Nedbrydningskemi af RuLL (NCS)2-komplekser i farvestofsolcellen
|
|
- Lotte Frederiksen
- 8 år siden
- Visninger:
Transkript
1 n VEDVAEDE EEGI edbrydningskemi ull (CS)komplekser i frvestofsolcellen Efter års forskning udvikling hr forbedret forseglingsteknoli nye elektrolytblndinger øget levetiden frvestofsolcellen væsentligt LCMSundersøgelser på UC hr kortlgt rutheniumfrvestoffernes nedbrydningskemi holdbrhed Af Torben Lund, Institut for tur, Systemer Modeller, oskilde Universitet Frvestoffets cyklus viser en cyklus frvestoffet S i en solcelle som D belyses Den frvestofsensibiliserede solcelle er en spændende reltiv ny type solcelle [], hvis opbygning virkemåde hr været omtlt i tidligere indlæg i Dnsk Kemi [] Frvestofsolcellen udmærker sig ved t være billig t fremstille ift trditionelle siliciumsolceller, de er særdeles velegnede til bygningsintegrtion, feks i form flerfrvede hlvtrnsprnte glsfcder, der kn levere strøm, lys/vrmereduktion forskønnelse bygningen Efter års intensiv forskning udvikling er kommerciliseringen frvestofsolcellen ved t tge frt Den positive udvikling skyldes bl forbedrede forseglingsteknolier elektrolytblndinger, som hr øget levetiden frvestofsolcellen væsentligt Solcellcyklus frvestoffet S under belysning en er tgetfr [] For år siden vr der imidlertid en del problemer med Solcellcyklus frvestoffet S under belysning en er tget fr [] cellernes holdbrhed Spørgsmålet vr dengng, om problemerd ne skyldtes fundmentle årsger såsom mnglende stbilitet S eksciteres en foton til S*, som herefter lynhurtigt overfører de nvendte frvestoffer eller mere bnle tekniske problesin eksciterede elektron til ledningsevnebåndet i TiOhlvledemer forårsget utilstrækkelig forsegling med her følgende ren Den oxiderede form frvestoffet S reduceres tilbge til ull (CS) lækger elektrolyt Frvestoffet eller sensibilistoren S er en S redformen i solcellens redoxpr, feks I eller et Co frvestofsolcellens vigtigste komponenter Solcellens levetid kompleks Antllet solcellecykler, som S kn foretge kldes kn mks være lig med frvestoffets levetid, som er direkte re, som kn beregnes ligning [,]: lteret til frvestoffets nedbrydningskemi kinetik på overfll den fotonodens hlvledermterile TiO I fik UC / k/kinj k/kreg (B u) instlleret sit første LCMS ion trp mssespektrometer, hvilket tidsmæssigt fldt smmen med en opfordring fr Teknolisk For t kunne forudsige er det essentielt t kortlægge L sidere u Institut om t indgå i et smrbejde omkring udforskningen ktionerne S*,S deres hstigheder Det er forholdsvis CS den nye frvestofsolcelleteknoli Det vr derfor t simpelt t beregne, tu hvert Smolekyle skl kunne gennemløbe () oplgt n / CS CS kn hve en levetid på benytte LCMSinstrumentet til t undersøge frvestofstbilitet, cykler for t frvestoffet år CS normle (dnske) lysforhold [] hvilket skulle vise sig t være en gnske god ide I det følgende k : CH (CH ) C (Bunder u) ~ k /ken ; kklsse >> k sensibilistorer er rutheniumfrvestof () populær præsenteres nle udvlgte resultter solcellefrvestofned k k brydningsundersøgelserne på UC ferne med den generelle struktur cisull (CS), feks, Z dnsk kemi,, nr, prticle ktio reg[i ]/k yers ()
2 /k /k VEDVAEDE EEGI n Z (figur ) C (figur ) som følge deres høje ef Solcellcyklus frvestoffet S under belysning en er tget fr [] fektivitet [] De bedste frvestofsolceller fremstillet disse rutheniumfrvestoffer hr lys til en elektricitetsomdnnelseseffektivitet på %, hvilket er smme størrelse som morfe ull (CS) siliciumsolceller [] u (B u) CS L CS CS Z D E E CS : CH(CH)CH E u E (B u) L Hstigheden tilbgeelektronoverførslen blev målt med fotoinduceret bsorptionsspektroskopi (IA) med smme er eksperimentelle betingelser som nvendt ved fotolyseeksperimenterne viser et typisk LCMSkromtrm frvestofekstrktet fr et fotolyseeksperiment edbrydningsprodukterne er vist i figur E E ull (SC) E E E E Stbilitet ved belysning Time(min) å figur er der ngivet tbsrektionsveje fr både S* S Time (min) TiO prticle Imidlertid er injektionshstigheden kinj fr S* til ledningseve LC MS kromtrm frvestofekstrkt efter fotolyse ( nm) h e LCMSkromtrm frvestofekstrkt efter LC MS kromtrm frvestofekstrkt efterfotolyse fotolyse ( nm) ~ nebåndet istio så hurtig (~ s ), t potentielle sidereks* kolloid opløsning nnokrystllinske TiO prtikler i cetonit (λ nm) ~ mg enindfrvede kolloid opløsning indfrvetioner feks mellem * iodid (k~ s []) ikke er kolloid opløsning indfrvede nnokrystllinske TiO prtikler i cetonitril med de nnokrystllinske TiO prtikler im) cetonitril med tilsætning tertbutylpyridin ( Anvendt mw/ cm smlet do hurtigeknok tilkt inj konkurrere med injektionsprocessen tertbutylpyridin ( M) mw/cm tertbutylpyridin (Anvendt M) Anvendt mw/ cm smlet dosis bso Den bestemmende fktor for frvestoflevetiden er derfor kon fotoner mol [] smlet dosisfotoner bsorberede mol [] fotoner mol [] k nedbrydningen S, k, regenereringshkurrencen mellem Solcellcyklus frvestoffet S under belysning en er tget fr [] e S En tilordning toppene i figur er givet i figur stigheden kreg rektionen S ed S Ox Cyklisk voltmmetri i en homen opløsning viser Skemtisk billede fotolysesystem nedbrydningsprodukter [] kun delvis reversibilitet ved høje scnhstigheder ( V/s) Det ull (CS) betyder, t levetiden i homen opløsning er i msek området svrende til en nedbrydningshstighed k ~ s (B u) u C(CH ) Y(B u) L Indsættes denne værdi i ligning smmen med kreg s C(CH ) (B u) u TB Y Y (B u) TB etention/min med iodid [] kn for beregnes til (B u) Y CS etention/min CS frvestofsolcellens holdbrhed ville dermed være helt utilstræk L CS CS SC CS u kelig Dette er i klr modsætningutil resultter lngtidsbelys SC CS CS CH C CS CS CS CH C CS C ningstest bserede frvestofsolceller edbrydningscs CS CS C CS TB hstigheden k blev i stedet bestemt ud fr et simpelt : CH(CH)CH (B u), CS TB O CS H modeleksperiment, hvor en kolloid opløsning indfr CS H O C Z C C C vede TiOprtikler i cetonitril uden tilsætning iodid blev belyst med grønt lserlys ( nm) med kendt Molekylstrukturer retentionstider fotolysenedbryd Molekylstrukturer retentionstider fotolysenedbrydningsproduktern ningsprodukterne [] [] Modelsystemet er bildet i figur Molekylstrukturer retentionstider fotolysenedbrydningsprodukterne Vores foreslåede meknisme for fotolysenedbrydningen ull (CS)frvestoffer er vist i figur [,] Alle produks S* terne dnnes vi det fælles intermedit uiil (CS)(CS) ved en indledende elektronoverførsel fr en thiocynlignd