Indledende Mål- og Integralteori. Steen Thorbjørnsen

Transkript

1 Indledende Mål- og Integralteori Steen Thorbjørnsen INSTITUT FOR MATEMATISKE FAG 29

2 Copyright 29 Steen Thorbjørnsen

3 Forord Nærværende notesæt er udarbejdet til kurset Målteori ved Institut for Matematiske Fag, Århus Universitet. Noterne bygger i høj grad på Svend Erik Graversens noter [Gr], der hidtil er blevet benyttet i nævnte kursus, men også på bogen [BM] af Christian Berg og Tage Gutmann Madsen samt bogen [Sc] af René L. Schilling. Hvad angår fagligt indhold og generalitet og styrke af de præsenterede resultater svarer noterne i høj grad til [Gr]. En væsentlig forskel i forhold til [Gr] er, at stoffet er omstruktureret med henblik på at komme så hurtigt frem til indførelsen af Lebesgue integralet, som det er praktisk muligt. I den henseende er noterne i høj grad struktureret som [BM]. Tanken med dette er, at de studerende dermed hurtigere får mulighed for at regne opgaver i Lebesgue-integralet, som naturligt udgør hovedfocus for kursets skriftlige eksamen. Kapitel udgør således en minimal fremstilling af målelighed og mål med henblik på udviklingen af Lebesgue-integralet i Kapitel 2. Emner som entydighed af mål, produktmål og transformation af mål bliver følgelig først behandlet i hhv. Kapitel 3, 4 og 5. Endvidere bliver visse videregående emner fra [Gr] gennemgået i appendices. Med henblik på at imødekomme overgangen fra. års studier, indeholder noterne desuden appendices om elementær mængdeteori, den udvidede reelle tallinie samt om supremum, infimum, limes superior og limes inferior. Kurset Målteori efterfølges ved Århus Universitet enten af kurset Sandsynlighedsteori. eller af kurset Reel Analyse. Materiale om L p -rum og integral-uligheder, som naturligt hører hjemme i et kursus i mål- og integralteori, bliver behandlet i begge sidstnævnte kurser og er derfor ikke medtaget i disse noter. Det samme gør sig gældende for konstruktionen af Lebesgue-målet på de reelle tal. Det har fra starten været hensigten at give en fremstilling af Mål- og Integralteori, som er (relativt) let læselig også for studerende med kun et enkelt års universitetsstudier bag sig. Dette har afstedkommet et forholdsvis stort antal sider, hvilket naturligvis kan virke begrænsende på læserens overblik over det gennemgåede stof. Det sidste er forsøgt imødekommet med en ganske stram struktur af teksten, som i vid udstrækning er opdelt i definitioner, sætninger, beviser, bemærkninger, eksempler etc. Det er afslutningsvist en stor fornøjelse at takke Jan Pedersen for hans grundige gennemlæsning af en tidligere version af manuskriptet og hans indsigtsfulde kommentarer, der har forbedret dele af noterne betragteligt. Århus, August 28 Steen Thorbjørnsen I 29 udgaven af noterne er der tilføjet opgaver efter hvert kapitel, ligesom der er tilføjet et appendix om tællelige mængder samt enkelte eksempler og figurer. Derudover er der foretaget nogle få justeringer af formuleringer og beviser, og der er rettet en række trykfejl. Jeg takker de studerende, der fulgte kurset i efteråret 28, for deres nyttige kommentarer. Specielt er jeg taknemmelig for Jesper Bjørnholts grundige sproglige gennemgang af noterne. Det er endelig en fornøjelse at takke Svend Erik Graversen og Jørgen Hoffmann-Jørgensen for berigende diskussioner. Århus, August 29 Steen Thorbjørnsen 3

4 Indhold Målelighed og mål. 6. Målelige mængder begrebet σ-algebra Borel-algebraen i R d Mål og deres grundlæggende egenskaber Målelige afbildninger Målelige funktioner med værdier i R Målelighed ved grænseovergang Målelighed i delrum Simple funktioner Opgaver til Kapitel Lebesgue-integralet Integralet af positive simple funktioner Integration af positive målelige funktioner Nulmængder og µ-næsten overalt Integration af reelle funktioner Konvergenssætninger for integralet Integration over delmængde Lebesgue-integralet vs. Riemann-integralet Opgaver til Kapitel Entydighed af mål δ-systemer og Dynkins Lemma Entydighedsresultater for mål Opgaver til Kapitel Produktmål 2 4. Produktrummet af to målelige rum Produktrum af flere end to målelige rum Produktmål Integration med hensyn til produktmål Tonellis og Fubinis Sætninger Opgaver til Kapitel Nye mål fra gamle Transformation af mål Mål med tæthed Absolut kontinuitet og entydighed af tæthed Opgaver til Kapitel A Appendices 4 A. Elementær mængdelære A.2 Tællelige mængder A.3 Den udvidede reelle tallinie R A.4 Infimum, supremum, limes inferior og limes superior

5 A.5 Generelle partitions σ-algebraer og kardinalitet af σ-algebraer A.6 Borel-målelighed i generelle metriske rum A.7 Translationsinvariante mål i R d A.8 Affine, bijektive transformationer af Lebesgue-målet

6 Målelighed og mål. For at illustrere de problemstillinger og begreber, vi skal studere i dette kapitel, betragter vi først den to-dimensionale euklidiske plan R 2. Vi ønsker at give en stringent matematisk beskrivelse af begrebet areal af delmængder af R 2. Lidt mere præcist ønsker vi at indføre en mængdefunktion λ 2, som til en delmængde A af R 2 knytter et ikke-negativt tal λ 2 (A), der på rimelig vis stemmer overens med vores intuitive opfattelse af arealet af A. Med denne intuitive opfattelse i baghovedet er det rimeligt at forlange, at λ 2 bl.a. bør opfylde følgende betingelser: (i) λ 2 (/) =. (ii) λ 2 ( ni= A i ) = n i= λ 2 (A i ), når A,...,A n er disjunkte delmængder af R 2. (iii) λ 2 s værdi på et vilkårligt (åbent) rektangel (a,b ) (a 2,b 2 ) i R 2 er lig med produktet af sidernes længder: λ 2 ((a,b ) (a 2,b 2 )) = (b a ) (b 2 a 2 ). (iv) Hvis A er en delmængde af R 2, og a er en fast vektor i R 2, så gælder der, at λ 2 (A+a) = λ 2 (A). (v) Hvis A er en delmængde af R 2, υ ( π,π], og R υ (A) betegner rotationen af A med vinkelen υ (omkring origo), så gælder der, at λ 2 (R υ (A)) = λ 2 (A). Betingelserne (ii) og (iii) sikrer, at λ 2 antager den rigtige værdi på vilkårlige (åbne) rektangler i R 2 og på mængder, der kan skrives som foreningsmængden af endeligt mange disjunkte rektangler. Men hvad med andre delmængder af R 2, f.eks. en cirkelskive D? Her kan man let forestille sig, at man kan overdække D med (endeligt mange) små disjunkte rektangler, således at det samlede areal af disse rektangler tilnærmelsesvist er lig med arealet af D. Det er intuitivt klart, at approksimationen kan blive så god, som man måtte ønske, og intuitivt må en mængdefunktion λ 2, der opfylder betingelserne (i)-(iii), således også forventes at antage den rigtige værdi på cirkelskiver og andre pæne delmængder af R 2. Men hvad så, hvis man f.eks. betragter foreningsmængden af uendeligt mange disjunkte rektangler i R 2, f.eks. R = (n n,n) (n n,n). n= Her bør der intuitivt gælde (jvf. (ii)), at λ 2 (R) = lim N N n= λ 2 ( (n n,n) (n n,n)) = lim N N n= n 2 = n= n 2 = π2 6, og overvejelser som denne leder til, at mængdefunktionen λ 2 rimeligvis bør opfylde følgende skærpelse af (ii): (II) λ 2 ( i= A i ) = i= λ 2 (A i ), når (A i ) i N er en følge af disjunkte delmængder af R 2. Her kan man imidlertid vise (jvf. Appendix A.7), at der ikke findes en afbildning λ 2 defineret på hele potensmængden P(R 2 ), som opfylder betingelserne (i),(ii),(iii) og (iv) ovenfor, når Potensmængden P(R 2 ) er systemet af alle delmængder af R 2 ; jvf. Appendix A. 6

