Introduktion til ridge detection

Transkript

1 Introduktion til ridge detection Katrine Hommelhoff Jensen Martin Parm 18. oktober 2003

2 Indhold 1 Indledning Højderygge på et billede Projektets indhold og struktur Notation Detektion af foldninger på en kontinuert overflade Definition af et foldningspunkt Den differentialgeometriske metode Udledning af hovedkrumningerne i et punkt Oprettelse af lokalkoordinatsystemet Udledning af hovedkrumningsretningerne Lindebergs definition af lokalkoordinatsystemet Betingelser for et foldningspunkt Opsummering af detektionsalgoritme Detektion af foldninger på digitale billeder Fra kontinuerte flader til diskrete digitale billeder Kontinuert og diskret foldning Skalarum Idèen bag skalarum Kontinuert Gaussisk skalarum Diskret Gaussisk skalarum Effektiv diskret Gauss-foldning Beregning af de afledte Diskrete førsteordens afledte Diskrete andenordens afledte Grænseværdier på betingelserne for foldningspunkter Kalibrering af grænseværdier og σ Implementation og eksempler

3 4 Detektion af højderygge i et dynamisk miljø Problemstillingen i RoboCup Varierende kontrastforhold Blur Højlys Styring af ridge detection Konklusion Opsummering Personlige erfaringer A Kildekode 53 A.1 Gauss-foldning A.2 Gauss-foldning med edge-padding A.3 Basal ridge detection A.4 Ridge detection med dynamiske parametre B Overfladekrumninger 58 C Eksempel på skalarumsrepræsentationer af et billede 59 Litteratur 62 2

4 Kapitel 1 Indledning Et af hoveddiciplinerne under digital billedbehandling består i at udtrække bestemte egenskaber (eng. features) af et billede, dvs. detektere bestemte, karakteristiske strukturer på billedoverfladen. Men hvad er et billede egentlig? Et digitalt billede, som er det vi skal beskæftige os med, kan visualiseres på to forskellige måder. Et digitalt billede er opbygget som en matrix af intensitetsværdier, svarende til billedets pixels (dette uddybes i afsnit 3.1), og vises typisk i 2D, som på figur 1.1. Figur 1.1: Digitalt gråtonebillede vist i 2D. Den anden måde at visualisere billedet på er som en overflade i 3D, hvor højden af ethvert punkt på overfladen tilsvarer intensitetsværdien. Billedet fra figur 1.1 er visualiseret i 3D på figur D-visualiseringerne er blevet farvelagt som på højdekort, da det ellers er svært at se andet end de grove konturer på overfladen. Billedet til højre på figur 1.2 er desuden blevet udglattet til en regulær, geometrisk overflade, for at fremhæve overfladestrukturen. Dette kan på mange måder gøre overfladen nemmere at analysere - ikke blot for det menneskelige øje - og for visse former for feature 3

5 detektion er det en nødvendighed. Figur 1.2: Billedet af hånden visualiseret i 3D og farvelagt som højdekort. Billedet til højre er blevet udglattet for at fremhæve overfladestrukturen. Der findes en lang række interessante billedfeatures og en af disse features er bedst kendt som ridges. Detektionen af disse features kendes ligeledes bedst som ridge detection, heraf navnet på dette projekt. Ridges oversættes typisk til højderygge, og sammen med dale (eng. valleys) betegnes disse features generelt som foldninger (eng. creases). Vi gør opmærksom på brugen af disse oversættelser for at undgå forveksling med andre, engelske udtryk for beslægtede billedfeatures som f.eks. separatrices og drainage patterns. Vi har valgt at anvende det engelske begreb feature istedet for at oversætte det, da vi mener den danske oversættelse er for vag. 1.1 Højderygge på et billede Foldninger på et billedlandskab svarer groft sagt til linier på 2D-billedet med varierende udbredelse, hvor højderygge er de linier med højere intensitet og dale de linier med lavere intensitet, relativt til den gennemsnitlige intensitet lokalt omkring foldningen. På figur 1.2 ses fingrene som individuelle højderygge og hånden og det yderste af armen som en anden individuel, væsentlig bredere højderyg. Mellemrummene mellem fingrene kan ligeledes betragtes som dale af forskellig længde og bredde. Højderygge og dale er nært beslægtede med en mængde features som separatrices, watersheds og drainage patterns (se [15]) og forveksles også ofte med disse. I mange tilfælde kan flere af disse begreber også bruges som den samme overfladestrukur. Den mest essentielle forskel ligger i, at foldninger er den mest generelle featuredefinition, idet den bruges om alle strukturer, der folder i en eller anden given retning. De andre, beslægtede begreber kan således betragtes som højderygge eller dale i bestemte omgivelser. Traditionelt [12] karakteriseres separatricer som linier i landskabet, der groft 4

6 sagt kan tegnes udfra det kriterie, at de hele tiden følger retningen af den største hældning. På denne måde fås separatricer, som inddeler landskabet i både bassiner (også kaldet watersheds) og bakker. Drainage patterns er de linier, der startende fra et højt sted i landskabet følger den hurtigste vej nedad mod et minimum, ligesom vand ville gøre det. Selvom foldninger er et relativt simpelt koncept, er en mere detaljeret definition end ovenfor under stadig diskussion og der findes adskillige, matematiske fortolkninger. Dette kommer vi nærmere ind på i afsnit 2.1. Højderygge og dale er meget anvendelige geometriske features i billedanalyse. Man kan argumentere for, at en simpel kantdetektion (se [15]) i visse tilfælde vil kunne anvendes til at udvinde den samme information i et billede som detektion af foldninger, idet kantdetektion helt essentielt består i at følge sider af højderygge. Tilstedeværelsen af en kant ved en pixel afgøres ved at se på, hvor meget denne pixels intensitet adskiller sig fra naboernes og sammenhængen med andre kantpixels. Mange af disse kantdetektorer lider dog under tilstedeværelsen af støj i billedet, da lokale karakteristika udviskes og gør det vanskeligt at detektere kanter og determinere deres orientering. Desuden er billedets globale strukturer og formen af objekterne meget afhængig af kantdetektion metoden. Ved detektion af højderygge kan vi derimod specificere størrelsen af de objekter, vi ønsker at finde. Der findes mange eksempler på anvendelsen af ridge detection i billedanalyse. Nogle få af dem er i forbindelse med analyse af fingeraftryk, detektion af veje på landkort, registrering af hjerneskanninger baseret på anatomiske landmarks og andre genkendelsesopgaver, hvor det er vigtigt, at der ikke opdages nye features på grund af tilstedeværelsen af f.eks. støj i billedet eller forskellige orienteringer af billedet. 1.2 Projektets indhold og struktur Bag detektionen af højderygge på en overflade ligger der en hel del matematik. Der findes som nævnt flere forskellige alternativer til en matematisk definition og i kapitel 2 redegør vi først og fremmest for, hvilken definition af højderygge vi vil anvende og hvorfor. Med efterfølgende udgangspunkt i de kontinuerte, funktionsrepræsenterede overflader forklares den matematiske definition og fremgangsmåde i detaljer, med de involverede, matematiske begreber introduceret enkeltvis undervejs, og kapitlet afsluttes med opstillingen af en teoretisk fungerende detektionsalgoritme. Kapitel 2 fremstår således som en afrundet gennemgang af matematikken bag detektion af højderygge. Fra den teoretiske gennemgang går vi over til kapitel 3, hvor fokus er på de nødvendige ting der skal til, for at overføre den teoretiske algoritme til brug i praksis, dvs. på ikke-kontinuerte (diskrete) digitale billeder. Kapitlet tager 5