kinj k III til u centeret CS rdiklet er løst bundet til ruthenium k kn let substitueres nukleofiler i elektrolytblndingen, e S feks vnd, cetonitril eller tertbutylpyridin (TB) [] Intermeditet kn endvidere omdnnes til oxidtionsproduktet Skemtisk billede fotolysesystem nedbrydningsprodukter [] Skemtisk billede fotolysesystem nedbrydningsproul (CS)(C) ved eliminering svovl Dnnelse disse dukter D [] produkter ses så ved direkte oxidtion i en electrolyd Den totle mængde nedbrydningsprodukter S Σn, dnnet unsecelle [] der belysningen de frvede TiOprtikler, blev kvntittivt bestemt med LCUV/VisMS Det smlede kvnteudbytte for lle nedbrydningsprodukterne, Φ, beregnes ligning, hvor er ntl bsorberede Klibrering service lle fbrikter pipetter fotoner Kvnteudbyttet hænger konkurrencen mellem / nedbrydningsrektionen / kk/k /kinj kk/k /kreg /kinj k/k reg S tilbgeelektronoverførslen Vi klibrerer både ved indsendelse / kk/k / inj reg inj k/k reg eller på kundens dresse fr TiOledningsevnebåndet til S, det kn relteres til disse rektioner vi (): Slg pipetter lbortorie vrer h t TiO prticle ipettecenteret ;; reg[i ]/k reg[i ]/k n n // k k >> kk /k ;; >> kk ~~ kk /k kk kk () () () () ipettecenteret Skovknten æstved Tlf Mobil () Emil nielslindgrd@stofnetdk () wwwpipettecenteretdk >> kk () () >> kk dnsk kemi,, nr, yers yers [I() () ]/k yers yers kkreg[i reg ]/k () ()
3 k * s uiiil(cs) ET n VEDVAEDE EEGI HO uiil(cs)(cs ) uiil(cs)(ho) CS TB CHC uiil(cs)(chc) CS uiil(cs)(tb) CS uiil(cs)(c) "S" edbrydningsmeknisme TiO ul(cs) Bindin edbrydningsmeknisme TiO ul(cs) Bindingerne mellem ruthenium overflden er ikke gerne mellem rutheniumkomplekserne TiO vist i figuren komplekserne TiO overflden er ikke vist i figuren En værdi for hstigheden nedbrydningen, k s, kunne bestemmes ved t kombinere kvnteudbyttet Φ med den tilhørende tilbgeelektronoverførselshstighed k [] Levetiden i en solcelle på et dnsk tg kn beregnes () ved t indsætte værdien for k kreg[i] s, som er nvendt i en lignende beregning Grätzel [,] CS CHOCHCHC CS CH(CH)CH u SC CCHCHOCH CHOCHCHC CS u CS CS CCHCHOCH CSDye CH(CH)CH u God holdbrhed Vores resultter viser, t holdbrheden ull (CS)frvestoffer i solcellen under belysning er fremrgende Frvestoflevetider bseret på modeleksperimenter kn selvfølgelig kun give et estimt, om et givet frvestof hr lngtidsholdbrhedspotentile For en fuldstændig evluering kræves lngtidsbelysningsforsøg intkte frvestofsolceller Solcellefirmet Dyesol hr udført lngtidsholdbrhedsforsøg solceller fremstillet med Z en ionvæskeelektrolyt fundet t solcellernes effektivitet kun blev reduceret med % efter timers kontinuert lyseksponering med W/m ( sol) svrende til en levetid på år under udendørsforhold [] Dyesols en stribe tilsvrende lngtidsundersøgelser understøtter konklusionen om, t ull (CS)frvestofferne er stbile under belysning ved temperturer under C [,] Termisk stbilitet ull (CS) For t en solcelle skl kunne sælges, bør den opfylde interntionle kvlitetskrv bekrevet i IEV [], som bl foreskriver, t en solcelle skl kunne opvrmes til C i mørke i timer herefter kun hve tbt mindre en % i effektivitet Ti år gmle forsøg Sommeling et l viser [], t effektiviteten flder til lidt over hlvdelen efter blot c timers opvrmning til C Sommelings solceller vr fremstillet med en orgnisk opløsningsmiddelbseret elektrolytblnding bestående redoxprret I / I, et nitrenholdigt dditiv som feks tertbutylpyridin (TB) Li ioner opløst i methoxypropionitril (M), solcellerne bestod således ikke den termiske holdbrhedstest For t kunne designe termisk stbile frvestofsolceller på en rtionel måde, er det vigtigt t forstå de underliggende termiske nedbrydningsmeknismer Vores undersøgelser viser, t ull (CS)frvestoffer nedbrydes lngsomt ved forhøjede temperturer (t > C) på overflden TiOnnoprtikler, CCHCHOCH () Det er bemærkelsesværdigt, t nedbrydningen bundet til TiOoverflden (TiO ) er c gnge lngsom nedbrydningen Termisk nedbrydningsmeknisme i nitrilbserede komplekser mere end fori ull (CS) en homen opløsning (feks methoxypropionitril) nitren dditivet tertbutylpyridin Denneopløsningsmidler overfldestbilisering er helt gørende for lngtidsstbiliteten frvestofsolceller fremstillet med ull (CS)frvestoffer For Z er levetiden c gnge højere end CS Z u kreg[i]/k yers Z CCHCHOCH CS Dye CS u CS uiil(cs)(tb) CS SC Termisk nedbrydningsmeknisme for ull (CS)komplekser i nitrilbserede opløsningsmidler (feks methoxypro nedbrydningsmeknisme for ull (CS) komplekser i nitrilb pionitril) Termisk tertbutylpyridin opløsningsmidler (feks methoxypropionitril) nitren dditivet tertbutylp viser en HLCnlyse et frvestofekstrkt en friskfremstillet frvestofsolcelle fr en celle, der er blevet opvrmet til C i timer Begge solcellers elektrolytter indeholdt methoxypropionitril (M) tertbutylpyrdin (TB) Dnnelse det solventsubstituerede produkt ul (CS)(M) () tertbutylpyridinsubstitutions ses klrt i kromtrmmet produktet ul (CS)(TB) () efter opvrmning ) u TB CHC uiil(cs)(ho) CS det kn forklre en væsentlig Sommelings tidligere uiildel (CS)(C) "S" observerede reduktion i solcelleeffektiviteten som følge opvrmning til t > C edbrydningen foregår vi reversible ligndudvekslingsrektioner thiocynt med solventmole kyler nitrendditivmolekyler som i figur [] edbrydningsmeknisme TiOvist ul (CS) Bindingerne mellem ruth edbrydningen foregår i øvrigt væsentligt hurtigere, når elekkomplekserne TiO overflden er ikke vist i figuren trolytten indeholder Li [] ) etention time (min) etention time (min) b) ET k * s HO uiil(cs)(chc) CS b) uiiil(cs) uiil(cs)(cs ) etention time (min) etention time (min) ) LCUV/Viskromtrm kromtrm en ekstrktionsblnding en ) LCUV/Vis en ekstrktionsblnding en frisk frem friskfremstillet solcelle med indst elektrospry mssespektrum (CS)(M) () b) E indst elektro spry mssespectrum (ESIMS) ul (ESIMS) ul(cs)(m) (), som viser ruthenium isotop mønstret omkring (M ) et frgmentmønster ved spektrumet ) LCUV/Vis kromtrm en en frisk frem en frvestofsolcelle t i mørke i timer vedekstrktionsblnding ºC ESIMS ul ( MM) (CS)(M) () b) E elektro spry (ESIMS) i ul er indst på figuren b) Efter indst opvrmning en mssespectrum frvestofsolcelle t i mørke timer (CS)(TB) () er indstspektrumet ul ved ºC ESIMSspektrummet ul en frvestofsolcelle t i mørke i timer ved ºC ESIMS på figuren (M) er molekylvægten er indst på figuren dnsk kemi,, nr,
