Integrationsteknikker

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Integrationsteknikker"

Transkript

1 Integrtionsteknikker Frnk Vill. jnur 14 Dette dokument er en del f MtBog.dk 8-1. IT Teching Tools. ISBN-13: Se yderligere betingelser for brug her.

2 Indhold 1 Introduktion 1 Numerisk integrtion.1 Fejlestimering Stmfunktioner At vise t en given funktion er en stmfunktion Bestemte integrler ved hjælp f stmfunktioner 9 5 Simple omskrivninger Lineritet Indskudsreglen Prtiel integrtion 17 7 Substitutionsmetoden 5

3 Resumé I dette dokument giver vi eksempler på hvordn forskellige integrtionsteknikker bruges, både til t finde stmfunktioner og til t beregne bestemte integrler. 1 Introduktion Synes du t det er svært t integrere? Det er fktisk ikke nødvendigvis dårligt hvis du gør. Der er et berømt citt (jeg kn desværre ikke finde ud f hvem der hr sgt det første gng) som lyder: Differentition er håndværk. Integrtion er kunst. Dette citt beskriver situtionen meget godt. Når mn differentierer, så skl mn bre følge reglerne og regne sig frem til resulttet. Når det kommer til integrtion, så findes der næsten ingen regler og dem som findes psser sjældent til det problem mn hr forn sig. Dette kn både opfttes som en god og en dårlig nyhed. Den gode del består i t mn fktisk er i sin gode ret til t klde det svært. Og endnu bedre: Når det kommer til bestemt integrtion (den eneste rigtige form for integrtion), så er det helt i orden t finder på ikkeekskte måder t beregne integrlerne på, fordi de ekskte værdier simpelt hen kn være umulige t regne ud. Derfor strter vi også dette dokument med t fstslå t ethvert (bestemt) integrl både kn og bør beregnes ved en såkldt numerisk metode, hvor en computer lver lt rbejdet og fleverer en pproksimtiv værdi f integrlet. Bgefter ser vi på nogle teknikker hvor mn rent fktisk kn regne en ekskt værdi ud uden brug f computere. Hvorfor skl mn så kende dem, spørger du? Jo, for det første giver det en vis tilfredshed t kunne beregne et resultt ekskt, og uden t stole på t en computer gør lting rigtigt. Men for det ndet findes der msser f side 1

4 situtioner, hvor det er den teoretiske omskrivning f et integrl der er interessnt, og ikke integrlets værdi. Når mn f.eks. rbejder med ukendte funktioner, så er computerens numeriske metoder komplet ubrugelige. Forudsætninger Inden du læser dette dokument bør du vide lt om differentition f funktioner. Det er især vigtigt t du kender reglerne for differentition. Så hvis du er typen som bruger en mskine tl t differentiere, så stopper dit eventyr desværre her indtil du hr lært t gøre det i hånden. Desuden er det en god ide t du llerede kender lidt til begrebet integrtion, men det er ikke nødvendtigt. Numerisk integrtion Vi strter som nævnt med den gode nyhed: Alle konkrete integrler som du nogensinde møder kn beregnes uden t du behøver lve noget som helst! At integrere en funktion går jo (løst sgt) ud på t finde relet mellem dens grf og x-ksen i et givet intervl. Dette kn gøres ved t dele x-ksen op i en msse små intervller, vælge et element i hvert intervl, beregne funktionsværdien f disse elementer, og til sidst udregne relet som summen f en en msse tynde kssers reler 1. Dette er en beregning som mn nemt kn lære en computer t udføre, og det hr mn nturligvis også gjort. Ethvert grfprogrm vil hve en funktion indbyget til t foretge numerisk integrtion f en given funktion på et givet intervl. 1 Det kn du læse meget mere om her side

5 Eksempel 1. Ld os sige t jeg vil udregne følgende (gyselige) integrl: 1 1 e sin(x) dx Jeg griber strks ud efter et computerprogrm som kn gøre det for mig. I mit progrm strter jeg med t tegne grfen for den funktion som skl integreres. Altså funktionen f, givet ved forskriften: f(x) = e sin(x) Derefter vælger jeg noget som hedder integrtion og ngiver t integrlet skl løbe fr x = 1 til x = 1, og vupti, så får jeg følgende resultt: Smtidigt med t progrmmet fortæller mig t det skrverede rel er cirk lig med 15,553. Derfor kn jeg tillde mig t skrive t: 1 1 e sin(x) dx 15,553 (Smtidigt med t jeg oplyser t integrlet er udregnet ved numerisk integrtion.) side 3

6 Bemærk! Mn kn ikke tillde sig t skrive = når mn hr foretget numerisk integrtion. Ikke engng hvis integrtionen hvde givet resulttet 15. En numerisk integrtion giver ltid en pproximtiv værdi f integrlet. Jeg kn til gengæld være temmeligt sikker på t den ekskte værdi f integrlet vil være lig med 15,553 hvis mn frunder det til dette ntl cifre. Mn siger t det oplyste tl er korrekt op til det oplyste ntl cifre. Altså t fejlen er så lille t den ikke hr indflydelse på de oplyste cifre. Der kn nogle gnge være flere forskellige numeriske metoder t vælge imellem. De hedder nvne som f.eks. Euler, Romberg eller RK4..1 Fejlestimering De fleste metoder til numerisk integrtion hr smtidigt indbygget en måde t vurdere hvor stor fejlen højst kn være i forhold til det ekskte resultt. På den måde kn metoden vælge t forbedre præcisionen (ved t vælge en findere inddeling f intervllet) indtil mn kn grntere t fejlen er mindre end f.eks., 1. På den måde kn mn grntere t lle de oplyste cifre er korrekte, i den forstnd t det ekskte resultt ville blive frundet til det oplyste tl hvis mn frundede til dette ntl cifre. Bemærk dog t det lngtfr er lle progrmmer som husker t gøre dette! Det er derfor en god ide t du tester dit progrm ved t udregne nogle f de integrler som du ved hvd skl give. Hvis der så er uoverensstemmelse på de sidste decimler, så er det nogle fjolser som hr lvet progrmmet. side 4

7 3 Stmfunktioner Som jeg hr snkket om flere ndre steder, så er den eneste rigtige form for integrtion den som vi klder bestemt integrtion ltså den hvor der er grænser på integrlet. Men det viser sig t denne form for integrtion hr en msse t gøre med noget ndet, nemlig stmfunktionsbegrebet. Fktisk kunne mn udregne et hvilket som helst integrl så nemt som ingenting hvis bre mn kunne finde stmfunktioner til lle funktioner i verden. (Se fsnit 4) Derfor klder mn nogle gnge det t finde stmfunktioner for ubestemt integrtion. Jeg synes det er et dumt nvn, men du bør lligevel kende det, fordi du kn møde folk som bruger det. Eksempel. Hvis nogen beder dig om en stmfunktion til en eller nden funktion, så skl du tænke: Hr jeg nogen sinde differentieret en funktion og fået dette her som resultt? Så, for eksempel hvis jeg beder om en stmfunktion til funktionen f, givet ved: f(x) = sin(x) Så strter du med t tænke over hvilke funktioner der kunne blive til den når mn differentierer dem. Du kommer sikkert først i tnker om funktionen g 1 givet ved: g 1 (x) = cos(x) Du er velkommen til t forklre dem t det er dumt. Du hr læse en længere begrundelse her. side 5

8 (bemærk hvor fint bogstvet g i dette tilfælde kn stå for gæt ). Men det er forkert, fordi når mn differentierer den, så giver det: g 1(x) = sin(x) og det er jo ikke f. Men så kn vi smtidigt huske på t et minus jo bre er det smme som t gnge med 1. Og sådn en multipliktiv konstnt bliver jo stående når mn differentierer. Derfor kn vi i stedet gætte på g givet ved: g (x) = cos(x) Dermed bliver den fledede nemlig: g (x) = ( (sin(x))) = sin(x) = f(x) Så g er en glimrende stmfunktion til f. Du gør klogt i t lære så mnge stmfunktioner udend som muligt. Du bør som minimum kunne huske dem som står her. Men desværre er det slet ikke nok. Det behøver kun t blive en lille smule sværere end eksempel for t mn virkelig hr brug for t være kretiv. Her er et lidt vildere eksempel: Eksempel 3. Vi skl bruge en stmfunktion til funktionen f, givet ved forskriften: f(x) = e sin(x) cos(x) + x Igen spørger vi os selv, om vi nogen sinde hr fået dette monster som resultt ved t differentiere. Sndsynligvis er svret nej. Men hvis vi kender nogle differentitionsregneregler, kn vi lligevel være lidt kretive. For det første får vi følgende ide: Hvis bre vi kn finde en funktion g 1 sådn t g 1(x) = e sin(x) cos(x) side 6

