Forberedelsesmateriale. Indledende sandsynlighedsregning og kombinatorik

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Forberedelsesmateriale. Indledende sandsynlighedsregning og kombinatorik"

Transkript

1 Forberedelsesmateriale Indledende sandsynlighedsregning og kombinatorik

2 1 Kort om sandsynlighedsregningens historie Den århusianske matematiker Jørgen Hoffmann-Jørgensen har skrevet følgende: Sandsynlighedsregningens opgave er at beskrive, forudsige og regelsætte tilfældige hændelser. Da tilfældige hændelser er karakteriseret ved, at de er ubeskrivelige, uforudsigelige og totalt kaotiske, kan sandsynlighedsteoriens opgave formuleres således Beskriv det ubeskrivelige, forudsig det uforudsigelige, og find orden, hvor der ingen orden findes. 1 De første matematiske teorier for regning med sandsynligheder kan tilskrives italieneren og multikunstneren G. Cardano ( ), der i værket Liber de ludo aleae behandler hasardspil. Fermat og Pascal fremhæves dog ofte som sandsynlighedsregningens fædre. Det kan hænge sammen med, at Cardanos værk først udgives i Et af de eksempler på hasardspil, som Cardano kigger på, er kast med 3 terninger, hvor den ene part holder på, at der vil komme mindst en ener, den anden på, at der ingen enere vil komme. Cardanos påstand er, at sandsynlighederne er lige store. Opgave 1: a) Forsøg at finde frem til, hvad Cardanos argument er for at sige, at der er lige stor sandsynlighed for at få mindst én etter eller ingen ettere. b) Opstil i et regneark de 216 muligheder, der er for at slå med 3 terninger. c) Optæl antallet af kombinationer/muligheder, hvor der ingen ettere er. d) Cardanos argument er forkert. Hvorfor? Cardano er den første, der er tæt på den vigtige formel for sandsynligheden for en hændelse = første. antal gunstige antal mulige. Fermat og Pascal beskriver det senere som de 1 Mathilde nr. 35 september 2008 Torben Rudbeck Side 2

3 G. Galilei ( ) har også behandlet spil med terninger. Han blev spurgt af en ven, hvorfor det var lettere at få 10 øjne end 9 øjne i et kast med 3 terninger når 10 og 9 kan opsplittes på lige mange måder som en sum af tre tal mellem 1 og 6. Opgave 2: a) Brug regnearket fra opgave 1 til at finde ud af, om der er størst sandsynlighed for at opnå 10 øjne eller 9 øjne. b) Virker det rent intuitivt rigtigt? Sandsynlighedsregningens start tilskrives dog som tidligere nævnt Pierre Fermat ( ) og Blaise Pascal ( ). Hasardspil var igen årsagen til, hvad der denne gang blev begyndelsen på en mere formaliseret og korrekt matematisk tilgang til sandsynlighedsregningen. Pascals gode og noget spilleglade ven de Méré opstillede to problemstillinger, som han var stødt på i Paris natteliv. De to problemstillinger er efterfølgende blevet kaldt Chevalier de Méré s problem og Delingsproblemet. Chevalier de Mere's problem Det er fordelagtigt at holde på, at der i 4 slag med en terning kommer mindst en sekser. På den anden side er det ufordelagtigt at holde på, at der i 24 kast med to terninger kommer mindst en dobbeltsekser selvom 24 forholder sig til 36 (mulige udfald med to terninger) som 4 forholder sig til 6 (mulige udfald med en terning). Delingsproblemet To personer A og B spiller et spil med lige store chancer for at vinde. Det kunne eksempelvis være plat og krone. De sætter hver et bestemt beløb ind og den, der først vinder N gange vinder hele puljen. Imidlertid må de afbryde spillet i utide på det tidspunkt, hvor A har vundet a spil og B har vundet b spil. Hvordan skal puljen deles? Torben Rudbeck Side 3

4 Opgave 3: a) Pascal og Fermat havde kun hånlige kommentarer til overs for det første problem, som de løste ganske let. Kan du gennemskue, hvordan de løste problemet? Hvad er svaret? b) Løs delingsproblemet, når: der i alt skal vindes 5 spil for at vinde, A har vundet 4 spil og B har vundet 3 spil - altså når N = 5, a = 4 og b = 3. N = 6, a = 4 og b = 3. c) Prøv at gennemskue det teoretiske svar til delingsproblemet. d) Se de første 20 min af udsendelsen om spil på dette link merne/2007/ htm Fermat og Pascal udvekslede deres teorier om sandsynlighedsregningen (og meget andet) via en lang række breve i Det er i et af de breve, at Fermat formulerer det i dag almindeligt accepterede princip: Terningen har ingen hukommelse. Der har været en del vigtige personer og udgivelser i forbindelse med sandsynlighedsregningen. Følgende skal nævnes: - Christians Huyghens ( ) De ratiociniis in Alea Ludo ( Hvorledes man ræssonerer i terningespil ). Middelværdibegrebet indføres. - Jacob Bernoulli ( ) Ars conjectandi ( Formodningskunst ). Bl.a. de store tal lov og kombinatorik. - Pierre-Simon Laplace ( )- Théorie Analytique des Probabilités. - Abraham de Moivre ( ) Doctrines of Chances. Spilteori. - Carl Friedrich Gauss ( ). Matematikkens fyrste. Normalfordelingen. - Lvovich Pafnufty Chebyshev ( ) indfører blandt mange andre ting begrebet stokastisk variabel. Den tyske matematiker David Hilbert ( ) beskrev i år uløste matematiske problemstillinger 2, som skulle identificere det kommende århundredes matematiske udfordringer. Russeren Andrei Kolmogorov ( ) løser delvist det ene af disse problemer ved at udgive værket Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeisrechnung i I dette værk opstiller Kolmogorov 2 Der kan læses mere om de 23 problemstillinger på Torben Rudbeck Side 4

5 5 aksiomer og 2 definitioner, hvoraf samtlige af sandsynlighedsregningens sætninger i dag kan vises. Bl.a. de store tals lov, den centrale grænseværdi sætning, den iterede logaritme lov og arcussinus loven. Du kan læse mere om nogle af Kolmogorovs aksiomer på følgende link: dsregning_og_stokastisk_proces/sandsynlighedsregning Af spændende historiske sandsynlighedsteoriske opgaver findes bla. : - Monty Hall problemet - Skt. Petersborg paradokset - Fødselsdagsparadokset - Fermis paradoks Opgave 4 (frivillig opgave): a) Undersøg, hvad problemstillingen er for et af de ovennævnte problemer ved at søge på world wide web. Lav herefter, hvis det er muligt, forsøg i forhold til problemstillingen. Kilde: Torben Rudbeck Side 5

6 2 Kombinatorik 2.1 Valgprocesser En sammensat valgproces er når man må træffe en række valg, hvor hvert valg på nær det sidste stiller en over for det følgende valg. Sådanne valgprocesser kan illustreres med valgtræer. Det samlede antal muligheder som valgprocessen resulterer i efter det n te valg, kan bestemmes som det samlede antal forgreninger i træets n te trin. Eksempel 1: Kurt går på restaurant. Af overtjeneren får han at vide, at han denne dag kan vælge mellem 3 forretter, 3 hovedretter og 3 desserter. Af nedenstående valgtræ er samtlige Kurts mulige valg skitseret. Opgave 5: a) Optæl antallet af mulige kombinationer, hvorpå Kurt kunne have sammensat sin middag. b) Hvordan kan man let udregne antallet af mulige valg for Kurt? c) Hvor mange muligheder ville Kurt have haft, hvis han kunne vælge mellem 2 forretter, 5 hovedretter og 3 desserter? Torben Rudbeck Side 6

7 Opgave 6: Find selv på en sammensat valgproces a la Kurts restaurantsbesøg, der passer til valgtræet nedenfor. 2.2 Multiplikationsprincippet og additionsprincippet Multiplikationsprincippet (både/og) Som du gerne skulle have fundet ud af i opgave 5, kan antallet af forskellige muligheder udregnes ganske let. Metoden er formaliseret i sætning 1 nedenfor og går under navnet multiplikationsprincippet (både/og) Eksempel 2: I en kiosk er der et lille udvalg af is. Der er forskellige slags: nougat, chokolade, banan, fløde og vanille. Sofie vil gerne have en flødebolle på sin is. Der er 2 forskellige slags flødeboller med eller uden kokos. På hvor mange forskellige måder kan Sofie sammensætte sin is med de 2 forskellige flødeboller? Her bruges multiplikationsprincippet også kaldet både/og. Da Sofie både skal have en is og en flødebolle, skal de enkelte muligheder ganges med hinanden. Antal muligheder for is = 5 Antal muligheder for flødeboller = 2 5 x 2 = 10 muligheder i alt. Sofie kan sammensætte sin is på 10 forskellige måder. Torben Rudbeck Side 7

