STATISTIKNOTER Simple multinomialfordelingsmodeller

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "STATISTIKNOTER Simple multinomialfordelingsmodeller"

Transkript

1 STATISTIKNOTER Simple multinomialfodelingsmodelle Jøgen Lasen IMFUFA Roskilde Univesitetscente Febua 1999

2 IMFUFA, Roskilde Univesitetscente, Postboks 260, DK-4000 Roskilde. Jøgen Lasen: STATISTIKNOTER: Simple multinomialfodelingsmodelle IMFUFA tekst n. 304d/ side ISSN Dette hæfte e en del af undevisningsmateialet til et kusus i statistik og statistiske modelle. Undevisningsmateialet omfatte blandt andet følgende title: a. Simple binomialfodelingsmodelle b. Simple nomalfodelingsmodelle c. Simple Poissonfodelingsmodelle d. Simple multinomialfodelingsmodelle e. Minde matematisk-statistisk opslagsvæk, indeholdende bl.a. odfoklainge, esumée og tabelle Om kuset og kususmateialet kan blandt andet siges at nå det e et gennemgående tema at påpege at likelihoodmetoden kan benyttes som et oveodnet pincip fo valg af estimatoe og teststøelse, e det blandt andet begundet i at likelihoodmetoden ha mange egenskabe de fa et matematisk-statistisk synspunkt anses fo ønskelige, at likelihoodmetoden e meget udbedt og nyde sto anekendelse ikke mindst i Danmak, og at det i al almindelighed e væd at gøe opmæksom på at man også inden fo faget statistik ha oveodnede og stuktueende begebe og metode; nå kususmateialet e skevet på dansk og ikke fo eksempel på scientific English, e det fo at bidage til at vedligeholde taditionene fo hvodan og at man kan tale om slige emne på dansk, og så sandelig også fodi dansk e det spog som fofatteen og vel også den foventede læse e bedst til; nå hæftene fouden de sædvanlige simple modelle, metode og eksemple også indeholde eksemple de e væsentligt svæee, e det fo at antyde nogle af de etninge man kan abejde videe i, og fo at de kan væe lidt udfodinge til den kævende læse.

3 Indhold 1 Multinomialfodelingen Den gundlæggende multinomialfodelingsmodel Sammenligning af multinomialfodelinge Opgave Et støe eksempel: Tosk i Østesøen Pæsentation af eksemplet Hady-Weinbeg ligevægt Hypotesen om Hady-Weinbeg ligevægt En samlet model Tosidede kontingenstabelle Gundmodellen Uafhængighedshypotesen Jævnføing med ande tilsvaende modelle Opgave Stikod 35 3

4 4

5 1 Multinomialfodelingen Multinomialfodelingen kan ses som en natulig genealisation af binomialfodelingen: I situatione hvo man ha at gøe med n gentagelse af et elementafosøg de kan esultee i et af to mulige udfald, vil antallet af gange man få den ene slags udfald, blive binomialfodelt. I situatione hvo man ha at gøe med n gentagelse af et elementafosøg de kan esultee i et af mulige udfald, vil man et vist antal gange, y 1, få det føste udfald, et vist antal gange, y 2, det andet udfald,..., og et vist antal gange, y, det -te udfald; talsættet y 1, y 2,..., y blive multinomialfodelt. Eksempel 1.1 En simpel fom fo politisk meningsmålingsundesøgelse kunne bestå i at man tilfældigt udvælge n pesone og spøge dem hvilket af de politiske patie de ville stemme på hvis de va folketingsvalg i mogen. He bestå elementafosøget i at spøge én peson og notee den pågældendes sva ned. Den samlede undesøgelse esultee i at et vist antal y 1 svae det føste pati, et vist antal y 2 svae det andet pati,..., og et vist antal y svae det -te pati. Da de i alt e spugt n pesone, vil de gælde at y 1 + y y = n, foudsat at alle de adspugte faktisk svae. Den multinomialfodelingsmodel vi i det følgende vil diskutee, svae til at nå man vælge en tilfældig peson, så vil denne med en vis sandsynlighed p 1 svae pati n. 1, med en vis sandsynlighed p 2 svae pati n. 2,..., og med en vis sandsynlighed p svae pati n.. Da vi foudsætte at alle adspugte give et af de mulige sva, e p 1 + p p = Den gundlæggende multinomialfodelingsmodel Antag at vi ha klassificeet n individe i klasse; i den geneelle diskussion kaldes klassene A 1, A 2,..., A, i en konket modelsituation ha de ofte nogle mee sigende betegnelse. Skematisk e situationen som vist i Figu 1.1. Vi gå ud fa at de n individe stamme fa en og samme»population«således at hve gang man tilfældigt udvælge et individ, e de sandsynligheden p 1 fo at individet tilhøe klassen A 1, sandsynligheden p 2 fo at individet tilhøe klassen A 2, osv. Sandsynlighedene p 1, p 2,..., p de summee til 1 e ukendte paamete de e kaakteistiske fo populationen. 5

6 6 Multinomialfodelingen klasse- klasse- obseveet numme navn antal 1 A 1 y 1 2 A 2 y 2 3 A 3 y 3... A y i alt n Figu 1.1 Multinomialfodelingssituationen, skematisk. Hemed ha vi sådan set beskevet den statistiske model fo ét individ. Nå de e et støe antal individe, pleje man ikke at angive hvilken klasse hvet enkelt individ vise sig at tilhøe, man nøjes med at angive hvo mange individe de e i hve klasse, dvs. man angive de obseveede vædie af de stokastiske vaiable Y 1, Y 2,..., Y defineet som Y i = antal individe de vise sig at tilhøe klassen A i i = 1, 2,...,. Den statistiske model vi skal nå fem til, skal specificee sandsynlighedsfodelingen fo sættet Y 1, Y 2,..., Y af stokastiske vaiable, elle sagt på en anden måde, vi skal fastlægge PY 1 = y 1, Y 2 = y 2,..., Y = y. Hvis de kun e to klasse, så e de tale om et binomialfodelingspoblem. Fo at løse poblemet med klasse gå vi fem på en måde de e stækt inspieet af udledningen af binomialfodelingen. Vi indføe nogle hjælpevaiable X 1, X 2,..., X n således at X d e navnet på den klasse som individ n. d tilhøe, dvs. X d = A i hvis og kun hvis individ n. d tilhøe klassen A i. De gælde så at PX d = A i = p i. Da individene tænkes valgt uafhængigt af hveande, må de foskellige X d -e væe stokastisk uafhængige således at f.eks. PX d1 = A i1, X d2 = A i2 = p i1 p i2 hvis d 1 = d 2. Hvis vi ha n klassenavne x 1, x 2,..., x n, og hvis det e sådan at netop y i af x-ene e et A i, i = 1, 2,...,, så e PX 1 = x 1, X 2 = x 2,..., X n = x n = PX 1 = x 1 PX 2 = x 2... PX n = x n = p y 1 1 py py. Den søgte sandsynlighed PY 1 = y 1, Y 2 = y 2,..., Y = y fås nu ved at summee disse sandsynlighede ove alle mulige n-tuple x 1, x 2,..., x n be-

7 1.1 Den gundlæggende multinomialfodelingsmodel 7 stående af y 1 A 1 -e, y 2 A 2 -e,..., y A -e: PY 1 = y 1, Y 2 = y 2,..., Y = y = PX 1 = x 1, X 2 = x 2,..., X n = x n = p y 1 1 py py = 1 p y 1 1 py py hvo summationstegnet hve gang betyde summation ove de n-tuple x 1, x 2,..., x n som bestå af y 1 A 1 -e, y 2 A 2 -e osv. Symbolet 1 komme på den måde til at betyde antallet af foskellige sådanne n-tuple x 1, x 2,..., x n ; dette antal pleje man at betegne med symbolet n y 1 y 2... y de kaldes en multinomialkoefficient elle polynomialkoefficient. Den fundne sandsynlighedsfunktion n PY 1 = y 1, Y 2 = y 2,..., Y = y = p y 1 y 1 y 2... y 1 py py e sandsynlighedsfunktionen fo en multinomialfodeling elle polynomialfodeling med paamete n og p hvo Multinomialkoefficiente p = p 1 p 2.. Definition 1.1 Multinomialkoefficient Multinomialkoefficienten n y 1 y 2... y betegne antallet af foskellige måde hvopå man kan placee symbole A 1, A 2,..., A på n pladse således at symbolet A 1 komme på y 1 af pladsene, symbolet A 2 komme på y 2 af pladsene,..., symbolet A komme på y af pladsene. Man kan let udlede fomle de gø det muligt at udegne multinomialkoefficiente. Vi illustee femgangsmåden med et eksempel, hvo vi vil bestemme talvædien af : 1. Det søgte tal e p. definition antallet af placeinge af symbolene A 1, A 2 og A 3 på syv pladse således at to af pladsene få et A 1, te af pladsene et A 2 og to af pladsene et A 3. En mulig placeing e A 1, A 3, A 1, A 2, A 2, A 2, A 3. p

8 8 Multinomialfodelingen 2. Vi kan bestemme en placeing ved føst at bestemme hvilke to pladse de skal have et A 1, denæst hvilke te pladse de skal have et A 2, og så endelig placee et A 3 på de to tilovesblevne pladse. a De e 7 2 = 21 foskellige placeinge af de to A 1-e ifølge definitionen af binomialkoefficiente. b Hve gang vi ha placee de to A 1 -e, e de fem pladse tilbage, og på de fem pladse skal vi fodele te A 2 -e og to A 3 -e; dette kan gøes på 5 3 = 10 foskellige måde. Hve gang vi ha en af de 7 2 placeinge af A 1, e de altså 5 3 placeinge af A 2 og A I alt e de defo foskellige placeinge af A-ene så = = = n n! 4. Vi kan benytte fomlen = og få = k k! n k! = 7! 2! 5! 5! 3! 2! = 7! 2! 3! 2!. Et geneelt udtyk fo multinomialkoefficiente fås på ganske tilsvaende måde. Man skal placee y 1 A 1 -e, y 2 A 2 -e,..., og y A -e på n pladse n = y 1 + y y. Føst kan A 1 -ene placees på n y 1 foskellige måde; denæst kan A 2 -ene placees på de de esteende n y 1 pladse på n y 1 y 2 foskellige måde; denæst kan A 3 -ene placees på de esteende n y 1 y 2 pladse på n y 1 y 2 y 3, osv. Slutesultatet blive at nå y 1 + y y = n. n y 1 y 2... y Definition af multinomialfodelingen = n! y 1! y 2!... y! Definition 1.2 Multinomialfodeling At den -dimensionale stokastiske vaiabel Y 1, Y 2,..., Y e multinomialfodelt med antalspaamete n og sandsynlighedspaamete betyde at p = PY 1 = y 1, Y 2 = y 2,..., Y = y = p 1 p 2. p n y 1 y 2... y nå y 1, y 2,..., y e ikke-negative heltal de summee til n. p y 1 1 py py 1.1

9 1.1 Den gundlæggende multinomialfodelingsmodel 9 Figu 1.2 Sandsynlighedssimplexet i det tedimensionale um. Estimation af paametene I den geneelle situation e modelfunktionen givet ved fomel 1.1, og likelihoodfunktionen e demed Lp = konstant p y 1 1 py py. Spøgsmålet e nu hvodan man estimee paameteen p. De almene pincippe fo analyse af statistiske modelle påbyde at estimee p ved det -dimensionale talsæt ˆp de maksimalisee likelihoodfunktionen. Likelihoodfunktionen e en funktion af p, dvs. af vaiable p 1, p 2,..., p ; disse kan ikke vaiee fit, men opfylde»bibetingelsene«p 1 0, p 2 0,..., p 0, p = 1. i=1 I specialtilfældet = 3 kan vi anskueliggøe mulighedsomådet, dvs. mængden af p-e de opfylde bibetingelsene, som et tekantet omåde, det såkaldte sandsynlighedssimplex, i det tedimensionale um, se Figu 1.2.

