Stabilisering af raketter ved hjælp af Barrowman's metode Af Jørgen Franck og Hans Olaf Toft

Transkript

1 DA RK Stabilisering af raketter ved hjælp af Barrowman's metode Af Jørgen Franck og Hans Olaf Toft

2 Stabilisering af raketter ved hjælp af Barrowman's metode 2 Indholdsfortegnelse: INDHOLDSFORTEGNELSE: STABILISERING AF RAKETTER VED HJÆLP AF BARROWMAN'S METODE PARAMETRE FOR NÆSEKEGLEN: PARAMETRE FOR KONISKE OVERGANGE PARAMETRE FOR FINNERNE UDVIDELSER AF METODEN PARAMETRE FOR ELLIPTISKE FINNER EN MERE GENEREL MODEL FOR NÆSEKEGLEN DIMENSIONERING AF FINNERNE UDFRA EN FASTLAGT STABILITETSFAKTOR EFFEKTEN AF ENDELIGE ANGREBSVINKLER RAKETKROPPEN, ISOLERET BETRAGTET STABILITET FOR RAKETTER VED ENDELIGE ANGREBSVINKLER MANGLER I METODEN REFERENCER:... 25

3 Stabilisering af raketter ved hjælp af Barrowman's metode Stabilisering af raketter ved hjælp af Barrowman's metode. Metoden benytter følgende antagelser: 1. Angrebsvinklen for luftens kræfter er mindre end 10 grader. 2. Rakettens hastighed er mindre end 180m/s. 3. Luftstrømningen omkring raketten skal være jævn og må ikke pludselig ændre retning. 4. Rakettens Længde skal være større end ti gange diameteren. 5. Rakettens næse er glat og ender i et punkt. 6. Raketten er symmetrisk omkring længdeaksen og uelastisk. 7. Finnerne har form som tynde plane plader. Det er meget vigtigt, at antagelserne overholdes, da disse fortæller hvad de matematiske formler kan og ikke kan simulere fysisk. Metoden benytter en form for vægtning af normalkraften på de enkelte raketdele. Normalkraften kan skrives som følger: N = 1 2 C V 2 N A r hvor: N er den totale normalkraft, som luftstrømningen omkring raketten foråsager. C Na er normalkoefficient hældningen - en koefficient der tager højde for rakettens form. r er luftens massefylde. V er rakettens hastighed. A r er et reference areal, der tager højde for rakettens størrelse. a a er angrebsvinklen. Vi ønsker nu, at vise hvorfor det er matematisk forsvarligt at benytte normalkoefficienthældningen C Na istedet for normalkraften. Af fig.1 fås, at N =N n N fb og N X =N n X n N fb X fb X = N n X n N fb X fb N n N fb

4 Stabilisering af raketter ved hjælp af Barrowman's metode 4 Normalkræfter på næsen og finnerne Total normalkraft X = 1 2 C N n V 2 A r X n 1 2 C N fb V 2 A r X fb 1 2 C N n V 2 A r 1 2 C N fb V 2 A r X = C N n X n C N fb X fb C N n C N fb Ud fra denne ligning kan vi nu finde angrebspunktet for luftens kræfter for hele raketten. Hvorfor vi har udeladt den cylindriske krop af beregninerne, er fordi normalkraften er forsvindende for små anrebsvinkler (se fig. 2).

5 Stabilisering af raketter ved hjælp af Barrowman's metode 5 Når man ønsker, at beregne angrebspunktet deles raketten op i følgende sektioner, og disse analyseres derefter separat (se fig. 2). Fig. 2 Da vi udledte ligningen til bestemmelse af angrebspunktet for luftens kræfter for hele raketten, medtog vi ikke koniske overgange, men i udledningen kan der umiddelbart inkluderes et vilkårligt antal koniske overgange og evt. placering af finner længere oppe på kroppen. Ligningen for raketten på fig. 3 bliver f.eks. X = C N n X n C N cs X cs C N cb X cb C N fb X f C N n C N cs C N cb C N fb Husk at de cylindriske kroppe udelades af beregningerne. Nomenklaturforklaring følger senere.

