Mere om. trekantsberegning. D s u Karsten Juul

Transkript

1 Mere om rekansberegning D s A C v B 01 Karsen Jl

2 Dee häfe indeholder ilfåjelser il fålgende häfer: Korfae rekansberegning for gymnasie og hf / hp://ma1.dk/korfae_rekansberegning_for_gymnasie_og_hf.pdf Çvelser il häfe "Korfae rekansberegning for gymnasie og hf" 9/-011 hp://ma1.dk/oevelser_il_haefe_korfae_rekansberegning_for_gymnasie_og_hf.pdf Alle häferne kan downloades fra hp://ma1.dk/noer.hm Indhold Eksempel med ensvinklede rekaner... 1 Eksempel pé dregning af vinkel ved hjälp af sinsrelaionen... Eksempel hvor vi brger cosinsrelaionen og sinsrelaionen il a dregne en afsand... De 11 opgaveyper med sider og vinkler i revinkle rekan... De formler il dregning af sider og vinkler i revinkle rekan... 7 De opgaveyper der låses ved hjälp af cosinsrelaionen eller sinsrelaionen De opgaveyper med sinsformlen for rekans areal... 9 Mere om rekansberegning Ñ 01 Karsen Jl Dee häfe kan downloades fra HÄfe mé benyes i ndervisningen hvis läreren med de samme sender en il kj@ma1.dk som dels oplyser a dee häfe benyes, dels oplyser om hold, lärer og skole.

3 Eksempel med ensvinklede rekaner E 0 C 10 1 Hvad ved vi? PÉ figren er siderne BC og DE parallelle. Trekanerne ABC og ADE er alsé ensvinklede. Hvad vil vi dregne? Vi vil dregne CE. A B D Plan for dregninger: Ved hjälp af reglerne for ensvinklede rekaner kan vi dregne längder af sider i rekanerne, men CE er ikke side i en af rekanerne. Vi dregner derfor fårs AC. SÉ kan vi derefer dregne CE ved a räkke AC fra 0. Skalafakoren k: Da rekanerne er ensvinklede, skal alle sider i rekan ABC ganges med samme al k for a fé den ilsvarende side i rekan ADE. Tilsvarende sider er sider der ligger over for lige sore vinkler. Vi dregner k: Da siderne med längder 10 og 1 ligger over for samme vinkel, mé gälde 10 k 1 Vi dividerer begge sider med 10 og fér k 1, Vi dregner AC : Da AC og siden med längde 0 ligger over for vinklerne B og D der er lige sore, gälder AC 1, 0 Vi dividerer begge sider med 1, og fér AC 1, Vi dregner CE : Vi fér n a CE 0 1, dvs. CE 7, Mere om rekansberegning Side 1 01 Karsen Jl

4 Mere om rekansberegning Side 01 Karsen Jl

5 Eksempel pé dregning af vinkel ved hjälp af sinsrelaionen Opgaven I rekan ABC er (* ) A, a og c 8. Vi vil dregne vinkel C. Skisen Vi egner en skise: Udregningen Vi säer ind i sinsrelaionen: 8 sin() sin( C) Nspire låser denne ligning mh. C for C, eller C 11, 0 C 180 og fér: De o rekaner De viser sig a der er o rekaner der opfylder (*). I den ene af disse rekaner er C,, og i den anden er C 11,. Vi vil egne de o rekaner. FÅrs egner vi AB og vinkel A: l Pnke C ligger pé l, og afsanden fra B il C er. A 8 B Derfor egner vi en cirkel med cenrm B og radis : N har vi de o rekaner ABC. C l C A 8 B Mere om rekansberegning Side 01 Karsen Jl