7 udgangspunkt i en introduktion til skalarum, som er et helt centralt begreb indenfor detektion af billedfeatures og ikke mindst et nødvendigt værktøj for at detektere foldningsstrukturer på digitale billeder. Til forskel fra de kontinuerte, glatte overflader i kapitel 2 er de digitale overflader behæftet med støj (dette uddybes i afsnit 3.1). Skalarum anvendes i den sammenhæng at nedtone denne støj og fremhæve de ønskede foldningsstrukturer. For at anvende matematikken fra det foregående afsnit, introduceres bl.a. en række diskrete tilnærmelser til de matematiske udtryk og det forklares, hvordan den diskrete detektionsalgoritme anvendes i praksis. Ved kapitlets slutning foreligger et helt fungerende program, der kan anvendes til detektion af både højderygge og dale på digitale billeder. Detektion af højderygge på et billede kræver, at der specificeres nogle egenskaber omkring de højderygge, man ønsker at finde. Den typiske tilgang til denne type billedanalyse er, at egenskaberne sættes manuelt og evt. korrigeres for hvert billede. Denne situation har vi valgt at betragte som et statisk miljø. En hel anden problemstilling opstår, hvis man ønsker at detektere højderygge i et dynamisk miljø, som f.eks. på en filmsekvens af billeder, hvor der ikke korrigeres manuelt og hvor der kan forekomme væsentlige ændringer i omgivelserne for højderyggene. I kapitel 4 præsenteres en konkrete problemstilling på detektion af højderygge i et dynamisk miljø. Problemstillingen består i at detektere en hvid tapestreg på et mørk gulv, hvilket var opgaven ved robotvæddeløbet RobotCup I den forbindelse gennemgås en række af de problemer, man må håndtere i både det generelle og konkrete, dynamiske tilfælde, og hvordan disse problemer kan løses - eller kompenseres for. Der vil blive præsenteret et program, der kan anvendes til detektion af højderygge i den konkrete problemstilling. Det bliver klart, at visse problemer i forbindelse med detektion af højderygge i et dynamisk miljø, ikke kan løses i selve detektionsalgoritmen. Vi afrunder kapitlet med en diskussion om hvordan disse problemer kunne løses alternativt. Endelig findes en konklusion og evaluering af ridge detection i kapitel 5. På bilag A findes kildekoden. Vi har valgt at anvende MatLab kode på grund af den simple notation, der gør koden let at læse i formidlingssammenhæng. På bilag B og C findes figurer. Til sidst findes litteraturlisten, som ikke kun indeholder referencer til litteratur som har været direkte relevant for udformningen af projektet, men også artikler og grundbøger som kan være relevante for læseren. De fleste eksempler og billedillustrationer i projektet er taget fra den konkrete problemstilling, som introduceres i kapitel 4. Projektet er skrevet med datalogistuderende som målgruppe, som ikke nødvendigvis har en højere matematisk baggrund end gymnasiets matematik på A-niveau. 6

8 Således vil gennemgangen af matematikken i kapitel 2 have en detaljeringsgrad, der svarer til denne viden. Projektet er skrevet i den hensigt at give læseren en god forståelse af ridge detection metoden, matematikken bag og hvad der skal til for at realisere ridge detection på digitale billeder. Desuden en række typiske problemstillinger for ridge detection, særligt i forbindelse med implementation af ridge detection i et dynamisk miljø. Ved at eksemplificere med kodestumper undervejs, er hensigten at læseren skal være i stand til selv at implementere og anvende ridge detection efter endt læsning. 1.3 Notation I følgende tabel er en kort oversigt over den gældende notation i projektet: f Kontinuert funktion l Billedfunktion (l(x,y) kontinuert, l[x,y] diskret) n Støjfunktion L Skalarumsrepræsentation af l[x,y] Foldningsoperator (i forb. med filtrering) Multiplikationsoperator En mere uddybende forklaring af de forskellige termer findes i afsnit

9 Kapitel 2 Detektion af foldninger på en kontinuert overflade Vi vil i dette kapitel gennemgå den matematiske / teoretiske baggrund for detektion af foldninger på en overflade. Da der set i en matematisk kontekst ikke er nogen essentiel forskel på at detektere højderygge og dale, vil de indenfor rammerne af dette kapitel blive benævnt som foldninger, medmindre der eksplicit gøres forskel. Først vil vi redegøre for valg af metode og herunder definitionen af, hvad en foldning er. Metoden vil først blive forklaret i korte træk og siden vil de enkelte trin blive grundig gennemgået i løbet af de enkelte afsnit. Forståelsen af detektionsmetoden kræver indsigt i en del matematiske begreber, som vil blive forklaret enkeltvis under adskildte paragraffer, efterhånden som det bliver relevant. Målet er at kunne detektere foldninger på digitale billeder, dvs. overflader som er diskret repræsenterede ved en intensitetsfunktion og derfor ikke kontinuerte (dette kommer vi nærmere ind på i kapitel 3), men i dette kapitel vil de matematiske definitioner og udtryk udledes på kontinuerte, parametriserede overflader. Der findes alternative måder at repræsentere en kontinuert, matematisk overflade, som f.eks. den implicitte repræsentation. Vi har dog valgt den parametriserede repræsentation, da den bedst kan beskrive de diskrete overflader. Idet vi arbejder med teorien bag kontinuerte overflader, bør det nævnes, at denne kan generaliseres til n 1-dimensionelle overflader i det n-dimensionelle rum. Da det overordnede mål er at detektere foldningsstrukturer på 2-dimensionelle overflader, vil vi dog tage udgangspunkt i det 3-dimensionelle rum. I det 3-dimensionelle rum defineret ved et xyz-koordinatsystem antager vi, at overfladerne ligger over xy-planet, sådan at toppunkter på overfladen vil have et tangentplan (forklares i 2.1) parallelt med xy-planet. På denne måde kan det samme xyz-rum anvendes til de digitale billedoverflader, hvor den opadgående retning, dvs. intensitetsretningen defineres til at være parallel med z-aksen. Dette forhold er illustreret på figur

