Vi ser altså, at der er situationer, hvor vi ikke kan afgøre, om vi befinder os i et tyngdefelt eller langt ude i rummet fjernt fra alle kræfter:

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Vi ser altså, at der er situationer, hvor vi ikke kan afgøre, om vi befinder os i et tyngdefelt eller langt ude i rummet fjernt fra alle kræfter:"

Transkript

1 5 Tyngdekaften Nu hvo vi (fohåbentlig) ha fået et begeb om ummets og tidens sammenflettede natu, skal vi vende tilbage til en ting, som vi ganske kot blev konfonteet med i begyndelsen af foige kapitel. Jeg fejede den imidletid mee elle minde behændigt ind unde gulvtæppet hutigst muligt, og sagen blev ikke siden omtalt. Tænk tilbage på situationen med toget, hvo du sad og vinkede favel til tante Solveig og onkel Hubet. Da toget begyndte at køe væk fa stationen, mækede du en kaft, de pessede dig tilbage i sædet, men du og onkel Hubet va ikke igtig enige om, hvodan denne kaft skulle tolkes. Defo lod vi helt væe med at snakke om kæfte i esten af kapitlet, og det samme gjode Einstein, da han udviklede den specielle elativitetsteoi. Den handle om de fysiske love i inetialsysteme, altså efeenceamme i jævn, ubeøt bevægelse. Men poblemet med kæfte i denne fobindelse føst og femmest tyngdekaften og acceleation nagede Einstein 1. Defo kastede han sig ud i en ække tankeekspeimente. Einstein, de abejdede i begyndelsen af det 0. åhundede, bugte skamlende elevatoe med temmedøe og elevatoføee, men fo os he 100 å senee e det mee natuligt at ty til umskibe med fusionsmotoe og autopilote. Men botset fa det, e agumentationen den samme. Vi begynde med det indlysende: nå vi tisse undt he på joden, e vi konstant påviket af en kaft, tyngdekaften, de med et solidt geb tykke os mod jodovefladen. Kaste vi en sten op i luften, kan vi væe sike på, at tyngdekaften søge fo, at den komme ned igen. Hvodan stenen vil bevæge sig, (nemlig i en paabelbane) e noget, Newton fo åhundede siden beskev med detaljeet matematik. Men foestil dig nu, at du befinde dig i umskibet, Eventyeen, de med slukkede motoe e på vej tilbage fa en ekspedition til Andomedagalaksen. He e du ikke påviket af nogen kæfte, så du og alt muligt andet, de ikke e gjot fosvaligt fast, svæve vægtløse undt inde i umskibet. På et tidspunkt bemæke kaptajnen imidletid, at I e en smule bagud i fohold til flyplanen, så han state motoene, og umskibet begynde at acceleee med 9,81 m/s. Du vil nu blive pesset mod din kabines bagvæg, de med et e blevet til et gulv, og hvis du kaste en sten op i luften, komme den hutigt ned igen. Faktisk e det sådan, at eftesom Eventyeens acceleation e pæcis magen til tyngdeacceleationen ved jodovefladen, kan du ikke ud fa obsevation af genstandes bevægelse inde i umskibet afgøe, om du befinde dig i ummets vakuum en million lyså fa joden elle hjemme i din lejlighed i København. Vi spole nu nogle uge fem i tiden. Eventyeen e nået fem til joden, og du e steget ombod i en af landingskapslene. Efte at den figøes, befinde den sig på det føste lange stykke i fit fald sammen med dig ned mod Rumhavn Amage. Du og kapslen e dybt inde i jodens tyngdefelt, men på tods af dette e du og den sten, du ha medbagt som souveni fa Andomeda, vægtløse inde i kapslen. Vi se altså, at de e situatione, hvo vi ikke kan afgøe, om vi befinde os i et tyngdefelt elle langt ude i ummet fjent fa alle kæfte: 1. Stå vi tykket mod et gulv af en planets tyngdekaft elle af et umskibs acceleation? Det lade sig ikke afgøe, fo de fysiske love, som vi kan obsevee dem, e ens fa begge synspunkte (fig. 1). 1 I begyndelsen af det 0. åhundede, da Einstein abejdede på elativitetsteoien, va de kun to kendte kæfte: tyngdekaften og den elektomagnetiske kaft. Sidstnævnte e inkludeet i den specielle elativitetsteoi, (lys e jo en manifestation af den elektomagnetiske kaft), så det va natuligt nok, at Einstein ville gøe sin teoi fuldstændig ved også at inkopoee tyngdekaften. 10

2 . Befinde vi os i fit fald i et tyngdefelt elle i et umskib, de bevæge sig med konstant hastighed? Ej helle dét lade sig afgøe ved obsevation af de fysiske love (fig. ). Men hvad ske de egentlig, hvis man nu antage, at disse to situatione vikelig på et fundamentalt niveau e to side af samme sag? Det va netop, hvad Einstein gjode. I stedet fo som mange ande sikket ville have gjot at sige, at ligheden mellem tyngdekaft og acceleeet bevægelse blot e en tilfældighed, tog han ligheden som udtyk fo en dyb sammenhæng. De to punkte ovenfo kaldte han ækvivalenspincippet, og på basis af det og den specielle elativitetsteoi begyndte han at udvikle sin geneelle elativitetsteoi. Hans femgangsmåde va i pincippet meget enkel. Nå nu vi ha besluttet at betagte tyngdekaft som noget, de fembinge de samme fænomene som acceleeet bevægelse, hvad kan vi så heaf udlede om tyngdekaften? Hvilke ande fænomene, de e associeet med bevægelse, skal vi lede efte, nå vi studee tyngdekaften? De e flee ting, man kan kaste sig ove. He skal vi koncentee os om en enkelt, de knytte an til det, vi gennemgik i kapitel 4. Den specielle elativitetsteoi viste os, at bevægelse påvike tidens gang; jo hutigee vi bevæge os, jo langsommee gå tiden i fohold til en obsevatø i hvile. Hvis vi skal tage ækvivalenspincippet alvoligt, må vi defo også fovente, at et tyngdefelt påvike tiden. Tiden bude gå langsommee og langsommee, jo kaftigee det tyngdefelt, vi befinde os i, e. Dette vise sig faktisk at væe tilfældet både ud fa teoetiske, matematiske udledninge og ved nøjagtige tidsmålinge i og uden fo jodens tyngdefelt! Desvæe e den involveede matematik langt mee kompliceet end den, vi blev konfonteet med i den specielle elativitetsteoi, så du blive nødt til at acceptee min (og ikke mindst Einsteins!) påstand uden bevis. Men det esulteende udtyk fo den såkaldte gavitationelle tidsdilatation e i sig selv enkelt nok: Fig. 1. Tyngdekaft og acceleeet bevægelse e to side af samme sag. (5.1) t g t GM 1 c Δt g e et tidsinteval på et u, de befinde sig i et tyngdefelt. Δt e det tilsvaende inteval på et u, de e uendelig fjent fa alle tyngdepåvikninge. G e Newtons gavitationskonstant (6, Nm /kg ), M e massen af det legeme, i hvis tyngdefelt uet befinde sig, og e uets afstand fa legemets centum. Endvidee ligge de implicit i, at Fig.. Fit fald i et tyngdefelt og konstant bevægelse e to side af samme sag. 103

3 hele legemets masse skal befinde sig inden fo denne adius, (legemets adius må altså gene væe minde end, men ikke støe). Ved hjælp af ligning (5.1) kan du fosøge at beegne tidsdilatationen ved jodens oveflade. M e da jodens masse (5, kg), og e jodens adius (6, m). Dit esultat skulle gene vise, at et u ved jodovefladen tabe ca. et halvt nanosekund p. sekund i fohold til et u uden fo jodens tyngdefelt. Ikke meget, men nok til at din GPS e nødt til at kompensee fo det, hvis ikke den skal isikee at placee dig på en mak i stedet fo på euopavej E6. Vi skal nu udføe et lille matematisk ekspeiment. Den specielle elativitetsteoi ha et udtyk fo den hastighedselateede tidsdilatationen i en efeenceamme, de bevæge sig. Jeg pæsenteede det i foige kapitel (ligning (4.1)), men lad os lige se det igen he: (5.) t v t v 1 c 0 t 1 0 tv v c Ovenfo i ligning (5.1) ha vi den geneelle elativitetsteois udtyk fo den gavitationelle tidsdilatation. De to ligninge e, som man se, ganske næt beslægtede; foskellen ligge kun i bøken unde kvadatoden, hvo v e estattet med GM/. Vi kan nu spøge: hvilken hastighed vil give en hastighedselateet tidsdilatation, Δt v, de e lig en given gavitationel tidsdilatation, Δt g? Fo eksempel den tidsdilatation, de obsevees på jodens oveflade? Sammenligne vi de to ligninge, se vi, at de må gælde: (5.3) t g t GM c GM c v c GM v GM v c c GM v v c Indsæt nu de elevante vædie fo jodovefladen: (5.4) v ms 1,4610 1,110 ms 11, kms ,6710 5, ,410 Hastigheden 11, km/s e øjeblikkeligt genkendelig fo os, de e opvokset i umfatens guldalde, (dvs. dengang i 70 ene hvo menneske fatede undt i bil på månen, og hvo Familie Jounalen og Hjemmet kappedes om at binge atikle om menneskehedens stoslåede femtid i ummet). 11, km/s e undvigelseshastigheden fo joden, altså den hastighed et umskib skal opnå fo at kunne undslippe fa jodens tyngdefelt, hvis det state fa jodovefladen. Stengt taget e dette ikke helt koekt. 11, km/s e den hastighed, hvomed man skal skyde en kanonkugle lodet op i luften fo at væe sikke på, at den aldig komme ned igen. Et umskib kan sådan set undslippe jodens tyngdefelt ved en vilkåligt lav hastighed, hvis det blot lade motoene abejde hele tiden. 104

4 Oveasket? Det e de egentlig ikke nogen gund til at væe. Jeg ville væe blevet betydelig mee oveasket, hvis jeg ikke havde fået denne vædi. Du kan nemlig også anskue undvigelseshastigheden på denne måde: det e den hastighed et legeme opnå, hvis det fa stilstand fa uendelig afstand falde til jodovefladen kun påviket af jodens tyngdekaft. Bug lige et pa øjeblikke til at tænke dette igennem. Det give lidt mening, nå man tage ækvivalenspincippet i betagtning, ikke sandt? Tyngdefeltet acceleee et legeme, og den hastighedselateede tidsdilatation, de gælde fo legemet i et givet punkt unde legemets fald i tyngdefeltet, svae til den gavitationelle tidsdilatation, legemet i samme punkt ville opleve, hvis det va i hvile. Som kuiosum kan jeg nævne, at ligning (5.3) faktisk e et velkendt udtyk fo undvigelseshastighed fa klassisk mekanik, og det e da ganske mosomt, at selv samme udtyk kan udledes ved at kombinee speciel og geneel elativitetsteoi! I kapitel 4 så vi, at tidsdilatation i den specielle elativitetsteoi hænge sammen med, at efeenceamme otees i fohold til hinanden i den fiedimensionale umtid. Skyldes den geneelle elativitetsteois tidsdilatation også en sådan otation? På en måde ja, men det e lidt mee kompliceet end som så. Den specielle elativitetsteoi opfatte umtiden som et statisk baggundstæppe fo de hændelse, de udspille sig. Refeenceamme kan væe oienteet foskelligt i umtiden, men umtiden selv e passiv. I den geneelle elativitetsteoi deimod e umtiden en aktiv medspille. Tilstedevæelsen af masse (elle enegi, de jo e masses alte ego), få umtiden selv til at kumme, således at efeenceamme foskellige stede i et tyngdefelt få foskellig oienteing. Én konsekvens af dette e, at tidsdimensionen stækkes, så ue gå langsommee. En anden e, at den kotest mulige vej mellem to punkte ikke nødvendigvis e en et linie. Den masseskabte kumning af umtiden e desvæe meget vanskelig at visualisee. Et typisk fosøg e vist på fig. 3a, hvo man kan foestille sig, at ummet (ikke umtiden!) e et stykke gummi, som jodkloden lave en fodybning i. Fodelen ved denne analogi e, at det e let at se, hvofo legeme bevæge sig, som de gø i et tyngdefelt. Blot foestil dig, at du tille en kugle hen ove gummistykket, og du kan få den til at følge samme bane som umskibet på fig. 3b. Ulempen ved gummianalogien e, at den slet ikke foholde sig til det tidsmæssige aspekt, og at kumningen ikke ha meget med det vikelige ums kumning at gøe. Hvis man lave en model af analogien i fig. 3a hvilket e gjot på mange ekspeimentaie undt om i veden e det kombinationen af fodybningen plus tyngdekaften, de få kuglene til Fig. 3a. Et fosøg på at visualisee kumningen af umtiden i næheden af joden. Fig. 3b. Rumskibet Niels Boh de e på vej fa månen til Mas. at bevæge sig, som de gø. Ude i den igtige veden e de imidletid ikke nogen tyngdekaft. Den masse- elle enegiinduceede fovængning af umtiden e end ikke en effekt af tyngdekaften. Fovængningen e tyngdekaften. Og tyngdekaften må heefte i anføselstegn, fodi de i vikeligheden ikke e nogen kaft. Tyngdekaft e en illusion skabt af et mee dybtliggende fænomen, nemlig umtidens geometi, de bevike, at de kotest mulige veje i næheden af massive legeme e kumme. Umiddelbat lyde det undeligt, at den kotest mulige vej mellem to punkte ikke e en et linie, men det e, fodi vi e vant til at tænke i euklidisk geometi, altså det flade ums geometi hvo paallelle linie aldig kydse hinanden, og hvo vinkelsummen i tekante e 180. Men dette e blot et sætilfælde af den mee fodige geometi, de beskive den vikelige 105

