K9-K10 projekter i strukturel mekanik

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "K9-K10 projekter i strukturel mekanik"

Transkript

1 April 2006 K8 Studerende K9-K10 projekter i strukturel meknik K8-studerende med interesse i t lve K9 eller K10 projekter inden for områderne Strukturel dynmik og erodynmik f store konstruktioner Aeroelsticitet, erodynmik og strukturmeknik i forbindelse med vindmøller Sklteori og ikkelineær mterilemeknik Interesserede er velkommen til t kontkte nedenstående personer. Projekterne lves i tæt smrbejde med eksterne forbindelser i industrien (vindmølleproducenter, rådgivende ingeniørfirmere) eller ndre universiteter og forskningsinstitutioner (DTU, RISØ), hos hvem kortere eller længere ophold kn komme på tle i projektperioden. Med venlig hilsen Søren R.K. Nielsen Niels N. Sørensen (Risø) John Dlsgrd Sørensen Rune Rubk (Siemens Wind Power A/S) Jesper W. Lrsen Henrik Myhre Jensen - 1 -

2 1 Aeroelstisk stbilitet f lnge hængebroer Trditionelt foretges eroelstiske stbilitetsnlyser f hængebroer bseret på en 2- dimensionl strømningsmodel. Denne er i sit udgngspunkt bseret på lineriseret potentilteori med vedhæftede grænselg på broprofilets over og underside. Skrpte knter, rækværk etc. Vil uundgåeligt bevirke seprtion, hvilket kompenseres i modellen ved t fstlægge visse prmetre ved modelforsøg. Den nførte fremgngsmåde hr flere svgheder. Blndt ndet vil strømningen ikke være fuldt korreleret lngs broen, idet korreltionslængden vil fhænge f broens svingningniveu. I projektet tilstræbes en totl modellering f grænselgsstrømningerne lngs en stor hængebro, idet krkteristiske svingningsmodes f denne betrgtes. Ved øget vindhstighed introduceres der negtiv stivhed og dæmpning i strukturen som følge f, t den erodynmiske lst indeholder en komponent i fse med såvel flytning som hstighed. Den kritiske vindhstighed, hvor konstruktionen bliver instbil ønskes fstlgt under hensyntgen til modelleringen f strømningen lngs broen. Projektet tger udgngspunkt i projektforslget til Messin broen vist på figuren med et frit spænd på 3300m. m q&& + cq& + kq = m q&& c q& k q ++ F(t) I projektet nvendes CFD som en virtuel vindtunnel med henblik på t identificere en erodynmisk modl mssemtrix (medsvingende luftmsse) m, en eroelstisk modl dæmpningsmtrix c og en erodynmisk modl stivhedsmtrix k. Den eroelstiske stbilitetsnlyse foretges derefter bseret på den nførte bevægelsesligning. Der vil blive etbleret kontkt til COWI s brofdeling med henblik på smrbejde om projektets gennemførelse. Vejledere: SRKN, NNS, JWL Teori: Forsøg: Progrmmering: Strukturel dynmik, eroelsticitet, fluid-struktur interktion, CFD - 2 -

3 2 Aeroelstisk respons f skyskrbere For nærværende er skyskrbere under projektering med højder over 800m. Strømningerne om sådnne strukturer er væsentligt forskellige fr strømningerne om strukturer i det jordnære grænselg. I projektet søges strømningerne om et højhus(h>500m) modelleret ved en 3-dimensionl CFD model. Den pågældende erodynmiske model dnner derefter grundlg for en svingningsnlyse f bygningen. Specielt ønskes nødvendigheden f eventuelle pssive eller ktive svingningsdæmpere undersøgt. Der kn eventuelt tges udgngspunkt i Dniel Libeskind s projekt for det nye World Trde Center, det 541m højde Freedom Tower vist på billedet. Vejledere: SRKN, NNS, JWL Teori: Forsøg: Progrmmering: Strukturel dynmik, erodynmik, CFD - 3 -

4 3 Aeroelstisk stbilitet f sklkonstruktioner Sklkonstruktioner vinder stdig mere indps i moderne rkitektur. Smtidig er tendensen t udforme disse med stdig mindre tykkelse under forudsætningen, t disse bærer ved membrnvirkning. Herved opstår muligheden for eroelstisk instbilitet f egensvingninger i de globle membrnmodes som lokle bøjningsmodes. Forholdet kn belyses ved et nlogt eksempel for tynde stålskorstene, hvor skorstenen grundlæggende forventes t svinge som en udkrget bjælke, svrende til membrnspændinger i den nloge sklmodel. Imidlertid observeres undertiden et eroelstisk instbilitetsfænomen, hvor skorstenen er i ro men hvor dennes tværsnit udfører ovliserende svingninger, svrende til en lokl bøjningsegensvingning. I projektet ønskes en konkret sklkonstruktion undersøgt strømningsmæssigt vh. CFD, idet denne sættes i forskellige egensvingninger. Der kn eventuelt tges udgngspunkt i Sntigo Cltrv s projekt til Tenerife Oper House vist på billedet. Den eroelstiske stbilitetsnlyse foretges som beskrevet i projektet for hængebroer. Der kn eventuelt rbejde flere grupper på projektet, hvor mn henholdsvis koncentrerer sig om henholdsvis struktur- og fluiddelen. Vejledere: SRKN, NNS, JWL Teori: Forsøg: Progrmmering: Strukturel dynmik, eroelsticitet, CFD, sklteori - 4 -

5 4 Klibrering f dynmisk stll model for vindmøllevinger vh. CFD Sålænge grænselgene på en vindmøllevinge er vedhæftet, hves en betydelig erodynmisk dæmpning, der begrænser svingninger. Den erodynmiske dæmpning mistes, når grænselgene seprerer, hvilket sker under reltivt store ngrebsvinkler. Dette fænomen, der betegnes stll, er derfor forbundet med reltivt store svingninger. Omvendt kn mn være interesseret i t hve reltivt store ngrebsvinkler for herved t øge rotorens omdrejningsmoment og dermed effektproduktionen. Der eksisterer et betrgtelig ntl f forskellige såkldte semi-empiriske modeller til bestemmelse f lster på møllevinger under dynmisk stll situtioner. Disse modeller benyttes i vindmølleindustriens eroelstiske koder til beregning f lster på vingerne. Fordelene er t lsten modelleres ved få tilstndsvrible ud gennem vingerne, hvilket gør beregningerne reltive billige. Modellerne benytter sttiske forsøgsdt som input, derudover kræves en række model specifikke prmetre klibreret til dynmiske dt. Problemet er, t hvor sttiske dt findes for lngt de fleste profiltyper, eksisterer dynmiske dt kun tilgængeligt i et begrænset omfng. Det ønskes undersøgt, hvorvidt det er muligt t klibrere en numerisk CFD model til sttiske dt for et vingeprofil. Efterfølgende modelleres en dynmisk stll sitution med den numeriske model, og resultterne herfr benyttes efterfølgende til klibrering f den semi-empiriske dynmisk stll model. På nuværende tidspunkt er der på AAU udviklet en dynmisk stll model, der tger hensyn til nogle betydningsfulde strømningsfænomener når der opstår dynmisk stll for 2D vingesektioner. I projektet er det yderligere intentionen, t denne model skl udbygges til t inddrge 3D effekter fr bl.. rottion f vingerne. Disse effekter nlyseres ved 3D CFD modeller. I forbindelse med projektet er der mulighed for et kortere ophold ved RISØ's erodynmik fdeling. Vejledere: JWL, NNS Teori: Forsøg: Progrmmering: Aeroelsticitet, CFD, dynmisk stll - 5 -

