En introducerende lærebog i dynamisk simulation af stive legemer. Kenny Erleben

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "En introducerende lærebog i dynamisk simulation af stive legemer. Kenny Erleben"

Transkript

1 En introducerende lærebog i dynamisk simulation af stive legemer Kenny Erleben 1. februar, 2001

2 Resumé Dette er et speciale i datalogi omhandlende dynamisk simulation af stive legemer. Specialet er udarbejdet med henblik på at kunne anvendes som en introducerende lærebog i dynamisk simulation. Specialets centrale bidrag er et generelt moduldesign, der kan anvendes i forbindelse med alle de simulatortyper, der eksisterer i dag. Dette speciale adskiller sig hovedsagligt fra andre lærebøger ved, at der fokuseres mere på bredden i emnet. Formålet er at give læseren et grundigt overblik og indsigt i den anvendte teori, samt afhjælpe nogle af de praktiske problemer, man normalt støder på som nybegynder.

3 Kapitel 1 Forord Dette speciale er skrevet i forbindelse med datalogistudiet på datalogisk institut ved københavns universitet (DIKU). Specialet er udarbejdet af Kenny Erleben i perioden septemper 2000 til feburar Specialets emne er dynamisk simulation af stive legemer. Hovedformålet med dette speciale er at udforme det som en introducerende lærebog. Målgruppen for dette speciale er typisk studerende, som har gennemført de første par år af deres uddannelse. Med andre ord læseren bør have kendskab til forskellige grundlæggende ting, såsom datastrukturer, vektorer og matricer. Der er allerede skrevet mange artikler og bøger om dynamisk simulation, så hvorfor skulle jeg prøve at skrive endnu en lærebog? Jeg mener selv, at jeg har en god chance, for at kunne skrive en god introducerende lærebog, eftersom jeg har et lidt mere farvefuldt synspunkt på, hvorfor det er vanskeligt at få lært de grundlæggende ting. 1.1 Hvorfor er det så vanskeligt? Der er ingen tvivl om, at dynamisk simulation af stive legemer er et interessant og spændende emne. Desuden er dynamisk simulation begyndt at blive et virkelig populært emne, dels er både lm- og spilindustrien begyndt at få øjnene op for mulighederne. Ydermere kan man næsten ikke nævne Virtual Reality (forkortet VR) uden også at nævne dynamisk simulation i samme sætning. En ting, som alle hurtigt kan blive enige om, er, at det er meget nemt at blive inspireret til at prøve på at implementere en simulator. Desværre er der en temmelig lang vej fra at læse en videnskabelig artikel eller en lærebog til selv at kunne gennemføre en succesfuld implementering af en simulator. Dertil kommer, at vejen er fuld med skarpe sving, hvor det kan være vanskeligt at se, hvordan man kommer videre. Selv har jeg efterhånden arbejdet med dynamisk simulation af stive legemer i et par år, og det er faktisk først nu, at jeg med dette speciale kan sætte kronen på værket, og med fuld overbevisning og god samvittighed sige, at jeg langt om længe endelig har fået lært alt det grundlæggende. Jeg er derfor fuldstændig enig med en masse andre i, at dynamisk simulation er meget tidskrævende og har en enorm stejl indlæringskurve. Eftersom jeg selv har en god portion fysik og matematik med i bagagen, så 2

4 KAPITEL 1. FORORD 3 har jeg et lidt andet synspunkt på, hvorfor det er en tidskrævende og vanskelig indlæringsproces. Det traditionelle synspunkt er, at det er den store mængde fysik og matematik, som gør indlæringskurven meget stejl. Jeg mener dog, at dette kun er en af de medvirkende årsager. Efter min mening er der yderligere re andre medvirkende årsager. Disse er: 1. Emnet spænder vidt og dækker mange datalogiske fagområder. 2. Emnet opfattes, som om det kun er for grask interesserede. 3. Faglitteraturen er meget specik, og fokuserer på helt bestemte problemer. Det er derfor svært at danne sig et overordnet overblik og forstå, hvordan forskellige løsninger skal arbejde sammen. 4. Det er svært at forstå, hvordan en simulator skal konstrueres i praksis. 1.2 Specialets bidrag Dette speciale forsøger at udbedre kendskabet til dynamisk simulation og gøre indlæringsprocessen mere overkommelig for nybegyndere. Håbet er, at dette speciale kan motivere og hjælpe endnu ere til at arbejde med dynamisk simulation. Det centrale og selvstændige bidrag i dette speciale er et generelt moduldesign, som jeg benytter til at give læseren et overblik, samt indsigt i hvordan en simulator fungerer i praksis. Dette moduldesign er selvfølgelig mit bud på, hvordan verden bør se ud, der ndes sikkert andre, som synes, nogle ting bør gøres lidt anderledes. Før jeg begyndte på at skrive dette speciale, arbejdede jeg på et eksperimentelt simulator klasse API, som jeg navndøbte QAD (en forkortelse for Quick And Dirty). QAD var et meget ambitiøst projekt, hovedmålet var i bund og grund at implementere en masse forskellige veldenerede byggeklodser, som kunne sættes sammen på forskellige måder, således at man kunne få forskellige simulatorer ud af det. Da projektet blev afbrudt, kunne man sammensætte mere end 30 forskellige simulatorer. Håbet var, at man kunne skjule unødvendig information for andre, så de kunne nøjes med at fokusere på de metoder og algoritmer, som interesserede dem. Det var og er stadigvæk min overbevisning, at QAD vil være et værdifuldt værktøj både til forskning og undervisning. Uheldigvis var dette projekt ikke så succesfuldt, som jeg havde håbet på. Der var store problemer med at få en høj ydeevne, dels fordi byggeklodserne skulle være så generelle, at de kunne kombineres vilkårligt med hinanden. Projektarbejdet er derfor midlertidig afbrudt. QAD var dog ikke helt mislykket, jeg opnåede nemlig et meget vigtigt resultat med QAD: Moduldesignet. De byggeklodser jeg arbejdede med, endte efter et par versioner med at være et abstrakt moduldesign. Det er dette moduldesign, som jeg har fornet og præsenterer i dette speciale. Pointen med min lille baggrundshistorie er, at mit moduldesign har været anvendt i praksis, og er altså ikke et eller andet teoretisk luftkastel. Interesserede læsere opfordres til at henvende sig til forfatteren af dette speciale for nærmere oplysninger omkring QAD.

5 KAPITEL 1. FORORD Alle de andre Jeg vil gerne takke alle de mennesker, som på den ene eller anden måde har bidraget til, at dette speciale er blevet til. Her i blandt både familie, venner, arbejdskollegaer, medstuderende, lektorer, professorer og en masse andre mennesker. Nogle af disse har bidraget med en ekstraordinær indsats eller interesse, som fortjener at blive nævnt. Denne liste er meget lang, så jeg håber ikke, at nogen tager det ilde op, at de ikke er blevet nævnt på grund af plads hensyn. Knud Henriksen har fungeret som min specialekonsulent. Han er altid frisk med en god ide og den mest grundige korrekturlæser, jeg nogensinde har stødt på. Niels Jørgensen fra Niemo Entertainment kan virklig sin C++, og har air for at omsætte teorien til noget praktisk anvendeligt. Foruden Niels ville jeg stadigvæk sidde og rode med min compiler. Thomas Wang en af de mest seriøse og ittige dataloger jeg nogensinde har mødt, uden hans hjælp ville LATEX stadigvæk være et mysterium for mig. Lonni og Bonni Erleben hvis skyld det er, at dette speciale ikke er blevet grammatisk ulæseligt. Derudover har en lang række af personer fra internettet tålmodigt bistået med kildereferencer og alen lange faglige diskussioner: Emmanuel Chamayou, Dave Eberle, Brian Mirtich, Chris Hecker og David Bara samt en masse andre. God fornøjelse Kenny Erleben Brønshøj, februar, 2001