9 og en funktion g sådn t: g (x) = x Så er vi glde, fordi I så fld vil funktionen g 3 givet ved: g 3 (x) = g 1 (x) + g (x) fungere som stmfunktion. Når g 3 skl differentieres, så differentierer vi jo de to led hver for sig. Det er en regel om differentition. Men vi mngler stdig g 1 og g. For t finde på g 1 skl vi meditere lidt over hvordn kædereglen fungerer for differentition. Det er jo noget med t differentiere den ydre funktion og lde den indre være, efterfulgt f t differentiere den indre funktion og gnge resulttet på. Det kunne fktisk godt producere noget i retning f e sin(x) cos(x) hvis vi vr lidt smrte. Vi prøver med: g 1 (x) = e sin(x) Når vi bruge kædereglen til t differentiere den, så giver det lige præcis: g 1(x) = e sin(x) cos(x) fordi eksponentilfunktionen giver sig selv når den differentieres, og sinus giver cosinus. Så er vi hlvvejs. For t finde g, så husker vi lige t differentition f potensfunktioner gør potensen mindre. Derfor er det umiddelbrt oplgt t gætte på noget i retning f x 3. Men det virker desværre ikke, fordi x 3 differentieret giver 3 x hvilket er 3 gnge for stort. Men så er vi lige smrte en sidste gng og finder på: g (x) = 1 3 x3 Den trediedel som vi hr gnget på bliver jo stående når mn differentierer. Og så er den så smrt t når der gnges yderligere 3 på, side 7

10 så giver de 1 tilsmmen. Derfor er g (x) = x = x Og vi hr vores smlede stmfunktion, nemlig: g 3 (x) = e sin(x) x3 Som du måske kn se, skl mn være enormt skrp for lige t se hvd der virker som stmfunktion. Du må også meget gerne fornemme t hvis ikke opgverne er designet omhyggeligt til det, så kn det slet ikke lde sig gøre t finde på en stmfunktion. Til gengæld er det utroligt nemt t undersøge om et eller ndet gæt på en stmfunktion fungerer eller ej. 3.1 At vise t en given funktion er en stmfunktion Hvis nogen kommer med et forslg til en stmfunktion til en given funktion, så er det til gengæld utroligt nemt t kontrollere om det er rigtigt eller ej. Eksempel 4. Nogen hr foreslået t funktionen f givet ved: f(x) = x sin(x) hr en stmfunktion, F givet ved: F (x) = x cos(x) x sin(x) cos(x) For t kontrollere det, så skl vi bre undersøge om F differentieret giver f. Derfor differentierer vi F : side 8

11 F (x) = x cos(x) x sin(x) ( sin(x)+x cos(x)) ( sin(x)) (vi hr brugt produktreglen for differentition et pr gnge her). Men det kn omskrives til: F (x) = x cos(x) x sin(x) sin(x) x cos(x)+ sin(x) = x sin(x) Dermed kn vi se t forslget vr forkert. Der kommer det forkerte fortegn på resulttet når vi differentierer F. Til gengæld er det rent nemt t se hvordn vi kn lve en stmfunktion som virker. Nemlig ved bre t skifte fortegn på hele F, ltså: F (x) = F (x) = x cos(x) + x sin(x) + cos(x) 4 Bestemte integrler ved hjælp f stmfunktioner Det er svært t finde stmfunktioner. Men når mn er så heldig t hve en stmfunktion til den funktion som skl integreres, så er det til gengæld ustyrligt nemt t integrere. Det skyldes den følgende fntstiske sætning: Sætning 5. Hvis F er en stmfunktion til f, og f er integrbel på intervllet [; b], så er: f(x) dx = F (b) F () Mn lver ltså et bestemt integrl ved gnske enkelt t indsætte grænserne i en stmfunktion, og trække de to værdier fr hinnden. side 9

12 Eksempel 6. Ld os udregne integrlet: 1 5 x 3 dx Den funktion som skl integreres kn vi lige klde f, ltså: f(x) = x 3 Den kn vi heldigvis nemt finde en stmfuntion til. Nemlig F givet ved: F (x) = 1 4 x4 Derfor er det meget nemt t udregne integrlet ekskt 1 5 x 3 dx = F (1) F (5) = = 343,75 Og bemærk t integrlet er ekskt lig med dette resultt. Ps på ikke t misforstå denne metode! Der er mnge som i en presset sitution glemmer t mn lige skl finde en stmfunktion. Så ender de med t beregne et integrl ved gnske enkelt t tge selve integrndens (den funktion som skl integreres) værdier i øvre og nedre grænse. Hvis det vr så nemt t integrere, så vr der ltså ingen som hvde gidet t beskæftige sig med det! Vi sætter det lige i en ksse: Et integrl f typen: kn ltså IKKE beregnes som: f(x) dx f(b) f() side 1

13 Så ville det jo ikke hedde integrtion, men derimod en eller nden dum og ligegyldig udregning f to funktionsværdier. For pokker! Jeg bnder meget sjældent her på MtBog. Men når jeg gør det her, så er det ltså fordi jeg hr set rigtigt mnge lve denne utroligt dumme fejl For t gøre det endnu mere tydeligt t mn skl gøre TO ting (nemlig finde en stmfunktion og SÅ sætte grænserne ind i denne), hr mn opfundet en måde t gøre det i to skridt på. Smtidigt slipper mn for t både integrnden og den stmfunktion mn finder skl hve et bogstvnvn. Det gøres ved hjælp f følgende symbol: Definition 7. Hvis f er en funktion, og og b ligger i dens definitionsmængde, så definerer vi symbolet: [f(x)] b til t betyde følgende: f(b) f() De firkntede prenteser betyder ltså bre t mn sætter de to tl ind i funktionen og trækker funktionsværdierne fr hinnden. Nu kn vi lve integrler ved hjælp f stmfunktioner på en lidt mere elegnt måde. Bemærk t den første omskrivning på den måde udelukkende hndler om t finde en stmfunktion til integrnden og skrive den ind i en firkntet prentes. Derefter koncentrerer mn sig om t sætte grænserne ind i denne stmfunktion og omskrive resulttet. Eksempel 8. Ld mig beregne integrlet: Helt uden snk: x + x + 1 dx side 11

14 x + x + 1 dx = [ 1 3 x3 + x + x ] = 1 ( ) ( )3 + ( ) + ( ) = ( ) = = Simple omskrivninger Som sgt findes der næsten ingen regneregler for hvordn integrler kn udregnes. Der er dog nogle meget simple regler som gør t mn kn omskrive nogle integrler til nogle ndre. Det er især nyttigt når mn tler om integrler f ukendte funktioner. 5.1 Lineritet De første to regler kldes under et for lineritet f integrler. Forklringen på dette ord skl findes i teorien om lineær lgebr. Reglerne ser sådn her ud: Sætning 9. Hvis f og g er to funktioner som begge er integrble på intervllet [; b], så er: og sådn her: f(x) + g(x) dx = f(x) dx + g(x) dx side 1

15 Sætning 1. Hvis f er en funktion som er integrbel på intervllet [; b] og k er en konstnt, så er: k f(x) dx = k f(x) dx Sgt lidt mere på slognform siger disse to regler t: 1. mn må integrere en sum f to funktioner ved t integrere de to led hver for sig. en multipliktiv konstnt gerne må flyttes uden for integrlet Som sgt er reglerne mere f teoretisk end prktisk interesse, men de kn fktisk hjælp os (en lille smule) med t integrere i prksis også. Eksempel 11. Ld os udregne integrlet: 7 cos(x) + 3 sin(x) dx I stedet for t bøvle med t finde stmfunktion til den lnge integrnd, så lver vi lige et pr omskrivninger vh. lineritetsreglerne: 7 cos(x) + 3 sin(x) dx = = 7 7 cos(x) dx + cos(x) dx sin(x) dx sin(x) dx side 13

16 Nu er det så bre t udregne de to (nemmere) integrler. Det er heldigvis nemt: 7 cos(x) dx + 3 sin(x) dx = 7 [ sin(x) ] π + 3 [ cos(x)]π = 7 ( ) + 3 (1 ( 1)) = 6 Eksempel 1. Men hvd så med differenser, er der nogen der spørger? Hvorfor hr du ikke lvet en regel som siger t: f(x) g(x) dx = f(x) dx g(x) dx Det er fordi mn ikke hr brug for denne regel (selvom den er rigtig nok). Et minus kn jo ltid skrives som et plus og et fortegnsskift. Dermed kn vi bruge de to regler til t omskrive: f(x) g(x) dx = = = = f(x) + ( 1) g(x) dx f(x) dx + f(x) dx + ( 1) f(x) dx ( 1) g(x) dx g(x) dx g(x) dx Du er selvfølgelig stdig velkommen til t huske t reglen også gælder for differenser. side 14

17 5. Indskudsreglen En nden lille regel som også kn være nyttig er den såkldte indskudsregel. Den siger følgende: Sætning 13 (Indskudssætningen). Hvis f er en funktion som er integrbel på et lukket intervl [; b] og hvis m [; b] så er: f(x) dx = m f(x) dx + m f(x) dx Den kn f.eks. blive nyttig når mn rbejder med såkldte gffelfunktioner som er defineret med et forskelligt funktionsudtryk på forskellige dele f definitionsmængden. Eksempel 14. Betrgt funktionen f givet ved forskriften: f(x) = { x + 1, x < x 4, x Tænk hvis vi skulle beregne relet mellem grfen for f og x-ksen mellem værdierne x = og x =. Så skulle vi selvfølgelig beregne integrlet: f(x) dx Men nu får vi et problem. Vi kn ikke bre skrive hvd f(x) er lig med inde i det integrl, fordi funktionsforskriften ændrer sig i løbet f det intervl vi integrerer på. I stedet kn vi være smrte og bruge indskudsreglen til t omskrive integrlet: f(x) dx = f(x) dx + f(x) dx side 15