4 Conc VEDVAEDE EEGI n Med kendskb til meknismen er det ved benyttelse Le Chteliers princip oplgt t foreslå ddition et thiocyntslt til elektrolytten for t modvirke nedbrydningen ul (CS)frvestoffet Denne ide er testet i forsøget vist i figur, der viser koncentrtionsprofilerne Z frvestoffet ved C med uden tilsætning, M gunidin thiocynt (GuSC) til elektrolytblndingen Som forventet ses i figur b en ligevægtssitution, som indstiller sig efter c timer Z ull (CS)(TB) ) Koncentrtionsprofiler Zsåideen opløsning både ved belysning ved høje temperturer ( C), kn klre år på tget den interntionle vrmestresstest ved C b) Ligesom i ) men nu med tilsætning thiocynt [,,] Frvestofundersøgelserne på UC hr været med til t give en meknistisk forklring på vigtigheden thiocynttilsætningen til elektrolytten i solceller bseret på ull (CS) frvestoffer ull (CS)(M) Conc/ M b Conc/M Glove Box C % ) Koncentrtionsprofiler Z i en opløsning TB me thoxypropionitril ved) C Koncentrtionsprofiler Z i en opløsning TB methoxypropionitrile b) Ligesom i ) men nu med tilsætning thiocyntslt GuCS ( mm) ved[] C b) Ligesom i ) men nu med tilsætning thiocynt slt GuCS ( mm) [] dnsk kemi,, nr, time/hours Koncentrtionsprofiler (%) (%) C funktion Koncentrtionsprofiler som C som funktion opvrmnig opvrmningstiden ved C C ull (CS) ull (CS)(BB) ull (CS)(M) C ull (CS) ull (CS)(BB) ull (CS)(M Tk til: Kolleger i Grøn Energi gruppe på UC: oul Erik Hnsen, Thoms uhlnd, JensSpnget Lrsen, Jcob Krke, phdstuderende huong Tuyet guyen, Hong T guyen, Frhnz our Mohhmdi ikke Degn smt til STVF, DAIDA UC for finnsiel støtte Emil Torben Lund: tlund@rucdk t esultter for tilsætning thiocynt I et smrbejdssprojekt med M Grätzel hns Lusnnegruppe hr vi undersøgt den termiske stbilitet rutheniumfrvestoffet C (figur ) i en robust elektrolytblnding bseret på en elektrolyt med ionvæsken dimethylimidzoliumiodid (, M) i M med tilsætning, M GuSC, M butylbenzimidzol (BB) [,] Stbilitetsforsøgene er udført som modeleksperimenter, hvor kolloide blndinger Cindfrvede TiOprtikler blev opvrmet til C i lukkede mpuller fremstillet i hndskeboks, så vnddmpe mm kn undgås Det ses (figur ), t C henflder til c % strtkoncentrtionen efter c timers opvrmning, hvorefter koncentrtionen er uændret De c % substitutionsprodukt ull (CS)(BB) kn så fungere som en sensibilistor med c % strt C rutheniumforbindelsens effektivitet [] Det betyder, t en solcelle med den ovennævnte termiske ligevægtsblnding forventes t hve en effektivitet på %, såfremt tb strt frvestof er den eneste termiske nedbrydningsmeknisme Tilsætning thiocynt til elektrolytblndingen er ltså essentielt for t opnå høj termisk holdbrhed ull (CS) frvestofferne Anvendes endvidere elektrolytter bseret på % ionvæsker, der ikke hr net dmptryk, undgås fordmpning fr cellen gennem de polymerforseglinger, som de fleste lbortorier firmer nvender i dg (De rene ionvæskeelektrolytter hr d højere viskositet end de opløsningsbserede, hvilket giver en lidt lvere effektivitet solcellen) Frvestofsolceller fremstillet med ull(cs)komplekser kn således med nvendelse rigtigt designede elektrolytblndinger forseglingsteknoli opnå meget lnge holdbrheder wwwretschdk birte@sknlbcom Sknlb webad trnspindd :
5 n VEDVAEDE EEGI eferencer A Hgfeldt, G Boschloo, LC Sun, L Kloo, H ettersson, DyeSensitized Solr Cells, Chemicl eviews, M Grätzel, The dvent of mesoscopic injection solr cells, rress in hotovoltics: eserch nd Applictions, () T Lund, En ny solcelletype, Dnsk Kemi,, nr B Seger, S Teuber Henriksen, ye nvendelser solenergi, Dnsk Kemi,, nr T Lund, Frvestofsensibiliserede solceller frvestofstbilitet, Dnsk Kemi,, nr M Grätzel, hotovoltic performnce nd longterm stbility of dyesensitized meosocopic solr cells, Comptes endus Chimie, () A Hgfeldt, M Grtzel, Moleculr photovoltics, Accounts of Chemicl eserch, () MK zeeruddin, A Ky, I odicio, Humphrybker, E Muller, Lisk, Vlchopoulos, M Grtzel, Conversion of light to electricity by cisbis(, bipyridyl, dicrboxylte)ruthenium(ii) chrgetrnsfer sensitizers ( Cl, Br, I, C, nd SC) on nnocrystlline titnium dioxide electrodes, Journl of the Americn Chemicl Society, Wng, SM Zkeeruddin, JE Moser, HumphryBker, Comte, V Arnyos, A Hgfeldt, MK zeeruddin, M Grtzel, Stble new sensitizer with improved light hrvesting for nnocrystlline dyesensitized solr cells, Advnced Mterils, () F Go, Y Wng, D Shi, J Zhng, MK Wng, Y Jing, HumphryBker, Wng, SM Zkeeruddin, M Grtzel, Enhnce the opticl bsorptivity of nnocrystlline TiO film with high molr extinction coefficient ruthenium sensitizers for high performnce dyesensitized solr cells, Journl of the Americn Chemicl Society, () TM zykov, CS Ferekides, D Morel, E Stefnkos, HS Ulll, HM Updhyy, Solr photovoltic electricity: Current sttus nd future prospects, Solr Energy, () M Buer T Lund, upubliserede resultter F ourmohhmdi, SD guyen, G Boschloo, A Hgfeldt, T Lund, Determintion of the lightinduced degrdtion rte of the solr cell sensitizer on TiO nnocrystlline prticles, Journl of hysicl Chemistry D B, () F ourmohmmdi, HT guyen, G Boschloo, T Lund, An investigtion of the photosubstitution rection between dyed nnocrystlline TiO prticles nd tertbutylpyridine, Journl of hotochemistry nd hotobioly Chemistry, () G Hnsen, B Gervng, T Lund, roducts of the electrochemicl oxidtion of cislu(ii)(cs) in dimethylformmide nd cetonitrile determined by LCUV/VisMS, Inorg Chem, () yt om Tomterne går til ngreb Hrikisun, H Desilvestro, Longterm stbility of dye solr cells, Solr Energy, () Kto, K Higuchi, H Tnk, J kjim, T Sno, T Toyod, Improvement in longterm stbility of dyesensitized solr cell for outdoor use, Solr Energy Mterils nd Solr Cells, () IEC, Thinfilm terrestril photovoltiv (V) modules Design qulifiction nd type pprovl, Interntionl Stndrd, M Sommeling, M Spth, HJ Smit, J Bkker, JM Kroon, Longterm stbility testing of dyesensitized solr cells, Journl of hotochemistry nd hotobioly Chemistry, () HT guyen, HM T, T Lund, Therml thiocynte lignd substitution kinetics of the solr cell dye by cetonitrile, methoxypropionitrile, nd tertbutylpyridine, Solr Energy Mterils nd Solr Cells, () T guyen, Degn, HT guyen, T Lund, Thiocynte lignd substitution kinetics of the solr cell dye Z by methoxypropionitrile nd tertbutylpyridine t elevted tempertures, Solr Energy Mterils nd Solr Cells, () T guyen, A Andersen, EM Skou, T Lund, Dye stbility nd performnces of dyesensitized solr cells with different nitren dditives t elevted temperturescn stericlly hindered pyridines prevent dye degrdtion?, Solr Energy Mterils