6 Eksempel hvor vi brger cosinsrelaionen og sinsrelaionen il a dregne en afsand Smmen af vinklerne i en rekan NÉr vi kender o vinkler i en rekan, sé kan vi dregne den redje. De er fordi man alid fér 180 nér man lägger alle re vinkler sammen. Finde side i rekan med sinsrelaionen Hvis vi i en rekan kender vinklerne og en af siderne sé kan vi dregne enhver af de andre sider. Dee kan vi gåre med sinsrelaionen. Finde side i en rekan med cosinsrelaionen Hvis vi i en rekan kender o sider og vinklen mellem dem sé kan vi dregne den redje side. Dee kan vi gåre med cosinsrelaionen. Eksempel hvor vi brger cosinsrelaionen og sinsrelaionen il a dregne en afsand Figren viser e landomréde se ovenfra. Vi vil finde afsanden mellem og A og B, men vi kan ikke méle denne afsand (pé grnd af forhold i landskabe). D s A Vores mälinger C v B Vi finder o seder C og D hvor der gälder: Fra C kan vi se béde A, B og D. Fra D kan vi se béde A, B og C. Vi kan méle afsanden mellem C og D. Vi méler vinkler mellem sigelinjer. Afsande er i meer. Vi fér CD 18, 81, 7, v 7, 0, s, 9, 108, 8. Mere om rekansberegning Side 01 Karsen Jl

7 Plan for dregninger Siden AC Hvis vi i rekan ABC kender siderne AC og BC og vinklen imellem dem, sé kan vi dregne längden af AB med cosinsrelaionen. Vinklen kan vi nem dregne da vi kender og v. AC er en side i rekan ACD. I denne kender vi vinklerne og v, sé vi kan nem dregne vinklen A. Da vi kender vinklerne og en side kan vi dregne längden af de andre sider med sinsrelaionen. Vi nåjes med a dregne längden af AC. PÉ ilsvarende méde dregner vi siden BC i rekan BCD. Vinkelsmmen i en rekan er 180, sé i rekan ACD er A 180 v, Sinsrelaionen siger a for alle sider i en rekan fér vi de samme al nér vi dividerer siden med sins il sidens modséende vinkel. Derfor gälder a CD AC 18 d dvs. 1 sin( A) sin( ) sin(,) sin(81,7) Nspire låser denne ligning mh. d1 og fér d 1 7, 80 hvor d 1 AC Siden BC I rekan BCD laver vi dregninger af samme ype som i rekan ACD: B 180 s 1, 18 d hvor d sin(1,) sin(,9) d,9 BC Siden AB I rekan ABC er C v, 8 Da C er vinklen mellemsiderne d1 og d, og cosinsrelaionen a c d 1 d d1 d Vi låser denne ligning mh. c og fér c 97,110 cos( C) c AB er siden over for vinklen, fålger af Konklsion Afsanden mellem A og B er 97 meer. Mere om rekansberegning Side 01 Karsen Jl

8 De 11 opgaveyper med sider og vinkler i revinkle rekan I rekanen il håjre er siderne med längde og kaeer, fordi vinklen mellem dem er re. Siden med längde er hypoense, fordi den ikke er en af kaeerne. Foresil dig a d sidder i den spidse vinkel og holder i de o vinkelben. Den kaee d holder i, er vinklens hosliggende kaee. Den anden kaee er vinklens modsäende kaee. Type 1 Type Type Hypoensen og en. Vinklens hosliggende kaee. cos(7) Nspire dregner vensre side En og dens hosliggende kaee. Hypoensen. cos( 7) Hypoensen og en kaee. Vinklen mellem disse. cos( ) vinklens hosliggende kaee hypoensen Nspire låser mh. vinklens hosliggende kaee hypoensen Nspire låser mh. for vinklens hosliggende kaee hypoensen Type Hypoensen og en. Vinklens modséende kaee. sin (7) vinklens hypoensen Nspire dregner vensre side modséende kaee 7 Type En og dens modséende kaee. Hypoensen. sin ( 7) vinklens hypoensen Nspire låser mh. modséende kaee 7 Type Hypoensen og en kaee. Kaeens modséende vinkel. sin ( ) Nspire låser mh. for vinklens modséende kaee hypoensen 0 90 Mere om rekansberegning Side 01 Karsen Jl