18 Og nu bliver det nemmere, fordi hvert f de to nye integrler løber hen over et intervl, hvor f(x) er givet ved den smme funktionsforskrift hele tiden. Vi kn derfor udregne: f(x) dx + f(x) dx = x + 1 dx + x 4 dx = [ 1 3 x3 + x ] + [ 1 5 x5] = 3 + ( 1 3 ( )3 + ( )) = = ,7 Hvis ikke du opdgede nogen problemer i det foregående eksempel, så spring endelig det næste delfsnit over. Et lille problem Der vr fktisk et lille problem i det foregående eksempel. Men det hr ingen indflydelse på resulttet, så vi dvrer lige en ekstr gng: Hvis du er ligegld med de små detljer, så spring dette fsnit over. side 16

19 Problemet ligger i det første integrl. Funktionen f(x) i lige netop x = er jo ikke lig med x + 1 (hvilket ville give 1), men derimod er det lig med x 4 (som giver nul!). Så når jeg siger t på hele det første intervl mellem og nul, kn vi ersttte f(x) med det første funktionsudtryk, så er det ikke helt rigtigt! Her bliver vi reddet f en temmeligt dyb egenskb ved integrler. Nemlig t integrlet f en funktion på et intervl overhovedet ikke ændrer sig hvis mn lver om på funktionsværdien et ét eneste punkt. Med ndre ord: Hvis mn piller et punkt ud f grfen og flytter det enten op eller ned, så ændrer det ikke på relet mellem grfen og x-ksen. Sådn noget skl nturligvis bevises, men vi gemmer det til et ndet dokument. Hvis du tror på t det er rigtigt, så kn du se t det ikke betyder noget hvis vi bre bestemmer t f() giver 4 = 1 i det første integrl. Og dermed er resulttet fktisk rigtigt lligevel. Pyh! 6 Prtiel integrtion De sidste to metoder er lidt mere indviklede end regnereglerne fr sidste fsnit. De kn fktisk bruges til t udregne nogle rimeligt komplicerede integrler ekskt. Og så er det oven i købet lidt sjovt, fordi mn får lov til t skrive nogle ting som ser fuldkommen tossede ud. Den første metode hedder prtiel integrtion. Ld mig strte med t vise dig hvordn en beregning ser ud. Eksempel 15. Her er et integrl udregnet ved hjælp f prtiel integrtion. Det må gerne forekomme vildt mystisk når du læser det, men prøv t se om du kn regne systemet ud: side 17

20 Vi vil udregne integrlet: x 3 sin(x) dx Først lver vi følgende vilde regnerier nedenunder integrltegnet: x 3 sin(x) dx 3x + cos(x) 6x sin(x) + 6 cos(x) sin(x) Udfr dette kn vi fktisk skrive direkte hvd integrlet giver: = [ x 3 ( cos(x)) 3x ( sin(x)) + 6x cos(x) 6 sin(x) ] π Lidt omskrivning giver: = [ x 3 cos(x) + 3x sin(x) + 6x cos(x) 6 sin(x) ] π Og med grænserne st ind (husk t sinus giver nul i både og π): = π 3 cos(π) + 6 π cos(π) ( 3 cos() + 6 cos()) Hvilket giver: π 3 6 π Kn du gennemskue systemet? Her kommer forklringen f hvd der er gjort: 1. Først hr vi differentieret x 3 indtil det gv nul og skrevet resultterne under x 3. side 18

21 . Dernæst hr vi fundet en stmfunktion til sin(x) og fortst med t finde stmfunktioner og skrevet resultterne under sin(x). 3. Så hr vi tilføjet skrå pile med skiftevist et plus eller et minus på. Den første pil hr et plus. 4. Når så resulttet skl læses, så gnger vi de ting som der er pile imellem, sætter enten et plus eller et minus på (lt efter hvilket tegn der er på pilen), og lægger det hele smmen. Det giver os en stmfunktion som vi kn sætte grænser ind i. Så, nu ved du hvordn mn gør. Måske skl du lige øve dig med følgende eksempel. Husk bgefter t kontrollere dit resultt ved t udregne integrlet numerisk! Øvelse 16. Udregn integrlet: 1 x e x dx Du må stdig gerne synes t denne metode er det rene trylleri. For t det kommer til t give mening, skl vi lige en tur omkring teorien. Sætning 17 (Prtiel Integrtion). Hvis f og g er to funtioner hvor: f er differentibel, og f er kontinuert g er kontinuert og hr en stmfunktion, G [; b] er et lukket intervl som både f og g er defineret på så er: f(x) g(x)dx = [f(x) G(x)] b f (x) G(x)dx side 19

22 Du kn finde et (ret nemt) bevis for denne sætning i et ndet dokument 3. Her er et simpelt eksempel på hvordn den fungerer: Eksempel 18. Ld os udregne integrlet: x cos(x) dx Nturligvis er der ikke nogen som kn huske en stmfunktion til x cos(x). I stedet får vi øje på t dette integrl egner sig til t bruge prtiel integrtion på. Vi lder x spille rollen som f(x). Bemærk t den er differentibel, og dens fledede er kontinuert. Vi lder cos(x) spille rollen som g(x). Bemærk t g er kontinuert, og den er ret nem t finde stmfunktion til. Dermed kn vi bruge sætningen til t omskrive: x cos(x) dx = [ x sin(x) ] π 1 sin(x) dx Den første hlvdel er en simpel udregning som giver: [ ] π x sin(x) = π ( ) π sin sin() = π Den nden hlvdel er et meget nemmere integrl som giver: 1 sin(x) dx = [ cos(x) ] ( ) π π = cos ( cos()) = 1 Løst sgt, så fungerer prtiel integrtion på denne måde: Metoden kn bruges når integrnden består f et produkt f to funktioner (ltså to funktioner gnget med hinnden). 3 Nemlig her! side

23 Ideen er t mn kn ersttte integrlet med en simpel udregning smt et ndet integrl. For t det skl være smrt, bør det ndet integrl nturligvis være nemmere t beregne end det oprindelige. Derfor skl mn holde øje med t de to funktioner som er gnget smmen skl være sådn t den ene er nem t finde stmfunktion til, mens den nden bliver simplere når mn differentierer den. Dette vr et eksempel på hvordn den bsle version f prtiel integrtion fungerer. Vi er dog ikke helt fremme ved den vilde metode fr strten f fsnittet. Den dukker op når mn bruger prtiel integrtion flere gnge ltså hvis mn beslutter sig til t bruge endnu en omgng prtiel integrtion til t beregne det nye integrl som dukker op. Eksempel 19. Vi vil beregne integrlet: x e x dx Vi kn bruge prtiel integrtion til t omskrive dette til: x e x dx = [ x e x] x e x (Bemærk t e x er så nem t finde stmfunktion til t mn ikke engng kn se t vi hr gjort det.) Men eftersom det sidste integrl endnu ikke er nemt nok, bruger vi prtiel integrtion endnu en gng til t omskrive: x e x dx = [ x e x] = [ x e x] x e x ( [x e x ] ) e x dx Her er lle delene fktisk nemme nok t regne ud. Men for t gøre det generelle mønter helt tydeligt, vil jeg lige bruge prtiel side 1

24 integrtion en gng mere til t udregne det sidste integrl. Dermed kn vi omskrive til: x e x dx = [ x e x] ( [x e x ] ) e x dx = [ x e x] ( [x ] ( e x [ ] e x = [ x e x] ( [x ] ( e x [ ] )) e x = [ x e x] [ x e x] + [ e x] Den første kntede prentes giver: [ x e x] Den næste kntede prentes giver: [ x e x ] og den sidste giver: = 4 e 4 e = 4 e ( 4) e = 4 e + 4 e [ e x ] = e e Så hele integrlet giver: ( 4 e 4 e ) ( 4 e + 4 e ) + ( e e ) = e 1 e )) e x dx Hvis du kigger grundigt efter, så kn du se hvor systemet fr eksempel 15 kommer fr. Så længe den funktion som mn differentierer ender med t forsvinde, så kn oversætte integrlet til en msse f de firkntede prenteser med skiftevise fortegn, præcis sådn som vi gjorde i eksempel 15. side