6 5 Multibody dynmik f vindmøller Det såkldte multi-body princip, der primært er udviklet inden for robotteknologi, opdeler hovedstrukturen i fleksible delstrukturer, der i større eller mindre grd kn bevæge sig frit i forhold til hverndre. Hovedelementerne i multi-body dynmik er beskrivelsen f de enkelte dele i lokle koordintsystemer, der følger evt. stivlegemebevægelser f disse, og et princip for smmenføjning f delstrukturerne, hvorved den globle nlyse f konstruktioner opnås. Beskrivelsen f substrukturerne i lokle koordintsystemer letter bestemmelsen f de elstiske deformtioner, der herved får modert ikkelineær krkter. Omkostningen er, t tidsvrierende prmetre optræder som fktorer til de enkelte led i bevægelsesligningerne. Smlingen f substrukturerne sker ved indføringen f holonomiske bindinger f lgebrisk krkter, der sikrer forbindelsen mellem disse. Eksempelvis t bldene forbliver vedhæftet til nvet, t kslerne i trnsmissionssystemet er i kontkt med lejerne i ncellen. Disse betingelser er i princippet uendeligt stive, og skber problemer ved numerisk tidsintegrtion. Dette forudsætter nvendelsen f ubetinget stbile tidsintegrtorer. I princippet kn dette opnås ved nvendelse f ikkelineære generliseringer f Newmrk og generliseret- lgoritmer. Imidlertid vil sådnne lgoritmer hve reduceret nøjgtighed, hvilket skber problemer for roterende systemer. I projektet søges specielt undersøgt effektiviteten f lterntive tidsintegrtioner, der tger hensyn til dette. Projektet udføres i smrbejde med Siemens Windpower A/S, Brnde. Vinge III Vinge II Trnsmissionssystem Rotor Tårn Ncelle Vinge I Vejledere: SRKN Teori: Forsøg: Progrmmering: Rune Rubk (Siemens Windpower A/S) Strukturel dynmik, numerisk tidsintegrtion, rotordynmik, finite elementteori

7 6 Systemreduktion f vindmøller I tkt med øgningen f møllevingernes længde uden t en tilsvrende øgning f stivheden tilvejebringes bliver disse stdig mere svingningsfølsomme. Dette kompenseres delvist ved centrifuglstivheden under omløb, men specielt ved opstrt og nedlukning kn der være risiko for kollision med tårnet. Under omløb kn der endvidere være interesse i t begrænse svingningerne f vingen f hensyn til risikoen for udmttelsesbrud. Mn er derfor interesseret i t udforme vingerne som smrte strukturer, hvor der nordnes ktive svingningsdæmpere, der vi et sensorsystem kn ktiveres ved ucceptble svingningsniveuer. Aktutorerne kn enten være pitchktutorer ved vingeroden, der vil rotere hele vingen, eller mere hensigtsmæssigt nordnet som flps tæt ved vingespidsen, hvor den væsentligste vingelst er plceret. For t kunne bruge disse under drift er det nødvendigt t hve en numerisk model f vindmøllen, der kn processeres i rel time. Dette sætter en begrænsning på størrelsen f de benyttede modeller. Det primære rbejdsområde bliver t lve systemreduktion f vingerne, hvor både deformtioner, kræfter og momenter beskrives tilfredsstillende under reltivt store udbøjninger. Efterfølgende smmenlignes med eksisterende ikkelineære skl- og bjælkeformuleringer. Projektet udføres i smrbejde med Siemens Windpower A/S, Brnde. Vejledere: SRKN, KHJ Teori: Forsøg: Progrmmering: Rune Rubk (Siemens Windpower A/S) Strukturel dynmik, sklteori, systemreduktion

8 7 Modellering f trnsmissionssystem og genertor til vindmøller Rotoren med omløbsfrekvensen leverer et moment M til rotorkslen, og herved en effekt på M. Genertoren leverer et rektionsmoment M g, der må virke i modst retning f genertorkslens omløbsfrekvens g, hvis der skl udtges effekt f systemet. Der gælder ved sttionært omløb t M=M g g. Ved moderne effektelektronik kn M g kontrolleres inden for visse grænser, og kn herved ved tilbgeføring gennem trnsmissionssystemet benyttes til ktiv svingningskontrol f torsionssvingninger i trnsmissionssystemet (ger, ksler og kobling) smt kntsvingninger f rotorbldene. Der eksisterer en model f et trnsmissionssystem, som bygger udelukkende på St. Vennt torsion. I modellen er der tre udvekslinger, som der normlt benyttes, hvorf den ene beskriver et plnetger. Der er ligeledes tget højde for krftoverførslen i lejer smt dæmpning i disse. Genertoren er modelleret med en lineær genertorkrkteristik. Formålet med projektet bliver t lve en mere præcis model bseret på multibody dynmik princippet, hvor der også tges højde for bøjning og forlængelse f skfterne. Hertil skl der opstilles modeller f hovedleje smt øvrige lejer. Dæmpning i lejer smt ger indbygges ligeledes. Herudover formuleres en bedre beskrivelse f geret smt genertordynmikken. Efterfølgende undersøges mulighederne ved t benytte genertoren til ktiv kontrol. Projektet udføres i smrbejde med Siemens Windpower A/S, Brnde. Rotor Genertor g M g M Vejledere: SRKN, KHJ Teori: Forsøg: Progrmmering: Rune Rubk (Siemens Windpower A/S) Strukturel dynmik, finite elementteori, dæmpningsmodel, genertorkrkteristik

9 8 Tidsintegrtion f bevægelsesligninger med lgebriske restriktioner T Mq&& + Cq& + Kq + B = f ( t) ( q) = 0, B = q Ved modellering f komplekse strukturer vil mn undertiden benytte substruktureringsprincipper. Hver substruktur modelleres for sig ved i princippet ufhængige diskretiseringsprincipper (skller, bjælker, stænger). Ved interfceknuderne specificeres dernæst lgebriske bindinger i form f betingelsesligninger, der sikrer, t den reltive flytning og rottion mellem frihedsgrderne er lig 0. q ngiver de smlede frihedsgrder. Restriktionerne mellem 2 substrukturer vil derimod kun indeholde frihedsgrderne knyttet til interfceknuderne. Ovenfor er smtlige interfcerestriktioner smlet i den symbolske vektorligning ( q) = 0 der er f lgebrisk krkter. De resulterende bevægelsesligninger er vist ovenfor. er Lgrngemultipliktorer, der ngiver rektionskræfterne i form f snitkræfter og momenter i interfceknuderne. Den nførte fremgngsmåde giver stor fleksibilitet, men introducerer problemer med hensyn til den numeriske integrtion f de resulterende bevægelsesligninger. Problemet skyldes, t de lgebriske bindinger introducerer uendeligt høje frekvenser i systemet, med herf følgende krv om ubetinget stbile integrtionslgoritmer. I projektet søges undersøgt en serie ubetinget stbile tidsintegrtorer, der smtidig er energibevrende (ingen numerisk dæmpning) i det lvfrekvente område, og høj numerisk dæmpning i det højfrekvente område. Der tges udgngspunkt i en enkelt vindmøllevinge, der bevæger sig om en vndret ksel. Projektet udføres i smrbejde med Siemens Windpower A/S, Brnde. Vejledere: SRKN Teori: Forsøg: Progrmmering: Rune Rubk (Siemens Windpower A/S) Numerisk tidsintegrtion

10 9 Aktiv styring f bldsvingninger Sensor Flp q mq&& + cq& + kq = cc q& + kcq + F(t) 2 k kc c + cc 0 =, = m 2 m( k k ) c Vindmøllevinger udsættes ved ekstrem vindbelstning f såvel en stor sttisk udbøjning fr middelvinden som dynmiske tillægsudbøjninger. Begge dele kn modvirkes ved ktiv kontrol eksempelvis vh. en flp der regulerer løftet på vingen. Den modle kontrolkrft Fc ( t) = c q& c ( t) + kc ( tq ) er her beskrevet i form f en komponent i modfse med den modle hstighed q& (t) og en komponent i fse med flytningen k. Hvis cc og kc begge er positive, svrer dette henholdsvis til en øgning f den viskose dæmpning og en reduktion f stivheden, når disse led overføres til venstresiden. Som vist øges dæmpningsforholdet herved, svrende til t det dynmiske respons reduceres, men smtidig mindskes stivheden målt ved den cirkulære egenfrekvens 0, hvorved det sttiske respons øges. Det er hermed ikke oplgt, hvorledes det optimle vlg f kontrolprmetre c c og kc skl foretges. I projektet ønskes dette undersøgt. Vingens bevægelse forudsættes observeret ved hjælp f en stringge ved roden f vingen. Usikkerheden på estimtet f q (t), og herf følgende stbilitet f kontrollgoritmen, som følge f denne begrænsede observtionsmulighed ønskes vurderet. Projektet udføres i smrbejde med Siemens Windpower A/S, Brnde. Vejleder: SRKN, Jn Høgsberg (?) Teori: Forsøg: Progrmmering: Rune Rubk (Siemens Windpower A/S) Strukturel dynmik, kontrolteori, ktiv, pssiv og semiktiv dæmpning

