>> Analyse af et rektangels dimensioner

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download ">> Analyse af et rektangels dimensioner"

Transkript

1 >> Analyse af et rektangels dimensioner Kommensurabilitet Tag et stykke kvadreret papir og klip ud langs stregerne et rektangel så nogenlunde stort og tilfældigt. Nu vil vi finde forholdet mellem længde og bredde. Det er allerede klart, at dette forhold kan skrives som en uforkortelig brøk af typen a/b. Vi har jo ikke valgt et gyldent rektangel for irrationale tal kan ikke tegnes ind på kvadreret papir. Hvordan finder vi det modul, den længdeenhed, der går op i begge sider? Vi bruger hvirvlende kvadrater. A: Vi har en tegne-algoritme, hvor vi indtegner de størst mulige kvadrater. Vi starter fra den ene side, ligesom ved det gyldne rektangel og Martin Gardners figur med de hvirvlende kvadrater. Indtegn det størst mulige kvadrat. Der efterlades et nyt rektangel. Indtegn her det størst mulige kvadrat (nabo til foregående). Gentag foregående operation - indtil hele arealet er brugt. På kvadreret papir går konstruktionen hurtigt op. Skravér det allersidste kvadrat. Dette er så det eftersøgte modul, der går op i både længde og bredde. Tæller vi baglæns finder vi sidelængderne a og b, og disse små hele tal er vort facit. Brøken a/b er uforkortelig, de to sider i rektanglet var kommensurable og oprindeligt havde vi et a:b rektangel. B: En tilsvarende situation opstår hvis vi tilfældigt vælger to store positive tal og spørger: hvad er største fælles divisor? Her har vi den klassiske metode Euklids algoritme, der gammeldags sagt måler det store tal op i termer af det lille, - og fortsætter med dette indtil intet er til rest. - Også den største fælles divisor, d = sfd(m,n), kan opfattes som et modul, der deler de to givne størrelser op. Hvis vi skriver tallene op som en brøk kan der deles med modulet både i tæller og nævner, og vi får en uforkortelig brøk m / n = (d a) / ( d b ) = a / b Tager vi det største tal øverst, så er tælleren størst og brøken er større end én. Lige som tallet phi, men denne gang har vi altså et rationalt tal, skrevet som uforkortelig brøk. C: Præcis det samme kan vi opnå ved at udtrykke m/n som en kædebrøk. Det bliver denne gang en endelig kædebrøk, med først den hele del, så de følgende partial nævnere. De er små, hele tal, f.eks. m / n = [ int( m/n ), p, q, r, s, t ] Processen at finde partial-nævnerne er nem på lommeregneren, men ikke nem at beskrive i ord. Bagefter skal man så opstille et skema a la Wallis og beregne konvergenterne, de approksimerende brøker. Og den sidste af disse er så a/b eller den forkortede udgave af brøken m/n. Det ønskede facit. Side 12.

2 D: Naturligvis kan vi også forkorte brøken ved forsøgsvist at gætte en faktor i tæller og nævner. Opdeling i primfaktorer er en mere systematisk metode, der også fører til en uforkortelig brøk. Ser vi bort fra den sidste metode D så foregik der hver gang præcist det samme. Metoderne Hvirvlende kvadrater Euklids algoritme Kædebrøksudvikling er præcis den samme analyse i forskellig forklædning. Vi afslører hermed at to størrelser har et fælles modul: de er kommensurable. Vi bliver en del overraskede, hvis metoderne ikke fører til et endeligt resultat. Så er størrelserne inkommensurable, og vi får brug for irrationale tal eller andre tricks for at beskrive forholdene. Det var en sådan krise, der ramte pythagoræerne. De troede, at alt var tal - men opdagede så at de kendte tal ikke slog til i geometrien. Penrose fliser og brolægning Tegn et pentagram og klip to spidser af. De kan klistres sammen til Penrose-flisen kaldet dragen. Løber vi rundt i denne flise fra den største vinkel, der er 144 grader, så er sidelængderne én, phi, phi og én. De øvrige tre vinkler er 72 i dragen, og nu kommer pilen, den anden Penrose-flise. Klip pentagrammets spidser fra og tegn på den nye pentagon to korder, fra samme hjørne. Du kan bruge en afklippet spids til at tegne efter, for pentagonens sidelængde er én, mens kordernes længde er phi. Klip to stumpe trekanter ud af pentagonen og sæt dem sammen til pilen (en ikke konveks firkant ). Pilen og dragen kan sættes sammen til en gylden rhombe med de ydre sidelængder phi, og vinklerne 72 og 144. Find halerne! Inde i rhomben støder dragens d-hale ind i pilens p-hale. Nu forbyder vi dette og kopierer figurerne. Så kan de pusles sammen og dække planen, uden at d-hale møder p-hale. Fantastisk! Vi får en smuk ikke-periodisk brolægning. [figur på følgende side]. Side 13.

3 >> Januar 1977-nummeret af det amerikanske tidsskrift Scientific American havde en Penrose-brolægning på forsiden, en smuk ikke-periodisk dækning af planen. Linearkombinationer Tidligere så vi på tallene a og b i det kvadratiske legeme baseret på sqr5. Vi lærte at danne reciprok-værdien af en sådant tal vhja. dets norm og dets koordinater (a1, a2) eller (b1, b2). - I dette afsnit får symbolerne lille a og b endnu en gang en ny betydning, - nu er bogstaverne igen almindelige koefficienter, sml. førstegradsligningen f(x) = a x + b Dog i det følgende afsnit er lille a og b rationale koefficienter i vilkårlige tal af typen s = a phi + b t = c phi + d a, b, c, d fra Q Tallene er de såkaldte linearkombinationer af phi og vores sædvanlige enhed 1 (éen). Disse kombinerede størrelser viser sig at danne et lukket område overfor de sædvanlig fire regningarter. Vi kan lægge sammen og trække fra uden at forlade området, helt elementært ved at regne på de relevante koefficienter. Men vi kan også multiplicere to linearkombinationer og igen få en linearkombination. Eksempel: s t = ( 3 phi + 1) ( 2 phi 3) = vi ganger ind = 6 ( phi + 1) 9 phi + 2 phi 3 =... omskriver phi 2 = phi + 3 og trækker sammen Vi kalder kort tallene s og t for linearkombinationer, underforstået linearkombinationer af henholdsvis vor irratinale og vor rationale enhed. Disse tal danner phi-området og vi noterer Man kan addere to linearkombinatiner Man kan subtrahere to linearkombinationer Man kan multiplicere og Man kan dividere Resultatet giver igen en linearkombination, blot med nye rationale koefficienter. Husk at man ikke kan dividere med nul, dvs. ikke dividere med (a,b) = (0,0), linearkombinatinen nul, skrevet 0 = 0 phi + 0. Division. Brøken t/s vil vi udregne i to skridt, først danner vi s reciprok, derefter ganger vi med t. Som model-eksempel vil vi se på s reciprok, udtrykt ved phi-koefficienterne for s = (a,b). Vedrørende s reciprok Med tallet s = a phi + b og hjælpetallet k = sq(a) + a b + sq(b) fås 1/s = a / k phi + (a+b) / k Det er en højst mærkelig reciprokregel, men den følger af vore regneregler inde i det kvadratiske tallegeme baseret på kvadratrod 5; [ Resultatet udledes ved at regne i K(sqr5), se side 7 ]. Vi kan få brug for reciprokværdierne i opgaver med kvotientrækker. Og ved reducering af udtryk. Side 14.

