Integrationsteknikker

Transkript

1 Integrtionsteknikker Frnk Vill. jnur 14 Dette dokument er en del f MtBog.dk 8-1. IT Teching Tools. ISBN-13: Se yderligere betingelser for brug her.

2 Indhold 1 Introduktion 1 Numerisk integrtion.1 Fejlestimering Stmfunktioner At vise t en given funktion er en stmfunktion Bestemte integrler ved hjælp f stmfunktioner 9 5 Simple omskrivninger Lineritet Indskudsreglen Prtiel integrtion 17 7 Substitutionsmetoden 5

3 Resumé I dette dokument giver vi eksempler på hvordn forskellige integrtionsteknikker bruges, både til t finde stmfunktioner og til t beregne bestemte integrler. 1 Introduktion Synes du t det er svært t integrere? Det er fktisk ikke nødvendigvis dårligt hvis du gør. Der er et berømt citt (jeg kn desværre ikke finde ud f hvem der hr sgt det første gng) som lyder: Differentition er håndværk. Integrtion er kunst. Dette citt beskriver situtionen meget godt. Når mn differentierer, så skl mn bre følge reglerne og regne sig frem til resulttet. Når det kommer til integrtion, så findes der næsten ingen regler og dem som findes psser sjældent til det problem mn hr forn sig. Dette kn både opfttes som en god og en dårlig nyhed. Den gode del består i t mn fktisk er i sin gode ret til t klde det svært. Og endnu bedre: Når det kommer til bestemt integrtion (den eneste rigtige form for integrtion), så er det helt i orden t finder på ikkeekskte måder t beregne integrlerne på, fordi de ekskte værdier simpelt hen kn være umulige t regne ud. Derfor strter vi også dette dokument med t fstslå t ethvert (bestemt) integrl både kn og bør beregnes ved en såkldt numerisk metode, hvor en computer lver lt rbejdet og fleverer en pproksimtiv værdi f integrlet. Bgefter ser vi på nogle teknikker hvor mn rent fktisk kn regne en ekskt værdi ud uden brug f computere. Hvorfor skl mn så kende dem, spørger du? Jo, for det første giver det en vis tilfredshed t kunne beregne et resultt ekskt, og uden t stole på t en computer gør lting rigtigt. Men for det ndet findes der msser f side 1

4 situtioner, hvor det er den teoretiske omskrivning f et integrl der er interessnt, og ikke integrlets værdi. Når mn f.eks. rbejder med ukendte funktioner, så er computerens numeriske metoder komplet ubrugelige. Forudsætninger Inden du læser dette dokument bør du vide lt om differentition f funktioner. Det er især vigtigt t du kender reglerne for differentition. Så hvis du er typen som bruger en mskine tl t differentiere, så stopper dit eventyr desværre her indtil du hr lært t gøre det i hånden. Desuden er det en god ide t du llerede kender lidt til begrebet integrtion, men det er ikke nødvendtigt. Numerisk integrtion Vi strter som nævnt med den gode nyhed: Alle konkrete integrler som du nogensinde møder kn beregnes uden t du behøver lve noget som helst! At integrere en funktion går jo (løst sgt) ud på t finde relet mellem dens grf og x-ksen i et givet intervl. Dette kn gøres ved t dele x-ksen op i en msse små intervller, vælge et element i hvert intervl, beregne funktionsværdien f disse elementer, og til sidst udregne relet som summen f en en msse tynde kssers reler 1. Dette er en beregning som mn nemt kn lære en computer t udføre, og det hr mn nturligvis også gjort. Ethvert grfprogrm vil hve en funktion indbyget til t foretge numerisk integrtion f en given funktion på et givet intervl. 1 Det kn du læse meget mere om her side

5 Eksempel 1. Ld os sige t jeg vil udregne følgende (gyselige) integrl: 1 1 e sin(x) dx Jeg griber strks ud efter et computerprogrm som kn gøre det for mig. I mit progrm strter jeg med t tegne grfen for den funktion som skl integreres. Altså funktionen f, givet ved forskriften: f(x) = e sin(x) Derefter vælger jeg noget som hedder integrtion og ngiver t integrlet skl løbe fr x = 1 til x = 1, og vupti, så får jeg følgende resultt: Smtidigt med t progrmmet fortæller mig t det skrverede rel er cirk lig med 15,553. Derfor kn jeg tillde mig t skrive t: 1 1 e sin(x) dx 15,553 (Smtidigt med t jeg oplyser t integrlet er udregnet ved numerisk integrtion.) side 3

