KOMBINATORIK. Øvelse 1. Kan du finde en forklaring på Leibniz problem?

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "KOMBINATORIK. Øvelse 1. Kan du finde en forklaring på Leibniz problem?"

Transkript

1 KOMBINATORIK Dette er et supplerende kapitel til lærebogen stokastik klasse. Bogen kan læses uden reference til indholdet i dette kapitel, men da man sommetider baserer arbejdet med sandsynlighedsregning kraftigt på klassisk kombinatorik, har forfatterne fundet det rimeligt at give særligt interesserede matematikhold denne valgmulighed. Kombinatorik er kort fortalt kunsten at lave optællinger. Ordet kombinatorik blev introduceret af Leibniz i midten af 1600-tallet som betegnelse for det at lave systematiske optællinger af muligheder. Han havde undret sig over, hvorfor summerne 9 og 10 ikke forekommer lige ofte, når man kaster to terninger. Han konstaterede, at der er to muligheder for at få 9, nemlig og 4 + 5, og at der også er to muligheder for at få 10, nemlig og Men hvorfor forekommer de to summer så i praksis et forskelligt antal gange, når man spiller? (http://www.matheprisma.uni-wuppertal.de/ Module/Kombin/intro1.htm). Øvelse 1 Kan du finde en forklaring på Leibniz problem? Der var en vedvarende uoverensstemmelse med det resultat, man fik i praksis, og det Leibniz tænkte sig til. Og da praksis ikke vedvarende kan være forkert, må fejlen findes i den måde Leibniz tænkte på! Man kunne for eksempel spørge, om Leibniz har ret i, at der er to muligheder for at slå både 9 og 10? Det er den slags overvejelser, man beskæftiger sig med i kombinatorik. Kombinatorik har en nær tilknytning til sandsynlighedsregning i forbindelse med spilsituationer. For der kan sandsynlighederne fastlægges efter det, vi har kaldt Laplaces princip (jf. kapitel 5 i stokastik-bogen): Laplaces Princip: Sørg så vidt muligt for, at de n udfald i eksperimentet klart er symmetriske og dermed lige sandsynlige, så er sandsynligheden for hvert enkelt udfald n 1. Sandsynligheden for en hændelse, der består af m af udfaldene, er lig med m n. KOMBINATORIK 1

2 Problemet med at benytte Laplaces princip er, at man skal kunne finde, hvor mange mulige udfald, der er af et eksperimentet, hvis de skal være klart symmetriske og dermed lige sandsynlige. Det er her, vi får brug for kombinatorik, der bidrager med metoder til at tælle mængder, som det er uoverkommeligt eller meget besværligt at optælle direkte. Det er målet med kapitlet, at læseren efter at have arbejdet det igennem: Kan anvende additionsprincippet og multiplikationsprincippet i optællingsproblemer. Kender den klassiske opdelingen af optællingsproblemer i fire kategorier alt efter, om udvælgelsen af elementer foregår med eller uden tilbagelægning, og om der tages hensyn til ordningen af elementerne. Kende til nogle af de mange optællingssituationer, der ikke falder ind under en af de fire kategorier. Øvelse 2 Hvis man fx slår med to terninger, kan de mulige resultater angives som et ordnet par, hvor førstekomponenten angiver resultatet af den ene terning, og andenkomponenten angiver resultatet af den anden terning. 1) Find på den måde, hvor mange forskellige muligheder der er i alt. 2) Hvad nu hvis det er en mønt, der skal kastes to gange, hvor mange muligheder er der så? 3) På hvor mange forskellige måder kan man klæde sig på med fem forskellige skjorter, 4 forskellige par bukser og tre forskellige par sko? Resultaterne til spørgsmålene i øvelse 2 kan bestemmes ved udregninger af kombinatorisk art. Fx har hver terning 6 forskellige udfald, og hvert udfald på den ene terning kan frit kombineres med hvert af de 6 udfald på den anden terning. Der er derfor 6 6 = 36 muligheder. Følgende eksempel benytter til dels samme tankegang. 2 KOMBINATORIK

3 Eksempel 1 Bestem antallet af trecifrede tal, der kan skrives med cifrene 1, 2, 3,, 9. Forestil dig, at du skal opskrive trecifrede tal ved udelukkende at benytte cifrene 1, 2,, 9. På hundredernes plads kan man frit vælge mellem alle ni cifre, på 10 ernes plads er der ligeledes mulighed for at skrive alle ni cifre, ligesom alle ni kan benyttes på enernes plads. Der må derfor være = 729 forskellige tal. Hvad nu hvis man vil have, at de tre cifre skal være forskellige? Hundrederne kan vælges frit blandt de ni cifre. Tierne kan frit vælges blandt de otte cifre, der ikke allerede er i brug, dvs. på otte måder, og enerne kan vælges blandt de syv cifre, der ikke er benyttet endnu. Der er derfor = 504 muligheder, hvis de tre cifre skal være forskellige. Eksemplet ovenfor illustrerer det ene af to grundlæggende principper i kombinatorik, multiplikationsprincippet. Multiplikationsprincippet for kombinatorik Hvis et kombinatorisk problem P kan optælles til p måder og et andet, af P uafhængigt, kombinatorisk problem Q kan optælles til q måder, da kan det kombinatoriske problem (både P og Q) optælles til p q måder. Øvelse 3 Forklar, hvorledes multiplikationsprincippet er benyttet i eksempel 1. Multiplikationsprincippet kaldes også for både-og-princippet. Den sprogbrug kommer af, at i de tilfælde, hvor princippet kan bruges, kan den samlede udvælgelsesproces deles op i to eller flere indbyrdes uafhængige delprocesser, som alle skal gennemløbes. I øvelse 2 skal der således kastes to terninger. Man er derfor interesseret i antallet af muligheder, når både den første og den anden terning kastes. KOMBINATORIK 3

4 Der er imidlertid også situationer med antalsbestemmelse, hvor multiplikationsprincippet ikke kan bruges. Forestil dig et spil, der går ud på, at man i blinde vælger enten en almindelig terning eller et dodekaeder (en terning med 12 sider), hvor siderne er mærket med tallene fra 1 til 12. Man kan da få noteret resultatet som T1, T2,, T6 eller D1, D2,, D12. I det tilfælde er der åbenlyst ikke 6 12 = 72, men = 18 mulige udfald. Det princip, der ligger til grund herfor, kaldes additionsprincippet eller enten-eller-princippet. Det kan formelt formuleres således: Additionsprincippet for kombinatorik Hvis et kombinatorisk problem P kan optælles til p måder og et andet, af P uafhængigt, kombinatorisk problem Q kan optælles til q måder, da kan det kombinatoriske problem (enten P eller Q) optælles til p + q måder. Øvelse 4 I en iskiosk kan man få gammeldags isvafler og vælge mellem 9 slags is, syltetøj eller 3 slags drys. Hvor mange forskellige is kan man købe, hvis der er én kugle is i vaflen? Hvor mange forskellige is kan man få med to kugler is? 4 KOMBINATORIK

5 Overvej/diskuter 1 I en regulær trekant (dvs. en ligesidet trekant) er der 0 diagonaler. I en regulær firkant (dvs. et kvadrat) er der 2 diagonaler. Hvor mange diagonaler er der i en regulær 5-kant? I en regulær 6-kant? I en regulær n-kant? Løs opgaven. Se på figur 1 hvordan en elev fra 8. klasse har løst opgaven; vurder den. Er der strategier i denne løsning, som andre i klassen kunne få glæde af? Figur 1. KOMBINATORIK _kombinatorik_3k.indd :08:52

6 Overvej/diskuter 2 Vi har nu navngivet to principper i kombinatorikken: multiplikationsprincippet og additionsprincippet. Sammenhold disse principper med sandsynlighedsregningens mutiplikationsprincip og additionsprincip (i kapitel 5 og 6 i stokastik-bogen) for at afklare, om de måske i virkeligheden har fat i samme sagsforhold. Skriv en kort redegørelse for det, idet du fx starter med at analysere et konkret eksempel som sandsynligheden for at få 2 eller 4 i kast med en terning og sandsynligheden for, at begge terninger viser 5 i kast med to terninger. Øvelse 5 I Danmark har vi mønter med 50 øre, 1 kr., 2 kr., 5 kr., 10 kr. og 20 kr. I det følgende problem ser vi bort fra mønter med en værdi under en krone, dvs. 50-øren er ikke med i problemet. Et beløb på 2 kr. kan betales som én 2-krone eller som to 1-kroner. Et beløb på 3 kr. kan betales som tre 1-kroner eller én 1-krone og én 2-krone. Hvor mange måder kan man betale et beløb på 4 kr.? 5 kr.? 6 kr.? 10 kr.? De foregående øvelser er alle eksempler på kombinatoriske problemer, som et stykke hen ad vejen kan løses med ad hoc-metoder. De to første øvelser kan også løses generelt uden alt for store problemer, hvorimod den sidste øvelse kræver en del, hvis den skal løses generelt. Øvelserne illustrerer meget godt det brede spektrum af problemer, der falder ind under samlebegrebet kombinatorik. Nogle kombinatoriske problemer bliver hurtigt meget komplicerede, men der findes en række problemer, der lader sig analysere inden for rammerne af den matematik, vi har til rådighed, og som også kan være til hjælp, når vi sidenhen skal benytte Laplaces princip i forbindelse med sandsynlighedsregning. 6 KOMBINATORIK