25 Der er dog mnge ndre situtioner, hvor prtiel integrtion er smrt, også selvom den ene fktor ikke umiddelbrt kn differentieres væk. Her er et eksempel hvor det er lidt overrskende hvilken funktion vi vælger t differentiere: Eksempel. Jeg vil udregne integrlet: 4 ln(x) x 3 dx Umiddelbrt skulle mn tro t det vr bedst t bytte om på de to fktorer, og så gå i gng med t differentiere x 3, indtil den gik væk. Men jeg hr ikke lyst til t finde stmfunktioner til den nturlige logritme fire (!) gnge! Ld os prøve t gøre det omvendte: 4 ln(x) x 3 dx = [ ln(x) 1 4 x4] x 1 4 x4 dx Det smrte er t det nye integrl slet ikke er svært. Det kn nemlig omskrives: 4 1 x x4 dx = 4 x3 dx = x 3 dx = 1 4 [1 4 x4] 4 = ( 4 4 4) = 4 16 = 15 side 3

26 4 Så hele integrlet giver: ln(x) x 3 dx = [ ln(x) 1 4 x4] 4 15 = ln(4) 64 ln() 4 15 Hvis mn holder f smukke omskrivninger, så kn dette gøres lidt pænere: ln(4) 64 ln() 4 15 = ln( ) 64 ln() 4 15 = ln() 64 ln() 4 15 = (18 4) ln() 15 = 14 ln() 15 Hvis mn holder f grimme kommtl, så kn mn også bre udregne t det giver cirk 7,95. Til sidst et eksempel hvor metoden slet ikke ser ud til t virke, men ved t være rigtigt smrt, så virker den lligevel: Eksempel 1. Vi vil beregne integrlet: sin(x) cos(x)dx Hvis vi bruger sætning 17, kn dette omskrives til: sin(x) cos(x)dx = [sin(x) sin(x)] π cos(x) sin(x)dx Det blev det umiddelbrt ikke spor bedre f. Fktisk er det nye integrl på højresiden præcis det smme som det integrl vi strtede med. Men hvis vi lægger lige netop dette integrl til på begge sider f side 4

27 lighedstegnet, så er det i virkeligheden helt fntstisk: sin(x) cos(x)dx = [sin(x) sin(x)] π Det betyder jo (idet vi dividerer med på begge sider t: sin(x) cos(x)dx = 1 [sin(x) sin(x)] π = 1 ( ( ) π sin sin() ) = 1 1 = 1 7 Substitutionsmetoden Den sidste metode hedder substitutions (eller ersttnings ) metoden. Det skyldes måden som de fleste vælger t huske den på, ved hjælp t integrltegnet. Denne gng får du den lige som en sætning først: Sætning (Substitutionsmetoden). Hvis f og g er to funktioner, hvor g er differentibel f er kontinuert [; b] er et lukket intervl som den smmenstte funktion f g er defineret på side 5

28 så er: f(g(x)) g (x)dx = g(b) g() f(u)du Bemærkning om integrtionsvriblen Bemærk t det nye integrl hr nye grænser, og t vi hr skiftet nvn på integrtionsvriblen (fr x til u). Det første er enormt vigtigt. Mn siger t der er substitueret i grænserne, og det er den mest lmindelige fejl t lve når mn prøver t lære metoden. Derfor vil du sikkert høre din lærer sige Du hr glemt t substituere i grænserne på et tidspunkt. Nvneskiftet er til gengæld helt unødvendigt. Der hvde stået præcis det smme integrl hvis jeg hvde skrevet: g(b) g() f(x)dx Når mn lligevel skifter til u, så er det fordi det kn bruges til t konstruere en smrt huskeregel. Den kommer lige om lidt. Her er først et simpelt eksempel på hvordn sætningen kn bruges: Eksempel 3. Jeg vil beregne integrlet: Hvis vi lige nvngiver: sin(x ) x dx f(x) = sin(x) g(x) = x så er det så heldigt t: g (x) = x side 6

29 så det psser perfekt på forudsætningerne for sætning. Derfor kn vi omskrive: sin(x ) x dx = sin(u) du Det sidste integrl er let t udregne, fordi vi kender en stmfunktion til sinus: = [ cos(u) ] π = cos ( π ) ( cos()) = 1 cos ( π ) Når mn skl lve substitution, så er der udviklet en ret smrt måde t gøre det på. Ideen er t mn bryder smtlige regler hvor hvd der er korrekt, foretger et pr helt meningsløse omskrivninger, og til sidst ender mn med t gøre præcis det rigtige som sætning siger mn må. Fordelen ved de forkerte omskrivninger er t de er ret nemme t huske. Se selv: Eksempel 4. Ld os beregne integrlet: x 4 4x3 dx Vi for lyst til t lve en substitution, hvor en indre funktion (den som hedder g i sætning ) nturligvis er det som står inde i kvdrtrodstegnet. Ld os klde det noget. Mn bruger som regel bogstvet u (en lidt underlig forkortelse f substitution, måske?). Så vi sætter: u = 1 + x 4 Så differentierer vi udtrykket. Nu hr funktionen ikke noget nvn, så vi bruger den lterntive nottion for differentition: du dx = + 4 x3 = 4x 3 side 7

30 Og nu gør vi noget gyseligt! Vi lder som om differentitionstegnet er en brøk. Og så gnger vi nævneren over på den nden side f lighedstegnet. Det giver følgende nonsens: du = 4x 3 dx Og så læser vi det oprindelige integrl igen. Der hvor der står 1+x 4, læser vi bre u. Og der hvor der står 4x 3 dx, læser vi du. Og så husker vi lige t substituere grænserne også ved t tænke x skulle løbe mellem og 1. Men nu er det u som løber, så vi skl skrive hvd u er når x hr disse værdier. Det giver følgende omskrivning: x 4 4x3 dx = du = u 1 1 u du Dette er den smme omskrivning som vi vr nået frem til ved t bruge sætning. Bre lvet på en mere snydegtig måde. Nu er integrlet lige til t regne ud: = 1 [ ] u 1 1 du = u 1 = ( 1) = Som du nok kn se, så skl problemerne være meget nøje designede til t mn kn bruge substitutionsreglen. Det kræver jo temmeligt meget held t det lige psser med t den funktion som er gnget på er den fledede f den indre funktion. Der er dog situtioner, hvor en substitution kn gøre en del f rbejdet for os. Ld os slutte med et eksempel hvor vi får brug for næsten lle reglerne i dette dokument: side 8

31 Eksempel 5. Vi vil udregne integrlet: 9 4 sin( x) dx Umiddelbrt ser det sort ud. Der er jo ikke gnget med noget som helst der kunne blive til den fledede f den indre funktion. Men ld os prøve en substitution lligevel. Vi sætter: Dermed er: u = du dx = 1 x (x) = x = 1 x Så snyder vi igen og gnger du over på den nden side: du = 1 1 x dx Men vi mngler ltså både 1 og 1 x i integrnden. Derfor omskriver vi lige integrlet: 9 4 sin( x)dx = 9 4 sin( x) 1 x 1 dx x (Vi hr bre gnget med 1 to gnge, så det ændrer ikke noget). Men så kn vi lige smide -tllet ud (det skl ikke bruges til noget), og flytte lidt rundt: = 9 4 sin( x) x 1 1 dx x Og nu ser det lækkert ud! Ld os foretge substitutionen u = x: = 9 4 sin(u) u du = 3 sin(u) u du side 9

32 Men hey! Det er jo sådn et integrl som mn kn lve prtiel integrtion på! Det gør vi d lige: ( [u ] 3 3 = ( cos(u)) ) 1 ( cos(u)) Og nu er der kun et meget nemt integrl tilbge: ( [u ] 3 = ( cos(u)) [ sin(u) ] ) 3 = ( 3 ( cos(3)) ( cos()) ( sin(3) ( sin())) ) = 6 cos(3) + 4 cos() + sin(3) sin() side 3

Pointen med Integration

Pointen med Integration Pointen med Integrtion Frnk Nsser 20. pril 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun nvendes til undervisning i klsser som bonnerer på MtBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er en

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 17

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 17 Mtemtisk modellering og numeriske metoder Lektion 1 Morten Grud Rsmussen 8. november, 1 1 Numerisk integrtion og differentition [Bogens fsnit 19. side 84] 1.1 Grundlæggende om numerisk integrtion Vi vil

Læs mere

TAL OG BOGSTAVREGNING

TAL OG BOGSTAVREGNING TAL OG BOGSTAVREGNING De elementære regnerter I mtemtik kn vi regne med tl, men vi kn også regne med bogstver, som gør det hele en smugle mere bstrkt. Først skl vi se lidt på de fire elementære regnerter,

Læs mere

MM501 forelæsningsslides

MM501 forelæsningsslides MM501 forelæsningsslides uge 39, 009 Produceret f Hns J. Munkholm 1 Linerisering s. 66-67 Lineriseringen f f omkring x =, er den lineære funktion, der hr tngenten som grf. Klder mn den L er forskriften

Læs mere

INTEGRALREGNING. Opgaver til noterne kan findes her. PDF. Facit til opgaverne kan hentes her. PDF. Version: 5.0

INTEGRALREGNING. Opgaver til noterne kan findes her. PDF. Facit til opgaverne kan hentes her. PDF. Version: 5.0 INTEGRALREGNING Version: 5.0 Noterne gennemgår egreerne: integrl og stmfunktion, og nskuer dette som et redsk til estemmelse f l.. reler under funktioner. Opgver til noterne kn findes her. PDF Fcit til

Læs mere

Lektion 6 Bogstavregning

Lektion 6 Bogstavregning Lektion Bogstvregning Formler... Reduktion... Ligninger... Lektion Side 1 Formler En formel er en slgs regne-opskrift, hvor mn med bogstver viser, hvorledes noget skl regnes ud. F.eks. formler til beregning

Læs mere

Bogstavregning. for gymnasiet og hf Karsten Juul. a a

Bogstavregning. for gymnasiet og hf Karsten Juul. a a Bogstvregning for gymnsiet og hf 010 Krsten Juul Til eleven Brug lynt og viskelæder når du skriver og tegner i hæftet, så du får et hæfte der er egenet til jævnligt t slå op i under dit videre rejde med

Læs mere

Matematikprojekt. Integralregning. Lavet af Arendse Morsing Gunilla Olesen Julie Slavensky Michael Hansen. 15 Oktober 2010

Matematikprojekt. Integralregning. Lavet af Arendse Morsing Gunilla Olesen Julie Slavensky Michael Hansen. 15 Oktober 2010 Mtemtikprojekt om Integrlregning Lvet f Arendse Morsing Gunill Olesen Julie Slvensky Michel Hnsen 15 Oktober 21 Indhold I Del 1................................ 3 I Generelt om stmfunktioner og integrler........