9 Type 7 Type 8 En og dens hosliggende kaee. Vinklens modséende kaee. an(7) Nspire dregner vensre side En og dens modséende kaee. Vinklens hosliggende kaee. an( 7) vinklens modséende kaee vinklens hosliggende kaee Nspire låser mh. vinklens modséende kaee vinklens hosliggende kaee 7 7 Type 9 De o kaeer. En. an( ) Nspire låser mh. for vinklens modséende kaee vinklens hosliggende kaee 0 90 Type 10 Type 11 De o kaeer. Hypoensen. hypoense kaeer Nspire låser mh. for Hypoensen og en kaee. Den anden kaee. Nspire låser mh. for hypoense kaeer 0 0 De formler il dregning af sider og vinkler i revinkle rekan Hver af de 11 meoder ovenfor brger en af fålgende fire formler: I en revinkle rekan gälder (1) den_ene_kaee + den_anden_kaee = hypoensen For en i en revinkle rekan gälder: () hypoensen cos( vinkel ) = vinklens_hosliggende_kaee () hypoensen sin( vinkel ) = vinklens_modsäende_kaee () vinklens_hosliggende_kaee an( vinkel ) = vinklens_modsäende_kaee Mere om rekansberegning Side 7 01 Karsen Jl

10 De opgaveyper der låses ved hjçlp af cosinsrelaionen eller sinsrelaionen. Type 1: p Udregn side med cosinsrelaionen Trekanen er ikke revinkle. En vinkel mellem o sider og disse o sider. Siden over for vinklen. vinklensben siden over for vinklen alid cos(1,) Nspire låser ligningen mh. p for p 0 p 1, Type 1: Udregn vinkel med cosinsrelaionen Trekanen er ikke revinkle. De re sider. Vinklen. vinklensben siden over for vinklen Nspire låser ligningen mh. v for alid cos( v) 0 v 180 v Type 1: siden der er Udregn side med sinsrelaionen Trekanen er ikke revinkle. En side og o vinkler. En af de andre sider. p sin( 1.) sin( 8.8 ) siden der er enheder, ligger over for vinklen der er 8,8 p enheder, ligger over for vinklen der er 1, Nspire låser ligningen mh. p for p 0 1, Hvis de var siden over for den kende vinkel vi sklle finde, sé mée vi fårs dregne denne vinkel ved a dnye a smmen af de re vinkler er 180. p 8,8 Type 1: Udregn vinkel med sinsrelaion Trekanen er ikke revinkle. To sider og vinklen over for en af dem. Vinklen over for den anden af de o sider. 8,8 sin( v) sin( 8,8 ) siden der er enheder, ligger over for vinklen der er 8,8 siden der er enheder, ligger over for vinklen af sårrelse v v Nspire låser ligningen mh. v for 0 v 180 Lommeregneren giver béde en låsning nder 90 og en låsning over 90. Hsk a begrnde hvilken af låsningerne der skal brges. I dee ilfälde kan begrndelsen väre: "Vinklen er nder 90 da siden over for vinklen ikke er den sårse i rekanen." I nogle opgaver er de oplys om vinklen er smp (dvs. over 90 ) eller spids (dvs. nder 90 ). Mere om rekansberegning Side 8 01 Karsen Jl

11 De opgaveyper med sinsformlen for rekans areal Type 1 Areale er alid 1 To sider og vinklen mellem dem. Areale. T 1 sin(1, ) vinklen skal väre mellem disse sider T 1, Nspire dregner ligningens håjre side. Type 17 alid 9,9 1 Areale, vinklen mellem o sider og en af de o sider. Den anden af de o sider. 1 p sin(1, ) vinklen skal väre mellem disse sider Nspire låser ligningen mh. p. 9,9 p 1, Type 18 alid 9,9 1 Areale og o sider. Vinklen mellem de o sider. 1 sin( v ) vinklen skal väre mellem disse sider Nspire låser ligningen mh. v for 0 v 180. Ligningen har béde en låsning nder 90 og en låsning over 90. Hvis opgaven er i en pråve, sé vil der väre flere oplysninger sé de fremgér hvilken af de o rekaner opgaven drejer sig om. 9,9 v Mere om rekansberegning Side 9 01 Karsen Jl