4 Phi-potenserne - igen Tidligere har vi set på kvotientrækken startende med én, og med kvotienten phi. Leddene var i øvrigt linearkombinationer. Nu beregner vi leddene i den reciprokke række, kvotientrækken startende med én og med kvotienten phi reciprok. Vi bruger formlen for s reciprok hver gang og atter ser vi fibonaccitallene komme i brug. [tallet n, ordenstallet n-te, kan udtales således] Tabel. positive potenser negative potenser (phi) 0 0 phi phi + 1 (phi) 0 (phi) 1 1 phi phi 1 (phi) 1 (phi) 2 1 phi phi + 2 (phi) 2 (phi) 3 2 phi phi 3 (phi) 3 (phi) 4 3 phi phi + 5 (phi) 4 (phi) 5 5 phi phi 8 (phi) 5 (phi) 6 8 phi phi + 13 (phi) 6 (phi) 7 13 phi phi 21 (phi) 7 Alle tallene er positive og kan selvfølgeligt fremkaldes på lommeregneren. Tallene til højre er faktisk både positive og numerisk små. De bliver mindre og mindre, idet talfølgen (phi) n går mod nul oppefra, som vi siger: Følgens første led er 1, alle øvrige led ligger inde i intervallet [ 0; 1 ]. Summerer vi potenserne skal vi addere en uendelig mængde af små tal, som hver for sig er udtrykt ved fibonaccital det kan kun de største ånder gøre. Vi dødelige må udføre additionen på en snildere måde, med en kvotientrækkeformel. Kvotientrækkers sum Når en kvotientrække med positive led aftager, så er kvotienten q mindre end én. Og med kvotienten lille q [ nu et reelt tal inde i intervallet [0;1] ] - så findes der to simple formler for rækkens sum s1 = 1 / ( 1 q ) første led er 1 s2 = p / ( 1 q ) første led er p [et positivt, reelt tal] Vi skal bruge kvotientrækker i forbindelse med figuren på næste side: de hvirvlende kvadrater i det gyldne rektangel. Først udfører vi en beregning på phi-potenserne: Opgave: Et lille eksempel på en kvotient kunne være tallet phi reciprok, altså q = (phi 1). Find summen af 1 plus alle de reciprokke potenser i den foranstående tabel. Rækken kan skrives 1 + q + q 2 + q 3 + q 4 + og har summen = 1 / ( 1 phi 1 ) = 1 / ( 2 phi ) Vi sætter nævneren s = 1 phi + 2 hvor (a,b) = ( 1, 2) og finder s reciprok eller 1/s ved hjælp af hjælpestørrelsen k = sq(a) + a b + sq(b) = = 1 [heldigt] og formlen 1/s = a / k phi + (a+b) / k = +1 phi + 1 = phi + 1 [pænt facit] Fortolkning: Dette tal angiver - sml. figuren næste side - den samlede bredde af alle de hvirvlende kvadrater. Klip dem ud og læg dem på samme grundlinie, side om side. Side 15.

5 Sum af uendelige kvotientrække Det første kvadrat har bredden 1 enhed, det næste er mindre, man skal dividere 1 med phi. Og det næste er endnu mindre, igen skal man dividere med phi. Så summen af grundlinierne er en kvotientrække med første led 1 og kvotienten phi reciprok. [Tegningen viser de hvirvlende kvadrater i det gyldne rektangel før opklipningen. Vi har endnu ikke tegnet kvadraterne lagt i forlængelse af hinanden] Samlet grundlinie for kvadraterne = phi + 1 = 2,1816 Samlet længde af cirkelslagene = pi/2 ( phi + 1 ) = 4,1123 Samlet længde af kvadraternes diagonaler = sqr2 ( phi + 1 ) = 3,7025 Spiralens længde: Hvert kvadrat på denne figur indeholder en kvartcirkel med længden pi/2 gange kvadratets grundlinie. Så summen af alle cirkelslagende er ligesom før summen af en kvotientrække. Første led er pi/2 og kvotienten er som før phi reciprok. Med sumformlen s2 får vi Sammenstykket spirallængde = pi ( phi + 1) / 2 Denne kurve er ikke en logaritmisk spiral; den er i øvrigt heller ikke det, der med et moderne udtryk hedder en desigerkurve, en Beziér-kurve. Den er blot en sammenstykket cirkelslagskurve med en vis længde. Og dermed har vi fundet en eksakt formel, hvor både pi og phi forekommer! Lad os sige, at at kurven starter i hjørnet (0,0) og drejer ind mod forsvindingspunktet fuldstændigt ligesom en logaritmisk spiral ville gøre det. Forsvindingspunktets koordinater? Flere kvotientrækker Lad os se på arealerne af de hvirvlende kvadrater. Tilsammen dækker de det gyldne rektangel med arealet A = højde bredde = 1 phi. Det første kvadrat er enhedskvadratet. Det næste har grundlinien (phi reciprok) og altså arealet phi-i-minus-to-te. Når den lineære dimension af den følgende del skal ganges med en vis faktor, så skal arealet ganges med denne faktor kvadreret. Derfor danner arealerne en kvotientrække med kvotienten q = (phi) 2, som vi omskriver straks til q = 2 phi. Rækkens første led er 1 så vi kan direkte bruge den simple formel Summen s1 = 1 + phi 2 + phi 4 + phi 6 + = 1/( 1 q ) = 1 / ( phi 1 ) Vi vil finde arealsummen efter denne formel, selv om vi allerede har en formodning om dens værdi! Nævneren omskrives ovenfor til s = 1 ( 2 phi ) = phi 1. Nu skal vi danne reciprokværdien af dette tal, der er linearkombination (a,b) = ( 1, 1). Hjælpetallet for dette tal er k = sq(a) + a b + sq(b) = = 1 og den ønskede sum bliver s1 = 1/s = 1/ ( 1) phi + (1 1) / ( 1) = 1 phi + 0 = phi (slet og ret). Side 16.

