Nedbrydningskemi af RuLL (NCS)2-komplekser i farvestofsolcellen

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Nedbrydningskemi af RuLL (NCS)2-komplekser i farvestofsolcellen"

Transkript

1 n VEDVAEDE EEGI edbrydningskemi ull (CS)komplekser i frvestofsolcellen Efter års forskning udvikling hr forbedret forseglingsteknoli nye elektrolytblndinger øget levetiden frvestofsolcellen væsentligt LCMSundersøgelser på UC hr kortlgt rutheniumfrvestoffernes nedbrydningskemi holdbrhed Af Torben Lund, Institut for tur, Systemer Modeller, oskilde Universitet Frvestoffets cyklus viser en cyklus frvestoffet S i en solcelle som D belyses Den frvestofsensibiliserede solcelle er en spændende reltiv ny type solcelle [], hvis opbygning virkemåde hr været omtlt i tidligere indlæg i Dnsk Kemi [] Frvestofsolcellen udmærker sig ved t være billig t fremstille ift trditionelle siliciumsolceller, de er særdeles velegnede til bygningsintegrtion, feks i form flerfrvede hlvtrnsprnte glsfcder, der kn levere strøm, lys/vrmereduktion forskønnelse bygningen Efter års intensiv forskning udvikling er kommerciliseringen frvestofsolcellen ved t tge frt Den positive udvikling skyldes bl forbedrede forseglingsteknolier elektrolytblndinger, som hr øget levetiden frvestofsolcellen væsentligt Solcellcyklus frvestoffet S under belysning en er tgetfr [] For år siden vr der imidlertid en del problemer med Solcellcyklus frvestoffet S under belysning en er tget fr [] cellernes holdbrhed Spørgsmålet vr dengng, om problemerd ne skyldtes fundmentle årsger såsom mnglende stbilitet S eksciteres en foton til S*, som herefter lynhurtigt overfører de nvendte frvestoffer eller mere bnle tekniske problesin eksciterede elektron til ledningsevnebåndet i TiOhlvledemer forårsget utilstrækkelig forsegling med her følgende ren Den oxiderede form frvestoffet S reduceres tilbge til ull (CS) lækger elektrolyt Frvestoffet eller sensibilistoren S er en S redformen i solcellens redoxpr, feks I eller et Co frvestofsolcellens vigtigste komponenter Solcellens levetid kompleks Antllet solcellecykler, som S kn foretge kldes kn mks være lig med frvestoffets levetid, som er direkte re, som kn beregnes ligning [,]: lteret til frvestoffets nedbrydningskemi kinetik på overfll den fotonodens hlvledermterile TiO I fik UC / k/kinj k/kreg (B u) instlleret sit første LCMS ion trp mssespektrometer, hvilket tidsmæssigt fldt smmen med en opfordring fr Teknolisk For t kunne forudsige er det essentielt t kortlægge L sidere u Institut om t indgå i et smrbejde omkring udforskningen ktionerne S*,S deres hstigheder Det er forholdsvis CS den nye frvestofsolcelleteknoli Det vr derfor t simpelt t beregne, tu hvert Smolekyle skl kunne gennemløbe () oplgt n / CS CS kn hve en levetid på benytte LCMSinstrumentet til t undersøge frvestofstbilitet, cykler for t frvestoffet år CS normle (dnske) lysforhold [] hvilket skulle vise sig t være en gnske god ide I det følgende k : CH (CH ) C (Bunder u) ~ k /ken ; kklsse >> k sensibilistorer er rutheniumfrvestof () populær præsenteres nle udvlgte resultter solcellefrvestofned k k brydningsundersøgelserne på UC ferne med den generelle struktur cisull (CS), feks, Z dnsk kemi,, nr, prticle ktio reg[i ]/k yers ()

2 /k /k VEDVAEDE EEGI n Z (figur ) C (figur ) som følge deres høje ef Solcellcyklus frvestoffet S under belysning en er tget fr [] fektivitet [] De bedste frvestofsolceller fremstillet disse rutheniumfrvestoffer hr lys til en elektricitetsomdnnelseseffektivitet på %, hvilket er smme størrelse som morfe ull (CS) siliciumsolceller [] u (B u) CS L CS CS Z D E E CS : CH(CH)CH E u E (B u) L Hstigheden tilbgeelektronoverførslen blev målt med fotoinduceret bsorptionsspektroskopi (IA) med smme er eksperimentelle betingelser som nvendt ved fotolyseeksperimenterne viser et typisk LCMSkromtrm frvestofekstrktet fr et fotolyseeksperiment edbrydningsprodukterne er vist i figur E E ull (SC) E E E E Stbilitet ved belysning Time(min) å figur er der ngivet tbsrektionsveje fr både S* S Time (min) TiO prticle Imidlertid er injektionshstigheden kinj fr S* til ledningseve LC MS kromtrm frvestofekstrkt efter fotolyse ( nm) h e LCMSkromtrm frvestofekstrkt efter LC MS kromtrm frvestofekstrkt efterfotolyse fotolyse ( nm) ~ nebåndet istio så hurtig (~ s ), t potentielle sidereks* kolloid opløsning nnokrystllinske TiO prtikler i cetonit (λ nm) ~ mg enindfrvede kolloid opløsning indfrvetioner feks mellem * iodid (k~ s []) ikke er kolloid opløsning indfrvede nnokrystllinske TiO prtikler i cetonitril med de nnokrystllinske TiO prtikler im) cetonitril med tilsætning tertbutylpyridin ( Anvendt mw/ cm smlet do hurtigeknok tilkt inj konkurrere med injektionsprocessen tertbutylpyridin ( M) mw/cm tertbutylpyridin (Anvendt M) Anvendt mw/ cm smlet dosis bso Den bestemmende fktor for frvestoflevetiden er derfor kon fotoner mol [] smlet dosisfotoner bsorberede mol [] fotoner mol [] k nedbrydningen S, k, regenereringshkurrencen mellem Solcellcyklus frvestoffet S under belysning en er tget fr [] e S En tilordning toppene i figur er givet i figur stigheden kreg rektionen S ed S Ox Cyklisk voltmmetri i en homen opløsning viser Skemtisk billede fotolysesystem nedbrydningsprodukter [] kun delvis reversibilitet ved høje scnhstigheder ( V/s) Det ull (CS) betyder, t levetiden i homen opløsning er i msek området svrende til en nedbrydningshstighed k ~ s (B u) u C(CH ) Y(B u) L Indsættes denne værdi i ligning smmen med kreg s C(CH ) (B u) u TB Y Y (B u) TB etention/min med iodid [] kn for beregnes til (B u) Y CS etention/min CS frvestofsolcellens holdbrhed ville dermed være helt utilstræk L CS CS SC CS u kelig Dette er i klr modsætningutil resultter lngtidsbelys SC CS CS CH C CS CS CS CH C CS C ningstest bserede frvestofsolceller edbrydningscs CS CS C CS TB hstigheden k blev i stedet bestemt ud fr et simpelt : CH(CH)CH (B u), CS TB O CS H modeleksperiment, hvor en kolloid opløsning indfr CS H O C Z C C C vede TiOprtikler i cetonitril uden tilsætning iodid blev belyst med grønt lserlys ( nm) med kendt Molekylstrukturer retentionstider fotolysenedbryd Molekylstrukturer retentionstider fotolysenedbrydningsproduktern ningsprodukterne [] [] Modelsystemet er bildet i figur Molekylstrukturer retentionstider fotolysenedbrydningsprodukterne Vores foreslåede meknisme for fotolysenedbrydningen ull (CS)frvestoffer er vist i figur [,] Alle produks S* terne dnnes vi det fælles intermedit uiil (CS)(CS) ved en indledende elektronoverførsel fr en thiocynlignd kinj k III til u centeret CS rdiklet er løst bundet til ruthenium k kn let substitueres nukleofiler i elektrolytblndingen, e S feks vnd, cetonitril eller tertbutylpyridin (TB) [] Intermeditet kn endvidere omdnnes til oxidtionsproduktet Skemtisk billede fotolysesystem nedbrydningsprodukter [] Skemtisk billede fotolysesystem nedbrydningsproul (CS)(C) ved eliminering svovl Dnnelse disse dukter D [] produkter ses så ved direkte oxidtion i en electrolyd Den totle mængde nedbrydningsprodukter S Σn, dnnet unsecelle [] der belysningen de frvede TiOprtikler, blev kvntittivt bestemt med LCUV/VisMS Det smlede kvnteudbytte for lle nedbrydningsprodukterne, Φ, beregnes ligning, hvor er ntl bsorberede Klibrering service lle fbrikter pipetter fotoner Kvnteudbyttet hænger konkurrencen mellem / nedbrydningsrektionen / kk/k /kinj kk/k /kreg /kinj k/k reg S tilbgeelektronoverførslen Vi klibrerer både ved indsendelse / kk/k / inj reg inj k/k reg eller på kundens dresse fr TiOledningsevnebåndet til S, det kn relteres til disse rektioner vi (): Slg pipetter lbortorie vrer h t TiO prticle ipettecenteret ;; reg[i ]/k reg[i ]/k n n // k k >> kk /k ;; >> kk ~~ kk /k kk kk () () () () ipettecenteret Skovknten æstved Tlf Mobil () Emil () wwwpipettecenteretdk >> kk () () >> kk dnsk kemi,, nr, yers yers [I() () ]/k yers yers kkreg[i reg ]/k () ()