7 det forudsættes, at (II) og (iv) skal være opfyldt for vilkårlige følger (A i ) i N af disjunkte delmængder af R 2 hhv. vilkårlige delmængder A af planen 2. For overhovedet at kunne indføre et rimeligt arealbegreb bliver man således nødt til at acceptere, at mængdefunktionen λ 2 kun er defineret på et passende delsystem B(R 2 ) af P(R 2 ). Med andre ord må man altså acceptere, at der findes delmængder af R 2, som man ikke på fornuftig vis kan tilskrive et areal, og mængderne i B(R 2 ) omtales tilsvarende som målelige mængder. Systemet B(R 2 ), som man i første omgang 3 stiller sig tilfreds med at kunne definere λ 2 på, kan beskrives som det mindste system af delmængder af R 2, der opfylder følgende betingelser:. R 2 B(R 2 ). 2. Hvis B B(R 2 ), gælder der også, at B c B(R 2 ). 3. For enhver følge (B i ) i N af mængder fra B(R 2 ) gælder der også, at i N B i B(R 2 ). 4. B(R 2 ) indeholder ethvert rektangel i R 2. Betingelserne -3 ovenfor sikrer, at man kan arbejde frit inden for systemet B(R 2 ) med hensyn til de sædvanlige mængdeoperationer (anvendt tælleligt mange gange), og de udtrykker, at B(R 2 ) er en såkaldt σ-algebra (se nedenfor). Som vi skal se i løbet af dette og de efterfølgende kurser, så findes der én og kun én afbildning 4 λ 2 : B(R 2 ) [, ], der opfylder betingelserne (i),(ii),(iii) for mængder i B(R 2 ). Denne afbildning opfylder endvidere betingelserne (iv) og (v) for alle mængder A i B(R 2 ) (se Appendix A.7 og Appendix A.8). Det viser sig heldigvis, at B(R 2 ) er stor nok til at omfatte alle i praksis forekommende delmængder af R 2, og set i det lys skal det umulige i at definere λ 2 på hele P(R 2 ) måske mere end en praktisk begrænsning opfattes som et udtryk for, at der indenfor det sædvanligvis anvendte aksiomssystem for mængdelæren findes yderst komplicerede delmængder af R 2. Når vi i næste kapitel skal indføre integralet af (i første omgang) ikke-negative funktioner med hensyn til λ 2, er vi ligeledes nødt til at nøjes med at kunne integrere en delklasse af mængden af alle funktioner f : R 2 [, ). Sådan som integralet konstrueres ud fra λ 2, viser det sig, at den nødvendige betingelse på f f.eks. kan udtrykkes som betingelsen, at {x R 2 f(x) b} B(R 2 ) for alle b i [, ), hvilket er et udtryk for, at man kan måle størrelsen af f med målet λ 2. Funktionerne som opfylder denne betingelse kaldes så for målelige funktioner. De målelige funktioner på R 2 udgør en bred klasse af funktioner, som bl.a. omfatter alle kontinuerte funktioner på R 2. Den ovenfor skitserede konstruktion kan uden yderligere komplikationer gennemføres i alle de endeligt dimensionale euklidiske rum R d, og en stor del af overvejelserne giver uden videre mening i langt større generalitet. Når vi i næste afsnit for alvor går i gang med at opbygge målteorien, skal vi således i stedet for R 2 (eller R d ) arbejde med en abstrakt (ikke-tom) grundmængde og studere σ-algebraer i, dvs. systemer E af delmængder af, der opfylder følgende betingelser: 2 Her forudsættes det sædvanlige ZFC-aksiomssystem for mængdelæren; specielt udvalgsaksiomet. 3 Man kan udvide λ 2 til større klasser af delmængder af R 2, men altså ikke til hele P(R 2 ). 4 Entydigheden bevises i Afsnit 3.2 nedenfor, mens eksistensen bevises i de efterfølgende kurser: Reel Analyse eller Sandsynlighedsteori. 7

8 (σ) E, (σ2) For alle mængder A i E gælder der også, at A c E. (σ3) Hvis (A n ) er en følge af mængder fra E, så gælder der også, at n N A n E. Vi skal endvidere studere generelle mængdefunktioner, kaldet mål, µ : E [, ], som opfylder følgende to betingelser: (m) µ(/) =. (m2) µ ( n= A n ) = n= µ(a n ), når (A n ) n N er en følge af disjunkte mængder fra E. Den abstrakte tilgang har den fordel, at overvejelserne bliver renset for irrelevante forhold, som kun er gyldige i R 2 (eller R d ). Vigtigere er det imidlertid, at den resulterende generelle teori omfatter en lang række matematiske situationer, hvor man naturligt ledes til at størrelsesangive mængder på en måde, der er analog til arealbegrebet. Det vigtigste eksempel herpå er nok sandsynlighedsteorien, hvor man i udgangspunktet ønsker at give en matematisk beskrivelse af eksperimenter med tilfældige udfald. Man har så brug for at bestemme sandsynligheden for, at udfaldet af det betragtede eksperiment havner i en bestemt delmængde A af mængden af samtlige mulige udfald. I dette tilfælde skal µ(a) således opfattes som sandsynligheden for, at udfaldet af eksperimentet havner i mængden A, og vores intuitive opfattelse af sandsynligheder retfærdiggør, at mængdefunktionen µ skal opfylde betingelserne (m) og (m2) ovenfor. Endvidere forudsættes µ i denne sammenhæng kun at antage værdier i [,], og µ omtales som et sandsynlighedsmål. Udviklingen af selve mål- og integralteorien skal tilskrives en lang række matematikere fra det 2. århundrede, nogle af hvis navne vi vil støde på undervejs som teorien bliver gennemgået. Blandt de væsentligste er H. Lebesgue, E. Borel, P. Fatou, C. Carathéodory, J. Dynkin, L. Tonelli og G. Fubini, hvoraf de to førstnævnte allerede har optrådt implicit i den benyttede notation λ 2 hhv. B(R 2 ). Den skitserede tilgang til sandsynlighedsteori baseret på mål- og integralteori skyldes først og fremmest den russiske matematiker A.N. Kolmogorov. Den har været af helt afgørende betydning for udviklingen af den moderne sandsynlighedsteori.. Målelige mængder begrebet σ-algebra I dette afsnit betragter vi, på nær i eksemplerne, en (abstrakt) ikke tom-mængde. Vi starter med at indføre forskellige systemer af delmængder af... Definition. Et system E af delmængder af kaldes for en σ-algebra i, hvis det opfylder følgende tre betingelser: (σ) E, (σ2) For alle mængder A i E gælder der også, at A c E. (σ3) Hvis (A n ) n N er en følge af mængder fra E, så gælder der også, at n N A n E. Mængderne i E kaldes for E-målelige mængder eller blot målelige mængder, når E er underforstået af sammenhængen. 8

