Side 19. Skrevet af HH. Røjfri Andersen

Transkript

1 Reciprok algoritmen for phi Det gyldne snit phi er rod i ligningen x 2 = x + 1. Vi omskriver og finder et udtryk egnet til iteration på lommeregneren. Beregningen stabiliserer sig hurtigt på phi, som altså er fixpunkt. Udtrykket x = (x + 1)/ x = 1 + 1/x giver et tasteskema ca. således 1 blot for at starte [ 1/x ] [ + ] 1 [ = ]... aflæse og fortsætte, gentage [ 1/x ] [ + ] 1 [ = ] osv. Denne algoritme kunne illustreres smukt i koordinatsystemet. Grafen for venstre side er retlinet, mens grafen for højre side er en kurve i første kvadrant. Mere teoretisk kan algoritmen fortolkes i relation til kædebrøken for phi. Start med et tal a. Med reciproktasten danner vi en ny kædebrøk, der har nul på første plads, derefter sætter vi partial-nævneren til én og gentager dette spil. Det giver en række forskellige kædebrøksnotationer: [a], [ 0, a], [ 1, a], [ 0, 1, a], [ 1, 1, a], [ 0, 1, 1, a], [ 1, 1, 1, a] osv. Grænseværdien bliver [ 1, 1, 1, ] = phi kædebrøken. Le Corbusier Arkitekten Le Corbusier udviklede et system bestående af blandt andet en idealperson, og en additiv række af mellemproportionaliteter. Personhøjden for Le Corbusier er 183 cm, delt af navlen i som vi kan sige: ydre og mellemproportional. Navlehøjden bliver 113 cm og højden fra navlen til issen 70 cm. Om begreberne rød serie og blå serie skriver Carsten Cramon: De tal, der nævnes her er selvfølgelig ikke tilfældige. Tallene stammer fra det proportioneringssystem, som han udviklede gennem 8 år fra Systemet kaldes Modulor og er bygget op over den menneskelige krops dimensioner Da disse igen bygger på det gyldne snit ser man i dette system en smuk synese af det fysiske og det åndelige, det endelige og det uendelige. Modulor vokser frem af to talfølger, den røde serie og den blå serie Rød serie 11, 16, 27, 43, 70, 113, 183, Blå serie 22, 32, 54, 86, 140, 226, 366, De to serier har samme struktur som fibonaccitallene. Et tal i følgen er altid summen af de to foregående. Det er præcis den egenskab ved fibonaccitallene som bevirker at kvotienterne konvergerer mod phi. Disse to serier har derfor samme egenskab. Ligeledes ses det at den blå serie er det dobbelte af den røde serie. Placeres tallene på en talline ses det tydeligt, at den røde series punkter ligger i midtpunkterne af den blå series intervaller, mens man let selv kan eftervise, at den blå series punkter ligger i det gyldne snit af den røde series intervaller Citeret efter Matematik, kunst og det gyldne snit / af Carsten Cramon. Et kapitel i Midt i Matematikken / af Gert Fosgerau og Finn H. Kristiansen. 2. reviderede udgave. Århus: Kvan i samarbejde med Matematiklærerforeningen, Første udgave kom Lucastal og Lucasrækken Fibonaccirækken er i familie med Lucasrækken [fransk udtale: Ly ka, efter Edouard Lucas]. De har samme rekursionsformel og starter næsten [ men kun næsten] med de samme tal. Mht. Lucas, så er den ene af to muligheder at starte rekursionen med 2 og 1. Det giver rækken: 2, 1, 3, 4, 7, 13,... osv. Side 19. Skrevet af HH. Røjfri Andersen

2 Men den anden mulighed giver en pænere teoretisk sammenhæng hvilket vi foretrækker. Vi vedtager at starte med 1 og 3. Dermed bliver Lucasrækken L(n): 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, Nu gælder en pæn formel hvor rækkens n-te element er givet som en linearkombination af de to konstanter +phi og phi reciprok; og da formlens andet led er numerisk lille kan vi som oftest tillade os at afrunde L(n) = (phi) n + ( phi 1 ) n for n = 1, 2, 3, = (phi) n + ( 1 phi ) n = round ( ( phi ) n ) for n > 1 For n = 0 giver den første formel L(0) = 2, et fornuftigt resultat. Om et øjeblik skal vi generalisere og finde det nul-te element i alle rækker af denne type. Ligeledes skal vi finde de såkaldte Binet-formler for hver række. De er eksakte og gælder for alle naturlige tal n. I modsætning hertil virker den praktiske afrundingsformlel ikke for Lucasrækkens nul-te eller første led, men for alle de følgende led. Smart ved mange beregninger! Tabel. Phi