11 10 Lminerede skller til vindmøllevinger Vindmøllevinger udformes som lminter smmenst f mnge lg f såkldte lmin. Hvert lmin modelleres meknisk som et ortotropt lineært elstisk mterile. Ved t vriere de mekniske egenskber for de enkelte lmin kn styrke og stivhed f det smlede lmint fstlægges på hensigtsmæssig måde. Der ønskes opstillet et sklelement, der muliggør modellering f mterile ikkelineriteter, idet der tges hensyn til interlminære spændinger og tøjninger i normlretningen og mulige effekter som følge f delminering. Dette indebærer introduktionen f højere ordens kinemtik end i sædvnlig sklteori (Kirchhoff-love, Reissner-Mindlin). Elementets egenskber med hensyn til forskydnings og membrnlåsning ønskes undersøgt. Vejledere: SRKN, HMJ, Ph.D. stud NN Teori: Forsøg: Progrmmering: Finite element teori, sklteori, lmintteori, delminering, ikkelineær mterleopførsel

12 11 Vindtunnelkorrektioner for vindmølle-profiler Bggrund LM er i disse måneder ved t indkøre en ny vindtunnel som skl bruges til test f vindmølleprofiler, smt eksperimenter med pssiv og ktiv flow-kontrol. Kvliteten f strømningen i testsektionen formodes t være på et højt niveu med lv turbulens og et ensrtet middelvindhstighedsprofil. Ved design f en ny vindtunnel som er dedikeret til 2D profil tests er et f de betydningsfulde spørgsmål hvor højt kn mn komme op i Reynolds tl i forhold til størrelsen f test-sektionen og blæserens effekt? Der er to muligheder for t forøge Reynolds tllet: 1) forøget hstighed i testsektionen, 2) En større profil-model (med forøget korde). Mht. hstigheden er denne bestemt f størrelsen f tunnellens blæser og denne er givet for en eksisterende tunnel. For en ny tunnel er en stor blæser dyr, og mn vil ltid hve en øvre begrænsning pg. økonomi eller pg. Mchtllet. Mht. korden, så er det indflydelsen fr væggene i test-sektionen som sætter begrænsningen. Projektet I forbindelse med idrifttgningen f den beskrevne vindtunnel skl der udvikles en numerisk metode til vindtunnel-korrektion som i forhold til den klssiske lineære (og sttionære) teori på området kn gøre det muligt t nvende profil-modeller med større bredde (korde) og derved hæve Reynolds tllet. En sådn korrektion kn f.eks. indebære t trykket på test sektionens vægge måles og indgår i korrektionen f målingen. Projektets hovedformål er t besvre spørgsmålet: Hvor højt kn mn komme op i Reynoldstl ved t forøge profil korden i den eksisterende test sektion. Mn kn også spørge endnu mere præcist, Hvornår bliver korden så stor t mn ikke længere kn nøjes med t korrigere de integrerede kræfter, men skl korrigere selve profilets trykfordeling? Og i givet fld hvordn kn mn udlede en pssende korrektion der tger højde for dette? I forbindelse med projektets gennemførsel, vil der ud over målinger hos LM være mulighed for et kortere ophold hos Risø s vindenergi fdeling. Vejledere: Niels N. Sørensen AAU/RISØ Teori: Forsøg: Progrmmering: Jesper Winther Lrsen AAU, Peter Fuglsng LM-Glsfiber Aerodynmik, CFD, Vindtunnelkorrektioner

13 12 Udvikling f en korreltionsbseret lminr/turbulent omslgsmodel ved brug f lokle vrible Det er velkendt lminr/turbulent omslg spiller en vigtig rolle i forbindelse med strømning over vingeprofiler, et emne med stor betydning indenfor den videre udvikling og design f vindmøller. Trditionelle omslgsmodeller, som den empiriske Michel model og E n modellen er typisk grænselgsmetoder og som sådn globle. For denne type f modeller er det således nødvendigt t udføre integrtion f forskellige grænseslgsvrible lngs den lokle strømningsretning, hvilket besværliggør implementeringen i multi-blok og ustrukturerede prlleliserede CFD strømningsløsere. I dette projekt sigtes der mod t implementere, klibrere og vlidere en korreltions bseret omslgsmodel der kun fhænger f lokle vrible. Vlideringen og klibreringen tænkes udført på bsis f eksisterende målinger og beregninger med llerede implementerede omslgs modeller f forskellige 2D profilstrømninger. Vejledere: Niels N. Sørensen AAU/RISØ Teori: Forsøg: Progrmmering: Jesper Winther Lrsen AAU Aerodynmik, lminr/turbulent omslg, CFD beregninger

UGESEDDEL 52. . Dette gøres nedenfor: > a LC

UGESEDDEL 52. . Dette gøres nedenfor: > a LC UGESEDDE 52 Opgve 1 Denne opgve er et mtemtisk eksempel på Ricrdo s én-fktor model, der præsenteres i Krugmn & Obstfeld kpitel 2 side 12-19. Denne model beskriver hndel som et udslg f komprtive fordele

Læs mere

gudmandsen.net y = b x a Illustration 1: potensfunktioner i 5 forskellige grupper

gudmandsen.net y = b x a Illustration 1: potensfunktioner i 5 forskellige grupper gudmndsen.net Dette dokument er publiceret på http://www.gudmndsen.net/res/mt_vejl/. Ophvsret: Indholdet stilles til rådighed under Open Content License[http://opencontent.org/openpub/]. Kopiering, distribution

Læs mere

Dødelighed og kræftforekomst i Avanersuaq. Et registerstudie

Dødelighed og kræftforekomst i Avanersuaq. Et registerstudie Dødelighed og kræftforekomst i Avnersuq. Et registerstudie Peter Bjerregrd, Anni Brit Sternhgen Nielsen og Knud Juel Indledning Det hr været fremført f loklbefolkningen i Avnersuq og f Lndsstyret, t der

Læs mere

Mere end blot lektiehjælp. Få topkarakter i din SRP. 12: Hovedafsnittene i din SRP (Redegørelse, analyse, diskussion)

Mere end blot lektiehjælp. Få topkarakter i din SRP. 12: Hovedafsnittene i din SRP (Redegørelse, analyse, diskussion) Mere end lot lektiehjælp Få topkrkter i din SRP 12: Hovedfsnittene i din SRP (Redegørelse, nlyse, diskussion) Hjælp til SRP-opgven Sidste år hjlp vi 3.600 gymnsieelever med en edre krkter i deres SRP-opgve.

Læs mere

Lektion 7s Funktioner - supplerende eksempler

Lektion 7s Funktioner - supplerende eksempler Lektion 7s Funktioner - supplerende eksempler Oversigt over forskellige tper f funktioner Omvendt proportionlitet og hperler.grdsfunktioner og prler Eksponentilfunktioner Potensfunktioner Lektion 7s Side

Læs mere

Potens regression med TI-Nspire

Potens regression med TI-Nspire Potensvækst og modellering - Mt-B/A 2.b 2007-08 Potens regression med TI-Nspire Vi tger her udgngspunkt i et eksempel med tovværk, hvor mn får oplyst en tbel over smmenhængen mellem dimeteren (xdt) i millimeter

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 17

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 17 Mtemtisk modellering og numeriske metoder Lektion 1 Morten Grud Rsmussen 8. november, 1 1 Numerisk integrtion og differentition [Bogens fsnit 19. side 84] 1.1 Grundlæggende om numerisk integrtion Vi vil

Læs mere

Lofter monteret direkte på underlag

Lofter monteret direkte på underlag Lofter / Direkte montge på underlg Lofter monteret direkte på underlg Underlg for gipsbeklædning Underlget for gipsplderne kn være bjælkelg, trælægter, forsklling, stålprofiler S25/85, S45/85 eller Gyproc

Læs mere

114 Matematiske Horisonter

114 Matematiske Horisonter 114 Mtemtiske Horisonter Mtemtik i medicinudvikling Af Ph.d-studerende Ann Helg Jónsdóttir, Ph.d-studerende Søren Klim, Ph.d-studerende Stig Mortensen og Professor Henrik Mdsen, DTU Informtik Hovedpinen

Læs mere

ØLANDSVEJ 4, HORNE, 9850 HIRTSHALS. Hesteejendom med nyere hestestald og 20 ha jord!

