Forberedelsesmateriale. Indledende sandsynlighedsregning og kombinatorik

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Forberedelsesmateriale. Indledende sandsynlighedsregning og kombinatorik"

Transkript

1 Forberedelsesmateriale Indledende sandsynlighedsregning og kombinatorik

2 1 Kort om sandsynlighedsregningens historie Den århusianske matematiker Jørgen Hoffmann-Jørgensen har skrevet følgende: Sandsynlighedsregningens opgave er at beskrive, forudsige og regelsætte tilfældige hændelser. Da tilfældige hændelser er karakteriseret ved, at de er ubeskrivelige, uforudsigelige og totalt kaotiske, kan sandsynlighedsteoriens opgave formuleres således Beskriv det ubeskrivelige, forudsig det uforudsigelige, og find orden, hvor der ingen orden findes. 1 De første matematiske teorier for regning med sandsynligheder kan tilskrives italieneren og multikunstneren G. Cardano ( ), der i værket Liber de ludo aleae behandler hasardspil. Fermat og Pascal fremhæves dog ofte som sandsynlighedsregningens fædre. Det kan hænge sammen med, at Cardanos værk først udgives i Et af de eksempler på hasardspil, som Cardano kigger på, er kast med 3 terninger, hvor den ene part holder på, at der vil komme mindst en ener, den anden på, at der ingen enere vil komme. Cardanos påstand er, at sandsynlighederne er lige store. Opgave 1: a) Forsøg at finde frem til, hvad Cardanos argument er for at sige, at der er lige stor sandsynlighed for at få mindst én etter eller ingen ettere. b) Opstil i et regneark de 216 muligheder, der er for at slå med 3 terninger. c) Optæl antallet af kombinationer/muligheder, hvor der ingen ettere er. d) Cardanos argument er forkert. Hvorfor? Cardano er den første, der er tæt på den vigtige formel for sandsynligheden for en hændelse = første. antal gunstige antal mulige. Fermat og Pascal beskriver det senere som de 1 Mathilde nr. 35 september 2008 Torben Rudbeck Side 2

3 G. Galilei ( ) har også behandlet spil med terninger. Han blev spurgt af en ven, hvorfor det var lettere at få 10 øjne end 9 øjne i et kast med 3 terninger når 10 og 9 kan opsplittes på lige mange måder som en sum af tre tal mellem 1 og 6. Opgave 2: a) Brug regnearket fra opgave 1 til at finde ud af, om der er størst sandsynlighed for at opnå 10 øjne eller 9 øjne. b) Virker det rent intuitivt rigtigt? Sandsynlighedsregningens start tilskrives dog som tidligere nævnt Pierre Fermat ( ) og Blaise Pascal ( ). Hasardspil var igen årsagen til, hvad der denne gang blev begyndelsen på en mere formaliseret og korrekt matematisk tilgang til sandsynlighedsregningen. Pascals gode og noget spilleglade ven de Méré opstillede to problemstillinger, som han var stødt på i Paris natteliv. De to problemstillinger er efterfølgende blevet kaldt Chevalier de Méré s problem og Delingsproblemet. Chevalier de Mere's problem Det er fordelagtigt at holde på, at der i 4 slag med en terning kommer mindst en sekser. På den anden side er det ufordelagtigt at holde på, at der i 24 kast med to terninger kommer mindst en dobbeltsekser selvom 24 forholder sig til 36 (mulige udfald med to terninger) som 4 forholder sig til 6 (mulige udfald med en terning). Delingsproblemet To personer A og B spiller et spil med lige store chancer for at vinde. Det kunne eksempelvis være plat og krone. De sætter hver et bestemt beløb ind og den, der først vinder N gange vinder hele puljen. Imidlertid må de afbryde spillet i utide på det tidspunkt, hvor A har vundet a spil og B har vundet b spil. Hvordan skal puljen deles? Torben Rudbeck Side 3

4 Opgave 3: a) Pascal og Fermat havde kun hånlige kommentarer til overs for det første problem, som de løste ganske let. Kan du gennemskue, hvordan de løste problemet? Hvad er svaret? b) Løs delingsproblemet, når: der i alt skal vindes 5 spil for at vinde, A har vundet 4 spil og B har vundet 3 spil - altså når N = 5, a = 4 og b = 3. N = 6, a = 4 og b = 3. c) Prøv at gennemskue det teoretiske svar til delingsproblemet. d) Se de første 20 min af udsendelsen om spil på dette link merne/2007/ htm Fermat og Pascal udvekslede deres teorier om sandsynlighedsregningen (og meget andet) via en lang række breve i Det er i et af de breve, at Fermat formulerer det i dag almindeligt accepterede princip: Terningen har ingen hukommelse. Der har været en del vigtige personer og udgivelser i forbindelse med sandsynlighedsregningen. Følgende skal nævnes: - Christians Huyghens ( ) De ratiociniis in Alea Ludo ( Hvorledes man ræssonerer i terningespil ). Middelværdibegrebet indføres. - Jacob Bernoulli ( ) Ars conjectandi ( Formodningskunst ). Bl.a. de store tal lov og kombinatorik. - Pierre-Simon Laplace ( )- Théorie Analytique des Probabilités. - Abraham de Moivre ( ) Doctrines of Chances. Spilteori. - Carl Friedrich Gauss ( ). Matematikkens fyrste. Normalfordelingen. - Lvovich Pafnufty Chebyshev ( ) indfører blandt mange andre ting begrebet stokastisk variabel. Den tyske matematiker David Hilbert ( ) beskrev i år uløste matematiske problemstillinger 2, som skulle identificere det kommende århundredes matematiske udfordringer. Russeren Andrei Kolmogorov ( ) løser delvist det ene af disse problemer ved at udgive værket Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeisrechnung i I dette værk opstiller Kolmogorov 2 Der kan læses mere om de 23 problemstillinger på Torben Rudbeck Side 4

5 5 aksiomer og 2 definitioner, hvoraf samtlige af sandsynlighedsregningens sætninger i dag kan vises. Bl.a. de store tals lov, den centrale grænseværdi sætning, den iterede logaritme lov og arcussinus loven. Du kan læse mere om nogle af Kolmogorovs aksiomer på følgende link: dsregning_og_stokastisk_proces/sandsynlighedsregning Af spændende historiske sandsynlighedsteoriske opgaver findes bla. : - Monty Hall problemet - Skt. Petersborg paradokset - Fødselsdagsparadokset - Fermis paradoks Opgave 4 (frivillig opgave): a) Undersøg, hvad problemstillingen er for et af de ovennævnte problemer ved at søge på world wide web. Lav herefter, hvis det er muligt, forsøg i forhold til problemstillingen. Kilde: Torben Rudbeck Side 5

6 2 Kombinatorik 2.1 Valgprocesser En sammensat valgproces er når man må træffe en række valg, hvor hvert valg på nær det sidste stiller en over for det følgende valg. Sådanne valgprocesser kan illustreres med valgtræer. Det samlede antal muligheder som valgprocessen resulterer i efter det n te valg, kan bestemmes som det samlede antal forgreninger i træets n te trin. Eksempel 1: Kurt går på restaurant. Af overtjeneren får han at vide, at han denne dag kan vælge mellem 3 forretter, 3 hovedretter og 3 desserter. Af nedenstående valgtræ er samtlige Kurts mulige valg skitseret. Opgave 5: a) Optæl antallet af mulige kombinationer, hvorpå Kurt kunne have sammensat sin middag. b) Hvordan kan man let udregne antallet af mulige valg for Kurt? c) Hvor mange muligheder ville Kurt have haft, hvis han kunne vælge mellem 2 forretter, 5 hovedretter og 3 desserter? Torben Rudbeck Side 6

7 Opgave 6: Find selv på en sammensat valgproces a la Kurts restaurantsbesøg, der passer til valgtræet nedenfor. 2.2 Multiplikationsprincippet og additionsprincippet Multiplikationsprincippet (både/og) Som du gerne skulle have fundet ud af i opgave 5, kan antallet af forskellige muligheder udregnes ganske let. Metoden er formaliseret i sætning 1 nedenfor og går under navnet multiplikationsprincippet (både/og) Eksempel 2: I en kiosk er der et lille udvalg af is. Der er forskellige slags: nougat, chokolade, banan, fløde og vanille. Sofie vil gerne have en flødebolle på sin is. Der er 2 forskellige slags flødeboller med eller uden kokos. På hvor mange forskellige måder kan Sofie sammensætte sin is med de 2 forskellige flødeboller? Her bruges multiplikationsprincippet også kaldet både/og. Da Sofie både skal have en is og en flødebolle, skal de enkelte muligheder ganges med hinanden. Antal muligheder for is = 5 Antal muligheder for flødeboller = 2 5 x 2 = 10 muligheder i alt. Sofie kan sammensætte sin is på 10 forskellige måder. Torben Rudbeck Side 7