6 Stabilisering af raketter ved hjælp af Barrowman's metode 6 På fig. 3 er henholdsvis angrebspunktet for luftens kræfter og placeringen af de enkelte sektioner angivet. På fig. 4 ses de normalkoefficient hældninger, der påvirker de enkelte sektioner, og koefficientens momentarm. Det bemærkes, at rakettens spids benyttes som referencepunkt. Fig. 3 Fig. 4 Der benyttes følgende indeksnotation: cb= konisk boattail cs = konisk skulder f = finnerne fb = finnerne i nærværelse af raketkroppen n = næsen Normalkoefficient hældningen C Na har i det følgende dimensionen rad -1 - altså "pr. radian".

7 Stabilisering af raketter ved hjælp af Barrowman's metode Parametre for næsekeglen: Generelt kan normalkoefficient hældningen for en vilkårlig næseform seettes til C N =2 Angrebspunktet varierer dog for den enkelte næseform. Konisk næse : X = 2 3 L Parabolsk næse: X = 1 2 L Fig. 5 Fig. 6

8 Stabilisering af raketter ved hjælp af Barrowman's metode 8 Tangent ogive næse: X L Her forudsættes det dog at L D 2.5 Elliptisk næse: Fig. 7 X = 1 3 L Fig. 8

9 Stabilisering af raketter ved hjælp af Barrowman's metode Parametre for koniske overgange Fig. 9 For den koniske skulder er den dimensionløse koefficient og angrebspunktet for luftens kræfter følgende, C N cs =2[ d 2 d 2 d 1 d 2 ] d 1 X cs = X cs X cs = X cs L 1 3 [1 d2 2 ] 1 d 1 d 2 For den koniske boattail er den dimensionslose koefficient og angrebspunktet for luftens kræfter følgende, C N cb =2[ d 2 d 2 d 1 d 2 ] d 1 X cb = X cb X cb = X cb L 1 3 [1 d2 2 ] 1 d 1 d 2 hvor d er næsens diameter. Bemærk, at ligningen for normalkoefficient hældningen er ens i begge tilfælde, dog bliver koefficienten negativ for den konisiske boattail.

10 Stabilisering af raketter ved hjælp af Barrowman's metode Parametre for finnerne Normalkoefficient hældningen for n finner er C N f = 4 n s d a b hvor d er næsens diameter og 2 =S 2 m 1 2 b a 2 Fig. 10 Antallet af identiske finner kan kun være 3, 4 eller 6. Luftstrømmen omkring finnerne forstyrres af den cylindriske krop Dette tages der højde for yed at multiplicere koefficienten med en interferensfaktor så den totale koefficient for n finner under tilstedeværelse af kroppen bliver, C N fb =K fb C N f For n=3 eller n=4 er interferensfaktoren, K fb =1 R S R For n=6 er interferensfaktoren. K fb =1 R 2 S R Angrebspunktet for luftens kræfter, er uafhængigt af antallet af finner, da finnerne er identiske. Man får X f = X f X f = X f m a 2b 3 a b 1 ab a b 6 a b Nu beregnes X ud fra ligningen der blev udledt i starten. Fig. 11

11 Stabilisering af raketter ved hjælp af Barrowman's metode 11 Til stabilisering af raketter benyttes den dimensionsløse stabilitetsfaktor SF, der er lig SF= X TP d max hvor TP er tyngdepunktets placering målt fra rakettens spids og d max er rakettens maximale diameter. Raketten er stabil hvis SF er større end eller lig 1. Det bemærkes at hvis SF bliver for stor bliver raketten "overstabil", dvs. den reagerer kraftigere end nødvendigt på en aerodynamisk forstyrrelse, hvilket både er uøkonomisk og giver en uønsket høj følsomhed overfor sidevind. En tommelfingerregel siger at 1 < SF < 2 for en veldiminsioneret raket. For en flertrinsraket, må man sørge for, at den er stabil i enhver af de konfigurationer den antager. Endvidere dimensioneres de enkelte motortrin, der afkastes under flyvning, så de er ustabile. Denne ustabilitet opnås ved, at angrebspunktet for luftens kræfter på finnerne, der er placeret på motortrinnet, er foran eller sammenfaldende med motortrinnets tyngdepunkt.

