>> Analyse af et rektangels dimensioner

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download ">> Analyse af et rektangels dimensioner"

Transkript

1 >> Analyse af et rektangels dimensioner Kommensurabilitet Tag et stykke kvadreret papir og klip ud langs stregerne et rektangel så nogenlunde stort og tilfældigt. Nu vil vi finde forholdet mellem længde og bredde. Det er allerede klart, at dette forhold kan skrives som en uforkortelig brøk af typen a/b. Vi har jo ikke valgt et gyldent rektangel for irrationale tal kan ikke tegnes ind på kvadreret papir. Hvordan finder vi det modul, den længdeenhed, der går op i begge sider? Vi bruger hvirvlende kvadrater. A: Vi har en tegne-algoritme, hvor vi indtegner de størst mulige kvadrater. Vi starter fra den ene side, ligesom ved det gyldne rektangel og Martin Gardners figur med de hvirvlende kvadrater. Indtegn det størst mulige kvadrat. Der efterlades et nyt rektangel. Indtegn her det størst mulige kvadrat (nabo til foregående). Gentag foregående operation - indtil hele arealet er brugt. På kvadreret papir går konstruktionen hurtigt op. Skravér det allersidste kvadrat. Dette er så det eftersøgte modul, der går op i både længde og bredde. Tæller vi baglæns finder vi sidelængderne a og b, og disse små hele tal er vort facit. Brøken a/b er uforkortelig, de to sider i rektanglet var kommensurable og oprindeligt havde vi et a:b rektangel. B: En tilsvarende situation opstår hvis vi tilfældigt vælger to store positive tal og spørger: hvad er største fælles divisor? Her har vi den klassiske metode Euklids algoritme, der gammeldags sagt måler det store tal op i termer af det lille, - og fortsætter med dette indtil intet er til rest. - Også den største fælles divisor, d = sfd(m,n), kan opfattes som et modul, der deler de to givne størrelser op. Hvis vi skriver tallene op som en brøk kan der deles med modulet både i tæller og nævner, og vi får en uforkortelig brøk m / n = (d a) / ( d b ) = a / b Tager vi det største tal øverst, så er tælleren størst og brøken er større end én. Lige som tallet phi, men denne gang har vi altså et rationalt tal, skrevet som uforkortelig brøk. C: Præcis det samme kan vi opnå ved at udtrykke m/n som en kædebrøk. Det bliver denne gang en endelig kædebrøk, med først den hele del, så de følgende partial nævnere. De er små, hele tal, f.eks. m / n = [ int( m/n ), p, q, r, s, t ] Processen at finde partial-nævnerne er nem på lommeregneren, men ikke nem at beskrive i ord. Bagefter skal man så opstille et skema a la Wallis og beregne konvergenterne, de approksimerende brøker. Og den sidste af disse er så a/b eller den forkortede udgave af brøken m/n. Det ønskede facit. Side 12.

2 D: Naturligvis kan vi også forkorte brøken ved forsøgsvist at gætte en faktor i tæller og nævner. Opdeling i primfaktorer er en mere systematisk metode, der også fører til en uforkortelig brøk. Ser vi bort fra den sidste metode D så foregik der hver gang præcist det samme. Metoderne Hvirvlende kvadrater Euklids algoritme Kædebrøksudvikling er præcis den samme analyse i forskellig forklædning. Vi afslører hermed at to størrelser har et fælles modul: de er kommensurable. Vi bliver en del overraskede, hvis metoderne ikke fører til et endeligt resultat. Så er størrelserne inkommensurable, og vi får brug for irrationale tal eller andre tricks for at beskrive forholdene. Det var en sådan krise, der ramte pythagoræerne. De troede, at alt var tal - men opdagede så at de kendte tal ikke slog til i geometrien. Penrose fliser og brolægning Tegn et pentagram og klip to spidser af. De kan klistres sammen til Penrose-flisen kaldet dragen. Løber vi rundt i denne flise fra den største vinkel, der er 144 grader, så er sidelængderne én, phi, phi og én. De øvrige tre vinkler er 72 i dragen, og nu kommer pilen, den anden Penrose-flise. Klip pentagrammets spidser fra og tegn på den nye pentagon to korder, fra samme hjørne. Du kan bruge en afklippet spids til at tegne efter, for pentagonens sidelængde er én, mens kordernes længde er phi. Klip to stumpe trekanter ud af pentagonen og sæt dem sammen til pilen (en ikke konveks firkant ). Pilen og dragen kan sættes sammen til en gylden rhombe med de ydre sidelængder phi, og vinklerne 72 og 144. Find halerne! Inde i rhomben støder dragens d-hale ind i pilens p-hale. Nu forbyder vi dette og kopierer figurerne. Så kan de pusles sammen og dække planen, uden at d-hale møder p-hale. Fantastisk! Vi får en smuk ikke-periodisk brolægning. [figur på følgende side]. Side 13.

3 >> Januar 1977-nummeret af det amerikanske tidsskrift Scientific American havde en Penrose-brolægning på forsiden, en smuk ikke-periodisk dækning af planen. Linearkombinationer Tidligere så vi på tallene a og b i det kvadratiske legeme baseret på sqr5. Vi lærte at danne reciprok-værdien af en sådant tal vhja. dets norm og dets koordinater (a1, a2) eller (b1, b2). - I dette afsnit får symbolerne lille a og b endnu en gang en ny betydning, - nu er bogstaverne igen almindelige koefficienter, sml. førstegradsligningen f(x) = a x + b Dog i det følgende afsnit er lille a og b rationale koefficienter i vilkårlige tal af typen s = a phi + b t = c phi + d a, b, c, d fra Q Tallene er de såkaldte linearkombinationer af phi og vores sædvanlige enhed 1 (éen). Disse kombinerede størrelser viser sig at danne et lukket område overfor de sædvanlig fire regningarter. Vi kan lægge sammen og trække fra uden at forlade området, helt elementært ved at regne på de relevante koefficienter. Men vi kan også multiplicere to linearkombinationer og igen få en linearkombination. Eksempel: s t = ( 3 phi + 1) ( 2 phi 3) = vi ganger ind = 6 ( phi + 1) 9 phi + 2 phi 3 =... omskriver phi 2 = phi + 3 og trækker sammen Vi kalder kort tallene s og t for linearkombinationer, underforstået linearkombinationer af henholdsvis vor irratinale og vor rationale enhed. Disse tal danner phi-området og vi noterer Man kan addere to linearkombinatiner Man kan subtrahere to linearkombinationer Man kan multiplicere og Man kan dividere Resultatet giver igen en linearkombination, blot med nye rationale koefficienter. Husk at man ikke kan dividere med nul, dvs. ikke dividere med (a,b) = (0,0), linearkombinatinen nul, skrevet 0 = 0 phi + 0. Division. Brøken t/s vil vi udregne i to skridt, først danner vi s reciprok, derefter ganger vi med t. Som model-eksempel vil vi se på s reciprok, udtrykt ved phi-koefficienterne for s = (a,b). Vedrørende s reciprok Med tallet s = a phi + b og hjælpetallet k = sq(a) + a b + sq(b) fås 1/s = a / k phi + (a+b) / k Det er en højst mærkelig reciprokregel, men den følger af vore regneregler inde i det kvadratiske tallegeme baseret på kvadratrod 5; [ Resultatet udledes ved at regne i K(sqr5), se side 7 ]. Vi kan få brug for reciprokværdierne i opgaver med kvotientrækker. Og ved reducering af udtryk. Side 14.