8 Sætning 1: Lad det første valg i en sammensat valgproces kunne træffes på n 1 måder, det andet valg uanset udfaldet af det første valg på n 2 måder osv. Er der i alt p valg, resulterer den sammensatte valgproces i, at der er n1 n2... np 1 np (1) forskellige muligheder Opgave 7: Læs sætning 1 igen og overbevis dig selv om, at det der står i sætningen er korrekt. Opgave 8: I et lille europæisk land med få indbyggere vil man give bilerne nummerplader med 3 tegn på hver. De forskellige valgmuligheder, man kan vælge mellem, er: - tre cifre - et bogstav efterfulgt af 2 cifre - ciffer-bogstav-ciffer - to cifre efterfulgt af et bogstav - to bogstaver efterfulgt af et ciffer - bogstav-ciffer-bogstav - et ciffer efterfulgt af to bogstaver - tre bogstaver Landet har 24 bogstaver i sit alfabet. Heruover skal det oplyses, at nummerplader ikke kan starte med cifferet 0. Hvor mange nummerplader kan der laves af de forskellige sammensætninger af nummerpladerne? Torben Rudbeck Side 8

9 Opgave 9: a) Hvor mange forskellige udfald er der, hvis vi kaster med 3 terninger? (Jfr. 1.b) b) Hvor mange nummerplader kan man danne i Danmark med det nuværende nummerpladesystem, hvis vi tager udgangspunkt i, at der kan bruges 24 bogstaver og 10 cifre, hvoraf 0 ikke kan være første ciffer? (Se på siden: at det er meget vanskeligere end som så!) c) Hvor mange 8-cifrede telefonnumre kan der dannes, hvis alle telefonnumre er i spil (hvilket de ikke er i virkeligheden)? d) Gert har 8 bluser, 5 par bukser, 7 par underbukser, 10 par strømper og 3 par sko. På hvor mange forskellige måder kan han møde påklædt i skole? e) Et postbud har fået lige rigeligt inden for vesten, inden han en tidlig lørdag morgen skal opdele post. I en opgang med 8 lejligheder anbringer han opgangens 10 breve på må og få. Hvor mange mulige resultater kan der komme ud af dette? Additionsprincippet (enten/eller) Sætning 2: Hvis man ved et valg skal vælge enten én af n1 muligheder eller én af n 2 muligheder osv. Er der i alt p valg, resulterer den sammensatte valgproces i, at der er n1 + n np 1 + np (1) forskellige muligheder Eksempel 3: I en kiosk er der et lille udvalg af is, bl.a. 2 forskellige slags sodavandsis og 4 forskellige slags vaffelis. Hvor mange forskellige is kan Karoline vælge i mellem, hvis hun enten vil have sodavandsis eller vaffelis? Her bruges additionsprincippet også kaldet enten / eller. Da Karoline enten vil have sodavandsis eller vaffelis, skal de enkelte muligheder lægges sammen. Antal muligheder for sodavandsis = 2 Antal muligheder for vaffelis = = 6 muligheder i alt. Torben Rudbeck Side 9

10 Eksempel 4: Opgave 10: Karl har 6 bluser og 2 par fløjlsbukser, herudover har han 3 T-shirts og 3 par cowboybukser. Når han skal klæde sig på, tager han enten en bluse og et par fløjlsbukser på eller en T-shirt og et par cowboybukser. Bluse og fløjlsbukser giver 6 2 = 12 muligheder. T-shirts og cowboybukser giver 3 3 = 9 muligheder. I alt har han hermed måder at påklæde sig. Definition 1: I en klasse går der 29 elever, hvoraf 11 er piger og 18 er drenge. Klassen skal nedsætte et udvalg på tre personer, som skal til møde med rektor om indretningen af klasselokalet. Klassen beslutter, at hvert køn skal være repræsenteret i udvalget. Hvor mange forskellige delegationer kan sendes op på rektors kontor? For et vilkårligt positivt helt tal n betyder n! ( ) ( ) n! = n 2 n 1 n (2) Af forskellige årsager sætter vi 0! = 1 Om n! siger man n fakultet. Opgave 11: a) Beregn 1!, 2!, 3!,.., 10! 3 (3-tallet er en note. Se nederst på siden). b) Undersøg, hvor stort et tal dit CAS-værktøj kan regne fakultet for. c) På, hvor mange måder kan 11 personer placeres på banen til en fodboldkamp. d) Udregn 5!, 9! 6! 3!, ( n ) ( n + ) ( n ) 1! 2! + 1! n! og n ( n ) 1! e) I en klasse går 29 elever. Der er nøjagtig 29 pladser i klassen. Hvor mange dage skal klassen gå i skole for at have afprøvet alle mulige pladskombinationer, hvis de ikke må bytte pladser mere end en gang om dagen? 3 Se Appendix for instruktioner til dit CAS-værktøj Torben Rudbeck Side 10

11 2.3 Stikprøver Opgave 11 c) viser, hvor mange måder en mængde på 11 personer kan ordnes på. Ligeledes bestemmer n!, hvor mange måder en mængde med n elementer kan ordnes på. Der findes fire forskellige slags stikprøver. ordnet uden tilbagelægning ordnet med tilbagelægning uordnet uden tilbagelægning uordnet med tilbagelægning Når en stikprøve er "ordnet, er det fordi rækkefølgen er vigtig. Eksempelvis er sølv, guld, bronze ikke det samme som guld, sølv, bronze. Når stikprøven er "uordnet", er det, fordi rækkefølgen er ligegyldig. Eksempelvis er 24, 16, 13, 15, 2, 19, 33 det samme som 16, 33, 19, 2, 15, 24, 13. I en stikprøve med tilbagelægning må det samme udfald gerne forekomme flere gange. Eksempler på dette er 6, 6, 3, 2 eller 3, 5, 4, 5 osv. Uden tilbagelægning betyder, at man ikke kan bruge det samme udfald mere end én gang. Eksempelvis kan 12, 13, 6, 15, 6, 19, 33 ikke bruges. Opgave 12: Et eksempel på en stikprøve, der er uordnet uden tilbagelægning er lottospillet. a) Hvorfor er lottospillet uordnet uden tilbagelægning? b) Find selv på eksempler på spil, der er: a) ordnet uden tilbagelægning b) ordnet med tilbagelægning c) uordnet uden tilbagelægning d) uordnet med tilbagelægning Nedenstående skema kan opstilles, og vi skal i de kommende afsnit prøve at finde frem til, hvilke formler, der kan placeres i de fire rum. Uden tilbagelægning Med tilbagelægning Ordnet stikprøve a) b) Uordnet stikprøve c) d) Permutation (med orden) = et udvalg, hvor positionen af det enkelte element er af betydning. Kombination (uden orden) = et udvalg, hvor positionen af det enkelte element er uden betydning. Torben Rudbeck Side 11

12 2.3.1 Permutationer (med orden) Ad a) Ordnet stikprøve med tilbagelægning. Sætning 3: r I en ordnet stikprøve med tilbagelægning med n elementer og r udtræk er der n mulige stikprøver. r kan være mindre end, lig med eller større end n, da der er tale om tilbagelægning i stikprøven. Bevis: Første element kan vælges på n forskellige måder, og da der er tale om tilbagelægning, kan andet element også vælges på n forskellige måder, tredie element kan vælges på n forskellige måder, det r te element kan vælges på n forskellige måder. Da multiplikationsprincippet kan anvendes, får vi det samlede antal måder, stikprøven kan udtages på til at være n n... n = n r stk. r q.e.d. Eksempel 5: Antag, at de udtrukne bolde i lotto straks sendes tilbage i bowlen, og at rækkefølgen faktisk er relevant. Da bliver samtlige mulige udfald 7 36 = Opgave 13: Hvor mange to, tre og fire-cifrede tal kan skrives ved brug af cifrene 1, 2, 3, 5, 7 og 8 når hvert ciffer gerne må bruges flere gange i hvert tal? Torben Rudbeck Side 12

