Projekt 2.1 Det gyldne snit og Fibonaccitallene
|
|
- Helge Jespersen
- 5 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Hvd er mtemtik? Projekter: Kpitel. Projekt. Det glde sit og Fiboccitllee Projekt. Det glde sit og Fiboccitllee Fordsætiger: Kedskb til ligedethed. Grdlæggede geometrisk vide. Kedskb til degrdsligige. Grdlæggede smbolmipltio, herder kvdrtsætiger. Forløbet:. Præsettio f emet med vægt på det glde sit.. Grppere rbejder og forvetes t hve ået midst til og med øvelse 6. i løbet f de første to lektioer. 3. Fælles smlig:. Afklrig f evetelle spørgsmål b. Præsettio f Fibocci-tllee c. Præsettio f idée i et idktiosbevis 4. Grppere rbejder videre og tger hrtigt ft på fsittet om Fibocci-tllee. Hver grppe fleverer e rpport. Rpporte skl ideholde: e præsettio med die ege ord f, hvd det glde sit er i kst, rkitektr mv., og hvd det hr med mtemtik t gøre (se evt. etdresse i pkt 5). løsig f øvelsere om det glde sit til og med øvelse 7. e præsettio med die ege ord f, hvd Fibocci-tllee er, hvor de optræder i vores omverde, og hvd de hr med det glde sit t gøre. (se evt. etdresse i pkt 5). løsig f øvelsere om Fibocci-tllee til og med øvelse 3. Hver grppe lver ete øvelse 7. eller fider e de geometrisk opgve på ettet, som de løser i stedet. Idhold A. Det glde sit.... Hvor møder vi det glde sit?.... Geometrisk dersøgelse f det glde sit.... Fibocci-tllee De opridelige præsettio hos Leordo f Pis (Fibocci) E dersøgelse f Fibocci-tllee og deres forbidelse med det glde sit Gå på opdgelse i Fibocci tllee... C. Tillæg L&R Uddelse A/S Vogmgergde DK-48 Købehv K Tlf: Emil: ifo@lr.dk
2 Hvd er mtemtik? Projekter: Kpitel. Projekt. Det glde sit og Fiboccitllee A. Det glde sit. Hvor møder vi det glde sit? D opsøger selv vi leksik, fgbøger eller iteret iformtioer om»det glde sit«d skl hve st dig id i det på e såd måde, t d med ege ord k give e mdtlig og skriftlig fremstillig f det.. Geometrisk dersøgelse f det glde sit De følgede mtemtiske del om det glde sit er bgget op geem øvelser, som d selv rbejder igeem. E øvelse begder med, t der står ØVELSE NR, og de sltter med, t der er givet. I hver øvelse er der spørgsmål, d skl svre på, eller dregiger, d ærmere skl redegøre for. Id imellem øvelsere er der givet defiitioer og ført forskellige bemærkiger. DEFINITION Et rektgel ACD kldes et gldet rektgel, hvis det opflder følgede: Når vi skærer et kvdrt AEF væk, så får vi et t rektgel ECDF, E C A F D som er ligedet med det store rektgel ACD: + C C D A + D E F EMÆRKNING. Når rektglere er ligedede gælder + =, () dvs. forholdet mellem de lge og de korte side er es for de to rektgler. DEFINITION I et gldet rektgel kldes forholdet mellem de lge side og de korte side for det glde sit og beteges med det græske bogstv (dtles»phi«eller»fi«), dvs. + = (eller = ). 08 L&R Uddelse A/S Vogmgergde DK-48 Købehv K Tlf: Emil: ifo@lr.dk
3 Hvd er mtemtik? Projekter: Kpitel. Projekt. Det glde sit og Fiboccitllee ØVELSE (eregig f det glde sit) Gør øje rede for hvert skridt i det følgede: Formel () omskrives til + = eller = 0. Ligige omskrives videre til = 0. () Læg mærke til t det ikke er eller, me derimod forholdet iteresseret i t berege. degrdsligige z, som er det glde sit, og som vi er er ltså de kedte størrelse og fides som e løsig til z = 0. (b) Vis t løsige er 5 z =. + 5 Herf k vi kokldere: Det glde sit er lig med =,68... (3) ØVELSE De de løsig beteges f og til. Med dee betegelse hr vi ltså, t ' = og ' = er løsigere til degrdsligige z z = 0. Redegør for t der gælder, t + ' = og ' =. ØVELSE 3 Hvis et gldet rektgel hr side som de lge side og side som de korte side, så er de lge side = = de korte side (4) Idsæt i ' = og vis, t de korte side ' = = de lge side. (5) Redegør også for t ' = L&R Uddelse A/S Vogmgergde DK-48 Købehv K Tlf: Emil: ifo@lr.dk
4 Hvd er mtemtik? Projekter: Kpitel. Projekt. Det glde sit og Fiboccitllee ØVELSE 4 (Tilærmet kostrktio f det glde sit) Læg lijestkkere i forlægelse f hide: E C Vi øsker t fide d f, hvor stor e del dgør f hele lægde +. Vis t svret på dette er Dvs. dgør c. 6 % f hele lijestkket. Vi skl således dmåle 6% f lijestkket og dér fsætte et mærke, år et lijestkke skl deles i et forhold som det glde sit. Vi k trligvis måle d fr hvert edepkt, så der bliver to glde sit på e lije. ' eller tilærmet 0,68 ØVELSE 5. Hvord skl m dele et lijestkke på 0, således t de to stkker k dgøre sidere i et gldet rektgel? ØVELSE 5. Vi hr givet et lijestkke på. Vi øsker t dette skl dgøre de korte side i et gldet rektgel. Hvor stor skl de lge side være? de lge side emærk t dtrkket =, der gælder for et gldet rektgel, k omskrives til de korte side de korte side = de lge side. ØVELSE 5.3 Vi øsker t lve et gldet rektgel med rel 40. Hvor lge skl sidere være? ØVELSE 6. (Ekskt kostrktio f det glde sit) (emærk: Dette er de geometriske kostrktio svrede til beregigere i øvelse 5..) Kostrér e retviklet trekt, hvor de lægste ktete er (eheder), og de korte ktete er (ehed) se figre. D A E C Med e psser kostreres e cirkel med cetrm i og rdis C =. Skærigspktet med A kldes D. Med pssere teges e cirkel med cetrm i A og rdis AD. Skærigspktet med AC kldes E. AC Vis t AE = L&R Uddelse A/S Vogmgergde DK-48 Købehv K Tlf: Emil: ifo@lr.dk
5 Hvd er mtemtik? Projekter: Kpitel. Projekt. Det glde sit og Fiboccitllee Vis t dette k omskrives til + 5, dvs. det er lig med tllet Φ. Koklsio: Kostrktioe med de to cirkelber deler AC i det glde sit. ØVELSE 6. (Geometrisk kostrktio f et gldet rektgel d fr et givet kvdrt) (emærk: Dette er de geometriske kostrktio svrede til beregige i øvelse 5..) Vi hr givet et kvdrt med sidelægde E A og øsker t kostrere et rektgel ACD, som er et gldet rektgel. Lv følgede kostrktio (se tegige): E hlveres, og vi fider midtpktet M. Med M som cetrm og MF som rdis teges e cirkel. Dee cirkel skærer forlægelse f E i et pkt C. F M E C A F Påstd: Side C er de lge side i et gldet rektgel, hvor side A er de korte side, dvs. rektglet ACD er gldet, hvor D fides på forlægelse f AF. C + 5 evis påstde, dvs. bevis følgede t = =. A 08 L&R Uddelse A/S Vogmgergde DK-48 Købehv K Tlf: Emil: ifo@lr.dk
