PotenssammenhÄnge Karsten Juul

Transkript

1 PotenssmmenhÄnge y b y k k 009 Krsten Juul

2 Dette häfte er en fortsättelse f häftet "Eksponentielle smmenhänge, 009". Indhold 4. Hvd er en potens-smmenhäng? Hvordn ser grfen ud for en potens-smmenhäng Opgver hvor vi skl bestemme eller y i y = b Hvordn kn vi beregne Ändringer i y og for en potens-smmenhäng? Nyere häfter: 1/ /5-11 Potens-smmenhÄnge 1. udgve 009 Å 009 Krsten Juul Dette häfte kn downlodes fr HÄftet mç benyttes i undervisningen hvis läreren med det smme sender en e-mil til kj@mt1.dk som dels oplyser t dette häfte benyttes, dels oplyser om klsse/hold, lärer og skole/kursus.

3 Afsnit 4. Hvd er en potens-smmenhäng? DEFINITION 4.1 Hvd er en potens-smmenhäng? Vi klder en smmenhäng for en potens-smmenhäng hvis den kn beskrives ved en ligning der fçs ved t indsätte bestemte tl for og b i ligningen (1) y b hvor b skl väre positiv. Opgve 4.: Svr: Ligningen,6 () y 1, 4 viser en smmenhäng mellem to vrible y og. Hvilke tl skl vi indsätte for og b i ligningen y b smmenhängen ()? Vi skl sätte,6 og b 1, 4 for nçr vi gér det, fçr vi ligningen y 1,4,6 som kn omskrives til ligningen (). for t fç BemÄrkning: I svret pç 4. viste vi t ligningen () kn fçs ved t sätte bestemte tl ind for og b i ligning (1) i definition 4.1, dvs. vi viste t () er en potens-smmenhäng. Opgve 4.3: Ligningen 4 (3) y viser en smmenhäng mellem to vrible y og. Hvilke tl skl vi indsätte for og b i ligningen y b smmenhängen (3)? for t fç Svr: For t fç smmenhängen (3) skl vi i ligningen y b sätte 1 og b 4 for nçr vi gér det, fçr vi ligningen y som vi kn omskrive til ligningen (3) d Her hr vi brugt reglerne p 1 1 q p q, p p r r og p 1 p. 4 1 Potens-smmenhÄnge Side Krsten Juul

4 Opgve 4.4: Ligningen (4) y viser en smmenhäng mellem to vrible y og. Hvilke tl skl vi indsätte for og b i ligningen smmenhängen (3)? y b for t fç Svr: For t fç smmenhängen (3) skl vi i ligningen y b sätte 1 og b 1 for nçr vi gér det, fçr vi ligningen 1 y 1 som vi kn omskrive til ligningen (4) d Her hr vi brugt reglerne 1 p p og p p. 1 Åvelse 4.5 Hver f félgende smmenhänge kn vi fç ved t sätte tl ind for og b i ligningen Angiv i hvert tilfälde hvd der skl indsättes for og b. 3 (1) y 4 () y 4 3 (3) y 5,9 (4) y, 5. y b. Opgve 4.6: Et kvdrtisk omrçde däkkes med kkler der hver vejer 38 enheder. ) Hvilken udregning skl vi foretge for t beregne vägten f kklerne hvis omrçdet er kkler bredt (og héjt)? b) Hvilken udregning skl vi foretge for t beregne vägten f kklerne hvis omrçdet er 3 kkler bredt? c) Hvilken udregning skl vi foretge for t beregne vägten f kklerne hvis omrçdet er 8 kkler bredt? d) Opskriv en ligning til beregning f vägten y nçr bredden er kendt. Svr: ) 38. b) c) d) y 38. BemÄrkning: SmmenhÄngen y 38 definition 4.1 d vi fçr ligningen y 38 og b 38. er en potens-smmenhäng. Dette félger f nçr vi i y b Der er en bemärkning til på näste side. indsätter Potens-smmenhÄnge Side Krsten Juul

5 BemÄrkning: NÇr bredden er t, er vägten y 38 t. NÇr bredden er t, er vägten y 38 (t) 38 t 38t 4. Ved t smmenligne de to resultter kn vi se t vägten firedobles nçr bredden fordobles. Åvelse 4.7 Om nogle ksser gälder: Bredden er 3 gnge héjden. LÄngden er 5 gnge héjden. ) NÇr héjden er, hvd er sç bredden? og längden? og rumfnget? b) Opskriv en ligning til beregning f rumfnget y nçr héjden er kendt. c) NÇr héjden er t, hvd er sç rumfnget? d) NÇr héjden er t, hvd er sç rumfnget? e) Hvd sker der med rumfnget nçr héjden fordobles? Afsnit 5. Hvordn ser grfen ud for en potens-smmenhäng? Opgve 5.1: FÉlgende tre smmenhänge er lle potenssmmenhänge (ifélge definition 4.1). 1, 9 I: y 0,5 II: III: y 0.8 y 0,4 Tegn grferne for de tre smmenhänge. Svr: Ved hjälp f et elektronisk hjälpemiddel eller ved metoden fr fsnit 4 kn vi tegne grferne. I II III BemÄrkning: Af grferne ses t de to smmenhänge hvor er positiv, er voksende, og den smmenhäng hvor er negtiv, er ftgende. Potens-smmenhÄnge Side Krsten Juul