4 Phi-potenserne - igen Tidligere har vi set på kvotientrækken startende med én, og med kvotienten phi. Leddene var i øvrigt linearkombinationer. Nu beregner vi leddene i den reciprokke række, kvotientrækken startende med én og med kvotienten phi reciprok. Vi bruger formlen for s reciprok hver gang og atter ser vi fibonaccitallene komme i brug. [tallet n, ordenstallet n-te, kan udtales således] Tabel. positive potenser negative potenser (phi) 0 0 phi phi + 1 (phi) 0 (phi) 1 1 phi phi 1 (phi) 1 (phi) 2 1 phi phi + 2 (phi) 2 (phi) 3 2 phi phi 3 (phi) 3 (phi) 4 3 phi phi + 5 (phi) 4 (phi) 5 5 phi phi 8 (phi) 5 (phi) 6 8 phi phi + 13 (phi) 6 (phi) 7 13 phi phi 21 (phi) 7 Alle tallene er positive og kan selvfølgeligt fremkaldes på lommeregneren. Tallene til højre er faktisk både positive og numerisk små. De bliver mindre og mindre, idet talfølgen (phi) n går mod nul oppefra, som vi siger: Følgens første led er 1, alle øvrige led ligger inde i intervallet [ 0; 1 ]. Summerer vi potenserne skal vi addere en uendelig mængde af små tal, som hver for sig er udtrykt ved fibonaccital det kan kun de største ånder gøre. Vi dødelige må udføre additionen på en snildere måde, med en kvotientrækkeformel. Kvotientrækkers sum Når en kvotientrække med positive led aftager, så er kvotienten q mindre end én. Og med kvotienten lille q [ nu et reelt tal inde i intervallet [0;1] ] - så findes der to simple formler for rækkens sum s1 = 1 / ( 1 q ) første led er 1 s2 = p / ( 1 q ) første led er p [et positivt, reelt tal] Vi skal bruge kvotientrækker i forbindelse med figuren på næste side: de hvirvlende kvadrater i det gyldne rektangel. Først udfører vi en beregning på phi-potenserne: Opgave: Et lille eksempel på en kvotient kunne være tallet phi reciprok, altså q = (phi 1). Find summen af 1 plus alle de reciprokke potenser i den foranstående tabel. Rækken kan skrives 1 + q + q 2 + q 3 + q 4 + og har summen = 1 / ( 1 phi 1 ) = 1 / ( 2 phi ) Vi sætter nævneren s = 1 phi + 2 hvor (a,b) = ( 1, 2) og finder s reciprok eller 1/s ved hjælp af hjælpestørrelsen k = sq(a) + a b + sq(b) = = 1 [heldigt] og formlen 1/s = a / k phi + (a+b) / k = +1 phi + 1 = phi + 1 [pænt facit] Fortolkning: Dette tal angiver - sml. figuren næste side - den samlede bredde af alle de hvirvlende kvadrater. Klip dem ud og læg dem på samme grundlinie, side om side. Side 15.

5 Sum af uendelige kvotientrække Det første kvadrat har bredden 1 enhed, det næste er mindre, man skal dividere 1 med phi. Og det næste er endnu mindre, igen skal man dividere med phi. Så summen af grundlinierne er en kvotientrække med første led 1 og kvotienten phi reciprok. [Tegningen viser de hvirvlende kvadrater i det gyldne rektangel før opklipningen. Vi har endnu ikke tegnet kvadraterne lagt i forlængelse af hinanden] Samlet grundlinie for kvadraterne = phi + 1 = 2,1816 Samlet længde af cirkelslagene = pi/2 ( phi + 1 ) = 4,1123 Samlet længde af kvadraternes diagonaler = sqr2 ( phi + 1 ) = 3,7025 Spiralens længde: Hvert kvadrat på denne figur indeholder en kvartcirkel med længden pi/2 gange kvadratets grundlinie. Så summen af alle cirkelslagende er ligesom før summen af en kvotientrække. Første led er pi/2 og kvotienten er som før phi reciprok. Med sumformlen s2 får vi Sammenstykket spirallængde = pi ( phi + 1) / 2 Denne kurve er ikke en logaritmisk spiral; den er i øvrigt heller ikke det, der med et moderne udtryk hedder en desigerkurve, en Beziér-kurve. Den er blot en sammenstykket cirkelslagskurve med en vis længde. Og dermed har vi fundet en eksakt formel, hvor både pi og phi forekommer! Lad os sige, at at kurven starter i hjørnet (0,0) og drejer ind mod forsvindingspunktet fuldstændigt ligesom en logaritmisk spiral ville gøre det. Forsvindingspunktets koordinater? Flere kvotientrækker Lad os se på arealerne af de hvirvlende kvadrater. Tilsammen dækker de det gyldne rektangel med arealet A = højde bredde = 1 phi. Det første kvadrat er enhedskvadratet. Det næste har grundlinien (phi reciprok) og altså arealet phi-i-minus-to-te. Når den lineære dimension af den følgende del skal ganges med en vis faktor, så skal arealet ganges med denne faktor kvadreret. Derfor danner arealerne en kvotientrække med kvotienten q = (phi) 2, som vi omskriver straks til q = 2 phi. Rækkens første led er 1 så vi kan direkte bruge den simple formel Summen s1 = 1 + phi 2 + phi 4 + phi 6 + = 1/( 1 q ) = 1 / ( phi 1 ) Vi vil finde arealsummen efter denne formel, selv om vi allerede har en formodning om dens værdi! Nævneren omskrives ovenfor til s = 1 ( 2 phi ) = phi 1. Nu skal vi danne reciprokværdien af dette tal, der er linearkombination (a,b) = ( 1, 1). Hjælpetallet for dette tal er k = sq(a) + a b + sq(b) = = 1 og den ønskede sum bliver s1 = 1/s = 1/ ( 1) phi + (1 1) / ( 1) = 1 phi + 0 = phi (slet og ret). Side 16.