6 Så summen af de hvirvlende kvadrater i det gyldne rektangel er beregnet til phi, det allerede kendte måltal for hele arealet. Det virker ræsonnabelt, og dermed kontrollerede vi også vor beregning af den reciprokke linearkombination. Kvadraternes diagonaler kan sammensættes til en knækkurve, hvis længde er en passende faktor, sqr2, gange kvadraternes grundlinie. Hvirvlende kvadrater: Kvadraternes arealsum er phi Forsvindingspunktet bliver (xo,yo) = ( (3 phi + 1)/5, ( phi + 3)/5 ) Vi slutter med at se på forsvindingspunktet. Hvad angår xo-koordinaten ser vi på bredden af første kvadrat, plus bredden af 5-te kvadrat, plus bredden af 9-te kvadrat, plus osv. Første led er tallet 1, kvotienten q er phi 4. Så vi skal beregne summen eller tallet 1/s = 1 / (1 phi 4 ). Gys. Gys. Først beregner vi linearkombinationen phi 4 = 3 phi + 5 Derefter beregnes nævneren s = 1 phi 4 = 3 phi 4 = (3, 4). Og dette tal s har hjælpetallet k = sq(a) + a b + sq(b) = = 5 Dermed kan reciprokværdien findes, og summen xo bliver xo = 1/s = 3/( 5) phi + (3 4)/( 5) = 3/5 phi + 1/5 = ( 3 phi + 1) / 5 [facit] Vi fandt dermed første-koordinaten ved at gå ud fra enhedskvadratet. Vedrørende anden-koordinaten kikker vi i det gyldne rektangel på det fjerde kvadrat. Det har højden h = phi 3 = 2 phi 3 og højden fungerer nu som første led i en kvotientrække, der har kvotienten phi 4 ligesom ovenfor. Vi finder altså højden af 4-te kvadrat, plus højden af 8-te, plus 12-te, plus følgende, der markerer op til yo. yo = h + h q + h q 2 + h q 3 + h q 4 + = h / ( 1 q ) = h / s Tallet s reciprok er allerede beregnet ovenfor som xo, så vi finder anden-koordinaten yo = (3 phi + 1) ( 2 phi 3) / 5 = regne, regne = ( 3 phi ) / 5 Tilbageblik. Det har været nogle ret krævende kalkulationer, men for alle fem eksempler har vi kunnet fortolke rækkernes sum på en anskuelig måde. En grundlinie, et areal, en kurvelængde, en x-koordinat, en y-koordinat. For at reducere udtrykkene brugte vi regnereglerne for vort særlige phi-område. For alle linearkombinationer af phi og vore almindelige rationale tal har vi dels en formel for normen eller hjælpetallet lille k, dels en formel for reciprok. Plus eller minus går af sig selv. Multiplikation klarer vi ved almindelig regning med parenteser, hvert led i den ene gange hvert led i den anden. Endelig kan vi altid omskrive sq(phi), phi phi eller kvadratet på phi, til phi plus éen. Tilsvarende kan vi omskrive de højere phi-potenser. Dermed holder beregningerne sig fint inden for området af linearkombinationer. Side 17.

7 Den logaritmiske spiral O Vi har nævnt Coxeters geometribog. Han viser at den relevante logaritmiske spiral kan skrives r = (phi) ^ ( 2 x / pi) = exp( 2 ln( phi ) x / pi ) hvor x i denne ligning er et passende vinkelmål. Lille r er længden af radiusvektor målt ud fra forsvindingspunktet (xo,yo) eller kurvens pol. [vi har omskrevet Coxeters ligning lidt]. Vi indlægger som før det gyldne rektangel i første kvadrant i vort koordinatsystem: fra origo store O(0,0) og til ( phi, 1 ). Retlinede afstande i koordinatsystemet beregnes vhja. formlen Pythagoras. Vi finder afstanden fra origo og ind til polen - eller omvendt - til at være dist = sqr(10) / 5 sqr( phi + 2 ) Længden af spiralen [ begrænset mellem to valgte værdier for radius ] er beregnet i min gamle lærebog Andersen, Bohr og Petersen, Udtrykket er sqr( / sq(b) ) ( r2 r1 ) = sqr( / sq(b) ) dist Konstanten lille b i dette tilfælde er 2 ln( phi ) / pi, medens vi for differensen indsætter dist. Længden af den logaritmiske spiral fra yderste hjørne O og helt ind til forsvindingspunktet bliver da sqr(10) / 5 sqr( phi + 2 ) sqr( 1 + sq( pi / 2 / ln( phi ) ) ) = 4,1070 (afr.) En formel med tre kvadratrødder, med phi og pi samt den naturlige logaritme! Det er lidt af en tasteopgave at beregne dette tal på din lommeregner. Her er afrundet til fire decimaler og enheden er som altid det største kvadrat i det gyldne rektangel. Kontroller beregningen og værdien. Sammenlignet hermed er cirkelslagskurven længere [figur side 16]. Den logaritmiske spiral skærer siderne under en lille vinkel. Den foretager sig ikke så mange svinkeærinder som cirkelslagene, der kun lige berører, tangerer siderne i de hvirvlende rektangler. Og knæk-kurven sammensat af en diameter fra hvert kvadrat er endnu kortere, - den skyder så at sige genvej overalt. Længdetabel Cirkelslagene 4,1123 Den logaritmiske spiral 4,1070 Hvirvlende diametre 3,7025 Vi har uden videre talt om længden af vore kurver: spiralen, cirkelslagskurven og de sammenstykkede diametre. Uanset det fantastiske forhold, at kurverne aldrig kan tegnes færdig, - de spiralerer ind mod grænsepunktet i det uendelige. Antallet af omdrejninger bliver uendeligt. Har vi nu en krise? Side 18.

Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80)

Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80) Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80) Opgave 1 Vi skal tegne alle de linjestykker, der forbinder vilkårligt valgte punkter blandt de 4 punkter. Gennem forsøg finder

Læs mere

Algebra - Teori og problemløsning

Algebra - Teori og problemløsning Algebra - Teori og problemløsning, januar 05, Kirsten Rosenkilde. Algebra - Teori og problemløsning Kapitel -3 giver en grundlæggende introduktion til at omskrive udtryk, faktorisere og løse ligningssystemer.

Læs mere

den store, altså phi = (1+x). Phi er fin og udtales så, som fi!

den store, altså phi = (1+x). Phi er fin og udtales så, som fi! Det gyldne snit består i et liniestykkes deling i 2 dele, af hvilke den største er mellemproportional mellem hele linien og den mindste del. Konstruktionen går tilbage til pythagoræerne. Det hævdes, at

Læs mere

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal.

