Newon, Einsein og Universes ekspansion Bernhard Lind Shisad, Viborg Tekniske ymnasium Friedmann ligningerne beskriver sammenhængen mellem idsudviklingen af Universes udvidelse og densieen af sof og energi. De er løsninger il Einseins felligninger i den generelle relaivieseori, men de viser sig, a de også kan udledes af Newons mekanik med almindelig gymnasiemaemaik. Vi ser på, hvorledes de kan udledes basere på de kosmologiske prinip, og hvilke konsekvenser de har for udviklingen af Universes ekspansion. Indledning I 1915 offenliggjorde Einsein sin generelle relaivieseori. Den viser, a ilsedeværelse af masse og energi påvirker merikken i den firedimensionale rumid, som igen besemmer hvorledes fysiske objeker bevæger sig. Kor id efer eoriens offenliggørelse, påvise Aleksandr Friedmann a Einseins ligninger har re mulige løsninger for kosmologien i e ekspanderende univers: Posiiv krumning, hvor ekspansionen afager E saisk univers med konsan ekspansion Negaiv krumning, hvor ekspansionen vokser Universes ekspansion angives ved Hubbles konsan, som foræller hvorledes afsande mellem galakser vokser med iden. Sammenhængen mellem Hubbles konsan, Universes energiæhed og iden er give ved de såkalde Friedmann Lemaîre Roberson Walker ligninger. Den kan udledes fra Einseins felligninger, medn dee kræver maemaik lang ud over gymnasieniveau. Imidlerid findes der en alernaiv meode il a udlede ligningen ud fra Newons mekanik med almindelig gymnasiemaemaik ilsa en lille smule relaivieseori. Denne udledning skal vi gennemgå her. Hubbles lov Edwin Hubble opdagede i 19, a en galakses hasighed i forhold il ælkevejen og andre galakser er proporional med afsanden. Denne sammenhæng er udryk i Hubbles lov, som siger, a Newons graviaionseori har også e problem med e saisk univers. Hvis Universe sarer med alle sjerner i hvile i forhold il hinanden og en endelig sørrelse, vil graviaionen få de il a kollapse. Newon roede selv, a ilrækningen mellem alle par af sjerner var omhyggelig udbalanere af ilrækningen af fjernere sjerner på den anden side. Der er én vigig forskel mellem e ekspanderende univers i Einseins og Newons mekanik: Hvis e Newonsk univers ekspanderer, sker de ved, a galakserne fjerner sig fra hinanden i e Euklidsk rum, således a koordinaakserne ikke påvirkes af ekspansionen. I Einseins mekanik er de derimod rumme selv, som ekspanderer. Vi kan opfae de som om, galakserne ligger i sabile koordinaer, men a koordinaakserne srækkes med iden. Friedmann Lemaîre Roberson Walker ligningerne Sammenhængen mellem Universes udvidelse (Hubbles konsan) og rummes krumning R, densieen af sof r og den kosmologiske konsan Λ, er give ved de berøme Friedmann Lemaîre Roberson Walker ligninger. De o ligninger siger, a H a a 0 a a 8 Ra p Her er den universelle graviaionskonsan, a er afsanden og a er den dobbelafledede af a med hensyn il iden, p er rykke, R er Universes globale krumningsradius og k er den rumlige krumningsparameer. Trykke p kommer fra den såkalde energi sress ensor i Einseins felligninger. I vores nuværende univers er rykke så lille, a vi hel kan se bor fra de, så vi kan skrive ligningen som a a (1) () () v = H o a, hvor v er hasigheden, a er afsanden og H o er en konsan, kalde Hubbles konsan. De har senere vis sig, a H o også varierer med iden, men de er en langsom variaion over lang id. A Universe udvider sig, passer mege fin med Einseins felligninger, hvor e saisk univers ikke er en løsning af den originale version. Einsein indføre den kosmologiske konsan for a illade e saisk univers, noge han senere beegnede som den sørse fejlagelse i si liv. Vi vil nu udlede ligningerne ud fra en simpel generalisering af Newons mekanik og se på ligningens konsekvenser for e ekspanderende univers. Ekspanderende koordinaer Vi sarer med a foresille os e univers fyld med galakser. Vi indfører e koordinasysem, hvor galakserne ligge i fase koor dinaer således, a hvis afsanden mellem galakserne vokser, så følger koordinasyseme med og galakserne beholder deres koordinaer, se Figur 1. LFK-blade 1/018 1 aemaik Fysik