6 Bemærk! Mn kn ikke tillde sig t skrive = når mn hr foretget numerisk integrtion. Ikke engng hvis integrtionen hvde givet resulttet 15. En numerisk integrtion giver ltid en pproximtiv værdi f integrlet. Jeg kn til gengæld være temmeligt sikker på t den ekskte værdi f integrlet vil være lig med 15,553 hvis mn frunder det til dette ntl cifre. Mn siger t det oplyste tl er korrekt op til det oplyste ntl cifre. Altså t fejlen er så lille t den ikke hr indflydelse på de oplyste cifre. Der kn nogle gnge være flere forskellige numeriske metoder t vælge imellem. De hedder nvne som f.eks. Euler, Romberg eller RK4..1 Fejlestimering De fleste metoder til numerisk integrtion hr smtidigt indbygget en måde t vurdere hvor stor fejlen højst kn være i forhold til det ekskte resultt. På den måde kn metoden vælge t forbedre præcisionen (ved t vælge en findere inddeling f intervllet) indtil mn kn grntere t fejlen er mindre end f.eks., 1. På den måde kn mn grntere t lle de oplyste cifre er korrekte, i den forstnd t det ekskte resultt ville blive frundet til det oplyste tl hvis mn frundede til dette ntl cifre. Bemærk dog t det lngtfr er lle progrmmer som husker t gøre dette! Det er derfor en god ide t du tester dit progrm ved t udregne nogle f de integrler som du ved hvd skl give. Hvis der så er uoverensstemmelse på de sidste decimler, så er det nogle fjolser som hr lvet progrmmet. side 4

7 3 Stmfunktioner Som jeg hr snkket om flere ndre steder, så er den eneste rigtige form for integrtion den som vi klder bestemt integrtion ltså den hvor der er grænser på integrlet. Men det viser sig t denne form for integrtion hr en msse t gøre med noget ndet, nemlig stmfunktionsbegrebet. Fktisk kunne mn udregne et hvilket som helst integrl så nemt som ingenting hvis bre mn kunne finde stmfunktioner til lle funktioner i verden. (Se fsnit 4) Derfor klder mn nogle gnge det t finde stmfunktioner for ubestemt integrtion. Jeg synes det er et dumt nvn, men du bør lligevel kende det, fordi du kn møde folk som bruger det. Eksempel. Hvis nogen beder dig om en stmfunktion til en eller nden funktion, så skl du tænke: Hr jeg nogen sinde differentieret en funktion og fået dette her som resultt? Så, for eksempel hvis jeg beder om en stmfunktion til funktionen f, givet ved: f(x) = sin(x) Så strter du med t tænke over hvilke funktioner der kunne blive til den når mn differentierer dem. Du kommer sikkert først i tnker om funktionen g 1 givet ved: g 1 (x) = cos(x) Du er velkommen til t forklre dem t det er dumt. Du hr læse en længere begrundelse her. side 5

8 (bemærk hvor fint bogstvet g i dette tilfælde kn stå for gæt ). Men det er forkert, fordi når mn differentierer den, så giver det: g 1(x) = sin(x) og det er jo ikke f. Men så kn vi smtidigt huske på t et minus jo bre er det smme som t gnge med 1. Og sådn en multipliktiv konstnt bliver jo stående når mn differentierer. Derfor kn vi i stedet gætte på g givet ved: g (x) = cos(x) Dermed bliver den fledede nemlig: g (x) = ( (sin(x))) = sin(x) = f(x) Så g er en glimrende stmfunktion til f. Du gør klogt i t lære så mnge stmfunktioner udend som muligt. Du bør som minimum kunne huske dem som står her. Men desværre er det slet ikke nok. Det behøver kun t blive en lille smule sværere end eksempel for t mn virkelig hr brug for t være kretiv. Her er et lidt vildere eksempel: Eksempel 3. Vi skl bruge en stmfunktion til funktionen f, givet ved forskriften: f(x) = e sin(x) cos(x) + x Igen spørger vi os selv, om vi nogen sinde hr fået dette monster som resultt ved t differentiere. Sndsynligvis er svret nej. Men hvis vi kender nogle differentitionsregneregler, kn vi lligevel være lidt kretive. For det første får vi følgende ide: Hvis bre vi kn finde en funktion g 1 sådn t g 1(x) = e sin(x) cos(x) side 6