13 Ad b) Ordnet stikprøve uden tilbagelægning. Sætning 4: I en ordnet stikprøve uden tilbagelægning med n elementer og r udtræk er der ( n r ) stikprøver (udtræk). Dette betegnes også n! P ( n, r) = n r! ( ) hvor P står for permutation. r n (da der er tale om en stikprøve uden tilbagelægning). n! mulige! (3) Bevis: En permutation, som i sætning 4, kan findes ved først at vælge, hvad der skal stå forrest; her er der n mulige valg. Dernæst vælges nummer to i rækken; her er der n-1 muligheder tilbage, da der ikke er tilbagelægning. Ved nummer tre i rækken er der n-2 valgmuligheder. Således kan fortsættes, og når vi foretager valg nr. r er der allerede brugt r-1 elementer fra stikprøve, dvs. at der til nummer r i ( ) rækken er ( ) Dvs. at n r 1 = n r + 1 valgmuligheder tilbage. (, ) = ( 1) ( 2) ( 3 )... ( + 1) P n r n n n n n r r valg Dette kan nemt omskrives til (3): (, ) = ( 1) ( 2) ( 3 )... ( + 1) = n ( n ) ( n ) ( n ) ( n r ) ( n r) ( n r ) = ( n r) ( n r 1 ) P n r n n n n n r = Eksempel 6: n! ( n r)! Q. E. D Ved VM i tårnspring deltog 25 udspringere. På hvor mange måder kunne guld-, sølv- og bronzemedaljerne i teorien fordeles? Der er tale om en ordnet delmængde uden tilbagelægning Overbevis dig selv om det! 25! Antallet af mulige kombinationer på skamlen var således: P ( 25,3) = = ! ( ) Torben Rudbeck Side 13

14 Opgave 14: a) Sørg for, at du har forstået beviset til sætning 4. En fra gruppen skal gennemgå det for de andre. b) Beregn uden brug af CAS P(6,3), P(7,2) og P(30,2). c) Beregn vha. CAS P(16,8), P(29,7) og P(30,2). Opgave 15: På hvor mange måder kan der af klassens elever sammensættes et håndboldhold (7 spillere), hvor det er afgørende, hvilken position man får på banen (målmand, højre og venstre wing, højre og venstre back, højre og venstre center). Opgave 16: Overbevis dig selv om vha. (3), at det er fornuftigt at sætte 0! = Kombinationer (uden orden) Ad c) uordnet uden tilbagelægning Sætning 5: I en uordnet stikprøve uden tilbagelægning med n elementer og r udtræk er der stikprøver. Dette betegnes også n! K ( n, r) = r! n r! hvor K står for kombination. ( ) n! mulige r! n r! ( ) (4) r n da der er tale om en stikprøve uden tilbagelægning. K ( n, r ) skrives også n r Torben Rudbeck Side 14

15 Eksempel 7: Før vi kommer til beviset gives et lille eksempel, der gerne skulle lette forståelsen af beviset for sætning 5. Af 5 personer (Arne, Birthe, Conrad, Dennis og Erhard) skal 3 vælges til et udvalg i den lokale badmintonklub. Der er intet hierarki i udvalget, og én person kan ikke beklæde flere poster i udvalget. Antallet af permutationer giver P(5,3) = 60. Disse udvalg opskrives nedenfor ABC ACB BAC BCA CAB CBA ABD ADB BAD BDA DAB DBA ABE AEB BAE BEA EAB EBA ACD ADC CAD CDA DAC DCA ACE AEC CAE CEA EAC ECA ADE AED DAE DEA EAD EDA BCD BDC CBD CDB DBC DCB BCE BEC CBE CEB EBC ECB BDE BED DBE DEB EBD EDB CDE CED DCE DEC ECD EDC Det ses let, at hver række giver de samme udfald, således, at der faktisk kun er 10 forskellige muligheder (antal søjler) for udvalg, da udvalget skal sammensættes uordnet uden tilbagelægning. Hver række består af 6 permutationer, idet tre givne personer kan opstilles i rækkefølge på = 6 måder. Der er altså i alt 60 = 10 forskellige udvalg når ordenen er ligegyldig. 6 Torben Rudbeck Side 15

16 Bevis for sætning 5: Vi prøver at gå frem som i eksemplet, og ser på, hvordan r personer fra en gruppe på n personer kan placeres i rækkefølge. Dette antal kan angives ved P(n,r). Disse permutationer kan angives i et skema som anvist i eksempel 7, hvor hver række vil bestå af r! permutationer, fordi r personer kan opstilles på r! måder. Antallet af søjler er derfor r!. Antallet af rækker, der er antal kombinatiner, er derfor lig med P(n,r) divideret med antal søjler, som der er r! af. Dette angives på følgende måde: (, ) K n r ( ) P n, r n! = = r! r! n r! ( ) Alternativt bevis for sætning 5: Q. E. D. Vi udvælger r elementer ud af n i ordnet rækkefølge uden tilbagelægning (en permutation): (, ) = ( 1) ( 2 )... ( + 1) P n r n n n n r r elementer Dette forlænges i både tæller og nævner P n r = n n n n r ( ) ( ) ( ) ( ) ( n r ) ( n r, ) ( n r) ( n r ) n! P ( n, r) = 0 r n! ( n r) Torben Rudbeck Side 16

17 Det ses af ovenstående tegning, at man kan udtage r elementer af n i ordnet rækkefølge uden tilbagelægning på: enten P ( n, r) måder eller på K ( n r), r! måder, da man enten først direkte kan sætte de udvalgte elementer i rækkefølge eller man kan udtage en mængde på r elementer og derefter sætte dem i orden. Dette medfører, at ( ) (, ) P n r K ( n, r) r! = P( n, r) K ( n, r) = r! n! K ( n, r) = 0 r n r! n r! Eksempel 8: Af 5 personer (Arne, Birthe, Conrad, Dennis og Erhard) skal 3 vælges til et udvalg i den lokale badmintonklub. Der er intet hierarki i udvalget, og én person kan ikke beklæde flere pladser i udvalget. Hvor mange udvalg kan kan der laves? K 5! 5! 5 4 5,3 = = = = 10. 3! 5 3! 3!2! 2 1 ( ) ( ) Opgave 17: Opgave 18: Udregn K ( 8,0), K ( 5, 2 ), K ( ) 13,3, (, ) (, p) K n p K n n, En studietur til Amsterdam består af 31 personer. På vej hjem har 6 personer medbragt ulovligt tobak. Tolderen udtager tilfældigt 4 personer til kontrol. a) Hvor mange forskellige stikprøver kan der udtages? b) Hvor mange af disse stikprøver indeholder mindst én smugler? Torben Rudbeck Side 17

18 Opgave 19: En klasse på 29 elever skal stille med et tre-mands oprydningshold efter en fest. Hvor mange hold kan dannes? Opgave 20: En klasse består af 12 piger og 8 drenge. Ved et klassemøde skal der vælges en ordstyrer og en referent. Hvor mange muligheder er der, hvis der frit kan vælges mellem klassens elever? hvis der skal vælges 2 drenge? hvis der skal vælges 2 piger? hvis ordstyreren skal være en dreng og referenten en pige? hvis ordstyreren skal være en pige og referenten en dreng? Opgave 21: Et fodboldhold består af 11 spillere, en målmand, et vist antal forsvarsspillere, midtbanespillere og angribere. Forskellige spilsystemer fastsætter antallet af de tre sidstnævnte antal. F.eks. betyder 4-4-2, at der er 4 forsvarere, 4 midtbanespillere og 2 angribere på holdet. Til Danmarks VM-kamp mod Malta den 17. marts havde landstræner Morten Olsen udtaget en bruttotrup på 23 spillere bestående af 3 målmænd, 6 forsvarsspillere, 8 midtbanespillere og 6 angribere (se bilag 1). Antag at Morten Olsen ønsker at spille systemet. På hvor mange måder kan han udtage målmanden? På hvor mange måder kan han udtage forsvaret? På hvor mange måder kan han udtage midtbanen? På hvor mange måder kan han udtage angrebet? På hvor mange måder kan han udtage de 11 i startopstillingen? På hvor mange måder kan han udtage de 11 i startopstillingen, hvis han går over til sit favoritsystem 3-4-3? Torben Rudbeck Side 18