9 ..2 Bemærkning. Hvis E er en σ-algebra i, så opfylder E specielt betingelsen: Hvis n N, og A,A 2,...,A n er mængder fra E, så gælder der også, at n j= A j E. (.) Dette følger ved at benytte (σ3) på følgen (A n ) n N af mængder fra E, hvor A,...,A n er de givne mængder i (.), mens A j = A n, når j n +. Et system E af delmængder af, som opfylder betingelserne (σ ), (σ 2) og (.) kaldes en (mængde-)algebra i. Som for en række andre begreber i matematikken benyttes sigmaet i terminologien σ-algebra til at udtrykke, at begrebet omhandler tælleligt mange operationer. Terminologien belyser således den faktiske forskel mellem en algebra og en σ-algebra. Det næste resultat viser specielt, at man indenfor en σ-algebra E kan arbejde frit med de sædvanlige mængdeoperationer uden at ryge ud af E, så længe man holder sig til tælleligt mange mængdeoperationer...3 Lemma. Hvis E er en (mængde-) algebra i, så gælder der yderligere følgende regler: (i) / E, (ii) Hvis A,B E, så er også A B element i E, (iii) Hvis A,B E, så er også A \ B element i E. Hvis E er en σ-algebra i, så gælder der endvidere (iv) Hvis (A n ) er en følge af mængder fra E, så er også n N A n element i E. Bevis. Alle udsagnene følger ved anvendelse af de relevante aksiomer samt regneregler for mængder (jvf. Appendix A.): (i) / = c E ifølge (σ2) og (σ). (ii) Da (A B) c = A c B c, følger det, at A B = (A c B c ) c E ved anvendelse af (σ2) og (.). (iii) A \ B = A B c E ifølge (σ2) og (ii). (iv) Da ( ) c n N A n = n N A c n, følger det, at n N A n = ( n N A c c n) E ifølge (σ2) og (σ3). Dermed er lemmaet vist...4 Eksempler. (A) Systemerne {/,} og P() = {A A } er begge σ-algebraer i ; hhv. den mindste og den største af alle σ-algebraer i. 9

10 (B) For enhver delmængde A af er systemet E = {/,A,A c,} en σ-algebra i (overvej!). Det er oplagt den mindste σ-algebra i, der indeholder A, i den forstand at enhver σ- algebra i, der indeholder A, også vil indeholde alle mængderne fra E. (C) Lad A,...,A n være disjunkte delmængder af, således at n j= A j =. I denne situation gælder der, at systemet E := { } A j I {,...,n} (.2) er en σ-algebra i : j I (σ) At E følger fra antagelsen: n j= A j =, ved at benytte I = {,...,n} i (.2). (σ2) For en delmængde I af {,...,n} følger det ved anvendelse af begge antagelserne om A,...,A n, at ( ) c A j = A j E, j I j {,...,n}\i hvilket viser, at E er lukket overfor komplementærmængdedannelse. (σ3) Lad (I k ) k N være en følge af delmængder af {,...,n}. Vi skal vise, at ( ) A j E. j I k k N Da der kun er 2 n forskellige delmængder af {,...,n}, kan der højst være 2 n forskellige blandt mængderne I k, k N, og dermed kan der også højst være 2 n forskellige blandt mængderne j I k A j, k N. Derfor reducerer problemet til at vise, at N k= ( j I k A j ) E, hvis I,...,I N er endeligt mange (forskellige) delmængder af {,...,n}. Men i denne situation er det ikke svært at indse, at som ønsket. N k= ( j I k A j ) = j I I N A j E Som i (B) følger det umiddelbart, at E er den mindste σ-algebra i, der indeholder alle mængderne A,...,A n. (D) Systemet udgør en σ-algebra i R: E := {B R B eller B c er tællelig} (σ) Da R c (= /) er tællelig, følger det, at R E. (σ 2) For enhver delmængde B af R følger det umiddelbart fra definitionen af E, at B E, hvis og kun hvis B c E.

11 (σ3) Lad (B n ) være en følge af mængder fra E. Hvis B n er tællelig for alle n, så bliver n N B n igen tællelig (overvej!) og dermed igen et element i E. Vi kan derfor antage, at B c n er tællelig for (mindst) et n i N. Idet ( n N B n ) c B c n, følger det så, at n N B n har tælleligt komplement, og dermed at n N B n E, som ønsket...5 Øvelse. Overvej om følgende systemer af delmængder af R udgør σ-algebraer: Systemet G af åbne delmængder af R. Systemet F af lukkede delmængder af R. Systemet G F af alle åbne eller lukkede delmængder af R. Systemet af alle begrænsede delmængder af R. Systemet af alle intervaller i R. Det næste resultat viser, at fællesmængder af σ-algebraer altid fører til nye σ-algebraer. Resultatet kan evt. sammenlignes med det fra lineær algebra velkendte resultat, at fællesmængden af en vilkårlig familie af underrum af et givet vektorrum V altid udgør et nyt underrum af V...6 Sætning. Lad (E i ) i I være en (vilkårlig) familie af σ-algebraer i. Da er også systemet E i = {A A E i for alle i I} i I en σ-algebra i. Bevis. Vi viser, at i I E i opfylder betingelserne (σ), (σ2) og (σ3) fra Definition..: (σ) Da E i for alle i, gælder der også, at i I E i. (σ2) Antag, at A i I E i, dvs. A E i for alle i. Så gælder der også, at A c E i for alle i, idet hvert E i opfylder (σ2). Men dette betyder, at A c i I E i. (σ3) Lad (A n ) n N være en følge af mængder fra i I E i. For hvert i gælder der da, at (A n ) n N er en følge af mængder fra E i, og dermed at n N A n E i, da E i opfylder (σ3). Men dette betyder, at n N A n i I E i. Dermed er sætningen vist. Selvom beviset for Sætning..6 næsten er trivielt (når man har indstillet sig på abstraktionsniveauet), så er selve resultatet afgørende for definitionen af frembragte σ-algebraer, som vi nu skal indføre. Som det fremgår af (løsningen til) Øvelse..5, så udgør f.eks. systemet G af åbne mængder i R ikke i sig selv en σ-algebra, og man kan naturligt spørge om, hvilke delmængder af R man skal supplere G med for at opnå en σ-algebra. I den sammenhæng er det nyttigt at vide, at der findes en σ-algebra i R, som indeholder G, og som er den mindste af alle σ-algebraer

12 i R med denne egenskab. Dette er et specialtilfælde af Sætning..7 nedenfor. Resultatet kan ses som en analog til det fra lineær algebra velkendte resultat, at der for enhver delmængde M af et vektorrum V findes et mindste underrum span(m) af V, som indeholder M. I forhold til beviset for Sætning..7 er det endvidere værd at huske på, at span(m) kan defineres som fællesmængden af samtlige underrum af V, der indeholder M...7 Sætning. Lad D være en vilkårlig familie af delmængder af. Så findes en mindste σ-algebra σ(d) i, som indeholder D, dvs. σ(d) opfylder følgende to betingelser: (a) σ(d) er en σ-algebra i og D σ(d). (b) For enhver σ-algebra E i, som indeholder D, gælder der også, at σ(d) E. Bevis. Vi sætter Σ(D) := {E E er en σ-algebra i og D E}, og bemærker at Σ(D) ikke er tom, idet P() Σ(D). Vi definerer så σ(d) := E Σ(D) Ifølge Sætning..6 er σ(d) en σ-algebra i, og den opfylder betingelserne (a) og (b) som følge af definitionen af Σ(D). E...8 Definition. (a) Hvis D er et system af delmængder af, så kaldes σ-algebraen σ(d) fra Sætning..7 for den af D frembragte σ-algebra, og D kaldes for et frembringersystem for σ(d). (b) En σ-algebra E i siges at være tælleligt frembragt, hvis der findes en tællelig familie D af delmængder af, således at E = σ(d)...9 Bemærkninger. () Hvis E er en σ-algebra i, og D er et system af delmængder af, så svarer betingelse (b) i Sætning..7 til implikationen: D E = σ(d) E. (.3) Specielt har vi for systemer D og D 2 af delmængder af implikationerne: D D 2 = D σ(d 2 ) = σ(d ) σ(d 2 ). (.4) (2) Hvis D er et frembringersystem for en σ-algebra E i, så er systemerne {D c D D} { n N A n A n D for alle n i N} { n N A n A n D for alle n i N} 2