6 Så summen af de hvirvlende kvadrater i det gyldne rektangel er beregnet til phi, det allerede kendte måltal for hele arealet. Det virker ræsonnabelt, og dermed kontrollerede vi også vor beregning af den reciprokke linearkombination. Kvadraternes diagonaler kan sammensættes til en knækkurve, hvis længde er en passende faktor, sqr2, gange kvadraternes grundlinie. Hvirvlende kvadrater: Kvadraternes arealsum er phi Forsvindingspunktet bliver (xo,yo) = ( (3 phi + 1)/5, ( phi + 3)/5 ) Vi slutter med at se på forsvindingspunktet. Hvad angår xo-koordinaten ser vi på bredden af første kvadrat, plus bredden af 5-te kvadrat, plus bredden af 9-te kvadrat, plus osv. Første led er tallet 1, kvotienten q er phi 4. Så vi skal beregne summen eller tallet 1/s = 1 / (1 phi 4 ). Gys. Gys. Først beregner vi linearkombinationen phi 4 = 3 phi + 5 Derefter beregnes nævneren s = 1 phi 4 = 3 phi 4 = (3, 4). Og dette tal s har hjælpetallet k = sq(a) + a b + sq(b) = = 5 Dermed kan reciprokværdien findes, og summen xo bliver xo = 1/s = 3/( 5) phi + (3 4)/( 5) = 3/5 phi + 1/5 = ( 3 phi + 1) / 5 [facit] Vi fandt dermed første-koordinaten ved at gå ud fra enhedskvadratet. Vedrørende anden-koordinaten kikker vi i det gyldne rektangel på det fjerde kvadrat. Det har højden h = phi 3 = 2 phi 3 og højden fungerer nu som første led i en kvotientrække, der har kvotienten phi 4 ligesom ovenfor. Vi finder altså højden af 4-te kvadrat, plus højden af 8-te, plus 12-te, plus følgende, der markerer op til yo. yo = h + h q + h q 2 + h q 3 + h q 4 + = h / ( 1 q ) = h / s Tallet s reciprok er allerede beregnet ovenfor som xo, så vi finder anden-koordinaten yo = (3 phi + 1) ( 2 phi 3) / 5 = regne, regne = ( 3 phi ) / 5 Tilbageblik. Det har været nogle ret krævende kalkulationer, men for alle fem eksempler har vi kunnet fortolke rækkernes sum på en anskuelig måde. En grundlinie, et areal, en kurvelængde, en x-koordinat, en y-koordinat. For at reducere udtrykkene brugte vi regnereglerne for vort særlige phi-område. For alle linearkombinationer af phi og vore almindelige rationale tal har vi dels en formel for normen eller hjælpetallet lille k, dels en formel for reciprok. Plus eller minus går af sig selv. Multiplikation klarer vi ved almindelig regning med parenteser, hvert led i den ene gange hvert led i den anden. Endelig kan vi altid omskrive sq(phi), phi phi eller kvadratet på phi, til phi plus éen. Tilsvarende kan vi omskrive de højere phi-potenser. Dermed holder beregningerne sig fint inden for området af linearkombinationer. Side 17.

7 Den logaritmiske spiral O Vi har nævnt Coxeters geometribog. Han viser at den relevante logaritmiske spiral kan skrives r = (phi) ^ ( 2 x / pi) = exp( 2 ln( phi ) x / pi ) hvor x i denne ligning er et passende vinkelmål. Lille r er længden af radiusvektor målt ud fra forsvindingspunktet (xo,yo) eller kurvens pol. [vi har omskrevet Coxeters ligning lidt]. Vi indlægger som før det gyldne rektangel i første kvadrant i vort koordinatsystem: fra origo store O(0,0) og til ( phi, 1 ). Retlinede afstande i koordinatsystemet beregnes vhja. formlen Pythagoras. Vi finder afstanden fra origo og ind til polen - eller omvendt - til at være dist = sqr(10) / 5 sqr( phi + 2 ) Længden af spiralen [ begrænset mellem to valgte værdier for radius ] er beregnet i min gamle lærebog Andersen, Bohr og Petersen, Udtrykket er sqr( / sq(b) ) ( r2 r1 ) = sqr( / sq(b) ) dist Konstanten lille b i dette tilfælde er 2 ln( phi ) / pi, medens vi for differensen indsætter dist. Længden af den logaritmiske spiral fra yderste hjørne O og helt ind til forsvindingspunktet bliver da sqr(10) / 5 sqr( phi + 2 ) sqr( 1 + sq( pi / 2 / ln( phi ) ) ) = 4,1070 (afr.) En formel med tre kvadratrødder, med phi og pi samt den naturlige logaritme! Det er lidt af en tasteopgave at beregne dette tal på din lommeregner. Her er afrundet til fire decimaler og enheden er som altid det største kvadrat i det gyldne rektangel. Kontroller beregningen og værdien. Sammenlignet hermed er cirkelslagskurven længere [figur side 16]. Den logaritmiske spiral skærer siderne under en lille vinkel. Den foretager sig ikke så mange svinkeærinder som cirkelslagene, der kun lige berører, tangerer siderne i de hvirvlende rektangler. Og knæk-kurven sammensat af en diameter fra hvert kvadrat er endnu kortere, - den skyder så at sige genvej overalt. Længdetabel Cirkelslagene 4,1123 Den logaritmiske spiral 4,1070 Hvirvlende diametre 3,7025 Vi har uden videre talt om længden af vore kurver: spiralen, cirkelslagskurven og de sammenstykkede diametre. Uanset det fantastiske forhold, at kurverne aldrig kan tegnes færdig, - de spiralerer ind mod grænsepunktet i det uendelige. Antallet af omdrejninger bliver uendeligt. Har vi nu en krise? Side 18.

den store, altså phi = (1+x). Phi er fin og udtales så, som fi!

den store, altså phi = (1+x). Phi er fin og udtales så, som fi! Det gyldne snit består i et liniestykkes deling i 2 dele, af hvilke den største er mellemproportional mellem hele linien og den mindste del. Konstruktionen går tilbage til pythagoræerne. Det hævdes, at

Læs mere

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal.

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal. 1 Tal Tal kan forekomme os nærmest at være selvfølgelige, umiddelbare og naturgivne. Men det er kun, fordi vi har vænnet os til dem. Som det vil fremgå af vores timer, har de mange overraskende egenskaber

Læs mere

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil

Læs mere

Kapitel 2 Tal og variable

Kapitel 2 Tal og variable Tal og variable Uden tal ingen matematik - matematik handler om tal og anvendelse af tal. Matematik beskæftiger sig ikke udelukkende med konkrete problemer fra andre fag, og de konkrete tal fra andre fagområder

Læs mere

Variabel- sammenhænge

Variabel- sammenhænge Variabel- sammenhænge 2008 Karsten Juul Dette hæfte kan bruges som start på undervisningen i variabelsammenhænge for st og hf. Indhold 1. Hvordan viser en tabel sammenhængen mellem to variable?... 1 2.