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal. 1 Tal Tal kan forekomme os nærmest at være selvfølgelige, umiddelbare og naturgivne. Men det er kun, fordi vi har vænnet os til dem. Som det vil fremgå af vores timer, har de mange overraskende egenskaber

Læs mere

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil

Læs mere

Løsning af simple Ligninger

Løsning af simple Ligninger Løsning af simple Ligninger Frank Nasser 19. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

Side 19. Skrevet 11.3.2001 af HH. Røjfri Andersen

Side 19. Skrevet 11.3.2001 af HH. Røjfri Andersen Reciprok algoritmen for phi Det gyldne snit phi er rod i ligningen x 2 = x + 1. Vi omskriver og finder et udtryk egnet til iteration på lommeregneren. Beregningen stabiliserer sig hurtigt på phi, som altså

Læs mere

Korncirkler og matematik

Korncirkler og matematik Korncirkler og matematik I den følgende opgave vil jeg undersøge om korncirkler indeholder matematiske figurer nærmere bestemt det gyldne snit, det gyldne rektangel og den gyldne spiral. Før jeg starter

Læs mere

Variabel- sammenhænge

Variabel- sammenhænge Variabel- sammenhænge 2008 Karsten Juul Dette hæfte kan bruges som start på undervisningen i variabelsammenhænge for st og hf. Indhold 1. Hvordan viser en tabel sammenhængen mellem to variable?... 1 2.

Læs mere

Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal.

Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal. Tre slags gennemsnit Allan C. Malmberg Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal. For mange skoleelever indgår

Læs mere

Mattip om. Arealer 2. Tilhørende kopi: Arealer 4 og 5. Du skal lære om: Repetition af begreber og formler. Arealberegning af en trekant

Mattip om. Arealer 2. Tilhørende kopi: Arealer 4 og 5. Du skal lære om: Repetition af begreber og formler. Arealberegning af en trekant Mattip om Arealer 2 Du skal lære om: Repetition af begreber og formler Kan ikke Kan næsten Kan Arealberegning af en trekant Arealberegning af en trapez Tilhørende kopi: Arealer 4 og 5 2016 mattip.dk 1

Læs mere

Euklids algoritme og kædebrøker

Euklids algoritme og kædebrøker Euklids algoritme og kædebrøker Michael Knudsen I denne note vil vi med Z, Q og R betegne mængden af henholdsvis de hele, de rationale og de reelle tal. Altså er { m } Z = {..., 2,, 0,, 2,...} og Q = n

Læs mere

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal?

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Det er ret let at svare på: arealet af en trekant, husker vi fra vor kære folkeskole, findes ved at gange

Læs mere

Introduktion til cosinus, sinus og tangens

Introduktion til cosinus, sinus og tangens Introduktion til cosinus, sinus og tangens Jes Toft Kristensen 24. maj 2010 1 Forord Her er en lille introduktion til cosinus, sinus og tangens. Det var et af de emner jeg selv havde svært ved at forstå,

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS August 2012 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011 Indholdsfortegnelse Integral regning:... 2 Ubestemt integral:... 2 Integrationsprøven:... 3 1) Integration af potensfunktioner:... 3 2) Integration af sum og Differens:... 3 3) Integration ved Multiplikation

Læs mere

Matematik for malere. praktikopgaver. Geometri Regneregler Areal Procent. Tilhører:

Matematik for malere. praktikopgaver. Geometri Regneregler Areal Procent. Tilhører: Matematik for malere praktikopgaver 2 Geometri Regneregler Areal Procent Tilhører: 2 Indhold: Geometri... side 4 Regneregler... side 10 Areal... side 12 Procent... side 16 Beregninger til praktikopgave

Læs mere

Kapitel 2 Tal og variable

Kapitel 2 Tal og variable Tal og variable Uden tal ingen matematik - matematik handler om tal og anvendelse af tal. Matematik beskæftiger sig ikke udelukkende med konkrete problemer fra andre fag, og de konkrete tal fra andre fagområder

Læs mere

F I N N H. K R I S T I A N S E N DET GYLDNE SNIT TES REGNING MED REGNEARK KUGLE SIMULATIONER G Y L D E N D A L LANDMÅLING

F I N N H. K R I S T I A N S E N DET GYLDNE SNIT TES REGNING MED REGNEARK KUGLE SIMULATIONER G Y L D E N D A L LANDMÅLING F I N N H. K R I S T I A N S E N 6 DET GYLDNE SNIT 4 TES REGNING MED REGNEARK KUGLE G Y L D E N D A L SIMULATIONER 5 LANDMÅLING Faglige mål: Demonstrere viden om matematikanvendelse samt eksempler på matematikkens

Læs mere

fortsætte høj retning mellem mindre over større

fortsætte høj retning mellem mindre over større cirka (ca) omtrent overslag fortsætte stoppe gentage gentage det samme igen mønster glat ru kantet høj lav bakke lav høj regel formel lov retning højre nedad finde rundt rod orden nøjagtig præcis cirka

Læs mere

cvbnmrtyuiopasdfghjklæøzxcvbnmq wertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwer tyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwerty

cvbnmrtyuiopasdfghjklæøzxcvbnmq wertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwer tyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwerty cvbnmrtyuiopasdfghjklæøzxcvbnmq wertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwer tyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwerty Matematik Den kinesiske prøve uiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui 45 min 01 11

Læs mere

Oprids over grundforløbet i matematik

Oprids over grundforløbet i matematik Oprids over grundforløbet i matematik Dette oprids er tænkt som en meget kort gennemgang af de vigtigste hovedpointer vi har gennemgået i grundforløbet i matematik. Det er en kombination af at repetere

Læs mere

Komplekse tal. Jan Scholtyßek 29.04.2009

Komplekse tal. Jan Scholtyßek 29.04.2009 Komplekse tal Jan Scholtyßek 29.04.2009 1 Grundlag Underlige begreber er det, der opstår i matematikken. Blandt andet komplekse tal. Hvad for fanden er det? Lyder...komplekst. Men bare roligt. Så komplekst

Læs mere

FAGLIG REGNING Pharmakon, farmakonomuddannelsen september 2007

FAGLIG REGNING Pharmakon, farmakonomuddannelsen september 2007 FAGLIG REGNING Pharmakon, farmakonomuddannelsen september 2007 Indholdsfortegnelse Side De fire regningsarter... 3 Flerleddede størrelser... 5 Talbehandling... 8 Forholdsregning... 10 Procentregning...