19 Ad d) uordnet med tilbagelægning Denne stikprøve når vi ikke at beskæftige os med; men der skal alligevel angives en sætning dog uden bevis! Sætning 6: I en uordnet stikprøve med tilbagelægning med n elementer og r udtræk er der ( n + r ) r! ( n 1 )! 1! mulige stikprøver. Dette betegnes også n + r 1 (5) r Eksempel 8: Hvis rækkefølgen af lottotallene var underordnet, og de blev lagt tilbage i bowlen, ville vi have ( )! = mulige stikprøver. 7! 36 1! ( ) Opsamling stikprøver Nedenfor er formlerne indsat i skemaet fra side 11. Ordnet stikprøve Uordnet stikprøve Uden tilbagelægning n! r! n r! ( ) Med tilbagelægning ( n + r ) r! ( n 1 )! 1! Det er altså vigtigt, når man skal finde frem til den korrekte formel, at man stiller sig følgende spørgsmål: - er der tale om en ordnet eller en uordnet stikprøve? - er der tale om tilbagelægning eller ej? Torben Rudbeck Side 19

20 Opgave 22: Lav et regneark, som vist nedenfor, der kan udregne antallet af de forskellige stikprøvetyper og brug det til at kontrollere facit i de tidligere opgaver Kombinatorik Hele mængden = 5 Stikprøven = 3 antal muligheder Uden tilbagelægning Med tilbagelægning Ordnet stikprøve Uordnet stikprøve I Excel fremkommer fakultet ved at skrive: =fak. Eksempel 9: Udvælg 2 elementer blandt 3 elementer A, B og C Ordnet stikprøve Uordnet stikprøve Uden tilbagelægning AB AC BA BC CA CB AB AC BC Med tilbagelægning AA AB AC BA BB BC CA CB CC AA AB AC BB BC CC Torben Rudbeck Side 20

21 Blandede opgaver: Opgave 23: Udfyld felterne i nedenstående skema Spil Antal mulige udfald Tips 12 Tips 13 Lotto Viking-Lotto Joker Opgave 24: Thorbjørn skal låne fem af Antons 14 dvd ere. Hvor mange muligheder har han, hvis: der er én af pladerne, han i hvert fald vil låne? der er én plade, han ikke vil låne? der er én, han i hvert fald vil låne og én han ikke vil låne? Opgave 25: Blandt 8 piger og 5 drenge skal vælges et udvalg på 3 piger og 2 drenge. Hvor mange måder kan det gøres på? Torben Rudbeck Side 21

22 Opgave 26: På hvor mange forskellige måder kan ti personer stille sig i en rundkreds? Opgave 27: Hvordan kan et resultat i kombinatorik bruges til at argumentere for, at tallet ( 1) ( 2) ( 3) n n n n, hvor n N, altid er deleligt med 24? Opgave 28: 25 formelsamlinger, hvoraf 12 er nyindkøbte og 13 er gamle og slidte, skal deles ud til eleverne i en klasse med 25 elever. På hvor mange måder kan det gøres? Opgave 29: Peter skriver tal a0, a1, a2,..., a n, hvoraf a 0 = 600 og a n = 1, efter følgende system: ai fremkommer af i 1 a ved division med et primtal som går op i ai 1. Hvor mange forskellige opskrivninger a0, a1, a2,..., an kan der laves? Pascals trekant. Kilde: Torben Rudbeck Side 22

23 4 Appendix TI89 Beregning af fakultet. Tast blå, 5 (math) og vælg 7 (probability) Beregning af P(n,r) Beregning af K(n,r) Matchad I mathcad skrives for de tilsvarende operationer: 5! = 120 permut( 25, 3) = combin( 25, 3) = 2300 Torben Rudbeck Side 23

24 TINspire Indsæt grafregner. Terningeikonet anvendes. Excel Torben Rudbeck Side 24

25 Maple Beregning af faktultet gøres ved at benytte det almindelige udråbstegn "!", så 5! = 120 Beregning af kombination: Her byttes kommandoen "binomial(n,r)". binomial(25, 3 ) = 2300 Beregning af permutationer: Ved beregning af antallet af permutationer skal man først "kalde" pakken "combinat". Dette gøres ved at skrive "with(combinat)" og taste "Enter": with (combinat ) [ Chi, bell, binomial, cartprod, character, choose, composition, conjpart, decodepart, encodepart, fibonacci, firstpart, graycode, inttovec, lastpart, multinomial, nextpart, numbcomb, numbcomp, numbpart, numbperm, partition, permute, powerset, prevpart, randcomb, randpart, randperm, setpartition, stirling1, stirling2, subsets, vectoint ] Antallet af permutationer kan nu beregnes på følgende to måder: nops(permute (25, 3 ) ) = Eller numbperm (25, 3) = Hvis man i den første blot taster permute(25,3) vises en liste med alle permutationerne. Torben Rudbeck Side 25

26 5 Litteraturliste - Andersen, Taftebjerg Jakobsen, Laage-Petersen, Lützen, Mejlbo og Nygaard Nogle kapitler af matematikkens historie bind 2. September Matematisk institut. - Mathilde nr. 35 september Nyhedsbrev for Dansk Matematisk Forening. - Hans Fich Gymnasiematematik udgave. Forum Christian Huygens Om regning på lykkespil. Oversat af Kersti Andersen Foreningen Videnskabshistorisk Museums Venner. - Steen Bentzen Sandsynlighedsregning for Gymnasiet. 2. udgave Forlaget Bentz. - Aksel Bertelsen Statistik med matematik. 1. udgave Systime. - Erik Kristensen og Ole Rindung Sandsynlighedsregning. 2. Udgave G.E.C Gads forlag. - Lars Bo Kristensen og Preben Blæsild Spil matematik Matematiklærerforeningen. - Kirsten Rosenkilde Opvarmingsopgaver i kombinatorik (Til Georg Mohr konkurrencen). April Torben Rudbeck Side 26

27 6 Bilag Kilde: Torben Rudbeck Side 27

Kombinatorik og Sandsynlighedsregning

Kombinatorik og Sandsynlighedsregning Kombinatorik Teori del 1 Kombinatorik er en metode til at tælle muligheder på. Man kan f.eks. inden for valg til en bestyrelse eller et fodboldhold, kodning af en lås, valg af pinkode eller telefonnummer,

Læs mere

KOMBINATORIK. Øvelse 1. Kan du finde en forklaring på Leibniz problem?

KOMBINATORIK. Øvelse 1. Kan du finde en forklaring på Leibniz problem? KOMBINATORIK Dette er et supplerende kapitel til lærebogen stokastik 1.-10. klasse. Bogen kan læses uden reference til indholdet i dette kapitel, men da man sommetider baserer arbejdet med sandsynlighedsregning

Læs mere

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Kombinatorik

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Kombinatorik Tip til 1. runde af - Kombinatorik, Kirsten Rosenkilde. Tip til 1. runde af Kombinatorik Her er nogle centrale principper om og strategier for hvordan man tæller et antal kombinationer på en smart måde,

Læs mere

Sandsynlighedsregning og statistik

Sandsynlighedsregning og statistik og statistik Jakob G. Rasmussen, Institut for Matematiske Fag jgr@math.aau.dk Litteratur: Walpole, Myers, Myers & Ye: Probability and Statistics for Engineers and Scientists, Prentice Hall, 8th ed. Slides

Læs mere

F I N N H. K R I S T I A N S E N KUGLE SIMULATIONER MÅLSCORE I HÅNDBOLD G Y L D E N D A L

F I N N H. K R I S T I A N S E N KUGLE SIMULATIONER MÅLSCORE I HÅNDBOLD G Y L D E N D A L RÆSONNEMENT & 1BE V I S F I N N H. K R I S T I A N S E N GNING 2 EGNEARK KUGLE 5 MÅLING SIMULATIONER 3 G Y L D E N D A L MÅLSCORE I HÅNDBOLD Faglige mål: Håndtere simple modeller til beskrivelse af sammenhænge

Læs mere

Spil. Chancer gennem tællemetoder. Chancelære: MI 82 INF. INFA-Chancelæreserien:

