Matematikprojekt. Integralregning. Lavet af Arendse Morsing Gunilla Olesen Julie Slavensky Michael Hansen. 15 Oktober 2010

Transkript

1 Mtemtikprojekt om Integrlregning Lvet f Arendse Morsing Gunill Olesen Julie Slvensky Michel Hnsen 15 Oktober 21

2 Indhold I Del I Generelt om stmfunktioner og integrler II Regneregler for ubestemte integrler III Integrtion ved substitution IV Bestemte integrler V Indskudsreglen VI Prtiel integrtion II Del I Volumen f en kegle og en keglestub II Objektet til en funktion f(x) III Volumen f et 5cm højt omdrejningslegeme III Del I Grønne Plnter II Beregninger på et dige

3 Figurer 1 Kontinuitet og integrtion Illustrtion f indskudsreglen Arelet f en cylinder inddelt i intervller Volumen f en vse Hældningen f en linje Hældningen for en linje med strtværdi r Screenshot f Mple s VoR menu Volumen f funktionen f(x) = 1, x 4 + 9, x 3, 176x 2 +, 8225x + 37, Volumen til funktionen, med Riemnnsummer Riemnnsummer til funktionen f(x) Plot f Mple s volumeberegning Grf for CO 2 udledning fr grøn plnte Arelkurve for grfen for en grøn plntes CO 2 udledning Riemnnsummer og integrtion f funktionen for plntens CO 2 udledning Skitse f et dige Plot f dige hvor mksimum kn ses Smling f de tre Riemnnplots for diget

4 I Del 1 I Generelt om stmfunktioner og integrler Vi skl i denne del komme med en række generelle og senere, mere specifikke forklringer på hvd der mener med integrtionsregning. Vi vil til t strte med komme med en generel definition på en stmfunktion. Stmfunktion og ubestemt integrle Definition 1 At finde en stmfunktion er det modstte f t differentiere. Vi siger t, F(x) er stmfunktion til f(x) Vi skriver: F (x) = f(x)dx = F (x) + k k er i dette tilfælde en vilkårlig konstnt. Stmfunktionen er et vigtigt redskb både i integrleregning og differentileregning. Sætning 1 (Sætning om stmfunktion) Vi siger t F (x) er stmfunktion til f(x) hvis og kun hvis F (x) = f(x). Der gælder derfor f(x)dx = F (x) F (x) = f(x) Bevis. Vi lder F (x) og G(x) være stmfunktioner til f(x) og lder H(x) = F (x) G(x). Hvis vi differentierer ser vi t H (x) = F (x) G (x) = f(x) f(x) = Mn kn konkludere t H(x) er en konstnt funktion dvs. et tl. Det kn vises t lle kontinuerte funktioner hr stmfunktioner. Vi viser nu et simpelt eksempel på en stmfunktion. Stmfunktionen F (x) = x 4 hr differentilkvotienten F (x) = 4x 3 og stmfunktionen F (x) = x hr differentilkvotienten F (x) = 4x 3. Så både F (x) = x 4 og F (x) = x er stmfunktioner til f(x) = 4x 3. 1 En stmfunktion til f(x) kldes også det ubestemte integrle og skrives f(x)dx. Mn skelner mellem to måder t bruge integrtion på, nemlig bestemte og ubestemte integrler. Senere vil vi forklre hvd der menes med 1 d F (x) = f(x) 3

5 et bestemt integrle og smmenhængen mellem bestemte og ubestemte integrler. Først vil vi forklre hvd der menes med ubestemte integrler. Definition 2 (Definitionen f et ubestemt integrle) Stmfunktionerne til en funktion f(x) betegnes som f(x)dx = F (x) + k dette kldes det ubestemte integrle og f(x) er integrnden. F(x) er stmfunktionen og k er en vilkårlig konstnt. Et eksempel: 1 dx = ln(x) + k, x > x Regneregler Der gælder desuden regneregler for ubestemte integrler: 1. f(x)dx = F (x) + c, hvor F (x) er stmfunktion til f(x) 2. k f(x)dx = k f(x)dx. Den viser t mn kn sætte en konstnt k udenfor. 3. (f(x) + g(x))dx = f(x)dx + g(x)dx. Mn kn dele integrlet op og integrere hver for sig. I dette tilfælde lægger mn smmen til sidst. 4. (f(x) g(x))dx = f(x)dx g(x)dx. Det smme gælder som i regneregel 3, mn trækker bre fr. Integrtionsprøven Ved integrtionsprøven menes der t mn hr fundet en stmfunktion F (x) til f(x) og ønsker t undersøge om den er rigtig, ved t differentiere F (x). Mn kn sige t en funktion hr uendelig mnge stmfunktioner fordi hvis mn differentierer en konstnt giver det nul, så mn kn i princippet lægge uendelig mnge konstnter til en given stmfunktion og stdig få den smme funktion. Der gælder en sætning Sætning 2 (Sætning om integrtionsprøven) Hvis F(x) er en stmfunktion til f(x) så er G(x) = F (x) + k også en stmfunktion til f(x). 4