10 10 Multinomialfodelingen Opgaven e at bestemme det punkt ˆp = ˆp 1 ˆp 2. ˆp som ligge i mulighedsomådet, og hvo likelihoodfunktionen L antage sin støste vædi. I matematikken diskutees geneelle metode til bestemmelse af maksimumspunkte fo funktione af mange vaiable, men disse metode skal vi ikke komme ind på he. Deimod vil vi løse det specielle poblem de vedøe multinomialfodelingen. Detil skal vi buge følgende Sætning 1.1 Antag at a 1, a 2,..., a e givne ikke-negative tal, og betagt funktionen f : p 1, p 2,..., p p a 1 1 pa pa defineet på mængden af ikke-negative talsæt p 1, p 2,..., p de summee til 1. Vi sætte a = a 1 + a a og ˆp i = a i /a, i = 1, 2,...,. Da ha f et entydigt maksimumspunkt, nemlig ˆp 1, ˆp 2,..., ˆp. Bevis Vi vil sammenligne funktionsvædiene f p 1, p 2,..., p og f ˆp 1, ˆp 2,..., ˆp ved at se på støelsen ln f p 1, p 2,..., p som e negativ hvis og kun hvis f ˆp 1, ˆp 2,..., ˆp f p 1, p 2,..., p < f ˆp 1, ˆp 2,..., ˆp. De gælde føst at ln f p 1, p 2,..., p f ˆp 1, ˆp 2,..., ˆp = a i ln p i. ˆp i=1 i Nu benyttes en egenskab ved logaitmefunktionen, nemlig at ln t t 1 fo alle t > 0, og med lighedstegn hvis og kun hvis t = 1. Defo e a i ln p i ˆp i=1 i = = i=1 i=1 i=1 a i pi 1 ˆp i ai p i a i /a a i p i a = a a = 0, a i i=1 hvo»minde end elle lig med«blive»lig med«hvis og kun hvis alle tallene p i / ˆp i e lig 1, dvs. hvis og kun hvis p i = ˆp i fo alle i.

11 1.2 Sammenligning af multinomialfodelinge 11 Anvendt på funktionen p 1, p 2,..., p p y 1 1 py p y fotælle sætningen at likelihoodfunktionen L antage sit maksimum i det entydigt bestemte punkt y 1 /n, y 2 /n,..., y /n. Altså e maksimaliseingsestimatet ˆp fo p givet ved ˆp = ˆp 1 ˆp 2. = ˆp y 1 /n y 2 /n.. y /n Paameteen p i, de jo e sandsynligheden fo at et individ tilhøe klassen A i, skal altså estimees ved den elative hyppighed y i /n af A i -individe i stikpøven. 1.2 Sammenligning af multinomialfodelinge Man ha undetiden bug fo at kunne sammenligne foskellige multinomialfodelinge fo at afgøe om de ha samme sandsynlighedspaamete. He e et eksempel; det vil blive analyseet mee indgående i Kapitel 2: Eksempel 1.2 Tosk i Østesøen Den 6. mats 1961 fangede nogle havbiologe 69 tosk ved Lolland og undesøgte aten af blodets hæmoglobin i hve enkelt tosk. Senee på ået fangede man også nogle tosk ved Bonholm og ved Ålandsøene og bestemte dees genotype. 1 Man mene at hæmoglobin-aten bestemmes af ét enkelt gen, og det som biologene bestemte, va toskenes genotype fo så vidt angå dette gen. Genet kan optæde i to udgave som taditionen to kaldes fo A og a, og de mulige genotype e da AA, Aa og aa. Tabel 1.1 vise den fundne fodeling på genotype fo hve af de te lokalitete. I dette afsnit vil vi udelukkende opfatte symbolene AA, Aa og aa som navne på klasse man klassificee toskene i. I Kapitel 2 vil vi smugle lidt genetik ind i en mee udbygget statistisk model fo tallene. På hve geogafisk lokalitet e de sket det at man ha klassificeet et antal tosk i te mulige klasse, så defo kan man sige at de på hve lokalitet e tale om en multinomialfodelingssituation nå de e te klasse, tale man også om en tinomialfodeling. Det kunne måske væe af inteesse at undesøge om genotypefodelingen e den samme på de te lokalitete, altså om sandsynligheden fo at en tosk ha en bestemt genotype, e den samme fo alle te lokalitetes vedkommende. Skønt nå man se på tallene vike denne fomodning lidet plausibel. Den geneelle model I den geneelle model antages det at vi ha klassificeet nogle individe i foskellige klasse A 1, A 2,..., A. Individene e på fohånd delt op i guppe, og de e s foskellige guppe med hhv. n 1, n 2,..., n s individe. Det ha vist sig at i guppe j høe y 1 j af individene til guppen A 1, y 2 j af individene til guppen A 2, y 3, j af individene til guppen A 3, osv. Skematisk se situationen ud som vist i Figu K. Sick 1965: Haemoglobin polymophism of cod in the Baltic and the Danish Belt Sea. Heeditas 54,

12 12 Multinomialfodelingen Tabel 1.1 Genotypefodeling af tosk fa te lokalitete i Østesøen. lokalitet genotype Lolland Bonholm Ålandsøene AA Aa aa i alt guppe n. klasse s A 1 y 11 y 12 y y 1s A 2 y 21 y 22 y y 2s A y 1 y 2 y 3... y s i alt n 1 n 2 n 3... n s Figu 1.3 Sammenligning af multinomialfodelinge, geneelt. y i j betegne antallet af individe fa guppe j de tilhøe klassen A i. I toskeeksemplet e de s = 3 guppe svaende til de te geogafiske lokalitete og = 3 klasse svaende til de te foskellige genotype. Den statistiske model de benyttes til at beskive denne situation e: fo hvet j dvs. fo hve guppe opfattes det -dimensionale talsæt y j = y 1 j y 2 j. som en obseveet vædi af en -dimensional stokastisk vaiabel Y j = y j Y 1 j Y 2 j. ; de stokastiske vaiable Y 1, Y 2,..., Y s e stokastisk uafhængige dvs. de foskellige guppe e stokastisk uafhængige; Y j

13 1.2 Sammenligning af multinomialfodelinge 13 den stokastiske vaiabel Y j e multinomialfodelt med antalspaamete n j og med ukendt sandsynlighedspaamete p j = p 1 j p 2 j p j. hvo p i j -ene e ikke-negative tal med p 1 j + p 2 j p j = 1 fo hvet j. Modellen tage altså udgangspunkt i at guppene e systematisk foskellige mht. den foetagne klassificeing, og den beskive den såkaldte systematiske vaiation mellem guppene ved hjælp af de s sandsynlighedspaamete p 1, p 2,..., p s. Den såkaldte tilfældige vaiation inden fo guppe beskives ved sandsynlighedsfodelingene multinomialfodelingene. Opgaven e nu at undesøge om guppene kan anses fo ens, dvs. den e at teste den statistiske hypotese H 0 : p 1 = p 2 =... = p s elle mee udføligt H 0 : p 11 p 21 p 12 p 22 p 1s p 2s p 1 p 2 p s. =. =... =.. De geneelle etningslinie fo hvodan man analysee en given statistisk model, sige at vi skal begynde med at opskive modelfunktionen og deudaf få likelihoodfunktionen. Da de enkelte guppe e stokastisk uafhængige, e den samlede modelfunktion lig med et podukt af del-modelfunktionene fo de enkelte guppe, dvs. den samlede modelfunktion e f y 1, y 2,..., y s ; p 1, p 2,..., p s = Likelihoodfunktionen e demed s j=1 Lp 1, p 2,..., p s = konstant n j y 1 j y 2 j... y j hvo konstanten e poduktet af de s multinomialkoefficiente. I toskeeksemplet e likelihoodfunktionen p y 1 j 1 j p y 2 j 2 j... p y j j. s p y 1 j 1 j p y 2 j 2 j... p y j j 1.2 j=1 Lp L, p B, p Å = konstant p 27 1L p30 2L p12 3L p14 1B p20 2B p52 3B p0 1Å p5 2Å p75 3Å. Likelihoodfunktionen e sandsynligheden fo at obsevee det faktisk obseveede, betagtet som funktion af det ukendte sæt paamete. Som sædvanlig udnævne vi de vædie de maksimalisee likelihoodfunktionen elle log-likelihoodfunktionen til at væe de bedste estimate ove de ukendte paamete. I

14 14 Multinomialfodelingen den foeliggende model e likelihoodfunktionen et podukt af s del-likelihoodfunktione de hve isæ vedøe én enkelt guppe og ét enkelt p j. Nå vi skal maksimalisee L mht. p 1, p 2,..., p s, kan det defo ske ved at maksimalisee hve del-likelihoodfunktion fo sig. Det j-te delpoblem e en simpel multinomialfodelingsmodel, så defo følge det uden videe af esultatet på side 11 at ˆp i j = y i j n j. I taleksemplet e specielt ˆp 1L ˆp L = ˆp 2L = ˆp 3L ˆp 1B ˆp B = ˆp 2B = ˆp 3B ˆp 1Å ˆp Å = ˆp 2Å = ˆp 3Å 27/ /69 = 0.43, 12/ / /86 = 0.23, 52/ / /80 = / Hypotesepøvning Vi skal heefte undesøge om det e imeligt at antage at hypotesen H 0 : p 1 = p 2 =... = p s om ens sandsynlighedspaamete holde. Unde H 0 e de ingen foskel på de s guppe, så da kan vi lige så godt slå dem sammen til én sto guppe bestående af n = n 1 + n n s individe de fodele sig med y 1 = y 11 + y y 1s = y 2 = y 21 + y y 2s =. y i = y i1 + y i y is =. y = y 1 + y y s =.. s j=1 y i j i klassen A 1 s y 2 j i klassen A 2 j=1. s y i j j=1. s y j j=1 i klassen A i i klassen A Man må defo fomode at den fælles vædi p i af sandsynligheden fo at tilhøe klassen A i skal estimees ved y i /n, men lad os pøve at gå fem efte likelihoodmetoden.

15 1.2 Sammenligning af multinomialfodelinge 15 Vi kalde den fælles vædi unde H 0 af p 1, p 2,..., p s fo p, p = p 1 p 2.. I likelihoodfunktionen 1.2 estatte vi alle p j -ene med p og få deved likelihoodfunktionen unde H 0 : Lp, p,..., p = s konstant p y 1 j 1 p y 2 j 2... p y j j=1 = konstant p y 1 1 p y p y. Det valg af p 1, p 2,..., p de maksimalisee denne likelihoodfunktion, e ifølge sætningen på side 10 netop ˆp i = y i /n som fomodet. 41/ I taleksemplet blive ˆp = 55/235 = / Nå man vil vudee hvo godt det faktisk obseveede beskives unde H 0 i fohold til den aktuelle gundsmodels beskivelse, skal man udegne kvotientteststøelsen L ˆp, ˆp,..., ˆp Q = L ˆp 1, ˆp 2,..., ˆp s elle 2 ln Q. En Q-vædi tæt på 1, dvs. en 2 ln Q-vædi tæt på 0, betyde at H 0 beskive data næsten lige så godt som gundmodellen gø, hvoimod en Q-vædi næ 0, dvs. en sto 2 ln Q-vædi, betyde at H 0 give en væsentligt dåligee beskivelse end gundmodellen gø. Man pleje at udegne 2 ln Q og ikke Q. Nå man indsætte udtykkene fo L i Q, få man let at 2 ln Q = 2 = 2 s j=1 s j=1 i=1 p y 1 j ln y 1 j ŷ 1 j + y 2 j ln y 2 j ŷ 2 j y j ln y j ŷ j y i j ln y i j ŷ i j hvo ŷ i j = ˆp i n j = y i n j /n e det»foventede«antal individe fa guppe j de klassificees som A i. Fo at bestemme 2 ln Q i taleksemplet udegnes føst de foventede antal, se Tabel 1.2. Demed e 2 ln Q obs = 2 27 ln ln ln ln ln ln ln ln + 75 ln = 107.8

16 16 Multinomialfodelingen Tabel 1.2 Genotypefodeling hos tosk fa te lokalitete i Østesøen: foventede antal unde antagelse af ens fodelinge på de te lokalitete. lokalitet genotype Lolland Bonholm Ålandsøene AA Aa aa i alt Fo at afgøe om en opnået 2 ln Q obs -vædi som f.eks nu e tæt på 0 elle ej, skal man sammenligne den med alle de ande 2 ln Q-vædie man også kunne have fået ifølge den aktuelle model nå H 0 e igtig. Vi skal defo finde testsandsynligheden ε, dvs. sandsynligheden fo at få en væe støe 2 ln Q-vædi end den obseveede, unde foudsætning af at H 0 e igtig: ε = P 0 2 ln Q 2 ln Qobs. Nå man skal bestemme ε, kan man udnytte en geneel matematisk sætning de fotælle at nå H 0 e igtig, så e 2 ln Q med god tilnæmelse χ 2 -fodelt med 1s 1 fihedsgade således at ε med god tilnæmelse kan bestemmes som sandsynligheden fo at få en vædi støe end 2 ln Q obs i en χ 2 -fodeling med 1s 1 fihedsgade, kot ε = P χ 2 1s 1 2 ln Q obs, og denne sandsynlighed e let at bestemme ved hjælp af tabelle ove faktile i χ 2 -fodelingen. Antallet af fihedsgade fo 2 ln Q findes som ændingen i antallet af fie paamete: i gundmodellen e de fo hve af de s guppe 1 paamete fodi de e klasse og demed sandsynlighede de skal summee til 1, altså i alt s 1 paamete; unde H 0 e de i ealiteten kun én guppe og demed 1 fie paamete; antallet af fihedsgade fo teststøelsen e defo s 1 1 = 1s 1. Bemæk at χ 2 -fodelingen kun e en appoksimation; fo at man skal kunne buge den, skal alle de»foventede«antal ŷ i j = ˆp i n j = y i n j /n væe mindst fem. Hvis denne betingelse ikke e opfyldt, kan man måske opnå at den blive opfyldt ved at man udelade nogle guppe elle klasse elle slå nogle guppe elle klasse sammen. I det gennemgående taleksempel e de ingen pobleme med at de»foventede«antal e fo små. Vi kan defo uden videe sammenligne 2 ln Q obs = med χ 2 -fodelingen med = 4 fihedsgade. Da 99.9%- faktilen i denne fodeling e 18.47, e testsandsynligheden ε minde end 0.1%.