Spil. Chancer gennem tællemetoder. Chancelære: MI 82 INF. INFA-Chancelæreserien: INFA-Chancelæreserien: Chancer gennem eksperimenter Chancer gennem optællinger CHANCETRÆ - Chancer gennem beregninger SPIL - Chancer gennem tællemetoder LOD - Chancer gennem simuleringer KUGLE - Chancer

Læs mere

Matricer og lineære ligningssystemer

Matricer og lineære ligningssystemer Matricer og lineære ligningssystemer Grete Ridder Ebbesen Virum Gymnasium Indhold 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber 1 Regning med matricer 3 13 Kvadratiske matricer og determinant 9 14 Invers matrix

Læs mere

Simulering af stokastiske fænomener med Excel

Simulering af stokastiske fænomener med Excel Simulering af stokastiske fænomener med Excel John Andersen, Læreruddannelsen i Aarhus, VIA Det kan være en ret krævende læreproces at udvikle fornemmelse for mange begreber fra sandsynlighedsregningen

Læs mere

Temaopgave i statistik for

Temaopgave i statistik for Temaopgave i statistik for matematik B og A Indhold Opgave 1. Kast med 12 terninger 20 gange i praksis... 3 Opgave 2. Kast med 12 terninger teoretisk... 4 Opgave 3. Kast med 12 terninger 20 gange simulering...

Læs mere

Kursusindhold: X i : tilfældig værdi af ite eksperiment. Antag X i kun antager værdierne 1, 2,..., M.

Kursusindhold: X i : tilfældig værdi af ite eksperiment. Antag X i kun antager værdierne 1, 2,..., M. Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet February 9, 2015 Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen

Læs mere

En Introduktion til Sandsynlighedsregning

En Introduktion til Sandsynlighedsregning En Introduktion til Sandsynlighedsregning 4. Udgave Michael Sørensen 26. juni 2003 0 Forord Til 2. udgave Disse forelæsningsnoter trækker i betydelig grad på noter udarbejdet af en række kolleger. Det

Læs mere

Projektarbejde. Kombinatorik

Projektarbejde. Kombinatorik Projektarbejde Matematik A Teknisk Gymnasium Århus Side 1 Indledning: Besvarelsen bør indeholde følgende hovedafsnit: Opgaveanalyse: En kort beskrivelse af, hvad opgaven går ud på, samt hvilke oplysninger,

Læs mere

Kapitel 2 Tal og variable

Kapitel 2 Tal og variable Tal og variable Uden tal ingen matematik - matematik handler om tal og anvendelse af tal. Matematik beskæftiger sig ikke udelukkende med konkrete problemer fra andre fag, og de konkrete tal fra andre fagområder

Læs mere

2. Ved et roulettespil kan man vinde 0,10,100, 500 og 1000 kr. Sandsynligheden for gevinsterne ses af følgende skema:

2. Ved et roulettespil kan man vinde 0,10,100, 500 og 1000 kr. Sandsynligheden for gevinsterne ses af følgende skema: Der er hjælp til opgaver med # og facit på side 6 1. Et eksperiment kan beskrives med følgende skema: u 1 2 3 4 5 P(u) 0,3 0,2 0,1 0,2 x Bestem x og sandsynligheden for at udfaldet er et lige tal.. 2.

Læs mere

Tal og algebra. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber: algebra variable. Huskeliste: Tændstikker (til side 146) FRA FAGHÆFTET

Tal og algebra. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber: algebra variable. Huskeliste: Tændstikker (til side 146) FRA FAGHÆFTET I kapitlet skal eleverne arbejde med fire forskellige vinkler på algebra de præsenteres på kapitlets første mundtlige opslag. De fire vinkler er algebra som et redskab til at løse matematiske problemer.

Læs mere

Matematisk induktion

Matematisk induktion Induktionsbeviser MT01.0.07 1 1 Induktionsbeviser Matematisk induktion Sætninger der udtaler sig om hvad der gælder for alle naturlige tal n N, kan undertiden bevises ved matematisk induktion. Idéen bag

Læs mere

1. Opbygning af et regneark

1. Opbygning af et regneark 1. Opbygning af et regneark Et regneark er et skema. Vandrette rækker og lodrette kolonner danner celler, hvori man kan indtaste tal, tekst, datoer og formler. De indtastede tal og data kan bearbejdes

Læs mere

Mathcad Survival Guide

Mathcad Survival Guide Mathcad Survival Guide Mathcad er en blanding mellem et tekstbehandlingsprogram (Word), et regneark (Ecel) og en grafisk CAS-lommeregner. Programmet er velegnet til matematikopgaver, fysikrapporter og

Læs mere

Spil & Sandsynlighed. Preben Blæsild

Spil & Sandsynlighed. Preben Blæsild Spil & Sandsynlighed Preben Blæsild (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) (5,1) (5,2) (5,3) (5,4)

Læs mere

Sandsynligheder. Mængder Hændelser Sandsynligheder Regler for sandsynligheder

Sandsynligheder. Mængder Hændelser Sandsynligheder Regler for sandsynligheder Sandsynligheder Mængder Hændelser Sandsynligheder Regler for sandsynligheder Sandsynligheder En sandsynlighed er et kvantitativt mål for usikkerhed et mål der udtrykker styrken af vores tro på forekomsten

Læs mere

Kapitel 5 Renter og potenser

Kapitel 5 Renter og potenser Matematik C (må anvedes på Ørestad Gymnasium) Renter og potenser Når en variabel ændrer værdi, kan man spørge, hvor stor ændringen er. Her er to måder at angive ændringens størrelse. Hvis man vejer 95

Læs mere

Opgave 1 Regning med rest

Opgave 1 Regning med rest Den digitale signatur - anvendt talteori og kryptologi Opgave 1 Regning med rest Den positive rest, man får, når et helt tal a divideres med et naturligt tal n, betegnes rest(a,n ) Hvis r = rest(a,n) kan

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS August 2012 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Ligning med + - / hvor x optræder 1 gang... 3 IT-programmer

Læs mere

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring mat.dk Differentialregning Dennis Pipenbring 0. december 00 Indold Differentialregning 3. Grænseværdi............................. 3. Kontinuitet.............................. 8 Differentialkvotienten

Læs mere

EMMA*-Tema: Chancetræer

EMMA*-Tema: Chancetræer EMMA*-Tema: Chancetræer Indhold 1. Vi tegner et chancetræ 2. Lidt om programmet TRÆ 3. Udtagelse med tilbagelægning 4. Programmet ÆSKE 5. Opgaver 6. Reducerede chancetræer 7. Hvor sikker er diagnosen?

Læs mere

Spilstrategier. 1 Vindermængde og tabermængde

Spilstrategier. 1 Vindermængde og tabermængde Spilstrategier De spiltyper vi skal se på her, er primært spil af følgende type: Spil der spilles af to spillere A og B som skiftes til at trække, A starter, og hvis man ikke kan trække har man tabt. Der

Læs mere

MODELSÆT 2; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN

MODELSÆT 2; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN MODELSÆT ; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN Forberedende materiale Den individuelle skriftlige røve i matematik vil tage udgangsunkt i følgende materiale:. En diskette med to regnearks-filer og en MathCad-fil..

Læs mere

APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE

APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE z x y z=exp( x^2 0.5y^2) CAS er en fællesbetegnelse for matematikprogrammer, som foruden numeriske beregninger også kan regne med symboler og formler. Det betyder: Computer

Læs mere

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller Matematiske vækstmodeller I matematik undersøger man ofte variables afhængighed af hinanden. Her ser man, at samme type af sammenhænge tit forekommer inden for en lang række forskellige områder. I kapitel

Læs mere

Schweynoch, 2003. Se eventuelt http://www.mathematik.uni-kassel.de/~fathom/projekt.htm.