Læs mere

Lektion 7 Funktioner og koordinatsystemer

Lektion 7 Funktioner og koordinatsystemer Lektion 7 Funktioner og koordinatsystemer Brug af grafer og koordinatsystemer Lineære funktioner Andre funktioner lignnger med ubekendte Lektion 7 Side 1 Pris i kr Matematik på Åbent VUC Brug af grafer

Læs mere

areal og rumfang trin 1 brikkerne til regning & matematik preben bernitt

areal og rumfang trin 1 brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik areal og rumfang trin 1 preben bernitt brikkerne til regning & matematik areal og rumfang, trin 1 ISBN: 978-87-92488-17-6 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk

Læs mere

Uge Emne Formål Faglige mål Evaluering

Uge Emne Formål Faglige mål Evaluering Uge Emne Formål Faglige mål Evaluering (Der evalueres løbende på følgende hovedpunkter) 33-36 Regneregler Vedligeholde og udbygge forståelse og færdigheder inden for de fire regningsarter Blive fortrolig

Læs mere

Symbolbehandlingskompetencen er central gennem arbejdet med hele kapitlet i elevernes arbejde med tal og regneregler.

Symbolbehandlingskompetencen er central gennem arbejdet med hele kapitlet i elevernes arbejde med tal og regneregler. Det første kapitel i grundbogen til Kolorit i 8. klasse handler om tal og regning. Kapitlet indledes med, at vores titalssystem som positionssystem sættes i en historisk sammenhæng. Gennem arbejdet med

Læs mere

Matematik. Grundforløbet. Mike Auerbach (2) Q 1. y 2. y 1 (1) x 1 x 2

Matematik. Grundforløbet. Mike Auerbach (2) Q 1. y 2. y 1 (1) x 1 x 2 Matematik Grundforløbet (2) y 2 Q 1 a y 1 P b x 1 x 2 (1) Mike Auerbach Matematik: Grundforløbet 1. udgave, 2014 Disse noter er skrevet til matematikundervisning i grundforløbet på stx og kan frit anvendes

Læs mere

Tema: Kvadrattal og matematiske mønstre:

Tema: Kvadrattal og matematiske mønstre: 2 Indholdsfortegnelse: Tema: Kvadrattal og matematiske mønstre: Side 4: Side 5: Side 9: Side 10: Side 12: Side 14: Side 15: Side 16: Side 19: Side 20: Side 21: Side 23: Problemformulering. En nem tilgang

Læs mere

Matematik. 1 Matematiske symboler. Hayati Balo,AAMS. August, 2014

Matematik. 1 Matematiske symboler. Hayati Balo,AAMS. August, 2014 Matematik Hayati Balo,AAMS August, 2014 1 Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske symboler.

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS Juli 2013 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

Elevbog s. 14-25 Vi opsummerer hvad vi ved i. kendskab til geometriske begreber og figurer.

Elevbog s. 14-25 Vi opsummerer hvad vi ved i. kendskab til geometriske begreber og figurer. Årsplan 5. LH. Matematik Lærer Pernille Holst Overgaard (PHO) Lærebogsmateriale. Format 5 Tid og fagligt Aktivitet område Uge 33-37 Tal Uge 38-41 (efterårsferie uge 42) Figurer Elevbog s. 1-13 Vi opsummerer

Læs mere

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 2013 1 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal. Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden.

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI Indhold Begreber i klassisk geometri + formelsamling... 2 Pythagoras Sætning... 8 Retvinklede trekanter. Beregn den ukendte side markeret med et bogstav.... 9 Øve vinkler

Læs mere

Årsplan for matematik i 4. klasse 2014-15

Årsplan for matematik i 4. klasse 2014-15 Årsplan for matematik i 4. klasse 2014-15 Klasse: 4. Fag: Matematik Lærer: Ali Uzer Lektioner pr. uge: 4(mandag, tirsdag, torsdag, fredag) Formål for faget matematik Formålet med undervisningen er, at

Læs mere

Geometri, (E-opgaver 9d)

Geometri, (E-opgaver 9d) Geometri, (E-opgaver 9d) GEOMETRI, (E-OPGAVER 9D)... 1 Vinkler... 1 Trekanter... 2 Ensvinklede trekanter... 2 Retvinklede trekanter... 3 Pythagoras sætning... 3 Sinus, Cosinus og Tangens... 4 Vilkårlige

Læs mere

Lærereksemplar. Kun til lærerbrug GEOMETRI 89. Kopiering er u-økonomisk og forbudt til erhvervsformål.

Lærereksemplar. Kun til lærerbrug GEOMETRI 89. Kopiering er u-økonomisk og forbudt til erhvervsformål. Kun salg ved direkte kontakt mellem skole og forlag. Kopiering er u-økonomisk og forbudt til erhvervsformål. GEOMETRI 89 Side Emne 1 Indholdsfortegnelse 2 Måling af vinkler 3 Tegning og måling af vinkler

Læs mere

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring mat.dk Differentialregning Dennis Pipenbring 0. december 00 Indold Differentialregning 3. Grænseværdi............................. 3. Kontinuitet.............................. 8 Differentialkvotienten

Læs mere

Beregning til brug for opmåling, udfoldning og konstruktion

Beregning til brug for opmåling, udfoldning og konstruktion VVS-branchens efteruddannelse Beregning til brug for opmåling, udfoldning og konstruktion Beregning til brug for opmåling, udfoldning og konstruktion Med de trigonometriske funktioner, kan der foretages

Læs mere

Differential- regning

Differential- regning Differential- regning del () f () m l () 6 Karsten Juul Indhold Tretrinsreglen 59 Formler for differentialkvotienter64 Regneregler for differentialkvotienter67 Differentialkvotient af sammensat funktion7

Læs mere

i tredje brøkstreg efter lukket tiendedele primtal time

i tredje brøkstreg efter lukket tiendedele primtal time ægte 1 i tredje 3 i anden rumfang år 12 måle kalender lagt sammen resultat streg adskille led adskilt udtrk minus (-) overslag afrunde præcis skøn efter bagved foran placering kvart fjerdedel lagkage rationale

Læs mere

brikkerne til regning & matematik tal og algebra preben bernitt

brikkerne til regning & matematik tal og algebra preben bernitt brikkerne til regning & matematik tal og algebra 2+ preben bernitt brikkerne. Tal og algebra 2+ 1. udgave som E-bog ISBN: 978-87-92488-35-0 2008 by bernitt-matematik.dk Kopiering af denne bog er kun tilladt

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI Indhold Begreber i klassisk geometri + formelsamling... 2 Ensvinklede trekanter... 7 Pythagoras Sætning... 10 Øve vinkler i retvinklede trekanter... 15 Sammensatte opgaver....