3 k * s uiiil(cs) ET n VEDVAEDE EEGI HO uiil(cs)(cs ) uiil(cs)(ho) CS TB CHC uiil(cs)(chc) CS uiil(cs)(tb) CS uiil(cs)(c) "S" edbrydningsmeknisme TiO ul(cs) Bindin edbrydningsmeknisme TiO ul(cs) Bindingerne mellem ruthenium overflden er ikke gerne mellem rutheniumkomplekserne TiO vist i figuren komplekserne TiO overflden er ikke vist i figuren En værdi for hstigheden nedbrydningen, k s, kunne bestemmes ved t kombinere kvnteudbyttet Φ med den tilhørende tilbgeelektronoverførselshstighed k [] Levetiden i en solcelle på et dnsk tg kn beregnes () ved t indsætte værdien for k kreg[i] s, som er nvendt i en lignende beregning Grätzel [,] CS CHOCHCHC CS CH(CH)CH u SC CCHCHOCH CHOCHCHC CS u CS CS CCHCHOCH CSDye CH(CH)CH u God holdbrhed Vores resultter viser, t holdbrheden ull (CS)frvestoffer i solcellen under belysning er fremrgende Frvestoflevetider bseret på modeleksperimenter kn selvfølgelig kun give et estimt, om et givet frvestof hr lngtidsholdbrhedspotentile For en fuldstændig evluering kræves lngtidsbelysningsforsøg intkte frvestofsolceller Solcellefirmet Dyesol hr udført lngtidsholdbrhedsforsøg solceller fremstillet med Z en ionvæskeelektrolyt fundet t solcellernes effektivitet kun blev reduceret med % efter timers kontinuert lyseksponering med W/m ( sol) svrende til en levetid på år under udendørsforhold [] Dyesols en stribe tilsvrende lngtidsundersøgelser understøtter konklusionen om, t ull (CS)frvestofferne er stbile under belysning ved temperturer under C [,] Termisk stbilitet ull (CS) For t en solcelle skl kunne sælges, bør den opfylde interntionle kvlitetskrv bekrevet i IEV [], som bl foreskriver, t en solcelle skl kunne opvrmes til C i mørke i timer herefter kun hve tbt mindre en % i effektivitet Ti år gmle forsøg Sommeling et l viser [], t effektiviteten flder til lidt over hlvdelen efter blot c timers opvrmning til C Sommelings solceller vr fremstillet med en orgnisk opløsningsmiddelbseret elektrolytblnding bestående redoxprret I / I, et nitrenholdigt dditiv som feks tertbutylpyridin (TB) Li ioner opløst i methoxypropionitril (M), solcellerne bestod således ikke den termiske holdbrhedstest For t kunne designe termisk stbile frvestofsolceller på en rtionel måde, er det vigtigt t forstå de underliggende termiske nedbrydningsmeknismer Vores undersøgelser viser, t ull (CS)frvestoffer nedbrydes lngsomt ved forhøjede temperturer (t > C) på overflden TiOnnoprtikler, CCHCHOCH () Det er bemærkelsesværdigt, t nedbrydningen bundet til TiOoverflden (TiO ) er c gnge lngsom nedbrydningen Termisk nedbrydningsmeknisme i nitrilbserede komplekser mere end fori ull (CS) en homen opløsning (feks methoxypropionitril) nitren dditivet tertbutylpyridin Denneopløsningsmidler overfldestbilisering er helt gørende for lngtidsstbiliteten frvestofsolceller fremstillet med ull (CS)frvestoffer For Z er levetiden c gnge højere end CS Z u kreg[i]/k yers Z CCHCHOCH CS Dye CS u CS uiil(cs)(tb) CS SC Termisk nedbrydningsmeknisme for ull (CS)komplekser i nitrilbserede opløsningsmidler (feks methoxypro nedbrydningsmeknisme for ull (CS) komplekser i nitrilb pionitril) Termisk tertbutylpyridin opløsningsmidler (feks methoxypropionitril) nitren dditivet tertbutylp viser en HLCnlyse et frvestofekstrkt en friskfremstillet frvestofsolcelle fr en celle, der er blevet opvrmet til C i timer Begge solcellers elektrolytter indeholdt methoxypropionitril (M) tertbutylpyrdin (TB) Dnnelse det solventsubstituerede produkt ul (CS)(M) () tertbutylpyridinsubstitutions ses klrt i kromtrmmet produktet ul (CS)(TB) () efter opvrmning ) u TB CHC uiil(cs)(ho) CS det kn forklre en væsentlig Sommelings tidligere uiildel (CS)(C) "S" observerede reduktion i solcelleeffektiviteten som følge opvrmning til t > C edbrydningen foregår vi reversible ligndudvekslingsrektioner thiocynt med solventmole kyler nitrendditivmolekyler som i figur [] edbrydningsmeknisme TiOvist ul (CS) Bindingerne mellem ruth edbrydningen foregår i øvrigt væsentligt hurtigere, når elekkomplekserne TiO overflden er ikke vist i figuren trolytten indeholder Li [] ) etention time (min) etention time (min) b) ET k * s HO uiil(cs)(chc) CS b) uiiil(cs) uiil(cs)(cs ) etention time (min) etention time (min) ) LCUV/Viskromtrm kromtrm en ekstrktionsblnding en ) LCUV/Vis en ekstrktionsblnding en frisk frem friskfremstillet solcelle med indst elektrospry mssespektrum (CS)(M) () b) E indst elektro spry mssespectrum (ESIMS) ul (ESIMS) ul(cs)(m) (), som viser ruthenium isotop mønstret omkring (M ) et frgmentmønster ved spektrumet ) LCUV/Vis kromtrm en en frisk frem en frvestofsolcelle t i mørke i timer vedekstrktionsblnding ºC ESIMS ul ( MM) (CS)(M) () b) E elektro spry (ESIMS) i ul er indst på figuren b) Efter indst opvrmning en mssespectrum frvestofsolcelle t i mørke timer (CS)(TB) () er indstspektrumet ul ved ºC ESIMSspektrummet ul en frvestofsolcelle t i mørke i timer ved ºC ESIMS på figuren (M) er molekylvægten er indst på figuren dnsk kemi,, nr,