Schweynoch, 2003. Se eventuelt http://www.mathematik.uni-kassel.de/~fathom/projekt.htm. Projekt 8.5 Hypotesetest med anvendelse af t-test (Dette materiale har været anvendt som forberedelsesmateriale til den skriftlige prøve 01 for netforsøget) Indhold Indledning... 1 χ -test... Numeriske

Læs mere

Algebra. Dennis Pipenbring, 10. februar 2012. matx.dk

Algebra. Dennis Pipenbring, 10. februar 2012. matx.dk matx.dk Algebra Dennis Pipenbring, 10. februar 2012 nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering Indhold 1 Forord 4 2 Indledning 5 3 De grundlæggende

Læs mere

I. Deskriptiv analyse af kroppens proportioner

I. Deskriptiv analyse af kroppens proportioner Projektet er delt i to, og man kan vælge kun at gennemføre den ene del. Man kan vælge selv at frembringe data, fx gennem et samarbejde med idræt eller biologi, eller man kan anvende de foreliggende data,

Læs mere

Personlig stemmeafgivning

Personlig stemmeafgivning Ib Michelsen X 2 -test 1 Personlig stemmeafgivning Efter valget i 2005 1 har man udspurgt en mindre del af de deltagende, om de har stemt personligt. Man har svar fra 1131 mænd (hvoraf 54 % har stemt personligt

Læs mere

Hvad er meningen? Et forløb om opinionsundersøgelser

Hvad er meningen? Et forløb om opinionsundersøgelser Hvad er meningen? Et forløb om opinionsundersøgelser Jette Rygaard Poulsen, Frederikshavn Gymnasium og HF-kursus Hans Vestergaard, Frederikshavn Gymnasium og HF-kursus Søren Lundbye-Christensen, AAU 17-10-2004

Læs mere

Lille Georgs julekalender 07. 1. december. Hvor mange løbere kan der opstilles på et skakbræt uden at de truer hinanden?

Lille Georgs julekalender 07. 1. december. Hvor mange løbere kan der opstilles på et skakbræt uden at de truer hinanden? 1. december Hvor mange løbere kan der opstilles på et skakbræt uden at de truer hinanden? Svar: 14 Forklaring: Der kan godt stå 14, f.eks. sådan: Men kunne der stå flere hvis man stillede dem endnu snedigere

Læs mere

ÅRSPLAN MATEMATIK 5.KLASSE

ÅRSPLAN MATEMATIK 5.KLASSE ÅRSPLAN MATEMATIK 5.KLASSE Matematiklærerens tænkebobler illustrerer, at matematikundervisning ikke udelukkende handler om opgaver, men om en (lige!) blanding af: Kompetencer Indhold Arbejdsmåder CENTRALE

Læs mere

9 Statistik og sandsynlighed

9 Statistik og sandsynlighed Side til side-vejledning 9 Statistik og sandsynlighed Faglige mål Kapitlet Statistik og sandsynlighed tager udgangspunkt i følgende faglige mål: Deskriptorer: kunne gennemføre og beskrive en statistisk

Læs mere

Emne Tema Materialer

Emne Tema Materialer 32 36 Uge 35 Fag: Matematik Hold: 20 Lærer: Trine Koustrup Undervisningsmål 9. klasse Læringsmål Faglige aktiviteter Emne Tema Materialer Målsætningen med undervisningen er at eleverne udvikler deres kunnen,opnår

Læs mere

og til summer af stambrøker. Bemærk: De enkelte brøker kan opskrives på flere måder som summer af stambrøker.

og til summer af stambrøker. Bemærk: De enkelte brøker kan opskrives på flere måder som summer af stambrøker. Hvad er en brøk? Når vi taler om brøker i dette projekt, mener vi tal på formen a, hvor a og b er hele tal (og b b 0 ), fx 2,, 3 og 3 7 13 1. Øvelse 1 Hvordan vil du forklare, hvad 7 er? Brøker har været

Læs mere

Allan C. Malmberg LÆR OM CHANCER! Sanne og Malene går på opdagelse med computeren

Allan C. Malmberg LÆR OM CHANCER! Sanne og Malene går på opdagelse med computeren Allan C. Malmberg LÆR OM CHANCER! Sanne og Malene går på opdagelse med computeren INFA 2005 Forord Denne INFA-publikation giver en indføring i arbejdet med begreber fra sandsynlighedernes verden. Den henvender

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni 11/12 Institution VUC Holstebro-Lemvig-Struer Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hf/hfe Matematik

Læs mere

Dagens program. Afsnit 1.1-1.3 Eksperimenter med usikkerhed Sandsynlighedsmodel - Udfaldsrum - Hændelser - Sandsynligheder Eksempler

Dagens program. Afsnit 1.1-1.3 Eksperimenter med usikkerhed Sandsynlighedsmodel - Udfaldsrum - Hændelser - Sandsynligheder Eksempler Dagens program Afsnit 1.1-1.3 Eksperimenter med usikkerhed Sandsynlighedsmodel - Udfaldsrum - Hændelser - Sandsynligheder Eksempler 1 Sandsynlighedsmodel Kvantitative Metoder 1 - Efterår 2006 Eksperiment

Læs mere

matematik Demo excel trin 1 preben bernitt bernitt-matematik.dk 1 excel 1 2007 by bernitt-matematik.dk

matematik Demo excel trin 1 preben bernitt bernitt-matematik.dk 1 excel 1 2007 by bernitt-matematik.dk matematik excel trin 1 preben bernitt bernitt-matematik.dk 1 excel 1 2007 by bernitt-matematik.dk matematik excel 1 1. udgave som E-bog 2007 by bernitt-matematik.dk Kopiering af denne bog er kun tilladt

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42

t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42 Slide 1/42 Hvad er matematik? 1) Den matematiske metode 2) Hvad vil det sige at bevise noget? 3) Hvor begynder det hele? 4) Hvordan vælger man et sæt aksiomer? Slide 2/42 Indhold 1 2 3 4 Slide 3/42 Mængder

Læs mere

Sandsynlighedregning

Sandsynlighedregning MOGENS ODDERSHEDE LARSEN Sandsynlighedregning + = - P(A B) = P(A) + P(B) P(A B). 1. udgave 2007 FORORD Dette notat giver en kort gennemgang af de grundlæggende begreber i sandsynlighedsregning. Det forudsættes,

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: Juni 2013 Roskilde

Læs mere

Mandags Chancen. En optimal spilstrategi. Erik Vestergaard

Mandags Chancen. En optimal spilstrategi. Erik Vestergaard Mandags Chancen En optimal spilstrategi Erik Vestergaard Spilleregler denne note skal vi studere en optimal spilstrategi i det spil, som i fjernsynet går under navnet Mandags Chancen. Spillets regler er

Læs mere

matx.dk Enkle modeller

matx.dk Enkle modeller matx.dk Enkle modeller Dennis Pipenbring 28. juni 2011 Indhold 1 Indledning 4 2 Funktionsbegrebet 4 3 Lineære funktioner 8 3.1 Bestemmelse af funktionsværdien................. 9 3.2 Grafen for en lineær

Læs mere

Excel 2007 (5): Formler, diagrammer og tips

Excel 2007 (5): Formler, diagrammer og tips Excel 2007 (5): Formler, diagrammer og tips HUSK AT: Man kan godt skrive flere linjer under hinanden i den samme celle. Marker den pågældende celle (evt. flere celler) og vælg "Ombryd tekst" på fanebladet

Læs mere

Normalfordelingen. Erik Vestergaard

Normalfordelingen. Erik Vestergaard Normalfordelingen Erik Vestergaard Erik Vestergaard www.matematiksider.dk Erik Vestergaard, 008. Billeder: Forside: jakobkramer.dk/jakob Kramer Side 7: istock.com/elenathewise Side 8: istock.com/jaroon

Læs mere

Spørgeskemaundersøgelser og databehandling

Spørgeskemaundersøgelser og databehandling DASG. Nye veje i statistik og sandsynlighedsregning. side 1 af 12 Spørgeskemaundersøgelser og databehandling Disse noter er udarbejdet i forbindelse med et tværfagligt samarbejde mellem matematik og samfundsfag

Læs mere

Et CAS program til Word.

Et CAS program til Word. Et CAS program til Word. 1 WordMat WordMat er et CAS-program (computer algebra system) som man kan downloade gratis fra hjemmesiden www.eduap.com/wordmat/. Programmet fungerer kun i Word 2007 og 2010.

Læs mere

Introduktion til EXCEL med øvelser

Introduktion til EXCEL med øvelser Side 1 af 10 Introduktion til EXCEL med øvelser Du kender en almindelig regnemaskine, som kan være til stort hjælp, når man skal beregne resultater med store tal. Et regneark er en anden form for regnemaskine,

Læs mere

Grundliggende regning og talforståelse

Grundliggende regning og talforståelse Grundliggende regning og talforståelse De fire regnearter: Plus, minus, gange og division... 2 10-tals-systemet... 4 Afrunding af tal... 5 Regning med papir og blyant... 6 Store tal... 8 Negative tal...