6 Indhold 1 Forord Hvorfor er det så vanskeligt? Specialets bidrag Alle de andre Læservejledning 10 3 Indledning 12 4 Terminologi 15 I Grundlæggende matematik 17 5 Lineær algebra Matricer Quaternioner Geometri 34 7 LCP problem Algoritme Overblik Det k'te indeks Dierentialligninger Eulers metode Runge Kutta Adaptiv skridtstørrelse Step doubling Indlejrede Runge Kutta formler Stivhed og stabilitet II Den Grundlæggende fysik 57 9 Bevægelsesligningerne De fysiske love Newtons love

7 INDHOLD Massemidtpunktets bevægelse Vinkelhastigheden Kraftmoment og Impulsmoment Inertimatricen Orienteringer Dierentialligninger Matematiske formler for de fysiske love Tilstandsfunktionen Masseegenskaber Denitioner Udregning En terning En kugle Regneregler Rumfangsintegration Overblik Algoritme III Kollisionsbestemmelse Grovkornet kollisionsbestemmelse Grundlæggende principper Approksimationsprincippet Lokalprincippet Geometrisk ensartethed Omsluttende bokse Fikserede bokse Sweeping volumes Alle mod alle test Overlap mellem to omsluttende bokse Koordinatsortering Hierarkiske rumlige hashtabeller Enkelt niveau Flere niveauer Finkornet kollisionsbestemmelse Overblik Rumlige datastrukturer Geometriske størrelser Simplex Sphere trees Kollisionstesten Opbygning af et sphere tree V-Clip Overblik Kantklipning Indenfor Udenfor

8 INDHOLD Gennemtrængning Pseudokode Kontaktmangfoldighedsproblemet Grundlæggende denitioner En geometrisk metode Antagelser Algoritme Korrekthed Kontaktpunktsovervågning Antagelser Algoritme Korrekthed IV Fysiske vekselvirkninger Kollisioner Impuls Fysiske love og hypoteser Den virkelige verden Stive legemer Lovlige parameteriseringer Et kontaktpunkt Newtons kollisionslov Poissons hypotese Stronges hypotese Coulombs friktionslov Impuls-moment relationen Kollisionslove Algebraiske love Incremental love Full deformation love Computer simulation Et geometrisk værktøj Fysiske antagelser omkring impulser Restitution En simpel algebraisk lov En simpel incremental lov Strategi Kontaktmodel Dierentialligninger Metoder til kollisionshåndtering Sekventielle impulser Samtidige impulser Opsummering

9 INDHOLD 8 15 Kontaktkræfter Fysiske betingelser Gennemtrængninger Kontaktkraft LCP kontaktkraftproblemet Den lineære funktion Kontaktpunkt Vinkelaccelerationen Relativ bevægelse Udledning af en lineær funktion Friktion Dynamisk friktion Statisk friktion Problemer med Coulombs friktionslov V Kontrol Tidskontrol En simpel algoritme Bisektion TOI heaps TOI beregning Øvre grænseværdi for vinkelhastighed Heapen Simulatorparadigmer Strafmetoder Fjedre Energideformationsfunktioner Sammenfatning Analytiske metoder Impulsbaserede metoder Klassicering af en statisk kontakt Microkollisioner Sammenfatning Hybrider Efterskrift De afgrænsede emner De svære emner Fremtidige emner A Svar til udvalgte opgaver 258 A.1 Svar til opgaver i kapitel A.2 Svar til opgaver i kapitel A.3 Svar til opgaver i kapitel A.4 Svar til opgaver i kapitel A.5 Svar til opgaver i kapitel A.6 Svar til opgaver i kapitel

10 INDHOLD 9 A.7 Svar til opgaver i kapitel A.8 Svar til opgaver i kapitel A.9 Svar til opgaver i kapitel A.10 Svar til opgaver i kapitel

11 Kapitel 2 Læservejledning Kildereferencer er angivet, som et heltal i rkantede parenteser f.eks. [5], denne reference passer med en tilsvarende reference i litteraturlisten. Kilden ndes altså ved at slå referencen op i litteraturlisten, som ndes bagerst i specialet, kildereferencerne kan også være opgivet som en komma separeret liste f.eks. [7,9,13], igen refererer tallene til de tilsvarende kilder i litteraturlisten. Forfattere eller andre personer i kilderne angives ved deres efternavn efterfulgt af en evt. kildereference f.eks. Bara [2]. Igen kan der også optræde komma separerede lister af kilderne. Krydshenvisninger sker ved at afsnitsnummer og titel angives, f.eks. er: 1.1 Mit afsnit, en henvisning til afsnittet med titlen Mit afsnit og nummereringen 1.1. Det antages, at læseren er bekendt med vektorregning, matricer og lineære ligningssystemer. Det vil være en fordel, hvis læseren har en forståelse for klassisk mekanik, men det er ikke nødvendigt. Derudover bør læseren have kendskab til forskellige simple datastrukturer og forstå hvad en tidskompleksitet er. Det vil være en fordel for læseren at have kendskab til et programmeringssprog, der ligner C, C++ eller Java, da al pseudokode er skrevet med en notation, der minder om disse sprog. I øvrigt vil der blive benyttet den konvention, at alle vektorer angives symbolsk med en pil for oven, matricer angives som regel med store fremhævede bogstaver. Vektor og matrixelementer angives med subscript. Den absolutte værdi af et tal skrives som, hvorimod længden/normen af en vektor angives som. Yderligere nødvendig notation vil blive forklaret i de respektive afsnit, hvor det anvendes. For det meste vil det blive forsøgt at anvende danske betegnelser og navne, Nogle gange kan det være svært at nde et pænt dansk ord, der vil derfor blive brugt engelsk i stedet for. Andre gange er de engelske ord blevet en så indgroet del af emnerne, så selvom der ndes tilsvarende danske ord, så vil de engelske blive brugt i stedet. Læseren bør tage dette som en advarsel om ikke at hænge sig for meget i, om det er en dansk eller engelsk betegnelse, der bruges. Eventuelle oversættelser vil være efterfulgt af parenteser, som indeholder oversættelsen f.eks. bil (eng. car) eller house (da. hus). Betydningen skulle gerne fremgå klart. Selvom dette speciale kun er blevet skrevet og udarbejdet af en eneste person, så er det bevidst blevet skrevet i vi-form i stedet for jeg-form. Årsagen er, at 10

12 KAPITEL 2. LÆSERVEJLEDNING 11 forfatteren mener, at vi-formen er mere høig og egner sig bedre til en lærebøg end jeg-formen. Specialet er delt op i fem dele, hver del af specialet starter med sin egen korte indledning, samt eventuelle specikke læservejledninger for den enkelte del. Igennem de este kapiteler er der blevet konstrueret forskellige pædagoiske opgaver. Formålet med opgaverne er dels at afhjælpe nogen af de praktiske problemer, men også at fremhæve vigtige punkter i teorien. Svarene på opgaverne er alle sammen blevet samlet i bilag A Svar til udvalgte opgaver. Det anbefales, at læseren læser specialet kronologisk, og giver sig tid til at kigge på opgaverne undervejs. Dette burde efter hensigten give det bedste udbytte.