4 Conc VEDVAEDE EEGI n Med kendskb til meknismen er det ved benyttelse Le Chteliers princip oplgt t foreslå ddition et thiocyntslt til elektrolytten for t modvirke nedbrydningen ul (CS)frvestoffet Denne ide er testet i forsøget vist i figur, der viser koncentrtionsprofilerne Z frvestoffet ved C med uden tilsætning, M gunidin thiocynt (GuSC) til elektrolytblndingen Som forventet ses i figur b en ligevægtssitution, som indstiller sig efter c timer Z ull (CS)(TB) ) Koncentrtionsprofiler Zsåideen opløsning både ved belysning ved høje temperturer ( C), kn klre år på tget den interntionle vrmestresstest ved C b) Ligesom i ) men nu med tilsætning thiocynt [,,] Frvestofundersøgelserne på UC hr været med til t give en meknistisk forklring på vigtigheden thiocynttilsætningen til elektrolytten i solceller bseret på ull (CS) frvestoffer ull (CS)(M) Conc/ M b Conc/M Glove Box C % ) Koncentrtionsprofiler Z i en opløsning TB me thoxypropionitril ved) C Koncentrtionsprofiler Z i en opløsning TB methoxypropionitrile b) Ligesom i ) men nu med tilsætning thiocyntslt GuCS ( mm) ved[] C b) Ligesom i ) men nu med tilsætning thiocynt slt GuCS ( mm) [] dnsk kemi,, nr, time/hours Koncentrtionsprofiler (%) (%) C funktion Koncentrtionsprofiler som C som funktion opvrmnig opvrmningstiden ved C C ull (CS) ull (CS)(BB) ull (CS)(M) C ull (CS) ull (CS)(BB) ull (CS)(M Tk til: Kolleger i Grøn Energi gruppe på UC: oul Erik Hnsen, Thoms uhlnd, JensSpnget Lrsen, Jcob Krke, phdstuderende huong Tuyet guyen, Hong T guyen, Frhnz our Mohhmdi ikke Degn smt til STVF, DAIDA UC for finnsiel støtte Emil Torben Lund: t esultter for tilsætning thiocynt I et smrbejdssprojekt med M Grätzel hns Lusnnegruppe hr vi undersøgt den termiske stbilitet rutheniumfrvestoffet C (figur ) i en robust elektrolytblnding bseret på en elektrolyt med ionvæsken dimethylimidzoliumiodid (, M) i M med tilsætning, M GuSC, M butylbenzimidzol (BB) [,] Stbilitetsforsøgene er udført som modeleksperimenter, hvor kolloide blndinger Cindfrvede TiOprtikler blev opvrmet til C i lukkede mpuller fremstillet i hndskeboks, så vnddmpe mm kn undgås Det ses (figur ), t C henflder til c % strtkoncentrtionen efter c timers opvrmning, hvorefter koncentrtionen er uændret De c % substitutionsprodukt ull (CS)(BB) kn så fungere som en sensibilistor med c % strt C rutheniumforbindelsens effektivitet [] Det betyder, t en solcelle med den ovennævnte termiske ligevægtsblnding forventes t hve en effektivitet på %, såfremt tb strt frvestof er den eneste termiske nedbrydningsmeknisme Tilsætning thiocynt til elektrolytblndingen er ltså essentielt for t opnå høj termisk holdbrhed ull (CS) frvestofferne Anvendes endvidere elektrolytter bseret på % ionvæsker, der ikke hr net dmptryk, undgås fordmpning fr cellen gennem de polymerforseglinger, som de fleste lbortorier firmer nvender i dg (De rene ionvæskeelektrolytter hr d højere viskositet end de opløsningsbserede, hvilket giver en lidt lvere effektivitet solcellen) Frvestofsolceller fremstillet med ull(cs)komplekser kn således med nvendelse rigtigt designede elektrolytblndinger forseglingsteknoli opnå meget lnge holdbrheder wwwretschdk Sknlb webad trnspindd :

5 n VEDVAEDE EEGI eferencer A Hgfeldt, G Boschloo, LC Sun, L Kloo, H ettersson, DyeSensitized Solr Cells, Chemicl eviews, M Grätzel, The dvent of mesoscopic injection solr cells, rress in hotovoltics: eserch nd Applictions, () T Lund, En ny solcelletype, Dnsk Kemi,, nr B Seger, S Teuber Henriksen, ye nvendelser solenergi, Dnsk Kemi,, nr T Lund, Frvestofsensibiliserede solceller frvestofstbilitet, Dnsk Kemi,, nr M Grätzel, hotovoltic performnce nd longterm stbility of dyesensitized meosocopic solr cells, Comptes endus Chimie, () A Hgfeldt, M Grtzel, Moleculr photovoltics, Accounts of Chemicl eserch, () MK zeeruddin, A Ky, I odicio, Humphrybker, E Muller, Lisk, Vlchopoulos, M Grtzel, Conversion of light to electricity by cisbis(, bipyridyl, dicrboxylte)ruthenium(ii) chrgetrnsfer sensitizers ( Cl, Br, I, C, nd SC) on nnocrystlline titnium dioxide electrodes, Journl of the Americn Chemicl Society, Wng, SM Zkeeruddin, JE Moser, HumphryBker, Comte, V Arnyos, A Hgfeldt, MK zeeruddin, M Grtzel, Stble new sensitizer with improved light hrvesting for nnocrystlline dyesensitized solr cells, Advnced Mterils, () F Go, Y Wng, D Shi, J Zhng, MK Wng, Y Jing, HumphryBker, Wng, SM Zkeeruddin, M Grtzel, Enhnce the opticl bsorptivity of nnocrystlline TiO film with high molr extinction coefficient ruthenium sensitizers for high performnce dyesensitized solr cells, Journl of the Americn Chemicl Society, () TM zykov, CS Ferekides, D Morel, E Stefnkos, HS Ulll, HM Updhyy, Solr photovoltic electricity: Current sttus nd future prospects, Solr Energy, () M Buer T Lund, upubliserede resultter F ourmohhmdi, SD guyen, G Boschloo, A Hgfeldt, T Lund, Determintion of the lightinduced degrdtion rte of the solr cell sensitizer on TiO nnocrystlline prticles, Journl of hysicl Chemistry D B, () F ourmohmmdi, HT guyen, G Boschloo, T Lund, An investigtion of the photosubstitution rection between dyed nnocrystlline TiO prticles nd tertbutylpyridine, Journl of hotochemistry nd hotobioly Chemistry, () G Hnsen, B Gervng, T Lund, roducts of the electrochemicl oxidtion of cislu(ii)(cs) in dimethylformmide nd cetonitrile determined by LCUV/VisMS, Inorg Chem, () yt om Tomterne går til ngreb Hrikisun, H Desilvestro, Longterm stbility of dye solr cells, Solr Energy, () Kto, K Higuchi, H Tnk, J kjim, T Sno, T Toyod, Improvement in longterm stbility of dyesensitized solr cell for outdoor use, Solr Energy Mterils nd Solr Cells, () IEC, Thinfilm terrestril photovoltiv (V) modules Design qulifiction nd type pprovl, Interntionl Stndrd, M Sommeling, M Spth, HJ Smit, J Bkker, JM Kroon, Longterm stbility testing of dyesensitized solr cells, Journl of hotochemistry nd hotobioly Chemistry, () HT guyen, HM T, T Lund, Therml thiocynte lignd substitution kinetics of the solr cell dye by cetonitrile, methoxypropionitrile, nd tertbutylpyridine, Solr Energy Mterils nd Solr Cells, () T guyen, Degn, HT guyen, T Lund, Thiocynte lignd substitution kinetics of the solr cell dye Z by methoxypropionitrile nd tertbutylpyridine t elevted tempertures, Solr Energy Mterils nd Solr Cells, () T guyen, A Andersen, EM Skou, T Lund, Dye stbility nd performnces of dyesensitized solr cells with different nitren dditives t elevted temperturescn stericlly hindered pyridines prevent dye degrdtion?, Solr Energy Mterils nd Solr Cells, T guyen, TL Binh, A Andersen, E Hnsen, T Lund, hotovoltic erformnce nd Chrcteristics of DyeSensitized Solr Cells repred with the Therml Degrdtion roducts u(lh)(cs)(tertbutylpyridine) (Bu) nd u(lh)(cs)(methylbenzimidzole) (Bu), Europen Journl of Inorgnic Chemistry, (), T guyen, E Hnsen, T Lund, The effect of tertbutylpyridine nd Li on the therml degrdtion of TiO bound ruthenium dye, Solr Energy, T Lund, T guyen, H M Trn, echy, S M Zkeeruddin, M Grätzel Therml stbility of the C dye in robust electrolytes, mnuskript under udrbejdelse Kto, K Higuchi, H Tnk, J kjim, T Sno, T Toyod, Improvement in longterm stbility of dyesensitized solr cell for outdoor use, Solr Energy Mterils nd Solr Cells, () A Hinsch, W Veurmn, H Brndt, L Aguirre, K Bileck, F Jensen, Worldwide first fully upscled fbriction of cm dye solr module prototypes, r hotovolt: es Appl ; : Tomtvlerne hr været ekstremt effektive til H t forbedre kvlitet kvntitet de vlede tomter Mn hr imidlertid været mindre effektive til t forøge resistensen overfor skdedyr Vilde tomter er lngt mere resistente overfor skdedyrene, som foruden de direkte skder, de forvolder, EIZIGIBEE kn bringe stor skde ved t sprede virussygdomme, der kn ødelægge hele produktionen De vilde tomter beskytter sig ved produktion terpener, bl epizingiberen Det er nu lykkedes i dyrkede tomter t indføre det gen, som står for syntesen epizingiberen i vilde tomter Crl Th Improved herbivore resistnce in cultivted tomto with sesquiterpene biosynthetic pthwy from wild reltive roceedings of the tionl Acdemy of Sciences of the United Sttes of Americ,, side dnsk kemi,, nr,