5 veden. Denne det kumme ums geometi e ikke en gang sælig eksotisk, fo vi tilbinge alle hele voes liv i intim kontakt med et kumt um, nemlig jodens oveflade. Hvis du tage en ganske almindelig globus, vil du hutigt opdage, at kun meget små tekante ha en vinkelsum på 180 en tekant, de dannes af ækvato, længdegad 0 og længdegad 90 ha vinkelsummen 70 og paallelle linie som fo eksempel længdegadene, nå de skæe ækvato, vil uvægeligt kydse hinanden. Det kæve helle ikke megen fantasi at se, at den kotest mulige vej mellem to punkte ikke e en et linie. Hvis du fo eksempel skal fa Pais til antipoden Stewat Island (fig. 4) gå den koteste vej igennem jodens kene, men den kotest mulige vej følge en stocikel. Stocikle e kugleovefladens sva på ette linie. En stocikel udgå fa et vilkåligt punkt, stække sig hele vejen undt om kuglen og etunee til udgangspunktet. Skæe du en kugle igennem langs en stocikel, vil du få to pefekte halvkugle. Hvis jodens oveflade va fuldstændigt plan og uden fohindinge af nogen at, og du satte en fiktionsløs bold i bevægelse, ville den tille langs en stocikel hele vejen undt om joden og til sidst amme dig bagfa. Fig. 4. To veje fa Pais til Stewat Island. Den kote, men umulige gennem jodens kene (ca km), og den lange, men paktisk ealisable langs jodovefladen (ca km). Man kan defo sige, at stocikle e de bane en genstand vil følge på en kugleoveflade, hvis genstanden ikke påvikes af nogen kaft. På samme måde vil ethvet um have sådanne nulenegibane, som genstande heunde lys vil følge, hvis de ikke blive tvunget til noget andet. Men netop fodi lyset også følge disse bane e vi ikke inde fa umtiden i stand til at se kumningen, men må ekende den med indiekte midle. En af disse indiekte metode e at se, hvad de ske med en stjenes position, nå solen passee ind foan den. Obsevatione af denne type blev udføt alleede i 1919 af den bitiske astonom, Athu Eddington, de udnyttede en total solfomøkelse til at måle foskydningen i stjenepositione fa Sobal i Basilien og Píncipe ud fo Vestafika. Det va offentliggøelsen af disse obsevatione, de bekæf- Fig. 5. Solen passee ind foan en stjene fa høje mod venste. Heved afbøjes stjenens lys, fodi ummet kummes i solens umiddelbae omegn. Stjenen se defo ud til at befinde sig ved den oange position i stedet fo ved den hvide, de e den sande. 106

6 tede den geneelle elativitetsteois foudsigelse, og demed gjode Einstein vedensbeømt. Pincippet i Eddingtons målinge e vist i fig. 5. Den geneelle elativitetsteois foudsigelse af lys afbøjning i næheden af massekoncentatione e siden blevet bekæftet på langt mee spektakulæ vis. På fig. 6 ses et Einsteinkos : en galakse i midten af billedet afbøje og koncentee lyset fa en bagvedliggende galakse, så denne ses som fie ens objekte i kosfomation omking den centale galakse. Endnu smukkee ses dette fænomen, de kaldes en tyngdelinse, i fotogafiet i fig. 7, de vise galaksehoben, Abell Tag dig tid til at studee det. Det e ikke blot et af de smukkeste fotogafie fa Hubble umteleskopet, men også et af de mest tankevækkende. Fig. 6. G Et såkaldt Einsteinkos. De fie kaftige lysklatte e i vikeligheden billede af den samme galakse, de befinde sig diekte bag den svagee galakse, hvis spialfom anes i midten. (NASA/ESA). Fig. 7. Tyngdelinse dannet af galaksehoben Abell (NASA). 107

7 De kaftige, gullige lys e galaksene i Abell 1689, de befinde sig i fogunden, (de endnu kaftigee kos e stjene i mælkevejen). Abell-galaksene e let udtvæede, fodi de e oveeksponeet fo at gøe de svagee galakse i baggunden synlige. Se nu nøje på disse baggundsgalakse. Se du, at nogle af dem e tukket ud til lange tåde, de vike, som om de e dele af koncentiske cikle? Det e Einsteininge. Ligesom koset i fig. 6 opstå de, ved at lyset fa fjene galakse afbøjes og fovænges unde ejsen gennem umtiden. Hvad Hubble-teleskopet vise os i fig. 7, så vi alle kan se det tydeligt med voe egne øjne, e den geneelle elativitetsteoi i aktion! Vi skal nu gave lidt dybee ned i studiet af den effekt, masse/enegi ha på umtiden. Vi tage udgangspunkt i ligning (5.1), de jo beskive den gavitationelle tidsdilatation. Bøken unde kvadatoden e ganske inteessant. Den se således ud: (5.5) GM c Lad os nu aangee en lille smule om på den: GM c 1 G M c Hvad vi ha gjot, e at splitte den op i te dele. Den føste del ha at gøe med den elation, vi som obsevatøe ha til objektet, hvis tyngdefelt vi studee, nemlig hvo langt fa dets centum (), vi befinde os. Den anden del ha at gøe med objektet selv, nemlig dets masse (M), og den tedje del e en univesel konstant; (G og c e jo konstante, så enhve kombination af dem e selvfølgelig også en konstant). Hvad de måske ikke lige falde i øjnene e, at de to sidste led tilsammen faktisk også e en afstand 3. Den kaldes Schwatzschilds adius ( 0 ) efte den tyske matematike Kal Schwatzschild, de va den føste til at tække den ud af Einsteins ligninge. (5.6) def 0 GM c Det lille def ove lighedstegnet betyde, at de e tale om en definition. Vi beslutte at symbolisee højesiden ved hjælp af 0. Vi kan defo skive bøken i (5.5) som 0 /, hvoved ligning (5.1) foenkles til (5.7) 0 t g t 1 Nu komme udtykket fo den gavitationelle tidsdilatation i endnu højee gad til at ligne udtykkene fa den specielle elativitetsteoi. Vi ha en elativistisk koektionsfakto, de i speciel elativitetsteoi hedde (5.8) v 1 c og i geneel elativitetsteoi 3 Jeg sige afstand, men eftesom vi ha at gøe med kuglefomede objekte e dette ensbetydende med adius. 108

8 (5.9) 1 0 I begge tilfælde e det bøken, de e det aktive led, fo det e den, de indeholde det, vi kan justee på, nemlig henholdsvis v og. Men de e tods alt en foskel: i (5.8.) kan vi skue på tælleen, i (5.9) på nævneen 4. Hvad indebæe dette? Husk tilbage på kapitel 4, hvo vi diskuteede effekten af stadig højee hastighede (tabel 4.1). Vi kunne indsætte alle mulige vædie fo v og få meningsfulde esultate, men kun så længe v va minde end elle lig med c. Af dette kunne vi udlede, at c måtte væe en øve gænse fo hastighed. Lad os nu pøve at opstille en tilsvaende tabel fo udtyk (5.9) (tabel 5.1). Hvad enheden fo adiene e, betyde ingenting. Lyså, kilomete elle nanomete: koektionsfaktoen blive den samme. Læg mæke til, at jo støe e i fohold til 0, jo mee næme koektionsfaktoen sig 1, i oveensstemmelse med at vi komme længee og længee væk fa tyngdefeltets centum. Men nå e lig med 0 ske de noget! Koektionsfaktoen blive 0, og vi støde ind i en matematisk mu. Fo hvad ske de, hvis blive minde end 0? Så blive udtykket unde kvadatoden negativt, og kvadatoden selv blive udefineet. Heaf kan vi udlede, at 0 må væe en nede gænse fo afstand. 0 = ,01 0, ,1 0, ,15 0, , 0,894 0,5 0, Tabel 5.1. Den elativistiske koektionsfakto fo foskellige adie i fohold til en given 0. Det lyde undeligt, ikke sandt? Hvad vil det sige: en nede gænse fo afstand? Hvad e 0 i det hele taget fo en fy? Det kan vi undesøge ved hjælp af ligning (5.3), som jeg hev ud af en kombination af den specielle og geneelle elativitetsteoi, men som også e et almindeligt udtyk fo et himmellegemes undvigelseshastighed: GM v e Spøgsmålet, jeg ønske besvaet, e: Hvad e undvigelseshastigheden fo et legeme, hvis vi befinde os i afstanden 0? Idet vi kalde denne undvigelseshastighed v, kan vi skive: 0 (5.10) v 0 GM (5.6) 0 GMc GM c c Nu begynde tingene at falde på plads, ikke sandt? Schwatzschilds adius, 0, e den afstand fa et legemes centum, hvo undvigelseshastigheden e lig lysets hastighed, foudsat at hele massen e samlet inden fo 0. Dvs. at kun lys og intet andet e i stand til at undslippe, og hvis massen øges bae den mindste smule, vil selv lys ikke kunne slippe væk. Med ande od: 0 makee ovefladen af et sot hul! Jeg omtalte ganske kot sote hulle i kapitel. De e det, de blive tilbage, nå en meget tung stjene ha nået enden af sit liv og eksplodee som en supenova. 4 0 e godt nok ikke ligesom c en univesel konstant, men den e en konstant i fohold det legeme, vi studee. Et objekt med en bestemt masse ha altid den samme vædi fo

9 Som man kan se af definitionen af 0 (5.6), vil enhve genstand falde sammen til et sot hul, hvis dens masse koncentees inden fo dens Schwatzschildadius. Hvo stot, hullet blive, afhænge kun af, hvo sto genstandens masse e. Man behøve dog ikke væe bange fo at komme til at fembinge et sot hul, hvis man klemme kæesten lidt fo indeligt, fo den kævede sammenpesning e ganske betydelig. I tabel 5. ha jeg beegnet 0 fo en ække foskellige objekte. Et sot hul med solens masse vil fo eksempel have en adius på lidt unde te kilomete, og et sot hul med jodens masse vil væe en lille gnalling med en adius på minde end 9 mm! Sote hulle e i dobbelt fostand sote. Det, de ske ved ovefladen af et sådant hul, e ikke blot, at lyset ikke længee kan slippe væk; hullet begynde nemlig at sotne et pænt stykke længee ude end 0. Dette skyldes et fænomen, de kaldes ødfoskydning. Rødfoskydning e et af univesets ganske dagligdags udtyksmidle. Vi kende det alle af egen efaing som det mee geneelle fænomen, Doppleeffekt. Hvis man stå ved fotovskanten, mens et udykningskøetøj køe fobi, høe man tydeligt, at tonen fa sienen pludselig falde, nå køetøjet passee. Dette skyldes, at lydbølgene kompimees en smule i køetøjets bevægelsesetning, (den høte tone blive mee højfekvent), mens de tilsvaende stækkes i den modsatte etning, (den høte tone blive mee lavfekvent). Hvo sto kompessionen elle udstækningen e, afhænge af hastigheden. Pæcis det samme ske med lys. En lyskilde, de næme sig, vike mee blålig, end hvis den va i hvile, mens en lyskilde, de fjene sig, vike mee ødlig. Effekten e blot så svag, at den ikke bemækes i voes dagligdag. Men fo himmellegeme, de ofte bevæge sig med stoe hastighede i fohold til hinanden, e Doppleeffekten målelig, således at astonomene med sto pæcision ved hvo hutigt selv meget fjene galakse bevæge sig i etningen mod elle fa joden. Kom så ækvivalenspincippet i hu. Det sige, at de fysiske obsevatione, man kan gøe i en efeenceamme, de e i hvile i et tyngdefelt, e de sammen som dem, man kan gøe i en efeenceamme i acceleeet bevægelse. Kombinee man dette med Doppleeffekten, se man, at et tyngdefelt bø give anledning til en gavitationel ødfoskydning. Det e da også pæcis, hvad man se både i teoi og i paksis. Jo tættee en lyskilde e på 0, jo mee stækkes lyset mod ødt, infaødt, mikobølge, kotbølgeadio, mellembølgeadio, langbølgeadio osv., osv. Udtykket fo den gavitationelle ødfoskydning, z g, se således ud: Genstand Masse [kg] 0 [m] Mælkevejen 10 41, Solen 10 30, Joden , Supetanke , Menneske , Tabel 5.. Schwazschilds adius fo foskellige genstande. (5.11) z g 1 GM 1 c Bemæk igen kvadatoden, 1 0. Vi ha nu set udtyk af denne at i gennemgangen af elativitetsteoien så mange gange, at vi næsten kan sige, at signatu. 1 e elativitetsteoiens en ting en andenting Sote hulle, de i begyndelsen blev kaldt Schwatzschildsingulaitete, e en uundgåelig konsekvens af den geneelle elativitetsteoi, men i lang tid blev de af mange anset fo matemati- 110