13 Kapitel 3 Indledning Dynamisk simulation er ikke noget nymodens pjat, det har eksisteret lige siden de første supercomputer. Vi kan blandt andet nævne, at allerede i 60'erne benyttede militæret en supercomputer til at beregne banekurven af en kanonkugle, så de bedre kunne ramme fjenden. Sidenhen er man blevet bedre til at simulere mere avancerede ting. Det meste af det teoretiske arbejde, som er blevet udført i slutningen af 80'erne og starten af 90'erne, anses af mange for at være klassisk, og alt efterfølgende arbejde har da også været baseret på dette klassiske materiale. I dag er man nået så langt, at mange mener, der er tale om starten på en ny revolutionerende epoke. Om dette er sandt, kan kun fremtiden vise Ḋynamisk simulation er et kæmpemæssigt emne, som spænder meget vidt. Der ndes et utal af forskellige ting, som man forsøger at simulere, og der eksisterer mindst dobbelt så mange forskellige metoder til at foretage disse simulationer med. Dynamisk simulation er interessant, fordi man ikke kun forsøger at lave simulationer, som skal se godt ud, når de animeres, men fordi man forsøger at lave simulationerne så realistiske som muligt. Filosoen bag en stor del af det tidlige arbejde indenfor dynamisk simulation var, at jo mere realistisk man kunne simulere noget, jo bedre ville en animation kunne se ud. Efter vores mening så er det nok stadigvæk denne loso, som lokker mange i gang med dynamisk simulation, men det er også vores mening, at tingene er mere nuanceret nu til dags. Efter vores mening er der en hel klar forskel på animation og simulation. De repræsenterer hver deres ekstremer. I en animation er alt tilladt, bare det ser godt ud på en skærm. I en simulation er man altid tvunget til at overholde de regler, man har fra sin simulationsmodel. Dynamisk simulation handler i bund og grund om, at man benytter fysikkens love så godt, som det nu kan lade sig gøre for den type af system, man arbejder med. Det er da også derfor, at det kaldes for dynamisk simulation, fordi det handler om, at anvende det fysikere kalder for dynamik (årsag til bevægelse). I de sidste par årtier er dynamisk simulation blevet meget populært, det anvendes i computerspil og indenfor lmverden. Også industrien benytter dynamisk simulation, fordi det kan være et vigtigt værktøj, der kan spå om fremtiden. Dynamisk simulation deles normalt op i to forskellige klasser kaldet forward kinematics og inverse kinematics. Kinematics er igen et ord, som man har arvet fra fysikerne, det betyder bevægelse. Det handler altså om fremad bevægelse 12

14 KAPITEL 3. INDLEDNING 13 og baglæns bevægelse. Inverse kinematics foregår gerne på den måde, at man har en starttilstand og en sluttilstand af et eller andet system, og man ønsker så at beregne baglæns fra sluttilstanden tilbage til starttilstanden. Denne form for teknik er meget anvendt indenfor animation, fordi det er nemt for en animator at kontrollere bevægelsen af tingene. Mange kender til denne form for simulation, hvis de har prøvet at benytte animations- eller visualiseringssystemer, som benytter key framing. Ofte anvendes inverse kinematics også i systemer, som anvender såkaldte boning (dette ord betyder noget i retning af, at man lægger knogler ind i en model) animationsteknikker. Forward kinematics foregår anderledes, her kender man kun starttilstanden. Når ens simulator begynder at køre, må man så læne sig tilbage, og se hvad der sker. Populært kan man sige, at ens simulator prøver at komme med et kvaliceret gæt på, hvad der vil ske i fremtiden. Forward kinematics er svært at benytte til animation, fordi en animator ikke længere har den samme kontrol over sin animation. Typisk må man stoppe sin simulator, ændre starttilstanden og prøve igen, indtil man rammer noget, der ligner det, man ønsker. Forward kinematics egner sig derimod særlig godt til interaktive opgaver, f.eks. bilspil, ysimulatorer. Det egner sig også godt til at kunne foretage fysiske korrekte beregninger. Et eksempel kunne være en ingeniør, som bygger en bro. Før ingeniøren sætter folk igang med at grave og støbe beton, kunne han simulere, om broen ville kunne holde i virkeligheden. Meteoreloger benytter rent faktisk også forward kinematics, når deres computere forsøger at forudsige vejrudsigten. Forward kinematics har også store fremtidsperspektiver. Det er ikke særlig svært at forestille sig, at en bildesigner kunne teste på en computer, hvordan en ny type bil reagerer i forskellige færdselsuheld, hvorved bildesigneren kunne spare utrolig mange ressourcer og tid. Bildesigneren vil da også have nemt ved hurtigt at afprøve ændringer i hans design. Dette speciale omhandler kun forward kinematics. Hvilke ting kan man så egentlig simulere med forward kinematics? Vi har igen valgt at afgrænse os til det, som fysikere kalder for stive legemer (eng. rigid body dynamics). Man kan tænke på et stift legeme som en ideel jernstang, umulig at bøje eller at presse sammen. Den har altid den samme form, massefylde og massefordeling lige meget hvad. Mange af de teknikker og metoder, som anvendes indenfor dette emne, anses for at være grundlæggende indenfor mange andre emner indenfor dynamisk simulation. Det er derfor naturligt at starte med dette emne. Et af de tættest beslægtede emner er det, man på engelsk kalder for soft body dynamics (eksempler på soft bodies kunne være et tæppe elle en vaskesvamp). Men også partikelsystemer og nite element modelling har, hvad man kan kalde for beslægtede tendenser. Vi har nu fået indkredset os til, hvad vi mener med dynamisk simulation af stive legemer. Man skulle så tro, at vi nu havde et lille overskueligt emne at arbejde med. Det har vi ikke. Det er en almen opfattelse af mange, at dette emne er uoverskuelig stort, det er svært at komme i gang med, og det kræver meget tid. Det er vores formål med dette speciale at prøve på at ændre på denne opfattelse ved at udforme dette speciale som en introducernede lærebog i dynamisk simulation af stive legemer.

15 KAPITEL 3. INDLEDNING 14 Dynamic Simulation Inverse Kinematics Forward Kinematics Soft Body Dynamics Rigid Body Dynamics Penalty methods Impulse based Constraint based Hybrids Figur 3.1: Emner indenfor dynamisk simulation.

16 Kapitel 4 Terminologi Hvordan ser en typisk simulator ud? For mange af dem, som benytter en simulator, er den intet andet end en slags regnemaskine. Man fortæller simulatoren, hvilke stive legemer den skal simulere, hvordan de ser ud, deres massefylde og forskellige materialeparametre såsom gnidningskonstanter m.m.. Dette kalder man normalt for en konguration (eng. conguration) eller et system. En simulator har også behov for at vide, hvor de legemer, den skal simulere, er placeret, når simulationen starter. Derudover skal simulatoren også have information om, hvordan legemerne bevæger sig, når simulationen starter. Det vil sige, legemernes hastigheder. Al denne slags information omtales normalt som en tilstand (eng. state) af kongurationen. En simulator skal altså kende starttilstanden (eng. initial state eller 0-conguration) af kongurationen. For at simulatoren kan nde ud af, hvordan bevægelsen af legemerne ændrer sig, er man nødt til at fortælle noget om legemernes omgivelser (eng. environment). Omgivelserne dækker over de kræfter, som måtte virke på legemerne. Et eksempel kunne være tyngdekraft eller luftmodstand. Det kunne også bare være nogle eksterne kræfter, som ikke har nogen egentlig fysisk begrundelse eller betydning. Configuration Simulator Initial state Final state Environment Inbetween states Figur 4.1: En typisk simulator. 15

17 KAPITEL 4. TERMINOLOGI 16 Efter at man har fortalt simulatoren, hvilken konguration den skal simulere, starttilstanden af kongurationen og omgivelserne, er det simulatorens opgave at beregne den endelige sluttilstand af kongurationen. Dette foregår gerne ved, at man fortæller simulatoren: Find tilstanden efter 3 sekunder. Simulatoren behøver ikke at nde denne tilstand i et beregningsskridt, den kan sagtens beregne ere mellemliggende tilstande (eng. inbetween states), inden den når frem til sit resultat. Brugeren af simulatoren opdager bare aldrig disse mellemliggende tilstande. Ofte benyttes en simulator i forbindelse med animationer, man låner derfor lidt af det sprog, som anvendes i forbindelse med animationer. En frame (da. billede) er det samme som en tilstand af kongurationen. Figur 4.2 viser, hvordan en simulator anvendes til at producere frames i en animation. Initial frame next frame run simulator t Inbetween 0 t t 1 2 t t 3 4 t 5 states time Figur 4.2: En simulator anvendt i et animationssystem. Læg mærke til, at uddata fra simulatoren blot er en masse positioner og hastigheder af forskellige legemer. Det er op til en animator at nde ud af at tegne alt dette og vise det visuelt. Læg også mærke til, at en animation tit benytter sig af forskellige eekter såsom lens are og motion blur (og et utal af forskellige ltre og shading teknikker) for at få en billedesekvens til at virke mere realistisk, når et menneske ser den. Vores pointe er igen, at en simulation og animation er to forskellige ting. I interaktive applikationer (og animationer) har man det, man kalder for en frame rate (da. billeder per tid). Måleenheden for frame rate betegnes med symbolet fps (frames per second), hvilket betyder billeder per sekund. Hvis man gerne vil kunne vise levende billeder, skal man som en tommelngerregel have en frame rate på omkring 30fps. Dette stiller selvfølgelig nogle hårde krav til ydeevnen af en simulator, hvis man benytter den i et realtime system, som viser levende billeder.

18 Del I Grundlæggende matematik 17

19 Hovedformålet med denne del af specialet er at hjælpe de læsere, hvor det er første gang, de stifter bekendtskab med de emner, som dette speciale omhandler. Dynamisk simulation er et emne, hvor det ofte antages, at de folk, som arbejder med emnet, har en god, bred grundlæggende forståelse for både lineær algebra og analytisk matematik. Næsten lige så ofte nævnes der også en masse forskellige numeriske løsningsmetoder til at løse forskellige matematiske problemer med, eller også antages det, at man allerede er bekendt med sådanne trivielle ting. Efter vores mening kræver det, at man har modtaget en hvis grunduddannelse i matematik og numeriske løsningsmetoder, for at man ikke lige pludselig skal føle sig på meget dybt vand, når man arbejder med dynamisk simulation. Vi håber, at vi med med denne del af specialet kan hjælpe de læsere, som ikke har et særlig godt kendskab til den anvendte matematik eller de numeriske løsningsmetoder, til at få den nødvendige ekspertise til at kunne arbejde sig igennem specialet uden alt for mange vanskeligheder. Vi forudsætter dog, at læseren af dette speciale ved, hvad en vektor er, hvad en matrix er, og kender til de mest almindelige operationer på disse. Specielt antager vi, at rotationsmatricer er velkendte. Tanken er ikke, at denne del af specialet skal kunne fungere som en lærebog i den anvendte matematik i dette speciale, i stedet for er det ment som en retningslinie, som andre kan benytte til at fokusere på lige nøjagtig den matematik, som det er nødvendigt at lære. Eventuelt kan denne del af specialet anvendes til en kort repetition for de læsere, som allerede kan matematikken. 18

20 Kapitel 5 Lineær algebra Dette kapitel indeholder en hel del grundlæggende matematik. Vi vil starte med at indføre de mest grundlæggende matematiske denitioner, terminologi og notation, som vi benytter. Hvis læseren allerede har en grundlæggende forståelse for matricer og quaternioner, kan dette kapitel sagtens springes over, uden at man kommer til at ødelægge forståelsen for resten af dette speciale. 5.1 Matricer Vi lægger ud med at gennemgå forskellige typer af matricer samt nogle af deres egenskaber. Denition 1: Diagonal matrix En kvadratisk matrix, D, kaldes for en diagonal matrix, hvis der gælder: D ji = 0 hvis i j Det er kun elementerne D ii, som har lov til at være forskellig fra nul. Denition 2: Enhedsmatricen Nedenstående matrix kaldes for enhedsmatricen I = Denne matrix er lidt speciel, fordi når man foretager matrixmultiplikation med den, så ændrer den ikke noget. Det vil sige, der gælder, at v = I v, v T = v T I, M = MI og M = IM. Symbolet I for enhedsmatricen er lidt uheldig, når man arbejder med klassisk mekanik. I klassisk mekanik benytter man noget, som hedder en inertimatrix, 19

Matricer og lineære ligningssystemer

Matricer og lineære ligningssystemer Matricer og lineære ligningssystemer Grete Ridder Ebbesen Virum Gymnasium Indhold 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber 1 Regning med matricer 3 13 Kvadratiske matricer og determinant 9 14 Invers matrix

Læs mere

Datalogisk speciale. Dynamisk simulering af artikulerede stive legemer. af Jakob Holck

Datalogisk speciale. Dynamisk simulering af artikulerede stive legemer. af Jakob Holck Datalogisk speciale Dynamisk simulering af artikulerede stive legemer af Jakob Holck DIKU 10. marts 2005 Resumé Dette speciale i datalogi behandler computerbaseret dynamisk simulering af artikulerede stive

Læs mere

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil

Læs mere

Kapitel 2 Tal og variable

Kapitel 2 Tal og variable Tal og variable Uden tal ingen matematik - matematik handler om tal og anvendelse af tal. Matematik beskæftiger sig ikke udelukkende med konkrete problemer fra andre fag, og de konkrete tal fra andre fagområder

Læs mere

Vektorregning. Vektorer som lister

Vektorregning. Vektorer som lister 10 Vektorregning Vektorer som lister En vektor laves nemmest som en liste på TI-89 Titanium / Voyage 200. I nedenstående skærmbillede ser du, hvordan man definerer vektorer og laver en simpel udregning

Læs mere

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Kompendium i faget Matematik Tømrerafdelingen 2. Hovedforløb. Y Y = ax 2 + bx + c (x,y) X Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Indholdsfortegnelse for H2: Undervisningens indhold...

Læs mere

Studieretningsprojekter i machine learning

Studieretningsprojekter i machine learning i machine learning 1 Introduktion Machine learning (ml) er et område indenfor kunstig intelligens, der beskæftiger sig med at konstruere programmer, der kan kan lære fra data. Tanken er at give en computer

Læs mere

Funktioner og ligninger

Funktioner og ligninger Eleverne har både i Kolorit på mellemtrinnet og i Kolorit 7 matematik grundbog arbejdet med funktioner. I 7. klasse blev funktionsbegrebet defineret, og eleverne arbejdede med forskellige måder at beskrive

Læs mere

Om brugen af matematiske tegn og objekter i en god matematisk fremstilling

Om brugen af matematiske tegn og objekter i en god matematisk fremstilling Om brugen af matematiske tegn og objekter i en god matematisk fremstilling af Petur Birgir Petersen Et særpræg ved matematik som videnskab er den udstrakte brug af symboler. Det er vigtigt at symbolerne

Læs mere

VisiRegn: En e-bro mellem regning og algebra

VisiRegn: En e-bro mellem regning og algebra Artikel i Matematik nr. 2 marts 2001 VisiRegn: En e-bro mellem regning og algebra Inge B. Larsen Siden midten af 80 erne har vi i INFA-projektet arbejdet med at udvikle regne(arks)programmer til skolens

Læs mere

Algebra. Dennis Pipenbring, 10. februar 2012. matx.dk

Algebra. Dennis Pipenbring, 10. februar 2012. matx.dk matx.dk Algebra Dennis Pipenbring, 10. februar 2012 nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering Indhold 1 Forord 4 2 Indledning 5 3 De grundlæggende