13 ligeledes frembringersystemer for E. Dette følger i alle tre tilfælde direkte ved anvendelse af implikationerne i (.4) for passende valg af D og D 2 (overvej!)... Eksempler. (A) Systemerne og D = {[a,b] a,b R, a < b} D 2 = {(a,b) a,b R, a < b} frembringer den samme σ-algebra i R. For a,b i R, så a < b, har vi nemlig, at [a,b] = (a n,b+ n ) σ(d 2), og at n N (a,b) = [a+ n,b n ] σ(d ), n N hvor [a+ n,b n ] opfattes som den tomme mængde for de (højst endeligt mange) n, for hvilke a+ n > b n. Det følger af ovenstående identiteter og (.4), at σ(d ) = σ(d 2 ). Analoge overvejelser viser, at σ(d ) ligeledes er frembragt af systemerne {(a,b] a,b R, a < b} og {(,b] b R}. Specielt noterer vi, at den samme σ-algebra kan have mange forskellige frembringersystemer. (B) Lad nu grundmængden være mængden Q af rationale tal, og betragt systemet D = {{x} x Q} af et-punktsmængder (singletoner) i Q. Da Q som bekendt er en tællelig mængde, gælder der, at σ(d) = P(Q), hvor venstresiden altså er σ-algebraen i Q frembragt af D. En vilkårlig delmængde A af Q kan nemlig oplagt skrives som foreningsmængden af etpunktsmængderne svarende til dens elementer: A = {x}. (.5) x A Da A er tællelig, er der tale om en tællelig foreningsmængde af mængder fra D, og derfor viser (.5), at A σ(d). Det næste resultat giver en nyttig metode til at påvise, at alle mængder i en forelagt σ-algebra har en bestemt egenskab... Sætning. Lad D være et system af delmængder af, som alle besidder en vis egenskab P. Antag videre, at systemet E(P) := {A A har egenskab P} udgør en σ-algebra i. Da har alle mængder i σ(d) ligeledes egenskaben P. 3

14 Bevis. At alle mængder fra D har egenskaben P betyder, at D E(P), og da E(P) er en σ- algebra, medfører dette, at σ(d) E(P) (jvf. Bemærkning..9())...2 Eksempel. Betragt systemet D = {{x} x R}, af et-punktsmængder i R, og bemærk at alle mængder fra D besidder egenskaben Ifølge Eksempel..4(D) er systemet P: A eller A c er tællelig. E(P) = {A R A eller A c er tællelig} en σ-algebra i R. Derfor gælder ifølge Sætning.., at enhver mængde fra σ(d) enten er tællelig eller har tælleligt komplement. Specielt fremgår det, at σ(d) P(R) og σ(d) σ({[a,b] a,b R, a < b}). Faktisk kan vi let vise, at σ(d) = E(P). Vi har nemlig netop indset, at σ(d) E(P), og for at vise den modsatte inklusion benytter vi, at der for alle delmængder A af R gælder identiteten A = {x}, x A som analogt til Eksempel..(B) medfører inklusionen: Ved anvendelse af (.4) følger det derfor, at {A R A er tællelig} σ(d). σ(d) σ({a R A er tællelig}) E(P), hvor sidste inklusion følger umiddelbart af definitionen af E(P)..2 Borel-algebraen i R d. I dette afsnit skal vi udstyre det euklidiske rum R d med en kanonisk σ-algebra, kaldet Borelalgebraen. I forbindelse hermed skal vi studere to forskellige afstandsbegreber også kaldet metrikker på R d. Først og fremmest skal vi udstyre R d med det sædvanlige afstandsbegreb: ρ 2 ((x,...,x d ),(y,...,y d )) = ( d (x i y i ) 2) /2, (.6) i= for x = (x,...,x d ),y = (y,...,y d ) i R d. Vi skal imidlertid også benytte metrikken ρ på R d givet ved ρ ((x,...,x d ),(y,...,y d )) = max x i y i. (.7) i=,2,...,d Vi minder om, at ρ 2 og ρ begge opfylder følgende betingelser 5 for alle x,y,z i R d : 5 Disse betingelser karakteriserer netop en metrik; se Appendix A.6. 4

15 ρ(x,y), ρ(x,y) = x = y, ρ(x,y) = ρ(y,x), ρ(x, z) ρ(x, y) + ρ(y, z), [Hausdorff egenskab] [Symmetri] [Trekantsuligheden] hvor ρ betegner enten ρ 2 eller ρ. For x i R d og r > betegnes den åbne ρ 2 -kugle med centrum x og radius r med b 2 (x,r), dvs. b 2 (x,r) = {y R d ρ 2 (x,y) < r}. Den tilsvarende ρ -kugle betegnes med b (x,r), dvs. b (x,r) = {y R d ρ (x,y) < r} = (x r,x + r) (x d r,x d + r). (.8) En delmængde G af R d siges som bekendt at være åben med hensyn til metrikken ρ 2 (hhv. ρ ), hvis der for ethvert punkt x i G findes et r >, således at b 2 (x,r) G (hhv. b (x,r) G). Systemet af åbne mængder med hensyn til ρ 2 (hhv. ρ ) betegnes med G(ρ 2 ) (hhv. G(ρ )). Selvom der er tale om to forskellige afstandsbegreber, er de to metrikker ρ 2 og ρ ækvivalente, i den forstand at G(ρ 2 ) = G(ρ ). Dette skyldes, at enhver åben kugle mht. ρ 2 indeholder en åben kugle mht. ρ med samme centrum og vice versa (detaljerne vises i Opgave.9.). For at have en simpel notation sætter vi G = G(ρ 2 ) = G(ρ )..2. Definition. Borel-algebraen i R d er σ-algebraen i R d frembragt af systemet G af åbne mængder. Den betegnes med B(R d ), dvs. B(R d ) := σ(g) = σ ( {G R d G er åben mht. ρ 2 og/eller ρ } ). Mængderne i B(R d ) kaldes for Borel-mængder. Det er ikke svært at eftervise, at ethvert interval i R (begrænset eller ubegrænset; åbent, halvåbent eller lukket) er en Borel-mængde (jvf. Opgave.9.3). Et tilsvarende resultat gælder i R d. Den næste sætning viser specielt, at Borel-algebraen B(R d ) også er frembragt af visse systemer af rektangler i R d..2.2 Sætning. For ethvert d i N gælder der, at B(R d ) = σ ( {b 2 (x,r) x R d, r > } ) = σ ( {b 2 (x,r) x Q d, r (, ) Q} ), (.9) og at B(R d ) = σ ( {(a,b ) (a d,b d ) a i,b i R, a i < b i, i =,...,d} ) = σ ( {(a,b ) (a d,b d ) a i,b i Q, a i < b i, i =,...,d} ). (.) 5

16 Specielt fremgår det, at B(R d ) er tælleligt frembragt. Beviset for Sætning.2.2 bygger på følgende hjælperesultat..2.3 Lemma. Betragt R d udstyret med metrikken ρ, hvor ρ betegner én af metrikkerne ρ 2 eller ρ. Lad videre G betegne en ikke-tom åben mængde i R d med hensyn til ρ, og skriv den tællelige mængde Q d G på formen: Q d G = {x k k N}. Da findes en følge (r k ) k N af positive rationale tal, således at G = k N b(x k,r k ), hvor b(x,r) betegner ρ-kuglen med centrum x og radius r. Specielt fremgår det, at enhver åben mængde i R d (med hensyn til ρ) kan skrives som en tællelig forening af åbne ρ-kugler med rationale centre og radier. Bevis for Lemma.2.3. For hvert n i N definerer vi s n = sup{r (,] b(x n,r) G} (,], og vi vælger derefter et vilkårligt rationalt tal r n i [ s n 2,s n ). Så følger det fra definitionen af s n, at og dermed at b(x n,r n ) G for alle n i N, n N b(x n,r n ) G. Lad omvendt et vilkårligt x i G være givet, og vælg r i (,2], således at b(x,r) G. Da Q d er tæt i R d mht. ρ (jvf. Opgave.9.2), kan vi derefter vælge n i N, således at x n b(x, 4 r ) G. Så gælder der, at b(x n, 2 r ) b(x,r) G, for hvis y b(x n, 2 r ), så giver trekantsuligheden, at ρ(y,x) ρ(y,x n )+ρ(x n,x) < r 2 + r 4 < r. 6