10 ske abstaktione, de ikke kunne eksistee i den vikelige veden. Einstein va skeptisk og Eddington diekte fjendtlig. Han mente, at de måtte eksistee en natulov, de fohindede stjene i at opføe sig så absud, at de kunne kollapse til sote hulle. Demed fosinkede han den astofysiske foskning med flee åtie. Alleede i 1930 ene havde den unge, indiske fysike, Subahmanyan Chandasekha, nemlig beegnet, at stjene ove en vis masse nødvendigvis må ende dees liv med ultimativ sammenstytning, men Eddington va en af vedens føende astonome, så hans fejlbehæftede modagumente vejede tungee. Så tungt, at Chandasekha måtte skifte foskningsomåde. Føst i slutningen af 1950 ene vendte han tilbage til studiet af stjenekollaps og en voksende intenational anekendelse, de kulmineede med en Nobelpis i Lad os nu se lidt næmee på, hvad det va, de fastødte Eddington og de ande gamle så meget. Som jeg fotalte i kapitel, holdes stjene udspilet af et inde tyk, de modvike tyngdekaften. Så længe en stjene ha bændstof nok i fom af bint elle helium, elle hvad det nu e, den fobænde, komme modtykket fa fusionspocessene i dens kene. Men nå fusionen standse endegyldigt, falde stjenen sammen, indtil en anden fom fo modtyk kan bemse sammenstytningen. Fo små og mellemstoe stjene skabes dette nye modtyk af Paulis udelukkelsespincip. Det e et kvantemekanisk fænomen, de diktee, at visse patikeltype ikke kan have samme kvantemekaniske tilstand inden fo samme fysiske system. Jeg komme ind på dette i flee detalje i kapitel 9. Det, de betyde noget i denne fobindelse, e, at jo tættee atomene i stjenen pesses sammen, jo mee vil disse atome modsætte sig ydeligee sammenpesning. Fo små stjene som solen standse sammenstytningen, nå atomene ligge helt tæt op ad hinanden, og massefylden e hundedtusindvis af tons p. kubikcentimete. Fo mellemtunge stjene fotsætte kollapset imidletid, så atomenes potone og elektone næmest blive tykket ind i hinanden, så stjenen på en måde blive til en eneste sto atomkene bestående af neutone. Men selv ikke dette e slutpunktet fo de tungeste stjene. Fo dem fotsætte sammenstytningen u- hæmmet. De kollapse ind bag dees Schwatzschildadius og videe, indtil alt stjenestoffet e pesset sammen i et dimensionsløst punkt. Et sådant punkt kaldes en singulaitet og kan egentlig betagtes som liggende uden fo univeset. I hvet fald ophøe alle kendte fysiske love med at have gyldighed, nå vi nå singulaiteten. Kan man fotænke de ælde fysikee og astonome i føste halvdel af det 0. åhundede i at finde en sådan opføsel på kanten af, hvad de va comme il faut? Men god opføsel elle ej, så skulle femtiden vise, at sote hulle e en ealitet. De e en del af univesets inventa, og de e ikke en gang sælig sjældne. Fig. 8 vise et ganske nydeligt eksempla. Den beskivelse af dannelsen af et sot hul, jeg gav ovenfo, e set fa stjenens synspunkt. Lad os nu pøve at se den fa ummets i stedet. Fig. 8. Sot hul i galaksen M87. Hullet selv e selvfølgelig usynligt; det, vi se, e effekten af at stof falde ind i hullet og flås i stykke unde udsendelse af højenegetiske patikle og øntgenståle. (NASA). 111

11 På fig. 9 se du et umtidsdiagam som dem, vi stiftede bekendtskab med i kapitel 4. Eneste foskel e, at jeg ha medtaget to umdimensione, x og y, i stedet fo kun én. Den oangegule ting e en stjene, de til at begynde med, (dvs. nedest i diagammet), ha konstant adius. Men efte kot tid begynde den at falde sammen. Dens adius blive minde og minde og nå på et tidspunkt den støelse, de e makeet med de hvide linie. Det e stjenens Schwatzschildadius, 0. Men sammenstytningen fotsætte ustoppeligt, indtil stjenens adius e skumpet ind til ingenting. Tilbage e kun singulaiteten, de taditionelt angives med en zigzaglinie, selv om den selvfølgelig etteligen blot skulle væe en lodet, lige steg. Fig. 9. Rumtidsdiagam fo en stjene, de kollapse til et sot hul. Men læg nu mæke til de gule, tisselignende genstande. Det e lyskegle. Vi taf dem føste gang i umtidsdiagammene i kapitel 4, hvo vi så, at dees side som følge af lyshastighedens konstans altid danne vinkle på 45 i fohold til diagammets akse. Desuden e det dem, de i fohold til en given hændelse, A, inddele umtiden i te egione: den tidslignende, de indeholde alle hændelse, som kan kommunikee med A, (dvs. alle hændelse de eksistee i A s fotid elle femtid), den umlignende, de indeholde alle hændelse, de ikke kan kommunikee med A, (dvs. hændelse de hveken e en del af A s fotid elle femtid, fodi kommunikation ville kæve hastighede støe end lysets), og den lyslignende, de danne gænse mellem de to ande. Som du se, ske de noget meget usædvanligt med lyskeglene, nå vi betagte hændelse, de ligge næmee og næmee singulaiteten. Kun kegle n. 1 se ud, som vi fovente. De ande hælde, og de blive smallee og smallee. Begge fænomene e en konsekvens af, at umtiden kumme omking det sote hul, og den kumme på en sådan måde, at lyskeglenes hældning og fosnæving e nøje synkoniseede. Bemæk den side af keglenes øveste del, de vende ind mod singulaiteten. Den vise den bane ( vedenslinie ) gennem tid og um, en lysståle udsendt i etning af det sote hul vil følge. Denne bane blive ved med at danne en vinkel på 45, uanset hvo næ på singulaiteten, vi komme. Defo må lyskeglen begynde at hælde, eftesom umtidens kumning fosnæve keglen. Hvad betyde dette i paksis? Tænk tilbage på foige kapitel, hvo vi så, at alt det, de ligge inden fo en given hændelses opadvendte lyskegle, men kun det, ligge i hændelsens femtid. Elle sagt på en anden måde: hvis hændelsen fo eksempel bestå i, at jeg fa et umskib sende et lysglimt ud i alle etninge, vil min femtidige vedenslinie med usvigelig sikkehed ligge inden fo den opadvendte lyskegle. Lyskeglen bestå jo af den boble af lys set som et sammenhængende, fiedimensionalt objekt (med tiden som den fjede dimension), de bede sig ud fa umskibet. Eftesom mit umskib ikke kan bevæge sig hutigee end lyset, kan jeg aldig indhente lysboblen, og lysboblen e jo netop det, de i fie dimensione svae til keglenes side i det tedimensionale diagam. Jeg vil defo altid befinde mig inde i lysboblen. Og nu komme så det vikelige clou: vedenslinien fo et objekt i hvile, (dvs. vedenslinien fo en inetiel efeenceamme), vil altid væe centeet i fohold til lyskeglene! Nå keglene defo hælde ind mod singulaiteten, vil det opleves, som om de e en kaft, de tække i objektet og få det til at bevæge sig mod singulaiteten. Det e den indbildte kaft, vi kalde tyngdekaften indbildt, fodi de ikke e nogen kaft, men kun en fovængning af tid og um, de få ethvet objekt til at glide ind mod massekoncentatione. Måske vil det hele komme til at stå klaee, hvis du følge med på den ejse, de e vist på umtidsdiagammet i fig

12 I dette diagam se vi de sidste time af umskibet Den Distiges fæd. De hvide linie e et sot huls Schwatzschildadius, den takkede, lilla linie e singulaiteten i midten af det sote hul, den gønne linie e Den Distiges vedenslinie, og de gule lyskegle makee udsendelse og modtagelse af signale på foskellige tidspunkte ombod på umskibet. Den lyseblå steg e vedenslinien fo Den Distiges søsteskib, Den Fosigtige. Du befinde dig ombod på Den Fosigtige, mens din veninde, Claissa, e passage på Den Distige. Ved 1 befinde begge umskibe sig på sikke afstand af det sote hul. Rummet foekomme helt nomalt fo alle ombodvæende, og du og Claissa sidde afslappede foan hve jees adiomodtage og udveksle små, hyggelige bemækninge. Men pludselig sige Claissa, at kaptajnen netop ha meddelt, at alle Den Distiges motoe pga. en usædvanlig uheldig fejl e gået i stå. Rumskibet begynde ganske langsomt at dive næmee det sote hul, fodi dets styeakette ikke længee kan kompensee fo umtidens kumning, alias det sote huls tyngdekaft, selv om denne endnu e næsten umækelig. Husk, at fa det øjeblik, Den Distiges motoe standse, befinde fatøjet sig i fit fald, hvilket betyde, at det følge den kotest mulige bane gennem umtiden. I et umtidsdiagam i den lokale efeenceamme skal en sådan bane afbildes som en lodet vedenslinie i midten af en lyskegle. Nå umtiden vide lyskeglene, vides alle vedenslinie tilknyttet lokale begivenhede defo med. Ved i fig. 10 kan du lige akkuat se, at en lyskegle centeet omking Den Distiges vedenslinie e begyndt at hælde ind mod det sote hul. Og nå du sidde ombod på Den Fosigtige, og snakke med Claissa, kan du også så småt begynde at mæke en foskel. Det e ikke kun, fodi I begge e anspændte, at det vike, som om Claissa tale langsommee, og at hendes stemme e blevet dybee. Effektene e eelle, de skyldes den gavitationelle tidsdilatation ombod på Den Distige. Set fa dit synspunkt gå tiden langsommee fo Claissa end fo dig, hvilket både betyde, at de gå længee tid mellem hvet od, hun sige, og at adiobølgene fa hendes sende ødfoskydes, dvs. de foskydes mod lavee fekvense. Men fa hendes synspunkt e det lige omvendt. Hun synes, at du lyde hektisk; du snakke hutigee, og din stemme e mee skinge, fodi din tid synes acceleeet. Imens du og Claissa fosøge at holde i hånd hen ove den stadigt voksende afstand mellem je, fosøge Den Distiges maskinmeste at få gang i motoene igen. Han ved, at de endnu e tid, fo Den Distige e fosynet med det allenyeste inden fo femdivningsteknologi. Om nødvendigt kan fatøjet acceleee til hastighede vilkåligt tæt på lysets. Men tiden gå, og Den Distige glide hjælpeløst langs den gønne vedenslinie i fig. 10. Lyskeglene associeet med hændelse på Den Distige deje mee og mee ind mod det sote hul, og fatøjet falde hutigee og hutigee ind mod singulaiteten. Du og Claissa e ikke længee i stand til at tale sammen, fo hendes stemme e fo dig kun en dyb, ufoståelig mumlen, og din e fo hende som cikadesang. Defo e I gået ove til at skive til hinanden på gammeldags mané. Det sidste, de tikke ind på din skæm, lige fø Den Distige nå position 3, e: J...E...G...E...L...S...K...E...R...D... Heefte høe ingen nogensinde mee fa Den Distige. Fig. 10. Rumtidsdiagam, de vise Den Distiges fald mod et sot hul, mens Den fosigtige holde sig på sikke afstand. 113