10 2.1 Definition af et foldningspunkt En kontinuert, parametriseret overflade over xy-planet kan beskrives ved en funktion af to variable som z = f(x, y). Lad f være givet ved f(x, y) = x 4 + x 3 18x 2 16x + 32 y 2 som visualiseret af grafen på figur 2.1. Z akse X akse Y akse Figur 2.1: Kontinuert overflade beskrevet ved funktionen f i xyz-rummet. For at detektere en foldning, må vi have en metode til at afgøre, hvorvidt et punkt (x, y) på overfladen ligger på en fold. Disse punkter vil blive benævnt som foldningspunkter, jvnf. den engelske betegnelse for højderyg-punkter, ridge points. En højderyg (eller dal) kan beskrives ved de punkter, som ligger præcis på toppen (eller i bunden) af foldningen, dvs. hvor foldningen har sin maksimale krumning. Den dominerende foldning (højderyg) på f på figur 2.1 kunne f.eks. beskrives ved de punkter, der er fremhævet med rødt på figur Figur 2.2: En foldning på overfladen f beskrevet ved punkterne fremhævet med rødt. Selvom foldninger på en overflade er et intuitivt, relativt simpelt koncept, 9

11 er der ikke hel enighed omkring den matematiske definition. Der har været mange forsøg på at formulere egenskaberne for højderygge og dale til anvendelse i både billed- og formanalyse. I litteraturen har man endvidere gjort mange forsøg på at sammenligne disse metoder og eksperimentielt måle deres effektivitet og robusthed. En uddybende diskussion af de forskellige metoder kan findes i [3] og en evaluering af to eller flere forskellige detektionsalgoritmer på baggrund af bestemte succeskriterier bliver udført i [12], [13] og [19]. Enkelte detektionsmetoder, eller brugen af detektionsmetoder til helt bestemte formål, er blevet studeret i endnu højere grad, heriblandt i [7], [5], [6], [2], [17], [1] og [4]. Mere avancerede udbyggelser af detektionsmetoder kan bl.a. studeres i [11] og [18]. De forskellige definitioner adskiller sig blandt andet ved at definere foldninger for forskellige repræsentationer af overflader, som f.eks. parametriserede overflader, implicitte overflader, level sets (level surfaces) og 3D-meshes. Da målet som nævnt er at detektere foldninger på et digitalt billede, leder dette os til at anvende en definition for parametriserede overflader. Der er også forskel på kvaliteten af de forskellige detektionsmetoder. Ifølge [3] m.fl. må en robust detektionsmetode opfylde de følgende egenskaber: Lokal detektionsmetode: Et foldningspunkt bestemmes udelukkende udfra informationer om overfladeegenskaber lokalt omkring punktet. Invariant under rotation, translation og skalering, også kaldet Euklidiske transformationer: Foldningerne på et objekt fundet efter en af disse transformationer af objektet skal være de samme som de transformerede foldninger på det originale objekt, idet det drejer sig om den samme transformation. Disse egenskaber sikrer en uniform detektion af foldninger i forskellige omgivelser, og dermed en mere stabil detektion generelt. Et udpluk af de metoder som betegnes som robuste og samtidig er nogle af de mest anvendte, tager udgangspunkt i differentialgeometrien. Da det er muligt at formulere de differentialgeometriske metoder for digitale billeder (dette beskrives generelt i kapitel 3), opfylder de vores kriterier. En løs formulering af den differentialgeometriske definition er: For ethvert punkt p på overfladen findes der to retninger, for hvilke der forekommer den største og mindste krumning (det skarpeste og fladeste terræn, henholdsvis). Hvis disse to krumninger er forskellige og den største krumning også har et lokalt ekstrema i krumningsretningen, så er p et foldningspunkt. 10

12 Dette er selvfølgelig antaget, at der er tale om en differentiabel overflade. En sådan definition findes bl.a. i [3] s. 362, hvor den benævnes som Principal Direction Definition, eftersom de to retninger, for hvilke der forekommer den største og mindste krumning i et punkt benævnes som Principal directions of curvature, eller hovedkrumningsretningerne, for punktet. Med differentialgeometriske termer defineres foldningspunkter som loci of extrema of principal curvatures along associated lines of curvature. Oversat til dansk defineres et foldningspunkt som et punkt, i hvilket der forekommer et lokalt ekstrema i retningen af hovedkrumningen. På figur 2.3 er p markeret som et af foldningspunkterne fra figur 2.2 og de to linier svarende til de to hovedkrumninger på f er markeret med blåt og rødt. Den blå linie markerer det fladeste terræn og følger dermed højderyggen, mens den røde linie markerer det skarpeste terræn, lokalt for p. p Figur 2.3: Den blå linie på overfladen f markerer linien igennem p med den mindste krumning og den røde linie markerer linien igennem p med den største krumning. 2.2 Den differentialgeometriske metode 3-dimensionelle overfladeegenskaber bliver i differentialgeometrien beskrevet relativt til et lokalkoordinatsystem for et punkt. Netop ved at oprette et lokalkoordinatsystem i et punkt gøres overfladebeskrivelserne uafhængige af abitrære, Euklidiske transformationer, hvilket leder til invariante deskriptorer af den lokale billedstruktur. Orienteringen af dette koordinatsystem dikteres af overfladen selv i punktet. Dette lokalkoordinatsystem kendes som gauge koordinater. Her skelner man mellem første- og andenordens gauge koordinater. De førsteordens gauge koordinater baserer sig på information fra de førsteordens afledte (eller tangent-planet) i punktet, og anvendes typisk i beskrivelsen af level surfaces. De andenordens (eller curvature) gauge koor- 11