6 Bevis. Dette kn bevises ved hjælp f integrtionsprøven og vi får vi kn nu differentiere ledvis og får G (x) = (F (x) + k) F (x) + = F (x) = f(x) Kontinuitet Funktioner skl være kontinuerte i intervllet [; b], fordi ellers kn mn ikke integrere eller differentiere dem. Overordnet er det vigtigt t integrler er Figur 1: Kontinuitet og integrtion kontinuerte i det intervl mn ønsker t integrere, d integrtion og differentition hænger tæt smmen. Mn kn ikke finde en differentilkvotient til en ikke-kontinuert funktion. Mn kn derimod godt integrere en funktion som ikke er kontinuert i hele sit intervl, men kontinuert i dele f intervllet. En funktion som er kontinuert i [; b] og [c; d], hvor b c. Til dette kn mn benytte indskudsreglen, som vi vil gøre rede for senere. Stmfunktioners konstnt-forskel Et funktion kn hve vilkårligt mnge stmfunktioner. Derfor skriver vi t lle ubestemte integrler udgøres f stmfunktionen F (x) og en vilkårlig konstnt k og skrives f(x)dx = F (x) + k. 5

7 Sætning 3 Forskellen imellem to stmfunktioner er konstnten k. Vi skriver t hvis F 1 (x) og F 2 (x) begge er stmfunktioner til f(x) så er F 1 (x) F 2 (x) = k med dette menes der t forskellen mellem F 1 (x) og F 2 (x) er en konstnt. Bevis. Vi beviser sætningen ved t vise t under differentition, vil konstnten blive. (F 1 (x) F 2 (x)) = F 1(x) F 2(x) = f(x) f(x) = F 1 (x) F 2 (x) = k Derfor kn en funktion også hve vilkårligt mnge stmfunktioner. II Regneregler for ubestemte integrler Subtrktion f ubestemte integrler Sætning 4 (Subtrktion f ubestemte integrler) Mn kn trække to ubestemte integrler fr hinnden, ved t integrere leddene enkeltvis og subtrhere. Vi skriver (f(x) g(x))dx = f(x)dx g(x)dx Bevis. Vi udregner venstre side f lighedstegnet (f(x) g(x))dx = [F (x) G(x)] = F (x) G(x) Dernæst højre side f(x)dx g(x)dx = [F (x)] [G(x)] = F (x) G(x) Sætningen er bevist. 6

8 Integrtion f produktet, f en konstnt og en funktion Sætning 5 (Integrtion f produktet, f en konstnt og en funktion) Når mn integrerer produktet f en konstnt og en funktion, kn mn trække konstnten udenfor integrlet, integrere funktionen og så multiplikere. Vi skriver k f(x)dx = k f(x)dx Bevis. Hvis F er stmfunktionen til f, er kf en stmfunktion til kf. Vi udregner venstre side k f(x)dx = [kf (x)] = kf (x) kf (x) og dernæst højre side k f(x)dx = k[f (x)] = k(f (x) F (x)) Nu er venstre og højre side ens og beviset er færdigt III Integrtion ved substitution Der findes ingen generelle regler for hvordn mn kn udregne produktet og differensen f et integrle. En f måderne til t bestemme differensen, er ved integrtion ved substitution. Sætning 6 (Integrtion ved substitution) Når mn skl integrere en smmenst funktion, kn mn integrere ved t substituere et led ud og differentiere det. Der gælder t f(g(x))g (x)dx = f(t)dt = F (t) + k = F (g(x)) + k Denne sætning kn betegnes som integrtion ved substitution. Her gælder t t = g(x) og F er en stmfunktion til f. Bevis. Som tidligere skrevet betegner vi en stmfunktion til f med F, dvs. F (x) = f(x). Vi bruger reglen for differenttionen f smmenst funktion og får den fledede F g (F g) (x) = F (g(x)) g (x) = f(g(x)) g (x) 7