6 SÇTNING 5. En potenssmmenhäng y b ftgende hvis er negtiv og voksende hvis er positiv. er Dobbeltlogritmisk koordintsystem I koordintsystemet nedenfor til héjre er hver f kserne en speciel type der kldes en logritmisk kse. Et koordintsystem kldes et dobbeltlogritmisk koordintsystem hvis begge kser er logritmiske. Opgve 5.3: Tegn grfen for smmenhängen ovenfor. y 5 1,16 i begge koordintsystemerne Svr: Vi bruger metoden fr fsnit 4 og fsätter de fundne punkter i begge koordintsystemer. (Se näste side). Potens-smmenhÄnge Side Krsten Juul

7 y 5 1,16 y 5 1,16 SÇTNING 5.4 Grfen for en potenssmmenhäng er en ret linje i et dobbeltlogritmisk koordintsystem. BemÄrkning NÇr vi ser koordintsystemer i viser, tidsskrifter og lärebéger i forskellige fg, skl vi se efter om kserne er sädvnlige, sç vi ikke tror t en smmenhäng er lineär nçr grfen er en ret linje i et dobbeltlogritmisk (eller enkeltlogritmisk) koordintsystem. Potens-smmenhÄnge Side Krsten Juul

8 Afsnit 6. Opgver hvor vi skl bestemme eller y i y = b Opgve 6.1: For nogle dyr gälder (1) y 0,4,8 hvor y er vägten, mçlt i grm, og er längden, mçlt i cm. ) Hvd er vägten f et dyr hvis längde er 3 cm? b) Hvd er längden f et dyr hvis vägt er 0,5 g? Svr pç ): Under ligningen (1) stçr t er längden, sç d det oplyste tl 3 er längden, skl 3 indsättes pç 's plds: y 0,4 3,8 Ved t udregne dette fçr vi y 5, Under ligningen (1) stçr t y er vägten, sç et 3 cm lngt dyr vejer 5, g. Svr pç b): Under ligningen (1) stçr t y er vägten, sç d det oplyste tl 0,5 er vägten, skl 0,5 indsättes pç y's plds: 0,5 0,4,8 For t lése denne ligning strter vi med t dividere begge sider med 0,4: 0,5 0,4 0,4 0,4,8 Vi forkorter bréken pç héjre side og fçr 0,5 0,4,8 Denne ligning hr lésningen,8 0,5 0,4 Ved t udregne dette fçr vi 1,3 Under ligningen (1) stçr t er längden, sç et dyr hvis vägt er 0,5g, hr längden 1,3 cm. Potens-smmenhÄnge Side Krsten Juul

9 Åvelse 6. Antllet f dyr i en indhegning fhänger f dyrenes längde. Der gälder,3 y 5800 hvor y er ntl dyr i indhegningen, og er dyrenes längde, mçlt i cm. ) Hvor mnge dyr er der i indhegningen, hvis dyrenes längde er 6 cm? b) Hvd er dyrenes längde nçr der er 19 dyr i indhegningen? Åvelse 6.3 SmmenhÄngen mellem tykkelse og längde for visse stängler kn beskrives ved ligningen y 13 0,7 hvor y er längden i cm, og er tykkelsen i mm. Hvor tyk er en 100 cm lng stängel? Åvelse 6.4 Prisen for nogle figurer er fstlgt ved y 0 3,5 hvor y er prisen i kr. og er héjden i cm. En gul figur er 3 cm héj, en réd figur er 5 cm héj, og en blç figur er 7 cm héj. ) Hvor mnge kroner er den réde dyrere end den gule? b) Hvor mnge kroner er den blç dyrere end den réde? c) Hvor mnge procent er den réde dyrere end den gule? d) Hvor mnge procent er den blç dyrere end den réde? Potens-smmenhÄnge Side Krsten Juul