13 dinater baserer sig på information fra de andenordens afledte i punktet. De er orienteret efter hovedkrumningsretningerne i et punkt og derfor oplagte til den differentialgeometriske definition af et foldningspunkt. Matematikken, som ligger til grund for disse detektionsmetoder er generelt beskrevet i litteratur omkring differentialgeometri. Her kan nævnes et hovedværk som [8] eller det mere komprimerede [20] samt en tekst [16], der giver en oversigt over differentialgeometriske begreber i forbindelse med analysen af et digitalt billede. Den differentialgeometriske metode til detektion af foldningspunkter kan opdeles i følgende tre trin. For ethvert punkt på overfladen, 1. Find de to hovedkrumninger i punktet. 2. Opret et lokalkoordinatsystem orienteret efter hovedkrumningsretningerne i punktet. 3. Analyser punktet i disse to retninger og determiner, om det kvalificerer som et foldningspunkt. I forbindelse med punkt 2 skal det nævnes, at lokalkoordinatsystemet i visse tilfælde ikke kan oprettes, hvilket vil blive forklaret nærmere i afsnit 2.3. De tre trin vil hver blive gennemgået i de følgende tre afsnit 2.3, 2.4 og 2.5. Det første afsnit 2.3 giver en grundig indføring i den matematik, der ligger til grund for detektionsmetoden, med den hensigt at give læseren en god forståelse af emnet. 2.3 Udledning af hovedkrumningerne i et punkt For at finde et udtryk for overfladekrumningen i en vilkårlig retning i et punkt, må vi starte med at se på nogle differentialfunktioner. Vi minder om følgende definition af den førsteordens afledte: Den førsteordens afledte Givet en funktion y = f(x) af en enkel variabel, så er den afledte af f ved x = a givet ved f (a) = df f(a + h) f(a) (a) = lim dx h 0 h (2.1) for h = x a. Den afledte f beskriver hældningen af f og kan betragtes som hastigheden, med hvilken f ændrer sig for en ændring i x. Med udgangspunkt i denne definition kan vi kigge på den førsteordens afledte af en funktion af to dimensioner: 12

14 Den partielt afledte Lad z = f(x, y). Hvis vi fikserer y til en bestemt værdi, så y = b, kan dette udtrykkes som en funktion af en enkel variabel, g(x) = f(x, b). g beskriver altså en kurve på overfladen f. Den afledte af g kaldes også den partielt afledte af f med hensyn til x og kan betragtes som hastigheden, med hvilken værdien af f ændrer sig for en ændring i x, mens y holdes konstant. Den afledte af g ved x = a kaldes således den partielt afledte af f med hensyn til x ved (a, b) og defineres som f x (a, b) = f f(a + h, b) f(a, b) (a, b) = lim x h 0 h (2.2) På figur 2.4 er et udsnit af grafen for z = f(x, y) fremhævet omkring punktet (a, b, f(a, b)). Her ses det, at den partielt afledte af f med hensyn til x ved (a, b) er hældningen af skæringslinien mellem overfladen og planet y = b, i punktet (a, b, f(a, b)). Ligeledes er den p. a. af f med h. t. y ved (a, b) hældningen af skæringslinien mellem overfladen og planet x = a, i punktet (a, b, f(a, b)). Figur 2.4: Kurven g(x) = f(x, b) gennem punktet (a, b, f(a, b)) på et udsnit af f. Da foldninger på en overflade ikke nødvendigvis følger retningen af koordinatakserne, må vi være i stand til at finde hældningen af overfladefunktionen i et punkt i en vilkårlig retning udfra dette punkt: Den retningsafledte Den partielt afledte f x (a, b) er et specialtilfælde af en retningsafledt af f i punktet (a, b, f(a, b)). Det er den retningsafledte i den retning, der svarer til retningsvektoren for x-aksen. Hvis man forestiller sig 13

15 selv stående i punktet (a, b, f(a, b)) og dreje rundt indtil man ser i retningen givet ved enhedsvektoren i 2 dimensioner u = (u x, u y ) (altså parallel med xy-planet), så kaldes den hældning, man står på, for den retningsafledte af f i retningen u ved (a, b) og skrives D u f(a, b). Derfor kan de partielt afledte f x (a, b) og f y (a, b) også skrives D x f(a, b) og D y f(a, b). D u f(a, b) kan altså defineres fra (2.2) som D u f(a, b) = f u (a, b) = f x(a, b)u x + f y (a, b)u y (2.3) = lim h 0 f(a + h u x, b + h u y ) f(a, b) h (2.4) Ligesom at tangenten til en kurve kan beskrives som en linie, så kan tangenten til en overflade beskrives som et plan. Derfor kan den retningsafledte f u i retningen u i et punkt på overfladen f skitseres som på figur 2.5. Figur 2.5: Den retningsafledte f u i et punkt på f svarer til retningsvektoren u projiceret ned på tangentplanet i punktet. Nu da vi har definitionerne for de førsteordens afledte for en overflade, kan vi kigge på de tilsvarende andenordens afledte. Mens den førsteordens afledte i en given retning beskriver hældningen, dvs. ændringshastigheden i overfladen i den retning, så vil den andenordens afledte i en given retning beskrive overfladens krumning, dvs. hældningshastigheden i den retning. Der gælder det interessante om krumningen i et punkt, at hvis den er 14

16 negativ, positiv, så er den konkav opad i punktet, dvs tangentlinien er under krumningskurven. så er den konkav nedad, dvs tangentlinien er over krumningskurven. nul, så skiftes konkavitet i punktet. For at simplificere den følgende notation, vil vi udelade at skrive punktet (x, y) for en funktion af punktet f(x, y), men bare f. De andenordens partielt afledte givne retning, dvs skrives som to differentieringer i den og de to blandede andenordens partielt afledte f xx = 2 f x 2 = x ( f x ) (2.5) f yy = 2 f y 2 = y ( f y ) (2.6) f xy = 2 f x y = x ( f y ) (2.7) f yx = 2 f y x = y ( f x ) (2.8) hvor f xy er et udtryk for hvor hurtigt hældningen i y-retningen ændres for en ændring i x-positionen. der gælder, at f xy = f yx (idet de begge er kontinuerte). De fire andenordens partielt afledt samles i Hessian matricen H, som med disse krumningsforhold samlet kan betragtes som en lokal repræsentation af overfladestrukturen for f i et punkt. H = ( fxx f xy f yx f yy ) (2.9) Vi er nu nået frem til det helt centrale, matematiske værktøj for den differentialgeometriske detektion af foldningspunkter. Ved at foretage en såkaldt egendekomposition (se [14]) af Hessian matricen i et punkt, får man to egenværdier, der svarer til de to hovedkrumninger i punktet og de associerede 15