6 Hvd er mtemtik? Projekter: Kpitel. Projekt. Det glde sit og Fiboccitllee ØVELSE 7. Teg e ligebeet trekt med topvikel 36. Viklere ved grdlije er så 7. Hlvér vikel A. Skærigspktet med side C kldes D. 36 Vis t ACD er esviklet med AC D Argmetér for t sidere AD og D hr smme lægde, som vi klder. A 7 C Lægde f DC kldes. Vis t + =. Omskriv til = 0. Argmetér for t forholdet mellem sidere og i trekt ADC er lig med det glde sit. Formler dette som e sætig om dee tpe trekt. (Trekter med disse vikler kldes f og til for glde trekter.) ØVELSE 7. Teg e reglær femkt ACDE, dvs. e femkt, hvor sidere og viklere er lige store. A Teg også digolere AC, E og D. Argmetér for t viklere i e femkt, f.eks. hele vikel E, er 08. Gå på jgt efter ligebeede trekter ide i femkte, og rgmeter for t viklere mrkeret med v fktisk er lige store. (Hjælp: egd f.eks. med t se på trekt AE og dreg, hvor stor v er). v w Q v P v E Argmetér for t viklere mrkeret er lige store, og t = v. (Hjælp: se først på vikle mrkeret w.) v C v D Argmetér for t viklere mrkeret er lige store, og t de derfor må være lig med. Vis t 3v = 08, og ltså t v = 36. Herf får vi: = = 7. Agiv midst 3 glde trekter ide i femkte. Udt dette til t vise t CQ = CP =. QP PA Koklsio: Digolere skærer hide op i glde sit. 08 L&R Uddelse A/S Vogmgergde DK-48 Købehv K Tlf: Emil: ifo@lr.dk
7 Hvd er mtemtik? Projekter: Kpitel. Projekt. Det glde sit og Fiboccitllee. Fibocci-tllee 3. De opridelige præsettio hos Leordo f Pis (Fibocci) Læs de egelske versio f Leordo f Pis s ki-problem. Leordo f Pis kldes ofte Fibocci. H levede i Norditlie omkrig år 00 og vr med t gøre de højtdviklede rbiske mtemtik kedt i Erop. H dede bl.. et stort bidrg til, t de rbiske tl blev kedt og efterhåde vedt i stedet for romertllee. How M Pirs of Rbbits Are Creted b Oe Pir i Oe Yer. A certi m hd oe pir of rbbits together i certi eclosed plce, d oe wishes to kow how m re creted from the pir i oe er whe it is the tre of them i sigle moth to ber other pir, d i the secod moth those bor to ber lso. ecse the bovewritte pir i the first moth bore, o will doble it; there will be two pirs i oe moth. Oe of these, mel the first, bers i the secod moth, d ths there re i the secod moth 3 pirs; of these i oe moth two re pregt, d i the third moth pirs of rbbits re bor, d ths there re 5 pirs i the moth; i this moth 3 pirs re pregt, d i the forth moth there re 8 pirs, of which 5 pirs ber other 5 pirs; these re dded to the 8 pirs mkig 3 pirs i the fifth moth; these 5 pirs tht re bor i this moth do ot mte i this moth, bt other 8 pirs re pregt, d ths there re i the sith moth pirs; [p84] to these re dded the 3 pirs tht re bor i the seveth moth; there will be 34 pirs i this moth; to this re dded the pirs tht re bor i the eighth moth; there will be 55 pirs i this moth; to these re dded the 34 pirs tht re bor i the ith moth; there will be 89 pirs i this moth; to these re dded gi the 55 pirs tht re bor i the teth moth; there will be 44 pirs i this moth; to these re dded gi the 89 pirs tht re bor i the eleveth moth; there will be 33 pirs i this moth. To these re still dded the 44 pirs tht re bor i the lst moth; there will be 377 pirs, d this m pirs re prodced from the bovewritte pir i the metioed plce t the ed of the oe er. Yo c ideed see i the mrgi how we operted, mel tht we dded the first mber to the secod, mel the to the, d the secod to the third, d the third to the forth, d the forth to the fifth, d ths oe fter other til we dded the teth to the eleveth, mel the 44 to the 33, d we hd the bovewritte sm of rbbits, mel 377, d ths o c i order fid it for edig mber of moths. Kiproblemet gv ledig til t stdere de mærkelige tlrække,,, 3, 5, 8, 3,, 34, 55,, som side er blevet kldt Fibocci-tllee. Giv e kort præsettio f kiproblemet, hvor d bl.. redegør for, hvd det hr med Fiboccitllee t gøre. 08 L&R Uddelse A/S Vogmgergde DK-48 Købehv K Tlf: Emil: ifo@lr.dk
8 Hvd er mtemtik? Projekter: Kpitel. Projekt. Det glde sit og Fiboccitllee 4. E dersøgelse f Fibocci-tllee og deres forbidelse med det glde sit De følgede mtemtiske del om Fibocci-tllee er bgget op geem øvelser, som d selv rbejder igeem. E øvelse begder med, t der står ØVELSE NR, og de sltter med, t der er givet. I hver øvelse er der spørgsmål, d skl svre på, eller dregiger, d ærmere skl redegøre for. DEFINITION 3 Fibocci-tllee er de tlfølge,,, 3, 5, 8, 3,, 34, 55,, der opstår ved, t»det æste elemet«des som smme f de to foregåede (dette kldes i mtemtik e»rekrsiv defiitio«). Med smboler k dette dtrkkes således: Ld betege det te tl i tlfølge (f.eks. =, 6 = 8, 8 =, osv.) Regle om»det æste elemet«k så skrives således: + = (6) ØVELSE 8 Opskriv de første 5 Fibocci-tl i et skem som dette: ØVELSE 9 Idtst Fibocci-tllee som e tlfølge i dit CAS-værktøj. Hertil skl d først omstille mskies progrm til tlfølger (ædrig i»mode«). Der er plds til flere tlfølger, og d idtster f.eks. i de første, som hedder. Det 4. tl og det te tl i følge hedder i mskies sprog (4) og (). Regle om»det æste elemet«, som er formleret i (6), idtstes så. Edelig skl d give begdelsesværdier, og dette er de første to tl i følge, der idskrives således: {,}. I Tble k d se følges tl. Hvd er Fibocci-tl r. 40? ØVELSE 0 Udreg forholdet mellem ét tl i Fibocci-tlfølge og det foregåede tl, dvs.: 3 4 5,,,, K d se et møster et tl, som dee følge ærmer sig? Udreg tilsvrede: 3 4,,,, Hvilket tl ærmer dee følge sig tilseldede? ØVELSE Ld os klde brøkere fr forrige øvelse,, 3,..., dvs. 3 4 = = = = 3 = =,5 Lv e tllije med e stor ehed, f.eks. 8 eller 0 cm. Afsæt et så stort tl f tllee i tlfølge,,,..., t d k svre på følgede: eskriv med ord det møster, d ser L&R Uddelse A/S Vogmgergde DK-48 Købehv K Tlf: Emil: ifo@lr.dk