potenserne. positive potenser negative potenser type *) (phi) 0 0 phi phi + 1 (phi) 0 (phi) 1 1 phi phi 1 (phi) 1 (phi) 2 1 phi phi + 2 (phi) 2 ± (phi) 3 2 phi phi 3 (phi) 3 (phi) 4 3 phi phi + 5 (phi) 4 ± (phi) 5 5 phi phi 8 (phi) 5 (phi) 6 8 phi phi + 13 (phi) 6 ± (phi) 7 13 phi phi 21 (phi) 7 (phi) 8 21 phi phi + 34 (phi) 8 ± (phi) 9 34 phi phi 55 (phi) 9 (phi) phi phi + 89 (phi) 10 ± (phi) phi phi 144 (phi) 11 (phi) phi phi (phi) 12 ± (phi) phi phi 377 (phi) 13 (phi) phi phi (phi) 14 ± Reciprok algoritmen for phi potenserne Tabellen viser, at phi (bortset fra et evt. fortegn) indgår på samme måde i de n-potenser, der står over for hinanden i tabellen. Derfor findes der for n = 1, 3, 5,... osv. en forholdsvis kort og nem reciprok algoritme. Den konvergerer hurtigt og svarer til en kædebrøk, der er yderst pæn. Iterationsfunktionen er f(x) = p + 1/x og kædebrøken er af typen [ p, p, p, p, ], hvor tallet lille p fremgår af følgende oversigt. Algoritmens hjælpetal 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, p 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, indeks n *) type ± ± ± ± ± Side 20. Skrevet af HH. Røjfri Andersen

3 Reciprok algoritmen - fortsat - Vi talte om den hjælpsomme konstant i algoritmen. Til potensen lille n betragter vi nu fibonaccitallene og summerer de to nabotal, vi danner p = F(n 1) + F( n+1 ) = L(n) Så den hjælpsomme konstant er faktisk det pågældende Lucastal. For de lige potenser 2, 4, 6,... osv. er forholdene lidt snørklede, lad os først kommentere på de ulige potenser: Vi tager eksempelvis de to phi potenser med n = 5 og finder p = L(5) = 11. Derefter tasters ca. således 11 [sto] 5 blot for at starte [ 1/x ] [ + ] [mr] [ = ]... aflæse og fortsætte, gentage [ 1/x ] [ + ] [mr] [ = ] [ 1/x ] [ + ] [mr] [ = ]... osv. Dermed fandt vi phi-i-fem-te = 11,09017 (afr.) = [ 11, 11, 11, 11, ]. Undervejs i algoritmen har vi reciprokværdien stående på lystavlen; kædebrøken er her phi-i-minus-fem-te = [ 0, 11, 11, 11, 11, ]. Tasteskemaet fandt vi ved at bemærke at specielt de ulige potenser opfylder en ligning af typen y = ( p y + 1 ) / y eller y 2 = p y + 1. Dette var tasteskemaet for de ulige phi-potenser, nu kommer potenserne med lige eksponent. Lige potenser. Typen ± Lad os som eksempel betragte de to potenser med n = 6; her finder vi lille p = L(6) = 18. Vi taster ca. således 18 [sto] 6 blot for at starte [ 1/x ] [ +/ ] [ + ] [mr] [ = ] [ 1/x ] [ +/ ] [ + ] [mr] [ = ] [ 1/x ] [ +/ ] [ + ] [mr] [ = ] osv. med typen ± Efter reciproktasten kan vi aflæse phi-i-minus-seks-te. Derefter kommer fortegnsskiftet! Selenius kædebrøker For lige indeks 2, 4, 6, osv. bliver kædebrøkerne sofistikerede. Vi må indføre en ny type med partial-tæller. Vor sædvanlige notation indeholder et komma foran hvert heltal; kommaet vil vi fortolke som et plus og sætte partial-tælleren til +1. Sætter vi semikolon foran et heltal vil vi fortolke det som minus, i dette tilfælde partial-nævneren 1. Vort skema for konvergenterne må nu udvides med en linie, og beregningen a la Wallis bliver lidt mere kompliceret. Med plus eller minus éen som partial-tæller får vi ideale kædebrøker af typen Selenius: For (phi) 2, phi-i-to-te [ 3; 3; 3; 3; ] og [ 0, 3; 3; 3; 3; ] for (phi) 2 For (phi) 4, phi-i-fir-te [ 7; 7; 7; 7; ] og [ 0, 7; 7; 7; 7; ] for (phi) 4 For (phi) 6, phi-i-seks-te [ 18; 18; 18; 18; ] og [ 0, 18; 18; 18; 18; ] for (phi) 6 For (phi) 8, phi-i-otte-te [ 47; 47; 47; 47; ] og [ 0, 47; 47; 47; 47; ] for (phi) 8 Når dette er sagt må vi tilføje, at kædebrøksnotationen for et irrationalt tal ikke er en given ting, man kan faktisk vælge mellem flere udgaver, og omskrive den ene til den anden. Den sædvanlige notation er fortsat gyldig: For (phi) 2, phi-i-to-te [ 2, 1, 1, 1, 1 ] og [ 0, 2, 1, 1, 1, ] for (phi) 2 For (phi) 4, phi-i-fir-te [ 6, 1, 5, 1, 5, ] og [ 0, 6, 1, 5, 1, 5 ] for (phi) 4 Side 21. Skrevet af HH. Røjfri Andersen