9 og en funktion g sådn t: g (x) = x Så er vi glde, fordi I så fld vil funktionen g 3 givet ved: g 3 (x) = g 1 (x) + g (x) fungere som stmfunktion. Når g 3 skl differentieres, så differentierer vi jo de to led hver for sig. Det er en regel om differentition. Men vi mngler stdig g 1 og g. For t finde på g 1 skl vi meditere lidt over hvordn kædereglen fungerer for differentition. Det er jo noget med t differentiere den ydre funktion og lde den indre være, efterfulgt f t differentiere den indre funktion og gnge resulttet på. Det kunne fktisk godt producere noget i retning f e sin(x) cos(x) hvis vi vr lidt smrte. Vi prøver med: g 1 (x) = e sin(x) Når vi bruge kædereglen til t differentiere den, så giver det lige præcis: g 1(x) = e sin(x) cos(x) fordi eksponentilfunktionen giver sig selv når den differentieres, og sinus giver cosinus. Så er vi hlvvejs. For t finde g, så husker vi lige t differentition f potensfunktioner gør potensen mindre. Derfor er det umiddelbrt oplgt t gætte på noget i retning f x 3. Men det virker desværre ikke, fordi x 3 differentieret giver 3 x hvilket er 3 gnge for stort. Men så er vi lige smrte en sidste gng og finder på: g (x) = 1 3 x3 Den trediedel som vi hr gnget på bliver jo stående når mn differentierer. Og så er den så smrt t når der gnges yderligere 3 på, side 7

10 så giver de 1 tilsmmen. Derfor er g (x) = x = x Og vi hr vores smlede stmfunktion, nemlig: g 3 (x) = e sin(x) x3 Som du måske kn se, skl mn være enormt skrp for lige t se hvd der virker som stmfunktion. Du må også meget gerne fornemme t hvis ikke opgverne er designet omhyggeligt til det, så kn det slet ikke lde sig gøre t finde på en stmfunktion. Til gengæld er det utroligt nemt t undersøge om et eller ndet gæt på en stmfunktion fungerer eller ej. 3.1 At vise t en given funktion er en stmfunktion Hvis nogen kommer med et forslg til en stmfunktion til en given funktion, så er det til gengæld utroligt nemt t kontrollere om det er rigtigt eller ej. Eksempel 4. Nogen hr foreslået t funktionen f givet ved: f(x) = x sin(x) hr en stmfunktion, F givet ved: F (x) = x cos(x) x sin(x) cos(x) For t kontrollere det, så skl vi bre undersøge om F differentieret giver f. Derfor differentierer vi F : side 8

11 F (x) = x cos(x) x sin(x) ( sin(x)+x cos(x)) ( sin(x)) (vi hr brugt produktreglen for differentition et pr gnge her). Men det kn omskrives til: F (x) = x cos(x) x sin(x) sin(x) x cos(x)+ sin(x) = x sin(x) Dermed kn vi se t forslget vr forkert. Der kommer det forkerte fortegn på resulttet når vi differentierer F. Til gengæld er det rent nemt t se hvordn vi kn lve en stmfunktion som virker. Nemlig ved bre t skifte fortegn på hele F, ltså: F (x) = F (x) = x cos(x) + x sin(x) + cos(x) 4 Bestemte integrler ved hjælp f stmfunktioner Det er svært t finde stmfunktioner. Men når mn er så heldig t hve en stmfunktion til den funktion som skl integreres, så er det til gengæld ustyrligt nemt t integrere. Det skyldes den følgende fntstiske sætning: Sætning 5. Hvis F er en stmfunktion til f, og f er integrbel på intervllet [; b], så er: f(x) dx = F (b) F () Mn lver ltså et bestemt integrl ved gnske enkelt t indsætte grænserne i en stmfunktion, og trække de to værdier fr hinnden. side 9

12 Eksempel 6. Ld os udregne integrlet: 1 5 x 3 dx Den funktion som skl integreres kn vi lige klde f, ltså: f(x) = x 3 Den kn vi heldigvis nemt finde en stmfuntion til. Nemlig F givet ved: F (x) = 1 4 x4 Derfor er det meget nemt t udregne integrlet ekskt 1 5 x 3 dx = F (1) F (5) = = 343,75 Og bemærk t integrlet er ekskt lig med dette resultt. Ps på ikke t misforstå denne metode! Der er mnge som i en presset sitution glemmer t mn lige skl finde en stmfunktion. Så ender de med t beregne et integrl ved gnske enkelt t tge selve integrndens (den funktion som skl integreres) værdier i øvre og nedre grænse. Hvis det vr så nemt t integrere, så vr der ltså ingen som hvde gidet t beskæftige sig med det! Vi sætter det lige i en ksse: Et integrl f typen: kn ltså IKKE beregnes som: f(x) dx f(b) f() side 1