H kaldes Hubbles konsan, men der er ingen grund il a den skal være idsuafhængig. Den er konsan over hele rumme og har en besem værdi i dag, men denne værdi kan have variere over id og kan variere i fremiden. De vigige er, a den er uafhængig af de rumlige koordinaer x, y og z. Vi kan nu udrykke den relaive hasighed mellem o vilkårlige galakser ved hjælp af afsanden mellem dem: v H D Dee kaldes Hubbles lov. Figur 1 Skalering af koordinasysem. Hvis Universe ekspanderer eller rækker sig sammen, følger giere med. Dee giver mening, da galakserne ikke bevæger sig ilfældig men mege kohæren, som om de sad på en gummimembran, der kan srækkes. Dee er basere på observaioner af bevægelse af nabogalakser. alakserne gives koordinaer efer hvilke gierpunk der er æes på. Afsanden mellem o punker i dee koordinasysem (i meer) er afsanden i gierkoordinaer Dx gange skalaparameeren a: D a x, hvor Dx er afsanden mellem o gierlinjer. Da Universe ekspanderer, vil afsanden mellem o galakser A og B være idsafhængig: D a x Afsand i rumme er give med afsandsformelen D a x y z Den relaive hasighed mellem galakse A og galakse B er give ved Rummes krumning I den førse Friedmann ligning (1) indgår e led som beskriver Universes globale krumning: Ra R er den globale krumningsradius, og parameeren k angiver krumningens foregn: k = 1 k = 1 k = 0 negaiv krumning, parabolsk geomeri posiiv krumning, sfærisk geomeri flad univers, Euklidsk geomeri Når vi observerer mege fjerne galakser, vil rummes geomeri påvirke, hvor sor rumvinkel galaksen fylder på himlen, således, a den bliver forsørre ved sfærisk geomeri og formindske ved parabolsk geomeri. Da vi ikke observerer nogen sådan forvrængning af fjerne galakser, kan vi konkludere, a anagelsen k = 0 er en mege god beskrivelse af de nuværende univers. Vi vil derfor herefer se bor fra den globale krumning. Vi kan alligevel have en voldsom lokal krumning fx i forbindelse med sore huller, men de påvirker ikke den globale geomeri. aemaik Fysik v a x (vi ser kun på én dimension) Forholde mellem hasighed og afsand bliver da v a x a D a x a hvor a er den afledede af a med hensyn il iden. Læg mærke il, a Dx blev forkore væk. De beyder, a forholde mellem hasigheden, hvormed galakserne fjerner sig fra hinanden, og afsanden er uafhængig af hvilke galakser vi aler om. Uanse hvor o galakser befinder sig, vil forholde a mellem hasigheden og afsanden være den samme. Dee forhold kaldes Hubbles konsan: H a a a Densie Vi vil nu se lid på, hvad der sker med densieen, når rumme udvider sig. Vi vil berage massen inden for e gierelemen med dimensionerne Dx, Dy og Dz, som er sore nok il a udjævne lokale forskelle i densie (for eksempel en milliard lysår). Hvis densieen i gierkoordinaer er n (de er ikke de samme som densieen i normale enheder), er massen i gierelemene give ved x y z Rumfange i normale (ikke gier ) koordinaer af denne volumenhed er V a x y z. Densieen i normale enhe- der og koordinaer bliver da a ængden af masse i hver gierelle er konsan, men hvis a ændrer sig med iden, vil r også variere. LFK-blade 1/018
De kosmologiske prinip og graviaionen oderne kosmologi er basere på o anagelser som ilsammen kaldes de kosmologiske prinip: På en ilsrækkelig sor skala er Universe Homogen (de vil sige a de har samme egenskaber uanse hvor vi befinder os) Isorop (de ser ens ud i alle reninger) Vi vil nu ser på, hvad der sker med graviaionen i de ekspanderende univers. Vi vil berage graviaionen på en ilfældig galakse. På grund af de kosmologiske prinip har Universe ikke noge enrum, så vi kan lægge e koordinasysem med origo e vilkårlig sed, for eksempel i jordkloden. I henhold il Newons skaleorem for graviaionen, se Figur, vil graviaionen på e objek, som befinder sig i e sfærisk symmerisk graviaionsfel, kun påvirkes af graviaionen fra objeker, som er inden for en kugle med radius lig med afsanden fra origo il galaksen. Nu anvender vi Newons. lov sam graviaionsloven il a beregne yngdekrafen på en fjern