Lektion 6 Bogstavregning

Lektion 6 Bogstavregning Mtemtik på Åbent VUC Lektion 6 Bogstvregning Formler... Udtryk... Ligninger... Ligninger som løsningsmetode i regneopgver... Simultion... Opsmlingsopgver... Lvet f Niels Jørgen Andresen, VUC Århus. Redigeret

Læs mere

... ... ... ... ... ... ... b > 0 og x > 0, vil vi kalde en potensfunktion. 492 10. Potensfunktioner

... ... ... ... ... ... ... b > 0 og x > 0, vil vi kalde en potensfunktion. 492 10. Potensfunktioner POTENSFUNKTIONER 0 49 0. Potensfunktioner POTENSFUNKTIONER DEFINITION En funktion med forskriften f( )= b hvor b > 0 og > 0 vil vi klde en potensfunktion. I MAT C kpitel så vi t hvis skl være et vilkårligt

Læs mere

Plantehoteller 1 Resultater og konklusioner

Plantehoteller 1 Resultater og konklusioner Plntehoteller 1 Resultter og konklusioner Hvid mrguerit 1. Umiddelrt efter kølelgring i op til 14 dge vr den ydre kvlitet ikke redueret 2. Mistede holdrhed llerede efter 7 dges kølelgring ved 4ºC og lv

Læs mere

Potens- sammenhænge. inkl. proportionale og omvendt proportionale variable. 2010 Karsten Juul

Potens- sammenhænge. inkl. proportionale og omvendt proportionale variable. 2010 Karsten Juul Potens- smmenhænge inkl. proportionle og omvendt proportionle vrible 010 Krsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse f hæftet "Eksponentielle smmenhænge, udgve ". Indhold 1. Hvd er en potenssmmenhæng?...1.

Læs mere

1. Honningpriser. Skemaet viser vregt og priser pi dansk og udenlandsk honning. Dansk honning

1. Honningpriser. Skemaet viser vregt og priser pi dansk og udenlandsk honning. Dansk honning , i 1. Honningpriser Skemet viser vregt og priser pi dnsk og udenlndsk honning. o Hvor stor er prisen i lt for 2 brgre lynghonning og 3 bregre okologisk honning. o Hvor stor er forskellen i pris pi den

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C POTENS-SAMMENHÆNG

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C POTENS-SAMMENHÆNG ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C POTENS-SAMMENHÆNG INDHOLDSFORTEGNELSE 1 Formelsmling... side 2 Uddbning f visse formler... side 3 2 Grundlæggende færdigheder... side 5 2 Finde konstnterne og b i en formel...

Læs mere

Regneregler for brøker og potenser

Regneregler for brøker og potenser Regneregler for røker og potenser Roert Josen 4. ugust 009 Indhold Brøker. Eksempler......................................... Potenser 7. Eksempler......................................... 8 I de to fsnit

Læs mere

Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk. Erik Vestergaard, 2009.

Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk. Erik Vestergaard, 2009. Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk Erik Vestergrd, 009. Billeder: Forside: Collge f billeder: istock.com/titoslck istock.com/yuri Desuden egne fotos og illustrtioner Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk

Læs mere

Lektion 7s Funktioner - supplerende eksempler

Lektion 7s Funktioner - supplerende eksempler Lektion 7s Funktioner - supplerende eksempler Oversigt over forskellige tper f funktioner Omvendt proportionlitet og hperler.grdsfunktioner og prler Eksponentilfunktioner Potensfunktioner Lektion 7s Side

Læs mere

Alternative metoder til køling af løg

Alternative metoder til køling af løg inspire demoprojekt Alterntive metoder til køling f løg Af Merete Edelenbos, Arhus Universitet Anne Drre-Østergrd og Bstin Junker, AgroTech November 2013 1 Energiforbruget ved lngtidslgring f løg er højt,

Læs mere

Kort om Potenssammenhænge

Kort om Potenssammenhænge Øvelser til hæftet Kort om Potenssmmenhænge 2011 Krsten Juul Dette hæfte indeholder bl.. mnge småspørgsmål der gør det nemmere for elever t rbejde effektivt på t få kendskb til emnet. Indhold 1. Ligning

Læs mere

Eksponentielle Sammenhænge

Eksponentielle Sammenhænge Kort om Eksponentielle Smmenhænge 011 Krsten Juul Dette hæfte indeholder pensum i eksponentielle smmenhænge for gymnsiet og hf. Indhold 1. Procenter på en ny måde... 1. Hvd er en eksponentiel smmenhæng?....

Læs mere

Den grønne kontakt til dine kunder. Kontakt med omtanke for miljø og økonomi

Den grønne kontakt til dine kunder. Kontakt med omtanke for miljø og økonomi Den grønne kontkt til dine kunder Kontkt med omtnke for miljø og økonomi 2 En fbryder der slukker lt, og en stikkontkt der reducerer stndby forbruget Energy Efficiency Energieffektivitet hndler ikke kun

Læs mere

Eksamensopgave august 2009

Eksamensopgave august 2009 Ib Michelsen, Viborg C / Skive C Side 1 09-04-011 1 Eksmensopgve ugust 009 Opgve 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 13 14 15 16 17 18 19 0 1 Givet ovenstående ensvinklede treknter. D treknterne er ensvinklede, er

Læs mere

114 Matematiske Horisonter

114 Matematiske Horisonter 114 Mtemtiske Horisonter Mtemtik i medicinudvikling Af Ph.d-studerende Ann Helg Jónsdóttir, Ph.d-studerende Søren Klim, Ph.d-studerende Stig Mortensen og Professor Henrik Mdsen, DTU Informtik Hovedpinen

Læs mere

Dødelighed og kræftforekomst i Avanersuaq. Et registerstudie

Dødelighed og kræftforekomst i Avanersuaq. Et registerstudie Dødelighed og kræftforekomst i Avnersuq. Et registerstudie Peter Bjerregrd, Anni Brit Sternhgen Nielsen og Knud Juel Indledning Det hr været fremført f loklbefolkningen i Avnersuq og f Lndsstyret, t der

Læs mere

Trigonometri. Trigonometri. Sinus og cosinus... 2 Tangens... 6 Opgaver... 9. Side 1

Trigonometri. Trigonometri. Sinus og cosinus... 2 Tangens... 6 Opgaver... 9. Side 1 Trigonometri Sinus og osinus... 2 Tngens... 6 Opgver... 9 Side Sinus og osinus Til lle vinkler hører der to tl, som kldes osinus og sinus. Mn finder sinus og osinus til en vinkel ved t tegne vinklen midt

Læs mere

Krumningsradius & superellipsen

Krumningsradius & superellipsen Krumningsrdius & suerellisen Side /5 Steen Toft Jørgensen Krumningsrdius & suerellisen Formålet med dette mini-rojekt er t erhverve mtemtisk viden om krumningsrdius f en kurve og nvende denne viden å det

Læs mere

Den grønne kontakt til dine kunder Kontakt med omtanke for miljø og økonomi

Den grønne kontakt til dine kunder Kontakt med omtanke for miljø og økonomi Den grønne kontkt til dine kunder Kontkt med omtnke for miljø og økonomi Stort energi- og stndby forbrug? En fbryder der slukker lt, og en stikkontkt der reducerer stndby forbruget Sluk for det hele......

Læs mere

MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX)

MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX) Silkeborg 09-0-0 MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX) Udrbejdet f mtemtiklærere fr HF, HHX, HTX & STX. PS: Hvis du opdger fejl i

Læs mere

Analyse 30. januar 2015

Analyse 30. januar 2015 30. jnur 2015 Større dnsk indkomstulighed skyldes i høj grd stigende kpitlindkomster Af Kristin Thor Jkosen Udgivelsen f Thoms Pikettys Kpitlen i det 21. århundrede hr fstedkommet en del diskussion f de

Læs mere

Vitaminer, mineraler og foderværdi af græsmarksarter

Vitaminer, mineraler og foderværdi af græsmarksarter Vitminer, minerler og foderværdi f græsmrksrter Kren Søegrd, Søren K. Jensen og Jko Sehested Det Jordrugsvidenskelige Fkultet, Arhus Universitet Smmendrg Med det formål t undersøge mulighederne for selvforsyning

Læs mere

UGESEDDEL 52. . Dette gøres nedenfor: > a LC

UGESEDDEL 52. . Dette gøres nedenfor: > a LC UGESEDDE 52 Opgve 1 Denne opgve er et mtemtisk eksempel på Ricrdo s én-fktor model, der præsenteres i Krugmn & Obstfeld kpitel 2 side 12-19. Denne model beskriver hndel som et udslg f komprtive fordele

Læs mere

hvor A er de ydre kræfters arbejde på systemet og Q er varmen tilført fra omgivelserne til systemet.

hvor A er de ydre kræfters arbejde på systemet og Q er varmen tilført fra omgivelserne til systemet. !#" $ "&% (')"&*,+.-&/102%435"&6,+879$ *1')*&: or et system, hvor kun den termiske energi ændres, vil tilvæksten E term i den termiske energi være: E term A + Q hvor A er de ydre kræfters rbejde på systemet

Læs mere

TAL OG BOGSTAVREGNING

TAL OG BOGSTAVREGNING TAL OG BOGSTAVREGNING De elementære regnerter I mtemtik kn vi regne med tl, men vi kn også regne med bogstver, som gør det hele en smugle mere bstrkt. Først skl vi se lidt på de fire elementære regnerter,

Læs mere

Hvad ved du om mobning?