17 1.3 Opgave 17 Da det således e temmelig usandsynligt at få en væe vædi af teststøelsen 2 ln Q end 107.8, e teststøelsen signifikant sto, og vi fokaste H 0. Man må altså sige at de e en signifikant foskel på genotypen af tosk på de te geogafiske lokalitete. Denne konklusion e ikke oveaskende hvis man man sammenligne Tabel 1.1 og Opgave Opgave 1.1 Medabejdeaktie Det e blevet almindeligt at fimae indføe odninge med medabejdeaktie; deved skulle medabejdene komme til at føle støe medansva og fopligtelse ove fo dees abejdsplads. Det e dog ikke altid at fimaets opfoding til medabejdene om at blive aktionæe opfattes på samme måde af alle medabejdeguppe. Fo at danne sig et indtyk af medabejdees motive til at ehveve sig aktie ha man foetaget et undspøge blandt medabejdene på en bestemt viksomhed som ha en medabejdeaktie-odning og bedt dem nævne dees motive fo at gå med i aktieodningen. Svamulighedene va»fo at bevae jobbet«,»som en investeing«og»to på idéen med medabejdeaktie«. Nedenstående tabel vise espondentenes fodeling på motiv og medabejdekategoi. Hvad kan man på denne baggund sige om en eventuel sammenhæng mellem medabejdenes motive fo at deltage i odningen og aten af dees abejde? abejdee funktionæe mellemledee topledee fo at bevae jobbet som en investeing to på idéen Opgave 1.2 Test af simpel hypotese Antag at Y 1, Y 2,..., Y e multinomialfodelt med paamete n og p, og lad p 01 p 02 p 0 p 0 =. væe et sæt kendte ikke-negative tal de summee til 1. Man ønske at teste hypotesen H 0 : p = p 0 elle altså p i = p 0i fo alle i. 1. Udled 2 ln Q-støelsen fo denne hypotese. 2. De gælde at nå H 0 e igtig, så e 2 ln Q asymptotisk χ 2 -fodelt med et antal fihedsgade de kan udegnes som ændingen i antal fie paamete.

18 18 Multinomialfodelingen Hvad e antallet af fihedsgade fo 2 ln Q?

19 2 Et støe eksempel: Tosk i Østesøen I dette kapitel vil vi tage et tidligee omtalt eksempel op til næmee behandling. Eksemplet e blandt andet et eksempel på at man kan indbygge noget teoi i den statistiske model, og et eksempel de vise nytten af maximum likelihood metoden til paameteestimation. 2.1 Pæsentation af eksemplet Den 6. mats 1961 fangede nogle havbiologe 69 tosk ved Lolland og undesøgte aten af blodets hæmoglobin i hve enkelt tosk. Senee på ået fangede man desuden nogle tosk ved Bonholm og ved Ålandsøene og bestemte dees genotype. 1 Man mene at hæmoglobin-aten bestemmes af ét enkelt gen, og det som biologene bestemte, va toskenes genotype fo så vidt angå dette gen. Genet kan optæde i to udgave som taditionen to kaldes fo A og a, og de mulige genotype e da AA, Aa og aa. Tabel 2.1 vise den fundne fodeling på genotype fo hve af de te lokalitete. På hve geogafisk lokalitet e de sket det at man ha klassificeet et antal tosk i te mulige klasse, så på hve lokalitet e de tale om en multinomialfodelingssituation nå de e te klasse, tale man også om en tinomialfodeling. Som gundmodel benytte vi defo den model de sige, at de te obsevations»vektoe«y L = y B = y Å = y 1L y 2L y 3L y 1B y 2B y 3B y 1Å y 2Å y 3Å 27 = 30, = 20, 52 0 = stamme fa hve sin multinomialfodeling med antalspaamete n L = 69, 1 K. Sick 1965: Haemoglobin polymophism of cod in the Baltic and the Danish Belt Sea. Heeditas 54,

20 20 Et støe eksempel: Tosk i Østesøen n B = 86 og n Å = 80 og med sandsynlighedspaamete p L = p B = p Å = p 1L p 2L p 3L p 1B p 2B p 3B p 1Å,, p 2Å. p 3Å 2.2 Hady-Weinbeg ligevægt Gundmodellen e at hve geogafisk lokalitet ha sin egen multinomialfodeling, og at hve multinomialfodeling ha en sandsynlighedspaamete p = p 1 p 2 p 3 hvo p 1, p 2 og p 3 kan væe hvilkesomhelst te ikke-negative tal de summee til 1. Imidletid kan man agumentee fo at de unde visse omstændighede må væe en bestemt sammenhæng mellem de te p-e. Lad os antage at i en bestemt toskegeneation optæde de te genotype AA, Aa og aa med hyppighedene p 1, p 2 og p 3 hvo p 1 + p 2 + p 3 = 1. Lad os desuden antage at næste geneation femstilles ved»tilfældig paing«således at hvet af en toskeunges to hæmoglobin-gene vælges uafhængigt af hinanden på følgende måde: føst vælges et tilfældigt foælde-individ, denæst vælges et tilfældigt af dette individs hæmoglobin-gene. Sandsynligheden fo at vælge A e da p / 2 p 2 hvilket vi kalde β, og sandsynligheden fo at vælge a e 1 / 2 p 2 + p 3 = 1 β. I den nye geneation blive genotypefodelingen defo AA: β 2 Aa: 2β1 β aa: 1 β 2 bemæk at β 2 + 2β1 β + 1 β 2 = β + 1 β 2 = 1. Heaf kan vi se at genotypefodelingen i den nye geneation ikke kan væe hvadsomhelst, men at de e en vis sammenhæng mellem de te sandsynlighede, styet af støelsen β. Vi kan pøve at se hvad de ske hvis de e en tilsvaende sammenhæng mellem sandsynlighedene i foældegeneationen. Lad os sige at i foældegeneationen e AA: p 1 = α 2 Aa: p 2 = 2α1 α aa: p 3 = 1 α 2.

21 2.2 Hady-Weinbeg ligevægt 21 Tabel 2.1 = Tabel 1.1 Genotypefodeling af tosk fa te lokalitete i Østesøen. genotype Lolland Bonholm Ålandsøene AA Aa aa i alt Figu 2.1 Det tonede omåde e sandsynlighedssimplexet, dvs. mængden af tiple p = p 1, p 2, p 3 af ikke-negative tal de summee til 1. Kuven bestå af de p de kan optæde hvis de e Hady-Weinbeg ligevægt. Så blive β = p / 2 p 2 = α / 2 2α1 α = α, dvs. sandsynlighedene e ufoandede fa den ene geneation til den anden. Man sige at populationen e i Hady-Weinbeg ligevægt hvis det e sådan at de te genotype optæde i foholdet AA: p 1 = β 2 Aa: p 2 = 2β1 β aa: p 3 = 1 β 2

22 22 Et støe eksempel: Tosk i Østesøen fo en elle anden vædi af β [0, 1]. Hvis de e Hady-Weinbeg ligevægt, e det altså kun ganske sælige sandsynlighedstiple p 1, p 2, p 3 de kan komme på tale, se Figu Hypotesen om Hady-Weinbeg ligevægt Vi vil undesøge om de e Hady-Weinbeg ligevægt på hve af de te lokalitete. Vi begynde med Lolland. At de e Hady-Weinbeg ligevægt ved Lolland kan fomulees som den statistiske hypotese p 1L β 2 L H L : p 2L = 2β L 1 β L. p 3L 1 β L 2 I gundmodellen e likelihoodfunktionen Lp 1L, p 2L, p 3L = konstant p 27 1L p30 2L p12 3L de ha maksimum i ˆp L = 27/69 30/69. 12/69 Unde H L e likelihoodfunktionen L L β L = L βl 2, 2β L1 β L, 1 β L 2 = 27 2βL konstant βl 2 1 β L 30 1 β L 2 12 = konstant β L 1 β L , som ha maksimum i ˆβ L = = = dvs. det obseveede antal A divideet med det samlede antal gene. Man teste hypotesen ved bug af den sædvanlige kvotientteststøelse Q = L ˆβ L 2, 2 ˆβ L 1 ˆβ L, 1 ˆβ L 2 / L ˆp 1L, ˆp 2L, ˆp 3L elle 2 ln Q; sidstnævnte kan udtykkes som 2 ln Q = 2 i=1 y i ln y i ŷ i hvo ŷ 1, ŷ 2, ŷ 3 = n L ˆβ 2 L, n L2 ˆβ L 1 ˆβ L, n L 1 ˆβ L 2 e de»foventede«antal unde H L. Man finde at 2 ln Q = 0.52 med = 1 fihedgade, svaende til en testsandsynlighed på ca. 47%, så man kan sagtens antage at toskebestanden ved Lolland e i Hady-Weinbeg ligevægt. Noget tilsvaende kan gøes med de to ande lokalitete. Man få maksimaliseingsestimatene ˆβ B = og ˆβ Å = Tabel 2.2 vise de foventede

23 2.4 En samlet model 23 Tabel 2.2 Foventede antal ŷ unde foudsætning af Hady-Weinbeg ligevægt på hve lokalitet. genotype Lolland Bonholm Ålandsøene AA Aa aa i alt antal ŷ hvet sted. Ved Ålandsøene kan man oplagt antage Hady-Weinbeg ligevægt. 2 Ved Bonholm e de støe uoveensstemmelse mellem de obseveede og de foventede antal, og teststøelsen e he 2 ln Q = 14.4, svaende til en testsandsynlighed af støelsesoden En samlet model Man kan sige at hypotesen om Hady-Weinbeg ligevægt e sådan en»pæn«hypotese fodi man kan»fostå«dvs. levee en simpel foklaing på den. Defo e det ægeligt at Bonholm tilsyneladende falde uden fo det pæne billede. Fo at epaee på tingene kunne man fosøge sig med en modificeet hypotese H 1 gående ud på at ved Lolland e de Hady-Weinbeg ligevægt med paamete β L, ved Ålandsøene e de Hady-Weinbeg ligevægt med paamete β Å, ved Bonholm e populationen en blanding af Lollandstosk og Ålandstosk i foholdet α : 1 α hvo α ]0, 1[ e ukendt paamete. Mee pæcist gå H 1 altså ud på at de findes vædie af β L, β Å og α så p L = p Å = β 2 L 2β L 1 β L, 1 β L 2 β 2 Å 2β Å 1 β Å, 1 β Å 2 p B = αp L + 1 αp Å αβl αβ2 Å = α2β L 1 β L + 1 α2β Å 1 β Å. α1 β L α1 β Å 2 2 Man kan ikke benytte χ 2 -appoksimationen til 2 ln Q fodi et af de foventede antal e alt fo lille. Til gengæld epoducee modellen jo obsevationene sædeles fint.