galakse med masse m. inusegne skyldes, a krafen er ilrækkende og modsaree afsanden il galaksen. Vi får F m A m D m a R m a R a a a R Vi sæer ind i udrykke for fra () og får den anden Friedmann ligning: a a R a a R Den kosmologiske konsan Λ er ikke med, ligesom den ikke var de i Einseins oprindelige version af relaivieseorien. Vi lægger mærke il, a ligningen er uafhængig af R da Universe er homogen. De vil sige, a den holder for alle galakser. Her kan vi allerede se, a e saisk univers er uforenelig med eorien. Kun hvis densieen r = 0, kan Universe være saisk. Da densieen r varierer med iden, ersaer vi den nu med densieen i gierkoordinaer og får a a a Figur Newons eorem. assen inden for kuglen er give ved V D Hvis vi udrykker afsanden i gierkoordinaer får vi, a D a x y z a R () Dee er en differenialligning, hvor kun a og ä er funkioner af iden, alle andre sørrelse er konsaner. Dee er bevægelsesligningen for skalafakoren a(). Formlen blev oprindelig opdage af den russiske fysiker og asronom Alexandr Friedmann i 19 i forbindelse med løsning af Einseins felligninger i den generelle relaivieseori. Denne bevægelsesligning for skalafakoren foræller os, a graviaionen vil bremse Universes ekspansion, men den siger ikke, om den vil sandse eller skife rening. Dee vil afhænge af Universes oprindelige ekspansionshasighed og densie. aemaik Fysik Vi sæer ind i udrykke for massen a R og får herved besem hasighed og aeleraion (vi behøver ikke a bekymre os om a differeniere R, da galaksen befinder sig i e fas punk i gire): v D a R Av D a R Bevægelsesligningen har vi kunne udlede udelukkende ud fra Newons ligninger. Hvis den var hele sandheden, vil skalafakoren blive ved med a afage. Dee roede kosmologerne indil for a. 15 år siden. Vi skal se, a de forholder sig modsa. Kriisk densie For a forså, hvorledes densieen påvirker Universes udvikling, vil vi nu beregne energien il vores enlige fjerne galakse. Den kineiske energi er efer Newons mekanik give ved 1 1 Ekin mv m a R LFK-blade 1/018
Den poenielle energi finder vi fra Newons graviaionspoeniale, hvor vi husker, a D a R E po m a R Vi kombinerer begge ligninger og finder: 1 m E Ekin Epo ma R a R Vi vil nu prøve a finde en skalafakor, som præis får Universes udvidelse il a sandse. Dee svarer il, a den oale energi er lig med nul. 1 m m a R a R som giver a a R 0 For a få densieen ind i ligningen, dividerer vi med a : a a a a a R a R 8 V 8 (5) Dee er Friedmann ligningen for energi 0, som angiver Universes udvidelses undslipnings ekspansionshasighed. a Ide vi erindrer, a H, kan vi finde den kriiske densi- a e, hvor ekspansionen går i så: H 8 Den bedse asronomiske besemmelse (016) af Hubbles konsan er 71,9 (km/s)/p, som svarer il, 10 18 (m/s)/m i normale enheder. Når vi indsæer denne værdi, finder vi en kriisk densie på 10 18, s 8 66710, mkg s 9510, 7 kg/m 11 1 Dee svarer il a. 6 brinaomer pr. m, hvilke ikke ligger lang fra de bedse observaioner af Universes densie. Tidsudviklingen af Hubbles konsan Vi har se på speialilfælde, hvor alle galakser bevæger sig væk fra hinanden med undslipningshasigheden og energien derfor er 0. Vi vil nu berage de generelle ilfælde. Vi ser igen på en enkel galakse i forhold il e sfærisk område med radius D og med masse i henhold il Newons eorem. Hvis galaksen har masse m er dens oale energi give ved 1 E mv m D Da energien er bevare, er dee en konsan, dvs. E v konsan D m Vi husker, a D a x og v a x. Da vi alligevel kun har valg en vilkårlig afsand D, vil vi yderligere foresille os, a galaksen ligger i afsanden x = 1. Heraf får vi, a a konsan a Vi dividerer med a og får a a a a a a a a 8 a a 8 a Vi indfører densieen i gierenheder og får: 8 a a a a Dee er Friedmann ligningen for de generelle ilfælde, hvor energien ikke er nul. Tidsudviklingen vil afhænge af foregne på, da a ikke kan være negaiv. I sede for konsanen er de normal a beskrive idsudviklingen som afhængig af densiesparameeren Ω 0, se Figur. Ω 0 = r r Hvis Ω 0 > 1 som svarer il posiiv energi, vil den kineiske energi være sørre end den poenielle, og Universe vil blive ved med a ekspandere, selv om ekspansionen vil afage med iden Hvis Ω 0 < 1 som svarer il negaiv energi, vil ekspansionen gå i så, og Universe vil begynde a kollapse Hvis Ω 0 = 1 som svarer il energi lig nul, vil ekspansionen gå mod nul LFK-blade 1/018 5 aemaik Fysik