8 Sætning 1: Lad det første valg i en sammensat valgproces kunne træffes på n 1 måder, det andet valg uanset udfaldet af det første valg på n 2 måder osv. Er der i alt p valg, resulterer den sammensatte valgproces i, at der er n1 n2... np 1 np (1) forskellige muligheder Opgave 7: Læs sætning 1 igen og overbevis dig selv om, at det der står i sætningen er korrekt. Opgave 8: I et lille europæisk land med få indbyggere vil man give bilerne nummerplader med 3 tegn på hver. De forskellige valgmuligheder, man kan vælge mellem, er: - tre cifre - et bogstav efterfulgt af 2 cifre - ciffer-bogstav-ciffer - to cifre efterfulgt af et bogstav - to bogstaver efterfulgt af et ciffer - bogstav-ciffer-bogstav - et ciffer efterfulgt af to bogstaver - tre bogstaver Landet har 24 bogstaver i sit alfabet. Heruover skal det oplyses, at nummerplader ikke kan starte med cifferet 0. Hvor mange nummerplader kan der laves af de forskellige sammensætninger af nummerpladerne? Torben Rudbeck Side 8

9 Opgave 9: a) Hvor mange forskellige udfald er der, hvis vi kaster med 3 terninger? (Jfr. 1.b) b) Hvor mange nummerplader kan man danne i Danmark med det nuværende nummerpladesystem, hvis vi tager udgangspunkt i, at der kan bruges 24 bogstaver og 10 cifre, hvoraf 0 ikke kan være første ciffer? (Se på siden: at det er meget vanskeligere end som så!) c) Hvor mange 8-cifrede telefonnumre kan der dannes, hvis alle telefonnumre er i spil (hvilket de ikke er i virkeligheden)? d) Gert har 8 bluser, 5 par bukser, 7 par underbukser, 10 par strømper og 3 par sko. På hvor mange forskellige måder kan han møde påklædt i skole? e) Et postbud har fået lige rigeligt inden for vesten, inden han en tidlig lørdag morgen skal opdele post. I en opgang med 8 lejligheder anbringer han opgangens 10 breve på må og få. Hvor mange mulige resultater kan der komme ud af dette? Additionsprincippet (enten/eller) Sætning 2: Hvis man ved et valg skal vælge enten én af n1 muligheder eller én af n 2 muligheder osv. Er der i alt p valg, resulterer den sammensatte valgproces i, at der er n1 + n np 1 + np (1) forskellige muligheder Eksempel 3: I en kiosk er der et lille udvalg af is, bl.a. 2 forskellige slags sodavandsis og 4 forskellige slags vaffelis. Hvor mange forskellige is kan Karoline vælge i mellem, hvis hun enten vil have sodavandsis eller vaffelis? Her bruges additionsprincippet også kaldet enten / eller. Da Karoline enten vil have sodavandsis eller vaffelis, skal de enkelte muligheder lægges sammen. Antal muligheder for sodavandsis = 2 Antal muligheder for vaffelis = = 6 muligheder i alt. Torben Rudbeck Side 9

10 Eksempel 4: Opgave 10: Karl har 6 bluser og 2 par fløjlsbukser, herudover har han 3 T-shirts og 3 par cowboybukser. Når han skal klæde sig på, tager han enten en bluse og et par fløjlsbukser på eller en T-shirt og et par cowboybukser. Bluse og fløjlsbukser giver 6 2 = 12 muligheder. T-shirts og cowboybukser giver 3 3 = 9 muligheder. I alt har han hermed måder at påklæde sig. Definition 1: I en klasse går der 29 elever, hvoraf 11 er piger og 18 er drenge. Klassen skal nedsætte et udvalg på tre personer, som skal til møde med rektor om indretningen af klasselokalet. Klassen beslutter, at hvert køn skal være repræsenteret i udvalget. Hvor mange forskellige delegationer kan sendes op på rektors kontor? For et vilkårligt positivt helt tal n betyder n! ( ) ( ) n! = n 2 n 1 n (2) Af forskellige årsager sætter vi 0! = 1 Om n! siger man n fakultet. Opgave 11: a) Beregn 1!, 2!, 3!,.., 10! 3 (3-tallet er en note. Se nederst på siden). b) Undersøg, hvor stort et tal dit CAS-værktøj kan regne fakultet for. c) På, hvor mange måder kan 11 personer placeres på banen til en fodboldkamp. d) Udregn 5!, 9! 6! 3!, ( n ) ( n + ) ( n ) 1! 2! + 1! n! og n ( n ) 1! e) I en klasse går 29 elever. Der er nøjagtig 29 pladser i klassen. Hvor mange dage skal klassen gå i skole for at have afprøvet alle mulige pladskombinationer, hvis de ikke må bytte pladser mere end en gang om dagen? 3 Se Appendix for instruktioner til dit CAS-værktøj Torben Rudbeck Side 10

11 2.3 Stikprøver Opgave 11 c) viser, hvor mange måder en mængde på 11 personer kan ordnes på. Ligeledes bestemmer n!, hvor mange måder en mængde med n elementer kan ordnes på. Der findes fire forskellige slags stikprøver. ordnet uden tilbagelægning ordnet med tilbagelægning uordnet uden tilbagelægning uordnet med tilbagelægning Når en stikprøve er "ordnet, er det fordi rækkefølgen er vigtig. Eksempelvis er sølv, guld, bronze ikke det samme som guld, sølv, bronze. Når stikprøven er "uordnet", er det, fordi rækkefølgen er ligegyldig. Eksempelvis er 24, 16, 13, 15, 2, 19, 33 det samme som 16, 33, 19, 2, 15, 24, 13. I en stikprøve med tilbagelægning må det samme udfald gerne forekomme flere gange. Eksempler på dette er 6, 6, 3, 2 eller 3, 5, 4, 5 osv. Uden tilbagelægning betyder, at man ikke kan bruge det samme udfald mere end én gang. Eksempelvis kan 12, 13, 6, 15, 6, 19, 33 ikke bruges. Opgave 12: Et eksempel på en stikprøve, der er uordnet uden tilbagelægning er lottospillet. a) Hvorfor er lottospillet uordnet uden tilbagelægning? b) Find selv på eksempler på spil, der er: a) ordnet uden tilbagelægning b) ordnet med tilbagelægning c) uordnet uden tilbagelægning d) uordnet med tilbagelægning Nedenstående skema kan opstilles, og vi skal i de kommende afsnit prøve at finde frem til, hvilke formler, der kan placeres i de fire rum. Uden tilbagelægning Med tilbagelægning Ordnet stikprøve a) b) Uordnet stikprøve c) d) Permutation (med orden) = et udvalg, hvor positionen af det enkelte element er af betydning. Kombination (uden orden) = et udvalg, hvor positionen af det enkelte element er uden betydning. Torben Rudbeck Side 11

12 2.3.1 Permutationer (med orden) Ad a) Ordnet stikprøve med tilbagelægning. Sætning 3: r I en ordnet stikprøve med tilbagelægning med n elementer og r udtræk er der n mulige stikprøver. r kan være mindre end, lig med eller større end n, da der er tale om tilbagelægning i stikprøven. Bevis: Første element kan vælges på n forskellige måder, og da der er tale om tilbagelægning, kan andet element også vælges på n forskellige måder, tredie element kan vælges på n forskellige måder, det r te element kan vælges på n forskellige måder. Da multiplikationsprincippet kan anvendes, får vi det samlede antal måder, stikprøven kan udtages på til at være n n... n = n r stk. r q.e.d. Eksempel 5: Antag, at de udtrukne bolde i lotto straks sendes tilbage i bowlen, og at rækkefølgen faktisk er relevant. Da bliver samtlige mulige udfald 7 36 = Opgave 13: Hvor mange to, tre og fire-cifrede tal kan skrives ved brug af cifrene 1, 2, 3, 5, 7 og 8 når hvert ciffer gerne må bruges flere gange i hvert tal? Torben Rudbeck Side 12