13 Så ville det jo ikke hedde integrtion, men derimod en eller nden dum og ligegyldig udregning f to funktionsværdier. For pokker! Jeg bnder meget sjældent her på MtBog. Men når jeg gør det her, så er det ltså fordi jeg hr set rigtigt mnge lve denne utroligt dumme fejl For t gøre det endnu mere tydeligt t mn skl gøre TO ting (nemlig finde en stmfunktion og SÅ sætte grænserne ind i denne), hr mn opfundet en måde t gøre det i to skridt på. Smtidigt slipper mn for t både integrnden og den stmfunktion mn finder skl hve et bogstvnvn. Det gøres ved hjælp f følgende symbol: Definition 7. Hvis f er en funktion, og og b ligger i dens definitionsmængde, så definerer vi symbolet: [f(x)] b til t betyde følgende: f(b) f() De firkntede prenteser betyder ltså bre t mn sætter de to tl ind i funktionen og trækker funktionsværdierne fr hinnden. Nu kn vi lve integrler ved hjælp f stmfunktioner på en lidt mere elegnt måde. Bemærk t den første omskrivning på den måde udelukkende hndler om t finde en stmfunktion til integrnden og skrive den ind i en firkntet prentes. Derefter koncentrerer mn sig om t sætte grænserne ind i denne stmfunktion og omskrive resulttet. Eksempel 8. Ld mig beregne integrlet: Helt uden snk: x + x + 1 dx side 11

14 x + x + 1 dx = [ 1 3 x3 + x + x ] = 1 ( ) ( )3 + ( ) + ( ) = ( ) = = Simple omskrivninger Som sgt findes der næsten ingen regneregler for hvordn integrler kn udregnes. Der er dog nogle meget simple regler som gør t mn kn omskrive nogle integrler til nogle ndre. Det er især nyttigt når mn tler om integrler f ukendte funktioner. 5.1 Lineritet De første to regler kldes under et for lineritet f integrler. Forklringen på dette ord skl findes i teorien om lineær lgebr. Reglerne ser sådn her ud: Sætning 9. Hvis f og g er to funktioner som begge er integrble på intervllet [; b], så er: og sådn her: f(x) + g(x) dx = f(x) dx + g(x) dx side 1

15 Sætning 1. Hvis f er en funktion som er integrbel på intervllet [; b] og k er en konstnt, så er: k f(x) dx = k f(x) dx Sgt lidt mere på slognform siger disse to regler t: 1. mn må integrere en sum f to funktioner ved t integrere de to led hver for sig. en multipliktiv konstnt gerne må flyttes uden for integrlet Som sgt er reglerne mere f teoretisk end prktisk interesse, men de kn fktisk hjælp os (en lille smule) med t integrere i prksis også. Eksempel 11. Ld os udregne integrlet: 7 cos(x) + 3 sin(x) dx I stedet for t bøvle med t finde stmfunktion til den lnge integrnd, så lver vi lige et pr omskrivninger vh. lineritetsreglerne: 7 cos(x) + 3 sin(x) dx = = 7 7 cos(x) dx + cos(x) dx sin(x) dx sin(x) dx side 13

16 Nu er det så bre t udregne de to (nemmere) integrler. Det er heldigvis nemt: 7 cos(x) dx + 3 sin(x) dx = 7 [ sin(x) ] π + 3 [ cos(x)]π = 7 ( ) + 3 (1 ( 1)) = 6 Eksempel 1. Men hvd så med differenser, er der nogen der spørger? Hvorfor hr du ikke lvet en regel som siger t: f(x) g(x) dx = f(x) dx g(x) dx Det er fordi mn ikke hr brug for denne regel (selvom den er rigtig nok). Et minus kn jo ltid skrives som et plus og et fortegnsskift. Dermed kn vi bruge de to regler til t omskrive: f(x) g(x) dx = = = = f(x) + ( 1) g(x) dx f(x) dx + f(x) dx + ( 1) f(x) dx ( 1) g(x) dx g(x) dx g(x) dx Du er selvfølgelig stdig velkommen til t huske t reglen også gælder for differenser. side 14