4 Verdens bedste kædebrøk? Kædebrøker af typen Selenius [Clas Olof Selenius, ] indeholder altså en række fortegnsdetaljer vi senere må gøre rede for. I notationen eller kædebrøkens spektrum skriver vi fortsat små hele tal, der nemt kan tastes frem på lommeregneren. Men der kommer ikke længere 1 taller inde i kædebrøkens spektrum. Ved beregningen af partial-nævnerne overkompenserer man så at sige, og trækker for meget fra på lommeregneren. Det lyder kryptisk, men sagt abstrakt er Selenius-typen uden 1 taller optimal. Notationen udvælger de bedre konvergenter og springer over de brøker, der er mindre gode tilnærmelser til det undersøgte tal. Selenius bruger en speciel størrelse gamma som kvalitetsmål for konvergenten tæller/nævner : 1 / gamma = abs( tæller nævner phi) nævner På denne måde får tallet phi en notation [ 2; 3; 3; 3; ] sml. den kendte brøk [ 1, 1, 1, 1, ]. Man siger om den sidste, at den giver verdens dårligste approksimationer. Omvendt må man kunne kalde notationerne a la Selenius for verdens bedste. Faktisk giver beregning efter Selenius lutter rekordagtigt gode brøker som tilnærmelse til det undersøgte irrationale tal. Det er i hvert fald hvad han skriver. [ Konstruktion und Theorie halbregelmässiger Kettenbrüche mit idealer relativer Approximation / von C. O. Selenius. Åbo: Acta acad. Aboensis 22.2, 1960 ]. Lige phi potenser og konvergentberegning Hvordan begrunder vi det specielle tasteskema med reciprok og fortegnsskift? Det svarer til iterationsfunktionen f(x) = p 1/x = ( 1/x p ) og udtrykker, at disse potenser opfylder ligninger af typen y = ( p y + 1 )/ y dvs. y 2 = p y 1 Lille p er hele tiden Lucastallet L(n) og det hele ses smukt illustreret i den foregående tabel over phi-potenserne. Alle potenserne er er skrevet som såkaldte hele tal i phi-området: pæne summer af heltal og visse multipla af phi [ med normen lig et helt tal ]. Vi ser alle fibonaccitallene og vi ser, at systematikken fremkalder Lucastallene; - de tal der skal ind i vort tasteskema. Det eneste specielle ved de lige potenser er, at vi må taste med et fortegnsskift, og at kædebrøkerne bliver af typen Selenius med semikolon mellem alle partial-nævnerne. Vi viser beregning af de rekordagtige konvergenter for phi med notationen [ 2; 3; 3; 3; 3; ]. Prøv selv at opstille det udvidede skema for phi-i-to-te, phi-i-fir-te,... osv. [ ikke så let ]. Beregning af konvergenter nr: osv. a la Wallis partial-tæller partial-nævner konvergent-tæller konvergent-nævner I dette udvidede skema beregnes f.eks. den femte konvergent efter opskriften (hold fast): den gange den plus den gange den. [Vi peger ind på de rette felter i skemaet]. Konvergentens tæller findes ved at beregne: 34 gange partial-nævneren 3 plus partial-tælleren gange 13. Dvs = 89. Derefter findes konvergentens nævner: 21 gange partial-nævneren 3 plus partial-tælleren gange 8. Dvs = 55. Den springvise beregning er opfundet af John Wallis og gælder specielt, når partial-tælleren er plus éen, hvad der normalt er tilfældet. Per definition har regulære kædebrøker plus éen i tælleren i hvert led, mens semi-regulære iht. Selenius har enten plus eller minus éen! [og evt. semikolon]. Side 22. Skrevet af HH. Røjfri Andersen

5 Generaliserede rækker af fibonaccitypen Vi kan generalisere på flere måder. Overalt beholder vi rekursionsformlen, som allerede nævnt a(n) = a(n 1) + a(n 2). Vi kan definere rækkens første og andet led frit. Herefter går vi fremad og finder n-te led. Går vi baglæns gælder formlen a(n 2) = a(n) a(n 1) eller bedre a(n) = a(n+2) a(n+1). Hermed finder vi det nul-te led, og evt. også led med negativt indeks. For Lucas-talfølgen finder vi det nul-te led til 2, for Fibonacci bliver det nul-te led tallet nul. De nye supplerede rækker 2, 1, 3, 4, 7, 13, 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, vil vi herefter blot opfatte som generaliserede eksemplarer af allerede kendte rækker. Vælger vi et vilkårligt tal p som nul-te element, og tallet q som første, plus samme rekursionsformel får vi en smuk generaliseret fibonaccirække med det n-te led givet ved allerede kendte tal p, q, q +p, 2 q +p, 3 q +2 p, 5 q +3 p, 8 q +5 p, F(n) q + F(n 1) p Vi har allerede tidligere i