24 24 Et støe eksempel: Tosk i Østesøen Tabel 2.3 Foventede antal ŷ i blandingsmodellen. genotype Lolland Bonholm Ålandsøene AA Aa aa i alt Bemæk at de nu e tale om én samlet model fo alle te lokalitete. Den samlede likelihoodfunktion blive poduktet af de te del-likelihoodfunktione fo de te lokalitete. Det e bekvemt at opeee med logaitmen til likelihoodfunktionen, så den skive vi op: ln Lβ L, β Å,α = 27 ln p 1L + 30 ln p 2L + 12 ln p 3L + 14 ln p 1B + 20 ln p 2B + 52 ln p 3B + 0 ln p 1Å + 5 ln p 2Å + 75 ln p 3Å = konstant + 84 ln β L + 54 ln1 β L + 14 ln αβl αβ2 Å + 20 ln αβ L 1 β L + 1 αβ Å 1 β Å + 52 ln α1 β L α1 β Å ln β Å ln1 β Å. De synes ikke at væe nogen paktisk anvendelig analytisk måde at maksimalisee denne funktion på, så man må benytte en iteationsmetode. Som statvædie til en sådan kan vi benytte de tidligee fundne estimate ˆβ L = og ˆβ Å = og vælge α så det foventede antal Aa ved Bonholm e lig det obseveede, dvs. ved at løse ligningen hvilket give α α 2 ˆβ L 1 ˆβ L + 1 α 2 ˆβ Å 1 ˆβ Å = 20/86, Man finde at ln L antage sit maksimum i punktet ˆβ L, ˆβ Å, ˆα = 0.611, 0.031, Heefte kan vi udegne den foventede genotypefodeling de te stede, se Tabel 2.3. Det ses at de e langt bede oveensstemmelse mellem de obseveede og de»foventede«vædie i denne model. Hvis man teste modellen i fohold til gundmodellen med en vilkålig tinomialfodeling hvet sted, få man en 2 ln Q-støelse på 0.7 talvædien afhænge en 3 Vædien af ln L i dette punkt e dog kun 0.02 støe end vædien i det foeslåede udgangspunkt 0.609, 0.031, 0.414, som defo i sig selv e temmelig godt.

25 2.4 En samlet model 25 del af hvo mange cife man ha med i mellemegningene, og selv om de foventede antal ikke alle e mindst 5, kan man jo alligevel godt skæve til χ 2 - fodelingen med = 3 fihedsgade. Alt i alt må man konkludee, at modellen med Hady-Weinbeg ligevægt ved Lolland og ved Ålandsøene og med en blandingspopulation ved Bonholm give en god beskivelse af de foeliggende obsevatione.

26 26

27 3 Tosidede kontingenstabelle En af pointene i Kapitel 1 e at nå man klassificee et antal individe fa en bestemt population efte ét kiteium med klasse A 1, A 2,..., A, så kan det væe fonuftigt at fosøge sig med en model de sige at hvis Y i betegne antallet af A i -individe i stikpøven, i = 1, 2,...,, så e den -dimensionale stokastiske vaiabel Y 1, Y 2,..., Y multinomialfodelt. I dette kapitel skal vi se hvoledes en bestemt at stuktu i inddelingskiteiet kan afspejle sig i den statistiske model. Den pågældende stuktu bestå i at de ent faktisk inddeles efte to kiteie på en gang. He e føst en pæsentation af det talmateiale de benyttes som gennemgående eksempel i dette kapitel. Eksempel 3.1 Hjenesvulstpatiente Man ha klassificeet 141 hjenesvulstpatiente efte svulstens at»godatet«,»ondatet«og»andet«og placeing i hjenevævet»ved panden«,»ved tindingen«og»ande stede«. Resultatene heaf femgå af Tabel 3.1. Man e inteesseet i at finde ud af om disse tal tyde på at de e en sammenhæng mellem svulstens at og dens placeing. Man kan sige at man ha klassificeet n = 141 patiente som høende til én af ni foskellige klasse, og at man defo ifølge ovevejelsene i Kapitel 1 kan betagte det obseveede talsæt 23, 21,..., 17 som en obsevation af en multinomialfodelt stokastisk vaiabel. Imidletid kan man også tænke på situationen på den måde at patientene e klassificeet efte to kiteie på en gang, hvo hvet kiteium ha te niveaue. 3.1 Gundmodellen Antag at vi ha klassificeet n individe efte to kiteie. Det føste kiteium ha niveaue og klassene A 1, A 2,..., A, og det andet ha s niveaue og klas- Tabel hjenesvulstpatiente fodelt efte svulstens at og placeing. placeing pande tinding andet sum godatet at ondatet andet sum

28 28 Tosidede kontingenstabelle sene B 1, B 2,..., B s. Skematisk se det sådan ud: hvo kiteium 2 klasse B 1 B 2... B s sum A 1 y 11 y y 1s y 1 kiteium 1 A 2 y 21 y y 2s y A y 1 y 2... y s y sum y 1 y 2... y s n y i j = antal individe i klassen A i B j = A i B j, y i = y j = s y i j = antal individe i klassen A i, j=1 y i j = antal individe i klassen B j. i=1 Da de e tale om at et antal individe e klassificeet i et antal klasse, benytte vi som gundmodel en multinomialfodelingsmodel: Den s-dimensionale obsevation y = y 11 y 12. e en obseveet vædi af en s-dimensional stokastisk vaiabel Y = y s Y 11 Y 12. som e multinomialfodelt med antalspaamete n og sandsynlighedspaamete p = Y s p 11 p 12.. Støelsen p i j e sandsynligheden fo at et individ udvalgt tilfældigt fa»populationen«vil tilhøe klassen A i B j, og den estimees ved p s ˆp i j = y i j /n. 3.1

29 3.2 Uafhængighedshypotesen Uafhængighedshypotesen Den stuktu de e i inddelingskiteiet nemlig at de inddeles efte to kiteie på en gang ha foeløbig kun givet sig udslag i den måde de vaiable og paametene e navngivet på med index i j. Vi skal nu udlede en model de svae til at de ikke e nogen sammenhæng mellem de to inddelingskiteie. Den»sammenhæng«de skal væe tale om, e ikke en åsagssammenhæng, men en statistisk sammenhæng. At de ikke e nogen sammenhæng mellem kiteium A og kiteium B skal betyde, at A og B i en vis fostand»vike«uafhængigt af hinanden, således at fostå, at en oplysning om, hvilken B-klasse et individ tilhøe, ikke indeholde nogen infomation om, hvilken A-klasse individet tilhøe, og omvendt. Det skal nu fomalisees i en matematisk model. Vi indføe nogle hjælpevaiable X d = X da, X db, således at X da e navnet på den A-klasse som individ n. d tilhøe, og tilsvaende X db e navnet på den B-klasse som individ n. d tilhøe, det vil sige at X d = A i, B j betyde at individ n. d tilhøe A-klassen A i og B-klassen B j. At de ikke e nogen sammenhæng mellem A og B betyde hemed at en oplysning om vædien af X db ikke indeholde nogen infomation om vædien af X da og omvendt, og det betyde at de stokastiske vaiable X da og X db e stokastisk uafhængige, således at PX da = A i, X db = B j = PX da = A i PX db = B j. Nu e p. definition PX da = A i, X db = B j = p i j, så at de ikke e nogen sammenhæng mellem A og B betyde altså at p i j = α i β j hvo vi ha sat α i = PX da = A i og β j = PX db = B j. Sammenfattende kan vi defo sige at den matematiske fomuleing af antagelsen om at de ikke e nogen statistisk sammenhæng mellem kiteiene A og B, blive at p i j = α i β j fo alle i og j, hvo α 1,α 2,...,α e ikke-negative tal de summee til 1, og β 1, β 2,..., β s e ikke-negative tal de summee til 1. Udtykt i od gå antagelsen ud på at sandsynligheden p i j fo på én gang at tilhøe både A i og B j e lig poduktet af sandsynligheden α i fo at tilhøe A i og sandsynligheden β j fo at tilhøe B j. I stedet fo at tale om at de ikke e nogen sammenhæng mellem A og B, tale man ofte om at de e uafhængighed mellem A og B, og den statistiske hypotese H 0 : p i j = α i β j fo alle i og j, hvo de ukendte paamete α 1,α 2,...,α og β 1, β 2,..., β s e ikke-negative talsæt de hve isæ summee til 1, hedde da uafhængighedshypotesen.

30 30 Tosidede kontingenstabelle At de e uafhængighed mellem A og B, udtykke man undetiden på den måde at de ikke e nogen signifikant vekselvikning mellem A og B. Nå de ikke e nogen vekselvikning mellem A og B, beskives hele den systematiske vaiation i talmateialet af de såkaldte ækkevikninge A-vikninge α 1,α 2,...,α de beskive den systematiske foskel mellem ække, og af de såkaldte søjlevikninge B-vikninge β 1, β 2,..., β s de beskive den systematiske foskel mellem søjle. Estimation af paametene Likelihoodfunktionen i gundmodellen e en almindelig multinomial-likelihoodfunktion: Lp = konstant hvo konstanten e en multinomialkoefficient. i=1 s p y i j i j j=1 Estimatene ove paametene α 1,α 2,...,α og β 1, β 2,..., β s i uafhængighedsmodellen e de vædie de maksimalisee Lp hvo man fo p i j indsætte p i j = α i β j, dvs. de vædie de maksimalisee L 0 α 1,α 2,...,α, β 1, β 2,..., β s = konstant = konstant = konstant s i=1 j=1 α i β j y i j s α y i j i i=1 j=1 i=1 i=1 α y i i s j=1 s j=1 β y j j. Det ses at L 0 e et podukt af en funktion af α-ene og en funktion af β-ene. Ifølge Sætning 1.1 antage disse to funktione dees maksimumsvædie i hhv. og ˆα 1, ˆα 2,..., ˆα = ˆβ 1, ˆβ 2,..., ˆβ s = β y i j j y1 n, y 2 n,..., y n 3.2 y 1 n, y 2 n,..., y s. 3.3 n Dette e så maksimaliseingsestimatene fo paametene. Resultatet e i øvigt hvad man umiddelbat skulle fovente idet f.eks. sandsynligheden α i fo at tilhøe A-klassen A i estimees ved den obseveede elative hyppighed y i /n af A i. I taleksemplet blive L = konstant p p21 12 p34 13 p9 21 p4 22 p24 23 p6 31 p3 32 p Ved at indsætte de aktuelle talvædie i 3.1, 3.2 og 3.3 fås estimatene ove de ukendte paamete, se Tabel 3.2.

31 3.2 Uafhængighedshypotesen 31 Tabel 3.2 Estimatene ove gundmodellens paamete p i j og uafhængighedsmodellens paamete α i og β j i hjenesvulsteksemplet. Tallene e sandsynlighede i pocent. placeing sum = pande tinding andet ˆα i godatet at ondatet andet sum = ˆβ j Test fo uafhængighed Teststøelsen fo uafhængighedshypotesen H 0 e likelihoodkvotientstøelsen Q elle 2 ln Q. Nå man indsætte de fundne estimate i udtykket fo Q, få man Q = L 0 ˆα 1, ˆα 2,..., ˆα, ˆβ 1, ˆβ 2,..., ˆβ s L ˆp 11, ˆp 12,..., ˆp s yi ˆαi ˆβ j j = = = i=1 s j=1 s i=1 j=1 s i=1 j=1 s i=1 j=1 ˆpi j yi j ˆαi ˆβ j ˆp i j ŷi j y i j yi j yi j, hvo ŷ i j = n ˆα i ˆβ j = y i y j/n e det»foventede«antal individe i klassen A i B j unde uafhængighedshypotesen. Demed blive 2 ln Q = 2 i=1 s y i j ln y i j. ŷ j=1 i j Vædie af 2 ln Q tæt på 0 tyde på at H 0 give en næsten lige så god beskivelse af data som gundmodellen gø, hvoimod stoe 2 ln Q-vædie betyde at H 0 give en væsentlig dåligee beskivelse end gundmodellen gø, og i så fald vil man fokaste hypotesen om uafhængighed mellem ække og søjle. De»foventede«antal i hjenesvulsteksemplet e vist i Tabel 3.3; heudfa

32 32 Tosidede kontingenstabelle Tabel 3.3 Den»foventede«fodeling af 141 hjenesvulstpatiente unde foudsætning af uafhængighed mellem svulstens at og placeing. placeing pande tinding andet sum godatet at ondatet andet sum få man at 2 ln Q obs = 2 23 ln ln + 34 ln ln ln ln ln ln ln = 8.1 Nå vi skal afgøe om en opnået 2 ln Q obs -vædi som f.eks. 8.1 e signifikant sto, skal vi sammenligne den med alle de ande 2 ln Q-vædie man også kunne have fået såfemt uafhængighedshypotesen H 0 va igtig. Vi skal defo bestemme testsandsynligheden ε, dvs. sandsynligheden fo at få en støe 2 ln Q-vædi end den obseveede, unde foudsætning af at H 0 e igtig: ε = P 0 2 ln Q 2 ln Qobs. Nå man skal bestemme ε, kan man udnytte en geneel matematisk sætning de fotælle at nå H 0 e igtig, så e 2 ln Q med god tilnæmelse χ 2 -fodelt med 1s 1 fihedsgade således at ε med god tilnæmelse kan bestemmes som sandsynligheden fo at få en vædi støe end 2 ln Q obs i en χ 2 -fodeling med 1s 1 fihedsgade, kot ε = P χ 2 1s 1 2 ln Q obs. Denne sandsynlighed e let at bestemme ved hjælp af tabelle ove faktile i χ 2 -fodelingen. Antallet af fihedsgade fo 2 ln Q findes som ændingen i antallet af fie paamete: i gundmodellen e de s sandsynlighedspaamete de summee til 1, dvs. de e s 1 fie paamete; unde H 0 e de ækkepaamete de summee til 1, samt s søjlepaamete de summee til 1, dvs. 1 + s 1 fie paamete; antallet af fihedsgade fo teststøelsen e demed s s 1 = 1s 1.