17 G x x_n r r/2 Figur : Illustration af beviset for Lemma.2.3. Det følger derfor fra definitionen af s n og valget af r n, at Vi kan således slutte, at som ønsket. r 2 s n, og dermed x b(x n, r 4 ) b(x n,r n) r 4 s n 2 r n. k N b(x k,r k ), Bevis for (.9) i Sætning.2.2. For ethvert x i R d og ethvert r > er kuglen b 2 (x,r) en åben delmængde af R d, og derfor følger det umiddelbart ved anvendelse af (.4), at σ ( {b 2 (x,r) x Q d, r (, ) Q} ) σ ( {b 2 (x,r) x R d, r > } ) Tilbage står derfor at vise, at σ(g) = B(R d ). σ(g) σ ( {b 2 (x,r) x Q d, r (, ) Q} ), (.) men ifølge Lemma.2.3 (med ρ = ρ 2 ) gælder der, at G σ ( {b 2 (x,r) x Q d, r (, ) Q} ), og dermed følger (.) ved anvendelse af (.4). Bevis for (.) i Sætning.2.2. For alle a,b,...,a d,b d fra R, således at a i < b i, i=,...,d, er (a,b ) (a d,b d ) en åben delmængde af R d. Dermed følger det umiddelbart ved anvendelse af (.4), at σ ( {(a,b ) (a d,b d ) a i,b i Q, a i < b i, i =,...,d} ) σ ( {(a,b ) (a d,b d ) a i,b i R, a i < b i, i =,...,d} ) σ(g) = B(R d ). 7

18 Tilbage står derfor at vise, at σ(g) σ ( {(a,b ) (a d,b d ) a i,b i Q, a i < b i, i =,...,d} ), (.2) men ifølge Lemma.2.3 (med ρ = ρ jvf. (.8)) gælder der, at G σ ( {(a,b ) (a d,b d ) a i,b i Q, a i < b i, i =,...,d} ), og dermed følger (.2) ved endnu en anvendelse af (.4)..2.4 Korollar. For ethvert d i N gælder der, at B(R d ) = σ ( {(,b ] (,b d ] b,...,b d R} ) (.3) og endda at B(R d ) = σ ( {(,q ] (,q d ] q,...,q d Q} ). (.4) Specielt fremgår det (igen), at B(R d ) er tælleligt frembragt. Bevis. Betragt følgende systemer af delmængder af R d : Vi bemærker så, at I = {(,b ] (,b d ] b,...,b d R} J = {(,q ] (,q d ] q,...,q d Q}. σ(j) σ(i) B(R d ), (.5) hvor første inklusion følger af, at J I ved anvendelse af (.4). Den anden inklusion i (.5) følger ved anvendelse af (.3) på inklusionen I B(R d ), som f.eks. skyldes, at alle mængder fra I er lukkede og dermed specielt Borel-mængder. Vi mangler således blot at vise, at B(R d ) σ(j), og hertil er det ifølge Sætning.2.2 og (.4) nok at vise, at (a,b ) (a d,b d ) σ(j) for alle a,b,...,a d,b d i Q, således at a i < b i, i =,2,...,d. For at undgå alt for tung notation nøjes vi med at vise dette i tilfældet d = 3, idet det efterfølgende burde være klart, hvordan beviset skal gennemføres i andre dimensioner. Lad således for hvert i fra {,2,3} a i og b i fra Q være givne, således at a i < b i. Vi bemærker først, at (a,b ) (a 2,b 2 ) (a 3,b 3 ) = ( (,b ) (,b 2 ) (,b 3 ) ) ( (a, ) (a 2, ) (a 3, ) ), hvor (,b ) (,b 2 ) (,b 3 ) = k N Det er herefter nok at vise, at ( (a, ) (a 2, ) (a 3, ) ) c σ(j). ( (,b k ] (,b 2 k ] (,b 3 k ]) σ(j). 8

19 Men her benyttes, at ( (a, ) (a 2, ) (a 3, ) ) c = ((,a ] R R) (R (,a 2 ] R) (R R (,a 3 ]), hvor f.eks. R (,a 2 ] R = k N ( (,k] (,a2 ] (,k] ) σ(j). Det indses tilsvarende, at (,a ] R R og R R (,a 3 ] er elementer i σ(j), og dermed er korollaret vist..3 Mål og deres grundlæggende egenskaber Vi skal i dette afsnit indføre og studere begrebet et mål. Vi starter med at indføre noget bekvem terminologi:.3. Definition. Et måleligt rum er et par (,E), hvor er en ikke-tom mængde og E er en σ-algebra i. Vi kan herefter indføre generelle mål på målelige rum:.3.2 Definition. Lad (,E) være et måleligt rum. Et mål på (,E) er en afbildning µ : E [, ], som opfylder følgende to betingelser: (m) µ(/) =, (m2) µ er numerabelt additiv (eller σ-additiv), dvs. for enhver følge (A n ) n N af disjunkte mængder fra E gælder der, at Hvis µ er et mål på (, E), kaldes triplet (, E, µ) for et målrum. ( ) µ A n = µ(a n ). (.6) n N n= Bemærk i forbindelse med betingelsen (m2) at begge sider af identiteten (.6) umiddelbart er meningsfulde: n N A n E, og højresiden er en sum af ikke-negative tal..3.3 Eksempler. (A) Lebesgue-målet på R d. Det er intuitivt klart, at operationen at tage volumen af en Borel-mængde i R 3 (eller areal i R 2 eller længde i R) må opfylde betingelserne (m) og (m2) i definitionen ovenfor og således udgøre et mål på (R 3,B(R 3 )) (hhv. på (R 2,B(R 2 )) eller (R,B(R))). Dette mål kaldes for Lebesgue-målet på R 3 (hhv. på R 2 eller R). Formelt indføres Lebesgue-målet på R d som det mål λ d på (R d,b(r d )), hvis værdi på ethvert åbent interval i R d er produktet af kantlængderne: λ d ( (a,b ) (a d,b d ) ) = (b a ) (b d a d ) (.7) 9

20 for alle a,b,...,a d,b d i R, hvor a j < b j, j =,...,d. Vi skal senere formelt bevise, at der findes netop et mål på (R d,b(r d )), som opfylder (.7). I tilfældet d = skriver vi som regel λ i stedet for λ. (B) Tællemål. Lad være en vilkårlig ikke-tom mængde, og udstyr med σ-algebraen P(). Tællemålet på er da målet τ : P() [, ] givet ved: { antal elementer i A, hvis A har endeligt mange elementer τ(a) =, hvis A har uendeligt mange elementer. For at indse at τ er et mål på (,P()), bemærker vi først, at betingelsen (m) følger umiddelbart fra definitionen af τ. For at eftervise (m2) betragtes en følge (A n ) af disjunkte mængder fra P(), og vi skal vise, at τ ( ) n = n NA τ(a n ). (.8) n= Hvis τ( n N A n ) <, så er τ(a n ) også endelig for alle n, og da A n erne er disjunkte, er der kun endeligt mange n i N, for hvilke A n /. Betegnes disse endeligt mange naturlige tal med n,n 2,...,n k, så følger det nu umiddelbart fra definitionen af τ, at τ ( n N A n ) = τ ( k j= idet vi igen benytter, at A n,a n2,...,a nk er disjunkte. ) k A n j = τ(a n j ) = τ(a n ), j= n= Hvis τ( n= A n ) =, er der to muligheder (som ikke udelukker hinanden): (a) Der findes et n i N, således at τ(a n ) =. (b) τ(a n ) for uendeligt mange n. Men i begge tilfældene (a) og (b) følger det umiddelbart, at n= τ(a n) =, som ønsket. (C) Dirac-mål. Lad være en vilkårlig ikke-tom mængde, og udstyr med σ-algebraen P(). For et vilkårligt element a i defineres Dirac-målet δ a i a som målet på (,P()) givet ved: {, hvis a / A, δ a (A) =, hvis a A. Det vises i Opgave.9.2, at δ a faktisk ér et mål på (,E). (D) Koncentration af mål. Lad (,E, µ) være et målrum, og lad A være en udvalgt mængde fra E. Afbildningen µ A k : E [, ] givet ved µ A k (B) = µ(b A), (B E), ses da let at være et mål på E (se Opgave.9.3). Målet µ A k omtales som koncentrationen af µ til mængden A. 2