13 Ad b) Ordnet stikprøve uden tilbagelægning. Sætning 4: I en ordnet stikprøve uden tilbagelægning med n elementer og r udtræk er der ( n r ) stikprøver (udtræk). Dette betegnes også n! P ( n, r) = n r! ( ) hvor P står for permutation. r n (da der er tale om en stikprøve uden tilbagelægning). n! mulige! (3) Bevis: En permutation, som i sætning 4, kan findes ved først at vælge, hvad der skal stå forrest; her er der n mulige valg. Dernæst vælges nummer to i rækken; her er der n-1 muligheder tilbage, da der ikke er tilbagelægning. Ved nummer tre i rækken er der n-2 valgmuligheder. Således kan fortsættes, og når vi foretager valg nr. r er der allerede brugt r-1 elementer fra stikprøve, dvs. at der til nummer r i ( ) rækken er ( ) Dvs. at n r 1 = n r + 1 valgmuligheder tilbage. (, ) = ( 1) ( 2) ( 3 )... ( + 1) P n r n n n n n r r valg Dette kan nemt omskrives til (3): (, ) = ( 1) ( 2) ( 3 )... ( + 1) = n ( n ) ( n ) ( n ) ( n r ) ( n r) ( n r ) = ( n r) ( n r 1 ) P n r n n n n n r = Eksempel 6: n! ( n r)! Q. E. D Ved VM i tårnspring deltog 25 udspringere. På hvor mange måder kunne guld-, sølv- og bronzemedaljerne i teorien fordeles? Der er tale om en ordnet delmængde uden tilbagelægning Overbevis dig selv om det! 25! Antallet af mulige kombinationer på skamlen var således: P ( 25,3) = = ! ( ) Torben Rudbeck Side 13

14 Opgave 14: a) Sørg for, at du har forstået beviset til sætning 4. En fra gruppen skal gennemgå det for de andre. b) Beregn uden brug af CAS P(6,3), P(7,2) og P(30,2). c) Beregn vha. CAS P(16,8), P(29,7) og P(30,2). Opgave 15: På hvor mange måder kan der af klassens elever sammensættes et håndboldhold (7 spillere), hvor det er afgørende, hvilken position man får på banen (målmand, højre og venstre wing, højre og venstre back, højre og venstre center). Opgave 16: Overbevis dig selv om vha. (3), at det er fornuftigt at sætte 0! = Kombinationer (uden orden) Ad c) uordnet uden tilbagelægning Sætning 5: I en uordnet stikprøve uden tilbagelægning med n elementer og r udtræk er der stikprøver. Dette betegnes også n! K ( n, r) = r! n r! hvor K står for kombination. ( ) n! mulige r! n r! ( ) (4) r n da der er tale om en stikprøve uden tilbagelægning. K ( n, r ) skrives også n r Torben Rudbeck Side 14

15 Eksempel 7: Før vi kommer til beviset gives et lille eksempel, der gerne skulle lette forståelsen af beviset for sætning 5. Af 5 personer (Arne, Birthe, Conrad, Dennis og Erhard) skal 3 vælges til et udvalg i den lokale badmintonklub. Der er intet hierarki i udvalget, og én person kan ikke beklæde flere poster i udvalget. Antallet af permutationer giver P(5,3) = 60. Disse udvalg opskrives nedenfor ABC ACB BAC BCA CAB CBA ABD ADB BAD BDA DAB DBA ABE AEB BAE BEA EAB EBA ACD ADC CAD CDA DAC DCA ACE AEC CAE CEA EAC ECA ADE AED DAE DEA EAD EDA BCD BDC CBD CDB DBC DCB BCE BEC CBE CEB EBC ECB BDE BED DBE DEB EBD EDB CDE CED DCE DEC ECD EDC Det ses let, at hver række giver de samme udfald, således, at der faktisk kun er 10 forskellige muligheder (antal søjler) for udvalg, da udvalget skal sammensættes uordnet uden tilbagelægning. Hver række består af 6 permutationer, idet tre givne personer kan opstilles i rækkefølge på = 6 måder. Der er altså i alt 60 = 10 forskellige udvalg når ordenen er ligegyldig. 6 Torben Rudbeck Side 15

16 Bevis for sætning 5: Vi prøver at gå frem som i eksemplet, og ser på, hvordan r personer fra en gruppe på n personer kan placeres i rækkefølge. Dette antal kan angives ved P(n,r). Disse permutationer kan angives i et skema som anvist i eksempel 7, hvor hver række vil bestå af r! permutationer, fordi r personer kan opstilles på r! måder. Antallet af søjler er derfor r!. Antallet af rækker, der er antal kombinatiner, er derfor lig med P(n,r) divideret med antal søjler, som der er r! af. Dette angives på følgende måde: (, ) K n r ( ) P n, r n! = = r! r! n r! ( ) Alternativt bevis for sætning 5: Q. E. D. Vi udvælger r elementer ud af n i ordnet rækkefølge uden tilbagelægning (en permutation): (, ) = ( 1) ( 2 )... ( + 1) P n r n n n n r r elementer Dette forlænges i både tæller og nævner P n r = n n n n r ( ) ( ) ( ) ( ) ( n r ) ( n r, ) ( n r) ( n r ) n! P ( n, r) = 0 r n! ( n r) Torben Rudbeck Side 16

17 Det ses af ovenstående tegning, at man kan udtage r elementer af n i ordnet rækkefølge uden tilbagelægning på: enten P ( n, r) måder eller på K ( n r), r! måder, da man enten først direkte kan sætte de udvalgte elementer i rækkefølge eller man kan udtage en mængde på r elementer og derefter sætte dem i orden. Dette medfører, at ( ) (, ) P n r K ( n, r) r! = P( n, r) K ( n, r) = r! n! K ( n, r) = 0 r n r! n r! Eksempel 8: Af 5 personer (Arne, Birthe, Conrad, Dennis og Erhard) skal 3 vælges til et udvalg i den lokale badmintonklub. Der er intet hierarki i udvalget, og én person kan ikke beklæde flere pladser i udvalget. Hvor mange udvalg kan kan der laves? K 5! 5! 5 4 5,3 = = = = 10. 3! 5 3! 3!2! 2 1 ( ) ( ) Opgave 17: Opgave 18: Udregn K ( 8,0), K ( 5, 2 ), K ( ) 13,3, (, ) (, p) K n p K n n, En studietur til Amsterdam består af 31 personer. På vej hjem har 6 personer medbragt ulovligt tobak. Tolderen udtager tilfældigt 4 personer til kontrol. a) Hvor mange forskellige stikprøver kan der udtages? b) Hvor mange af disse stikprøver indeholder mindst én smugler? Torben Rudbeck Side 17

18 Opgave 19: En klasse på 29 elever skal stille med et tre-mands oprydningshold efter en fest. Hvor mange hold kan dannes? Opgave 20: En klasse består af 12 piger og 8 drenge. Ved et klassemøde skal der vælges en ordstyrer og en referent. Hvor mange muligheder er der, hvis der frit kan vælges mellem klassens elever? hvis der skal vælges 2 drenge? hvis der skal vælges 2 piger? hvis ordstyreren skal være en dreng og referenten en pige? hvis ordstyreren skal være en pige og referenten en dreng? Opgave 21: Et fodboldhold består af 11 spillere, en målmand, et vist antal forsvarsspillere, midtbanespillere og angribere. Forskellige spilsystemer fastsætter antallet af de tre sidstnævnte antal. F.eks. betyder 4-4-2, at der er 4 forsvarere, 4 midtbanespillere og 2 angribere på holdet. Til Danmarks VM-kamp mod Malta den 17. marts havde landstræner Morten Olsen udtaget en bruttotrup på 23 spillere bestående af 3 målmænd, 6 forsvarsspillere, 8 midtbanespillere og 6 angribere (se bilag 1). Antag at Morten Olsen ønsker at spille systemet. På hvor mange måder kan han udtage målmanden? På hvor mange måder kan han udtage forsvaret? På hvor mange måder kan han udtage midtbanen? På hvor mange måder kan han udtage angrebet? På hvor mange måder kan han udtage de 11 i startopstillingen? På hvor mange måder kan han udtage de 11 i startopstillingen, hvis han går over til sit favoritsystem 3-4-3? Torben Rudbeck Side 18

19 Ad d) uordnet med tilbagelægning Denne stikprøve når vi ikke at beskæftige os med; men der skal alligevel angives en sætning dog uden bevis! Sætning 6: I en uordnet stikprøve med tilbagelægning med n elementer og r udtræk er der ( n + r ) r! ( n 1 )! 1! mulige stikprøver. Dette betegnes også n + r 1 (5) r Eksempel 8: Hvis rækkefølgen af lottotallene var underordnet, og de blev lagt tilbage i bowlen, ville vi have ( )! = mulige stikprøver. 7! 36 1! ( ) Opsamling stikprøver Nedenfor er formlerne indsat i skemaet fra side 11. Ordnet stikprøve Uordnet stikprøve Uden tilbagelægning n! r! n r! ( ) Med tilbagelægning ( n + r ) r! ( n 1 )! 1! Det er altså vigtigt, når man skal finde frem til den korrekte formel, at man stiller sig følgende spørgsmål: - er der tale om en ordnet eller en uordnet stikprøve? - er der tale om tilbagelægning eller ej? Torben Rudbeck Side 19

20 Opgave 22: Lav et regneark, som vist nedenfor, der kan udregne antallet af de forskellige stikprøvetyper og brug det til at kontrollere facit i de tidligere opgaver Kombinatorik Hele mængden = 5 Stikprøven = 3 antal muligheder Uden tilbagelægning Med tilbagelægning Ordnet stikprøve Uordnet stikprøve I Excel fremkommer fakultet ved at skrive: =fak. Eksempel 9: Udvælg 2 elementer blandt 3 elementer A, B og C Ordnet stikprøve Uordnet stikprøve Uden tilbagelægning AB AC BA BC CA CB AB AC BC Med tilbagelægning AA AB AC BA BB BC CA CB CC AA AB AC BB BC CC Torben Rudbeck Side 20

21 Blandede opgaver: Opgave 23: Udfyld felterne i nedenstående skema Spil Antal mulige udfald Tips 12 Tips 13 Lotto Viking-Lotto Joker Opgave 24: Thorbjørn skal låne fem af Antons 14 dvd ere. Hvor mange muligheder har han, hvis: der er én af pladerne, han i hvert fald vil låne? der er én plade, han ikke vil låne? der er én, han i hvert fald vil låne og én han ikke vil låne? Opgave 25: Blandt 8 piger og 5 drenge skal vælges et udvalg på 3 piger og 2 drenge. Hvor mange måder kan det gøres på? Torben Rudbeck Side 21

22 Opgave 26: På hvor mange forskellige måder kan ti personer stille sig i en rundkreds? Opgave 27: Hvordan kan et resultat i kombinatorik bruges til at argumentere for, at tallet ( 1) ( 2) ( 3) n n n n, hvor n N, altid er deleligt med 24? Opgave 28: 25 formelsamlinger, hvoraf 12 er nyindkøbte og 13 er gamle og slidte, skal deles ud til eleverne i en klasse med 25 elever. På hvor mange måder kan det gøres? Opgave 29: Peter skriver tal a0, a1, a2,..., a n, hvoraf a 0 = 600 og a n = 1, efter følgende system: ai fremkommer af i 1 a ved division med et primtal som går op i ai 1. Hvor mange forskellige opskrivninger a0, a1, a2,..., an kan der laves? Pascals trekant. Kilde: Torben Rudbeck Side 22

23 4 Appendix TI89 Beregning af fakultet. Tast blå, 5 (math) og vælg 7 (probability) Beregning af P(n,r) Beregning af K(n,r) Matchad I mathcad skrives for de tilsvarende operationer: 5! = 120 permut( 25, 3) = combin( 25, 3) = 2300 Torben Rudbeck Side 23

24 TINspire Indsæt grafregner. Terningeikonet anvendes. Excel Torben Rudbeck Side 24

25 Maple Beregning af faktultet gøres ved at benytte det almindelige udråbstegn "!", så 5! = 120 Beregning af kombination: Her byttes kommandoen "binomial(n,r)". binomial(25, 3 ) = 2300 Beregning af permutationer: Ved beregning af antallet af permutationer skal man først "kalde" pakken "combinat". Dette gøres ved at skrive "with(combinat)" og taste "Enter": with (combinat ) [ Chi, bell, binomial, cartprod, character, choose, composition, conjpart, decodepart, encodepart, fibonacci, firstpart, graycode, inttovec, lastpart, multinomial, nextpart, numbcomb, numbcomp, numbpart, numbperm, partition, permute, powerset, prevpart, randcomb, randpart, randperm, setpartition, stirling1, stirling2, subsets, vectoint ] Antallet af permutationer kan nu beregnes på følgende to måder: nops(permute (25, 3 ) ) = Eller numbperm (25, 3) = Hvis man i den første blot taster permute(25,3) vises en liste med alle permutationerne. Torben Rudbeck Side 25

26 5 Litteraturliste - Andersen, Taftebjerg Jakobsen, Laage-Petersen, Lützen, Mejlbo og Nygaard Nogle kapitler af matematikkens historie bind 2. September Matematisk institut. - Mathilde nr. 35 september Nyhedsbrev for Dansk Matematisk Forening. - Hans Fich Gymnasiematematik udgave. Forum Christian Huygens Om regning på lykkespil. Oversat af Kersti Andersen Foreningen Videnskabshistorisk Museums Venner. - Steen Bentzen Sandsynlighedsregning for Gymnasiet. 2. udgave Forlaget Bentz. - Aksel Bertelsen Statistik med matematik. 1. udgave Systime. - Erik Kristensen og Ole Rindung Sandsynlighedsregning. 2. Udgave G.E.C Gads forlag. - Lars Bo Kristensen og Preben Blæsild Spil matematik Matematiklærerforeningen. - Kirsten Rosenkilde Opvarmingsopgaver i kombinatorik (Til Georg Mohr konkurrencen). April Torben Rudbeck Side 26

27 6 Bilag Kilde: Torben Rudbeck Side 27

Kombinatorik og Sandsynlighedsregning

Kombinatorik og Sandsynlighedsregning Kombinatorik Teori del 1 Kombinatorik er en metode til at tælle muligheder på. Man kan f.eks. inden for valg til en bestyrelse eller et fodboldhold, kodning af en lås, valg af pinkode eller telefonnummer,

Læs mere

Landmålingens fejlteori - Sandsynlighedsregning - Lektion 1

Landmålingens fejlteori - Sandsynlighedsregning - Lektion 1 Landmålingens fejlteori Sandsynlighedsregning Lektion 1 - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/undervisning/lf10 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 23. april 2009 1/28 Landmålingens

Læs mere

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Kombinatorik

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Kombinatorik Tip til 1. runde af - Kombinatorik, Kirsten Rosenkilde. Tip til 1. runde af Kombinatorik Her er nogle centrale principper om og strategier for hvordan man tæller et antal kombinationer på en smart måde,

Læs mere

Sandsynlighedsregning

Sandsynlighedsregning Sandsynlighedsregning En note om sandsynlighedsregning. Den er tænkt som supplement til Vejen til Matematik B2. Henrik S. Hansen, Sct. Knud Version 2.0 Indhold Indledning... 1 Sandsynlighedsregning...

Læs mere

KOMBINATORIK. Øvelse 1. Kan du finde en forklaring på Leibniz problem?

KOMBINATORIK. Øvelse 1. Kan du finde en forklaring på Leibniz problem? KOMBINATORIK Dette er et supplerende kapitel til lærebogen stokastik 1.-10. klasse. Bogen kan læses uden reference til indholdet i dette kapitel, men da man sommetider baserer arbejdet med sandsynlighedsregning

Læs mere

10.1 Et lykkehjul består af 24 lige store felter med numre fra 1 til 24.

10.1 Et lykkehjul består af 24 lige store felter med numre fra 1 til 24. 10. 10.1 Et lykkehjul består af 24 lige store felter med numre fra 1 til 24. Bestem udfaldsrummet for lykkehjulet. 10.2 En tegnestift Du putter en tegnestift i et raflebæger, ryster det godt og smider

Læs mere

Rettevejledning til Georg Mohr-Konkurrencen runde

Rettevejledning til Georg Mohr-Konkurrencen runde Rettevejledning til Georg Mohr-Konkurrencen 2006 2. runde Det som skal vurderes i bedømmelsen af en opgave, er om deltageren har formået at analysere problemstillingen, kombinere de givne oplysninger til

Læs mere

Sandsynligheder. Udfaldsrum Ω = {ω 1,..., ω N } hvor alle udfald er lige sandsynlige, dvs. P (ω i )=1/N for alle i =1,..., N.

Sandsynligheder. Udfaldsrum Ω = {ω 1,..., ω N } hvor alle udfald er lige sandsynlige, dvs. P (ω i )=1/N for alle i =1,..., N. Dagens program Afsnit 1.4-1.6 Kombinatorik - Permutationer - Kombinationer Udtagelse af stikprøver - Population - Med og uden tilbagelægning Eksempler 1 Sandsynligheder Udfaldsrum Ω = {ω 1,..., ω N } hvor

Læs mere

SANDSYNLIGHED FACIT SIDE 154-155

SANDSYNLIGHED FACIT SIDE 154-155 SIDE 154-155 Opgave 1 A. Data (x) h(x) f(x) 2 1 0,042 3 3 0,125 4 6 0,25 5 3 0,125 6 4 0,16 7 1 0,042 8 2 0,0833 9 1 0,042 10 2 0,0833 11 1 0,042 B. C. Diagrammet (et søjlediagram) er lavet ud fra hyppigheden,

Læs mere

Sandsynlighedsregning og statistik

Sandsynlighedsregning og statistik og statistik Jakob G. Rasmussen, Institut for Matematiske Fag jgr@math.aau.dk Litteratur: Walpole, Myers, Myers & Ye: Probability and Statistics for Engineers and Scientists, Prentice Hall, 8th ed. Slides

Læs mere

Kombinatorik. Eksempel 2: En mand har 7 par bukser og 10 skjorter. Skal han både vælge en skjorte og et par bukser, så har han 10. 7=70 mulige valg.

Kombinatorik. Eksempel 2: En mand har 7 par bukser og 10 skjorter. Skal han både vælge en skjorte og et par bukser, så har han 10. 7=70 mulige valg. Noter til Biomat, 005. Kombinatorik. - eller kunsten at tælle. Alle tal i kombinatorik-afsnittet er hele og ikke-negative. Additionsprincippet enten - eller : Antag vi enten skal lave et valg med m muligheder

Læs mere

Matricer og lineære ligningssystemer

Matricer og lineære ligningssystemer Matricer og lineære ligningssystemer Grete Ridder Ebbesen Virum Gymnasium Indhold 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber 1 Regning med matricer 3 13 Kvadratiske matricer og determinant 9 14 Invers matrix

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Isolere en ubekendt... 3 Hvis x står i første brilleglas...

Læs mere

Monotoniforhold Der gælder følgende sætninger om en differentiabel funktions monotoniforhold:

Monotoniforhold Der gælder følgende sætninger om en differentiabel funktions monotoniforhold: Side 21 Oversigt over undervisningen i matematik - 2x 05/06 Der undervises efter: Claus Jessen, Peter Møller og Flemming Mørk : Tal, Geometri og funktioner. Gyldendal 1997 Claus Jessen, Peter Møller og

Læs mere

2011.09.20 lth@campus.dk

2011.09.20 lth@campus.dk 2011.09.20 lth@campus.dk Intro Læseplan Beskrivende Statistik Sandsynligheder Ordet kommer fra Latin.: statisticum (statsrådgiver) Italiensk.: statistica (statsmand / politiker) Hvorfor statistik? Træk

Læs mere

MATEMATIKBANKENS SANDSY NLIGHED- OG K O MB I NATORIKKOMPENDIUM. Sandsynlighed Kombinatorik Matrix Tælletræer Tilbagelægning (U)Ordnet Guns g Simula on

MATEMATIKBANKENS SANDSY NLIGHED- OG K O MB I NATORIKKOMPENDIUM. Sandsynlighed Kombinatorik Matrix Tælletræer Tilbagelægning (U)Ordnet Guns g Simula on MATEMATIKBANKENS SANDSY NLIGHED- OG K O MB I NATORIKKOMPENDIUM Sandsynlighed Kombinatorik Matrix Tælletræer Tilbagelægning (U)Ordnet Guns g Simula on Helle Fjord Morten Graae Kim Lorentzen Kristine Møller-Nielsen

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Maj-juni 2014 Skoleår 2013/2014 Thy-Mors HF & VUC Hfe Matematik,

Læs mere

Spil. Chancer gennem tællemetoder. Chancelære: MI 82 INF. INFA-Chancelæreserien:

Spil. Chancer gennem tællemetoder. Chancelære: MI 82 INF. INFA-Chancelæreserien: INFA-Chancelæreserien: Chancer gennem eksperimenter Chancer gennem optællinger CHANCETRÆ - Chancer gennem beregninger SPIL - Chancer gennem tællemetoder LOD - Chancer gennem simuleringer KUGLE - Chancer

Læs mere

TØ-opgaver til uge 45

TØ-opgaver til uge 45 TØ-opgaver til uge 45 Først laver vi en liste over de ligninger med mere i [IPT], der skal bruges: [1]: Ligning (2.5) på side 4. [2]: Ligning (2.6) på side 5. [3]: Sætning 3.1, ligning (3.3) på side 7.

Læs mere

Simulering af stokastiske fænomener med Excel

Simulering af stokastiske fænomener med Excel Simulering af stokastiske fænomener med Excel John Andersen, Læreruddannelsen i Aarhus, VIA Det kan være en ret krævende læreproces at udvikle fornemmelse for mange begreber fra sandsynlighedsregningen

Læs mere

Kombinatorik. M-serien består af disse arbejdskort: M1 Formler til kombinatorik M2 Pascals trekant M3 Binomialformlen

Kombinatorik. M-serien består af disse arbejdskort: M1 Formler til kombinatorik M2 Pascals trekant M3 Binomialformlen 1 Statistik og sandsynlighedsregning er et relativt nyt emne i folkeskolens matematikundervisning. Ja, det er for den sags skyld et relativt nyt emne også i fagmatematikken og i anvendelser af matematik.

Læs mere

Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde

Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde Det som skal vurderes i bedømmelsen af en besvarelse, er om deltageren har formået at analysere problemstillingen, kombinere de givne

Læs mere

Kursusindhold: X i : tilfældig værdi af ite eksperiment. Antag X i kun antager værdierne 1, 2,..., M.

Kursusindhold: X i : tilfældig værdi af ite eksperiment. Antag X i kun antager værdierne 1, 2,..., M. Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet February 9, 2015 Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen

Læs mere

Rettevejledning, FP10, endelig version

Rettevejledning, FP10, endelig version Rettevejledning, FP10, endelig version I forbindelse med FP9, Matematik, Prøven med hjælpemidler, maj 2016, afholdes forsøg med en udvidet rettevejledning. I forbindelse med FP10 fremstiller opgavekommissionen

Læs mere

Lad os som eksempel se på samtidigt kast med en terning og en mønt:

Lad os som eksempel se på samtidigt kast med en terning og en mønt: SANDSYNLIGHEDSREGNING Stokastisk eksperiment Et stokastisk eksperiment er et eksperiment, hvor vi fornuftigvis ikke på forhånd kan have en formodning om resultatet af eksperimentet Til gengæld kan vi prøve

Læs mere

TØ-opgaver til uge 46

TØ-opgaver til uge 46 TØ-opgaver til uge 46 Først laver vi en liste over de ligninger med mere i [ITP], der skal bruges: [1]: Ligning (2.5) på side 4. [2]: Sætning 3.1, ligning (3.3) på side 7. [3]: Sætning 3.1, ligning (3.4)

Læs mere

1 Trekantens linjer. Definition af median En median er en linje i en trekant der forbinder en vinkelspids med midtpunktet af modstående side.