12 Stabilisering af raketter ved hjælp af Barrowman's metode Udvidelser af metoden 2.1 Parametre for elliptiske finner Såfremt der benyttes finner med ellipsoid planform bliver normalkoefficient hældningen: 4 n s 2 d C N f = s 2 a den totale koefficient for n finner under tilstedeværelse af kroppen bliver som for trapezoide finner, C N fb =K fb C N f med K fb beregnet som ved trapezoide finner. Fig. 12 Angrebspunktet for luftens kræfter bestemmes som X f = X f X f = X f a 2.2 En mere generel model for Næsekeglen Barrowman benytter en approksimativ aerodynamisk metode, den såkaldte "slender body theory" for bestemmelse af angrebspunktet og normalkoefficient hældningen for rakettens næsekegle. Fra "slender body theory" følger at C N =2 uanset næsekeglens form, mens angrebspunktet kan beregnes som: X n =L V n A N hvor L er næsekeglens længde, V n er dens volumen og A n er dens grundfladeareal. Indsætter man udtrykket for volumen for en kegle eller en paraboloide eller for en ellipsoide finder man de udtryk der er vist i kapitel X. Det bemærkes iøvrigt at de formeludtryk der er anført for koniske overgange fremkommer ved "differensdannelse" mellem to koniske næsekegler. For en tangent ogive næsekegle bliver udtrykket mere kompliceret. Først opskriver vi "formlen" for en tangent ogive næsekegle med længde L og diameter D y 2 x 2 2 =R n x= R n 2 y 2

13 Stabilisering af raketter ved hjælp af Barrowman's metode 13 hvor = D 2 R n og R n = D 4 L2 D Volumen kan nu beregnes som L V n = 0 L x 2 dy= 0 Efter integration finder man: R n 2 y 2 2 dy V n = R n arcsin hvor =1 D 2 R n og = L R n Af hensyn til beregningen af angrebspunktet for luftens kræfter omskrives udtrykket for volumen ved anvendelse af den dimensionsløse størrelse = L D Vi får herved = L = L = R n D 4 L2 D L D 1 4 L 2= D =1 D D 1 1 =1 2 R n 2 D =1 4 L2 D L =1 2 D R 3 n = 1 4 L2 D = D 1 4 L 2 3 D =D Udtrykket for volumen kan nu indsættes i formlen for angrebspunktet for luftens kræfter regnet fra spidsen, hvilket giver X n =L V n A n R 3 n arcsin X n =L A n

14 Stabilisering af raketter ved hjælp af Barrowman's metode 14 4 A n D arcsin X n =L A n X n =L 4 D arcsin Det bemærkes, at angrebspunktet for luftens kræfter for en tangent ogive næsekegle er noget mere kompliceret end for henholdsvis en konisk, parabolsk og elliptisk næsekegle. Desuden indgår både længden og diameteren i udtrykket for angrebspunktet for luftens kræfter for en tangent ogive næsekegle. For en nærmere undersøgelse af variationen af angrebspunktet for luftens kræfter for en tangent ogive næsekegle som funktion af b, omskrives formlen på dimensionsløs form som følger X n L = arcsin Det ene grænsetilfælde er hvor spidsen er en halvkugle, dvs. længden L er lig radius i halvkuglen: = L D = 1 2 L= D 2 Indsættes ovenstående værdi for b i formlen for angrebspunktet for luftens kræfter for en tangent ogive spids, fås X n L =½ =1 4 ½ 1 4 ½ arcsin 1 X n =½ = L 3 Det bemærkes, at resultatet er det samme som det der gælder generelt for en elliptisk næsekegle. Det andet grænsetilfælde er for b gående mod uendelig. Umiddelbart ser det ikke ud som om formlen konvergerer, da begge led går mod uendelig i formlen. Det skal dog bemærkes, at det er differensen mellem to led der går mod uendelig for b gående mod uendelig. Som tilnærmet værdi for angrebspunktet for luftens kræfter for en tangent ogive spids for b gående mod uendelig kan benyttes X n L Ovennævnte approksimation benyttes af Barrowman, uden at han angiver betingelserne for approksimationens anvendelsesområde.

15 Stabilisering af raketter ved hjælp af Barrowman's metode 15 Af nedenstående figur ses den grafiske afbildning af angrebspunktet for luftens kræfter for en tangent ogive næsekegle som funktion af b. Det ses tydeligt, at for b mindre end 2.5 begynder kurven at afvige fra approksimationen hvor den eksakte formel bør anvendes til beregning af angrebspunktet for luftens kræfter for en tangent ogive spids. Fig. 13