nd Solr Cells, T guyen, TL Binh, A Andersen, E Hnsen, T Lund, hotovoltic erformnce nd Chrcteristics of DyeSensitized Solr Cells repred with the Therml Degrdtion roducts u(lh)(cs)(tertbutylpyridine) (Bu) nd u(lh)(cs)(methylbenzimidzole) (Bu), Europen Journl of Inorgnic Chemistry, (), T guyen, E Hnsen, T Lund, The effect of tertbutylpyridine nd Li on the therml degrdtion of TiO bound ruthenium dye, Solr Energy, T Lund, T guyen, H M Trn, echy, S M Zkeeruddin, M Grätzel Therml stbility of the C dye in robust electrolytes, mnuskript under udrbejdelse Kto, K Higuchi, H Tnk, J kjim, T Sno, T Toyod, Improvement in longterm stbility of dyesensitized solr cell for outdoor use, Solr Energy Mterils nd Solr Cells, () A Hinsch, W Veurmn, H Brndt, L Aguirre, K Bileck, F Jensen, Worldwide first fully upscled fbriction of cm dye solr module prototypes, r hotovolt: es Appl ; : Tomtvlerne hr været ekstremt effektive til H t forbedre kvlitet kvntitet de vlede tomter Mn hr imidlertid været mindre effektive til t forøge resistensen overfor skdedyr Vilde tomter er lngt mere resistente overfor skdedyrene, som foruden de direkte skder, de forvolder, EIZIGIBEE kn bringe stor skde ved t sprede virussygdomme, der kn ødelægge hele produktionen De vilde tomter beskytter sig ved produktion terpener, bl epizingiberen Det er nu lykkedes i dyrkede tomter t indføre det gen, som står for syntesen epizingiberen i vilde tomter Crl Th Improved herbivore resistnce in cultivted tomto with sesquiterpene biosynthetic pthwy from wild reltive roceedings of the tionl Acdemy of Sciences of the United Sttes of Americ,, side dnsk kemi,, nr,
Lektion 6 Bogstavregning
Mtemtik på Åbent VUC Lektion 6 Bogstvregning Formler... Udtryk... Ligninger... Ligninger som løsningsmetode i regneopgver... Simultion... Opsmlingsopgver... Lvet f Niels Jørgen Andresen, VUC Århus. Redigeret
Læs merePlantehoteller 1 Resultater og konklusioner
Plntehoteller 1 Resultter og konklusioner Hvid mrguerit 1. Umiddelrt efter kølelgring i op til 14 dge vr den ydre kvlitet ikke redueret 2. Mistede holdrhed llerede efter 7 dges kølelgring ved 4ºC og lv
Læs mere1. Honningpriser. Skemaet viser vregt og priser pi dansk og udenlandsk honning. Dansk honning
, i 1. Honningpriser Skemet viser vregt og priser pi dnsk og udenlndsk honning. o Hvor stor er prisen i lt for 2 brgre lynghonning og 3 bregre okologisk honning. o Hvor stor er forskellen i pris pi den
Læs mere... ... ... ... ... ... ... b > 0 og x > 0, vil vi kalde en potensfunktion. 492 10. Potensfunktioner
POTENSFUNKTIONER 0 49 0. Potensfunktioner POTENSFUNKTIONER DEFINITION En funktion med forskriften f( )= b hvor b > 0 og > 0 vil vi klde en potensfunktion. I MAT C kpitel så vi t hvis skl være et vilkårligt
Læs merePotens- sammenhænge. inkl. proportionale og omvendt proportionale variable. 2010 Karsten Juul
Potens- smmenhænge inkl. proportionle og omvendt proportionle vrible 010 Krsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse f hæftet "Eksponentielle smmenhænge, udgve ". Indhold 1. Hvd er en potenssmmenhæng?...1.
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 17
Mtemtisk modellering og numeriske metoder Lektion 1 Morten Grud Rsmussen 8. november, 1 1 Numerisk integrtion og differentition [Bogens fsnit 19. side 84] 1.1 Grundlæggende om numerisk integrtion Vi vil
Læs mereAlternative metoder til køling af løg
inspire demoprojekt Alterntive metoder til køling f løg Af Merete Edelenbos, Arhus Universitet Anne Drre-Østergrd og Bstin Junker, AgroTech November 2013 1 Energiforbruget ved lngtidslgring f løg er højt,
Læs mereØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C POTENS-SAMMENHÆNG
ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C POTENS-SAMMENHÆNG INDHOLDSFORTEGNELSE 1 Formelsmling... side 2 Uddbning f visse formler... side 3 2 Grundlæggende færdigheder... side 5 2 Finde konstnterne og b i en formel...
Læs mereRegneregler for brøker og potenser
Regneregler for røker og potenser Roert Josen 4. ugust 009 Indhold Brøker. Eksempler......................................... Potenser 7. Eksempler......................................... 8 I de to fsnit
Læs mereErik Vestergaard www.matematikfysik.dk. Erik Vestergaard, 2009.
Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk Erik Vestergrd, 009. Billeder: Forside: Collge f billeder: istock.com/titoslck istock.com/yuri Desuden egne fotos og illustrtioner Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk
Læs mereLektion 7s Funktioner - supplerende eksempler
Lektion 7s Funktioner - supplerende eksempler Oversigt over forskellige tper f funktioner Omvendt proportionlitet og hperler.grdsfunktioner og prler Eksponentilfunktioner Potensfunktioner Lektion 7s Side
Læs mereKort om Potenssammenhænge
Øvelser til hæftet Kort om Potenssmmenhænge 2011 Krsten Juul Dette hæfte indeholder bl.. mnge småspørgsmål der gør det nemmere for elever t rbejde effektivt på t få kendskb til emnet. Indhold 1. Ligning
Læs mereDen grønne kontakt til dine kunder. Kontakt med omtanke for miljø og økonomi
Den grønne kontkt til dine kunder Kontkt med omtnke for miljø og økonomi 2 En fbryder der slukker lt, og en stikkontkt der reducerer stndby forbruget Energy Efficiency Energieffektivitet hndler ikke kun
Læs mereDET PERIODISKE SYSTEM
DET PERIODISKE SYSTEM Tilpasset efter Chemistry It s Elemental! Præsentation fra the American Chemical Society, Aug. 2009 http://portal.acs.org/portal/publicwebsite/education/outreach/ncw/studentseducators/cnbp_023211
Læs mereTrigonometri. Trigonometri. Sinus og cosinus... 2 Tangens... 6 Opgaver... 9. Side 1
Trigonometri Sinus og osinus... 2 Tngens... 6 Opgver... 9 Side Sinus og osinus Til lle vinkler hører der to tl, som kldes osinus og sinus. Mn finder sinus og osinus til en vinkel ved t tegne vinklen midt
Læs mereKrumningsradius & superellipsen
Krumningsrdius & suerellisen Side /5 Steen Toft Jørgensen Krumningsrdius & suerellisen Formålet med dette mini-rojekt er t erhverve mtemtisk viden om krumningsrdius f en kurve og nvende denne viden å det
Læs mereRetningslinjer for bedømmelsen Georg Mohr-Konkurrencen runde
Retningslinjer for bedømmelsen Georg Mohr-Konkurrencen 016. runde Besvrelser som flder uden for de løsninger som ligger til grund for pointskemerne, bedømmes ved nlogi så skridt med tilsvrende vægt i den
Læs merehvor A er de ydre kræfters arbejde på systemet og Q er varmen tilført fra omgivelserne til systemet.