disse noter set et eksempel: rækken for phi-potenserne, hvor vi talte enten fremad eller bagud, og fik de yderst pæne linearkombinationer af phi og almindelige heltal: Index: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, n 1, phi, phi +1, 2 phi +1, 3 phi +2, 5 phi +3, 8 phi +5, F(n) phi + F(n 1) samt baglæns for n = 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, phi, 1, phi 1, phi + 2, 2 phi 3, 3 phi + 5, 5 phi 8, 8 phi + 13 Linearkombinationerne skrevet på denne måde er en kvotientrække af typen (phi) n. Samt en generaliseret fibonaccirække med formlerne a(n) = a(n 1)+a(n 2) og a(n) = a(n+2) a(n+1). Additive rækker Et kort og noget underforstået navn for disse talfølger er additive rækker. De må ikke forveksles med hverken kvotientrækker eller differensrækker. Undersøgelser med reelle tal viser, at der faktisk er to kvotientrækker, der også er additive rækker. Det giver et bemærkelsesværdigt resultat: Alle rækker med vor pæne rekursionsformel kan skrives op med en Binet-formel. [ Binet udtales fransk bi né. ]. Formlen er en sum af potenser af to bestemte tal [ phi og minus phi reciprok, eller phi og ( 1 phi ) ] med passende koefficienter og fortegn. Formler findes for både fibonaccirækken, Lucastallene og eksempelvis Le Corbusiers røde serie. Den rette linearkombination kan være svær at regne ud. Binet formler Lad os se på en vilkårlig additiv talfølge a(n) startet ud fra to kendte (hele) tal. Vi skriver rækkens led op som en kombination af de omtalte potenser, med koefficienter c1 og c2, som vi evt. kan finde a(n) = c1 (phi) n + c2 ( phi 1 ) n for n = 1, 2, 3 eller a(n) = c1 (phi) n + c2 ( 1 phi ) n Dette er en generel formel, med n = 1, 2, 3, osv. [ lille n gennemløber de naturlige tal ] Lad os betragte de to c-er som de såkaldt ubekendte størrelser, og de to første a-er som de kendte og givne størrelser, tallene a(1) og a(2). Lad os så løse de to ligninger med to ubekendte. Det kan gøres bl.a. ved de ligestore koefficienters metode. [ detaljer må vi vise en anden gang ]. Side 23. Skrevet af HH. Røjfri Andersen

6 At løse to ligninger med to ubekendte For n = 1 og n = 2 har vi ligningerne eller efter udregning c1 phi + c2 (1 phi) = a(1) c1 sq(phi) + c2 sq(1 phi) = a(2) c1 phi + c2 (1 phi) = a(1) c1 (phi + 1) + c2 (2 phi) = a(2) med løsningerne regne, regne c1 = ( 3 phi 4)/5 a(1) + ( phi + 3)/5 a(2) c2 = ( 3 phi 1)/5 a(1) + ( phi + 2 )/5 a(2) Nu kan vi gå tilbage og opstille den rette Binet-formel. Disse generelle formler giver koefficienterne i nogle allerede omtalte beregningsopgaver: Navn a(1) a(2) koefficient c1 koefficient c2 Rød serie (17 phi + 4)/5 ( 17 phi + 21)/5 Fibonacci 1 1 (2 phi 1)/5 = 1/sqr5 ( 2 phi +1)/5 = 1/sqr5 Lucas (eksakt) + 1 (eksakt) Eksempel 2 5 (phi + 7)/5 = (sqr5 + 15)/10 ( phi + 8)/5 = (15 sqr5)/10 To grænseværdier Da første led dominerer over det andet ses størrelsen af n-te led i denne generelle række at blive a(n) = round( c1 (phi) n ) Dog gælder denne formel først fra et passende nummer og fremefter. Afrundingen sletter andet led fra et vist trin og frem. Dette sker fordi grænseværdien af c2 (1 phi) n = 0. Smart formel. Og vedrørende den såkaldte kvotient i en additiv række. Forholdet mellem to led i rækken kan via Binet-formlen beregnes som en grænseværdi. Her ser vi på brøken a(n+1) c1 (phi) n+1 + c2 ( 1 phi ) n+1 = a(n) c1 (phi) n + c2 ( 1 phi ) n Ved en snedig division og brug af et hjælpetal, kvotienten q = ( 1 phi ) / phi = phi 2 = 0, kan vi omskrive kæmpebrøken. Da lille q er numerisk set mindre end 1 vil tallet opløftet til n-te være en størrelse, der går mod nul [når n går mod uendeligt]. For grænseværdier har vi fornuftigvis visse regneregler, som i dette tilfælde giver en nemt resultat: Grænseværdien a(n+1)/a(n) = = grænseværdien af ( phi + c2/c1 q n (1 phi) ) / (1 + c2/c1 q n ) = = ( phi + 0 ) / ( ) = phi Altså samme grænseværdi phi for alle rækker af denne type! Side 24. Skrevet af HH. Røjfri Andersen

7 Konvergens Vi har tidligere vist at en talfølge defineret ved en Binet-formel har et forhold, der konvergerer mod phi (forholdet mellem hvert led og det foregående). Det samme kan mere simpelt indses at gælde for enhver talfølge af fibonaccitypen, der er rekursivt defineret ved a(0) = p, a(1) = q og den allerede nævnte rekursionsformel. Lad os antage, at rækken af brøker a(n)/a(n 1) konvergerer. Tag nu tre på hinanden følgende led og dan denne brøk. Vi kalder for nemheds skyld leddene for a, b og (a+b). Så gælder langt ude i nummerrækken med god tilnærmelse (a+b) / b = b / a eller 1 / x + 1 = x hvoraf x 2 x 1 = 0 og det sædvanlige udtryk for phi fremkommer. Ligningens negative rod er det andet grundtal for en række af typen t n, der samtidigt er en additiv række. Mellemproportionalitet Ganges ligningen (a+b)/b = b/a på begge sider med produktet lille a b fås (a+b) a = b b dvs. leddet b er mellemproportional mellem sine to naboer, tilnærmelsesvist. Tager vi kvadratroden ser vi for leddene inde i en additiv række, at a(n) = sqr[ a(n 1) a(n+1) ] Ligningen gælder som vi siger: kun i grænsen, dvs. med god og bedre tilnærmelse jo større index n vi inddrager. Nedenfor beregner vi nogle mellemproportionaler til fibonaccirækkens genboled med den nævnte formel ,41 1,73 3,16 4,90 8,06 12,96 21,02 33,99 Plus eller minus én Nu kommer en ligning, der kun gælder Fibonacci. Beviset kan føres ved induktion. Tallet F(n) 2 + F(n) F(n 1) + F(n 1) 2 = ( 1) n Vi mødte dette tal i forbindelse med beregning af norm for udtryk af formen (phi) n = F(n) phi + F(n 1) i rækken af de positive phi-potenser. Vi beregnede normen lille k tilbage på side For Lucastallene gælder en noget lignende ligning, der ligeledes kan vises ved induktion: L(n) 2 + L(n) L(n 1) + L(n 1) 2 = 5 ( 1) n Perrintal, Perrinrækken En tredie interessant additions-række er Perrrinrækken; den indeholder et talteoretisk mysterium vedrørende primtallene. Perrin genereres af en lidt anderledes rekursionsformel [den er dermed ikke en af vore additive rækker med Binet-formel] a(n) = a(n 2) + a(n 3) Denne række starter med første, andet, tredje led givet ved 0, 2 og 3. Dermed fås 0, 2, 3, 2, 5, 5, 7, Læg mærke til primtallene 2, 3 og 5, hhv. P(2) = 2, P(3) = 3, P(5) = 5. Rækkens nummer p går op i det pågældende led, når og kun når lille p er et primtal! I hvert fald formoder man dette. Generelt kan det udtrykkes, at for alle primtal p er p divisor i P(p), dvs. int ( P(p) / p ) = P(p) / p. Kun primtal går rent op. Ligningen definerer de såkaldte perrin-pseudoprimtal og er for de ægte primtal eftervist op til en høj grænse. [iøvrigt har Perrin ikke meget at gøre med Fibonacci mfl.]. Side 25. Skrevet af HH. Røjfri Andersen

8 Kepler om vores phi Geometrien har to store skatte: Pythagoras sætning og delingen af en linie i ydre og mellemproportional. Den første er en guldklump. Den anden er at sammenligne med en juvel. Geometry has two great treasures: one is the theorem of Pythagoras; the other, the division of a line into extreme and mean ratio. The first we may compare to a measure of gold; the second we may name a precious jewel. Johannes Kepler ( ), som citeret af Coxeter. Cheops pyramiden Ifølge en overlevering fra Herodot skal det ægyptiske præsteskab have bygget pyramiden på en sådan måde, at arealet af en (trekantet) sideflade netop er kvadratet på højden (pyramidens totale højde). Forholdet mellem sidefladens højde og den halve grundlinie blev dermed netop det gyldne snit. Figuren til venstre viser et phi-rektangel klippet over diagonalt; det kan så klistres sammen til en sideflade i pyramiden. Kvadratet på pyramidens højde er a 2, siger vi. Pyramiden indeholder dermed den kendte retvinklede trekant, hvor den pythagoræiske læresætning giver a 2 + b 2 = c 2 hvor lille b er den halve side i pyramidens basis, og lille c er hypotenusen. Denne linie løber som en median ned fra pyramidens top til et fodpunkt midt på sidefladen og deler dermed fladens areal op i to nye trekanter, med højde c og grundlinie 2 b. [ Målt rundt langs pyramidens basis har vi længden 8 b]. Sidetrekantens areal bliver med disse betegnelser b c som vi sætter lig