Hvad ved du om mobning? TEST: Hvd ved du om moning? I testen her kn du fprøve, hvor meget du ved om moning på rejdspldsen. Testen estår f tre dele: Selve testen, hvor du skl sætte ét kryds for hvert f de ti spørgsmål. Et hurtigt

Læs mere

K9-K10 projekter i strukturel mekanik

K9-K10 projekter i strukturel mekanik April 2006 K8 Studerende K9-K10 projekter i strukturel meknik K8-studerende med interesse i t lve K9 eller K10 projekter inden for områderne Strukturel dynmik og erodynmik f store konstruktioner Aeroelsticitet,

Læs mere

JAGTEN POST 4: BØRNENES MAGASIN I BADSTUEGADE

JAGTEN POST 4: BØRNENES MAGASIN I BADSTUEGADE HISTORIEJAGTEN Kære lærere Tusind tk, fordi I vil deltge i Historiejgten. Her følger en kort vejledning til, hvordn Historiejgten kn ruges. Denne PDF indeholder ud over introduktionen: - Et rk med spørgsmål

Læs mere

Lektion 6 Bogstavregning

Lektion 6 Bogstavregning Lektion Bogstvregning Formler... Reduktion... Ligninger... Lektion Side 1 Formler En formel er en slgs regne-opskrift, hvor mn med bogstver viser, hvorledes noget skl regnes ud. F.eks. formler til beregning

Læs mere

BIH FOREBYGGELSE AF REVNER. Notat. Vejledningen omfatter: Konstruktive forhold...side 3-6. Svind i letbeton og beton...side 7. Udtørring...

BIH FOREBYGGELSE AF REVNER. Notat. Vejledningen omfatter: Konstruktive forhold...side 3-6. Svind i letbeton og beton...side 7. Udtørring... Nott FOREBYGGELSE AF REVNER Vejledningen omftter: Konstruktive forhold...side 3-6 Svind i letbeton og beton...side 7 Udtørring...side 8-9 Fugtmåling...side 10 Mlerbehndling...side 11 Fliseopsætning...side

Læs mere

gudmandsen.net y = b x a Illustration 1: potensfunktioner i 5 forskellige grupper

gudmandsen.net y = b x a Illustration 1: potensfunktioner i 5 forskellige grupper gudmndsen.net Dette dokument er publiceret på http://www.gudmndsen.net/res/mt_vejl/. Ophvsret: Indholdet stilles til rådighed under Open Content License[http://opencontent.org/openpub/]. Kopiering, distribution

Læs mere

MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX)

MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX) Silkeorg -0- MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX) FACITLISTE Udrejdet f mtemtiklærere fr HF, HHX, HTX & STX. PS: Hvis du opdger

Læs mere

1 1 t 10 1. ( ) x 2 4. + k ================= sin( x) + 4 og har graf gennem (0,2), dvs F(0) = 2. + 4x + k

1 1 t 10 1. ( ) x 2 4. + k ================= sin( x) + 4 og har graf gennem (0,2), dvs F(0) = 2. + 4x + k 0x-MA (0.0.08) _ opg (3:07) Integrtion ved substitution ( x + 7) 9 t x + 7 > t 9 t 0 + k 0 0 ( x + 7)0 + k b) x x + 4 t x + 4 > 3 x t t t x 3 t x x + k 3 t t + k ( ) x 4 3 x + 4 + + k c) cos( x)

Læs mere

VVS-entreprisen Kapitel : 4.1 Bygningsdelsbeskrivelse - Kølevand Side : 1/6 Indholdsfortegnelse Dato : 10.10.2013 Rev. :

VVS-entreprisen Kapitel : 4.1 Bygningsdelsbeskrivelse - Kølevand Side : 1/6 Indholdsfortegnelse Dato : 10.10.2013 Rev. : Bygningsdelsbeskrivelse - Kølevnd Side : 1/6 Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse (55)1 Bygningsdelsbeskrivelse for kølevnd... 2 Omfng og loklisering... 2 Tegningshenvisning... 2 Tilstødende bygningsdele...

Læs mere

TAL OG REGNEREGLER. Vi ser nu på opbygningen af et legeme og noterer os samtidig, at de reelle tal velkendte regneoperationer + og er et legeme.

TAL OG REGNEREGLER. Vi ser nu på opbygningen af et legeme og noterer os samtidig, at de reelle tal velkendte regneoperationer + og er et legeme. TAL OG REGNEREGLER Inden for lgeren hr mn indført egreet legeme. Et legeme er en slgs konstruktion, hvor mn fstsætter to regneregler og nogle sætninger (ksiomer), der gælder for disse. Pointen med en sådn

Læs mere

En aktiv NY fluorformel i Danmark

En aktiv NY fluorformel i Danmark En ktiv NY fluorformel i Dnmrk Fordeler målrettet fluorid på tndoverflderne Giver øget fluoridkonentrtion i og omkring tnden Fremmer reminerlisering f egyndende riesngre Øger tændernes modstndskrft over

Læs mere

SANS FREMTIDEN I HEDEHUSENE

SANS FREMTIDEN I HEDEHUSENE SANS FREMTIDEN I HEDEHUSENE Snseredskber til byens psykiske og fysiske miljø f Softhook Design Projektets idé Kunstner og leder f Softhook Design, Christin Nold, er stolt over t kunne præsentere Sns Fremtiden

Læs mere

Pust og sug Design og konstruktion af et apparat til at måle udåndingsvolumen Biomedicinsk teknologi

Pust og sug Design og konstruktion af et apparat til at måle udåndingsvolumen Biomedicinsk teknologi Pust og sug Design og konstruktion f et pprt til t måle udåndingsvolumen Biomedicinsk teknologi Ingeniørens udfordring Elevæfte Menneskekroppen, Åndedrætssystemet 1 Pust og sug Ingeniørens udfordring At

Læs mere

DANSK ARBEJDER IDRÆTSFORBUND. Cross Boule

DANSK ARBEJDER IDRÆTSFORBUND. Cross Boule DANSK ARBEJDER IDRÆTSFORBUND Cross Boule 1 Forord Cross Boule når som helst og hvor som helst Dnsk Arejder Idrætsforund er glde for t kunne præsentere Cross Boule - et oldspil, hvor lle kn være med. Spillet

Læs mere

3. Vilkårlige trekanter

3. Vilkårlige trekanter 3. Vilkårlige treknter 3. Vilkårlige treknter I dette fsnit vil vi beskæftige os med treknter, der ikke nødvendigvis er retvinklede. De formler, der er omtlt i fsnittet om retvinklede treknter, kn ikke

Læs mere

Formelsamling Matematik C Indhold

Formelsamling Matematik C Indhold Formelsmling Mtemtik C Indhold Eksempler på besvrelser, lin, eksp, pot, geo... Tl, regneopertioner og ligninger... 6 Ligninger... 7 Geometri... 0 Funktioner og modeller... 3 Lineær funktion... 3 Procentregning...