17 5. Indskudsreglen En nden lille regel som også kn være nyttig er den såkldte indskudsregel. Den siger følgende: Sætning 13 (Indskudssætningen). Hvis f er en funktion som er integrbel på et lukket intervl [; b] og hvis m [; b] så er: f(x) dx = m f(x) dx + m f(x) dx Den kn f.eks. blive nyttig når mn rbejder med såkldte gffelfunktioner som er defineret med et forskelligt funktionsudtryk på forskellige dele f definitionsmængden. Eksempel 14. Betrgt funktionen f givet ved forskriften: f(x) = { x + 1, x < x 4, x Tænk hvis vi skulle beregne relet mellem grfen for f og x-ksen mellem værdierne x = og x =. Så skulle vi selvfølgelig beregne integrlet: f(x) dx Men nu får vi et problem. Vi kn ikke bre skrive hvd f(x) er lig med inde i det integrl, fordi funktionsforskriften ændrer sig i løbet f det intervl vi integrerer på. I stedet kn vi være smrte og bruge indskudsreglen til t omskrive integrlet: f(x) dx = f(x) dx + f(x) dx side 15

18 Og nu bliver det nemmere, fordi hvert f de to nye integrler løber hen over et intervl, hvor f(x) er givet ved den smme funktionsforskrift hele tiden. Vi kn derfor udregne: f(x) dx + f(x) dx = x + 1 dx + x 4 dx = [ 1 3 x3 + x ] + [ 1 5 x5] = 3 + ( 1 3 ( )3 + ( )) = = ,7 Hvis ikke du opdgede nogen problemer i det foregående eksempel, så spring endelig det næste delfsnit over. Et lille problem Der vr fktisk et lille problem i det foregående eksempel. Men det hr ingen indflydelse på resulttet, så vi dvrer lige en ekstr gng: Hvis du er ligegld med de små detljer, så spring dette fsnit over. side 16

19 Problemet ligger i det første integrl. Funktionen f(x) i lige netop x = er jo ikke lig med x + 1 (hvilket ville give 1), men derimod er det lig med x 4 (som giver nul!). Så når jeg siger t på hele det første intervl mellem og nul, kn vi ersttte f(x) med det første funktionsudtryk, så er det ikke helt rigtigt! Her bliver vi reddet f en temmeligt dyb egenskb ved integrler. Nemlig t integrlet f en funktion på et intervl overhovedet ikke ændrer sig hvis mn lver om på funktionsværdien et ét eneste punkt. Med ndre ord: Hvis mn piller et punkt ud f grfen og flytter det enten op eller ned, så ændrer det ikke på relet mellem grfen og x-ksen. Sådn noget skl nturligvis bevises, men vi gemmer det til et ndet dokument. Hvis du tror på t det er rigtigt, så kn du se t det ikke betyder noget hvis vi bre bestemmer t f() giver 4 = 1 i det første integrl. Og dermed er resulttet fktisk rigtigt lligevel. Pyh! 6 Prtiel integrtion De sidste to metoder er lidt mere indviklede end regnereglerne fr sidste fsnit. De kn fktisk bruges til t udregne nogle rimeligt komplicerede integrler ekskt. Og så er det oven i købet lidt sjovt, fordi mn får lov til t skrive nogle ting som ser fuldkommen tossede ud. Den første metode hedder prtiel integrtion. Ld mig strte med t vise dig hvordn en beregning ser ud. Eksempel 15. Her er et integrl udregnet ved hjælp f prtiel integrtion. Det må gerne forekomme vildt mystisk når du læser det, men prøv t se om du kn regne systemet ud: side 17

20 Vi vil udregne integrlet: x 3 sin(x) dx Først lver vi følgende vilde regnerier nedenunder integrltegnet: x 3 sin(x) dx 3x + cos(x) 6x sin(x) + 6 cos(x) sin(x) Udfr dette kn vi fktisk skrive direkte hvd integrlet giver: = [ x 3 ( cos(x)) 3x ( sin(x)) + 6x cos(x) 6 sin(x) ] π Lidt omskrivning giver: = [ x 3 cos(x) + 3x sin(x) + 6x cos(x) 6 sin(x) ] π Og med grænserne st ind (husk t sinus giver nul i både og π): = π 3 cos(π) + 6 π cos(π) ( 3 cos() + 6 cos()) Hvilket giver: π 3 6 π Kn du gennemskue systemet? Her kommer forklringen f hvd der er gjort: 1. Først hr vi differentieret x 3 indtil det gv nul og skrevet resultterne under x 3. side 18