16 Stabilisering af raketter ved hjælp af Barrowman's metode Dimensionering af finnerne udfra en fastlagt stabilitetsfaktor Beregningsformlerne i Barrowman's metode er opskrevet på en uhensigtsmæssig form, når man ønsker at dimensionere finnerne udfra en fastlagt stabilitetsfaktor. På den nuværende form er man tvunget til at gennemregne et givet antal finnekonfigurationer før den ønskede stabilitetsfaktor opnås. Dette problem kan dog løses ved at indføre følgende formfaktorer for den pågældende finnesektion b=e a og s=f a og m=g a hvor E, F og G er konstanter der angiver finnens dimensioner i forhold til a, der nu er den eneste ubekendte. Indføres dette i normalkoefficient hældningen for finnen fås for trapezoide finner: C N fb = 4 n F d 2 a F2 G ½ E E 2 Hvor der er indsat udtrykket for l 2 2 = F 2 G 1 2 E 1 2 a 2 = a 2 For interferensfaktoren og angrebspunktet for luftens kræfter fås: K fb =1 WR (W=1 for n=3 og n=4; W=½ for n=6) Fa R G 1 2 E X f =L r [ E 1 6 E 1 E ]a=l r a hvor L r =X f +a og er indført for at undgå at finnen bliver dimensioneret for langt bagud på raketten.

17 Stabilisering af raketter ved hjælp af Barrowman's metode 17 Betragtes nu formlen for angrebspunktet for luftens kræfter for hele raketten fås X = X i C n i X i C n fb X f i C n i C n fb i C n i C n i X i [ X X f ] C n fb =0 i Þ For den givne raket antages tyngdepunktet (TP) at være kendt, og da der ønskes dimensioneret til en bestemt værdi af SF kan X således beregnes X =SF d max TP Da rakettens form på nær finnerne allerede er fastlagt kan vi indføre = X C n i C n i X i i i som vi indfører i stabilitetsligningen, som herefter får formen [ X X f ] C n fb =0 Indsættes nu de fundne udtryk for finnesektionen fås [ X L r a][1 WR Fa R ] a2 =0 [ X L r a][ Fa R 1 W ] a 2 [ Fa R] =0 [ F a 2 F X L r R 1 W a R 1 W X L r ] a 2 F a R =0 Ovenstående udtryk identificeres som et fjerdegradspolynornium med den ubekendte a som variablen, resten af parametrene er givet for den aktuelle raket.

18 Stabilisering af raketter ved hjælp af Barrowman's metode 18 Polynomiet kan skrives på formen A 1 a 4 A 2 a 3 A 3 a 2 A 4 a A 5 =0 hvor koefficienterne er A 1 = F A 2 =[ F X L r R 1 W ] A 3 =R 1 W X L r A 4 =F A 5 =R Vi kan nu finde a ved at løse fjerdegradspolynomiet, eksempelvis ved hjælp af Newton-Raphson's iterationsformel. Polynomiet har fire løsninger, men vi er dog kun interesseret i den løsning hvor a er reel og positiv, hvis en sådan findes. Den tilsvarende beregning for ellipsoide finner forløber helt på samme vis og ender med samme resultat, dog med nye værdier for q og y: Indsættes s=f a i udtrykket for normalkoefficient hældningne for elliptiske finner fås 4 n F 2 d C N f = F 2 a2 = a 2 og tilsvarende for angrebspunktet X f = X f a=l r 0.712a=L r a

19 Stabilisering af raketter ved hjælp af Barrowman's metode Effekten af endelige angrebsvinkler Barrowman forudsætter i sine beregninger at angrebsvinklen er "lille", men sætter ikke nogen konkrete grænser for angrebsvinklen. Begrænsningen på angrebsvinklen hidrører primært fra rakettens cylindriske krop. Normalkraften på den cylindriske krop er N = 1 2 C N body V 2 A r hvor normalkoefficienten kan skrives på formen C N body = C N c b sin sin (a i radianer) I kapitel 1 benyttes normalkoefficient hældningen C N =lim 0[ d C N ] d hvoraf man konkluderer at normalkoefficient hældningen for en cylindrisk raketkrop bliver C N b =lim 0[2 C N c b ]=0 hvilket retfærdigør at Barraowman udelader cylinderkomponenter i sit udtryk. Forløbet af (C N ) body (a) som funktion af a (med (C Nc ) b = 1) er vist på fig ,95 0,9 0,85 0,8 0,75 0,7 0,65 0,6 0,55 0,5 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0, ,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 Fig Raketkroppen, isoleret betragtet Det viser sig, at det det ovenstående bidrag til normalkraften genereres af alle dele af raketkroppen - ikke kun de cylindriske dele. For raketkroppen alene kan stabilitetsberegningen kan imidlertid let udvides med den komplette model, idet: C N body = C N body sin 2 cos 2 2 C N c b sin sin hvor C N body er den resulterende normalkoefficient hældning for raketten uden finner, bestemt ved fremgangsmåden i kapitel 1. Det resulterende angrebspunkt kan herefter beregnes som C N body sin 2 cos 2 2 X body C N c b sin sin X N body X = C N body sin 2 cos 2 2 C N c b sin sin (husk at a regnes i radianer!) 0 hvor X body er luftens angrebspunkt for raketten uden finner, bestemt ved metoden i kapitel 1.