Læs mere

Oprids over grundforløbet i matematik

Oprids over grundforløbet i matematik Oprids over grundforløbet i matematik Dette oprids er tænkt som en meget kort gennemgang af de vigtigste hovedpointer vi har gennemgået i grundforløbet i matematik. Det er en kombination af at repetere

Læs mere

1. Kræfter. 2. Gravitationskræfter

1. Kræfter. 2. Gravitationskræfter 1 M1 Isaac Newton 1. Kræfter Vi vil starte med at se på kræfter. Vi ved fra vores hverdag, at der i mange daglige situationer optræder kræfter. Skal man fx. cykle op ad en bakke, bliver man nødt til at

Læs mere

Komplekse tal og rækker

Komplekse tal og rækker Komplekse tal og rækker John Olsen 1 Indledning Dette sæt noter er forelæsningsnoter til foredraget Komplekse tal og rækker. Noterne er beregnet til at blive brugt sammen med foredraget. I afsnit 2 bliver

Læs mere

Appendiks 6: Universet som en matematisk struktur

Appendiks 6: Universet som en matematisk struktur Appendiks 6: Universet som en matematisk struktur En matematisk struktur er et meget abstrakt dyr, der kan defineres på følgende måde: En mængde, S, af elementer {s 1, s 2,,s n }, mellem hvilke der findes

Læs mere

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal?

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Det er ret let at svare på: arealet af en trekant, husker vi fra vor kære folkeskole, findes ved at gange

Læs mere

Computerstøttet beregning

Computerstøttet beregning CSB 2009 p. 1/16 Computerstøttet beregning Lektion 1. Introduktion Martin Qvist qvist@math.aau.dk Det Ingeniør-, Natur-, og Sundhedsvidenskabelige Basisår, Aalborg Universitet, 3. februar 2009 people.math.aau.dk/

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin 5. 6. semester efterår 2013-forår 2014 Institution Grenaa Tekniske Gymnasium Uddannelse Fag og niveau Lærer(e)

Læs mere

Projekt 2.1: Parabolantenner og parabelsyning

Projekt 2.1: Parabolantenner og parabelsyning Projekter: Kapitel Projekt.1: Parabolantenner og parabelsyning En af de vigtigste egenskaber ved en parabel er dens brændpunkt og en af parablens vigtigste anvendelser er som profilen for en parabolantenne,

Læs mere

Arbejdet på kuglens massemidtpunkt, langs x-aksen, er lig med den resulterende kraft gange strækningen:

Arbejdet på kuglens massemidtpunkt, langs x-aksen, er lig med den resulterende kraft gange strækningen: Forsøgsopstilling: En kugle ligger mellem to skinner, og ruller ned af den. Vi måler ved hjælp af sensorer kuglens hastighed og tid ved forskellige afstand på rampen. Vi måler kuglens radius (R), radius

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni, 2013 HTX Vibenhus

Læs mere

LÆRINGSMÅL PÅ NIF MATEMATIK 2014-15

LÆRINGSMÅL PÅ NIF MATEMATIK 2014-15 LÆRINGSMÅL PÅ NIF MATEMATIK 2014-15 Mål for undervisningen i Matematik på NIF Følgende er baseret på de grønlandske læringsmål, tilføjelser fra de danske læringsmål står med rød skrift. Læringsmål Yngstetrin

Læs mere

Evaluering af matematik undervisning

Evaluering af matematik undervisning Evaluering af matematik undervisning Udarbejdet af Khaled Zaher, matematiklærer 6-9 klasse og Boushra Chami, matematiklærer 2-5 klasse Matematiske kompetencer. Fællesmål efter 3.klasse indgå i dialog om

Læs mere

Eleven kan handle med overblik i sammensatte situationer med matematik. Eleven kan anvende rationale tal og variable i beskrivelser og beregninger

Eleven kan handle med overblik i sammensatte situationer med matematik. Eleven kan anvende rationale tal og variable i beskrivelser og beregninger Kompetenceområde Efter klassetrin Efter 6. klassetrin Efter 9. klassetrin Matematiske kompetencer handle hensigtsmæssigt i situationer med handle med overblik i sammensatte situationer med handle med dømmekraft

Læs mere

Selam Friskole Fagplan for Matematik

Selam Friskole Fagplan for Matematik Selam Friskole Fagplan for Matematik Formål Formålet med undervisningen er, at eleverne udvikler matematiske kompetencer og opnår viden og kunnen således, at de bliver i stand til at begå sig hensigtsmæssigt

Læs mere

Matema10k. Matematik for gymnasiet. Bind 3 A-niveau. af Thomas Jensen, Claus Jessen og Morten Overgård Nielsen

Matema10k. Matematik for gymnasiet. Bind 3 A-niveau. af Thomas Jensen, Claus Jessen og Morten Overgård Nielsen Matema10k Matematik for gymnasiet Bind 3 A-niveau af Thomas Jensen, Claus Jessen og Morten Overgård Nielsen 4 Thomas Jensen, Claus Jessen og Morten Overgård Nielsen Matema10k Matematik for stx. Bind 3.

Læs mere

Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. I. De komplekse tals historie. Historien om 3. grads ligningerne

Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. I. De komplekse tals historie. Historien om 3. grads ligningerne De komplekse tals historie side 1 Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave I. De komplekse tals historie Historien om 3. grads ligningerne x 3 + a x = b, x 3 + a x 2 = b, - Abraham bar Hiyya Ha-Nasi,

Læs mere

3. klasse 6. klasse 9. klasse

3. klasse 6. klasse 9. klasse Børne- og Undervisningsudvalget 2012-13 BUU Alm.del Bilag 326 Offentligt Elevplan 3. klasse 6. klasse 9. klasse Matematiske kompetencer Status tal og algebra sikker i, er usikker i de naturlige tals opbygning

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS August 2012 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse Mat A 2007-2010

Undervisningsbeskrivelse Mat A 2007-2010 Undervisningsbeskrivelse Mat A 2007-2010 Termin Maj 2010 Institution HTX-Sukkertoppen Uddannelse HTX Fag og Niveau Matematik A Lærer Reza Farzin Hold HTX 3.L / science Titel 1 Titel 2 Titel 4 Titel 5 Titel

Læs mere

Komplekse tal. x 2 = 1 (2) eller

Komplekse tal. x 2 = 1 (2) eller Komplekse tal En tilegnelse af stoffet i dette appendix kræver at man løser opgaverne Komplekse tal viser sig uhyre nyttige i fysikken, f.eks til løsning af lineære differentialligninger eller beskrivelse

Læs mere

Tal og algebra. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber: algebra variable. Huskeliste: Tændstikker (til side 146) FRA FAGHÆFTET

Tal og algebra. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber: algebra variable. Huskeliste: Tændstikker (til side 146) FRA FAGHÆFTET I kapitlet skal eleverne arbejde med fire forskellige vinkler på algebra de præsenteres på kapitlets første mundtlige opslag. De fire vinkler er algebra som et redskab til at løse matematiske problemer.

Læs mere

Computerundervisning

Computerundervisning Frederiksberg Seminarium Computerundervisning Koordinatsystemer og Funktioner Lærervejledning 12-02-2009 Udarbejdet af: Pernille Suhr Poulsen Christina Klitlyng Julie Nielsen Indhold Introduktion... 3

Læs mere

Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec.

Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. 1 Komplekse vektorrum I defininitionen af vektorrum i Afsnit 4.1 i Niels Vigand Pedersen Lineær Algebra

Læs mere

Komplekse tal. Jan Scholtyßek 29.04.2009

Komplekse tal. Jan Scholtyßek 29.04.2009 Komplekse tal Jan Scholtyßek 29.04.2009 1 Grundlag Underlige begreber er det, der opstår i matematikken. Blandt andet komplekse tal. Hvad for fanden er det? Lyder...komplekst. Men bare roligt. Så komplekst

Læs mere

Matematik. Matematikundervisningen tager udgangspunkt i Folkeskolens Fælles Mål

Matematik. Matematikundervisningen tager udgangspunkt i Folkeskolens Fælles Mål Matematik Matematikundervisningen tager udgangspunkt i Folkeskolens Fælles Mål Formålet med undervisningen i matematik er, at eleverne bliver i stand til at forstå og anvende matematik i sammenhænge, der

Læs mere

Geometriske konstruktioner: Ovaler og det gyldne snit

Geometriske konstruktioner: Ovaler og det gyldne snit Matematik Geometriske konstruktioner: Ovaler og det gyldne snit Ole Witt-Hansen, Køge Gymnasium Ovaler og det gyldne snit har fundet anvendelse i arkitektur og udsmykning siden oldtiden. Men hvordan konstruerer

Læs mere

Eleverne skal lære at:

Eleverne skal lære at: PK: Årsplan 8.Ga. M, matematik Tid og fagligt område Aktivitet Læringsmål Uge 32 uge 50 Tal og algebra Eleverne skal arbejde med at: kende de reelle tal og anvende dem i praktiske og teoretiske sammenhænge

Læs mere

Introduktion til MatLab Matematisk Modellering af Dynamiske Modeller ved Kasper Bjering Jensen, RUC, februar 2010

Introduktion til MatLab Matematisk Modellering af Dynamiske Modeller ved Kasper Bjering Jensen, RUC, februar 2010 Introduktion til MatLab Matematisk Modellering af Dynamiske Modeller ved Kasper Bjering Jensen, RUC, februar 2010 Computere er uvurderlige redskaber for personer der ønsker at arbejde med matematiske modeller

Læs mere

Årsplan for 7. klasse, matematik

Årsplan for 7. klasse, matematik Årsplan for 7. klasse, matematik I matematik bruger vi bogsystemet Sigma som grundmateriale. I systemet er der, ud over grundbogen, også kopiark og tests tilknyttet de enkelte kapitler. Systemet er udarbejdet

Læs mere

Integralregning Infinitesimalregning

Integralregning Infinitesimalregning Udgave 2.1 Integralregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne integral og stamfunktion, og anskuer dette som et redskab til bestemmelse af arealer under funktioner. Noterne er supplement

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Ligning med + - / hvor x optræder 1 gang... 3 IT-programmer

Læs mere

Baggrundsnote om logiske operatorer

Baggrundsnote om logiske operatorer Baggrundsnote om logiske operatorer Man kan regne på udsagn ligesom man kan regne på tal. Regneoperationerne kaldes da logiske operatorer. De tre vigtigste logiske operatorer er NOT, AND og. Den første

Læs mere

Kapitel 1. Planintegraler

Kapitel 1. Planintegraler Kapitel Planintegraler Denne tekst er en omarbejdet version af kapitel 7 i Gunnar Mohrs noter til faget DiploMat 2, og opgaverne er et lille udpluk af opgaver fra Mogens Oddershede Larsens bog Matematik

Læs mere

Komplekse tal og Kaos

Komplekse tal og Kaos Komplekse tal og Kaos Jon Sporring Datalogisk Institut ved Københavns Universitet Universitetsparken 1, 2100 København Ø August, 2006 1 Forord Denne opgave er tiltænkt gymnasiestuderende med matematik

Læs mere

Animationer med TI-Nspire CAS

Animationer med TI-Nspire CAS Animationer med TI-Nspire CAS Geometrinoter til TI-Nspire CAS version 2.0 Brian Olesen & Bjørn Felsager Midtsjællands Gymnasieskoler Marts 2010 Indholdsfortegnelse: Indledning side 1 Eksempel 1: Pythagoras

Læs mere

Matematik for stx C-niveau

Matematik for stx C-niveau Thomas Jensen og Morten Overgård Nielsen Matematik for stx C-niveau Frydenlund Nu 2. reviderede, udvidede og ajourførte udgave Nu 2. reviderede, udvidede og ajourførte udgave Matema10k Matematik for stx

Læs mere

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering:

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: LINEÆR PROGRAMMERING I lineær programmering løser man problemer hvor man for en bestemt funktion ønsker at finde enten en maksimering eller en minimering

Læs mere

matematikhistorie og dynamisk geometri

matematikhistorie og dynamisk geometri Pythagoras matematikhistorie og dynamisk geometri med TI-Nspire Indholdsfortegnelse Øvelse 1: Hvem var Pythagoras?... 2 Pythagoras læresætning... 2 Geometrisk konstruktion af Pythagoræisk tripel... 3 Øvelse

Læs mere

Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal.

Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal. Tre slags gennemsnit Allan C. Malmberg Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal. For mange skoleelever indgår

Læs mere

Fagplan for faget matematik

Fagplan for faget matematik Fagplan for faget matematik Der undervises i matematik på alle klassetrin (0. - 7. klasse). De centrale kundskabs- og færdighedsområder er: I matematik skal de grundlæggende kundskaber og færdigheder i

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2011 Uddannelsescenter

Læs mere

Broer, skak og netværk Carsten Thomassen: Naturens Verden 10, 1992, s. 388-393.

Broer, skak og netværk Carsten Thomassen: Naturens Verden 10, 1992, s. 388-393. Broer, skak og netværk Side 1 af 6 Broer, skak og netværk Carsten Thomassen: Naturens Verden 10, 1992, s. 388-393. Eksempler på praktiske anvendelser af matematik og nogle uløste problemer Indledning Figur

Læs mere

Roskilde Tekniske Gymnasium. Eksamensprojekt. Programmering C niveau

Roskilde Tekniske Gymnasium. Eksamensprojekt. Programmering C niveau Roskilde Tekniske Gymnasium Eksamensprojekt Programmering C niveau Andreas Sode 09-05-2014 Indhold Eksamensprojekt Programmering C niveau... 2 Forord... 2 Indledning... 2 Problemformulering... 2 Krav til

Læs mere

Når vi forbereder et nyt emne eller område vælger vi de metoder, materialer og evalueringsformer, der egner sig bedst til forløbet.

Når vi forbereder et nyt emne eller område vælger vi de metoder, materialer og evalueringsformer, der egner sig bedst til forløbet. MATEMATIK Delmål for fagene generelt. Al vores undervisning hviler på de i Principper for skole & undervisning beskrevne områder (- metoder, materialevalg, evaluering og elevens personlige alsidige udvikling),

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2011 Uddannelsescenter

Læs mere

Læringsmål Faglige aktiviteter Emne Tema Materialer

Læringsmål Faglige aktiviteter Emne Tema Materialer Uge 33-48 Målsætningen med undervisningen er at eleverne individuelt udvikler deres matematiske kunnen,opnår en viden indsigt i matematik kens verden således at de kan gennemføre folkeskolens afsluttende

Læs mere

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal.

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal. 1 Tal Tal kan forekomme os nærmest at være selvfølgelige, umiddelbare og naturgivne. Men det er kun, fordi vi har vænnet os til dem. Som det vil fremgå af vores timer, har de mange overraskende egenskaber

Læs mere

Faglig årsplan 2010-2011 Skolerne i Oure Sport & Performance. Emne Tema Materialer Regneregler og Algebra. Læringsmål Faglige aktiviteter

Faglig årsplan 2010-2011 Skolerne i Oure Sport & Performance. Emne Tema Materialer Regneregler og Algebra. Læringsmål Faglige aktiviteter Fag: Matematik Hold: 26 Lærer: Harriet Tipsmark Undervisningsmål 9/10 klasse Læringsmål Faglige aktiviteter 33-35 Målet for undervisningen er, at eleverne tilegner sig gode matematiske færdigheder og at

Læs mere

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje.