7 I stokastik-bogen gør vi brug af chancetræer for at anskueliggøre problemerne. I analogi med chancetræerne kan man ofte anskueliggøre kombinatoriske problemer med et tælletræ. Eksempel 2 I skolen har man traditionelt arbejdet meget med problemstillinger som denne: Fra en pose med 3 hvide og 5 røde kugler trækkes 2 kugler. Hvor mange måder kan det gøres på. Umiddelbart lyder problemet fredeligt, men som vi skal se i dette eksempel, er der plads til adskillige fornuftige fortolkninger. Hvis problemet skal danne udgangspunkt for en forståelse af kombinatorik i skolen, er det nødvendigt at være bevidst om, hvilken fortolkning man arbejder med. Den første og formentlig mest umiddelbare fortolkning er: Kuglerne kan enten være røde eller hvide, der er derfor tre forskellige muligheder, nemlig rød-rød, rød-hvid og hvid-hvid. Anden fortolkning er, at kuglerne trækkes én ad gangen. Vi kan derfor tale om en første og en anden kugle. Når der således er forskel på kuglerne, bliver konklusionen, at der er tale om fire forskellige muligheder: rød-rød (RR), rød-hvid (RH), hvid-rød (HR) og hvid-hvid (HH). Tredje fortolkning baserer sig måske på en erfaring, der fortæller os, at ikke alle kombinationerne RR, RH, HR og HH forekommer lige ofte i et eksperiment. De optræder derfor også med forskellig sandsynlighed. Skal vi beregne disse sandsynligheder, kommer problemet til at handle om, hvor mange forskellige måder de forskellige kombinationer kan fremkomme på. Til det formål kan det måske være en fordel at forestille sig, at man kan kende forskel på kuglerne af samme farve (de kan fx have forskellige numre). Ikke nok med at der er en tredje fortolkning, denne fortolkning har også flere svarmuligheder, alt efter om vi regner med, at kuglerne vælges med eller uden tilbagelægning. Der er fire sådanne muligheder: KOMBINATORIK 7

8 Mulighed 1 Vælger vi de to kugler, én ad gangen og uden tilbagelægning, kan udvælgelsen illustreres ved et tælletræ. start 5 3 Rød Hvid Rød Hvid Rød Hvid Figur 2. Vi kan derfor bestemme, at: udtrækningen RR kan ske på 5 4 = 20 måder, udtrækningen RH kan ske på 5 3 = 15 måder, udtrækningen HR kan ske på 3 5 = 15 måder og udtrækningen HH kan ske på 3 2 = 6 måder. Mulighed 2 Hvis vi derimod blot er interesseret i udtrækninger, der resulterer i et bestemt antal røde kugler, som i fortolkning 1, er svaret, at antallet af mulige udtrækninger der resulterer i: 2 røde kugler, dvs. RR bliver 20, 1 rød kugle, dvs. RH eller HR bliver 30, 0 røde kugler, altså HH bliver 6. Mulighed 3 Hvis udtrækningen af kuglerne foregår med tilbagelægning, dvs. man trækker én kugle ad gangen og lægger den udrukne kugle tilbage i posen, inden kugle nummer 2 trækkes, bliver tælletræet: start 5 3 Rød Hvid Rød Hvid Rød Hvid Figur 3. 8 KOMBINATORIK

9 Udtrækningen: RR kan ske på 5 5 = 25 måder, RH kan ske på 5 3 = 15 måder, HR kan ske på 3 5 = 15 måder og HH kan ske på 3 3 = 9 måder. Mulighed 4 Hvis vi derimod atter blot er interesseret i, hvorvidt udtrækningerne har præcis 0, 1 eller 2 røde kugler, er svaret, at antallet af muligheder for at få: 2 røde kugler er 25, 1 rød kugle er 30 og 0 røde kugler er 9. Øvelse 6 Gør rede for, hvorledes multiplikations- og additionsprincippet er benyttet i det foregående eksempel. Ovenstående eksempel viser, at der er to forhold, der spiller en rolle: skal udvælgelsen foregå med eller uden tilbagelægning? betyder det noget, hvilken rækkefølge udtrækningen sker i, eller er man blot interesseret i sammensætningen af udvalget (fx præcis 1 rød kugle)? Disse sondringer kommer til at være centrale i det kommende afsnit. UDVÆLGELSE I dette afsnit skal vi se nærmere på de fire muligheder fra eksempel 2. Vi skal analysere udtrækning/udvælgelse, hvor rækkefølgen er af betydning, såkaldt ordnet udvælgelse, og udvælgelse hvor rækkefølgen ikke er af betydning, såkaldt uordnet udvælgelse. Og vi skal i begge situationer se på udvælgelse med og uden tilbagelægning. KOMBINATORIK 9

10 Hvis man tænker på en tipskupon som en udvælgelse af et af symbolerne 1, X eller 2 for hver af de 13 kampe på kuponen, er det ikke ligegyldigt, om man har valgt 1X2212XX121XX eller 12XXX221XX112, selv om begge rækker indeholder det samme antal 1 ere, 2 ere og X er. Tipskuponen er en situation, hvor rækkefølgen af udvælgelserne spiller en rolle. Lotto, hvor fx 7 kugler udtrækkes uden tilbagelægning fra 36 kugler nummereret fra 1 til 36, er derimod et eksempel på et spil, hvor rækkefølgen ikke har betydning. Hvis man har spillet på tallene 2, 3, 5, 7, 11, 13 og 17, vil man have 7 rigtige, hvis det er disse 7 tal, der bliver udtrukket af spillemaskinen, uanset om de udtrækkes i rækkefølgen 3, 17, 11, 13, 7, 2, 5 eller 17, 13, 11, 7, 5, 3, 2. I situationer med ordnet og uordnet udvælgelse kan det ske, at man har mulighed for at udvælge det samme element mere end én gang, men det kan også ske, at man ikke må udvælge et element mere end én gang. Man kan tænke på tipskuponen, som om man for hver kamp skal vælge ét af tegnene 1, X eller 2. For hver kamp kan man vælge mellem alle tre tegn, og udvælgelsen af de 13 tegn, der tilsammen udgør en tipskupon, tillader derfor gentagelser. Man kalder det en udvælgelse med tilbagelægning ud fra en forestilling om, at den mængde, hvorfra tipstegnene vælges, er den samme hver gang. Man har ikke fjernet de tegn, der tidligere måtte være udvalgt. (Populært sagt: 1, X og 2 ligger i en skål på bordet, når man har valgt og noteret et tegn, lægges det tilbage i skålen). I spillet roulette foregår udvælgelsen ved, at en lille kugle falder til hvile på en roterende skive med små felter. Der er 37 felter, nummereret I hvert spil på rouletten er det den samme skive og den samme kugle, og derfor er der i hvert spil de samme muligheder. Man vil også referere til rouletten som en udvælgelse med tilbagelægning, selv om det måske ikke er så oplagt at tænke på en mængde, hvorfra man eventuelt kunne have fjernet noget fra spil til spil. Metaforen tilbagelægning skal man derfor ikke fortolke for hårdt som en fysisk handling. Tilsvarende taler man om udvælgelse uden tilbagelægning, hvis man ikke tillader genbrug af de allerede udvalgte elementer. Lotto er et eksempel på en udvælgelse uden tilbagelægning. 10 KOMBINATORIK

11 Ordnet udvælgelse uden tilbagelægning I dette afsnit skal vi se på udvælgelse, hvor rækkefølgen er af betydning, og hvor vi ikke tillader, at det samme element vælges mere end én gang. Øvelse 7 Forestil dig, at du har fire brikker med farverne R(ød), B(lå), H(vid) og G(ul). Du skal vælge tre brikker uden tilbagelægning og lægge dem på en række. Opskriv alle mulige rækkefølger for udvælgelsen af tre af de fire farver. Hvor mange muligheder er der? Eksempel 3 Lad os forestille os, at vi har 15 bogstaver a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n, o og skal bestemme, hvor mange ord med fire forskellige bogstaver, man kan danne. Når man skal danne ord på denne måde, er rækkefølgen af bogstaverne af betydning. Det første bogstav kan frit vælges blandt alle 15 bogstaver. Det andet bogstav kan frit vælges blandt de 14 bogstaver, der endnu ikke er brugt. Det tredje bogstav kan frit vælges blandt de 13 bogstaver, der endnu ikke er brugt. Det fjerde bogstav kan frit vælges blandt de 12 bogstaver, der endnu ikke er brugt. Man kan derfor benytte multiplikationsprincippet til at beregne, at der kan dannes = forskellige ord. Dette tal kaldes antal permutationer af længde 4 fra 15 elementer, og man skriver kort P (15, 4). KOMBINATORIK 11

12 Eksempel 4 Vi ser på et sportsspil, hvor vi blandt 25 deltagende hold skal gætte på, hvem der kommer på 1., 2. og 3. pladsen. Den teoretiske værdi for antal forskellige udfald af spillet beregnes som P(25,3) For at angive en god formel for antal permutationer, behøver vi lidt notation. Hvis n er et naturligt tal, defineres symbolet n! (læses: n fakultet) som n! = n ( n-1) ( n- 2) dvs. 10! = og 27! = Hvis vi fx ser på beregningen af P (15,4) = , kan man tænke på som starten af en endnu længere udregning , dvs. 15! Men så må man huske bagefter at dividere væk igen: P (15,4) = = Umiddelbart kunne det se ud, som om man er gået fra en relativt simpel beregning af til et meget mere kompliceret udtryk. I praktisk regning er det da også langt nemmere at beregne end den brøk, vi netop er kommet frem til. Fordelen ved brøken er til gengæld, at den kan skrives på en meget kort form, hvis man anvender notationen med fakultet. Man får en formel ud af regneudtrykket i brøken, som uden yderligere forklaringer kan viderebringes til andre, der forstår fakultetnotationen: P (15,4) = = ! 15! = = 11! (15-4)!. Tilsvarende kan P (100,3) skrives som: P(100,3) = 100! =. (100-3)! Generelt har man derfor, at antal permutationer af længde r fra n elementer kan beregnes ved Pnr (, ) = n! ( n-r)!. 12 KOMBINATORIK

13 Øvelse 8 1) Bestem, på hvor mange måder man kan stille 20 cd er på en hylde ved siden af hinanden. 2) I en fodboldturnering deltager 5 hold. Hvor mange forskellige slutstillinger kan turneringen teoretisk set have? 3) I forbindelse med konstitueringen af en bestyrelse, skal der blandt 5 regulære bestyrelsesmedlemmer vælges en kasserer og en sekretær. På hvor mange forskellige måder kan dette ske? 4) Ordet kugle har fem forskellige bogstaver, og der er derfor 5! forskellige rækkefølger at skrive de fem bogstaver på. Hvor mange af disse har u som det andet bogstav _ u _? Hvor mange af disse indeholder bogstavkombinationen le som fx i leguk? 5) Du har 10 forskellige perler og skal lave en lukket, cirkulær halskæde dvs. perlerne er på snor, og snoren er lukket med en knude til en kreds, hvor perlerne kan bevæge sig hen over knuden. Hvor mange forskellige halslæder kan man lave? Forestil dig i stedet, at du skal lave en bordplan for 10 personer, 5 mænd og 5 kvinder, som skal sidde ved et rundt bord. Hvor mange forskellige bordplaner kan du lave, hvis det er et krav, at personerne skal sidde skiftevis mand, kvinde, mand, kvinde ved bordet? KOMBINATORIK 13

14 Uordnet udvælgelse uden tilbagelægning Øvelse 9 I øvelse 7 skulle du opskrive samtlige muligheder for at lægge tre brikker udvalgt uden tilbagelægning fra fire brikker med farverne R(ød), B(lå), H(vid) og G(ul). Der var 24 forskellige rækkefølger, nemlig: RBH RBG RHB RHG RGB RGH BRH BRG BHR BHG BGR BGH HRB HRG HBR HBG HGR HGB GRB GRH GBR GBH GHR GHB Hvis rækkefølgen ikke længere skal have betydning vi kan fx forestille os, at brikkerne ikke længere skal ligge på en række, men blot udgøre en bunke hvor mange forskellige udvalg er der så? Eksempel 5 Nedenfor er alle permutationer af længde 3 med de fire bogstaver a, b, c, d skrevet abc acb bac bca cab cba abd adb bad bda dab dba acd adc cad cda dac dca bcd bdc cbd cdb dbc dcb Der er P(4,3) = 4! = 24 permutationer. (4-3)! Hvis vi ikke er interesseret i den rækkefølge, bogstaverne står i, men blot interesserer os for, hvilke bogstaver der er tale om, vil mange af permutationerne dække over den samme mulighed. Permutationerne abc, acb, bac, bca, cab og cba dækker alle over, at der er tale om de tre bogstaver a, b og c. Det er ikke tilfældigt, at der netop er 6 permutationer, der består af bogstaverne a, b og c. Der er jo 3 2 1= 6måder at opskrive bogstaverne a, b og c på, eftersom det første bogstav kan vælges på 3 måder, det andet bogstav kan vælges på 2 måder, og det sidste på 1 måde. 14 KOMBINATORIK

15 Tilsvarende vil de 6 permutationer abd, adb, bad, bda, dab og dba svare til den samme udvælgelse, når rækkefølgen er uden betydning. I alt vil der kun være tale om fire forskellige kombinationer af bogstaver, nemlig abc, abd, acd og bcd, når rækkefølgen ikke interesserer os, og i listen med permutationer vil disse fire bogstavkombinationer hver dukke op seks gange. Antallet af måder man, uden tilbagelægning, kan vælge tre bogstaver blandt fire på uden at rækkefølgen tillægges betydning betegnes med symbolet K (4,3) og kan beregnes ud fra P (4,3) ved: 4! P(4,3) (4-3)! 4! 321 3! 3! (4-3)! K(4,3) = = =. Mere generelt har man, at hvis man, uden tilbagelægning, skal vælge r elementer blandt n, hvor man ikke interesserer sig for den rækkefølge, elementerne vælges i, bestemmes antallet af forskellige valg ved at beregne n! Pnr (, ) ( n- r)! n! r! r! ( n-r)! r! Knr (, ) = = =. At formlen for Knr (, ) er korrekt, kan man argumentere for ved at observere, at de Pnr (, ) permutationer kan samles i grupper med hver r! permutationer af de samme r elementer. Hver af disse r! permutationer er udtryk for den Pnr (, ) samme kombination, så Knr (, ) kan beregnes som. r! Øvelse 10 I lotto skal man vælge syv tal, uden gentagelse, blandt tallene 1, 2, 3,..., 36. Hvor mange forskellige lottokuponer er der? Eksempel 6 Svaret på øvelse 9 er, at der er netop K(4,3) = 4! 4! (4-3)! 3! = 1! 3! = 1321 = 4 muligheder for at vælge tre af de fire farver, når rækkefølgen ikke er af interesse. KOMBINATORIK 15

16 I forbindelse med brugen af formlen for Knr (, ) kan tallet 0! dukke op i beregningerne. 0! giver ikke umiddelbart mening ud fra definitionen af n! som et produkt, men det har vist sig, at alle udregninger, man kunne have lyst til at udføre, kommer til at give mening, hvis 0! defineres til at være tallet 1. Eksempel 7 A A B A B A B B A B A B A B Figur 4. I et tælletræ som det ovenfor kan man være interesseret i at tælle antallet af veje, der fx indeholder A præcis 2 gange. Dette kan K(n,r) hjælpe os til at beregne. Ved hver forgrening i tælletræet er der mulighed for at vælge enten A eller B. Da der er tre niveauer med forgreninger i det konkrete eksempel, kan man beskrive vejene i tælletræet ved at opremse de valgte forgreninger i rækkefølge. Vælger man at anskue tælletræet på denne måde, kommer vejene til at hedde AAA, AAB, ABA, ABB, BAA, BAB, BBA, BBB. Hvis A skal være valgt præcis to gange, er det et spørgsmål, om at netop to af de tre bogstaver er A, eller med andre ord: Netop to af de tre pladser er valgt (og besat med bogstavet A). Antallet af måder, man kan vælge 2 ud af 3, når rækkefølgen ikke har betydning, er netop K(3,2) = KOMBINATORIK

17 Øvelse 11 K(n,r) kan beregnes nemt ved hjælp af lommeregner, regneark eller matematikprogram. I regneark har man kommandoen kombin og i GeoGebra råder man over ncr. Beregn K(10,5), K(33,7), K(100,45) med det hjælpemiddel, du foretrækker. Bestem K(10,0) + K(10,1) + K(10,2) + + K(10,10). Bestem K(n,0) + K(n,1) + K(n,2) + + K(n,n) for forskellige værdier af n. Er der et system? Øvelse 12 I stokastik-bogen arbejder vi lidt med Pascals trekant. For fuldstændighedens skyld, tager vi også trekanten med i denne fremstilling K(0,0) K(1,0) K(1,1) K(2,0) K(2,1) K(2,2) K(3,0) K(3,1) K(3,2) K(3,3) K(4,0) K(4,1) K(4,2) K(4,3) K(4,4) K(5,0) K(5,1) K(5,2) K(5,3) K(5,4) K(5,5) K(6,0) K(6,1) K(6,2) K(6,3) K(6,4) K(6,5) K(6,6) Figur 5. Pascals trekant er tydeligvis symmetrisk. Eksempelvis er K(8,3) = K(8,5). Hvorledes ser denne symmetri ud, hvis den skal udtrykkes i en formel af typen K(n,r)= K(n, )? Brug regneudtrykket for K(n,r) til at bevise denne symmetriformel. KOMBINATORIK 17

18 Man kan også forklare symmetrien i Pascals trekant uden at regne, idet man i stedet benytter et såkaldt kombinatorisk argument. Hvis man skal argumentere for K(8,3) = K(8,5), kan man fx starte sin argumentation således: Når man vælger 3 ud af 8, er der samtidig 5, som man.. Fortsæt dette til en forklaring, der viser, at K(8,3) = K(8,5). I stokastik-bogen arbejder vi også med strukturen i Pascals trekant ud fra sammenhængen K(n,r) = K(n-1,r-1) + K(n-1,r), dvs. at tallet K(n,r) er summen af sine to nabotal fra rækken direkte over. At K(n,r) = K(n-1,r-1) + K(n-1,r) kan man med lidt besvær vise ud fra formlerne prøv det. Man kan også argumentere kombinatorisk. Man kan fx argumentere for at K(8,5) = K(7,4) + K(7,5) ved at starte på følgende måde: Kald de 8 elementer, vi skal vælge fra, for a, b, c, d, e, f, g og h. Udvælgelserne kan deles op i dem, hvor a er med, og dem, hvor a ikke er med. Hvis a er med, er der 7 andre elementer, hvorfra man skal vælge Fortsæt denne kombinatoriske argumentation og prøv dernæst at generalisere den til en forklaring på den generelle sammenhæng K(n,r) = K(n-1,r-1) + K(n-1,r). 2 ( a+ b) etc. Hvilken sammen- Beregn ( a+ b), ( a+ b), ( a+ b), hæng er der med Pascals trekant? Hvad får man ud af at lægge alle tallene i en række sammen? Kan du opstille en regel, der udtaler sig om summen af tallene i den n te række i Pascals trekant? Kan du forklare sammenhængen? Øvelse 13 I et sædvanligt spil kort er der 52 kort 13 hjertere, 13 ruder, 13 klør og 13 spar. 1) Hvis man får to kort, hvor mange muligheder er der så for, at det kan være 2 klør? 2) Hvis man får tre kort, hvor mange muligheder er der så for, at der er tale om 3 røde? 3) Hvis man får fem kort, hvor mange muligheder er der så for, at man får 2 klør og 3 røde? 18 KOMBINATORIK

19 Øvelse 14 B A Figur 6. I gitteret på figuren skal man finde veje af længde 12 fra A til B. Man må kun bevæge sig langs gitterlinjerne. Hvor mange forskellige veje er der fra A til B? Ordnet udvælgelse med tilbagelægning I de to foregående afsnit fik vi analyseret de situationer, hvor udvælgelserne foregår uden tilbagelægning, vi mangler derfor at analysere de situationer, hvor man tillader, at elementer udvælges flere gange undervejs, eller som vi normalt kalder det, hvor udvælgelsen foregår med tilbagelægning. Eksempel 8 Hvis man må benytte sig af cifrene 1, 2, 3,, 9 med gentagelser, kan man skrive: 99 forskellige tocifrede tal. 999 forskellige trecifrede tal forskellige fircifrede tal. Man kan tænke på opskrivningen af tallene som en udtrækning med tilbagelægning. Forstil dig en pose med ni kugler, nummereret fra 1 til 9. Hvis man trækker en kugle og lader dens talværdi være enere i et tal, lægger kuglen tilbage og trækker endnu en gang fra posen for at bestemme tierne i tallet osv., vil man efter fx fire udtrækninger have et 4-cifret tal, og der kan fremkomme 9999 forskellige tal på denne måde. KOMBINATORIK 19

20 Eksemplet ovenfor lader sig umiddelbart generalisere. Hvis man har n elementer, hvorfra man ordnet og med tilbagelægning skal r udvælge r elementer, kan dette gøres på nn... n= n måder, idet man r faktorer umiddelbart kan benytte multiplikationsprincippet. Øvelse 15 På en tipskupon er der 13 kampe, hvor man for hver kamp skal angive et af symbolerne 1, X eller 2. Argumentér for, at man kan betragte det kombinatoriske problem at finde antallet af forskellige tipskuponer som en udvælgelse med tilbagelægning, hvor rækkefølgen er af betydning. Bestem, hvor mange forskellige tipskuponer man kan opskrive. Uordnet udvælgelse med tilbagelægning Den sidste udvælgelsestype, vi skal se på, er den, hvor man tillader, at et element vælges flere gange, men i øvrigt ikke interesserer sig for i hvilken rækkefølge valgene foregår. Eksempel 9 I en isbod kan man købe gammeldags isvafler med 2 kugler, og der er 7 forskellige slags is at vælge imellem. Umiddelbart kan man hævde, at 2 der kan laves 7 49forskellige is. Hvis man tænker på denne måde, vil en is, hvor første iskugle er chokoladeis, og anden iskugle er jordbær, regnes for forskellig fra en is med første iskugle af jordbæris og anden iskugle med chokoladesmag. Hvis man synes, at de to beskrevne is er den samme is, er det fordi, man anser rækkefølgen for ikke at have betydning. Det er den sidste situation, der skal behandles i dette afsnit, og svaret er ikke bare at dividere de 49 med 2, bl.a. fordi 24½ forskellige slags is, jo ikke lyder rigtigt. Svaret kan findes ved hjælp af den efterfølgende sætning. 20 KOMBINATORIK

21 Sætning 1 Hvis man r gange vælger blandt n forskellige elementer og udvælgelsen foregår med tilbagelægning, kan man opnå K(n + r-1,r) forskellige uordnede arrangementer af disse elementer. Idet antallet af sådanne arrangementer benævnes A(n,r) gælder altså formlen: A(n,r) = K(n + r-1,r). Eksempel 10 I eksempel 9 så vi på, hvor mange forskellige slags gammeldags isvafler med to kugler man kan lave, når der er syv forskellige slags is at vælge imellem. Hvis vi ser bort fra rækkefølgen af is kugler, kan vi nu få svaret på problemet, der er nemlig A(7,2)= K( ,2) = K (8,2) = 8! (8-2)! 2! = 28 forskellige slags isvafler med 2 kugler. Bevis for sætning 1 Vi vil i det følgende bevise sætning 1, men vælger først at præsentere hovedtanken gennem et eksempel, hvor vi bestemmer A(4,5) Vi skal altså 5 gange udvælge et af 4 elementer, som vi kan kalde A, B, C og D. Det kan lade sig gøre at vælge 5 gange blandt de fire elementer, netop fordi det foregår med tilbagelægning. Da rækkefølgen ikke spiller en rolle, vælger vi at skrive udvælgelserne op alfabetisk. Det kan fx være AABCD, ABBDD, BBDDD... Vi skal nu se, hvorledes tankegangen fra øvelse 14 kan bringes i anvendelse i det konkrete problem. KOMBINATORIK 21

22 Udvælgelsen AABCD kan repræsenteres som en sti i et gitter, der er 3 bred og 5 høj, A B C D Figur 7. og enhver udvælgelse af fem symboler kan repræsenteres ved en sådan sti fra A til øverste højre hjørne i det samme gitter. BBDDD repræsenteres som A B C D Figur KOMBINATORIK

23 Hvis man omvendt har givet en sti i gitteret fx (6) (7) (8) (3) (4) (5) (2) (1) A B C D Figur 9. så kan den umiddelbart oversættes til en udvælgelse, her BBCCD. Der er altså det samme antal stier i gitteret, som der er måder, man uordnet og med tilbagelægning kan udvælge fem elementer fra mængden {A, B, C, D}. Så vi har transformeret vores problem om antallet af udvælgelser til at være et problem om antallet af stier i et sådant gitter. Da enhver sådan sti består af = 8 led, hvoraf de fem skal stå lodret, er antallet af stier lig med K(8,5). For ethvert uordnet udvalg af fem af leddene fremkommer der nemlig en sti af den ønskede type. Den sidst viste sti svarer til, at vi har valgt følgende fem led {2, 3, 5, 6, 8} som de lodrette, idet vi nummererer leddene i rækkefølgen fra den første til den ottende. Gitterets vandrette bredde vil altid være 1 mindre end antallet af elementer (n), man vælger blandt, altså n 1. Det er fordi, vi identificerer elementerne med de lodrette linjer i gitteret. Gitterets højde svarer til antallet af udvalgte elementer (r). Derfor kan argumentationen i eksemplet ovenfor umiddelbart generaliseres til den almene situation, hvor der skal vælges r elementer blandt n mulige, som i sætning 1. For her bliver antallet af mulige arrangementer lig med antallet af stier fra nederste venstre hjørne til øverste højre i et gitter af bredden n 1 og højden r. Og da enhver sådan sti svarer til et uordnet udvalg af r elementer blandt stiens (n 1) + r led, kan det gøres på K(n + r 1, r) måder, som hævdet i sætning 1. KOMBINATORIK 23

Kombinatorik og Sandsynlighedsregning

Kombinatorik og Sandsynlighedsregning Kombinatorik Teori del 1 Kombinatorik er en metode til at tælle muligheder på. Man kan f.eks. inden for valg til en bestyrelse eller et fodboldhold, kodning af en lås, valg af pinkode eller telefonnummer,

Læs mere

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Kombinatorik

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Kombinatorik Tip til 1. runde af - Kombinatorik, Kirsten Rosenkilde. Tip til 1. runde af Kombinatorik Her er nogle centrale principper om og strategier for hvordan man tæller et antal kombinationer på en smart måde,

Læs mere

Spil. Chancer gennem tællemetoder. Chancelære: MI 82 INF. INFA-Chancelæreserien:

Spil. Chancer gennem tællemetoder. Chancelære: MI 82 INF. INFA-Chancelæreserien: INFA-Chancelæreserien: Chancer gennem eksperimenter Chancer gennem optællinger CHANCETRÆ - Chancer gennem beregninger SPIL - Chancer gennem tællemetoder LOD - Chancer gennem simuleringer KUGLE - Chancer

Læs mere

Kapitel 2 Tal og variable

Kapitel 2 Tal og variable Tal og variable Uden tal ingen matematik - matematik handler om tal og anvendelse af tal. Matematik beskæftiger sig ikke udelukkende med konkrete problemer fra andre fag, og de konkrete tal fra andre fagområder

Læs mere

Simulering af stokastiske fænomener med Excel

Simulering af stokastiske fænomener med Excel Simulering af stokastiske fænomener med Excel John Andersen, Læreruddannelsen i Aarhus, VIA Det kan være en ret krævende læreproces at udvikle fornemmelse for mange begreber fra sandsynlighedsregningen

Læs mere

Spilstrategier. 1 Vindermængde og tabermængde

Spilstrategier. 1 Vindermængde og tabermængde Spilstrategier De spiltyper vi skal se på her, er primært spil af følgende type: Spil der spilles af to spillere A og B som skiftes til at trække, A starter, og hvis man ikke kan trække har man tabt. Der

Læs mere

og til summer af stambrøker. Bemærk: De enkelte brøker kan opskrives på flere måder som summer af stambrøker.

og til summer af stambrøker. Bemærk: De enkelte brøker kan opskrives på flere måder som summer af stambrøker. Hvad er en brøk? Når vi taler om brøker i dette projekt, mener vi tal på formen a, hvor a og b er hele tal (og b b 0 ), fx 2,, 3 og 3 7 13 1. Øvelse 1 Hvordan vil du forklare, hvad 7 er? Brøker har været

Læs mere

Uafhængig og afhængig variabel

Uafhængig og afhængig variabel Uddrag fra http://www.emu.dk/gym/fag/ma/undervisningsforloeb/hf-mat-c/introduktion.doc ved Hans Vestergaard, Morten Overgaard Nielsen, Peter Trautner Brander Variable og sammenhænge... 1 Uafhængig og afhængig

Læs mere

Årsplan for matematik i 1.-2. kl.

Årsplan for matematik i 1.-2. kl. Årsplan for matematik i 1.-2. kl. Lærer Martin Jensen Mål for undervisningen Målet for undervisningen er, at eleverne tilegner sig matematiske kompetencer og arbejdsmetoder jævnfør Fælles Mål. Eleverne

Læs mere

3. klasse 6. klasse 9. klasse

3. klasse 6. klasse 9. klasse Børne- og Undervisningsudvalget 2012-13 BUU Alm.del Bilag 326 Offentligt Elevplan 3. klasse 6. klasse 9. klasse Matematiske kompetencer Status tal og algebra sikker i, er usikker i de naturlige tals opbygning

Læs mere

Evaluering af matematik undervisning

Evaluering af matematik undervisning Evaluering af matematik undervisning Udarbejdet af Khaled Zaher, matematiklærer 6-9 klasse og Boushra Chami, matematiklærer 2-5 klasse Matematiske kompetencer. Fællesmål efter 3.klasse indgå i dialog om

Læs mere

9 Statistik og sandsynlighed

9 Statistik og sandsynlighed Side til side-vejledning 9 Statistik og sandsynlighed Faglige mål Kapitlet Statistik og sandsynlighed tager udgangspunkt i følgende faglige mål: Deskriptorer: kunne gennemføre og beskrive en statistisk

Læs mere

Symbolbehandlingskompetencen er central gennem arbejdet med hele kapitlet i elevernes arbejde med tal og regneregler.

Symbolbehandlingskompetencen er central gennem arbejdet med hele kapitlet i elevernes arbejde med tal og regneregler. Det første kapitel i grundbogen til Kolorit i 8. klasse handler om tal og regning. Kapitlet indledes med, at vores titalssystem som positionssystem sættes i en historisk sammenhæng. Gennem arbejdet med

Læs mere

Differential- regning

Differential- regning Differential- regning del () f () m l () 6 Karsten Juul Indhold Tretrinsreglen 59 Formler for differentialkvotienter64 Regneregler for differentialkvotienter67 Differentialkvotient af sammensat funktion7

Læs mere

Forberedelsesmateriale. Indledende sandsynlighedsregning og kombinatorik

Forberedelsesmateriale. Indledende sandsynlighedsregning og kombinatorik Forberedelsesmateriale Indledende sandsynlighedsregning og kombinatorik 1 Kort om sandsynlighedsregningens historie Den århusianske matematiker Jørgen Hoffmann-Jørgensen har skrevet følgende: Sandsynlighedsregningens

Læs mere

Lille Georgs julekalender 07. 1. december. Hvor mange løbere kan der opstilles på et skakbræt uden at de truer hinanden?

Lille Georgs julekalender 07. 1. december. Hvor mange løbere kan der opstilles på et skakbræt uden at de truer hinanden? 1. december Hvor mange løbere kan der opstilles på et skakbræt uden at de truer hinanden? Svar: 14 Forklaring: Der kan godt stå 14, f.eks. sådan: Men kunne der stå flere hvis man stillede dem endnu snedigere

Læs mere

Invarianter. 1 Paritet. Indhold

Invarianter. 1 Paritet. Indhold Invarianter En invariant er en størrelse der ikke ændrer sig, selv om situationen ændrer sig. I nogle kombinatorikopgaver hvor man skal undersøge hvilke situationer der er mulige, er det ofte en god idé

Læs mere

Tal og algebra. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber: algebra variable. Huskeliste: Tændstikker (til side 146) FRA FAGHÆFTET

Tal og algebra. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber: algebra variable. Huskeliste: Tændstikker (til side 146) FRA FAGHÆFTET I kapitlet skal eleverne arbejde med fire forskellige vinkler på algebra de præsenteres på kapitlets første mundtlige opslag. De fire vinkler er algebra som et redskab til at løse matematiske problemer.

Læs mere

Sandsynlighedsregning og statistik

Sandsynlighedsregning og statistik og statistik Jakob G. Rasmussen, Institut for Matematiske Fag jgr@math.aau.dk Litteratur: Walpole, Myers, Myers & Ye: Probability and Statistics for Engineers and Scientists, Prentice Hall, 8th ed. Slides

Læs mere

Projekt 10.16: Matematik og demokrati Mandatfordelinger ved sidste kommunalvalg

Projekt 10.16: Matematik og demokrati Mandatfordelinger ved sidste kommunalvalg Projekt 10.16: Matematik og demokrati Mandatfordelinger ved sidste kommunalvalg Introduktion: Vi vil nu se på et konkret eksempel på hvordan man i praksis fordeler mandaterne i et repræsentativt demokrati,

Læs mere

Introduktion til EXCEL med øvelser

Introduktion til EXCEL med øvelser Side 1 af 10 Introduktion til EXCEL med øvelser Du kender en almindelig regnemaskine, som kan være til stort hjælp, når man skal beregne resultater med store tal. Et regneark er en anden form for regnemaskine,

Læs mere

Bogstavregning. En indledning for stx og hf. 2008 Karsten Juul

Bogstavregning. En indledning for stx og hf. 2008 Karsten Juul Bogstavregning En indledning for stx og hf 2008 Karsten Juul Dette hæfte træner elever i den mest grundlæggende bogstavregning (som omtrent springes over i lærebøger for stx og hf). Når elever har lært

Læs mere

Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal.

Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal. Tre slags gennemsnit Allan C. Malmberg Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal. For mange skoleelever indgår

Læs mere

Mini AT-forløb om kommunalvalg: Mandatfordeling og Retfærdighed 1.x og 1.y 2009 ved Ringsted Gymnasium MANDATFORDELING

Mini AT-forløb om kommunalvalg: Mandatfordeling og Retfærdighed 1.x og 1.y 2009 ved Ringsted Gymnasium MANDATFORDELING MANDATFORDELING Dette materiale er lavet som supplement til Erik Vestergaards hjemmeside om samme emne. 1 http://www.matematiksider.dk/mandatfordelinger.html I dette materiale er en række øvelser der knytter

Læs mere

Introduktion til Calc Open Office med øvelser

Introduktion til Calc Open Office med øvelser Side 1 af 8 Introduktion til Calc Open Office med øvelser Introduktion til Calc Open Office... 2 Indtastning i celler... 2 Formler... 3 Decimaler... 4 Skrifttype... 5 Skrifteffekter... 6 Justering... 6

Læs mere

EMMA*-Tema: Chancetræer

EMMA*-Tema: Chancetræer EMMA*-Tema: Chancetræer Indhold 1. Vi tegner et chancetræ 2. Lidt om programmet TRÆ 3. Udtagelse med tilbagelægning 4. Programmet ÆSKE 5. Opgaver 6. Reducerede chancetræer 7. Hvor sikker er diagnosen?

Læs mere

Tal og algebra. I hvilke situationer kan det være motiverende at gengive et talmønster som et geometrisk mønster?