1 Trekantens linjer. Definition af median En median er en linje i en trekant der forbinder en vinkelspids med midtpunktet af modstående side. Geometrinoter 1, januar 2009, Kirsten Rosenkilde 1 Geometrinoter 1 Disse noter omhandler grundlæggende sætninger om trekantens linjer, sammenhængen mellem en vinkel og den cirkelbue den spænder over, samt

Læs mere

Simulering af stokastiske fænomener med Excel

Simulering af stokastiske fænomener med Excel Simulering af stokastiske fænomener med Excel John Andersen, Læreruddannelsen i Aarhus, VIA Det kan være en ret krævende læreproces at udvikle fornemmelse for mange begreber fra sandsynlighedsregningen

Læs mere

Projektarbejde. Kombinatorik

Projektarbejde. Kombinatorik Projektarbejde Matematik A Teknisk Gymnasium Århus Side 1 Indledning: Besvarelsen bør indeholde følgende hovedafsnit: Opgaveanalyse: En kort beskrivelse af, hvad opgaven går ud på, samt hvilke oplysninger,

Læs mere

Spilstrategier. 1 Vindermængde og tabermængde

Spilstrategier. 1 Vindermængde og tabermængde Spilstrategier De spiltyper vi skal se på her, er primært spil af følgende type: Spil der spilles af to spillere A og B som skiftes til at trække, A starter, og hvis man ikke kan trække har man tabt. Der

Læs mere

dynamisk geometriprogram regneark Fælles mål På MULTIs hjemmeside er der en oversigt over, hvilke Fælles Mål der er sat op for arbejdet med kapitlet.

dynamisk geometriprogram regneark Fælles mål På MULTIs hjemmeside er der en oversigt over, hvilke Fælles Mål der er sat op for arbejdet med kapitlet. Algebra og ligninger - Facitliste Om kapitlet I dette kapitel om algebra og ligninger skal eleverne lære at regne med variable, få erfaringer med at benytte variable Elevmål for kapitlet Målet er, at eleverne:

Læs mere

Supplement til kapitel 7: Approksimationen til normalfordelingen, s. 136

Supplement til kapitel 7: Approksimationen til normalfordelingen, s. 136 Supplement til kapitel 7: Approksimationen til normalfordelingen, s. 36 Det er besværligt at regne med binomialfordelingen, og man vælger derfor ofte at bruge en approksimation med normalfordeling. Man

Læs mere

Spilstrategier. Indhold. Georg Mohr-Konkurrencen. 1 Vindermængde og tabermængde 2. 2 Kopier modpartens træk 4

Spilstrategier. Indhold. Georg Mohr-Konkurrencen. 1 Vindermængde og tabermængde 2. 2 Kopier modpartens træk 4 Indhold 1 Vindermængde og tabermængde 2 2 Kopier modpartens træk 4 3 Udnyt modpartens træk 5 4 Strategityveri 6 5 Løsningsskitser 7 Spilstrategier De spiltyper vi skal se på her, er primært spil af følgende

Læs mere

2. Ved et roulettespil kan man vinde 0,10,100, 500 og 1000 kr. Sandsynligheden for gevinsterne ses af følgende skema:

2. Ved et roulettespil kan man vinde 0,10,100, 500 og 1000 kr. Sandsynligheden for gevinsterne ses af følgende skema: Der er hjælp til opgaver med # og facit på side 6 1. Et eksperiment kan beskrives med følgende skema: u 1 2 3 4 5 P(u) 0,3 0,2 0,1 0,2 x Bestem x og sandsynligheden for at udfaldet er et lige tal.. 2.

Læs mere

Mattip om. Statistik 2. Tilhørende kopier: Statistik 3, 4 og 5. Du skal lære om: Faglig læsning. Chance og risiko. Sandsynlighed

Mattip om. Statistik 2. Tilhørende kopier: Statistik 3, 4 og 5. Du skal lære om: Faglig læsning. Chance og risiko. Sandsynlighed Mattip om Statistik Du skal lære om: Faglig læsning Kan ikke Kan næsten Kan Chance og risiko Sandsynlighed Observationer, hyppighed og frekvens Gennemsnit Tilhørende kopier: Statistik, og mattip.dk Statistik

Læs mere

Matematisk induktion

Matematisk induktion Induktionsbeviser MT01.0.07 1 1 Induktionsbeviser Matematisk induktion Sætninger der udtaler sig om hvad der gælder for alle naturlige tal n N, kan undertiden bevises ved matematisk induktion. Idéen bag

Læs mere

Forslag til løsning af Opgaver til sandsynlighedsregning (side 434)

Forslag til løsning af Opgaver til sandsynlighedsregning (side 434) Forslag til løsning af Opgaver til sandsynlighedsregning (side 434) Opgave Vi kan selv vælge, om vi vil arbejde med ordnet eller uordnet udtagelse, hvis vi blot sikrer, at vi er konsekvente i vores valg,

Læs mere

Kapitlet indledes med en beskrivelse af - og opgaver med - de tre former for sandsynlighed, som er omtalt i læseplanen for 7.- 9.

Kapitlet indledes med en beskrivelse af - og opgaver med - de tre former for sandsynlighed, som er omtalt i læseplanen for 7.- 9. Kapitlet indledes med en beskrivelse af - og opgaver med - de tre former for sandsynlighed, som er omtalt i læseplanen for 7.- 9. klassetrin: statistisk sandsynlighed, kombinatorisk sandsynlighed og personlig

Læs mere

Uafhængighed af hændelser

Uafhængighed af hændelser Uafhængighed af hændelser Uafhængighed af to hændelser A og B kaldes uafhængige hændelser hvis P A B P A P B Kaldes også den specielle multiplikationsregel. Så gælder både P A B P A og P B A P B. Bemærk

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS August 2012 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

F I N N H. K R I S T I A N S E N KUGLE SIMULATIONER MÅLSCORE I HÅNDBOLD G Y L D E N D A L

F I N N H. K R I S T I A N S E N KUGLE SIMULATIONER MÅLSCORE I HÅNDBOLD G Y L D E N D A L RÆSONNEMENT & 1BE V I S F I N N H. K R I S T I A N S E N GNING 2 EGNEARK KUGLE 5 MÅLING SIMULATIONER 3 G Y L D E N D A L MÅLSCORE I HÅNDBOLD Faglige mål: Håndtere simple modeller til beskrivelse af sammenhænge

Læs mere

Lidt historisk om chancelære i grundskolen

Lidt historisk om chancelære i grundskolen Lidt historisk om chancelære i grundskolen 1976 1.-2.klassetrin Vejledende forslag til læseplan:.det tilstræbes endvidere at eleverne i et passende talmaterialer kan bestemme for eksempel det største tal,

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI Indhold Begreber i klassisk geometri + formelsamling... 2 Pythagoras Sætning... 8 Retvinklede trekanter. Beregn den ukendte side markeret med et bogstav.... 9 Øve vinkler

Læs mere

Temaopgave i statistik for

Temaopgave i statistik for Temaopgave i statistik for matematik B og A Indhold Opgave 1. Kast med 12 terninger 20 gange i praksis... 3 Opgave 2. Kast med 12 terninger teoretisk... 4 Opgave 3. Kast med 12 terninger 20 gange simulering...

Læs mere

Opgave 1 Regning med rest

Opgave 1 Regning med rest Den digitale signatur - anvendt talteori og kryptologi Opgave 1 Regning med rest Den positive rest, man får, når et helt tal a divideres med et naturligt tal n, betegnes rest(a,n ) Hvis r = rest(a,n) kan

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Maj-juni 2015 Skoleår 2014/2015 Thy-Mors HF & VUC Hfe Matematik,

Læs mere

Vinderseminar 2007. Diskret matematik. Kirsten Rosenkilde. 1. Diskret matematik.

Vinderseminar 2007. Diskret matematik. Kirsten Rosenkilde. 1. Diskret matematik. Vinderseminar 2007. Diskret matematik. Kirsten Rosenkilde. 1 1 Paritet Diskret matematik. I mange matematikopgaver er det en god ide at se på paritet dvs. hvornår en bestemt størrelse er henholdsvis lige

Læs mere

Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80)

Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80) Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80) Opgave 1 Vi skal tegne alle de linjestykker, der forbinder vilkårligt valgte punkter blandt de 4 punkter. Gennem forsøg finder

Læs mere

Matematiske metoder - Opgaver

Matematiske metoder - Opgaver Matematiske metoder - Opgaver Anders Friis, Anne Ryelund 25. oktober 2014 Logik Opgave 1 Find selv på tre udtalelser (gerne sproglige). To af dem skal være udsagn, mens det tredje ikke må være et udsagn.

Læs mere

Elementær sandsynlighedsregning

Elementær sandsynlighedsregning Elementær sandsynlighedsregning Sandsynlighedsbegrebet Et udfaldsrum S er mængden af alle de mulige udfald af et eksperiment. En hændelse A er en delmængde af udfaldsrummet S. Et sandsynlighedsmål er en

Læs mere

Paradokser og Opgaver

Paradokser og Opgaver Paradokser og Opgaver Mogens Esrom Larsen Vi modtager meget gerne læserbesvarelser af opgaverne, samt forslag til nye opgaver enten per mail (gamma@nbi.dk) eller per almindelig post (se adresse på bagsiden).