9 Nu bruger vi integrletegnet og omskriver til f(g(x)) g (x)dx = F (g(x)) Vi ersttter g(x) til t og får f(t) dt = F (t) Denne metode bruges til bestemmelse f stmfunktionen til smmenstte funktioner og den kldes som sgt integrtion ved substitution fordi vi ersttter dele f integrnden med t.[1, 2] IV Bestemte integrler Definition f bestemte integrler Definition 3 (Definitionen f bestemte integrler) Ld f være kontinuert i intervllet [;b] med stmfunktionen F. Ved det bestemte integrl f f, fr til b, forstås tllet F (b) F () Og vi skriver f(x)dx = [F (x)] b = F (b) F () Mere overordnet hr vi nlysens fundmentlsætning 2 Sætning 7 (Anlysens fundmentlsætning) Antg t f : [; b] R er kontinuerlig. D vil f være integrbel i ethvert intervl [; x], hvis x b og funktionen F (x) = vil være en stmfunktion til f i [; b] x f(t) dt Vi vil ikke bevise denne sætning, men henlede til t defititionen f det bestemte integrle er udledt f nlysens fundmentlsætning. Denne sætning blev udledt f Newton og Liebniz og er den mest grundlæggende sætning indenfor infinitisiml regningen. 2 Vi synes det lyder pænere end bre sætning et-eller-ndet. På engelsk hedder den Fundmentl Theorem of Clculus. 8

10 Regneregler for bestemte integrler Regnereglerne for bestemte integrler minder meget om de tilsvrende for ubestemte integrler. Flg. gælder: (f(x) + g(x)) dx = (f(x) g(x)) dx = (k f(x)) dx = k f(x) dx + f(x) dx g(x) dx g(x) dx f(x) dx, hvor k er et tl Udregning f visse bestemte integrler kn udføres ved substitution. D gælder flg. sætning: Definition 4 (Sætning om integrtion ved substitution) Ld g være differentibel med den fledede g og f kontinuert. Så gælder der t f(g(x)) g (x) dx = g(b) g() ft dt Forskellen imellem bestemt og ubestemt integrle Det ubestemte integrl f f er defineret ved stmfunktionen F: F (x) = fx dx F (x) = f(x) Herved bestemmer mn ltså en stmfunktion. Ved det bestemte integrl bestemmes værdien under grfkurven i intervllet [; b]. Den værdi mn udregner ved det bestemte integrle kn enten fortolkes som integrlets værdi. Herved kn det tge lle reelle tl f(x) dx = R. Fortolker mn derimod integrlets værdi som relet under kurven, så kn denne kun ntge positive tl A = f(x) dx >. 9

11 Bevis for integrtion f subtrktion, f et bestemt integrle Når mn subtrherer et bestemt integrle kn mn integrere ledvist og dernæst subtrhere og der gælder flg. sætning Sætning 8 (Sætning om ledvis integrtion, ved subtrktion) Hvis F og G er stmfunktioner til f og g, ved vi, t F - G er en stmfunktion til f - g, gælder der t (f(x) g(x)) dx = f(x) dx g(x) dx Bevis. For t bevise, t de to sider f lighedstegnet er ens, udregnes først venstre side: (f(x) g(x)) dx = [F (x) G(x)] b = [F (b) G(b) F () G()] Dernæst venstre side: f(x) dx Vi ser, t siderne er ens: g(x) dx = [F (x)] b [G(x)] b = [F (b) F ()] [G(b) G()] F (b) F () G(b) G() = F (b) F () G(b) G() hvormed sætningen er bevist. Sætningen om ledvis integrtion bruges til t bestemme relet f et område begrænset f to funktioner. V Indskudsreglen Hvis mn ønsker t bestemme et integrle i intervllet [; b], kn mn dele intervllet op i delintervller [; c] og [c; b]. Denne regel kldes for indskudsreglen, d mn skyder tllet c ind imellem og b. Der gælder sætningen Sætning 9 (Sætning om indskudsreglen) Hvis integrtionsintervllet for en kontinuert funktion f er [; b], kn det deles op i to intervller [; c] og [c; b], og integrtionen kn foretges i hvert intervl særskilt. Ld f være begrænset i intervllet I = [; b], så er f integrbel i I. Ld c være et tl i det åbne intervl ]; b[ og f er integrbel i [; b] f er integrbel i [; c] [c; b] D hr vi t f(x)dx = c f(x)dx + 1 c f(x)dx

12 Bevis. Vi bruger definitionen for det bestemte integrle: c f(x) dx + c f(x) dx = [F (x)] c + [F (x)] b c = [F (c) F ()] + [F (b) F (c)] = F (b) F () = f(x) dx hvormed sætningen er bevist. [1, 2]. Dette ses illusteret på figur 2. Figur 2: Illustrtion f indskudsreglen For t fuldende beviset vil mn gøre rede for t f er integrbel i intervllet [; b] og t f er integrbel i intervllerne [; c] og [c; b]. Dette kn mn gøre ved t benytte oversummer og undersummer og ε δ definitionerne. Det gør vi dog ikke her[3]. VI Prtiel integrtion Vi oplyste tidligere t der ikke findes generelle regler for integrtion f produkter og integrtion f smmenstte funktioner og gjorde tidligere rede for 11

13 udregningen f integrtion med substitution. Vi vil her gøre rede for prtiel integrtion. Prtiel integrtion er også kendt som delvis integrtion. Beviset for prtiel integrtion føres vi differentition f smmenstte funktioner. Sætning 1 (Prtiel integrtion f ubestemt integrle) Hvis funktionerne f og g er definerede i intervllet [; b] og f er kontinuert med stmfunktionen F(x), g er differentibel og g er kontinuert, d gælder der f(x) g(x) dx = F (x) g(x) F (x) g (x) dx Bevis. Vi foretger først en omskrivning f reglen om differentilkvotienten f et produkt f to funktioner, sådn t hvis F(x) er en stmfunktion til f(x) og g er differentibel, så kn vi differentiere funktionen F (x) g(x). ((F (x) g(x)) = F (x) g(x) + F (x) g (x) = f(x) g(x) + F (x) g (x) Dette kn videre omformes til f(x) g(x) = ((F (x) g(x)) F (x) g (x) D g er kontinuert, er F (x) g (x) integrbel og vi kn d benytte regnereglerne for ubestemte integrler og får f(x) g(x) = ((F (x) g(x)) F (x) g (x)dx = ((F (x) g(x)) dx F (x) g (x) dx = F (x) g(x) F (x) g (x) dx og sætningen er hermed bevist Der findes også en sætning om prtiel integrtion f et bestemt integrle. Der gælder denne sætning: Sætning 11 (Prtiel integrtion f bestemt integrle) Hvis funktionerne f og g er definerede i intervllet [; b] og f er kontinuert med stmfunktionen F(x), g er differentibel og g er kontinuert, d gælder der f(x) g(x) dx = [ F (x) g(x) ] b F (x) g (x) dx 12

14 Bevis. Først bemærkes det, t der gælder t f(x) dx = [f(x) dx] b og dette udnytter vi i vores videre udregning f det bestemte integrle f(x) g(x) dx vi vores sætning om prtiel integrtion f det ubestemte intgrle. [ ] b f(x) g(x) dx = F (x) g(x) F (x) g (x) = [F (x) g(x)] b [ F (x) g (x) dx = [F (x) g(x)] b F (x) g (x) dx ] b og sætningen er bevist. Disse sætninger om prtiel integrtion kn benytte i tilfælde hvor det er lettere t bestemme en stmfunktion til funktionen F (x) g (x) end t bestemme stmfunktionen til den oprindelige funktion f(x) g(x). Vi viser her et eksempel For t udregne det ubestemte integrl cos(x) x dx, bruger vi prtiel integrtion. Vi ser t der gælder t hvis f(x) = cos(x) er F (x) = sin(x) og ligeledes er g (x) = 1 når g(x) = x. Vi får d: cos(x) x dx = sin(x) x sin(x) 1 dx = x sin(x) 1 sin(x) dx = x sin(x) + cos(x) + c II Del 2 Sætning om volumenintegrle Sætning 12 Ld f være en kontinuert, ikke-negtiv funktion i intervllet [; b]. Det omdrejningslegeme der fremkommer ved t dreje området mellem x-ksen og grfen 13

15 for f, 36 om x-ksen, hr rumfnget V = π f(x) 2 dx Bevis. Vi benytter sætningen om definitionen f et integrle som en sum f overog undersummer, og deler derfor intervllet [; b] op i et små del-intervller x 1, x 2,, x n. Mn ser d t det i te intervl, som ligger imellem x i 1 og x i, indeholder en cylinder med rdius m i og er indeholdt i en cylinder med rdius M i, som kn ses på figur 3. Vi ved t volumen for en cylinder er givet ved V = πr 2 h. Figur 3: Arelet f en cylinder inddelt i intervller Vi ser her t rdius for skiverne er hhv. M i og m i og højden er x i x i 1. Volumen til skiven vil d ligge imellem volumen til den indre cylinder πm 2 i (x i x i 1 ) og volumen til den ydre cylinder πm 2 i (x i x i 1 ) og vi kn d opstille følgende ulighed n πm 2 i (x i x i 1 ) V totl i=1 n πmi 2 (x i x i 1 ) i=1 Overst betyder dette t vi tger volumet til hver f de små cylindre i intervllet [; b] og summer dem smmen.[4] Vi ser d ud fr figuren, t den bedste pproximering f dette volume opnås ved t lde M i og m i gå mod hinnden, 14

16 Figur 4: Volumen f en vse. hvor Mi bliver mindre og mi bliver større. Ved denne process opnår vi det der kldes en middelsum som også er illustreret på figur 4.[2] Vi ser t middelsummen nu bliver en meget tæt pproximering f funktionen πf (x)2. Smtidig lder vi cylindrenes højde gå mod, ltså t xi 1 xi. D denne proces også svrer til t tge integrlet til en funktion, for t finde relet, så kn vi integrere funktionen og får dermed Z b V = πf (x)2 dx og vores sætning er bevist. I Volumen f en kegle og en keglestub Volumen for en kegle Vi strter med t bestemme volumen for en kegle. Volumen for en kegle kn beskrives som en lineær funktion der drejes om x ksen. Vores opgve bliver nu t finde et udtryk for denne lineære funktion. Forskriften for en linje i plnen er givet ved f (x) = x + b, hvor er hældningn og b er strtpunktet på y-ksen. D vi skl finde en kegle, vil det letteste være t lde linjen strte i y = og b går derfor ud. Vores opgve bliver nu t finde hældningen for linjen. Denne kn findes ved = y y x x 15

17 Figur 5: Hældningen f en linje. D både x = og y = og vi nu definerer højden ud f x-ksen og rdius ud f y-ksen, kn vi omskrive til = r h Vi kn nu opstille udtrykket for vores funktion, som vi vil finde volumen med. Vi substituerer h = x f(x) = r x x Benytter vi udtrykket for udregningen f volumen, finder vi t volumen for en kegle er givet ved V = πf(x) 2 dx = x π ( r x x ) 2 dx som vi nu skl løse. For t gøre vores udtryk lettere t rbejde med substituerer vi r x integrle bliver nu = og vores V = x = π x = π( 2 ) π(x) 2 dx ( 2 )x 2 dx (sætter π udenfor integrlet) x x 2 dx (sætter ( 2 ) udenfor integrlet) = π( 2 ) 1 3 x3 16

18 r 2 = π 1 3 x 2 x3 (Her ses hvorfor h skulle substitueres med x) = π 1 3 r2 x = π 1 3 r2 h (h substitueres tilbge istedet for x) og vi er hermed færdige. Udtrykket for volumen for en kegle er V = 1 3 πr2 h. Volumen for en keglestub Volumet for en keglestub kn findes på næsten smmen måde. Vi er dog udst for den udfordring, t vi ikke længere kn tillde os t sætte y = som strtværdi. Men vi benytter smme fremgngsmåde. Vi finder først hældningen. = r 2 r 1 h d højden stdig er udgjort ved (x x ) hvor x =. Figur 6: Hældningen for en linje med strtværdi r 1. Vi er nu klr til t opstille forskriften for linjens ligning. Vi substituerer igen h = x og får f(x) = r 2 r 1 x + r 1 x 17

19 d vores strtværdi nu er forskudt r 1 lngs y-ksen. Vi hr nu forskriften for linjens ligning og er klr til t opstille vores integrle. Vi tillder os igen, for t gøre regnerbejdet lettere, t substituere r 2 r 1 = og får x π(x+r x 1) 2 dx som vi nu løser V = = π = x x π(x + r 1 ) 2 dx 2 x 2 + 2xr 1 + r 2 1 [ π 1 ] x 3 2 x 3 + x 2 r + r 2 x = π 1 3 ( r2 r 1 h ) h 3 + ( r2 r 1 h (tger grænseværdierne for det bestemte integrle) ) h 2 r + r 2 h (Substituerer tilbge) = π 1 3 (r 2 r 1 ) 2 h + (r 2 r 1 )h r 1 + r 2 1 (Forkorter og reducerer) = π 1 3 ( (r2 r 1 ) 2 + (r 2 r 1 )r 1 + r 2 1) = π 1 3 h(r2 2 + r r 2 r 1 ) Vi er nu færdige og hr fundet t volumen for en keglestub er V = π 1 3 h(r2 2 + r r 2 r 1 ). II Objektet til en funktion f(x) Vi skl finde det objekt som fås ved t dreje grfen til funktionen f(x) = 1, x 4 + 9, x 3, 176x 2 +, 8225x + 37, 1571 omkring x-ksen. Dette gør vi ved t skrive funktionen ind i Mple, så progrmmet får mulighed for t omskrive funktionsudtrykket til sin egen syntx. Derefter mrkerer vi formlen og trykker copy (Ctrl-C). Herefter åbner vi 18

20 Tools Tutors Clculus - Single Vrible Volume of revolution og der dukker nu et vindue op, hvor vi hr mulighed for t indtste vores funktion og grænser for integrlet (fig. 7). π Figur 7: Screenshot f Mple s VoR menu. Hvis vi beder Mple om t finde et volumeplot f integrlet 2 1 ( 1, x 4 + 9, x 3, 176x 2 +, 8225x + 37, 1571 ) 2 dx fremkommer figur 8. Vi kn yderligere bede Mple om t skbe figuren ud fr Riemnn summer π ( 71, ) 4 5 i i=1 ( 71, ) 3 5 i + ( 71, ) i 25, , 99i 71 og vi får figur 9. III Volumen f et 5cm højt omdrejningslegeme Vi hr vi hjemmesiden gdrive/tema/ourpge.htm 19

21 Figur 8: Volumen f funktionen f(x) = 1, x 4 + 9, x 3, 176x 2 +, 8225x + 37, Figur 9: Volumen til funktionen, med Riemnnsummer 2

22 lvet x og y plots til overflden på en vse, hvor vi hr den ene hlvdel f vsen lngs x-ksen og bunden f vsen lngs y-ksen. Efter vi hr plottet disse punkter, sætter vi dem ind i Mple eller LM s regressionsmodel og får udtrykket f(x) =, x 4 +, x 3, 2895 x x+25, 45 som ved hjælp f Riemnnsummer giver figur 1. π Figur 1: Riemnnsummer til funktionen f(x) Vi kn nu opstille integrlet 2 (, x 4 +, x 3, 2895 x x + 25, 45 ) 2 dx som vi nturligvis løser, for t finde volumen. Men inden skl vi lige huske t vores figur er 2 pixel høj på billedet vi brugte, men er ltså kun 5 cm høj i virkeligheden. Ergo kn vi regne os frem til t der går 2 = 4pixels pr. 5 cm. V = π V = π 2 2 (, x 4 +, x 3, 2895 x x + 25, 45 ) 2 dx (8, x 8 9, x 7 +, x 6, x 5 +, x 4, x 3 +, x , 7378 x + 627, 252)dx V = π [ 8, x 9 1, x 8 +, x 7, x 6 +, x 5, 286 x 4 +, x x , 252 x ] 2 21

23 ( [2, V = π ] [ ]) V = 6, px 3 V = 6, px (D vores resultt er i kubikpixel) V = 1374 cm 3 Smmenligner vi med det udtryk Mple giver, hvis vi benytter VoR (fig. 7) til t beregne volumen giver den = 1374 cm 3, hvilket jo må siges t 4 3 være det smme. Mn kn se plottet på figur 11. Vi mener t vores resultt giver rimelig god mening. En 5cm høj vse kn trods lt indeholder en del vnd. Og indenfor den usikkerhed vores måling på hjemmesiden giver, så konkluderer vi t det er et rimeligt fornuftigt resultt. D én kubikcentimeter svrer til én ml kn vi komme frem til t vsen vil kunne indeholder 1374ml = 1, 4ltr. Dette lyder ikke helt urimeligt for en 1ml vse f den størrelse. III Del 3 I denne del f opgven vil vi rbejde med fortolkningen f integrler og nvendelsesmuligheder. I Grønne Plnter Vi skl i denne del rbejde med en model f fotosyntesen. Det er velkendt t plnter udnytter respirtion både i dgslys og om ntten, men kun kn udnytte fotosyntesen om dgen. Mn hr i et lbortorium lvet forsøg med en plntes CO 2 produktion over 24-timer. 3 Integrbilitet, fse og periode I et lbortorium er der lvet forsøg med en grøn plntes CO2 produktion i en 24 timers periode. Modellen for denne produktion i tid, er givet ved: ( f(x) = x sin 6 π x ), x Det er formodentlig vndpest, d denne plnte er ret let t rbejde med 22

24 Figur 11: Plot f Mple s volumeberegning 23

25 her beskriver f(x) hstigheden f plntens CO 2 -produktion (mængde f CO 2 pr. time) og x er tiden. (ntl timer efter forsøgets strt) Funktionen kn integreres fordi den er kontinuert og positiv i intervllet fr [; 24]. Pointen med t finde integrlet er jo netop t finde frem til tllet I, der er knyttet til en bestemt funktion f(x). Som eksemplet ovenover viser, kn vi ltså finde frem til F (x) til f(x), ltså en stmfunktion. Til lle kontinuerte funktioner kn mn finde stmfunktioner, også kldet et ubestemt integrl. Perioden for modellen beskriver, over hvor lng tid forsøget spndt sig over, ltså er perioden 24 timer og fsen beskriver svingningerne i plntens ktivitet, dg og nt, fordi plnten er fhængig f sollys for t kunne opretholde fotosyntesen. Vi kn her bruge en lille del f det vores første projekt hndlede om, nemlig udtrykket for sinus, som generelt skrives: A sin(bx + c) Hvor A er mplituden som bestemmer de udsving grfen lver, b beskriver perioden og c fseforskydningen, x er vores vribel og ltså stdig tiden (fig. 12) Figur 12: Grf for CO 2 udledning fr grøn plnte. Beregning f f(2) og f(6) Vi skl nu prøve t bruge f(x) ved nogle konkrete værdier indenfor intervllet, nemlig f(2) og f(6). Vi vil ltså gerne finde ud f hvor meget CO 2 plnten 24

26 hr produceret efter henholdsvis 2 og 6 timer. ( f(2) = 2 sin 6 π 2 ) = CO 2 t 1 12 ( f(6) = 6 sin 6 π 6 ) = CO 2 t 1 12 Vi kn vh. resultterne og grfen, udlede t der efter 2 timer bliver produceret CO 2 t 1 og dette stemmer også overens med t plnten vil befinde sig i mørke i dette tidsrum. Ligeledes ser vi t 6 timer efter forsøgets strt, udleder plnten ikke CO 2, hvilket jo også stemmer overens med vores oplysninger omkring fotosyntesen, d plnten her vil være i sollys. Her optges CO 2 t 1 og grfen er derfor i minus i f(6), hvor den forbruger mksimlt CO 2, hvorefter den grdvist begynder t stige igen. Det betyder t forbruget f CO2 flder, og dermed stiger grfen. Plnten vil til tiden f(1.9) forbruge den mængde CO 2 den udleder. Herefter vil den udlede mere end den forbruger i intervllet ]1.9; 22.9[. Dette kn ses på figur 13. Figur 13: Arelkurve for grfen for en grøn plntes CO 2 udledning. 25

27 Beregning f integrler for plntens udledning f CO 2 Vi forklrer nu 1.9 f(x) dx, 22.9 f(x) dx smt 24 f(x) dx i de respektive 1.9 intervller. I det første intervl fr [; 1, 9] kn vi udlede f grfen (fig.13) i intervllet t kurven ftger indtil [6] hvor den igen begynder t stige. Den forbliver dog i minus indtil den skærer x-ksen i 1.9. Kurven forholder sig i minus fordi plnten i dette intervl ikke udleder CO 2, men forbruger mere end den udleder. Værdien f integrlet 1.9 f(x) dx giver 1.9 ( x sin 6 π x ) dx = CO 2 t 1 12 Værdien f integrlet 22,9 f(x) dx giver 1,9 22,9 ( x sin 6 π x ) dx = CO 2 t ,9 Værdien f integrlet 24 f(x) dx giver 24 ( x sin 6 π x ) dx = CO 2 t 1 12 Fortolkning f disse integrler er således. I perioden til 1,9 timer vil plnten netto forbruge enheder CO 2 t 1. Dette er derfor i dgslys. I perioden 1,9 til 22,9 timer vil plnten netto udlede enheder CO 2 t 1. I det smlede hele vil plnten netto forbruge enheder CO 2 t 1. Dette ses illustreret på figur 14, hvor der også er medtget Riemnn summer. II Beregninger på et dige Digets funktioner Et dige hr et tværsnit som ses illustreret på figur 15. Vi får oplyst t diget udgøres f en ret linje med hældningen 45 der går igennem punkterne A(, ) og B(3, 3), en prbelbue som går igennem punkterne B(3, 3) og C(6, 7) og en linje med hældningen 153, 43, som går igennem punkterne C kun er oplyst i x og D, hvor D er helt ukendt. For t løse denne opgve strter vi med t finde hældningskoefficienterne til de to linjer, d vi ved t disse er rette. Hældning for linjen AB er d = tn(vinkel) = tn(45 ) = 1 Ligeledes findes hældningen for linjen DC = tn(153, 43 ) =, 51 26