Friedmann ligningen for de foondominerede univers bliver derfor a a 8 a a Her er årsagen il, a skalaparameeren opræder i. poens, a foonenernes bølgelængde srækkes når Universe ekspanderer. Figur Tidsudviklingen ved forskellige densies parameeren. De maeriedominerede univers Vi vil nu se på løsningerne af Friedmann ligningen for de maeriedominerede univers, hvor densieen har den kriiske værdi, hvor ekspansionen vil gå i så. Her er 8 en konsan, så ligningen kan skrives a a 1 konsan a Vi søger efer en løsning på formen a p. Vi sæer ind i ligningen og ser, a den er opfyld hvis p =. Vi kan alså udrykke skalaparameeren med formelen a (6) Dee viser, a i e Newonsk ekspanderende univers, hvor ekspansionen har den kriiske værdi, hvor den går i så i en uendelig fremid, vil skalaparameeren udvikle sig med iden i / poens. Vi vil se, om vi kan finde løsninger il denne ligning for a se, hvorledes skalafakoren udvikler sig med iden. For a gøre ligningen leere a løse, sæer vi = 0. Da bliver ligningen a a 8 a a a 8 1 a F Vi ganger med a() på begge sider og får a, hvor a 8 F er en konsan. Dee er en simpel 1. ordens differenialligning på formen d d a F a Den har løsningen a (7) F De vil sige, a de idlige univers lige efer Big Bang, hvor foonerne dominerede, ekspanderede proporional med kvadraroden af iden i modsæning il de maeriedominerede univers, som ekspanderede med iden i /, se Figur. De foondominerede univers I de mege idlige univers dominerede energien i sråling (fooner) oal over maerien. Hvis Universe er fyld med fooner, kan vi ikke længer illade os a bruge Newons udryk for energien. en heldigvis kan probleme løses ved a ersae masse densieen med energiæheden for e foonfyld univers. Vi skal alså ersae E = m med foonenergi densie. aemaik Fysik Vi foresiller os en elle i rumme i gierenheder. Cellen har sider lig med en enhed, x = 1, og dens rumfang er derfor V a. Cellen er fyld med fooner, som hver har energien E h. Når rumme udvider sig, og a() vokser, srækkes også bølgelængden ilsvarende. Dee medfører, a foonens energi afager, når bølgelængden srækkes. Anal fooner i boksen vil være konsan, men energien af foonerne vil afage, når Universe ekspanderer. Energien pr. foon vil afage med 1/a. I modsæning il de maeriedominerede univers, hvor energien er konsan, vil foonenergien i de foondominerede univers afage med en over skalafakoren. De medfører, a densieen vil afage som 1 a, da ellens sørrelse vokser med a og energiindholde i foonerne afager med 1 a. Figur Udvikling af skalafakoren. 6 LFK-blade 1/018
Universes ilsandsligning For a forså, hvorledes skalafakoren afhænger af Universes densie, vil vi sudere Universes ilsandsligning. Fra ermodynamikken kender vi idealgasligningen. Den angiver sammenhængen mellem ryk, emperaur og rumfang for en gas. Den kan skrives på formen P nrt R V T hvor er mol massen og r er densieen. I kosmologien giver emperaurbegrebe ikke så megen mening, når vi aler om bevægelse af galakser, så vi opfaer den som en konsan. De har vis sig, a en mege god approksimaion af ilsandsligningen for Universe kan opnås ved a skrive idealgasligningen med konsan emperaur som P W (8) hvor P er rykke, r er densieen og W er en konsan. Vi skal nu se, hvad denne simple ilsandsligning siger om skalafakoren. Vi foresiller os en rekangulær boks, som indeholder energi i form af maerie, for eksempel galakser. Trykke på en af siderne i boksen er lig med krafen F dividere med areale A af siden P = F A Hvis vi ekspandere boksen lineær med en længde dx, vil maerien i boksen udføre e arbejde på væggen Fdx PAdx PdV Hvor dv er ændringen af boksens rumfang. Dee medfører, a energien i boksen afager med de arbejde, der er udfør på væggen hvor