Læs mere

Matematikkens sprog INTRO

Matematikkens sprog INTRO Mtemtikkens sprog Mtemtik hr sit eget sprog, der består f tl og symboler fx regnetegn, brøkstreger bogstver og prenteser På mnge måder er det ret prktisk - det giver fx korte måder t skrive formler på.

Læs mere

Regneregler for brøker og potenser

Regneregler for brøker og potenser Regneregler for røker og potenser Roert Josen 4. ugust 009 Indhold Brøker. Eksempler......................................... Potenser 7. Eksempler......................................... 8 I de to fsnit

Læs mere

Eksponentielle Sammenhænge

Eksponentielle Sammenhænge Kort om Eksponentielle Smmenhænge 011 Krsten Juul Dette hæfte indeholder pensum i eksponentielle smmenhænge for gymnsiet og hf. Indhold 1. Procenter på en ny måde... 1. Hvd er en eksponentiel smmenhæng?....

Læs mere

Integralregning. 2. del. 2006 Karsten Juul

Integralregning. 2. del. 2006 Karsten Juul Integrlregning del ( ( 6 Krsten Juul Indhold 6 Uestemt integrl8 6 Sætning om eksistens stmunktioner 8 6 Oplæg til "regneregler or integrl"8 6 Regneregler or uestemt integrl 9 68 Foreredelse til "integrtion

Læs mere

Lektion 7s Funktioner - supplerende eksempler

Lektion 7s Funktioner - supplerende eksempler Lektion 7s Funktioner - supplerende eksempler Oversigt over forskellige tper f funktioner Omvendt proportionlitet og hperler.grdsfunktioner og prler Eksponentilfunktioner Potensfunktioner Lektion 7s Side

Læs mere

3. Vilkårlige trekanter

3. Vilkårlige trekanter 3. Vilkårlige treknter 3. Vilkårlige treknter I dette fsnit vil vi beskæftige os med treknter, der ikke nødvendigvis er retvinklede. De formler, der er omtlt i fsnittet om retvinklede treknter, kn ikke

Læs mere

Potens- sammenhænge. inkl. proportionale og omvendt proportionale variable. 2010 Karsten Juul

Potens- sammenhænge. inkl. proportionale og omvendt proportionale variable. 2010 Karsten Juul Potens- smmenhænge inkl. proportionle og omvendt proportionle vrible 010 Krsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse f hæftet "Eksponentielle smmenhænge, udgve ". Indhold 1. Hvd er en potenssmmenhæng?...1.

Læs mere

... ... ... ... ... ... ... b > 0 og x > 0, vil vi kalde en potensfunktion. 492 10. Potensfunktioner

... ... ... ... ... ... ... b > 0 og x > 0, vil vi kalde en potensfunktion. 492 10. Potensfunktioner POTENSFUNKTIONER 0 49 0. Potensfunktioner POTENSFUNKTIONER DEFINITION En funktion med forskriften f( )= b hvor b > 0 og > 0 vil vi klde en potensfunktion. I MAT C kpitel så vi t hvis skl være et vilkårligt

Læs mere

Diverse. Ib Michelsen

Diverse. Ib Michelsen Diverse Ib Michelsen Ikst 2008 Forsidebilledet http://www.smtid.dk/visen/billede.php?billedenr69 Version: 0.02 (2-1-2009) Diverse (Denne side er A-2 f 32 sider) Indholdsfortegnelse Regning med procent

Læs mere

1 1 t 10 1. ( ) x 2 4. + k ================= sin( x) + 4 og har graf gennem (0,2), dvs F(0) = 2. + 4x + k

1 1 t 10 1. ( ) x 2 4. + k ================= sin( x) + 4 og har graf gennem (0,2), dvs F(0) = 2. + 4x + k 0x-MA (0.0.08) _ opg (3:07) Integrtion ved substitution ( x + 7) 9 t x + 7 > t 9 t 0 + k 0 0 ( x + 7)0 + k b) x x + 4 t x + 4 > 3 x t t t x 3 t x x + k 3 t t + k ( ) x 4 3 x + 4 + + k c) cos( x)

Læs mere

gudmandsen.net y = b x a Illustration 1: potensfunktioner i 5 forskellige grupper

gudmandsen.net y = b x a Illustration 1: potensfunktioner i 5 forskellige grupper gudmndsen.net Dette dokument er publiceret på http://www.gudmndsen.net/res/mt_vejl/. Ophvsret: Indholdet stilles til rådighed under Open Content License[http://opencontent.org/openpub/]. Kopiering, distribution

Læs mere

ANALYSE 1, 2014, Uge 3

ANALYSE 1, 2014, Uge 3 ANALYSE 1, 2014, Uge 3 Forelæsninger Tirsdg. Vi generliserer tlrækker til funktionsrækker ved t udskifte tllene med funktioner (TL Afsnit 12.5). Det svrer til forrige uges skridt fr tlfølger til funktionsfølger.

Læs mere

Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. Integrationsprincippet og Keplers tønderegel

Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. Integrationsprincippet og Keplers tønderegel Integrtionsprincippet og Keplers tønderegel. side Institut for Mtemtik, DTU: Gymnsieopgve Integrtionsprincippet og Keplers tønderegel Littertur: H. Elrønd Jensen, Mtemtisk nlyse, Institut for Mtemtik,

Læs mere

Matematikkens mysterier - på et højt niveau. 3. Differentialligninger

Matematikkens mysterier - på et højt niveau. 3. Differentialligninger Mtemtikkens msterier - på et højt niveu f Kenneth Hnsen 3. Differentilligninger N N N 3 A A k k Indholdsfortegnelse 3. Introduktion 3. Dnmiske sstemer 3 3.3 Seprtion f de vrible 8 3.4 Vækstmodeller 8 3.5

Læs mere

For så kan de to additionsformler samles i én formel, der kan ses som et specialtilfælde af den komplekse eksponentialfunktions funktionalligning,

For så kan de to additionsformler samles i én formel, der kan ses som et specialtilfælde af den komplekse eksponentialfunktions funktionalligning, 15.1. Komplekse integrler 293 læse, og hvordn gør mn det i prksis? Men den virkelige motivtion bg begrebet bliver udst til fsnit 18.5, hvor vi viser t foldning f sndsynlighedsmål lder sig udtrykke meget

Læs mere

Differentiation i praksis

Differentiation i praksis Differentiation i praksis Frank Villa 7. august 2012 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere

Læs mere

Matematik B-A. Trigonometri og Geometri. Niels Junge

Matematik B-A. Trigonometri og Geometri. Niels Junge Mtemtik B-A Trigonometri og Geometri Niels Junge Indholdsfortegnelse Indledning...3 Trigonometri...3 Sinusreltionen:...6 Cosinusreltionen...7 Dobbeltydighed...7 Smmendrg...8 Retvinklede treknter...8 Ikke

Læs mere

Spil- og beslutningsteori

Spil- og beslutningsteori Spil- og eslutningsteori Peter Hrremoës Niels Brock 26. novemer 2 Beslutningsteori De økonomiske optimeringssitutioner, vi hr set på hidtil, hr været helt deterministiske. Det vil sige t vores gevinst

Læs mere

ANALYSE 1, 2013, Uge 2

ANALYSE 1, 2013, Uge 2 ANALYSE 1, 2013, Uge 2 Forelæsninger Denne uges tem er uendelige rækker. Tirsdg: Tlrækker. En uendelig tlrække består ligesom en uendelig tlfølge f uendelig mnge tl. Forskellen mellem de to begreber består

Læs mere

Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk. Erik Vestergaard, 2009.

Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk. Erik Vestergaard, 2009. Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk Erik Vestergrd, 009. Billeder: Forside: Collge f billeder: istock.com/titoslck istock.com/yuri Desuden egne fotos og illustrtioner Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk

Læs mere

Regneregler. 1. Simple regler for regning med tal.