ØLANDSVEJ 4, HORNE, 9850 HIRTSHALS. Hesteejendom med nyere hestestald og 20 ha jord! LYSTEJENDOM ØLANDSVEJ 4, HORNE, 9850 HIRTSHALS Hesteejendom med nyere hestestld og 20 h jord! For sælger Hos Thoms Risger A/S ved vi godt, t boliger er mere end blot mursten og kvdrtmeter. Vi ved, t boliger

Læs mere

1 Indledning 2. 2 Komfortkriterier 2. 3 Lastmodel 4. 4 Konstruktionsmodeller 5 4.1 Generaliseret system 5 4.2 Betonelementdæk 6

1 Indledning 2. 2 Komfortkriterier 2. 3 Lastmodel 4. 4 Konstruktionsmodeller 5 4.1 Generaliseret system 5 4.2 Betonelementdæk 6 Side f Betonelementforeningen Vibrtionskomfort i dækkonstruktioner Bernt Suikknen COWI A/S,. udgve. Oktober 00. Indledning Komfortkriterier Lstmodel Konstruktionsmodeller 5. Generliseret system 5. Betonelementdæk

Læs mere

Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk. Erik Vestergaard, 2009.

Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk. Erik Vestergaard, 2009. Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk Erik Vestergrd, 009. Billeder: Forside: Collge f billeder: istock.com/titoslck istock.com/yuri Desuden egne fotos og illustrtioner Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk

Læs mere

1 1 t 10 1. ( ) x 2 4. + k ================= sin( x) + 4 og har graf gennem (0,2), dvs F(0) = 2. + 4x + k

1 1 t 10 1. ( ) x 2 4. + k ================= sin( x) + 4 og har graf gennem (0,2), dvs F(0) = 2. + 4x + k 0x-MA (0.0.08) _ opg (3:07) Integrtion ved substitution ( x + 7) 9 t x + 7 > t 9 t 0 + k 0 0 ( x + 7)0 + k b) x x + 4 t x + 4 > 3 x t t t x 3 t x x + k 3 t t + k ( ) x 4 3 x + 4 + + k c) cos( x)

Læs mere

Potens- sammenhænge. inkl. proportionale og omvendt proportionale variable. 2010 Karsten Juul

Potens- sammenhænge. inkl. proportionale og omvendt proportionale variable. 2010 Karsten Juul Potens- smmenhænge inkl. proportionle og omvendt proportionle vrible 010 Krsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse f hæftet "Eksponentielle smmenhænge, udgve ". Indhold 1. Hvd er en potenssmmenhæng?...1.

Læs mere

ELEVER underviser elever En motiverende metode Drejebog med eksempler

ELEVER underviser elever En motiverende metode Drejebog med eksempler ELEVER underviser elever En motiverende metode Drejeog med eksempler Lyngy Tekniske Gymnsium Introduktion Lyngy Tekniske Gymnsium, HTX, hr i smrejde med Udviklingslortoriet for pædgogisk og didktisk prksis

Læs mere

Analyse 30. januar 2015

Analyse 30. januar 2015 30. jnur 2015 Større dnsk indkomstulighed skyldes i høj grd stigende kpitlindkomster Af Kristin Thor Jkosen Udgivelsen f Thoms Pikettys Kpitlen i det 21. århundrede hr fstedkommet en del diskussion f de

Læs mere

Diverse. Ib Michelsen

Diverse. Ib Michelsen Diverse Ib Michelsen Ikst 2008 Forsidebilledet http://www.smtid.dk/visen/billede.php?billedenr69 Version: 0.02 (2-1-2009) Diverse (Denne side er A-2 f 32 sider) Indholdsfortegnelse Regning med procent

Læs mere

SANS FREMTIDEN I HEDEHUSENE

SANS FREMTIDEN I HEDEHUSENE SANS FREMTIDEN I HEDEHUSENE Snseredskber til byens psykiske og fysiske miljø f Softhook Design Projektets idé Kunstner og leder f Softhook Design, Christin Nold, er stolt over t kunne præsentere Sns Fremtiden

Læs mere

Retningslinjer for bedømmelsen Georg Mohr-Konkurrencen runde

Retningslinjer for bedømmelsen Georg Mohr-Konkurrencen runde Retningslinjer for bedømmelsen Georg Mohr-Konkurrencen 016. runde Besvrelser som flder uden for de løsninger som ligger til grund for pointskemerne, bedømmes ved nlogi så skridt med tilsvrende vægt i den

Læs mere

Exitforløb for kriminalitetstruede unge

Exitforløb for kriminalitetstruede unge Exitforløb for kriminlitetstruede unge Exit Nu tilbyder et exitforløb til kriminlitetstruede unge i lderen 15-29 år. Vi rbejder indenfor lovgivningen omkring fst kontktperson, efterværn, bostøtte og mentorstøtte

Læs mere

Lamina. stærk, farverig facadeplade med format. Facader. Altanbrystninger. Trappegelænder. Brystninger. Væg- og dørbeklædning. Sandwichelementer 1:1

Lamina. stærk, farverig facadeplade med format. Facader. Altanbrystninger. Trappegelænder. Brystninger. Væg- og dørbeklædning. Sandwichelementer 1:1 Juni 2008 2.312 DK Lmin stærk, frverig fcdeplde med formt Fcder Altnbrystninger Trppegelænder Brystninger Væg- og dørbeklædning Sndwichelementer Lmin er en højtrykslmintplde. Specielt velegnet til områder

Læs mere

Krumningsradius & superellipsen

Krumningsradius & superellipsen Krumningsrdius & suerellisen Side /5 Steen Toft Jørgensen Krumningsrdius & suerellisen Formålet med dette mini-rojekt er t erhverve mtemtisk viden om krumningsrdius f en kurve og nvende denne viden å det

Læs mere

VVS-entreprisen Kapitel : 4.1 Bygningsdelsbeskrivelse - Kølevand Side : 1/6 Indholdsfortegnelse Dato : 10.10.2013 Rev. :

VVS-entreprisen Kapitel : 4.1 Bygningsdelsbeskrivelse - Kølevand Side : 1/6 Indholdsfortegnelse Dato : 10.10.2013 Rev. : Bygningsdelsbeskrivelse - Kølevnd Side : 1/6 Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse (55)1 Bygningsdelsbeskrivelse for kølevnd... 2 Omfng og loklisering... 2 Tegningshenvisning... 2 Tilstødende bygningsdele...

Læs mere

Tolkningsrapport. Ella Explorer. October 15, 2008 FORTROLIGT

Tolkningsrapport. Ella Explorer. October 15, 2008 FORTROLIGT Tolkningsrpport Ell Explorer Otoer 1, 2 FORTROLIGT Tolkningsrpport Ell Explorer Introduktion Otoer 1, 2 Introduktion Anvendelse Denne rpport må udelukkende tolkes f kvlifierede rugere under overholdelse

Læs mere

Den grønne kontakt til dine kunder Kontakt med omtanke for miljø og økonomi

Den grønne kontakt til dine kunder Kontakt med omtanke for miljø og økonomi Den grønne kontkt til dine kunder Kontkt med omtnke for miljø og økonomi Stort energi- og stndby forbrug? En fbryder der slukker lt, og en stikkontkt der reducerer stndby forbruget Sluk for det hele......