21 . Dernæst hr vi fundet en stmfunktion til sin(x) og fortst med t finde stmfunktioner og skrevet resultterne under sin(x). 3. Så hr vi tilføjet skrå pile med skiftevist et plus eller et minus på. Den første pil hr et plus. 4. Når så resulttet skl læses, så gnger vi de ting som der er pile imellem, sætter enten et plus eller et minus på (lt efter hvilket tegn der er på pilen), og lægger det hele smmen. Det giver os en stmfunktion som vi kn sætte grænser ind i. Så, nu ved du hvordn mn gør. Måske skl du lige øve dig med følgende eksempel. Husk bgefter t kontrollere dit resultt ved t udregne integrlet numerisk! Øvelse 16. Udregn integrlet: 1 x e x dx Du må stdig gerne synes t denne metode er det rene trylleri. For t det kommer til t give mening, skl vi lige en tur omkring teorien. Sætning 17 (Prtiel Integrtion). Hvis f og g er to funtioner hvor: f er differentibel, og f er kontinuert g er kontinuert og hr en stmfunktion, G [; b] er et lukket intervl som både f og g er defineret på så er: f(x) g(x)dx = [f(x) G(x)] b f (x) G(x)dx side 19

22 Du kn finde et (ret nemt) bevis for denne sætning i et ndet dokument 3. Her er et simpelt eksempel på hvordn den fungerer: Eksempel 18. Ld os udregne integrlet: x cos(x) dx Nturligvis er der ikke nogen som kn huske en stmfunktion til x cos(x). I stedet får vi øje på t dette integrl egner sig til t bruge prtiel integrtion på. Vi lder x spille rollen som f(x). Bemærk t den er differentibel, og dens fledede er kontinuert. Vi lder cos(x) spille rollen som g(x). Bemærk t g er kontinuert, og den er ret nem t finde stmfunktion til. Dermed kn vi bruge sætningen til t omskrive: x cos(x) dx = [ x sin(x) ] π 1 sin(x) dx Den første hlvdel er en simpel udregning som giver: [ ] π x sin(x) = π ( ) π sin sin() = π Den nden hlvdel er et meget nemmere integrl som giver: 1 sin(x) dx = [ cos(x) ] ( ) π π = cos ( cos()) = 1 Løst sgt, så fungerer prtiel integrtion på denne måde: Metoden kn bruges når integrnden består f et produkt f to funktioner (ltså to funktioner gnget med hinnden). 3 Nemlig her! side

23 Ideen er t mn kn ersttte integrlet med en simpel udregning smt et ndet integrl. For t det skl være smrt, bør det ndet integrl nturligvis være nemmere t beregne end det oprindelige. Derfor skl mn holde øje med t de to funktioner som er gnget smmen skl være sådn t den ene er nem t finde stmfunktion til, mens den nden bliver simplere når mn differentierer den. Dette vr et eksempel på hvordn den bsle version f prtiel integrtion fungerer. Vi er dog ikke helt fremme ved den vilde metode fr strten f fsnittet. Den dukker op når mn bruger prtiel integrtion flere gnge ltså hvis mn beslutter sig til t bruge endnu en omgng prtiel integrtion til t beregne det nye integrl som dukker op. Eksempel 19. Vi vil beregne integrlet: x e x dx Vi kn bruge prtiel integrtion til t omskrive dette til: x e x dx = [ x e x] x e x (Bemærk t e x er så nem t finde stmfunktion til t mn ikke engng kn se t vi hr gjort det.) Men eftersom det sidste integrl endnu ikke er nemt nok, bruger vi prtiel integrtion endnu en gng til t omskrive: x e x dx = [ x e x] = [ x e x] x e x ( [x e x ] ) e x dx Her er lle delene fktisk nemme nok t regne ud. Men for t gøre det generelle mønter helt tydeligt, vil jeg lige bruge prtiel side 1