Regneregler. 1. Simple regler for regning med tal. Regneregler. Simple regler for regning med tl. Vi rejder l.. med følgende fire regningsrter: plus (), minus ( ), gnge () og dividere (: eller røkstreg, se senere), eller med fremmedord : ddition, sutrktion,

Læs mere

MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX)

MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX) Silkeborg 09-0-0 MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX) Udrbejdet f mtemtiklærere fr HF, HHX, HTX & STX. PS: Hvis du opdger fejl i

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 12

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 12 Mtemtisk modellering numeriske metoder Lektion 12 Morten Grud Rsmussen 21. oktober, 213 1 Prtielle differentilligninger 1.1 Løsning f vrmeligningen vh. Fourierrækker [Bens sektion 12.6 på side 558] Vi

Læs mere

Stamfunktion & integral

Stamfunktion & integral PeterSørensen.dk Stmfunktion & integrl Indhold Stmfunktion... Integrl (Uestemt integrl)... 2 Det estemte integrl... 2 Arel og integrl... Regneregler for estemte integrler... Integrler / stmfunktioner kn

Læs mere

Arctan x = x x3 3 + x5 (En syvende berømt række er binomialrækken, [S] 8.8.) Eksempel

Arctan x = x x3 3 + x5 (En syvende berømt række er binomialrækken, [S] 8.8.) Eksempel Oversigt [S] 8.5, 8.6, 8.7, 8.0 Nøgleord og begreber Seks berømte potensrækker Potensrække Konvergensrdius Differentition og integrtion f potensrækker Tylor og McLurin rækker August 00, opgve 4 Den geometriske

Læs mere

Trigonometri. Trigonometri. Sinus og cosinus... 2 Tangens... 6 Opgaver... 9. Side 1

Trigonometri. Trigonometri. Sinus og cosinus... 2 Tangens... 6 Opgaver... 9. Side 1 Trigonometri Sinus og osinus... 2 Tngens... 6 Opgver... 9 Side Sinus og osinus Til lle vinkler hører der to tl, som kldes osinus og sinus. Mn finder sinus og osinus til en vinkel ved t tegne vinklen midt

Læs mere

TAL OG REGNEREGLER. Vi ser nu på opbygningen af et legeme og noterer os samtidig, at de reelle tal velkendte regneoperationer + og er et legeme.

TAL OG REGNEREGLER. Vi ser nu på opbygningen af et legeme og noterer os samtidig, at de reelle tal velkendte regneoperationer + og er et legeme. TAL OG REGNEREGLER Inden for lgeren hr mn indført egreet legeme. Et legeme er en slgs konstruktion, hvor mn fstsætter to regneregler og nogle sætninger (ksiomer), der gælder for disse. Pointen med en sådn

Læs mere

Formelsamling Mat. C & B

Formelsamling Mat. C & B Formelsmling Mt. C & B Indhold BRØER... PARENTESER...3 PROCENT...4 RENTE...5 INDES...6 GEOMETRI... Arel f treknt... Vinkelsum i en treknt... Ens- vinklede treknter... Vilkårlig treknt... Ret- vinklet treknt...8

Læs mere

Trigonometri. Matematik A niveau

Trigonometri. Matematik A niveau Trigonometri Mtemtik A niveu Arhus Teh EUX Niels Junge Trigonometri Sinus Cosinus Tngens Her er definitionen for Cosinus Sinus og Tngens Mn kn sige t osinus er den projierede på x-ksen og sinus er den

Læs mere

Differentialregning. integralregning

Differentialregning. integralregning Differentilregning og integrlregning Ib Micelsen Ikst 013 Indoldsfortegnelse Tegneøvelser...3 Introduktion... Definition f differentilkvotient og tngent...6 Tngentældninger...7 Den fledte funktion...7

Læs mere

Formelsamling Matematik C Indhold

Formelsamling Matematik C Indhold Formelsmling Mtemtik C Indhold Eksempler på besvrelser, lin, eksp, pot, geo... Tl, regneopertioner og ligninger... 6 Ligninger... 7 Geometri... 0 Funktioner og modeller... 3 Lineær funktion... 3 Procentregning...

Læs mere

Bogstavregning. En indledning for stx og hf 2. del. 2008 Karsten Juul

Bogstavregning. En indledning for stx og hf 2. del. 2008 Karsten Juul Bogstvregning En indledning for st og f. del 008 Krsten Juul ) )( ( ) ( ) ( Indold 0. Gnge to prenteser....,, osv... 7. Kvdrtsætninger... 0. Brøer. del... Bogstvregning. En indledning for st og f.. del.

Læs mere

Mat. B (Sådan huskes fomlerne) Formler, som skal kunnes til prøven uden hjælpemidler

Mat. B (Sådan huskes fomlerne) Formler, som skal kunnes til prøven uden hjælpemidler Mt. B (Sån huskes fomlerne) Formler, som skl kunnes til prøven uen hjælpemiler Inhol Her er tilføjet emærkninger til nogle f formlerne BRØKER... PARENTESER... EKSPONENTER... LOGARITMER... GEOMETRI... Arel

Læs mere

Ny Sigma 9, s Andengradsfunktioner med regneforskrift af typen y = ax + bx + c, hvor a 0.

Ny Sigma 9, s Andengradsfunktioner med regneforskrift af typen y = ax + bx + c, hvor a 0. Ny Sigm 9, s 110 Andengrdsfunktioner med regneforskrift f typen y = x + x + c, hvor 0 Lineære funktioner (førstegrdsfunktioner) med regneforskrift f typen y = αx + β Grfen for funktioner f disse typer

Læs mere

ALGEBRA. symbolbehandling). Der arbejdes med hjælpemiddelkompetencen,

ALGEBRA. symbolbehandling). Der arbejdes med hjælpemiddelkompetencen, INTRO Alger er lngt mere end ogstvregning. Alger kn være t omskrive ogstvtrk, men lger er f også t generlisere mønstre og smmenhænge, t eskrive smmenhænge mellem tlstørrelse f i forindelse med funktioner

Læs mere

Differential-kvotient. Produkt og marked - differential og integralregning. Regneregler. Stamfunktion. Lad f være en funktion - f.eks. f (x) = 2x 2.

Differential-kvotient. Produkt og marked - differential og integralregning. Regneregler. Stamfunktion. Lad f være en funktion - f.eks. f (x) = 2x 2. Differentil-kvotient Ld f være en funktion - f.eks. f (x) = 2x 2. Produkt og mrked - differentil og integrlregning Rsmus Wgepetersen Institut for Mtemtiske Fg Alborg Universitet Februry 14, 2014 Differentilkvotienten

Læs mere

Integralregning. Erik Vestergaard

Integralregning. Erik Vestergaard Integrlregning Erik Vestergrd Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk Erik Vestergrd, Hderslev 4 Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse. Indledning 4. Stmfunktioner 4. Smmenhængen

Læs mere

1 Plan og rumintegraler

1 Plan og rumintegraler 1 PLAN OG RUMINTEGRALER 1 1 Pln og rumintegrler Ligesom for funktioner f en vribel kn mn for kontinuerte funktioner f flere vrible definere deres integrle. Vi vil her kun beskæftige os med funktioner f

Læs mere

Michel Mandix (2017) Derfor er der behov for en række værktøjer, som kan bruges også til de vilkårlige trekanter. a b c A B C

Michel Mandix (2017) Derfor er der behov for en række værktøjer, som kan bruges også til de vilkårlige trekanter. a b c A B C Mihel Mndix (07) Sinusreltionen Nott Side f 9 Sinusreltionen Indtil videre, er der kun eskrevet, hvordn mn eregner på retvinklede treknter. Men desværre er det lngtfr lle treknter, som er retvinklede.

Læs mere

Kompendium. Matematik HF C niveau. Frederiksberg HF Kursus. Lars Bronée 2014

Kompendium. Matematik HF C niveau. Frederiksberg HF Kursus. Lars Bronée 2014 Kompendium Mtemtik HF C niveu π Frederiksberg HF Kursus Lrs Bronée 04 Mil: post@lrsbronee.dk Web: www.lrsbronee.dk Indholdsfortegnelse: Forord Det grundlæggende Ligningsløsning 8 Procentregning Rentesregning

Læs mere

Om Dido var kyndig i matematik er nok tvivlsomt, men hun havde i hvert fald en veludviklet logisk sans, som vi skal se.

Om Dido var kyndig i matematik er nok tvivlsomt, men hun havde i hvert fald en veludviklet logisk sans, som vi skal se. Forord. Det isoperimetriske problem går i l sin enkelhed ud på t finde den lukkede kurve i plnen, blndt en mængde f kurver lle med smme omkreds, som fgrænser det størst mulige rel. Løsningen til det isoperimetriske

Læs mere

Formelsamling Matematik C Indhold

Formelsamling Matematik C Indhold Formelsmling Mtemtik C Indhold Eksempler på esvrelser, lin, eksp, pot, geo... Tl, regneopertioner og ligninger... 6 Ligninger... 7 Geometri... 9 Funktioner og modeller... Lineær funktion... Procentregning...

