( ) ( ) ( ) Størrelsesorden for funktionerne a x, x a og ln(x) (opgaveforløb v/ Bjørn Grøn og John Schächter) > ( )

Transkript

1 Støelsesoden fo funktionene, og ln() Side f 5 Støelsesoden fo funktionene, og ln() (opgvefoløb v/ Bjøn Gøn og John Schächte) Intoduktion I dette foløb vil vi dels få et edskb til t smmenligne, hvo hutigt funktionene vokse (elle ftge), og dels bevise, t blndt stnddfunktionene, og ln() dominee eksponentilfunktione unset støelsen f gundtllet ltid ove både potens- og logitmefunktione, mens potensfunktione unset støelsen f potensen ltid dominee ove logitmefunktione. Foløbet e et lille stykke deduktiv mtemtik og e bygget op således, t (ihædige) eleve på B- niveu smt eleve på A-niveu med en vis vejledning selv kn bejde sig igennem øvelsene og bevise sætningene. Gænsevædi Vi kende mnge funktione, de gå mod uendelig, nå gå mod uendelig (vi skive f, nå ). Nå vi tle om dette i gymnsiet, ppellees ofte til intuitionen. Men hvodn opstille vi en helt pæcis definition på, hvd det vil sige, t en funktion gå mod uendelig, nå gå mod uendelig? DEFINITION En funktion f() siges t gå mod uendelig fo gående mod uendelig, hvis de til ethvet tl K findes et tl k, således t følgende e opfyldt: Fo ethvet k gælde, t f > K > ved t finde et tl k bestemt ud f K - således t Dette kn umiddelbt synes som en noget uoveskuelig definition; men skl mn vise, t en funktion gå mod uendelig, nå gå mod uendelig, kn mn foestille sig t»fjenden«komme med et K (kn væe et meget stot tl). Det e så voes opgve t»fosve«os, det vil sige, t vi skl vise, t funktionsvædiene også kn komme ove dette K, blot vi gå lngt nok ud f tllinjen. Det gø vi f > K, nå > k. Lidt løst sgt: funktionsvædiene kn blive lige så stoe, som vi ønske! Ld os pøve t bevise følgende sætninge ud f denne definition: SÆTNING Ld f = e. D gælde, t f, nå. Fjenden komme med K. Vi ønske t bestemme et k, således t f > K, nå > k. Hvis f > K, må følgende gælde (hvofo? ovevej både hvofo vi kn egne femd, og hvofo vi kn egne tilbge, dvs. hvofo gælde): e > K ln e > ln K > ln K Vi kn således fosve os med k = ln(k), idet de jo f ovenstående udegninge (hvo vi h egnet ensbetydende, dvs. vi kn slutte begge veje) følge, t hvis k (= ln(k)), d e f > K. >

2 Støelsesoden fo funktionene, og ln() Side 2 f 5 SÆTNING 2 Ld f =,. D gælde, t > f, nå. (Det lve I selv.) Hjælp: Løs uligheden til. SÆTNING 3 > K med hensyn til. Af disse udegninge følge så, hvd k kn vælges Ld f ( ) = ln( ). D gælde, t f, nå. (Det lve I selv.) SÆTNING 4 Ld f =, 0. D gælde, t > f, nå. Bemæk: Hef følge så, t, nå. (Det lve I selv.) Vi h nu bevist, ud f voes definition, t funktionene, og ln() (specielt også e ) gå mod uendelig, nå gå mod uendelig, foudst t >, og > 0. ØVELSE Pøv selv t opstille en definition f, hvd det vil sige, t. f 0 nå 2. g 0 nå 0 3. h nå 0 4. nå p 0 og pøv selv t fomulee ydeligee eksemple på gænsevædie. Tilfældet hvo f 0 kn du evt. pøve føst t håndtee fo positive funktione og denæst oveveje, hvilket væktøj vi h til t hjælpe os, hvis funktionen kn ntge både positive og negtive vædie. Lv i hvet tilfælde en gfisk skitse f situtionen. Pøv i hvet f de 4 tilfælde og i de ydeligee, du selv komme på, om du kn finde en konket funktion med egnefoskift, som opfylde betingelsen.

3 Støelsesoden fo funktionene, og ln() Side 3 f 5 ØVELSE 2 Udnyt de nye definitione til t, bevise, t. nå ln 0 2. e 0 nå 3. 0 nå og 0< < Støelsesoden Betgtes gfene fo e og fo ln(), spinge det i øjnene, t e vokse lngt hutigee. Logitmefunktionene e fktisk den lngsomst voksende klsse f funktione, vi møde i gymnsiet. F.eks. ved vi, t fo titlslogitmen log gælde, t log(0 6 ) = 6 og log(0 8 ) = 8, dvs. mens vi bevæge os på -ksen f million ud til 00 millione, så bevæge gfen sig op f 6 til 8. Defo foekomme det indlysende, t ikke lle funktione, de gå mod uendelig, gø det lige hutigt. DEFINITION Givet to funktione f og g, de begge gå mod uendelig, nå gå mod uendelig. Vi sige, t funktionen f gå hutigee mod uendelig end funktionen g, hvis de gælde, t f g nå Vi bemæke, t hvis f g nå, d vil f g f g = 0, nå. ØVELSE 3 Vis dette. Vi skl i det følgende vise:. ln nå, og > 0. Vi sige, t potensfunktionen vinde ove den ntulige logitmefunktion, nå > 0. ln Vi bemæke ligesom tidligee, t hemed gælde også, t 0, nå. 2. nå og,. > Vi sige, t eksponentilfunktionen vinde ove potensfunktionen, nå >. 3. ln 0 nå 0, og > nå, og 0< <. Disse 4 sætninge om funktionenes støelsesfohold bevises ved t følge tinene i de eftefølgende øvelse.

4 Støelsesoden fo funktionene, og ln() Side 4 f 5 ØVELSE 4 ln Vi se på funktionen f =, ] 0; [. Bestem monotonifohold og lokle ekstem, og benyt dette til t vise, t ØVELSE 5 Vi benytte esulttet f øvelse 4 til t lve følgende omskivning: ln ln < < ) Fokl denne udegning. b) Gø ede fo, t 0, nå (bug sætning 4), og benyt dette til t gøe ede fo, t c) Gø heefte ede fo, t ØVELSE 6 ln ( ) ) Benyt logitmeeglene til t vise, t b) Gø heefte ede fo, t c) ln, nå. ln Hemed e den føste påstnd bevist. ØVELSE 7 Vi skl he se på funktionen f ) Vis t ln ln ln 0, nå. 0, nå, hvis > 0. ln( ) ln =. ln 0, nå, hvis > 0, og hemed, t =, hvo >, og > 0. ln < fo lle > 0. f =. ln f, nå, og benyt dette, smt kendskbet til ln(), til t vise, b) Gø ede fo, t t f, nå. Vi h således vist den nden påstnd: f =, nå.

5 Støelsesoden fo funktionene, og ln() Side 5 f 5 ØVELSE 8 ) Gø ede fo følgende omskivninge i detlje: ln ln ln ln = = = b) Benyt dette smt øvelse 5 og voes viden om, t, nå 0, til t vise, t ln 0, nå 0, hvis > 0. ØVELSE 9 Vi se på funktionen f =. ln ) Vis t ln ( f ) = ln ( ). b) Vis t ln f, nå, hvis 0 ( ) Vi h således bevist, t 0, nå, hvis 0< <. Hemed e de fie påstnd vist! < <, og slut hef, t 0 f, nå.