Dagens forelæsning Ingen-Arbirage princippe Claus Munk kap. 4 Nulkuponobligaioner Simpel og generel boosrapping Nulkuponrenesrukuren Forwardrener 2 Obligaionsprisfassæelse Arbirage Værdien af en obligaion Nuidsværdien af obligaionens fremidige ydelser Ligevægspris på en vare Pris udbud = eferspørgsel Kap. 3 Obligaionens ydelser blev ilbagediskonere med obligaionens effekive rene. Udbud og eferspørgsel Ofe nødvendig a kende invesorernes præferencer og iniialbeholdninger Anskaffelsesprisen på obligaionen BØVLET! Problem k + v = Y ( + y) Sikre bealinger fra samme idspunk vil (ofe) blive ilbage-diskonere med forskellige rener. ULOGISK! Finansiering Relaiv prisfassæelse (vha. ingen-arbirage princippe Ingen-arbirage princippe Hvis o akiver giver anledning il de samme fremidige bealinger, må de have nøjagig samme pris Kap. 4 Sikre bealinger fra samme idspunk skal ilbagediskoneres med samme rene. (Bemærk: ingen-arbirage princippe giver os kun mulighed for a udale os om de relaive priser. Vi kan ikke sige noge om de absolue priser.) 3 4
Ingen-Arbirage princippe Anagelser Invesorere forerækker flere fremfor færre penge Ingen kor-salgsresrikioner Gå kor i e akiv: Man låner akive fra fx en børsmægler og sælger de Penge i lommen her og nu Efer en periode leverer man akive ilbage ved a købe de i markede Illusraion af arbirage Obligaion Obligaion 2 For dyr! For billig! 2 3 2 3 Hvis akive er sege i værdi Hvis akive er falde i værdi Ingen ransakionsomkosninger Tab penge (de er dyrere a levere ilbage) Tjen penge (de er billigere a levere ilbage) 9 95 Samme fremidige bealinger, men prisen er forskellig! Mulig a jene risikofri gevins (arbirage!) 5 6 Arbirage sraegi Køb obligaion 2 (den billige ) og gå kor i obligaion (den dyre ) De giver følgende payoff-mønser (eller payoff-marice): Tid 2 3 Køb obligaion 2-9 Gå kor i obligaion 95 - - - I al 5 > Illusraion af arbirage Hvis de o obligaioner ikke har samme pris, er de mulig a skabe en risikofri arbiragegevins. I finansiering anager vi generel, a der ikke eksiserer arbirage på velfungerende markeder. Risikofri arbiragegevinser forsvinder lynhurig på e velfungerende marked. I ovensående ilfælde ville der ske følgende: Alle ville gå kor (sælge) i obligaion (den dyre) prisen på obligaion ville falde Alle ville købe obligaion 2 (den billige) prisen på obligaion 2 ville sige. Risikofri payoff ARBITRAGE! Ingen fremidige forpligelser 7 Denne effek vil forsæe, indil alle arbiragegevinser er væk (dvs. indil priserne på de o obligaioner er ens) Ja ja. De er god nok. Men hvad kan vi så bruge de il? 2
Illusraion af arbirage Hvis vi kender prisen på den ene obligaion, kan vi prisfassæe den anden! RELATIV PRISFASTSÆTTELSE! Illusraion af arbirage Claus Munks eksempel på side 32 Obligaion 2 3 Obligaion 2 2 3 Obligaion med R = 5% To annuiesobligaioner Obligaion 2 med R 2 = % n = Y = 2,95 R Y = H Y 2 = 6,275 ( + R) n 95 PRIS UKENDT! Da de fremidige bealinger er ens, må prisen på obligaion 2 være den samme som prisen på obligaion Ellers eksiserer der arbiragemuligheder! Pris = 95! 9 Anag P = og P 2 = 96 Arbirage sraegi Dagens forelæsning Payoff-marice Tid ----- Udsed (gå kor,256 sk. af obligaion Køb sk af obligaion 2 (,256 x ) (,256 x 2,95),54-6,275 - - - - - -6,275-96 6,275 ----- 6,275 I al 4,54 > ----- Arbirage Nulkuponobligaioner Simpel og generel boosrapping Nulkuponrenesrukuren Risikofri payoff ARBITRAGE! Ingen fremidige forpligelser Forwardrener 2 3