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningseskrivelse Stmoplysninger til rug ved prøver til gymnsile uddnnelser Termin Juni 2016 Institution Uddnnelse Fg og niveu Lærere Hold Fvrskov Gymnsium Stx Mtemtik A Peter Lundøer (Lu) 3k Mtemtik

Læs mere

Potens regression med TI-Nspire

Potens regression med TI-Nspire Potensvækst og modellering - Mt-B/A 2.b 2007-08 Potens regression med TI-Nspire Vi tger her udgngspunkt i et eksempel med tovværk, hvor mn får oplyst en tbel over smmenhængen mellem dimeteren (xdt) i millimeter

Læs mere

Differentiation af Trigonometriske Funktioner

Differentiation af Trigonometriske Funktioner Differentiation af Trigonometriske Funktioner Frank Villa 15. oktober 01 Dette dokument er en del af MatBog.dk 008-01. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-9775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her.

Læs mere

Lektion 5 Det bestemte integral

Lektion 5 Det bestemte integral f(x) dx = F (b) F () Lektion 5 Det bestemte integrl Definition Integrlregningens Middelværdisætning Integrl- og Differentilregningens Hovedsætning Bereging f bestemte integrler Regneregler Arel mellem

Læs mere

Kort om Potenssammenhænge

Kort om Potenssammenhænge Øvelser til hæftet Kort om Potenssmmenhænge 2011 Krsten Juul Dette hæfte indeholder bl.. mnge småspørgsmål der gør det nemmere for elever t rbejde effektivt på t få kendskb til emnet. Indhold 1. Ligning

Læs mere

Lektion 6 Bogstavregning

Lektion 6 Bogstavregning Mtemtik på Åbent VUC Lektion 6 Bogstvregning Formler... Udtryk... Ligninger... Ligninger som løsningsmetode i regneopgver... Simultion... Opsmlingsopgver... Lvet f Niels Jørgen Andresen, VUC Århus. Redigeret

Læs mere

MATEMATISK FORMELSAMLING

MATEMATISK FORMELSAMLING MATEMATISK FORMELSAMLING GUX Grønlnd Mtemtisk formelsmling til B-niveu, GUX Grønlnd Deprtementet for uddnnelse 05 Redktion: Rsmus Andersen, Jens Thostrup MtemtiskformelsmlingtilB-niveu GUX Grønlnd FORORD

Læs mere

Eksamensopgave august 2009

Eksamensopgave august 2009 Ib Michelsen, Viborg C / Skive C Side 1 09-04-011 1 Eksmensopgve ugust 009 Opgve 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 13 14 15 16 17 18 19 0 1 Givet ovenstående ensvinklede treknter. D treknterne er ensvinklede, er

Læs mere

UGESEDDEL 52. . Dette gøres nedenfor: > a LC

UGESEDDEL 52. . Dette gøres nedenfor: > a LC UGESEDDE 52 Opgve 1 Denne opgve er et mtemtisk eksempel på Ricrdo s én-fktor model, der præsenteres i Krugmn & Obstfeld kpitel 2 side 12-19. Denne model beskriver hndel som et udslg f komprtive fordele

Læs mere

De rigtige reelle tal

De rigtige reelle tal De rigtige reelle tal Frank Villa 17. januar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

(a k cos kx + b k sin kx) k=1. cos θk = sin θ 1 ak. , b k. k=1

(a k cos kx + b k sin kx) k=1. cos θk = sin θ 1 ak. , b k. k=1 SEKTION 7 FOURIERANALYSE 7 Fouriernlyse Periodiske funktioner er vigtige i mnge smmenhænge, både videnskbeligt og teknisk Vi vil normlisere, så ntger, t perioden er π Disse funktioner er bedst nlyseret

Læs mere

Eksamen Analyse 1, Juni 2015, Besvarelse 1. Opgave 1. ( ln x) q x p dx =

Eksamen Analyse 1, Juni 2015, Besvarelse 1. Opgave 1. ( ln x) q x p dx = Eksmen Anlyse, Juni 25, Besvrelse Ld p >, q, og r. Opgve () Vis t integrlet ( ln x)r x p dx konvergerer. [Vink: Smmenlign med x s for pssende vlgt s.] ( ln x)q x p dx. [Vink: Anvend (b) Bevis formlen (

Læs mere

Matematik - introduktion. Martin Lauesen February 23, 2011

Matematik - introduktion. Martin Lauesen February 23, 2011 Mtemtik - introduktion Mrtin Luesen Februry 23, 2011 1 Contents 1 Aritmetik og elementær lgebr 3 1.1 Symboler............................... 3 1.1.1 ligheder............................ 4 1.1.2 uligheder...........................

Læs mere

Hvad ved du om mobning?

Hvad ved du om mobning? TEST: Hvd ved du om moning? I testen her kn du fprøve, hvor meget du ved om moning på rejdspldsen. Testen estår f tre dele: Selve testen, hvor du skl sætte ét kryds for hvert f de ti spørgsmål. Et hurtigt

Læs mere

Om Riemann-integralet. Noter til Matematik 1

Om Riemann-integralet. Noter til Matematik 1 Om Riemnn-integrlet. Noter til Mtemtik 1 Jon Johnsen Institut for Mtemtiske Fg, Alborg Universitet Fredrik Bjers Vej 7G, 9220 Ålborg Ø 3. december 2001 1 Indledning Integrlregning går tilbge til Newtons

Læs mere

Fælles for disse typer af funktioner er, at de som grundfunktion indeholder varianter af udtrykket x a.

Fælles for disse typer af funktioner er, at de som grundfunktion indeholder varianter af udtrykket x a. 5. FORSKRIFT FOR EN POTENSFUNKTION Vi hr i vores gennemgng f de forskellige funktionstper llerede være inde på udtrk, som indeholder forskellige potenser f I dette kpitel skl vi se på forskellige tper

Læs mere

Formelsamling til Fourieranalyse 10. udgave

Formelsamling til Fourieranalyse 10. udgave Formelsmling til Fouriernlyse. udgve Kristin Jerslev og Steven Hyden 3. oktober 9 Her følger en formelsmling lvet til kurset Fouriernlyse på Arhus Universitet. Bemærk venligst, t smlingen indeholder sætninger

Læs mere

Beregning af bestemt integrale ved partiel integration og integration ved substitution:

Beregning af bestemt integrale ved partiel integration og integration ved substitution: Beregning f estemt integrle ved prtiel integrtion og integrtion ved sustitution: f John V. Petersen Prtiel integrtion Sætning : Prtiel integrtion... si. Løsning f integrle... si. Plot f løsningsrelet...

Læs mere

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Egenskaber ved Krydsproduktet

Egenskaber ved Krydsproduktet Egenskaber ved Krydsproduktet Frank Nasser 23. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

Krumningsradius & superellipsen

Krumningsradius & superellipsen Krumningsrdius & suerellisen Side /5 Steen Toft Jørgensen Krumningsrdius & suerellisen Formålet med dette mini-rojekt er t erhverve mtemtisk viden om krumningsrdius f en kurve og nvende denne viden å det

Læs mere

GrundlÄggende funktioner

GrundlÄggende funktioner GrundlÄggende funktioner for B-niveu i hf Udgve 014 Krsten Juul GrundlÄggende funktioner for B-niveu i hf Procent 1. Procenter på en ny måde... 1. VÄkstrte.... Gennemsnitlig procent... LineÄr väkst 4.

Læs mere

Mere end blot lektiehjælp. Få topkarakter i din SRP. 12: Hovedafsnittene i din SRP (Redegørelse, analyse, diskussion)

Mere end blot lektiehjælp. Få topkarakter i din SRP. 12: Hovedafsnittene i din SRP (Redegørelse, analyse, diskussion) Mere end lot lektiehjælp Få topkrkter i din SRP 12: Hovedfsnittene i din SRP (Redegørelse, nlyse, diskussion) Hjælp til SRP-opgven Sidste år hjlp vi 3.600 gymnsieelever med en edre krkter i deres SRP-opgve.

Læs mere

Elementær Matematik. Vektorer i planen

Elementær Matematik. Vektorer i planen Elementær Mtemtik Vektorer i plnen Køge Gymnsium 0 Ole Witt-Hnsen Indhold. Prllelforskydninger i plnen. Vektorer.... Sum og differens f to vektorer... 3. Multipliktion f vektor med et tl...3 4. Opløsning

Læs mere

114 Matematiske Horisonter

114 Matematiske Horisonter 114 Mtemtiske Horisonter Mtemtik i medicinudvikling Af Ph.d-studerende Ann Helg Jónsdóttir, Ph.d-studerende Søren Klim, Ph.d-studerende Stig Mortensen og Professor Henrik Mdsen, DTU Informtik Hovedpinen

Læs mere

Michel Mandix (2010) INDHOLDSFORTEGNELSE:... 2 EN TREKANTS VINKELSUM... 3 PYTHAGORAS LÆRESÆTNING... 4 SINUSRELATIONERNE... 4 COSINUSRELATIONERNE...