Tal og algebra. I hvilke situationer kan det være motiverende at gengive et talmønster som et geometrisk mønster? Oplæg I hvilke situationer kan det være motiverende at gengive et talmønster som et geometrisk mønster? Hvordan ser I mulighederne i at stimulere elevernes tænkning og udvikle deres arbejdsmåde, når de

Læs mere

Ideer til matematik-aktiviteter i yngstetrinet

Ideer til matematik-aktiviteter i yngstetrinet Ideer til matematik-aktiviteter i yngstetrinet Følgende ideer er ment som praktiske og konkrete ting, man kan bruge i matematik-undervisningen i de yngste klasser. Nogle af aktiviteterne kan bruges til

Læs mere

Løsningsforslag til Stokastik 1.-10. klasse

Løsningsforslag til Stokastik 1.-10. klasse 1 Løsningsforslag til Stokastik 1.-10. klasse Bemærk, at vi benytter betegnelsen øvelser som en meget bred betegnelse. Derfor er der også nogle af vores øvelser, der nærmer sig kategorien undersøgelser,

Læs mere

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller Matematiske vækstmodeller I matematik undersøger man ofte variables afhængighed af hinanden. Her ser man, at samme type af sammenhænge tit forekommer inden for en lang række forskellige områder. I kapitel

Læs mere

Oprids over grundforløbet i matematik

Oprids over grundforløbet i matematik Oprids over grundforløbet i matematik Dette oprids er tænkt som en meget kort gennemgang af de vigtigste hovedpointer vi har gennemgået i grundforløbet i matematik. Det er en kombination af at repetere

Læs mere

Sandsynligheder. Mængder Hændelser Sandsynligheder Regler for sandsynligheder

Sandsynligheder. Mængder Hændelser Sandsynligheder Regler for sandsynligheder Sandsynligheder Mængder Hændelser Sandsynligheder Regler for sandsynligheder Sandsynligheder En sandsynlighed er et kvantitativt mål for usikkerhed et mål der udtrykker styrken af vores tro på forekomsten

Læs mere

Taldata 1. Chancer gennem eksperimenter

Taldata 1. Chancer gennem eksperimenter Taldata 1. Chancer gennem eksperimenter Indhold 1. Kast med to terninger 2. Et pindediagram 3. Sumtabel 4. Median og kvartiler 5. Et trappediagram 6. Gennemsnit 7. En statistik 8. Anvendelse af edb 9.

Læs mere

LÆRINGSMÅL PÅ NIF MATEMATIK 2014-15

LÆRINGSMÅL PÅ NIF MATEMATIK 2014-15 LÆRINGSMÅL PÅ NIF MATEMATIK 2014-15 Mål for undervisningen i Matematik på NIF Følgende er baseret på de grønlandske læringsmål, tilføjelser fra de danske læringsmål står med rød skrift. Læringsmål Yngstetrin

Læs mere

Det vigtigste ved læring af subtraktion er, at eleverne

Det vigtigste ved læring af subtraktion er, at eleverne Introduktion Subtraktion er sammen med multiplikation de to sværeste regningsarter. Begge er begrebsmæssigt sværere end addition og division og begge er beregningsmæssigt sværere end addition. Subtraktion

Læs mere

matematik grundbog trin 1 preben bernitt grundbog trin 1 2004 by bernitt-matematik.dk 1

matematik grundbog trin 1 preben bernitt grundbog trin 1 2004 by bernitt-matematik.dk 1 33 matematik grundbog trin 1 preben bernitt grundbog trin 1 2004 by bernitt-matematik.dk 1 matematik grundbog trin 1 ISBN: 978-87-92488-28-2 1. udgave som E-bog 2006 by bernitt-matematik.dk Kopiering af

Læs mere

Selam Friskole Fagplan for Matematik

Selam Friskole Fagplan for Matematik Selam Friskole Fagplan for Matematik Formål Formålet med undervisningen er, at eleverne udvikler matematiske kompetencer og opnår viden og kunnen således, at de bliver i stand til at begå sig hensigtsmæssigt

Læs mere

IZAK9 lærervejledning

IZAK9 lærervejledning IZAK9 lærervejledning Immersive learning by Copyright Qubizm Ltd. 2014 1 Indholdsfortegnelse Introduktion... 3 Øvelser og organisering... 3 Hvordan er opgaverne udformet?... 4 Opgaveguide Videofilm på

Læs mere

MODELSÆT 2; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN

MODELSÆT 2; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN MODELSÆT ; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN Forberedende materiale Den individuelle skriftlige røve i matematik vil tage udgangsunkt i følgende materiale:. En diskette med to regnearks-filer og en MathCad-fil..

Læs mere

En lille vejledning til lærere og elever i at bruge matematikprogrammet WordMat (begynderniveau)

En lille vejledning til lærere og elever i at bruge matematikprogrammet WordMat (begynderniveau) Matematik i WordMat En lille vejledning til lærere og elever i at bruge matematikprogrammet WordMat (begynderniveau) Indholdsfortegnelse 1. Introduktion... 3 2. Beregning... 4 3. Beregning med brøker...

Læs mere

Projektarbejde. Kombinatorik

Projektarbejde. Kombinatorik Projektarbejde Matematik A Teknisk Gymnasium Århus Side 1 Indledning: Besvarelsen bør indeholde følgende hovedafsnit: Opgaveanalyse: En kort beskrivelse af, hvad opgaven går ud på, samt hvilke oplysninger,

Læs mere

Hovedemne 1: Talsystemet og at gange Læringsmål Nedbrudte læringsmål Forslag til tegn på læring

Hovedemne 1: Talsystemet og at gange Læringsmål Nedbrudte læringsmål Forslag til tegn på læring Hovedemne 1: Talsystemet og at gange kan anvende flercifrede naturlige tal til at beskrive antal og rækkefølge udvikle metoder til multiplikation og division med naturlige tal udføre beregninger med de

Læs mere

Års- og aktivitetsplan i matematik hold 4 2014/2015

Års- og aktivitetsplan i matematik hold 4 2014/2015 Års- og aktivitetsplan i matematik hold 4 2014/2015 Der arbejdes hen mod slutmålene i matematik efter 10. klassetrin. www.uvm.dk => Fælles Mål 2009 => Faghæfter alfabetisk => Matematik => Slutmål for faget

Læs mere

Funktioner og ligninger

Funktioner og ligninger Eleverne har både i Kolorit på mellemtrinnet og i Kolorit 7 matematik grundbog arbejdet med funktioner. I 7. klasse blev funktionsbegrebet defineret, og eleverne arbejdede med forskellige måder at beskrive

Læs mere

Kvadratrodsberegning ved hjælp af de fire regningsarter

Kvadratrodsberegning ved hjælp af de fire regningsarter Kvadratrodsberegning ved hjælp af de fire regningsarter Tidligt i historien opstod et behov for at beregne kvadratrødder med stor nøjagtighed. Kvadratrødder optræder i forbindelse med retvinklede trekanter,

Læs mere

Matematik - undervisningsplan

Matematik - undervisningsplan I 4. klasse starter man på andet forløb i matematik, der skal lede frem mod at eleverne kan opfylde fagets trinmål efter 6. klasse. Det er dermed det som undervisningen tilrettelægges ud fra og målsættes

Læs mere

1. Opbygning af et regneark

1. Opbygning af et regneark 1. Opbygning af et regneark Et regneark er et skema. Vandrette rækker og lodrette kolonner danner celler, hvori man kan indtaste tal, tekst, datoer og formler. De indtastede tal og data kan bearbejdes

Læs mere

Først falder den med 20% af 100 = 20 kr, dernæst stiger den med 30% af 80 = 24 kr.

Først falder den med 20% af 100 = 20 kr, dernæst stiger den med 30% af 80 = 24 kr. FORKLARINGER TIL LOGIK & TAL KORT 121 2 ud af 3 deltagere må være børn, da der er dobbelt så mange børn som voksne. Derfor er der i alt 48 børn med på skovturen. 2 ud af 3 børn må være piger, da der er

Læs mere

Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 7.ABC Lærer: Henrik Stillits. Fagområde/ emne

Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 7.ABC Lærer: Henrik Stillits. Fagområde/ emne Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 7.ABC Lærer: Henrik Stillits. Fagområde/ emne Matematiske færdigheder Grundlæggende færdigheder - plus, minus, gange, division (hele tal, decimaltal og brøker) Identificer

Læs mere

Tal i det danske sprog, analyse og kritik

Tal i det danske sprog, analyse og kritik Tal i det danske sprog, analyse og kritik 0 Indledning Denne artikel handler om det danske sprog og dets talsystem. I første afsnit diskuterer jeg den metodologi jeg vil anvende. I andet afsnit vil jeg

Læs mere

ÅRSPLAN MATEMATIK 5.KLASSE

ÅRSPLAN MATEMATIK 5.KLASSE ÅRSPLAN MATEMATIK 5.KLASSE Matematiklærerens tænkebobler illustrerer, at matematikundervisning ikke udelukkende handler om opgaver, men om en (lige!) blanding af: Kompetencer Indhold Arbejdsmåder CENTRALE

Læs mere

Allan C. Malmberg LÆR OM CHANCER! Sanne og Malene går på opdagelse med computeren

Allan C. Malmberg LÆR OM CHANCER! Sanne og Malene går på opdagelse med computeren Allan C. Malmberg LÆR OM CHANCER! Sanne og Malene går på opdagelse med computeren INFA 2005 Forord Denne INFA-publikation giver en indføring i arbejdet med begreber fra sandsynlighedernes verden. Den henvender

Læs mere

Matematisk induktion

Matematisk induktion Induktionsbeviser MT01.0.07 1 1 Induktionsbeviser Matematisk induktion Sætninger der udtaler sig om hvad der gælder for alle naturlige tal n N, kan undertiden bevises ved matematisk induktion. Idéen bag

Læs mere

F I N N H. K R I S T I A N S E N KUGLE SIMULATIONER MÅLSCORE I HÅNDBOLD G Y L D E N D A L

F I N N H. K R I S T I A N S E N KUGLE SIMULATIONER MÅLSCORE I HÅNDBOLD G Y L D E N D A L RÆSONNEMENT & 1BE V I S F I N N H. K R I S T I A N S E N GNING 2 EGNEARK KUGLE 5 MÅLING SIMULATIONER 3 G Y L D E N D A L MÅLSCORE I HÅNDBOLD Faglige mål: Håndtere simple modeller til beskrivelse af sammenhænge

Læs mere

Når vi forbereder et nyt emne eller område vælger vi de metoder, materialer og evalueringsformer, der egner sig bedst til forløbet.