med kvadratet a 2. b c = a 2 Pythagoras giver da b c + b 2 = c 2 Deler vi to gange med lille b får vi en andengradsligning i størrelsen c/b. Det er den kendte andengradsligning, en ligning i c/b som kan løses c/b = (c/b) 2 dvs. x 2 x 1 = 0 Den positive løsning ses at blive phi mens den negative løsning ikke har noget med pyramiden at gøre. Forholdet 8 b/a eller forholdet mellem pyramidens perimeter ved basis og pyramidens højde kan herefter udledes til at blive 8/sqr(phi) eller ca. éen promille mere end 2 pi. Alt dette baseres på den lidt tvivlsomme læsning af Herodot, hvorefter kvadratet på pyramidens højde skulle være b c. [ Kilde: Referat af regionalmødet Matematik og Kunst / af Bjørn Felsager i LMFK-bladet, november Om et foredrag af Carsten Cramon ]. Side 26. Skrevet af HH. Røjfri Andersen

9 Kvadratrod Radix betyder en rod. Her i teksten benytter jeg sqr (= squareroot) som forkortelse for den almindelige kvadratrod og for den funktion, der tager kvadratroden. Der findes et mærkeligt rodudtryk som er lig med phi. Et kæmpemæssigt, uendeligt rodudtryk phi = sqr( 1 + sqr( 1 + sqr( 1 + sqr( 1 + ) ) ) ) Egentligt falder dette udtryk fuldstændigt uden for lands lov og ret og ligner ikke noget, man ser andre steder i matematikkens litteratur. Den slags sære formler minder mig om inderen Ramanujan, der imponerede Vesten, først og fremmest Englands matematikere. Hans korte levetid var Vi har altså en kæmpeformel med uendeligt mange indlejrede parenteser. Vi vil benytte den som træning i programmering, eller til et studie i iteration og tilnærmelse. Vi kan iht. formlen beregne phi som grænseværdien for en talfølge, hvor de første trin er 1 [sqr] aflæse og fortsætte [ + ] 1 [ = ] [sqr]... aflæse og fortsætte, gentage [ + ] 1 [ = ] [sqr] [ + ] 1 [ = ] [sqr] osv. Vi starter så at sige indefra, og laver en iterationsfunktion f = sqr( 1 + foregående resultat). Du kan programmere din lommeregner eller måske få et program til at tegne en funktionsgraf, hvor antallet af beregninger står på førsteaksen. [Multimat f(x) = if( x > 1, sqr( 1 + f( x 1) ), 1) ]. Spillet kan generaliseres ved at lagre et positivt tal lille c på lommeregneren og bruge lagerværdien i stedet for 1 til addition. Nu ændres så grænseværdien. I stedet for tallet phi går processen mod andre interessante tal. Vore kæmpeformler indeholder nu en konstant samt den løbende variable størrelse. Konstanten lille c omtales nedenfor. Variablen lille x kan vi også trække fra. Resume: iterationsfunktion grænseværdi f(x) = sqr( 1 + x ) phi eksakt f(x) = sqr( c + x ) 0,5 + sqr( c + 0,25 ) eksakt f(x) = sqr( 1 x ) phi reciprok eksakt f(x) = sqr( c x ) 0,5 + sqr( c + 0,25 ) eksakt De kæmpe rodformler: For selve phi fik vi side 2 relationen [ kan også udledes i K(sqr5)] phi 2 = 1 + phi dvs. phi = sqr( 1 + phi ) Her citerer udtrykket så at sige sig selv, det er selvrefererende. Det virker usædvanligt og giver da også den usædvanlige formel med parenteser indlejret i det uendelige. For tallet phi reciprok og dets kvadrat skulle vi kunne udlede phi 2 = 2 phi = 1 ( phi 1 ) = 1 phi 1 Det kvadrerede tal er positivt, 0,382 afrundet til tre decimaler. Tager vi kvadratroden ses at phi 1 = sqr( 1 phi 1 ) Igen citerer udtrykket sig selv og igen får vi en kæmpeformel med indlejrede kvadratrødder phi 1 = sqr( 1 sqr( 1 sqr( 1 ) ) ) sml. phi = sqr( 1 + sqr( 1 + sqr( 1 + sqr( 1 + ) ) )... ) Vi må overalt forudsætte at kvadratrodsfunktionen er defineret, dvs. at indmaden aldrig bliver negativ trods minus i den ene formel. Vi sikrer os ved at stille nogle krav til konstanten lille c. Side 27. Skrevet af HH. Røjfri Andersen