Nulkuponobligaioner En nulkuponobligaion er en obligaion der med sikkerhed giver kr. år senere (og ikke bealer rene i mellemiden). (dvs. en sående obligaion med kuponrene på ) Nulkuponobligaion: Prisen (og kursen) på nulkuponobligaionen Diskoneringsfakoren d( Nulkuponobligaioner er en vigig byggeklods som anvendes i prisfassæelsen af obligaioner! 3 Nulkuponobligaioner Tag udgangspunk i følgende sående obligaion: 7 Denne obligaion kan berages som en porefølje af 7 7 nulkuponobligaioner Pris? 2 3 7 sk. 2 årige nulkuponobligaioner Pris pr. sk: d(2) Pris i al: 7 x d(2) 7 sk. årige nulkuponobligaioner Pris pr. sk: d() Pris i al: 7 x d() 7 sk. 3 årige nulkuponobligaioner Pris pr. sk: d(3) Pris i al: 7 x d(3) Pris på obligaionen = 7 x d() + 7 x d(2) + 7 x d(3) Ellers arbirage! 4 Eksempel 4. s. 33 7% sående obligaion Pris? Nulkuponobligaioner 7 7 7 2 3 Diskoneringsfakorer d() =,94 d(2) =,9 d(3) =,7 7 sk. 3 årige nulkuponobligaioner Pris pr. sk: d(3) =,7 Pris i al: 7 x d(3) = 93,9 7 sk. 2 årige nulkuponobligaioner Pris pr. sk: d(2) =,9 Pris i al: 7 x d(2) = 6,3 7 sk. årige nulkuponobligaioner Pris pr. sk: d() =,94 Pris i al: 7 x d() = 6,5 Pris på obligaionen = 6,5 + 6,3 + 93,9 = 5,97 Ellers arbirage! Nulkuponobligaioner De forrige slides har vis os følgende: P = k + v = n = ( + y ( ) d = ) ( Y d( Den effekive rene på en nulkuponobligaion Nulkuponrenen! Dvs. Effekiv rene på nulkuponobligaionen Anal reneilskrivninger pr. år Dermed finder vi nulkuponrenen således: y( = d( 5 6 4
P = Nulkuponobligaioner n = Y d( P = n = Y + ( + y ( ) ) ( + y ( ) d = ) ( Sikre bealinger der falder på samme idspunk ilbagediskoneres med den samme rene! Sammenhængen mellem nulkuponrenerne og iden kaldes nulkupon-renesrukuren. Ved hjælp af nulkuponrenesrukuren kan man prisfassæe alle akiver, der giver sikre fremidige bealinger! 7 Nulkuponobligaioner På forrige slide og vi udgangspunk i en nulkuponrene med én årlig reneilskrivning. Nu Flere reneilskrivninger pr. år Diskoneringsfakor med m reneilskrivninger pr. år: Årlig nominel rene ved m reneilskrivninger pr. år d( ym( = + m m Diskoneringsfakor med koninuer reneilskrivning: d( = e y ( ) Anal reneilskrivninger pr. år Årlig nominel rene ved koninuer reneilskrivning Giver pænere maemaiske resulaer Dagens forelæsning Arbirage Nulkuponobligaioner Simpel og generel boosrapping Nulkuponrenesrukuren Forwardrener Simpel boosrapping Når man kender nulkuponrenesrukuren, kan man som idligere nævn prisfassæe alle akiver, der giver en sikker bealingssrøm. Problem Der handles ingen (få) nulkuponobligaioner! Hvordan skal man så finde nulkuponrenerne og nulkuponpriserne? I visse siuaioner er de mulig a finde nulkuponrenerne (og dermed diskoneringsfakorerne) ud fra handlede kuponobligaioner! Denne meode kaldes boosrapping! Lad os age udgangspunk i e simpel eksempel med o kuponobligaioner og o bealingsidspunker 9 2 5