24 integrtion en gng mere til t udregne det sidste integrl. Dermed kn vi omskrive til: x e x dx = [ x e x] ( [x e x ] ) e x dx = [ x e x] ( [x ] ( e x [ ] e x = [ x e x] ( [x ] ( e x [ ] )) e x = [ x e x] [ x e x] + [ e x] Den første kntede prentes giver: [ x e x] Den næste kntede prentes giver: [ x e x ] og den sidste giver: = 4 e 4 e = 4 e ( 4) e = 4 e + 4 e [ e x ] = e e Så hele integrlet giver: ( 4 e 4 e ) ( 4 e + 4 e ) + ( e e ) = e 1 e )) e x dx Hvis du kigger grundigt efter, så kn du se hvor systemet fr eksempel 15 kommer fr. Så længe den funktion som mn differentierer ender med t forsvinde, så kn oversætte integrlet til en msse f de firkntede prenteser med skiftevise fortegn, præcis sådn som vi gjorde i eksempel 15. side

25 Der er dog mnge ndre situtioner, hvor prtiel integrtion er smrt, også selvom den ene fktor ikke umiddelbrt kn differentieres væk. Her er et eksempel hvor det er lidt overrskende hvilken funktion vi vælger t differentiere: Eksempel. Jeg vil udregne integrlet: 4 ln(x) x 3 dx Umiddelbrt skulle mn tro t det vr bedst t bytte om på de to fktorer, og så gå i gng med t differentiere x 3, indtil den gik væk. Men jeg hr ikke lyst til t finde stmfunktioner til den nturlige logritme fire (!) gnge! Ld os prøve t gøre det omvendte: 4 ln(x) x 3 dx = [ ln(x) 1 4 x4] x 1 4 x4 dx Det smrte er t det nye integrl slet ikke er svært. Det kn nemlig omskrives: 4 1 x x4 dx = 4 x3 dx = x 3 dx = 1 4 [1 4 x4] 4 = ( 4 4 4) = 4 16 = 15 side 3

26 4 Så hele integrlet giver: ln(x) x 3 dx = [ ln(x) 1 4 x4] 4 15 = ln(4) 64 ln() 4 15 Hvis mn holder f smukke omskrivninger, så kn dette gøres lidt pænere: ln(4) 64 ln() 4 15 = ln( ) 64 ln() 4 15 = ln() 64 ln() 4 15 = (18 4) ln() 15 = 14 ln() 15 Hvis mn holder f grimme kommtl, så kn mn også bre udregne t det giver cirk 7,95. Til sidst et eksempel hvor metoden slet ikke ser ud til t virke, men ved t være rigtigt smrt, så virker den lligevel: Eksempel 1. Vi vil beregne integrlet: sin(x) cos(x)dx Hvis vi bruger sætning 17, kn dette omskrives til: sin(x) cos(x)dx = [sin(x) sin(x)] π cos(x) sin(x)dx Det blev det umiddelbrt ikke spor bedre f. Fktisk er det nye integrl på højresiden præcis det smme som det integrl vi strtede med. Men hvis vi lægger lige netop dette integrl til på begge sider f side 4

27 lighedstegnet, så er det i virkeligheden helt fntstisk: sin(x) cos(x)dx = [sin(x) sin(x)] π Det betyder jo (idet vi dividerer med på begge sider t: sin(x) cos(x)dx = 1 [sin(x) sin(x)] π = 1 ( ( ) π sin sin() ) = 1 1 = 1 7 Substitutionsmetoden Den sidste metode hedder substitutions (eller ersttnings ) metoden. Det skyldes måden som de fleste vælger t huske den på, ved hjælp t integrltegnet. Denne gng får du den lige som en sætning først: Sætning (Substitutionsmetoden). Hvis f og g er to funktioner, hvor g er differentibel f er kontinuert [; b] er et lukket intervl som den smmenstte funktion f g er defineret på side 5

28 så er: f(g(x)) g (x)dx = g(b) g() f(u)du Bemærkning om integrtionsvriblen Bemærk t det nye integrl hr nye grænser, og t vi hr skiftet nvn på integrtionsvriblen (fr x til u). Det første er enormt vigtigt. Mn siger t der er substitueret i grænserne, og det er den mest lmindelige fejl t lve når mn prøver t lære metoden. Derfor vil du sikkert høre din lærer sige Du hr glemt t substituere i grænserne på et tidspunkt. Nvneskiftet er til gengæld helt unødvendigt. Der hvde stået præcis det smme integrl hvis jeg hvde skrevet: g(b) g() f(x)dx Når mn lligevel skifter til u, så er det fordi det kn bruges til t konstruere en smrt huskeregel. Den kommer lige om lidt. Her er først et simpelt eksempel på hvordn sætningen kn bruges: Eksempel 3. Jeg vil beregne integrlet: Hvis vi lige nvngiver: sin(x ) x dx f(x) = sin(x) g(x) = x så er det så heldigt t: g (x) = x side 6