33 3.3 Jævnføing med ande tilsvaende modelle 33 Bemæk at χ 2 -fodelingen kun e en appoksimation; fo at man skal kunne buge den, skal alle de»foventede«antal væe mindst fem. Hvis denne betingelse ikke e opfyldt, kan man eventuelt slå nogle ække elle nogle søjle sammen. I hjenesvulsteksemplet e de»foventede«antal ove fem, så vi kan oligt anvende χ 2 -appoksimationen. Tabelopslag vise at i χ 2 -fodelingen med = 4 fihedsgade e 90%-faktilen 7.78 og 95%-faktilen 9.49 således at teststøelsen 2 ln Q obs = 8.1 svae til en testsandsynlighed på mellem 5% og 10%. På det gundlag vil man sædvanligvis ikke fokaste H 0. Det kan altså konkludees at de tilsyneladende ikke e nogen sammenhæng mellem svulstens at og dens placeing. Det vil blandt andet sige at man ikke ud fa kendskab til placeingen af en svulst kan sige noget om, hvovidt den vil væe godatet elle ej. 3.3 Jævnføing med ande tilsvaende modelle Den læse de ha studeet Afsnit 1.2 om sammenligning af multinomialfodelinge, vil måske have bemæket, at de dé pæsenteede metode ha stoe lighede med dem i indevæende kapitel. Vi kan opegne nogle af lighedene: 1. De foeligge nogle obseveede antal y i j anbagt i et tosidet skema. 2. Man udegne nogle»foventede«antal ŷ i j efte opskiften ækkesum gange søjlesum divideet med totalsum. 3. Man udegne en teststøelse 2 ln Q obs = y lny/ŷ. 4. Man sammenligne 2 ln Q obs med χ 2 -fodelingen med 1s 1 fihedsgade. Selv om man foetage sig det samme i de to tilfælde, e det imidletid på gundlag af to foskellige modelle: 1 I det ene tilfælde dette kapitel klassificee man nogle individe efte to kiteie, og opgaven e da at undesøge om de e en sammenhæng mellem disse to kiteie. I det andet tilfælde Afsnit 1.2 e individene på fohånd delt ind i nogle guppe inden de klassificees efte et kiteium. Opgaven e da at undesøge om de e foskel på guppene med hensyn til hvodan guppenes individe fodeles på klassene. Om man skal benytte den ene elle den anden model, e således et spøgsmål om hvoledes man ha designet det fosøg de ha leveet talmateialet. I eksemplet i dette kapitel sagde vi at det handlede om at man havde taget 141 hjenesvulstpatiente og klassificeet dem efte to kiteie; deved blev det et eksempel de illusteede dette kapitels model og metode. Hvis det deimod 1 De to modelle e dog næt beslægtede; hvis man i dette kapitels model betinge med søjlesummene, dvs. betinge med at Y 1 = n 1, Y 2 = n 2,..., Y s = n s, så få man modellen i Afsnit 1.2, og uafhængighedshypotesen oveføes til Afsnit 1.2s H 0.

34 34 Tosidede kontingenstabelle havde handlet om at man havde taget 38 patiente med svulst i panden, 28 med svulst i tindingen og 75 hvo svulsten ikke va lokaliseet til pande elle tinding, og denæst klassificeet disse patiente efte svulstens at, så havde det væet et Afsnit 1.2-eksempel. 3.4 Opgave Opgave 3.1 Hå- og øjenfave Ved en sundhedsundesøgelse af 283 pige i St. Clement Steet skole i Abedeen blev hå- og øjenfave obseveet med et esultat som vist i nedenstående tabel. Vise dette mateiale en sammenhæng mellem håfave og øjenfave? Øjenfave blå lys neutal møk Håfave lys ød neutal møk

35 4 Stikod Hady-Weinbeg ligevægt 20 multinomialfodeling 7, definition 8 multinomialkoefficient 7 polynomialfodeling multinomialfodeling polynomialkoefficient multinomialkoefficient sandsynlighedssimplex 9 statistisk sammenhæng 29 stokastisk uafhængighed 29 tinomialfodeling 11, 19 uafhængighed 29 vekselvikning 30 35

Annuiteter og indekstal

Annuiteter og indekstal Annuitete og indekstal 1 Opspaing og lån Mike Auebach Odense 2010 Hvis man betale til en opspaingskonto i en bank, kan man ikke buge entefomlen til at beegne, hvo mange penge, de vil stå på kontoen. På

Læs mere

Projekt 0.5 Euklids algoritme, primtal og primiske tal

Projekt 0.5 Euklids algoritme, primtal og primiske tal Pojekt 0.5 Euklids algoitme, pimtal og pimiske tal Betegnelse. Mængden af hele tal (positive, negative og nul) betegnes. At et tal a e et helt tal angives med: aî, de læses a tilhøe. Nå vi ha to vilkålige

Læs mere

Indhold (med link til dokumentet her) Introduktion til låntyper. Begreber. Thomas Jensen og Morten Overgård Nielsen

Indhold (med link til dokumentet her) Introduktion til låntyper. Begreber. Thomas Jensen og Morten Overgård Nielsen Thomas Jensen og Moten Ovegåd Nielsen Annuitetslån I bogens del 2 kan du læse om Pocent og ente (s. 41-66). Vi vil i mateialet he gå lidt videe til mee kompliceede entebeegninge i fobindelse med annuitetslån.

Læs mere

Annuiteter og indekstal

Annuiteter og indekstal Annuitete og indekstal Mike Auebach Odense, 2010 1 OPSPARING OG LÅN Hvis man betale til en opspaingskonto i en bank, kan man ikke buge entefomlen til at beegne, hvo mange penge, de vil stå på kontoen.

Læs mere

Kap. 1: Logaritme-, eksponential- og potensfunktioner. Grundlæggende egenskaber.

Kap. 1: Logaritme-, eksponential- og potensfunktioner. Grundlæggende egenskaber. - 4 - Kap. : Logaitme-, eksponential- og potensfunktione. Gundlæggende egenskabe... Logaitmefunktione. Definition... Ved en logaitmefunktion fostå vi en funktion f, som opfylde følgende te kav: ) Dm(f)

Læs mere

Privatøkonomi og kvotientrækker KLADDE. Thomas Heide-Jørgensen, Rosborg Gymnasium & HF, 2017

Privatøkonomi og kvotientrækker KLADDE. Thomas Heide-Jørgensen, Rosborg Gymnasium & HF, 2017 Pivatøkonomi og kvotientække KLADDE Thomas Heide-Jøgensen, Rosbog Gymnasium & HF, 2017 Indhold 1 Endelige kvotientække 3 1.1 Hvad e en ække?............................ 3 1.2 Kvotientække..............................

Læs mere

Projekt 5.2. Anvendelse af Cavalieris princip i areal- og rumfangsberegninger

Projekt 5.2. Anvendelse af Cavalieris princip i areal- og rumfangsberegninger Hvad e matematik? B, i-bog Pojekte: Kapitel 5. Pojekt 5.. Anvendelse af Cavalieis pincip i aeal- og umfangsbeegninge Pojekt 5.. Anvendelse af Cavalieis pincip i aeal- og umfangsbeegninge Den gundlæggende

Læs mere

Projekt 0.5 Euklids algoritme og primiske tal

Projekt 0.5 Euklids algoritme og primiske tal Pojekt 0.5 Euklids algoitme og pimiske tal BETEGNELSER. Mængden af hele tal (positive, negative og nul) betegnes. At et tal a e et helt tal angives med: aî, de læses a tilhøe. Nå vi ha to vilkålige hele

Læs mere

TDC A/S Nørregade 21 0900 København C. Afgørelse om fastsættelse af WACC i forbindelse med omkostningsdokumentation af priserne i TDC s standardtilbud

TDC A/S Nørregade 21 0900 København C. Afgørelse om fastsættelse af WACC i forbindelse med omkostningsdokumentation af priserne i TDC s standardtilbud TC A/S Nøegade 21 0900 København C Afgøelse om fastsættelse af WACC i fobindelse med omkostningsdokumentation af pisene i TC s standadtilbud Sagsfemstilling en 29. juni 2006 modtog TC s notat om den beegningsmæssige

Læs mere

Den stigende popularitet af de afdragsfrie lån har ad flere omgange fået skylden for de kraftigt stigende boligpriser de senere år.

Den stigende popularitet af de afdragsfrie lån har ad flere omgange fået skylden for de kraftigt stigende boligpriser de senere år. 16. septembe 8 Afdagsfie lån og pisstigninge på boligmakedet Den stigende populaitet af de afdagsfie lån ha ad flee omgange fået skylden fo de kaftigt stigende boligpise de senee å. Set ove en længee peiode

Læs mere

Gravitationsfeltet. r i

Gravitationsfeltet. r i Gavitationsfeltet Den stoe bitiske fysike Isaac Newton opdagede i 600-tallet massetiltækningsloven, som sige, at to masse m og i den indbydes afstand påvike hinanden med en kaft af følgende støelse, hvo

Læs mere

TEORETISK OPGAVE 3. Hvorfor er stjerner så store?

TEORETISK OPGAVE 3. Hvorfor er stjerner så store? TEORETISK OPGAVE 3 Hvofo e stjene så stoe? En stjene e en kuglefomet samling vam gas De fleste stjene skinne pga fusion af hydogen til helium i dees entale omåde I denne opgave skal vi anvende klassisk

Læs mere

Projekt 1.8 Design en optimal flaske

Projekt 1.8 Design en optimal flaske ISBN 978-87-7066-9- Pojekte: Kapitel Vaiabelsammenænge. Pojekt.8 Design en optimal flaske Pojekt.8 Design en optimal flaske Fimaet PatyKids ønske at elancee dees enegidik Enegize. Den skal ave et nyt navn

Læs mere

Erhvervs- og Selskabsstyrelsen

Erhvervs- og Selskabsstyrelsen Ehvevs- og Selskabsstyelsen Måling af viksomhedenes administative byde ved afegning af moms, enegiafgifte og udvalgte miljøafgifte Novembe 2004 Rambøll Management Nøegade 7A DK-1165 København K Danmak

Læs mere

Forløb om annuitetslån

Forløb om annuitetslån Matema10k C-niveau, Fdenlund Side 1 af 7 Foløb om annuitetslån Dette mateiale fokusee på den tpe lån de betegnes annuitetslån. Emnet kan buges som en del af det suppleende stof, og mateialet kan anvendes

Læs mere

Rentesregning: Lektion A1. Forrentningsfaktor, Diskonteringsfaktor, og Betalingsrækker. Overordnede spørgsmål i Rentesregning. Peter Ove Christensen

Rentesregning: Lektion A1. Forrentningsfaktor, Diskonteringsfaktor, og Betalingsrækker. Overordnede spørgsmål i Rentesregning. Peter Ove Christensen Rentesegning: Lektion A1 Foentningsfakto, Diskonteingsfakto, og Pete Ove Chistensen Foå 2012 1 / 49 Oveodnede spøgsmål i Rentesegning Hvoledes kan betalinge sammenlignes, nå betalingene e tidsmæssigt adskilte?