13 Hvofo? Ved position 3 ha fatøjet nået det sote huls Schwatzschildadius, 0. Læg mæke til lyskeglen. Dens høje side e nu lodet, således at blot det at foblive i en afstand af 0 fa singulaiteten kæve, at man bevæge sig med lysets hastighed. Selv lys udsendt diekte udad fa en afstand af 0 vil aldig væe i stand til at nå længee væk fa singulaiteten end 0. Rumtiden e kummet så voldsomt, at etninge ud fobi 0 ikke længee eksistee! Defo kaldes Schwatzschilds adius også fo det sote huls hoisont. Fa det øjeblik, Den Distige passee hoisonten, e fatøjet og dets besætnings skæbne beseglet. Med nøgten jagon fa geneel elativitetsteoi kan man sige, at alle femtidige hændelse, de e tidslignende elateet til Den Distige, ligge inde fo hoisonten. Elle sagt mee lige på og hådt: Den Distige vil med usvigelig sikkehed tæffe singulaiteten på et elle andet tidspunkt i femtiden. Ja, faktisk e det sådan, at tid og um fo Den Distige simpelthen ende ved singulaiteten. Tag nu en lille pause, fø du læse videe, og pøv, om du kan besvae disse te spøgsmål: 1. Hvilken hastighed ha Den Distige, nå den passee det sote huls hoisont?. Hvilken bølgelængde ha det sidste signal, du modtage fa Claissa? 3. Hvis Claissa i gæmmelse ha tukket sig tilbage til sin vinduesløse kabine, hvodan opleve hun så passagen af hoisonten? Den devne teoetike vil vide, at kun spøgsmål ha et entydigt sva, så lad os tage det føst. Se på ligning (5.11) fo den gavitationelle ødfoskydning, z g, og lad næme sig 0 svaende til, at Claissa komme tættee og tættee på hoisonten. Du ha eftehånden væet igennem denne pocedue nogle gange, så det komme næppe som noget stot chok, at nævneen haste mod 0 og hele udtykket demed mod uendelig. Udtykt i matematikkens symbolspog: (5.1) lim z 0 g Claissas sidste od blev sendt af sted, lige fø Den Distige nåede det sote huls hoisont. Defo e bølgelængden af det sidste signal godt på vej mod uendelig, hvilket i denne sammenhæng vil sige det ene ingenting. En uendeligt lang bølge e jo stengt taget ikke længee nogen bølge. Heaf kan du også slutte, at du fa Den Fosigtige aldig vil kunne se Den Distige elle noget som helst andet nå selve hoisonten. Al ståling hefa stækkes ud til ingenting. Dvs. det sote hul e i dobbelt fostand sot. Så e de spøgsmål 1: Med hvilken hastighed nå Den Distige hoisonten? Husk på definitionen af Schwatzschilds adius, 0. Den makee den afstand fa singulaiteten, hvo undvigelseshastigheden e lig c. Men det betyde også, at en genstand, hvis den falde mod det sote hul fa sto afstand uden at væe påviket af ande kæfte end det sote huls tyngdekaft, vil nå hastigheden c i afstanden 0, dvs. ved passage af hoisonten. Dette e bae ikke det fuldstændige sva. Det e den hastighed, du, som befinde dig på sto afstand af det sote hul, vil obsevee elle ettee deducee, fo du kan jo som nævnt ovenfo ikke obsevee noget ved selve hoisonten. Men hvad med Claissa? Tag et kig på fig. 10, position 3. Den Distiges vedenslinie ligge smukt centeet langs lyskeglens akse, så i fohold til den lokale del af umtiden e Den Distige i hvile. Den vilde acceleation ned mod hoisonten opleves af Claissa ikke andeledes, end hvis hendes fatøj havde bevæget sig med konstant hastighed i det integalaktiske um, dvs. som om fatøjet va i hvile. Men hvad så, nå Den Distige nå selve hoisonten? Vil Claissa bemæke det? Svaet afhænge i meget høj gad af det sote huls støelse. Hvis hullet e et af den slags, de findes i mange galakses cente, og som ha masse på adskillige millione gange solens, kan hun nå 114

14 dybt ind i det sote hul, fø tilvæelsen begynde at blive ubehagelig. Hvis hullet deimod e lille fo eksempel te til fie solmasse vil både Claissa og Den Distige væe uslettet længe fø hoisonten. Vi kan fostå hvofo, hvis vi fo en tid skifte synspunkt Du befinde dig ombod på Den Distige, mens din ven, Didik, e passage på Den Fosigtige. Din opgave e at studee et gigantisk sot hul næ Mælkevejens centum (fig. 11a). Du sidde afslappet i en af obsevationskuplene på siden af umskibet, hvofa du ha 180 panoamaudsigt, og beette fo Didik, hvad du se. Fig. 11a. Simulation af et 180 panoama af Mælkevejen. Til venste se du i etning af et sot hul, i midten lige fem og til høje bot fa det sote hul. Du skal altså foestille dig billedet kummet i en halvcikel omking dig. Afstand fa hullet: (Alle billede i fig. 11 Ute Kaus, Max-Planck-Institut fü Gavitationsphysik, Golm und Theoetische Astophysik, Univesität Tübingen). Du befinde dig på sikke afstand af det sote hul: 100 gange dets Schwatzschildadius, og hullet gø sig føst og femmest bemæket ved den måde, hvopå det afbøje lyset i sin umiddelbae næhed. Men pludselig meddele kaptajnen, at alle motoe e gået i stå. Den Distige kan ikke længee kompensee fo den svage tiltækning fa det sote hul, så fatøjet begynde langsomt at dive næmee. Med stigende bekyming se du, hvodan udsigten fa Den Distige ænde sig, samtidig med at du fosøge at bevae kontakten med Didik. Fig. 11b. Afstand: 0 0. Det e imidletid ikke så let, fo du synes, at han tale hutigee og hutigee. Hans od begynde at blive ufoståelige, og til sidst e I nødt til at gå ove til at skive sammen. 115

15 Fig. 11c. Afstand 4,5 0. Imens fotsætte Den Distige sit fald, og du begynde at indse, at umskibet og alle I, de e ombod, med sto sandsynlighed e fotabt. Fig. 11d. Afstand,5 0. Det sote hul dominee nu fuldstændig himlen et foude. Det e, som om Den Distige med asende fat e ved at falde ned i en bundløs bønd. Du ved, at fatøjets acceleation må væe uhyligt sto, tusindvis af gange støe end tyngdeacceleationen ved jodens oveflade, men da I befinde je i fit fald, e du lige så behageligt vægtløs, som du hele tiden ha væet. Fig. 11e. Afstand 1,5 0. Men da du jo e ekspet i geneel elativitetsteoi, ved du, at en voldsom afslutning vente Den Distige og alle dens ombodvæende i næ femtid, hvis ikke det lykkes maskinmesteen af få gang i motoene meget hutigt! Et øjeblik oveveje du at lukke dig inde i din kabine og tage en af de øde knock out-pille, men din videnskabelige nysgeighed vinde ove fygten. Det e tods ikke hve dag, man få mulighed fo at se et sot hul indefa! Faktisk kan man sige, at nå det nu skulle væe, e du heldig, at hullet e så stot. Havde det væet af mee beskeden støelse, ville du have væet død, længe inden du kom så tæt på, som du e nu. 116

16 Fig. 11f. Afstand 1, 0. Men uhyggeligt set det ud! Instumentene fotælle, at I endnu e uden fo hoisonten, men ummets kumning få det til at se ud, som om det sote hul vittelig e en bønd, som I alleede e godt på vej ned i. Fig. 11g. Afstand 1,05 0. Mens hele univeset se ud til at fosvinde bot ove den imaginæe bønds åbning, taste du febilsk de od, som du ville have ønsket, at du havde fået sagt til Didik, dengang I abejdede sammen på foskningsbasen, Sagittaius A: JEG ELSKER DIG! Om odene nogensinde nå fem, fø ødfoskydningen tilintetgø dem, ved du ikke. Du kan kun håbe det, mens bøndens åbning lukke sig ove dig. Fig. 11h. Afstand 1, Veden e bote. Den Distige ha passeet hoisonten. Du svæve i møket. Hele det mægtige unives, du havde viet dit liv til at studee, e i paksis ophøt med at eksistee. De, hvo du nu e, føe alle veje til singulaiteten. Hvo langt, de e tilbage, e svæt at afgøe, fo ummet følge ikke længee de sædvanlige geometiske egle. Omkedsen af hypotetiske cikle tegnet omking singulaiteten e ikke længee π=3, gange diameteen, men deimod minde. Selveste univesets fundamentale konstante e ikke længee til at stole på. Pi ace 117

17 på absud vis mod 0, så selv bittesmå cikle kan have enome diamete, og hvad e de sket med c? Du ved jo, at Den Distige må have nået selveste lysets hastighed, da I passeede hoisonten, men du ved også, at I fotsat acceleee fuldstændig uhæmmet. Hvis nogen uden fo det sote hul havde kunnet kigge ind, ville de have set Den Distige fae af sted med tusinde af gange c! Alligevel vike foholdene inde i obsevationskuplen fuldstændig nomale. De svagtlysende instumente se ud, som de pleje, ventilationsanlægget summe, og du svæve femdeles vægtløst undt Elle?! Noget tække dig ganske svagt i føddene! Du fosøge at finde et elle andet at holde i, men inden du nå at få fat i et håndtag, e din kop ubønhøligt blevet dejet, så du ha føddene mod det sote huls centum. Og det e ikke kun føddene, du blive tukket i. De e også noget, de tække dig i hovedet, men i Fig. 1. Tidevandets opståen på joden. De gule pile modsat etning! Det e ikke sælig behageligt, du angive månens tiltækningskaft, de tukise centifugalkaft og de øde den esulteende kaft. Det e fosøget at kumme dig sammen, men de modsatettede kæfte stække dig ud igen. Hået to bule på hve sin side af joden. denne esulteende kaft, de tække havene ud i begynde at ejse sig på dit hoved, som om du hang med hovedet nedad, samtidig med at tækket i dine ben også vokse og vokse. Det e ikke længee bae ubehageligt, det gø ondt, din kop e ved at blive flået i stykke. Blodet vælde mod hovedet og benene, så hjetet få minde og minde at abejde med. Til sidst må det give op, og bevidstløshed og død udfie dig af smetene Hvad slog Claissa og esten af Den Distiges besætning ihjel? Svaet e, at det gjode noget så banalt som tidevandskæfte! Det samme dagligdags fænomen, som få havene på joden til at stige og falde, flåede det uheldige umskib og dets indhold i stumpe og stykke. Fig. 1 epetee dannelsen af flod og ebbe unde påvikning af månens tyngdekaft, og på fig. 13 e det samme fænomen oveføt på Claissas situation. Fodi tyngdefeltet e så intenst, og fodi Claissa e så tæt på singulatiteten, e de en betydelig foskel på den kaft, de påvike hendes fødde og hendes hoved. Af Claissa selv opleves dette, som om hendes ovekop og undekop blive tukket i hve sin etning af stadig voldsommee kæfte. Fig. 13. Claissas fald mod det sote huls singulaitet. De ødlilla pile angive de esulteende kæfte. Det gule bælte makee Claissas tyngdepunkt. Kæftene, de påvike hende, e symmetiske i fohold til dette. Vi skal nu gennemgå Claissas endeligt en gang til, men denne gang tolket koekt som kumning af ummet. Fostil dig, at du ha et stykke gummi, de e spændt ud ove en amme. Midt på gummistykket fæstne du en lille, tenfomet, blå ting, og undt om denne tegne du nogle koncentiske cikle. Deefte tilføje du linie, de som ege i et hjul ståle ud fa centum. Til slut tegne du et billede af Claissa med Fig. 14a. Todimensionalt billede af Claissa tegnet på et fladt stykke gummi. 118

18 benene pegende mod den blå dims (fig. 14a). Gummifladen gø det ud fo voes nomale um, dvs. vi ha fjenet en dimension, så Claissa fo en tid e henvist til Flaðland. Den blå ten e en elle anden fuldstændig ubetydelig masse, og de koncentiske cikle e mål fo afstand fa denne masse. Tag nu det udspændte gummistykke og oté det 90, så vi komme til at se det fa kanten (fig. 14b og 14c). Du se nu Claissa på samme måde, som vi Fig. 14b. Gummistykket i Fig. 14a oteet 45. i kapitel 3 så Flaðlands indbyggee, altså fa kanten og med en tykkelse, de kun e de fo at gøe det muligt fo os at se billedet. Tag så fat i den blå ten på undesiden af gummiet, som jeg gø på fig. 14c, og tæk nedad! Resultatet blive figuen på fig. 15a. Fig. 14c. Gummistykket i Fig. 14a, de nu e oteet 90, så man kan se, at jeg e paat til at tække i den blå ten. Husk, at Claissas veden fotsat e begænset til gummistykket, de nu ha fået en tompetfomet fodybning. Men fodybningen e dannet i en dimension, som ikke e en del af Claissas unives. Din veninde e defo ikke i stand til at se, at hendes lokale um e kummet. Fo hende synes ummet umiddelbat at have uændet topogafi som i fig. 15b, de vise fig. 15a set lige ovenfa. Men de e en foskel, som du kan se ved at sammenligne med fig. 14a. Den blå ten e blevet lilla, og Claissas ansigt udståle ikke længee stille velbehag! Åsagen til ændingen af hendes humø bude femgå tydeligt af fig. 15a. Se på tompetens venste side. He vise favene det um, som Claissas kop udfylde. Dette um e nu stakt til ca. 1,6 gange sin opindelige længde! Nu e det selvfølgelig ikke sådan, at atomene i Claissa e fast foanket til bestemte punkte i ummet. Det stå dem fit fo at bevæge sig, som de lyste, så længe de e en kaft, de kan bevæge dem. Men uden en sådan kaft, vil atomene følge ummets kumning. Dette e helt analogt til, at patiklene i faven på gummistykket vil blive tukket fa hinanden, nå jeg tække i tenen. Det, de holde Claissas kop sammen, e den elektomagnetiske kaft mellem atome og molekyle. Det e en stæk kaft, som langt hen ad vejen kan modstå ummets kumning, men det e ikke uden omkostninge fo Claissa. Hun føle nemlig en kaft, de fosøge at stække hendes kop. Fo hvad e det, jeg ha gjot ved at tække i gummistykket? Jeg ha intoduceet en massekoncentation. Jo mee jeg tække, jo støe masse. På fig. 15a ha jeg fået tukket ummet ud i en spids og demed fovandlet den uskyldige blå ten til et sot huls singulaitet. Defo faveskiftet til lilla, som jeg jo ha valgt til at symbolisee en singulaitet. Fig. 15a. Gummiuniveset med et sot hul. 119

19 Tompeten på fig. 15a vise således kumningen af ummet (educeet til to dimensione) inde i det sote hul, de ha opslugt Claissa. Nu kan du også se, hvofo foholdet mellem omkeds og cikeldiamete ikke længee e gammelkendte pi. Alle ciklene på fig. 15a ha samme omkeds som de tilsvaende cikle på fig. 14a, men fo at kydse en cikel langs en diamete, skal man hele vejen ned omking singulaiteten og op igen på den anden side. Nu kan du også se, hvofo du e nødt til at finde et passende stot sot hul, hvis du vil opleve passagen af hoisonten. Hvis hullet e fo lille, blive tompettagten så stejl, at din kop tækkes i stykke af tidevandskæftene, længe inden du nå Schwatzschilds adius, og demed gå du glip af at se bønden lukke sig ove dig. Fig. 15b. Det tompetfomede gummiunives som oplevet af Claissa. Hvo langt e de egentlig fa et givet punkt inden fo det sote huls hoisont og til singulaiteten? Hvis vi skal tage matematikken fuldstændig bogstaveligt, e svaet (sandsynligvis): uendelig langt. Den geneelle elativitetsteois ligninge sige, at ummets kumning i selve singulaiteten e uendeligt sto, hvilket i fig. 15a s geometiske analogi svae til, at tompetens spids e tukket uendeligt langt ned. Heved kan du også indse, at de ikke e nogen vej, de føe igennem singulaiteten, den e en diskontinuitet, et sted hvo um og tid vitteligt ende. Den e også et sted, hvo al stoflig eksistens må høe op. På vejen ind mod singulaiteten vokse tidevandskæftene uden gænse. En mus vil oveleve længee end Claissa, fodi dens kop e minde, en amøbe vil oveleve længee end en mus, og en bakteie vil oveleve længee end en amøbe. Men alle vil de med usvigelig sikkehed bukke unde på et elle andet tidspunkt, fodi foskellen i tyngdeacceleation hen ove dees legeme vil nå en støelse, som flå dem fa hinanden. Og stoffets endeligt e selvfølgelig ikke begænset til biologisk mateiale. Molekyle vil også blive flænset, og atome, og atomkene, ja selv elementapatiklene, det mest bestandige man kan foestille sig. Intet kan oveleve mødet med singulaiteten Skal vi vikelig tage alt dette alvoligt? Skal vi vikelig to på, at stof svaende til dusinvis, tusindvis elle millionvis af soles masse kan pesses sammen til et punkt? At selv atome og elementapatikle kan flås i stykke fodi ummet næmest vende vangen ud på sig selv? Jeg kan ikke give et endegyldigt, klat sva. Ingen kan. Hvad jeg ha beskevet ovenfo e, hvad den geneelle elativitetsteois ligninge (unde visse betingelse) foudsige, og ligningene ha vist sig gyldige i mange ande sammenhænge. Men som alle ande ligninge e de kun idealiseede tilnæmelse, og foholdene næ et sot huls singulaitet e eksteme. Så eksteme, at det e foventeligt, at ligningene byde sammen, fø vi nå selve singulaiteten. Åsagen e det beklagelige faktum, at elativitetsteoien og den kvantemekanik, vi skal stifte bekendtskab med senee, e indbydes ufoenelige. I det daglige e dette ikke noget poblem, fodi de beskæftige sig med hve sit kosmiske domæne, nemlig henholdsvis det meget stoe og det meget små. Men netop i næheden af et sot huls singulaitet smelte disse domæne sammen. Tyngdekaften alias umtidens kumning blive he så enom, at den ha mækba effekt på de enkelte elementapatikle, og det ha fysikene endnu ikke nogen pålidelige teoie, de kan håndtee. At finde en sådan teoi e det 1. åhundedes stoe, videnskabelige udfoding. 10

Projekt 0.5 Euklids algoritme, primtal og primiske tal

Projekt 0.5 Euklids algoritme, primtal og primiske tal Pojekt 0.5 Euklids algoitme, pimtal og pimiske tal Betegnelse. Mængden af hele tal (positive, negative og nul) betegnes. At et tal a e et helt tal angives med: aî, de læses a tilhøe. Nå vi ha to vilkålige

Læs mere

Projekt 5.2. Anvendelse af Cavalieris princip i areal- og rumfangsberegninger

Projekt 5.2. Anvendelse af Cavalieris princip i areal- og rumfangsberegninger Hvad e matematik? B, i-bog Pojekte: Kapitel 5. Pojekt 5.. Anvendelse af Cavalieis pincip i aeal- og umfangsbeegninge Pojekt 5.. Anvendelse af Cavalieis pincip i aeal- og umfangsbeegninge Den gundlæggende

Læs mere

Alt hvad du nogensinde har ønsket at vide om... Del 2. Frank Nasser 2006-2007

Alt hvad du nogensinde har ønsket at vide om... Del 2. Frank Nasser 2006-2007 Alt hvad du nogensinde ha ønsket at vide om... VEKTORER Del 2 Fank Nasse 2006-2007 - 1 - Indledning Vi skal i denne lille note gennemgå det basale teoi om vektoe i planen og i ummet. Stoffet e pæcis det

Læs mere

Den stigende popularitet af de afdragsfrie lån har ad flere omgange fået skylden for de kraftigt stigende boligpriser de senere år.

Den stigende popularitet af de afdragsfrie lån har ad flere omgange fået skylden for de kraftigt stigende boligpriser de senere år. 16. septembe 8 Afdagsfie lån og pisstigninge på boligmakedet Den stigende populaitet af de afdagsfie lån ha ad flee omgange fået skylden fo de kaftigt stigende boligpise de senee å. Set ove en længee peiode

Læs mere

Annuiteter og indekstal

Annuiteter og indekstal Annuitete og indekstal 1 Opspaing og lån Mike Auebach Odense 2010 Hvis man betale til en opspaingskonto i en bank, kan man ikke buge entefomlen til at beegne, hvo mange penge, de vil stå på kontoen. På

Læs mere

Matematik på Åbent VUC

Matematik på Åbent VUC Matematik på Åent VUC Lektion 8 Geometi Indoldsfotegnelse Indoldsfotegnelse... Længdemål og omegning mellem længdemål... Omkeds og aeal af ektangle og kvadate... Omkeds og aeal af ande figue... Omegning

Læs mere

Erhvervs- og Selskabsstyrelsen

Erhvervs- og Selskabsstyrelsen Ehvevs- og Selskabsstyelsen Måling af viksomhedenes administative byde ved afegning af moms, enegiafgifte og udvalgte miljøafgifte Novembe 2004 Rambøll Management Nøegade 7A DK-1165 København K Danmak

Læs mere

Dimittendundersøgelse, 2009 Dato: 3. juni 2009

Dimittendundersøgelse, 2009 Dato: 3. juni 2009 Dimittendundesøgelse 2008-2009 Afspændingspædagoguddannelsen Dimittendundesøgelse, 2009 Dato: 3. juni 2009 Opsummeing af undesøgelse foetaget blandt dimittende fa Afspændingspædagoguddannelsen Datagundlag

Læs mere

Procent og eksponentiel vækst - supplerende eksempler

Procent og eksponentiel vækst - supplerende eksempler Eksemple til iveau F, E og D Pocet og ekspoetiel vækst - suppleede eksemple Pocete og decimaltal... b Vækst-fomle... d Fa side f og femefte vises eksemple på bug af vækstfomle. Fomle skives omalt på dee

Læs mere

MATEMATIK på Søværnets officerskole

MATEMATIK på Søværnets officerskole MOGENS ODDERSHEDE LARSEN MATEMATIK på Søvænets officeskole (opeativ linie). udgave 9 FORORD Bogen gennemgå det pensum, som e beskevet i fagplanen af 9. Det e en foudsætning, at de studeende ha et solidt

Læs mere

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN MATEMATIK

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN MATEMATIK MOGENS ODDERSHEDE LARSEN MATEMATIK fa C- til A- niveau. udgave FORORD Denne bog e beegnet fo studeende, som ha behov fo at epetee elle opgadee dees matematiske viden fa C elle B- niveau til A-niveau Bogen

Læs mere

Danmarks Tekniske Museum. Det kunstige øje - om mikroskopet og dets verden

Danmarks Tekniske Museum. Det kunstige øje - om mikroskopet og dets verden Danmaks Tekniske Museum O P T I K & L Det kunstige øje - om mikoskopet og dets veden Y S Til læeen At bille både e fysik og kultuhistoie, e fo mange bøn en velbevaet hemmelighed. Dette til tods fo at alle

Læs mere

Ønskekøbing Kommune - netværksanalyse i den administrative organisation

Ønskekøbing Kommune - netværksanalyse i den administrative organisation Ønskekøbing Kommune - netvæksanalyse i den administative oganisation Hvodan vike det i paksis? Elektonisk spøgeskemaundesøgelse Svaene fa undesøgelsen kombinees med alleede eksisteende stamdata i minde

Læs mere

Rentesregning: Lektion A1. Forrentningsfaktor, Diskonteringsfaktor, og Betalingsrækker. Overordnede spørgsmål i Rentesregning. Peter Ove Christensen

Rentesregning: Lektion A1. Forrentningsfaktor, Diskonteringsfaktor, og Betalingsrækker. Overordnede spørgsmål i Rentesregning. Peter Ove Christensen Rentesegning: Lektion A1 Foentningsfakto, Diskonteingsfakto, og Pete Ove Chistensen Foå 2012 1 / 49 Oveodnede spøgsmål i Rentesegning Hvoledes kan betalinge sammenlignes, nå betalingene e tidsmæssigt adskilte?

Læs mere

Praksis om miljøvurdering

Praksis om miljøvurdering Paksis om miljøvudeing Miljøvudeingsdage 2015 Nyee paksis på miljøvudeingsomådet Flemming Elbæk Flemming Elbæk, advokat, HD(Ø) Ansættelse: Advokatfuldmægtig, 2006-2008 Juist, Miljøministeiet, 2008-2012

Læs mere

diagnostik Skulder fysioterapeuten nr. 05 marts 2009

diagnostik Skulder fysioterapeuten nr. 05 marts 2009 side 08 fysioteapeuten n. 05 mats 2009 diagnostik Skulde Mogens Dam e oplægsholde på fagfestivalen d. 26.-28. mats 2009. Fysioteapeut Mogens Dam ha udvalgt en ække gængse diagnostiske test fo skuldepobleme.

Læs mere

Wear&Care Brugervejledning. A change for the better

Wear&Care Brugervejledning. A change for the better A change fo the bette Intoduktion Wea&Cae e en smat løsning, de give mulighed fo at følge fugtniveauet i bleen, så den kan skiftes efte behov. Infomationen gå fa en sende på bleen til modtageens smatphone

Læs mere

Pension og Tilbagetrækning - Ikke-parametrisk Estimation af Heterogenitet

Pension og Tilbagetrækning - Ikke-parametrisk Estimation af Heterogenitet Pension og Tilbagetækning - Ikke-paametisk Estimation af Heteogenitet Søen Anbeg De Økonomiske Råds Sekataiat, DØRS Pete Stephensen Danish Rational Economic Agents Model, DREAM DREAM Abedspapi 23:2 foeløbig

Læs mere

Hvis man vil lægge 15% til 600, så kan det gøres ved at udregne, hvor meget 15% af 600 er lig med og lægge det til det oprindelige beløb:

Hvis man vil lægge 15% til 600, så kan det gøres ved at udregne, hvor meget 15% af 600 er lig med og lægge det til det oprindelige beløb: 0BRetesegig BTæk i femskivigsfaktoe! I dette tillæg skal vi se, at begebet femskivigsfaktoe e yttigt til at fostå og løse foskellige poblemstillige idefo pocet- og etesegig. 3B. Lægge pocet til elle tække

Læs mere

Forløb om annuitetslån

Forløb om annuitetslån Matema10k C-niveau, Fdenlund Side 1 af 7 Foløb om annuitetslån Dette mateiale fokusee på den tpe lån de betegnes annuitetslån. Emnet kan buges som en del af det suppleende stof, og mateialet kan anvendes

Læs mere

Januar2003/ AM Rentesregning - LÅN & OPSPARING 1/8. Aftager med...% Gange med (1...%) r:=...% Før aftager med...% og bliver til Efter, dvs.

Januar2003/ AM Rentesregning - LÅN & OPSPARING 1/8. Aftager med...% Gange med (1...%) r:=...% Før aftager med...% og bliver til Efter, dvs. Jaua2003/ AM Retesegig - LÅN & OPSPARING 1/8 PROCENT Po cet betyde p. 100" altså hudededele p% = p 100 Decimaltal Ved omskivig fa pocet til decimaltal flyttes kommaet to pladse mod veste 5%=0,05 0,1%=0,001

Læs mere

Med disse betegnelser gælder følgende formel for en annuitetsopsparing:

Med disse betegnelser gælder følgende formel for en annuitetsopsparing: Matema10k C-iveau, Fydelud Side 1 af 10 Auitetsopspaig De fides mage måde at spae op på. Vi vil he se på de såkaldte auitetsopspaig. Emet ka buges som e del af det suppleede stof, og det ka avedes som

Læs mere

Hverdagsliv før og nu. fortalt gennem Børnenes Arbejdermuseum. Arbejdsbog

Hverdagsliv før og nu. fortalt gennem Børnenes Arbejdermuseum. Arbejdsbog Hvedagsliv fø og nu fotalt gennem Bønenes Abejdemuseum Abejdsbog Hvedagsliv fø og nu fotalt gennem Bønenes Abejdemuseum Denne bog tilhøe Navn: Klasse: 1 Hvedagsliv fø og nu fotalt gennem Abejdemuseets

Læs mere

Opsparing og afvikling af gæld

Opsparing og afvikling af gæld Opspaig og afviklig af gæld Opspaig Eksempel 1 Lad os state med at se på et eksempel. 100 Euo idbetales å i tæk på e koto, de foetes med 3 % p.a. Vi ha tidligee beeget e såda kotos udviklig skidt fo skidt:

Læs mere

VORDINGBORG KOMMUNE. Boligområde ved Kalvøvej LOKALPLAN NR. B-24.2. 20 kr. Færgegårdsvej Bogøvej. Kalvøvej

VORDINGBORG KOMMUNE. Boligområde ved Kalvøvej LOKALPLAN NR. B-24.2. 20 kr. Færgegårdsvej Bogøvej. Kalvøvej VORDINGBORG KOMMUNE N Fægegådsvej Bogøvej Kalvøvej LOKALPLAN NR. B-24.2 Boligomåde ved Kalvøvej Vodingbog apil 2005 20 k. Lokalplanlægning Planloven indeholde bestemmelse om Byådets et og pligt til at

Læs mere

Om Gear fra Technoingranaggi Riduttori Tilføjelser til TR s katalogmateriale

Om Gear fra Technoingranaggi Riduttori Tilføjelser til TR s katalogmateriale ...when motos must be contolled Om Gea fa Technoinganaggi Riduttoi Tilføjelse til TR s katalogmateiale ISO 9 cetificeing: Technoinganaggi Riduttoi følge ISO 9 pincippene i dees kvalitetsstying. Alle dele

Læs mere

Kontakt: - en anden tid et andet tempo! A13 Hobro. Løgstør. Skive. Bjerregrav Hjarbæk Fjord. Skals A13. Hobro/Randers Viborg. Kulturarvsforbindelsen

Kontakt: - en anden tid et andet tempo! A13 Hobro. Løgstør. Skive. Bjerregrav Hjarbæk Fjord. Skals A13. Hobro/Randers Viborg. Kulturarvsforbindelsen Hvolis Jenaldelandsby og Kultuavsfobindelsen, Skive Heedsvejen 135 Veste Bjeegav 9632 Møldup www.jenaldelandsby.dk hvolis@vibog.dk A13 Hobo Løgstø Bjeegav Hjabæk Fjod Skals OL Kontakt: - en anden tid et

Læs mere

Cisgene bygplanter. planteforskning.dk Bioteknologi

Cisgene bygplanter. planteforskning.dk Bioteknologi plantefoskning.dk Cisgene bygplante Nyttige egenskabe kan tilføes til femtidens afgøde ved hjælp af genetisk modifikation uden indsættelse af atsfemmede gene. Den nye stategi anvendes bl.a. til udvikling

Læs mere

Lokalplanlægning. Lokalplanen er bindende for den enkelte grundejer, men handler kun om fremtidige forhold og giver ikke grundejerne handlepligt.

Lokalplanlægning. Lokalplanen er bindende for den enkelte grundejer, men handler kun om fremtidige forhold og giver ikke grundejerne handlepligt. VORDINGBORG KOMMUNE NÆSTVEDVEJ N ALGADE MARIENBERGVEJ LOKALPLAN NR. C-2.2 Banegådsomådet, Vodingbog By Vodingbog august 2006 20 k. Lokalplanlægning Planloven indeholde bestemmelse om Byådets et og pligt

Læs mere

Honeywell Hometronic

Honeywell Hometronic Honeywell Hometonic Komfot + Spa enegi Gulvvame Lysstying Lys Sikkehed Sikkehed Andet Andet Radiato Insight Building Automation 1 MANAGER Hometonic Manageen HCM200d e familiens oveodnede buge-inteface.

Læs mere

VURDERING AF LØSNINGSFORSLAG I FORBINDELSE MED DEN EUROPÆISKE STATSGÆLDSKRISE

VURDERING AF LØSNINGSFORSLAG I FORBINDELSE MED DEN EUROPÆISKE STATSGÆLDSKRISE Modul 0: Speciale 0. semeste, cand.oecon Aalbog Univesitet Afleveet d. 30. maj 202 VURDERING AF LØSNINGSFORSLAG I FORBINDELSE MED DEN EUROPÆISKE STATSGÆLDSKRISE Vejlede: Finn Olesen Skevet af Henik Hanghøj

Læs mere

Fagstudieordning for tilvalgsuddannelsen i Erhvervsøkonomi (2012-ordning)

Fagstudieordning for tilvalgsuddannelsen i Erhvervsøkonomi (2012-ordning) Fagstudieodning fo tilvalgsuddannelsen i Ehvevsøkonomi (2012-odning) 1 Indledning Til denne uddannelsesspecifikke fagstudieodning knytte sig også Rammestudieodning fo Det Samfundsvidenskabelige Fakultet,

Læs mere

LOKALPLAN NR. 360 HENRIETTELUND

LOKALPLAN NR. 360 HENRIETTELUND 1 LOKALPLAN NR. 360 HENRIETTELUND EN KORTFATTET BESKRIVELSE Beliggenhed Langs Kægade i Vop Lokalplanen omfatte et ca. 4,13 ha stot omåde fodelt på 4 pivate ejendomme beliggende fo foden af Tebbestp Bakke

Læs mere

Projekt 4. Anlægsøkonomien i Storebæltsforbindelsen hvordan afdrages

Projekt 4. Anlægsøkonomien i Storebæltsforbindelsen hvordan afdrages Pojekt 4. Alægsøkoomie i Stoebæltsfobidelse hvoda afdages lå? Dette pojekt hadle om, hvoda økoomie va skuet samme, da ma byggede Stoebæltsfobidelse. Stoe alægspojekte e æste altid helt elle delvist låefiasieet.

Læs mere

p o drama vesterdal idræt musik kunst design

p o drama vesterdal idræt musik kunst design musik dama kunst design filmedie idæt pojektpocespobieenpos itpoblempovokationpodu kt p on to p ot estpobablypogessivpodu ktionpovinspomotionp otesepologpoevefipofil Vestedal Efteskole // Gl. Assensvej

Læs mere

LØSNINGER FRA OMSNØRINGSMASKINER LIMPISTOLER STRÆKFILMSOMVIKLERE KRYMPEPISTOLER PAPIRFYLDNINGSMASKINER PAL-CUT MASKINER

LØSNINGER FRA OMSNØRINGSMASKINER LIMPISTOLER STRÆKFILMSOMVIKLERE KRYMPEPISTOLER PAPIRFYLDNINGSMASKINER PAL-CUT MASKINER MASKIN- LØSNINGER FRA He finde du voes sotiment f mskine OMSNØRINGSMASKINER LIMPISTOLER STRÆKFILMSOMVIKLERE KRYMPEPISTOLER PAPIRFYLDNINGSMASKINER PAL-CUT MASKINER 94 Omsnøingsmskine og stækfilmsomviklee

Læs mere

elevblad Tommerup Efterskole Hvad bruger man en orlov til? Lærer Mark Bradford har været et år i UK sammen med hele familien.

elevblad Tommerup Efterskole Hvad bruger man en orlov til? Lærer Mark Bradford har været et år i UK sammen med hele familien. Toeup Efteskole www.th-te.dk Udgivet af elevfoeningen N. 3 septebe 2013 106. ågang elevblad Hvad buge an en olov til? Læe Mak Badfod ha væet et å i UK saen ed hele failien. NY igen So 2. åselev pøve an

Læs mere

Kort om. Potenssammenhænge. 2011 Karsten Juul

Kort om. Potenssammenhænge. 2011 Karsten Juul Kot om Potenssmmenhænge 011 Ksten Juul Dette hæfte indeholde pensum i potenssmmenhænge, heunde popotionle og omvendt popotionle vible, fo gymnsiet og hf. Indhold 1. Ligning og gf fo potenssmmenhænge...

Læs mere

1. Indledning... 1 2. Lineær iteration... 2

1. Indledning... 1 2. Lineær iteration... 2 Hvad e matematik? B, i og ISBN 978 87 766 494 3 Pojekte: Kapitel Pojekt.3 Lieæe Iteatiospocesse Idhold 1. Idledig... 1 2. Lieæ iteatio... 2 2.1 Lieæ vækst... 2 2.2 Ekspoetiel vækst... 2 2.3 Foskudt ekspoetiel

Læs mere

MuligHeden. www.ikast-brande.dk. Vær med!