!#" $ "&% (')"&*,+.-&/102%435"&6,+879$ *1')*&: or et system, hvor kun den termiske energi ændres, vil tilvæksten E term i den termiske energi være: E term A + Q hvor A er de ydre kræfters rbejde på systemet
Læs mereEksamensopgave august 2009
Ib Michelsen, Viborg C / Skive C Side 1 09-04-011 1 Eksmensopgve ugust 009 Opgve 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 13 14 15 16 17 18 19 0 1 Givet ovenstående ensvinklede treknter. D treknterne er ensvinklede, er
Læs mere2 Erik Vestergaard
Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk 3 Definition 1 En funktion på formen f ( x) = b x, x R +, hvor b R + og R er konstnter, kldes for en potensudvikling eller en potensiel
Læs mereEksponentielle Sammenhænge
Kort om Eksponentielle Smmenhænge 011 Krsten Juul Dette hæfte indeholder pensum i eksponentielle smmenhænge for gymnsiet og hf. Indhold 1. Procenter på en ny måde... 1. Hvd er en eksponentiel smmenhæng?....
Læs mereImplicit differentiation Med eksempler
Implicit fferentition Implicit fferentition Indhold. Implicit fferentition.... Tngent til ellipse og hperel... 3. Prisme i hovedstillingen...3 3. Teoretisk rgument for hovedstillingen...4 Ole Witt-Hnsen
Læs mereVitaminer, mineraler og foderværdi af græsmarksarter
Vitminer, minerler og foderværdi f græsmrksrter Kren Søegrd, Søren K. Jensen og Jko Sehested Det Jordrugsvidenskelige Fkultet, Arhus Universitet Smmendrg Med det formål t undersøge mulighederne for selvforsyning
Læs mereMatematikkens sprog INTRO
Mtemtikkens sprog Mtemtik hr sit eget sprog, der består f tl og symboler fx regnetegn, brøkstreger bogstver og prenteser På mnge måder er det ret prktisk - det giver fx korte måder t skrive formler på.
Læs mereMatematik B-A. Trigonometri og Geometri. Niels Junge
Mtemtik B-A Trigonometri og Geometri Niels Junge Indholdsfortegnelse Indledning...3 Trigonometri...3 Sinusreltionen:...6 Cosinusreltionen...7 Dobbeltydighed...7 Smmendrg...8 Retvinklede treknter...8 Ikke
Læs mereMATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX)
Silkeorg -0- MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX) FACITLISTE Udrejdet f mtemtiklærere fr HF, HHX, HTX & STX. PS: Hvis du opdger
Læs mereProjekt 8.5 Linearisering og anvendelsen af logaritmiske koordinatsystemer
Projekt 8.5 Linerisering og nvendelsen f logritmiske koordintsystemer (Dette projekt forudsætter, t mn hr rbejdet med logritmefunktionerne, f i kpitel 3 eller i projekt 8.4, så mn er fortrolig med logritmereglerne)
Læs mereLektion 6 Bogstavregning
Lektion Bogstvregning Formler... Reduktion... Ligninger... Lektion Side 1 Formler En formel er en slgs regne-opskrift, hvor mn med bogstver viser, hvorledes noget skl regnes ud. F.eks. formler til beregning
Læs mereSetup til kalibrering af Clamp on-flowmålere
Setup til klirering f Clmp on-flowmålere Decemer 2018 Rpportforftter: Anders Niemnn, Teknologisk Institut Introduktion Ultrlyds-clmp-on flowmåling er en teknik, hvor mn ved hjælp f to trnsducere monteret
Læs mereDødelighed og kræftforekomst i Avanersuaq. Et registerstudie
Dødelighed og kræftforekomst i Avnersuq. Et registerstudie Peter Bjerregrd, Anni Brit Sternhgen Nielsen og Knud Juel Indledning Det hr været fremført f loklbefolkningen i Avnersuq og f Lndsstyret, t der
Læs mereDen grønne kontakt til dine kunder Kontakt med omtanke for miljø og økonomi
Den grønne kontkt til dine kunder Kontkt med omtnke for miljø og økonomi Stort energi- og stndby forbrug? En fbryder der slukker lt, og en stikkontkt der reducerer stndby forbruget Sluk for det hele......
Læs mereUGESEDDEL 52. . Dette gøres nedenfor: > a LC
UGESEDDE 52 Opgve 1 Denne opgve er et mtemtisk eksempel på Ricrdo s én-fktor model, der præsenteres i Krugmn & Obstfeld kpitel 2 side 12-19. Denne model beskriver hndel som et udslg f komprtive fordele
Læs mereTAL OG BOGSTAVREGNING
TAL OG BOGSTAVREGNING De elementære regnerter I mtemtik kn vi regne med tl, men vi kn også regne med bogstver, som gør det hele en smugle mere bstrkt. Først skl vi se lidt på de fire elementære regnerter,
Læs mere114 Matematiske Horisonter
114 Mtemtiske Horisonter Mtemtik i medicinudvikling Af Ph.d-studerende Ann Helg Jónsdóttir, Ph.d-studerende Søren Klim, Ph.d-studerende Stig Mortensen og Professor Henrik Mdsen, DTU Informtik Hovedpinen
Læs mereHvad ved du om mobning?