21 Vi skal nu etablere en række fundamentale egenskaber ved mål..3.4 Sætning. Lad (,E, µ) være et målrum. Da gælder følgende udsagn: (i) µ er endeligt additiv, dvs. hvis A,...,A N er endeligt mange disjunkte mængder fra E, så gælder der, at µ( N n= A n ) = N n= µ(a n). (ii) Hvis A,B E, og A B, så gælder der, at µ(a) µ(b). (iii) Hvis A,B E, A B, og µ(a) <, så gælder der, at µ(b \ A) = µ(b) µ(a). (iv) For en vilkårlig følge (A n ) af mængder fra E gælder der, at ( ) µ A n µ(a n ). n N n= (v) Lad (A n ) være en voksende følge af mængder fra E, dvs. A A 2 A 3. Så gælder der, at ( ) µ A n = lim µ(a n ). n N (vi) Lad (A n ) være en dalende følge af mængder fra E, dvs. A A 2 A 3. Antag videre at µ(a ) <. Så gælder der, at ( ) µ A n = lim µ(a n ). n N Bevis. (i) Lad A,...,A N være disjunkte mængder fra E, og sæt endvidere A n = /, når n N+. Det følger så ved anvendelse af (m2), at µ ( N n= A n ) = µ ( n= A n ) = N µ(a n ) = µ(a n ). n= n= (ii) og (iii). Antag, at A,B E, og at A B. Så gælder der, at B = A (B \ A), hvor mængderne på højresiden oplagt er disjunkte. Det følger derfor ved anvendelse af (i), at µ(b) = µ(a)+µ(b \ A). Heraf følger det umiddelbart, at µ(b) µ(a), og hvis µ(a) <, følger det yderligere, at også µ(b) µ(a) = µ(b \ A). (iv) og (v). Lad (A n ) være en vilkårlig følge af mængder fra E, og definér så en ny følge (B n ) af delmængder af ved B = A, og B n = A n \ ( n k= A k ) for n 2. Nu gælder der, at B n E for alle n, og B,B 2,B 3,... er disjunkte. Bemærk endvidere, at n= A n = n= B n, og N n= A n = N 2 n= B n for alle N i N.

22 Ved anvendelse af (m2) og (ii) finder vi derfor, at µ ( n= ) ( ) A n = µ n = n=b µ(b n ) µ(a n ), (.9) n= n= hvilket viser (iv). Hvis vi nu yderligere antager, at A A 2 A 3, så har vi, at A N = N n= A n = N n= B n for alle N i N, og genanvendes de to første lighedstegn i (.9), finder vi, at µ ( ) n = n=a µ(b n ) = lim N n= N n= hvor vi i 3. lighedstegn benyttede (i). Dette viser (v). µ(b n ) = lim µ( N ) B n = lim µ(a N), N n= N (vi) Antag, at A A 2 A 3, og lad os i første omgang yderligere forudsætte, at µ() <. Så medfører (ii), at også µ(a) < for alle A i E. Idet A c Ac 2 Ac 3, følger det fra (v), at µ(a c n) µ ( A c ) ( ( ) c n = µ A n ). n= n= Sammenholdes dette med (iii) (husk, at alle værdier af µ er endelige), finder vi, at ( ( µ(a n ) = µ() µ(a c ) ) c n) µ() µ A n = µ ( ) A n, som ønsket. Hvis µ() =, men µ(a ) <, kan vi betragte målet µ k A på (,E), givet ved n= µ k A (B) = µ(b A ), (B E) (jvf. Eksempel.3.3(D)). Bemærk, at µ k A () = µ(a ) <, og idet der yderligere gælder, at µ k A (A n ) = µ(a n ) for alle n, og µ k A ( n= A n ) = µ ( n= n= A n ), følger det ønskede nu umiddelbart ved at benytte det ovenfor viste på målet µ k A. I nogle fremstillinger af målteorien omtales udsagn (iv) i Sætning.3.4 som Booles Ulighed. I forbindelse med udsagn (v) og (vi) i samme sætning er det bekvemt at indføre følgende notation:.3.5 Notation. Lad (A n ) være en følge af delmængder af, og lad A være endnu en delmængde af. Vi skriver da A n A, hvis A A 2 A 3, og n= A n = A. A n A, hvis A A 2 A 3, og n= A n = A. I forlængelse af den netop indførte notation siger man ofte, at egenskaberne (v) og (vi) i Sætning.3.4 udtrykker kontinuitet af målet µ. 22

23 .3.6 Bemærkninger. () Egenskab (iii) i Sætning.3.4 gælder ikke uden antagelsen µ(a) <. Betragt f.eks. tællemålet τ på N. Så gælder der, at {} = N \ N, men det giver ikke mening at skrive: = τ({}) = τ(n \N) = τ(n ) τ(n) =. (2) Egenskab (vi) i Sætning.3.4 gælder heller ikke generelt uden antagelsen µ(a ) <. Betragt f.eks. igen tællemålet τ på N, og sæt A n = {n,n+,n+2,...}, (n N). Så gælder der, at ( τ n N A n ) = τ(/) =, og lim τ(a n ) = lim =. Betingelsen: µ(a ) < kan dog naturligvis erstattes af betingelsen: µ(a n ) < for alle tilstrækkeligt store n (overvej!). Vi afslutter dette afsnit med at indføre en række vigtige klasser af mål..3.7 Definition. Betragt et målrum (,E, µ). Vi siger da, at (a) µ er et sandsynlighedsmål, hvis µ() =. I dette tilfælde benyttes ofte betegnelsen P i stedet for µ. (b) µ er et endeligt mål, hvis µ() <. (c) µ er et σ-endeligt mål, hvis der findes en følge (A n ) n N af mængder fra E, således at µ(a n ) < for alle n, og n N A n =. (.2) (d) µ er et sum-endeligt mål, hvis der findes en følge (µ n ) n N af endelige mål på E, således at µ = n= µ n, eller mere præcist µ(a) = µ n (A), (A E), n= idet man let indser, at højresiden definerer et nyt mål på E (se Opgave.9.4)..3.8 Bemærkninger. () Ethvert endeligt mål er σ-endeligt. (2) Antag, at µ er et σ-endeligt mål på E, og lad (A n ) være en følge af mængder fra E, som opfylder (.2). Man kan da altid efter forgodtbefindende antage, at (A n ) er en voksende følge (dvs. A A 2 A 3 ) eller at A n erne er disjunkte. Vi kan nemlig erstatte (A n ) med A n = n A j, (n N), j= 23

