Matematikprojekt. Integralregning. Lavet af Arendse Morsing Gunilla Olesen Julie Slavensky Michael Hansen. 15 Oktober 2010

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Matematikprojekt. Integralregning. Lavet af Arendse Morsing Gunilla Olesen Julie Slavensky Michael Hansen. 15 Oktober 2010"

Transkript

1 Mtemtikprojekt om Integrlregning Lvet f Arendse Morsing Gunill Olesen Julie Slvensky Michel Hnsen 15 Oktober 21

2 Indhold I Del I Generelt om stmfunktioner og integrler II Regneregler for ubestemte integrler III Integrtion ved substitution IV Bestemte integrler V Indskudsreglen VI Prtiel integrtion II Del I Volumen f en kegle og en keglestub II Objektet til en funktion f(x) III Volumen f et 5cm højt omdrejningslegeme III Del I Grønne Plnter II Beregninger på et dige

3 Figurer 1 Kontinuitet og integrtion Illustrtion f indskudsreglen Arelet f en cylinder inddelt i intervller Volumen f en vse Hældningen f en linje Hældningen for en linje med strtværdi r Screenshot f Mple s VoR menu Volumen f funktionen f(x) = 1, x 4 + 9, x 3, 176x 2 +, 8225x + 37, Volumen til funktionen, med Riemnnsummer Riemnnsummer til funktionen f(x) Plot f Mple s volumeberegning Grf for CO 2 udledning fr grøn plnte Arelkurve for grfen for en grøn plntes CO 2 udledning Riemnnsummer og integrtion f funktionen for plntens CO 2 udledning Skitse f et dige Plot f dige hvor mksimum kn ses Smling f de tre Riemnnplots for diget

4 I Del 1 I Generelt om stmfunktioner og integrler Vi skl i denne del komme med en række generelle og senere, mere specifikke forklringer på hvd der mener med integrtionsregning. Vi vil til t strte med komme med en generel definition på en stmfunktion. Stmfunktion og ubestemt integrle Definition 1 At finde en stmfunktion er det modstte f t differentiere. Vi siger t, F(x) er stmfunktion til f(x) Vi skriver: F (x) = f(x)dx = F (x) + k k er i dette tilfælde en vilkårlig konstnt. Stmfunktionen er et vigtigt redskb både i integrleregning og differentileregning. Sætning 1 (Sætning om stmfunktion) Vi siger t F (x) er stmfunktion til f(x) hvis og kun hvis F (x) = f(x). Der gælder derfor f(x)dx = F (x) F (x) = f(x) Bevis. Vi lder F (x) og G(x) være stmfunktioner til f(x) og lder H(x) = F (x) G(x). Hvis vi differentierer ser vi t H (x) = F (x) G (x) = f(x) f(x) = Mn kn konkludere t H(x) er en konstnt funktion dvs. et tl. Det kn vises t lle kontinuerte funktioner hr stmfunktioner. Vi viser nu et simpelt eksempel på en stmfunktion. Stmfunktionen F (x) = x 4 hr differentilkvotienten F (x) = 4x 3 og stmfunktionen F (x) = x hr differentilkvotienten F (x) = 4x 3. Så både F (x) = x 4 og F (x) = x er stmfunktioner til f(x) = 4x 3. 1 En stmfunktion til f(x) kldes også det ubestemte integrle og skrives f(x)dx. Mn skelner mellem to måder t bruge integrtion på, nemlig bestemte og ubestemte integrler. Senere vil vi forklre hvd der menes med 1 d F (x) = f(x) 3

5 et bestemt integrle og smmenhængen mellem bestemte og ubestemte integrler. Først vil vi forklre hvd der menes med ubestemte integrler. Definition 2 (Definitionen f et ubestemt integrle) Stmfunktionerne til en funktion f(x) betegnes som f(x)dx = F (x) + k dette kldes det ubestemte integrle og f(x) er integrnden. F(x) er stmfunktionen og k er en vilkårlig konstnt. Et eksempel: 1 dx = ln(x) + k, x > x Regneregler Der gælder desuden regneregler for ubestemte integrler: 1. f(x)dx = F (x) + c, hvor F (x) er stmfunktion til f(x) 2. k f(x)dx = k f(x)dx. Den viser t mn kn sætte en konstnt k udenfor. 3. (f(x) + g(x))dx = f(x)dx + g(x)dx. Mn kn dele integrlet op og integrere hver for sig. I dette tilfælde lægger mn smmen til sidst. 4. (f(x) g(x))dx = f(x)dx g(x)dx. Det smme gælder som i regneregel 3, mn trækker bre fr. Integrtionsprøven Ved integrtionsprøven menes der t mn hr fundet en stmfunktion F (x) til f(x) og ønsker t undersøge om den er rigtig, ved t differentiere F (x). Mn kn sige t en funktion hr uendelig mnge stmfunktioner fordi hvis mn differentierer en konstnt giver det nul, så mn kn i princippet lægge uendelig mnge konstnter til en given stmfunktion og stdig få den smme funktion. Der gælder en sætning Sætning 2 (Sætning om integrtionsprøven) Hvis F(x) er en stmfunktion til f(x) så er G(x) = F (x) + k også en stmfunktion til f(x). 4

6 Bevis. Dette kn bevises ved hjælp f integrtionsprøven og vi får vi kn nu differentiere ledvis og får G (x) = (F (x) + k) F (x) + = F (x) = f(x) Kontinuitet Funktioner skl være kontinuerte i intervllet [; b], fordi ellers kn mn ikke integrere eller differentiere dem. Overordnet er det vigtigt t integrler er Figur 1: Kontinuitet og integrtion kontinuerte i det intervl mn ønsker t integrere, d integrtion og differentition hænger tæt smmen. Mn kn ikke finde en differentilkvotient til en ikke-kontinuert funktion. Mn kn derimod godt integrere en funktion som ikke er kontinuert i hele sit intervl, men kontinuert i dele f intervllet. En funktion som er kontinuert i [; b] og [c; d], hvor b c. Til dette kn mn benytte indskudsreglen, som vi vil gøre rede for senere. Stmfunktioners konstnt-forskel Et funktion kn hve vilkårligt mnge stmfunktioner. Derfor skriver vi t lle ubestemte integrler udgøres f stmfunktionen F (x) og en vilkårlig konstnt k og skrives f(x)dx = F (x) + k. 5

7 Sætning 3 Forskellen imellem to stmfunktioner er konstnten k. Vi skriver t hvis F 1 (x) og F 2 (x) begge er stmfunktioner til f(x) så er F 1 (x) F 2 (x) = k med dette menes der t forskellen mellem F 1 (x) og F 2 (x) er en konstnt. Bevis. Vi beviser sætningen ved t vise t under differentition, vil konstnten blive. (F 1 (x) F 2 (x)) = F 1(x) F 2(x) = f(x) f(x) = F 1 (x) F 2 (x) = k Derfor kn en funktion også hve vilkårligt mnge stmfunktioner. II Regneregler for ubestemte integrler Subtrktion f ubestemte integrler Sætning 4 (Subtrktion f ubestemte integrler) Mn kn trække to ubestemte integrler fr hinnden, ved t integrere leddene enkeltvis og subtrhere. Vi skriver (f(x) g(x))dx = f(x)dx g(x)dx Bevis. Vi udregner venstre side f lighedstegnet (f(x) g(x))dx = [F (x) G(x)] = F (x) G(x) Dernæst højre side f(x)dx g(x)dx = [F (x)] [G(x)] = F (x) G(x) Sætningen er bevist. 6

8 Integrtion f produktet, f en konstnt og en funktion Sætning 5 (Integrtion f produktet, f en konstnt og en funktion) Når mn integrerer produktet f en konstnt og en funktion, kn mn trække konstnten udenfor integrlet, integrere funktionen og så multiplikere. Vi skriver k f(x)dx = k f(x)dx Bevis. Hvis F er stmfunktionen til f, er kf en stmfunktion til kf. Vi udregner venstre side k f(x)dx = [kf (x)] = kf (x) kf (x) og dernæst højre side k f(x)dx = k[f (x)] = k(f (x) F (x)) Nu er venstre og højre side ens og beviset er færdigt III Integrtion ved substitution Der findes ingen generelle regler for hvordn mn kn udregne produktet og differensen f et integrle. En f måderne til t bestemme differensen, er ved integrtion ved substitution. Sætning 6 (Integrtion ved substitution) Når mn skl integrere en smmenst funktion, kn mn integrere ved t substituere et led ud og differentiere det. Der gælder t f(g(x))g (x)dx = f(t)dt = F (t) + k = F (g(x)) + k Denne sætning kn betegnes som integrtion ved substitution. Her gælder t t = g(x) og F er en stmfunktion til f. Bevis. Som tidligere skrevet betegner vi en stmfunktion til f med F, dvs. F (x) = f(x). Vi bruger reglen for differenttionen f smmenst funktion og får den fledede F g (F g) (x) = F (g(x)) g (x) = f(g(x)) g (x) 7

9 Nu bruger vi integrletegnet og omskriver til f(g(x)) g (x)dx = F (g(x)) Vi ersttter g(x) til t og får f(t) dt = F (t) Denne metode bruges til bestemmelse f stmfunktionen til smmenstte funktioner og den kldes som sgt integrtion ved substitution fordi vi ersttter dele f integrnden med t.[1, 2] IV Bestemte integrler Definition f bestemte integrler Definition 3 (Definitionen f bestemte integrler) Ld f være kontinuert i intervllet [;b] med stmfunktionen F. Ved det bestemte integrl f f, fr til b, forstås tllet F (b) F () Og vi skriver f(x)dx = [F (x)] b = F (b) F () Mere overordnet hr vi nlysens fundmentlsætning 2 Sætning 7 (Anlysens fundmentlsætning) Antg t f : [; b] R er kontinuerlig. D vil f være integrbel i ethvert intervl [; x], hvis x b og funktionen F (x) = vil være en stmfunktion til f i [; b] x f(t) dt Vi vil ikke bevise denne sætning, men henlede til t defititionen f det bestemte integrle er udledt f nlysens fundmentlsætning. Denne sætning blev udledt f Newton og Liebniz og er den mest grundlæggende sætning indenfor infinitisiml regningen. 2 Vi synes det lyder pænere end bre sætning et-eller-ndet. På engelsk hedder den Fundmentl Theorem of Clculus. 8