Læs mere

Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal.

Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal. Tre slags gennemsnit Allan C. Malmberg Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal. For mange skoleelever indgår

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS August 2012 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011 Indholdsfortegnelse Integral regning:... 2 Ubestemt integral:... 2 Integrationsprøven:... 3 1) Integration af potensfunktioner:... 3 2) Integration af sum og Differens:... 3 3) Integration ved Multiplikation

Læs mere

Oprids over grundforløbet i matematik

Oprids over grundforløbet i matematik Oprids over grundforløbet i matematik Dette oprids er tænkt som en meget kort gennemgang af de vigtigste hovedpointer vi har gennemgået i grundforløbet i matematik. Det er en kombination af at repetere

Læs mere

Matematik. Grundforløbet. Mike Auerbach (2) Q 1. y 2. y 1 (1) x 1 x 2

Matematik. Grundforløbet. Mike Auerbach (2) Q 1. y 2. y 1 (1) x 1 x 2 Matematik Grundforløbet (2) y 2 Q 1 a y 1 P b x 1 x 2 (1) Mike Auerbach Matematik: Grundforløbet 1. udgave, 2014 Disse noter er skrevet til matematikundervisning i grundforløbet på stx og kan frit anvendes

Læs mere

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal?

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Det er ret let at svare på: arealet af en trekant, husker vi fra vor kære folkeskole, findes ved at gange

Læs mere

FAGLIG REGNING Pharmakon, farmakonomuddannelsen september 2007

FAGLIG REGNING Pharmakon, farmakonomuddannelsen september 2007 FAGLIG REGNING Pharmakon, farmakonomuddannelsen september 2007 Indholdsfortegnelse Side De fire regningsarter... 3 Flerleddede størrelser... 5 Talbehandling... 8 Forholdsregning... 10 Procentregning...

Læs mere

Symbolbehandlingskompetencen er central gennem arbejdet med hele kapitlet i elevernes arbejde med tal og regneregler.

Symbolbehandlingskompetencen er central gennem arbejdet med hele kapitlet i elevernes arbejde med tal og regneregler. Det første kapitel i grundbogen til Kolorit i 8. klasse handler om tal og regning. Kapitlet indledes med, at vores titalssystem som positionssystem sættes i en historisk sammenhæng. Gennem arbejdet med

Læs mere

Uge Emne Formål Faglige mål Evaluering

Uge Emne Formål Faglige mål Evaluering Uge Emne Formål Faglige mål Evaluering (Der evalueres løbende på følgende hovedpunkter) 33-36 Regneregler Vedligeholde og udbygge forståelse og færdigheder inden for de fire regningsarter Blive fortrolig

Læs mere

Komplekse tal. Jan Scholtyßek 29.04.2009

Komplekse tal. Jan Scholtyßek 29.04.2009 Komplekse tal Jan Scholtyßek 29.04.2009 1 Grundlag Underlige begreber er det, der opstår i matematikken. Blandt andet komplekse tal. Hvad for fanden er det? Lyder...komplekst. Men bare roligt. Så komplekst

Læs mere

areal og rumfang trin 1 brikkerne til regning & matematik preben bernitt

areal og rumfang trin 1 brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik areal og rumfang trin 1 preben bernitt brikkerne til regning & matematik areal og rumfang, trin 1 ISBN: 978-87-92488-17-6 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk

Læs mere

Matematik. Trinmål 2. Nordvestskolen 2006 Forord. Trinmål 2 (4. 6. klasse)

Matematik. Trinmål 2. Nordvestskolen 2006 Forord. Trinmål 2 (4. 6. klasse) Matematik Trinmål 2 Nordvestskolen 2006 Forord Forord For at sikre kvaliteten og fagligheden i folkeskolen har Undervisningsministeriet udarbejdet faghæfter til samtlige fag i folkeskolen med bindende

Læs mere

SCT. KNUDS GYMNASIUM KOMPLEKSE TAL. Henrik S. Hansen, version 1.5

SCT. KNUDS GYMNASIUM KOMPLEKSE TAL. Henrik S. Hansen, version 1.5 SCT. KNUDS GYMNASIUM KOMPLEKSE TAL Henrik S. Hansen, version 1.5 Indhold Tallenes udvikling... 2 De naturlige tal... 2 De hele tal... 2 De rationale tal... 3 De reelle tal... 3 De komplekse tal... 4 Indledning...

Læs mere

Differential- regning

Differential- regning Differential- regning del () f () m l () 6 Karsten Juul Indhold Tretrinsreglen 59 Formler for differentialkvotienter64 Regneregler for differentialkvotienter67 Differentialkvotient af sammensat funktion7

Læs mere

Oversigt over undervisningen i matematik 1y 07/08

Oversigt over undervisningen i matematik 1y 07/08 Oversigt over undervisningen i matematik 1y 07/08 side1 Der undervises efter: MatC Nielsen & Fogh: Vejen til Matematik C ( Forlaget HAX) EKS Knud Nissen : TI-82 stat introduktion og eksempler Ovenstående

Læs mere

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring mat.dk Differentialregning Dennis Pipenbring 0. december 00 Indold Differentialregning 3. Grænseværdi............................. 3. Kontinuitet.............................. 8 Differentialkvotienten

Læs mere

brikkerne til regning & matematik tal og algebra preben bernitt

brikkerne til regning & matematik tal og algebra preben bernitt brikkerne til regning & matematik tal og algebra 2+ preben bernitt brikkerne. Tal og algebra 2+ 1. udgave som E-bog ISBN: 978-87-92488-35-0 2008 by bernitt-matematik.dk Kopiering af denne bog er kun tilladt

Læs mere

Den lille hjælper. Positionssystem...3. Positive tal...3. Negative tal...3. Hele tal...3. Potenstal...3. Kvadrattal...3

Den lille hjælper. Positionssystem...3. Positive tal...3. Negative tal...3. Hele tal...3. Potenstal...3. Kvadrattal...3 Den lille hjælper Positionssystem...3 Positive tal...3 Negative tal...3 Hele tal...3 Potenstal...3 Kvadrattal...3 Parentes...4 Parentesregler...4 Primtal...4 Addition (lægge sammen) også med decimaltal...4

Læs mere

Bogstavregning. En indledning for stx og hf. 2008 Karsten Juul

Bogstavregning. En indledning for stx og hf. 2008 Karsten Juul Bogstavregning En indledning for stx og hf 2008 Karsten Juul Dette hæfte træner elever i den mest grundlæggende bogstavregning (som omtrent springes over i lærebøger for stx og hf). Når elever har lært