24 eller med n = A n \ ( n ) A j, A j= (n N), hvor følgerne (A n ) og (A n ) igen opfylder (.2) pga. (iv) og (ii) i Sætning.3.4. (3) Ethvert σ-endeligt mål µ er sum-endeligt. Vælges nemlig A,A 2,A 3,... fra E som opfylder (.2), og som er disjunkte, da har vi for B i E, at µ(b) = µ ( (B A n ) ) = n N µ(b A n ) = n= og her er µ k A n et endeligt mål for alle n (jvf. Eksempel.3.3(D)). µ A k n (B), n=.4 Målelige afbildninger Vi skal i dette afsnit studere de afbildninger mellem målelige rum, der på naturlig måde opfører sig i overenstemmelse med den indførte måleligheds-struktur. De målelige afbildninger spiller i den henseende den samme rolle for målteorien, som de kontinuerte afbildninger spiller i topologi. Vi starter med at indføre begrebet originalmængde (eller urbillede) for en afbildning (se også Appendix A.)..4. Definition. Lad og Y være ikke-tomme mængder, og lad f : Y være en afbildning. For en delmængde B af Y defineres originalmængden (eller urbilledet) af B ved f som delmængden f (B) af givet ved: f (B) = {x f(x) B}..4.2 Eksempler. (A) Betragt funktionen f : R R givet ved f(x) = x 2, (x R). For x i R har vi da, at x f ([ 4,4]) x2 [ 4,4] 4 x2 4 x [ 2, 2 ] [ 2,2]. Vi slutter således, at f ([ 4,4]) = [ 2, 2 ] [ 2,2]. (B) Betragt afbildningen g: R R givet ved g(x) = sin(x), (x R). For x i R har vi da, at x g ([ 2, 2 ]) 2 sin(x) 2 p Z: x [ 6 π + pπ, 6 π + pπ]. Vi slutter således, at g ([ 2, 2 ]) = [ 6 π + pπ, 6 π + pπ]. p Z 24

25 (C) Betragt afbildningen h: R 2 R givet ved h(x,y) = exp(x 2 + y 2 ), ((x,y) R 2 ). Vi finder da for (x,y) i R 2, at (x,y) h ((,e]) exp(x 2 + y 2 ) e x 2 + y 2. Vi slutter således, at h ((,e]) er den lukkede enhedscirkelskive i R 2 : h ((,e]) = {(x,y) R 2 x 2 + y 2 }..4.3 Definition. Lad (,E) og (Y,F) være målelige rum, og betragt en afbildning f : Y. Vi siger da, at f er målelig (eller mere præcist E-F-målelig), hvis f (B) E for alle B fra F..4.4 Eksempel. Lad (,E) være et måleligt rum. For enhver delmængde A af definerer vi indikatorfunktionen A : R for A ved: {, hvis x A A (x) =, hvis x A c. For en vilkårlig delmængde B af R har vi da, at, hvis, B A (B) = A, hvis B, og / B A c, hvis B, og / B /, hvis, / B. Hvis A E, følger det således, at A er E-F-målelig, uanset hvilken σ-algebra F, man forsyner R med (f.eks. F = P(R)). Hvis omvendt F er en σ-algebra i R, der f.eks. indeholder alle étpunktmængder (f.eks. F = B(R)), da vil E-F-målelighed af A medføre, at A E. Vi har nemlig i denne situation, at A = A ({}) E..4.5 Notation. Lad og Y være ikke-tomme mængder, lad f : Y være en afbilding, og lad D være et system af delmængder af Y. Med f (D) betegner vi da systemet af delmængder af givet ved f (D) := { f (D) D D }. Vi skal herefter vise en række fundamentale egenskaber ved målelige afbildninger, hvoraf specielt egenskab (iv) og (v) er yderst nyttige, når man skal påvise målelighed af en givet afbildning. 25

26 .4.6 Sætning. Lad (,E),(Y,F) og (Z,H) være målelige rum, og lad f : Y og g: Y Z være afbildninger. (i) Systemet f (F) er en σ-algebra i ; den mindst mulige for hvilken f er målelig, når Y er udstyret med σ-algebraen F. (ii) Systemet A = {B Y f (B) E} er en σ-algebra i Y ; den størst mulige for hvilken f er målelig, når er udstyret med σ-algebraen E. (iii) For ethvert system D af delmængder af Y gælder der, at f (σ(d)) = σ( f (D)). (iv) Lad D være et frembringersystem for F. Da er f E-F-målelig, hvis bare f (D) E for alle D fra D. (v) Hvis f : Y er E-F-målelig, og g: Y Z er F-H-målelig, da er den sammensatte afbildning g f : Z E-H-målelig. Bevis. (i) Vi viser, at f (F) opfylder de tre betingelser (σ)-(σ3) for σ-algebraer i : (σ) = f (Y) f (F). (σ2) Antag, at A f (F), altså at A = f (B) for en passende mængde B fra F. Så følger det, at A c = ( f (B)) c = f (B c ) f (F), idet B c F. (σ3) Lad (A n ) være en følge af mængder fra f (F), dvs. for hvert n har vi, at A n = f (B n ) for en passende mængde B n fra F. Det følger da, at idet n N B n F. Dermed er (i) bevist. n N A n = n N f (B n ) = f ( n N B n ) f (F), (ii) Vi viser, at A opfylder betingelserne (σ)-(σ3) for σ-algebraer i Y : (σ) Y A, idet f (Y) = E. (σ2) Antag, at B A, altså at f (B) E. Så følger det også, at B c A, idet f (B c ) = ( f (B)) c E. 26

27 (σ3) Antag, at (B n ) er en følge af mængder fra A, altså at f (B n ) E for alle n. Så gælder der også, at n N B n A, idet f ( ) B n = f (B n ) E. Dermed er (ii) bevist. n N (iii) Bemærk først, at f (D) f (σ(d)), og da systemet f (σ(d)) ifølge (i) er en σ- algebra i, medfører dette ifølge (.3), at n N σ ( f (D) ) f ( σ(d) ). For at vise den modsatte inklusion bemærker vi først, at det følger fra (ii) (med E erstattet af σ( f (D))), at systemet A = { B Y f (B) σ( f (D)) } er en σ-algebra i Y. Da oplagt D A, har vi så også, at σ(d) A, hvilket betyder, at eller med andre ord at som ønsket. f (B) σ ( f (D) ) for alle B i σ(d), f ( σ(d) ) σ ( f (D) ), (iv) Antag, at f (D) E for alle mængder D fra D, altså at f (D) E. Ifølge (.3) medfører dette, at også E σ ( f (D) ) = f ( σ(d) ) = f (F), hvor vi i første lighedstegn benytter (iii). Men inklusionen f (F) E udtrykker netop, at f er E-F-målelig. (v) Antag, at f : Y er E-F-målelig, og at g: Y Z er E-H-målelig. For en vilkårlig mængde H fra H finder vi da, at (g f) (H) = {x g( f(x)) H} = {x f(x) g (H)} = f (g (H)) E, idet g (H) F. Dermed er sætningen bevist. Vi skal som det næste bevise, at enhver kontinuert funktion på R d er Borel-målelig. Vi erindrer om, at en funktion f : R d R m siges at være kontinuert, hvis x R d ε > δ > y R d : ρ 2 (x,y) < δ = ρ 2 ( f(y), f(x)) < ε, (.2) hvor vi i både R d og R m benytter metrikken ρ 2 indført ved (.6). Bemærk, at betingelsen (.2) alternativt kan formuleres vha. originalmængder som følger: x R d ε > δ > : b 2 (x,δ) f (b 2 ( f(x),ε)), (.22) hvor f.eks. b 2 (x,δ) som tidligere betegner ρ 2 -kuglen i R d med centrum x og radius δ. Følgende resultat er formentlig velkendt fra tidligere kurser. For fuldstændighedens skyld inkluderes et bevis. 27