Læs mere

Pension og Tilbagetrækning - Ikke-parametrisk Estimation af Heterogenitet

Pension og Tilbagetrækning - Ikke-parametrisk Estimation af Heterogenitet Pension og Tilbagetækning - Ikke-paametisk Estimation af Heteogenitet Søen Anbeg De Økonomiske Råds Sekataiat, DØRS Pete Stephensen Danish Rational Economic Agents Model, DREAM DREAM Abedspapi 23:2 foeløbig

Læs mere

Dimittendundersøgelse, 2009 Dato: 3. juni 2009

Dimittendundersøgelse, 2009 Dato: 3. juni 2009 Dimittendundesøgelse 2008-2009 Afspændingspædagoguddannelsen Dimittendundesøgelse, 2009 Dato: 3. juni 2009 Opsummeing af undesøgelse foetaget blandt dimittende fa Afspændingspædagoguddannelsen Datagundlag

Læs mere

Alt hvad du nogensinde har ønsket at vide om... Del 2. Frank Nasser 2006-2007

Alt hvad du nogensinde har ønsket at vide om... Del 2. Frank Nasser 2006-2007 Alt hvad du nogensinde ha ønsket at vide om... VEKTORER Del 2 Fank Nasse 2006-2007 - 1 - Indledning Vi skal i denne lille note gennemgå det basale teoi om vektoe i planen og i ummet. Stoffet e pæcis det

Læs mere

Hvis man vil lægge 15% til 600, så kan det gøres ved at udregne, hvor meget 15% af 600 er lig med og lægge det til det oprindelige beløb:

Hvis man vil lægge 15% til 600, så kan det gøres ved at udregne, hvor meget 15% af 600 er lig med og lægge det til det oprindelige beløb: 0BRetesegig BTæk i femskivigsfaktoe! I dette tillæg skal vi se, at begebet femskivigsfaktoe e yttigt til at fostå og løse foskellige poblemstillige idefo pocet- og etesegig. 3B. Lægge pocet til elle tække

Læs mere

Trivselsundersøgelse 2010

Trivselsundersøgelse 2010 Tivselsundesøgelse, byggeteknike, kot-og landmålingseknike, psteknolog og bygni (Intenatal) Pinsesse Chalottes Gade 8 København N T: Indhold Indledning... Metode... Tivselsanalyse fo bygni... Styke og

Læs mere

Psykisk arbejdsmiljø (kort) udarbejdet af NFA (AMI)

Psykisk arbejdsmiljø (kort) udarbejdet af NFA (AMI) Psykisk abejdsmiljø (kot) udabejdet af NFA (AMI) Navn, dato, å Hvilken afdeling abejde du i? Afdelingens navn De følgende spøgsmål handle om dit psykiske abejdsmiljø. Sæt et kyds ud fo hvet spøgsmål ved

Læs mere

Etiske dilemmaer i fysioterapeutisk praksis

Etiske dilemmaer i fysioterapeutisk praksis side 06 fysioteapeuten n. 06 apil 2008 AF: FYSIOTERAPEUT, PH.D.-STUDERENDE JEANETTE PRÆSTEGAARD j.paestegaad@oncable.dk Foto: GITTE SKOV fafo.fysio.dk Etiske dilemmae i fysioteapeutisk paksis Hvis vi ikke

Læs mere

Procent og eksponentiel vækst - supplerende eksempler

Procent og eksponentiel vækst - supplerende eksempler Eksemple til iveau F, E og D Pocet og ekspoetiel vækst - suppleede eksemple Pocete og decimaltal... b Vækst-fomle... d Fa side f og femefte vises eksemple på bug af vækstfomle. Fomle skives omalt på dee

Læs mere

HTX Holstebro Jacob Østergaard 20. oktober 2008 3. A Fysik A Accelererede Roterende Legemer 19:03:00

HTX Holstebro Jacob Østergaard 20. oktober 2008 3. A Fysik A Accelererede Roterende Legemer 19:03:00 1 Fomål 1. At bestemme acceleationen fo et legeme med et kendt inetimoment, nå det ulle ned ad et skåplan - i teoi og paksis.. I teoi og paksis at bestemme acceleationen fo et legeme med kendt inetimoment,

Læs mere

Trigonometri. teori mundtlig fremlæggelse C 2. C v. B v. A v

Trigonometri. teori mundtlig fremlæggelse C 2. C v. B v. A v Tigonometi teoi mundtlig femlæggelse 2 v v B v B Indhold 1. Sætning om ensvinklede teknte og målestoksfohold (uden bevis)... 2 2. Vinkelsummen i en teknt... 2 3. Pythgos sætning om ETVINKLEDE TEKNTE...

Læs mere

Julestjerner af karton Design Beregning Konstruktion

Julestjerner af karton Design Beregning Konstruktion Julestjene af katon Julestjene af katon Design Beegning Konstuktion Et vilkåligt antal takke En vilkålig afstand fa entum ud til spidsene En vilkålig afstand fa entum ud til toppunktene i "indakkene" En

Læs mere

De dynamiske stjerner

De dynamiske stjerner De dynamiske stjene Suppleende note Kuglesymmetiske gasmasse Figu 1 Betelgeuse (Alfa Oionis) e en ød kæmpestjene i stjenebilledet Oion. Den e så sto, at den anbagt i voes solsystem ville nå næsten ud til

Læs mere

Med disse betegnelser gælder følgende formel for en annuitetsopsparing:

Med disse betegnelser gælder følgende formel for en annuitetsopsparing: Matema10k C-iveau, Fydelud Side 1 af 10 Auitetsopspaig De fides mage måde at spae op på. Vi vil he se på de såkaldte auitetsopspaig. Emet ka buges som e del af det suppleede stof, og det ka avedes som

Læs mere

Regional Udvikling, Miljø og Råstoffer. Jordforurening - Offentlig høring Forslag til nye forureningsundersøgelser og oprensninger 2016

Regional Udvikling, Miljø og Råstoffer. Jordforurening - Offentlig høring Forslag til nye forureningsundersøgelser og oprensninger 2016 Regional Udvikling, Miljø og Råstoffe Jodfouening - Offentlig høing Foslag til nye foueningsundesøgelse og opensninge 2016 Decembe 2015 Food En jodfouening kan skade voes fælles gundvand, voes sundhed

Læs mere

En forhandlingsmodel for løndannelsen

En forhandlingsmodel for løndannelsen MODELGRUPPEN Moten Wene Danmaks Statistik Abejdspapi 30. janua 2003[Udkast] En foandlingsmodel fo løndannelsen Resumé: Afløse foige papi af samme navn. [Koektulæsning og gennemskivning udestå] mo Nøgleod:

Læs mere

DesignMat Den komplekse eksponentialfunktion og polynomier

DesignMat Den komplekse eksponentialfunktion og polynomier DesignMat Den komlekse eksonentialfunktion og olynomie Peben Alsholm Uge 8 Foå 009 Den komlekse eksonentialfunktion. Definitionen Definitionen Den velkendte eksonentialfunktion x! e x vil vi ofte ligesom

Læs mere

Sabatiers princip (elevvejledning)

Sabatiers princip (elevvejledning) Sabaties pincip (elevvejledning) Væ på toppen af vulkanen Sammenligning af katalysatoe Fomål I skal måle hvo godt foskellige stoffe vike som katalysato fo udvikling af oxygen fa hydogenpeoxid. I skal sammenligne

Læs mere

Magnetisk dipolmoment

Magnetisk dipolmoment Kvantemekanik 9 Side 1 af 8 Magnetisk dipolmoment Klassisk Ifølge EM udtyk (8.16) e det magnetiske dipolmoment af en ladning q i en cikulæ bane med adius givet ved μ = IA (9.1) v q > 0 μ L hvo A = π og

Læs mere

Magnetisk dipolmoment

Magnetisk dipolmoment Kvantemekanik 9 Side 1 af 9 Magnetisk dipolmoment Klassisk Ifølge EM udtyk (8.16) e det magnetiske dipolmoment af en ladning q i en cikulæ bane med adius givet ved μ = IA (9.1) v q > 0 μ L hvo A = π I

Læs mere

Beregningsprocedure for de energimæssige forhold for forsatsvinduer

Beregningsprocedure for de energimæssige forhold for forsatsvinduer Beeninspocedue fo de eneimæssie fohold fo fosatsvindue Nævæende dokument beskive en pocedue til bestemmelse, af de eneimæssie fohold fo fosatsvindue. Det skal notees, at beeninen e baseet på en foeløbi

Læs mere

Løsninger til kapitel 11. Opgave 11.1 a) I Excel-udskriften ses bl.a. p-værdien for testen med nulhypotesen.

Løsninger til kapitel 11. Opgave 11.1 a) I Excel-udskriften ses bl.a. p-værdien for testen med nulhypotesen. Løsninge til kapitel Opgave. a) I Excel-udskiften ses bl.a. p-vædien fo testen med nulhypotesen. Det ses, at denne p-vædi e på, og da dette e minde end signifikansniveauet på %, så konkludes det, at gennemsnittene

Læs mere

Januar2003/ AM Rentesregning - LÅN & OPSPARING 1/8. Aftager med...% Gange med (1...%) r:=...% Før aftager med...% og bliver til Efter, dvs.

Januar2003/ AM Rentesregning - LÅN & OPSPARING 1/8. Aftager med...% Gange med (1...%) r:=...% Før aftager med...% og bliver til Efter, dvs. Jaua2003/ AM Retesegig - LÅN & OPSPARING 1/8 PROCENT Po cet betyde p. 100" altså hudededele p% = p 100 Decimaltal Ved omskivig fa pocet til decimaltal flyttes kommaet to pladse mod veste 5%=0,05 0,1%=0,001

Læs mere

Helikopterprojekt Vejprospektering mellem Sisimiut og Sønderstrømfjord

Helikopterprojekt Vejprospektering mellem Sisimiut og Sønderstrømfjord Helikoptepojekt Vejpospekteing mellem Sisimiut og Søndestømfjod 7.-. august 006 Hold Emil Stüup-Toft, s060480 Vivi Pedesen, s06048 János Hethey, s03793 Moten Bille Adeldam, s00334 Rettelsesblad til tykt

Læs mere

Elektromagnetisme 1 Side 1 af 11 Elektrostatik 1. Elektrisk ladning

Elektromagnetisme 1 Side 1 af 11 Elektrostatik 1. Elektrisk ladning Elektomagnetisme 1 Side 1 af 11 Elektostatik 1 Elektisk ladning Stof e opbygget af potone (, neutone ( n og elektone ( og bestå defo p + mestendels af ladede patikle, men langt, langt støstedelen af denne

Læs mere

Fagstudieordning for tilvalgsuddannelsen i Erhvervsøkonomi (2012-ordning)

Fagstudieordning for tilvalgsuddannelsen i Erhvervsøkonomi (2012-ordning) Fagstudieodning fo tilvalgsuddannelsen i Ehvevsøkonomi (2012-odning) 1 Indledning Til denne uddannelsesspecifikke fagstudieodning knytte sig også Rammestudieodning fo Det Samfundsvidenskabelige Fakultet,

Læs mere

Lineære normale modeller (3) udkast

Lineære normale modeller (3) udkast E6 efteå 999 Notat 20 Jøgen Lasen 30 novembe 999 Lineæe nomale modelle (3) udkast 44 Tosidet vaiansanalyse Man ha nogle obsevatione y de e aangeet i et tosidet skema: 2 j s y k k=,2,,n 2 y 2k k=,2,,n 2

Læs mere

Praksis om miljøvurdering

Praksis om miljøvurdering Paksis om miljøvudeing Miljøvudeingsdage 2015 Nyee paksis på miljøvudeingsomådet Flemming Elbæk Flemming Elbæk, advokat, HD(Ø) Ansættelse: Advokatfuldmægtig, 2006-2008 Juist, Miljøministeiet, 2008-2012

Læs mere

Uddannelsesordning for uddannelsen til Gastronom

Uddannelsesordning for uddannelsen til Gastronom Uddannelsesodning fo uddannelsen til Gastonom Udstedelsesdato: 9. juni 2011 Udstedt af Det faglige Udvalg fo Gastonomuddannelsen i henhold til bekendtgøelse n. 329 af 28. apil 2009 om uddannelsene i den

Læs mere

Elektrostatisk energi

Elektrostatisk energi Elektomagnetisme ide 1 af 8 Elektostatik Elektostatisk enegi Fo et legeme, de bevæge sig fa et punkt til et andet, e tilvæksten i potentiel enegi høende til en konsevativ 1 kaft F givet ved minus det abejde,

Læs mere

Impulsbevarelse ved stød

Impulsbevarelse ved stød Iulsbevaelse ved stød Iulsbevaelse ved stød Indhold Iulsbevaelse ved stød.... Centalt stød.... Elastisk stød... 3. Uelastisk stød... 4. Iulsbevaelse ved stød...3 5. Centalt elastisk stød...4 6. Centalt

Læs mere

Ønskekøbing Kommune - netværksanalyse i den administrative organisation

Ønskekøbing Kommune - netværksanalyse i den administrative organisation Ønskekøbing Kommune - netvæksanalyse i den administative oganisation Hvodan vike det i paksis? Elektonisk spøgeskemaundesøgelse Svaene fa undesøgelsen kombinees med alleede eksisteende stamdata i minde

Læs mere

Matematik på Åbent VUC

Matematik på Åbent VUC Matematik på Åent VUC Lektion 8 Geometi Indoldsfotegnelse Indoldsfotegnelse... Længdemål og omegning mellem længdemål... Omkeds og aeal af ektangle og kvadate... Omkeds og aeal af ande figue... Omegning

Læs mere

Opsparing og afvikling af gæld

Opsparing og afvikling af gæld Opspaig og afviklig af gæld Opspaig Eksempel 1 Lad os state med at se på et eksempel. 100 Euo idbetales å i tæk på e koto, de foetes med 3 % p.a. Vi ha tidligee beeget e såda kotos udviklig skidt fo skidt:

Læs mere

Indholdsfortegnelse. Matematik A. Projekt 6 - Centralperspektiv. Stine Andersen og Morten Kristensen

Indholdsfortegnelse. Matematik A. Projekt 6 - Centralperspektiv. Stine Andersen og Morten Kristensen HTX Næstved Matematik A 8 2 Indholdsfotegnelse Indholdsfotegnelse... 2 Indledning... 3 Poblemstilling... 4 Teoi... 5 Vektoe i planet... 5 Vektobestemmelse... 5 Vinkel mellem to vektoe... 6 Vektokoodinate...