10 Regneregler for bestemte integrler Regnereglerne for bestemte integrler minder meget om de tilsvrende for ubestemte integrler. Flg. gælder: (f(x) + g(x)) dx = (f(x) g(x)) dx = (k f(x)) dx = k f(x) dx + f(x) dx g(x) dx g(x) dx f(x) dx, hvor k er et tl Udregning f visse bestemte integrler kn udføres ved substitution. D gælder flg. sætning: Definition 4 (Sætning om integrtion ved substitution) Ld g være differentibel med den fledede g og f kontinuert. Så gælder der t f(g(x)) g (x) dx = g(b) g() ft dt Forskellen imellem bestemt og ubestemt integrle Det ubestemte integrl f f er defineret ved stmfunktionen F: F (x) = fx dx F (x) = f(x) Herved bestemmer mn ltså en stmfunktion. Ved det bestemte integrl bestemmes værdien under grfkurven i intervllet [; b]. Den værdi mn udregner ved det bestemte integrle kn enten fortolkes som integrlets værdi. Herved kn det tge lle reelle tl f(x) dx = R. Fortolker mn derimod integrlets værdi som relet under kurven, så kn denne kun ntge positive tl A = f(x) dx >. 9

11 Bevis for integrtion f subtrktion, f et bestemt integrle Når mn subtrherer et bestemt integrle kn mn integrere ledvist og dernæst subtrhere og der gælder flg. sætning Sætning 8 (Sætning om ledvis integrtion, ved subtrktion) Hvis F og G er stmfunktioner til f og g, ved vi, t F - G er en stmfunktion til f - g, gælder der t (f(x) g(x)) dx = f(x) dx g(x) dx Bevis. For t bevise, t de to sider f lighedstegnet er ens, udregnes først venstre side: (f(x) g(x)) dx = [F (x) G(x)] b = [F (b) G(b) F () G()] Dernæst venstre side: f(x) dx Vi ser, t siderne er ens: g(x) dx = [F (x)] b [G(x)] b = [F (b) F ()] [G(b) G()] F (b) F () G(b) G() = F (b) F () G(b) G() hvormed sætningen er bevist. Sætningen om ledvis integrtion bruges til t bestemme relet f et område begrænset f to funktioner. V Indskudsreglen Hvis mn ønsker t bestemme et integrle i intervllet [; b], kn mn dele intervllet op i delintervller [; c] og [c; b]. Denne regel kldes for indskudsreglen, d mn skyder tllet c ind imellem og b. Der gælder sætningen Sætning 9 (Sætning om indskudsreglen) Hvis integrtionsintervllet for en kontinuert funktion f er [; b], kn det deles op i to intervller [; c] og [c; b], og integrtionen kn foretges i hvert intervl særskilt. Ld f være begrænset i intervllet I = [; b], så er f integrbel i I. Ld c være et tl i det åbne intervl ]; b[ og f er integrbel i [; b] f er integrbel i [; c] [c; b] D hr vi t f(x)dx = c f(x)dx + 1 c f(x)dx

12 Bevis. Vi bruger definitionen for det bestemte integrle: c f(x) dx + c f(x) dx = [F (x)] c + [F (x)] b c = [F (c) F ()] + [F (b) F (c)] = F (b) F () = f(x) dx hvormed sætningen er bevist. [1, 2]. Dette ses illusteret på figur 2. Figur 2: Illustrtion f indskudsreglen For t fuldende beviset vil mn gøre rede for t f er integrbel i intervllet [; b] og t f er integrbel i intervllerne [; c] og [c; b]. Dette kn mn gøre ved t benytte oversummer og undersummer og ε δ definitionerne. Det gør vi dog ikke her[3]. VI Prtiel integrtion Vi oplyste tidligere t der ikke findes generelle regler for integrtion f produkter og integrtion f smmenstte funktioner og gjorde tidligere rede for 11

13 udregningen f integrtion med substitution. Vi vil her gøre rede for prtiel integrtion. Prtiel integrtion er også kendt som delvis integrtion. Beviset for prtiel integrtion føres vi differentition f smmenstte funktioner. Sætning 1 (Prtiel integrtion f ubestemt integrle) Hvis funktionerne f og g er definerede i intervllet [; b] og f er kontinuert med stmfunktionen F(x), g er differentibel og g er kontinuert, d gælder der f(x) g(x) dx = F (x) g(x) F (x) g (x) dx Bevis. Vi foretger først en omskrivning f reglen om differentilkvotienten f et produkt f to funktioner, sådn t hvis F(x) er en stmfunktion til f(x) og g er differentibel, så kn vi differentiere funktionen F (x) g(x). ((F (x) g(x)) = F (x) g(x) + F (x) g (x) = f(x) g(x) + F (x) g (x) Dette kn videre omformes til f(x) g(x) = ((F (x) g(x)) F (x) g (x) D g er kontinuert, er F (x) g (x) integrbel og vi kn d benytte regnereglerne for ubestemte integrler og får f(x) g(x) = ((F (x) g(x)) F (x) g (x)dx = ((F (x) g(x)) dx F (x) g (x) dx = F (x) g(x) F (x) g (x) dx og sætningen er hermed bevist Der findes også en sætning om prtiel integrtion f et bestemt integrle. Der gælder denne sætning: Sætning 11 (Prtiel integrtion f bestemt integrle) Hvis funktionerne f og g er definerede i intervllet [; b] og f er kontinuert med stmfunktionen F(x), g er differentibel og g er kontinuert, d gælder der f(x) g(x) dx = [ F (x) g(x) ] b F (x) g (x) dx 12

14 Bevis. Først bemærkes det, t der gælder t f(x) dx = [f(x) dx] b og dette udnytter vi i vores videre udregning f det bestemte integrle f(x) g(x) dx vi vores sætning om prtiel integrtion f det ubestemte intgrle. [ ] b f(x) g(x) dx = F (x) g(x) F (x) g (x) = [F (x) g(x)] b [ F (x) g (x) dx = [F (x) g(x)] b F (x) g (x) dx ] b og sætningen er bevist. Disse sætninger om prtiel integrtion kn benytte i tilfælde hvor det er lettere t bestemme en stmfunktion til funktionen F (x) g (x) end t bestemme stmfunktionen til den oprindelige funktion f(x) g(x). Vi viser her et eksempel For t udregne det ubestemte integrl cos(x) x dx, bruger vi prtiel integrtion. Vi ser t der gælder t hvis f(x) = cos(x) er F (x) = sin(x) og ligeledes er g (x) = 1 når g(x) = x. Vi får d: cos(x) x dx = sin(x) x sin(x) 1 dx = x sin(x) 1 sin(x) dx = x sin(x) + cos(x) + c II Del 2 Sætning om volumenintegrle Sætning 12 Ld f være en kontinuert, ikke-negtiv funktion i intervllet [; b]. Det omdrejningslegeme der fremkommer ved t dreje området mellem x-ksen og grfen 13

15 for f, 36 om x-ksen, hr rumfnget V = π f(x) 2 dx Bevis. Vi benytter sætningen om definitionen f et integrle som en sum f overog undersummer, og deler derfor intervllet [; b] op i et små del-intervller x 1, x 2,, x n. Mn ser d t det i te intervl, som ligger imellem x i 1 og x i, indeholder en cylinder med rdius m i og er indeholdt i en cylinder med rdius M i, som kn ses på figur 3. Vi ved t volumen for en cylinder er givet ved V = πr 2 h. Figur 3: Arelet f en cylinder inddelt i intervller Vi ser her t rdius for skiverne er hhv. M i og m i og højden er x i x i 1. Volumen til skiven vil d ligge imellem volumen til den indre cylinder πm 2 i (x i x i 1 ) og volumen til den ydre cylinder πm 2 i (x i x i 1 ) og vi kn d opstille følgende ulighed n πm 2 i (x i x i 1 ) V totl i=1 n πmi 2 (x i x i 1 ) i=1 Overst betyder dette t vi tger volumet til hver f de små cylindre i intervllet [; b] og summer dem smmen.[4] Vi ser d ud fr figuren, t den bedste pproximering f dette volume opnås ved t lde M i og m i gå mod hinnden, 14

16 Figur 4: Volumen f en vse. hvor Mi bliver mindre og mi bliver større. Ved denne process opnår vi det der kldes en middelsum som også er illustreret på figur 4.[2] Vi ser t middelsummen nu bliver en meget tæt pproximering f funktionen πf (x)2. Smtidig lder vi cylindrenes højde gå mod, ltså t xi 1 xi. D denne proces også svrer til t tge integrlet til en funktion, for t finde relet, så kn vi integrere funktionen og får dermed Z b V = πf (x)2 dx og vores sætning er bevist. I Volumen f en kegle og en keglestub Volumen for en kegle Vi strter med t bestemme volumen for en kegle. Volumen for en kegle kn beskrives som en lineær funktion der drejes om x ksen. Vores opgve bliver nu t finde et udtryk for denne lineære funktion. Forskriften for en linje i plnen er givet ved f (x) = x + b, hvor er hældningn og b er strtpunktet på y-ksen. D vi skl finde en kegle, vil det letteste være t lde linjen strte i y = og b går derfor ud. Vores opgve bliver nu t finde hældningen for linjen. Denne kn findes ved = y y x x 15

17 Figur 5: Hældningen f en linje. D både x = og y = og vi nu definerer højden ud f x-ksen og rdius ud f y-ksen, kn vi omskrive til = r h Vi kn nu opstille udtrykket for vores funktion, som vi vil finde volumen med. Vi substituerer h = x f(x) = r x x Benytter vi udtrykket for udregningen f volumen, finder vi t volumen for en kegle er givet ved V = πf(x) 2 dx = x π ( r x x ) 2 dx som vi nu skl løse. For t gøre vores udtryk lettere t rbejde med substituerer vi r x integrle bliver nu = og vores V = x = π x = π( 2 ) π(x) 2 dx ( 2 )x 2 dx (sætter π udenfor integrlet) x x 2 dx (sætter ( 2 ) udenfor integrlet) = π( 2 ) 1 3 x3 16

18 r 2 = π 1 3 x 2 x3 (Her ses hvorfor h skulle substitueres med x) = π 1 3 r2 x = π 1 3 r2 h (h substitueres tilbge istedet for x) og vi er hermed færdige. Udtrykket for volumen for en kegle er V = 1 3 πr2 h. Volumen for en keglestub Volumet for en keglestub kn findes på næsten smmen måde. Vi er dog udst for den udfordring, t vi ikke længere kn tillde os t sætte y = som strtværdi. Men vi benytter smme fremgngsmåde. Vi finder først hældningen. = r 2 r 1 h d højden stdig er udgjort ved (x x ) hvor x =. Figur 6: Hældningen for en linje med strtværdi r 1. Vi er nu klr til t opstille forskriften for linjens ligning. Vi substituerer igen h = x og får f(x) = r 2 r 1 x + r 1 x 17

19 d vores strtværdi nu er forskudt r 1 lngs y-ksen. Vi hr nu forskriften for linjens ligning og er klr til t opstille vores integrle. Vi tillder os igen, for t gøre regnerbejdet lettere, t substituere r 2 r 1 = og får x π(x+r x 1) 2 dx som vi nu løser V = = π = x x π(x + r 1 ) 2 dx 2 x 2 + 2xr 1 + r 2 1 [ π 1 ] x 3 2 x 3 + x 2 r + r 2 x = π 1 3 ( r2 r 1 h ) h 3 + ( r2 r 1 h (tger grænseværdierne for det bestemte integrle) ) h 2 r + r 2 h (Substituerer tilbge) = π 1 3 (r 2 r 1 ) 2 h + (r 2 r 1 )h r 1 + r 2 1 (Forkorter og reducerer) = π 1 3 ( (r2 r 1 ) 2 + (r 2 r 1 )r 1 + r 2 1) = π 1 3 h(r2 2 + r r 2 r 1 ) Vi er nu færdige og hr fundet t volumen for en keglestub er V = π 1 3 h(r2 2 + r r 2 r 1 ). II Objektet til en funktion f(x) Vi skl finde det objekt som fås ved t dreje grfen til funktionen f(x) = 1, x 4 + 9, x 3, 176x 2 +, 8225x + 37, 1571 omkring x-ksen. Dette gør vi ved t skrive funktionen ind i Mple, så progrmmet får mulighed for t omskrive funktionsudtrykket til sin egen syntx. Derefter mrkerer vi formlen og trykker copy (Ctrl-C). Herefter åbner vi 18

20 Tools Tutors Clculus - Single Vrible Volume of revolution og der dukker nu et vindue op, hvor vi hr mulighed for t indtste vores funktion og grænser for integrlet (fig. 7). π Figur 7: Screenshot f Mple s VoR menu. Hvis vi beder Mple om t finde et volumeplot f integrlet 2 1 ( 1, x 4 + 9, x 3, 176x 2 +, 8225x + 37, 1571 ) 2 dx fremkommer figur 8. Vi kn yderligere bede Mple om t skbe figuren ud fr Riemnn summer π ( 71, ) 4 5 i i=1 ( 71, ) 3 5 i + ( 71, ) i 25, , 99i 71 og vi får figur 9. III Volumen f et 5cm højt omdrejningslegeme Vi hr vi hjemmesiden https://www.mth.duke.edu/eduction/webfetsii/ gdrive/tema/ourpge.htm 19

21 Figur 8: Volumen f funktionen f(x) = 1, x 4 + 9, x 3, 176x 2 +, 8225x + 37, Figur 9: Volumen til funktionen, med Riemnnsummer 2

22 lvet x og y plots til overflden på en vse, hvor vi hr den ene hlvdel f vsen lngs x-ksen og bunden f vsen lngs y-ksen. Efter vi hr plottet disse punkter, sætter vi dem ind i Mple eller LM s regressionsmodel og får udtrykket f(x) =, x 4 +, x 3, 2895 x x+25, 45 som ved hjælp f Riemnnsummer giver figur 1. π Figur 1: Riemnnsummer til funktionen f(x) Vi kn nu opstille integrlet 2 (, x 4 +, x 3, 2895 x x + 25, 45 ) 2 dx som vi nturligvis løser, for t finde volumen. Men inden skl vi lige huske t vores figur er 2 pixel høj på billedet vi brugte, men er ltså kun 5 cm høj i virkeligheden. Ergo kn vi regne os frem til t der går 2 = 4pixels pr. 5 cm. V = π V = π 2 2 (, x 4 +, x 3, 2895 x x + 25, 45 ) 2 dx (8, x 8 9, x 7 +, x 6, x 5 +, x 4, x 3 +, x , 7378 x + 627, 252)dx V = π [ 8, x 9 1, x 8 +, x 7, x 6 +, x 5, 286 x 4 +, x x , 252 x ] 2 21

23 ( [2, V = π ] [ ]) V = 6, px 3 V = 6, px (D vores resultt er i kubikpixel) V = 1374 cm 3 Smmenligner vi med det udtryk Mple giver, hvis vi benytter VoR (fig. 7) til t beregne volumen giver den = 1374 cm 3, hvilket jo må siges t 4 3 være det smme. Mn kn se plottet på figur 11. Vi mener t vores resultt giver rimelig god mening. En 5cm høj vse kn trods lt indeholder en del vnd. Og indenfor den usikkerhed vores måling på hjemmesiden giver, så konkluderer vi t det er et rimeligt fornuftigt resultt. D én kubikcentimeter svrer til én ml kn vi komme frem til t vsen vil kunne indeholder 1374ml = 1, 4ltr. Dette lyder ikke helt urimeligt for en 1ml vse f den størrelse. III Del 3 I denne del f opgven vil vi rbejde med fortolkningen f integrler og nvendelsesmuligheder. I Grønne Plnter Vi skl i denne del rbejde med en model f fotosyntesen. Det er velkendt t plnter udnytter respirtion både i dgslys og om ntten, men kun kn udnytte fotosyntesen om dgen. Mn hr i et lbortorium lvet forsøg med en plntes CO 2 produktion over 24-timer. 3 Integrbilitet, fse og periode I et lbortorium er der lvet forsøg med en grøn plntes CO2 produktion i en 24 timers periode. Modellen for denne produktion i tid, er givet ved: ( f(x) = x sin 6 π x ), x Det er formodentlig vndpest, d denne plnte er ret let t rbejde med 22

24 Figur 11: Plot f Mple s volumeberegning 23

25 her beskriver f(x) hstigheden f plntens CO 2 -produktion (mængde f CO 2 pr. time) og x er tiden. (ntl timer efter forsøgets strt) Funktionen kn integreres fordi den er kontinuert og positiv i intervllet fr [; 24]. Pointen med t finde integrlet er jo netop t finde frem til tllet I, der er knyttet til en bestemt funktion f(x). Som eksemplet ovenover viser, kn vi ltså finde frem til F (x) til f(x), ltså en stmfunktion. Til lle kontinuerte funktioner kn mn finde stmfunktioner, også kldet et ubestemt integrl. Perioden for modellen beskriver, over hvor lng tid forsøget spndt sig over, ltså er perioden 24 timer og fsen beskriver svingningerne i plntens ktivitet, dg og nt, fordi plnten er fhængig f sollys for t kunne opretholde fotosyntesen. Vi kn her bruge en lille del f det vores første projekt hndlede om, nemlig udtrykket for sinus, som generelt skrives: A sin(bx + c) Hvor A er mplituden som bestemmer de udsving grfen lver, b beskriver perioden og c fseforskydningen, x er vores vribel og ltså stdig tiden (fig. 12) Figur 12: Grf for CO 2 udledning fr grøn plnte. Beregning f f(2) og f(6) Vi skl nu prøve t bruge f(x) ved nogle konkrete værdier indenfor intervllet, nemlig f(2) og f(6). Vi vil ltså gerne finde ud f hvor meget CO 2 plnten 24

26 hr produceret efter henholdsvis 2 og 6 timer. ( f(2) = 2 sin 6 π 2 ) = CO 2 t 1 12 ( f(6) = 6 sin 6 π 6 ) = CO 2 t 1 12 Vi kn vh. resultterne og grfen, udlede t der efter 2 timer bliver produceret CO 2 t 1 og dette stemmer også overens med t plnten vil befinde sig i mørke i dette tidsrum. Ligeledes ser vi t 6 timer efter forsøgets strt, udleder plnten ikke CO 2, hvilket jo også stemmer overens med vores oplysninger omkring fotosyntesen, d plnten her vil være i sollys. Her optges CO 2 t 1 og grfen er derfor i minus i f(6), hvor den forbruger mksimlt CO 2, hvorefter den grdvist begynder t stige igen. Det betyder t forbruget f CO2 flder, og dermed stiger grfen. Plnten vil til tiden f(1.9) forbruge den mængde CO 2 den udleder. Herefter vil den udlede mere end den forbruger i intervllet ]1.9; 22.9[. Dette kn ses på figur 13. Figur 13: Arelkurve for grfen for en grøn plntes CO 2 udledning. 25

27 Beregning f integrler for plntens udledning f CO 2 Vi forklrer nu 1.9 f(x) dx, 22.9 f(x) dx smt 24 f(x) dx i de respektive 1.9 intervller. I det første intervl fr [; 1, 9] kn vi udlede f grfen (fig.13) i intervllet t kurven ftger indtil [6] hvor den igen begynder t stige. Den forbliver dog i minus indtil den skærer x-ksen i 1.9. Kurven forholder sig i minus fordi plnten i dette intervl ikke udleder CO 2, men forbruger mere end den udleder. Værdien f integrlet 1.9 f(x) dx giver 1.9 ( x sin 6 π x ) dx = CO 2 t 1 12 Værdien f integrlet 22,9 f(x) dx giver 1,9 22,9 ( x sin 6 π x ) dx = CO 2 t ,9 Værdien f integrlet 24 f(x) dx giver 24 ( x sin 6 π x ) dx = CO 2 t 1 12 Fortolkning f disse integrler er således. I perioden til 1,9 timer vil plnten netto forbruge enheder CO 2 t 1. Dette er derfor i dgslys. I perioden 1,9 til 22,9 timer vil plnten netto udlede enheder CO 2 t 1. I det smlede hele vil plnten netto forbruge enheder CO 2 t 1. Dette ses illustreret på figur 14, hvor der også er medtget Riemnn summer. II Beregninger på et dige Digets funktioner Et dige hr et tværsnit som ses illustreret på figur 15. Vi får oplyst t diget udgøres f en ret linje med hældningen 45 der går igennem punkterne A(, ) og B(3, 3), en prbelbue som går igennem punkterne B(3, 3) og C(6, 7) og en linje med hældningen 153, 43, som går igennem punkterne C kun er oplyst i x og D, hvor D er helt ukendt. For t løse denne opgve strter vi med t finde hældningskoefficienterne til de to linjer, d vi ved t disse er rette. Hældning for linjen AB er d = tn(vinkel) = tn(45 ) = 1 Ligeledes findes hældningen for linjen DC = tn(153, 43 ) =, 51 26

28 Figur 14: Riemnnsummer og integrtion f funktionen for plntens CO2 udledning. Figur 15: Skitse f et dige. 27

29 og f(3) = 1x + b f(6) = (, 51)x + b Altså ved vi t ved vi t ved punktet B(x = 3) er en hældning på 1 og ved punktet C(x = 6) er en hældning på, 51. Disse kombinerer vi nu til 2 nye punkter (3, 1) og (6,.51), for t få muligheden for t finde en forskrift for en linje BC. = y 2 y 1 =.51 1 x 2 x =.5 Jeg kn ligeledes finde b ved t bruge hældningen for linjen og strtpunktet (3, 1) b = y 1 x 1 = 1 (.5) 3 = 2.5 D vi nu hr fundet et udtryk for grfens hældning, ltså dens udvikling, vil vi integrere funktionen, for t få selve udtrykket for grfen. Vi benytter her t f (x) dx = f(x). (, 5x + 2, 5) dx =.25x x + c Hvis vi benytter os f punktet (3, 3), kn vi finde tllet c. 3 =.25(3) (3) + c c = 2.25 Vi kn nu dnne vores endelige udtryk f(x) =.25x x 2.25 For t finde det punkt som linjen DC går igennem, skl vi først kende y-koordinten i punktet C. Vi fndt før et udtryk som går igennem både B og C og derfor kn vi indsætte x = 6, for t finde den korrekte y-værdi. For t finde linjen DC s b f(6) =.25(6) (6) 2.25 = 3.75 b = 3.75 (.51) 6 = 6.75 Vi kn nu opstille funktionen for linjen DC, som bliver f(x) =.51x Funktionen for linjen AB er f(x) = 1x +, d linjen strter i y =. Funktionen for prblen er f(x) =.25x x

30 Digets højde For t finde det punkt hvor diget stdig kn holde vndet ude, vil vi finde det lokle mksimum til grfet for f(x) =.25x x Vi plotter denne funktion ind i Mple og kommer frem til denne grf, ved hjælp f Curve nlysis funktionen (fig. 16). Vi lder Mple udregne mksimum som Figur 16: Plot f dige hvor mksimum kn ses. fås til y er 4, når x er 5. Altså er højden f diget 4 meter og vndstnden må d ikke overstige dette. Digets tværsnitsrel For t finde digets tværsnitsrel, løser vi de bestemte integrler for de tre funktioner for digets udformning. D får vi: Arelet under kurven for f(x) = 1x + er 3 (1x + ) dx = [ ] x2 = [4.5] [] = 4.5m 2 Arelet under kurven for f(x) =.25x x 2.25 er 6 3 (.25x x 2.25) dx = [ x x x ] 6 3 = [13.5] [2.25] = 11.25m 2 29

31 Arelet under den sidste linje DC kræver først t vi finder x-værdien, når y = = (.51x ) dx =.51 = Altså skl vi finde det bestemte integrle (.51x ) dx = [.255 x x ] = [45.55] [31.5] = 14.5m 2 Vi benytter indskudsreglen, til t beregne det smlede tværsnitsrel for diget (fig. 17). Vi får: A dige = 3 (1x + ) dx + 6 = [4.5m 2 ] + [11.25m 2 ] + [14.5] = 29.8m 3 3 (.25x x 2.25) dx (.51x ) dx Det smlede tværsnitsrel er 29.8m 2. Gennemregning med Mple giver det smlede rel Vi kn dermed konkludere t vores udregnede resultt er rimelig godt. Figur 17: Smling f de tre Riemnnplots for diget. 3

32 Littertur [1] Jens Crstensen, Jesper Frndsen og Jens Studsgrd. Mt B (hf). Systime, 1. udgve, 27. [2] Jens Crstensen, Jesper Frndsen og Jens Studsgrd. Mt B til A (stx). Systime, 2. udgve, 28. [3] Clus Jessen, Peter Møller og Flemming Mørk. Integrlregning og sndsynlighedsregning. Gyldendl, 1. udgve, [4] Tom Lindstrøm. Klkulus. Universitetsforlget, 3. udgve,

INTEGRALREGNING. Opgaver til noterne kan findes her. PDF. Facit til opgaverne kan hentes her. PDF. Version: 5.0

INTEGRALREGNING. Opgaver til noterne kan findes her. PDF. Facit til opgaverne kan hentes her. PDF. Version: 5.0 INTEGRALREGNING Version: 5.0 Noterne gennemgår egreerne: integrl og stmfunktion, og nskuer dette som et redsk til estemmelse f l.. reler under funktioner. Opgver til noterne kn findes her. PDF Fcit til

Læs mere

MM501 forelæsningsslides

MM501 forelæsningsslides MM501 forelæsningsslides uge 39, 009 Produceret f Hns J. Munkholm 1 Linerisering s. 66-67 Lineriseringen f f omkring x =, er den lineære funktion, der hr tngenten som grf. Klder mn den L er forskriften

Læs mere

Pointen med Integration

Pointen med Integration Pointen med Integrtion Frnk Nsser 20. pril 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun nvendes til undervisning i klsser som bonnerer på MtBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er en

Læs mere

Integralregning. 2. del. 2006 Karsten Juul

Integralregning. 2. del. 2006 Karsten Juul Integrlregning del ( ( 6 Krsten Juul Indhold 6 Uestemt integrl8 6 Sætning om eksistens stmunktioner 8 6 Oplæg til "regneregler or integrl"8 6 Regneregler or uestemt integrl 9 68 Foreredelse til "integrtion

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 17

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 17 Mtemtisk modellering og numeriske metoder Lektion 1 Morten Grud Rsmussen 8. november, 1 1 Numerisk integrtion og differentition [Bogens fsnit 19. side 84] 1.1 Grundlæggende om numerisk integrtion Vi vil

Læs mere

Integrationsteknikker

Integrationsteknikker Integrtionsteknikker Frnk Vill. jnur 14 Dette dokument er en del f MtBog.dk 8-1. IT Teching Tools. ISBN-13: 978-87-9775--9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion 1 Numerisk integrtion.1

Læs mere

Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. Integrationsprincippet og Keplers tønderegel

Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. Integrationsprincippet og Keplers tønderegel Integrtionsprincippet og Keplers tønderegel. side Institut for Mtemtik, DTU: Gymnsieopgve Integrtionsprincippet og Keplers tønderegel Littertur: H. Elrønd Jensen, Mtemtisk nlyse, Institut for Mtemtik,

Læs mere

Eksponentielle Sammenhænge

Eksponentielle Sammenhænge Kort om Eksponentielle Smmenhænge 011 Krsten Juul Dette hæfte indeholder pensum i eksponentielle smmenhænge for gymnsiet og hf. Indhold 1. Procenter på en ny måde... 1. Hvd er en eksponentiel smmenhæng?....

Læs mere

Potens- sammenhænge. inkl. proportionale og omvendt proportionale variable. 2010 Karsten Juul

Potens- sammenhænge. inkl. proportionale og omvendt proportionale variable. 2010 Karsten Juul Potens- smmenhænge inkl. proportionle og omvendt proportionle vrible 010 Krsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse f hæftet "Eksponentielle smmenhænge, udgve ". Indhold 1. Hvd er en potenssmmenhæng?...1.

Læs mere

Lektion 5 Det bestemte integral

Lektion 5 Det bestemte integral f(x) dx = F (b) F () Lektion 5 Det bestemte integrl Definition Integrlregningens Middelværdisætning Integrl- og Differentilregningens Hovedsætning Bereging f bestemte integrler Regneregler Arel mellem

Læs mere

Matematikkens sprog INTRO

Matematikkens sprog INTRO Mtemtikkens sprog Mtemtik hr sit eget sprog, der består f tl og symboler fx regnetegn, brøkstreger bogstver og prenteser På mnge måder er det ret prktisk - det giver fx korte måder t skrive formler på.

Læs mere

Lektion 7s Funktioner - supplerende eksempler

Lektion 7s Funktioner - supplerende eksempler Lektion 7s Funktioner - supplerende eksempler Oversigt over forskellige tper f funktioner Omvendt proportionlitet og hperler.grdsfunktioner og prler Eksponentilfunktioner Potensfunktioner Lektion 7s Side

Læs mere

ANALYSE 1, 2013, Uge 2

ANALYSE 1, 2013, Uge 2 ANALYSE 1, 2013, Uge 2 Forelæsninger Denne uges tem er uendelige rækker. Tirsdg: Tlrækker. En uendelig tlrække består ligesom en uendelig tlfølge f uendelig mnge tl. Forskellen mellem de to begreber består

Læs mere

Differential-kvotient. Produkt og marked - differential og integralregning. Regneregler. Stamfunktion. Lad f være en funktion - f.eks. f (x) = 2x 2.

Differential-kvotient. Produkt og marked - differential og integralregning. Regneregler. Stamfunktion. Lad f være en funktion - f.eks. f (x) = 2x 2. Differentil-kvotient Ld f være en funktion - f.eks. f (x) = 2x 2. Produkt og mrked - differentil og integrlregning Rsmus Wgepetersen Institut for Mtemtiske Fg Alborg Universitet Februry 14, 2014 Differentilkvotienten

Læs mere

1 1 t 10 1. ( ) x 2 4. + k ================= sin( x) + 4 og har graf gennem (0,2), dvs F(0) = 2. + 4x + k

1 1 t 10 1. ( ) x 2 4. + k ================= sin( x) + 4 og har graf gennem (0,2), dvs F(0) = 2. + 4x + k 0x-MA (0.0.08) _ opg (3:07) Integrtion ved substitution ( x + 7) 9 t x + 7 > t 9 t 0 + k 0 0 ( x + 7)0 + k b) x x + 4 t x + 4 > 3 x t t t x 3 t x x + k 3 t t + k ( ) x 4 3 x + 4 + + k c) cos( x)

Læs mere

... ... ... ... ... ... ... b > 0 og x > 0, vil vi kalde en potensfunktion. 492 10. Potensfunktioner

... ... ... ... ... ... ... b > 0 og x > 0, vil vi kalde en potensfunktion. 492 10. Potensfunktioner POTENSFUNKTIONER 0 49 0. Potensfunktioner POTENSFUNKTIONER DEFINITION En funktion med forskriften f( )= b hvor b > 0 og > 0 vil vi klde en potensfunktion. I MAT C kpitel så vi t hvis skl være et vilkårligt

Læs mere

Planintegralet. Preben Alsholm 5. maj 2008. 1.1 Integralet af en funktion af én variabel. 1, x i ] et tal t i. Summen. n f (t i ) (x i x i 1 ) R =

Planintegralet. Preben Alsholm 5. maj 2008. 1.1 Integralet af en funktion af én variabel. 1, x i ] et tal t i. Summen. n f (t i ) (x i x i 1 ) R = Plnintegrlet Preben Alsholm 5. mj 8 Plnintegrlet. Integrlet f en funktion f én vribel et bestemte integrl efinition Ld f være en funktion defineret på intervllet [ b]. Ld = x x... x n = b være en inddeling

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningseskrivelse Stmoplysninger til rug ved prøver til gymnsile uddnnelser Termin Juni 2016 Institution Uddnnelse Fg og niveu Lærere Hold Fvrskov Gymnsium Stx Mtemtik A Peter Lundøer (Lu) 3k Mtemtik

Læs mere

ANALYSE 1, 2014, Uge 3

ANALYSE 1, 2014, Uge 3 ANALYSE 1, 2014, Uge 3 Forelæsninger Tirsdg. Vi generliserer tlrækker til funktionsrækker ved t udskifte tllene med funktioner (TL Afsnit 12.5). Det svrer til forrige uges skridt fr tlfølger til funktionsfølger.

Læs mere

Differentialregning. integralregning

Differentialregning. integralregning Differentilregning og integrlregning Ib Micelsen Ikst 013 Indoldsfortegnelse Tegneøvelser...3 Introduktion... Definition f differentilkvotient og tngent...6 Tngentældninger...7 Den fledte funktion...7

Læs mere

Eksamen Analyse 1, Juni 2015, Besvarelse 1. Opgave 1. ( ln x) q x p dx =

Eksamen Analyse 1, Juni 2015, Besvarelse 1. Opgave 1. ( ln x) q x p dx = Eksmen Anlyse, Juni 25, Besvrelse Ld p >, q, og r. Opgve () Vis t integrlet ( ln x)r x p dx konvergerer. [Vink: Smmenlign med x s for pssende vlgt s.] ( ln x)q x p dx. [Vink: Anvend (b) Bevis formlen (

Læs mere

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe den første opgave af hvert emne over.

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe den første opgave af hvert emne over. Opsmling Hvis mn ønsker mere udfordring, kn mn springe den første opgve f hvert emne over Brøkregning, prentesregneregler, kvdrtsætningerne, potensregneregler og reduktion Udregn nedenstående tl i hånden:

Læs mere

Trigonometri. Matematik A niveau

Trigonometri. Matematik A niveau Trigonometri Mtemtik A niveu Arhus Teh EUX Niels Junge Trigonometri Sinus Cosinus Tngens Her er definitionen for Cosinus Sinus og Tngens Mn kn sige t osinus er den projierede på x-ksen og sinus er den

Læs mere

Trigonometri. Trigonometri. Sinus og cosinus... 2 Tangens... 6 Opgaver... 9. Side 1

Trigonometri. Trigonometri. Sinus og cosinus... 2 Tangens... 6 Opgaver... 9. Side 1 Trigonometri Sinus og osinus... 2 Tngens... 6 Opgver... 9 Side Sinus og osinus Til lle vinkler hører der to tl, som kldes osinus og sinus. Mn finder sinus og osinus til en vinkel ved t tegne vinklen midt

Læs mere

Potens regression med TI-Nspire

Potens regression med TI-Nspire Potensvækst og modellering - Mt-B/A 2.b 2007-08 Potens regression med TI-Nspire Vi tger her udgngspunkt i et eksempel med tovværk, hvor mn får oplyst en tbel over smmenhængen mellem dimeteren (xdt) i millimeter

Læs mere

Krumningsradius & superellipsen

Krumningsradius & superellipsen Krumningsrdius & suerellisen Side /5 Steen Toft Jørgensen Krumningsrdius & suerellisen Formålet med dette mini-rojekt er t erhverve mtemtisk viden om krumningsrdius f en kurve og nvende denne viden å det

Læs mere

Om Riemann-integralet. Noter til Matematik 1

Om Riemann-integralet. Noter til Matematik 1 Om Riemnn-integrlet. Noter til Mtemtik 1 Jon Johnsen Institut for Mtemtiske Fg, Alborg Universitet Fredrik Bjers Vej 7G, 9220 Ålborg Ø 3. december 2001 1 Indledning Integrlregning går tilbge til Newtons

Læs mere

Kort om Potenssammenhænge

Kort om Potenssammenhænge Øvelser til hæftet Kort om Potenssmmenhænge 2011 Krsten Juul Dette hæfte indeholder bl.. mnge småspørgsmål der gør det nemmere for elever t rbejde effektivt på t få kendskb til emnet. Indhold 1. Ligning

Læs mere

Matematik B-A. Trigonometri og Geometri. Niels Junge

Matematik B-A. Trigonometri og Geometri. Niels Junge Mtemtik B-A Trigonometri og Geometri Niels Junge Indholdsfortegnelse Indledning...3 Trigonometri...3 Sinusreltionen:...6 Cosinusreltionen...7 Dobbeltydighed...7 Smmendrg...8 Retvinklede treknter...8 Ikke

Læs mere

Stamfunktion & integral

Stamfunktion & integral PeterSørensen.dk Stmfunktion & integrl Indhold Stmfunktion... Integrl (Uestemt integrl)... 2 Det estemte integrl... 2 Arel og integrl... Regneregler for estemte integrler... Integrler / stmfunktioner kn

Læs mere

Regneregler for brøker og potenser

Regneregler for brøker og potenser Regneregler for røker og potenser Roert Josen 4. ugust 009 Indhold Brøker. Eksempler......................................... Potenser 7. Eksempler......................................... 8 I de to fsnit

Læs mere

Arctan x = x x3 3 + x5 (En syvende berømt række er binomialrækken, [S] 8.8.) Eksempel

Arctan x = x x3 3 + x5 (En syvende berømt række er binomialrækken, [S] 8.8.) Eksempel Oversigt [S] 8.5, 8.6, 8.7, 8.0 Nøgleord og begreber Seks berømte potensrækker Potensrække Konvergensrdius Differentition og integrtion f potensrækker Tylor og McLurin rækker August 00, opgve 4 Den geometriske

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C POTENS-SAMMENHÆNG

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C POTENS-SAMMENHÆNG ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C POTENS-SAMMENHÆNG INDHOLDSFORTEGNELSE 1 Formelsmling... side 2 Uddbning f visse formler... side 3 2 Grundlæggende færdigheder... side 5 2 Finde konstnterne og b i en formel...

Læs mere

TAL OG BOGSTAVREGNING

TAL OG BOGSTAVREGNING TAL OG BOGSTAVREGNING De elementære regnerter I mtemtik kn vi regne med tl, men vi kn også regne med bogstver, som gør det hele en smugle mere bstrkt. Først skl vi se lidt på de fire elementære regnerter,

Læs mere

Dæmonen. Efterbehandlingsark C. Spørgsmål til grafen over højden.

Dæmonen. Efterbehandlingsark C. Spørgsmål til grafen over højden. Efterbehndlingsrk C Dæmonen Nedenfor er vist to grfer for bevægelsen i Dæmonen. Den første grf viser hvor mnge gnge du vejer mere eller mindre end din normle vægt. Den nden grf viser højden. Spørgsmål

Læs mere

MATEMATISK FORMELSAMLING

MATEMATISK FORMELSAMLING MATEMATISK FORMELSAMLING GUX Grønlnd Mtemtisk formelsmling til B-niveu, GUX Grønlnd Deprtementet for uddnnelse 05 Redktion: Rsmus Andersen, Jens Thostrup MtemtiskformelsmlingtilB-niveu GUX Grønlnd FORORD

Læs mere

1 Plan og rumintegraler

1 Plan og rumintegraler 1 PLAN OG RUMINTEGRALER 1 1 Pln og rumintegrler Ligesom for funktioner f en vribel kn mn for kontinuerte funktioner f flere vrible definere deres integrle. Vi vil her kun beskæftige os med funktioner f

Læs mere

Bogstavregning. for gymnasiet og hf Karsten Juul. a a

Bogstavregning. for gymnasiet og hf Karsten Juul. a a Bogstvregning for gymnsiet og hf 010 Krsten Juul Til eleven Brug lynt og viskelæder når du skriver og tegner i hæftet, så du får et hæfte der er egenet til jævnligt t slå op i under dit videre rejde med

Læs mere

Formelsamling Matematik C Indhold

Formelsamling Matematik C Indhold Formelsmling Mtemtik C Indhold Eksempler på besvrelser, lin, eksp, pot, geo... Tl, regneopertioner og ligninger... 6 Ligninger... 7 Geometri... 0 Funktioner og modeller... 3 Lineær funktion... 3 Procentregning...

Læs mere

Matematik. Kompendium i faget. Tømrerafdelingen. 1. Hovedforløb. a 2 = b 2 + c 2 2 b c cos A. cos A = b 2 + c 2 - a 2 2 b c

Matematik. Kompendium i faget. Tømrerafdelingen. 1. Hovedforløb. a 2 = b 2 + c 2 2 b c cos A. cos A = b 2 + c 2 - a 2 2 b c Kompendium i fget Mtemtik Tømrerfdelingen 1. Hovedforlø. Trigonometri nvendes til eregning f snd længde og snd vinkel i profiler. Sinus Cosinus Tngens 2 2 + 2 2 os A os A 2 + 2-2 2 Svendorg Erhvervsskole

Læs mere

For så kan de to additionsformler samles i én formel, der kan ses som et specialtilfælde af den komplekse eksponentialfunktions funktionalligning,

For så kan de to additionsformler samles i én formel, der kan ses som et specialtilfælde af den komplekse eksponentialfunktions funktionalligning, 15.1. Komplekse integrler 293 læse, og hvordn gør mn det i prksis? Men den virkelige motivtion bg begrebet bliver udst til fsnit 18.5, hvor vi viser t foldning f sndsynlighedsmål lder sig udtrykke meget

Læs mere

Diverse. Ib Michelsen

Diverse. Ib Michelsen Diverse Ib Michelsen Ikst 2008 Forsidebilledet http://www.smtid.dk/visen/billede.php?billedenr69 Version: 0.02 (2-1-2009) Diverse (Denne side er A-2 f 32 sider) Indholdsfortegnelse Regning med procent

Læs mere

Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk. Erik Vestergaard, 2009.

Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk. Erik Vestergaard, 2009. Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk Erik Vestergrd, 009. Billeder: Forside: Collge f billeder: istock.com/titoslck istock.com/yuri Desuden egne fotos og illustrtioner Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk

Læs mere

3. Vilkårlige trekanter

3. Vilkårlige trekanter 3. Vilkårlige treknter 3. Vilkårlige treknter I dette fsnit vil vi beskæftige os med treknter, der ikke nødvendigvis er retvinklede. De formler, der er omtlt i fsnittet om retvinklede treknter, kn ikke

Læs mere

Eksamensopgave august 2009

Eksamensopgave august 2009 Ib Michelsen, Viborg C / Skive C Side 1 09-04-011 1 Eksmensopgve ugust 009 Opgve 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 13 14 15 16 17 18 19 0 1 Givet ovenstående ensvinklede treknter. D treknterne er ensvinklede, er

Læs mere

Formelsamling til Fourieranalyse 10. udgave

Formelsamling til Fourieranalyse 10. udgave Formelsmling til Fouriernlyse. udgve Kristin Jerslev og Steven Hyden 3. oktober 9 Her følger en formelsmling lvet til kurset Fouriernlyse på Arhus Universitet. Bemærk venligst, t smlingen indeholder sætninger

Læs mere

GrundlÄggende funktioner

GrundlÄggende funktioner GrundlÄggende funktioner for B-niveu i hf Udgve 014 Krsten Juul GrundlÄggende funktioner for B-niveu i hf Procent 1. Procenter på en ny måde... 1. VÄkstrte.... Gennemsnitlig procent... LineÄr väkst 4.

Læs mere

Du kan efter ønske opfatte integralet som et Riemann-integral eller et Lebesgue-integral (idet de to er identiske på C([a, b], C) jf. Theorem 11.8.

Du kan efter ønske opfatte integralet som et Riemann-integral eller et Lebesgue-integral (idet de to er identiske på C([a, b], C) jf. Theorem 11.8. Anlyse Øvelser Rsmus Sylvester Bryder. og 5. oktober 3 Supplerende opgve Ld C([, b], C) betegne rummet f lle kontinuerte funktioner f : [, b] C, hvor < b, og definér et indre produkt på C([, b], C) ved

Læs mere

Lektion 6 Bogstavregning

Lektion 6 Bogstavregning Mtemtik på Åbent VUC Lektion 6 Bogstvregning Formler... Udtryk... Ligninger... Ligninger som løsningsmetode i regneopgver... Simultion... Opsmlingsopgver... Lvet f Niels Jørgen Andresen, VUC Århus. Redigeret

Læs mere

Matematikkens mysterier - på et højt niveau. 3. Differentialligninger

Matematikkens mysterier - på et højt niveau. 3. Differentialligninger Mtemtikkens msterier - på et højt niveu f Kenneth Hnsen 3. Differentilligninger N N N 3 A A k k Indholdsfortegnelse 3. Introduktion 3. Dnmiske sstemer 3 3.3 Seprtion f de vrible 8 3.4 Vækstmodeller 8 3.5

Læs mere

Integralregning. Erik Vestergaard

Integralregning. Erik Vestergaard Integrlregning Erik Vestergrd Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk Erik Vestergrd, Hderslev 4 Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse. Indledning 4. Stmfunktioner 4. Smmenhængen

Læs mere

Ny Sigma 9, s Andengradsfunktioner med regneforskrift af typen y = ax + bx + c, hvor a 0.

Ny Sigma 9, s Andengradsfunktioner med regneforskrift af typen y = ax + bx + c, hvor a 0. Ny Sigm 9, s 110 Andengrdsfunktioner med regneforskrift f typen y = x + x + c, hvor 0 Lineære funktioner (førstegrdsfunktioner) med regneforskrift f typen y = αx + β Grfen for funktioner f disse typer

Læs mere

ALGEBRA. symbolbehandling). Der arbejdes med hjælpemiddelkompetencen,

ALGEBRA. symbolbehandling). Der arbejdes med hjælpemiddelkompetencen, INTRO Alger er lngt mere end ogstvregning. Alger kn være t omskrive ogstvtrk, men lger er f også t generlisere mønstre og smmenhænge, t eskrive smmenhænge mellem tlstørrelse f i forindelse med funktioner

Læs mere

MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX)

MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX) Silkeorg -0- MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX) FACITLISTE Udrejdet f mtemtiklærere fr HF, HHX, HTX & STX. PS: Hvis du opdger

Læs mere

Formelsamling i Matematik på C og B og A niveau Dette er en formelsamling der er under konstant udvikling Så hvis du har ønsker til denne så sig til

Formelsamling i Matematik på C og B og A niveau Dette er en formelsamling der er under konstant udvikling Så hvis du har ønsker til denne så sig til Niels Junges formelsmling Formelsmling i Mtemtik på C og B og A niveu Dette er en formelsmling der er under konstnt udvikling Så hvis du hr ønsker til denne så sig til Indhold Tble of Contents Specielle

Læs mere

Retningslinjer for bedømmelsen Georg Mohr-Konkurrencen runde

Retningslinjer for bedømmelsen Georg Mohr-Konkurrencen runde Retningslinjer for bedømmelsen Georg Mohr-Konkurrencen 016. runde Besvrelser som flder uden for de løsninger som ligger til grund for pointskemerne, bedømmes ved nlogi så skridt med tilsvrende vægt i den

Læs mere

Om Dido var kyndig i matematik er nok tvivlsomt, men hun havde i hvert fald en veludviklet logisk sans, som vi skal se.

Om Dido var kyndig i matematik er nok tvivlsomt, men hun havde i hvert fald en veludviklet logisk sans, som vi skal se. Forord. Det isoperimetriske problem går i l sin enkelhed ud på t finde den lukkede kurve i plnen, blndt en mængde f kurver lle med smme omkreds, som fgrænser det størst mulige rel. Løsningen til det isoperimetriske

Læs mere

Lektion 6 Bogstavregning

Lektion 6 Bogstavregning Lektion Bogstvregning Formler... Reduktion... Ligninger... Lektion Side 1 Formler En formel er en slgs regne-opskrift, hvor mn med bogstver viser, hvorledes noget skl regnes ud. F.eks. formler til beregning

Læs mere

gudmandsen.net y = b x a Illustration 1: potensfunktioner i 5 forskellige grupper

gudmandsen.net y = b x a Illustration 1: potensfunktioner i 5 forskellige grupper gudmndsen.net Dette dokument er publiceret på http://www.gudmndsen.net/res/mt_vejl/. Ophvsret: Indholdet stilles til rådighed under Open Content License[http://opencontent.org/openpub/]. Kopiering, distribution

Læs mere

Beregning af bestemt integrale ved partiel integration og integration ved substitution:

Beregning af bestemt integrale ved partiel integration og integration ved substitution: Beregning f estemt integrle ved prtiel integrtion og integrtion ved sustitution: f John V. Petersen Prtiel integrtion Sætning : Prtiel integrtion... si. Løsning f integrle... si. Plot f løsningsrelet...

Læs mere

Analyse 1, Prøve maj Lemma 2. Enhver konstant funktion f : R R, hvor f(x) = a, a R, er kontinuert.

Analyse 1, Prøve maj Lemma 2. Enhver konstant funktion f : R R, hvor f(x) = a, a R, er kontinuert. Alyse, Prøve. mj 9 Alle hevisiger til TL er hevisiger til Klkulus 6, Tom Lidstrøm. Direkte opgvehevisiger til Klkulus er givet med TLO, ellers er lle hevisiger til steder i de overordede fsit. Hevises

Læs mere

Mat1GB Minilex. Henrik Dahl, Hold 8. 29. maj 2003. 1 Definitioner 2

Mat1GB Minilex. Henrik Dahl, Hold 8. 29. maj 2003. 1 Definitioner 2 Mt1GB Minilex Henrik Dhl, Hold 8 29. mj 2003 Indhold 1 Definitioner 2 2 Sætninger m.v. 18 2.1 Begrænsethed, åben/lukket..................... 18 2.2 Differentition............................ 18 2.3 Differentilligninger.........................

Læs mere

Michel Mandix (2017) Derfor er der behov for en række værktøjer, som kan bruges også til de vilkårlige trekanter. a b c A B C

Michel Mandix (2017) Derfor er der behov for en række værktøjer, som kan bruges også til de vilkårlige trekanter. a b c A B C Mihel Mndix (07) Sinusreltionen Nott Side f 9 Sinusreltionen Indtil videre, er der kun eskrevet, hvordn mn eregner på retvinklede treknter. Men desværre er det lngtfr lle treknter, som er retvinklede.

Læs mere

Integralregning Infinitesimalregning

Integralregning Infinitesimalregning Udgave 2.1 Integralregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne integral og stamfunktion, og anskuer dette som et redskab til bestemmelse af arealer under funktioner. Noterne er supplement

Læs mere

Matematikprojekt. Differentialregning. Lavet af Arendse Morsing Gunilla Olesen Julie Slavensky Michael Hansen. 4 Oktober 2010

Matematikprojekt. Differentialregning. Lavet af Arendse Morsing Gunilla Olesen Julie Slavensky Michael Hansen. 4 Oktober 2010 Matematikprojekt om Differentialregning Lavet af Arendse Morsing Gunilla Olesen Julie Slavensky Michael Hansen 4 Oktober 2010 Indhold I Del 1................................ 3 I Differentialregningens

Læs mere

Formelsamling Mat. C & B

Formelsamling Mat. C & B Formelsmling Mt. C & B Indhold BRØER... PARENTESER...3 PROCENT...4 RENTE...5 INDES...6 GEOMETRI... Arel f treknt... Vinkelsum i en treknt... Ens- vinklede treknter... Vilkårlig treknt... Ret- vinklet treknt...8

Læs mere

Elementær Matematik. Vektorer i planen

Elementær Matematik. Vektorer i planen Elementær Mtemtik Vektorer i plnen Køge Gymnsium 0 Ole Witt-Hnsen Indhold. Prllelforskydninger i plnen. Vektorer.... Sum og differens f to vektorer... 3. Multipliktion f vektor med et tl...3 4. Opløsning

Læs mere

Kompendium. Matematik HF C niveau. Frederiksberg HF Kursus. Lars Bronée 2014

Kompendium. Matematik HF C niveau. Frederiksberg HF Kursus. Lars Bronée 2014 Kompendium Mtemtik HF C niveu π Frederiksberg HF Kursus Lrs Bronée 04 Mil: post@lrsbronee.dk Web: www.lrsbronee.dk Indholdsfortegnelse: Forord Det grundlæggende Ligningsløsning 8 Procentregning Rentesregning

Læs mere

Formelsamling i Matematik på C og B og A niveau Dette er en formelsamling der er under konstant udvikling Så hvis du har ønsker til denne så sig til

Formelsamling i Matematik på C og B og A niveau Dette er en formelsamling der er under konstant udvikling Så hvis du har ønsker til denne så sig til Niels Junges formelsmling Formelsmling i Mtemtik på C og B og A niveu Dette er en formelsmling der er under konstnt udvikling Så hvis du hr ønsker til denne så sig til Indhold Tble of Contents Specielle

Læs mere

Formelsamling Matematik C Indhold

Formelsamling Matematik C Indhold Formelsmling Mtemtik C Indhold Eksempler på esvrelser, lin, eksp, pot, geo... Tl, regneopertioner og ligninger... 6 Ligninger... 7 Geometri... 9 Funktioner og modeller... Lineær funktion... Procentregning...

Læs mere

hvor A er de ydre kræfters arbejde på systemet og Q er varmen tilført fra omgivelserne til systemet.

hvor A er de ydre kræfters arbejde på systemet og Q er varmen tilført fra omgivelserne til systemet. !#" $ "&% (')"&*,+.-&/102%435"&6,+879$ *1')*&: or et system, hvor kun den termiske energi ændres, vil tilvæksten E term i den termiske energi være: E term A + Q hvor A er de ydre kræfters rbejde på systemet

Læs mere

MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX)

MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX) Silkeborg 09-0-0 MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX) Udrbejdet f mtemtiklærere fr HF, HHX, HTX & STX. PS: Hvis du opdger fejl i

Læs mere

Mere end blot lektiehjælp. Få topkarakter i din SRP. 12: Hovedafsnittene i din SRP (Redegørelse, analyse, diskussion)

Mere end blot lektiehjælp. Få topkarakter i din SRP. 12: Hovedafsnittene i din SRP (Redegørelse, analyse, diskussion) Mere end lot lektiehjælp Få topkrkter i din SRP 12: Hovedfsnittene i din SRP (Redegørelse, nlyse, diskussion) Hjælp til SRP-opgven Sidste år hjlp vi 3.600 gymnsieelever med en edre krkter i deres SRP-opgve.

Læs mere

Trigonometri. teori mundtlig fremlæggelse C 2. C v. B v. A v

Trigonometri. teori mundtlig fremlæggelse C 2. C v. B v. A v Tigonometi teoi mundtlig femlæggelse 2 v v B v B Indhold 1. Sætning om ensvinklede teknte og målestoksfohold (uden bevis)... 2 2. Vinkelsummen i en teknt... 2 3. Pythgos sætning om ETVINKLEDE TEKNTE...

Læs mere

Contents. Introduktion 2

Contents. Introduktion 2 Contents Introduktion 2 Differentialregning 2 Grænseværdi................................ 2 Tid/distance................................ 2 Regler og eksempler............................ 3 Differentiering

Læs mere

Spil- og beslutningsteori

Spil- og beslutningsteori Spil- og eslutningsteori Peter Hrremoës Niels Brock 26. novemer 2 Beslutningsteori De økonomiske optimeringssitutioner, vi hr set på hidtil, hr været helt deterministiske. Det vil sige t vores gevinst

Læs mere

1,0. sin(60º) 1,0 cos(60º) I stedet for cosinus til 60º og sinus til 60º skriver man cos(60º) og sin(60º).

1,0. sin(60º) 1,0 cos(60º) I stedet for cosinus til 60º og sinus til 60º skriver man cos(60º) og sin(60º). Mtemtik på VU Eksempler til niveu F, E og D Til lle vinkler hører der to tl, som kldes osinus og sinus. Mn finder sinus og osinus ved først t tegne vinklen i et koordint-system som vist til venstre. Derefter

Læs mere

Mat. B (Sådan huskes fomlerne) Formler, som skal kunnes til prøven uden hjælpemidler

Mat. B (Sådan huskes fomlerne) Formler, som skal kunnes til prøven uden hjælpemidler Mt. B (Sån huskes fomlerne) Formler, som skl kunnes til prøven uen hjælpemiler Inhol Her er tilføjet emærkninger til nogle f formlerne BRØKER... PARENTESER... EKSPONENTER... LOGARITMER... GEOMETRI... Arel

Læs mere

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: 333247 2015 Anders Jørgensen, Mark Kddafi, David Jensen, Kourosh Abady og Nikolaj Eriksen 1. Indledning I dette projekt, vil man kunne se definitioner

Læs mere

PotenssammenhÄnge. 2009 Karsten Juul

PotenssammenhÄnge. 2009 Karsten Juul PotenssmmenhÄnge y b y k k 009 Krsten Juul Dette häfte er en fortsättelse f häftet "Eksponentielle smmenhänge, 009". Indhold 4. Hvd er en potens-smmenhäng?... 83 5. Hvordn ser grfen ud for en potens-smmenhäng...