Læs mere

Mini AT-forløb om kommunalvalg: Mandatfordeling og Retfærdighed 1.x og 1.y 2009 ved Ringsted Gymnasium MANDATFORDELING

Mini AT-forløb om kommunalvalg: Mandatfordeling og Retfærdighed 1.x og 1.y 2009 ved Ringsted Gymnasium MANDATFORDELING MANDATFORDELING Dette materiale er lavet som supplement til Erik Vestergaards hjemmeside om samme emne. 1 http://www.matematiksider.dk/mandatfordelinger.html I dette materiale er en række øvelser der knytter

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2015 Institution 414 Københavns VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HFe Mat C-B Henrik Jessen

Læs mere

Brøker og forholdstal

Brøker og forholdstal Brøker og forholdstal Hvad er brøker... Forlænge og forkorte... Udtage brøkdele... Forholdstal... Uægte brøker og blandede tal... Brøker og decimaltal... Regning med brøker plus og minus... Regning med

Læs mere

TEMA: Sandsynlighedsregning NYHEDSBREV FOR DANSK MATEMATISK FORENING

TEMA: Sandsynlighedsregning NYHEDSBREV FOR DANSK MATEMATISK FORENING M A T I L D E TEMA: Sandsynlighedsregning NYHEDSBREV FOR DANSK MATEMATISK FORENING N R j- mat 35.indd 1 3 5 S E P T E M B E R 2 0 0 8 25/09/08 9:00:10 Leder Af: Bent Ørsted Temaet for denne måneds Matilde

Læs mere

Fibonacci følgen og Det gyldne snit

Fibonacci følgen og Det gyldne snit Fibonacci følgen og Det gyldne snit af John V. Petersen Indhold Fibonacci... 2 Fibonacci følgen og Binets formel... 3... 4... 6... 6 Bevis for Binets formel... 7 Binets formel fortæller os, at...... 9...

Læs mere

RSA-kryptosystemet. RSA-kryptosystemet Erik Vestergaard

RSA-kryptosystemet. RSA-kryptosystemet Erik Vestergaard RSA-kryptosystemet RSA-kryptosystemet Erik Vestergaard Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard, 007. Billeder: Forside: istock.com/demo10 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk 3 1. Indledning

Læs mere

Excel tutorial om indekstal og samfundsfag 2008

Excel tutorial om indekstal og samfundsfag 2008 Excel tutorial om indekstal og samfundsfag 2008 I denne note skal vi behandle data fra CD-rommen Samfundsstatistik 2008, som indeholder en mængde data, som er relevant i samfundsfag. Vi skal specielt analysere

Læs mere

Først falder den med 20% af 100 = 20 kr, dernæst stiger den med 30% af 80 = 24 kr.

Først falder den med 20% af 100 = 20 kr, dernæst stiger den med 30% af 80 = 24 kr. FORKLARINGER TIL LOGIK & TAL KORT 121 2 ud af 3 deltagere må være børn, da der er dobbelt så mange børn som voksne. Derfor er der i alt 48 børn med på skovturen. 2 ud af 3 børn må være piger, da der er

Læs mere

Gennemsnit og normalfordeling illustreret med terningkast, simulering og SLUMP()

Gennemsnit og normalfordeling illustreret med terningkast, simulering og SLUMP() Gennemsnit og normalfordeling illustreret med terningkast, simulering og SLUMP() John Andersen, Læreruddannelsen i Aarhus, VIA Et kast med 10 terninger gav følgende udfald Fig. 1 Result of rolling 10 dices

Læs mere

Talteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, august 2013, Kirsten Rosenkilde.

Talteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, august 2013, Kirsten Rosenkilde. Indhold 1 Delelighed, primtal og primfaktoropløsning Omskrivning vha. kvadratsætninger 4 3 Antal divisorer 6 4 Største fælles divisor og Euklids algoritme 7 5 Restklasser 9 6 Restklasseregning og kvadratiske

Læs mere

Matematik, der afgør spil

Matematik, der afgør spil Artikeltype 47 Matematik, der afgør spil Sandsynlighedsregning vinder ofte. Kombinatorisk spilteori sejrer hver gang Mads Thrane Hvis du er træt af at tabe opvasketjansen i Sten Saks Papir eller Terning,

Læs mere

Nanostatistik: sandsynligheder Kursushjemmeside: http://www.imf.au.dk/ kurser/nanostatistik/

Nanostatistik: sandsynligheder Kursushjemmeside: http://www.imf.au.dk/ kurser/nanostatistik/ Nanostatistik: sandsynligheder Kursushjemmeside: http://www.imf.au.dk/ kurser/nanostatistik/ JLJ Nanostatistik: sandsynlighederkursushjemmeside:http://www.imf.au.dk/kurser/nanostatistik/ p. 1/16 Højder

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj 2015 Institution VUC Vest, Stormgade 47, 6700 Esbjerg Uddannelse HF net-undervisning, HFe Fag og niveau

Læs mere

matematik grundbog trin 1 preben bernitt grundbog trin 1 2004 by bernitt-matematik.dk 1

matematik grundbog trin 1 preben bernitt grundbog trin 1 2004 by bernitt-matematik.dk 1 33 matematik grundbog trin 1 preben bernitt grundbog trin 1 2004 by bernitt-matematik.dk 1 matematik grundbog trin 1 ISBN: 978-87-92488-28-2 1. udgave som E-bog 2006 by bernitt-matematik.dk Kopiering af

Læs mere

How to do in rows and columns 8

How to do in rows and columns 8 INTRODUKTION TIL REGNEARK Denne artikel handler generelt om, hvad regneark egentlig er, og hvordan det bruges på et principielt plan. Indholdet bør derfor kunne anvendes uden hensyn til, hvilken version

Læs mere

Excel - begynderkursus

Excel - begynderkursus Excel - begynderkursus 1. Skriv dit navn som undertekst på et Excel-ark Det er vigtigt når man arbejder med PC er på skolen at man kan få skrevet sit navn på hver eneste side som undertekst.gå ind under

Læs mere

Evaluering af matematikundervisningen december 2014

Evaluering af matematikundervisningen december 2014 Evaluering af matematikundervisningen december 0 Evalueringen er udarbejdet på baggrund af et ønske om dokumentation for elevernes udbytte af matematikundervisningen. Af forskellige årsager er evalueringen

Læs mere

Tal og algebra. I hvilke situationer kan det være motiverende at gengive et talmønster som et geometrisk mønster?

Tal og algebra. I hvilke situationer kan det være motiverende at gengive et talmønster som et geometrisk mønster? Oplæg I hvilke situationer kan det være motiverende at gengive et talmønster som et geometrisk mønster? Hvordan ser I mulighederne i at stimulere elevernes tænkning og udvikle deres arbejdsmåde, når de

Læs mere

Kvadratrodsberegning ved hjælp af de fire regningsarter

Kvadratrodsberegning ved hjælp af de fire regningsarter Kvadratrodsberegning ved hjælp af de fire regningsarter Tidligt i historien opstod et behov for at beregne kvadratrødder med stor nøjagtighed. Kvadratrødder optræder i forbindelse med retvinklede trekanter,

Læs mere

Om brugen af matematiske tegn og objekter i en god matematisk fremstilling

Om brugen af matematiske tegn og objekter i en god matematisk fremstilling Om brugen af matematiske tegn og objekter i en god matematisk fremstilling af Petur Birgir Petersen Et særpræg ved matematik som videnskab er den udstrakte brug af symboler. Det er vigtigt at symbolerne

Læs mere

{ } { } {( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )}

{ } { } {( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )} Stokastisk eksperiment Et stokastisk eksperiment er et eksperiment, hvor vi fornuftigvis ikke på forhånd kan have en formodning om resultatet af eksperimentet. Til gengæld kan vi prøve at sige noget om,

Læs mere

Differential- regning

Differential- regning Differential- regning del () f () m l () 6 Karsten Juul Indhold Tretrinsreglen 59 Formler for differentialkvotienter64 Regneregler for differentialkvotienter67 Differentialkvotient af sammensat funktion7

Læs mere

IT/Regneark Microsoft Excel 2010 Grundforløb

IT/Regneark Microsoft Excel 2010 Grundforløb Januar 2014 Indhold Opbygning af et regneark... 3 Kolonner, rækker... 3 Celler... 3 Indtastning af tekst og tal... 4 Tekst... 4 Tal... 4 Værdier... 4 Opbygning af formler... 5 Indtastning af formler...