Læs mere

Elektromagnetisme 1 Side 1 af 11 Elektrostatik 1. Elektrisk ladning

Elektromagnetisme 1 Side 1 af 11 Elektrostatik 1. Elektrisk ladning Elektomagnetisme 1 Side 1 af 11 Elektostatik 1 Elektisk ladning Stof e opbygget af potone ( ), neutone ( n ) og elektone ( ) og bestå defo p + mestendels af ladede patikle, men den altovevejende del af

Læs mere

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN MATEMATIK

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN MATEMATIK MOGENS ODDERSHEDE LARSEN MATEMATIK fa C- til A- niveau. udgave FORORD Denne bog e beegnet fo studeende, som ha behov fo at epetee elle opgadee dees matematiske viden fa C elle B- niveau til A-niveau Bogen

Læs mere

rekommandation overspændingsafledere til højspændingsnet. Member of DEHN group Udarbejdet af: Ernst Boye Nielsen & Peter Mathiasen,

rekommandation overspændingsafledere til højspændingsnet. Member of DEHN group Udarbejdet af: Ernst Boye Nielsen & Peter Mathiasen, ekommandation ovespændingsafledee til højspændingsnet Udabejdet af: Enst Boye Nielsen & Pete Mathiasen, DESITEK A/S Denne publikation e en ekommandation fo valg af ovespændingsafledee til højspændingsnet

Læs mere

Arealet af en sfærisk trekant m.m.

Arealet af en sfærisk trekant m.m. ealet af en sfæisk tekant m.m. Tillæg til side 103 104 i Matematik højniveau 1 fa TRI, af Eik Vestegaad. Sfæisk tokant Givet en kugle. En plan, de passee igennem kuglens centum, skæe kuglen i en såkaldt

Læs mere

Projekt 4. Anlægsøkonomien i Storebæltsforbindelsen hvordan afdrages

Projekt 4. Anlægsøkonomien i Storebæltsforbindelsen hvordan afdrages Pojekt 4. Alægsøkoomie i Stoebæltsfobidelse hvoda afdages lå? Dette pojekt hadle om, hvoda økoomie va skuet samme, da ma byggede Stoebæltsfobidelse. Stoe alægspojekte e æste altid helt elle delvist låefiasieet.

Læs mere

praktiske. Der er lavet adskillige undersøgelser at skelne i mellem: ulaboratorieundersøgelser og ufeltundersøgelser.

praktiske. Der er lavet adskillige undersøgelser at skelne i mellem: ulaboratorieundersøgelser og ufeltundersøgelser. Betonø ha den støste vandføingskapacitet Et afløbssystems opgave e at lede vand samt uenhede til ensningsanlæg elle ecipient. Evnen til at gøe dette afhænge af systemets hydauliske egenskabe næmee betegnet

Læs mere

( ) ( ) ( ) Størrelsesorden for funktionerne a x, x a og ln(x) (opgaveforløb v/ Bjørn Grøn og John Schächter) > ( )

( ) ( ) ( ) Størrelsesorden for funktionerne a x, x a og ln(x) (opgaveforløb v/ Bjørn Grøn og John Schächter) > ( ) Støelsesoden fo funktionene, og ln() Side f 5 Støelsesoden fo funktionene, og ln() (opgvefoløb v/ Bjøn Gøn og John Schächte) Intoduktion I dette foløb vil vi dels få et edskb til t smmenligne, hvo hutigt

Læs mere

p o drama vesterdal idræt musik kunst design

p o drama vesterdal idræt musik kunst design musik dama kunst design filmedie idæt pojektpocespobieenpos itpoblempovokationpodu kt p on to p ot estpobablypogessivpodu ktionpovinspomotionp otesepologpoevefipofil Vestedal Efteskole // Gl. Assensvej

Læs mere

Dielektrisk forskydning

Dielektrisk forskydning Elektomagnetisme 4 ide 1 af 7 Dielektisk foskydning Betagt Gauss lov anvendt på et dielektikum: Q EndA ˆ =. (4.1) ε De af omsluttede ladninge Q bestå af: Polaisationsladninge, som e opstået ved indbydes

Læs mere

Wear&Care Brugervejledning. A change for the better

Wear&Care Brugervejledning. A change for the better A change fo the bette Intoduktion Wea&Cae e en smat løsning, de give mulighed fo at følge fugtniveauet i bleen, så den kan skiftes efte behov. Infomationen gå fa en sende på bleen til modtageens smatphone

Læs mere

Ejlskov A/S har for Vejdirektoratet udført prøvetagning af sediment i 2 regnvandsbassiner på Etape 4540 tilslutningsanlæg ved Odense SØ.

Ejlskov A/S har for Vejdirektoratet udført prøvetagning af sediment i 2 regnvandsbassiner på Etape 4540 tilslutningsanlæg ved Odense SØ. Notat 25-03-2014 Ejlskov A/S Jens Olsens Vej 3 8200 Åhus N Danmak www.ejlskov.com Sag: 14038 phk@ejlskov.com Tel: 87310063 Klient: Vejdiektoatet Pojekt: Etape 4540 Tilslutningsanlæg Odense SØ Opgave: Pøvetagning

Læs mere

MATEMATIK på Søværnets officerskole

MATEMATIK på Søværnets officerskole MOGENS ODDERSHEDE LARSEN MATEMATIK på Søvænets officeskole (opeativ linie). udgave 9 FORORD Bogen gennemgå det pensum, som e beskevet i fagplanen af 9. Det e en foudsætning, at de studeende ha et solidt

Læs mere

Notat. 18. oktober 2011. Social & Arbejdsmarked

Notat. 18. oktober 2011. Social & Arbejdsmarked Notat Fovaltning: Social & Abejdsmaked Dato: J.n.: B.n.: 18. oktobe Udf diget af: mbf Vedłende: Fłtidspension Notatet sendes/sendt til: Abejdsmakedsudvalget Fłtidspension De ha i de seneste v et en tendens

Læs mere

Lokalplanlægning. Lokalplanen er bindende for den enkelte grundejer, men handler kun om fremtidige forhold og giver ikke grundejerne handlepligt.

Lokalplanlægning. Lokalplanen er bindende for den enkelte grundejer, men handler kun om fremtidige forhold og giver ikke grundejerne handlepligt. VORDINGBORG KOMMUNE N VOLDGADE ALGADE BAISSTRÆDE LOKALPLAN NR. C-16.1 Centeomåde mellem Algade og Voldgade, Vodingbog Vodingbog juni 2006 20 k. Lokalplanlægning Planloven indeholde bestemmelse om Byådets

Læs mere

Nr Atom nummer nul Fag: Fysik A Udarbejdet af: Michael Bjerring Christiansen, Århus Statsgymnasium, august 2009

Nr Atom nummer nul Fag: Fysik A Udarbejdet af: Michael Bjerring Christiansen, Århus Statsgymnasium, august 2009 N. -9 Atom numme nul Fag: Fysik A Udabejdet af: Michael Bjeing Chistiansen, Åhus Statsgymnasium, august 9 Spøgsmål til atiklen 1. Hvofo vil det væe inteessant, hvis man fo eksempel finde antikulstof i

Læs mere

VURDERING AF LØSNINGSFORSLAG I FORBINDELSE MED DEN EUROPÆISKE STATSGÆLDSKRISE

VURDERING AF LØSNINGSFORSLAG I FORBINDELSE MED DEN EUROPÆISKE STATSGÆLDSKRISE Modul 0: Speciale 0. semeste, cand.oecon Aalbog Univesitet Afleveet d. 30. maj 202 VURDERING AF LØSNINGSFORSLAG I FORBINDELSE MED DEN EUROPÆISKE STATSGÆLDSKRISE Vejlede: Finn Olesen Skevet af Henik Hanghøj

Læs mere

Kvantemekanik 10 Side 1 af 9 Brintatomet I. Sfærisk harmoniske ( ) ( ) ( ) ( )

Kvantemekanik 10 Side 1 af 9 Brintatomet I. Sfærisk harmoniske ( ) ( ) ( ) ( ) Kvantemekanik 0 Side af 9 Bintatomet I Sfæisk hamoniske Ifølge udtyk (9.7) e Lˆ Lˆ og de eksistee således et fuldstændigt sæt af = 0 samtidige egenfunktione fo ˆL og L ˆ de som antydet i udtyk (9.8) kan

Læs mere

Kort om. Potenssammenhænge. 2011 Karsten Juul

Kort om. Potenssammenhænge. 2011 Karsten Juul Kot om Potenssmmenhænge 011 Ksten Juul Dette hæfte indeholde pensum i potenssmmenhænge, heunde popotionle og omvendt popotionle vible, fo gymnsiet og hf. Indhold 1. Ligning og gf fo potenssmmenhænge...

Læs mere

Metode til beregning af varmetransmissionskoefficient (U-værdi) for ovenlys

Metode til beregning af varmetransmissionskoefficient (U-værdi) for ovenlys Metode til beenin af vametansmissionskoefficient (U-vædi) fo oven Nævæende notat beskive en metode til beenin af vametansmissionskoefficienten fo oven. Pincippet i beeninspoceduen tae udanspunkt i beeninsmetoden

Læs mere

Stillings- og personprofil. Trafik og vejchef

Stillings- og personprofil. Trafik og vejchef Teknik- og Miljøfovaltningens seketaiat Middelfat Kommune Østegade 21 80 Nøe Aaby www.middelfat.dk Stillings- og pesonpofil Tafik- og vejchef Middelfat Kommune Mats 2008 Opdagsgive Adesse Stilling Refeee

Læs mere

Cisgene bygplanter. planteforskning.dk Bioteknologi

Cisgene bygplanter. planteforskning.dk Bioteknologi plantefoskning.dk Cisgene bygplante Nyttige egenskabe kan tilføes til femtidens afgøde ved hjælp af genetisk modifikation uden indsættelse af atsfemmede gene. Den nye stategi anvendes bl.a. til udvikling

Læs mere

PÆDAGOGISK KVALITETSEVALUERING

PÆDAGOGISK KVALITETSEVALUERING PÆDAGOGISK KVALITETSEVALUERING - E N M E T O D E, D E R V I R K E R I P R A K S I S HVAD ER PÆDAGOGISK KVALITETSEVALUERING? Pædagogisk Kvalitetsevalueing gø det attaktivt fo ledelse og pesonale at gå pædagogikken

Læs mere

diagnostik Skulder fysioterapeuten nr. 05 marts 2009

diagnostik Skulder fysioterapeuten nr. 05 marts 2009 side 08 fysioteapeuten n. 05 mats 2009 diagnostik Skulde Mogens Dam e oplægsholde på fagfestivalen d. 26.-28. mats 2009. Fysioteapeut Mogens Dam ha udvalgt en ække gængse diagnostiske test fo skuldepobleme.