17 Overflade Egenværdierne Minimum λ 1 = λ 2 > 0 Minimun-dal λ 1, λ 2 > 0 Dal λ 1 > 0, λ 2 = 0 Saddel-dal λ 1 > 0, λ 2 < 0 Saddel λ 1 = λ 2 Saddel-højderyg λ 1 < 0, λ 2 > 0 Højderyg λ 1 < 0, λ 2 = 0 Maksimum-højderyg λ 1, λ 2 < 0 Maksimum λ 1 = λ 2 < 0 Figur 2.6: Forholdet mellem egenværdierne i et punkt og overfladestrukturen. egenvektorer svarer til hovedkrumningsretningerne. De to egenværdier benævnes her som λ 1 og λ 2 og de associerede egenvektorer som v 1 og v 2. De har følgende geometriske betydning: Den første hovedkrumning: Den maksimale absolutte krumning (dvs. krumningen længst fra 0) har værdien af den maksimale absolutte egenværdi λ 1, og dens korresponderende egenvektor v 1 er krumningsretningen. Den anden hovedkrumning: Den minimale absolutte krumning (dvs. krumningen tættest på 0) har værdien af den minimale absolutte egenværdi λ 2, og dens korresponderende egenvektor v 2 er krumningsretningen. Der gælder altså, at λ 1 λ 2. De to egenvektorer kaldes også hovedretninger og er altid ortogonale (antaget at hovedkrumningerne er forskellige, læs nedenfor), som det også er illustreret på figur 2.3, hvorfor de kan anvendes til at udspænde det lokale gauge-koordinatsystem. Dette vil vi vende tilbage til i afsnit 2.4. De to hovedkrumninger kan give os nogle værdifulde oplysninger om overfladegeometrien i et punkt. På figur B.1 er der opstillet ni forskellige, kontinuerte overflader. Hver overflade har en særlig karakteristika (jvnf. navnet) som afspejler forholdet mellem egenværdierne λ 1 og λ 2. Husk på, at hovedkrumningsretningerne er ortogonale, når der kigges på figur B.1. Forholdene mellem egenværdierne er opstillet i tabellen på figur 2.6 Ved at se på egenværdierne for Hessian matricen i et punkt kan det altså potentielt udelukkes som foldningspunkt. Ved at sikre at λ 1 λ 2, undgås 16

18 ikke-foldningsstrukturer som overfladerne Minimum, Maksimum og Saddel. For overfladerne Minimum og Maksimum, hvor λ 1 = λ 2 vil der slet ikke kunne oprettes et meningsfuldt lokalkoordinatsystem, eftersom hovedkrumningsretningerne kunne pege i hvilken som helst retning. Det samme gælder for en fuldstændig flad overflade, dvs. hvis λ 1 = λ 2 = 0. Dette vender vi tilbage til i afsnit 2.5. I det følgende vil vi udlede et udtryk for λ 1 og λ 2. Det gør vi ved at foretage en egendekomposition af Hessian matricen som anvist i f.eks. [14]. Lad λ være en egenværdi af H. Så fås λ ved det(λi H) = 0 (2.10) hvor I er enhedsmatrixen. Indsættes i formel (2.10) fås det(λi H) = det ( λ fxx f xy f yx λ f yy ) = (λ f xx )(λ f yy ) f xy f yx = (λ f xx )(λ f yy ) f 2 xy (da f xy = f yx ) = λ 2 λ(f xx + f yy ) + f xx f yy f 2 xy = 0 (2.11) Denne andengradsligning løses med diskriminanten (f xx +f yy ) 2 4(f xx f yy f 2 xy) til følgende to løsninger, de to egenværdier λ 1 = f xx + f yy + (f xx f yy ) 2 + 4fxy 2 2 λ 2 = f xx + f yy (f xx f yy ) 2 + 4fxy 2 2 (2.12) (2.13) hvor λ 1 således er den egenværdi som korresponderer med den maksimale absolutte krumning. 2.4 Oprettelse af lokalkoordinatsystemet Efter at have udledt hovedkrumningerne kan vi udlede de korresponderende hovedkrumningsretninger og oprette et gauge-lokalkoordinatsystem orienteret efter hovedkrumningsretningerne. Gauge-koordinatsystemet beskrives konventionelt med koordinaterne (p, q). Typisk associeres p-koordinaten med den første hovedkrumning, dvs. λ 1 = f pp og λ 2 = f qq, men der findes undtagelser, som vi vil se i afsnit Vi præsenterer to metoder til at oprette gauge-koordinatsystemet. Den første metode (afsnit 2.4.1) er en direkte fortsættelse af forrige afsnit og har sin berettigelse i den let forståelige udledning 17

19 af koordinaterne. Den anden metode (afsnit 2.4.2) bygger på forståelsen fra første metode, men resulterer i en mere simpel og komprimeret måde at beregne beregne både hovedkrumningsretningerne og hovedkrumningerne. Denne metode vil være den gældende i detektionsalgoritmen og derfor er betingelserne i afsnit 2.5 også indrettet efter metoden Udledning af hovedkrumningsretningerne Vi fortsætter egendekompositionen af Hessian matricen fra afsnit 2.3. Vi har, at λ 1 og λ 2 er egenværdier af H. Lad v være en egenvektor associeret med λ 1. Så fås v 1 ved at sætte (λ 1 I H) v = 0 λ 1 v = H v (2.14) På samme måde udledes v 2 og resultatet af udledningerne bliver v 1 = λ 1 f yy fxy 2 + (λ 1 f yy ), f xy (2.15) 2 fxy 2 + (λ 1 f yy ) 2 og v 2 = λ 2 f yy fxy 2 + (λ 2 f yy ), f xy (2.16) 2 fxy 2 + (λ 2 f yy ) 2 hvor v 1 således er den egenvektor som korresponderer med den maksimale absolutte krumning. Med v 1 og v 2 som retningsvektorer kan vi oprette (p, q)-lokalkoordinatsystemet i et punkt ved at rotere det oprindelige (x, y)-koordinatsystem, så det orienteres efter v 1 og v 2. Som nævnt vil dette konventionelt betyde, at p orienteres efter v 1. For at analysere et punkt i (p, q)-koordinater har vi (se afsnit 2.5) brug for at kende f p, f q, f pp og f qq. f pp og f qq har vi i egenværdierne og f p og f q kan beregnes vha. formel (2.3). Det skal nævnes, at de afledte i p- og q-retningerne også kan beregnes ved at rotere de partielt afledte ind i (p, q)-koordinatsystemet. Denne metode bliver anvendt i det følgende afsnit Lindebergs definition af lokalkoordinatsystemet Lindeberg (se [11]) tager udgangspunkt i, at der for (p, q)-koordinatsystemet gælder egenskaben f pq = 0 og omskriver dette udtryk til et udtryk for p- og q-koordinatakserne. 18

20 Først defineres enhedsvektorerne for p- og q-aksen på følgende, lidt utraditionelle måde: e p = (sinβ, cosβ) (2.17) e q = (cosβ, sinβ) (2.18) Denne definition betyder med andre ord, at et punkt (a x, a y ) i (x, y)-koordinatsystemet vil have de følgende (a p, a q )-koordinater i (p, q)-koordinatsystemet a p = a x sinβ a y cosβ (2.19) a q = a x cosβ + a y sinβ (2.20) Istedet for at beregne rotationsvinklen β, anvendes en lidt anderledes fremgangsmåde. Med udgangspunkt i definitionerne (2.17) og (2.18) kan man parametrisere differentialoperatorer i de to retninger associeret med e p og e q p = sinβ x cosβ y (2.21) q = cosβ x + sinβ y (2.22) Hermed kan f p og f q udregnes som f p = p f = (sinβ x cosβ y )f = sinβf x cosβf y (2.23) f q = q f = (cosβ x + sinβ y )f = cosβf x + sinβf y (2.24) Endelig kan vi udlede et udtryk for f pq f pq = p q f = (sinβ x cosβ y )(cosβ x + sinβ y )f = sinβcosβ x x cos 2 β y x + sin 2 β x y cosβsinβ y y = cosβsinβ(f xx f yy ) f xy (cos 2 β sin 2 β) = cosβsinβ(f xx f yy ) f xy cos(2β) = 1 2 sin(2β)(f xx f yy ) f xy cos(2β) 19

21 og sætte udtrykket lig 0 f pq = 0 f xy cos(2β) = 1 2 sin(2β)(f xx f yy ) 2f xy = sin(2β) cos(2β) (f xx f yy ) 2f xy = tan(2β)(f xx f yy ) tan(2β) = 2f xy (f xx f yy ) Dette kan omskrives til to udtryk for cosβ og sinβ, som altså er gældende i (p, q)-koordinatsystemet og derfor kan anvendes til at udregne f p, f q, f pp og f qq ved hjælp af differentialoperatorerne i (2.21) og (2.22): cosβ = sinβ = (signf xy ) 1 f xx f yy (f xx f yy ) 2 + 4fxy 2 (2.25) 1 f xx f yy 1 2 (f xx f yy ) 2 + 4fxy 2 (2.26) hvor fortegnet i (2.26) er indsat tro mod Lindebergs formler. Vi mangler blot at udlede f pp og f qq : f pp = p p f = (sinβ x cosβ y ) 2 f = ((sinβ x ) 2 + (cosβ y ) 2 2sinβ x cosβ y )f = (sinβ) 2 f xx + (cosβ) 2 f yy 2sinβcosβf xy (2.27) f qq = q q f = (cosβ x + sinβ y ) 2 f = ((cosβ x ) 2 + (sinβ y ) 2 + 2cosβ x sinβ y )f = (cosβ) 2 f xx + (sinβ) 2 f yy + 2cosβsinβf xy (2.28) og vi har nu opnået et system til at beregne de første- og andenordensafledte i hovedkrumningsretningerne Vi har holdt os tro mod Lindebergs formler og får på grund af bl.a. fortegnet (signf xy ) i (2.26) det lidt ukonventionelle forhold, at der altid vil gælde at f pp < f qq. Det strider umiddelbart mod konventionerne om, at p altid er orienteret mod den absolutte, maksimale krumning. Tilgengæld opnås nogle pæne, generelle betingelser for et foldningspunkt i afsnit

22 2.5 Betingelser for et foldningspunkt Vi har nu fundet retningerne for og størrelsen af de to hovedkrumninger i et punkt og ønsker at analysere overfladen i punktet i hovedkrumningsretningerne. Som beskrevet i afsnit 2.4 vil Lindebergs definition af (p, q)-lokalkoordinatsystemet resultere i, at p-aksen altid vil pege i retningen af den mindste, ikke-absolutte krumning af de to og q-aksen altid vil pege i retningen af den største, ikkeabsolutte krumning. Dette betyder, at for et foldningspunkt på en højderyg vil p-aksen pege i retningen af højderyggen og q-aksen ortogonalt væk fra højderyggen, mens et foldningspunkt i en dal vil have q-aksen rettet langs dalryggen og p-aksen ortogonalt væk fra dalen, som vist på figur 2.7. q p p q Figur 2.7: Lokalkoordinatsystem (p, q) for et foldningspunkt. For lige at repetere definitionen af et foldningspunkt fra afsnit 2.1, så skulle punktet ligge i et lokalt ekstrema i den største hovedkrumningsretning og de to hovedkrumninger være forskellige. Dertil kommer, at vi skelner mellem højderygge og dale. Givet (p, q) må følgende betingelser altså gælde for et punkt på en højderyg: f p = 0 f pp < 0 f pp f qq (2.29) og ligeledes må følgende betingelser gælde for et punkt i en dal: f q = 0 f qq > 0 f qq f pp (2.30) På 2.3 så vi, hvordan den største krumningslinie hen over en foldning danner en kurve med et lokalt ekstrema på toppen (eller i bunden) af foldningen. Hvis et punkt på en højderyg ligger i dette lokale maksima på kurven, må 21

23 hældningen f p da være 0. Ligeledes må hældningen f q være 0 for et punkt i krumningens lokale minima i en dal. For højderygge må den største krumning desuden være konkav nedad, dvs. antage en krumning under tangentlinien, så det kræves at f pp < 0. For dale må den største krumning ligeledes være konkav opad, dvs. antage en krumning over tangentlinien, så det kræves at f qq > 0. Dette krav til f pp sørger først og fremmest for at opretholde f pp 0, så det sikres at kurven ikke ændrer konkavitet i punktet, hvorved der ville være tale om et plateau. Betingelsen til krumningen giver desuden mere mening når vi senere, i afsnit 3, modificerer den med en grænseværdi, der sætter grænsen for krumningens bredde. Den sidste betingelse for højderygge f pp f qq, svarende til f qq f pp for dale, sørger for at den absolutte, maksimale krumning nu også er større end den mindste. Her sikres det at der overhovedet er tale om en foldningsstruktur og ikke et ekstrema eller saddelpunkt, jvnf. overfladen for Saddel, Minimum og Maksimum på figur 2.6, samtidig med at der skelnes mellem højderygge og dale. Med disse betingelser samlet undgår vi samtidig at måle på en fuldstændig flad overflade, dvs hvis f pp = f qq = Opsummering af detektionsalgoritme Vi vil kort opsummere den teoretiske, differentialgeometriske detektionsalgoritme for foldningspunkter, gennemgået i dette kapitel. I afsnit 2.4 blev denne algoritme opdelt i to valgmuligheder, afhængigt af hvordan hovedkrumningerne og hovedkrumningsretningerne beregnes. Begge metoder, som vi vil benævne som egendekomposition og Lindeberg, følger den 3-trinsopdelte, differentialgeometriske metode fra afsnit 2.2, hvor Lindeberg bytter om på rækkefølgen af punkt 1 og 2. Algoritmen ifølge Egendekomposition er som følgende: For hvert punkt på en kontinuert overflade, 1. Hovedkrumningerne: Beregn de afledte f xx, f yy og f xy i punktet vha. formel (2.5), (2.6) og (2.7). Beregn derefter hovedkrumningerne f pp og f qq vha. formel (2.12) og (2.13). 2. Lokalkoordinatsystemet: Beregn hovedkrumningsretningerne p og q vha. formel (2.15) og (2.16). Beregn derefter de afledte f p og f q i disse retninger vha. formel (2.3). 3. Betingelser: Der testes, om punktet opfylder alle betingelser fra (2.29). I så fald er der tale om et højderygspunkt. Ellers testes, om punktet opfylder alle betingelser fra (2.30), hvorved der er tale om et dalpunkt. Algoritmen ifølge Lindeberg er som følgende: For hvert punkt på en kontinuert overflade, 22