10 Konstanten lille c forudsættes at være et tal større end 0,75, og vi forudsætter at starte iterationen med en positiv værdi lidt under c og mindst 0,5. Derefter kan beregningerne gentages igen og igen. Formlen med plus er allerede tastet ind. For formlen med minus taster vi ca. således c [sto] 2 [ 1/x ] blot for at starte, derpå [ +/ ] [ + ] [mr] [ = ] [sqr]... aflæse og fortsætte, gentage [ +/ ] [ + ] [mr] [ = ] [sqr] [ +/ ] [ + ] [mr] [ = ] [sqr] osv. Når de gentagne beregninger har stabiliseret sig gælder en af følgende andengradsligninger x 2 = c + x x 2 = c x og vi kan nemt skrive et udtryk op for den positive rod, fixpunktet i systemet. [ se næste afsnit om andengradsligningen ]. I begge tilfælde har f(x) eller iterationsfunktionen i dette punkt en differentialkvotient, enten f (x) = ½ 1 / sqr( c + x ) hvor 0 < c, 0 < x eller f (x) = ½ 1 / sqr( c x ) hvor 0,5 < x < c 0,25, 0,75 < c Numerisk set er f mærke mindre end tallet 1. Eller skal vi forsigtigt sige: I alle velvalgte eksempler stabiliserer differentialkvotienten sig hurtigt på et tal med numerisk værdi mindre end én. Dette er kriteriet for konvergens, når funktionen itereres. Kriteriet stammer fra: Iteration og kaos, et kapitel af Jens Carstensen, allerede nævnt side 5 i disse noter. Vælger vi kæmpeformlen med minus og konstanten lille c = 1 ses beregningerne at stabilisere sig på tallet phi reciprok. Men vælger vi andre konstanter fås andre grænseværdier som resultat. Tallene c = 2, 6, 12, 20, n (n+1) giver hele tal som grænseværdi for de gentagne beregninger. [ tallet n ]. Vælger vi kæmpeformlen med plus og tallene c = 0, 2, 6, 12, (n 1) n får vi ligeledes et helt tal som grænseværdi [ tallet n ]. Passer og lineal Hvilke tal kan vi konstruere os frem til, med passer og lineal? Ja først og fremmest alle hele tal, konstrueret som passende liniestykker og afsat efter behov i koordinatsystemet. Vi kan derefter konstruere multipla af ethvert liniestykke. Ud fra et givet liniestykke kan vi konstruere et kvadrat og dermed diagonalen dvs. kvadratroden. Ligeledes kan vi dele et liniestykke op i n lige store dele. Og endeligt kan vi løse en reduceret andengradsligning hvor lille b og c som koefficienter er konstruerbare tal. Disse fire operationer kan vi gentage i vilkårlig rækkefølge og det giver os mængden af konstruerbare tal, de euklidiske tal som de kan kaldes [The Book of Numbers / by John H. Conway and Richard K. Guy; Springer Verlag, New York, ]. De næste sider behandler den geometriske konstruktion af løsninger. Litteratur opdaget undervejs A Mathematical History of the Golden Number / by Roger Herz Fischler; Dover Publications, The divine proportion / by H. E. Huntley; Dover Publications, New York, Alle tiders tal / af Paul Ranzau. Kbh.: Politiken, (en af de stribede håndbøger). Ramanujan The Man and the Mathematician / by S.R. Ranganathan; London De(t) gyldne snit I kunst, natur og matematik / af Jesper Frandsen; Systime, Opr Fibonacci-tallene / af Torgeir Onstad. Normat 1, Fibonacci-tall i tallteorien / af Christoph Kirfel. Normat 2, Dvs. Normat, årgang 1991, hæfte 1 og 2. Historisk matematik / af Poul la Cour; Kbh. : Rosenkilde og Bagger, Udtrykket højdeling, i stedet for ydre og mellemproportional, går måske tilbage til danske H.G. Zeuthen, professor i oldtidens teknik og matematik. Se om ham i artiklen Matematik, historie i SDE, Den Store Danske Encyclopædi. Side 28. Skrevet af HH. Røjfri Andersen

11 Passer og lineal Konstruktioner med passer og lineal er en kunstart, der har sine egne eksperter. Der opereres indenfor en ganske omfattende talmængde og dog er der opgaver, der ikke kan løses med passer og lineal. Man kan ikke afsætte et liniestykke af længden pi, eller af længden den tredje rod af 2. Men for at vende tilbage til vort emne, man kan konstruere både kvadratrod 5 og det gyldne snit phi, og man kan finde de eventuelle rødder i en pæn andengradsligning. Andengradsligningen At finde de eventuelle løsninger er en kendt sport. Det kan ske ved at følge et nogenlunde fast skema. Først ordner vi ligningen. Nul på højre side, og koefficienterne store A, B og C på venstre side identificeres. Så reducerer vi, så koefficeienten til x-i-to-te bliver tallet +1, dvs. vi dividerer igennem med store A. Vi har da ligningen x 2 + b x + c = 0 En ordnet, reduceret andengradsligning, der skal løses. [Som vi sagde: den halve koefficient med modsat fortegn, plus eller minus kvadratroden af, pause, samme størrelses kvadrat efterfulgt