29 så det psser perfekt på forudsætningerne for sætning. Derfor kn vi omskrive: sin(x ) x dx = sin(u) du Det sidste integrl er let t udregne, fordi vi kender en stmfunktion til sinus: = [ cos(u) ] π = cos ( π ) ( cos()) = 1 cos ( π ) Når mn skl lve substitution, så er der udviklet en ret smrt måde t gøre det på. Ideen er t mn bryder smtlige regler hvor hvd der er korrekt, foretger et pr helt meningsløse omskrivninger, og til sidst ender mn med t gøre præcis det rigtige som sætning siger mn må. Fordelen ved de forkerte omskrivninger er t de er ret nemme t huske. Se selv: Eksempel 4. Ld os beregne integrlet: x 4 4x3 dx Vi for lyst til t lve en substitution, hvor en indre funktion (den som hedder g i sætning ) nturligvis er det som står inde i kvdrtrodstegnet. Ld os klde det noget. Mn bruger som regel bogstvet u (en lidt underlig forkortelse f substitution, måske?). Så vi sætter: u = 1 + x 4 Så differentierer vi udtrykket. Nu hr funktionen ikke noget nvn, så vi bruger den lterntive nottion for differentition: du dx = + 4 x3 = 4x 3 side 7

30 Og nu gør vi noget gyseligt! Vi lder som om differentitionstegnet er en brøk. Og så gnger vi nævneren over på den nden side f lighedstegnet. Det giver følgende nonsens: du = 4x 3 dx Og så læser vi det oprindelige integrl igen. Der hvor der står 1+x 4, læser vi bre u. Og der hvor der står 4x 3 dx, læser vi du. Og så husker vi lige t substituere grænserne også ved t tænke x skulle løbe mellem og 1. Men nu er det u som løber, så vi skl skrive hvd u er når x hr disse værdier. Det giver følgende omskrivning: x 4 4x3 dx = du = u 1 1 u du Dette er den smme omskrivning som vi vr nået frem til ved t bruge sætning. Bre lvet på en mere snydegtig måde. Nu er integrlet lige til t regne ud: = 1 [ ] u 1 1 du = u 1 = ( 1) = Som du nok kn se, så skl problemerne være meget nøje designede til t mn kn bruge substitutionsreglen. Det kræver jo temmeligt meget held t det lige psser med t den funktion som er gnget på er den fledede f den indre funktion. Der er dog situtioner, hvor en substitution kn gøre en del f rbejdet for os. Ld os slutte med et eksempel hvor vi får brug for næsten lle reglerne i dette dokument: side 8

31 Eksempel 5. Vi vil udregne integrlet: 9 4 sin( x) dx Umiddelbrt ser det sort ud. Der er jo ikke gnget med noget som helst der kunne blive til den fledede f den indre funktion. Men ld os prøve en substitution lligevel. Vi sætter: Dermed er: u = du dx = 1 x (x) = x = 1 x Så snyder vi igen og gnger du over på den nden side: du = 1 1 x dx Men vi mngler ltså både 1 og 1 x i integrnden. Derfor omskriver vi lige integrlet: 9 4 sin( x)dx = 9 4 sin( x) 1 x 1 dx x (Vi hr bre gnget med 1 to gnge, så det ændrer ikke noget). Men så kn vi lige smide -tllet ud (det skl ikke bruges til noget), og flytte lidt rundt: = 9 4 sin( x) x 1 1 dx x Og nu ser det lækkert ud! Ld os foretge substitutionen u = x: = 9 4 sin(u) u du = 3 sin(u) u du side 9

32 Men hey! Det er jo sådn et integrl som mn kn lve prtiel integrtion på! Det gør vi d lige: ( [u ] 3 3 = ( cos(u)) ) 1 ( cos(u)) Og nu er der kun et meget nemt integrl tilbge: ( [u ] 3 = ( cos(u)) [ sin(u) ] ) 3 = ( 3 ( cos(3)) ( cos()) ( sin(3) ( sin())) ) = 6 cos(3) + 4 cos() + sin(3) sin() side 3