Læs mere

Bogstavregning. En indledning for stx og hf. 2008 Karsten Juul

Bogstavregning. En indledning for stx og hf. 2008 Karsten Juul Bogstavregning En indledning for stx og hf 2008 Karsten Juul Dette hæfte træner elever i den mest grundlæggende bogstavregning (som omtrent springes over i lærebøger for stx og hf). Når elever har lært

Læs mere

dynamisk geometriprogram regneark Fælles mål På MULTIs hjemmeside er der en oversigt over, hvilke Fælles Mål der er sat op for arbejdet med kapitlet.

dynamisk geometriprogram regneark Fælles mål På MULTIs hjemmeside er der en oversigt over, hvilke Fælles Mål der er sat op for arbejdet med kapitlet. Algebra og ligninger - Facitliste Om kapitlet I dette kapitel om algebra og ligninger skal eleverne lære at regne med variable, få erfaringer med at benytte variable Elevmål for kapitlet Målet er, at eleverne:

Læs mere

Symbolsprog og Variabelsammenhænge

Symbolsprog og Variabelsammenhænge Indledning til Symbolsprog og Variabelsammenhænge for Gymnasiet og Hf 1000 kr 500 0 0 5 10 15 timer 2005 Karsten Juul Brugsanvisning Du skal se i de fuldt optrukne rammer for at finde: Regler for løsning

Læs mere

BEVISER TIL KAPITEL 3

BEVISER TIL KAPITEL 3 BEVISER TIL KAPITEL 3 Alle beviserne i dette afsnit bruger følgende algoritme fra side 88 i bogen. Algoritme: Fremgangsmåde til udledning af forskellige regneregler for differentiation af forskellige funktionstyper

Læs mere

Ligningsløsning som det at løse gåder

Ligningsløsning som det at løse gåder Ligningsløsning som det at løse gåder Nedenstående er et skærmklip fra en TI-Nspirefil. Vi ser at tre kræmmerhuse og fem bolsjer balancerer med to kræmmerhuse og 10 bolsjer. Spørgsmålet er hvor mange bolsjer,

Læs mere

bruge en formel-samling

bruge en formel-samling Geometri Længdemål og omregning mellem længdemål... 56 Omkreds og areal af rektangler og kvadrater... 57 Omkreds og areal af andre figurer... 58 Omregning mellem arealenheder... 6 Nogle geometriske begreber

Læs mere

4. Snittets kædebrøksfremstilling og dets konvergenter

4. Snittets kædebrøksfremstilling og dets konvergenter Dette er den fjerde af fem artikler under den fælles overskrift Studier på grundlag af programmet SKALAGENERATOREN (forfatter: Jørgen Erichsen) 4. Snittets kædebrøksfremstilling og dets konvergenter Vi

Læs mere

Affine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2

Affine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2 Affine rum I denne note behandles kun rum over R. Alt kan imidlertid gennemføres på samme måde over C eller ethvert andet legeme. Et underrum U R n er karakteriseret ved at det er en delmængde som er lukket

Læs mere

Funktioner generelt. for matematik pä B- og A-niveau i stx og hf. 2014 Karsten Juul

Funktioner generelt. for matematik pä B- og A-niveau i stx og hf. 2014 Karsten Juul Funktioner generelt for matematik pä B- og A-niveau i st og hf f f ( ),8 014 Karsten Juul 1 Funktion og dens graf, forskrift og definitionsmängde 11 Koordinatsystem I koordinatsystemer (se Figur 1): -akse

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2015 Københavns

Læs mere

TREKANTER. Indledning. Typer af trekanter. Side 1 af 7. (Der har været tre kursister om at skrive denne projektrapport)

TREKANTER. Indledning. Typer af trekanter. Side 1 af 7. (Der har været tre kursister om at skrive denne projektrapport) Side 1 af 7 (Der har været tre kursister om at skrive denne projektrapport) TREKANTER Indledning Vi har valgt at bruge denne projektrapport til at udarbejde en oversigt over det mest grundlæggende materiale

Læs mere

ÅRSPLAN MATEMATIK 5.KLASSE

ÅRSPLAN MATEMATIK 5.KLASSE ÅRSPLAN MATEMATIK 5.KLASSE Matematiklærerens tænkebobler illustrerer, at matematikundervisning ikke udelukkende handler om opgaver, men om en (lige!) blanding af: Kompetencer Indhold Arbejdsmåder CENTRALE

Læs mere

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

SCT. KNUDS GYMNASIUM KOMPLEKSE TAL. Henrik S. Hansen, version 1.5

SCT. KNUDS GYMNASIUM KOMPLEKSE TAL. Henrik S. Hansen, version 1.5 SCT. KNUDS GYMNASIUM KOMPLEKSE TAL Henrik S. Hansen, version 1.5 Indhold Tallenes udvikling... 2 De naturlige tal... 2 De hele tal... 2 De rationale tal... 3 De reelle tal... 3 De komplekse tal... 4 Indledning...

Læs mere

Afstandsformlen og Cirklens Ligning

Afstandsformlen og Cirklens Ligning Afstandsformlen og Cirklens Ligning Frank Villa 19. august 2012 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk.

Læs mere

matematik grundbog trin 1 Demo preben bernitt grundbog trin 1 2004 by bernitt-matematik.dk 1

matematik grundbog trin 1 Demo preben bernitt grundbog trin 1 2004 by bernitt-matematik.dk 1 33 matematik grundbog trin 1 Demo preben bernitt grundbog trin 1 2004 by bernitt-matematik.dk 1 matematik grundbog trin 1 Demo-udgave 2003 by bernitt-matematik.dk Kopiering og udskrift af denne bog er

Læs mere

FlexMatematik B. Introduktion

FlexMatematik B. Introduktion Introduktion TI-89 er fra start indstillet til at åbne skrivebordet med de forskellige applikationer, når man taster. Almindelige regneoperationer foregår på hovedskærmen som fås ved at vælge applikationen

Læs mere

Eksponentielle sammenhænge

Eksponentielle sammenhænge Eksponentielle sammenhænge Udgave 009 Karsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse af hæftet "Lineære sammenhænge, udgave 009" Indhold 1 Eksponentielle sammenhænge, ligning og graf 1 Procent 7 3 Hvad fortæller

Læs mere

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: 333247 2015 Anders Jørgensen, Mark Kddafi, David Jensen, Kourosh Abady og Nikolaj Eriksen 1. Indledning I dette projekt, vil man kunne se definitioner