20 Stabilisering af raketter ved hjælp af Barrowman's metode 20 De øvrige størrelser bestemmes i det følgende. For "cylinder" koefficienten gælder at C N c b = 4 C DC A p d 2 hvor A p er arealet af hele raketkroppens profil (dvs. dette bidrag stammer i virkeligheden fra hele raketkroppen - ikke kun de cylindriske dele) og d er diameteren af næsekeglens base. Faktoren C DC har værdien 1.2 ved hastigheder op til ca. halvdelen af lydens hastighed, mens h afhænger af forholdet mellem rakettens længde og diameter. I praksis kan h sættes til 0.7. Angrebspunktet X N body for dette normalkraftbidrag er arealmidtpunktet for raketkroppens profil. For at kunne bestemme dette er det hensigstmæssigt at opdele cylinderbidraget i separate bidrag fra hver af raketkroppens bestanddele, hvilket vi kan tillade os at gøre fordi profilarealet indlysende må være summen af de enkelte komponenters profilerarealer. Som eksempel betragter vi ligesom i kapitel 1, en raket der består af en næsekegle, en konisk skulder, en konisk boattail og 2 cylindriske sektioner, men uden finner. Man kan da skrive: C N c b = 4 C DC d 2 [ A p n A p c1 A p cs A p c2 A p cb ] C N c b = C N c n C N c c1 C N c cs C N c c2 C N c cb Hver af disse normalkraftbidrag virker i arealmidtpunktet for de enkelte komponenters profilarealer. Under anvendelse af at den samlede normalkraft og dennes samlede moment omkring referencepunktet skal være lig med summen af de enkelte normalkraftbidrag og momenter, samt ved at bortforkorte alle fællesfaktorer finder man X N body = A p n X N n A p c1 X N c1 A p cs X N cs A p c2 X N c2 A p cb X N cb A p n A p c1 A p cs A p c2 A p cb Formeludtryk til bestemmelse af profilareal samt angrebspunktet for de enkelte sektioner findes i nedenstående tabel: Komponent A p X N Næsekegle Konisk: L 2 d Tangent Ogive Parabolsk Elliptisk 2 Ld 3 L d 4 2 Ld 3 2 L d L 2 L 0.63 L L

21 Stabilisering af raketter ved hjælp af Barrowman's metode 21 Cylindrisk sektion Ld X cylinder L 2 Konisk skulder d 1 d 2 L 2 X cs L 3 d 1 2d 2 d 1 d 2 Konisk boattail d 1 d 2 L 2 X cs L 3 d 1 2 d 2 d 1 d 2 Såfremt man ikke er tilfreds med at sætte h til 0.7 kan man istedet benytte: L Rocket d max L Rocket d max L Rocket d max Hvor L Rocket er rakettens totale længde og d max er raketkroppens største diameter.

22 Stabilisering af raketter ved hjælp af Barrowman's metode Stabilitet for raketter ved endelige angrebsvinkler I det foregående afsnit blev der opstillet en relativt simpel stabilitetsmodel for raketkroppen alene, som principielt gælder for 0 a p/2. For at udvide beregningen til hele raketten skal der opstilles en tilsvarende model for finnerne, hvilket i praksis viser sig at være overordentligt vanskelligt. Dels er forholdene for finnerne i sig selv ganske komplicerede, og dels forstyrres luftstrømingen hen over finnerne af den cylindriske raketkrop. Interferensen mellem finnerne og raketkroppen udtrykkes i kapitel 1 ved faktoren K fb. I det følgende udtrykkes interferensen ved hjælp af en ækvivalent angrebsvinkel: eq =arctan K fb tan Foruden interferensen kompliceres forholdene ved at normalkraften stiger med angrebsvinklen op til en vis angrebsvinkel, a s, hvorefter normalkraften pludselig flader ud - eller aftager. Dette fænomen omtales almindeligvis som stall. Samlet kan man skrive normalkraften på finnerne, under hensyntagen til interferens med raketkroppen: C N fin = C N f sin 2 2 eq C N b sin eq sin eq for eq s hvor C n f er normalkoefficient hældningen for finnerne alene, som bestemt i kapitel 1. Angrebspunkterne for begge antages approximativt at være X f, uændret i forhold til kapitel 1.