10 Afsnit 7. Hvordn kn vi beregne Ändringer i y og for en potens-smmenhäng? Opgve 7.1: Svr pç ): Det Çrlige vrmetb gennem loftet fhänger f tykkelsen f isoleringen. For en bestemt bolig gälder t y ,75 hvor y er vrmetbet i kwh og er tykkelsen i cm. ) Nu er tykkelsen 10 cm. Hvor mnge procent vil vrmetbet nedsättes hvis tykkelsen Éges med 85 %? b) Nu er tykkelsen 8 cm. Hvor mnge procent skl tykkelsen Éges for t vrmetbet bliver nedst med 37 %? er 10. For t udregne det tl der er 85 % stérre, skl vi gnge med 100% 85% 185% 185 1, : 10 1,85 18, 5. 0,75 NÇr 10 er y , 7. 0,75 NÇr 18, 5 er y ,5 605, 36. Vi udregner hvor mnge procent y er blevet Ändret: 605,36 960,7 0, % 960,7 Vi hr nu fundet ud f t 85 % 10 18,5 y 960,7 605,36 37% vrmetbet nedsättes 37% nçr tykkelsen pç 10 cm Éges med 85 %. Svr pç b): er 8. 0,75 NÇr 8 er y , 1 dvs. y er 1135,1. For t udregne det tl der er 37 % mindre, skl vi gnge med 100% 37 % 63% 63 0, : 1135,1 0,63 715, 18. Vi finder nu ud f hvd er, nçr y er 715,18: 85 % 0,75 Vi léser ligningen 715, ,81 og fçr 14, 81. y 1135,1 715,18 Vi udregner hvor mnge procent er blevet Ändret: 37% 14,81 8 0, %. 8 Vi hr nu fundet ud f t nçr tykkelsen pç 8 cm Éges 85%, sç nedsättes vrmetbet 37 %. BemÄrkning: Af svrene pç de to spérgsmçl ser vi t unset om tykkelsen er 8 cm eller 10 cm, gälder: NÇr tykkelsen Éges 85 %, sç nedsättes vrmetbet 37 %. Dette kn ogsç udtrykkes sçdn: NÇr tykkelsen gnges med 1,85, sç gnges vrmetbet med 0,63. Potens-smmenhÄnge Side Krsten Juul

11 Åvelse 7. Et dyr vokser sçdn t y,7 1,6 hvor y er vägten i grm, og er längden i cm. ) LÄngden blev mçlt tre gnge. FÉrste gng vr längden cm, og nden gng vr längden 3 cm. Hvd vr vägten d dyrets längde férste gng blev mçlt, og hvd vr vägten nden gng. b) Hvor mnge procent er längden vokset fr férste til nden mçling, og hvor mnge procent er vägten vokset i smme periode? c) Fr nden til tredje mçling er vägten vokset 30%. Hvor mnge procent er längden vokset i smme periode? Opgve 7.3: Bevis for 7.4 I denne opgve stçr bçde, b, k og t for tl som endnu ikke er oplyst. Ligningen (1) y b viser smmenhängen mellem to vrible y og. Hvilken Ändring sker i värdien f y, nçr Ändrer värdi fr t til t k? Svr: Vi regner ud hvd y er nçr er t og t k : NÇr NÇr t er t k y bt er y b( t k) b t Vi ser t nçr värdien f Ändres fr t til k t k Af potensreglen ( u v), sç Ändres värdien f y s fçr vi ( t k) u s v t s k. fr bt til k b t. Dvs. värdien f y bliver gnget med k nçr värdien f bliver gnget med k. BemÄrkning: D t ikke indgçr i svret, gälder ltsç t ligegyldig hvilken värdi strter med t hve, sç vil y blive gnget med k nçr bliver gnget med k : y k k 0,94 Hvis 0, 94 og k 1, 7, er k 1,7 1, 5 hver gng bliver gnget med 1,7, sç bliver y gnget med 1,5 dvs. hver gng Éges 7 %, sç bliver y Éget med 5, %. Med udregningerne i svret pç opgve 7.3 hr vi gjort rede for t félgende regel gälder: sç Potens-smmenhÄnge Side Krsten Juul

12 SÇTNING 7.4 Om en potens-smmenhäng y b gälder for et positivt tl k: Hver gng bliver gnget med k, sç bliver y gnget med k. Opgve 7.5: For en cylinder hvor héjden er lig dimeteren, gälder y 3 4 hvor y er rumfnget og er dimeteren. ) Hvd sker der med rumfnget f sçdn en cylinder nçr dimeteren fordobles? b) Hvor mnge procent Éges rumfnget nçr dimeteren Éges 0 %? Svr pç ): NÇr gnges med, sç vil y blive gnget med 3 8 ifélge sätning 7.4. Dvs. rumfnget ottedobles nçr dimeteren fordobles. Svr pç b): Vi skl gnge dimeteren med 1,0 for t Ége den 0 %. NÇr gnges med 1,0, sç bliver y gnget med 1,0 3 1, 78 ifélge sätning 7.4. At y bliver gnget med 1,78, er det smme som t y bliver Éget 7,8 %. Dvs. rumfnget Éges 7,8 % nçr dimeteren Éges 0 %. Åvelse 7.6: Hvis en vres pris sättes op, sç sälges der mindre f den. For en bestemt vre gälder,11 y , 10 9 hvor y er det beléb der sälges for pç en dg, og er prisen pr. pkke. (Enheden for og y er kr.). ) Hvor mnge procent flder det beléb der sälges for pç en dg, hvis prisen sättes op med 0 %? b) Hvor mnge procent flder det beléb der sälges for pç en dg, hvis prisen sättes op med 40 %? c) Hvor mnge procent flder det beléb der sälges for pç en dg, hvis prisen sättes op fr 10 kr. til 0 kr.? Åvelse 7.7 Om nogle ksser gälder t héjden er gnge bredden, og längden er 3 gnge bredden. ) Hvis bredden er 5, hvd er sç kssens overflde? b) Skriv en ligning der viser smmenhängen mellem overflden y og bredden. c) Hvd sker der med overflden nçr bredden fordobles? Potens-smmenhÄnge Side Krsten Juul