Læs mere

Potens regression med TI-Nspire

Potens regression med TI-Nspire Potensvækst og modellering - Mt-B/A 2.b 2007-08 Potens regression med TI-Nspire Vi tger her udgngspunkt i et eksempel med tovværk, hvor mn får oplyst en tbel over smmenhængen mellem dimeteren (xdt) i millimeter

Læs mere

1. Andalusien - en provins i Spanien

1. Andalusien - en provins i Spanien 1. Andlusien - en prvins i Spnien Andres g hns fmilie skl pa ferie i Andlusien. I et rejsektlg finder de frskellige plysninger. Digrmmet viser fr hver maned, hvr mnge dge det regner mere end 1 mm i Mlg'

Læs mere

ALGEBRA. symbolbehandling). Der arbejdes med hjælpemiddelkompetencen,

ALGEBRA. symbolbehandling). Der arbejdes med hjælpemiddelkompetencen, INTRO Alger er lngt mere end ogstvregning. Alger kn være t omskrive ogstvtrk, men lger er f også t generlisere mønstre og smmenhænge, t eskrive smmenhænge mellem tlstørrelse f i forindelse med funktioner

Læs mere

AIRCONDITIONANLÆG Til almindelig brug

AIRCONDITIONANLÆG Til almindelig brug OWNER S MANUAL BRUGERVEJLEDNING AIRCONDITIONANLÆG Til lmindelig brug (SPLIT TYPE) DANSK DN Indendørs enhed RAS-07PKVP-E RAS-10PKVP-E RAS-13PKVP-E RAS-16PKVP-E RAS-18PKVP-E RAS-07PKVP-ND RAS-10PKVP-ND RAS-13PKVP-ND

Læs mere

Mere end blot lektiehjælp. Få topkarakter i din SRP. 12: Hovedafsnittene i din SRP (Redegørelse, analyse, diskussion)

Mere end blot lektiehjælp. Få topkarakter i din SRP. 12: Hovedafsnittene i din SRP (Redegørelse, analyse, diskussion) Mere end lot lektiehjælp Få topkrkter i din SRP 12: Hovedfsnittene i din SRP (Redegørelse, nlyse, diskussion) Hjælp til SRP-opgven Sidste år hjlp vi 3.600 gymnsieelever med en edre krkter i deres SRP-opgve.

Læs mere

Hvad ved du om mobning?

Hvad ved du om mobning? TEST: Hvd ved du om moning? I testen her kn du fprøve, hvor meget du ved om moning på rejdspldsen. Testen estår f tre dele: Selve testen, hvor du skl sætte ét kryds for hvert f de ti spørgsmål. Et hurtigt

Læs mere

Beplantningsplan for beplantningsbælterne beskrevet i lokalplan 149.

Beplantningsplan for beplantningsbælterne beskrevet i lokalplan 149. HEDENSTED KOMMUNE Plnfdelingen NIELS ESPES VEJ 8 8722 HEDENSTED TELEFON 7974 1111 POSTGIRO 501 5871 E-post: rdhus@hedensted.dk Internet: www.hedensted.dk Dto : 11. november 2004 Sgsbehndler : HK-BV KL-J.nr.

Læs mere

SoundSations! Sow[' 9arcft LtbrarY- 'M6k:::'t;q:v:,& l. l(rb af datamaskine. 2. llusikplogram. Pia overvejer at ksbe en datamaskine.

SoundSations! Sow[' 9arcft LtbrarY- 'M6k:::'t;q:v:,& l. l(rb af datamaskine. 2. llusikplogram. Pia overvejer at ksbe en datamaskine. l. l(rb f dtmskine Pi overvejer t ksbe en dtmskine. Hvor meget ville Pi komme til t betle for dtmskinen PC 386, nar der betles 295 kr. pr. maned i36 maneder? Hvor meget ville hun spre ved t kobe kontnt?

Læs mere

Installationsvejledning

Installationsvejledning Dikin Altherm lvtempertur monolok ekstrvrmer EKMBUHCAV EKMBUHCA9W Dikin Altherm lvtempertur monolok ekstrvrmer Dnsk Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse Om dokumenttionen. Om dette dokument... Om kssen.

Læs mere

Center for Kvalitet Region Syddanmark

Center for Kvalitet Region Syddanmark Version 4.0 Side 1 f 64 Forftter Udgivelsesdto 27-03-2014 Version Version 4.0 Historik Overlæge, dr.med. Ulrik Gerdes Version 1.0 fr14-06-2013: Dele f indholdet i dette nott fndtes i en version 7.0 f et

Læs mere

Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. Integrationsprincippet og Keplers tønderegel

Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. Integrationsprincippet og Keplers tønderegel Integrtionsprincippet og Keplers tønderegel. side Institut for Mtemtik, DTU: Gymnsieopgve Integrtionsprincippet og Keplers tønderegel Littertur: H. Elrønd Jensen, Mtemtisk nlyse, Institut for Mtemtik,

Læs mere

Tlf.: 96 17 02 02 info@artof.dk www.artof.dk

Tlf.: 96 17 02 02 info@artof.dk www.artof.dk Vielsesringe Designer og guldsmed Jn Jørgensen Siden 1995 hr Jn Jørgensen hft egen virksomhed, hvor nturen i det rske og åne Nordjyllnd hr givet inspirtion til det meste f designet. Smykker i de ædleste

Læs mere

Kortfattet vejledning Gallery 100

Kortfattet vejledning Gallery 100 Kortfttet vejlening Gllery 100 75517500 04.01 OFF ON Beskrivelse f ispenserens komponenter Venstre ør Låg til ingreienseholer Ingreienseholer Sikkerheskontkt Sipleholer Uløstu Grumseholer Kneholer (= rist

Læs mere

ANALYSEOPGAVE Feelgood Bakery

ANALYSEOPGAVE Feelgood Bakery ANALYSEOPGAVE Feelgood Bkery Kommuniktion: Helene, Loiuse, Pernille og Ndi Gruppe 14 Hvem er fsenderen? - Glutenfri bgerbrød - Christine og Louise Krogh Hvem er målgruppen? - Gluten llergikere og helsefreks

Læs mere

Tlf.: 96 17 02 02 info@artof.dk www.artof.dk

Tlf.: 96 17 02 02 info@artof.dk www.artof.dk Vielsesringe Designer og guldsmed Jn Jørgensen Det rå mod det løde, det vrme mod det kolde - og den smukke løende forndring når tingene lndes. Det er ofte mest tydeligt, der hvor hvet møder lndet - og

Læs mere

Brug af regneark til beregninger, statistik og grafisk afbildning. Excel 97

Brug af regneark til beregninger, statistik og grafisk afbildning. Excel 97 Brug f regnerk til eregninger, sttistik og grfisk filning Exel 97 pril 2003 * St Om vurering f tlmterile sie 1 I Definitioner BLOK En eller flere eller eller rækker eller kolonner MARKER BLOK Peg på øverste

Læs mere

BENZOESYRE KAN ERSTATTE KOBBER I FODER TIL SMÅGRISE

BENZOESYRE KAN ERSTATTE KOBBER I FODER TIL SMÅGRISE BENZOESYRE KAN ERSTATTE KOBBER I FODER TIL SMÅGRISE MEDDELELSE NR. 057 Med % benzoesyre i foder til smågrise er det muligt t nedbringe niveuet f kobber i foderet mrknt og smtidig bevre smme produktivitet

Læs mere

Èn samlet leasingløsning

Èn samlet leasingløsning Vi smler din håndtering f IT Vi hr kombineret vores kompetencer med hrdwre og softwre således, t du kun skl bruge et enkelt telefonnummer når du skl hve styr på din IT. For et fst beløb pr. måned kn du

Læs mere

Lamina. stærk, farverig facadeplade med format. Facader. Altanbrystninger. Trappegelænder. Brystninger. Væg- og dørbeklædning. Sandwichelementer 1:1

Lamina. stærk, farverig facadeplade med format. Facader. Altanbrystninger. Trappegelænder. Brystninger. Væg- og dørbeklædning. Sandwichelementer 1:1 Juni 2008 2.312 DK Lmin stærk, frverig fcdeplde med formt Fcder Altnbrystninger Trppegelænder Brystninger Væg- og dørbeklædning Sndwichelementer Lmin er en højtrykslmintplde. Specielt velegnet til områder

Læs mere

Matematik - introduktion. Martin Lauesen February 23, 2011

Matematik - introduktion. Martin Lauesen February 23, 2011 Mtemtik - introduktion Mrtin Luesen Februry 23, 2011 1 Contents 1 Aritmetik og elementær lgebr 3 1.1 Symboler............................... 3 1.1.1 ligheder............................ 4 1.1.2 uligheder...........................

Læs mere

- 81 - , x I. kmx. Sætningen bevises ikke her. Interesserede læsere henvises til bogen: Differentialligninger og matematiske

- 81 - , x I. kmx. Sætningen bevises ikke her. Interesserede læsere henvises til bogen: Differentialligninger og matematiske - 8 - Appendi : Logistisk vækst og integrlregning. I forbindelse med eksponentielle vækstfunktioner er der tle om en vækstform, hvor funktionens væksthstighed er proportionl med den ktuelle funktionsværdi,

Læs mere

Formelsamling Matematik C Indhold

Formelsamling Matematik C Indhold Formelsmling Mtemtik C Indhold Eksempler på esvrelser, lin, eksp, pot, geo... Tl, regneopertioner og ligninger... 6 Ligninger... 7 Geometri... 9 Funktioner og modeller... Lineær funktion... Procentregning...

Læs mere

Indholdsfortegnelse. Velkommen. Vigtige oplysninger vedrørende brugen af vejledningen. Ansvarsfraskrivelse. Ophavsret

Indholdsfortegnelse. Velkommen. Vigtige oplysninger vedrørende brugen af vejledningen. Ansvarsfraskrivelse. Ophavsret Brugsnvisning 00 Velkommen Tk, fordi du hr nskffet dig denne Mio. Læs denne brugervejledning omhyggeligt, inden du begynder t bruge Mio. Opbevr vejledningen på et sikkert sted og brug den som første reference.

Læs mere

Sang bog. Copyright: Simon Bordal Hansen

Sang bog. Copyright: Simon Bordal Hansen Sng bog opyright: Simon Bordl Hnsen Vinterfrver Møllebjerg trækker en dybbrun bue skråt og helt rent op mod sydhimlen hvor kulingen fr vest tegner vintergrå mønstre og krgerne driver sort og usikkert tæt

Læs mere

FORMELSAMLING. Indholdsfortegnelse

FORMELSAMLING. Indholdsfortegnelse FOMELSAMLNG ndholdsfortegnelse ndholdsfortegnelse... EL-LÆE...3 Ohm s lov:...3 Effekt lov:...3 egler ved måling:...3 egler ved serieforbindelser:...3 egler ved prllelforbindelser:...4 egler ved blndede

Læs mere

Z600 Series Color Jetprinter

Z600 Series Color Jetprinter Z600 Series Color Jetprinter Brugervejledning til Windows Fejlfinding f instlltionsprogrmmet En kontrolliste til rug ved løsning f lmindelige instlltionsprolemer. Printeroversigt Lær om printerdelene og

Læs mere

PotenssammenhÄnge. 2009 Karsten Juul

PotenssammenhÄnge. 2009 Karsten Juul PotenssmmenhÄnge y b y k k 009 Krsten Juul Dette häfte er en fortsättelse f häftet "Eksponentielle smmenhänge, 009". Indhold 4. Hvd er en potens-smmenhäng?... 83 5. Hvordn ser grfen ud for en potens-smmenhäng...

Læs mere

Indtcegter Medlemskontinqenter. Indtcegter i alt Udgifter 487.143. Udgifter i alt Resultat f0r hensaettelser 420.561 -45.220 -54.659-76.802 99.

Indtcegter Medlemskontinqenter. Indtcegter i alt Udgifter 487.143. Udgifter i alt Resultat f0r hensaettelser 420.561 -45.220 -54.659-76.802 99. Det Dnske Spejderkorps Regnskb: 212-1-1-212-12-31 Driftsregnskb Indtcegter Reliseret Budget Medlemskontinqenter 96.725 93. Tilskud fr Kommunen Lokletilskud Medlemstilskud *1 Kursustilskud *3 Andre tilskud

Læs mere

Diverse. Ib Michelsen

Diverse. Ib Michelsen Diverse Ib Michelsen Ikst 2008 Forsidebilledet http://www.smtid.dk/visen/billede.php?billedenr69 Version: 0.02 (2-1-2009) Diverse (Denne side er A-2 f 32 sider) Indholdsfortegnelse Regning med procent

Læs mere

1 Indledning 2. 2 Komfortkriterier 2. 3 Lastmodel 4. 4 Konstruktionsmodeller 5 4.1 Generaliseret system 5 4.2 Betonelementdæk 6

1 Indledning 2. 2 Komfortkriterier 2. 3 Lastmodel 4. 4 Konstruktionsmodeller 5 4.1 Generaliseret system 5 4.2 Betonelementdæk 6 Side f Betonelementforeningen Vibrtionskomfort i dækkonstruktioner Bernt Suikknen COWI A/S,. udgve. Oktober 00. Indledning Komfortkriterier Lstmodel Konstruktionsmodeller 5. Generliseret system 5. Betonelementdæk

Læs mere

Ftalater i produkter med store overflader. Kathe Tønning, Eva Jacobsen, Eva Pedersen og Nils H. Nilsson Teknologisk Institut

Ftalater i produkter med store overflader. Kathe Tønning, Eva Jacobsen, Eva Pedersen og Nils H. Nilsson Teknologisk Institut Ftlter i produkter med store overflder Kthe Tønning, Ev Jcosen, Ev Pedersen og Nils H. Nilsson Teknologisk Institut Kortlægning f kemiske stoffer i forrugerprodukter Nr. 108 2010 Miljøstyrelsen vil, når

Læs mere

Oversigt. geometri exempler. areal: 4 3 = 12 m 2 omkreds: 4+3+4+3 = 14 m. areal: 5 5 = 25 cm 2 omkreds: 5+5+5+5 = 20 cm. areal: 8 5 = 40 dm 2

Oversigt. geometri exempler. areal: 4 3 = 12 m 2 omkreds: 4+3+4+3 = 14 m. areal: 5 5 = 25 cm 2 omkreds: 5+5+5+5 = 20 cm. areal: 8 5 = 40 dm 2 geometri exempler 4 m 3 m rel: 4 3 = 12 m 2 omkreds: 4+3+4+3 = 14 m 5 m 5 m rel: 5 5 = 25 m 2 omkreds: 5+5+5+5 = 20 m 8 dm 5 dm rel: 8 5 = 40 dm 2 8 dm 5 mm 4 mm 1 2 rel: 4 (5+9) = 28 mm 2 9 mm 7 km rel:

Læs mere

ELEVER underviser elever En motiverende metode Drejebog med eksempler

ELEVER underviser elever En motiverende metode Drejebog med eksempler ELEVER underviser elever En motiverende metode Drejeog med eksempler Lyngy Tekniske Gymnsium Introduktion Lyngy Tekniske Gymnsium, HTX, hr i smrejde med Udviklingslortoriet for pædgogisk og didktisk prksis

Læs mere

Forskønnelsesplanen Det Nye Furesølund

Forskønnelsesplanen Det Nye Furesølund Forskønnelsesplnen Det Nye Furesølund Furesølund er trods sine mere end 40 år stdig et ttrktivt område. Men dmen er lidt slidt. Legepldserne flder smmen. Rækværket flmer, og grønne områder står gemt og

Læs mere

Fælles for disse typer af funktioner er, at de som grundfunktion indeholder varianter af udtrykket x a.

Fælles for disse typer af funktioner er, at de som grundfunktion indeholder varianter af udtrykket x a. 5. FORSKRIFT FOR EN POTENSFUNKTION Vi hr i vores gennemgng f de forskellige funktionstper llerede være inde på udtrk, som indeholder forskellige potenser f I dette kpitel skl vi se på forskellige tper

Læs mere

(a k cos kx + b k sin kx) k=1. cos θk = sin θ 1 ak. , b k. k=1

(a k cos kx + b k sin kx) k=1. cos θk = sin θ 1 ak. , b k. k=1 SEKTION 7 FOURIERANALYSE 7 Fouriernlyse Periodiske funktioner er vigtige i mnge smmenhænge, både videnskbeligt og teknisk Vi vil normlisere, så ntger, t perioden er π Disse funktioner er bedst nlyseret

Læs mere

Regneregler. 1. Simple regler for regning med tal.

Regneregler. 1. Simple regler for regning med tal. Regneregler. Simple regler for regning med tl. Vi rejder l.. med følgende fire regningsrter: plus (), minus ( ), gnge () og dividere (: eller røkstreg, se senere), eller med fremmedord : ddition, sutrktion,

Læs mere

Spil- og beslutningsteori

Spil- og beslutningsteori Spil- og eslutningsteori Peter Hrremoës Niels Brock 26. novemer 2 Beslutningsteori De økonomiske optimeringssitutioner, vi hr set på hidtil, hr været helt deterministiske. Det vil sige t vores gevinst

Læs mere

Elementær Matematik. Vektorer i planen

Elementær Matematik. Vektorer i planen Elementær Mtemtik Vektorer i plnen Køge Gymnsium 0 Ole Witt-Hnsen Indhold. Prllelforskydninger i plnen. Vektorer.... Sum og differens f to vektorer... 3. Multipliktion f vektor med et tl...3 4. Opløsning

Læs mere

Ftalater i produkter, som børn har direkte kontakt med. Kathe Tønning, Eva Jacobsen, Eva Pedersen og Nils H. Nilsson Teknologisk Institut

Ftalater i produkter, som børn har direkte kontakt med. Kathe Tønning, Eva Jacobsen, Eva Pedersen og Nils H. Nilsson Teknologisk Institut Ftlter i produkter, som ørn hr direkte kontkt med Kthe Tønning, Ev Jcosen, Ev Pedersen og Nils H. Nilsson Teknologisk Institut Kortlægning f kemiske stoffer i forrugerprodukter Nr. 109 2010 Miljøstyrelsen

Læs mere

1,0. sin(60º) 1,0 cos(60º) I stedet for cosinus til 60º og sinus til 60º skriver man cos(60º) og sin(60º).