9 Hvd er mtemtik? Projekter: Kpitel. Projekt. Det glde sit og Fiboccitllee DEFINITION 4 (Græseværdi) Atg vi hr e tlfølge,, 3,... Hvis der fides et bestemt tl 0, som tlfølges elemeter ærmer sig mere og mere, jo lægere vi går frem i følge, så siger vi, t 0 er græseværdie for tlfølge, og vi skriver år. (Læses:» går mod 0, år går mod edelig.«) 0 EMÆRKNING Udtrkket»ærmer sig mere og mere«betder: Hvis vi øsker t komme tættere på ed e give lille forskel på f.eks. 0,000, så k vi fide et bestemt tri i tlfølge, hvorfr lle følgede tl er så tæt på som øsket. PÅSTAND Vi vil tge vores eksperimet med dregig og fsætig på tllije som et rgmet for, t tlfølge,,,... f brøker lvet d fr Fibocci-tllee fktisk hr e græseværdi (dee påstd vil vi bevise 3 seere se tillæg). Det ser d, som om græseværdie er tllet. K vi bevise dette? Det er opgve i de æste øvelse. ØVELSE (Når d er kommet igeem øvelse og hr fdet d f, hvd er, ved så tilbge og se, hvor kom fr. Så får d et bedre overblik over, hvorfor vi foretger omskrivigere.) Ld os begde med t klde græseværdie for, dvs. år. Af defiitioe på Fibocci-tl hr vi: + = (6) Vis dette k omskrives til = +. (7) Vi øsker t omskrive formel (7) til formel (8) edefor. Dertil hr vi brg for følgede to tig:. =. = (vis det sidste ved t begde med ) Idsættes. og. i (7), får vi = + (8) Når bliver meget stor vil både og ærme sig græseværdie. Ligige (8) gælder hele veje. Derfor må der også»til sidst«gælde, t = + Omskriv dette til = + eller (9) = 0 (0) Argmeter for t = Φ ved simpelthe t løse ligige. D vr græseværdie for -følge, ved vi derfor, t år. Formler dette resltt med ord. 08 L&R Uddelse A/S Vogmgergde DK-48 Købehv K Tlf: Emil: ifo@lr.dk
10 Hvd er mtemtik? Projekter: Kpitel. Projekt. Det glde sit og Fiboccitllee EMÆRKNING Det er lidt besværligt t drege Fibocci-tl lgt fremme i følge, fordi vi skl rbejde os frem tri for tri. CAS-værktøjet er trligvis e stor hjælp. Me ke m fide e formel for dregig f et givet Fibocci-tl, vr det eklere. Og der fides fktisk e gske mærkelig formel, som giver os mlighed for direkte t drege f.eks. Fibocci-tl r. 37 eller r. 73. Formle blev fdet f e mtemtiker ved v iet, og år m ser de, tror m, det er løg, t de formel ltid giver et helt tl. Fibocci-tllee bliver hrtigt meget store, så formle hr hovedsgelig teoretisk iteresse. Som e hjælp til t vise formle skl vi først klre følgede: SÆTNING Hvis tllet opflder, så gælder for ethvert trligt tl, t = +, () hvor ere er Fibocci-tllee. (emærk: Tllet keder vi godt: Det er ete eller '.) = + ØVELSE 3 (eviset for sætig ) eviset lves trivist, dvs. vi idser, det gælder for =, = 3, = 4 osv. I hvert tri dtter vi det, vi ved om, emlig t formel (9) gælder:. tri: Vi ved, t, og det er det smme som = + (hvorfor?). = + 3. tri: Vi gger ligige (9) igeem med på begge sider og får = +. 3 Vis t dette k omskrives til = +. 3 Me det er det smme som = + (hvorfor?) () 3 3. tri: Vi gger ligige () igeem med på begge sider og får = Vis t dette k omskrives til ( ) Me det er det smme som = + osv. Ld os sige, t vi hr vist formle id til tri r. 9, dvs. vi hr vist formle 0 = tri: Vi gger prøv selv t geemføre dette tri, så d år frem til = +. 0 = Vi k således ltid komme et skridt derligere fremd. Derfor siger vi, t sætige er bevist ved de tekik, der kldes mtemtisk idktio. SÆTNING (iets formel) Det te led i Fibocci-tlfølge k dreges således: = 5 (3) EMÆRKNING Prøv t drege ogle eksempler, som 5, 8 og 30, for t se, t formle giver det øskede. 08 L&R Uddelse A/S Vogmgergde DK-48 Købehv K Tlf: Emil: ifo@lr.dk
11 Hvd er mtemtik? Projekter: Kpitel. Projekt. Det glde sit og Fiboccitllee ØVELSE 4 (eviset for iets sætig) De to tl = og ' = er løsiger til ligige, så derfor gælder ifølge sætige ovefor og øvelse 3 for ethvert trligt tl : = + ' = ' + = + =. Vis t d herf k få ' ( ') Vis t ' = 5. Idsættes dette, får vi ' = 5. Vis edelig t vi herfr får iets formel. 5. Gå på opdgelse i Fibocci tllee Der fides på ettet et væld f dresser vedrørede Fibocci-tllee. På dresse k d fide e omfttede iformtio. Prøv t gå id på de og led efter: Fibocci-tl og det glde sit i tre Fid på hjemmeside midst to mtemtiske smmehæge, som ikke er omtlt i disse oter og gør rede for dem. 08 L&R Uddelse A/S Vogmgergde DK-48 Købehv K Tlf: Emil: ifo@lr.dk
12 Hvd er mtemtik? Projekter: Kpitel. Projekt. Det glde sit og Fiboccitllee C. Tillæg Dette tillæg hdler om, hvorfor tlfølge f forhold mellem Fibocci-tllee opfører sig som de gør, og som vi bl.. så i øvelse. ØVELSE 5 etrgt de første Fibocci-tl: i i Læg mærke til: = = og og 4 = 9 6 = = 44 og 8 = 44 smt følgede: = og 3 = 4 = og 5 = 5 = 6 8 = 68 og Formler med ord de regler d k se d f dette møster ØVELSE 6 Vi så i foregåede øvelse, t vi f og til hr brg for t skele mellem lige tl (, 4, 6, ) og lige tl (, 3, 5, ). Når vi skl ræsoere mtemtisk om lige og lige tl, er vi ødt til t ke skele mellem tllee ved hjælp f mtemtisk smbolsprog. Det gør vi ved t skrive de lige tl som, eller, eller + osv., hvor er et tilfældigt trligt tl. De lige tl skrives som +,, +3 osv. Et lige eller et lige tl k skrives på flere måder, f.eks. 8 = 4 eller 8 = 3 + eller 8 = 5 eller og 9 = 4 + eller 9 = eller 9 = 5 eller Det fgørede er, t vi får dtrkt, om går op eller ikke går op i tllet. Når vi skriver lige tl og lige tl således, k regle fr øvelse 5 formleres således: For efterfølgede lige mre i Fibocci-tlfølge (som 6 og 8) gælder: = (4) For efterfølgede lige mre i Fibocci-tlfølge (som 7 og 9) gælder: = + (5) + Dette vises trivist med smme tekik, som vi vedte i øvelse 3. Vi hr set, t formlere (4) og (5) gælder for Fibocci-tllee op til 9. Vi ke blive ved et stkke tid ed; me i stedet spørger vi : Hvis formlere (4) og (5) gælder op til e bestemt værdi f, k vi så vise, t de også gælder for de æste Fibocci-tl? Hvis vi k det, så siger vi, t formlere er vist for lle tl ved hjælp f mtemtisk idktio. Vi øsker t vise de æste to formler. Overvej t disse skrives: = (4') = + + (5') 08 L&R Uddelse A/S Vogmgergde DK-48 Købehv K Tlf: Emil: ifo@lr.dk