Læs mere

Spil- og beslutningsteori

Spil- og beslutningsteori Spil- og eslutningsteori Peter Hrremoës Niels Brock 26. novemer 2 Beslutningsteori De økonomiske optimeringssitutioner, vi hr set på hidtil, hr været helt deterministiske. Det vil sige t vores gevinst

Læs mere

Vitaminer, mineraler og foderværdi af græsmarksarter

Vitaminer, mineraler og foderværdi af græsmarksarter Vitminer, minerler og foderværdi f græsmrksrter Kren Søegrd, Søren K. Jensen og Jko Sehested Det Jordrugsvidenskelige Fkultet, Arhus Universitet Smmendrg Med det formål t undersøge mulighederne for selvforsyning

Læs mere

Regneregler for brøker og potenser

Regneregler for brøker og potenser Regneregler for røker og potenser Roert Josen 4. ugust 009 Indhold Brøker. Eksempler......................................... Potenser 7. Eksempler......................................... 8 I de to fsnit

Læs mere

... ... ... ... ... ... ... b > 0 og x > 0, vil vi kalde en potensfunktion. 492 10. Potensfunktioner

... ... ... ... ... ... ... b > 0 og x > 0, vil vi kalde en potensfunktion. 492 10. Potensfunktioner POTENSFUNKTIONER 0 49 0. Potensfunktioner POTENSFUNKTIONER DEFINITION En funktion med forskriften f( )= b hvor b > 0 og > 0 vil vi klde en potensfunktion. I MAT C kpitel så vi t hvis skl være et vilkårligt

Læs mere

Pointen med Integration

Pointen med Integration Pointen med Integrtion Frnk Nsser 20. pril 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun nvendes til undervisning i klsser som bonnerer på MtBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er en

Læs mere

Trigonometri. Trigonometri. Sinus og cosinus... 2 Tangens... 6 Opgaver... 9. Side 1

Trigonometri. Trigonometri. Sinus og cosinus... 2 Tangens... 6 Opgaver... 9. Side 1 Trigonometri Sinus og osinus... 2 Tngens... 6 Opgver... 9 Side Sinus og osinus Til lle vinkler hører der to tl, som kldes osinus og sinus. Mn finder sinus og osinus til en vinkel ved t tegne vinklen midt

Læs mere

Matematikkens sprog INTRO

Matematikkens sprog INTRO Mtemtikkens sprog Mtemtik hr sit eget sprog, der består f tl og symboler fx regnetegn, brøkstreger bogstver og prenteser På mnge måder er det ret prktisk - det giver fx korte måder t skrive formler på.

Læs mere

Plantehoteller 1 Resultater og konklusioner

Plantehoteller 1 Resultater og konklusioner Plntehoteller 1 Resultter og konklusioner Hvid mrguerit 1. Umiddelrt efter kølelgring i op til 14 dge vr den ydre kvlitet ikke redueret 2. Mistede holdrhed llerede efter 7 dges kølelgring ved 4ºC og lv

Læs mere

Kort om Potenssammenhænge

Kort om Potenssammenhænge Øvelser til hæftet Kort om Potenssmmenhænge 2011 Krsten Juul Dette hæfte indeholder bl.. mnge småspørgsmål der gør det nemmere for elever t rbejde effektivt på t få kendskb til emnet. Indhold 1. Ligning

Læs mere

Fælles for disse typer af funktioner er, at de som grundfunktion indeholder varianter af udtrykket x a.

Fælles for disse typer af funktioner er, at de som grundfunktion indeholder varianter af udtrykket x a. 5. FORSKRIFT FOR EN POTENSFUNKTION Vi hr i vores gennemgng f de forskellige funktionstper llerede være inde på udtrk, som indeholder forskellige potenser f I dette kpitel skl vi se på forskellige tper

Læs mere

RAPPORT NR. 17. GUDENÅUNDERSØGELSEN Regnvandsundersøgelser

RAPPORT NR. 17. GUDENÅUNDERSØGELSEN Regnvandsundersøgelser RAPPORT NR. 17 ^ ^ ^ ^ " " " ^. UDENÅUNDERSØELSEN Regnvndsundersøgelser UDENAUNDERSØELSE 1973-1975 RENVANDSUNDERSØELSER VANDKVALITETSINSTITUTTET. ATV Agern Allé 11, 2970 Hørsholm Sgsbehndlere: Sgsnr,:

Læs mere

Monteringsvejledning

Monteringsvejledning ver. 1.1 5 x 6 meter flytr hytte Stykliste til flytr hytte 5 x 6 m [0500-000] 2 stk sideundrmmer 590 m [0500-110] 2 stk gvlundrmmer 500 m [0500-100] 4 stk hjørnevinkler [0500-150] 4 stk lsker til smling

Læs mere

KEGLESNIT OG BANEKURVER

KEGLESNIT OG BANEKURVER KEGLESNIT OG BANEKURVER x-klsserne Gmmel Hellerup Gymnsium INDHOLDSFORTEGNELSE INDHOLDSFORTEGNELSE... BEGREBET KEGLE... 3 KEGLESNIT... 5 Cirkel... 6 Ellipse... 8 Prbel... 15 Hyperbel... 19 Keglesnitsligninger

Læs mere

Lektion 6 Bogstavregning

Lektion 6 Bogstavregning Lektion Bogstvregning Formler... Reduktion... Ligninger... Lektion Side 1 Formler En formel er en slgs regne-opskrift, hvor mn med bogstver viser, hvorledes noget skl regnes ud. F.eks. formler til beregning

Læs mere

ICF - DEN DANSKE VEJLEDNING OG EKSEMPLER FRA PRAKSIS

ICF - DEN DANSKE VEJLEDNING OG EKSEMPLER FRA PRAKSIS ICF - DEN DANSKE VEJLEDNING OG EKSEMPLER FRA PRAKSIS INTERNATIONAL KLASSIFIKATION AF FUNKTIONSEVNE, FUNKTIONSEVNENEDSÆTTELSE OG HELBREDSTILSTAND Udrbejdet f MrselisborgCentret, 2005 En spørgeskemundersøgelse

Læs mere

ALGEBRA. symbolbehandling). Der arbejdes med hjælpemiddelkompetencen,

ALGEBRA. symbolbehandling). Der arbejdes med hjælpemiddelkompetencen, INTRO Alger er lngt mere end ogstvregning. Alger kn være t omskrive ogstvtrk, men lger er f også t generlisere mønstre og smmenhænge, t eskrive smmenhænge mellem tlstørrelse f i forindelse med funktioner

Læs mere

Eksamensspørgsmål: Potens-funktioner

Eksamensspørgsmål: Potens-funktioner Eksmensspørgsmål: Potens-funktioner Definition:... 1, mønt flder ned:... 1 Log y er en liner funktion f log x... 2 Regneforskrift... 2... 2 Smmenhæng mellem x og y ved potens-vækst... 3 Tegning f grf for

Læs mere

Den grønne kontakt til dine kunder. Kontakt med omtanke for miljø og økonomi

Den grønne kontakt til dine kunder. Kontakt med omtanke for miljø og økonomi Den grønne kontkt til dine kunder Kontkt med omtnke for miljø og økonomi 2 En fbryder der slukker lt, og en stikkontkt der reducerer stndby forbruget Energy Efficiency Energieffektivitet hndler ikke kun

Læs mere

Pleje af fugtige vedvarende græsarealer ved kombination af græssende kvæg og maskiner Hvad sker der med planterne?

Pleje af fugtige vedvarende græsarealer ved kombination af græssende kvæg og maskiner Hvad sker der med planterne? Pleje f fugtige vedvrende græsreler ved komintion f græssende kvæg og mskiner Hvd sker der med plnterne? Liseth Nielsen og Ann Bodil Hld, Ntur & Lndrug ApS www.ntln.dk I det følgende eskrives: Opsummering

Læs mere

- 81 - , x I. kmx. Sætningen bevises ikke her. Interesserede læsere henvises til bogen: Differentialligninger og matematiske

- 81 - , x I. kmx. Sætningen bevises ikke her. Interesserede læsere henvises til bogen: Differentialligninger og matematiske - 8 - Appendi : Logistisk vækst og integrlregning. I forbindelse med eksponentielle vækstfunktioner er der tle om en vækstform, hvor funktionens væksthstighed er proportionl med den ktuelle funktionsværdi,

Læs mere

Formelsamling Matematik C Indhold

Formelsamling Matematik C Indhold Formelsmling Mtemtik C Indhold Eksempler på besvrelser, lin, eksp, pot, geo... Tl, regneopertioner og ligninger... 6 Ligninger... 7 Geometri... 0 Funktioner og modeller... 3 Lineær funktion... 3 Procentregning...