af ligningens sidste led med modsat fortegn ]. Her kan vi give en geometrisk konstruktion, hvor koordinaterne ( b, c ) afsættes som et punkt, hvorfra der trækkes en diameter op til (0,1), enhedspunktet på andenaksen. En hjælpecirkel konstrueres over denne diameter. Cirklen skærer førsteaksen i punkter, der angiver rødderne for den reducerede ligning. Det samme som løsningerne til den oprindelige andengradsligning. Det kan dog ske, at konstruktionen giver 1 eller 0 løsninger, i stedet for 2. Beviset foregår ved beregning af afstande i koordinatsystemet. Fra ethvert punkt på cirklens periferi ses diameteren under en ret vinkel. Der kan derfor konstrueres en retvinklet trekant fra rodpunktet x1 eller x2, og diameteren er i begge tilfælde hypotenuse. Dermed kan den pythagoræiske læresætning opstilles som en ligning, der viser sig at kunne omskrives til den relevante andengradsligning. Impressum Noterne omfatter nu 31 sider, plus forside og bagside. De ligger som Acrobat pdf-filer på forfatterens hjemmeside. Til privat brug er kopiering gratis. Trykfejl eller mystiske sager: Tøv ikke med at sende en mail til mig. Jeg håber du vil få glæde af noterne som de er nu. Skrevet og designet i februar Cand. scient. HH. Røjfri Andersen Øster Sundby Vej 47 DK 9000 Aalborg home6.inet.tele.dk/roejfri/ Alle filer og figurer er fremstillet af forfatteren. Side 29. Skrevet af HH. Røjfri Andersen

12 To figurer vedrørende geometrisk konstruktion af rødder. Og geometrisk konstruktion af phi. Side 30. Skrevet af HH. Røjfri Andersen

13 Eftertanker, opsamling >> Enkeltlogaritmisk papir, lodret enkeltlogaritmisk funktionspapir: Prik ind og tegn en hjælpekurve for fibonaccitallene. (Lucastallene, samme opgave, phi-potenserne, samme opgave) Tegn grafen for funktionen y = phi^x, som er defineret for alle reelle x på 1 aksen. Alm. kvadreret papir: Indlæg et phi rektangel i første kvadrant, så hjørnet er origo (0,0). Tegn diagonalerne og angiv en ligning for hver af de linier, der nu er tegnet. Rektanglet kan ligge ned eller stå på højkant. Phi linien. Tegn fra (0,0) linien med ligningen y = phi x. Find alle punkter med heltallige koordinater (n,m) på denne graf. Dvs. find hvor linien rammer de heltallige punkter i kvadratnettet. Det kvadratiske tallegeme K(sqr5) I kapitlet om algebra side 7 brugte vi tal af formen c + d sqr5 med koordinater som ( c, d ). Det syntes jeg var naturligt på dét sted. Her burde vi have vist et par vigtige ligninger: Opgave: Vis ud fra phi = 0,5 + 0,5 sqr5 den vigtige ligning: sq( phi ) = phi + 1 Opgave: Vis også den vigtige ligning: phi (phi 1) = 1 eller 1/phi = phi 1 Phi området: I kapitlet om linearkombinationer brugte vi tal af formen c phi + d også med ( c, d ) som koordinater. De tal er underforstået kombinationer af phi og almindelige rationale tal. På side 14 udledte vi en reciprokformel specielt med disse koordinater, som vi brugte videre på de følgende sider. Her virker det naturligt at nævne phi først. Så det er vigtigt at understrege, hvornår vi regner indenfor phi området med tal af formen c phi + d [og modsat, hvornår vi regner indenfor tallegemet generelt med tal af formen c + d sqr5 ]. For de såkaldte hele tal indenfor tallegemet gælder, at produktet af to af dem igen er et såkaldt helt tal. I phi området har disse tal heltallige koordinater ( m, n ). Det samme gælder om en sum, og om en differens. Men det gælder jo ikke brøkerne: dividerer vi to såkaldte hele tal får vi måske, måske ikke, igen et såkaldt helt tal. Men i virkeligheden, i det kvadratiske tallegeme, er de såkaldte hele tal defineret ved at have heltallig norm. De har koordinater af typen m phi + n = (n+m/2) + m/2 sqr5. Normen er da (n + m/2 + m/2 sqr5) (n + m/2 m/2 sqr5) = sq(n + m/2) 5 sq(m/2) =... regne,... = sq(n) + n m sq(m) dvs. et helt tal. Og omvendt, hvis normen er heltallig kan tallet vises at være af formen m phi + n, - en påstand, jeg ikke skal søge at bevise. De såkaldte enheder er tal med normen plus eller minus éen [ sml. phi-potenserne ]. Side 31. Skrevet af HH. Røjfri Andersen