23 Stabilisering af raketter ved hjælp af Barrowman's metode 23 ***** ' 4 2 K fb K fb 2 K fb C N 1 2 C sin 2 K N fb cos K fb 2 C N c f sin sin for 2 K fb og C N C N c f sin sin for 2 K fb 2 Da Kfb > 1 vil finnernes lift toppe og hurtigere end liftet på raketkroppen. Det samme fænomen kendes også fra fly, hvor det kaldes stall. C N c b 4.8 A pf d 2 Hvor A pf er "silhuet" arealet af finnerne

24 Stabilisering af raketter ved hjælp af Barrowman's metode Mangler i metoden Barrowman anvender sig af den såkaldte komponentmetode, hvor de aerodynamiske kræfter og momenter som virker på raketten antages at kunne skrives som summen af de kræfter og momenter som virker på rakettens enkeltkomponenter. Da luftstrømningen forbi en komponent kan påvirke lufstrømningen forbi en anden komponent er man nødt til at indføre nogle "interferens" bidrag i komponentmetoden før den giver et realistisk resultat. Barrowman anvender faktoren Kfb for at tage hensyn til at raketkroppen forstyrrer strømningen forbi finnerne. Der er imidlertid et par interferensbidrag som han undlader: 1 Raketkroppen i tilstedeværelse af finnerne Fordi finnerne forhindrer luften i at "strømme udenom" raketkroppen opstår der et lille normalkraftbidrag på den del af raketkroppen hvor finnerne sidder. Dette bidrag vil i praksis øge virkningen af finnerne en anelse, hvilket i de fleste tilfælde betyder at stabilitetsmarginen reelt bliver en anelse større end hvad man beregner ved hjælp af Barrowman's metode. 2 Interferens mellem flere sæt finner På en raket med 2 (eller flere) sæt finner vil luftstrømningen omkring det forreste finnesæt påvirke strømningen omkring det bageste. Dette skyldes at finnerne giver anledning til hvirveldannelse, og at de bageste finner kan mærke denne hvirvel, idet den vil ændre den angrebsvinkel som det bageste finnesæt oplever. Resultatet bliver at det bageste finnesæt mister lidt af sin normalkraft, hvilket almindeligvis betyder at stabilitetsmarginen reelt bliver mindre end beregnet. 3 Interferens mellem næse og raketkrop Såfremt den cylindriske raketkrop bag næsekeglen (eller bag en konisk overgang) er meget lang, opstår der et normalkraftbidrag på den forreste del af bagkroppen. Dette bidrag vokser med raket (bag)kroppens længde. Såfremt bagkroppen er kortere end ca. 10 gange diameteren er denne interferens negligibel. Interferens mellem raketkrop og næsekegle giver anledning til en stabilitetsmargin som er mindre end beregnet.

25 Stabilisering af raketter ved hjælp af Barrowman's metode Referencer: Barrowman, James S Barrowman, James S Calculating the center of pressure of a model rocket, Technical Information Report TIR-33. Centuri Engineering Company, Elliptical fin C.P. equations. Peter O. Nielsen og Jørgen Franck Beregning af areal, volumen, massemidtpunkt og inertimomenter for en klasse af omdrejningslegemer med cirkelbuegeometri. Dansk Amatør Raket Klub. Hoerner Fluid dynamic drag DATCOM J. M. Simon, W. B. Blake AIAA Missile DATCOM: High angle of attack capabilities

26 Stabilisering af raketter ved hjælp af Barrowman's metode 26 Appendix Beregning af stall vinkel: s =K bs CLmax =K bs s base s (a s ) base = chart a Da s = chart b CL max = CL max base CL max (CL max ) base = chart b DCL max = chart a K bs = Chart C C N = C N ref C N C N ref = CL MAX cos CLmax ½ C N f sin 2 CLmax sin CLmax sin CLmax