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje. Maple Dette kapitel giver en kort introduktion til hvordan Maple 12 kan benyttes til at løse mange af de opgaver, som man bliver mødt med i matematiktimerne på HHX. Skærmbilledet Vi starter med at se lidt

Læs mere

Årsplan 9. klasse matematik 2013-2014 Uge Emne Faglige mål Trinmål Materialer/ systemer 33 Årsprøven i matematik

Årsplan 9. klasse matematik 2013-2014 Uge Emne Faglige mål Trinmål Materialer/ systemer 33 Årsprøven i matematik Årsplan 9. klasse matematik 2013-2014 33 Årsprøven i matematik Årsprøve og rettevejledledning 34-35 36 og løbe nde Talmængder og regnemetoder Mundtlig matematik 37 Fordybelses uge 38-39 Procent - Gennemgå

Læs mere

Internet hitlister. En geometrisk præsentation af interesse-afstande Køreplan 01005 Matematik 1 - FORÅR 2006

Internet hitlister. En geometrisk præsentation af interesse-afstande Køreplan 01005 Matematik 1 - FORÅR 2006 Internet hitlister En geometrisk præsentation af interesse-afstande Køreplan 01005 Matematik 1 - FORÅR 2006 1 Formål Formålet med denne projekt-opgave er at finde en geometrisk repræsentation (i 2D eller

Læs mere

Computeren repræsenterer en teknologi, som er tæt knyttet til den naturvidenskabelige tilgang.

Computeren repræsenterer en teknologi, som er tæt knyttet til den naturvidenskabelige tilgang. Den tekniske platform Af redaktionen Computeren repræsenterer en teknologi, som er tæt knyttet til den naturvidenskabelige tilgang. Teknologisk udvikling går således hånd i hånd med videnskabelig udvikling.

Læs mere

Bogstavregning. En indledning for stx og hf. 2008 Karsten Juul

Bogstavregning. En indledning for stx og hf. 2008 Karsten Juul Bogstavregning En indledning for stx og hf 2008 Karsten Juul Dette hæfte træner elever i den mest grundlæggende bogstavregning (som omtrent springes over i lærebøger for stx og hf). Når elever har lært

Læs mere

Matematik i AT (til elever)

Matematik i AT (til elever) 1 Matematik i AT (til elever) Matematik i AT (til elever) INDHOLD 1. MATEMATIK I AT 2 2. METODER I MATEMATIK OG MATEMATIKKENS VIDENSKABSTEORI 2 3. AFSLUTTENDE AT-EKSAMEN 3 4. SYNOPSIS MED MATEMATIK 4 5.

Læs mere

Emne Tema Materiale r - - - - - aktiviteter

Emne Tema Materiale r - - - - - aktiviteter Fag: Matematik Hold: 24 Lærer: TON Undervisningsmål Læringsmål 9 klasse 32-34 Introforløb: række tests, som viser eleverne faglighed og læringsstil. Faglige aktiviteter Emne Tema Materiale r IT-inddragelse

Læs mere

Kapitel 5 Renter og potenser

Kapitel 5 Renter og potenser Matematik C (må anvedes på Ørestad Gymnasium) Renter og potenser Når en variabel ændrer værdi, kan man spørge, hvor stor ændringen er. Her er to måder at angive ændringens størrelse. Hvis man vejer 95

Læs mere

Læringsprogram. Talkonvertering. Benjamin Andreas Olander Christiansen Niclas Larsen Jens Werner Nielsen. Klasse 2.4. 1.

Læringsprogram. Talkonvertering. Benjamin Andreas Olander Christiansen Niclas Larsen Jens Werner Nielsen. Klasse 2.4. 1. Læringsprogram Talkonvertering Benjamin Andreas Olander Christiansen Niclas Larsen Jens Werner Nielsen Klasse 2.4 1. marts 2011 Fag: Vejleder: Skole: Informationsteknologi B Karl G. Bjarnason Roskilde

Læs mere

Matematisk induktion

Matematisk induktion Induktionsbeviser MT01.0.07 1 1 Induktionsbeviser Matematisk induktion Sætninger der udtaler sig om hvad der gælder for alle naturlige tal n N, kan undertiden bevises ved matematisk induktion. Idéen bag

Læs mere

Nøgleord og begreber Komplekse tal Test komplekse tal Polære koordinater Kompleks polarform De Moivres sætning

Nøgleord og begreber Komplekse tal Test komplekse tal Polære koordinater Kompleks polarform De Moivres sætning Oversigt [S] App. I, App. H.1 Nøgleord og begreber Komplekse tal Test komplekse tal Polære koordinater Kompleks polarform De Moivres sætning Test komplekse tal Komplekse rødder Kompleks eksponentialfunktion

Læs mere

Årsplan for matematik 2012-13

Årsplan for matematik 2012-13 Årsplan for matematik 2012-13 Uge Tema/emne Metode/mål 32 Matematiske arbejdsmåder(metode) 33 Intro 34 Tal + talforståelse 35 Brøker-procent 36 Potens+kvadrat-og kubikrod 37 Emneuge 38 Ligninger-uligheder

Læs mere

Space Challenge og Undervisningsminsteriets Fælles Mål for folkeskolen

Space Challenge og Undervisningsminsteriets Fælles Mål for folkeskolen Space Challenge og Undervisningsminsteriets Fælles Mål for folkeskolen I dette kapitel beskrives det, hvilke Fælles Mål man kan nå inden for udvalgte fag, når man i skolen laver aktiviteter med Space Challenge.

Læs mere

Årsplan matematik 4.klasse - skoleår 11/12- Ida Skov Andersen Med ret til ændringer og justeringer

Årsplan matematik 4.klasse - skoleår 11/12- Ida Skov Andersen Med ret til ændringer og justeringer Basis: Klassen består af 22 elever og der er afsat 4 ugentlige timer. Grundbog: Vi vil arbejde ud fra Matematrix 4, arbejds- og grundbog, kopisider, Rema, ekstraopgaver og ugentlige afleveringsopgaver

Læs mere

Formål for faget Matematik

Formål for faget Matematik Formål for faget Matematik Formålet med undervisningen i matematik er, at eleverne bliver i stand til at forstå og anvende matematik i sammenhænge, der vedrører dagligliv, samfundsliv og naturforhold.

Læs mere

APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE

APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE z x y z=exp( x^2 0.5y^2) CAS er en fællesbetegnelse for matematikprogrammer, som foruden numeriske beregninger også kan regne med symboler og formler. Det betyder: Computer

Læs mere

RSA Kryptosystemet. Kryptologi ved Datalogisk Institut, Aarhus Universitet

RSA Kryptosystemet. Kryptologi ved Datalogisk Institut, Aarhus Universitet RSA Kryptosystemet Kryptologi ved Datalogisk Institut, Aarhus Universitet 1 Kryptering med RSA Her følger først en kort opridsning af RSA kryptosystemet, som vi senere skal bruge til at lave digitale signaturer.