Eksempel 4.3 s. 4 Simpel boosrapping % sående obligaion ( år il udløb) sk. -årige nulkuponobligaioner 5% sående obligaion (2 år udløb) 5 9 5 2 5 sk. -årige nulkuponobligaioner 5 sk. 2-årige nulkuponobligaioner P = x d() = x d() P 2 = 5 x d() + 5 x d(2) 9 = 5 x,99 + 5 x d(2) d() =,99 y () = % d(2) =,35 y (2) =,5% 2 Tidligere slide Simplificere meode Generel Generel boosrapping Hermed har vi funde nulkuponrenerne ud fra handlede kuponobligaioner! y () = % y (2) =,5% Simpel boosrapping (diskoneringsfakorer og nulkuponrener funde vha. kuponobligaioner) Kun o obligaioner og o bealingsidspunker Noge mere komplicere pga. mange forskellige obligaioner og mange forskellige bealingsidspunker Nødvendig a anvende en maemaisk meode Tavlefræs! 22 Generel boosrapping På avlen vise vi a diskoneringsfakorerne (og dermed nulkuponrenerne) kunne findes således: Diskoneringsvekoren Skreve på marixform: Diskoneringsfakor il id d = Y d() Y d(2) Y2 =...... d( N) YM P Ydelsesmaricen Y Y Y 2 22... M 2............ Prisvekoren Ydelse på obligaion il id 2 Y N P Y2 N P2...... Y MN PM Prisen på obligaion 23 5 Y = 5 5 d = 5 Generel boosrapping Eksempel 4.4 s. 42 5% sående obligaion (2 år udløb) 5 9 5 54 9 P = 9 9,933 y() = 54 9,27 = y(2) 5 5 2 Find diskoneringsfakorerne! (vha. generel boosapping) % serieobligaion (2 år udløb) 9 5 7,%,9% 54 2 Husk: d = Y P y ( ) = d ( ) 24 6
Generel boosrapping På en af de forrige slides vise vi, a man skal løse M ligninger med N ubekende for a idenificere diskoneringsfakorerne. Hvis M > N (dvs. der er flere ligninger end ubekende) kan man ikke være sikker på a, ligningssyseme har en løsning. Man kan ikke finde diskoneringsfakorer der semmer overens med alle obligaioners priser Mulig a konsruere en arbirageporefølje af obligaionerne! 25 Generel boosrapping Eksempel 4.4 s. 42 % sående obligaion ( år il udløb) Y = 5 5 5 54 5% sående obligaion (2 år udløb) 5 5 2 9 Find diskoneringsfakorerne! 9 P = 9 9 Flere obligaioner end bealigsidspunker! d() d = d(2) % serieobligaion (2 år udløb) 5 54 2 ARBITRAGE! Ikke mulig a finde diskonerigsfakorer Flere ligninger end ubekende der semmer overens med alle obligaionerne! 26 Generel boosrapping Find diskoneringsfakorerne vha. de o sående obligaioner, og vurder om prisen på serieobligaionen er fair! Y = 5 d = 5 5 P = 9,99 = 5 9,3 P fakisk-serieobl. = 9 For dyr ARBITRAGE! (dem har vi i øvrig funde idligere på slide 2 vha. simpel boosrapping) Med udgangspunk i disse diskoneringsfakorer kan vi finde serieobligaionens eoreiske pris: For billig n P = Y d( P eoreisk-serieobl. = 5 x,99 + 54 x,3 = 96,67 = 27 Generel boosrapping Konsruér en porefølje af de o sående obligaioner der perfek racker serieobligaionen! (en sådan porefølje kaldes en rackingporefølje!) Tid Køb,53 sk. af den % sående obligaion Køb,542 sk. af den 5% sående obligaion I al Noer (),53 = 5, 39 (2),53 = 55, 43 (3),542 9 = 46, 2 (4),542 5 = 2, 57 (5),542 5 = 54 Men den koser mindre! Arbiragesraegi: Køb racking poreføljen Udsed serieobligaionen! -5,39 () -96,67 5 55,43 (2) -46,2 (3) 2,57 (4) 54 (5) 2 54 Poreføljen har samme payoff som serieobligaionen! (dvs. den racker serieobligaionen perfek!) Ingen fremidige forpligelser men profi på id! 2 7