28 Figur 14: Riemnnsummer og integrtion f funktionen for plntens CO2 udledning. Figur 15: Skitse f et dige. 27

29 og f(3) = 1x + b f(6) = (, 51)x + b Altså ved vi t ved vi t ved punktet B(x = 3) er en hældning på 1 og ved punktet C(x = 6) er en hældning på, 51. Disse kombinerer vi nu til 2 nye punkter (3, 1) og (6,.51), for t få muligheden for t finde en forskrift for en linje BC. = y 2 y 1 =.51 1 x 2 x =.5 Jeg kn ligeledes finde b ved t bruge hældningen for linjen og strtpunktet (3, 1) b = y 1 x 1 = 1 (.5) 3 = 2.5 D vi nu hr fundet et udtryk for grfens hældning, ltså dens udvikling, vil vi integrere funktionen, for t få selve udtrykket for grfen. Vi benytter her t f (x) dx = f(x). (, 5x + 2, 5) dx =.25x x + c Hvis vi benytter os f punktet (3, 3), kn vi finde tllet c. 3 =.25(3) (3) + c c = 2.25 Vi kn nu dnne vores endelige udtryk f(x) =.25x x 2.25 For t finde det punkt som linjen DC går igennem, skl vi først kende y-koordinten i punktet C. Vi fndt før et udtryk som går igennem både B og C og derfor kn vi indsætte x = 6, for t finde den korrekte y-værdi. For t finde linjen DC s b f(6) =.25(6) (6) 2.25 = 3.75 b = 3.75 (.51) 6 = 6.75 Vi kn nu opstille funktionen for linjen DC, som bliver f(x) =.51x Funktionen for linjen AB er f(x) = 1x +, d linjen strter i y =. Funktionen for prblen er f(x) =.25x x

30 Digets højde For t finde det punkt hvor diget stdig kn holde vndet ude, vil vi finde det lokle mksimum til grfet for f(x) =.25x x Vi plotter denne funktion ind i Mple og kommer frem til denne grf, ved hjælp f Curve nlysis funktionen (fig. 16). Vi lder Mple udregne mksimum som Figur 16: Plot f dige hvor mksimum kn ses. fås til y er 4, når x er 5. Altså er højden f diget 4 meter og vndstnden må d ikke overstige dette. Digets tværsnitsrel For t finde digets tværsnitsrel, løser vi de bestemte integrler for de tre funktioner for digets udformning. D får vi: Arelet under kurven for f(x) = 1x + er 3 (1x + ) dx = [ ] x2 = [4.5] [] = 4.5m 2 Arelet under kurven for f(x) =.25x x 2.25 er 6 3 (.25x x 2.25) dx = [ x x x ] 6 3 = [13.5] [2.25] = 11.25m 2 29

31 Arelet under den sidste linje DC kræver først t vi finder x-værdien, når y = = (.51x ) dx =.51 = Altså skl vi finde det bestemte integrle (.51x ) dx = [.255 x x ] = [45.55] [31.5] = 14.5m 2 Vi benytter indskudsreglen, til t beregne det smlede tværsnitsrel for diget (fig. 17). Vi får: A dige = 3 (1x + ) dx + 6 = [4.5m 2 ] + [11.25m 2 ] + [14.5] = 29.8m 3 3 (.25x x 2.25) dx (.51x ) dx Det smlede tværsnitsrel er 29.8m 2. Gennemregning med Mple giver det smlede rel Vi kn dermed konkludere t vores udregnede resultt er rimelig godt. Figur 17: Smling f de tre Riemnnplots for diget. 3

32 Littertur [1] Jens Crstensen, Jesper Frndsen og Jens Studsgrd. Mt B (hf). Systime, 1. udgve, 27. [2] Jens Crstensen, Jesper Frndsen og Jens Studsgrd. Mt B til A (stx). Systime, 2. udgve, 28. [3] Clus Jessen, Peter Møller og Flemming Mørk. Integrlregning og sndsynlighedsregning. Gyldendl, 1. udgve, [4] Tom Lindstrøm. Klkulus. Universitetsforlget, 3. udgve,