Læs mere

Programmering. Det rent og skært nødvendige, det elementært nødvendige! Morten Dam Jørgensen

Programmering. Det rent og skært nødvendige, det elementært nødvendige! Morten Dam Jørgensen Programmering Det rent og skært nødvendige, det elementært nødvendige! Morten Dam Jørgensen Oversigt Undervisningen Hvad er programmering Hvordan er et program organiseret? Programmering og fysik Nobelprisen

Læs mere

Øresunds Internationale Skole Engvej 153, 2300 København S. Tlf.: 32598002 www.o-i-s.dk ois@mail.sonofon.dk

Øresunds Internationale Skole Engvej 153, 2300 København S. Tlf.: 32598002 www.o-i-s.dk ois@mail.sonofon.dk Øresunds Internationale Skole Engvej 153, 2300 København S. Tlf.: 32598002 www.o-i-s.dk ois@mail.sonofon.dk Øresunds Internationale Skole læseplan for matematik. Formål for faget matematik Formålet med

Læs mere

Anvendelser af integralregning

Anvendelser af integralregning Anvendelser af integralregning I 1600-tallet blev integralregningen indført. Vi skal se, hvor stærkt et værktøj det er til at løse problemer, som tidligere forekom uoverstigelige. I matematik-grundbogen

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni, 2015 Institution Vestegnens HF og VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hf Matematik C Jack

Læs mere

Keplers love og Epicykler

Keplers love og Epicykler Keplers love og Epicykler Jacob Nielsen Keplers love Johannes Kepler (57-60) blev i år 600 elev hos Tyge Brahe (546-60) i Pragh, og ved sidstnævntes død i 60 kejserlig astronom. Kepler stiftede således

Læs mere

Matematik. Grundforløbet. Mike Auerbach (2) Q 1. y 2. y 1 (1) x 1 x 2

Matematik. Grundforløbet. Mike Auerbach (2) Q 1. y 2. y 1 (1) x 1 x 2 Matematik Grundforløbet (2) y 2 Q 1 a y 1 P b x 1 x 2 (1) Mike Auerbach Matematik: Grundforløbet 1. udgave, 2014 Disse noter er skrevet til matematikundervisning i grundforløbet på stx og kan frit anvendes

Læs mere

MATEMATIK. Formål for faget

MATEMATIK. Formål for faget Fælles Mål II MATEMATIK Formål for faget Fælles Mål Formålet med undervisningen i matematik er, at eleverne bliver i stand til at forstå og anvende matematik i sammenhænge, der vedrører dagligliv, samfundsliv

Læs mere

Projekt 7.4 Kvadratisk programmering anvendt til optimering af elektriske kredsløb

Projekt 7.4 Kvadratisk programmering anvendt til optimering af elektriske kredsløb Projekt 7.4 Kvadratisk programmering anvendt til optimering af elektriske kredsløb Indledning: I B-bogen har vi i studieretningskapitlet i B-bogen om matematik-fsik set på parallelkoblinger af resistanser

Læs mere

Årsplan 8. klasse matematik 2013-2014 Uge Emne Faglige mål Trinmål Materialer/ systemer 33 og løbende

Årsplan 8. klasse matematik 2013-2014 Uge Emne Faglige mål Trinmål Materialer/ systemer 33 og løbende Årsplan 8. klasse matematik 2013-2014 33 løbende 33-34 løbende Løbende Problemregning ( faglig læsning) Mundtlig matematik (forberede oplæg til 6. klasse) - flere forskellige trinmål Ben, formelsamlingen,

Læs mere

Fælles Mål 2009. Matematik. Faghæfte 12

Fælles Mål 2009. Matematik. Faghæfte 12 Fælles Mål 2009 Matematik Faghæfte 12 Undervisningsministeriets håndbogsserie nr. 14 2009 Fælles Mål 2009 Matematik Faghæfte 12 Undervisningsministeriets håndbogsserie nr. 14 2009 Indhold Formål for faget

Læs mere

matx.dk Enkle modeller

matx.dk Enkle modeller matx.dk Enkle modeller Dennis Pipenbring 28. juni 2011 Indhold 1 Indledning 4 2 Funktionsbegrebet 4 3 Lineære funktioner 8 3.1 Bestemmelse af funktionsværdien................. 9 3.2 Grafen for en lineær

Læs mere

Matematik. Trinmål 2. Nordvestskolen 2006 Forord. Trinmål 2 (4. 6. klasse)

Matematik. Trinmål 2. Nordvestskolen 2006 Forord. Trinmål 2 (4. 6. klasse) Matematik Trinmål 2 Nordvestskolen 2006 Forord Forord For at sikre kvaliteten og fagligheden i folkeskolen har Undervisningsministeriet udarbejdet faghæfter til samtlige fag i folkeskolen med bindende

Læs mere

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 1. Basis

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 1. Basis Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau af Kenneth Hansen 1. Basis Jorden elektron Hvor mange elektroner svarer Jordens masse til? 1. Basis 1.0 Indledning 1.1 Tal 1. Brøker 1. Reduktioner 11

Læs mere

Matematik. Læseplan og formål:

Matematik. Læseplan og formål: Matematik Læseplan og formål: Formålet med undervisningen i matematik er, at eleverne bliver i stand til at forstå og anvende matematik i sammenhænge, der vedrører dagligliv, samfundsliv og naturforhold.

Læs mere

Note omkring RSA kryptering. Gert Læssøe Mikkelsen Datalogisk institut Aarhus Universitet

Note omkring RSA kryptering. Gert Læssøe Mikkelsen Datalogisk institut Aarhus Universitet Note omkring RSA kryptering. Gert Læssøe Mikkelsen Datalogisk institut Aarhus Universitet 3. april 2009 1 Kryptering med offentlige nøgler Indtil midt i 1970 erne troede næsten alle, der beskæftigede sig

Læs mere

ALMINDELIGT ANVENDTE FUNKTIONER

ALMINDELIGT ANVENDTE FUNKTIONER ALMINDELIGT ANVENDTE FUNKTIONER I dette kapitel gennemgås de almindelige regnefunktioner, samt en række af de mest nødvendige redigerings- og formateringsfunktioner. De øvrige redigerings- og formateringsfunktioner

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Termin Efterår 2014 Institution Niels Brock Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold HHX Matematik - Niveau A Peter Harremoës GSK hold t14gymaau1o2 Oversigt over gennemførte undervisningsforløb

Læs mere

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk 3 Lineære funktioner En vigtig type funktioner at studere er de såkaldte lineære funktioner. Vi skal udlede en række egenskaber

Læs mere

Læseplan for faget matematik. 1. 9. klassetrin

Læseplan for faget matematik. 1. 9. klassetrin Læseplan for faget matematik 1. 9. klassetrin Matematikundervisningen bygger på elevernes mange forudsætninger, som de har med når de starter i skolen. Der bygges videre på elevernes forskellige faglige

Læs mere

Kom i gang med... Kapitel 11 Math: Formelredigering med OpenOffice.org. OpenOffice.org

Kom i gang med... Kapitel 11 Math: Formelredigering med OpenOffice.org. OpenOffice.org Kom i gang med... Kapitel 11 Math: Formelredigering med OpenOffice.org OpenOffice.org Rettigheder Dette dokument er beskyttet af Copyright 2005 til bidragsyderne som er oplistet i afsnittet Forfattere.

Læs mere

Bevægelse i to dimensioner

Bevægelse i to dimensioner Side af 7 Bevægelse i to dimensioner Når man beskriver bevægelse i to dimensioner, som funktion af tiden, ser man bevægelsen som var den i et almindeligt koordinatsystem (med x- og y-akse). Ud fra dette

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni 15 Institution VUC Thy-Mors Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold stx Matematik niveau A Knud Søgaard

Læs mere

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015 Kalkulus 1 - Opgaver Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis 20. januar 2015 Mængder Opgave 1 Opskriv følgende mængder med korrekt mængdenotation. a) En mængde A indeholder alle hele tal fra og med 1

Læs mere

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller Matematiske vækstmodeller I matematik undersøger man ofte variables afhængighed af hinanden. Her ser man, at samme type af sammenhænge tit forekommer inden for en lang række forskellige områder. I kapitel

Læs mere