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 12

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 12 Mtemtisk modellering numeriske metoder Lektion 12 Morten Grud Rsmussen 21. oktober, 213 1 Prtielle differentilligninger 1.1 Løsning f vrmeligningen vh. Fourierrækker [Bens sektion 12.6 på side 558] Vi

Læs mere

STUDENTEREKSAMEN NOVEMBER-DECEMBER 2007 MATEMATISK LINJE 2-ÅRIGT FORLØB TIL B-NIVEAU MATEMATIK DELPRØVEN UDEN HJÆLPEMIDLER

STUDENTEREKSAMEN NOVEMBER-DECEMBER 2007 MATEMATISK LINJE 2-ÅRIGT FORLØB TIL B-NIVEAU MATEMATIK DELPRØVEN UDEN HJÆLPEMIDLER STUDENTEREKSAMEN NOVEMBER-DECEMBER 007 007-8-V MATEMATISK LINJE -ÅRIGT FORLØB TIL B-NIVEAU MATEMATIK DELPRØVEN UDEN HJÆLPEMIDLER Tirsdg den 18 december 007 kl 900-1000 BESVARELSEN AFLEVERES KL 1000 Der

Læs mere

Geometrinoter 2. Brahmaguptas formel Arealet af en indskrivelig firkant ABCD kan tilsvarende beregnes ud fra firkantens sidelængder:

Geometrinoter 2. Brahmaguptas formel Arealet af en indskrivelig firkant ABCD kan tilsvarende beregnes ud fra firkantens sidelængder: Geometrinoter 2, jnur 2009, Kirsten Rosenkilde 1 Geometrinoter 2 Disse noter omhndler sætninger om treknter, trekntens ydre røringscirkler, to cirklers rdiklkse smt Simson- og Eulerlinjen i en treknt.

Læs mere

KEGLESNIT OG BANEKURVER

KEGLESNIT OG BANEKURVER KEGLESNIT OG BANEKURVER x-klsserne Gmmel Hellerup Gymnsium INDHOLDSFORTEGNELSE INDHOLDSFORTEGNELSE... BEGREBET KEGLE... 3 KEGLESNIT... 5 Cirkel... 6 Ellipse... 8 Prbel... 15 Hyperbel... 19 Keglesnitsligninger

Læs mere

UGESEDDEL 52. . Dette gøres nedenfor: > a LC

UGESEDDEL 52. . Dette gøres nedenfor: > a LC UGESEDDE 52 Opgve 1 Denne opgve er et mtemtisk eksempel på Ricrdo s én-fktor model, der præsenteres i Krugmn & Obstfeld kpitel 2 side 12-19. Denne model beskriver hndel som et udslg f komprtive fordele

Læs mere

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011 Indholdsfortegnelse Integral regning:... 2 Ubestemt integral:... 2 Integrationsprøven:... 3 1) Integration af potensfunktioner:... 3 2) Integration af sum og Differens:... 3 3) Integration ved Multiplikation

Læs mere

Michel Mandix (2010) INDHOLDSFORTEGNELSE:... 2 EN TREKANTS VINKELSUM... 3 PYTHAGORAS LÆRESÆTNING... 4 SINUSRELATIONERNE... 4 COSINUSRELATIONERNE...

Michel Mandix (2010) INDHOLDSFORTEGNELSE:... 2 EN TREKANTS VINKELSUM... 3 PYTHAGORAS LÆRESÆTNING... 4 SINUSRELATIONERNE... 4 COSINUSRELATIONERNE... MATEMATIK NOTAT MATEMATISKE EVISER AF: CAND. POLYT. MICHEL MANDIX SIDSTE REVISION: FERUAR 04 Michel Mndi (00) Side f 35 Indholdsfortegnelse: INDHOLDSFORTEGNELSE:... EN TREKANTS VINKELSUM... 3 PYTHAGORAS

Læs mere

TAL OG REGNEREGLER. Vi ser nu på opbygningen af et legeme og noterer os samtidig, at de reelle tal velkendte regneoperationer + og er et legeme.

TAL OG REGNEREGLER. Vi ser nu på opbygningen af et legeme og noterer os samtidig, at de reelle tal velkendte regneoperationer + og er et legeme. TAL OG REGNEREGLER Inden for lgeren hr mn indført egreet legeme. Et legeme er en slgs konstruktion, hvor mn fstsætter to regneregler og nogle sætninger (ksiomer), der gælder for disse. Pointen med en sådn

Læs mere

9 Geodætiske kurver og Gauss-krumning

9 Geodætiske kurver og Gauss-krumning 9 Geodætiske kurver og Guss-krumning 9. Geodætiske kurver En ret linie i plnen fr punktet p til punktet q hr den egenskb t enhver nden kurve fr p til q hr kurvelængde som er mindst p q. Et stykke f en

Læs mere

- 81 - , x I. kmx. Sætningen bevises ikke her. Interesserede læsere henvises til bogen: Differentialligninger og matematiske

- 81 - , x I. kmx. Sætningen bevises ikke her. Interesserede læsere henvises til bogen: Differentialligninger og matematiske - 8 - Appendi : Logistisk vækst og integrlregning. I forbindelse med eksponentielle vækstfunktioner er der tle om en vækstform, hvor funktionens væksthstighed er proportionl med den ktuelle funktionsværdi,

Læs mere

Regneregler. 1. Simple regler for regning med tal.

Regneregler. 1. Simple regler for regning med tal. Regneregler. Simple regler for regning med tl. Vi rejder l.. med følgende fire regningsrter: plus (), minus ( ), gnge () og dividere (: eller røkstreg, se senere), eller med fremmedord : ddition, sutrktion,

Læs mere

k(k 1)(k 2)... (k n + 1) = = 12 2 = 6

k(k 1)(k 2)... (k n + 1) = = 12 2 = 6 Oversigt [S] 8.7, 8.8, 8.9 Nøgleord og begreber Binomilformlen Binomilkoefficienter Binomilrækken Tylor polynomier Vurdering f Tylor s restled Eksponentilrækken konvereger mod eksponentilfunktionen Clculus

Læs mere

114 Matematiske Horisonter

114 Matematiske Horisonter 114 Mtemtiske Horisonter Mtemtik i medicinudvikling Af Ph.d-studerende Ann Helg Jónsdóttir, Ph.d-studerende Søren Klim, Ph.d-studerende Stig Mortensen og Professor Henrik Mdsen, DTU Informtik Hovedpinen

Læs mere

Eksempel 9.1. Areal = (a 1 + b 1 )(a 2 + b 2 ) a 1 a 2 b 1 b 2 2a 2 b 1 = a 1 b 2 a 2 b 1 a 1 a 2 = b 1 b 2. Eksempel = ( 1) = 10

Eksempel 9.1. Areal = (a 1 + b 1 )(a 2 + b 2 ) a 1 a 2 b 1 b 2 2a 2 b 1 = a 1 b 2 a 2 b 1 a 1 a 2 = b 1 b 2. Eksempel = ( 1) = 10 Oversigt [LA] 9 Nem vej til rel Nøgleord og begreber Helt simple determinnter Determinnt defineret Effektive regneregler Genkend determinnt nul determinnt nul Produktreglen Inversreglen inversregel og

Læs mere

Forskønnelsesplanen Det Nye Furesølund

Forskønnelsesplanen Det Nye Furesølund Forskønnelsesplnen Det Nye Furesølund Furesølund er trods sine mere end 40 år stdig et ttrktivt område. Men dmen er lidt slidt. Legepldserne flder smmen. Rækværket flmer, og grønne områder står gemt og

Læs mere

Integralregning. for A-niveau i stx, udgave Karsten Juul

Integralregning. for A-niveau i stx, udgave Karsten Juul Integrlregning or A-niveu i st, udgve 5 Krsten Juul Stmunktion (uestemt integrl) Hvd er en stmunktion? UndersÄg om g( er stmunktion til ( GÄr rede or t g( er stmunktion til ( En unktion hr mnge stmunktioner

Læs mere

Sandsynlighedsregning 5. forelæsning Bo Friis Nielsen

Sandsynlighedsregning 5. forelæsning Bo Friis Nielsen Dgens emner fsnit 3.5 og 4. oissonfordelingen Sndsynlighedsregning 5. forelæsning Bo Friis Nielsen Mtemtik og Computer Science Dnmrks Tekniske Universitet 800 Kgs. Lyngby Dnmrk Emil: bfni@dtu.dk Kontinuerte

Læs mere

Eksamensspørgsmål: Potens-funktioner

Eksamensspørgsmål: Potens-funktioner Eksmensspørgsmål: Potens-funktioner Definition:... 1, mønt flder ned:... 1 Log y er en liner funktion f log x... 2 Regneforskrift... 2... 2 Smmenhæng mellem x og y ved potens-vækst... 3 Tegning f grf for

Læs mere

Fremkomsten af mængdelæren. Stig Andur Pedersen

Fremkomsten af mængdelæren. Stig Andur Pedersen Fremkomsten f mængdelæren Stig Andur Pedersen 1 Fourier række for f(x)=x x n 1 ( 1) 2 sin( nx) n n= 1 sin(2 x) sin(3 x) sin(4 x) = 2 sin( x) + + 2 3 4 De første 15 led er tget med på kurven. 2 Fourierrække

Læs mere

Taldiktat. Talhus. Tal. Format 5. Nr. 1. Enere 1. Tiere 10. Hundreder 100. Tusinder 1.000. Titusinder 10.000. Hundredetusinder 100.000 1.000.

Taldiktat. Talhus. Tal. Format 5. Nr. 1. Enere 1. Tiere 10. Hundreder 100. Tusinder 1.000. Titusinder 10.000. Hundredetusinder 100.000 1.000. Tldiktt Nr. Timillioner 0.000.000 Millioner.000.000 Hundredetusinder.000 Tlhus Titusinder 0.000 Tusinder.000 Hundreder Tiere 0 Enere Prktivitet. Træk - kort i skjul fr et lmindeligt kortspil. Læg dem på

Læs mere