Læs mere

KonteXt +5, Kernebog

KonteXt +5, Kernebog 1 KonteXt +5, Lærervejledning/Web Facit til KonteXt +5, Kernebog Kapitel 3: Vinkler og figurer Version september 2015 Facitlisten er en del af KonteXt +5; Lærervejledning/Web KonteXt +5, Kernebog Forfattere:

Læs mere

geometri trin 1 brikkerne til regning & matematik preben bernitt

geometri trin 1 brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri trin 1 preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri, trin 1 ISBN: 978-87-92488-15-2 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk Kopiering er

Læs mere

MATEMATIK. Basismål i matematik på 1. klassetrin:

MATEMATIK. Basismål i matematik på 1. klassetrin: MATEMATIK Basismål i matematik på 1. klassetrin: at kunne indgå i samtale om spørgsmål og svar, som er karakteristiske i arbejdet med matematik at kunne afkode og anvende tal og regnetegn og forbinde dem

Læs mere

i tredje sum overslag rationale tal tiendedele primtal kvotient

i tredje sum overslag rationale tal tiendedele primtal kvotient ægte 1 i tredje 3 i anden rumfang år 12 måle kalender hældnings a hældningskoefficient lineær funktion lagt n resultat streg adskille led adskilt udtrk minus (-) overslag afrunde præcis skøn formel andengradsligning

Læs mere

Matematik. Trinmål 2. Nordvestskolen 2006 Forord. Trinmål 2 (4. 6. klasse)

Matematik. Trinmål 2. Nordvestskolen 2006 Forord. Trinmål 2 (4. 6. klasse) Matematik Trinmål 2 Nordvestskolen 2006 Forord Forord For at sikre kvaliteten og fagligheden i folkeskolen har Undervisningsministeriet udarbejdet faghæfter til samtlige fag i folkeskolen med bindende

Læs mere

Basal Matematik 2. Navn: Klasse: Matematik Opgave Kompendium. Opgaver: 67 Ekstra: 7 Mundtlig: 1 Point:

Basal Matematik 2. Navn: Klasse: Matematik Opgave Kompendium. Opgaver: 67 Ekstra: 7 Mundtlig: 1 Point: Matematik / Basal Matematik Navn: Klasse: Matematik Opgave Kompendium Basal Matematik Følgende gennemgås De regnearter Afrunding af tal Større & mindre end Enheds omregning Regne hierarki Brøkregning Potenser

Læs mere

Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde

Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde Det som skal vurderes i bedømmelsen af en besvarelse, er om deltageren har formået at analysere problemstillingen, kombinere de givne

Læs mere

Gratisprogrammet 27. september 2011

Gratisprogrammet 27. september 2011 Gratisprogrammet 27. september 2011 1 Brugerfladen: Små indledende øvelser: OBS: Hvis et eller andet ikke fungerer, som du forventer, skal du nok vælge en anden tilstand. Dette ses til højre for ikonerne

Læs mere

5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve

5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve 5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve ordet geometri er græsk og betyder jord(=geo)måling(=metri). Interessen for figurer

Læs mere

Afstande, skæringer og vinkler i rummet

Afstande, skæringer og vinkler i rummet Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Villa 2. maj 202 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

Foreløbig udgave af læringsmål til: Kapitel 1 Regn med store tal Fælles Mål Læringsmål Forslag til tegn på læring

Foreløbig udgave af læringsmål til: Kapitel 1 Regn med store tal Fælles Mål Læringsmål Forslag til tegn på læring Foreløbig udgave af læringsmål til: Kapitel 1 Regn med store tal Fælles Mål Læringsmål Forslag til tegn på læring udføre beregninger med de fire regningsarter inden for naturlige tal, herunder beregninger

Læs mere

APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE

APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE z x y z=exp( x^2 0.5y^2) CAS er en fællesbetegnelse for matematikprogrammer, som foruden numeriske beregninger også kan regne med symboler og formler. Det betyder: Computer

Læs mere

geometri trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt

geometri trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri trin 2 preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri, trin 2 ISBN: 978-87-92488-16-9 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk Kopiering er

Læs mere

Fagårsplan 12/13 Fag: Matematik Klasse: 6.a Lærer: LBJ Fagområde/ emne

Fagårsplan 12/13 Fag: Matematik Klasse: 6.a Lærer: LBJ Fagområde/ emne Fagårsplan 12/13 Fag: Matematik Klasse: 6.a Lærer: LBJ Fagområde/ emne Umulige figurer Periode Mål Eleverne skal: At opdage muligheden for og blive fascineret af gengivelse af det umulige. At få øvelse

Læs mere

fx 8 Sandsynligheden for at slå en 4 er med en 6-sidet 1 terning 2

fx 8 Sandsynligheden for at slå en 4 er med en 6-sidet 1 terning 2 Logik Udsagn Reduktion Ligninger Uligheder Regnehistorier I en trekant er den største vinkel 0 større end den næststørste og denne igen 0 større end den mindste. Find vinklernes gradtal. = og Lig med og

Læs mere

Den lille hjælper. Positionssystem...3. Positive tal...3. Negative tal...3. Hele tal...3. Potenstal...3. Kvadrattal...3

Den lille hjælper. Positionssystem...3. Positive tal...3. Negative tal...3. Hele tal...3. Potenstal...3. Kvadrattal...3 Den lille hjælper Positionssystem...3 Positive tal...3 Negative tal...3 Hele tal...3 Potenstal...3 Kvadrattal...3 Parentes...4 Parentesregler...4 Primtal...4 Addition (lægge sammen) også med decimaltal...4

Læs mere

Enhedscirklen og de trigonometriske Funktioner

Enhedscirklen og de trigonometriske Funktioner Enhedscirklen og de trigonometriske Funktioner Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for

Læs mere

Matematik Delmål og slutmål

Matematik Delmål og slutmål Matematik Delmål og slutmål Ferritslev friskole 2006 SLUTMÅL efter 9. Klasse: Regning med de rationale tal, såvel som de reelle tal skal beherskes. Der skal kunne benyttes og beherskes formler i forbindelse

Læs mere

Projekt 8.12 Firkantstrigonometri og Ptolemaios sætning i cykliske firkanter

Projekt 8.12 Firkantstrigonometri og Ptolemaios sætning i cykliske firkanter Projekter: Kapitel 8 Projekt 8. Firkantstrigonometri og Ptolemaios sætning i cykliske firkanter Projekt 8. Firkantstrigonometri og Ptolemaios sætning i cykliske firkanter Trigonometrien til beregning af

Læs mere

Oversigt over undervisningen i matematik 1y 07/08

Oversigt over undervisningen i matematik 1y 07/08 Oversigt over undervisningen i matematik 1y 07/08 side1 Der undervises efter: MatC Nielsen & Fogh: Vejen til Matematik C ( Forlaget HAX) EKS Knud Nissen : TI-82 stat introduktion og eksempler Ovenstående

Læs mere

Mini-formelsamling. Matematik 1

Mini-formelsamling. Matematik 1 Indholdsfortegnelse 1 Diverse nyttige regneregler... 1 1.1 Regneregler for brøker... 1 1.2 Potensregneregler... 1 1.3 Kvadratsætninger... 2 1.4 (Nogle) Rod-regneregler... 2 1.5 Den naturlige logaritme...