Læs mere

Tal og algebra. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber: algebra variable. Huskeliste: Tændstikker (til side 146) FRA FAGHÆFTET

Tal og algebra. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber: algebra variable. Huskeliste: Tændstikker (til side 146) FRA FAGHÆFTET I kapitlet skal eleverne arbejde med fire forskellige vinkler på algebra de præsenteres på kapitlets første mundtlige opslag. De fire vinkler er algebra som et redskab til at løse matematiske problemer.

Læs mere

Spil & Sandsynlighed. Preben Blæsild

Spil & Sandsynlighed. Preben Blæsild Spil & Sandsynlighed Preben Blæsild (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) (5,1) (5,2) (5,3) (5,4)

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2017 Institution VUC Holstebro-Lemvig-Struer Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hfe Matematik

Læs mere

Maple 11 - Chi-i-anden test

Maple 11 - Chi-i-anden test Maple 11 - Chi-i-anden test Erik Vestergaard 2014 Indledning I dette dokument skal vi se hvordan Maple kan bruges til at løse opgaver indenfor χ 2 tests: χ 2 - Goodness of fit test samt χ 2 -uafhængighedstest.

Læs mere

Elementær sandsynlighedsregning

Elementær sandsynlighedsregning Elementær sandsynlighedsregning Sandsynlighedsbegrebet Et udfaldsrum S er mængden af alle de mulige udfald af et eksperiment. En hændelse A er en delmængde af udfaldsrummet S. Den hændelse, der ikke indeholder

Læs mere

Sandsynligheder. Mængder Hændelser Sandsynligheder Regler for sandsynligheder

Sandsynligheder. Mængder Hændelser Sandsynligheder Regler for sandsynligheder Sandsynligheder Mængder Hændelser Sandsynligheder Regler for sandsynligheder Sandsynligheder En sandsynlighed er et kvantitativt mål for usikkerhed et mål der udtrykker styrken af vores tro på forekomsten

Læs mere

Mandags Chancen. En optimal spilstrategi. Erik Vestergaard

Mandags Chancen. En optimal spilstrategi. Erik Vestergaard Mandags Chancen En optimal spilstrategi Erik Vestergaard Spilleregler denne note skal vi studere en optimal spilstrategi i det spil, som i fjernsynet går under navnet Mandags Chancen. Spillets regler er

Læs mere

9 Statistik og sandsynlighed

9 Statistik og sandsynlighed 9 Statistik og sandsynlighed Faglige mål Kapitlet Statistik og sandsynlighed tager udgangspunkt i følgende faglige mål: Enkeltobservationer: kunne skabe overblik over statistisk materiale og anvende udvalgte

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI Indhold Begreber i klassisk geometri + formelsamling... 2 Ensvinklede trekanter... 7 Pythagoras Sætning... 10 Øve vinkler i retvinklede trekanter... 15 Sammensatte opgaver....

Læs mere

En Introduktion til Sandsynlighedsregning

En Introduktion til Sandsynlighedsregning En Introduktion til Sandsynlighedsregning 4. Udgave Michael Sørensen 26. juni 2003 0 Forord Til 2. udgave Disse forelæsningsnoter trækker i betydelig grad på noter udarbejdet af en række kolleger. Det

Læs mere

Faglige mål: Håndtere simple formler og ligninger, herunder kunne oversætte fra symbolholdigt sprog til naturligt sprog og omvendt. Håndtere simple mo

Faglige mål: Håndtere simple formler og ligninger, herunder kunne oversætte fra symbolholdigt sprog til naturligt sprog og omvendt. Håndtere simple mo C A R S T E N C R A M O N PASCALS TREKANT G Y L D E N D A L Faglige mål: Håndtere simple formler og ligninger, herunder kunne oversætte fra symbolholdigt sprog til naturligt sprog og omvendt. Håndtere

Læs mere

I. Deskriptiv analyse af kroppens proportioner

I. Deskriptiv analyse af kroppens proportioner Projektet er delt i to, og man kan vælge kun at gennemføre den ene del. Man kan vælge selv at frembringe data, fx gennem et samarbejde med idræt eller biologi, eller man kan anvende de foreliggende data,

Læs mere

Deskriptorspil. Navn Klasse Dato Statistik og sandsynlighed

Deskriptorspil. Navn Klasse Dato Statistik og sandsynlighed 9.0 Deskriptorspil Klip de 6 brikker ud, og del dem ligeligt. Læg kortene foran jer i en bunke med bagsiden opad. Tag hver det øverste kort fra bunken. Den ældste begynder med at vælge kategori fx typetal.

Læs mere

Kapitel 2 Tal og variable

Kapitel 2 Tal og variable Tal og variable Uden tal ingen matematik - matematik handler om tal og anvendelse af tal. Matematik beskæftiger sig ikke udelukkende med konkrete problemer fra andre fag, og de konkrete tal fra andre fagområder

Læs mere

Decimaltal, brøker og procent Negative tal Potens, rødder og pi Reelle og irrationale tal

Decimaltal, brøker og procent Negative tal Potens, rødder og pi Reelle og irrationale tal Navn: Nr.: Klasse: Prøvedato: mat7 Noter: Kompetencemål efter 9. klassetrin Eleven kan anvende reelle tal og algebraiske udtryk i matematiske undersøgelser Tal og algebra Tal Titalssystem Decimaltal, brøker

Læs mere

OPGAVER 3.g SANDSYNLIGHEDSREGNING KOMBINATORIK STATISTIK KOMPLEKSE TAL. x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium

OPGAVER 3.g SANDSYNLIGHEDSREGNING KOMBINATORIK STATISTIK KOMPLEKSE TAL. x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium OPGAVER 3.g SANDSYNLIGHEDSREGNING KOMBINATORIK STATISTIK KOMPLEKSE TAL x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium Indholdsfortegnelse SANDSYNLIGHEDSREGNING... 3 KOMBINATORIK... 4 STATISTIK... 30 KOMPLEKSE TAL...

Læs mere

Kapitel 5 Renter og potenser

Kapitel 5 Renter og potenser Matematik C (må anvedes på Ørestad Gymnasium) Renter og potenser Når en variabel ændrer værdi, kan man spørge, hvor stor ændringen er. Her er to måder at angive ændringens størrelse. Hvis man vejer 95

Læs mere

Sandsynlighedsregning

Sandsynlighedsregning Mogens Bladt www2.imm.dtu.dk/courses/02405 7. September, 2007 Hvad er sandsynlighedsregning? Formel matematisk måde til at håndtere tilfældigheder. Dybest set en formalisering af udregninger med proportioner.

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS Juli 2013 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

χ 2 -test i GeoGebra Jens Sveistrup, Gammel Hellerup Gymnasium

χ 2 -test i GeoGebra Jens Sveistrup, Gammel Hellerup Gymnasium χ 2 -test i GeoGebra Jens Sveistrup, Gammel Hellerup Gymnasium Man kan nemt lave χ 2 -test i GeoGebra både goodness-of-fit-test og uafhængighedstest. Den følgende vejledning bygger på GeoGebra version

Læs mere

fortsætte høj retning mellem mindre over større

fortsætte høj retning mellem mindre over større cirka (ca) omtrent overslag fortsætte stoppe gentage gentage det samme igen mønster glat ru kantet høj lav bakke lav høj regel formel lov retning højre nedad finde rundt rod orden nøjagtig præcis cirka

Læs mere

Kryptologi og RSA. Jonas Lindstrøm Jensen (jonas@imf.au.dk)

Kryptologi og RSA. Jonas Lindstrøm Jensen (jonas@imf.au.dk) Kryptologi og RSA Jonas Lindstrøm Jensen (jonas@imf.au.dk) 1 Introduktion Der har formodentlig eksisteret kryptologi lige så længe, som vi har haft et sprog. Ønsket om at kunne sende beskeder, som uvedkommende

Læs mere

En Introduktion til Sandsynlighedsregning

En Introduktion til Sandsynlighedsregning En Introduktion til Sandsynlighedsregning 9. Udgave Michael Sørensen 11. juli 2008 0 Forord Til 2. udgave Disse forelæsningsnoter trækker i betydelig grad på noter udarbejdet af en række kolleger. Det

Læs mere

Plan. Markovkæder Matematisk modelling af kølængde, yatzy, smittespredning og partikelbevægelser. Materiale mm.