13 Hvd er mtemtik? Projekter: Kpitel. Projekt. Det glde sit og Fiboccitllee Vi viser (4') ved t drege vestre side og her bette, t det er Fibocci-tl. (Gør øje rede for hvert skridt i det følgede.) = + ( ) + = + + = + + = + + ( ) + = + + hvilket vr det øskede. Prøv selv med smme metode t vise (5'), dvs. vise, t =... = EMÆRKNING Fid tilbge til de første dregiger f forholdet mellem Fibocci-tllee og fsætig f disse på e tllije. Vi kldte for emheds skld: =, 3 =, 4 3 =, 3 For følge,, 3,... så vi følgede:. Forskelle mellem efterfølgede tl i følge bliver midre og midre.. Tllee, 4, 6,... (de lige mre) bliver midre og midre. 3. Tllee, 3, 5,... (de lige mre) bliver større og større. 4. For hvert tri i -følge bliver tllet skiftevis større og midre ed det foregåede, dvs. er større ed, 3 er midre ed, 4 er større ed 3, Tilsmme giver dette, t følge f -tl sviger frem og tilbge og lgsomt ærmer sig e græseværdi (som, vi i øvelse beviste, vr lig med ). Vi beviser påstdee -4 ved hjælp f formlere (4) og (5) fr øvelse 6. ØVELSE 7 Formler påstdee, 3 og 4 ved hjælp f smbolere ØVELSE 8 Påstd r. : Forskelle mellem to efterfølgede tl dreges:,, og +. = = Argmeter for t =. 08 L&R Uddelse A/S Vogmgergde DK-48 Købehv K Tlf: Emil: ifo@lr.dk
14 Hvd er mtemtik? Projekter: Kpitel. Projekt. Det glde sit og Fiboccitllee Smmeftter vi, hr vi derfor: = Tllee og bliver større og større, hvorfor brøke bliver midre og midre. Koklsio: Forskelle mellem efterfølgede tl bliver midre og midre og ærmer sig 0, år går mod edelig. Påstd r. : Vi ser på tllee, 4, 6,..., og vil vise, t. Overvej t dette dtrkker, t tllee med lige mre bliver midre og midre. Af (4) får vi: = Vi reger videre (gør øje rede for hvert skridt): + + ( ) ( ) der også k skrives: Koklsio: Tllee med lige mre bliver midre og midre. Påstd r. 3: + Prøv selv t vise, t,ltså t +, med brg f formel (5). + Koklsio: Tllee med lige mre bliver større og større. Påstd r. 4: Formel (4) giver som ævt:, hvilket k omskrives til: der også k skrives: (6) Koklsio: Et tl med lige mmer er midre ed det foregåede med lige mmer 08 L&R Uddelse A/S Vogmgergde DK-48 Købehv K Tlf: Emil: ifo@lr.dk
15 Hvd er mtemtik? Projekter: Kpitel. Projekt. Det glde sit og Fiboccitllee Formel (5) giver tilsvrede:, + hvilket k omskrives til: + der også k skrives: (7) Koklsio: Et tl med lige mmer er større ed det foregåede med lige mmer Prøv t skeliggøre de to resltter fr (6) og (7) med = 4, = 5 og = 6. Koklsioe bliver, t for hvert tri bliver -tllet skiftevis større og midre. Smlet hr vi set, t -følges led sviger frem og tilbge, de lige mre bliver midre, de lige bliver større, mes forskelle mellem efterfølgede tl ærmer sig 0. Derfor må følge hve e græseværdi. Vi rgmeterede i forrige fsit for, t vr der e græseværdi, så ville dee være det glde sit. Altså hr vi lt i lt vist, t forholdet mellem efterfølgede Fiboccitl ærmer sig tllet det glde sit. 08 L&R Uddelse A/S Vogmgergde DK-48 Købehv K Tlf: Emil: ifo@lr.dk
Projekt 2.1 Det gyldne snit og Fibonaccitallene
ISN 978-87-7066-498- Projekter: Kpitel. Projekt. Det glde sit og Fiboccitllee Projekt. Det glde sit og Fiboccitllee Fordsætiger: Kedskb til ligedethed. Grdlæggede geometrisk vide. Kedskb til degrdsligige.
Læs mereProjekt 2.3 Det gyldne snit og Fibonaccitallene
Projekter: Kapitel Projekt.3 Det glde sit og Fiboaccitallee Forslag til hvorda klasses arbejde med projektet ka tilrettelægges: Forløbet:. Præsetatio af emet med vægt på det glde sit.. Grppere arbejder
Læs mereBjørn Grøn. Det gyldne snit og Fibonacci-tallene
jør Grø Det glde sit og Fiboacci-tallee Det glde sit og Fiboacci-tallee Side af 4 Det glde sit og Fiboacci-tallee Fordsætiger: Kedskab til ligedaethed. Grdlæggede geometrisk vide. Kedskab til adegradsligige.
Læs mereProjekt 3.1 Potensbegrebet og geometriske rækker
Hvd er mtemtik? ISBN 97887766879 Projekter: pitel. Projekt. Potesbegrebet og geometriske rækker Projekt. Potesbegrebet og geometriske rækker (Vi tger i det følgede udggspukt i kpitlfremskrivigsformle:
Læs mereKomplekse tal Matematik og naturfag i verdensklasse, 2004. Komplekse tal
Komplekse tl Mtemtik og turfg i verdesklsse, 004 Komplekse tl Dette mterile er ereget til udervisig i mtemtik i gymsiet. Der forudsættes kedsk til løsig f degrdsligiger, trigoometri og e lille smule vektorregig.
Læs mereProjekt 3.7. En algebraisk tilgang til udvidelsen af potensbegrebet
Hvd er tetik? ISBN 978877879 Projekter: Kitel. Projekt.7.E lgebrisk tilgg til udvidelse f otesbegrebet Projekt.7. E lgebrisk tilgg til udvidelse f otesbegrebet Ld i det følgede tllet være et ositivt tl.
Læs mereProjekt 3.7. En algebraisk tilgang til udvidelsen af potensbegrebet
Hvd er tetik? C ISBN 97 887 7 79 Projekter: Kitel. Projekt.7.E lgebrisk tilgg til udvidelse f otesbegrebet Projekt.7. E lgebrisk tilgg til udvidelse f otesbegrebet Ld i det følgede tllet være et ositivt
Læs mereLidt Om Fibonacci tal
Lidt om Fioi tl Lidt Om Fioi tl Idhold. Defiitio f Fioi tllee.... Kivl... 3. Telefokæder....3 4. E formel for Fioi tllee...4 Ole Witt-Hse 008 Lidt om Fioi tl. Defiitio f Fioi tllee Fioi tllee er opkldt
Læs mereProjekt 4.1 Potensbegrebet og geometriske rækker
Hvd er mtemtik? C, i-bog ISBN 978 87 766 499 8 Projekter: pitel 4 Projekt 4. Potesbegrebet og geometriske rækker Vi hr defieret e ekspoetiel vækst, som e vækstmodel, hvor de fhægige vribel, - værdie, fremskrives
Læs mereKommentarer til VARIABLE
Kommetrer til Fglige mål Kpitlet lægger op til, t elevere lærer vribelbegrebet t kede som et effektivt værktøj til t skbe sig overblik over komplekse problemstilliger. k udpege kostter og vrible med tilhørede
Læs mereDifferentiation af potensfunktioner
Hvd er mtemti? B, i-bog ISBN 978 87 766 494 3 Hjemmesideevisig: Differetitio f potesfutioer, Kpitel 4, side 76 Differetitio f potesfutioer. Pscls tret og biomilformle Vi strter med t mide om t poteser
Læs mereKap 1. Procent og Rentesregning
Idhold Kp. Procet og Retesregig.... Regig med proceter.... Reteformle.... Geemsitlig retefod (vækstrte)... Kp Opsprigs- og gældsuiteter...5. Auiteter...5. Sumformel for e kvotietrække...5. Opsprigsuitet...6.