Læs mere

Matematik - introduktion. Martin Lauesen February 23, 2011

Matematik - introduktion. Martin Lauesen February 23, 2011 Mtemtik - introduktion Mrtin Luesen Februry 23, 2011 1 Contents 1 Aritmetik og elementær lgebr 3 1.1 Symboler............................... 3 1.1.1 ligheder............................ 4 1.1.2 uligheder...........................

Læs mere

DEN NY VERDEN vol. 37, nr. 1 International handel og vandel - WTO fra Marrakesh til Cancún

DEN NY VERDEN vol. 37, nr. 1 International handel og vandel - WTO fra Marrakesh til Cancún Interntionl hndel og vndel - WTO fr Mrrkesh til Cncún DIIS - Københvn - 2004 1 Efter gennemførelsen f ftlen om tekstil og beklædning (ATC) Fr MFA til ATC Beklædningsindustrien hr spillet en fgørende rolle

Læs mere

PROGRAMKATALOG. RULL-PROJEKT I OMRÅDE Skanderborgvej. Ny institution på Vestermarken. Sommer 2013 13.06.2013

PROGRAMKATALOG. RULL-PROJEKT I OMRÅDE Skanderborgvej. Ny institution på Vestermarken. Sommer 2013 13.06.2013 PROGRAMKATALOG RULL-PROJEKT I OMRÅDE Sknderborgvej Ny institution på Vestermrken Sommer 2013 136.2013 PROGRAMKATALOG Indhold Byrådsbeslutning...3 Arhus Kommunes Pædgogiske Rmmesætning...4 De 6 tænketnksprincipper...

Læs mere

(a k cos kx + b k sin kx) k=1. cos θk = sin θ 1 ak. , b k. k=1

(a k cos kx + b k sin kx) k=1. cos θk = sin θ 1 ak. , b k. k=1 SEKTION 7 FOURIERANALYSE 7 Fouriernlyse Periodiske funktioner er vigtige i mnge smmenhænge, både videnskbeligt og teknisk Vi vil normlisere, så ntger, t perioden er π Disse funktioner er bedst nlyseret

Læs mere

BIH FOREBYGGELSE AF REVNER. Notat. Vejledningen omfatter: Konstruktive forhold...side 3-6. Svind i letbeton og beton...side 7. Udtørring...

BIH FOREBYGGELSE AF REVNER. Notat. Vejledningen omfatter: Konstruktive forhold...side 3-6. Svind i letbeton og beton...side 7. Udtørring... Nott FOREBYGGELSE AF REVNER Vejledningen omftter: Konstruktive forhold...side 3-6 Svind i letbeton og beton...side 7 Udtørring...side 8-9 Fugtmåling...side 10 Mlerbehndling...side 11 Fliseopsætning...side

Læs mere

Beplantningsplan for beplantningsbælterne beskrevet i lokalplan 149.

Beplantningsplan for beplantningsbælterne beskrevet i lokalplan 149. HEDENSTED KOMMUNE Plnfdelingen NIELS ESPES VEJ 8 8722 HEDENSTED TELEFON 7974 1111 POSTGIRO 501 5871 E-post: rdhus@hedensted.dk Internet: www.hedensted.dk Dto : 11. november 2004 Sgsbehndler : HK-BV KL-J.nr.

Læs mere

Min Kompetencemappe. 1. Kort om mig selv Klik her for at indsætte billede. Navn: Adresse: Postnr:

Min Kompetencemappe. 1. Kort om mig selv Klik her for at indsætte billede. Navn: Adresse: Postnr: Min mppe 1. Kort om mig selv Klik her for t indsætte billede Nvn: Adresse: Postnr: By: Telefon nummer: Fødselsdto (dd-mm-åååå): Køn: Mnd Kvinde Mildresse: Kørekort: A: Motorcykel B: Personbil C: Lstbil

Læs mere

Lektion 6 Bogstavregning

Lektion 6 Bogstavregning Mtemtik på Åbent VUC Lektion 6 Bogstvregning Formler... Udtryk... Ligninger... Ligninger som løsningsmetode i regneopgver... Simultion... Opsmlingsopgver... Lvet f Niels Jørgen Andresen, VUC Århus. Redigeret

Læs mere

kompositkonstruktioner

kompositkonstruktioner Ingeniørhøjskolen i Århus Bygningsteknik Bygningsdesign Nott om kompositkonstruktioner BK401 Jnur 2009 Peter Ehlers Lrs Germn Hgsten Indledning Eurocode 4, Kompositkonstruktioner, bygger videre på og henviser

Læs mere

Lokalplan 22-2 Feriehusbebyggelse ved Tamdrup Strand. November 2011 FORSLAG TIL POLITISK BEHANDLING

Lokalplan 22-2 Feriehusbebyggelse ved Tamdrup Strand. November 2011 FORSLAG TIL POLITISK BEHANDLING Loklpln 22-2 Feriehusbebyggelse ved Tmdrup Strnd November 2011 FORSLAG TIL POLITISK BEHANDLING Forslg til Loklpln 22-2 feriehusbebyggelse ved Tmdrup Strnd. Udrbejdet f Hderslev Kommune, Erhvervs- og Borgerservice.

Læs mere

Lyddæmper. Fastlæggelse af lyddæmperydelse. Valg af lyddæmper. DimSilencer. Δp = Δp/faktor = 20/1 = 20 Pa. kanalsystemer lyddæmpere

Lyddæmper. Fastlæggelse af lyddæmperydelse. Valg af lyddæmper. DimSilencer. Δp = Δp/faktor = 20/1 = 20 Pa. kanalsystemer lyddæmpere Fstlæggelse f lyddæmperydelse En lyddæmpers ydelse kn bestemmes ud fr ktloget som beskrevet ved hjælp f følgende eksempel: -00-00-00- med et flow på.00 m³/h plceret i knlsystem. ) Aflæs dæmperegenskber

Læs mere

Elementær Matematik. Vektorer i planen

Elementær Matematik. Vektorer i planen Elementær Mtemtik Vektorer i plnen Køge Gymnsium 0 Ole Witt-Hnsen Indhold. Prllelforskydninger i plnen. Vektorer.... Sum og differens f to vektorer... 3. Multipliktion f vektor med et tl...3 4. Opløsning

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 12

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 12 Mtemtisk modellering numeriske metoder Lektion 12 Morten Grud Rsmussen 21. oktober, 213 1 Prtielle differentilligninger 1.1 Løsning f vrmeligningen vh. Fourierrækker [Bens sektion 12.6 på side 558] Vi

Læs mere

INTEGRALREGNING. Opgaver til noterne kan findes her. PDF. Facit til opgaverne kan hentes her. PDF. Version: 5.0

INTEGRALREGNING. Opgaver til noterne kan findes her. PDF. Facit til opgaverne kan hentes her. PDF. Version: 5.0 INTEGRALREGNING Version: 5.0 Noterne gennemgår egreerne: integrl og stmfunktion, og nskuer dette som et redsk til estemmelse f l.. reler under funktioner. Opgver til noterne kn findes her. PDF Fcit til

Læs mere

3. Vilkårlige trekanter

3. Vilkårlige trekanter 3. Vilkårlige treknter 3. Vilkårlige treknter I dette fsnit vil vi beskæftige os med treknter, der ikke nødvendigvis er retvinklede. De formler, der er omtlt i fsnittet om retvinklede treknter, kn ikke

Læs mere

Michel Mandix (2010) INDHOLDSFORTEGNELSE:... 2 EN TREKANTS VINKELSUM... 3 PYTHAGORAS LÆRESÆTNING... 4 SINUSRELATIONERNE... 4 COSINUSRELATIONERNE...

Michel Mandix (2010) INDHOLDSFORTEGNELSE:... 2 EN TREKANTS VINKELSUM... 3 PYTHAGORAS LÆRESÆTNING... 4 SINUSRELATIONERNE... 4 COSINUSRELATIONERNE... MATEMATIK NOTAT MATEMATISKE EVISER AF: CAND. POLYT. MICHEL MANDIX SIDSTE REVISION: FERUAR 04 Michel Mndi (00) Side f 35 Indholdsfortegnelse: INDHOLDSFORTEGNELSE:... EN TREKANTS VINKELSUM... 3 PYTHAGORAS

Læs mere

BENZOESYRE KAN ERSTATTE KOBBER I FODER TIL SMÅGRISE

BENZOESYRE KAN ERSTATTE KOBBER I FODER TIL SMÅGRISE BENZOESYRE KAN ERSTATTE KOBBER I FODER TIL SMÅGRISE MEDDELELSE NR. 057 Med % benzoesyre i foder til smågrise er det muligt t nedbringe niveuet f kobber i foderet mrknt og smtidig bevre smme produktivitet

Læs mere

TAL OG REGNEREGLER. Vi ser nu på opbygningen af et legeme og noterer os samtidig, at de reelle tal velkendte regneoperationer + og er et legeme.