Læs mere

5. KLASSE UNDERVISNINGSPLAN MATEMATIK

5. KLASSE UNDERVISNINGSPLAN MATEMATIK Lærer: SS Forord til faget i klassen Vi vil i matematik arbejde differentieret i hovedemnerne geometri, statistik og sandsynlighed samt tal og algebra. Vi vil i 5. kl. dagligt arbejde med matematisk kommunikation

Læs mere

Eleven kan handle med overblik i sammensatte situationer med matematik. Eleven kan anvende rationale tal og variable i beskrivelser og beregninger

Eleven kan handle med overblik i sammensatte situationer med matematik. Eleven kan anvende rationale tal og variable i beskrivelser og beregninger Kompetenceområde Efter klassetrin Efter 6. klassetrin Efter 9. klassetrin Matematiske kompetencer handle hensigtsmæssigt i situationer med handle med overblik i sammensatte situationer med handle med dømmekraft

Læs mere

tråd i matematik Hørsholm Skole har lavet den røde tråd for undervisningen i matematik fra 1.-9. klasse 1. klasse 2. klasse 3.

tråd i matematik Hørsholm Skole har lavet den røde tråd for undervisningen i matematik fra 1.-9. klasse 1. klasse 2. klasse 3. Den tråd i matematik Hørsholm Skole har lavet den røde tråd for undervisningen i matematik fra 1.-9. klasse 1. klasse 2. klasse 3. klasse 4. klasse 5. klasse 6. klasse 7. klasse 8. klasse 9. klasse 1.klasse

Læs mere

geometri trin 1 brikkerne til regning & matematik preben bernitt

geometri trin 1 brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri trin 1 preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri, trin 1 ISBN: 978-87-92488-15-2 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk Kopiering er

Læs mere

Mini-formelsamling. Matematik 1

Mini-formelsamling. Matematik 1 Indholdsfortegnelse 1 Diverse nyttige regneregler... 1 1.1 Regneregler for brøker... 1 1.2 Potensregneregler... 1 1.3 Kvadratsætninger... 2 1.4 (Nogle) Rod-regneregler... 2 1.5 Den naturlige logaritme...

Læs mere

ÅRSPLAN MATEMATIK 5.KLASSE

ÅRSPLAN MATEMATIK 5.KLASSE ÅRSPLAN MATEMATIK 5.KLASSE Matematiklærerens tænkebobler illustrerer, at matematikundervisning ikke udelukkende handler om opgaver, men om en (lige!) blanding af: Kompetencer Indhold Arbejdsmåder CENTRALE

Læs mere

T ALKUNNEN. Tilnærmede tal og computertal

T ALKUNNEN. Tilnærmede tal og computertal T ALKUNNEN 6 Allan C Allan C.. Malmberg Tilnærmede tal og computertal INFA Matematik - 2000 1 INFA - IT i skolens matematik Projektledelse: Allan C. Malmberg Inge B. Larsen INFA-Klubben: Leif Glud Holm

Læs mere

Matematik - undervisningsplan

Matematik - undervisningsplan I 4. klasse starter man på andet forløb i matematik, der skal lede frem mod at eleverne kan opfylde fagets trinmål efter 6. klasse. Det er dermed det som undervisningen tilrettelægges ud fra og målsættes

Læs mere

Kædebrøker. b 0 f.eks. 3 b 0 + a 1. f.eks. 3 + 1 b 1 7. a 1. b 1 + a f.eks. 3 + 1 7 + 1. f.eks. 3 + b 1 + a 2 7 + Notation: a 2 b 2 + an.

Kædebrøker. b 0 f.eks. 3 b 0 + a 1. f.eks. 3 + 1 b 1 7. a 1. b 1 + a f.eks. 3 + 1 7 + 1. f.eks. 3 + b 1 + a 2 7 + Notation: a 2 b 2 + an. Kædebrøker Naturvidenskabsfestivalen 2006 foredrag på Herning htx, 26. september Flemming Topsøe Institut for Matematiske Fag, Københavns Universitet b 0 f.eks. 3 b 0 + a 1 f.eks. 3

Læs mere

Lille Georgs julekalender 07. 1. december. Hvor mange løbere kan der opstilles på et skakbræt uden at de truer hinanden?

Lille Georgs julekalender 07. 1. december. Hvor mange løbere kan der opstilles på et skakbræt uden at de truer hinanden? 1. december Hvor mange løbere kan der opstilles på et skakbræt uden at de truer hinanden? Svar: 14 Forklaring: Der kan godt stå 14, f.eks. sådan: Men kunne der stå flere hvis man stillede dem endnu snedigere

Læs mere

FlexMatematik B. Introduktion

FlexMatematik B. Introduktion Introduktion TI-89 er fra start indstillet til at åbne skrivebordet med de forskellige applikationer, når man taster. Almindelige regneoperationer foregår på hovedskærmen som fås ved at vælge applikationen

Læs mere

APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE

APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE z x y z=exp( x^2 0.5y^2) CAS er en fællesbetegnelse for matematikprogrammer, som foruden numeriske beregninger også kan regne med symboler og formler. Det betyder: Computer

Læs mere

Grundlæggende matematik

Grundlæggende matematik Grundlæggende matematik Noterne vil indeholde gennemgang af grundlæggende regneregler og regneoperationer afledt af disse. Dette er (vil mange påstå) det vigtigste at mestre for at kunne begå sig i (samt

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Ligning med + - / hvor x optræder 1 gang... 3 IT-programmer

Læs mere

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 1. Basis

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 1. Basis Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau af Kenneth Hansen 1. Basis Jorden elektron Hvor mange elektroner svarer Jordens masse til? 1. Basis 1.0 Indledning 1.1 Tal 1. Brøker 1. Reduktioner 11

Læs mere

Løsningsforslag til Tal, algebra og funktioner 1.-6. klasse

Løsningsforslag til Tal, algebra og funktioner 1.-6. klasse 1 Løsningsforslag til Tal, algebra og funktioner 1.-6. klasse Bemærk, at vi benytter betegnelsen øvelser som en meget bred betegnelse. Derfor er der også nogle af vores øvelser, der nærmer sig kategorien

Læs mere

Tal og algebra. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber: algebra variable. Huskeliste: Tændstikker (til side 146) FRA FAGHÆFTET

Tal og algebra. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber: algebra variable. Huskeliste: Tændstikker (til side 146) FRA FAGHÆFTET I kapitlet skal eleverne arbejde med fire forskellige vinkler på algebra de præsenteres på kapitlets første mundtlige opslag. De fire vinkler er algebra som et redskab til at løse matematiske problemer.