Dagens forelæsning Arbirage Nulkuponobligaioner Simpel og generel boosrapping Nulkuponrenesrukuren Nulkuponrenesrukuren Boosrappingmeoden fra idligere kan kun give os informaioner om nulkuponrenerne på de idspunker, hvor obligaionerne har erminer. Nødvendig a approksimere renen mellem erminsidspunkerne for a få informaion om hele renesrukuren. Man finder en paramerisk funkion på renesrukurkurven der beds mulig fier de observere nulkuponrener. Eksempel: Nielson-Siegel-model: Forwardrener r = a + be ( T + cte T e + d T T e T Paramere der skal esimeres: a, b, c, d, f T e 2 T hvor T = f 29 3 Nulkuponrenesrukuren Nulkuponrenesrukuren kan fx se således ud: Renesrukur Arbirage Dagens forelæsning 5% 4% 3% 23-9-22 23-9-23 9-9-24 Nulkuponobligaioner Simpel og generel boosrapping 2% Nulkuponrenesrukuren % Forwardrener %, 2, 4, 6,,, 2, 4, 6,, 2, 22, 24, -% 3 32
Forward rener Tro de eller ej vi skal have fa i endnu en rene! Illusraion: Forward rener Definiionen på en forward rene: En forward rene er en rene på en i dag indgåe afale om e lån mellem o fremidige idspunker. Nuidsværdien af denne afale er nul. Forwardrenen! s Tid f (,s) Penge lån her og skal beales ilbage her forrenes med En forward rene mellem periode og s (med årlig reneilskrivning) beegnes: ( s) f, Hvordan findes f (,s) så? beny ingen arbirage princippe Reneilskrivninger pr. år Sar-periode Slu-periode 33 34 Forward rener Forward rener Tag udgangspunk i abel 4. i Claus Munks noa s. 37: Payoff marice: År, 2 y ( 5% 6% f (-, 5% Ukend! Find forwardrenen mellem periode og 2 (dvs. find f (,2)) Tid 2 Køb for kr. nulkuponobligaion med udløb på id 2 Udsed for kr. nulkuponobligaion med udløb på id Lån,5 kr. mellem periode og 2 il forward renen f (,2) - (+,6) 2 =,236 -,5,5 -,5 x (+f (,2)) Beny ingen-arbirage princippe fremfor blo a indsæe al i en formel! I al Ingen forpligelser på id,236,5 x (+f (,2)) Alle fremidige bealinger skal være Ellers arbirage! 35 36 9
Forward rener Dvs.:,236,5 x (+f (,2)) = Regne, Regne f (,2) = 7,95% Forward rener s s d( d( s) Generel: f (, ) = Ligesom i abellen! De er vigig a I kan arbejde med den slags arbirage sraegier! I sede for a løse en opgave ved blo a indsæe al i en formel, giver de god øvelse a benye en payoff marice og no arbirage argumener! 37 Reneoversig Åhh nej Nu har vi fåe endnu en rene! Jeg kan ikke overskue de! R: nominel kuponrene (kap. 3) r: Konsan diskoneringsrene fra kap. 3 (inden vi lære noge om nulkuponrener) y: Effekiv rene (kap. 3) y : Effekiv rene på en nulkuponobligaion med én reneilskrivning årlig f (,s): Forwardrene mellem periode og s med én årlig reneilskrivning 3