TEST: Hvd ved du om moning? I testen her kn du fprøve, hvor meget du ved om moning på rejdspldsen. Testen estår f tre dele: Selve testen, hvor du skl sætte ét kryds for hvert f de ti spørgsmål. Et hurtigt
Læs mereSimple udtryk og ligninger
Simple udtryk og ligninger for gymnsiet og hf 0 Krsten Juul Indhold Rækkefølge f + og... Smle led f smme type... Gnge ind i prentes. del... Rækkefølge f og smt f + og... Gnge ind i prentes. del... Hæve
Læs merePust og sug Design og konstruktion af et apparat til at måle udåndingsvolumen Biomedicinsk teknologi
Pust og sug Design og konstruktion f et pprt til t måle udåndingsvolumen Biomedicinsk teknologi Ingeniørens udfordring Elevæfte Menneskekroppen, Åndedrætssystemet 1 Pust og sug Ingeniørens udfordring At
Læs merePointen med Integration
Pointen med Integrtion Frnk Vill 3. oktober 2012 2008-2012. IT Teching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Dette dokument må kun nvendes til undervisning i klsser som bonnerer på MtBog.dk. Se yderligere
Læs mere1. Andalusien - en provins i Spanien
1. Andlusien - en prvins i Spnien Andres g hns fmilie skl pa ferie i Andlusien. I et rejsektlg finder de frskellige plysninger. Digrmmet viser fr hver maned, hvr mnge dge det regner mere end 1 mm i Mlg'
Læs meregudmandsen.net y = b x a Illustration 1: potensfunktioner i 5 forskellige grupper
gudmndsen.net Dette dokument er publiceret på http://www.gudmndsen.net/res/mt_vejl/. Ophvsret: Indholdet stilles til rådighed under Open Content License[http://opencontent.org/openpub/]. Kopiering, distribution
Læs mereVVS-entreprisen Kapitel : 4.1 Bygningsdelsbeskrivelse - Kølevand Side : 1/6 Indholdsfortegnelse Dato : 10.10.2013 Rev. :
Bygningsdelsbeskrivelse - Kølevnd Side : 1/6 Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse (55)1 Bygningsdelsbeskrivelse for kølevnd... 2 Omfng og loklisering... 2 Tegningshenvisning... 2 Tilstødende bygningsdele...
Læs mereTips. til træningsambassadørerne
Tips til træningsmbssdørerne NÅR I TRÆNER GENERELT 1. Brug et motiverende sprog også selvom du fktisk er lidt træt. Du kn for eksempel sige: Jeg er mx klr til træning hvd med dig? Er du frisk?! 2. Din
Læs mereMATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX)
Silkeborg 09-0-0 MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX) Udrbejdet f mtemtiklærere fr HF, HHX, HTX & STX. PS: Hvis du opdger fejl i
Læs mere3. Vilkårlige trekanter
3. Vilkårlige treknter 3. Vilkårlige treknter I dette fsnit vil vi beskæftige os med treknter, der ikke nødvendigvis er retvinklede. De formler, der er omtlt i fsnittet om retvinklede treknter, kn ikke
Læs mere1 1 t 10 1. ( ) x 2 4. + k ================= sin( x) + 4 og har graf gennem (0,2), dvs F(0) = 2. + 4x + k
0x-MA (0.0.08) _ opg (3:07) Integrtion ved substitution ( x + 7) 9 t x + 7 > t 9 t 0 + k 0 0 ( x + 7)0 + k b) x x + 4 t x + 4 > 3 x t t t x 3 t x x + k 3 t t + k ( ) x 4 3 x + 4 + + k c) cos( x)
Læs mereAnalyse 30. januar 2015
30. jnur 2015 Større dnsk indkomstulighed skyldes i høj grd stigende kpitlindkomster Af Kristin Thor Jkosen Udgivelsen f Thoms Pikettys Kpitlen i det 21. århundrede hr fstedkommet en del diskussion f de
Læs merePointen med Integration
Pointen med Integrtion Frnk Nsser 20. pril 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun nvendes til undervisning i klsser som bonnerer på MtBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er en
Læs mereK9-K10 projekter i strukturel mekanik
April 2006 K8 Studerende K9-K10 projekter i strukturel meknik K8-studerende med interesse i t lve K9 eller K10 projekter inden for områderne Strukturel dynmik og erodynmik f store konstruktioner Aeroelsticitet,
Læs mereProjekt 5.7 Hovedsætninger om differentiable funktioner et opgaveforløb
Hvd er mtemtik?, e-og Projekter: Kpitel 5 Projekt 57 Hovedsætninger om differentile funktioner Projekt 57 Hovedsætninger om differentile funktioner et opgveforlø Projektet er en udvidelse f fsnittet i
Læs mereEn aktiv NY fluorformel i Danmark
En ktiv NY fluorformel i Dnmrk Fordeler målrettet fluorid på tndoverflderne Giver øget fluoridkonentrtion i og omkring tnden Fremmer reminerlisering f egyndende riesngre Øger tændernes modstndskrft over
Læs mereBIH FOREBYGGELSE AF REVNER. Notat. Vejledningen omfatter: Konstruktive forhold...side 3-6. Svind i letbeton og beton...side 7. Udtørring...
Nott FOREBYGGELSE AF REVNER Vejledningen omftter: Konstruktive forhold...side 3-6 Svind i letbeton og beton...side 7 Udtørring...side 8-9 Fugtmåling...side 10 Mlerbehndling...side 11 Fliseopsætning...side
Læs mereJAGTEN POST 4: BØRNENES MAGASIN I BADSTUEGADE
HISTORIEJAGTEN Kære lærere Tusind tk, fordi I vil deltge i Historiejgten. Her følger en kort vejledning til, hvordn Historiejgten kn ruges. Denne PDF indeholder ud over introduktionen: - Et rk med spørgsmål
Læs mereEksemplificering af DEA-metodens vægtberegning
nlyseinstitut for Forskning Finlndsgde DK-800 rhus N Tel + 89 9 Fx: + 89 99 Mil: fsk@fsk.u.dk Web:.fsk.u.dk Eksemplificering f DE-metodens vægtberegning Peter S. Mortensen Kmm Lngberg Crin Sponholtz Nott
Læs mereÈn samlet leasingløsning
Vi smler din håndtering f IT Vi hr kombineret vores kompetencer med hrdwre og softwre således, t du kun skl bruge et enkelt telefonnummer når du skl hve styr på din IT. For et fst beløb pr. måned kn du
Læs mereMattip om. Vinkler 2. Tilhørende kopier: Vinkler 2-3. Du skal lære om: Polygoner. Ligesidede trekanter. Gradtal og vinkelsum
Mttip om Vinkler 2 Du skl lære om: Polygoner Kn ikke Kn næsten Kn Ligesidede treknter Grdtl og vinkelsum Ligeenede og retvinklede treknter At forlænge en linje i en treknt Tilhørende kopier: Vinkler 2-3
Læs mereDANSK ARBEJDER IDRÆTSFORBUND. Cross Boule
DANSK ARBEJDER IDRÆTSFORBUND Cross Boule 1 Forord Cross Boule når som helst og hvor som helst Dnsk Arejder Idrætsforund er glde for t kunne præsentere Cross Boule - et oldspil, hvor lle kn være med. Spillet
Læs mereTAL OG REGNEREGLER. Vi ser nu på opbygningen af et legeme og noterer os samtidig, at de reelle tal velkendte regneoperationer + og er et legeme.