Plan. Markovkæder Matematisk modelling af kølængde, yatzy, smittespredning og partikelbevægelser. Materiale mm. Institut for Matematiske Fag Plan Markovkæder Matematisk modelling af kølængde, yatzy, smittespredning og partikelbevægelser Helle Sørensen Eftermiddagen vil være bygget om 3 4 eksempler: A. B. Random

Læs mere

SANDSYNLIGHEDSREGNING Hvad er sandsynlighed for noget? Umiddelbart kan vi inddele sandsynlighed i tre former.

SANDSYNLIGHEDSREGNING Hvad er sandsynlighed for noget? Umiddelbart kan vi inddele sandsynlighed i tre former. SANDSYNLIGHEDSREGNING Hvad er sandsynlighed for noget? Umiddelbart kan vi inddele sandsynlighed i tre former. Statistisk sandsynlighed Her finder man sandsynligheden for en hændelse ved at kigge på en

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Maj-juni 2016 Skoleår 2014/2015 (niveau C) og 2015/2016

Læs mere

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring mat.dk Differentialregning Dennis Pipenbring 0. december 00 Indold Differentialregning 3. Grænseværdi............................. 3. Kontinuitet.............................. 8 Differentialkvotienten

Læs mere

Personlig stemmeafgivning

Personlig stemmeafgivning Ib Michelsen X 2 -test 1 Personlig stemmeafgivning Efter valget i 2005 1 har man udspurgt en mindre del af de deltagende, om de har stemt personligt. Man har svar fra 1131 mænd (hvoraf 54 % har stemt personligt

Læs mere

MODELSÆT 2; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN

MODELSÆT 2; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN MODELSÆT ; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN Forberedende materiale Den individuelle skriftlige røve i matematik vil tage udgangsunkt i følgende materiale:. En diskette med to regnearks-filer og en MathCad-fil..

Læs mere

Noter om primtal. Erik Olsen

Noter om primtal. Erik Olsen Noter om primtal Erik Olsen 1 Notation og indledende bemærkninger Vi lader betegne de hele tal, og Z = {... 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3...} N = {0, 1, 2, 3...} Z være de positive hele tal. Vi minder her om et

Læs mere

Dagens program. Afsnit 1.1-1.3 Eksperimenter med usikkerhed Sandsynlighedsmodel - Udfaldsrum - Hændelser - Sandsynligheder Eksempler

Dagens program. Afsnit 1.1-1.3 Eksperimenter med usikkerhed Sandsynlighedsmodel - Udfaldsrum - Hændelser - Sandsynligheder Eksempler Dagens program Afsnit 1.1-1.3 Eksperimenter med usikkerhed Sandsynlighedsmodel - Udfaldsrum - Hændelser - Sandsynligheder Eksempler 1 Sandsynlighedsmodel Kvantitative Metoder 1 - Efterår 2006 Eksperiment

Læs mere

Paradokser og Opgaver

Paradokser og Opgaver Paradokser og Opgaver Mogens Esrom Larsen og Katrine Rude Laub Vi modtager meget gerne læserbesvarelser af opgaverne, samt forslag til nye opgaver enten per mail (gamma@nbi.dk) eller per almindelig post

Læs mere

Matematikken. bag løsningen af Enigma. Opgaver i permutationer og kombinatorik

Matematikken. bag løsningen af Enigma. Opgaver i permutationer og kombinatorik Matematikken bag løsningen af Enigma Opgaver i permutationer og kombinatorik 2 Erik Vestergaard www.matematiksider.dk Erik Vestergaard Haderslev, 2008. Redigeret december 2015. Erik Vestergaard www.matematiksider.dk

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Ligning med + - / hvor x optræder 1 gang... 3 IT-programmer

Læs mere

Gæt og kast 1 MATERIALER. Dette værksted handler om at gætte på resultatet af kast med terninger. Læs hele værkstedet før I begynder.

Gæt og kast 1 MATERIALER. Dette værksted handler om at gætte på resultatet af kast med terninger. Læs hele værkstedet før I begynder. Gæt og kast 1 Dette værksted handler om at gætte på resultatet af kast med terninger. Læs hele Kast 10 terninger, og læg øjnene sammen. 10 terninger Hvad er det mindste resultat, I kan få? Hvad er det

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj/juni 2010. Denne beskrivelse dækker efteråret 2011 og foråret 2012. Institution Roskilde Handelsskole

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni 11/12 Institution VUC Holstebro-Lemvig-Struer Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hf/hfe Matematik

Læs mere

APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE

APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE z x y z=exp( x^2 0.5y^2) CAS er en fællesbetegnelse for matematikprogrammer, som foruden numeriske beregninger også kan regne med symboler og formler. Det betyder: Computer

Læs mere

Matricer og Matrixalgebra

Matricer og Matrixalgebra enote 3 1 enote 3 Matricer og Matrixalgebra Denne enote introducerer matricer og regneoperationer for matricer og udvikler hertil hørende regneregler Noten kan læses uden andet grundlag end gymnasiet,

Læs mere

Mathcad Survival Guide

Mathcad Survival Guide Mathcad Survival Guide Mathcad er en blanding mellem et tekstbehandlingsprogram (Word), et regneark (Ecel) og en grafisk CAS-lommeregner. Programmet er velegnet til matematikopgaver, fysikrapporter og

Læs mere

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller Matematiske vækstmodeller I matematik undersøger man ofte variables afhængighed af hinanden. Her ser man, at samme type af sammenhænge tit forekommer inden for en lang række forskellige områder. I kapitel

Læs mere

Sandsynlighedsregning 2. forelæsning Bo Friis Nielsen

Sandsynlighedsregning 2. forelæsning Bo Friis Nielsen Sandsynlighedsregning 2. forelæsning Bo Friis Nielsen Anvendt Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Vigtigste nye emner i 2.1, 2.2 og 2.5

Læs mere

Brøker og forholdstal

Brøker og forholdstal Brøker og forholdstal Hvad er brøker - nogle eksempler... 6 Forlænge og forkorte... Udtage brøkdele... Uægte brøker og blandede tal... Brøker og decimaltal... 0 Regning med brøker - plus og minus... Regning

Læs mere

Billedbehandling og mønstergenkendelse: Lidt elementær statistik (version 1)

Billedbehandling og mønstergenkendelse: Lidt elementær statistik (version 1) ; C ED 6 > Billedbehandling og mønstergenkendelse Lidt elementær statistik (version 1) Klaus Hansen 24 september 2003 1 Elementære empiriske mål Hvis vi har observationer kan vi udregne gennemsnit og varians

Læs mere

Projekt 1.4 De reelle tal og 2. hovedsætning om kontinuitet

Projekt 1.4 De reelle tal og 2. hovedsætning om kontinuitet Projekt 1.4 De reelle tal og 2. hovedsætning om kontinuitet Mens den 1. hovedsætning om kontinuerte funktioner kom forholdsvis smertefrit ud af intervalrusebetragtninger, så er 2. hovedsætning betydeligt

Læs mere

F I N N H. K R I S T I A N S E N KUGLE SIMULATIONER G Y L D E N D A L

F I N N H. K R I S T I A N S E N KUGLE SIMULATIONER G Y L D E N D A L F I N N H. K R I S T I A N S E N 2 KUGLE SIMULATIONER G Y L D E N D A L Faglige mål: Håndtere simple modeller til beskrivelse af sammenhænge mellem variable og kunne diskutere rækkevidde af sådanne modeller.

Læs mere

og til summer af stambrøker. Bemærk: De enkelte brøker kan opskrives på flere måder som summer af stambrøker.

og til summer af stambrøker. Bemærk: De enkelte brøker kan opskrives på flere måder som summer af stambrøker. Hvad er en brøk? Når vi taler om brøker i dette projekt, mener vi tal på formen a, hvor a og b er hele tal (og b b 0 ), fx 2,, 3 og 3 7 13 1. Øvelse 1 Hvordan vil du forklare, hvad 7 er? Brøker har været

Læs mere

EMMA*-Tema: Chancetræer

EMMA*-Tema: Chancetræer EMMA*-Tema: Chancetræer Indhold 1. Vi tegner et chancetræ 2. Lidt om programmet TRÆ 3. Udtagelse med tilbagelægning 4. Programmet ÆSKE 5. Opgaver 6. Reducerede chancetræer 7. Hvor sikker er diagnosen?

Læs mere

Det gyldne snit, forløb i 1. g

Det gyldne snit, forløb i 1. g Det gyldne snit, forløb i 1. g Mål - Træne at skrive elementære matematiske tekster på computer inkl. billeder, formler og tabeller - Bruge geometriprogram - Læse en elementær tekst selv om et fagligt

Læs mere