Læs mere

matx.dk Enkle modeller

matx.dk Enkle modeller matx.dk Enkle modeller Dennis Pipenbring 28. juni 2011 Indhold 1 Indledning 4 2 Funktionsbegrebet 4 3 Lineære funktioner 8 3.1 Bestemmelse af funktionsværdien................. 9 3.2 Grafen for en lineær

Læs mere

Affine - et krypteringssystem

Affine - et krypteringssystem Affine - et krypteringssystem Matematik, når det er bedst Det Affine Krypteringssystem (Affine Cipher) Det Affine Krypteringssystem er en symmetrisk monoalfabetisk substitutionskode, der er baseret på

Læs mere

Hovedemne 1: Talsystemet og at gange Læringsmål Nedbrudte læringsmål Forslag til tegn på læring

Hovedemne 1: Talsystemet og at gange Læringsmål Nedbrudte læringsmål Forslag til tegn på læring Hovedemne 1: Talsystemet og at gange kan anvende flercifrede naturlige tal til at beskrive antal og rækkefølge udvikle metoder til multiplikation og division med naturlige tal udføre beregninger med de

Læs mere

Matricer og lineære ligningssystemer

Matricer og lineære ligningssystemer Matricer og lineære ligningssystemer Grete Ridder Ebbesen Virum Gymnasium Indhold 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber 1 Regning med matricer 3 13 Kvadratiske matricer og determinant 9 14 Invers matrix

Læs mere

Årsplan matematik 4.klasse - skoleår 11/12- Ida Skov Andersen Med ret til ændringer og justeringer

Årsplan matematik 4.klasse - skoleår 11/12- Ida Skov Andersen Med ret til ændringer og justeringer Basis: Klassen består af 22 elever og der er afsat 4 ugentlige timer. Grundbog: Vi vil arbejde ud fra Matematrix 4, arbejds- og grundbog, kopisider, Rema, ekstraopgaver og ugentlige afleveringsopgaver

Læs mere

Foreløbig udgave af læringsmål til: Kapitel 1 Regn med store tal Fælles Mål Læringsmål Forslag til tegn på læring

Foreløbig udgave af læringsmål til: Kapitel 1 Regn med store tal Fælles Mål Læringsmål Forslag til tegn på læring Foreløbig udgave af læringsmål til: Kapitel 1 Regn med store tal Fælles Mål Læringsmål Forslag til tegn på læring udføre beregninger med de fire regningsarter inden for naturlige tal, herunder beregninger

Læs mere

Eksponentielle sammenhænge

Eksponentielle sammenhænge Eksponentielle sammenhænge 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Indholdsfortegnelse Variabel-sammenhænge... 1 1. Hvad er en eksponentiel sammenhæng?... 2 2. Forklaring med ord af eksponentiel vækst... 2, 6

Læs mere

geometri trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt

geometri trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri trin 2 preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri, trin 2 ISBN: 978-87-92488-16-9 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk Kopiering er

Læs mere

En forståelsesramme for de reelle tal med kompositioner.

En forståelsesramme for de reelle tal med kompositioner. 1 En forståelsesramme for de reelle tal med kompositioner. af Ulrich Christiansen, sem.lekt. KDAS. Den traditionelle tallinjemodel, hvor tallene svarer til punkter langs tallinjen, dækker fornuftigt (R,

Læs mere

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Geometri

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Geometri Tip til. runde af - Geometri, Kirsten Rosenkilde. Tip til. runde af Geometri Her er nogle centrale principper om og strategier for hvordan man løser geometriopgaver. et er ikke en særlig teoretisk indføring,

Læs mere

Matematik for C niveau

Matematik for C niveau Matematik for C niveau M. Schmidt 2012 1 Indholdsfortegnelse 1. Tal og bogstavregning... 5 De elementære regnings arter og deres rækkefølge... 5 Brøker... 9 Regning med bogstavudtryk... 12 Talsystemet...

Læs mere

Arealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig

Arealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig Arealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig som også findes i en trigonometrisk variant, den såkaldte 'appelsin'-formel: Men da en trekants form

Læs mere

Fibonacci følgen og Det gyldne snit

Fibonacci følgen og Det gyldne snit Fibonacci følgen og Det gyldne snit af John V. Petersen Indhold Fibonacci... 2 Fibonacci følgen og Binets formel... 3... 4... 6... 6 Bevis for Binets formel... 7 Binets formel fortæller os, at...... 9...

Læs mere

Talteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, august 2013, Kirsten Rosenkilde.

Talteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, august 2013, Kirsten Rosenkilde. Indhold 1 Delelighed, primtal og primfaktoropløsning Omskrivning vha. kvadratsætninger 4 3 Antal divisorer 6 4 Største fælles divisor og Euklids algoritme 7 5 Restklasser 9 6 Restklasseregning og kvadratiske

Læs mere

Algebra. Dennis Pipenbring, 10. februar 2012. matx.dk

Algebra. Dennis Pipenbring, 10. februar 2012. matx.dk matx.dk Algebra Dennis Pipenbring, 10. februar 2012 nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering Indhold 1 Forord 4 2 Indledning 5 3 De grundlæggende

Læs mere

formler og ligninger basis brikkerne til regning & matematik preben bernitt

formler og ligninger basis brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik formler og ligninger basis preben bernitt brikkerne til regning & matematik formler og ligninger, basis ISBN: 978-87-92488-07-7 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk

Læs mere

Udforskningsopgaver. Hvor lang kan stangen højst blive, hvis den består af 4 metalstænger?

Udforskningsopgaver. Hvor lang kan stangen højst blive, hvis den består af 4 metalstænger? r 2015 Videre arbejde med opgaverne Udforskning af opgaverne Disse opgaver bygger videre på udvalgte opgaver fra Kænguruen og lægger op til, at klassen sammen kan diskutere og udforske opgaverne. Opgavenumrene

Læs mere

og til summer af stambrøker. Bemærk: De enkelte brøker kan opskrives på flere måder som summer af stambrøker.

og til summer af stambrøker. Bemærk: De enkelte brøker kan opskrives på flere måder som summer af stambrøker. Hvad er en brøk? Når vi taler om brøker i dette projekt, mener vi tal på formen a, hvor a og b er hele tal (og b b 0 ), fx 2,, 3 og 3 7 13 1. Øvelse 1 Hvordan vil du forklare, hvad 7 er? Brøker har været

Læs mere

Eksperimenter med areal og rumfang. Aktivitet Emne Klassetrin Side

Eksperimenter med areal og rumfang. Aktivitet Emne Klassetrin Side VisiRegn ideer 5 Eksperimenter med areal og rumfang Inge B. Larsen ibl@dpu.dk INFA juli 2001 Indhold: Aktivitet Emne Klassetrin Side Vejledning til Areal og Rumfang 2 Red burhønsene. Vejledn. 3-7 Største