Læs mere

Matematik. Grundforløbet. Mike Auerbach (2) Q 1. y 2. y 1 (1) x 1 x 2

Matematik. Grundforløbet. Mike Auerbach (2) Q 1. y 2. y 1 (1) x 1 x 2 Matematik Grundforløbet (2) y 2 Q 1 a y 1 P b x 1 x 2 (1) Mike Auerbach Matematik: Grundforløbet 1. udgave, 2014 Disse noter er skrevet til matematikundervisning i grundforløbet på stx og kan frit anvendes

Læs mere

www.hasbro.dk www.monopoly.co.uk

www.hasbro.dk www.monopoly.co.uk THE SIMPSONS & 2007 Twentieth Century Fox Film Corporation. All rights reserved. Distribueret i Norden af Hasbro Nordic, Ejby Industrivej 40, 2600 Glostrup. Made in Ireland www.hasbro.dk www.monopoly.co.uk

Læs mere

ALMINDELIGT ANVENDTE FUNKTIONER

ALMINDELIGT ANVENDTE FUNKTIONER ALMINDELIGT ANVENDTE FUNKTIONER I dette kapitel gennemgås de almindelige regnefunktioner, samt en række af de mest nødvendige redigerings- og formateringsfunktioner. De øvrige redigerings- og formateringsfunktioner

Læs mere

Matematik for stx C-niveau

Matematik for stx C-niveau Thomas Jensen og Morten Overgård Nielsen Matematik for stx C-niveau Frydenlund Nu 2. reviderede, udvidede og ajourførte udgave Nu 2. reviderede, udvidede og ajourførte udgave Matema10k Matematik for stx

Læs mere

Ideer til matematik-aktiviteter i yngstetrinet

Ideer til matematik-aktiviteter i yngstetrinet Ideer til matematik-aktiviteter i yngstetrinet Følgende ideer er ment som praktiske og konkrete ting, man kan bruge i matematik-undervisningen i de yngste klasser. Nogle af aktiviteterne kan bruges til

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Maj-juni 2015 Skoleår 2014/2015 Thy-Mors HF & VUC Hfe Matematik,

Læs mere

Evaluering af matematik undervisning

Evaluering af matematik undervisning Evaluering af matematik undervisning Udarbejdet af Khaled Zaher, matematiklærer 6-9 klasse og Boushra Chami, matematiklærer 2-5 klasse Matematiske kompetencer. Fællesmål efter 3.klasse indgå i dialog om

Læs mere

FP9. 1 Esters fritidsjob 2 Katrine maler 3 Backgammon 4 Halvmaratonløb 5 Babyloniernes formel for arealet af en firkant.

FP9. 1 Esters fritidsjob 2 Katrine maler 3 Backgammon 4 Halvmaratonløb 5 Babyloniernes formel for arealet af en firkant. FP9 9.-klasseprøven Matematisk problemløsning December 2014 Et svarark er vedlagt til dette opgavesæt 1 Esters fritidsjob 2 Katrine maler 3 Backgammon 4 Halvmaratonløb 5 Babyloniernes formel for arealet

Læs mere

1gma_tændstikopgave.docx

1gma_tændstikopgave.docx ulbh 1gma_tændstikopgave.docx En lille simpel opgave med tændstikker Læg 10 tændstikker op på en række som vist Du skal nu danne 5 krydser med de 10 tændstikker, men du skal overholde 3 regler: 1) når

Læs mere

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Kompendium i faget Matematik Tømrerafdelingen 2. Hovedforløb. Y Y = ax 2 + bx + c (x,y) X Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Indholdsfortegnelse for H2: Undervisningens indhold...

Læs mere

En lille vejledning til lærere og elever i at bruge matematikprogrammet WordMat (begynderniveau)

En lille vejledning til lærere og elever i at bruge matematikprogrammet WordMat (begynderniveau) Matematik i WordMat En lille vejledning til lærere og elever i at bruge matematikprogrammet WordMat (begynderniveau) Indholdsfortegnelse 1. Introduktion... 3 2. Beregning... 4 3. Beregning med brøker...

Læs mere

Kom i gang med... Kapitel 11 Math: Formelredigering med OpenOffice.org. OpenOffice.org

Kom i gang med... Kapitel 11 Math: Formelredigering med OpenOffice.org. OpenOffice.org Kom i gang med... Kapitel 11 Math: Formelredigering med OpenOffice.org OpenOffice.org Rettigheder Dette dokument er beskyttet af Copyright 2005 til bidragsyderne som er oplistet i afsnittet Forfattere.

Læs mere

Regnearket Excel - en introduktion

Regnearket Excel - en introduktion Regnearket Excel - en introduktion Flytte rundt i regnearket. Redigere celler Hjælp Celleindhold Kopiering af celler Lokalmenu og celleegenskaber Opgaver 1. Valutakøb 2. Hvor gammel er du 3. Momsberegning

Læs mere

Matematik i Word. En manual til elever og andet godtfolk. Indhold med hurtig-links. Kom godt i gang med Word Matematik. At regne i Word Matematik

Matematik i Word. En manual til elever og andet godtfolk. Indhold med hurtig-links. Kom godt i gang med Word Matematik. At regne i Word Matematik Matematik i Word En manual til elever og andet godtfolk. Indhold med hurtig-links Kom godt i gang med Word Matematik At regne i Word Matematik Kom godt i gang med WordMat Opsætning, redigering og kommunikationsværdi

Læs mere

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal.

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal. 1 Tal Tal kan forekomme os nærmest at være selvfølgelige, umiddelbare og naturgivne. Men det er kun, fordi vi har vænnet os til dem. Som det vil fremgå af vores timer, har de mange overraskende egenskaber

Læs mere

Kom godt i gang. Sluttrin

Kom godt i gang. Sluttrin Kom godt i gang Sluttrin Kom godt i gang Sluttrin Forfatter Karsten Enggaard Redaktion Gert B. Nielsen, Lars Høj, Jørgen Uhl og Karsten Enggaard Fagredaktion Carl Anker Damsgaard, Finn Egede Rasmussen,

Læs mere

3. klasse 6. klasse 9. klasse

3. klasse 6. klasse 9. klasse Børne- og Undervisningsudvalget 2012-13 BUU Alm.del Bilag 326 Offentligt Elevplan 3. klasse 6. klasse 9. klasse Matematiske kompetencer Status tal og algebra sikker i, er usikker i de naturlige tals opbygning

Læs mere

Emne Tema Materiale r - - - - - aktiviteter

Emne Tema Materiale r - - - - - aktiviteter Fag: Matematik Hold: 24 Lærer: TON Undervisningsmål Læringsmål 9 klasse 32-34 Introforløb: række tests, som viser eleverne faglighed og læringsstil. Faglige aktiviteter Emne Tema Materiale r IT-inddragelse

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Vinter 2014 Institution 414 Københavns VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold hfe Matematik B Trine Eliasen

Læs mere

Uafhængig og afhængig variabel

Uafhængig og afhængig variabel Uddrag fra http://www.emu.dk/gym/fag/ma/undervisningsforloeb/hf-mat-c/introduktion.doc ved Hans Vestergaard, Morten Overgaard Nielsen, Peter Trautner Brander Variable og sammenhænge... 1 Uafhængig og afhængig

Læs mere

Læringsmål Faglige aktiviteter Emne Tema Materialer

Læringsmål Faglige aktiviteter Emne Tema Materialer Uge 33-48 Målsætningen med undervisningen er at eleverne individuelt udvikler deres matematiske kunnen,opnår en viden indsigt i matematik kens verden således at de kan gennemføre folkeskolens afsluttende

Læs mere

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje.

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje. Maple Dette kapitel giver en kort introduktion til hvordan Maple 12 kan benyttes til at løse mange af de opgaver, som man bliver mødt med i matematiktimerne på HHX. Skærmbilledet Vi starter med at se lidt

Læs mere