Når vi forbereder et nyt emne eller område vælger vi de metoder, materialer og evalueringsformer, der egner sig bedst til forløbet. MATEMATIK Delmål for fagene generelt. Al vores undervisning hviler på de i Principper for skole & undervisning beskrevne områder (- metoder, materialevalg, evaluering og elevens personlige alsidige udvikling),

Læs mere

Den lille hjælper. Positionssystem...3. Positive tal...3. Negative tal...3. Hele tal...3. Potenstal...3. Kvadrattal...3

Den lille hjælper. Positionssystem...3. Positive tal...3. Negative tal...3. Hele tal...3. Potenstal...3. Kvadrattal...3 Den lille hjælper Positionssystem...3 Positive tal...3 Negative tal...3 Hele tal...3 Potenstal...3 Kvadrattal...3 Parentes...4 Parentesregler...4 Primtal...4 Addition (lægge sammen) også med decimaltal...4

Læs mere

Eleverne skal lære at:

Eleverne skal lære at: PK: Årsplan 8.Ga. M, matematik Tid og fagligt område Aktivitet Læringsmål Uge 32 uge 50 Tal og algebra Eleverne skal arbejde med at: kende de reelle tal og anvende dem i praktiske og teoretiske sammenhænge

Læs mere

Årsplan 8. klasse matematik 2013-2014 Uge Emne Faglige mål Trinmål Materialer/ systemer 33 og løbende

Årsplan 8. klasse matematik 2013-2014 Uge Emne Faglige mål Trinmål Materialer/ systemer 33 og løbende Årsplan 8. klasse matematik 2013-2014 33 løbende 33-34 løbende Løbende Problemregning ( faglig læsning) Mundtlig matematik (forberede oplæg til 6. klasse) - flere forskellige trinmål Ben, formelsamlingen,

Læs mere

Forslag til besvarelser af opgaver m.m. i ω-bogen, Matematik for lærerstuderende

Forslag til besvarelser af opgaver m.m. i ω-bogen, Matematik for lærerstuderende Forslag til besvarelser af opgaver m.m. i ω-bogen, Matematik for lærerstuderende Dette er førsteudgaven af opgavebesvarelser udarbejdet i sommeren 008. Dokumentet indeholder forslag til besvarelser af

Læs mere

Uge Emne Formål Faglige mål Evaluering

Uge Emne Formål Faglige mål Evaluering Uge Emne Formål Faglige mål Evaluering (Der evalueres løbende på følgende hovedpunkter) 33-36 Regneregler Vedligeholde og udbygge forståelse og færdigheder inden for de fire regningsarter Blive fortrolig

Læs mere

Fælles Mål 2009. Matematik. Faghæfte 12

Fælles Mål 2009. Matematik. Faghæfte 12 Fælles Mål 2009 Matematik Faghæfte 12 Undervisningsministeriets håndbogsserie nr. 14 2009 Fælles Mål 2009 Matematik Faghæfte 12 Undervisningsministeriets håndbogsserie nr. 14 2009 Indhold Formål for faget

Læs mere

Grundliggende regning og talforståelse

Grundliggende regning og talforståelse Grundliggende regning og talforståelse De fire regnearter: Plus, minus, gange og division... 2 10-tals-systemet... 4 Afrunding af tal... 5 Regning med papir og blyant... 6 Store tal... 8 Negative tal...

Læs mere

Hvad er meningen? Et forløb om opinionsundersøgelser

Hvad er meningen? Et forløb om opinionsundersøgelser Hvad er meningen? Et forløb om opinionsundersøgelser Jette Rygaard Poulsen, Frederikshavn Gymnasium og HF-kursus Hans Vestergaard, Frederikshavn Gymnasium og HF-kursus Søren Lundbye-Christensen, AAU 17-10-2004

Læs mere

Mathcad Survival Guide

Mathcad Survival Guide Mathcad Survival Guide Mathcad er en blanding mellem et tekstbehandlingsprogram (Word), et regneark (Ecel) og en grafisk CAS-lommeregner. Programmet er velegnet til matematikopgaver, fysikrapporter og

Læs mere

Appendiks 6: Universet som en matematisk struktur

Appendiks 6: Universet som en matematisk struktur Appendiks 6: Universet som en matematisk struktur En matematisk struktur er et meget abstrakt dyr, der kan defineres på følgende måde: En mængde, S, af elementer {s 1, s 2,,s n }, mellem hvilke der findes

Læs mere

{ } { } {( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )}

{ } { } {( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )} Stokastisk eksperiment Et stokastisk eksperiment er et eksperiment, hvor vi fornuftigvis ikke på forhånd kan have en formodning om resultatet af eksperimentet. Til gengæld kan vi prøve at sige noget om,

Læs mere

Matematik. Matematikundervisningen tager udgangspunkt i Folkeskolens Fælles Mål

Matematik. Matematikundervisningen tager udgangspunkt i Folkeskolens Fælles Mål Matematik Matematikundervisningen tager udgangspunkt i Folkeskolens Fælles Mål Formålet med undervisningen i matematik er, at eleverne bliver i stand til at forstå og anvende matematik i sammenhænge, der

Læs mere

Matematik. Matematiske kompetencer

Matematik. Matematiske kompetencer Matematiske kompetencer formulere sig skriftligt og mundtligt om matematiske påstande og spørgsmål og have blik for hvilke typer af svar, der kan forventes (tankegangskompetence) løse matematiske problemer

Læs mere

ESLC prøveredskaber: Vejledning for elever (DK)

ESLC prøveredskaber: Vejledning for elever (DK) ESLC prøveredskaber: Vejledning for elever (DK) Indholdsfortegnelse 1 INDLEDNING 3 2 PRØVERNE 3 2.1 Log in 3 2.2 Lydtjek til lytteprøven 5 2.3 Under prøven 5 3 Prøvens opgaver 7 3.1 Lytteopgaver 7 3.2

Læs mere

VisiRegn: En e-bro mellem regning og algebra

VisiRegn: En e-bro mellem regning og algebra Artikel i Matematik nr. 2 marts 2001 VisiRegn: En e-bro mellem regning og algebra Inge B. Larsen Siden midten af 80 erne har vi i INFA-projektet arbejdet med at udvikle regne(arks)programmer til skolens

Læs mere

TAL OG BOGSTAVREGNING

TAL OG BOGSTAVREGNING TAL OG BOGSTAVREGNING De elementære regnerter I mtemtik kn vi regne med tl, men vi kn også regne med bogstver, som gør det hele en smugle mere bstrkt. Først skl vi se lidt på de fire elementære regnerter,

Læs mere

Her følger en række opmærksomhedsfelter i relation til undervisningens form og elevens læring:

Her følger en række opmærksomhedsfelter i relation til undervisningens form og elevens læring: BRØK 1 Vejledning Udvidelsen af talområdet til også at omfatte brøker er en kvalitativt anderledes udvidelse end at lære om stadigt større tal. Det handler ikke længere bare om nye tal af samme type, som

Læs mere

Læseplan for faget matematik. 1. 9. klassetrin

Læseplan for faget matematik. 1. 9. klassetrin Læseplan for faget matematik 1. 9. klassetrin Matematikundervisningen bygger på elevernes mange forudsætninger, som de har med når de starter i skolen. Der bygges videre på elevernes forskellige faglige

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42

t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42 Slide 1/42 Hvad er matematik? 1) Den matematiske metode 2) Hvad vil det sige at bevise noget? 3) Hvor begynder det hele? 4) Hvordan vælger man et sæt aksiomer? Slide 2/42 Indhold 1 2 3 4 Slide 3/42 Mængder

Læs mere

matematikhistorie og dynamisk geometri

matematikhistorie og dynamisk geometri Pythagoras matematikhistorie og dynamisk geometri med TI-Nspire Indholdsfortegnelse Øvelse 1: Hvem var Pythagoras?... 2 Pythagoras læresætning... 2 Geometrisk konstruktion af Pythagoræisk tripel... 3 Øvelse

Læs mere

Kapital- og rentesregning

Kapital- og rentesregning Rentesregning Rettet den 28-12-11 Kapital- og rentesregning Kapital- og rentesregning Navngivning ved rentesregning I eksempler som Niels Oles, hvor man indskyder en kapital i en bank (én gang), og banken

Læs mere

Årsplan for matematik 2012-13

Årsplan for matematik 2012-13 Årsplan for matematik 2012-13 Uge Tema/emne Metode/mål 32 Matematiske arbejdsmåder(metode) 33 Intro 34 Tal + talforståelse 35 Brøker-procent 36 Potens+kvadrat-og kubikrod 37 Emneuge 38 Ligninger-uligheder

Læs mere

Temaopgave i statistik for

Temaopgave i statistik for Temaopgave i statistik for matematik B og A Indhold Opgave 1. Kast med 12 terninger 20 gange i praksis... 3 Opgave 2. Kast med 12 terninger teoretisk... 4 Opgave 3. Kast med 12 terninger 20 gange simulering...

