. Indledning

Læs mere

Mini SRP. Afkøling. Klasse 2.4. Navn: Jacob Pihlkjær Hjortshøj, Jonatan Geysner Hvidberg og Kevin Høst Husted

Mini SRP. Afkøling. Klasse 2.4. Navn: Jacob Pihlkjær Hjortshøj, Jonatan Geysner Hvidberg og Kevin Høst Husted Mini SRP Afkøling Klasse 2.4 Navn: Jacob Pihlkjær Lærere: Jørn Christian Bendtsen og Karl G Bjarnason Roskilde Tekniske Gymnasium SO Matematik A og Informations teknologi B Dato 31/3/2014 Forord Under

Læs mere

Matematik. Trinmål 2. Nordvestskolen 2006 Forord. Trinmål 2 (4. 6. klasse)

Matematik. Trinmål 2. Nordvestskolen 2006 Forord. Trinmål 2 (4. 6. klasse) Matematik Trinmål 2 Nordvestskolen 2006 Forord Forord For at sikre kvaliteten og fagligheden i folkeskolen har Undervisningsministeriet udarbejdet faghæfter til samtlige fag i folkeskolen med bindende

Læs mere

brikkerne til regning & matematik tal og algebra preben bernitt

brikkerne til regning & matematik tal og algebra preben bernitt brikkerne til regning & matematik tal og algebra 2+ preben bernitt brikkerne. Tal og algebra 2+ 1. udgave som E-bog ISBN: 978-87-92488-35-0 2008 by bernitt-matematik.dk Kopiering af denne bog er kun tilladt

Læs mere

Matematik. Matematiske kompetencer

Matematik. Matematiske kompetencer Matematiske kompetencer formulere sig skriftligt og mundtligt om matematiske påstande og spørgsmål og have blik for hvilke typer af svar, der kan forventes (tankegangskompetence) løse matematiske problemer

Læs mere

Tal og algebra. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber: algebra variable. Huskeliste: Tændstikker (til side 146) FRA FAGHÆFTET

Tal og algebra. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber: algebra variable. Huskeliste: Tændstikker (til side 146) FRA FAGHÆFTET I kapitlet skal eleverne arbejde med fire forskellige vinkler på algebra de præsenteres på kapitlets første mundtlige opslag. De fire vinkler er algebra som et redskab til at løse matematiske problemer.

Læs mere

Lille Georgs julekalender 07. 1. december. Hvor mange løbere kan der opstilles på et skakbræt uden at de truer hinanden?

Lille Georgs julekalender 07. 1. december. Hvor mange løbere kan der opstilles på et skakbræt uden at de truer hinanden? 1. december Hvor mange løbere kan der opstilles på et skakbræt uden at de truer hinanden? Svar: 14 Forklaring: Der kan godt stå 14, f.eks. sådan: Men kunne der stå flere hvis man stillede dem endnu snedigere

Læs mere

Øresunds Internationale Skole Engvej 153, 2300 København S. Tlf.: 32598002 www.o-i-s.dk ois@mail.sonofon.dk

Øresunds Internationale Skole Engvej 153, 2300 København S. Tlf.: 32598002 www.o-i-s.dk ois@mail.sonofon.dk Øresunds Internationale Skole Engvej 153, 2300 København S. Tlf.: 32598002 www.o-i-s.dk ois@mail.sonofon.dk Øresunds Internationale Skole læseplan for matematik. Formål for faget matematik Formålet med

Læs mere

Løsningsforslag til Tal, algebra og funktioner 1.-6. klasse

Løsningsforslag til Tal, algebra og funktioner 1.-6. klasse 1 Løsningsforslag til Tal, algebra og funktioner 1.-6. klasse Bemærk, at vi benytter betegnelsen øvelser som en meget bred betegnelse. Derfor er der også nogle af vores øvelser, der nærmer sig kategorien

Læs mere

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje.

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje. Maple Dette kapitel giver en kort introduktion til hvordan Maple 12 kan benyttes til at løse mange af de opgaver, som man bliver mødt med i matematiktimerne på HHX. Skærmbilledet Vi starter med at se lidt

Læs mere

Matematik og Fysik for Daves elever

Matematik og Fysik for Daves elever TEC FREDERIKSBERG www.studymentor.dk Matematik og Fysik for Daves elever MATEMATIK... 2 1. Simple isoleringer (+ og -)... 3 2. Simple isoleringer ( og )... 4 3. Isolering af ubekendt (alle former)... 6

Læs mere

Komplekse tal. x 2 = 1 (2) eller

Komplekse tal. x 2 = 1 (2) eller Komplekse tal En tilegnelse af stoffet i dette appendix kræver at man løser opgaverne Komplekse tal viser sig uhyre nyttige i fysikken, f.eks til løsning af lineære differentialligninger eller beskrivelse

Læs mere

1 monotoni & funktionsanalyse

1 monotoni & funktionsanalyse 1 monotoni & funktionsanalyse I dag har vi grafregnere (TI89+) og programmer på computer (ex.vis Derive og Graph), hvorfor det ikke er så svært at se hvordan grafen for en matematisk funktion opfører sig

Læs mere

Tallet π er irrationalt Jens Siegstad

Tallet π er irrationalt Jens Siegstad 32 Tallet π er irrationalt Jens Siegstad At tallet π er irrationalt har været kendt i pænt lang tid Aristoteles postulerede det da han påstod at diameteren og radius i en cirkel er inkommensurable størrelser

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Maj- juni, 14-15 Horsens HF & VUC HF 2- årigt Matematik

Læs mere

Fagplan for faget matematik

Fagplan for faget matematik Fagplan for faget matematik Der undervises i matematik på alle klassetrin (0. - 7. klasse). De centrale kundskabs- og færdighedsområder er: I matematik skal de grundlæggende kundskaber og færdigheder i

Læs mere

Grundlæggende matematik

Grundlæggende matematik Grundlæggende matematik Noterne vil indeholde gennemgang af grundlæggende regneregler og regneoperationer afledt af disse. Dette er (vil mange påstå) det vigtigste at mestre for at kunne begå sig i (samt

Læs mere

Kapitel 1. Planintegraler

Kapitel 1. Planintegraler Kapitel Planintegraler Denne tekst er en omarbejdet version af kapitel 7 i Gunnar Mohrs noter til faget DiploMat 2, og opgaverne er et lille udpluk af opgaver fra Mogens Oddershede Larsens bog Matematik

Læs mere

Meditation over Midterbinomialkoefficienten

Meditation over Midterbinomialkoefficienten 18 Juleeventyr Meditation over Midterbinomialkoefficienten En rusrejse fra en fjern juletid Frederik Ravn Klausen, Peter Michael Reichstein Rasmussen Ved juletid for ikke så længe siden faldt tre russer

Læs mere

Matema10k. Matematik for hhx C-niveau. Arbejdsark til kapitlerne i bogen

Matema10k. Matematik for hhx C-niveau. Arbejdsark til kapitlerne i bogen Matema10k Matematik for hhx C-niveau Arbejdsark til kapitlerne i bogen De følgende sider er arbejdsark og opgaver som kan bruges som introduktion til mange af bogens kapitler og underemner. De kan bruges

Læs mere