MuligHeden. www.ikast-brande.dk. Vær med! www.ikast-bande.dk Væ med! Vi vil godt væe med I te månede ha bogee i Nøe Snede taget skald og skidt i eg hånd. Det e histoi om by, de også e ved at tage ejeskab fo at tage sig godt ud. Skald på bys offtlige

Læs mere

Betinget skød e. af areal 85.705 m 2, med de paa ejendommen værende bygninger, med grund- mur- og nagelfast appertinentier, med hegn og plantninger

Betinget skød e. af areal 85.705 m 2, med de paa ejendommen værende bygninger, med grund- mur- og nagelfast appertinentier, med hegn og plantninger Mt. n., ejelav, sogn: 4 a, Stempel: 1.487 k. 50 øe (I København kvate) Hesbjeg Gaaden, elle (I de søndejydske lands- Søbog sogn dele) bd. og bl. I tingbogen, at. n., ejelav, sogn. Gade og hus n.: n.7%

Læs mere

SUNDHEDSHUS TOLDBODEN, VIBORG

SUNDHEDSHUS TOLDBODEN, VIBORG SUNDHEDSHUS TOLDODEN, VIORG [Et modene flebugehus med suveæn placeing] OK GROUP OFFIEPRK TOLDODEN SPRRE GDE Inde ingvej Tog busstation Toldbodgade Regionshospital, Vibog E47 Udendøs ophold foan kantinen

Læs mere

Matematisk formelsamling til A-niveau - i forsøget med netadgang til skriftlig eksamen 1

Matematisk formelsamling til A-niveau - i forsøget med netadgang til skriftlig eksamen 1 Mtemtisk fomelsmling til A-niveu - i fosøget med netdgng til skiftlig eksmen Food Mtemtisk fomelsmling til A-niveu e udejdet fo t give et smlet ovelik ove de fomle og det symolspog, de knytte sig til kenestoffet

Læs mere

1. Kræfter. 2. Gravitationskræfter

1. Kræfter. 2. Gravitationskræfter 1 M1 Isaac Newton 1. Kræfter Vi vil starte med at se på kræfter. Vi ved fra vores hverdag, at der i mange daglige situationer optræder kræfter. Skal man fx. cykle op ad en bakke, bliver man nødt til at

Læs mere

Indhold. Standnr. B1062. Mød os på. 18. årgang Efterår 2004 Nr. 2.

Indhold. Standnr. B1062. Mød os på. 18. årgang Efterår 2004 Nr. 2. Mød os på Standn. B1062 OPTIFLUX, den nye MI måle fa Kohne Med denne nye seie af magnetisk induktive flowmålee fa Kohne kan Fagebeg klae stot set alle flowmåleopgave. Kohne ha i mange å leveet magnetisk

Læs mere

2012 NYE TIDER, NYE IDÉER OG NYE MÅDER 2 DIN STØTTE BETYDER ALVERDEN... 4 50% DÆMON OG 50% ENGEL 6 INSPIRATION TIL SOCIALMINISTEREN

2012 NYE TIDER, NYE IDÉER OG NYE MÅDER 2 DIN STØTTE BETYDER ALVERDEN... 4 50% DÆMON OG 50% ENGEL 6 INSPIRATION TIL SOCIALMINISTEREN Decebe 2012 NYE TIDER, NYE IDÉER OG NYE MÅDER side 2 DIN STØTTE BETYDER ALVERDEN side 4 50% DÆMON OG 50% ENGEL side 6 INSPIRATION TIL SOCIALMINISTEREN side 9 NYE tide, NYE idée og NYE åde! Hve dag kan

Læs mere

Ejendomsværdibeskatning i Danmark

Ejendomsværdibeskatning i Danmark DET SAMFUNDSVIDENSABEIGE FAUTET Økonomisk Insiu ØBENAVNS UNIVERSITET andidaspeciale aine Gønbæk von Fühen Ringsed Ejendomsvædibeskaning i Danmak Analysee i en anvend geneel ligevægsmodel Vejlede: oul Schou

Læs mere

Appendiks 6: Universet som en matematisk struktur

Appendiks 6: Universet som en matematisk struktur Appendiks 6: Universet som en matematisk struktur En matematisk struktur er et meget abstrakt dyr, der kan defineres på følgende måde: En mængde, S, af elementer {s 1, s 2,,s n }, mellem hvilke der findes

Læs mere

Tredimensional grafik

Tredimensional grafik Teimensionl gfi 6 Ksten Juul Inhol I Homogene oointsæt og gngning f mtie sie Vi vil fose og eje figue i ummet og æne ees støelse Defo inføe vi homogene oointsæt og gngning f mtie II th sie Et olsninge

Læs mere

Delegationsplan for Helsingør Kommune

Delegationsplan for Helsingør Kommune Delegasplan fo Helsingø Kommune Fomålet med at udabejde delegasplanen fo Helsingø Kommune e at skabe klahed ove hvo i oganisaen, de tæffes beslutning i fohold til opgave og sage, de ifølge lovgivningen

Læs mere

ELVISK. It-supporter, Datatekniker infrastruktur. & Datatekniker programmering. Brug e r. er v. jl f. ve r løs. af Ne. Elev Virksomhed Skole.

ELVISK. It-supporter, Datatekniker infrastruktur. & Datatekniker programmering. Brug e r. er v. jl f. ve r løs. af Ne. Elev Virksomhed Skole. Po amu dvik lin Desin up k c Ba ed Sikkeh S e v el øs nin af Ne t m Poam væ k Da ta e e i n se ba Bu e s e vi ce Se m Poam ve løs nin e Fe e i n n di jl f in Softwae ae Hadw D at aba se Si k he d ERHVERVSUDDANNELSER

Læs mere

MODUL 3 OG 4: UDFORSKNING AF RUMMET

MODUL 3 OG 4: UDFORSKNING AF RUMMET MODUL 3 OG 4: UDFORSKNING AF RUMMET Hubble Space Telescope International Space Station MODUL 3 - ET SPEKTRALT FINGERAFTRYK EM-STRÅLINGS EGENSKABER Elektromagnetisk stråling kan betragtes som bølger og

Læs mere

Universitetsavisen. der protesterer mod markedsgørelsen af uni- Vi har også været bag murene og mødt tre studeren-

Universitetsavisen. der protesterer mod markedsgørelsen af uni- Vi har også været bag murene og mødt tre studeren- R 1 Månedligt på museum Medieinfo 2010 6 Rejst med utefly til Euopa 6 Fie i Euopa (ekskl. Noden) 4 Fie i Noden Stobyfie/kultufie a kottidsfie i udlandet en) Fie i Syd- og Nodamika 1 Aktiv-/spotsfie ka

Læs mere

Livstidssundhedsomkostninger for rygere og aldrig-rygere. Årlige omkostninger ved passiv rygning

Livstidssundhedsomkostninger for rygere og aldrig-rygere. Årlige omkostninger ved passiv rygning Livstidssundhedsomkostninge fo ygee og ldig-ygee Ålige omkostninge ved pssiv ygning Konsulentppot udbejdet til Hjetefoeningen f pojektlede Susnne Reindhl Rsmussen, egotepeut, MPH DSI Institut fo Sundhedsvæsen,

Læs mere

NEWS DID YOU KNOW... POLEN: LANDMECO starter salgsafdeling op i Polen MAJ 2015

NEWS DID YOU KNOW... POLEN: LANDMECO starter salgsafdeling op i Polen MAJ 2015 MAJ 205 Alex Dybdal & Tomasz Wróblewski besøger LANDMECO kunde Gospodarstwo olno-hodowlane, hvor de første 5 huse ud af 5 snart vil være klar til produktion. POLEN: LANDMECO starter salgsafdeling op i

Læs mere

Cresta Asah Fysik rapport 16 oktober 2005. Einsteins relativitetsteori

Cresta Asah Fysik rapport 16 oktober 2005. Einsteins relativitetsteori Einsteins relativitetsteori 1 Formål Formålet med denne rapport er at få større kendskab til Einstein og hans indflydelse og bidrag til fysikken. Dette indebærer at forstå den specielle relativitetsteori

Læs mere

Detaljeret information om cookies

Detaljeret information om cookies Detaljeet infomation om cooies Website: Kontoldato: 2015-08-03 Kontolleet af: https://casino.dansesp/ https://dansesp/ https://poe.dansesp/ Cooie Repots Limited http://www.cooieepots.com/ Dette doument

Læs mere

DIFFERENTIALREGNING Hvorfor er himlen blå?

DIFFERENTIALREGNING Hvorfor er himlen blå? DIFFERENTIALREGNING Hvorfor er himlen blå? Differentialregning - Rayleigh spredning - oki.wpd INDLEDNING Hvem har ikke betragtet den flotte blå himmel på en klar dag og beundret den? Men hvorfor er himlen

Læs mere

Finanskalkulationer Side 1/19 Steen Toft Jørgensen. Finanskalkulationer. avanceret rentesregning. matematiske modeller i økonomi

Finanskalkulationer Side 1/19 Steen Toft Jørgensen. Finanskalkulationer. avanceret rentesregning. matematiske modeller i økonomi Faskalkulatoe Sde /9 Stee Toft Jøgese Faskalkulatoe avaceet etesegg matematske modelle økoom Idholdsfotegelse: Kaptel : Rete Retebegebet Omkostge Retefomle Effektv ete Kotuet foetg Tdsdagam Flytg af kaptal

Læs mere

Kørselsdynamik. 1 Kræfter og energi. 1.1 Arbejde. Vej og Trafikteknik Design UDKAST

Kørselsdynamik. 1 Kræfter og energi. 1.1 Arbejde. Vej og Trafikteknik Design UDKAST Vej og Tafikeknik Design Køselsdynamik 1 Kæfe og enegi I den klassiske fysiks ideale eden, il en paikel, de ikke e udsa fo en esuleende kaf, beæge sig i en fas ening med konsan hasighed. De il ikke opæde

Læs mere

Integralregning Infinitesimalregning

Integralregning Infinitesimalregning Udgave 2.1 Integralregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne integral og stamfunktion, og anskuer dette som et redskab til bestemmelse af arealer under funktioner. Noterne er supplement

Læs mere

At forstå det uforståelige Ordet virkelighed er også et ord, som vi må lære at bruge korrekt

At forstå det uforståelige Ordet virkelighed er også et ord, som vi må lære at bruge korrekt Julie K. Depner, 2z Allerød Gymnasium Essay Niels Bohr At forstå det uforståelige Ordet virkelighed er også et ord, som vi må lære at bruge korrekt Der er mange ting i denne verden, som jeg forstår. Jeg

Læs mere

Kapitel 2 Tal og variable

Kapitel 2 Tal og variable Tal og variable Uden tal ingen matematik - matematik handler om tal og anvendelse af tal. Matematik beskæftiger sig ikke udelukkende med konkrete problemer fra andre fag, og de konkrete tal fra andre fagområder

Læs mere

2014 efterår / vinter - 20140814 2 living a

2014 efterår / vinter - 20140814 2 living a 2014 efteå / vite LANERNER, galvaiseede - Vi ka ikke give evhedsgaati på at de ald uste, me de holde lagt lægee ed geemsittet... - Hægsle, itte og hak i ustfit stål. - Magetluk. quado Mico latee Galvaized

Læs mere

Husk Hovedvejens Auto er flyttet til Grønnemosevej 12, 5700 svendborg v/niels Thue sørensen Tirsdag den 9. JULI 2013. 103. Årgang - nr.

Husk Hovedvejens Auto er flyttet til Grønnemosevej 12, 5700 svendborg v/niels Thue sørensen Tirsdag den 9. JULI 2013. 103. Årgang - nr. Husk Hovedvejens Auto e flyttet til Gønnemosevej 12, 5700 svendbog v/niels Thue søensen Tisdag den 9. JULI 2013 Tlf. 6221 0786 103. Ågang - n. 28 - siden 1910 home Svendbog Susanne s Folkekøkken e et tilløbsstykke

Læs mere

Fra Støv til Liv. Af Lektor Anja C. Andersen Dark Cosmology Center, Niels Bohr Institutet, Københavns Universitet

Fra Støv til Liv. Af Lektor Anja C. Andersen Dark Cosmology Center, Niels Bohr Institutet, Københavns Universitet Fra Støv til Liv Af Lektor Anja C. Andersen Dark Cosmology Center, Niels Bohr Institutet, Københavns Universitet Observationer af universet peger på, at det er i konstant forandring. Alle galakserne fjerner

Læs mere

Anvendelser af integralregning

Anvendelser af integralregning Anvendelser af integralregning I 1600-tallet blev integralregningen indført. Vi skal se, hvor stærkt et værktøj det er til at løse problemer, som tidligere forekom uoverstigelige. I matematik-grundbogen

Læs mere

Studieretningsprojekter i machine learning

Studieretningsprojekter i machine learning i machine learning 1 Introduktion Machine learning (ml) er et område indenfor kunstig intelligens, der beskæftiger sig med at konstruere programmer, der kan kan lære fra data. Tanken er at give en computer

Læs mere

Wor King Papers. Management Working Papers. Højere kapitalkrav løfter krav til indtjening i den finansielle sektor en replik 2013-02

Wor King Papers. Management Working Papers. Højere kapitalkrav løfter krav til indtjening i den finansielle sektor en replik 2013-02 Wo Kng Papes Management Wokng Papes 2013-02 Højee kaptalkav løfte kav tl ndtjenng den fnanselle sekto en eplk Ken L. Bechmann, Andes Gosen and Johannes Raaballe Højee kaptalkav løfte kav tl ndtjenng den

Læs mere

Oplevelser for alle! Bowl n Fun Horsens Strandkærvej 87 8700 Horsens Tlf. 75 64 56 55 Vi har online booking - læs mere på www.bowlnfun.