Læs mereGrundlæggende matematiske begreber del 1 Mængdelære Talmængder Tal og regneregler Potensregneregler Numerisk værdi Gennemsnit
Grudlæggede mtemtiske begreber del 1 Mægdelære Tlmægder Tl og regeregler Potesregeregler Numerisk værdi Geemsit x-klssere Gmmel Hellerup Gymsium 1 Idholdsfortegelse MÆNGDELÆRE... 3 TAL... 9 De turlige
Læs mereProjekt 9.10 Differentiation af potensfunktioner ved hjælp af binomialformlen
Projet 9.1 Differetitio f potesfutioer ved jælp f iomilformle 1. Pscls tret og iomilformle Vi strter med t mide om t poteser f toleddede størrelser, de såldte iomer, udreges ved jælp f Pscls tret, idet
Læs mereAnalyse 1, Prøve maj Lemma 2. Enhver konstant funktion f : R R, hvor f(x) = a, a R, er kontinuert.
Alyse, Prøve. mj 9 Alle hevisiger til TL er hevisiger til Klkulus 6, Tom Lidstrøm. Direkte opgvehevisiger til Klkulus er givet med TLO, ellers er lle hevisiger til steder i de overordede fsit. Hevises
Læs mereGrundlæggende matematiske begreber del 1 Mængdelære Talmængder Tal og regneregler Potensregneregler Numerisk værdi
Grudlæggede mtemtiske begreber del Mægdelære Tlmægder Tl og regeregler Potesregeregler Numerisk værdi x-klssere Gmmel Hellerup Gymsium Idholdsfortegelse MÆNGDELÆRE... 3 TAL... 9 De turlige tl... 9 De hele
Læs mereFinitisme og Konstruktivisme. 22. November 2010
Fiitisme og Kostruktivisme 22. November 2010 Frktler Hilbert Mdelbrot Feigebum Lorez Lorez-Ligigere σ = 10 β = 8/3 ρ =28 Logistisk vækst x -> rx(1-x) Mdelbrots frktl z -> P c (z) = z 2 +c 0-> P c (0) ->P
Læs mereGrundlæggende matematiske begreber del 1
Grudlæggede mtemtiske begreber del 1 Mægdelære Tlmægder Tl og regeregler Potesregeregler Numerisk værdi Geemsit x-klssere Gmmel Hellerup Gymsium December 2018 ; Michel Szymski ; mz@ghg.dk 1 Idholdsfortegelse
Læs mereKap. 1: Integralregning byggende på stamfunktioner.
- - Kp. : Itegrlregig yggede på stmfuktioer... Specielle egesker ved fuktioer. Defiitio... E fuktio f siges t være egræset i et itervl I, hvis f er defieret i itervllet, og hvis der fides to tl k og K,
Læs mereMATEMATISK FORMELSAMLING
MATEMATISK FORMELSAMLING GUX Grøld Mtemtisk formelsmlig til C-iveu, GUX Grøld Deprtemetet for uddelse 05 Redktio: Rsmus Aderse, Jes Thostrup MtemtiskformelsmligtilC-iveu GUX Grøld FORORD Dee formelsmlig
Læs mereFUNKTIONER del 2 Rentesregning Eksponentielle udviklinger Trigonometriske funktioner Potensfunktioner Polynomier
FUNKTIONER del Retesregig Ekspoetielle udvikliger Trigoometriske fuktioer Potesfuktioer Polyomier -klssere Gmmel Hellerup Gymsium Idhold RENTESREGNING... 3 Kotiuert rete... EKSPONENTIELLE UDVIKLINGER...
Læs mereMatematikkens mysterier - på et højt niveau. 1. Integralregning
Mtemtikkes mysterier - på et højt iveu f Keeth Hse. Itegrlregig Hvd er relet f de skrverede puktmægde? . Itegrlregig Idhold. Stmfuktioer og det uestemte itegrl. Regeregler for det uestemte itegrl 7 Prtiel
Læs mereBogstavregning - supplerende eksempler. Reduktion... 54 b Ligninger... 54 d
Mtetik på AVU Eksepler til iveu F, E og D Bogstvregig - supplerede eksepler Reduktio... Ligiger... d Bogstvregig Side Mtetik på AVU Eksepler til iveu F, E og D Reduktio M gger to preteser ed hide ved -
Læs mereRenteformlen. Erik Vestergaard
Reteformle Erik Vestergaard 2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard, 2010. Billeder: Forside: istock.com/ilbusca Side 4: istock.com/adresrimagig Desude ege illustratioer. Erik Vestergaard
Læs mereSammensætning af regnearterne - supplerende eksempler
Mtetik på AVU Ekseplet til iveu F, E og D Sesætig f regertere - supplerede eksepler Poteser... Rødder... d 0-tls-poteser... e Sesætig f regertere Side Mtetik på AVU Ekseplet til iveu F, E og D Sesætig
Læs mereMatematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet.
Matematik A Studetereksame Forsøg med digitale eksamesopgaver med adgag til iterettet Forberedelsesmateriale Vejledede opgave Forår 0 til stx-a-net MATEMATIK Der skal afsættes 6 timer af holdets sædvalige
Læs mereGrundlæggende matematiske begreber del 1 Mængdelære Talmængder Tal og regneregler Potensregneregler Numerisk værdi Gennemsnit
Grudlæggede mtemtiske begreber del Mægdelære Tlmægder Tl og regeregler Potesregeregler Numerisk værdi Geemsit x-klssere Gmmel Hellerup Gymsium Idholdsfortegelse MÆNGDELÆRE... 3 TAL... 9 De turlige tl...
Læs mereOpgave 1. a) f : [a, b] R er en begrænset funktion for hvilken. A ε = {x [a + ε, b] f(x) 0}
Opgve ) f : [, b] R er e begræset fuktio for hvilke er edelig for ethvert < ε < b. Vi skl vise t f er itegrbel og t A ε = { [ + ε, b] } d =. Vi bemærker først t f er itegrbel på [, b] hvis og ku hvis de
Læs mereLys og gitterligningen
Fysik rapport: Lys og gitterligige Forfatter: Bastia Emil Jørgese.z Øvelse blev udført osdag de 25. jauar 202 samme med Lise Kjærgaard Paulse 2 - Bastia Emil Jørgese Fysik rapport (4 elevtimer), februar
Læs mereProjekt 5.7 Hovedsætninger om differentiable funktioner et opgaveforløb
Hvd er mtemtik?, e-og Projekter: Kpitel 5 Projekt 57 Hovedsætninger om differentile funktioner Projekt 57 Hovedsætninger om differentile funktioner et opgveforlø Projektet er en udvidelse f fsnittet i
Læs mereMatematikkens sprog INTRO
Mtemtikkens sprog Mtemtik hr sit eget sprog, der består f tl og symboler fx regnetegn, brøkstreger bogstver og prenteser På mnge måder er det ret prktisk - det giver fx korte måder t skrive formler på.
Læs mereLektion 7s Funktioner - supplerende eksempler
Lektion 7s Funktioner - supplerende eksempler Oversigt over forskellige tper f funktioner Omvendt proportionlitet og hperler.grdsfunktioner og prler Eksponentilfunktioner Potensfunktioner Lektion 7s Side
Læs mereFormelskrivning i Word 2. Sådan kommer du i gang 4. Eksempel med skrivning af brøker 5. Brøker skrevet med småt 6. Hævet og sænket skrift 6
Dee udgave er til geemkig på ettet. Boge ka købes for kr. 5 hos EH-Mat. E y og udvidet udgave med title»symbol- og formelskrivig«er udkommet september 00. Se mere om de her. Idholdsfortegelse Formelskrivig
Læs mereElementær Matematik. Polynomier
Elemetær Matematik Polyomier Ole Witt-Hase 2008 Køge Gymasium Idhold 1. Geerelle polyomier...1 2. Divisio med hele tal....1 3. Polyomiers divisio...2 4. Polyomiers rødder....4 5. Bestemmelse af røddere
Læs merePotens- sammenhænge. inkl. proportionale og omvendt proportionale variable. 2010 Karsten Juul
Potens- smmenhænge inkl. proportionle og omvendt proportionle vrible 010 Krsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse f hæftet "Eksponentielle smmenhænge, udgve ". Indhold 1. Hvd er en potenssmmenhæng?...1.