24 1. Lokalkoordinatsystemet: Beregn de afledte f xx, f yy og f xy i punktet vha. formel (2.5), (2.6) og (2.7). Beregn derefter cosβ vha. formel (2.25) og sinβ vha. formel (2.26). 2. Hovedkrumningerne: Med de fundne cosβ og sinβ beregnes f p vha. formel (2.23), f q vha. formel (2.24) samt hovedkrumningerne f pp vha. formel (2.27) og f qq vha. formel (2.28). 3. Betingelser: Der testes, om punktet opfylder alle betingelser fra (2.29). I så fald er der tale om et højderygspunkt. Ellers testes, om punktet opfylder alle betingelser fra (2.30), hvorved der er tale om et dalpunkt. Vi vil anvende Lindeberg i den følgende implementation. 23

25 Kapitel 3 Detektion af foldninger på digitale billeder Vi vil i dette kapitel beskæftige os med overgangen fra differentiable overflader til diskrete digitale billeder, og vi vil gennemgå de værktøjer, som skal bruges for at realisere teorien fra kapitel 2 til en fungerende implementation. I det forrige kapitel beskæftigede vi os udelukkende med differentiable, funktioner, men i den virkelige verden har vi kun diskrete digitale billedfunktionener defineret i et endeligt interval. 3.1 Fra kontinuerte flader til diskrete digitale billeder I det sidste kapitel snakkede vi om en parametriseret overflade, som vi benævnte med funktionen f. I dette kapitel vil vi begynde at snakke om en billedfunktion, som vi vil benævne med funktionen l, hvilket står for luminace (lysstyrke). Sammenhængen mellem f og l er følgende l = f + n (3.1) hvor n er en funktion, der beskriver støj (eng: noise). Støj er forskellen mellem den virkelige overflade og et billede af overfladen. Det er vigtigt at medtage støjen i erkendelse af at vi kun arbejder med billeder af virkeligheden. De features som vi finder i en billedfunktion, er således ikke nødvendigvis identiske med features i den virkelige verden. Dette vil vi vende tilbage til i afsnit 3.5. I afsnit 3.3 vil vi gennemgå skalarumsrepræsentationer af billedfunktioner. En bestemt skalarumsrepræsentation af en billedfunktion vil vi betegne L σ, hvor σ er skalaen. Når vi snakker om en vilkårlig skalarumsrepræsentation vil vi blot skrive L. 24

26 Figur 3.1: Illustration af sampling Ligesom vi benytte l om et billede af f, så vil vi også benytte nye navne for de afledte. Den afledte af l i retningen x skrives således l x, den dobbeltafledte i retningen y skrives l yy og så fremdeles. Den retningsafledte i retningen givet ved enhedsvektoren u skrives l u. Funktionsværdien af l i punktet (x, y) skrives som vanligt l(x, y). Når vi snakker om hele funktionen, f.eks. ved foldning, vil vi dog ofte udelade parametrene. Billedfunktionen l er kontinuert, mens vi i den virkelige verden arbejder med diskrete billedfunktioner. Disse vil vi navngive ligesom de tilsvarende kontinuerte funktioner, men vi vil benytte firkantede paranteser for at markere, at de er diskrete. Den diskrete billedfunktion l[x, y] kan betragtes som en samplet og kvantiseret version af den kontinuerte billedfunktion l(x, y). Sampling betyder at man aflæser den kontinuerte funktion med et bestemt interval. Resultatet af sampling er en diskret repræsentation af den kontinuerte funktion. Figur 3.1 illustrerer sampling. Bemærk at toppen omkring 1.5 ikke bliver repræsenteret, da man kommer til at sample udenom. Der går altså noget information tabt under sampling, hvilket også kan betragtes som en kilde til støj. Kvantisering betyder at man mapper de reele funktionværdier over i et endelig diskret interval. Et typisk digitalt billede er f.eks. beskrevet med 256 gråtoner. Kvantisering giver klart informationstab og er også en kilde til støj. Den diskrete billedfunktion betegnes således l[x, y] : N 2 Z Kontinuert og diskret foldning En vigtig matematisk operation, som vi skal bruge flere gange i resten af opgaven, er foldning. Bemærk at foldning af funktioner (eng: convolution) ikke må forveksles med foldninger på en overflade (eng: crease), som vi snakkede om i sidste kapitel. Det vil dog fremgå af konteksten, hvilken type 25

27 foldning vi snakker om. Foldning er en operator, som tager 2 funktioner som inddata og returnere en ny funktion. Foldning er defineret i både kontinuert og diskret rum, og vi vil i dette afsnit gennemgå dem begge. Vi har valgt at betegne foldning med notationen, således at foldningen af funktionerne a og b skrives som a b. Hvis a og b er n-dimensionelle kontinuerte funktioner a, b : R n R (3.2) så er foldningen af a og b er defineret som c(x) = a b = a(ξ)b(x ξ)dξ, x R n (3.3) ξ R n Hvis derimod a og b er diskrete funktioner så er foldningen af de 2 funktioner defineret som c[x] = a b = a, b : N n R (3.4) ξ N n a[ξ]b[x ξ], x N n (3.5) I forbindelse med digitale billeder arbejder vi med 2-dimensionelle diskrete funktioner, som kun er defineret i et endeligt interval. Denne foldning kan beskrives således s t c[x, y] = a[i, j, σ]b[x i, y j] (3.6) j= s i= t hvor s til s og t til t er det interval, hvor a er defineret. Et problem ved diskret foldning i et endeligt interval er, at kanten af foldningen ikke er veldefineret. Antag at b er et digitalt billede, som kun er defineret i intervallet x {0,..., x max } og y {0,..., y max }. Når f.eks. x i < 0 så er funktionværdien b[x i, y j] udefineret. Dette kan man håndtere på flere måder, hvoraf vi her vil beskrive to. En måde at håndere problemet på er, at udvider b med nuller (eng:zero-padding) således at kanten også bliver veldefineret. Dette kan dog skabe kunstige features. Alternativt kan man vælge kun at beregne foldningen af det område, hvor den er veldefineret, hvilket betyder at c kun bliver defineret i intervallet x {s,..., x max 2} og y {s,..., y max s}. Der vil altså være et informationstab. I billedbehandling benytter man ofte diskret foldning til at fremhæve features i et digitalt billede. Man folder da sin diskrete billedfunktion med en funktion, som fremhæver de ønskede features. Dette kaldes også filtrering, 26