Læs mere

Ideer til matematik-aktiviteter i yngstetrinet

Ideer til matematik-aktiviteter i yngstetrinet Ideer til matematik-aktiviteter i yngstetrinet Følgende ideer er ment som praktiske og konkrete ting, man kan bruge i matematik-undervisningen i de yngste klasser. Nogle af aktiviteterne kan bruges til

Læs mere

En uægte brøk er en brøk der stadig kan forkortes ned til et blandet tal og som er større end 1. 17 Eksempel: Uægte brøk: 12

En uægte brøk er en brøk der stadig kan forkortes ned til et blandet tal og som er større end 1. 17 Eksempel: Uægte brøk: 12 7.,. og 9. klasse Regler for brøker Ægte og uægte brøker En ægte brøk er en brøk mellem 0 og. Ægte brøk Ægte brøk til mindste forkortelse (reduktion) 9 En uægte brøk er en brøk der stadig kan forkortes

Læs mere

Storcirkelsejlads. Nogle definitioner. Sejlads langs breddeparallel

Storcirkelsejlads. Nogle definitioner. Sejlads langs breddeparallel Storcirkelsejlads Denne note er et udvidet tillæg til kapitlet om sfærisk geometri i TRIPs atematik højniveau 1, ved Erik Vestergaard. Nogle definitioner I dette afsnit skal vi se på forskellige aspekter

Læs mere

brikkerne til regning & matematik geometri F+E+D preben bernitt

brikkerne til regning & matematik geometri F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri, F+E+D ISBN: 978-87-92488-16-9 1. Udgave som E-bog 2010 by bernitt-matematik.dk Kopiering er kun

Læs mere

JENS CARSTENSEN JESPER FRANDSEN JENS STUDSGAARD MAT A1

JENS CARSTENSEN JESPER FRANDSEN JENS STUDSGAARD MAT A1 JENS CARSTENSEN JESPER FRANDSEN JENS STUDSGAARD MAT A1 stx MAT A1 stx 005-007 Jens Carstensen, Jesper Frandsen, Jens Studsgaard og Systime A/S Kopiering fra denne bog må kun finde sted i overensstemmelse

Læs mere

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Kompendium i faget Matematik Tømrerafdelingen 2. Hovedforløb. Y Y = ax 2 + bx + c (x,y) X Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Indholdsfortegnelse for H2: Undervisningens indhold...

Læs mere

Kom godt i gang. Sluttrin

Kom godt i gang. Sluttrin Kom godt i gang Sluttrin Kom godt i gang Sluttrin Forfatter Karsten Enggaard Redaktion Gert B. Nielsen, Lars Høj, Jørgen Uhl og Karsten Enggaard Fagredaktion Carl Anker Damsgaard, Finn Egede Rasmussen,

Læs mere

Oversigt over undervisningen i matematik - 1x 04/05

Oversigt over undervisningen i matematik - 1x 04/05 Oversigt over undervisningen i matematik - 1x 04/05 side1 Der undervises efter: TGF Claus Jessen, Peter Møller og Flemming Mørk : Tal, Geometri og funktioner. Gyldendal 1997 EKS Knud Nissen : TI-84 familien

Læs mere

En lille vejledning til lærere og elever i at bruge matematikprogrammet WordMat (begynderniveau)

En lille vejledning til lærere og elever i at bruge matematikprogrammet WordMat (begynderniveau) Matematik i WordMat En lille vejledning til lærere og elever i at bruge matematikprogrammet WordMat (begynderniveau) Indholdsfortegnelse 1. Introduktion... 3 2. Beregning... 4 3. Beregning med brøker...

Læs mere

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk 3 Lineære funktioner En vigtig type funktioner at studere er de såkaldte lineære funktioner. Vi skal udlede en række egenskaber

Læs mere

Den lille hjælper. Krogårdskolen. Hvordan løses matematik? Indskoling 0. 3. klasse, mellemtrin 4. 6. klasse og udskoling 7. 9.

Den lille hjælper. Krogårdskolen. Hvordan løses matematik? Indskoling 0. 3. klasse, mellemtrin 4. 6. klasse og udskoling 7. 9. Den lille hjælper Krogårdskolen Indskoling 0. 3. klasse, mellemtrin 4. 6. klasse og udskoling 7. 9. klasse Hvordan løses matematik? Positionssystem... 4 Positive tal... 4 Negative tal... 4 Hele tal...

Læs mere

Tal og algebra. I hvilke situationer kan det være motiverende at gengive et talmønster som et geometrisk mønster?

Tal og algebra. I hvilke situationer kan det være motiverende at gengive et talmønster som et geometrisk mønster? Oplæg I hvilke situationer kan det være motiverende at gengive et talmønster som et geometrisk mønster? Hvordan ser I mulighederne i at stimulere elevernes tænkning og udvikle deres arbejdsmåde, når de

Læs mere

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller Matematiske vækstmodeller I matematik undersøger man ofte variables afhængighed af hinanden. Her ser man, at samme type af sammenhænge tit forekommer inden for en lang række forskellige områder. I kapitel

Læs mere

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje.

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje. Maple Dette kapitel giver en kort introduktion til hvordan Maple 12 kan benyttes til at løse mange af de opgaver, som man bliver mødt med i matematiktimerne på HHX. Skærmbilledet Vi starter med at se lidt

Læs mere

-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1

-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1 En funktion beskriver en sammenhæng mellem elementer fra to mængder - en definitionsmængde = Dm(f) består af -værdier og en værdimængde = Vm(f) består af -værdier. Til hvert element i Dm(f) knttes netop

Læs mere

Introduktion til EXCEL med øvelser

Introduktion til EXCEL med øvelser Side 1 af 10 Introduktion til EXCEL med øvelser Du kender en almindelig regnemaskine, som kan være til stort hjælp, når man skal beregne resultater med store tal. Et regneark er en anden form for regnemaskine,

Læs mere

Ren versus ligesvævende stemning

Ren versus ligesvævende stemning Ren versus ligesvævende 1. Toner, frekvenser, overtoner og intervaller En oktav består af 12 halvtoner. Til hver tone er knyttet en frekvens. Kammertonen A4 defineres f.eks. til at have frekvensen 440

Læs mere

Mondiso matematik for 1. til 3. klasse

Mondiso matematik for 1. til 3. klasse Mondiso matematik for 1. til 3. klasse Programmet henvender sig til elever i indskoling. Det kan også benyttes af børn på højere klassetrin, som har behov for at få genopfrisket det grundlæggende i matematikken.