TAL OG REGNEREGLER Inden for lgeren hr mn indført egreet legeme. Et legeme er en slgs konstruktion, hvor mn fstsætter to regneregler og nogle sætninger (ksiomer), der gælder for disse. Pointen med en sådn
Læs merePotens regression med TI-Nspire
Potensvækst og modellering - Mt-B/A 2.b 2007-08 Potens regression med TI-Nspire Vi tger her udgngspunkt i et eksempel med tovværk, hvor mn får oplyst en tbel over smmenhængen mellem dimeteren (xdt) i millimeter
Læs mereInstitut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. Integrationsprincippet og Keplers tønderegel
Integrtionsprincippet og Keplers tønderegel. side Institut for Mtemtik, DTU: Gymnsieopgve Integrtionsprincippet og Keplers tønderegel Littertur: H. Elrønd Jensen, Mtemtisk nlyse, Institut for Mtemtik,
Læs mereALGEBRA. symbolbehandling). Der arbejdes med hjælpemiddelkompetencen,
INTRO Alger er lngt mere end ogstvregning. Alger kn være t omskrive ogstvtrk, men lger er f også t generlisere mønstre og smmenhænge, t eskrive smmenhænge mellem tlstørrelse f i forindelse med funktioner
Læs mereAnalysens Fundamentalsætning
Anlysens Fundmentlsætning Frnk Nsser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun nvendes til undervisning i klsser som bonnerer på MtBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereSANS FREMTIDEN I HEDEHUSENE
SANS FREMTIDEN I HEDEHUSENE Snseredskber til byens psykiske og fysiske miljø f Softhook Design Projektets idé Kunstner og leder f Softhook Design, Christin Nold, er stolt over t kunne præsentere Sns Fremtiden
Læs mereLamina. stærk, farverig facadeplade med format. Facader. Altanbrystninger. Trappegelænder. Brystninger. Væg- og dørbeklædning. Sandwichelementer 1:1
Juni 2008 2.312 DK Lmin stærk, frverig fcdeplde med formt Fcder Altnbrystninger Trppegelænder Brystninger Væg- og dørbeklædning Sndwichelementer Lmin er en højtrykslmintplde. Specielt velegnet til områder
Læs mereCenter for Kvalitet Region Syddanmark
Version 4.0 Side 1 f 64 Forftter Udgivelsesdto 27-03-2014 Version Version 4.0 Historik Overlæge, dr.med. Ulrik Gerdes Version 1.0 fr14-06-2013: Dele f indholdet i dette nott fndtes i en version 7.0 f et
Læs mereKortfattet vejledning Gallery 100
Kortfttet vejlening Gllery 100 75517500 04.01 OFF ON Beskrivelse f ispenserens komponenter Venstre ør Låg til ingreienseholer Ingreienseholer Sikkerheskontkt Sipleholer Uløstu Grumseholer Kneholer (= rist
Læs mereIndtcegter Medlemskontinqenter. Indtcegter i alt Udgifter 487.143. Udgifter i alt Resultat f0r hensaettelser 420.561 -45.220 -54.659-76.802 99.
Det Dnske Spejderkorps Regnskb: 212-1-1-212-12-31 Driftsregnskb Indtcegter Reliseret Budget Medlemskontinqenter 96.725 93. Tilskud fr Kommunen Lokletilskud Medlemstilskud *1 Kursustilskud *3 Andre tilskud
Læs mereAnalyse 1, Prøve maj Lemma 2. Enhver konstant funktion f : R R, hvor f(x) = a, a R, er kontinuert.
Alyse, Prøve. mj 9 Alle hevisiger til TL er hevisiger til Klkulus 6, Tom Lidstrøm. Direkte opgvehevisiger til Klkulus er givet med TLO, ellers er lle hevisiger til steder i de overordede fsit. Hevises
Læs mereAIRCONDITIONANLÆG Til almindelig brug
OWNER S MANUAL BRUGERVEJLEDNING AIRCONDITIONANLÆG Til lmindelig brug (SPLIT TYPE) DANSK DN Indendørs enhed RAS-07PKVP-E RAS-10PKVP-E RAS-13PKVP-E RAS-16PKVP-E RAS-18PKVP-E RAS-07PKVP-ND RAS-10PKVP-ND RAS-13PKVP-ND
Læs mereMere end blot lektiehjælp. Få topkarakter i din SRP. 12: Hovedafsnittene i din SRP (Redegørelse, analyse, diskussion)
Mere end lot lektiehjælp Få topkrkter i din SRP 12: Hovedfsnittene i din SRP (Redegørelse, nlyse, diskussion) Hjælp til SRP-opgven Sidste år hjlp vi 3.600 gymnsieelever med en edre krkter i deres SRP-opgve.
Læs mereBeplantningsplan for beplantningsbælterne beskrevet i lokalplan 149.
HEDENSTED KOMMUNE Plnfdelingen NIELS ESPES VEJ 8 8722 HEDENSTED TELEFON 7974 1111 POSTGIRO 501 5871 E-post: rdhus@hedensted.dk Internet: www.hedensted.dk Dto : 11. november 2004 Sgsbehndler : HK-BV KL-J.nr.
Læs mereHvad ved du om mobning?
TEST: Hvd ved du om moning? I testen her kn du fprøve, hvor meget du ved om moning på rejdspldsen. Testen estår f tre dele: Selve testen, hvor du skl sætte ét kryds for hvert f de ti spørgsmål. Et hurtigt
Læs mereANALYSE 1, 2014, Uge 3
ANALYSE 1, 2014, Uge 3 Forelæsninger Tirsdg. Vi generliserer tlrækker til funktionsrækker ved t udskifte tllene med funktioner (TL Afsnit 12.5). Det svrer til forrige uges skridt fr tlfølger til funktionsfølger.
Læs mereSAMPLE. 1 3Suite over danske folkesange. j 0 4. j 0 4. j 0 4. j 0 4. j j j 0 4. j j. w w. w w.
1 Sute over dnske olkesnge or blnt kor, oblgt nstrumt klver Instr Klver Rolgt c gto c Π c Arrnet Lsse Tot Erks, 009 S S T 5 5 5 9 9 stl ly ro, hvor r ned, be 1I H 0 r sn bu r h 0 re t bo,, hvor sm sko
Læs mereEt udvalg af funktionerne tegnet på grafregneren (eller her med Derive)
GDS, opgve 85 En strt på opgven (undervisnings- og tvleprotokol): En milie unktioner hr orskrit 4 ( ) + R, Et udvlg unktionerne tegnet på grregneren (eller her med Derive) Værdier tllet, or hvilke hr henholdsvis
Læs mereDæmonen. Efterbehandlingsark C. Spørgsmål til grafen over højden.
Efterbehndlingsrk C Dæmonen Nedenfor er vist to grfer for bevægelsen i Dæmonen. Den første grf viser hvor mnge gnge du vejer mere eller mindre end din normle vægt. Den nden grf viser højden. Spørgsmål
Læs mereSoundSations! Sow[' 9arcft LtbrarY- 'M6k:::'t;q:v:,& l. l(rb af datamaskine. 2. llusikplogram. Pia overvejer at ksbe en datamaskine.
l. l(rb f dtmskine Pi overvejer t ksbe en dtmskine. Hvor meget ville Pi komme til t betle for dtmskinen PC 386, nar der betles 295 kr. pr. maned i36 maneder? Hvor meget ville hun spre ved t kobe kontnt?
Læs mereInstallationsvejledning
Dikin Altherm lvtempertur monolok ekstrvrmer EKMBUHCAV EKMBUHCA9W Dikin Altherm lvtempertur monolok ekstrvrmer Dnsk Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse Om dokumenttionen. Om dette dokument... Om kssen.
Læs mereFejlforplantning. Landmålingens fejlteori - Lektion 9 - Repetition - Fejlforplantning. Kovariansmatrix. Kovariansmatrix
Fejlforplntning Lndmålingens fejlteori Lektion 9 Repetition - Fejlforplntning Ksper K Berthelsen - kk@mthudk http://peoplemthudk/ kk/undervisning/lf11 Institut for Mtemtiske Fg Alorg Universitet Lndmåling
Læs mereFormelsamling Matematik C Indhold
Formelsmling Mtemtik C Indhold Eksempler på besvrelser, lin, eksp, pot, geo... Tl, regneopertioner og ligninger... 6 Ligninger... 7 Geometri... 0 Funktioner og modeller... 3 Lineær funktion... 3 Procentregning...