28 og den funktion, som man folder med kaldes et filter. Vi vil ikke beskrive filtrering af billeder yderligere, men henviser til [15] for mere indsigt i dette emne. 3.3 Skalarum I de tidligere afsnit har vi set på ridge detection og hvordan vi med denne metode kan finde højderygge på en kontinuert overflade. Vi ønsker dog at kunne at finde højderygge over en bestemt størrelse. Hvis der f.eks. er støj eller små ubetydelige features på fladen, vil ridge detection algoritmen finde en masse små ubetydelige højderygspunkter. På figur C.1 i bilag C kan man se et eksempel på sådan en situation. Figuren viser et billede af en hvid tapestreg på en rillet gummimåtte. Hvis vi vil benytte ridge detection til at finde den hvide tapestreg på dette billede får vi et problem med rillerne, der også er højderygge. Figur C.2 viser det samme billede repræsenteret som en 3D-overflade. Her kan man tydeligt se de højderygge som både riller og tapestreg danner. Dette eksempel illustrerer at vi har behov for ikke blot at kunne finde højderygge, men også højderygge af en vis størrelse. Her er det så at idèen om skalarum kommer ind. Hele teorien om skalarum er et kæmpe emne i sig selv, og en komplet gennemgang ligger langt uden for denne opgaves omfang. Derfor vil vores gennemgang af skalarum være meget overfladisk, og vi vil lægge vægt på at give læseren en intuitiv forståelse af skalarum. Omvendt vil vi ikke lægge vægt på matematisk stringens. I det følgende vil vi begynde med at fortælle om skalarum i det kontinuerte rum, da mange af egenskaberne ved skalarum knytter sig til det kontinuerte rum. Efterfølgende vil vi fortælle om skalarum i det diskrete rum, hvilket er det, vi skal benytte til implementationen Idèen bag skalarum Begrebet skala i et billede kan intuitivt forstås som detaljeniveau, således at en lille skala indeholder både store og små features, mens en stor skala kun indeholder de store. Skala benævnes med konventionelt med σ. Har man således en kontinuert billedfunktion, kan man ved at vælge en skala, få en ny billedfunktion, som har en nedre grænse for hvor små detaljer der indgår. Bemærk at billedfunktion kan her forstås abstrakt, da skalarumsteorien kan generaliseres til vilkårligt mange dimensioner. I vores tilfælde er vi dog kun interesseret i det 2-dimensionelle tilfælde. Betragter man billedfunktionen som et signal, er skala et udtryk for en øvre grænse for hvor høje 27

29 frekvenser det kan indeholde. Denne nye billedfunktion kaldes en skalarumsrepræsentation af den oprindelige billedfunktion. Figur C.3 og C.4 viser 2 forskellige skalarumsrepræsentationer af billedet fra C.1. På figur C.3 kan man se, at 3D overfladen er blevet udglattet og meget støj er blevet fjernet. Rillerne i gummimåtten er dog større end skalaen, så disse er stadigt tydelige. På figur C.4 er rillerne fuldstændig væk og kun tapestregen er tilbage. Bemærk at der er tale om et informationstab, nemlig de små detaljer som forvinder. En skalarumsrepræsentation kan derfor også betragtes som en udglattet eller udtværet version af billedfunktionen. Skalarumsrepræsentationer har mange anvendelsesmuligheder, heriblandt som forbehandling af billeder til andre billedbehandlingsmetoder. Vil man lave en grov segmentering af et billede, kan man bruge en skalarumsrepræsentation med stor skala til f.eks. flooding 1 eller kantdetektion. En vigtig egenskab ved en skalarumsrepræsentation er, at den ikke introducerer nye ekstremaer. Finder man således en dal eller en højderyg i en skalarumsrepræsentation, er man sikret at dette ekstrema også findes i den oprindelige billedfunktion, omend det måske er lidt forskudt. Det er også muligt at spore et ekstrema fra lav skala til høj Kontinuert Gaussisk skalarum Man kan udlede flere slags skalarum afhængigt af hvilke egenskaber man skal bruge, men det mest brugte skalarum er Gaussisk skalarum, som vi vil præsentere her. Vi vil ikke gennemgå udledningen af det Gaussiske skalarum, men præsentere det som var det en definition. Hvis man ønsker en udledning og en mere udførlig gennemgang af Gaussisk skalarum kan man bl.a. læse [10] og [9]. Vi vil beskrive det 2-dimensionelle Gaussiske skalarum, men dette kan generaliseres til vilkårligt mange dimensioner. Hvis man har en billedfunktion, l : R 2 R, kan man beskrive en skalarumsrepræsentation L σ : R 2 R i det Gaussiske skalarum som L σ = g(ξ, σ) l, ξ R 2 (3.7) Funktionen g(ξ, σ), ξ R 2 er en 2-dimensionel Gauss-funktion og L σ er den resulterende skalarumsrepræsentation af den oprindelige billedfunktion i skalaen σ. Man får således en skalarumsrepræsentation af sin oprindelige billedfunktion ved at folde den med en passende Gauss-funktion. Den 2- dimensionelle Gauss-funktion, g(ξ, σ), ξ R 2 er konstrueret ved at multiplicere 2 1-dimensionelle Gauss-funktioner. 1 En billedbehandlingsmetode til segmentering af digitale billeder 28

30 Den 1-dimensionelle Gauss-funktion g(ξ, σ), ξ R er defineret som g(ξ, σ) = 1 2πσ e ξ2 2σ 2 (3.8) Gauss-funktionen har den egenskab, at når man folder den med en anden funktion, får man en ny funktion, hvor hvert punkt 2 er et vægtet gennemsnit af funktionsværdierne i et område omkring det tilsvarende punkt i den oprindelige funktion. Gauss-kurven er et udtryk for hvordan området omkring et punkt indgår i det vægtede gennemsnit. Størrelsen af dette område, som bidrager til det vægtede gennemsnit, styres af σ, som også kaldes spredningen. På figur 3.2 kan man se et par eksempler på Gausskurver med forskellig spredning σ=1.00 σ=1.50 σ= g(x,σ) 0.25 σ= σ=1.50 σ= x Figur 3.2: Eksempler på Gauss-kurver med forskellig spredning Man kan intiutivt tænke på ξ som afstanden fra et punkt i èn dimension. En høj spredning medfører en fladere kurve, hvor et større omkringliggende område bidrager til gennemsnittet, hvorimod en lav spredning medfører en stejl kurve, hvor kun et lille område bidrager. Lad os se på nogle af egenskaberne for Gauss-funktionen. Den første interessante egenskab, der er værd at bemærke, er integralet af Gauss-funktionen. 2 Her snakker vi om et matematisk punkt og ikke pixels 29