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni 200/2010 Institution Herning HF og VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hf Matematik C, HF Johnny

Læs mere

3. klasse 6. klasse 9. klasse

3. klasse 6. klasse 9. klasse Børne- og Undervisningsudvalget 2012-13 BUU Alm.del Bilag 326 Offentligt Elevplan 3. klasse 6. klasse 9. klasse Matematiske kompetencer Status tal og algebra sikker i, er usikker i de naturlige tals opbygning

Læs mere

VEUD ekstraopgave Opgave nr. 62-11

VEUD ekstraopgave Opgave nr. 62-11 Opgavens art: Opgaveformulering: Fagområde: Opgavens varighed: Teoretisk Gennemgang af lommeregner Sprøjtestøbning 4 lektioner Niveau, sammenlignet med uddannelsen: Henvisning til hjælpemidler: Grunduddannelse

Læs mere

Graph brugermanual til matematik C

Graph brugermanual til matematik C Graph brugermanual til matematik C Forord Efterfølgende er en guide til programmet GRAPH. Programmet kan downloades gratis fra nettet og gemmes på computeren/et usb-stik. Det betyder, det også kan anvendes

Læs mere

Emne Tema Materiale r - - - - - aktiviteter

Emne Tema Materiale r - - - - - aktiviteter Fag: Matematik Hold: 24 Lærer: TON Undervisningsmål Læringsmål 9 klasse 32-34 Introforløb: række tests, som viser eleverne faglighed og læringsstil. Faglige aktiviteter Emne Tema Materiale r IT-inddragelse

Læs mere

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering:

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: LINEÆR PROGRAMMERING I lineær programmering løser man problemer hvor man for en bestemt funktion ønsker at finde enten en maksimering eller en minimering

Læs mere

LÆRINGSMÅL PÅ NIF MATEMATIK 2014-15

LÆRINGSMÅL PÅ NIF MATEMATIK 2014-15 LÆRINGSMÅL PÅ NIF MATEMATIK 2014-15 Mål for undervisningen i Matematik på NIF Følgende er baseret på de grønlandske læringsmål, tilføjelser fra de danske læringsmål står med rød skrift. Læringsmål Yngstetrin

Læs mere

Matematik for stx C-niveau

Matematik for stx C-niveau Thomas Jensen og Morten Overgård Nielsen Matematik for stx C-niveau Frydenlund Nu 2. reviderede, udvidede og ajourførte udgave Nu 2. reviderede, udvidede og ajourførte udgave Matema10k Matematik for stx

Læs mere

Undervisningsplan: Matematik Skoleåret 2014/2015 Strib Skole: 5B Ugenumre: Hovedområder: Emner og temaer: Side 1 af 5

Undervisningsplan: Matematik Skoleåret 2014/2015 Strib Skole: 5B Ugenumre: Hovedområder: Emner og temaer: Side 1 af 5 Ugenumre: Hovedområder: Emner og temaer: 33 Addition og subtraktion Anvendelse af regningsarter 34 Multiplikation og division Anvendelse af regningsarter 35 Multiplikation med decimaltal Anvendelse af

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2012 Uddannelsescenter

Læs mere

formler og ligninger trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt

formler og ligninger trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik formler og ligninger trin 2 preben bernitt brikkerne til regning & matematik formler og ligninger, trin 2 ISBN: 978-87-92488-09-1 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk

Læs mere

Grundliggende regning og talforståelse

Grundliggende regning og talforståelse Grundliggende regning og talforståelse De fire regnearter: Plus, minus, gange og division... 2 10-tals-systemet... 4 Afrunding af tal... 5 Regning med papir og blyant... 6 Store tal... 8 Negative tal...

Læs mere

Et CAS program til Word.

Et CAS program til Word. Et CAS program til Word. 1 WordMat WordMat er et CAS-program (computer algebra system) som man kan downloade gratis fra hjemmesiden www.eduap.com/wordmat/. Programmet fungerer kun i Word 2007 og 2010.

Læs mere

Invarianter. 1 Paritet. Indhold

Invarianter. 1 Paritet. Indhold Invarianter En invariant er en størrelse der ikke ændrer sig, selv om situationen ændrer sig. I nogle kombinatorikopgaver hvor man skal undersøge hvilke situationer der er mulige, er det ofte en god idé

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2011 Uddannelsescenter

Læs mere

Geometriske konstruktioner: Ovaler og det gyldne snit

Geometriske konstruktioner: Ovaler og det gyldne snit Matematik Geometriske konstruktioner: Ovaler og det gyldne snit Ole Witt-Hansen, Køge Gymnasium Ovaler og det gyldne snit har fundet anvendelse i arkitektur og udsmykning siden oldtiden. Men hvordan konstruerer

Læs mere

matematik grundbog trin 1 preben bernitt grundbog trin 1 2004 by bernitt-matematik.dk 1

matematik grundbog trin 1 preben bernitt grundbog trin 1 2004 by bernitt-matematik.dk 1 33 matematik grundbog trin 1 preben bernitt grundbog trin 1 2004 by bernitt-matematik.dk 1 matematik grundbog trin 1 ISBN: 978-87-92488-28-2 1. udgave som E-bog 2006 by bernitt-matematik.dk Kopiering af

Læs mere

Kom godt i gang. Mellemtrin

Kom godt i gang. Mellemtrin Kom godt i gang Mellemtrin Kom godt i gang Mellemtrin Forfatter Karsten Enggaard Redaktion Gert B. Nielsen, Lars Høj, Jørgen Uhl og Karsten Enggaard Fagredaktion Carl Anker Damsgaard, Finn Egede Rasmussen,

Læs mere

Introduktion til Calc Open Office med øvelser

Introduktion til Calc Open Office med øvelser Side 1 af 8 Introduktion til Calc Open Office med øvelser Introduktion til Calc Open Office... 2 Indtastning i celler... 2 Formler... 3 Decimaler... 4 Skrifttype... 5 Skrifteffekter... 6 Justering... 6

Læs mere

Opgave 1 Regning med rest

Opgave 1 Regning med rest Den digitale signatur - anvendt talteori og kryptologi Opgave 1 Regning med rest Den positive rest, man får, når et helt tal a divideres med et naturligt tal n, betegnes rest(a,n ) Hvis r = rest(a,n) kan

Læs mere

Excel - begynderkursus

Excel - begynderkursus Excel - begynderkursus 1. Skriv dit navn som undertekst på et Excel-ark Det er vigtigt når man arbejder med PC er på skolen at man kan få skrevet sit navn på hver eneste side som undertekst.gå ind under

Læs mere

Lærervejledning til Træn matematik på computer. Lærervejledning. Træn matematik på computer. ISBN 978-87-992954-5-6 www.learnhow.dk v/rikke Josiasen

Lærervejledning til Træn matematik på computer. Lærervejledning. Træn matematik på computer. ISBN 978-87-992954-5-6 www.learnhow.dk v/rikke Josiasen Lærervejledning Træn matematik på computer Materialet består af 31 selvrettende emner til brug i matematikundervisningen i overbygningen. De fleste emner består af 3 sider med stigende sværhedsgrad. I

Læs mere