er en inegraionskonsan. en rumfange V er proporional med skalafakoren a() i redje poens, så vi kan skrive ligningen på formen 0 1 W a hvor r 0 er energidensieen ved a() = 1. (10) Vi vil nu se på de o speialilfælde, vi undersøge idligere. I de maeriedominerede univers udgør masse næsen al energi og energien i e rumfang V er lig med V. en energien er konsan, og når Universe udvider sig, falder energidensieen med skalafakoren i redje poens. De vil sige, a i de maeriedominerede univers er m 0 a I de foondominerede univers så vi, a udvidelsen påvirker foonernes bølgelængde, så densieen falder med skalafakoren i fjerde poens 0 a Hvis vi sammenligner med ilsandsligningen (10) ser vi, a W = 0 for de maeriedominerede univers, og W = 1 for de foondominerede univers. Den kosmologiske konsan Den kosmologiske konsan Λ opræder på højre side i Friedmann ligningen. Den sammer fra en reelse som Einsein indføre il sin berøme felligning i 1916 for a illade e saisk univers. Senere kalde han dee for den sørse fejlagelse i mi liv, da den er unødvendig i e ekspanderende univers. en de har vis sig, a den alligevel har beydning. Årsagen il dee er vakuumenergi. de Pd V (9) Da energien i boksen er lig med energidensieen ρ gange rumfange V får vi de dv V d, da densieen afager, når energien i boksen afager. Vi sæer ind i (9) og får d V V d PdV Så sæer vi ind ilsandsligningen (8): dv V d W dv d W dv 1 V Vi inegrerer og får løsningen V 1 W Vakuumenergi opræder i kvanefeleori som nulpunkenergi. Selv i absolu vakuum vil der være viruelle parikler, som eksiserer korvarig. Da de opfylder Heisenbergs usikkerhedsrelaion, kan deres energi ikke være nul. Dee giver ophav il nulpunkenergi i en kvanifiere harmonisk osillaor. Effeken kan observeres i Casimir effeken, som skaber ilrækning mellem elekrisk ledende plader i vakuum og den er også ophav il Hawking sråling fra sore huller. I kosmologien opræder vakuumenergien som en konsan (lille) energidensie, som fylder hele Universe. Vi vil nu se på, hvilke implikaioner dee har på ilsandsligningen. Vakuumenergi er en egenskab ved rumme og den påvirkes ikke af fysiske proesser. De vil sige, a når Universe ekspanderer, vil densieen af vakuumenergi være konsan. For a dee skal kunne opfyldes, må W = 1 i ligning (9). LFK-blade 1/018 7 aemaik Fysik
Konklusion Vi har se, a vi kan udlede Friedmann ligningerne fra Newons mekanik og de kosmologiske prinip. Vi kan beskrive Universe med en simpel ilsandsligning og vise, a Universe har gennemgåe re faser, se Figur 5. I de idlige univers dominerede foonerne og Universe ekspanderede med kvadraroden af iden. Eferhånden, som der blev danne sof i form af elemenarparikler, gik Universe over i den sofdominerede fase, hvor ekspansionen er proporional med iden i /. Når Universe ekspanderer, falder densieen, og på e idspunk går de ind i sin redje fase, hvor vakuumenergien dominerer, og Universe begynder en eksponeniel ekspansion. Denne skyldes, a vakuumenergien ilager, når Universe udvider sig. Figur 5 Tre faser i Universes ekspansion. Tilsandsligningen for e univers dominere af vakuumenergi er derfor P, hvor er energidensieen i vakuum. Universes eksponenielle ekspansion blev opdage i 1998 og udløse nobelprisen i fysik i 011. Når vi kombinerer de re faser, får vi e samle billede af Universes ekspansion som vis i Figur 6. Vi kan udrykke denne ved hjælp af den kosmologiske konsan 8 ed denne definiion kan vi skrive Freidmann ligningen som a a 8 m v 0 Ra Vi vil nu se på løsninger il ligningen for e univers, hvor vakuumenergien er dominerende. Da (, ) v, sæer vi derfor 0 og får m a v a 8 Figur 6 Tidsudviklingen af Universes ekspansion. Dee er en differenialligning, som har løsningen a ke (11) De vil sige, a rumme ekspanderer eksponeniel med iden. E sådan rum, hvor rykke er negaiv og vakuumenergien dominerer, kaldes e de Sier rum. aemaik Fysik De negaive ryk skyldes, a når boksen i ilsandsligningen udvider sig, vokser energien med mere end de arbejde, boksen udfører på omgivelserne. 8 LFK-blade 1/018