Oplevelser for alle! Bowl n Fun Horsens Strandkærvej 87 8700 Horsens Tlf. 75 64 56 55 Vi har online booking - læs mere på www.bowlnfun. Oplevelse fo alle! Bowl n Fun Hosens Standkævej 87 8700 Hosens Tlf. 75 64 56 55 Vi ha online ooking - læs mee på www.owlnfun.dk 2 Familieuffet & Bowling Søndag fa kl. 17.00 Bøn unde 12 å ½ pis TILBUD Hve

Læs mere

Tilføj supplement. Flemming Johansen (FLJO) Institution: VUC Vejle, Vejle afd. (630248) 1. 19.08.13 - introduktion/repetition af kerneområderne

Tilføj supplement. Flemming Johansen (FLJO) Institution: VUC Vejle, Vejle afd. (630248) 1. 19.08.13 - introduktion/repetition af kerneområderne Undevisningsbeskivelse Redig e Fag: Tilføj foløb Genee beskivelse Tilføj supplemen Temin: Juni 2014 Læe(e): Niveau: abejdsfome Psykologi C->B, VAF Flemming Johansen (FLJO) B fokuspunke Insiuion: VUC Vejle,

Læs mere

Loven for bevægelse. (Symbol nr. 15)

Loven for bevægelse. (Symbol nr. 15) Loven for bevægelse (Symbol nr. 15) 1. Guddommens jeg og skabeevne bor i ethvert væsens organisme og skabeevne Vi er igennem de tidligere symbolforklaringers kosmiske analyser blevet gjort bekendt med

Læs mere

Kinematik. Lad os betragte en cyklist der kører hen ad en cykelsti. Vi kan beskrive cyklistens køretur ved hjælp af en (t,s)-tabel, som her:

Kinematik. Lad os betragte en cyklist der kører hen ad en cykelsti. Vi kan beskrive cyklistens køretur ved hjælp af en (t,s)-tabel, som her: K Kinematik Den del af fysikken, der handler om at beskrive bevægelser hedder kinematik. Vi kan se på tid, position, hastighed og acceleration, men disse ting må altid angives i forhold til noget. Fysikere

Læs mere

Skyde opgaver. Indtage Skydestilling

Skyde opgaver. Indtage Skydestilling Skyde opgaver Ideer til forskellige skydeøvelser, som træner forskellige aspekter Stress/spænding Tennis-skydning, 2 og 2 skyder match, hver sin skive. Skyde på kryds, to og to, på samme skive Koncentration

Læs mere

Impressivo. Installationsprodukter. Sæt liv i kontakterne. Få en optimal motorløsning side 28

Impressivo. Installationsprodukter. Sæt liv i kontakterne. Få en optimal motorløsning side 28 N. 6 Decembe 2009 pædede yssætig ide 8 Fuldautomatisk ESD-system øge sikkehede i sommeladet side 0 Impessivo. Istallatiospodukte. Sæt liv i kotaktee. Få e optimal motoløsig side 28 Hoses vad side 4 Kotakt

Læs mere

Hvis du arbejder sort, stjæler du fra andre

Hvis du arbejder sort, stjæler du fra andre Hvis u abj sot, stjæl u fa an INDHOLD Foo Vi ha lavt tt hæft til ig, som måsk ha høt om sot abj fø, mn ikk hlt sikk på hva bgbt inbæ. HVORFOR? - foi u vil få bug fo at vi m om mnt. Du kan slvfølglig vælg

Læs mere

1.1. Disse betingelser anvendes i alle forhold imellem Kunden og Xenos, medmindre andet er skriftligt aftalt.

1.1. Disse betingelser anvendes i alle forhold imellem Kunden og Xenos, medmindre andet er skriftligt aftalt. SANDARDBEINGELSER 1 GENERELLE BESEMMELSER 11 Disse beingelse nendes i lle fohold imellem Kunden og X, mminde nde e skiflig fl 12 Fo indgå fle m X skl undeskieen/ undeskiene fo Kunden æe egningsbeeige De

Læs mere

Den vandrette og den lodrette akse.

Den vandrette og den lodrette akse. Den vandrette og den lodrette akse. En tilgang til tilværelsen, som måske kan gøre det lettere at blive bevidst om forskellige aspekter af livet, er ved at se på den vandrette og den lodrette akse. Det

Læs mere

Indhold En statistisk beskrivelse... 3 Bølgefunktionen... 4 Eksempel... 4 Opgave 1... 5 Tidsafhængig og tidsuafhængig... 5 Opgave 2...

Indhold En statistisk beskrivelse... 3 Bølgefunktionen... 4 Eksempel... 4 Opgave 1... 5 Tidsafhængig og tidsuafhængig... 5 Opgave 2... Introduktion til kvantemekanik Indhold En statistisk beskrivelse... 3 Bølgefunktionen... 4 Eksempel... 4 Opgave 1... 5 Tidsafhængig og tidsuafhængig... 5 Opgave 2... 6 Hvordan må bølgefunktionen se ud...

Læs mere

MEDIA OG MARKED 2005/2

MEDIA OG MARKED 2005/2 MEDIA OG MARKED 2005/2 Til lands, til vands og i luften Aguketid - nej tak Step by Stepstone Mød Si Richad Banson i København Henley - MBA med muskle Duften af tang og levepostej KUNDECASE Til lands, til

Læs mere

Guide til mindfulness

Guide til mindfulness Guide til mindfulness Mindfulness er en gammel buddistisk teknik, der blandt andet kan være en hjælp til at styre stress og leve i nuet. Af Elena Radef. Januar 2012 03 Mindfulness er bevidst nærvær 04

Læs mere

Måske rent bortset fra baneforholdene, som nu synes at blive løst, skønt det nye anlæg

Måske rent bortset fra baneforholdene, som nu synes at blive løst, skønt det nye anlæg NORllBORG DflÆ TSFORENNG Q:igJfOR2!MNQEN afholdtes søndag den '2/11 på hotel UNON Til diigent valgtes VLund Fomanden GV Hansen kom i sin beetning ind på 10 ås jubilæet som i1'\nlundeblev nogen succes;

Læs mere

CUT. Julie Jegstrup & Tobias Dahl Nielsen

CUT. Julie Jegstrup & Tobias Dahl Nielsen CUT Af Julie Jegstrup & Tobias Dahl Nielsen INT. DAG, LOCATION: MØRK LAGERHAL Ind ad en dør kommer en spinkel kvinde løbende. Det er tydeligt at se at hun har det elendigt. Hendes øjne flakker og hun har

Læs mere

Genoptræning efter: FROSSEN SKULDER (PERIARTROSIS HUMEROSCAPULARIS) TRIN 2

Genoptræning efter: FROSSEN SKULDER (PERIARTROSIS HUMEROSCAPULARIS) TRIN 2 Side 1 av 6 Genoptræning efter: FROSSEN SKULDER (PERIARTROSIS HUMEROSCAPULARIS) TRIN 2 Da det ofte er en smerte, der har udløst den "frosne skulder", er det meget vigtigt, at øvelserne ikke medfører smerter,

Læs mere

D e 5 T i b e t a n e r e w w w. b a l a n c e n. n e t rite 1

D e 5 T i b e t a n e r e w w w. b a l a n c e n. n e t rite 1 rite 1 Stå som billedet viser med armene strakt ud væk fra kroppen, horisontalt mod gulvet. Drej rundt med uret og hold dig mental koncentreret, så du tæller hver gang du når en omgang. Kan du, så fortsæt

Læs mere

Matematik og Fysik for Daves elever

Matematik og Fysik for Daves elever TEC FREDERIKSBERG www.studymentor.dk Matematik og Fysik for Daves elever MATEMATIK... 2 1. Simple isoleringer (+ og -)... 3 2. Simple isoleringer ( og )... 4 3. Isolering af ubekendt (alle former)... 6

Læs mere

Kapitel 5 Renter og potenser

Kapitel 5 Renter og potenser Matematik C (må anvedes på Ørestad Gymnasium) Renter og potenser Når en variabel ændrer værdi, kan man spørge, hvor stor ændringen er. Her er to måder at angive ændringens størrelse. Hvis man vejer 95

Læs mere

Dansk referat. Dansk Referat

Dansk referat. Dansk Referat Dansk referat Stjerner fødes når store skyer af støv og gas begynder at trække sig sammen som resultat af deres egen tyngdekraft (øverste venstre panel af Fig. 6.7). Denne sammentrækning fører til dannelsen

Læs mere

Odontofobi. En kortfilm af Robin Holtz og Adrian Ejsing. 7 minutter. 28. Oktober 2014

Odontofobi. En kortfilm af Robin Holtz og Adrian Ejsing. 7 minutter. 28. Oktober 2014 Odontofobi. En kortfilm af Robin Holtz og Adrian Ejsing 7 minutter 28. Oktober 2014 Idé: (C) 2014 Robin Holtz Robin Holtz robin@copenhagenpro.com 40 50 12 99 1 INT. - TANDLÆGEKLINIK, VENTEVÆRELSE - DAG

Læs mere

Enkelt og dobbeltspalte

Enkelt og dobbeltspalte Enkelt og dobbeltsalte Jan Scholtyßek 4.09.008 Indhold 1 Indledning 1 Formål 3 Teori 3.1 Enkeltsalte.................................. 3. Dobbeltsalte................................. 3 4 Fremgangsmåde

Læs mere

MORTEN BRASK EN PIGE OG EN DRENG

MORTEN BRASK EN PIGE OG EN DRENG MORTEN BRASK EN PIGE OG EN DRENG ØEN 2 E N AF DE FØRSTE DAGE SER jeg hende med en nøgen dreng i hotelhavens indgang. De går gennem skyggen fra de høje daddelpalmer og standser nogle meter fra trappen til

Læs mere

Et tidsmikroskop. - oplev verden på et nanosekund. Når man kigger på verden, opdager man noget

Et tidsmikroskop. - oplev verden på et nanosekund. Når man kigger på verden, opdager man noget 14 TEMA: TRE TIGERSPRING FOR MATERIALEFORSKNINGEN Hvis man skal forstå forskellen på en glas og en væske er det ikke nok at vide, hvordan atomerne sidder placeret, man skal også vide hvordan de bevæger

Læs mere

geometri trin 1 brikkerne til regning & matematik preben bernitt

geometri trin 1 brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri trin 1 preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri, trin 1 ISBN: 978-87-92488-15-2 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk Kopiering er

Læs mere

Hubble relationen Øvelsesvejledning

Hubble relationen Øvelsesvejledning Hubble relationen Øvelsesvejledning Matematik/fysik samarbejde Henning Fisker Langkjer Til øvelsen benyttes en computer med CLEA-programmet Hubble Redshift Distance Relation. Galakserne i Universet bevæger

Læs mere

STEREOMIKROSKOPER TEKNIVAL 2 CITOVAL 2 (m. zoom)

STEREOMIKROSKOPER TEKNIVAL 2 CITOVAL 2 (m. zoom) 54 55 STEREMIKRSKPER TEKIVAL 2 CITVAL 2 (. zoo) (2) Betyde : y fobedet odel Udvidet optisk oåde Støe tilbehøspoga Lettee betjening Bede belysning ISTITUTTET FR METALLÆRE DAMARKS TEKISKE HØSKLE BYGIG 104

Læs mere

Kun en dråbe... 3 historier i én: Spildevandet på landet Spildevandet i byen Vandets kredsløb

Kun en dråbe... 3 historier i én: Spildevandet på landet Spildevandet i byen Vandets kredsløb Kun en dråbe... 3 historier i én: Spildevandet på landet Spildevandet i byen Vandets kredsløb Følg en vanddråbes rejse fra vandhanen, gennem kloakken, renseanlægget og naturens eget renseproces. DANSKE

Læs mere

Guide. hvordan du kommer videre. Læs her. sider. Se dit liv i et nyt perspektiv Sådan får du det godt med dig selv

Guide. hvordan du kommer videre. Læs her. sider. Se dit liv i et nyt perspektiv Sådan får du det godt med dig selv Guide MARTS 2013 - Se flere guider på bt.dk/plus og b.dk/plus Læs her 12 hvordan du kommer videre sider Se dit liv i et nyt perspektiv Sådan får du det godt med dig selv GUIDE INDHOLD I DETTE HÆFTE: Side

Læs mere