TAL OG REGNEREGLER. Vi ser nu på opbygningen af et legeme og noterer os samtidig, at de reelle tal velkendte regneoperationer + og er et legeme. TAL OG REGNEREGLER Inden for lgeren hr mn indført egreet legeme. Et legeme er en slgs konstruktion, hvor mn fstsætter to regneregler og nogle sætninger (ksiomer), der gælder for disse. Pointen med en sådn

Læs mere

gudmandsen.net Geometri C & B

gudmandsen.net Geometri C & B gudmndsen.net Geometri C & B Indholdsfortegnelse 1 Geometri & trigonometri...2 1.1 Område...2 2 Ensvinklede treknter...3 2.1.1 Skleringsfktoren...4 3 Retvinklede treknter...5 3.1 Pythgors lærersætning...5

Læs mere

Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. Integrationsprincippet og Keplers tønderegel

Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. Integrationsprincippet og Keplers tønderegel Integrtionsprincippet og Keplers tønderegel. side Institut for Mtemtik, DTU: Gymnsieopgve Integrtionsprincippet og Keplers tønderegel Littertur: H. Elrønd Jensen, Mtemtisk nlyse, Institut for Mtemtik,

Læs mere

Udtalelse om æglæggende høner

Udtalelse om æglæggende høner Det Dyreetiske Råd Udtlelse om æglæggende høner ustitsministeriet Civilkontoret Slotsholmsgde 10 1216 Københvn K uni 2001 Udtlelse om æglæggende høner 2001 Det Dyreetiske Råd Københvn Grfisk tilrettelægning:

Læs mere

Vores fælles hukommelse

Vores fælles hukommelse Vores fælles hukommelse 1 2 3 4 5 Præmel side 2 Mission side 3 Vision side 3 Rigsrkivets strtegiske mål side 4 Arkiverne ringes i spil til flere side 4 Bidrg til effektivisering f den offentlige sektor

Læs mere

Induktive, fotoceller, kapacitive og ultralydssensorer

Induktive, fotoceller, kapacitive og ultralydssensorer Induktive, fotoceller, kpcitive og ultrlydssensorer HOVEDKATALOG NEW Op til 500 br induktive følere med lng tstefstnd til højtryksinstlltioner (series 500P) Op til 500 br induktive følere i miniture byggeform

Læs mere

Projektstyring. Dag 5

Projektstyring. Dag 5 Akdemifget Projektstyring Dg 5 m/u PRINCE2 Foundtion certificering i smrbejde med PRINCE2 is Registered Trde Mrk of the Office of Government Commerce in the United Kingdom nd other countries. Humn fctor

Læs mere

International økonomi

International økonomi Interntionl økonomi Indhold Interntionl økonomi... 1 Bilg I1 Oversigt over smmenhæng mellem kompetencer og kernestof i 3 skriftlige eksmensopgver i Interntionl økonomi A.... 2 Bilg I2 Genrer i IØ fr oplæg

Læs mere

Matematik B-A. Trigonometri og Geometri. Niels Junge

Matematik B-A. Trigonometri og Geometri. Niels Junge Mtemtik B-A Trigonometri og Geometri Niels Junge Indholdsfortegnelse Indledning...3 Trigonometri...3 Sinusreltionen:...6 Cosinusreltionen...7 Dobbeltydighed...7 Smmendrg...8 Retvinklede treknter...8 Ikke

Læs mere

Installationsvejledning

Installationsvejledning Dikin Altherm lvtempertur monolok ekstrvrmer EKMBUHCAV EKMBUHCA9W Dikin Altherm lvtempertur monolok ekstrvrmer Dnsk Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse Om dokumenttionen. Om dette dokument... Om kssen.

Læs mere

Matematik. Kompendium i faget. Tømrerafdelingen. 1. Hovedforløb. a 2 = b 2 + c 2 2 b c cos A. cos A = b 2 + c 2 - a 2 2 b c

Matematik. Kompendium i faget. Tømrerafdelingen. 1. Hovedforløb. a 2 = b 2 + c 2 2 b c cos A. cos A = b 2 + c 2 - a 2 2 b c Kompendium i fget Mtemtik Tømrerfdelingen 1. Hovedforlø. Trigonometri nvendes til eregning f snd længde og snd vinkel i profiler. Sinus Cosinus Tngens 2 2 + 2 2 os A os A 2 + 2-2 2 Svendorg Erhvervsskole

Læs mere

For så kan de to additionsformler samles i én formel, der kan ses som et specialtilfælde af den komplekse eksponentialfunktions funktionalligning,

For så kan de to additionsformler samles i én formel, der kan ses som et specialtilfælde af den komplekse eksponentialfunktions funktionalligning, 15.1. Komplekse integrler 293 læse, og hvordn gør mn det i prksis? Men den virkelige motivtion bg begrebet bliver udst til fsnit 18.5, hvor vi viser t foldning f sndsynlighedsmål lder sig udtrykke meget

Læs mere

School of the Future : Gennemgribende energirenovering af Hedegårdsskolen i Ballerup

School of the Future : Gennemgribende energirenovering af Hedegårdsskolen i Ballerup School of the Future : Gennemgriende energirenovering f Hedegårdsskolen i Bllerup Forfttere: Ove Mørck, Kirsten Engelund Thomsen, Birgit Elley Jørgensen c Cenergi Rådgivende Ingeniører, Herlev Hovedgde

Læs mere

1. Honningpriser. Skemaet viser vregt og priser pi dansk og udenlandsk honning. Dansk honning

1. Honningpriser. Skemaet viser vregt og priser pi dansk og udenlandsk honning. Dansk honning , i 1. Honningpriser Skemet viser vregt og priser pi dnsk og udenlndsk honning. o Hvor stor er prisen i lt for 2 brgre lynghonning og 3 bregre okologisk honning. o Hvor stor er forskellen i pris pi den

Læs mere

Astrofysik. M bol = konstant + α log Π,

Astrofysik. M bol = konstant + α log Π, Astrofysik Ugeseddel 6 7 9/5 giver jeg en indledning til kosmologi med en gennemgng f Fundmentl Astronomy, Kpitel 19, og det supplerende mterile på denne ugeseddel. 11/5 behndler jeg målinger f kosmologiske

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C POTENS-SAMMENHÆNG

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C POTENS-SAMMENHÆNG ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C POTENS-SAMMENHÆNG INDHOLDSFORTEGNELSE 1 Formelsmling... side 2 Uddbning f visse formler... side 3 2 Grundlæggende færdigheder... side 5 2 Finde konstnterne og b i en formel...

Læs mere

Michel Mandix (2017) Derfor er der behov for en række værktøjer, som kan bruges også til de vilkårlige trekanter. a b c A B C

Michel Mandix (2017) Derfor er der behov for en række værktøjer, som kan bruges også til de vilkårlige trekanter. a b c A B C Mihel Mndix (07) Sinusreltionen Nott Side f 9 Sinusreltionen Indtil videre, er der kun eskrevet, hvordn mn eregner på retvinklede treknter. Men desværre er det lngtfr lle treknter, som er retvinklede.