1,0. sin(60º) 1,0 cos(60º) I stedet for cosinus til 60º og sinus til 60º skriver man cos(60º) og sin(60º). Mtemtik på VU Eksempler til niveu F, E og D Til lle vinkler hører der to tl, som kldes osinus og sinus. Mn finder sinus og osinus ved først t tegne vinklen i et koordint-system som vist til venstre. Derefter

Læs mere

Overvågningssystem for levnedsmidler 1993-1997. Del 1.

Overvågningssystem for levnedsmidler 1993-1997. Del 1. Næringsstoffer Overvågningssystem for levnedsmidler 1993-1997. Del 1. Udrejdet f: Toren Leth Pi Knuthsen Erik Huusfeldt Lrsen Institut for Fødevreundersøgelser og Ernæring Overvågningssystem for levnedsmidler

Læs mere

International økonomi

International økonomi Interntionl økonomi Indhold Interntionl økonomi... 1 Bilg I1 Oversigt over smmenhæng mellem kompetencer og kernestof i 3 skriftlige eksmensopgver i Interntionl økonomi A.... 2 Bilg I2 Genrer i IØ fr oplæg

Læs mere

Pythagoras sætning. I denne note skal vi give tre forskellige beviser for Pythagoras sætning:

Pythagoras sætning. I denne note skal vi give tre forskellige beviser for Pythagoras sætning: Pythgors sætning I denne note skl i gie tre forskellige eiser for Pythgors sætning: Pythgors sætning I en retinklet treknt, hor den rette inkel etegnes med, gælder: + = eis 1 Ld os tegne et stort kdrt

Læs mere

Hygiejnepolitik. - for din og min sundhed

Hygiejnepolitik. - for din og min sundhed Hygiejnepolitik ktisk f : er Det å svært r s de hæn. ikke ske m o kl v lidt Du s nke dig u, æ de d og t å b dine liver Så b milie og syge din f r mindre e g kolle - for din og min sundhed Det er fktisk

Læs mere

Kortfattet vejledning FB 5100

Kortfattet vejledning FB 5100 Kortfttet vejledning FB 00 Vndniveu! Kortfttet vejledning til displymeddelelser Meddelelse Mulig årsg Mulig hndling Hvis fejlen ikke kunne fhjælpes Vndtnken fyldes ikke inden for min. Sluk for utomten,

Læs mere

Pleje af fugtige vedvarende græsarealer ved kombination af græssende kvæg og maskiner Hvad sker der med planterne?

Pleje af fugtige vedvarende græsarealer ved kombination af græssende kvæg og maskiner Hvad sker der med planterne? Pleje f fugtige vedvrende græsreler ved komintion f græssende kvæg og mskiner Hvd sker der med plnterne? Liseth Nielsen og Ann Bodil Hld, Ntur & Lndrug ApS www.ntln.dk I det følgende eskrives: Opsummering

Læs mere

RAPPORT NR. 17. GUDENÅUNDERSØGELSEN Regnvandsundersøgelser

RAPPORT NR. 17. GUDENÅUNDERSØGELSEN Regnvandsundersøgelser RAPPORT NR. 17 ^ ^ ^ ^ " " " ^. UDENÅUNDERSØELSEN Regnvndsundersøgelser UDENAUNDERSØELSE 1973-1975 RENVANDSUNDERSØELSER VANDKVALITETSINSTITUTTET. ATV Agern Allé 11, 2970 Hørsholm Sgsbehndlere: Sgsnr,:

Læs mere

Montage Brugsanvisning

Montage Brugsanvisning Montge Brugsnvisning Mythos 6'0' - TwinWll Glzing 3108509cm / 122"x72¾"x82¼" Dnish_72394 We site: www.jemogclix.dk E-mil: kundeservice@jemfix.com www.plrmpplictions.com DA VIGTIGT Læs disse instruktioner

Læs mere

Dette enkle påskespil er kommet i stand efter fælles arbejde omkring påskens centrale

Dette enkle påskespil er kommet i stand efter fælles arbejde omkring påskens centrale UNDERVS OM GUD en idébnk til kirkelig undervisning, Fyens Stift KONFRMANDER Påskespil med indledende undervisningsforløb Dette enkle påskespil er kommet i stnd efter fælles rbejde omkring påskens centrle

Læs mere

Den europæiske købekraftsundersøgelse - PPP

Den europæiske købekraftsundersøgelse - PPP Den europæiske køekrftsundersøgelse - PPP Den europæiske køekrftsundersøgelse - PPP... 2 1.Bggrund... 2 2.Køekrftpritet hvd er det?... 2 3.Formål og orgnistion... 3 4.Brugere og nvendelsesområder... 3

Læs mere

- 77 - i stedet for ( f ), så vi har, at f (x) = 6x, x R. Funktionen f

- 77 - i stedet for ( f ), så vi har, at f (x) = 6x, x R. Funktionen f - 77 - Appendi : Den delt fledede f en funktin. Sm eken gælder der, t funktinen f() 3 er differentiel fr lle R, g t f () 3. Vi kn derfr til et vilkårligt punkt tilrdne differentilkvtienten f f i, hvrved

Læs mere

Trigonometri. Matematik A niveau

Trigonometri. Matematik A niveau Trigonometri Mtemtik A niveu Arhus Teh EUX Niels Junge Trigonometri Sinus Cosinus Tngens Her er definitionen for Cosinus Sinus og Tngens Mn kn sige t osinus er den projierede på x-ksen og sinus er den

Læs mere

1. Eksperimenterende geometri og måling

1. Eksperimenterende geometri og måling . Eksperimenterende geometri og måling Undersøgelse Undersøgelsen drejer sig om det såkldte Firfrveproblem. For mere end 00 år siden fndt mn ved sådnne undersøgelser frem til, t fire frver er nok til t

Læs mere

ØLANDSVEJ 4, HORNE, 9850 HIRTSHALS. Hesteejendom med nyere hestestald og 20 ha jord!

ØLANDSVEJ 4, HORNE, 9850 HIRTSHALS. Hesteejendom med nyere hestestald og 20 ha jord! LYSTEJENDOM ØLANDSVEJ 4, HORNE, 9850 HIRTSHALS Hesteejendom med nyere hestestld og 20 h jord! For sælger Hos Thoms Risger A/S ved vi godt, t boliger er mere end blot mursten og kvdrtmeter. Vi ved, t boliger

Læs mere

Micro-USB-kabel SD-hukommelseskort Hurtig installationsvejledning Dvd-rom

Micro-USB-kabel SD-hukommelseskort Hurtig installationsvejledning Dvd-rom Hurtig instlltionsvejledning DSmoile 820W Strt her DSmoile 820W DSmoile 920DW Tk, fordi du hr vlgt t køe et Brother-produkt. Inden du ruger din mskine, skl du læse denne Hurtig instlltionsvejledning for

Læs mere

Matematik. Kompendium i faget. Tømrerafdelingen. 1. Hovedforløb. a 2 = b 2 + c 2 2 b c cos A. cos A = b 2 + c 2 - a 2 2 b c

Matematik. Kompendium i faget. Tømrerafdelingen. 1. Hovedforløb. a 2 = b 2 + c 2 2 b c cos A. cos A = b 2 + c 2 - a 2 2 b c Kompendium i fget Mtemtik Tømrerfdelingen 1. Hovedforlø. Trigonometri nvendes til eregning f snd længde og snd vinkel i profiler. Sinus Cosinus Tngens 2 2 + 2 2 os A os A 2 + 2-2 2 Svendorg Erhvervsskole

Læs mere

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 2. Trigonometri

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 2. Trigonometri Mtemtikkens mysterier - på et oligtorisk niveu f Kenneth Hnsen 2. Trigonometri T D Hvd er fstnden fr flodred til flodred? 2. Trigonometri og geometri Indhold.0 Indledning 2. Vinkler 3.2 Treknter og irkler

Læs mere