Læs mereNy Sigma 9, s Andengradsfunktioner med regneforskrift af typen y = ax + bx + c, hvor a 0.
Ny Sigm 9, s 110 Andengrdsfunktioner med regneforskrift f typen y = x + x + c, hvor 0 Lineære funktioner (førstegrdsfunktioner) med regneforskrift f typen y = αx + β Grfen for funktioner f disse typer
Læs mereEksponentielle Sammenhænge
Kort om Eksponentielle Smmenhænge 011 Krsten Juul Dette hæfte indeholder pensum i eksponentielle smmenhænge for gymnsiet og hf. Indhold 1. Procenter på en ny måde... 1. Hvd er en eksponentiel smmenhæng?....
Læs mere... ... ... ... ... ... ... b > 0 og x > 0, vil vi kalde en potensfunktion. 492 10. Potensfunktioner
POTENSFUNKTIONER 0 49 0. Potensfunktioner POTENSFUNKTIONER DEFINITION En funktion med forskriften f( )= b hvor b > 0 og > 0 vil vi klde en potensfunktion. I MAT C kpitel så vi t hvis skl være et vilkårligt
Læs mereProjekt 6.5 Vektorers beskrivelseskraft
Hvd er mtemtik? ISBN 978877066879 Projekt 65 Vektorers eskrivelseskrft Indhold Vektorer i gymnsiet Linjestykker og prllelogrmmer Bevis inden for den klssiske geometri Bevis med nvendelse f vektorer 3 Digonlerne
Læs mereLektion 6 Bogstavregning
Mtemtik på Åbent VUC Lektion 6 Bogstvregning Formler... Udtryk... Ligninger... Ligninger som løsningsmetode i regneopgver... Simultion... Opsmlingsopgver... Lvet f Niels Jørgen Andresen, VUC Århus. Redigeret
Læs mereProjekt 9.1 Regneregler for stokastiske variable middelværdi, varians og spredning
Hvad er matematik? Projekter: Kaitel 9 Projekt 9 Regeregler for stokastiske variable middelværdi, varias og sredig Projekt 9 Regeregler for stokastiske variable middelværdi, varias og sredig Sætig : Regeregler
Læs mereMatematik B-A. Trigonometri og Geometri. Niels Junge
Mtemtik B-A Trigonometri og Geometri Niels Junge Indholdsfortegnelse Indledning...3 Trigonometri...3 Sinusreltionen:...6 Cosinusreltionen...7 Dobbeltydighed...7 Smmendrg...8 Retvinklede treknter...8 Ikke
Læs merevejer (med fortegn). Det vil vi illustrere visuelt og geometrisk for (2 2)-matricer og (3 3)-matricer i enote 6.
enote 5 enote 5 Determiater I dee enote ser vi på kvadratiske matricer. Deres type er altså for 2, se enote 4. Det er e fordel, me ikke absolut ødvedigt, at kede determiatbegrebet for (2 2)-matricer på
Læs mereSandsynlighedsregning og statistisk
Figur : J. C. F. Guss 777 855 Sdsylighedsregig og sttistisk Peter Hremoës Niels Brock 6. pril Idledig Dette hæfte er lvet som supplemet til. udgve f boge Mt B. Der er lgt vægt på t give e bedre forståelse
Læs mereGeometrinoter 2. Brahmaguptas formel Arealet af en indskrivelig firkant ABCD kan tilsvarende beregnes ud fra firkantens sidelængder:
Geometrinoter 2, jnur 2009, Kirsten Rosenkilde 1 Geometrinoter 2 Disse noter omhndler sætninger om treknter, trekntens ydre røringscirkler, to cirklers rdiklkse smt Simson- og Eulerlinjen i en treknt.
Læs mereProjekt 8.4 Logaritmefunktionerne
Hvd er mtemtik? Projekter: Kpitel 8. Projekt 8.4 Logritmefunktionerne Projekt 8.4 Logritmefunktionerne Indhold. log( ) og 0 som omvendte funktioner... 2 2. Den nturlige logritmefunktion, ln( ) og den nturlige
Læs mereNoter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, februar Kombinatorik
Noter om ombiatori, Kirste Roseilde, februar 008 Kombiatori Disse oter er e itrodutio til ombiatori og starter helt fra bude, så e del af det idledede er siert edt for dig allerede, me der ommer også hurtigt
Læs mereProjekt 3.2 Anlægsøkonomien i Storebæltsforbindelsen. Indhold. Hvad er matematik? 1 ISBN
Projekt 3.2 Alægsøkoomie i Storebæltsforbidelse Dette projekt hadler, hvorda økoomie var skruet samme, da ma byggede storebæltsforbidelse. Store alægsprojekter er æste altid helt eller delvist låefiasieret.
Læs mereStatistik Lektion 4. Kovarians og korrelation Mere om normalfordelingen Den centrale grænseværdi sætning Stikprøvefordelingen
Sttistik Lektio 4 Kovris og korreltio Mere om ormlfordelige De cetrle græseværdi sætig Stikprøvefordelige Repetitio: Kotiuerte stokstiske vrible f (x) er e sdsylighedstæthedsfuktio, hvis f ( x) 0 for lle
Læs mereProjekt 10.3 Terningens fordobling
Hvd er mtemtik? Projekter: Kpitel 0 Projekt 0.3 Terningens fordoling Elementerne indeholder, hvd mn kn deducere sig til og konstruere sig til ud fr de få givne ksiomer. Mn kn derfor i en vis forstnd sige,
Læs mere9. Binomialfordelingen
9. Biomialfordelige 9.. Gekedelse Hvert forsøg ka ku resultere i to mulige udfald; succes og fiasko. I modsætig til poissofordelige er atallet af forsøg edeligt. 9.. Model X : Stokastisk variabel, der
Læs mereProjekt 4.8 De reelle tal og 1. hovedsætning om kontinuerte funktioner
Projekter: Kapitel 4 Projekt 48 De reelle tal og hovedsætig om kotiuerte fuktioer Projekt 48 De reelle tal og hovedsætig om kotiuerte fuktioer Kotiuitet og kotiuerte fuktioer Ord som kotiuert og kotiuerlig
Læs mereElementær Matematik. Analytisk geometri
Elementær Mtemtik Anltisk geometri Ole Witt-Hnsen 0 Indhold. koordintsstemet.... Afstndsformlen.... Liniens ligning...4 4. Ortogonle linier...7 5. Liniers skæring. To ligninger med to uekendte....7 6.
Læs mereALGEBRA. symbolbehandling). Der arbejdes med hjælpemiddelkompetencen,
INTRO Alger er lngt mere end ogstvregning. Alger kn være t omskrive ogstvtrk, men lger er f også t generlisere mønstre og smmenhænge, t eskrive smmenhænge mellem tlstørrelse f i forindelse med funktioner
Læs mereUge 37 opgaver. Opgave 1. Svar : Starter med at definere sup (M) og inf (M) :
Uge 37 opgaver Opgave Svar : a) Starter med at defiere sup (M) og if (M) : Kigge u på side 3 i kompedie og aveder aksiom (.3) Kotiuitetsaksiomet A = x i x 2 < 2 Note til mig selv : Har søgt på ordet (iequalities)
Læs mereProjekt 7.3 Firkantstrigonometri og Ptolemaios sætning i cykliske firkanter
Hv er mtemtik? Projekt 7.3 Firkntstrigonometri og Ptolemios sætning i ykliske firknter Trigonometrien til eregning f ukente vinkler, sier og reler for treknter er stort set utømt me ulening f sinusreltionerne,
Læs mereTrigonometri. Matematik A niveau
Trigonometri Mtemtik A niveu Arhus Teh EUX Niels Junge Trigonometri Sinus Cosinus Tngens Her er definitionen for Cosinus Sinus og Tngens Mn kn sige t osinus er den projierede på x-ksen og sinus er den
Læs mereBEVISER TIL SÆTNINGER I BOGEN
MTEMK Mtemtik o hh C-iveu BEVISER TIL SÆTNINGER I BOGEN Dette e e smlig ove lle e sætige og evise e e i oge. Det e met som suppleee mteile isæ til e eleve, e skl hve mtemtik på B- elle -iveu. ee i ku metget
Læs mereNoter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, februar 2008 1. Kombinatorik
Noter om ombiatori, Kirste Roseilde, februar 008 Kombiatori Disse oter er e itrodutio til ombiatori og starter helt fra bude, så e del af det idledede er siert edt for dig allerede, me der ommer også hurtigt
Læs mereHvordan Leibniz opfandt integralregningen
Hvord Leiiz opdt itegrlregige 0 Krste Juul EglÄdere Isc Newto (6-) opdt i 66 itegrlregige. Tskere Gottried Wilhelm Leiiz (66-6) opdt i 6 itegrlregige. Ige dem oetliggjorde deres opidelse med det smme.
Læs mere( ) Projekt 7.17 Simpsons formel A A A. Hvad er matematik? 3 ISBN
Projekt 7.7 Simpsons formel Simpson vr søn f en selvlært væver, og skulle egentlig selv hve været en væver, men en solformørkelse vkte hns interesse for mtemtik og nturvidensk og mod lle odds lykkedes
Læs mereProjekt 1.3 Brydningsloven
Projekt 1.3 Brydigslove Når e bølge, fx e lysbølge, rammer e græseflade mellem to stoffer, vil bølge ormalt blive spaltet i to: Noget af bølge kastes tilbage (spejlig), hvor udfaldsvikle u er de samme
Læs mereLøsningsforslag til skriftlig eksamen i Kombinatorik, sandsynlighed og randomiserede algoritmer (DM528)
Løsigsforslag til skriftlig eksame i Kombiatorik, sadsylighed og radomiserede algoritmer (DM58) Istitut for Matematik & Datalogi Syddask Uiversitet Madag de 3 Jauar 011, kl. 9 13 Alle sædvalige hjælpemidler
Læs mereog Fermats lille sætning
Projekter: Kaitel 0. Projekt 0. Modulo-regig, restklassegruer og Fermats lille sætig Projekt 0. Modulo-regig, restklassegruere ( { 0 }, ) og Fermats lille sætig Vi aveder moduloregig og restklasser mage
Læs mereTrigonometri. Trigonometri. Sinus og cosinus... 2 Tangens... 6 Opgaver... 9. Side 1
Trigonometri Sinus og osinus... 2 Tngens... 6 Opgver... 9 Side Sinus og osinus Til lle vinkler hører der to tl, som kldes osinus og sinus. Mn finder sinus og osinus til en vinkel ved t tegne vinklen midt
Læs mere3.-årsopgave, matematik Tønder Gymnasium & HF 21.12.01
.-årsopgve, teti Tøder Gysiu HF.. Idholdsfortegelse: Idledig / forord s.. Mtricer, geerelt s. -. Nogle egeser for tricer s. -6. Deteriter s. 6-. Deterit-sætiger s. -. Miorer, oftorer og opleeter s. - 6.
Læs mereTAL OG BOGSTAVREGNING
TAL OG BOGSTAVREGNING De elementære regnerter I mtemtik kn vi regne med tl, men vi kn også regne med bogstver, som gør det hele en smugle mere bstrkt. Først skl vi se lidt på de fire elementære regnerter,
Læs merea b cos. n=1 er positiv på N. Vi kan nu benytte sammenligningskriteriet (sætning ) og sammenligne 2a sin ( )
Opgve Vi skl bestemme de tlpr (, for hvilke række b cos = er koverget. Først beytter vi divergeskriteriet (sætig 2..4) til t kræve t leddee må gå mod ul for gåede mod uedelig. Dette giver os t = b cos()
Læs mereKort om Potenssammenhænge
Øvelser til hæftet Kort om Potenssmmenhænge 2011 Krsten Juul Dette hæfte indeholder bl.. mnge småspørgsmål der gør det nemmere for elever t rbejde effektivt på t få kendskb til emnet. Indhold 1. Ligning
Læs mereLektion 6 Bogstavregning
Lektion Bogstvregning Formler... Reduktion... Ligninger... Lektion Side 1 Formler En formel er en slgs regne-opskrift, hvor mn med bogstver viser, hvorledes noget skl regnes ud. F.eks. formler til beregning
Læs mereKULTURARVEN det skal der ske. vegne
KULTURARVEN det skl der ske R E M G DO være et kulturrve e. f g i r v skl be g kommu Kommue borgere o e d å b r fo I Roskilde de g ligt æri idetitet o fælles, sy ber lokl k s e d e rdifuld eskytte d rrv
Læs merePointen med Integration
Pointen med Integrtion Frnk Vill 3. oktober 2012 2008-2012. IT Teching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Dette dokument må kun nvendes til undervisning i klsser som bonnerer på MtBog.dk. Se yderligere
Læs merePointen med Integration
Pointen med Integrtion Frnk Nsser 20. pril 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun nvendes til undervisning i klsser som bonnerer på MtBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er en
Læs merePraktisk info. Statistisk analyse af en enkelt stikprøve: kendt eller ukendt varians Sandsynlighedsregning og Statistik (SaSt) I tirsdags.
Praktisk ifo Liste med rettelser og meigsforstyrrede trykfejl i DS på Absalo. Statistisk aalyse af e ekelt stikprøve: kedt eller ukedt varias Sadsylighedsregig og Statistik (SaSt) Helle Sørese Projekt
Læs mereMichel Mandix (2010) INDHOLDSFORTEGNELSE:... 2 EN TREKANTS VINKELSUM... 3 PYTHAGORAS LÆRESÆTNING... 4 SINUSRELATIONERNE... 4 COSINUSRELATIONERNE...
MATEMATIK NOTAT MATEMATISKE EVISER AF: CAND. POLYT. MICHEL MANDIX SIDSTE REVISION: FERUAR 04 Michel Mndi (00) Side f 35 Indholdsfortegnelse: INDHOLDSFORTEGNELSE:... EN TREKANTS VINKELSUM... 3 PYTHAGORAS
Læs mereDefinition: Normalfordelingen. siges at være normalfordelt med middelværdi µ og varians σ 2, hvor µ og σ er reelle tal og σ > 0.
Repetitio: Normalfordelige Ladmåliges fejlteori Lektio Trasformatio af stokastiske variable - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/udervisig/lf13 Istitut for Matematiske Fag Aalborg Uiversitet
Læs mereMichel Mandix (2017) Derfor er der behov for en række værktøjer, som kan bruges også til de vilkårlige trekanter. a b c A B C
Mihel Mndix (07) Sinusreltionen Nott Side f 9 Sinusreltionen Indtil videre, er der kun eskrevet, hvordn mn eregner på retvinklede treknter. Men desværre er det lngtfr lle treknter, som er retvinklede.
Læs mereErik Vestergaard www.matematikfysik.dk. Erik Vestergaard, 2009.
Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk Erik Vestergrd, 009. Billeder: Forside: Collge f billeder: istock.com/titoslck istock.com/yuri Desuden egne fotos og illustrtioner Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk
Læs mereProjekt 10.3 Terningens fordobling
Hvd er mtemtik? C, i-og Projekt 0.3 Terningens fordoling Elementerne indeholder, hvd mn kn deduere sig til og konstruere ud fr de få givne ksiomer. Mn kn derfor i en vis forstnd sige, t l den viden, der
Læs mereIntegration ved substitution og delvis (partiel) integration
DEN TEKNISK-NATURVIDENSKABELIGE BASISUDDANNELSE MATEMATIK INTEGRATION EFTERÅRET Integrtion ved sustitution og delvis (prtiel) integrtion Differentil- og integrlregningens hovedsætning lyder: Hvis ƒ er
Læs mereANALYSE 1, 2015, Uge 2
ANALYSE 1, 2015, Uge 2 Forelæsninger Denne uges tem er uendelige rækker. Tirsdg: Tlrækker. En uendelig tlrække består ligesom en uendelig tlfølge f uendelig mnge tl. Forskellen mellem de to begreber består
Læs mereTAL OG REGNEREGLER. Vi ser nu på opbygningen af et legeme og noterer os samtidig, at de reelle tal velkendte regneoperationer + og er et legeme.
TAL OG REGNEREGLER Inden for lgeren hr mn indført egreet legeme. Et legeme er en slgs konstruktion, hvor mn fstsætter to regneregler og nogle sætninger (ksiomer), der gælder for disse. Pointen med en sådn
Læs mereMeningsmålinger KLADDE. Thomas Heide-Jørgensen, Rosborg Gymnasium & HF, 2017
Meigsmåliger KLADDE Thomas Heide-Jørgese, Rosborg Gymasium & HF, 2017 Idhold 1 Meigsmåliger 2 1.1 Idledig................................. 2 1.2 Hvorda skal usikkerhede forstås?................... 3 1.3
Læs mereSandsynlighedsregning i biologi
Om begrebet sadsylighed Sadsylighedsregig i biologi Hvis vi kaster e almidelig, symmetrisk terig, er det klart for de fleste af os, hvad vi meer, år vi siger, at sadsylighede for at få e femmer er 1/6.
Læs mere3y MA, Steen Toft Jørgensen side 1/5 Helsingør Gymnasium. Definitioner, formler, sætninger og ideen i beviserne så det er muligt at huske beviserne.
3y MA, Stee Toft Jørgese side /5 Helsigør Gymasium Vektorregig i 3D Formålet er at skabe overblik over emet. Boge Mat3A af Jes Carstese, kapitel 3 og 4, side 83-5. Defiitioer, formler, sætiger og idee
Læs mereNote til Spilteori Mikro 2. år 2. semester Erik Bennike. Note til Spilteori
Note tl Splteor Mkro. år. semester Erk Beke Note tl Splteor Gos s. - Splteor eskæftger sg med sttoer hvor der er strtegsk fhægghed geter mellem. Nytte for de ekelte get fhæger således kke lee f ege hdlger
Læs mereMatematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 2. Trigonometri
Mtemtikkens mysterier - på et oligtorisk niveu f Kenneth Hnsen 2. Trigonometri T D Hvd er fstnden fr flodred til flodred? 2. Trigonometri og geometri Indhold.0 Indledning 2. Vinkler 3.2 Treknter og irkler
Læs mereMatematik. Kompendium i faget. Tømrerafdelingen. 1. Hovedforløb. a 2 = b 2 + c 2 2 b c cos A. cos A = b 2 + c 2 - a 2 2 b c
Kompendium i fget Mtemtik Tømrerfdelingen 1. Hovedforlø. Trigonometri nvendes til eregning f snd længde og snd vinkel i profiler. Sinus Cosinus Tngens 2 2 + 2 2 os A os A 2 + 2-2 2 Svendorg Erhvervsskole
Læs mereMatematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 7. Ligninger, polynomier og asymptoter
Matematikkes mysterier - på et obligatorisk iveau af Keeth Hase 7. Ligiger, polyomier og asymptoter Hvad er e asymotote? Og hvorda fides de? 7. Ligiger, polyomier og asymptoter Idhold 7.0 Idledig 7.1 Udsag
Læs mere3. Vilkårlige trekanter
3. Vilkårlige treknter 3. Vilkårlige treknter I dette fsnit vil vi beskæftige os med treknter, der ikke nødvendigvis er retvinklede. De formler, der er omtlt i fsnittet om retvinklede treknter, kn ikke
Læs mereIntegralregning. 2. del. 2006 Karsten Juul
Integrlregning del ( ( 6 Krsten Juul Indhold 6 Uestemt integrl8 6 Sætning om eksistens stmunktioner 8 6 Oplæg til "regneregler or integrl"8 6 Regneregler or uestemt integrl 9 68 Foreredelse til "integrtion
Læs mereNoter om polynomier, Kirsten Rosenkilde, Marts Polynomier
Noter om polyomier, Kirste Rosekilde, Marts 2006 1 Polyomier Disse oter giver e kort itroduktio til polyomier, og de fleste sætiger æves ude bevis. Udervejs er der forholdsvis emme opgaver, mes der til
Læs mereANALYSE 1, 2014, Uge 3
ANALYSE 1, 2014, Uge 3 Forelæsninger Tirsdg. Vi generliserer tlrækker til funktionsrækker ved t udskifte tllene med funktioner (TL Afsnit 12.5). Det svrer til forrige uges skridt fr tlfølger til funktionsfølger.
Læs mereØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C POTENS-SAMMENHÆNG
ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C POTENS-SAMMENHÆNG INDHOLDSFORTEGNELSE 1 Formelsmling... side 2 Uddbning f visse formler... side 3 2 Grundlæggende færdigheder... side 5 2 Finde konstnterne og b i en formel...
Læs mereNotater til Analyse 1
Alyse 1 Jørge Vesterstrøm Forår 2004 Notter til Alyse 1 Idhold Forord 1 1. Om dobbeltsummer 1 2. Eksistes f e ikke målelig mægde 2 3. Bevis for e del f Prop. 3.15 3 4. Riem-itegrlet og trppefuktioer 4
Læs mereProjekt 7.2 Vektorers beskrivelseskraft. Indhold. Hvad er matematik? 2 ISBN
Hvd er mtemtik? Projekter: fr kpitel 7 Projekt 7 Vektorers beskrivelseskrft Projekt 7 Vektorers beskrivelseskrft Indhold Hvor kommer vektorerne fr? De komplekse tl og deres geometriske repræsenttion Findes
Læs mereDet dobbelttydige trekantstilfælde
Det dobbelttydige trekntstilfælde Heine Strømdhl, Københvns Kommunes Ungdomsskoler Formålet med denne rtikel er t formulere en meget simpel grfisk løsningsmetode til det dobbelttydige trekntstilfælde med
Læs mereLedighedsstatistik, juli 2013
Ledighedssttistik, li Stigig i kdemikerledighede i li str stigig i dimittedledighede Akdemikerledighede er steget med fr i til li g er u å.9 svrede til e ledighedsrcet å 4, ct. Stærk stigede dimittedledighed
Læs mereLøsninger til kapitel 7
Løsiger til kapitel 7 Opgave 7.1 a) HpoStat giver resultatet: Pop. varias er ukedt, me 30, så Normalf. bruges approksimativt = 54,400 s 1.069,90 = 00,000 0,95 49,868 58,93 Dette betder, at med 95% sikkerhed
Læs mereTips. til træningsambassadørerne
Tips til træningsmbssdørerne NÅR I TRÆNER GENERELT 1. Brug et motiverende sprog også selvom du fktisk er lidt træt. Du kn for eksempel sige: Jeg er mx klr til træning hvd med dig? Er du frisk?! 2. Din
Læs mere