Læs mereBogstavregning. for gymnasiet og hf Karsten Juul. a a
Bogstvregning for gymnsiet og hf 010 Krsten Juul Til eleven Brug lynt og viskelæder når du skriver og tegner i hæftet, så du får et hæfte der er egenet til jævnligt t slå op i under dit videre rejde med
Læs mereMattip om. Vinkler 2. Tilhørende kopier: Vinkler 2 og 3. Du skal lære om: Polygoner. Ligesidede trekanter. Gradtal og vinkelsum
Mttip om Vinkler 2 Du skl lære om: Polygoner Kn ikke Kn næsten Kn Ligesidede treknter Grdtl og vinkelsum Ligeenede og retvinklede treknter At forlænge en linje i en treknt Tilhørende kopier: Vinkler 2
Læs mereTlf.: 96 17 02 02 info@artof.dk www.artof.dk
Vielsesringe Designer og guldsmed Jn Jørgensen Siden 1995 hr Jn Jørgensen hft egen virksomhed, hvor nturen i det rske og åne Nordjyllnd hr givet inspirtion til det meste f designet. Smykker i de ædleste
Læs mereMatematik - introduktion. Martin Lauesen February 23, 2011
Mtemtik - introduktion Mrtin Luesen Februry 23, 2011 1 Contents 1 Aritmetik og elementær lgebr 3 1.1 Symboler............................... 3 1.1.1 ligheder............................ 4 1.1.2 uligheder...........................
Læs mereANALYSE 1, 2015, Uge 2
ANALYSE 1, 2015, Uge 2 Forelæsninger Denne uges tem er uendelige rækker. Tirsdg: Tlrækker. En uendelig tlrække består ligesom en uendelig tlfølge f uendelig mnge tl. Forskellen mellem de to begreber består
Læs mereOversigt. geometri exempler. areal: 4 3 = 12 m 2 omkreds: 4+3+4+3 = 14 m. areal: 5 5 = 25 cm 2 omkreds: 5+5+5+5 = 20 cm. areal: 8 5 = 40 dm 2
geometri exempler 4 m 3 m rel: 4 3 = 12 m 2 omkreds: 4+3+4+3 = 14 m 5 m 5 m rel: 5 5 = 25 m 2 omkreds: 5+5+5+5 = 20 m 8 dm 5 dm rel: 8 5 = 40 dm 2 8 dm 5 mm 4 mm 1 2 rel: 4 (5+9) = 28 mm 2 9 mm 7 km rel:
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 12
Mtemtisk modellering numeriske metoder Lektion 12 Morten Grud Rsmussen 21. oktober, 213 1 Prtielle differentilligninger 1.1 Løsning f vrmeligningen vh. Fourierrækker [Bens sektion 12.6 på side 558] Vi
Læs mereBrug af regneark til beregninger, statistik og grafisk afbildning. Excel 97
Brug f regnerk til eregninger, sttistik og grfisk filning Exel 97 pril 2003 * St Om vurering f tlmterile sie 1 I Definitioner BLOK En eller flere eller eller rækker eller kolonner MARKER BLOK Peg på øverste
Læs mereANALYSEOPGAVE Feelgood Bakery
ANALYSEOPGAVE Feelgood Bkery Kommuniktion: Helene, Loiuse, Pernille og Ndi Gruppe 14 Hvem er fsenderen? - Glutenfri bgerbrød - Christine og Louise Krogh Hvem er målgruppen? - Gluten llergikere og helsefreks
Læs mereFORMELSAMLING. Indholdsfortegnelse
FOMELSAMLNG ndholdsfortegnelse ndholdsfortegnelse... EL-LÆE...3 Ohm s lov:...3 Effekt lov:...3 egler ved måling:...3 egler ved serieforbindelser:...3 egler ved prllelforbindelser:...4 egler ved blndede
Læs mere- 81 - , x I. kmx. Sætningen bevises ikke her. Interesserede læsere henvises til bogen: Differentialligninger og matematiske
- 8 - Appendi : Logistisk vækst og integrlregning. I forbindelse med eksponentielle vækstfunktioner er der tle om en vækstform, hvor funktionens væksthstighed er proportionl med den ktuelle funktionsværdi,
Læs mereBage/Chips/Pulver/Pommes Frites sorter
18 Bge/Chips/Pulver/Pommes Frites sorter Hkg pr h Indledning BJ-Agro hr som tidligere år lvet en sortssmmenligning f krtofler til forrbejdning. De fprøvede sorter er leveret f AKV-Lngholt, Thorsen Chips,
Læs mereProjekt 8.4 Logaritmefunktionerne
Hvd er mtemtik? Projekter: Kpitel 8. Projekt 8.4 Logritmefunktionerne Projekt 8.4 Logritmefunktionerne Indhold. log( ) og 0 som omvendte funktioner... 2 2. Den nturlige logritmefunktion, ln( ) og den nturlige
Læs mereMM501 forelæsningsslides
MM501 forelæsningsslides uge 38, 010 Produceret f Hns J. Munkholm berbejdet f Jessic Crter 1 l Hopitls regler Afsnit 4.3 l Hopitls regel I omhndler beregning f grænseværdier f formen lim x f(x) g(x), hvor
Læs mereMichel Mandix (2017) Derfor er der behov for en række værktøjer, som kan bruges også til de vilkårlige trekanter. a b c A B C
Mihel Mndix (07) Sinusreltionen Nott Side f 9 Sinusreltionen Indtil videre, er der kun eskrevet, hvordn mn eregner på retvinklede treknter. Men desværre er det lngtfr lle treknter, som er retvinklede.
Læs mereFormelsamling Matematik C Indhold
Formelsmling Mtemtik C Indhold Eksempler på esvrelser, lin, eksp, pot, geo... Tl, regneopertioner og ligninger... 6 Ligninger... 7 Geometri... 9 Funktioner og modeller... Lineær funktion... Procentregning...
Læs mereSkriftlig Eksamen Algoritmer og Datastrukturer (DM507)
Skriftlig Eksmen Algoritmer og Dtstrukturer (DM507) Institut for Mtemtik og Dtlogi Synsk Universitet, Oense Torsg en 26. juni 2008, kl. 9 3 Alle sævnlige hjælpemiler (lærebøger, notter, osv.) smt brug
Læs mereBENZOESYRE KAN ERSTATTE KOBBER I FODER TIL SMÅGRISE
BENZOESYRE KAN ERSTATTE KOBBER I FODER TIL SMÅGRISE MEDDELELSE NR. 057 Med % benzoesyre i foder til smågrise er det muligt t nedbringe niveuet f kobber i foderet mrknt og smtidig bevre smme produktivitet
Læs merePotenssammenhÄnge. 2009 Karsten Juul
PotenssmmenhÄnge y b y k k 009 Krsten Juul Dette häfte er en fortsättelse f häftet "Eksponentielle smmenhänge, 009". Indhold 4. Hvd er en potens-smmenhäng?... 83 5. Hvordn ser grfen ud for en potens-smmenhäng...
Læs mereEksamensopgaver og spektroskopi
Annette Nyv Eksmensopgver og spektroskopi 1 H NMR og IR Typisk 1 2 spørgsmål i spektroskopi i et sæt Annette Nyv 1 H NMR spørgsmål Bestem struktur. Argumenter u fr integrlkurve, kemiske skift og kli kolingsmønstre
Læs mereVærdier og værdibaseret ledelse resultat af undersøgelse
Værier og væriseret leelse resultt f unersøgelse Af: Susnne Teglkmp, Direktør i Teglkmp & Co. I jnur og ferur måne 6 gennemførte Teglkmp & Co. en internetseret unersøgelse f Værier. Der inkom i lt 2 esvrelser.
Læs mere