Læs mere

Kædebrøker. b 0 f.eks. 3 b 0 + a 1. f.eks. 3 + 1 b 1 7. a 1. b 1 + a f.eks. 3 + 1 7 + 1. f.eks. 3 + b 1 + a 2 7 + Notation: a 2 b 2 + an.

Kædebrøker. b 0 f.eks. 3 b 0 + a 1. f.eks. 3 + 1 b 1 7. a 1. b 1 + a f.eks. 3 + 1 7 + 1. f.eks. 3 + b 1 + a 2 7 + Notation: a 2 b 2 + an. Kædebrøker Naturvidenskabsfestivalen 2006 foredrag på Herning htx, 26. september Flemming Topsøe Institut for Matematiske Fag, Københavns Universitet b 0 f.eks. 3 b 0 + a 1 f.eks. 3

Læs mere

Parameterkurver. Et eksempel på en rapport

Parameterkurver. Et eksempel på en rapport x Parameterkurver Et eksempel på en rapport Parameterkurver 0x MA side af 7 Hypocykloiden A B Idet vi anvender startværdierne for A og B som angivet, er en generel parameterfremstilling for hypocykloiden

Læs mere

Lektion 1. Tal. Ligninger og uligheder. Funktioner. Trigonometriske funktioner. Grænseværdi for en funktion. Kontinuerte funktioner.

Lektion 1. Tal. Ligninger og uligheder. Funktioner. Trigonometriske funktioner. Grænseværdi for en funktion. Kontinuerte funktioner. Lektion Tal Ligninger og uligheder Funktioner Trigonometriske funktioner Grænseværdi for en funktion Kontinuerte funktioner Opgaver Tal Man tænker ofte på de reelle tal, R, som en tallinje (uden huller).

Læs mere

Differentialregning. Et oplæg Karsten Juul L P

Differentialregning. Et oplæg Karsten Juul L P Differentialregning Et oplæg L P A 2009 Karsten Juul Til eleven Dette hæfte kan I bruge inden I starter på differentialregningen i lærebogen Det meste af hæftet er små spørgsmål med korte svar Spørgsmålene

Læs mere

Repetition til eksamen. fra Thisted Gymnasium

Repetition til eksamen. fra Thisted Gymnasium Repetition til eksamen fra Thisted Gymnasium 20. oktober 2015 Kapitel 1 Introduktion til matematikken 1. Fortegn Husk fortegnsregnereglerne for multiplikation og division 2. Hierarki Lær sætningen om regnearternes

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Isolere en ubekendt... 3 Hvis x står i første brilleglas...

Læs mere

Decimaltal, brøker og procent Negative tal Potens, rødder og pi Reelle og irrationale tal

Decimaltal, brøker og procent Negative tal Potens, rødder og pi Reelle og irrationale tal Navn: Nr.: Klasse: Prøvedato: mat7 Noter: Kompetencemål efter 9. klassetrin Eleven kan anvende reelle tal og algebraiske udtryk i matematiske undersøgelser Tal og algebra Tal Titalssystem Decimaltal, brøker

Læs mere

Statistik og sandsynlighed

Statistik og sandsynlighed Navn: Nr.: Klasse: Prøvedato: mat Noter: Kompetencemål efter 6. klassetrin Eleven kan anvende rationale tal og variable i beskrivelser og beregninger Tal og algebra Tal Titalssystem Decimaltal, brøker

Læs mere

Løsningsforslag MatB Juni 2013

Løsningsforslag MatB Juni 2013 Løsningsforslag MatB Juni 2013 Opgave 1 (5 %) Et andengradspolynomium er givet ved: f (x) = x 2 4x + 3 a) Bestem koordinatsættet til toppunktet for parablen givet ved grafen for f Løsning: a) f (x) = x

Læs mere

Årsplan 5. Årgang

Årsplan 5. Årgang Årsplan 5. Årgang 2016-2017 Materialer til 5.årgang: - Matematrix grundbog 5.kl - Matematrix arbejdsbog 5.kl - Skrivehæfte - Kopiark - Færdighedsregning 5.kl - Computer Vi skal i løbet af året arbejde

Læs mere

Pythagoras og andre sætninger

Pythagoras og andre sætninger Pythagoras og andre sætninger Pythagoras Pythagoras fra den græske ø Samos levede i det 6. århundrede f.v.t. fra ca. 580 til ca. 500. Han lægger som sagt navn til den sætning, vi tidligere har nævnt,

Læs mere

Matricer og lineære ligningssystemer

Matricer og lineære ligningssystemer Matricer og lineære ligningssystemer Grete Ridder Ebbesen Virum Gymnasium Indhold 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber 1 Regning med matricer 3 13 Kvadratiske matricer og determinant 9 14 Invers matrix

Læs mere

Omskrivningsregler. Frank Nasser. 10. december 2011

Omskrivningsregler. Frank Nasser. 10. december 2011 Omskrivningsregler Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Lille Georgs julekalender 07. 1. december. Hvor mange løbere kan der opstilles på et skakbræt uden at de truer hinanden?

Lille Georgs julekalender 07. 1. december. Hvor mange løbere kan der opstilles på et skakbræt uden at de truer hinanden? 1. december Hvor mange løbere kan der opstilles på et skakbræt uden at de truer hinanden? Svar: 14 Forklaring: Der kan godt stå 14, f.eks. sådan: Men kunne der stå flere hvis man stillede dem endnu snedigere

Læs mere

Eksamensspørgsmål: Trekantberegning

Eksamensspørgsmål: Trekantberegning Eksamensspørgsmål: Trekantberegning Indhold Definition af Sinus og Cosinus... 1 Bevis for Sinus- og Cosinusformlerne... 3 Tangens... 4 Pythagoras s sætning... 4 Arealet af en trekant... 7 Vinkler... 8

Læs mere

Matematik - undervisningsplan

Matematik - undervisningsplan I 4. klasse starter man på andet forløb i matematik, der skal lede frem mod at eleverne kan opfylde fagets trinmål efter 6. klasse. Det er dermed det som undervisningen tilrettelægges ud fra og målsættes

Læs mere