Læs mere

Eksamensopgave august 2009

Eksamensopgave august 2009 Ib Michelsen, Viborg C / Skive C Side 1 09-04-011 1 Eksmensopgve ugust 009 Opgve 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 13 14 15 16 17 18 19 0 1 Givet ovenstående ensvinklede treknter. D treknterne er ensvinklede, er

Læs mere

Differentialregning. integralregning

Differentialregning. integralregning Differentilregning og integrlregning Ib Micelsen Ikst 013 Indoldsfortegnelse Tegneøvelser...3 Introduktion... Definition f differentilkvotient og tngent...6 Tngentældninger...7 Den fledte funktion...7

Læs mere

ANALYSEOPGAVE Feelgood Bakery

ANALYSEOPGAVE Feelgood Bakery ANALYSEOPGAVE Feelgood Bkery Kommuniktion: Helene, Loiuse, Pernille og Ndi Gruppe 14 Hvem er fsenderen? - Glutenfri bgerbrød - Christine og Louise Krogh Hvem er målgruppen? - Gluten llergikere og helsefreks

Læs mere

RAPPORT FOR OPFYLDELSE AF MÅL I FORSVARSMINISTERIETS KLIMA- OG ENERGI-STRATEGI SAMT MILJØ- OG NATURSTRATEGI

RAPPORT FOR OPFYLDELSE AF MÅL I FORSVARSMINISTERIETS KLIMA- OG ENERGI-STRATEGI SAMT MILJØ- OG NATURSTRATEGI 2013 RAPPORT FOR OPFYLDELSE AF MÅL I FORSVARSMINISTERIETS KLIMA- OG ENERGI-STRATEGI SAMT MILJØ- OG NATURSTRATEGI INDHOLDSFORTEGNELSE 02 Indholdsfortegnelse 03 Indledning 04 Resumé 04 Oversigt over målopfyldelse

Læs mere

Brandsikring af ventilationskanaler

Brandsikring af ventilationskanaler Brndsikring f ventiltionsknler Klsse EI 30/E 60 A2-s1, d0 November 2 010 Monteringsvejledning for brndisolering iht. DS428, 3. udgve, 2009 - og lukninger med Conlit Brndskotplde, EI60 [BS60] Runde knler

Læs mere

Forskønnelsesplanen Det Nye Furesølund

Forskønnelsesplanen Det Nye Furesølund Forskønnelsesplnen Det Nye Furesølund Furesølund er trods sine mere end 40 år stdig et ttrktivt område. Men dmen er lidt slidt. Legepldserne flder smmen. Rækværket flmer, og grønne områder står gemt og

Læs mere

Bilag 1. Frafaldsanalyse elever. Generelle oplysninger:

Bilag 1. Frafaldsanalyse elever. Generelle oplysninger: Bilg Frfldsnlyse elever Generelle oplysninger: Skole Frekvens AMU Center Århus Dnsk Center Jordrugsuddnnelse Den Jyske Hndværkerskole Djurslnd ES ES Års Esjerg TS EUC Midt EUC SYD Frederici-Middelfrt TS

Læs mere

TAL OG BOGSTAVREGNING

TAL OG BOGSTAVREGNING TAL OG BOGSTAVREGNING De elementære regnerter I mtemtik kn vi regne med tl, men vi kn også regne med bogstver, som gør det hele en smugle mere bstrkt. Først skl vi se lidt på de fire elementære regnerter,

Læs mere

IPA BESLAG TIL SCHÜCO ALU INSIDE NORDIC A/S J. PETERSENS BESLAGFABRIK JACOB PETERSENSVEJ 9, DK-9240 NIBE TEL: (+45) 98 35 15 00

IPA BESLAG TIL SCHÜCO ALU INSIDE NORDIC A/S J. PETERSENS BESLAGFABRIK JACOB PETERSENSVEJ 9, DK-9240 NIBE TEL: (+45) 98 35 15 00 IP BESLG TIL SCHÜCO LU INSIDE NORDIC 2015 /S J. PETERSENS BESLGFBRIK JCOB PETERSENSVEJ 9, DK-9240 NIBE TEL: (+45) 98 35 15 00 3 BESLG TIL SCHÜCO LU INSIDE NORDIC Indholdsfortegnelse SIDE SCHÜCO LU INSIDE

Læs mere

De eksisterende træer omkring skolen mod syd og øst fældes for at skabe mere indsigt, lys og luft til bygningen.

De eksisterende træer omkring skolen mod syd og øst fældes for at skabe mere indsigt, lys og luft til bygningen. Beskrivelse Luftfoto f Ørnevejens skole 1945-50, Frederikshvn Stdsrkiv. Boliger ved Ørnevejens Skole i Frederikshvn Frederikshvn Boligforening ønsker t erhverve Ørnevejens Skole med omkringliggende reler

Læs mere

Lukkede flader med konstant krumning

Lukkede flader med konstant krumning Lukkede flder med konstnt krumning Hns Anton Slomonsen Arhus Universitet Mrch 13, 2015 En flde i rummet B A giver nledning til to mål for fstnden mellem to punkter A og B på flden: - længden f den rette

Læs mere

Alternative metoder til køling af løg

Alternative metoder til køling af løg inspire demoprojekt Alterntive metoder til køling f løg Af Merete Edelenbos, Arhus Universitet Anne Drre-Østergrd og Bstin Junker, AgroTech November 2013 1 Energiforbruget ved lngtidslgring f løg er højt,

Læs mere

Regneregler. 1. Simple regler for regning med tal.

Regneregler. 1. Simple regler for regning med tal. Regneregler. Simple regler for regning med tl. Vi rejder l.. med følgende fire regningsrter: plus (), minus ( ), gnge () og dividere (: eller røkstreg, se senere), eller med fremmedord : ddition, sutrktion,

Læs mere

At være en langtidsholdbar Herrens tjener TEOLKURSUS 2012

At være en langtidsholdbar Herrens tjener TEOLKURSUS 2012 At være en lngtidsholdbr Herrens tjener TEOLKURSUS 2012 3 tilgnge til mennesket Psyken bolig for menneskets følelsesmæssige behov Kroppen bolig for menneskets fysiske behov Sjælen bolig for menneskets

Læs mere

Et udvalg af funktionerne tegnet på grafregneren (eller her med Derive)

Et udvalg af funktionerne tegnet på grafregneren (eller her med Derive) GDS, opgve 85 En strt på opgven (undervisnings- og tvleprotokol): En milie unktioner hr orskrit 4 ( ) + R, Et udvlg unktionerne tegnet på grregneren (eller her med Derive) Værdier tllet, or hvilke hr henholdsvis

Læs mere

Kompendium. Matematik HF C niveau. Frederiksberg HF Kursus. Lars Bronée 2014

Kompendium. Matematik HF C niveau. Frederiksberg HF Kursus. Lars Bronée 2014 Kompendium Mtemtik HF C niveu π Frederiksberg HF Kursus Lrs Bronée 04 Mil: post@lrsbronee.dk Web: www.lrsbronee.dk Indholdsfortegnelse: Forord Det grundlæggende Ligningsløsning 8 Procentregning Rentesregning

Læs mere

CONLIT. Brandsikring af ventilationskanaler

CONLIT. Brandsikring af ventilationskanaler MARTS 01 ROCKWOOL DANMARK CONLIT Brndsikring f ventiltionsknler Monteringsvejledning for brndsikring iht. DS8,. udgve, 011 - smt lukninger med CONLIT Brndskot, EI0 (BS0) Runde knler - brndsikret med CONLIT

Læs mere

Bæredygtige bygge- og anlægsprojekter i Næstved Kommune

Bæredygtige bygge- og anlægsprojekter i Næstved Kommune Bæredygtige bygge- og nlægsprojekter i Næstved Kommune Her finder du E Forord 3 Indledning og læsevejledning 5 Generelt om bæredygtig projektering 6-7 Påvirkning f kulturmiljøer 8-9 Mteriler 10-12 l 13

Læs mere

Bæreevne af Wirebokse i elementsamlinger - Kalibrering af partialkoefficienter

Bæreevne af Wirebokse i elementsamlinger - Kalibrering af partialkoefficienter Bæreevne Wirebokse i elementsmlinger - Klibrering prtilkoeiienter Udrbejdet : Proessor John Dlsgrd Sørensen Adjunkt Henrik Brøner Jørgensen Dto: ugust 2016 Smmentning Dette nott beskriver undersøgelser

Læs mere

Matematikkens mysterier - på et højt niveau. 3. Differentialligninger

Matematikkens mysterier - på et højt niveau. 3. Differentialligninger Mtemtikkens msterier - på et højt niveu f Kenneth Hnsen 3. Differentilligninger N N N 3 A A k k Indholdsfortegnelse 3. Introduktion 3. Dnmiske sstemer 3 3.3 Seprtion f de vrible 8 3.4 Vækstmodeller 8 3.5

Læs mere