Læs mere

Årsplan for 7. klasse, matematik

Årsplan for 7. klasse, matematik Årsplan for 7. klasse, matematik I matematik bruger vi bogsystemet Sigma som grundmateriale. I systemet er der, ud over grundbogen, også kopiark og tests tilknyttet de enkelte kapitler. Systemet er udarbejdet

Læs mere

Guide til lektielæsning

Guide til lektielæsning Guide til lektielæsning Gefions lærere har udarbejdet denne guide om lektielæsning. Den henvender sig til alle Gefions elever og er relevant for alle fag. Faglig læsning (=lektielæsning) 5- trinsmodellen

Læs mere

Dagens program. Afsnit 1.1-1.3 Eksperimenter med usikkerhed Sandsynlighedsmodel - Udfaldsrum - Hændelser - Sandsynligheder Eksempler

Dagens program. Afsnit 1.1-1.3 Eksperimenter med usikkerhed Sandsynlighedsmodel - Udfaldsrum - Hændelser - Sandsynligheder Eksempler Dagens program Afsnit 1.1-1.3 Eksperimenter med usikkerhed Sandsynlighedsmodel - Udfaldsrum - Hændelser - Sandsynligheder Eksempler 1 Sandsynlighedsmodel Kvantitative Metoder 1 - Efterår 2006 Eksperiment

Læs mere

Eleven kan handle med overblik i sammensatte situationer med matematik. Eleven kan anvende rationale tal og variable i beskrivelser og beregninger

Eleven kan handle med overblik i sammensatte situationer med matematik. Eleven kan anvende rationale tal og variable i beskrivelser og beregninger Kompetenceområde Efter klassetrin Efter 6. klassetrin Efter 9. klassetrin Matematiske kompetencer handle hensigtsmæssigt i situationer med handle med overblik i sammensatte situationer med handle med dømmekraft

Læs mere

Spørgeskemaundersøgelser og databehandling

Spørgeskemaundersøgelser og databehandling DASG. Nye veje i statistik og sandsynlighedsregning. side 1 af 12 Spørgeskemaundersøgelser og databehandling Disse noter er udarbejdet i forbindelse med et tværfagligt samarbejde mellem matematik og samfundsfag

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Maj-juni 2015 Skoleår 2014/2015 Thy-Mors HF & VUC Hfe Matematik,

Læs mere

AMERIKANSK ROULETTE. Information. Mindstealder 18 år Billedlegitimation påkrævet

AMERIKANSK ROULETTE. Information. Mindstealder 18 år Billedlegitimation påkrævet Information AMERIKANSK ROULETTE Amager Boulevard 70, 2300 København S Tlf.: 33 965 965, info@casinos.dk www.casinocopenhagen.dk Claus Bergs Gade 7, 5000 Odense Tlf.: 66 14 78 10, info@casinoodense.dk www.casinoodense.dk

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Ligning med + - / hvor x optræder 1 gang... 3 IT-programmer

Læs mere

Manual til regneark anvendt i bogen. René Vitting 2014

Manual til regneark anvendt i bogen. René Vitting 2014 Manual til regneark anvendt i bogen René Vitting 2014 Introduktion. Dette er en manual til de regneark, som du har downloadet sammen med bogen Ind i Gambling. Manualen beskriver, hvordan hvert regneark

Læs mere

Excel - begynderkursus

Excel - begynderkursus Excel - begynderkursus 1. Skriv dit navn som undertekst på et Excel-ark Det er vigtigt når man arbejder med PC er på skolen at man kan få skrevet sit navn på hver eneste side som undertekst.gå ind under

Læs mere

Excel tutorial om indekstal og samfundsfag 2008

Excel tutorial om indekstal og samfundsfag 2008 Excel tutorial om indekstal og samfundsfag 2008 I denne note skal vi behandle data fra CD-rommen Samfundsstatistik 2008, som indeholder en mængde data, som er relevant i samfundsfag. Vi skal specielt analysere

Læs mere

Sproginddragelse i matematikundervisningen. Eksempel fra Lundergårdskolen i Hjørring Efterår 2013 v/ Frank Overlund og Thomas Hjermitslev

Sproginddragelse i matematikundervisningen. Eksempel fra Lundergårdskolen i Hjørring Efterår 2013 v/ Frank Overlund og Thomas Hjermitslev Sproginddragelse i matematikundervisningen Eksempel fra Lundergårdskolen i Hjørring Efterår 2013 v/ Frank Overlund og Thomas Hjermitslev Mål og fokusområder der skal indgå i planlægning og gennemførelse

Læs mere

Matematik. Trinmål 2. Nordvestskolen 2006 Forord. Trinmål 2 (4. 6. klasse)

Matematik. Trinmål 2. Nordvestskolen 2006 Forord. Trinmål 2 (4. 6. klasse) Matematik Trinmål 2 Nordvestskolen 2006 Forord Forord For at sikre kvaliteten og fagligheden i folkeskolen har Undervisningsministeriet udarbejdet faghæfter til samtlige fag i folkeskolen med bindende

Læs mere

Skriftlig Eksamen Diskret Matematik (DM528)

Skriftlig Eksamen Diskret Matematik (DM528) Skriftlig Eksamen Diskret Matematik (DM528) Institut for Matematik & Datalogi Syddansk Universitet Tirsdag den 20 Januar 2009, kl. 9 13 Alle sædvanlige hjælpemidler (lærebøger, notater etc.) samt brug

Læs mere

Interaktiv Whiteboard og geometri

Interaktiv Whiteboard og geometri Interaktiv Whiteboard og geometri Nærværende dokumentation af et undervisningsforløb til undervisning i geometri er blevet til som et resultat af initiativet Spredningsprojektet. Spredningsprojektet er

Læs mere

Matematik, der afgør spil

Matematik, der afgør spil Artikeltype 47 Matematik, der afgør spil Sandsynlighedsregning vinder ofte. Kombinatorisk spilteori sejrer hver gang Mads Thrane Hvis du er træt af at tabe opvasketjansen i Sten Saks Papir eller Terning,

Læs mere

Fra At lære en håndbog i studiekompetence, Samfundslitteratur 2003. Kapitel 6, s. 75-87.

Fra At lære en håndbog i studiekompetence, Samfundslitteratur 2003. Kapitel 6, s. 75-87. Side 1 af 10 Fra At lære en håndbog i studiekompetence, Samfundslitteratur 2003. Kapitel 6, s. 75-87. At skrive At skrive er en væsentlig del af både din uddannelse og eksamen. Når du har bestået din eksamen,

Læs mere

Undervisningsplan: Matematik Skoleåret 2014/2015 Strib Skole: 5B Ugenumre: Hovedområder: Emner og temaer: Side 1 af 5

Undervisningsplan: Matematik Skoleåret 2014/2015 Strib Skole: 5B Ugenumre: Hovedområder: Emner og temaer: Side 1 af 5 Ugenumre: Hovedområder: Emner og temaer: 33 Addition og subtraktion Anvendelse af regningsarter 34 Multiplikation og division Anvendelse af regningsarter 35 Multiplikation med decimaltal Anvendelse af

Læs mere

Årsplan for 5. klasse, matematik

Årsplan for 5. klasse, matematik Årsplan for 5. klasse, matematik I matematik bruger vi bogsystemet Sigma som grundmateriale. I systemet er der, ud over også kopiark og tests tilknyttet de enkelte kapitler. Systemet er udarbejdet så det

Læs mere

Eksponentielle sammenhænge

Eksponentielle sammenhænge Eksponentielle sammenhænge 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Indholdsfortegnelse Variabel-sammenhænge... 1 1. Hvad er en eksponentiel sammenhæng?... 2 2. Forklaring med ord af eksponentiel vækst... 2, 6

Læs mere

2 Brøker, decimaltal og procent

2 Brøker, decimaltal og procent 2 Brøker, decimaltal og procent Faglige mål Kapitlet Brøker, decimaltal og procent tager udgangspunkt i følgende faglige mål: Brøker: kunne opstille brøker efter størrelse samt finde det antal af en helhed,

Læs mere

Matricer og lineære ligningssystemer

Matricer og lineære ligningssystemer Matricer og lineære ligningssystemer Grete Ridder Ebbesen Virum Gymnasium Indhold 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber 1 Regning med matricer 3 13 Kvadratiske matricer og determinant 9 14 Invers matrix

Læs mere