Læs mere

Geografi 8. klasse 2011/2012

Geografi 8. klasse 2011/2012 Geogafi 8. klasse 2011/2012 Ca. 75 lektione Åsplanen tage udgangspunkt i fælles mål fo faget geogafi. Det femgå af afkydsningslisten på de følgende side, hilke tinmål de il blie behandlet i de enkelte

Læs mere

Om Gear fra Technoingranaggi Riduttori Tilføjelser til TR s katalogmateriale

Om Gear fra Technoingranaggi Riduttori Tilføjelser til TR s katalogmateriale ...when motos must be contolled Om Gea fa Technoinganaggi Riduttoi Tilføjelse til TR s katalogmateiale ISO 9 cetificeing: Technoinganaggi Riduttoi følge ISO 9 pincippene i dees kvalitetsstying. Alle dele

Læs mere

VORDINGBORG KOMMUNE. Boligområde "Falunparken" LOKALPLAN NR. B-25.2. 20 kr. FALUNVEJ PRINS JØRGENS ALLÈ KØBENHAVNSVEJ

VORDINGBORG KOMMUNE. Boligområde Falunparken LOKALPLAN NR. B-25.2. 20 kr. FALUNVEJ PRINS JØRGENS ALLÈ KØBENHAVNSVEJ VORDINGBORG KOMMUNE N PRINS JØRGENS ALLÈ FALUNVEJ KØBENHAVNSVEJ LOKALPLAN NR. B-25.2 Boligomåde "Falunpaken" Vodingbog mats 2005 20 k. Rettelsesblad til Lokalplan B-25.2 Lokalplan C.17.24.01 Vaehus ved

Læs mere

CoCo-obligationer i matematisk modelperspektivering

CoCo-obligationer i matematisk modelperspektivering CoCo-obligatione i matematisk modelpespektiveing CoCo bonds in a mathematical modeling pespective af JENS PRIERGAARD NIELSEN ######-#### THESIS fo the degee of MSc in Business Administation and Management

Læs mere

Frivillige dyrkningsaftaler i indsatsområder

Frivillige dyrkningsaftaler i indsatsområder Miljøpojekt N. 812 2003 Fivillige dykningsaftale i indsatsomåde Gundlag og mulighede belyst ud fa kvælstofpoblematikken Egon Noe og Andes Højlund Nielsen Danmaks JodbugsFoskning Helene Simoni Thoup og

Læs mere

Pædagogisk Handleplan. Møllehøjens Børnegård i 2016

Pædagogisk Handleplan. Møllehøjens Børnegård i 2016 ! Pædagogisk Handleplan Møllehøjens Bønegåd i 2016 Møllehøjens iske mål fo 2016, tage udgangspunkt i de nationale læeplane fo daginstitutione. Vi ha sat os nogle mål fo hvilke aktivitete, vi g vil have

Læs mere

Kontakt: - en anden tid et andet tempo! A13 Hobro. Løgstør. Skive. Bjerregrav Hjarbæk Fjord. Skals A13. Hobro/Randers Viborg. Kulturarvsforbindelsen

Kontakt: - en anden tid et andet tempo! A13 Hobro. Løgstør. Skive. Bjerregrav Hjarbæk Fjord. Skals A13. Hobro/Randers Viborg. Kulturarvsforbindelsen Hvolis Jenaldelandsby og Kultuavsfobindelsen, Skive Heedsvejen 135 Veste Bjeegav 9632 Møldup www.jenaldelandsby.dk hvolis@vibog.dk A13 Hobo Løgstø Bjeegav Hjabæk Fjod Skals OL Kontakt: - en anden tid et

Læs mere

Hverdagsliv før og nu. fortalt gennem Børnenes Arbejdermuseum. Arbejdsbog

Hverdagsliv før og nu. fortalt gennem Børnenes Arbejdermuseum. Arbejdsbog Hvedagsliv fø og nu fotalt gennem Bønenes Abejdemuseum Abejdsbog Hvedagsliv fø og nu fotalt gennem Bønenes Abejdemuseum Denne bog tilhøe Navn: Klasse: 1 Hvedagsliv fø og nu fotalt gennem Abejdemuseets

Læs mere

CO 2. -regnskab For virksomheden Jammerbugt Kommune

CO 2. -regnskab For virksomheden Jammerbugt Kommune -egnskab Fo viksomheden Jammebugt Kommune Fosidebilledet vise Ryå, de gå ove sine bedde -egnskab fo Jammebugt Kommune Jammebugt Kommune indgik d. 9. oktobe 2009 en klimakommuneaftale med Danmaks Natufedningsfoening.

Læs mere

Lokalplanlægning. Lokalplanen er bindende for den enkelte grundejer, men handler kun om fremtidige forhold og giver ikke grundejerne handlepligt.

Lokalplanlægning. Lokalplanen er bindende for den enkelte grundejer, men handler kun om fremtidige forhold og giver ikke grundejerne handlepligt. VORDINGBORG KOMMUNE NÆSTVEDVEJ N ALGADE MARIENBERGVEJ LOKALPLAN NR. C-2.2 Banegådsomådet, Vodingbog By Vodingbog august 2006 20 k. Lokalplanlægning Planloven indeholde bestemmelse om Byådets et og pligt

Læs mere

Wor King Papers. Management Working Papers. Mere egenkapital i de store nordiske banker hvad koster det for banken?

Wor King Papers. Management Working Papers. Mere egenkapital i de store nordiske banker hvad koster det for banken? Wo King Papes Management Woking Papes 2017-08 Mee egenkapal i de stoe nodiske banke hvad koste det fo banken? Johannes Raaballe, mil Snede Andesen og Jacob Kjæ Bahlke Mee egenkapal i de stoe nodiske banke

Læs mere

VI SEJREDE! Vi kom, vi så,

VI SEJREDE! Vi kom, vi så, Vi kom, vi så, VI SEJREDE! Pojekt JCI Julehjælp Svendbog Hjælp os med at hjælpe ande 2011 afsluttede indsamlingen til tængte bønefamilie i Svendbog med sto succes! Søndag d. 18. dec. va sidste indsamlingsdag

Læs mere

VORDINGBORG KOMMUNE. Butiksområde ved Bryggervangen LOKALPLAN NR. C-15.2. 20 kr. BØDKERVÆNGET BRYGGERVANGEN VÆVERGANGEN VALDEMARSGADE

VORDINGBORG KOMMUNE. Butiksområde ved Bryggervangen LOKALPLAN NR. C-15.2. 20 kr. BØDKERVÆNGET BRYGGERVANGEN VÆVERGANGEN VALDEMARSGADE VORDINGBORG KOMMUNE N BØDKERVÆNGET VÆVERGANGEN BRYGGERVANGEN VALDEMARSGADE LOKALPLAN NR. C-15.2 Butiksomåde ved Byggevangen Vodingbog apil 2005 20 k. Lokalplanlægning Planloven indeholde bestemmelse om

Læs mere

Susanne Ditlevsen Institut for Matematiske Fag susanne

Susanne Ditlevsen Institut for Matematiske Fag    susanne Statistik og Sandsynlighedsregning 1 STAT kapitel 4.4 Susanne Ditlevsen Institut for Matematiske Fag Email: susanne@math.ku.dk http://math.ku.dk/ susanne 7. undervisningsuge, mandag 1 Estimation og konfidensintervaller

Læs mere

Estimation og konfidensintervaller

Estimation og konfidensintervaller Statistik og Sandsynlighedsregning STAT kapitel 4.4 Susanne Ditlevsen Institut for Matematiske Fag Email: susanne@math.ku.dk http://math.ku.dk/ susanne Estimation og konfidensintervaller Antag X Bin(n,

Læs mere

Elementær Matematik. Parameterkurver

Elementær Matematik. Parameterkurver Elemenæ Maemaik Paameekuve Ole Wi-Hansen 8 Indhold. Indledende beagninge.... Vekofunkione.... Tangen il en paameekuve.... Lodee, vandee angene og spidse....7. Undesøgelse af paameekuve...8 5. Kuvelængde

Læs mere

LOKALPLAN 14-027 CENTER- OG BOLIGOMRÅDE VED JØRGEN STEINS VEJ, VESTBJERG

LOKALPLAN 14-027 CENTER- OG BOLIGOMRÅDE VED JØRGEN STEINS VEJ, VESTBJERG LOKALPLAN 14-027 CENTER- OG BOLIGOMRÅDE VED JØRGEN STEINS VEJ, VESTBJERG AALBORG KOMMUNE TEKNISK FORVALTNING JUNI 2001 Vejledning En lokalplan fastlægge bestemmelse fo, hvodan aeale, nye bygninge, beplantning,

Læs mere

Fra udsat til ansat. Medieinfo. Socialrådgiveren. job til udsatte unge. dgmedia.dk. ds advarer mod at spare i psykiatrien

Fra udsat til ansat. Medieinfo. Socialrådgiveren. job til udsatte unge. dgmedia.dk. ds advarer mod at spare i psykiatrien Socialådgiveen Medieinfo 2015 socialådgiveen 11/14 Læs mee om voes mange ande medie på Fa udsat til ansat viksomhedspaktik skaffe job til udsatte unge dgmedia.dk ds advae mod at spae i psykiatien Kommunalt

Læs mere

11: Det skjulte univers

11: Det skjulte univers : Det skjulte unives Jeg nævnte tilbage i kapitel 2, at de e en foklaing på, at univeset ha den oveodnede stuktu, som det ha. Men dengang manglede vi foudsætningene fo at fostå foklaingene. Siden ha elativitetsteoien

Læs mere

Haugaard Nielsen Advokatfirma

Haugaard Nielsen Advokatfirma Haugaad Nielsen Advokatfima Danske Havne 14. juni 2016 Compliance på miljø- og planomådet Flemming Elbæk Flemming Elbæk, advokat, HD(Ø) Ansættelse mv.: Advokatfuldmægtig, 2006-2008 Juist, Miljøministeiet,

Læs mere

Cykelfysik. Om udveksling og kraftoverførsel

Cykelfysik. Om udveksling og kraftoverførsel Cykelfysik 1/7 Cykelfysik Om udvekslig og kaftoveføsel Idhold 2. Kaftoveføsel og abejde...2 3. Abejde ved cykelkøsel...4 4. Regeeksemple fo e acecykel...5 5. Det e hådt at køe op ad bakke...6 6. Simple

Læs mere

STATISTIKNOTER Simple binomialfordelingsmodeller

STATISTIKNOTER Simple binomialfordelingsmodeller STATISTIKNOTER Simple binomialfordelingsmodeller Jørgen Larsen IMFUFA Roskilde Universitetscenter Februar 1999 IMFUFA, Roskilde Universitetscenter, Postboks 260, DK-4000 Roskilde. Jørgen Larsen: STATISTIKNOTER:

Læs mere

Plasticitetsteori for jord som Coulomb materiale

Plasticitetsteori for jord som Coulomb materiale Downloaded fo obit.dtu.dk on: Nov 3, 05 Plasticitetsteoi fo jod so Coulob ateiale Jantzen, Thoas; Nielsen, Mogens Pete Publication date: 007 Docuent Vesion Publishe final vesion (usually the publishe pdf)

Læs mere

3.0 Rørberegninger. VIDENSYSTEM.dk Bygningsinstallationer Varme Fordelingssystem 3.0 Rørberegning. 3.1 Rørberegningers forudsætninger

3.0 Rørberegninger. VIDENSYSTEM.dk Bygningsinstallationer Varme Fordelingssystem 3.0 Rørberegning. 3.1 Rørberegningers forudsætninger VIDENSYSTEM.dk Bygningsinstallatione Vae Fodelingssyste 3.0 Røbeegning 3.0 Røbeegninge 3.1 Røbeegningens foudsætninge 3. Tyktabsbeegning geneelt 3.3 Paktiske hjælpeidle 3.4 Beegningspincip fo tostengsanlæg

Læs mere

Hidsig debat om fleksjobreform Sygemeldte følges tæt i Jammerbugt Når stress ødelægger helbredet

Hidsig debat om fleksjobreform Sygemeldte følges tæt i Jammerbugt Når stress ødelægger helbredet magasin om det ummelige abejdsmaked N. 14 decembe 2010 4. ågang lige mulighede fo alle altid Hidsig debat om fleksjobefom Sygemeldte følges tæt i Jammebugt Nå stess ødelægge helbedet Indhold Fleksicuity

Læs mere

Detaljeret information om cookies

Detaljeret information om cookies Detaljeet infomation om cookies Website: http://mbbl.dk/ Kontoldato: 2015-11-07 Kontolleet af: Cookie Repots Limited http://www.cookieepots.com/ Dette dokument e udabejdet så "Ministeiet fo By, Bolig og

Læs mere

KICK- START STANDE FORÅRETS SALG ENTRÉ GRATIS. Endnu ledige FOR JERES MESSEGÆSTER. - mød over 20.000 købedygtige nordjyder!

KICK- START STANDE FORÅRETS SALG ENTRÉ GRATIS. Endnu ledige FOR JERES MESSEGÆSTER. - mød over 20.000 købedygtige nordjyder! DET NYE KICK- START FORÅRETS SALG - mød ove 20.000 købedygtige nodjyde! Eksklusive moms Nodjysk Ivæksætte Netvæk indbyde igen til Se side 4 GRATIS ENTRÉ FOR JERES MESSEGÆSTER Endnu ledige STANDE - SE STANDPLAN

Læs mere