28 .4.7 Lemma. En afbildning f : R d R m er kontinuert, hvis og kun hvis der for enhver delmængde G af R m gælder implikationen: G er åben i R m = f (G) er åben i R d. (.23) Bevis. Antag først, at f opfylder (.23), og lad x fra R d og ε i (, ) være givne. Da er f (b 2 ( f(x),ε)) en åben delmængde af R d, som indeholder x, og derfor findes et positivt δ, således at b 2 (x,δ) f (b 2 ( f(x),ε)). Dermed er (.22) opfyldt. Antag omvendt, at f : R d R m er kontinuert, lad G være en åben delmængde af R m, og lad x være et punkt fra f (G) (som naturligvis kan antages at være ikke-tom). Vi kan da vælge et positivt ε, således at b 2 ( f(x),ε) G, og til dette ε kan vi efterfølgende vælge et positivt δ i henhold til (.22), dvs. således at b 2 (x,δ) f (b 2 ( f(x),ε)) f (G). Da x var et vilkårligt punkt i f (G), er denne mængde således åben i R d..4.8 Sætning. Enhver kontinuert funktion f : R d R m er B(R d )-B(R m )-målelig. Bevis. Antag, at f : R d R m er kontinuert. Da systemet af åbne mængder i R m frembringer B(R m ), er det ifølge Sætning.4.6(iv) nok at vise, at f (G) B(R d ) for alle åbne mængder G i R m. Men hvis G er en åben delmængde af R m, så er f (G) en åben delmængde af R d ifølge Lemma.4.7, og specielt er f (G) således en Borel-mængde. I forbindelse med det næste resultat indfører vi nu for ethvert d i N koordinat-projektionerne p,..., p d : R d R givet ved p j (x,...,x d ) = x j, ((x,...,x d ) R d, j =,...,d). Disse funktioner er oplagt kontinuerte og dermed ifølge Sætning.4.8 B(R d )-B(R)-målelige. Betragt i det følgende et måleligt rum (,E). Bemærk så, at enhver funktion f : R d kan skrives (entydigt) på formen f = ( f,..., f d ), hvor f j = p j f : R for hvert j i {,...,d}..4.9 Sætning. En funktion f : R d er E-B(R d )-målelig, hvis og kun hvis koordinatfunktionerne p f,..., p d f : R alle er E-B(R)-målelige. 28

29 Bevis. Hvis f er E-B(R d )-målelig, da følger det umiddelbart fra Sætning.4.6(v), at de sammensatte funktioner f j = p j f er E-B(R)-målelige. Antag omvendt, at p j f er E-B(R)-målelig for alle j. For at vise at f er E-B(R d )-målelig, er det ifølge Sætning.4.6(iv) og Korollar.2.4 nok at vise, at f ( (,b ] (,b d ] ) E, for ethvert valg af b,...,b d fra R. Men dette følger af omskrivningen: f ( (,b ] (,b d ] ) = f ( d = d j= j= p j ((,b j ]) ) f ( p ( j (,bj ] )) = d (p j f) ( (,b j ] ), j= hvor sidste udtryk pr. antagelse er fællesmængden af d mængder fra E og dermed en mængde i E..4. Terminologi. En B(R d )-B(R m )-målelig afbildning f : R d R m kaldes ofte for en Borel-funktion..5 Målelige funktioner med værdier i R Den vigtigste klasse af målelige afbildninger på et givet måleligt rum (, E) er ikke overraskende klassen af E-B(R)-målelige funktioner f : R. Vi skal i dette afsnit særskilt studere denne klasse af funktioner..5. Notation & Terminologi. Lad (, E) være et måleligt rum. Vi benytter da følgende notation: M(E) = { f : R f er E-B(R)-målelig }. bm(e) = { f M(E) supx f(x) < }. M(E) + = { f M(E) f(x) for alle x i }. bm(e) + = { f M(E) + sup x f(x) < }. Funktionerne i M(E) + vil vi ofte betegne som værende positive fremfor det noget tungere (men mere korrekte) ikke-negative. 29

30 .5.2 Bemærkning. Ved anvendelse af Sætning.4.6(iv) og Sætning.2.2 fremgår det, at en funktion f : R tilhører M(E), hvis og kun hvis {x a < f(x) < b} = f ((a,b)) E for alle a,b i R, således at a < b, eller alternativt (jvf. Korollar.2.4) hvis og kun hvis {x f(x) b} = f ((,b]) E for alle b i R..5.3 Eksempel. Det følger fra Bemærkning.5.2, at enhver monoton funktion f : R R er element i M(B(R)). Antag nemlig f.eks., at f er voksende (dvs. f(t) f(s) når t s), og indfør så for hvert b i R tallet s( f,b) = sup{t R f(t) b}, med konventionen sup / =. For ethvert b i R gælder der nu, at /, hvis s( f,b) =, f (,s( f,b)], hvis s( f,b) R og f(s( f,b)) b, ((,b]) = (,s( f,b)), hvis s( f,b) R og f(s( f,b)) > b, R, hvis s( f,b) =. I alle tilfælde gælder der altså specielt, at f ((,b]) er en Borel-mængde, og dermed sikrer Bemærkning.5.2, at f er en Borel-funktion. Tilsvarende vises, at aftagende funktioner er Borel-funktioner. Alternativt kan man benytte, at hvis f er en aftagende funktion, så er f en voksende funktion, hvorefter man kan appellere til Sætning.5.4(ii) nedenfor. Vi skal nu vise, at klassen M(E) er stabil under de sædvanlige regneoperationer..5.4 Sætning. Lad (,E) være et måleligt rum. (i) Hvis f,..., f d : R er funktioner fra M(E), og hvis ϕ : R d R er B(R d )-B(R)- målelig, da er funktionen igen et element i M(E). ϕ( f,..., f d ): x ϕ( f (x),..., f d (x)): R (ii) Hvis f,g M(E) og c R, da er funktionerne c f, f + g, f g, f g, f g igen elementer i M(E). Specielt er M(E) et vektorrum. Bevis. (i) Antag, at f,..., f d : R er funktioner fra M(E), og at ϕ : R d R er en Borelfunktion. Betragt da afbildningen f : R d givet ved f(x) = ( f (x),..., f d (x)), (x ), 3

31 og bemærk, at f er E-B(R d )-målelig ifølge Sætning.4.9. Ved anvendelse af Sætning.4.6(v) kan vi derfor slutte, at den sammensatte afbildning er E-B(R)-målelig, som ønsket. (ii) Bemærk først, at ϕ( f,..., f d ) = ϕ f f + g = ϕ ( f,g), f g = ϕ 2 ( f,g), f g = ϕ 3 ( f,g), f g = ϕ 4 ( f,g), (.24) hvor ϕ,ϕ 2,ϕ 3,ϕ 4 : R 2 R er funktionerne givet ved ϕ (x,y) = x+y, ϕ 2 (x,y) = x y, ϕ 3 (x,y) = x y, ϕ 4 (x,y) = x y, (x,y R). Idet funktionerne ϕ,ϕ 2,ϕ 3,ϕ 4 alle er kontinuerte og dermed B(R 2 )-B(R)-målelige (jvf. Sætning.4.8), følger det ved anvendelse af (i), at funktionerne i (.24) alle er elementer i M(E). At også c f M(E), ses f.eks. ved at skrive c f = g f, hvor g: R er funktionen givet ved g(x) = c, (x ), som oplagt tilhører M(E). Dermed er sætningen vist..5.5 Eksempel. Antag, at f,g er to funktioner fra M(E). Da er mængderne {x f(x) = g(x)}, {x f(x) g(x)} og {x f(x) > g(x)} alle elementer i E. Dette følger umiddelbart ved at skrive disse mængder som hhv. ( f g) ({}), ( f g) ([, )) og ( f g) ((, )), hvor f g M(E) ifølge Sætning.5.4(ii)..6 Målelighed ved grænseovergang Vi skal i dette afsnit undersøge spørgsmålet om målelighed af bl.a. sup n N f n samt lim f n for en følge ( f n ) af funktioner fra M(E). I den forbindelse kommer vi uundgåeligt til at betragte funktioner, der antager værdier i den udvidede reelle akse R givet ved R = [, ] = R {, }. Vi skal derfor først og fremmest tage stilling til, hvilken (kanonisk) σ-algebra, det er hensigtsmæssigt at forsyne R med..6. Definition. Vi udstyrer R med σ-algebraen B(R) frembragt af systemet af delmængder af R. {[,a] a R} 3