Michel Mandix (2010) INDHOLDSFORTEGNELSE:... 2 EN TREKANTS VINKELSUM... 3 PYTHAGORAS LÆRESÆTNING... 4 SINUSRELATIONERNE... 4 COSINUSRELATIONERNE... MATEMATIK NOTAT MATEMATISKE EVISER AF: CAND. POLYT. MICHEL MANDIX SIDSTE REVISION: FERUAR 04 Michel Mndi (00) Side f 35 Indholdsfortegnelse: INDHOLDSFORTEGNELSE:... EN TREKANTS VINKELSUM... 3 PYTHAGORAS

Læs mere

- 81 - , x I. kmx. Sætningen bevises ikke her. Interesserede læsere henvises til bogen: Differentialligninger og matematiske

- 81 - , x I. kmx. Sætningen bevises ikke her. Interesserede læsere henvises til bogen: Differentialligninger og matematiske - 8 - Appendi : Logistisk vækst og integrlregning. I forbindelse med eksponentielle vækstfunktioner er der tle om en vækstform, hvor funktionens væksthstighed er proportionl med den ktuelle funktionsværdi,

Læs mere

Du kan efter ønske opfatte integralet som et Riemann-integral eller et Lebesgue-integral (idet de to er identiske på C([a, b], C) jf. Theorem 11.8.

Du kan efter ønske opfatte integralet som et Riemann-integral eller et Lebesgue-integral (idet de to er identiske på C([a, b], C) jf. Theorem 11.8. Anlyse Øvelser Rsmus Sylvester Bryder. og 5. oktober 3 Supplerende opgve Ld C([, b], C) betegne rummet f lle kontinuerte funktioner f : [, b] C, hvor < b, og definér et indre produkt på C([, b], C) ved

Læs mere

k(k 1)(k 2)... (k n + 1) = = 12 2 = 6

k(k 1)(k 2)... (k n + 1) = = 12 2 = 6 Oversigt [S] 8.7, 8.8, 8.9 Nøgleord og begreber Binomilformlen Binomilkoefficienter Binomilrækken Tylor polynomier Vurdering f Tylor s restled Eksponentilrækken konvereger mod eksponentilfunktionen Clculus

Læs mere

User s guide til cosinus og sinusrelationen

User s guide til cosinus og sinusrelationen User s guide til cosinus og sinusrelationen Frank Nasser 20. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for

Læs mere

Andengradsligninger. Frank Nasser. 11. juli 2011

Andengradsligninger. Frank Nasser. 11. juli 2011 Andengradsligninger Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Stamfunktionsproblemet

Stamfunktionsproblemet Stamfunktionsproblemet Frank Villa 19. januar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C POTENS-SAMMENHÆNG

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C POTENS-SAMMENHÆNG ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C POTENS-SAMMENHÆNG INDHOLDSFORTEGNELSE 1 Formelsmling... side 2 Uddbning f visse formler... side 3 2 Grundlæggende færdigheder... side 5 2 Finde konstnterne og b i en formel...

Læs mere

Eksamensspørgsmål: Potens-funktioner

Eksamensspørgsmål: Potens-funktioner Eksmensspørgsmål: Potens-funktioner Definition:... 1, mønt flder ned:... 1 Log y er en liner funktion f log x... 2 Regneforskrift... 2... 2 Smmenhæng mellem x og y ved potens-vækst... 3 Tegning f grf for

Læs mere

Mattip om. Vinkler 2. Tilhørende kopier: Vinkler 2-3. Du skal lære om: Polygoner. Ligesidede trekanter. Gradtal og vinkelsum

Mattip om. Vinkler 2. Tilhørende kopier: Vinkler 2-3. Du skal lære om: Polygoner. Ligesidede trekanter. Gradtal og vinkelsum Mttip om Vinkler 2 Du skl lære om: Polygoner Kn ikke Kn næsten Kn Ligesidede treknter Grdtl og vinkelsum Ligeenede og retvinklede treknter At forlænge en linje i en treknt Tilhørende kopier: Vinkler 2-3

Læs mere

Hvad ved du om mobning?

Hvad ved du om mobning? TEST: Hvd ved du om moning? I testen her kn du fprøve, hvor meget du ved om moning på rejdspldsen. Testen estår f tre dele: Selve testen, hvor du skl sætte ét kryds for hvert f de ti spørgsmål. Et hurtigt

Læs mere

1. Eksperimenterende geometri og måling

1. Eksperimenterende geometri og måling . Eksperimenterende geometri og måling Undersøgelse Undersøgelsen drejer sig om det såkldte Firfrveproblem. For mere end 00 år siden fndt mn ved sådnne undersøgelser frem til, t fire frver er nok til t

Læs mere

Analyse 1, Prøve maj Lemma 2. Enhver konstant funktion f : R R, hvor f(x) = a, a R, er kontinuert.

Analyse 1, Prøve maj Lemma 2. Enhver konstant funktion f : R R, hvor f(x) = a, a R, er kontinuert. Alyse, Prøve. mj 9 Alle hevisiger til TL er hevisiger til Klkulus 6, Tom Lidstrøm. Direkte opgvehevisiger til Klkulus er givet med TLO, ellers er lle hevisiger til steder i de overordede fsit. Hevises

Læs mere

Differentiation. Frank Nasser. 11. juli 2011

Differentiation. Frank Nasser. 11. juli 2011 Differentiation Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Formelsamling Mat. C & B

Formelsamling Mat. C & B Formelsmling Mt. C & B Indhold FORMELSAMLING MAT. C & B... 1 BRØER... PARENTESER... 3 PROCENT... 4 RENTE... 5 INDES... 6 GEOMETRI... Arel f treknt... Vinkelsum i en treknt... Ens- vinklede treknter...

Læs mere

Pust og sug Design og konstruktion af et apparat til at måle udåndingsvolumen Biomedicinsk teknologi

Pust og sug Design og konstruktion af et apparat til at måle udåndingsvolumen Biomedicinsk teknologi Pust og sug Design og konstruktion f et pprt til t måle udåndingsvolumen Biomedicinsk teknologi Ingeniørens udfordring Elevæfte Menneskekroppen, Åndedrætssystemet 1 Pust og sug Ingeniørens udfordring At

Læs mere

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 2. Trigonometri

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 2. Trigonometri Mtemtikkens mysterier - på et oligtorisk niveu f Kenneth Hnsen 2. Trigonometri T D Hvd er fstnden fr flodred til flodred? 2. Trigonometri og geometri Indhold.0 Indledning 2. Vinkler 3.2 Treknter og irkler

Læs mere

Retningslinjer for bedømmelsen Georg Mohr-Konkurrencen runde

Retningslinjer for bedømmelsen Georg Mohr-Konkurrencen runde Retningslinjer for bedømmelsen Georg Mohr-Konkurrencen 016. runde Besvrelser som flder uden for de løsninger som ligger til grund for pointskemerne, bedømmes ved nlogi så skridt med tilsvrende vægt i den

Læs mere

PotenssammenhÄnge. 2009 Karsten Juul

PotenssammenhÄnge. 2009 Karsten Juul PotenssmmenhÄnge y b y k k 009 Krsten Juul Dette häfte er en fortsättelse f häftet "Eksponentielle smmenhänge, 009". Indhold 4. Hvd er en potens-smmenhäng?... 83 5. Hvordn ser grfen ud for en potens-smmenhäng...

Læs mere

Bogstavregning. for gymnasiet og hf (2012) Karsten Juul

Bogstavregning. for gymnasiet og hf (2012) Karsten Juul Bogstvregning for gymnsiet og hf 010 (01) Krsten Juul Til eleven Brug lynt og viskeläder når du skriver og tegner i häftet, så du får et häfte der er egenet til jävnligt t slå op i under dit videre rejde

Læs mere

KEGLESNIT OG BANEKURVER

KEGLESNIT OG BANEKURVER KEGLESNIT OG BANEKURVER x-klsserne Gmmel Hellerup Gymnsium INDHOLDSFORTEGNELSE INDHOLDSFORTEGNELSE... BEGREBET KEGLE... 3 KEGLESNIT... 5 Cirkel... 6 Ellipse... 8 Prbel... 15 Hyperbel... 19 Keglesnitsligninger

Læs mere

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe den første opgave af hvert emne over.

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe den første opgave af hvert emne over. Opsmling Hvis mn ønsker mere udfordring, kn mn springe den første opgve f hvert emne over Brøkregning, prentesregneregler, kvdrtsætningerne, potensregneregler og reduktion Udregn nedenstående tl i hånden:

Læs mere

Grænseværdier og Kontinuitet

Grænseværdier og Kontinuitet Grænseværdier og Kontinuitet Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

Elementær Matematik. Algebra Analytisk geometri Trigonometri Funktioner

Elementær Matematik. Algebra Analytisk geometri Trigonometri Funktioner Elementær Mtemtik Alger Anlytisk geometri Trigonometri Funktioner Ole Witt-Hnsen Køge Gymnsium 0 Indhold Indhold... Kp. Tl og regning med tl.... De nturlige tl.... Regneregler for nturlige tl.... Kvdrtsætningerne.....

Læs mere

Afstande, skæringer og vinkler i rummet

Afstande, skæringer og vinkler i rummet Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Villa 2. maj 202 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere