En introducerende lærebog i dynamisk simulation af stive legemer. Kenny Erleben

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "En introducerende lærebog i dynamisk simulation af stive legemer. Kenny Erleben"

Transkript

1 En introducerende lærebog i dynamisk simulation af stive legemer Kenny Erleben 1. februar, 2001

2 Resumé Dette er et speciale i datalogi omhandlende dynamisk simulation af stive legemer. Specialet er udarbejdet med henblik på at kunne anvendes som en introducerende lærebog i dynamisk simulation. Specialets centrale bidrag er et generelt moduldesign, der kan anvendes i forbindelse med alle de simulatortyper, der eksisterer i dag. Dette speciale adskiller sig hovedsagligt fra andre lærebøger ved, at der fokuseres mere på bredden i emnet. Formålet er at give læseren et grundigt overblik og indsigt i den anvendte teori, samt afhjælpe nogle af de praktiske problemer, man normalt støder på som nybegynder.

3 Kapitel 1 Forord Dette speciale er skrevet i forbindelse med datalogistudiet på datalogisk institut ved københavns universitet (DIKU). Specialet er udarbejdet af Kenny Erleben i perioden septemper 2000 til feburar Specialets emne er dynamisk simulation af stive legemer. Hovedformålet med dette speciale er at udforme det som en introducerende lærebog. Målgruppen for dette speciale er typisk studerende, som har gennemført de første par år af deres uddannelse. Med andre ord læseren bør have kendskab til forskellige grundlæggende ting, såsom datastrukturer, vektorer og matricer. Der er allerede skrevet mange artikler og bøger om dynamisk simulation, så hvorfor skulle jeg prøve at skrive endnu en lærebog? Jeg mener selv, at jeg har en god chance, for at kunne skrive en god introducerende lærebog, eftersom jeg har et lidt mere farvefuldt synspunkt på, hvorfor det er vanskeligt at få lært de grundlæggende ting. 1.1 Hvorfor er det så vanskeligt? Der er ingen tvivl om, at dynamisk simulation af stive legemer er et interessant og spændende emne. Desuden er dynamisk simulation begyndt at blive et virkelig populært emne, dels er både lm- og spilindustrien begyndt at få øjnene op for mulighederne. Ydermere kan man næsten ikke nævne Virtual Reality (forkortet VR) uden også at nævne dynamisk simulation i samme sætning. En ting, som alle hurtigt kan blive enige om, er, at det er meget nemt at blive inspireret til at prøve på at implementere en simulator. Desværre er der en temmelig lang vej fra at læse en videnskabelig artikel eller en lærebog til selv at kunne gennemføre en succesfuld implementering af en simulator. Dertil kommer, at vejen er fuld med skarpe sving, hvor det kan være vanskeligt at se, hvordan man kommer videre. Selv har jeg efterhånden arbejdet med dynamisk simulation af stive legemer i et par år, og det er faktisk først nu, at jeg med dette speciale kan sætte kronen på værket, og med fuld overbevisning og god samvittighed sige, at jeg langt om længe endelig har fået lært alt det grundlæggende. Jeg er derfor fuldstændig enig med en masse andre i, at dynamisk simulation er meget tidskrævende og har en enorm stejl indlæringskurve. Eftersom jeg selv har en god portion fysik og matematik med i bagagen, så 2

4 KAPITEL 1. FORORD 3 har jeg et lidt andet synspunkt på, hvorfor det er en tidskrævende og vanskelig indlæringsproces. Det traditionelle synspunkt er, at det er den store mængde fysik og matematik, som gør indlæringskurven meget stejl. Jeg mener dog, at dette kun er en af de medvirkende årsager. Efter min mening er der yderligere re andre medvirkende årsager. Disse er: 1. Emnet spænder vidt og dækker mange datalogiske fagområder. 2. Emnet opfattes, som om det kun er for grask interesserede. 3. Faglitteraturen er meget specik, og fokuserer på helt bestemte problemer. Det er derfor svært at danne sig et overordnet overblik og forstå, hvordan forskellige løsninger skal arbejde sammen. 4. Det er svært at forstå, hvordan en simulator skal konstrueres i praksis. 1.2 Specialets bidrag Dette speciale forsøger at udbedre kendskabet til dynamisk simulation og gøre indlæringsprocessen mere overkommelig for nybegyndere. Håbet er, at dette speciale kan motivere og hjælpe endnu ere til at arbejde med dynamisk simulation. Det centrale og selvstændige bidrag i dette speciale er et generelt moduldesign, som jeg benytter til at give læseren et overblik, samt indsigt i hvordan en simulator fungerer i praksis. Dette moduldesign er selvfølgelig mit bud på, hvordan verden bør se ud, der ndes sikkert andre, som synes, nogle ting bør gøres lidt anderledes. Før jeg begyndte på at skrive dette speciale, arbejdede jeg på et eksperimentelt simulator klasse API, som jeg navndøbte QAD (en forkortelse for Quick And Dirty). QAD var et meget ambitiøst projekt, hovedmålet var i bund og grund at implementere en masse forskellige veldenerede byggeklodser, som kunne sættes sammen på forskellige måder, således at man kunne få forskellige simulatorer ud af det. Da projektet blev afbrudt, kunne man sammensætte mere end 30 forskellige simulatorer. Håbet var, at man kunne skjule unødvendig information for andre, så de kunne nøjes med at fokusere på de metoder og algoritmer, som interesserede dem. Det var og er stadigvæk min overbevisning, at QAD vil være et værdifuldt værktøj både til forskning og undervisning. Uheldigvis var dette projekt ikke så succesfuldt, som jeg havde håbet på. Der var store problemer med at få en høj ydeevne, dels fordi byggeklodserne skulle være så generelle, at de kunne kombineres vilkårligt med hinanden. Projektarbejdet er derfor midlertidig afbrudt. QAD var dog ikke helt mislykket, jeg opnåede nemlig et meget vigtigt resultat med QAD: Moduldesignet. De byggeklodser jeg arbejdede med, endte efter et par versioner med at være et abstrakt moduldesign. Det er dette moduldesign, som jeg har fornet og præsenterer i dette speciale. Pointen med min lille baggrundshistorie er, at mit moduldesign har været anvendt i praksis, og er altså ikke et eller andet teoretisk luftkastel. Interesserede læsere opfordres til at henvende sig til forfatteren af dette speciale for nærmere oplysninger omkring QAD.

5 KAPITEL 1. FORORD Alle de andre Jeg vil gerne takke alle de mennesker, som på den ene eller anden måde har bidraget til, at dette speciale er blevet til. Her i blandt både familie, venner, arbejdskollegaer, medstuderende, lektorer, professorer og en masse andre mennesker. Nogle af disse har bidraget med en ekstraordinær indsats eller interesse, som fortjener at blive nævnt. Denne liste er meget lang, så jeg håber ikke, at nogen tager det ilde op, at de ikke er blevet nævnt på grund af plads hensyn. Knud Henriksen har fungeret som min specialekonsulent. Han er altid frisk med en god ide og den mest grundige korrekturlæser, jeg nogensinde har stødt på. Niels Jørgensen fra Niemo Entertainment kan virklig sin C++, og har air for at omsætte teorien til noget praktisk anvendeligt. Foruden Niels ville jeg stadigvæk sidde og rode med min compiler. Thomas Wang en af de mest seriøse og ittige dataloger jeg nogensinde har mødt, uden hans hjælp ville LATEX stadigvæk være et mysterium for mig. Lonni og Bonni Erleben hvis skyld det er, at dette speciale ikke er blevet grammatisk ulæseligt. Derudover har en lang række af personer fra internettet tålmodigt bistået med kildereferencer og alen lange faglige diskussioner: Emmanuel Chamayou, Dave Eberle, Brian Mirtich, Chris Hecker og David Bara samt en masse andre. God fornøjelse Kenny Erleben Brønshøj, februar, 2001

6 Indhold 1 Forord Hvorfor er det så vanskeligt? Specialets bidrag Alle de andre Læservejledning 10 3 Indledning 12 4 Terminologi 15 I Grundlæggende matematik 17 5 Lineær algebra Matricer Quaternioner Geometri 34 7 LCP problem Algoritme Overblik Det k'te indeks Dierentialligninger Eulers metode Runge Kutta Adaptiv skridtstørrelse Step doubling Indlejrede Runge Kutta formler Stivhed og stabilitet II Den Grundlæggende fysik 57 9 Bevægelsesligningerne De fysiske love Newtons love

7 INDHOLD Massemidtpunktets bevægelse Vinkelhastigheden Kraftmoment og Impulsmoment Inertimatricen Orienteringer Dierentialligninger Matematiske formler for de fysiske love Tilstandsfunktionen Masseegenskaber Denitioner Udregning En terning En kugle Regneregler Rumfangsintegration Overblik Algoritme III Kollisionsbestemmelse Grovkornet kollisionsbestemmelse Grundlæggende principper Approksimationsprincippet Lokalprincippet Geometrisk ensartethed Omsluttende bokse Fikserede bokse Sweeping volumes Alle mod alle test Overlap mellem to omsluttende bokse Koordinatsortering Hierarkiske rumlige hashtabeller Enkelt niveau Flere niveauer Finkornet kollisionsbestemmelse Overblik Rumlige datastrukturer Geometriske størrelser Simplex Sphere trees Kollisionstesten Opbygning af et sphere tree V-Clip Overblik Kantklipning Indenfor Udenfor

8 INDHOLD Gennemtrængning Pseudokode Kontaktmangfoldighedsproblemet Grundlæggende denitioner En geometrisk metode Antagelser Algoritme Korrekthed Kontaktpunktsovervågning Antagelser Algoritme Korrekthed IV Fysiske vekselvirkninger Kollisioner Impuls Fysiske love og hypoteser Den virkelige verden Stive legemer Lovlige parameteriseringer Et kontaktpunkt Newtons kollisionslov Poissons hypotese Stronges hypotese Coulombs friktionslov Impuls-moment relationen Kollisionslove Algebraiske love Incremental love Full deformation love Computer simulation Et geometrisk værktøj Fysiske antagelser omkring impulser Restitution En simpel algebraisk lov En simpel incremental lov Strategi Kontaktmodel Dierentialligninger Metoder til kollisionshåndtering Sekventielle impulser Samtidige impulser Opsummering

9 INDHOLD 8 15 Kontaktkræfter Fysiske betingelser Gennemtrængninger Kontaktkraft LCP kontaktkraftproblemet Den lineære funktion Kontaktpunkt Vinkelaccelerationen Relativ bevægelse Udledning af en lineær funktion Friktion Dynamisk friktion Statisk friktion Problemer med Coulombs friktionslov V Kontrol Tidskontrol En simpel algoritme Bisektion TOI heaps TOI beregning Øvre grænseværdi for vinkelhastighed Heapen Simulatorparadigmer Strafmetoder Fjedre Energideformationsfunktioner Sammenfatning Analytiske metoder Impulsbaserede metoder Klassicering af en statisk kontakt Microkollisioner Sammenfatning Hybrider Efterskrift De afgrænsede emner De svære emner Fremtidige emner A Svar til udvalgte opgaver 258 A.1 Svar til opgaver i kapitel A.2 Svar til opgaver i kapitel A.3 Svar til opgaver i kapitel A.4 Svar til opgaver i kapitel A.5 Svar til opgaver i kapitel A.6 Svar til opgaver i kapitel

10 INDHOLD 9 A.7 Svar til opgaver i kapitel A.8 Svar til opgaver i kapitel A.9 Svar til opgaver i kapitel A.10 Svar til opgaver i kapitel

11 Kapitel 2 Læservejledning Kildereferencer er angivet, som et heltal i rkantede parenteser f.eks. [5], denne reference passer med en tilsvarende reference i litteraturlisten. Kilden ndes altså ved at slå referencen op i litteraturlisten, som ndes bagerst i specialet, kildereferencerne kan også være opgivet som en komma separeret liste f.eks. [7,9,13], igen refererer tallene til de tilsvarende kilder i litteraturlisten. Forfattere eller andre personer i kilderne angives ved deres efternavn efterfulgt af en evt. kildereference f.eks. Bara [2]. Igen kan der også optræde komma separerede lister af kilderne. Krydshenvisninger sker ved at afsnitsnummer og titel angives, f.eks. er: 1.1 Mit afsnit, en henvisning til afsnittet med titlen Mit afsnit og nummereringen 1.1. Det antages, at læseren er bekendt med vektorregning, matricer og lineære ligningssystemer. Det vil være en fordel, hvis læseren har en forståelse for klassisk mekanik, men det er ikke nødvendigt. Derudover bør læseren have kendskab til forskellige simple datastrukturer og forstå hvad en tidskompleksitet er. Det vil være en fordel for læseren at have kendskab til et programmeringssprog, der ligner C, C++ eller Java, da al pseudokode er skrevet med en notation, der minder om disse sprog. I øvrigt vil der blive benyttet den konvention, at alle vektorer angives symbolsk med en pil for oven, matricer angives som regel med store fremhævede bogstaver. Vektor og matrixelementer angives med subscript. Den absolutte værdi af et tal skrives som, hvorimod længden/normen af en vektor angives som. Yderligere nødvendig notation vil blive forklaret i de respektive afsnit, hvor det anvendes. For det meste vil det blive forsøgt at anvende danske betegnelser og navne, Nogle gange kan det være svært at nde et pænt dansk ord, der vil derfor blive brugt engelsk i stedet for. Andre gange er de engelske ord blevet en så indgroet del af emnerne, så selvom der ndes tilsvarende danske ord, så vil de engelske blive brugt i stedet. Læseren bør tage dette som en advarsel om ikke at hænge sig for meget i, om det er en dansk eller engelsk betegnelse, der bruges. Eventuelle oversættelser vil være efterfulgt af parenteser, som indeholder oversættelsen f.eks. bil (eng. car) eller house (da. hus). Betydningen skulle gerne fremgå klart. Selvom dette speciale kun er blevet skrevet og udarbejdet af en eneste person, så er det bevidst blevet skrevet i vi-form i stedet for jeg-form. Årsagen er, at 10

12 KAPITEL 2. LÆSERVEJLEDNING 11 forfatteren mener, at vi-formen er mere høig og egner sig bedre til en lærebøg end jeg-formen. Specialet er delt op i fem dele, hver del af specialet starter med sin egen korte indledning, samt eventuelle specikke læservejledninger for den enkelte del. Igennem de este kapiteler er der blevet konstrueret forskellige pædagoiske opgaver. Formålet med opgaverne er dels at afhjælpe nogen af de praktiske problemer, men også at fremhæve vigtige punkter i teorien. Svarene på opgaverne er alle sammen blevet samlet i bilag A Svar til udvalgte opgaver. Det anbefales, at læseren læser specialet kronologisk, og giver sig tid til at kigge på opgaverne undervejs. Dette burde efter hensigten give det bedste udbytte.

13 Kapitel 3 Indledning Dynamisk simulation er ikke noget nymodens pjat, det har eksisteret lige siden de første supercomputer. Vi kan blandt andet nævne, at allerede i 60'erne benyttede militæret en supercomputer til at beregne banekurven af en kanonkugle, så de bedre kunne ramme fjenden. Sidenhen er man blevet bedre til at simulere mere avancerede ting. Det meste af det teoretiske arbejde, som er blevet udført i slutningen af 80'erne og starten af 90'erne, anses af mange for at være klassisk, og alt efterfølgende arbejde har da også været baseret på dette klassiske materiale. I dag er man nået så langt, at mange mener, der er tale om starten på en ny revolutionerende epoke. Om dette er sandt, kan kun fremtiden vise Ḋynamisk simulation er et kæmpemæssigt emne, som spænder meget vidt. Der ndes et utal af forskellige ting, som man forsøger at simulere, og der eksisterer mindst dobbelt så mange forskellige metoder til at foretage disse simulationer med. Dynamisk simulation er interessant, fordi man ikke kun forsøger at lave simulationer, som skal se godt ud, når de animeres, men fordi man forsøger at lave simulationerne så realistiske som muligt. Filosoen bag en stor del af det tidlige arbejde indenfor dynamisk simulation var, at jo mere realistisk man kunne simulere noget, jo bedre ville en animation kunne se ud. Efter vores mening så er det nok stadigvæk denne loso, som lokker mange i gang med dynamisk simulation, men det er også vores mening, at tingene er mere nuanceret nu til dags. Efter vores mening er der en hel klar forskel på animation og simulation. De repræsenterer hver deres ekstremer. I en animation er alt tilladt, bare det ser godt ud på en skærm. I en simulation er man altid tvunget til at overholde de regler, man har fra sin simulationsmodel. Dynamisk simulation handler i bund og grund om, at man benytter fysikkens love så godt, som det nu kan lade sig gøre for den type af system, man arbejder med. Det er da også derfor, at det kaldes for dynamisk simulation, fordi det handler om, at anvende det fysikere kalder for dynamik (årsag til bevægelse). I de sidste par årtier er dynamisk simulation blevet meget populært, det anvendes i computerspil og indenfor lmverden. Også industrien benytter dynamisk simulation, fordi det kan være et vigtigt værktøj, der kan spå om fremtiden. Dynamisk simulation deles normalt op i to forskellige klasser kaldet forward kinematics og inverse kinematics. Kinematics er igen et ord, som man har arvet fra fysikerne, det betyder bevægelse. Det handler altså om fremad bevægelse 12

14 KAPITEL 3. INDLEDNING 13 og baglæns bevægelse. Inverse kinematics foregår gerne på den måde, at man har en starttilstand og en sluttilstand af et eller andet system, og man ønsker så at beregne baglæns fra sluttilstanden tilbage til starttilstanden. Denne form for teknik er meget anvendt indenfor animation, fordi det er nemt for en animator at kontrollere bevægelsen af tingene. Mange kender til denne form for simulation, hvis de har prøvet at benytte animations- eller visualiseringssystemer, som benytter key framing. Ofte anvendes inverse kinematics også i systemer, som anvender såkaldte boning (dette ord betyder noget i retning af, at man lægger knogler ind i en model) animationsteknikker. Forward kinematics foregår anderledes, her kender man kun starttilstanden. Når ens simulator begynder at køre, må man så læne sig tilbage, og se hvad der sker. Populært kan man sige, at ens simulator prøver at komme med et kvaliceret gæt på, hvad der vil ske i fremtiden. Forward kinematics er svært at benytte til animation, fordi en animator ikke længere har den samme kontrol over sin animation. Typisk må man stoppe sin simulator, ændre starttilstanden og prøve igen, indtil man rammer noget, der ligner det, man ønsker. Forward kinematics egner sig derimod særlig godt til interaktive opgaver, f.eks. bilspil, ysimulatorer. Det egner sig også godt til at kunne foretage fysiske korrekte beregninger. Et eksempel kunne være en ingeniør, som bygger en bro. Før ingeniøren sætter folk igang med at grave og støbe beton, kunne han simulere, om broen ville kunne holde i virkeligheden. Meteoreloger benytter rent faktisk også forward kinematics, når deres computere forsøger at forudsige vejrudsigten. Forward kinematics har også store fremtidsperspektiver. Det er ikke særlig svært at forestille sig, at en bildesigner kunne teste på en computer, hvordan en ny type bil reagerer i forskellige færdselsuheld, hvorved bildesigneren kunne spare utrolig mange ressourcer og tid. Bildesigneren vil da også have nemt ved hurtigt at afprøve ændringer i hans design. Dette speciale omhandler kun forward kinematics. Hvilke ting kan man så egentlig simulere med forward kinematics? Vi har igen valgt at afgrænse os til det, som fysikere kalder for stive legemer (eng. rigid body dynamics). Man kan tænke på et stift legeme som en ideel jernstang, umulig at bøje eller at presse sammen. Den har altid den samme form, massefylde og massefordeling lige meget hvad. Mange af de teknikker og metoder, som anvendes indenfor dette emne, anses for at være grundlæggende indenfor mange andre emner indenfor dynamisk simulation. Det er derfor naturligt at starte med dette emne. Et af de tættest beslægtede emner er det, man på engelsk kalder for soft body dynamics (eksempler på soft bodies kunne være et tæppe elle en vaskesvamp). Men også partikelsystemer og nite element modelling har, hvad man kan kalde for beslægtede tendenser. Vi har nu fået indkredset os til, hvad vi mener med dynamisk simulation af stive legemer. Man skulle så tro, at vi nu havde et lille overskueligt emne at arbejde med. Det har vi ikke. Det er en almen opfattelse af mange, at dette emne er uoverskuelig stort, det er svært at komme i gang med, og det kræver meget tid. Det er vores formål med dette speciale at prøve på at ændre på denne opfattelse ved at udforme dette speciale som en introducernede lærebog i dynamisk simulation af stive legemer.

15 KAPITEL 3. INDLEDNING 14 Dynamic Simulation Inverse Kinematics Forward Kinematics Soft Body Dynamics Rigid Body Dynamics Penalty methods Impulse based Constraint based Hybrids Figur 3.1: Emner indenfor dynamisk simulation.

16 Kapitel 4 Terminologi Hvordan ser en typisk simulator ud? For mange af dem, som benytter en simulator, er den intet andet end en slags regnemaskine. Man fortæller simulatoren, hvilke stive legemer den skal simulere, hvordan de ser ud, deres massefylde og forskellige materialeparametre såsom gnidningskonstanter m.m.. Dette kalder man normalt for en konguration (eng. conguration) eller et system. En simulator har også behov for at vide, hvor de legemer, den skal simulere, er placeret, når simulationen starter. Derudover skal simulatoren også have information om, hvordan legemerne bevæger sig, når simulationen starter. Det vil sige, legemernes hastigheder. Al denne slags information omtales normalt som en tilstand (eng. state) af kongurationen. En simulator skal altså kende starttilstanden (eng. initial state eller 0-conguration) af kongurationen. For at simulatoren kan nde ud af, hvordan bevægelsen af legemerne ændrer sig, er man nødt til at fortælle noget om legemernes omgivelser (eng. environment). Omgivelserne dækker over de kræfter, som måtte virke på legemerne. Et eksempel kunne være tyngdekraft eller luftmodstand. Det kunne også bare være nogle eksterne kræfter, som ikke har nogen egentlig fysisk begrundelse eller betydning. Configuration Simulator Initial state Final state Environment Inbetween states Figur 4.1: En typisk simulator. 15

17 KAPITEL 4. TERMINOLOGI 16 Efter at man har fortalt simulatoren, hvilken konguration den skal simulere, starttilstanden af kongurationen og omgivelserne, er det simulatorens opgave at beregne den endelige sluttilstand af kongurationen. Dette foregår gerne ved, at man fortæller simulatoren: Find tilstanden efter 3 sekunder. Simulatoren behøver ikke at nde denne tilstand i et beregningsskridt, den kan sagtens beregne ere mellemliggende tilstande (eng. inbetween states), inden den når frem til sit resultat. Brugeren af simulatoren opdager bare aldrig disse mellemliggende tilstande. Ofte benyttes en simulator i forbindelse med animationer, man låner derfor lidt af det sprog, som anvendes i forbindelse med animationer. En frame (da. billede) er det samme som en tilstand af kongurationen. Figur 4.2 viser, hvordan en simulator anvendes til at producere frames i en animation. Initial frame next frame run simulator t Inbetween 0 t t 1 2 t t 3 4 t 5 states time Figur 4.2: En simulator anvendt i et animationssystem. Læg mærke til, at uddata fra simulatoren blot er en masse positioner og hastigheder af forskellige legemer. Det er op til en animator at nde ud af at tegne alt dette og vise det visuelt. Læg også mærke til, at en animation tit benytter sig af forskellige eekter såsom lens are og motion blur (og et utal af forskellige ltre og shading teknikker) for at få en billedesekvens til at virke mere realistisk, når et menneske ser den. Vores pointe er igen, at en simulation og animation er to forskellige ting. I interaktive applikationer (og animationer) har man det, man kalder for en frame rate (da. billeder per tid). Måleenheden for frame rate betegnes med symbolet fps (frames per second), hvilket betyder billeder per sekund. Hvis man gerne vil kunne vise levende billeder, skal man som en tommelngerregel have en frame rate på omkring 30fps. Dette stiller selvfølgelig nogle hårde krav til ydeevnen af en simulator, hvis man benytter den i et realtime system, som viser levende billeder.

18 Del I Grundlæggende matematik 17

19 Hovedformålet med denne del af specialet er at hjælpe de læsere, hvor det er første gang, de stifter bekendtskab med de emner, som dette speciale omhandler. Dynamisk simulation er et emne, hvor det ofte antages, at de folk, som arbejder med emnet, har en god, bred grundlæggende forståelse for både lineær algebra og analytisk matematik. Næsten lige så ofte nævnes der også en masse forskellige numeriske løsningsmetoder til at løse forskellige matematiske problemer med, eller også antages det, at man allerede er bekendt med sådanne trivielle ting. Efter vores mening kræver det, at man har modtaget en hvis grunduddannelse i matematik og numeriske løsningsmetoder, for at man ikke lige pludselig skal føle sig på meget dybt vand, når man arbejder med dynamisk simulation. Vi håber, at vi med med denne del af specialet kan hjælpe de læsere, som ikke har et særlig godt kendskab til den anvendte matematik eller de numeriske løsningsmetoder, til at få den nødvendige ekspertise til at kunne arbejde sig igennem specialet uden alt for mange vanskeligheder. Vi forudsætter dog, at læseren af dette speciale ved, hvad en vektor er, hvad en matrix er, og kender til de mest almindelige operationer på disse. Specielt antager vi, at rotationsmatricer er velkendte. Tanken er ikke, at denne del af specialet skal kunne fungere som en lærebog i den anvendte matematik i dette speciale, i stedet for er det ment som en retningslinie, som andre kan benytte til at fokusere på lige nøjagtig den matematik, som det er nødvendigt at lære. Eventuelt kan denne del af specialet anvendes til en kort repetition for de læsere, som allerede kan matematikken. 18

20 Kapitel 5 Lineær algebra Dette kapitel indeholder en hel del grundlæggende matematik. Vi vil starte med at indføre de mest grundlæggende matematiske denitioner, terminologi og notation, som vi benytter. Hvis læseren allerede har en grundlæggende forståelse for matricer og quaternioner, kan dette kapitel sagtens springes over, uden at man kommer til at ødelægge forståelsen for resten af dette speciale. 5.1 Matricer Vi lægger ud med at gennemgå forskellige typer af matricer samt nogle af deres egenskaber. Denition 1: Diagonal matrix En kvadratisk matrix, D, kaldes for en diagonal matrix, hvis der gælder: D ji = 0 hvis i j Det er kun elementerne D ii, som har lov til at være forskellig fra nul. Denition 2: Enhedsmatricen Nedenstående matrix kaldes for enhedsmatricen I = Denne matrix er lidt speciel, fordi når man foretager matrixmultiplikation med den, så ændrer den ikke noget. Det vil sige, der gælder, at v = I v, v T = v T I, M = MI og M = IM. Symbolet I for enhedsmatricen er lidt uheldig, når man arbejder med klassisk mekanik. I klassisk mekanik benytter man noget, som hedder en inertimatrix, 19

Matricer og lineære ligningssystemer

Matricer og lineære ligningssystemer Matricer og lineære ligningssystemer Grete Ridder Ebbesen Virum Gymnasium Indhold 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber 1 Regning med matricer 3 13 Kvadratiske matricer og determinant 9 14 Invers matrix

Læs mere

Afstande, skæringer og vinkler i rummet

Afstande, skæringer og vinkler i rummet Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Villa 2. maj 202 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

Egenskaber ved Krydsproduktet

Egenskaber ved Krydsproduktet Egenskaber ved Krydsproduktet Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 2013 1 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal. Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden.

Læs mere

Kvadratiske matricer. enote Kvadratiske matricer

Kvadratiske matricer. enote Kvadratiske matricer enote enote Kvadratiske matricer I denne enote undersøges grundlæggende egenskaber ved mængden af kvadratiske matricer herunder indførelse af en invers matrix for visse kvadratiske matricer. Det forudsættes,

Læs mere

Vinkelrette linjer. Frank Villa. 4. november 2014

Vinkelrette linjer. Frank Villa. 4. november 2014 Vinkelrette linjer Frank Villa 4. november 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Studieretningsopgave

Studieretningsopgave Virum Gymnasium Studieretningsopgave Harmoniske svingninger i matematik og fysik Vejledere: Christian Holst Hansen (matematik) og Bodil Dam Heiselberg (fysik) 30-01-2014 Indholdsfortegnelse Indledning...

Læs mere

Kursusgang 3 Matrixalgebra Repetition

Kursusgang 3 Matrixalgebra Repetition Kursusgang 3 Repetition - froberg@mathaaudk http://peoplemathaaudk/ froberg/oecon3 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 12 september 2008 1/12 Lineære ligningssystemer Et lineært ligningssystem

Læs mere

Affine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2

Affine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2 Affine rum I denne note behandles kun rum over R. Alt kan imidlertid gennemføres på samme måde over C eller ethvert andet legeme. Et underrum U R n er karakteriseret ved at det er en delmængde som er lukket

Læs mere

DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof

DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof Preben Alsholm Efterår 2010 1 Hovedpunkter fra forårets pensum 11 Taylorpolynomium Taylorpolynomium Det n te Taylorpolynomium for f med udviklingspunkt x 0 : P

Læs mere

De rigtige reelle tal

De rigtige reelle tal De rigtige reelle tal Frank Villa 17. januar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Københavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet. Afleveringsopgave 4

Københavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet. Afleveringsopgave 4 Københavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet Lineær Algebra LinAlg Afleveringsopgave 4 Eventuelle besvarelser laves i grupper af 2-3 personer og afleveres i to eksemplarer med 3 udfyldte forsider

Læs mere

Chapter 3. Modulpakke 3: Egenværdier. 3.1 Indledning

Chapter 3. Modulpakke 3: Egenværdier. 3.1 Indledning Chapter 3 Modulpakke 3: Egenværdier 3.1 Indledning En vektor v har som bekendt både størrelse og retning. Hvis man ganger vektoren fra højre på en kvadratisk matrix A bliver resultatet en ny vektor. Hvis

Læs mere

Nummeriske Metoder. 1 Indledning. 2 Davidson metoden. Bo Thomsen, juni 2009

Nummeriske Metoder. 1 Indledning. 2 Davidson metoden. Bo Thomsen, juni 2009 Nummeriske Metoder Bo Thomsen, 20050885 25. juni 2009 1 Indledning I denne opgave søges løsninger på et relativt stort egenværdiproblem. I mit tilfælde er dette fremkommet ved at konstruere hamilton matricen

Læs mere

Delmængder af Rummet

Delmængder af Rummet Delmængder af Rummet Frank Villa 15. maj 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

De fire elementers kostbare spejl

De fire elementers kostbare spejl Projekt.6 Lineær algebra moderne og klassisk kinesisk De fire elementers kostbare spejl "Som bekendt anses matematikken for at være en meget vigtig videnskab. Denne bog om matematik vil derfor være af

Læs mere

Løsning af simple Ligninger

Løsning af simple Ligninger Løsning af simple Ligninger Frank Nasser 19. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

Analytisk Geometri. Frank Nasser. 12. april 2011

Analytisk Geometri. Frank Nasser. 12. april 2011 Analytisk Geometri Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er

Læs mere

Andengradsligninger. Frank Nasser. 11. juli 2011

Andengradsligninger. Frank Nasser. 11. juli 2011 Andengradsligninger Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Teoretiske Øvelsesopgaver:

Teoretiske Øvelsesopgaver: Teoretiske Øvelsesopgaver: TØ-Opgave 1 Subtraktion division i legemer: Er subtraktion division med elementer 0 i legemer veldefinerede, eller kan et element b have mere end ét modsat element -b eller mere

Læs mere

Matlab script - placering af kran

Matlab script - placering af kran Matlab script - placering af kran 1 Til at beregne den ideelle placering af kranen hos MSK, er der gjort brug af et matlab script. Igennem dette kapitel vil opbygningen af dette script blive gennemgået.

Læs mere

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Kompendium i faget Matematik Tømrerafdelingen 2. Hovedforløb. Y Y = ax 2 + bx + c (x,y) X Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Indholdsfortegnelse for H2: Undervisningens indhold...

Læs mere

Ordbog over Symboler

Ordbog over Symboler Ordbog over Symboler Frank Nasser 20. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette

Læs mere

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil

Læs mere

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal?

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Det er ret let at svare på: arealet af en trekant, husker vi fra vor kære folkeskole, findes ved at gange

Læs mere

Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger

Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger enote 11 1 enote 11 Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger I denne note introduceres lineære differentialligninger, som er en speciel (og bekvem) form for differentialligninger.

Læs mere

Fysik i billard. Erik Vestergaard

Fysik i billard. Erik Vestergaard Fysik i billard Erik Vestergaard 2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard, 2010. Billeder: Forside: istock.com/aviad Desuden egne illustrationer Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk

Læs mere

3D-grafik Karsten Juul

3D-grafik Karsten Juul 3D-grafik 2005 Karsten Juul Når der i disse noter står at du skal få tegnet en figur, så er det meningen at du skal få tegnet den ved at taste tildelinger i Mathcad-dokumentet RumFig2 Det er selvfølgelig

Læs mere

Lineære ligningssystemer

Lineære ligningssystemer enote 2 1 enote 2 Lineære ligningssystemer Denne enote handler om lineære ligningssystemer, om metoder til at beskrive dem og løse dem, og om hvordan man kan få overblik over løsningsmængdernes struktur.

Læs mere

Appendiks 6: Universet som en matematisk struktur

Appendiks 6: Universet som en matematisk struktur Appendiks 6: Universet som en matematisk struktur En matematisk struktur er et meget abstrakt dyr, der kan defineres på følgende måde: En mængde, S, af elementer {s 1, s 2,,s n }, mellem hvilke der findes

Læs mere

Omskrivningsregler. Frank Nasser. 10. december 2011

Omskrivningsregler. Frank Nasser. 10. december 2011 Omskrivningsregler Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Fraktaler. Mandelbrots Mængde. Foredragsnoter. Af Jonas Lindstrøm Jensen. Institut For Matematiske Fag Århus Universitet

Fraktaler. Mandelbrots Mængde. Foredragsnoter. Af Jonas Lindstrøm Jensen. Institut For Matematiske Fag Århus Universitet Fraktaler Mandelbrots Mængde Foredragsnoter Af Jonas Lindstrøm Jensen Institut For Matematiske Fag Århus Universitet Indhold Indhold 1 1 Komplekse tal 3 1.1 Definition.......................................

Læs mere

Analytisk Geometri. Frank Nasser. 11. juli 2011

Analytisk Geometri. Frank Nasser. 11. juli 2011 Analytisk Geometri Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

LinAlgDat 2014/2015 Google s page rank

LinAlgDat 2014/2015 Google s page rank LinAlgDat 4/5 Google s page rank Resumé Vi viser hvordan lineære ligninger naturligt optræder i forbindelse med en simpel udgave af Google s algoritme for at vise de mest interessante links først i en

Læs mere

VisiRegn: En e-bro mellem regning og algebra

VisiRegn: En e-bro mellem regning og algebra Artikel i Matematik nr. 2 marts 2001 VisiRegn: En e-bro mellem regning og algebra Inge B. Larsen Siden midten af 80 erne har vi i INFA-projektet arbejdet med at udvikle regne(arks)programmer til skolens

Læs mere

Studieretningsprojekter i machine learning

Studieretningsprojekter i machine learning i machine learning 1 Introduktion Machine learning (ml) er et område indenfor kunstig intelligens, der beskæftiger sig med at konstruere programmer, der kan kan lære fra data. Tanken er at give en computer

Læs mere

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer enote enote Lineære ordens differentialligningssystemer Denne enote beskriver ordens differentialligningssystemer og viser, hvordan de kan løses enoten er i forlængelse af enote, der beskriver lineære

Læs mere

Oversigt [LA] 3, 4, 5

Oversigt [LA] 3, 4, 5 Oversigt [LA] 3, 4, 5 Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse matricer Test invers

Læs mere

Trekanter. Frank Villa. 8. november 2012

Trekanter. Frank Villa. 8. november 2012 Trekanter Frank Villa 8. november 2012 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion 1 1.1

Læs mere

Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix.

Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix. Oversigt [LA] 3, 4, 5 Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse matricer Test invers

Læs mere

Nøgleord og begreber. Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix.

Nøgleord og begreber. Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix. Oversigt [LA] 3, 4, 5 Matrix multiplikation Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse

Læs mere

Oprids over grundforløbet i matematik

Oprids over grundforløbet i matematik Oprids over grundforløbet i matematik Dette oprids er tænkt som en meget kort gennemgang af de vigtigste hovedpointer vi har gennemgået i grundforløbet i matematik. Det er en kombination af at repetere

Læs mere

Funktionsterminologi

Funktionsterminologi Funktionsterminologi Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette

Læs mere

Kursusgang 3 Matrixalgebra Repetition

Kursusgang 3 Matrixalgebra Repetition Kursusgang 3 Repetition - froberg@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ froberg/oecon3 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 16. september 2008 1/19 Betingelser for nonsingularitet af en Matrix

Læs mere

Ølopgaver i lineær algebra

Ølopgaver i lineær algebra Ølopgaver i lineær algebra 30. maj, 2010 En stor del af de fænomener, vi observerer, er af lineær natur. De naturlige matematiske objekter i beskrivelsen heraf bliver vektorrum rum hvor man kan lægge elementer

Læs mere

Algebra - Teori og problemløsning

Algebra - Teori og problemløsning Algebra - Teori og problemløsning, januar 05, Kirsten Rosenkilde. Algebra - Teori og problemløsning Kapitel -3 giver en grundlæggende introduktion til at omskrive udtryk, faktorisere og løse ligningssystemer.

Læs mere

Vektorregning. Vektorer som lister

Vektorregning. Vektorer som lister 10 Vektorregning Vektorer som lister En vektor laves nemmest som en liste på TI-89 Titanium / Voyage 200. I nedenstående skærmbillede ser du, hvordan man definerer vektorer og laver en simpel udregning

Læs mere

Funktioner og ligninger

Funktioner og ligninger Eleverne har både i Kolorit på mellemtrinnet og i Kolorit 7 matematik grundbog arbejdet med funktioner. I 7. klasse blev funktionsbegrebet defineret, og eleverne arbejdede med forskellige måder at beskrive

Læs mere

Projekt 2.1: Parabolantenner og parabelsyning

Projekt 2.1: Parabolantenner og parabelsyning Projekter: Kapitel Projekt.1: Parabolantenner og parabelsyning En af de vigtigste egenskaber ved en parabel er dens brændpunkt og en af parablens vigtigste anvendelser er som profilen for en parabolantenne,

Læs mere

Baggrundsnote om logiske operatorer

Baggrundsnote om logiske operatorer Baggrundsnote om logiske operatorer Man kan regne på udsagn ligesom man kan regne på tal. Regneoperationerne kaldes da logiske operatorer. De tre vigtigste logiske operatorer er NOT, AND og. Den første

Læs mere

Eksempel på den aksiomatisk deduktive metode

Eksempel på den aksiomatisk deduktive metode Eksempel på den aksiomatisk deduktive metode Et rigtig godt eksempel på et aksiomatisk deduktivt system er Euklids Elementer. Euklid var græker og skrev Elemeterne omkring 300 f.kr. Værket består af 13

Læs mere

LINEÆR OPTIMERING JESPER MICHAEL MØLLER. Resumé. Disse noter handler om dualitet i lineære optimeringsprogrammer.

LINEÆR OPTIMERING JESPER MICHAEL MØLLER. Resumé. Disse noter handler om dualitet i lineære optimeringsprogrammer. LINEÆR OPTIMERING JESPER MICHAEL MØLLER Indhold 1 Introduktion 1 2 Kanoniske programmer 2 3 Standard programmer 2 4 Svag dualitet for standard programmer 3 5 Svag dualitet for generelle lineære programmer

Læs mere

Computerstøttet beregning

Computerstøttet beregning CSB 2009 p. 1/16 Computerstøttet beregning Lektion 1. Introduktion Martin Qvist qvist@math.aau.dk Det Ingeniør-, Natur-, og Sundhedsvidenskabelige Basisår, Aalborg Universitet, 3. februar 2009 people.math.aau.dk/

Læs mere

Matricer og Matrixalgebra

Matricer og Matrixalgebra enote 3 1 enote 3 Matricer og Matrixalgebra Denne enote introducerer matricer og regneoperationer for matricer og udvikler hertil hørende regneregler Noten kan læses uden andet grundlag end gymnasiet,

Læs mere

Udledning af Keplers love

Udledning af Keplers love Udledning af Keplers love Kristian Jerslev 8. december 009 Resumé Her præsenteres en udledning af Keplers tre love ud fra Newtonsk tyngdekraft. Begyndende med en analyse af et to-legeme problem vil jeg

Læs mere

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak Introduktion til differentialregning 1 Jens Siegstad og Annegrete Bak 16. juli 2008 1 Indledning I denne note vil vi kort introduktion til differentilregning, idet vi skal bruge teorien i et emne, Matematisk

Læs mere

Matematik. 1 Matematiske symboler. Hayati Balo,AAMS. August, 2014

Matematik. 1 Matematiske symboler. Hayati Balo,AAMS. August, 2014 Matematik Hayati Balo,AAMS August, 2014 1 Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske symboler.

Læs mere

Mere om differentiabilitet

Mere om differentiabilitet Mere om differentiabilitet En uddybning af side 57 i Spor - Komplekse tal Kompleks funktionsteori er et af de vigtigste emner i matematikken og samtidig et af de smukkeste I bogen har vi primært beskæftiget

Læs mere

Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning.

Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning. Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning. Michael Knudsen 10. oktober 2005 1 Ligningsløsning Lad N = {0,1,2,...} betegne mængden af de naturlige tal og betragt ligningen ax + b = 0, a,b N,a 0. Findes

Læs mere

Datalogisk speciale. Dynamisk simulering af artikulerede stive legemer. af Jakob Holck

Datalogisk speciale. Dynamisk simulering af artikulerede stive legemer. af Jakob Holck Datalogisk speciale Dynamisk simulering af artikulerede stive legemer af Jakob Holck DIKU 10. marts 2005 Resumé Dette speciale i datalogi behandler computerbaseret dynamisk simulering af artikulerede stive

Læs mere

Vektorer og rumgeometri med. TI-Interactive!

Vektorer og rumgeometri med. TI-Interactive! Vektorer og rumgeometri med TI-Interactive! Indtastning af vektorer Regning med vektorer Skalarprodukt og vektorprodukt Punkter og vektorer Rumgeometri med ligninger Jan Leffers (2007) Indholdsfortegnelse

Læs mere

Fraktaler Mandelbrots Mængde

Fraktaler Mandelbrots Mængde Fraktaler Mandelbrots Mængde Foredragsnoter Af Jonas Lindstrøm Jensen Institut For Matematiske Fag Århus Universitet Indhold Indhold 1 1 Indledning 3 2 Komplekse tal 5 2.1 Definition.......................................

Læs mere

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer enote enote Lineære ordens differentialligningssystemer Denne enote beskriver ordens differentialligningssystemer og viser, hvordan de kan løses enoten er i forlængelse af enote, der beskriver lineære

Læs mere

Køreplan Matematik 1 - FORÅR 2005

Køreplan Matematik 1 - FORÅR 2005 Lineær algebra modulo n og kryptologi Køreplan 01005 Matematik 1 - FORÅR 2005 1 Introduktion Kryptologi er en ældgammel disciplin, som går flere tusinde år tilbage i tiden. Idag omfatter disciplinen mange

Læs mere

Matematik og Form: Matrixmultiplikation. Regulære og singu

Matematik og Form: Matrixmultiplikation. Regulære og singu Matematik og Form: Matrixmultiplikation. Regulære og singulære matricer Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 2012 Matrixmultiplikation Definition Definition A = [a ij ], B = [b ij ]: AB = C

Læs mere

Projekt 2.5 Brændpunkt og ledelinje

Projekt 2.5 Brændpunkt og ledelinje Projekter. Kapitel. Projekt.5 Brændpunkt og ledelinje Projekt.5 Brændpunkt og ledelinje En af de vigtigste egenskaber ved en parabel er dens brændpunkt og en af parablens vigtigste anvendelser er som profilen

Læs mere

1 Om funktioner. 1.1 Hvad er en funktion?

1 Om funktioner. 1.1 Hvad er en funktion? 1 Om funktioner 1.1 Hvad er en funktion? Man lærer allerede om funktioner i folkeskolen, hvor funktioner typisk bliver introduceret som maskiner, der tager et tal ind, og spytter et tal ud. Dette er også

Læs mere

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8 Et af de helt store videnskabelige projekter i 1700-tallets Danmark var kortlægningen af Danmark. Projektet blev varetaget af Det Kongelige Danske Videnskabernes Selskab og løb over en periode på et halvt

Læs mere

Om brugen af matematiske tegn og objekter i en god matematisk fremstilling

Om brugen af matematiske tegn og objekter i en god matematisk fremstilling Om brugen af matematiske tegn og objekter i en god matematisk fremstilling af Petur Birgir Petersen Et særpræg ved matematik som videnskab er den udstrakte brug af symboler. Det er vigtigt at symbolerne

Læs mere

Produkter af vektorer i 2 dimensioner. Peter Harremoës Niels Brock

Produkter af vektorer i 2 dimensioner. Peter Harremoës Niels Brock Produkter af vektorer i dimensioner Peter Harremoës Niels Brock Septemer 00 Indledning Disse noter er skrevet som supplement og delvis erstatning for tilsvarende materiale i øgerne Mat B og Mat A. Vi vil

Læs mere

Noter om komplekse tal

Noter om komplekse tal Noter om komplekse tal Preben Alsholm Januar 008 1 Den komplekse eksponentialfunktion Vi erindrer først om den sædvanlige og velkendte reelle eksponentialfunktion. Vi skal undertiden nde det nyttigt, at

Læs mere

Integralregning Infinitesimalregning

Integralregning Infinitesimalregning Udgave 2.1 Integralregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne integral og stamfunktion, og anskuer dette som et redskab til bestemmelse af arealer under funktioner. Noterne er supplement

Læs mere

Lineær Algebra F08, MØ

Lineær Algebra F08, MØ Lineær Algebra F08, MØ Vejledende besvarelser af udvalgte opgaver fra Ugeseddel 3 og 4 Ansvarsfraskrivelse: Den følgende vejledning er kun vejledende. Opgaverne kommer i vilkårlig rækkefølge. Visse steder

Læs mere

Figur. To ligninger i to ubekendte. Definition Ved m lineære ligninger med n ubekendte forstås. Definition 6.4 Givet ligningssystemet

Figur. To ligninger i to ubekendte. Definition Ved m lineære ligninger med n ubekendte forstås. Definition 6.4 Givet ligningssystemet Oversigt [LA] 6, 7, 8 Nøgleord og begreber Lineære ligningssystemer smængdens struktur Test løsningsmængde Rækkereduktion Reduceret matrix Test ligningssystem Rækkeoperationsmatricer Rangformlen Enten-eller

Læs mere

1. En nyttig formel Lad mig uden bevis angive en nyttig trigonometrisk formel, som i dag kaldes for en logaritmisk formel: (1) sin( A) sin( B) = 1 [ cos( A B) cos( A+ B) ] 2 Navnet skyldes løst sagt, at

Læs mere

Algebra med Bea. Bea Kaae Smit. nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering

Algebra med Bea. Bea Kaae Smit. nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering Algebra med Bea Bea Kaae Smit nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering Indhold 1 Forord 4 2 Indledning 5 3 De grundlæggende regler 7 3.1 Tal..........................

Læs mere

Arbejdet på kuglens massemidtpunkt, langs x-aksen, er lig med den resulterende kraft gange strækningen:

Arbejdet på kuglens massemidtpunkt, langs x-aksen, er lig med den resulterende kraft gange strækningen: Forsøgsopstilling: En kugle ligger mellem to skinner, og ruller ned af den. Vi måler ved hjælp af sensorer kuglens hastighed og tid ved forskellige afstand på rampen. Vi måler kuglens radius (R), radius

Læs mere

1. Kræfter. 2. Gravitationskræfter

1. Kræfter. 2. Gravitationskræfter 1 M1 Isaac Newton 1. Kræfter Vi vil starte med at se på kræfter. Vi ved fra vores hverdag, at der i mange daglige situationer optræder kræfter. Skal man fx. cykle op ad en bakke, bliver man nødt til at

Læs mere

Differentiation af Trigonometriske Funktioner

Differentiation af Trigonometriske Funktioner Differentiation af Trigonometriske Funktioner Frank Villa 15. oktober 01 Dette dokument er en del af MatBog.dk 008-01. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-9775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her.

Læs mere

Vejledende besvarelse på august 2009-sættet 2. december 2009

Vejledende besvarelse på august 2009-sættet 2. december 2009 Vejledende besvarelse på august 29-sættet 2. december 29 Det følgende er en vejledende besvarelse på eksamenssættet i kurset Calculus, som det så ud i august 29. Den tjener primært til illustration af,

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 16

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 16 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 16 Morten Grud Rasmussen 6. november, 2013 1 Interpolation [Bogens afsnit 19.3 side 805] 1.1 Interpolationspolynomier Enhver kontinuert funktion f på

Læs mere

Simulering og modellering af robotter og mennesker er vel nok et af de ældste emner inden for

Simulering og modellering af robotter og mennesker er vel nok et af de ældste emner inden for Simulering og modellering af robotter og mennesker Af Kenny Erleben, DIKU Simulering og modellering af robotter og mennesker er vel nok et af de ældste emner inden for datalogien. Simulering anvendes i

Læs mere

Grafmanipulation. Frank Nasser. 14. april 2011

Grafmanipulation. Frank Nasser. 14. april 2011 Grafmanipulation Frank Nasser 14. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er

Læs mere

Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal.

Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal. Tre slags gennemsnit Allan C. Malmberg Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal. For mange skoleelever indgår

Læs mere

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje.

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje. Maple Dette kapitel giver en kort introduktion til hvordan Maple 12 kan benyttes til at løse mange af de opgaver, som man bliver mødt med i matematiktimerne på HHX. Skærmbilledet Vi starter med at se lidt

Læs mere

Kapitel 2 Tal og variable

Kapitel 2 Tal og variable Tal og variable Uden tal ingen matematik - matematik handler om tal og anvendelse af tal. Matematik beskæftiger sig ikke udelukkende med konkrete problemer fra andre fag, og de konkrete tal fra andre fagområder

Læs mere

Komplekse tal. Jan Scholtyßek 29.04.2009

Komplekse tal. Jan Scholtyßek 29.04.2009 Komplekse tal Jan Scholtyßek 29.04.2009 1 Grundlag Underlige begreber er det, der opstår i matematikken. Blandt andet komplekse tal. Hvad for fanden er det? Lyder...komplekst. Men bare roligt. Så komplekst

Læs mere

Geometriske konstruktioner: Ovaler og det gyldne snit

Geometriske konstruktioner: Ovaler og det gyldne snit Matematik Geometriske konstruktioner: Ovaler og det gyldne snit Ole Witt-Hansen, Køge Gymnasium Ovaler og det gyldne snit har fundet anvendelse i arkitektur og udsmykning siden oldtiden. Men hvordan konstruerer

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin 5. 6. semester efterår 2015-forår 2016 Institution Grenaa Tekniske Gymnasium Uddannelse Fag og niveau Lærer(e)

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Termin Maj 2015 Institution Skive Tekniske Gymnasium Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HTX Matematik A Niveau A Emil Hartvig emh@skivets.dk 1bhtx13 Oversigt over gennemførte

Læs mere

Oversigt [LA] 6, 7, 8

Oversigt [LA] 6, 7, 8 Oversigt [LA] 6, 7, 8 Nøgleord og begreber Lineære ligningssystemer Løsningsmængdens struktur Test løsningsmængde Rækkereduktion Reduceret matrix Test ligningssystem Rækkeoperationsmatricer Rangformlen

Læs mere

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering:

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: LINEÆR PROGRAMMERING I lineær programmering løser man problemer hvor man for en bestemt funktion ønsker at finde enten en maksimering eller en minimering

Læs mere

Epistel E2 Partiel differentiation

Epistel E2 Partiel differentiation Epistel E2 Partiel differentiation Benny Lautrup 19 februar 24 Funktioner af flere variable kan differentieres efter hver enkelt, med de øvrige variable fasthol Definitionen er f(x, y) x f(x, y) f(x +

Læs mere

Algebra. Dennis Pipenbring, 10. februar 2012. matx.dk

Algebra. Dennis Pipenbring, 10. februar 2012. matx.dk matx.dk Algebra Dennis Pipenbring, 10. februar 2012 nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering Indhold 1 Forord 4 2 Indledning 5 3 De grundlæggende

Læs mere

Skriftlig Eksamen DM507 Algoritmer og Datastrukturer

Skriftlig Eksamen DM507 Algoritmer og Datastrukturer Skriftlig Eksamen DM507 Algoritmer og Datastrukturer Institut for Matematik og Datalogi Syddansk Universitet, Odense Tirsdag den 24. juni 2014, kl. 10:00 14:00 Besvarelsen skal afleveres elektronisk. Se

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Digital eksamensopgave med adgang til internettet

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Digital eksamensopgave med adgang til internettet Matematik A Studentereksamen Digital eksamensopgave med adgang til internettet Forberedelsesmateriale frs-matn/a-270420 Onsdag den 27. april 20 Forberedelsesmateriale til stx-a-net MATEMATIK Der skal afsættes

Læs mere

Eksempel 9.1. Areal = (a 1 + b 1 )(a 2 + b 2 ) a 1 a 2 b 1 b 2 2a 2 b 1 = a 1 b 2 a 2 b 1 a 1 a 2 = b 1 b 2

Eksempel 9.1. Areal = (a 1 + b 1 )(a 2 + b 2 ) a 1 a 2 b 1 b 2 2a 2 b 1 = a 1 b 2 a 2 b 1 a 1 a 2 = b 1 b 2 Oversigt [LA] 9 Nøgleord og begreber Helt simple determinanter Determinant defineret Effektive regneregler Genkend determinant nul Test determinant nul Produktreglen Inversreglen Test inversregel og produktregel

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS August 2012 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

Ugeseddel 12(10.12 14.12)

Ugeseddel 12(10.12 14.12) Ugeseddel (..) Matematisk Programmering Niels Lauritzen..7 FORELÆSNINGER I ugen. 7. gennemgik vi algoritmer til løsning af heltalsprogrammer ved hjælp af simplex algoritmen. Dette er heltalsprogrammeringsugesedlen

Læs mere